高中数学例谈三角函数中的几种取舍问题专题辅导

浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中.面对三角函数内容的相关教学时.积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。

下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±.必可推出)2sin (cos sin ααα或.例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。

分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中.θθcos sin -已知.只要求出θθcos sin 即可.此题是典型的知sin θ-cos θ.求sin θcos θ的题型。

解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=-故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+=2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ.sin θcos θ的关系应用：由于tg θ+ctg θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ.θθcos sin ±.sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。

例2 若sin θ+cos θ=m 2.且tg θ+ctg θ=n.则m 2 n 的关系为（ ）。

高中数学三角函数解题技巧和思路的总结高中数学中，三角函数是一个重要的知识点。

掌握三角函数的解题技巧和思路，不仅可以帮助学生顺利完成学习任务，还可以帮助他们更好地理解数学知识，提高数学解题的能力。

下面就来总结一下高中数学中三角函数解题的技巧和思路。

一、基本概念的掌握在学习三角函数解题之前，首先要掌握基本的概念。

包括正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质，以及三角函数的周期性、奇偶性等基本特点。

只有掌握了这些基本概念，才能更好地理解和运用三角函数进行解题。

二、利用变换简化问题在解三角函数的题目时，有时候可以利用一些特定的变换来简化问题。

常见的变换包括令x=π-x、令x=π/2-y等等。

这样的变换可以将原问题转化为更简单的形式，有利于我们更好地解题。

三、观察周期性和对称性三角函数具有周期性和对称性，因此在解题时要善于观察这些特点。

对于周期函数，可以根据函数的周期性来简化问题，找到最小正周期内的解；对于奇偶函数，也可以根据对称性来简化问题，减少计算的复杂度。

四、利用三角函数的性质在解题过程中，要充分利用三角函数的性质。

比如利用正弦函数和余弦函数的和差化积公式，将复杂的三角函数问题化简为简单的形式；利用三倍角公式、半角公式等求解特殊角的数值；利用三角函数的导数和微分形式等等。

熟练掌握这些性质，可以帮助我们更好地解题。

五、构建方程求解在解三角函数的题目时，常常需要构建方程求解。

对于一些复杂的问题，可以通过构建方程的方法，将问题转化为代数方程，并利用代数方程的知识求解。

还可以利用三角函数的图像特点，通过图像直观地找到解。

六、多做练习、多思考在学习三角函数解题的过程中，多做练习是非常重要的。

只有通过大量的练习，才能更好地掌握解题的技巧和思路，熟练运用相关知识。

多思考也是解题的关键。

通过深入思考问题，分析问题的本质，可以更好地理解三角函数的知识，提高解题的能力。

在学习三角函数解题的过程中，要多和同学、老师进行交流，分享解题的方法和思路。

高中数学三角函数的应用举例与解析三角函数是高中数学中的重要内容，它在实际生活中有着广泛的应用。

在这篇文章中，我将通过一些具体的题目来说明三角函数的应用，并分析解题的方法和技巧，希望对高中生及其父母有所帮助。

一、角度的计算与应用题目一：一艘船从A点出发，以每小时30公里的速度向东航行，航行2小时后到达B点。

然后，船改变航向，以每小时40公里的速度向北航行，航行3小时后到达C点。

求船从A点到C点的直线距离。

解析：这个问题涉及到角度的计算和三角函数的应用。

首先，我们可以根据船的速度和时间计算出船从A点到B点的距离，由于船以每小时30公里的速度向东航行，航行2小时，所以A点到B点的距离为60公里（30公里/小时 × 2小时 = 60公里）。

