一元二次不等式与基本不等式常见题型及讲解

一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

基本不等式常见题型（解析版）题型一：由基本不等式比较大小1．（多选）若10a b -<<<，则（ ） A ．222a b ab +> B ．11a b< C．a b +>D ．11a b a b+>+2．（多选）设0a >，0b >，则下列不等式中成立．．的是（ ） A ．()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．3322a b ab +≥C ．22222a b a b ++≥+ D3．（多选）已知实数0a >，0b >，1a b +=．则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b +≥ BC ．112216a b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．222a b a b b a +≤++题型二：有基本不等式证明不等式1．（多选）以下结论正确的是（ ）A ．函数1y x x =+的最小值是2； B ．若,R a b ∈且0ab >，则2b a a b+≥； C ．y =2； D ．函数12(0)y x x x =++<的最大值为0．2．已知a ，b ，c 均为正实数.(1)求证：a b c ++≥若1a b +=，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.1．当0x >时，234xx +的最大值为 __．2．实数,a b 满足2221a b +=，则ab 的最大值为___________.3．（1）已知1x >，求1411x x ++-的最小值；（2）已知01x <<，求()43x x -的最大值．1．已知,a b 为正实数且2a b +=，则2b a b +的最小值为（ ）A ．32B 1C ．52D ．32．已知m ，R n ∈，且12nm +=，则93m n +的最小值为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．93．已知42244924x x y y ++=，则2253x y +的最小值是（ ）A ．2B ．127 C ．52D ．41．当0x >时，函数231x x y x++=+的最小值为（ ）A ．B ．1C ．1D ．42．已知a b >，且8ab =，则222a b a b+--的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．14D ．163．函数25(2)x x y x +-=> 的最小值为______．1．若实数,x y 满足：,0,310x y xy x y >---=，则xy 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4故xy 的最小值为1，故选：A.2．已知0x >，0y >，且44x y += ． (1)求xy 的最大值；(2)求12x y+的最小值．1．已知0,0a b >>，若不等式313m a b a b +≥+恒成立，则m 的最大值为________．2．若“()0,x ∀∈+∞，不等式1a x <+恒成立”为真命题，则实数a 的取值范围是______．1．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A ．大于10gB ．小于10gC ．等于10gD ．以上都有可能【详解】由于天平两边臂不相等，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >），第一次称出的黄金2．某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体1111D C B A ，该项目由矩形核心喷泉区ABCD （阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD 的面积为10002m ，绿化带的宽分别为2m 和5m （如图所示）．当整个项目1111D C B A 占地面积最小时，核心喷泉区的边BC 的长度为（ ）A ．20mB ．50mC ．1010D ．100m【详解】设m BC x =，则1000m CD x=， 所以()111110001000010000104104041040241440A B C D S x x x x x x ⎛⎫=++=++≥+⋅=⎪⎝⎭矩形， 当且仅当100004x x=，即50x =时，等号成立， 所以当BC 的长度为50m 时，整个项目1111D C B A 占地面积最小．故选：B ．。

高一基本不等式题型及解题方法基本不等式是高中数学中的重要概念，它在数学运算中有着重要的作用。

掌握基本不等式的题型及解题方法对于高一学生来说至关重要。

在本文中，我们将对高一基本不等式的常见题型和解题方法进行详细的介绍。

1.绝对值不等式绝对值不等式是基本不等式中的重要内容之一。

它常常以形如|ax + b| < c或者|ax + b| > c的形式出现。

解决绝对值不等式的关键在于将其转化为两个普通的不等式，然后求解。

以下是解决绝对值不等式的基本步骤：例题：求不等式|3x - 2| < 7的解集。

解：首先，我们将不等式转化为两个普通的不等式：1）当3x - 2 > 0时，|3x - 2| = 3x - 2，此时不等式转化为3x - 2 < 7。

2）当3x - 2 < 0时，|3x - 2| = -(3x - 2)，此时不等式转化为-(3x - 2) < 7。

接下来，我们分别求解这两个普通的不等式：1）当3x - 2 > 0时，可得3x - 2 < 7，解得x < 3。

2）当3x - 2 < 0时，可得-(3x - 2) < 7，解得x > -1。

因此，原不等式的解集为-1 < x < 3。

2.复合不等式复合不等式是由两个或多个不等式组成的不等式。

解决复合不等式的关键在于找到其交集或并集，然后求解。

以下是解决复合不等式的基本步骤：例题：求解不等式系统{x + 2 > 0, 3x - 4 < 5}的解集。

解：首先，我们分别求解这两个不等式：1）x + 2 > 0，解得x > -2。

2）3x - 4 < 5，解得x < 3。

然后，我们找出这两个不等式的交集，即-2 < x < 3。

因此，不等式系统{x + 2 > 0, 3x - 4 < 5}的解集为-2 < x < 3。

一元二次不等式题型及解题方法一元二次不等式是数学中常见的题型之一，涉及到一元二次函数的不等式关系。

解决一元二次不等式需要掌握一些基本的解题方法。

首先，我们来了解一些常见的一元二次不等式类型：1. 一元二次不等式的基本形式是 ax^2 + bx + c > 0（或 < 0），其中 a、b、c 是实数且 a ≠ 0。

这种类型的不等式可以化简为一个二次函数的图像在 x 轴上的开口方向。

2. 一元二次不等式的形式可能会有一些变化，例如 ax^2 + bx + c ≥0（或≤ 0），或者以绝对值的形式出现。

这些变化不影响我们解决问题的思路，只需要根据具体的情况进行适当的分析和转化。

接下来，我们讨论一些解题方法：1. 图像法：对于一元二次不等式，我们可以通过绘制二次函数的图像来直观地看出解的范围。

根据开口方向和图像与 x 轴的关系，我们可以很容易地确定不等式的解集。

2. 代入法：当我们遇到一元二次不等式时，有时可以将其转化为一个方程来求解。

我们可以通过解方程得到函数的根，并根据根的位置和开口方向来确定不等式的解集。

3. 判别式法：对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0（或 < 0），我们可以通过判别式 b^2 - 4ac 的正负性来判断解的情况。

