基本不等式练习题
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不等式练习题一、基本不等式1. 已知a > b,求证:a + c > b + c。
2. 已知x > 3,求证:x^2 > 9。
3. 已知0 < x < 1,求证:x^3 < x。
4. 已知a, b均为正数,求证:a^2 + b^2 > 2ab。
5. 已知|x| > |y|,求证:x^2 > y^2。
二、一元一次不等式1. 解不等式:3x 7 > 2x + 4。
2. 解不等式:5 2(x 3) ≤ 3x 1。
3. 解不等式:2(x 1) 3(x + 2) > 7。
4. 解不等式:4 3(x 2) ≥ 2x + 5。
5. 解不等式:5(x 3) + 2(2x + 1) < 7x 9。
三、一元二次不等式1. 解不等式:x^2 5x + 6 > 0。
2. 解不等式:2x^2 3x 2 < 0。
3. 解不等式:x^2 4x + 4 ≤ 0。
4. 解不等式:3x^2 + 4x 4 > 0。
5. 解不等式:x^2 + 5x 6 < 0。
四、分式不等式1. 解不等式:x / (x 1) > 2。
2. 解不等式:1 / (x + 3) 1 / (x 2) ≤ 0。
3. 解不等式:(x 1) / (x + 1) < 0。
4. 解不等式:(2x + 3) / (x 4) ≥ 1。
5. 解不等式:(3x 2) / (x^2 5x + 6) > 0。
五、含绝对值的不等式1. 解不等式:|x 2| > 3。
2. 解不等式:|2x + 1| ≤ 5。
3. 解不等式:|3x 4| < 2。
4. 解不等式:|x + 3| |x 2| > 1。
5. 解不等式:|x 5| + |x + 1| < 6。
六、综合应用题1. 已知不等式组:$\begin{cases} 2x 3y > 6 \\ x + 4y ≤ 8 \end{cases}$,求x的取值范围。
试卷第1页,总1页基本不等式1、若,则的最大值为( )ABC .2D 2、已知)A .5B .4 C .8D .6 3、设x>0 ) A .最大值1 B .最小值1 C .最大值5 D .最小值4、已知 ()D.55、,则的最大值为_______.6、设________. 7、若、为正实数,且,则的最小值为__________.8、设_____. 9、已知正数满足,则的最小值为______.10、某新建居民小区欲建一面积为1600平方米的矩形绿地,在绿地四周铺设人行道,设计要求绿地长边外人行道宽1米,短边人行道宽4米,如图所示。
怎样设计绿地的长和宽,才能使人行道的占地面积最小?并求出最小值。
023x <<(32)x x -2x >5-0,0,2,a b a b >>+=ab 1x >a b 3a b ab ++=ab 0x >,a b 4a b ab +=+a b答案第1页,总1页 参考答案1、【答案】D2、【答案】D3、【答案】A4、【答案】C5、【答案】36、7、【答案】8、9、【答案】9.10、【答案】长.宽.最小面积 试题分析:根据题意求出人行横道的面积表达式,结合基本不等式即可求解.【详解】设矩形绿地的长为米,宽为米,则平方米所以人行横道的面积(即人行道面积等于外围矩形面积减去内部矩形面积) 即当且仅当,即时等号成立 故当绿地的长为,宽为时,才能使人行道的占地面积最小,最小值为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式解决实际问题,要注意基本不等式成立的条件,考查了学生分析和解决问题的能力,属于中档题.980m 20m 2336m a b 1600ab =()()821600S a b =++-2816S a b =++28a b =80,20a m b m ==80m 20m 2336m。
《基本不等式》同步测试一、选择题,本大题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1。
若a ∈R ,下列不等式恒成立的是 ( )A .21a a +>B .2111a <+ C .296a a +> D .2lg(1)lg |2|a a +>2。
若0a b <<且1a b +=,则下列四个数中最大的是 ( )A.12B.22a b + C.2ab D.a3。
设x >0,则133y x x=--的最大值为 ( )A.3 B.3- C.3- D.-14。
设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A 。
10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数,且141x y+=,则xy 有 ( ) A.最大值16 B.最小值116 C.最小值16 D.最大值1166。
若a , b , c ∈R ,且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 ( )A .2222a b c ++≥B .2()3a b c ++≥C .111abc++≥ D .a b c ++≤7. 若x 〉0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 ( )A .114x y ≤+B .111x y +≥ C 2≥ D .11xy ≥8。
a ,b 是正数,则2,2a baba b++三个数的大小顺序是 ( )A.22a b ab a b ++ 22a b aba b+≤≤+C.22ab a b a b ++ D.22ab a ba b +≤+ 9。
某产品的产量第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,设这两年平均增长率为x ,则有( )A.2p q x += B.2p q x +< C.2p q x +≤ D.2p qx +≥ 10. 下列函数中,最小值为4的是 ( )A.4y x x =+B.4sin sin y x x=+ (0)x π<<C.e 4e x x y -=+ D.3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题,每小题3分,满分12分,把正确的答案写在题中横线上.11。