接下来，我们需要计算船从B点到C点的距离。

由于船以每小时40公里的速度向北航行，航行3小时，所以B点到C点的距离为120公里（40公里/小时 × 3小时 = 120公里）。

最后，我们可以利用三角函数中的正弦函数来计算出船从A点到C点的直线距离。

设直线距离为x，船从A点到B点的距离为60公里，船从B点到C点的距离为120公里。

根据正弦函数的定义，我们可以得到以下等式：sin(90°) = 60/x，sin(90°) = 120/x。

由于sin(90°) = 1，所以60/x = 1，解得x = 60公里。

因此，船从A点到C点的直线距离为60公里。

二、三角函数的周期性题目二：一辆车以每小时60公里的速度匀速行驶，经过2小时后，车辆突然停下来。

问车辆在2小时内行驶的距离。

解析：这个问题涉及到三角函数的周期性。

由于车辆以每小时60公里的速度匀速行驶，经过2小时后停下来，所以车辆在2小时内行驶的距离为120公里（60公里/小时 × 2小时 = 120公里）。

三、三角函数的图像与性质题目三：已知函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]上的图像如下所示，请问在该区间内，函数f(x)的最大值和最小值分别是多少？解析：这个问题涉及到三角函数的图像与性质。

浅谈高中数学三角函数解题技巧高中数学中，三角函数是一个非常重要的知识点，也是学生比较容易出错的地方。

在解题时，我们需要掌握一些技巧，让自己更加熟练地应用三角函数。

下面，我将从以下几个方面来谈谈高中数学三角函数解题技巧。

一、三角函数基础公式的掌握三角函数的基础公式是我们使用三角函数解题的基础。

常见的基础公式包括：1、余角公式：sin(90° –θ) = cosθ , cos (90° –θ) = sinθ2、补角公式：sin(90 – A) = cosA, sin(180 – A) = sinA, sin(270 – A) = –cosA, sin(360 – A) = –sinA掌握好这些基础公式，就能够快速地转化三角函数式子，简化解题过程。

二、几何思维与三角函数的应用在解三角函数题时，我们需要注意几何意义，尤其是正弦、余弦、正切的含义。

对于正弦，我们可以理解为三角形的对边比斜边，也就是一个高的比率。

而余弦则是邻边比斜边，也就是斜边的投影比率，正切则是对边比邻边，也就是斜线上的比率。

对于不同题型，可以从几何角度出发，进行建模和转化，帮助我们更好地应用三角函数。

三、换元和化简的技巧三角函数的变化非常复杂，而且有些题目的数据十分巧妙，往往需要借助换元来解决。

在解题时，我们可以把一些比较复杂的函数替代成另一个函数，来简化答案。

此外，还可以利用三角函数的定义式、基本关系式，或者利用平方等恒等式进行化简。

这些技巧是我们日常解题必须掌握的。

四、解三角函数的基本步骤在解三角函数问题时，需要先进行观察、分类，找到可以用的条件和信息，然后根据题目的要求，选择适当的关系式和方法，进行计算和化简。

通常情况下，我们需要按照以下步骤进行：1、观察，寻找可能用到的三角函数关系式2、利用已知条件建立方程组3、求解方程组并化简结果4、检查结果是否符合题意要求五、练习题目的选择最后，为了掌握好三角函数的解题技巧，我们需要选择适当难度的练习题目进行训练，从而加深自己的理解和记忆。

高中数学三角函数解题实例及解题思路详解与举例分析和讲解三角函数是高中数学中一个重要的章节，也是学生们经常遇到的难点之一。

在解题过程中，掌握一些解题技巧和思路是非常重要的。

本文将通过具体的题目举例，详细解析三角函数解题的思路和方法，并给出一些解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握三角函数的应用。

