“五大意识”助力不等式恒成立

九招破解不等式恒成立问题绵阳东辰国际学校 冷世平不等式恒成立问题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用构造函数法、变量分离法、数形结合法等解题方法求解.解题过程本身渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了重要的作用，因此也成为历年各地高考的一个热点内容.解决恒成立问题主要有以下几种方法，供各位同行参考.一、反客为主法此方法又称为改变主元法.有一些数学题，题中涉及到若干个量，其中有常量，也有变量，学生在解答时，由于思维定势，不太习惯把其中的常量暂视为变量，把其中的变量暂视为常量的做法，结果导致求解过程异常复杂甚至难以解出.其实，常量与变量是相对的，是辩证统一的关系，根据需要可以将它们的地位调换，即“反客为主”，改变主元，常常使许多难题巧妙获解.例1 对于满足2p ≤的所有实数p ,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围.【分析】在不等式中出现了两个字母：x 及p ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[]2,2-内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题.【解析】不等式即2(1)210x p x x -+-+>,设2()(1)21f p x p x x =-+-+,则()f p 在[]2,2-上恒大于0，故有(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩，即2243010x x x ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩，从而解得1x <-或3x >. 【点评】在不等式中出现了两个字母：x 及p ,而我们都习惯把x 看成是一个变量，p 作为常数.本题转换视角，可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[]2,2-内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题. 此类题本质上是利用了一次函数在闭区间上的图象是一条线段，故只需保证该线段两利用函数单调性解题是历年高考的重点和难点.如何攻克这个难点呢?一个词：去壳.利用函数单调性解不等式的关键就是：准确判断出函数单调性，成功去掉f 这层外壳，把关于因变量之间的不等关系转化为关于自变量之间的不等关系,然后解关于x 的简单不等式即可.例2 定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是减函数，且当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有2(cos 2sin )(22)0f m f m θθ++-->恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】由2(cos 2sin )(22)0f m f m θθ++-->得到2(cos 2sin )(22)f m f m θθ+>---，因为()f x 为奇函数，故有2(cos 2sin )(22)f m f m θθ+>+恒成立，又因为()f x 为R 减函数，从而有2cos 2sin 22m m θθ+<+对0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，设sin ,(0,1)t t θ=∈，则22210t mt m -++>对于(0,1)t ∈恒成立，再设函数2()221g t t mt m =-++,对称轴为t m =.①当0t m =<时，函数()y g t =在(0,1)t ∈上单调递增，min ()(0)210g t g m ==+≥，即12m ≥-，又10,02m m <∴-≤<； ②当[]0,1t m =∈，即01m ≤≤时, 2min ()()210g t g t m m ==-++>，即2210,1212m m m --<∴-<<+,又[]0,1,01m m ∈∴≤≤；③当1t m =>时，函数()y g t =在(0,1)t ∈上单调递增，min()(1)122120g t g m m ==-++=>恒成立，1m ∴>.综上所述，实数m 的取值范围为12m ≥-. 【点评】此题属于含参数二次函数的轴动区间定的问题，对轴与区间的位置进行分类讨论.对于二次函数在R 上恒成立问题常采用判别式法，而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题.三、变量分离法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.例3 已知函数22(),[1,)x x a f x x x++=∈+∞，若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围.【分析】此题可经过等价转化为在区间[1,)+∞上220x x a ++>恒成立，再将转化后的不等式分离参数得()()g a h x >恒成立，再求得()h x 得最大值max ()h x ，由max ()()g a h x >可得实数a 的取值范围.