多元函数微分学 1-7

多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学
内容复
一、基本概念
1.多元函数的基本概念包括n维空间、n元函数、二重极限、连续等。

其中，偏导数和全微分也是重要的概念。

2.重要定理：
1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系为偏导数
连续→可微。

同时，偏导数存在和函数连续是可微的必要条件。

2）二元函数的极值必须满足必要条件和充分条件。

二、基本计算
一）偏导数的计算
1.偏导数值的计算有三种方法：先代后求法、先求后代法
和定义法。

2.偏导函数的计算包括简单的多元初等函数和复杂的多元
初等函数。

对于复杂的函数，可以使用链式法则，或者隐函数求导法。

3.高阶导数的计算需要注意记号表示和求导顺序。

二）全微分的计算
1.叠加原理可以用于计算全微分，即dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy。

2.一阶全微分形式不变性对于自变量和中间变量均成立。

三、偏导数的应用
在优化方面，多元函数的极值和最值是常见的应用。

1.无条件极值可以用必要条件和充分条件来求解。

2.条件极值可以使用Lagrange乘数法来求解。

3.最值可以通过比较区域内部驻点处函数值和区域边界上最值的大小来确定。

第五章 多元函数微分学知识点拔5.1 多元函数的概念一、二元函数的概念 1、二元函数的定义设在某一变化过程中，有三个变量y x ,和z ，如果对于变量y x ,在某一范围D 内任取一对数值，按照一定的对应法则，总有一个确定的值z 与它对应，则称变量z 是变量y x ,的二元函数，记作：),(y x f z =或),(y x z z =，其中y x ,称为自变量，z 称为因变量或称为y x ,的二元函数，变量y x ,取值范围D 称为该函数的定义域.2、二元函数的几何意义 二元函数),(y x f z =在几何上一般表示空间直角坐标系中的一个曲面.二、二元函数的极限 1、二元函数极限的定义设二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某去心邻域内有定义，如果动点),(y x P 在该邻域内以任何方式无限地趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 总是无限地趋于一个常数A ，则称A 是函数),(y x f z =在),(y x P 趋于),(000y x P 时的极限（也称二重极限），记作A y x f y y X x =→→),(lim 0或A y x f y x y x =→),(lim),(),(00，若记点),(y x P 与点),(000y x P 之间的距离为20200)()(||y y x x PP -+-==ρ，则有A y x f =→),(lim 0ρ .注释：（1）极限的几何意义：当),(y x P 在),(000y x P 附近的某个范围内变化时，函数值),(y x f 与常数A 的距离恒小于任意给定的正数ε；（2）二元函数极限存在是指：动点P 必须以任意方式趋于点0P 时，),(y x f 都无限趋于常数A ，则二元函数的二重极限存在，但即使动点P 沿过0P 的无穷多条路径趋于0P 时极限都等于A ，也不能说明0P P →时，A y x f →),( .（3）二元函数极限不存在的判定方法：如果当点),(y x P 以两种不同的方式趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 分别趋于不同的常数，则可以断定函数),(y x f 在点),(000y x P 处的极限不存在。