一、正弦函数的解题实例1. 题目：已知一角的正弦值为0.6，求该角的余弦值。

解析：根据正弦函数的定义sinθ = 对边/斜边，已知sinθ = 0.6，我们可以设对边为3，斜边为5。

根据勾股定理，可以求得邻边为4。

然后，根据余弦函数的定义cosθ = 邻边/斜边，代入已知的值，得到cosθ = 4/5。

2. 题目：已知一角的正弦值为0.8，求该角的余切值。

解析：根据正弦函数的定义sinθ = 对边/斜边，已知sinθ = 0.8，我们可以设对边为8，斜边为10。

根据勾股定理，可以求得邻边为6。

然后，根据余切函数的定义tanθ = 对边/邻边，代入已知的值，得到tanθ = 8/6 = 4/3。

二、余弦函数的解题实例1. 题目：已知一角的余弦值为0.5，求该角的正弦值。

解析：根据余弦函数的定义cosθ = 邻边/斜边，已知cosθ = 0.5，我们可以设邻边为1，斜边为2。

根据勾股定理，可以求得对边为√3。

然后，根据正弦函数的定义sinθ = 对边/斜边，代入已知的值，得到sinθ = √3/2。

2. 题目：已知一角的余弦值为0.6，求该角的正切值。

解析：根据余弦函数的定义cosθ = 邻边/斜边，已知cosθ = 0.6，我们可以设邻边为6，斜边为10。

根据勾股定理，可以求得对边为8。

然后，根据正切函数的定义tanθ = 对边/邻边，代入已知的值，得到tanθ = 8/6 = 4/3。

三、正切函数的解题实例1. 题目：已知一角的正切值为1.5，求该角的余弦值。

解析：根据正切函数的定义tanθ = 对边/邻边，已知tanθ = 1.5，我们可以设对边为3，邻边为2。

三角函数问题分析及其复习策略三角函数是高中数学中的一个重要的概念，涵盖了正弦、余弦、正切等多种函数形式。

它们的性质和应用广泛，例如在几何图形的计算、物理问题的建模等领域中都有重要的作用。

下面分析三角函数问题的难点和复习策略。

一、三角函数问题的难点：1.概念理解：学生需要理解正弦、余弦、正切等函数的定义及其几何意义。

对于初学者来说，这些概念可能较为抽象，需要通过绘制三角形、解决相关几何问题等方式进行直观理解。

2.计算技巧：涉及到三角函数的计算和运用，需要熟练掌握相关公式和性质。

例如，正弦和余弦函数的周期性、三角函数的和差化简等。

3.题目应用：在解决实际问题时，需要将三角函数的知识应用于几何图形的计算、物理问题的建模等方面。

这需要学生具备将抽象概念转化为实际应用的能力。

二、三角函数问题的复习策略：1.重点概念的理解：对于初学者来说，重点在于理解正弦、余弦、正切等函数的定义和几何意义。

可以通过绘制三角形、观察函数图像等方式进行直观理解，帮助学生建立起相关概念的几何形象。

2.公式与性质的记忆：三角函数的计算和运用离不开相关公式和性质。

学生需要熟练掌握诸如和差公式、积化和差、三角函数的周期性等重要的公式和性质。

可以通过复习课本中的相关内容，或者编写总结性的笔记进行记忆与复习。

3.经典题目的解析：选取一些经典的三角函数题目进行解析复习。

例如，求解等腰三角形的高、正弦定理和余弦定理的应用等。

对于每道题目，可以从建立数学模型、运用相关公式、解算步骤等方面进行详细的说明和分析。

4.实际问题的解决：将三角函数的知识应用于实际问题的解决中。

可以选择一些与几何图形、物理问题相关的题目进行复习。