当判别式大于零时，不等式有两个实数解；当判别式等于零时，不等式有一个实数解；当判别式小于零时，不等式没有实数解。

4. 化简法：有时候，我们可以通过对不等式进行化简来求解。

例如，将不等式的两边同时乘以一个正数或除以一个负数，可以改变不等式的符号，从而得到一个更简单的不等式。

除了上述方法，还可以使用数轴法、区间判断法等方法来解决一元二次不等式。

不同的问题可能需要结合多种方法进行综合分析和求解。

总之，解决一元二次不等式需要熟练掌握相关的解题方法，并能够根据具体情况进行灵活运用。

通过不断的练习和积累，我们可以更加熟练地解决各种类型的一元二次不等式问题。

基本不等式题型20种不等式是数学中重要的概念，它描述了数之间的大小关系。

在解决实际问题和推导数学推论中，不等式起着非常重要的作用。

本文将介绍20种常见的基本不等式题型。

一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式类型。

例如：解不等式3x+4>10。

解：首先将不等式转化为等式：3x+4=10；然后解方程：3x=6；得到解：x=2。

二、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次函数的不等式形式。

例如：解不等式x^2-5x+6>0。

解：首先求出一元二次函数的根：(x-2)(x-3)>0；然后画出函数的图像或根据韦达定理判断函数的正负；得到解：x<2或x>3。

三、绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。

例如：解不等式|2x-3|≥5。

解：将含有绝对值的不等式拆分为两个不等式：2x-3≥5或2x-3≤-5；然后求解这两个不等式得到：x≥4或x≤-1。

四、分式不等式分式不等式是含有分式的不等式。

例如：解不等式(3x-2)/(2x+1)≤1。

解：首先将不等式化简：3x-2≤2x+1；然后解方程：x≤3。

五、根式不等式根式不等式是含有根式的不等式。

例如：解不等式√(x-4)≥2。

解：将不等式平方得：x-4≥4；然后解方程：x≥8。

六、乘法不等式乘法不等式是含有乘法的不等式。

例如：解不等式2x(x-1)≤0。

解：将不等式化简：2x(x-1)≤0；然后求解这个不等式得到：0≤x≤1。

七、除法不等式除法不等式是含有除法的不等式。

例如：解不等式(3x+6)/(x+2)≤4。

解：首先将不等式转化为等式：(3x+6)/(x+2)=4；然后解方程：x=-5；由于分母不能为0，所以解为x<-2或x>-5。

八、加法不等式加法不等式是含有加法的不等式。

例如：解不等式x+2>5。

解：将不等式化简：x>3。

九、减法不等式减法不等式是含有减法的不等式。

例如：解不等式2x-5≥1。

基本不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点 （1）基本不等式.（2）利用基本不等式求最值.（3）基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式. 二、本节题型（1）利用基本不等式求最值. （2）利用基本不等式证明不等式. （3）基本不等式的实际应用. （4）与基本不等式有关的恒成立问题. 三、知识点讲解知识点 基本不等式（均值不等式） 一般地,∈∀b a ,R ,有22b a +≥ab 2.当且仅当b a =时,等号成立.特别地,当0,0>>b a 时,分别用b a ,代替上式中的b a ,,可得2ba +≥ab . 当且仅当b a =时,等号成立. 通常称不等式2b a +≥ab 为基本不等式（也叫均值不等式）,其中2ba +叫做正数b a ,的算术平均数,ab 叫做正数b a ,的几何平均数.基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.注意 重要不等式22b a +≥ab 2与基本不等式2ba +≥ab 成立的条件是不一样的.前者b a ,为任意实数,后者b a ,只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是b a =.基本不等式的变形（1）b a +≥ab 2,ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a .其中∈b a ,R +,当且仅当b a =时,等号成立.（2）当0>a 时,a a 1+≥2,当且仅当a a 1=,即1=a 时,等号成立; 当0<a 时,aa 1+≤2-,当且仅当1-=a 时,等号成立.实际上,当0<a 时,()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+a a a a 11. ∵()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a a 1≥2,∴()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--a a 1≤2-,即a a 1+≤2-.当且仅当a a 1-=-,即1-=a （0<a ）时,等号成立. （3）当b a ,同号时,b a a b +≥2,当且仅当b a =时,等号成立;当b a ,异号时,baa b +≤2-,当且仅当b a -=时,等号成立.（4）不等式链: ba 112+≤ab ≤2ba +≤222b a +（0,0>>b a ,当且仅当b a =时,等号成立.）其中,ba 112+,ab ,2b a +,222b a +分别叫做正数b a ,的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数. 知识点 利用基本不等式求最值设0,0>>y x ,则有（1）若S y x =+（和为定值）,则当y x =时,积xy 取得最大值42S ;（∵∈∀y x , R +,有xy ≤22Sy x =+,∴xy ≤42S .） 和定积最大.（2）若P xy =（积为定值）,则当y x =时,和y x +取得最小值P 2. （∵∈∀y x , R +,有y x +≥xy 2,∴y x +≥P 2.）积定和最小.说明 上述结论可简记为: 和定积最大,积定和最小.即两个正数的和为定值时,可求出其积的最大值;两个正数的积为定值时,可求出其和的最小值.利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件,即:一正、二定、三相等. 一正: 各项都必须为正数;二定: 和或积为定值.当和为定值时,积有最大值,当积为定值时,和有最小值; 三相等: 等号能取到,即取得最值的条件能满足.（1）对于函数()x x x f 4+=,当0>x 时,xx 4+≥44242==⋅x x ,即()x f ≥4,当x x 4=,即2=x 时,等号成立;当0<x 时,()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+x x x x 44≤4-,()x f ≤4-,当2-=x 时,等号成立.由此可见,对于函数()xx x f 4+=,0>x 和0<x 的最值情况是不一样的. （2）当230<<x 时,求()x x 23-的最大值时,x 23-与x 的和不是定值,无法利用基本不等式求最值,此时可对原式进行等价变形,变形为()()x x x x 2232123⋅-=-,即可求出其最大值.∵()()x x x x 2232123⋅-=-≤89232122232122=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯x x∴()x x 23-的最大值为89,当且仅当x x 223=-,即43=x 时,取得最大值.（3）求21222+++x x 的最小值时,虽然22+x 与212+x 都是正数,且乘积为定值1,但是当=+22x 212+x 时,有122=+x ,显然是不成立的,所以此时不能用基本不等式求其最小值.知识点 基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式一般地,∈∀c b a ,,R +,有3cb a ++≥3abc . 当且仅当c b a ==时,等号成立.上面的不等式表明:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.设0,0,0>>>z y x ,则有（1）若M xyz =,则当z y x ==时,和z y x ++取得最小值为33M ;（2）若N z y x =++,则当z y x ==时,积xyz 取得最大值273N .关于三个正数的不等式链若c b a ,,均为正数,则有cb a 1113++≤3abc ≤3c b a ++≤3222c b a ++.当且仅当c b a ==时,等号成立.n 个正数的基本不等式对于n 个正数n a a a a ,,,,321 ,则有na a a a n++++ 321≥n n a a a a 321.当且仅当n a a a a ==== 321时,等号成立.上面的不等式表明: 对于n 个正数（n ≥2）的算术平均数不小于它们的几何平均数.四、例题讲解例1. 若0,0>>b a ,证明: ba 112+≤ab ≤2b a +≤222b a +.分析: 本题即要求证明两个正数的不等式链. 证明: ∵0,0>>b a∴()ab b a b a 22-+=-≥0∴b a +≥ab 2 ∴ab ≤2ba +（当且仅当b a =时,等号成立） ∴211b a +≥abab b a 1111==⋅∴ba 112+≤ab （当且仅当b a =时,等号成立）.∵22b a +≥ab 2∴2222b a b a +++≥ab 222b a ++ ∴()222b a +≥()2b a +∴()2224⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a b a ≤()2422222b a b a +=+,即22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤222b a +. ∴根据正数可开方性得:22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤222b a +. ∴2ba +≤222b a +（当且仅当b a =时,等号成立）.综上所述,ba 112+≤ab ≤2ba +≤222b a +.例2. 函数xx y 41+-=（0>x ）的最小值为_________,此时=x _________. 解: ∵0>x∴1441-+=+-=xx x x y ≥3142142=-=-⋅x x ,即y ≥3.当且仅当xx 4=,即2=x 时,取等号. ∴当2=x 时,函数x x y 41+-=（0>x ）取得最小值3.例3. 已知3>a ,求34-+a a 的最小值.分析: 当利用基本不等式求最值时,若两项的乘积为定值（常数）,可求出两项和的最小值.当然,某些式子需要进行适当的变形,但要注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等.解: ∵3>a ,∴03>-a .∴334334+-+-=-+a a a a ≥()733432=+-⋅-a a ,当且仅当343-=-a a ,即5=a 时,等号成立. ∴34-+a a 的最小值为7. 例4. 已知1>x ,且1=-y x ,则yx 1+的最小值是_________. 解: ∵1=-y x ,∴1+=y x .∵1>x ,∴01>+y ,∴0>y . ∴11111++=++=+y y y y y x ≥3112=+⋅yy . 当且仅当yy 1=,即1=y 时,等号成立. ∴yx 1+的最小值是3. 另解: ∵1=-y x ,∴1-=x y .∵1>x ,∴01>-=x y ∴1111111+-+-=-+=+x x x x y x ≥()311112=+-⋅-x x . 当且仅当111-=-x x ,即2=x 时,等号成立. ∴yx 1+的最小值是3. 例5. 已知0,0>>y x ,且12=+y x ,求yx 11+的最小值. 解: ∵12=+y x ,0,0>>y x∴y x x y y y x x y x y x ++=+++=+232211≥223223+=⋅+yx x y . 当且仅当yxx y =2,且12=+y x ,即221,12-=-=y x 时,等号成立.∴yx11+的最小值为223+.点评 本题若由()y x y x y x 21111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+≥2422112=⋅⋅xy yx ,得y x 11+的最小值为24,则结论是错误的,错因是连续使用基本不等式时,忽视了等号成立的条件一致性.所以有下面的警示.易错警示 连续两次（多次）使用基本不等式时,应注意保证等号成立的条件是否相同. 例6. 已知0,0>>y x ,且191=+yx ,求y x +的最小值. 解: ∵0,0>>y x ,191=+yx ∴()x y y x x y y x y x y x y x ++=+++=⎪⎭⎫⎝⎛++=+91099191≥169210=⋅+x y y x . 当且仅当x y y x =9,且191=+yx ,即12,4==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为16.另解（消元法）: ∵191=+yx ,∴9-=y yx∵0,0>>y x ,∴09>-y y,∴9>y . ∴999919999+-+-+=+-+-=+-=+y y y y y y y y y x 99910-+-+=y y ≥()16999210=-⋅-+y y . 当且仅当999-=-y y ,且9-=y y x ,即12,4==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为16.例7. 