基本不等式练习题一、选择题1.在下列各函数中,最小值等于2的函数是( ) A .y =x +1x B .y =cos x +1cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2 C .y =x 2+3x 2+2D .y =e x +4ex -2[答案] D[解析] x <0时,y =x +1x ≤-2,故A 错;∵0<x <π2,∴0<cos x <1,∴y =cos x +1cos x ≥2中等号不成立,故B 错;∵x 2+2≥2,∴y =x 2+2+1x 2+2≥2中等号也取不到,故C 错,∴选D.2.已知x >0,y >0,且2x +1y =1,若x +2y >m 2+2m 恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .m ≥4或m ≤-2B .m ≥2或m ≤-4C .-2<m <4D .-4<m <2 [答案] D[解析] ∵x >0,y >0,且2x +1y =1,∴x +2y =(x +2y )(2x +1y )=4+4y x +xy≥4+24y x ·x y =8,当且仅当4y x =xy,即x =2y 时取等号,又2x +1y =1,∴x =4,y =2,∴(x +2y )min =8,要使x +2y >m 2+2m 恒成立,只需(x+2y )min >m 2+2m ,即8>m 2+2m ,解得-4<m <2.3.(2010·广西柳州市模考)设a ,b ∈R ,则“a +b =1”是“4ab ≤1”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不是充分条件也不是必要条件 [答案] A[解析] a ,b 中有一个不是正数时,若a +b =1,显然有4ab ≤1成立,a ,b 都是正数时,由1=a +b ≥2ab 得4ab ≤1成立,故a +b =1⇒4ab ≤1,但当4ab ≤1成立时,未必有a +b =1,如a =-5,b =1满足4ab ≤1,但-5+1≠1,故选A.4.若a >0,b >0,a ,b 的等差中项是12,且α=a +1a ,β=b +1b ,则α+β的最小值为( )A .2B .3C .4D .5 [答案] D[解析] ∵12为a 、b 的等差中项,∴a +b =12×2=1.a +1a +b +1b ⇒1+1a +1b =1+a +b ab =1+1ab , ∵ab ≤a +b 2,∴ab ≤(a +b )24=14.∴原式≥1+4.∴α+β的最小值为5.故选D.5.若直线2ax -by +2=0(a >0,b >0)被圆x 2+y 2+2x -4y +1=0截得的弦长为4,则1a +1b的最小值是( ) A .1 B .2 C .3 D .4[答案] D[解析] 圆(x +1)2+(y -2)2=4,∵弦长为4,故为直径,即直线过圆心(-1,2),∴a +b =1.∴1a +1b =⎝⎛⎭⎫1a +1b (a +b )=2+b a +a b ≥4.当且仅当a =b =12时取等号. 6.已知c 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的半焦距,则b +c a 的取值范围是( )A .(1,+∞)B .(2,+∞)C .(1,2)D .(1,2][答案] D[解析] 由题设条件知,a <b +c ,∴b +ca>1,∵a 2=b 2+c 2,∴(b +c )2a 2=b 2+c 2+2bc a 2≤2(b 2+c 2)a 2=2,∴b +ca≤ 2.故选D.二、填空题7.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1t 的最小值为________.[答案] -2[解析] y =t 2-4t +1t =t +1t -4因为t >0,y =t +1t -4≥2t ·1t-4=-2. 等号在t =1t,即t =1时成立.8.已知正数a ,b ,c 满足:a +2b +c =1则1a +1b +1c 的最小值为________.[答案] 6+4 2 [解析]1a +1b +1c =a +2b +c a +a +2b +c b +a +2b +c c=⎝⎛⎭⎫2b a +a b +⎝⎛⎭⎫c a +a c +⎝⎛⎭⎫c b +2b c +4≥22+2+22+4=6+42,等号在2b a =a b ,c a =a c ,c b =2bc 同时成立时成立.即a =c =2b =1-22时等号成立. 9.设圆x 2+y 2=1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A ,B ,则AB 的最小值为______. [答案] 2[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在,且不为零,故设切线方程为x a +yb =1,则ab a 2+b2=1,∴a 2b 2=a 2+b 2≥2ab ,切线与两轴交于点A (a,0)和(0,b ),不妨设a >0,b >0,∴ab ≥2,则AB =|AB |=a 2+b 2≥2ab ≥2.三、解答题10.(1)已知a >0,b >0,且4a +b =1,求ab 的最大值; (2)若正数x ,y 满足x +3y =5xy ,求3x +4y 的最小值; (3)已知x <54,求f (x )=4x -2+145x -的最大值。
1、若实数x ,y 满足224x y +=,求xy 的最大值
2、若x>0,求9()4f x x x =+
的最小值;
3、若0x <,求1y x x =+
的最大值
4、若x<0,求9()4f x x x =+
的最大值
5、求9()45
f x x x =+
-(x>5)的最小值.
