2015数学建模A题论文介绍

2015数学建模A题论⽂介绍

A题太阳影⼦定位

摘要

本⽂⾸先确定了不同地点不同⽇期的直杆影长的模型，利⽤该模型解决了不同地点不同⽇期直杆影⼦变化和时间的的关系，为分析视频的拍摄地点和⽇期提供了模型上的基础。

对于问题⼀，为了确⽴直杆的影长与时间的关系，建⽴了地球坐标系和天球坐标系，引⼊太阳⾼度⾓、⾚纬、太阳时⾓、时差等参数变量。利⽤太阳⾼度⾓和时间的关系建⽴了影长和时间的关系模型。利⽤MATLAB软件求得影长关于时间的变化曲线，从9点到15点影⼦长度先减⼩后增⼤，在北京时间12点14分直杆影长最短，最短为3.5⽶，在北京时间9点直杆影长最长，长度为7.3⽶。

对于问题⼆，结合问题⼀中各参数变量之间的关系，使⽤Bourges算法和太阳⽅位⾓与时间的关系，得到确定直杆所在地点的数学模型，将附件1所给数据带⼊模型，利⽤excel和MATLAB软件进⾏求参数和拟合函数图像，求得直杆所处的可能地点为北纬19.21，东经108.43。该地点在海南。或者为南纬3.9412度，东经137.3度。该地点在为印度尼西亚纳⽐雷附近。

对于问题三，由所给影⼦顶点坐标数据计算出各时间点的太阳⽅位⾓，利⽤excel 软件拟合出太阳⽅位⾓与时间的关系，进⽽确定直杆点的经度，结合问题⼆的数学模型得到直杆地点和⽇期求法的数学模型。再次通过MATLAB进⾏求参数和拟合函数图像，求出了附件2地点可能为北纬39.88，东经79.7925或南纬39.88，东经79.7925，可能⽇期为：5⽉25号和7⽉20号或1⽉17号和1⽉26号。

对于问题四，提取出视频所有的帧数，等差得选取其中的20张进⾏模拟，利⽤3DMAX 软件仿真出视频的场景，通过测量所建模型中影⼦长度，确定出20组影⼦顶点坐标数据，再⽤问题⼆中所⽤到的模型进⾏求解，得到经纬度为北纬15.2，东经113.9.拍摄地点在海南省的三沙市。⽤问题三中的模型求解得到拍摄地点纬度为0，东经123.8度在印度尼西亚，⽇期为3⽉21号或10⽉23号。

关键词:太阳⾼度⾓影⼦长度变化曲线拟合函数求参数阴影轨迹定位

⼀、问题重述

如何确定视频的拍摄地点和拍摄⽇期是视频数据分析的重要⽅⾯，太阳影⼦定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影⼦变化，确定视频拍摄的地点和⽇期的⼀种⽅法。1.建⽴影⼦长度变化的数学模型，分析影⼦长度关于各个参数的变化规律，并应⽤你们建⽴的模型画出2015年10⽉22⽇北京时间9:00-15:00之间天安门⼴场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3⽶⾼的直杆的太阳影⼦长度的变化曲线。2.根据某固定直杆在⽔平地⾯上的太阳影⼦顶点坐标数据，建⽴数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应⽤于附件1的影⼦顶点坐标数据，给出若⼲个可能的地点。3. 根据某固定直杆在⽔平地⾯上的太阳影⼦顶点坐标数据，建⽴数学模型确定直杆所处的地点和⽇期。将你们的模型分别应⽤于附件2和附件3的影⼦顶点坐标数据，给出若⼲个可能的地点与⽇期。4．附件4为⼀根直杆在太阳下的影⼦变化的视频，并且已通过某种⽅式估计出直杆的⾼度为2⽶。请建⽴确定视频拍摄地点的数学模型，并应⽤你们的模型给出若⼲个可能的拍摄地点。