若正数y x ,满足xy y x 53=+,则y x 43+的最小值是 【 】（A ）524 （B ）528 （C ）5 （D ）6解: ∵xy y x 53=+,∴15351=+xy . ∵y x ,均为正数∴()x y y x x y y x x y y x y x 5125351351254595353514343++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+ ≥5562513512532513=⨯+=⋅+x y y x . 当且仅当x y y x 51253=,且xy y x 53=+,即21,1==y x 时,等号成立. ∴y x 43+的最小值是5. ∴选择答案【 C 】.例8.（1）已知45>x ,求代数式54124-+-x x 的最小值; （2）已知45<x ,求代数式54124-+-x x 的最大值.分析: 本题考查利用基本不等式求代数式的最值.注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等.解:（1）∵45>x ,∴054>-x . ∴35415454124+-+-=-+-x x x x ≥()53541542=+-⋅-x x . 当且仅当54154-=-x x ,即23=x 时,等号成立. ∴代数式54124-+-x x 的最小值为5;（2）∵45<x ,∴054<-x .∴34514535415454124+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+-+-=-+-x x x x x x ≤()1323451452=+-=+-⋅--xx 当且仅当x x 45145-=-,即1=x 时,等号成立,54124-+-x x 取得最大值1.例9. 已知实数0,0>>b a ,且11111=+++b a ,则b a 2+的最小值是【 】 （A ）23 （B ）22 （C ）3 （D ）2解: ∵11111=+++b a ∴()()11111=+++++b a a b ,整理得:1=ab .∵0,0>>b a∴b a 2+≥221222222=⨯==⋅ab b a . 当且仅当b a 2=,即22,2==b a 时,等号成立. ∴b a 2+的最小值是22. ∴选择答案【 B 】.另解: ()()31212-+++=+b a b a .∵0,0>>b a ,11111=+++b a ∴()()[]()132112111111131212⨯-+++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++=+a b b a b a b a b a ()11211+++++=a b b a ≥()22112112=++⋅++a b b a . 当且仅当()11211++=++a b b a ,且11111=+++b a ,即22,2==b a 时,等号成立. ∴b a 2+的最小值是22.例10. 设0,0>>y x ,且53=+y x ,则yx 311++的最小值为 【 】 （A ）23（B ）2 （C ）32 （D ）3 解: ∵53=+y x∴()813=++y x ,∴()18813=++yx .∵0,0>>y x ∴()()()8318819833118813311+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++x y y x y x y x y x ()()4318819++++=x y y x ≥()()234383243188192=+⨯=++⋅+x y y x . 当且仅当()()18819+=+x y y x ,且53=+y x ,即4,31==y x 时,等号成立. ∴y x 311++的最小值为23. ∴选择答案【 A 】.另解: ∵53=+y x ,∴x y 35-=.∵0,0>>y x ,∴⎩⎨⎧>->0350x x ,解之得:350<<x .∴x 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛35,0.()()52383518353113112++-=-+=-++=++x x x x x x y x . 设()31631352322+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=x x x x f ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛∈35,0x ,∴()⎥⎦⎤⎝⎛∈316,0x f . ∴当31=x 时,233168311min ==⎪⎭⎫⎝⎛++y x . ∴选择答案【 A 】.例11. 代数式11072+++x x x （1->x ）的最小值为 【 】（A ）2 （B ）7 （C ）9 （D ）10分析: 形如edx c bx ax +++2的式子可化为()()t x f n x mf ++的形式. 解: 可设()()n x m x x x ++++=++1110722. ∴()1071222++=+++++x x n m x m x∴⎩⎨⎧=++=+10172n m m ,解之得:⎩⎨⎧==45n m . ∴()()415110722++++=++x x x x . ∴()()514114151110722++++=+++++=+++x x x x x x x x ∵1->x ,∴01>+x ∴5141++++x x ≥()951412=++⋅+x x . 当且仅当141+=+x x ,即1=x 时,等号成立. ∴代数式11072+++x x x （1->x ）的最小值为9. ∴选择答案【 C 】.另解: ()()()[]()[]1411115211072+++++=+++=+++x x x x x x x x x ()()5141141512++++=+++++=x x x x x . ∵1->x ,∴01>+x∴5141++++x x ≥()951412=++⋅+x x . 当且仅当141+=+x x ,即1=x 时,等号成立,91107min2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++x x x . ∴选择答案【 C 】.例12. 求函数222163x x y ++=的最小值. 解: ∵022>+x∴()62162321632222-+++=++=xx x x y ≥()638621623222-=-+⋅+x x . 当且仅当()2221623x x +=+,即2334-±=x 时,等号成立.638min -=y . 例13. 已知函数()xa x x f +=4（0,0>>a x ）在3=x 时取得最小值,则=a ______. 解: ∵0,0>>a x ∴()xa x x f +=4≥a x a x 442=⋅. 当且仅当x a x =4,即2a x =时,等号成立,函数()x f 取得最小值a 4. ∴32=a ,解之得:36=a . 实际上,函数()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x a x x a x x f 444（0,0>>a x ）,当24a a x ==时,函数()x f 取得最小值.所以32=a ,从而求得36=a . 例14. 设正实数y x ,满足xy y x =+2,若y x m m 222+<+恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.分析: 利用基本不等式可求出y x 2+的最小值.要使y x m m 222+<+恒成立,只需()min 222y x m m +<+即可.解: ∵y x ,为正实数,xy y x =+2∴1212=+=+x y xy y x ∴()y x x y y x x y y x y x y x ++=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+442422122≥8424=⋅+y x x y 当且仅当yx x y =4,即2,4==y x 时,等号成立.∴()82min =+y x .∵y x m m 222+<+恒成立∴只需()min 222y x m m +<+即可∴822<+m m ,解之得:24<<-m .∴实数m 的取值范围是()2,4-.例15. 已知()()x x x f 22-=（10<<x ）,求()x f 的最大值.分析: 当两个正数的和为定值S 时,这两个正数的乘积在两个正数相等时取得最大值,简称为：和定积最大.本题中,观察到()2222=-+x x 为定值,故考虑用基本不等式求函数()x f 的最大值,但要对原解析式解析等价变形.解: ∵10<<x ,∴022>-x∴()()()x x x x x f 2222122-⋅=-=≤211212222212=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x . 当且仅当x x 222-=,即21=x 时,等号成立. ∴()x f 的最大值为21. 另解: ∵10<<x ,∴022>-x∴()()()x x x x x f -⋅=-=1222≤2121221222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x . 当且仅当x x -=1,即21=x 时,等号成立. ∴()x f 的最大值为21. 例16. 求代数式12-x x （1<x ）的最大值. 分析: 形如edx c bx ax +++2的式子可化为()()t x f n x mf ++的形式. 解: ∵1<x ,∴01>-x .∴()()21111111*********+-+-=-++=-+-+=-+-=-x x x x x x x x x x x ()2111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=x x ≤()02221112=+-=+-⋅--x x 当且仅当xx -=-111,即0=x 时,等号成立. ∴代数式12-x x （1<x ）的最大值为0. 注意 使用基本不等式法求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等. 例17. 已知210<<x ,求()x x y 2121-=的最大值. 解: ∵210<<x ,∴021>-x . ∴()()x x x x y 212412121-⋅=-=≤161214122124122=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x . 当且仅当x x 212-=,即41=x 时,等号成立. ∴161max =y . 例18. 设210<<m ,若m m 2121-+≥k 恒成立,则k 的最大值为_________. 分析: 只需min2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+m m ≥k 即可,这样问题就转化为求m m 2121-+的最小值的问题.解: ()()m m m m m m m m 211212212121-=-+-=-+. ∵210<<m ,∴021>-m ∴()()m m m m 212211211-⋅=-≥84121122122112=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯m m . 当且仅当m m 212-=,即41=m 时,等号成立.（注意,当210<<m 时,()0212>-m m ） ∴mm 2121-+的最小值为8.∵mm 2121-+≥k 恒成立 ∴k ≤8,k 的最大值为8. 另解: ∵210<<m ,∴021>-m ∴()[]221214221212122121+-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+m m m m m m m m m m m m m m 212144-+-+=≥82121424=-⋅-+m m m m . 当且仅当m m m m 21214-=-,即41=m 时,等号成立. ∴mm 2121-+的最小值为8. ∵mm 2121-+≥k 恒成立 ∴k ≤8,k 的最大值为8.例19. 若对任意0>x ,132++x x x ≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是_________. 解: ∵0>x ∴311132++=++x x x x x ≤513213121=+=+⋅xx 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∵对任意0>x ,132++x x x ≤a 恒成立 ∴a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51. 例20. 已知0,0>>y x ,y x xy 2+=,若xy ≥2-m 恒成立,则实数m 的最大值是__________.分析: 可求出m 的取值范围,根据范围确定其最大值.这种方法叫做不等分析法.解: ∵y x xy 2+= ∴1122=+=+yx xy y x . ∵0,0>>y x ∴xyy x 22122=⋅≤112=+y x ∴xy8≤1,∴xy ≥8. 当且仅当y x 12=,即2,4==y x 时,等号成立.()8min =xy . ∵xy ≥2-m 恒成立∴2-m ≤()min xy ,即2-m ≤8,解之得:m ≤10.∴实数m 的最大值是10.例21. 若不等式xa x 29+≥1+a （常数0>a ）对一切正实数x 恒成立,求实数a 的取值范围.解: ∵0>x ,0>a ∴xa x 29+≥a x a x 6922=⋅. 当且仅当x a x 29=,即3a x =时,等号成立. ∴a x a x 69min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. ∵xa x 29+≥1+a 对一切正实数x 恒成立 ∴只需min 29⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x ≥1+a 即可 ∴a 6≥1+a ,解之得:a ≥51.∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51. 