6、若x ,y R +∈,x+y=5,求xy 的最值
7、若x ,y R +∈,2x+y=5,求xy 的最值
8、已知直角三角形的面积为4平方厘米,求该三角形周长的最小值
1、求1 (3)3y x x x =
+>-的最小值.
2、求(5) (05)y x x x =-<<的最大值.
3、求1(14)(0)4y x x x =-<<的最大值。
4、求123 (0)y x x x =
+<的最大值.
5、若2x >,求1252y x x =-+
-的最小值
6、若0x <,求21x x y x ++=
的最大值。
7、求2
y =
的最小值.
8(1)用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少?
(2)段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?。
基本不等式(均值定理)练习题 一、选择题 1.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b 恒成立的个数为( ) ①ab ≤1;②a b 2;+≤③a 2+b 2≥2;④a 3+b 3≥3;⑤11 2.a b+≥ (A)1 (B)2 (C)3 (D)42.已知22b 1m a a 2,n 2b 0,a 2-=+>=≠-()()则m 、n 之间的大小关系是( ) (A)m>n (B)m<n (C)m=n (D)不确定3.设a a a 11x 2x m log x,n log ,p log ,221x+===+其中0<a <1,x >0且x ≠1,则下列结论正确的是( ) (A )m <n <p (B)m <p <n (C)n <m <p (D)n <p <m4.已知不等式1a x y)()9x y++≥(对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)25.设a>0,b>0,若3是3a 与3b 的等比中项,则11a b+的最小值为( ) (A)8 (B)4 (C)1 (D)146.若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=423-,则2a+b+c 的最小值为( )()()()()A 3 1 B 3 1 C 23 2 D 232-++-7.设x>y>z,n ∈N *,且11n x y y z x z +≥---恒成立,则n 的最大值是( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5二、填空题1.在4×+9×=60的两个中,分别填入两自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上________和________.2.若正数a,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是__________.3.若对任意x>0,2x a x 3x 1≥++恒成立,则a 的取值范围是__________. 4.函数y=log a (x+3)-1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx+ny+1=0上,其中mn >0,则12m n+的最小值为_______. 5.若实数满足2=+b a ,则b a 33+的最小值是 .三、解答题 1.若44log log 2x y +=,求11x y +的最小值.并求x,y 的值 2.若+∈R y x ,且12=+y x ,求yx 11+的最小值 3.已知x ,y 为正实数,且x 2+y 22 =1,求x 1+y 2 的最大值.4.已知a >0,b >0,ab -(a +b )=1,求a +b 的最小值。
不等式题目及答案【篇一:基本不等式练习题及答案】教a版教材习题改编)函数y=x+xx>0)的值域为( ).a.(-∞,-2]∪[2,+∞)c.[2,+∞)b.(0,+∞) d.(2,+∞)a+b12.下列不等式:①a2+1>2a;②2;③x2+≥1,其中正确的个数是 x+1ab( ).a.0b.1c.2d.33.若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为( ).1a.2b.1 c.2 d.4a.1+2b.1+3c.3d.4t2-4t+15.已知t>0,则函数y=的最小值为________. t考向一利用基本不等式求最值11【例1】?(1)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则x+y的最小值为________;(2)当x>0时,则f(x)=2x________. x+1【训练1】 (1)已知x>1,则f(x)=x+1的最小值为________. x-12(2)已知0<x<5y=2x-5x2的最大值为________.(3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,则x+y的最小值为________.考向二利用基本不等式证明不等式bccaab【例2】?已知a>0,b>0,c>0,求证:abca+b+c..【训练2】已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.111求证:a+b+c≥9.考向三利用基本不等式解决恒成立问题________.