第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 )一． 可微性与全微分：1． 可微性：由一元函数引入.))()((22y x ∆+∆ο亦可写为y x ∆+∆βα,→∆∆) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (.2． 全微分:例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性. [1]P 105 E1二. 偏导数:1. 偏导数的定义、记法:2. 偏导数的几何意义: [1]P 109 图案17—1.3. 求偏导数:例2 , 3 , 4 . [1]P 142—143 E2 , 3 , 4 .例5 设 . 0, 0, 0 ,),(22222223⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=y x y x y x y x y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f .证ρθθρρρθρθρ)sin cos (lim ),(lim2320sin ,cos )0,0(),(+===========→==→y x y x y x f=)0,0(0)sin cos (lim 230f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 .) 0 , 0 (x f =0||lim )0,0()0,(lim300==-→→x x x x f x f x x , ) 0 , 0 (y f ||lim )0,0(),0(lim 200y y y yf y f y y →→=-= 不存在 .Ex [1]P 116—117 1⑴—⑼，2 — 4 .三. 可微条件:1. 必要条件:Th 1 设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点.),(y x f 在点) , (00y x 可微⇒) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在, 且==),(00),(00y x df dfy x ) , (00y x f x +∆x ) , (00y x f y y ∆. (证)由于dy y dx x =∆=∆ , ,微分记为=),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分.例6 考查函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f 在原点的可微性. [1]P 110 E5 .2. 充分条件:Th 2 若函数),(y x f z =的偏导数在的某邻域内存在, 且x f 和y f 在点) , (00y x 处连续 . 则函数f 在点) , (00y x 可微. (证) [1]P 111 Th 3 若),(y x f y 在点) , (00y x 处连续, ),(y x f x 点) , (00y x 存在,则函数f 在点) , (00y x 可微.证 f y y x x f -∆+∆+) , (00) , (00y x[][]) , () , () , () , (00000000y x f y x x f y x x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+= 0 1,0 ),() , (0000→<<∆+∆+∆∆+∆+=αθαθx x y x f y y y x x f x y []x x y x f y y x f x y ∆+∆+∆+=αβ),(),(0000 0→β y x y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆=βα) , () , (0000.即f 在点) , (00y x 可微 .要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .例7 设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=.0 , 0, 0 ,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x f验证函数),(y x f 在点) 0 , 0 (可微, 但x f 和y f 在点) 0 , 0 (处不连续 . 证).0 , 0(),( , 01sin),(2222→→++=y x yx y x y x f ρ因此)(),(ρο=y x f ,即 )(00)0,0(),(ρο+∆+∆=-y x f y x f ,f 在点)0 , 0(可微,0)0,0( , 0)0,0(==y x f f . 但≠),(y x ) 0 , 0 (时, 有2222221cos1sin2),(yx y x x yx x y x f x ++-+=,沿方向,kx y = 2221||limlimkx xy x x x x +=+→→不存在, ⇒沿方向,kx y = 极限22221cos limyx y x x x ++→不存在; 又→),(y x ) 0 , 0 (时, 01sin222→+yx x ,因此,),(lim)0,0(),(y x f x y x →不存在, x f 在点) 0 , 0 (处不连续.由f 关于x 和y 对称,y f 也在点) 0 , 0 (处不连续 .四. 中值定理:Th 4 设函数f 在点) , (00y x 的某邻域内存在偏导数. 若),(y x 属于该邻域, 则存在)(010x x x -+=θξ和)(020y y y -+=θη, 10 , 1021<<<<θθ, 使得))( , ())( , (),(),(00000y y x f x x y f y x f y x f y x -+-=-ηξ. ( 证 ) 例8 设在区域D 内0==y x f f . 证明在D 内c x f ≡)(.五. 连续、偏导数存在及可微之间的关系：六.可微性的几何意义与应用：1． 可微性的几何意义： 切平面的定义. [1]P 115.Th 5 曲面),(y x f z =在点)) , ( , , (0000y x f y x P 存在不平行于Z 轴的切平面的充要条件是函数),(y x f 在点),(000y x P 可微 . (证略) 2. 切平面的求法: 设函数),(y x f 在点),(000y x P 可微，则曲面),(y x f z =在点)) , ( , , (0000y x f y x P 处的切平面方程为 (其中),(000y x f z =)))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-， 法线方向数为()1 , ),( , ),( 0000-±y x f y x f y x ， 法线方程为1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x . 例9试求抛物面 22by ax z +=在点),,(000z y x M 处的切平面方程和法线方程 .[1] P 115 E63.作近似计算和误差估计: 与一元函数对照, 原理.例10 求96.308.1的近似值. [1] P 115 E7例11 应用公式C ab S sin 21=计算某三角形面积.