方法总结 解决与不等式恒成立有关的问题,把参数从不等式中分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个具体的函数,这样就把问题转化为只有一端是参数的不等式的形式,便于问题的解决.例22. 已知b a ,是正实数,且032=-+ab b a ,则ab 的最小值是_________,b a +的最小值是_________.解: ∵032=-+ab b a∴ab b a 32=+,∴13132=+ba . ∵b a ,是正实数 ∴()b a a b b a a b b a b a b a 332131332323132++=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ ≥322133221+=⋅+b a a b . 当且仅当ba ab 332=,即312,322+=+=b a 时,等号成立. ∴b a +的最小值为3221+. ∵b a ,是正实数,13132=+b a ∴ab b a 92231322=⋅≤13132=+ba ∴ab ≥98. 当且仅当b a 3132=,即32,34==b a 时,等号成立. ∴ab 的最小值是98. 例23. 已知0,0>>y x ,且32=+y x ,则xy 的最大值是_________,xy y x +3的最小值是_________.解: ∵0,0>>y x ,32=+y x ∴xy y x 2222=⋅≤32=+y x∴xy ≤89,当且仅当y x 2=,即43,23==y x 时,等号成立. ∴xy 的最大值是89. ∵32=+y x ,∴1323=+y x . ∴37322323131323313++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+x y y x x y y x y x y x y x xy y x ≥37623732237322+=+=+⋅x y y x . 当且仅当xy y x 32=,即106318,5363-=-=y x 时取等号. ∴xyy x +3的最小值是3762+. 例24. 要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是，平方米10元,则该容器的最低总造价是 【 】（A ）80元 （B ）120元 （C ）160元 （D ）240元 解: 由题意可知:该容器的底面积为4 m 2,设底面长为x m,则底面宽为x 4m,容器的总造价为y 元.则有804204102420+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯+⨯=x x x x y ≥160804220=+⋅⨯x x （元） 当且仅当xx 4=,即2=x 时,等号成立. ∴该容器的最低总造价是160元.∴选择答案【 C 】.例25. 设0,0>>y x ,52=+y x ,则()()xy y x 121++的最小值为_________.解: ∵52=+y x∴()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+++=++xy xy xy xy xy xy xyy x xy xy y x 326262122121. ≥34322=⋅⨯xy xy . 当且仅当xy xy 3=,且52=+y x ,即1,3==y x 或23,2==y x 时,等号成立. ∴()()xy y x 121++的最小值为34.注意 注意与下面的例25做比较.例26. 设0,>b a ,且1=+b a ,则abab 1+的最小值为_________. 分析: 利用基本不等式求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等. ∵0,>b a ,∴ab ab 1+≥212=⋅ab ab . 当且仅当ab ab 1=时,等号成立,此时⎪⎩⎪⎨⎧=+=11b a ab ab 无实数解. ∴上面的等号是取不到的,即abab 1+的最小值不是2. 解: ∵0,>b a ,且1=+b a ∴ab ≤212=+b a ,∴ab <0≤41. 设t ab =,则⎥⎦⎤ ⎝⎛∈41,0t . ∵t t y 1+=在⎥⎦⎤ ⎝⎛∈41,0t 上单调递减 ∴4174414114141min =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f y . ∴ab ab 1+的最小值为417. 例27. 设20<<x ,求代数式224x x -的最大值.解: ∵20<<x∴02>-x ∴()()x x x x x x -⋅=-=-2222242≤2222=-+⨯x x 当且仅当x x -=2,即1=x 时,等号成立.∴代数式224x x -的最大值2.例28. 已知0,0,0>>>z y x ,求证:⎪⎭⎫⎝⎛+x z x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥8. 证明: ∵0,0,0>>>z y x ∴x z x y +≥02>x yz ,y z y x +≥02>yxz ,z y z x +≥02>z xy . 当且仅当z y x ==时,上面三个等号同时成立.∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+x z x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥888==⋅⋅xyzxyz xyz xy xz yz . 当且仅当z y x ==时,等号成立.例29. 已知0,0,0>>>c b a ,且1=++c b a .求证:cb a 111++≥9. 证明: ∵0,0,0>>>c b a ,1=++c b a ∴cc b a b c b a a c b a c b a ++++++++=++111 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=c b b c c a a c b a a b 3 ≥922232223=+++=⋅+⋅+⋅+cb bc c a a c b a a b 当且仅当c b a ==时,等号成立.例30. 已知正数b a ,满足4=+b a ,求3111+++b a 的最小值. 解: ∵4=+b a ∴()()831=+++b a .∵b a ,均为正数∴()()[]31813111+++=+++b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++113311813111a b b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=13318141a b b a ≥21133128141=++⋅++⨯+a b b a . 当且仅当1331++=++a b b a ,即1,3==b a 时,等号成立. ∴3111+++b a 的最小值为21. 例31. 若实数2,1>>b a ,且满足062=-+b a ,则2211-+-b a 的最小值为______. 解: ∵062=-+b a∴()()2212=-+-b a .∵2,1>>b a ,∴02,01>->-b a . ∴()()[]212212211-+-=-+-b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-2211b a()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+--+=12214212212214221a b b a a b b a≥()4122142212=--⋅--⨯+a b b a . 当且仅当()12214--=--a b b a ,即3,23==b a 时,等号成立. ∴2211-+-b a 的最小值为4. 例32. 已知0,0>>y x ,且21131=++y x ,则y x +的最小值为 【 】 （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 （参见例9）解: ()33-++=+y x y x .∵0,0>>y x ,且21131=++y x∴()⎪⎭⎫⎝⎛++=-++=+y x y x y x 131233()[]33-++y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=y x x yy x x y 3321313312≥533221=+⋅+⨯+yx x y . 当且仅当yx x y 33+=+,即4,1==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为5. ∴选择答案【 A 】.另解: ∵21131=++y x ,∴31211+-=x y . 整理得:()()2141412132++=+++=++=x x x x x y . ∵0,0>>y x ∴1141214++++=+++=+x x x x y x ≥()511412=++⋅+x x . 当且仅当141+=+x x ,即1=x （此时4=y ）时,等号成立. ∴y x +的最小值为5. ∴选择答案【 A 】.点评 在利用基本不等式求最值时,根据需要有时要对关键条件进行变形,或对要求最值的代数式进行变形,以使和为定值或积为定值. 例33. 已知0>>y x ,求()y x y x -+42的最小值.分析: 注意到()x y x y =-+,所以()y x y -<0≤()4222x y x y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+,这样就消去了字母y ,因此()y x y x -+42≥2216x x +≥4.当且仅当2216,xx y x y =-=时,等号成立.解: ∵0>>y x∴()y x y -<0≤()4222x y x y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+（当且仅当y x y -=时,等号成立） ∴()[]42maxx y x y =-,()22min16444x x y x y ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-. ∴()y x y x -+42≥2216xx +≥816222=⋅x x .当且仅当2216x x =,y x y -=,即1,2==y x 时,等号成立. ∴()y x y x -+42的最小值是8.另解: ∵0>>y x ,∴()0>-y x y .∵()[]22y x y x -+=≥()y x y -4（这里,ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ）（当且仅当y x y -=时,等号成立） ∴()y x y x -+42≥()()y x y y x y -+-44≥()()8442=-⋅-y x y y x y .（当且仅当()()y x y y x y -=-44,即()1=-y x y 时,等号成立）当且仅当()1,=--=y x y y x y ,即1,2==y x 时,等号成立. ∴()y x y x -+42的最小值是8.例34. 若b a >,且2=ab ,求证:ba b a -+22≥4.证明: ∵b a >,∴0>-b a .∵2=ab∴()ba b a b a ab b a b a b a -+-=-+-=-+42222≥()442=-⋅-b a b a .当且仅当ba b a -=-4,即13,13-=+=b a 或13,13--=+-=b a 时,等号成立.∴ba b a -+22≥4.例35. 已知b a ,为正数,求证:b a 41+≥()ba ++21222. 证明: ∵b a ,为正数,∴02>+b a .∴()b a a b b a a b b a b a 86482241++=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ≥()()21222232246826+=+=+=⋅+baa b . 当且仅当baa b 8=,即a b 22=时,等号成立. ∴b a 41+≥()ba ++21222.（这里,02>+b a ） ★例36. 若10<<x ,0,0>>b a .求证:xb x a -+122≥()2b a +. 分析: 注意到()11=-+x x 这一隐含条件. 证明: ∵10<<x ,∴01>-x .∴()[]()2222222211111b x x a x x b a x b x a x x x b x a +-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+ ≥()()22222222112b a ab b a xx a x x b b a +=++=-⋅-++. 当且仅当()x x a x x b -=-1122,即b a ax +=时,等号成立. ∴xb x a -+122≥()2b a +. 例37. 已知c b a ,,均为正数.求证:ccb a b bc a a a c b 33222332-++-++-+≥3. 证明: ∵c b a ,,均为正数∴ccb a b bc a a a c b 33222332-++-++-+ 33223332213231232132-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-++-++-+=c b b c c a a c b a a b cb c a b c b a a c a b≥336332232332222=-=-⋅+⋅+⋅cb bc c a a c b a a b . 当且仅当cbb c c a a c b a a b 3223,33,22===,即c b a 32==时,等号成立. ∴c c b a b b c a a a c b 33222332-++-++-+≥3. 例38. 已知0,0>>y x ,y yx x -=-812,则y x +2的最小值为 【 】 （A ）2 （B ）22 （C ）23 （D ）4分析: 注意到02>+y x ,根据题目所给条件的特点可先求出()[]min22y x +,然后开方即可得到()min 2y x +,而()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+y x y x y x 81222.