考向三利用基本不等式解实际问题【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5 m.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?(1)求出f(n)的表达式;(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?双基自测d.(2,+∞)答案 c2.解析①②不正确,③正确,x2+112(x+1)+1≥2-1=1.答案 b x+1x+11的最小值是( ). a?a-b?13.解析∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥2ab,即ab≤2答案 a4.解析当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)+=3,即a=3.答案 ct2-4t+115.解析∵t>0,∴y==t+tt-4≥2-4=-2,当且仅当t=1时取等号.答案-2【例1】解析 (1)∵x>0,y>0,且2x+y=1,112x+y2x+yy2xy2x∴x+y=x+y=3+x+y3+22.当且仅当xy 时,取等号.(2)∵x>0,∴f(x)=2x221=1≤2=1,当且仅当x=x,即x=1时取等号.答x+1x+x案 (1)3+22 (2)1【训练1】.解析 (1)∵x>1,∴f(x)=(x-1)+1+1≥2+1=3 当且仅当xx-11?5x+2-5x?2=1,∴y≤,当且仅当5x=2-5x,-5x>0,∴5x(2-5x)≤?52??1128即x=5时,ymax=5.(3)由2x+8y-xy =0,得2x+8y=xy,∴y+x=1,4yx当且仅当xyx=2y时取等号,又2x+8y-xy=0,∴x=12,y =6,∴当x=12,y=6时,x+y取最小值18.1答案 (1)3 (2)5(3)18bcca【例2】证明∵a>0,b>0,c>0,∴a+b≥2bcabcaab=2b;acb+c≥2 bccabcab=2c;aba+c≥2caab?bccaab?+c≥2(abc=2a.以上三式相加得:2?ab?bccaab+b+c),即abca+b+c.【训练2】111a+b+ca+b+c证明∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴a+b+c=aba+b+cbcacab?ba?ca?cb?a+b+?ac+?bc 3+3+caabbcc??????1≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=3时,取等号.xx解析若对任意x>0≤a恒成立,只需求得y=的最大值即x+3x +1x+3x+1可,因为x>0,所以y=x=x+3x+1111x=1时115x+x32 xx ?1??1?取等号,所以a的取值范围是?5,+∞?答案 ?5? ????【训练3】解析由x>0,y>0,xy=x+2y≥2 2xy,得xy≥8,于是由m-2≤xy恒成立,得m-2≤8,m≤10,故m的最大值为10.答案 1016当且仅当x=x,即x=4时取等号.故当侧面的长度为4米时,总造价最低.【训练3】解 (1)第n次投入后,产量为(10+n)万件,销售价格为100元,固定成本为80元,科技成本投入为100n万元.所以,年利润为f(n)=(10+n+180?80??*100-100-?-100n(n∈n).(2)由(1)知f(n)=(10+n)?-100n n)?n+1?n+1???9?9n+1+≤520(万元).当且仅当n+1==1 000-80?, n+1??n +1即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.【示例】.正解∵a>0,b>0,且a+b=1,12?12b2a∴a+b=?a+b(a+b)=1+2+ab3+2 ??b2aab3+22. a+b=1,??当且仅当?b2a??ab ?a=2-1,12即?时,ab3+22. ?b=2-22 11112【试一试】尝试解答] a+ab=a-ab+ab+ab+a(a-b)+a?a-b?a?a-b?11+ab+ab≥2 1a?a-b?2 1abab2+2=4.当且仅当a(a-a?a-b?a?a-b?b)=1a?a-b?且ab=1aba=2b时,等号成立.答案d【篇二:初中数学不等式试题及答案】t>a卷2?x7x??1的解集为_____________。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1.函数y =2x +22x 的最小值为( )A .1B .2C .22D .4 答案:C解析:因为2x >0,所以y =2x +22x ≥22x ·22x =22 ,当且仅当2x =22x ,即x =12时取“=”.故选C.2.若a >0,b >0且2a +b =4,则1ab的最小值为( )A .2B .12C .4D .14答案:B解析:∵a >0,b >0,∴4=2a +b ≥22ab (当且仅当2a =b ,即:a =1,b =2时等号成立),∴0<ab ≤2,1ab ≥12 ,∴1ab 的最小值为12.3.下列结论正确的是( )A .当x >0且x ≠1时,lg x +1lg x≥2B .当x ∈⎝⎛⎦⎤0,π2 时,sin x +4sin x的最小值为4 C .当x >0时,x +1x ≥2D .