现测得50.12=a , 30 , 30.8==C b . 若测量b a , 的误差为C , 01.0±的误差为1.0± . 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. [1] P 116 E8 Ex [1]P 116—117 5—14 ；§ 2复合函数微分法 （ 5 时 ）简介二元复合函数 : ),( , ),( , ),(t s y t s x y x f z ψφ===. 以下列三种情况介绍复合线路图: 参阅[4] P 327—328 . ),( , ),( , ),(t s y t s x y x f z ψφ===;, ),,(z y x f u =),( , ),( t s y t s x ψφ==, ),(t s z η=;, ),,(z y x f u = ),,( , ),,( z t s y z t s x ψφ==.一. 链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数),( , ),( t s y t s x ψφ==在点∈),(t s D 可微, 函数),(y x f z =在点=),(y x ()),( , ),(t s t s ψφ可微 , 则复合函数f z =()),( , ),(t s t s ψφ在点),(t s 可微, 且),(),(),(),(),(t s y x t s y x t s s y y z s x x z s z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂,),(),(),(),(),(t s y x t s y x t s ty yz tx xz tz ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. ( 证 ) [1] P 155称这一公式为链导公式. 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”（或“并联加，串联乘”）来概括.对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数. 但对外函数的可微性假设不能减弱. 如[1] P 156的例.对外m 元),,,(21m u u u f , 内n 元),,,(21n i k x x x u φ= ) , , 2 , 1(m k =, 有∑=∂∂∂∂=∂∂mk ikk i x u u f x f 1 ， n i , , 2 , 1 =. 外n 元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数. 例1 y x v e u v u z y x +==+=+22 , , )ln(2. 求x z ∂∂和y z∂∂. [1] P 157 E1 例2 22uv v u z -=, y x v y x u sin , cos ==. 求x z ∂∂和yz ∂∂. 例3 ())3(222y x yx z ++=, 求x z ∂∂和yz ∂∂. 例4 设函数),,(w v u f 可微 . ),,(),,(xyz xy x f z y x F =. 求x F 、y F 和z F . 例5 用链导公式计算下列一元函数的导数 :ⅰ> xx y = ; ⅱ> xx xx y cos sin ln )1(2++= . [1] P 158 E4例6 设函数),(y x u u =可微. 在极坐标变换θθsin , cos r y r x ==下 , 证明222221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y u x u u r r u θ. [1] P 157 E2 例7 设函数)(u f 可微 , )(22y x yf z -=. 求证xz yzxy x z y=∂∂+∂∂2. 二. 复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 .例8 )sin(y x e z xy+=. 利用全微分形式不变性求dz , 并由此导出x z ∂∂和yz∂∂. [1] P 160 E5Ex [1]P 160—161 1—5.三. 高阶偏导数:1. 高阶偏导数的定义、记法： 例9 ,2yx ez += 求二阶偏导数和23xy z∂∂∂. [1]P 167 E1 例10 xyarctgz =. 求二阶偏导数. [1]P 167 E2 2. 关于混合偏导数: [1]P 167—170.3. 求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式 , [1]P 171例11 ) , (y xx f z =. 求22xz ∂∂和y x z ∂∂∂2. [1]P 171 E34. 验证或化简偏微分方程:例12 22ln y x z +=. 证明22x z ∂∂ + 22y z∂∂0=. ( Laplace 方程 )例13 将方程0=∂∂-∂∂xu y y u x变为极坐标形式. 解 xyarctgy x r r y r x =+=⇒==θθθ , .sin , cos 22.r xy x x xr =+=∂∂22, r y y r =∂∂ , 2ry x -=∂∂θ ,2r x y =∂∂θ. θθθ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ur y r u r x x u x r r u x u 2, θθθ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u r x r u r y y u y r r u y u 2; 因此, θθθθ∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂uu ry x u r y r u r xy u r x r u r xy x u y y u x 2222222 . 方程化简为0=∂∂θu. 例14 试确定a 和b , 利用线性变换 by x t ay x s +=+= , 将方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yu y x u x u 化为02=∂∂∂ts u. 解tus u x t t u x s s u x u ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ , t u b s u a y t t u y s s u y u ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. 22x u ∂∂=x∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂t u s u 22s u ∂∂x s ∂∂+t s u ∂∂∂2x t ∂∂+s t u ∂∂∂2x s ∂∂+22t u ∂∂xt∂∂= =22s u∂∂+2t s u ∂∂∂2+22t u ∂∂.y x u ∂∂∂2=y∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂t u s u 22s u ∂∂y s ∂∂+t s u ∂∂∂2y t ∂∂+s t u ∂∂∂2y s ∂∂+22t u ∂∂yt∂∂= =22s ua ∂∂+)(b a +t s u ∂∂∂2+b 22tu ∂∂.22y u ∂∂=y ∂∂==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ t u b s u a 222s u a ∂∂+ab 2t s u ∂∂∂2+2b 22t u ∂∂. 