通过解决这些问题，可以帮助学生将抽象的数学知识应用到实际情境中，加深对三角函数概念和运用的理解。

5.做题技巧的掌握：对于三角函数题目的解答过程中，有一些常用的做题技巧可以帮助学生提高答题的准确性和效率。

例如，利用特殊角和特殊值进行计算、化简式子等。

如何在高考数学中用三角函数的多种角度来解决问题高考数学中，三角函数是一个重要的章节，它在解决数学问题中有着举足轻重的作用。

三角函数不仅可以用于解决直角三角形的问题，还可以用于解决各种不同的三角形问题。

在考场上，如果考生能够熟练地运用三角函数的多种角度来解题，将能事半功倍。

接下来，本文将从多个角度解析如何在高考数学中运用三角函数来解决问题。

一、利用三角函数的基本关系解题在数学中，三角函数之间有许多基本的关系，例如正弦函数与余弦函数、正切函数与余切函数之间的关系。

利用这些基本关系，可以简化问题，使其更易于解决。

例如，当已知一个直角三角形的正弦函数值时，我们可以通过正弦函数与余弦函数的关系来求出其余弦函数值，从而得到三角形的斜边长度。

同样的道理，当已知一个三角形的正切函数值时，我们可以通过正切函数与余切函数的关系来求出其余切函数值。

二、利用三角函数的图像解题三角函数的图像有着清晰的特征，根据图像可以判断函数的正负以及函数的最值。

这些信息对解题非常有用。

例如，当需要求解一个三角函数的最值时，可以通过观察其图像来解决。

对于正弦函数，其最值分别为正一和负一，在图像上对应着两个顶点。

因此，对于一个周期内的正弦函数，其最值可以通过观察顶点来判断；对于一般的三角函数，可以通过变形使其成为正弦函数、余弦函数或正切函数来得到其最值。

三、利用三角函数的性质解题三角函数有着许多独特的性质，例如周期性、奇偶性、单调性等，这些性质对于解题有着很大的帮助。

例如，当需要求解一个三角函数的零点时，可以根据其周期性来缩小求解范围；当需要求解一个三角函数的极值时，可以根据其单调性来判断极值的位置。

此外，奇偶性也是一个重要的性质，在通过性质来解题时，我们可以将函数进行化简，从而更容易得到问题的答案。

四、利用三角函数的三角恒等式解题三角函数有着许多重要的三角恒等式，这些恒等式在解题过程中经常发挥着重要的作用。

例如，三角函数与三角函数的和差公式、倍角公式、半角公式等。

高中数学三角函数七大热点题型应用及解题方法汇总，精辟，
可细学
在高考中，数学常见常考点的一些题型中，高中数学三角函数的考法非常普遍！而且通常会是中等题型，所以，如果需要学好高中数学，提高数学成绩，这三角函数的知识点就务必要好好学习，清晰的掌握好其中的公式原理！
三角函数最重要的学习就是学生一定要掌握，熟背好公式，及其原理，由易到难，并且要多多总结解题的思路和方法，对于难度比较大的题目，可以准备一个错题本，做一个总结，特别是历年的高考真题。

下面是我们高中数学80个热点难点大全中关于热点题型应用及解题方法汇总，这几种题型都是高中数学三角函数部分的知识点的考查题型，同学们一定要做一个重点把握哦。

其中包括的热点有：
专题21 三角函数值--角未知也要求、专题22 函数的一大要素的解析式的求解、专题23 三角函数公式的正用、逆用与变用，题24 三角函数的图像和性质的“磨合”、专题25 利用正（余）弦定理破解解三角形问题、专题26 三角形中的范围问题你处理好了吗、专题27 实际问题中的解三角形问题
下面以其中一个三角函数求值的几种题型应用为具体例子！。