当0<x ≤2时,x -1x无最大值答案:C解析:当x ∈(0,1)时,lg x <0,故A 不成立,对于B 中sin x +4sin x≥4,当且仅当sinx =2时等号成立,等号成立的条件不具备,故B 不正确;D 中y =x -1x在(0,2]上单调递增,故当x =2时,y 有最大值,故D 不正确;又x +1x ≥2x ·1x=2(当且仅当x =1x即x =1时等号成立).故C 正确. 4.下列不等式恒成立的是( )A .a 2+b 2≤2abB .a 2+b 2≥-2abC .a +b ≥2|ab |D .a +b ≥-2|ab | 答案:B解析:对于A ,C ,D ,当a =0,b =-1时,a 2+b 2>2ab ,a +b <2ab ,a +b <-2|ab | ,故A ,C ,D 错误;对于B ,因为a 2+b 2=|a |2+|b |2≥2|a |·|b |=2|ab |≥-2ab ,所以B 正确.故选B.5.若x >0,y >0,x +2y =1,则xy2x +y的最大值为( )A .14B .15C .19D .112答案:C解析:x +2y =1⇒y =1-x 2 ,则xy2x +y =x -x 23x +1 .∵x >0,y >0,x +2y =1,∴0<x <1.设3x +1=t (1<t <4),则x =t -13,原式=-t 2+5t -49t =59 -⎝⎛⎭⎫t 9+49t ≤59 -2481 =19 ,当且仅当t 9 =49t ,即t =2,x =13 ,y =13 时,取等号,则xy 2x +y 的最大值为19 ,故选C.6.已知a >0,b >0,c >0,且a 2+b 2+c 2=4,则ab +bc +ac 的最大值为( )A .8B .4C .2D .1 答案:B解析:∵a 2+b 2≥2ab ,a 2+c 2≥2ac ,b 2+c 2≥2bc ,∴2(a 2+b 2+c 2)≥2(ab +bc +ca ),∴ab +bc +ca ≤a 2+b 2+c 2=4.7.若直线x a +yb=1(a >0,b >0)过点(1,1),则a +b 的最小值等于( )A .2B .3C .4D .5 答案:C解析:因为直线x a +y b =1(a >0,b >0)过点(1,1),所以1a +1b=1.所以a +b =(a +b )·⎝⎛⎭⎫1a +1b =2+a b +b a ≥2+2a b ·b a =4,当且仅当a b =b a 即a =b =2时取“=”,故选C.8.若向量a =(x -1,2),b =(4,y ),a 与b 相互垂直,则9x +3y 的最小值为( ) A .12 B .2 C .3 D .6 答案:D解析:∵a ⊥b ,∴a ·b =(x -1,2)·(4,y )=4(x -1)+2y =0,即2x +y =2, ∴9x +3y =32x +3y ≥232x +y =232 =6,当且仅当2x =y =1时取等号,∴9x +3y 的最小值为6.9.用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型面积的最大值为( ) A .9 cm 2 B .16 cm 2 C .4 cm 2 D .5 cm 2 答案:C解析:设矩形模型的长和宽分别为x cm ,y cm ,则x >0,y >0,由题意可得2(x +y )=8,所以x +y =4,所以矩形模型的面积S =xy ≤(x +y )24 =424 =4(cm 2),当且仅当x =y =2时取等号,所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时,面积最大,为4 cm 2.故选C.二、填空题10.已知a ,b ∈R ,且a -3b +6=0,则2a +18b 的最小值为________.答案:14解析:∵a -3b +6=0,∴ a -3b =-6,∴ 2a +18b =2a +2-3b ≥22a ·2-3b =22a -3b=22-6 =14 .当且仅当2a =2-3b ,即a =-3,b =1时,2a +18b 取得最小值为14.11.已知函数f (x )=4x +ax(x >0,a >0)在x =3时取得最小值,则a =________.答案:36解析:∵x >0,a >0,∴4x +a x ≥24x ·ax=4 a ,当且仅当4x =a x ,即:x =a 2 时等号成立,由a2 =3,a =36.12.[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0,b >0,3a +b =2ab ,则a +b 的最小值为________.答案:2+3解析:由3a +b =2ab , 得32b +12a=1, ∴a +b =(a +b )⎝⎛⎭⎫32b +12a =2+b 2a +3a2b ≥2+2b 2a ·3a 2b =2+3 (当且仅当b 2a =3a2b即b =3 a 时等号成立).[能力提升]13.[2024·合肥一中高三测试]若a ,b 都是正数,则⎝⎛⎭⎫1+b a ⎝⎛⎭⎫1+4ab 的最小值为( ) A .7 B .8C .9D .10 答案:C解析:⎝⎛⎭⎫1+b a ⎝⎛⎭⎫1+4a b =5+b a +4ab≥5+2b a ·4a b =9(当且仅当b a =4ab即b =2a 时等号成立).14.