解: ∵y yx x -=-812,∴y x y x 812+=+.∵0,0>>y x ,∴02>+y x .∴()()y x y x +=+222⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 81x y y x x y y x ++=+++=16108162 ≥1816210=⋅+xyy x . 当且仅当xyy x =16,即22,22==y x （x y 4=）时,等号成立. ∴()22y x +的最小值为18. ∴y x +2的最小值为2318=. ∴选择答案【 C 】.例39. 已知0,0>>b a ,且8=+b a ,则ba ab43+的最大值是_________. 解: ∵0,0>>b a ,8=+b a∴()a b b a a b b a b a b a b a ab b a b a ab 452414424148131434343++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=+=+ ≤38924452442524==+=⋅+abb a . 当且仅当a b b a 4=,即38,316==b a 时,等号成立. ∴b a ab 43+的最大值是38. 例40. 已知93,0,0=++>>xy y x y x ,则y x 3+的最小值为_________. 解: ∵93=++xy y x ,∴39+-=x xy . ∵0,0>>y x ∴()()633633336336333933-+++=-++=+++-+=+-+=+x x x x x x x x x x y x ≥()6612633632=-=-+⋅+x x . 当且仅当3363+=+x x ,即1,3==y x 时,等号成立. ∴y x 3+的最小值为 6. 点评: 上面的方法为消去元y 后,利用基本不等式求得最值.例41. 已知x 为正实数,且1222=+y x ,求21y x +的最大值. 解: ∵x 为正实数∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+22122212112222222y x y x y x y x≤423221122221222=+⨯=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯y x .当且仅当22122y x +=,即22,23±==y x 时,等号成立. ∴21y x +的最大值为423. 另解: ∵1222=+y x ,∴2222=+y x .∵x 为正实数∴()()()22222221222122111y x y x y x y x +=+⋅=+=+ ≤()4232122221222212222222=+⨯=++⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⨯y x y x . 当且仅当2212y x +=,即22,23±==y x 时,等号成立. ∴21y x +的最大值为423. 例42. 求函数131-++-=x x x y 的最大值.解: 设1-=x t ,则t ≥0,∴12+=t x . ∴41312++=-++-=t t tx x x y .当0=t ,即1=x 时,0=y ; 当0>t ,即1>x 时,141++=t t y ≤511421=+⋅tt . 当且仅当tt 4=,即5,2==x t 时,取等号. ∴当1>x 时,函数131-++-=x x x y 的最大值为51.综上所述,函数131-++-=x x x y 的最大值为51.例43. 设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当zxy取得最大值时,代数式zy x 212-+的最大值为 【 】 （A ）0 （B ）1 （C ）49（D ）3 解: ∵04322=-+-z y xy x ,∴2243y xy x z +-=.∵z y x ,,为正实数 ∴341431432222-+=+-=+-=x y y x xy y xy x y xy x xy z xy ≤13421=-⋅xy y x .当且仅当xyy x 4=,即y x 2=时,等号成立,此时22y z =. ∴1112122122212222+⎪⎭⎫⎝⎛--=+-=-+=-+y y y y y y z y x ≤1 ∴当1=y 时,zy x 212-+的最大值为1. ∴选择答案【 B 】.例44. 若正数y x ,满足3039422=++xy y x ,则xy 的最大值是 【 】（A ）34 （B ）35 （C ）2 （D ）45解: ∵xy y x 39422++≥xy xy xy xy y x 153123322=+=+⋅⋅∴xy 15≤30,∴xy ≤2. ∴xy 的最大值是2. ∴选择答案【 C 】.例45. 设0,0>>b a ,且ba kb a +++11≥0恒成立,则实数k 的最小值等于 【 】 （A ）0 （B ）4 （C ）4- （D ）2-解: ∵ba kb a +++11≥0恒成立∴k ≥()abb a 2+-恒成立.（这里,注意0>+b a ）只需k ≥()max2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ab b a 即可,此时()ab b a 2+取得最小值. ∵0,0>>b a ∴()abb a 2+≥()4422==ababab ab ,当且仅当b a =时,等号成立. ∴()abb a 2+-≤4-,∴()4max2-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ab b a ∴k ≥4-,即k 的最小值为4-. ∴选择答案【 C 】.例46. 设c b a >>,且c b b a -+-11≥ca m-恒成立,求m 的取值范围; 解: ∵c b a >>,∴0,0,0>->->-c a c b b a .∵c b b a -+-11≥ca m-恒成立 ∴c b ca b a c a --+--≥m 恒成立,只需m ≤min⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--c b c a b a c a 即可.∵cb ba b a c b c b c b b a b a c b b a c b c a b a c a --+--+=--+-+--+-=--+--2 ≥422=--⋅--+cb ba b a c b ∴当且仅当b c a 2=+时,等号成立,4min=⎪⎭⎫⎝⎛--+--c b c a b a c a . ∴m ≤4.∴m 的取值范围是(]4,∞-.例47. 对于任意∈x R ,不等式031222>++-x a x 恒成立,求实数a 的取值范围. 解: ∵031222>++-x a x 恒成立∴13222++<x x a 恒成立,只需<a min 22132⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 即可.()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+++=+++=++12112111*********2222222x x x x x x x x . 设t x =+12,则[)+∞∈,1t ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++t t x x 21213222. ∵[)+∞∈,1t ,且()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t f 212在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22上单调递增 ∴()()321121min=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==f t f ,即3132min22=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x . ∴3<a ,即实数a 的取值范围是()3,∞-.注意 本题不能用基本不等式求最值.当111222+=+x x 时,方程无解.例48. 设0,0>>b a ,5=+b a ,则31+++b a 的最大值为_________. 解: ∵()()()()()31293124312+++=+++++=+++b a b a b a b a≤()()18319=++++a a . 当且仅当31+=+b a ,即23,27==b a 时,取等号. ∴()231+++b a 的最大值为18.∵031>+++b a∴31+++b a 的最大值为2318=.例49. 已知3,2>>y x ,()()432=--y x ,则y x +的最小值是 【 】（A ）7 （B ）9 （C ）5 （D ）11解: ∵3,2>>y x ,∴03,02>->-y x .∵()()432=--y x ∴()()232-+-y x ≥()()2432==--y x∴25-+y x ≥2,∴y x +≥9. ∴y x +的最小值是9.∴选择答案【 B 】.另解: ∵3,2>>y x ,∴03,02>->-y x .∵()()432=--y x∴()()532+-+-=+y x y x ≥()()95425322=+⨯=+--y x .∴y x +的最小值是9.∴选择答案【 B 】. 例50. 若关于x 的不等式ax x -+4≥5在()+∞∈,a x 上恒成立,则实数a 的最小值为_________.解: ∵()+∞∈,a x ,∴0>-a x .∵ax x -+4≥5恒成立 ∴只需min 4⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ≥5即可. ∵a ax a x a x x +-+-=-+44≥()a a a x a x +=+-⋅-442 当且仅当ax a x -=-4,即2+=a x 时,等号成立. ∴a a x x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+44min ∴a +4≥5,解之得:a ≥1.∴实数a 的最小值为1.例51. 已知0,0>>y x ,且121=+yx ,则y x xy ++的最小值为_________. 解: ∵121=+yx ∴xy y x =+2∴y x y x y x y x xy 232+=+++=++.∵0,0>>y x ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y x y x 2123()y xx y y x x yy x 627462323++=+++=+≥3476227+=⋅+y xx y. 当且仅当y x x y 62=,即23,3323+=+=y x 时,等号成立.∴y x 23+,即y x xy ++的最小值为347+.例52. 已知0,0>>y x ,且053=+-+xy y x ,求xy 的最小值.解: ∵053=+-+xy y x∴xy y x 35=++.∵0,0>>y x∴5++y x ≥52+xy ,即xy 3≥52+xy ∴523--xy xy ≥0 ∴()()531-+xy xy ≥0解之得:xy ≥35.∴xy ≥925,当且仅当35==y x 时,等号成立.∴xy 的最小值为925.例53. 已知z y x ,,为正数,则222z y x yzxy +++的最大值为【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）22（D ）2解: ∵z y x ,,为正数 ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++222222222z y y x yz xy z y x yz xy ≤yz xy yz xy 222222⨯+⨯+ ()22212==++=yz xy yzxy . 当且仅当y z x 22==时,等号成立. ∴222z y x yz xy +++的最大值为22. ∴选择答案【 C 】.例54. 设0>>b a ,则()b a a ab a -++112的最小值是 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解: ∵0>>b a ,∴0>-b a .∴()()()()ab ab b a a b a a b a a ab ab ab a b a a ab a 11111122++-+-=-+++-=-++ ≥()()41212=⋅+-⋅-abab b a a b a a . 当且仅当()()abab b a a b a a 1,1=-=-,即22,2==b a 时,等号成立. ∴()b a a ab a -++112的最小值是4. ∴选择答案【 D 】.例55. 设y x ,都是正数,且()1=+-y x xy .（1）求xy 的最小值;（2）求y x +的最小值.分析: 关于（1）的解决,参见例52.解:（1）∵()1=+-y x xy ∴xy y x =++1. ∵y x ,都是正数 ∴y x ++1≥xy 21+,即xy ≥xy 21+. ∴12--xy xy ≥0. 解之得:xy ≥21+. ∴xy ≥()223212+=+. 当且仅当21+==y x 时,等号成立. ∴xy 的最小值为223+;（2）由（1）知:xy y x =++1. ∵y x ,都是正数∴xy ≤()4222y x y x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. （当且仅当21+==y x 时取等号） ∴()42y x +≥y x ++1,()()142-+-+y x y x ≥0. ∴()()442-+-+y x y x ≥0. 解之得:y x +≥222+. 当且仅当21+==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为222+.。