高考数学中的三角函数问题攻略高考数学中三角函数的内容占据了相当大的比重，也是很多学生感到困惑的难点。

本文将介绍一些三角函数问题的攻略，希望对各位学生有所帮助。

一、记住正弦、余弦、正切的定义在学习三角函数时，首先要记住正弦、余弦和正切的定义。

正弦指的是一个角的对边与斜边的比值，用sin表示。

余弦指的是一个角的邻边与斜边的比值，用cos表示。

正切指的是一个角的对边与邻边的比值，用tan表示。

这些定义对后续的解题非常重要，因此需要在学习的过程中多加练习。

二、掌握三角函数的基本性质学习三角函数时，需要掌握它们的基本性质。

下面是一些需要掌握的性质：1.在一个周期内，三角函数的最大值是1，最小值是-1。

2.三角函数的定义域是所有实数，但部分定义域无意义。

比如正切函数在$\cos x=0$时无意义，因此需要注意定义域的限制。

3.三角函数有周期性，分别是$2\pi、\pi、\frac{\pi}{2}$。

因此，三角函数的周期问题很重要，学生在解题时需要根据周期性考虑。

三、运用反三角函数的知识反三角函数是三角函数的逆运算。

学生在应对三角函数题目时，需要熟练运用反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。

下面以反正弦函数为例进行讲解。

反正弦函数的定义域为[-1,1]，值域为$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$。

表示为$\arcsin x$。

如果一个角度的正弦值为x，则这个角度就是$\arcsin x$。

例如，$\sin(30°)=0.5$，则$\arcsin0.5=30°$。

在解题时需要注意判断每个反三角函数的定义域和值域。

四、综合运用三角函数中的各项知识在解题时，我们需要将三角函数的各项知识综合运用起来。

下面以求某角度的值为例进行讲解。

已知$\sin x=\frac{4}{5}$，需要求出x的值。

解题思路：首先，我们可以确定该角度对应于一个直角三角形。

正弦函数的定义是对边比斜边，因此可令对边为4，斜边为5，得到直角三角形。

角的取舍从哪里“舍”求角是三角函数中的一个重要问题，其步骤常常先求出这个角的某一个三角函数值，然后所给的范围内不能唯一确定这个角，而答案是唯一的，这时就需要对角进行取舍．对于多解如何舍，从哪里“舍”，同学们往往无所适从，下面加以探讨．一、从条件中缩小角的范围例1 若α、β都是锐角，且tan α＝17，tan β＝13，求α＋2β的值． 分析：条件是给出角α、β的正切值，可用两角和与倍角的正切公式，即先求出tan(α＋2β)的值，再定角．错解：由tan2β＝22tan 341tan ββ=-，则 tan(α＋2β)＝tan tan 211tan tan 2αβαβ+=-． 由α、β都是锐角，则0＜α＋2β＜32π． 故α＋2β＝4π或54π． 剖析：以上结果显然错误，α、β都是唯一确定的锐角，故不可能有两种结果．关键是对角α＋2β的范围判断不够精确，应充分挖掘条件中角的范围．正解：由tan2β＝22tan 341tan ββ=-，则tan(α＋2β)＝tan tan 211tan tan 2αβαβ+=-． 由α是锐角且tan α＝17＜1＝tan 4π，故有0＜α＜4π，同理0＜β＜4π． 则有0＜α＋2β＜34π．故α＋2β＝4π． 二、从过程中缩小角的范围例2 已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α、β∈(0，π)．求2α－β的值． 错解：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan()tan 11tan()tan 3αββαββ-+=--， 则tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan tan()1tan tan()ααβααβ+---＝1．而α、β∈(0，π)，则2α－β∈(－π，2π)，故满足条件的角有三个，即2α－β＝－34π或4π或54π． 剖析：从解题的过程中，知tan α＝13，知α是唯一的，且β也是唯一确定的．故答案不可能为三个值．关键是对角2α－β的范围判断不够精确，应充分挖掘解题过程中角α的范围．正解：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan()tan 11tan()tan 3αββαββ-+=--， 则tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝1．而α、β∈(0，π)，且tan β＝－17，知2π＜β＜π．又tan α＝13，知0＜α＜6π．因此－π＜2α－β＜－3π． 则 2α－β＝－34π． 三、利用单调性进行取舍例3 设α、β、γ都是锐角，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求α－β．错解：由条件，可得sin sin sin cos cos cos αβγαβγ-=-⎧⎨-=⎩①②， 由①2＋②2，得2－2cos(α－β)＝1，即cos(α－β)＝12． 由α、β都是锐角，则－2π＜α－β＜2π，故符合条件有两个角，即α－β＝3π或－3π． 剖析：由于α、β都是唯一的锐角，故答案是唯一．本题关键是从结构式①中观察，知sin α－sin β＜0，由单调性知α＜β，而只有一组解．正解：由条件，可得sin sin sin cos cos cos αβγαβγ-=-⎧⎨-=⎩①②， 由①2＋②2，得2－2cos(α－β)＝1，即cos(α－β)＝12．而由结构式①，知sin α－sin β＝－sin γ＜0，即sin α＜sin β，由y ＝sin x 在(0，2π)是增函数，有α－β＜0．从而α－β＝－3π． 四、选择恰当的三角函数避免增解例4 已知α、β都是锐角，且sin αsin βα＋β的值．错解：由α、β都是锐角及sin αsin βcos α，cos β．因此sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝2． 又由α、β都是锐角，有0＜α＋β＜π，则符合题意有两个角，即α＋β＝4π或34π． 剖析：由于α、β都是唯一的锐角，故答案不可能有两种情况，本题可再次对条件的挖掘，而缩小范围．其实可选择余弦函数，在(0，π)内是单调函数，故有唯一对应的值．而正弦函数在(0，π)不是单调函数．正解：由α、β都是锐角及sin α＝5，sin β＝10，则有cos α＝5，cos β＝10．因此cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝2． 又0＜α＋β＜π，则α＋β＝4π．。