(多选)已知a >0,b >0,且a +b =1,则( )A .a 2+b 2≥12B .2a -b >12C .log 2a +log 2b ≥-2D . a + b ≤2 答案:ABD解析:对于选项A ,∵a 2+b 2≥2ab ,∴2(a 2+b 2)≥a 2+b 2+2ab =(a +b )2=1,∴a 2+b 2≥12,正确;对于选项B ,易知0<a <1,0<b <1,∴-1<a -b <1,∴2a -b >2-1=12,正确;对于选项C ,令a =14 ,b =34 ,则log 214 +log 234 =-2+log 234 <-2,错误;对于选项D ,∵2 =2(a +b ) ,∴[2(a +b ) ]2-( a + b )2=a +b -2ab =( a - b )2≥0,∴ a + b ≤2 ,正确.故选ABD.15.(多选)已知a ,b ,c 为正实数,则( )A .若a >b ,则ab <a +c b +cB .若a +b =1,则b 2a +a 2b 的最小值为1C .若a >b >c ,则1a -b +1b -c ≥4a -cD .若a +b +c =3,则a 2+b 2+c 2的最小值为3 答案:BCD解析:因为a >b ,所以a b -a +c b +c =c (a -b )b (b +c ) >0,所以ab >a +c b +c ,选项A 不正确;因为a +b =1,所以b 2a +a 2b =⎝⎛⎭⎫b 2a +a +⎝⎛⎭⎫a 2b +b -(a +b )≥2b +2a -(a +b )=a +b =1,当且仅当a =b =12 时取等号,所以b 2a +a 2b的最小值为1,故选项B 正确;因为a >b >c ,所以a -b >0,b -c >0,a -c >0,所以(a -c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -b +1b -c =[](a -b )+(b -c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -b +1b -c =2+b -c a -b +a -b b -c≥2+2b -c a -b ·a -bb -c=4,当且仅当b -c =a -b 时取等号,所以1a -b +1b -c ≥4a -c,故选项C 正确;因为a 2+b 2+c 2=13 [(a 2+b 2+c 2)+(a 2+b 2)+(b 2+c 2)+(c 2+a 2)]≥13(a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca )=13 [(a +b )2+2(a +b )c +c 2]=13 (a +b +c )2=3,当且仅当a =b =c =1时等号成立,所以a 2+b 2+c 2的最小值为3,故选项D 正确.16.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是________.答案:30解析:一年的总运费为6×600x =3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元. 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x +4x 万元.因为3 600x +4x ≥2 3 600x ·4x =240,当且仅当3 600x =4x ,即x =30时取得等号,所以当x =30时,一年的总运费与总存储费用之和最小.。
必修一基本不等式练习(精选典题)一.选择题(共19小题)1.已知正数x,y满足x+y=1,则的最小值为()A.5B.C.D.22.若关于x的不等式ax2+bx﹣1>0的解集是{x|1<x<2},则不等式bx2+ax﹣1<0的解集是()A.B.{x|x<﹣1或C.D.或x>1}3.若a,b∈R+,且a+b=1,则的最小值为()A.B.5C.D.254.若正数a,b满足:lga+lgb=lg(a+b),则的最小值为()A.16B.9C.4D.15.若a>0,b>0,ab=a+b+1,则a+2b的最小值为()A.3+3B.3﹣3C.3+D.76.下列说法正确的是()A.的最小值为2B.的最小值为4,x∈(0,π)C.x2+1的最小值为2xD.4x(1﹣x)的最大值为17.不等式的解集为()A.[0,1]B.(0,1]C.(﹣∞,0]∪[1,+∞)D.(﹣∞,0)∪[1,+∞)8.若a>0,b>0,且a+2b﹣4=0,则ab的最大值为()A.B.1C.2D.49.已知a<b,则的最小值为()A.3B.2C.4D.110.若a<b<0,则下列结论中不恒成立的是()A.|a|>|b|B.>C.a2+b2>2ab D.()2>12.若不等式x2+ax+1≥0对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是()A.[2,+∞)B.(﹣∞,﹣2]C.[﹣2,2]D.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)13.若m+n>0,则关于x的不等式(m﹣x)(n+x)>0的解集是()A.{x|﹣n<x<m}B.{x|x<﹣n或x>m}C.{x|﹣m<x<n}D.{x|x<﹣m或x>n} 14.关于x的方程x2﹣(a﹣1)x+4=0在区间[1,3]内有两个不等实根,则实数a的取值范围是()A.(4,5]B.[3,6]C.(5,]D.[)15.若不等式2x2+ax+2≥0对一切x∈(0,]恒成立,则a的最小值为()A.0B.﹣2C.﹣5D.﹣316.若关于x的不等式ax﹣1>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax﹣1)(x+2)≥0的解集是()A.[﹣2,+∞)B.[﹣2,1]C.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)D.