【解析】在区间[1,)+∞上，()0f x >恒成立220x x a ⇔++>在区间[1,)+∞上恒成立，要使220x x a ++>恒成立，只需222(1)1a x x x >--=-++恒成立，由二次函数的性质可得2(1)13x -++≤，故只需3a >-，故所示实数a 的取值范围为3a >-.例3 已知二次函数2()(,0)f x ax x a R a =+∈≠，若[0,1]x ∈时，总有()1f x ≤，试求实数a 的取值范围.【解析】①当0x =时，有(0)01f =<恒成立；② 当0x ≠时，21ax x +≤，即2211ax x ax x ⎧+≤⎪⎨+≥-⎪⎩，分离参数可得221111()a x x a x x ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≥-+⎪⎩，令1,(0,1]t x x =∈， (1,]t ∴∈+∞，即当(1,]t ∈+∞时恒有22,()a t t a t t ⎧≤-⎪⎨≥-+⎪⎩当(1,]t ∈+∞时，22min max ()0,[()]2t t t t -=-+=-， 即02a a ≤⎧⎨≥-⎩，又因为0a ≠，故实数a 的取值范围为[2,0)-. 【点评】将所求变量与其他变量分离开，通过研究式中另外一个变量的已知范围来确定所求变量的范围.若所求变量为a ，则根据()a f x >恒成立max ()a f x ⇔>； ()a f x <恒成立min ()a f x ⇔<.此题一般性解法是利用根的分布对211ax x -≤+≤进行讨论，其解题过程复杂性显而易见，而将参数从恒成立不等式中分离出来，可以避免较为复杂的讨论.例4 已知当x R ∈时，不等式cos254sin a x x +<-+a 的取值范围.【分析】在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知，另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离.【解析】原不等式等价于4sin cos25x x a +<-，要使上式恒成立，5a-大于4sin cos2x x +的最大值，故上述问题转化成求()4sin cos2f x x x =+的最值问题.224sin cos22sin 4sin 12(sin 1)33,53x x x x x a +=-++=--+≤->，即2a >+，上式等价于22054054(2)a a a a ⎧-≥⎪-≥⎨⎪->-⎩或20540a a -<⎧⎨-≥⎩，解得485a ≤<. 【点评】注意到题目中出现了sin x 及cos2x ，而2cos212sin x x =-,故若把sin x 换元成t ,则可某些含参不等式恒成立问题，我们在解题过程中，可以把不等式进行合理的变形后，将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式，以达到求解的目的.例5 设[0,4]x ∈ax 恒成立，求a 的取值范围.【解析】设1(4)y x x =-，则2211(2)4(0x y y -+=≥），它表示的是以(2,0)为圆心，2为半径的上半圆（如图所示），设2y ax =，它的几何意义是一条经过原点，斜率为a 的直线，将两者图像画在同一坐标系下，根据不等式(4)x x ax -≥的几何意义，要使得半圆恒在直线l 的上方（包括相交），当且仅当0a ≤时才成立，所以a 的取值范围就是0a ≤.【点评】此题还可以利用变量分离法求解，略解如下：当0x =时，不等式显示恒成立；当(]0,4x ∈时，不等式(4)x x ax -≥恒成立等价于41a x -≥恒成立，令41y x =-，显然函数41y x =-在区间(]0,4上是单调递减函数，故min 4104y =-=，故a 的取值范围就是0a ≤. 例6 当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，求a 的取值范围. 【分析】若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解. 【解析】设212(1),log a y x y x =-=,则1y 的图象为如图所示的抛物线，要使对一切12(1,2),x y y ∈<恒成立，显然1a >,并且必须也只需当2x =时2y 的函数值大于等于1y 的函数值.故log 211a a >⎧⎨>⎩，从而可得12a <≤. 【点评】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观,形少数时难 入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”，作为一种数学思想方法，数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.本题是数形结合思想中的“形”中觅“数”，“数”上构“形”的充分体现，由表达式结构特征，能让我们了解到用其几何意义去处理.五、构造向量法向量是数形结合的重要工具，对于形式、结构比较复杂的不等式恒成立问题，可以巧妙的构造向量，使数学问题增添新的活力且简单易解.例7 2252510x x x a +-+对于任意的x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【分析】由题目的结构形式可联想到平面向量，于是令(,5),(55)m x n x ==-，由向量的模之间的关系5m n m n +≥+=，求得实数a 的取值范围.