高中数学三角函数应用解题技巧在高中数学中，三角函数是一个非常重要的知识点。

它不仅在几何学中有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域中起着重要的作用。

因此，掌握三角函数的应用解题技巧对于高中学生来说是至关重要的。

一、三角函数的基本概念在开始讲解解题技巧之前，我们首先需要了解三角函数的基本概念。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示一个角的正弦值、余弦值和正切值。

在解题过程中，我们经常需要利用这些函数来求解角度、长度等问题。

例如，考虑以下问题：已知一个直角三角形的斜边长为10，其中一个锐角的正弦值为0.6，求该锐角的度数。

我们可以利用正弦函数的性质来解决这个问题。

根据正弦函数的定义，正弦值等于对边与斜边的比值。

设该锐角为θ，则sinθ=0.6。

由此可得，对边长为0.6×10=6。

由于这是一个直角三角形，我们可以利用反正弦函数来求解θ的度数。

通过计算，我们可以得到θ≈36.87°。

因此，该锐角的度数约为36.87°。

通过这个例子，我们可以看出，掌握三角函数的基本概念是解决三角函数应用题的关键。

二、角度的换算在解决三角函数应用题时，我们经常需要进行角度的换算。

因为在不同的问题中，角度的单位可能是度、弧度或者百分度。

因此，我们需要掌握这些单位之间的换算关系。

例如，考虑以下问题：已知一个角的弧度为π/4，求该角的度数。

我们可以利用弧度和度之间的换算关系来解决这个问题。

由于π的近似值为3.14，所以π/4≈3.14/4=0.7857。

将0.7857乘以180°/π，我们可以得到该角的度数为45°。

因此，该角的度数为45°。

通过这个例子，我们可以看出，在解决三角函数应用题时，角度的换算是一个非常重要的环节。

三、三角函数的性质和公式在解决三角函数应用题时，我们还需要掌握三角函数的性质和公式。

这些性质和公式可以帮助我们简化计算过程，提高解题效率。

第12讲 三角函数一、方法技巧1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。

asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。

2.证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

四、例题分析例1．已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

４９　()*+,-./01234江苏省南京市六合区程桥高级中学　李春兰 同学们，三角函数的考题你们熟悉吗？
那你们有没有发现：对于三角函数的考查主
要是以公式的灵活运用为主呢？所以你们
在解题过程中稍不注意就会出错，增解、漏
解现象最为多见．那怎么解决呢？二、轴线角考虑不到位
所谓的轴线角是指角的终边落在了坐
标轴上的角，这些角的三角函数值要么不存
在，要么是特殊值，同学们在解题时一定要注意考虑这类角是否满足题意．例２　已知ｓｉｎα＝２ｓｉｎβ，ｔａｎα＝３ｔａｎβ，求ｃｏｓα的值．●错●解　因为ｃｏｓα＝ｓｉｎαｔａｎα＝２ｓｉｎβ３ｔａｎβ＝２３ｃｏｓβ，所以ｃｏｓβ＝３２ｃｏｓα．又因为ｓｉｎβ＝１２ｓｉｎα，所以１２ｓｉｎα（）２＋３２ｃｏｓα（）２＝１，所以ｃｏｓα＝±槡６４．●评●析　上题错误之处在没有考虑到ｔ
ａｎα＝０，ｔａｎβ＝０这一情况，而从题目条件看，这一情况是满足题意的，所以上题要分两种情况来解，从而得到结果为ｃｏｓα＝±槡６
４或ｃｏｓα＝±１．
五、解方程过程中漏解
同学们在解方程时，无论如何变形一定要注意方程的等价性．加入三角函数的方程一定要考虑三角函数本身的性质．
例５　在△犃犅犆中，已知犪－犫＝犮ｃｏｓ犅－犮ｃｏｓ犃，则△犃犅犆的形状为 ．●错●解　由正弦定理及ｓｉｎ犃＝ｓｉｎ（犅＋犆），ｓｉｎ犅＝ｓｉｎ（犃＋犆）得ｓｉｎ犅ｃｏｓ犆＝ｓｉｎ犃ｃｏｓ犆，所以ｓｉｎ犅＝ｓｉｎ犃，所以犃＝犅，所以△犃犅犆为等腰三角形．
●评●析　在方程两边同时消去一个量的时候要保证这个量不为零，但题目中没有条件能说明ｃｏｓ犆≠０，所以当ｃｏｓ犆＝０时，△犃犅犆为直角三角形．所以正确答案是等腰或直角三角形．。