(﹣∞,﹣2]∪[1,+∞)17.不等式ax2+bx+c>0的解集为(﹣4,1),则不等式b(x2+1)﹣a(x+3)+c>0的解集为()A.B.C.D.18.已知关于x的不等式ax2+x<0的解集中的整数恰有2个,则()A.<a≤B.≤a<C.<a≤或﹣≤a<﹣D.≤a<或﹣<a≤﹣19.若不等式(x﹣a)(1﹣x﹣a)<1对任意实数x成立,则()A.﹣1<a<1B.0<a<2C.D.二.解答题(共7小题)20.解下列不等式:(1)x4﹣x2﹣2≥0;(2).21.解关于x的不等式x2﹣(a+1)x+a≥0(a∈R).22.已知函数f(x)=ax2﹣(a2+1)x+a+b(a,b∈R).(Ⅰ)若f(x)≤0的解集为[﹣1,3],求a+b的值;(Ⅱ)若a∈[﹣1,0],b=0,求f(x)>0的解集.23.(1)已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求证:;(2)解关于x的不等式:ax2﹣2≥2x﹣ax(a<0).24.若不等式ax2﹣bx+c>0的解集为{x|﹣3<x<2}.(1)求证:b+c=﹣7a;(2)求不等式cx2+bx+a<0的解集.25.已知函数f(x)=ax2﹣(2a+1)x+2.(1)当a=2时,解关于x的不等式f(x)≤0;(2)若a>0,解关于x的不等式f(x)≤0.26.已知关于x的不等式:x2﹣mx+m>0,其中m为参数.(1)若该不等式的解集为R,求m的取值范围;(2)当x>1时,该不等式恒成立,求m的取值范围.不等式练习参考答案一.选择题(共19小题)1.C;2.C;3.C;4.C;5.D;6.D;7.B;8.C;9.A;10.D;;12.C;13.A;14.C;15.C;16.D;17.B;18.B;19.D;二.解答题(共7小题)20.【解答】解:(1)将原不等式因式分解得(x2+1)(x2﹣2)≥0,∵x2+1>0,所以,x2﹣2≥0,解得x≤或x≥,因此,原不等式的解集为{x|x≤或x ≥};(2)由,得,化简得,等价于,解得x<﹣4或x≥﹣1,因此,原不等式的解集为{x|x<﹣4或x≥﹣1}.21.【解答】解:关于x的不等式x2﹣(a+1)x+a≥0化为(x﹣1)(x﹣a)≥0,不等式对应方程的实数根为a和1;当a>1时,不等式的解集为(﹣∞,1]∪[a,+∞);当a=1时,不等式的解集为R,当a<1时,不等式的解集为(﹣∞,a]∪[1,+∞).22.【解答】解:函数f(x)=ax2﹣(a2+1)x+a+b(a,b∈R).(Ⅰ)由f(x)≤0的解集为[﹣1,3],即方程ax2﹣(a2+1)x+a+b的两个根分别为﹣1,3.∴a>0∴,解得:a=1,b=﹣4.则a+b=﹣3.(Ⅱ)由b=0,可得f(x)=ax2﹣(a2+1)x+a=(ax﹣1)(x﹣a)∵a∈[﹣1,0],∴当a=0时,可得f(x)=﹣x,则f(x)>0,即﹣x>0,∴x<0∴解集为{x|x<0};∴当即a=﹣1时,f(x)>0,可得(x﹣a)2<0.此时无解;当a∈(﹣1,0)时,f(x)>0,即(ax ﹣1)(x﹣a)>0.∵∴解集为{x|<x<a};综上可得:当a∈(﹣1,0)时,不等式的解集为{x|<x<a};当a=﹣1时,不等式的无解;当a=0时,不等式的解集为{x|x<0}.23.【解答】解:(1)∵a+b+c=1,代入不等式的左端,∴====.∵a,b,c∈(0,+∞),∴.∴.∴(当且仅当时,等号成立).(2)原不等式可化为ax2+(a﹣2)x﹣2≥0,化简为(x+1)(ax﹣2)≥0.∵a<0,∴.1°当﹣2<a<0时,;2°当a=﹣2时,x=﹣1;3°当a<﹣2时,.综上所述,当﹣2<a<0时,解集为;当a=﹣2时,解集为{x|x=﹣1};当a<﹣2时,解集为.24.【解答】解:(1)证明:关于x的一元二次不等式ax2﹣bx+c>0的解集为{x|﹣3<x<2},∴a<0,且﹣3,2是一元二次方程ax2﹣bx+c=0的两个实数根,∴=﹣3+2=﹣1,=﹣3×2=﹣6;∴b=﹣a,c=﹣6a;∴b+c=﹣7a;(2)b=﹣a,c=﹣6a代入不等式cx2+bx+a <0,得﹣6ax2﹣ax+a<0,又a<0,则﹣6x2﹣x+1>0,化为6x2+x﹣1<0,解得﹣<x<;∴所求不等式的解集为{x|﹣<x<}.25.【解答】解:(1)当a=2时f(x)≤0可化为2x2﹣5x+2≤0,可得(2x﹣1)(x﹣2)≤0,解得,∴f(x)≤0的解集为;(2)不等式f(x)≤0可化为ax2﹣(2a+1)x+2≤0,a>0时,则不等式为a(x﹣)(x﹣2)≤0;①当时,有,解不等式得:;②当时,有,解不等式得:x=2;③当时,有,解不等式得:;综上:①时,不等式的解集为;②时,不等式的解集为{x|x=2};③时,不等式的解集为.26.【解答】解:(1)关于x的不等式x2﹣mx+m>0的解集为R,则△<0,即m2﹣4m<0;)解得0<m<4,∴m的取值范围是0<m<4;(2)当x>1时,关于x 的不等式x2﹣mx+m>0恒成立,等价于m<恒成立,设f(x)=,x>1;则f(x)=(x﹣1)++2≥2+2=4,当且仅当x=2时取“=”;∴m的取值范围是m<4.。
基本不等式练习题
1、若实数x ,y 满足224x y +=,求xy 的最大值;
2、若x>0,求9()4f x x x =+
的最小值;
3、若0x <,求1y x x =+
的最大值
4、若x<0,求9()4f x x x =+
的最大值
5、求9()45
f x x x =+
-(x>5)的最小值.