基本不等式题型及常用方法总结基本不等式题型包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和有理不等式等。

1. 一元一次不等式：- 解法1：通过移项和化简来求解，确保不等号方向的正确性。

- 解法2：将不等式转化为等价的集合表示，再通过集合的交、并运算求解。

2. 一元二次不等式：- 解法1：将不等式化为一元二次函数的图像，通过观察图像求解或者利用函数的性质来求解。

- 解法2：通过移项和配方法将不等式转化为二次函数的标准形式，再判断二次函数图像的位置与不等号关系来求解。

3. 绝对值不等式：- 解法1：将绝对值不等式分段求解，分别讨论绝对值内部是正数还是负数的情况。

- 解法2：通过绝对值的定义和不等式的性质，将绝对值不等式转化为两个简单的不等式来求解。

4. 有理不等式：- 解法1：将有理不等式化为分式的形式，然后通过分式的性质来求解。

- 解法2：通过变量的替换来将有理不等式转化为一元二次不等式或者一元一次不等式，再利用对应的方法来求解。

常用方法总结：1. 对于一元一次不等式和一元二次不等式，常用的方法是移项和化简、画函数图像和利用函数的性质来求解。

2. 对于绝对值不等式，常用的方法是分段求解和利用绝对值的性质来求解。

3. 对于有理不等式，常用的方法是化为分式形式和利用分式的性质来求解。

4. 在求解不等式的过程中，经常需要进行合并同类项、开方、取倒数、乘除等基本运算，需要注意运算法则和符号的变化。

5. 在不等式的求解过程中，需要注意不等式两边的平方值是否相等，以及是否存在不等式的等价变换等。

同时，在进行运算过程中，需要根据不等式的符号关系来选择合适的方式。

高一基本不等式题型及解题方法一、基本不等式的概念和性质基本不等式是高一数学的重要内容之一，也是数学中的基本概念之一。

在学习基本不等式时，首先要了解不等式的概念和性质。

不等式是数学中的一种等式变种，它是用不等号表示的数学关系式。

不等式具有反身性、传递性和对称性等性质。

在解决不等式问题时，首先要理解其性质，然后根据不等式的性质来解题。

二、基本不等式的类型基本不等式可分为线性不等式、一元二次不等式和高次不等式等类型。

下面来分别介绍这几种不等式及其解题方法。

1.线性不等式线性不等式是最基本的不等式类型，它可以表示为ax+b>0或ax+b<0的形式。

解决线性不等式问题时，可以通过移项、交叉乘除、取绝对值、分情况讨论等方法进行求解。

例如，要解决不等式2x+5>7，则可以通过移项得到2x>2，再除以2得到x>1，这样就得到了不等式的解集{x|x>1}。

2.一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程的不等式形式，它可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的形式。

解决一元二次不等式问题时，可以通过因式分解、配方法、求导数等方法进行求解。

例如，要解决不等式x^2-4x+3<0，则可以通过因式分解得到(x-1)(x-3)<0，再通过分情况讨论得到不等式的解集1<x<3。

3.高次不等式高次不等式是包括二次以上的多项式不等式，它可以表示为f(x)>0或f(x)<0的形式。

解决高次不等式问题时，可以通过因式分解、分情况讨论、取对数等方法进行求解。

例如，要解决不等式x^3-3x^2+2x>0，则可以通过因式分解得到x(x-1)(x-2)>0，再通过分情况讨论得到不等式的解集{x|x<0或1<x<2}。

三、基本不等式的解题方法解决基本不等式问题时，首先要理解不等式的类型和性质，然后根据不等式的性质来选择合适的解题方法。

习题范例解一元二次不等式的常见题型解析一、普通一元二次不等式的解法在解一元二次不等式时，我们首先要将其转化为标准形式，即将不等式中所有的项移至一侧，使得不等式左侧为0。

例如，对于如下的一元二次不等式：ax^2 + bx + c > 0我们需要将其转化为如下标准形式：ax^2 + bx + c - 0 > 0接下来，我们需要运用数学方法来解决这个一元二次不等式。