因此 , =∂∂+∂∂∂+∂∂2222234yuy x u x u)341(2a a ++=22s u ∂∂ + ()6442ab b a +++t s u ∂∂∂2 + )341(2b b ++22t u ∂∂. 令 03412=++a a , 1 , 31 , 03412-=-=⇒=++b a b b 或31 , 1-=-=b a 或 ……, 此时方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yuy x u x u 化简为02=∂∂∂t s u .Ex [1]P 183 1，2 .§3 方向导数和梯度 （ 3 时 ）一． 方向导数：1． 方向导数的定义：定义 设三元函数f 在点),,(0000z y x P 的某邻域)(0P ⊂3R 内有定义.l 为从点0P 出发的射线.),,(z y x P 为l 上且含于)(0P 内的任一点,以ρ表示P 与0P 两点间的距离.若极限 ρρρρfP f P f l ∆=-++→→000lim )()(lim存在,则称此极限为函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数,记为P lf ∂∂或)(0P f l 、),,(000z y x f l .对二元函数),(y x f z =在点),(000y x P , 可仿此定义方向导数. 易见,x f ∂∂、y f ∂∂ 和 zf ∂∂是三元函数f 在点0P 分别沿X 轴正向、Y 轴正向和Z 轴正向的方向导数 .例1 ),,(z y x f =32z y x ++. 求f 在点0P ) 1 , 1 , 1 (处沿l 方向的方向导数,其中ⅰ> l 为方向) 1 , 2 , 2 (-; ⅱ> l 为从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向.解 ⅰ> l 为方向的射线为令===-=--=-112121z y x )0 ( >t . 即)0 ( , 1 , 12 , 12≥+=+-=+=t t z t y t x .3) 1, 1 , 1 ()(0==f P f ,37) 1 () 12 () 12 ( ) 1 , 12 , 12 ()(2332+++=+++-++=++-+=t t t t t t t t t f P ft t t t z y x 3)2()2()1()1()1(222222=+-+=-+-+-=ρ.因此 ,.3137lim )()(lim 23000=++=-=∂∂++→→t t t t P f P f lft P ρρ ⅱ> 从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向l 的方向数为), 0 , 3 , 1 (-l 方向的 射线为 ) 0 ( , 1 , 13 , 1≥=+-=+=t z t y t x .359) 1 , 13 , 1()(2+-=+-+=t t t t f P f , 3) 1, 1 , 1 ()(0==f P f ;t t t z y x 10)3()1()1()1(22222=-+=-+-+-=ρ.因此 ,.1051059lim )()(lim 2000-=-=-=∂∂++→→tt t P f P f lft P ρρ2. 方向导数的计算:Th 若函数f 在点),,(0000z y x P 可微, 则f 在点0P 处沿任一方向l 的方向导数都存在, 且 =)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos ,其中αcos 、βcos 和γcos 为l 的方向余弦. ( 证 ) [1]P 163对二元函数),(y x f , =)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos , 其中α和β是l 的方向角.注：由=)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos=()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z )(⋅αcos , βcos , γcos ),可见, )(0P f l 为向量()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z )在方向l 上的投影.例2 ( 上述例1 )解 ⅰ> l 的方向余弦为αcos =321)2(22222=+-+, βcos =32-, γcos =31.)(0P f x =1 , )(0P f y =221==y y , )(0P f z =3312==z z .因此 ,l f ∂∂=)(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos =31313) 32(232=⋅+-⋅+. ⅱ> l 的方向余弦为αcos =101)11()12()12(12222=-+--+--, βcos =103-, γcos =0 .因此 ,l f∂∂=10510321011-=⋅-⋅.可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 .例3 [1]P 164 E2 .二. 梯度 ( 陡度 ):1. 梯度的定义: =gradf ()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z ) .||gradf =()()()202020)()()(P f P f P f z y x ++.易见, 对可微函数f , 方向导数是梯度在该方向上的投影.2. 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为=)(0P f l =⋅l gradf ||)(0P gradf θcos .其中θ是l 与)(0P gradf 夹角. 可见0=θ时)(0P f l 取最大值 , 在l 的反方向取最小值 . 3. 梯度的运算:ⅰ> grad =+)(c u grad u .ⅱ> grad (αu +βv ) = αgrad u +βgrad v .ⅲ> grad (u v ) = u grad v +v grad u .ⅳ> grad 2uvgradu ugradv u v -=. ⅴ> grad f (u ) = gradu u f )('.证ⅳ> 2u v u uv u v x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛ , 2u v u uv u v y y y-=⎪⎭⎫ ⎝⎛. grad =--=) , (12v u uv v u uv uu v y y x x []=-=) , ( ) , (12v u v u v u uv uy x y x []=-=) , () , (12y x y x u u v v v u u 2u vgradu ugradv -.Ex [1]P 165 1，2 ，3 ，6 .