【解析】令2222525105(5)5,(,5),(55)u x x x x x m x n x =+-+=+-+==-，2222(5,25),5,(5)5,5,52510m n m x n x m n u x x x m n +=∴=+=-++=∴=++-+=+5m n ≥+=∴故实数a 的取值范围是5a ≤.【总结】本题还可以根据结构联想到两点间的距离公式，将不等式左边看作函数22222252510(0)(05)(5)(05)y x x x x x =++-+=-+-+-+-，所求问题转化为平面上一个动点(,0)A x 到两定点B C 的距离之和的最小值，易求出点B 关于原点对称的点'(0,B ，显然'5B C =即为所求，故实数a 的取值范围是5a ≤.六、构造函数法根据题目中所给的含参不等式的结构特征，构造适当的函数，并利用函数的性质来求参数的范围.例8 若函数()f x =R ，求实数a 的取值范围. 【分析】该题就转化为被开方数222(1)(1)01a x a x a -+-+≥+在R 上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.【解析】依题意，当x R ∈时，222(1)(1)01a x a x a -+-+≥+恒成立， ①当210a -=时，有21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得1a =，此时222(1)(1)10,11a x a x a a -+-+=≥∴=+ ②当210a -≠时，222102(1)4(1)01a a a a ⎧->⎪⎨∆=---≤⎪+⎩，即有2211090a a a ⎧>⎨-+≤⎩，解得19a <≤； 综上所述，()f x 的定义域为R 时，实数a 的取值范围为[1,9].七、集合思想法集合是高中数学的理论基础，贯穿于整个高中数学的始终，其中所包含的子集思想和补集思想在高中数学解题中应用十分广泛，在不等式恒成立问题中巧妙利用这两种解题思想，能达到意想不到的效果.例9 已知52x a -<时，不等式254x -<恒成立，求实数a 的取值范围. 【分析】若记a x <-25的解集是2,54A x -<的解集是B ，则a x <-25成立时254x -<成立，则应有A B ⊆，根据子集的知识可求得a 的取值范围.【解析】由52x a -<，可得5522a x a -<<+，由254x -<，可得31x -<<-或13x <<.记55(,),(3,1)(1,3)22A a a B =-+=--⋃，则55,3122A B a a ⊆∴-≤-<+≤-或551322a a ≤-<+≤，从而解得102a <≤. 【点评】不等式在集合A 中恒成立等价于集合A 是不等式解集B 的子集，通过研究集合间的关系便可求出参数的取值范围.八、绝对值几何意义法在不等式中，常会遇到含有绝对值的不等式求解问题，处理这类问题的关键在于如何去掉绝对值符号，将问题转化为不含绝对值符号的常规问题来解决，这是解含绝对值不等式问题的一般解法，下面来探求这类问题的另一种解法-----利用实数绝对值的几何意义来求解.例10 x R ∈时，关于x 的不等式13x x a -++>恒成立，求实数a 的取值范围.【分析】由13x x a -++>恒成立，即13x x -++的最小值大于a ，再由绝对值得几何意义知13x x -++的最小值是4，故可求得a 的取值范围. 【解析】13x x a -++>恒成立，即13x x -++的最小值大于a ，又13x x -++表示数轴上点x 到两点1和3-的距离之和，当31x -≤≤时，这个距离和最小且等于4，故实数a 的取值范围是4a <.【点评】对于一些绝对值内为关于x 的一次式的不等式，我们常可以根据绝对值的基本性质，采用等价转化法或零点分段脱去绝对值符号，将问题转化为不含绝对值符号的常规问题来求解，另外也可以根据绝对值的几何意义用数形结合的方法直观、快速、准确地求解这类含有绝对值的不等式.九、三角代换法根据题目的特点，选取恰当的三角代换，能达到化难为易，化繁为简的目的，它是解不等式问题中常用的方法.例11 当(,)P m n 为圆22(1)1x y +-=上任意一点时，不等式0m n c ++≥恒成立，则c 的取值范围是（ ）.11A c -≤11c ≤≤.1C c ≤.1D c ≥【解析】设cos ,1sin x y θθ==+，则)104x y c c πθ+++++≥恒成立，即)14c πθ≥+-，设())14f πθθ=+-，只要max ()c f θ≥，故得1c . 【点评】三角代换的特点是将原来两个变元,x y 问题转化为关于一个变元θ的问题，通过换元达到减元的目的，在使用三角代换时，一定要注意新变量与原变量间的取值范围是否一致.此题还可以利用数形结合方法求解，略解如下：由0m n c ++≥，可以看作是点(,)P m n 在直线0x y c ++=的右侧，而点(,)P m n 在圆22(1)1x y +-=上，实质相当于是22(1)1x y +-=在直线的右侧并与它相离或相切，01011c c ++>⎧⎪∴∴≥≥.不等式恒成立的题型和解法还有很多，只要我们充分利用所给定的函数的特点和性质，具体问题具体分析，选择恰当、简便的方法，但不管用哪种方法，其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能“以不变应万变”，才能使问题获得顺利解决，只有这样才能真正提高学生分析问题和解决问题的能力，当然这需要我们在实际工作中不断的去领悟、体会和，这样自己的业务能力才能声速得以提高.[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。