三角问题的题型与方法一、.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

即倍角公式降次与半角公式升次。

（4）化弦（切）法。

将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

（5）引入辅助角。

asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。

（6）万能代换法。

巧用万能公式可将三角函数化成tan2θ的有理式。

2.证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

二、注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：1．三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值．2．三角变换的一般思维与常用方法．注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如ααββαββαα22122)()(⨯=⨯=+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系． 注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等． 熟悉常数“1”的各种三角代换：6sin24tan0cos 2sinsec cos tan sec cos sin 12222πππααβαβα====⋅=-=+=等．注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为2tan θ的代数式，把三角式转化为代数式．但往往代数运算比较繁．熟悉公式的各种变形及公式的X 围，如sin α = tan α· cos α，2cos 2cos 12αα=+，2tan sin cos 1ααα=-等．利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，如2sin2cos 12αα=-，22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ααα，22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ααα等．从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化．3．几个重要的三角变换：sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式；1±sin α 可化为⎪⎭⎫⎝⎛-±απ2cos 1，再用升次公式；()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中 ab=ϕtan ）这一公式应用广泛，熟练掌握．4. 单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x 、y = cos x 、y = tan x 、y =cot x 的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题．5. 三角函数的图象的掌握体现在：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图．6.三角函数的奇偶性“函数y = sin(x ＋φ) （φ∈R ）不可能是偶函数”．是否正确．分析：当2πϕ=时，x x y cos 2sin =⎪⎭⎫⎝⎛+=π，这个函数显然是偶函数．因此，这个判断是错误的．我们容易得到如下结论：① 函数y = sin(x ＋φ)是奇函数πϕk =⇔()Z ∈k ．② 函数y = sin(x ＋φ)是偶函数()Z ∈+=⇔k k 2ππϕ．③ 函数y =cos (x ＋φ)是奇函数()Z ∈+=⇔k k 2ππϕ． ④函数y = cos(x ＋φ)是偶函数()Z ∈=⇔k k πϕ．7.三角函数的单调性“正切函数f (x )= tan x ，2ππ+≠k x ()Z ∈k 是定义域上的增函数”，是否正确．分析：我们按照函数单调性的定义来检验一下：任取⎪⎭⎫ ⎝⎛∈201π，x ，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ，22x ，显然x 1＜x 2，但f (x 1)＞0＞f (x 2 )，与增函数的定义相违背，因此这种说法是不正确的．观察图象可知：在每一个区间⎪⎭⎫⎝⎛+-22ππππk k ，()Z ∈k 上，f (x ) = tan x 都是增函数，但不能说f (x ) = tan x 在其定义域上是增函数． 练习：1．已知x ∈(2π-,0),cosx=54,则tan2x = ------------------------------( ) A. 247 B. 247- C. 724 D.724-2．在∆ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tan CA C A ⋅++的值.3．已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=（1） 求f(x)的最小正周期;（2） 若x ∈[0,2π],求f(x)的最大值，最小值. 4、在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值X 围为-----------------（ ）（A ）)45,()2,4(ππππ⋃（B ）),4(ππ（C ）)45,4(ππ（D ）)23,45(),4(ππππ⋃ 5、函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是----------------------（ ）6、已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时，)(x f 的图象如图所示，那么不等式0cos )(<x x f 的解集是---------------------------------------------------（ ）(A) )3,2()1,0()2,3(ππ⋃⋃--(B) )3,2()1,0()1,2(ππ⋃⋃--(C) )3,1()1,0()1,3(⋃⋃--(D) )3,1()1,0(2,3(⋃⋃--π7、已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是（ ）A.若α、β是第一象限角，则cos α>cos βB.若α、β是第二象限，则tan α>tan βC.若α、β是第三象限角，则cos α>cos βD.若α、β是第四象限角，则tan α>tan β 8、下列命题中正确的是（ ）A.y=tanx 是增函数B.y=sinx 在第一象限是增函数C.y=2π－arccosx 是奇函数 D.y=sinx 的反函数是y=arcsinx 9、函数y=sin(2x+3π)的图象是由函数y=sin2x 的图像（ ）A.向左平移3π单位B.向右平移6π单位C.向左平移65π单位D.向右平移65π单位10、要得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42cos 3πx y 的图象，可以将函数y = 3 sin2 x 的图象( ) A.沿x 轴向左平移8π单位 B.沿x 轴向右平移8π单位 C.沿x 轴向左平移4π单位 D.沿x 轴向右平移4π单位11、图04是函数y =2sin (ωx ＋φ)（02><ωπϕ，）的图象．则ω、φ的值是（ ） A ．1110=ω，6πϕ= B ．1110=ω，6πϕ-= C ．2=ω，6πϕ=D ．2=ω，6πϕ-=12、△ABC 中，若∠A ，∠B ，∠C 顺序成等差数列，则cos 2A+cos 2C 的取值X 围是______．13、51cos sin =+x x ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈236ππ，x ，求tan x 的值．14、（1）已知sin(4π+α)·sin(4π－α)=61,α∈(2π,π)，求sin4α；（2）已知 cos(x+4π)=53,45π<x<47π，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值。