§4 Taylor 公式和极值问题 （ 4 时 ）一． 中值定理： 凸区域 . Th 1 设二元函数f 在凸区域D 2R ⊂上连续, 在D 的所有内点处可微. 则对D 内任意两点int ) , ( , ),(∈++k b h a Q b a P D , 存在) 10 ( <<θθ, 使k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f x ) , () , (),() , (θθθθ+++++=-++. 证 令 , ) , ()(tk b th a f t ++=Φ.在闭凸区域上的情况: [1]P 173—174.推论 若函数f 在区域D 上存在偏导数 , 且x f ≡y f ≡0, 则f 是D 上的常值函数.二. Taylor 公式:Th 2 (Taylor 公式) 若函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P 内有直到1+n 阶连续偏导数, 则对)(0P 内任一点) , (00k y h x ++,存在相应的) 1 , 0(∈θ, 使∑=+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=++ni n i k y h x f y k x h n y x f y k x h i k y h x f 00010000). , ()!1(1),(!1 ) , (θθ 证 [1]P 175 例1 求函数y x y x f =),(在点) 4 , 1 (的Taylor 公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算.) 08.1 (96.3 [1]P 175—176 E4 .三. 极值问题:1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值.例2 [1]P 176 E5Ex [1]P 183 5，6，7⑴⑷.2． 极值的必要条件：与一元函数比较 .Th 3 设0P 为函数)(P f 的极值点. 则当)(0P f x 和存在时,有)(0P f x =)(0P f y 0=. (证)函数的驻点、不可导点 ， 函数的可疑点 .3. 极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实 )二次型 222),(cy bxy ax y x g ++=. 其矩阵为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b b a . ⅰ> ),(y x g 是正定的,⇔ 顺序主子式全0 >,),(y x g 是半正定的,⇔ 顺序主子式全 0 ≥;ⅱ> ),(y x g 是负定的,⇔ 0||) 1(1>-k ij k a , 其中k ij a 1||为k 阶顺序主子式. ),(y x g 是半负定的, ⇔ 0||) 1(1≥-k ij k a .ⅲ> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b b a < 0时, ),(y x g 是不定的. 充分条件的讨论: 设函数),(y x f 在点),(000y x P 某邻域有二阶连续偏导数.由Taylor公式, 有)()(!21)(),() , (20200000ρ +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=-++P f y k x h P f y k x h y x f k y h x f =)(0P f x h +)(0P f y k + [])()()(2)(!21220020ρ +++k P f hk P f h P f yy xy xx . 令 )(0P f A xx = , )(0P f B xy =, )(0P f C yy =, 则当0P 为驻点时, 有[])(221),() , (2220000ρ +++=-++Ck Bhk Ah y x f k y h x f . 其中22k h +=ρ. 可见式),() , (0000y x f k y h x f -++的符号由二次型222Ck Bhk Ah ++完全决定.称该二次型的矩阵为函数),(y x f 的Hesse 矩阵. 于是由上述代数准备, 有ⅰ> 0 , 02>->B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极小值点 ;ⅱ> 0 , 02>-<B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极大值点 ;ⅲ> 0 2<-B AC 时, 0P 不是极值点;ⅳ> 0 2=-B AC 时, 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 综上, 有以下定理.Th 4 设函数)(P f 在点0P 的某邻域内有连续的二阶偏导数, 0P 是驻点. 则ⅰ> ()0)( , 0)(020>->P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极小值点; ⅱ> ()0)( , 0)(020>-<P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极大值点;ⅲ> ()0)( 02<-P f f f xy yy xx 时 , 0P 不是极值点;ⅳ> ()0)( 02=-P f f f xy yy xx 时 , 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .例3—7 [1]P 179—182 E6—10 .四． 函数的最值：例8 求函数),(y x f y x y xy x 4102422+--+=在域D = } 4 , 0 , 0 |),( {≤+≥≥y x y x y x 上的最值 .解 令 ⎩⎨⎧=+-==-+=.04 44),(,01042),(y x y x f y x y x f yx 解得驻点为) 2 , 1 (. 1) 2 , 1 (-=f . 在边界) 40 ( 0≤≤=y x 上 , y y y f 42),0(2+-=, 驻点为1=y , 2)1,0(=f ; 在边界) 40 ( 0≤≤=x y 上 , x x x f 10)0,(2-=, 没有驻点;在边界) 40 ( 4≤≤-=x x y 上 , 16185)4 , (2-+-=-x x x x f ,驻点为8.1=x , 2.0)8.14 , 8.1(=-f .又24)0,4( , 16)4,0( , 0)0,0(-=-==f f f .于是 , )}0,4( , )4,0( , )0,0( , )2.2 , 8.1( , )1,0( , )2,1(max{),(max f f f f f f y x f D = 2.0} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 max{=---=.),(min y x f D24} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 min{-=---=.Ex [1]P 184 8⑴⑵，9⑴⑵，10，11 .。