如果拍摄⽇期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与⽇期？

⼆、问题分析

问题⼀要求的是直杆的太阳影⼦的长度变化曲线，即影⼦长度和时间的关系曲线。如果知道⽩天太阳在天空中位置的变化就可以确定直杆的影⼦的长度和位置变化。太阳的⽅位要⽤两个⾓度来确定，⼀个是太阳⾼度⾓，另⼀个是太阳⽅位⾓。对于固定的太阳⾼度⾓，太阳⽅位⾓的任何变化对影⼦长度都不会造成影响。故对于所产⽣影⼦的长度变化，其影响因素只有太阳⾼度⾓，对太阳⾼度⾓进⾏分析，建⽴太阳影⼦长度变化的曲线。[1]根据题⽬⼆的要求，要求的量为⼀个或多个经纬度坐标，⽽且题⽬中杆长的量是没有给出的，所以将杆长进⾏假设。在问题⼀的基础上，考虑太阳⽅位⾓的变化与时间的关系可以确定测试点的位置。

要实现通过阴影变化来进⾏阴影轨迹定位和确定⽇期，⾸先附件中的视频内容为⼀跟已知⾼度的直杆和它在阳光下所产⽣的阴影的，视频时长约40分钟，视频左上⾓给出了视频拍摄的相关信息。拍摄⽇期为7⽉13号，拍摄时间为8:54到9:34，共40分钟。题⽬给出信息只有直杆的实际长度为2⽶。视频中，拍摄相机的⽅位、拍摄的⾓度、杆的位置都是不可知的。视频中的影长发⽣了变化，但是其变化是摄像机拍摄到的变化，并不是影⼦的实际变化。所以该题⽬需要解决的有：

（1）将视频中拍摄到的影⼦轨迹转化为实际的影⼦轨迹[5]（2）测量得到的实际影⼦长度并得出影⼦长度变化和时间的⼀系列数据。

三、模型假设

（1）假设杆和地⾯是垂直的，延杆⽅向的延长线过地⼼。

（2）杆的长度不会发⽣变化。

（3）假设影⼦所在的⾯是和杆垂直的平⾯。

（4）假设地球是标准球体

（5）假设不考虑⼤⽓的折射，即太阳到地表某点的光线和太阳到地表某点的连线重合。（6）假设附件所给数据完全准确。

四.符号说明D当地的⽇期

T北京时间

h 太阳⾼度⾓

J 经度

W 纬度

H 杆长

l直杆影⼦长度

δ⾚纬

α太阳时⾓

LT 本地时间

N ⼀年中从⼀⽉⼀⽇开始记的天数

t?时差

A 太阳⽅位⾓

五.模型建⽴与求解

由于地球的⾃转和公转导致了太阳位置相对于地⾯静⽌物体的运动。这种变化是周期性和可以预测的。地球极轴和黄道天球极轴存在⼀个23°27′的夹⾓，引起了太阳⾚纬⾓在⼀年中的变化。我们以地球为质⼼分别建⽴地球坐标系天球坐标系，如图⼀所⽰。

图⼀5.1问题⼀模型建⽴与求解

5.1.1模型⼀

由于太阳⾼度⾓是指太阳光⾓度和地平⾯夹⾓（如图⼆所⽰），所以直杆与太阳⾼度⾓和影⼦长度的关系为：c o t h ?=H l （1）

太阳⾼度⾓

图⼆

结合太阳与地球的位置关系，太阳⾼度⾓可⽤（2）求得

αδδc o s c o s c o s s i n s i n s i n h W W += （2） 在（2）式中，δ为⾚纬，其意义是太阳在此⽇期太阳直射点的纬度值，173)]-[0.98563(N 0.39795cos sin =δ （3） 在（2）式中，α为太阳时⾓，太阳时⾓的计算公式为：

)12(15-=T α （4） 将上述（1）到（4）式联⽴即得到，影⼦长度变化的数学模型：

()[]

)12(15cos cos cos sin sin arcsin cot -+=T W W H l δδ （5）

（7）式即为直杆影⼦长度的变化函数。

将⽇期为2015年10⽉22⽇换算为天数，纬度为39.9度，经度为东经116.4度，杆的⾼度为3⽶，时间段为北京时间9:00-15:00.带⼊（5）式，则函数为： ()[])12(15cos )5.11cos(cos )5.11sin(sin arcsin cot 3---=T W W l （6）