三角函数中求取值范围专题一、三角形中取值范围1、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知错误!未找到引用源。

.(1)求角B 的大小；(2)若a c 1+=，求b 的取值范围.2、ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+.（1）求B ；（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值。

3、设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围．4、在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，且AA C A ac c a b cos sin )cos(222+=-- （1）求角A ；（2）若2=a ，求bc 的取值范围．5、在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且a 2=b 2+c 2ab. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）设a=错误!未找到引用源。

,S 为△ABC 的面积,求S+3cosBcosC 的最大值,并指出此时B 的值.6、在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．7、设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a B b A c -=． （Ⅰ）求BA tan tan 的值； （Ⅱ）求tan()AB -的最大值．8、已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，． （1）若5c =，求sin A ∠的值；（2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围．二、三角函数性质取值范围1、函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是2、已知函数f(x)=24⎛⎫+ ⎪⎝⎭x π+6sinxcosx-2cos 2x+1,x ∈R. (1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间错误!未找到引用源。

高中数学三角函数解题技巧和公式(已整理)关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。

下面尝试进行探讨一下：一、关于sin cos 与sin cos (或sin2 )的关系的推广应用：1、由于(sin cos )2 sin2 cos2 2sin cos 1 2sin cos 故知道(sin cos )，必可推出sin cos (或sin2 )，例如：例1 已知sin cos ,求sin3 cos3 。

3分析：由于sin3 cos3 (sin cos )(sin2 sin cos cos2 )(sin cos )[(sin cos )2 3sin cos ]其中，sin cos 已知，只要求出sin cos 即可，此题是典型的知sin -cos ，求sin cos 的题型。

解：∵(sin cos )2 1 2sin cos故：1 2sin cos (3211) sin cos 333sin3 cos3 (sin cos )[(sin cos )2 3sin cos ] 3114)2 3 ] 3 333339例2 若sin +cos =m2，且tg +ctg =n，则m2 n的关系为（）。

A．m2=n B．m2=222 1 C．m2 D．n 2 nnm分析：观察sin +cos 与sin cos 的关系：(sin cos )2 1m2 1 sin cos = 22而：tg ctg 1 n sin cosm2 112 m2 1，选B。

故：2nn例3 已知：tg +ctg =4，则sin2 的值为（）。