6、若x ,y R +∈,x+y=5,求xy 的最值
7、求2
y =
作业:
1、求1 (3)3y x x x =
+>-的最小值.
2、求(5) (05)y x x x =-<<的最大值.
3、求1(14)(0)4y x x x =-<<
的最大值。
4、求123 (0)y x x x =
+<的最大值.
5、若2x >,求1252
y x x =-+
-的最小值
6、若0x <,求21x x y x
++=的最大值。
7、若x ,y R +
∈,2x+y=5,求xy 的最值
线性规划常见题型及解法
一、求线性目标函数的取值范围
例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩
,则z=x+2y 的取值范围是
( )
A 、[2,6]
B 、[2,5]
C 、[3,6]
D 、(3,5]
变式:1.已知x ,y 满足约束条件
3005≤≥+≥+-x y x y x ,则y x z -=4的最小值为
______________.
2. 在△ABC 中,三顶点坐标为A (2 ,4),B (-1,2),C (1 ,0 ), 点P (x ,y )在△ABC 内部及边界运动,则 z= x – y 的最大值和最小值分别是 ( )
A .3,1
B .-1,-3
C .1,-3
D .3,-1
3. 设422+-=x y z ,式中变量y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤122010x y y x ,求z 的最小值和最大值
二、求可行域的面积
例2、不等式组
260
30
2
x y
x y
y
+-≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≤
⎩
表示的平面区域的面积为()
A、4
B、1
C、5
D、无穷大
变式:在直角坐标系中,满足不等式x2-y2≥0 的点(x,y)的集合(用阴影部分来表示)的是()
三、求可行域中整点个数
例3、满足|x|+|y|≤2的点(x,y)中整点(横纵坐标都是整数)有()
A、9个
B、10个
C、13个
D、14个
变式:不等式3
<
+y
x表示的平面区域内的整点个数为
()
A.13个B.10个C.14个D.17个
四、求线性目标函数中参数的取值范围
例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩
,使z=x+ay(a>0)
取得最小值的最优解有无数个,则a 的值为 ( )
A 、-3
B 、3
C 、-1
D 、1
变式:已知平面区域如下图所示,)0(>+=m y mx z 在平面区域内取得最大值的最优解
有无数多个,则m 的值为
( )
A .207
B .207-
C .21
D .不存在
五、求非线性目标函数的最值
例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩
,则z=x 2+y 2
最大值和最小值分别是( )
A 、13,1
B 、13,2
C 、13,
45 D
、
,
变式:已知点(,)P x y 坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩
,则22x y +最大值为
A. 2
B. 6
C. 10
D. 12
六、比值问题
例 6 已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y +2≤0,x ≥1,x +y -7≤0,
则 y x 的取值范围是( ). (A )[95,6] (B )(-∞,95
]∪[6,+∞) (C )(-∞,3]∪[6,+∞) (D )[3,6]
变式:1.已知x ,y 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+≥≥≤-+0320,1052y x y x y x ,则x y 的最大值为___________,最小值为____________.
2.已知实数,x y 满足00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩,记11y t x -=+的最大值为m ,最小值为n ,则m-n= A. 43 B. 34 C. 43- D. 34
- 七.含函数性质类型
例:定义在R 上的函数()f x 是减函数,且对任意的a R ∈,都有()()0f a f a -+=。
若,x y 满足不等式22(2)(2)0f x x f y y -+-≤,则当14x ≤≤时,2x y -的最大值为
A. 1
B. 10
C. 5
D. 8
例1、A 2、B 3.D 4.D 5.C 6.A 7.B
变式1.—12.5 C 4,8 2. B 3 A 4. A 5.C 6. 2,0 A。