常见的解法有以下几种：1. 因数分解法：当一元二次不等式可以进行因数分解时，我们可以将其进行因数分解，然后求解每个因式为0时的解，最后筛选满足不等式的解即可。

2. 辅助函数法：针对某些特殊的一元二次不等式，我们可以将不等式中的项进行某种变形，然后引入一个辅助函数，通过求导等方式来求解不等式的解。

3. 图像法：我们可以将一元二次不等式对应的二次函数绘制成图像，通过观察和分析图像的性质来确定不等式的解。

以上是一些常见的解一元二次不等式的方法，具体应用时需要结合具体的题目来进行判断和推导。

二、一元二次不等式的常见题型解析1. 一元二次不等式的根的范围题目描述：给定一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，求解x的范围。

解析：对于给定的一元二次不等式，我们可以先求解其对应的一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的根，假设根为x1和x2。

根据二次函数的性质，对称轴的横坐标为 -b/(2a)，通过这个点我们可以将一元二次函数分为两个区间，分别为 (-∞, x1) 和(x2, +∞)。

接下来，我们需要确定在这两个区间内，一元二次函数是大于0还是小于0。

我们可以选取两个测试点，将这些点代入一元二次函数的表达式中，观察符号的变化。

根据符号的变化情况，我们可以得出一元二次不等式的解的范围。

2. 一元二次不等式与二次函数图像题目描述：给定一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，利用二次函数的图像性质求解x的范围。

高一基本不等式题型及解题方法不等式是数学中的重要概念之一，通过不等式可以描述数值之间的大小关系。

在高中数学中，学生将接触到基本不等式的概念和解题方法，这是数学学习的重要内容之一。

本文将介绍高一基本不等式的题型及解题方法，帮助学生更好地掌握不等式的知识。

一、基本不等式的概念在数学中，不等式是指两个数或表达式之间的大小关系。

基本不等式是指形如a < b、a > b、a ≤ b、a ≥ b这样简单的不等式，其中a和b是实数。

不等式的解集是所有满足不等式关系的实数集合。

在高一阶段，学生将学习不等式的基本性质、解法和应用。

掌握不等式的基本概念是解决各种不等式问题的重要基础。

二、不等式的解法不等式的解法主要有两种：代入法和图像法。

1.代入法代入法是解决不等式问题的常用方法，它的基本思想是根据题目的给定条件，找到合适的实数值代入不等式进行验证，从而确定不等式的解集。

例如，对于不等式3x + 5 > 1，可以通过代入x的不同取值进行验证。

找到一个合适的x值，使得3x + 5 > 1成立，这样就确定了不等式的解集。

2.图像法图像法是通过解不等式对应的方程，将不等式表示的数学关系用图像表示出来，从而直观地看出不等式的解集。

例如，对于不等式x + 2 ≤ 5，可以将不等式表示的数学关系用数轴上的图像表现出来，找出满足不等式关系的实数解。

通过代入法和图像法，可以有效地解决各种不等式问题，帮助学生更好地理解不等式的概念和解题方法。

三、常见的基本不等式题型在高一数学中，常见的基本不等式题型主要包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等。

1.一元一次不等式一元一次不等式是指不等式中只有一个变量，并且变量的次数是一次的不等式。

解决一元一次不等式的关键是要找到不等式的解集，通常可以通过代入法或图像法来解题。

例如，解不等式2x - 3 > 5，可以通过将给定条件代入不等式进行验证，找到满足不等式关系的实数解。

一元二次不等式基础题50道加解析摘要：一、一元二次不等式的基本概念和解题方法1.一元二次不等式的基本概念2.一元二次不等式的解题方法二、一元二次不等式的基本题型及解析1.题型一：ax+bx+c>0（或<0）2.题型二：ax+bx+c=03.题型三：ax+bx+c=k三、50 道一元二次不等式基础题及解析1.题目1-题目102.题目11-题目203.题目21-题目304.题目31-题目405.题目41-题目50正文：一、一元二次不等式的基本概念和解题方法一元二次不等式是指形如ax+bx+c>0（或<0）的不等式，其中a、b、c 为常数，且a≠0。

它是初中数学中的重要内容，对于培养学生的逻辑思维能力和解题能力具有重要意义。

解一元二次不等式的基本方法有以下几种：1.因式分解法：将一元二次不等式化为两个一次因式的积，然后根据两因式的正负性来确定原不等式的解集。

2.求根公式法：对于ax+bx+c=0，可以利用求根公式求出方程的两个根，然后根据两根的大小关系来确定原不等式的解集。

3.图形解法：将一元二次不等式表示为二次函数y=ax+bx+c（a>0）的图象，然后根据图象与x 轴的交点情况来确定原不等式的解集。

二、一元二次不等式的基本题型及解析1.题型一：ax+bx+c>0（或<0）解这类题目，首先要判断二次项系数a 的正负性。

当a>0 时，二次函数y=ax+bx+c 的图象开口向上，原不等式的解集为二次函数图象在x 轴上方的部分；当a<0 时，二次函数y=ax+bx+c 的图象开口向下，原不等式的解集为二次函数图象在x 轴下方的部分。

2.题型二：ax+bx+c=0解这类题目，可以利用求根公式求出方程的两个根，然后根据两根的大小关系来确定原不等式的解集。

若方程有两个实根，则原不等式的解集为使方程成立的x 值所在的区间；若方程有两个虚根，则原不等式的解集为空集。

基本不等式的题型和解题技巧基本不等式的题型和解题技巧什么是基本不等式基本不等式是数学中的一个重要概念，用于描述数的大小关系。

通过基本不等式的运用，可以解决各种实际问题和数学题目。

不等式的种类一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式形式，可以用来表示一个变量的取值范围。

解这种不等式时，可以通过加减乘除等运算来推导出结果。

一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程在不等式形式下的表达。

解这种不等式时，可以先通过求解一元二次方程来找到其零点，然后根据零点的位置和曲线的凹凸性判断不等式的解集。

绝对值不等式绝对值不等式是以绝对值符号“| |”表示的不等式。

解这种不等式时，需要根据绝对值的性质将不等式分解成两个不等式，并分别求解。

分式不等式分式不等式是分子和分母中含有变量，并以不等式形式给出的不等式。

解这种不等式时，可以通过通分和分类讨论的方法，求解满足不等式的变量范围。

不等式解题的技巧画数轴对于一元一次不等式和一元二次不等式，可以画出数轴来帮助理解和解题。

将不等式中的变量取值范围标记在数轴上，可以更直观地找到不等式的解集。

利用性质不等式有许多性质，如加法性、乘法性、绝对值性质等，可以利用这些性质简化不等式的求解过程。

例如，对于一元一次不等式，可以通过加或减一个数使其变为一个已知的不等式，从而求解。

分类讨论对于复杂的不等式，可以将其分解成几个简单的不等式，并分别求解。

然后根据每个简单不等式的解集，确定整个不等式的解集。

图像法对于一元二次不等式，可以通过绘制抛物线的图像，根据抛物线的凹凸性和与x轴的交点来判断不等式的解集。

反证法如果无法直接求解不等式，可以尝试使用反证法。

假设不等式的解集存在某种矛盾，然后通过推理得出与已知条件矛盾的结论，从而可以得到正确的解集。

总结不等式是数学中重要的概念之一，掌握解不等式的技巧对于解决实际问题和应付各种数学题目都非常重要。

通过运用画数轴、利用性质、分类讨论、图像法和反证法等技巧，我们可以更轻松地解决各种类型的基本不等式题目。

不等式常见题型及解析题一、一元一次不等式1.问题描述解不等式$a x+b>c$，其中$a>0$。

2.解法分析根据不等式的性质，我们可以将不等式转化为等价的形式:$$ax+b=c$$然后确定不等式的解集。

（1）当$a>0$时将不等式转化为等式，我们得到$ax+b=c$，解得$x=\fr ac{c-b}{a}$。

此时，对于任意一个满足$c-b>0$的$x$，都可以使得$a x+b>c$，所以解集为$\le ft(\fr ac{c-b}{a},+∞\ri gh t)$。

（2）当$a<0$时将不等式转化为等式，我们得到$ax+b=c$，解得$x=\fr ac{c-b}{a}$。

此时，对于任意一个满足$c-b<0$的$x$，都可以使得$a x+b<c$，所以解集为$\le ft(-∞,\f r ac{c-b}{a}\r igh t)$。

（3）当$a=0$时此时，不等式退化为$b>c$或$b<c$，没有变量$x$，所以不存在解。

二、一元二次不等式1.问题描述解不等式$a x^2+bx+c>0$，其中$a>0$。

2.解法分析和一元一次不等式类似，我们可以将不等式转化为等价的形式:$$ax^2+b x+c=0$$然后确定不等式的解集。

（1）当$a>0$时判断二次函数$a x^2+b x+c$的图像与$x$轴的交点数：-当判别式$Δ=b^2-4a c$大于0时，二次函数与$x$轴有两个交点，此时不等式的解集为$\le ft(-∞,x_1\ri gh t)\c up\le ft(x_2,+∞\ri g ht)$，其中$x_1$和$x_2$分别为二次方程$a x^2+b x+c=0$的两个根。