多元函数微分学知识点多元函数微分学是微积分的重要内容，它研究的是在多变量条件下函数的导数和微分的性质。

在实际应用中，多元函数微分学为我们解决各种问题时提供了有效的数学工具。

本文将介绍一些多元函数微分学的基本知识点，包括偏导数、全微分和梯度。

多元函数微分学的第一个知识点是偏导数。

在一元函数中，导数表示函数在某一点上的变化率。

而在多元函数中，我们需要引入偏导数的概念。

偏导数表示函数在某一点上沿着一个坐标轴的变化率。

对于一个两个自变量的函数f(x, y)，偏导数可以用∂f/∂x和∂f/∂y表示。

它们分别表示函数沿x轴和y轴的变化率。

偏导数可以帮助我们理解函数的局部变化情况，并在解决最优化问题时提供重要的线索。

第二个知识点是全微分。

全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，它表示函数在某一点上的微小变化量。

全微分可以用df表示，其中df = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy。

全微分可以帮助我们推导函数的逼近值和误差，从而得出函数在某一点的性质和特点。

例如，在工程学中，通过对一个物理过程的全微分分析，我们可以推导出近似解，并估计误差。

最后一个知识点是梯度。

梯度是多元函数微分学中的一个重要工具，它表示函数在某一点的最大变化方向。

对于一个函数f(x, y)，梯度可以用∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)表示。

梯度的方向是函数变化最快的方向，它的模长表示函数的变化速率。

通过研究梯度，我们可以找到函数的极大值、极小值和鞍点，并解决最优化问题。

多元函数微分学是高级数学中的一个重要分支，它在各个学科领域都有广泛的应用。

在物理学中，我们可以通过多元函数微分学的方法推导出物理方程，并解决各种动力学问题。

在经济学中，多元函数微分学可以帮助我们分析供求关系，推导出边际效应，并解决最优决策问题。

在金融学中，多元函数微分学可以帮助我们研究金融风险和资产定价。

综上所述，多元函数微分学是微积分的重要内容之一，它研究的是多变量条件下函数的导数和微分的性质。

第十七章 多元函数的微分学 §1 可微性教学目的 掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，可微的必要条件． 教学要求(1) 基本要求：掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，熟记可微的必要条件与充分条件．(2) 较高要求：切平面存在定理的证明．教学建议(1)本节的重点是多元函数偏导数，可微性与全微分的定义．(2) 通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系．教学程序一、 可微性与全微分:由一元函数可微性引入二元函数可微性.定义1（可微性） 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点00(,)(,)P x y x x y y =+∆+∆，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为 00(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+,其中A ，B 是仅与点0P 有关的常数，22,()x y ρρ=∆+∆是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微。