利⽤matlab 作图求得变化曲线（如图三所⽰）：

图三

由图三分析可以得到，曲线是对称曲线，从9点到15点影⼦长度先减⼩后增⼤，到达北京时间12点时达到最⼩，最⼩的长度为3.7⽶，最长的长度为6.8⽶。

5.1.2模型⼆

考虑到该地的经度116.4和北京时间的经度120不同，故其存在⼀定的时差，把时差考虑进模型，对模型进⾏改进。LT 为当地的时间，其计算公式：

t +T =LT ? （7） 时差的计算公式（中国地区）： 15

120-=?J t （8） 将（7）和（8）重新替换到（5）式可得：

??--++=)1215120(15cos cos cos sin sin arcsin cot J T W W H l δδ （9）

带⼊数据可以得到影⼦长度函数为：()[]

)1224.0(15cos )5.11cos(cos )5.11sin(sin arcsin cot 3-+--=T W W l (10) ⽤MATLAB 作图得到变化曲线（如图四所⽰）：

图四

由图四分析可以得到，从9点到15点影⼦长度先减⼩后增⼤，最⼩的长度为3.7⽶，最长的长度为7.5⽶。其曲线略微发⽣偏移，不在对称。5.1.3模型三

通过利⽤太阳⾼度⾓和影长的关系，建⽴了影长和时间关系的模型。由于地点的不同后来⼜在此基础上进⾏了修正，考虑了不同地点的时间和北京时间存在时差，于是加⼊了时差的修正。得到（10）式的函数，从⽽确定了不同地点影长和时间关系的模型。 通过改进太阳位置的公式，对模型进⾏优化。对⾚纬的计算采⽤Bourges 算法，

ω

ωωωωωδ2cos 02.02cos 37.0cos 76.03sin 17.02sin 114.0sin 3.2337.0++--++=2

.365)1(20N N --=πω )]1969(25.0[)1969(24.08.780---+=y f y N

[]f 为取整函数

通过计算可得⾚纬值为-9.7813，将新的⾚纬值带⼊模型中，再次求解得到()[])1224.0(15cos )-9.78cos(cos )-9.78sin(sin arcsin cot 3-+=T W W l

通过MATLAB 作图得到图五：

图五

由图五分析可以得到，从9点到15点影⼦长度先减⼩后增⼤，最⼩的长度为3.5⽶，最长的长度为7.3⽶。其曲线略微发⽣偏移，不再对称。

通过查询该⽇期的正午太阳仰⾓为40.08度，其中模型三计算的太阳仰⾓为40.2度，⽽模型⼀和模型⼆计算的太阳仰⾓为38.2度，由此可知模型三更为接近真实的曲线。5.2问题⼆模型建⽴与求解5.2.1模型建⽴

在问题⼀的基础上考虑到附件数据中x和y的坐标系⽅向不定，所以⽆法确定其南北半球。故也可以⽤影⼦长度代表影⼦的参数。通过整理后的数据可以得到如下表格：北京时间影⼦长度北京时间影⼦长度14:42 1.149626 15:15 1.540232

14:45 1.182199 15:18 1.579853

14:48 1.215297 15:21 1.620145

14:51 1.249051 15:24 1.661271

14:54 1.283195 15:27 1.703291

14:57 1.317993 15:30 1.746206

15:00 1.353364 15:33 1.790051

15:03 1.389387 15:36 1.835014

15:06 1.426153 15:39 1.880875

15:09 1.4634 15:42 1.927918

15:12

1.501482

在问题⼀的基础上，根据题⽬附件中所给的条件利⽤Bourges 算法确定⾚纬δ的值。

ω

ωωωωωδ2cos 02.02cos 37.0cos 76.03sin 17.02sin 114.0sin 3.2337.0++--++=2

.365)1(20N N --=πω )]1969(25.0[)1969(24.08.780---+=y f y N

[][]W

W B B B A cos cosh /)sin sinh (sin 360,180arccos 360180,0arccos -=∈-?∈=δ.

??--++=)1215120(15cos cos cos sin sin arcsin cot J T W W H l δδ （11） （11）式中剩余的量为T J W H l ,,,,其中T 和l的数据上表已经给出，通过上表数据带⼊模型中可以确定J W H ,,的值，其中W,J 为表⽰地点的经纬度。5.2.2模型求解