-当判别式$Δ=b^2-4a c$等于0时，二次函数与$x$轴有一个交点，此时不等式的解集为$\ma th bb{R}$，即全体实数的集合。

-当判别式$Δ=b^2-4a c$小于0时，二次函数与$x$轴没有交点，此时不等式的解集为空集。

一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x x x x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅ ∅2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

一元二次不等式题-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述一元二次不等式是数学中常见且重要的内容之一。

它是由一个未知数的二次方程构成的不等式，表示了一个范围内的不等关系。

解一元二次不等式是我们在求解实际问题时经常遇到的需求，掌握解一元二次不等式的方法可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。

本文将对一元二次不等式的基本概念、性质以及解题方法进行详细介绍。

首先，我们将介绍一元二次不等式的基本概念，包括定义、形式以及与一元二次方程的关系。

其次，我们将介绍一元二次不等式的性质，如单调性、图像、根的性质等，这些性质是我们解一元二次不等式时的重要参考依据。

最后，我们将探讨解一元二次不等式的方法，包括图像法、代入法、等价变形法等不同的解题思路和应用技巧。

本文的目的是帮助读者通过学习和掌握一元二次不等式的基本概念和性质，以及解题方法，提高对一元二次不等式的理解和应用能力。

通过解一元二次不等式的过程，读者可以培养分析问题、抽象问题、解决问题的能力，同时也可以锻炼逻辑思维和数学推理的能力。

在文章的后续部分，我们将详细介绍一元二次不等式的基本概念和性质，以及解一元二次不等式的方法。

通过对这些内容的学习和理解，读者将能够更好地应用一元二次不等式解决实际问题，在数学学习中迈出更加坚实的步伐。

接下来，我们将开始介绍一元二次不等式的基本概念和性质。

请继续阅读下一部分：2.1 一元二次不等式的基本概念和性质。

1.2文章结构1.2 文章结构：本文主要分为三个部分，分别是引言、正文和结论。

在引言部分，我们将概述本文的主题——一元二次不等式题，并介绍文章的目的。

通过引言部分的阅读，读者可以初步了解一元二次不等式题的基本概念、性质以及解题方法的重要性。

在正文部分，我们将详细介绍一元二次不等式的基本概念和性质。

首先，我们会解释什么是一元二次不等式，它在数学中的重要性以及与一元二次方程的关系。

然后，我们会探讨一元二次不等式的性质，包括判定一元二次不等式的正负性、求解一元二次不等式的基本步骤等等。

我们知道，二次函数322--=x x y 的图像是一条开口向上的抛物线，它与x 轴有两个交点，由方程0322=--x x 的解可得交点的横坐标分别是1-=x ，3=x ，容易看出，当31>-<x x 或时上述函数的图像在x 轴上方，0322>--x x ；当31<<-x 时，上述函数的图像在x 轴下方，即0322<--x x ，于是可得不等式解集为}31|{<<-x x 。

[说明]解法一中解两个一元一次不等式组中涉及的“或”和“且”的关系可用集合中的交集和并集来说明。

解法三利用二次函数的图象更加直观，清晰，是高中阶段解一元二次不等式的主要方法。

例1．利用二次函数图像解下列不等式。

（1）0322<--x x（2）0442>+-x x练习:解下列不等式：（1）2x 2-3x-2≥0 （2）-3x 2+x+1>0 (3)9x 2+6x+1>0 (4)4x-x 2<5 (5)2x 2+x+1≤0（二）一元二次不等式的解法一般的一元二次不等式可利用一元二次方程02=++c bx ax 与二次函数c bx ax y ++=2的有关性质求解，具体见下表：0>a ，ac b 42-=∆ 0>∆ 0=∆ 0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2的图象一元二次方程 02=++c bx ax的根有两实根21x x x x ==或 有两个相等的实根ab x x x 221-===无实根一元二次不等不等式02>++c bx ax的解集}|{21x x x x x ><或}|{1x x x ≠Ryx0 -1 32|a a -<（a R ∈）20aa -<-。

基本不等式典型常见题型基本不等式典型常见题型不等式是数学中的一种重要关系式，它可以描述数字之间的大小关系。

考察不等式的题目在各类数学考试中都是常见的。

下面我们将介绍一些基本的不等式题型，并给出解题方法和技巧。

一、一次不等式一次不等式是由一次多项式构成的不等关系。

它的一般形式为ax + b > 0（或<0）或ax + b ≥ 0（或≤0）。

其中，a和b是常数，x是未知数。

解一次不等式的关键是找到x的取值范围。

我们可以通过变形和移项来求解。

例题1：解不等式3x + 7 > 4。

解法：首先，我们可以通过移项得到3x > 4 - 7，即3x > -3。

然后，除以3得到x > -1。

所以，不等式的解集为x > -1。

例题2：解不等式2x + 5 ≤ 9。

解法：首先，我们可以通过移项得到2x ≤ 9 - 5，即2x ≤ 4。

然后，除以2得到x ≤ 2。

所以，不等式的解集为x ≤ 2。

二、绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。

它的一般形式为|ax + b| > c或|ax + b| ≥ c。

其中，a、b和c是常数，x是未知数。

解绝对值不等式的关键是考虑x的取值范围，并分情况讨论。

例题3：解不等式|2x - 3| > 4。

解法：我们可以分两种情况讨论：情况1：当2x - 3 > 0时，不等式化为2x - 3 > 4，即2x > 7。

解得x > 7/2。

情况2：当2x - 3 < 0时，不等式化为-(2x - 3) > 4，即-2x + 3 > 4，解得x < -1/2。

综上所述，不等式的解集为x < -1/2或x > 7/2。

三、二次不等式二次不等式是含有二次多项式的不等关系。

它的一般形式为ax² + bx + c > 0（或< 0）或ax² +bx + c ≥ 0（或≤ 0）。

基本不等式题型总结基本不等式是数学中的重要概念，其中包括很多不等式题型。

下面将对基本不等式的常见题型进行总结，并提供一些解题思路和方法。

1. 一次不等式：一次不等式是最简单的不等式形式，通常是形如 ax + b > 0 的形式。

解这类不等式时，可以将不等式转化为等式，求出等式的解集，然后根据不等号的方向确定不等式的解集。

2. 二次不等式：二次不等式是一次不等式的推广，形如 ax^2 + bx + c > 0 的形式。

解这类不等式时，可以利用二次函数的性质，首先求出二次函数的零点，然后根据二次函数的图像确定不等式的解集。

3. 绝对值不等式：绝对值不等式是一种常见的不等式形式，形如 |ax + b| > c 的形式。

解这类不等式时，可以根据绝对值的定义，分别考虑 ax + b > c 和 ax + b < -c 两种情况，然后求出每种情况下的解集。

4. 分式不等式：分式不等式是包含有分式的不等式，形如p(x)/q(x) > 0 的形式。

解这类不等式时，可以找出分式的零点，然后根据分式的正负性确定不等式的解集。

5. 根式不等式：根式不等式是带有根号的不等式，形如√(ax +b) > c 的形式。

解这类不等式时，可以根据根式的定义，将不等式平方后再进行求解。

6. 微分不等式：微分不等式是用微分的方法解决的不等式，通常涉及函数的导数。

解这类不等式时，可以求出函数的导数，然后根据导数的正负性确定函数在不同区间上的增减性以及函数的极值点，从而确定不等式的解集。

7. 参数不等式：参数不等式是含有参数的不等式，通常涉及参数的范围和取值。

解这类不等式时，可以根据参数的取值范围，分析不等式在不同情况下的解集，并给出参数的取值条件。

8. 不等式组：不等式组是由多个不等式组成的集合，通常需要在平面上找出满足所有不等式条件的解集。

解这类不等式组时，可以利用图像解法、代数解法或线性规划等方法，确定不等式组的解集。