全微分:当,x y ∆∆充分小时0000(,)(,)()()dz zf x y f x y A x x B y y ≈∆≈+-+-. 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性 .二 、 偏导数（一）、偏导数的定义、记法),(y x f 在点),(00y x 存在偏导数定义为：000000),(),(lim ),(0x x y x f y x f y x f x x x --=→ 或 xy x f y x x f y x f x x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 000000),(),(lim ),(0y y y x f y x f y x f y y y --=→ 或 y y x f y y x f y x f y y y ∆-∆+=→),(),(lim ),(0000000 偏导数的几何意义:（二）、求偏导数:例2 ),(y x f =)12sin()32(2+++y x x . 求偏导数.例3 ),(y x f = 1)1ln(2+++y x x . 求偏导数.例4 ),(y x f =22y x y x ++. 求偏导数, 并求) 1 , 2 (-x f . 三 、 可微条件（一）、必要条件定理17.1设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点 . ),(y x f 在点) , (00y x 可微的必要条件是) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在 , 且==),(00),(00y x df dfy x ) , (00y x f x +∆x ) , (00y x f y y ∆.证明：由于dy y dx x =∆=∆ , , 微分记为=),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy .定理17.1给出了计算可微函数全微分的方法. 但是两个偏导数存在只是可微的必要条件, 而不是充分条件.例5．考查函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f在原点的可微性 .这个例子说明，偏导存在不一定可微，（这一点与一元函数不同！）（二）、充分条件定理17.2（可微的充分条件）若函数),(y x f z =的偏导数在的某邻域内存在 , 且x f 和y f 在点) , (00y x 处连续 . 则函数f 在点) , (00y x 可微。

多元函数微分学一：全微分函数在处可微的充分条件：(,)z f x y =00(,)x y ''22(,)(,)()()x y z f x y x f x y y x y ∆-∆-∆∆+∆22()()0x y ∆+∆→当时是无穷小量222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩例1：函数在[(0,0)(0,0)]()x y z f x f y o ρ∆-∆+∆＝（0，0）处是否可微？0(0,0)(0,0)lim x y z f x f yρρ→∆-∆-∆22222201[()()]sin ()()lim ()()x y x y x y ρ→∆+∆∆+∆=∆+∆0=即函数f (x , y )在原点(0,0)可微.sin 2yz y x e μ=++例2：计算的全微分11,cos ,22yz yz u u y u ze ye x y z∂∂∂==+=∂∂∂解：1(cos )22yz yz y du dx ze dy ye dz =+++所求全微分：二：复合函数求偏导1、偏导数求法(1) 求关于x的偏导数，把z=f (x , y) 中的y看成常数，对x仍用一元函数求导法求偏导.(2) 求关于y的偏导数，把z=f (x , y) 中的x看成常数，对y仍用一元函数求导法求偏导.(3)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求.2：链式法则的几种情况：1:),(,),(,),(,)x y x y x y z f u f v f w x u x v x w xz f u f v f w y u y v y w yμυωμμυυωω===∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂中间变量多于两个的情况：设z=f(,,''2:),(,)(),()x y z f u u z f u u f u f u x u x x y u y yμμμ=∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂中间变量只有一个的情况：设z=f(3:,),(),(),v x v v x z x z f u f v x u x u xμμμ==∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂自变量只有一个的情况：设z=f(则是的一元复合函数，它对x 的导数称为全导数，有(,,),(,),(,),,z f x y t x x s t y y s t z f x f y z f x f y f s x s y s t x t y t t===∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂4:设则例3：).1())),(,(,()(,)1,1(,)1,1(,1)1,1(,),(2ϕϕ'=='='=求，可微x x f x f x f x b f a f f y x f y x解⋅='))),(,(,(2)(x x f x f x f x ϕ⋅'+'))),(,(,())),(,(,({21x x f x f x f x x f x f x f ⋅'+')),(,()),(,([21x x f x f x x f x f ))]},(),((21x x f x x f '+')]}([{12)1(b a b a b a +++⋅⋅='ϕ)(232b ab ab a +++=解：3个方程, 4个变量的方程组,)(),(),(x z z x y y x u u ===确定3个1元函数:方程组两边对x 求导=x u d d ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x g x h x f x y f y d d +x y g y d d ⋅+x z g z d d ⋅+0=xz h z d d ⋅+0=⎪⎩⎪⎨⎧===.0),(,0),,(),,()(z x h z y x g y x f u x u 由方程组设函数例4：,0,0,≠∂∂≠∂∂zh y g 且所确定.d d x u 求=x u d d ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x g x h x f x y f y d d +)1(x y g y d d ⋅+x z g z d d ⋅+0=)2(x z h z d d ⋅+0=)3(代入可得：d d y x y z x x y y zf g f g h u f x g g h ⋅⋅⋅=-+⋅三：高阶偏导定理 如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z ∂∂∂2在区域D 内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．215()(),y z z f xy xf f y x x y ∂=+∂∂例：有连续二阶偏导数，求'()'()'()z y y y f xy f f x x x x ∂=+-∂解：2()z z x y y x ∂∂∂=∂∂∂∂11''()''()'()''()y y y y xf xy f f f x x x x x x=+--22222222(0,0)(0,0)22(),06:(,),|,|0,0xy x y x y f f f x y x y x y y x x y ⎧-+>∂∂⎪=+⎨∂∂∂∂⎪+=⎩例求22232222222222()(3)2(),0()0,0x y x y y x y x y x y f x y x x y ⎧+---+>∂⎪=+⎨∂⎪+=⎩解：2(0,)(0,0)(0,0)0|||lim 1y y f f f x x x y y →∂∂-∂∂∂==-∂∂22322222222222()(3)2(),0()0,0x y x xy xy x y x y f x y y x y ⎧+---+>∂⎪=+⎨∂⎪+=⎩(,0)(0,0)2(0,0)0|||lim 1x y f f f y y y x x→∂∂-∂∂∂==∂∂注：对不连续的函数求导，用定义法四：隐函数求导1：一个方程的情况:1．1 显化法:(一元隐函数）把一元隐函数化为显函数后，再利用显函数求导的方法，来求该一元隐函数的导数，即(,)0F x y =()y y x ='()xdy dy x y dx dx==2'ln()0,(x y x xy y x+-=例7：设求一元隐函数）22ln()x y y x xy xy e x x -=--⇒-=21x e y x x -⇒=-利用显函数求导方法，有：22222'211(12)(12)11()()x x x e x y x x y x x x x -----==--1．2公式法: .x yF dy dx F =-1．3对数求导法:80,,x zz z z y x y ∂∂-=∂∂例：设求（多元隐函数）ln ln x zz y x z z y ==解：原方程可化为，方程两边同时取对数得:2ln ln ln ln (ln )x y z z z z x z y x y z z z y x z y ⎧==⎪--⎪⎨⎪=⎪-⎩所以2ln ln ln ln (ln )x y z z z z x z y x y z z z y x z y ⎧==⎪--⎪⎨⎪=⎪-⎩所以2：方程组的情况：2.1直接对方程两边求偏导，再解关于偏导数的方程sin ,,cos uu x e u v u u x y y e u v ⎧=+∂∂⎪⎨∂∂=-⎪⎩例9：设求1sin cos 0s cos (sin )u u x u u v e v u v x x xu u v e v u v x x x∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂两个方程两边关于求偏导，得：(1)(2)(1)sin (2)cos v v v x ∂⨯-⨯∂，消去得22sin (sin cos )(sin cos )uu u v e v v v v x x ∂∂=-++∂∂sin 1sin cos u u u v x e v e v∂=∂+-同理可求：cos 1sin cos u u u v y e v e v∂-=∂+-Thanks for your listening!。

第七章多元函数的微分学一、多元函数微分学网络图二、内容与要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

5.会求多元隐函数的偏导数。

6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。

难点多元复合函数二阶偏导数的求法。

用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。

三、概念、定理的理解与典型错误分析1．求多元函数极限的方法（1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. （2）利用多元函数极限的四则运算。

（3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算.（4）对于证明或求时，感觉极限可能时零，而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而由夹逼定理知从而2．判断多元函数极限不存在的方法（1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。

注意：与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限，我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。

例1而知不存在. 例2在原点的两个累次极限都不存在，但是由于，因此.由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在，但二重极限存在，但我们有下面的结论。

定理7。