“五大”数学思想在解题中的运用1．换元思想换元法又称变量替换法，即根据所要求解的式子的结构特征，巧妙地设置新的变量来替代原来表达式中的某些式子或变量，对新的变量求出结果后,返回去再求出原变量的结果.换元法通过引入新的变量，将分散的条件联系起来，使超越式化为有理式、高次式化为低次式、隐性关系式化为显性关系式，从而达到化繁为简、变未知为已知的目的.例1已知1)f x =+，求()f x .分析：采用整体思想，可把1)f 1”看作一个整体，然后采用另一参数替代.解：令1t =，则2(1)(1)x t t =-≥代入原式有22()(1)2(1)1f t t t t =-+-=-.∴2()=1(1)f x x x -≥.评注：1”换作另一个元(字母)“t ”，然后从中解出x 与t 的关系，代入原式中便可求出关于“t ”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量的取值范围的变化情况，否则就得不到正确的表达式.此法是求函数解析式的常用方法.例2设)(x f 是定义在),1(+∞上的一个函数，且有112)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f x f ，求)(x f .分析：欲求)(x f ，必须消去已知中的⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1，不难想到再寻找到一个方程.可由x 与x1的倒数关系，用x1去替换已知式中的x 便可得到另一个方程.然后联立解之可得. 解：112)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f x f ①用x1代换x ，又得 11)(21-=⎪⎭⎫⎝⎛x x f x f ②将②代入①消去⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1，得12)(4)(--=x x f x f ，3132)(+=x x f 又∵),1(+∞∈x ，∴3132)(+=x x f ，),1(+∞∈x 例3对于∈x R ，不等式04)1(log 12log 2)1(4log 222222>+++++aa a a x a a x 恒成立，求实数a 的范围.分析：观察不等式的结构特点，有些局部地方重复出现，不妨换元，使复杂的不等式问题变成熟知的一元二次不等式问题.解：设12log 2+=a au ，则原不等式022)3(2>-+-⇔u ux u x ① ∵∈x R 时，不等式恒成立，但当3=u 时，①式变为1066>⇔>-x x 与条件∈x R 不符，∴3≠u .当3≠u 时，①式对∈x R 恒成立⎩⎨⎧<--->-⇔.0)2)(3(44,032u u u u⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+>+⇔<+⇔<⇔⎩⎨⎧><<⇔.112,012012log 0.60,32a a a aa a u u u u 或1011100)1)(1(0)1(<<⇔⎩⎨⎧<<--<>⇔⎩⎨⎧<-+>+⇔a a a a a a a a 或，即)1,0(∈a .评注：本题使用换元法起到了沟通问题的条件和结论的中介作用，并使运算得以简化，令人耳目一新.例4已知,,a b c 是不为1的正数，,,(0,)x y z ∈+∞，且有xyza b c ==和112x z y+=，求证：,,a b c 顺次成等比数列.证明：令xyza b c k ===，∴log ,log ,log a b c x k y k z k === ∵112x z y +=，∴112log log log a c b k k k +=. ∴lg lg 2lg lg lg lg a c bk k k+=，lg lg 2lg a c b +=. ∴2b ac =，∵,,a b c 均不为0， ∴,,a b c 成等比数列.评注：换元沟通了已知与未知，起到了桥梁作用.2．数形结合思想数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性，形象性，使问题化难为易，化抽象为具体. 通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题.例5已知∈<=x x x U ,50|{2N }，}6,1{=L M C U ，}3,2{=L C M U ，}5,0{)(=L M C U ，求M 和L .解：题目中出现U 、M 、L 、M C U 、L C U 多种集合，就应想到利用文氏图解决问题.第一步：求全集∈<=x x x U ,50|{2N }}7,6,5,4,3,2,1,0{=第二步：将}6,1{=L M C U ，}3,2{=L C M U ，}5,0{)(=L M C U 中的元素在图中依次定位.第三步：将元素4、7定位.第四步：根据图中的元素位置得}7,4,3,2{=M ，}7,4,6,1{=L .例6对一切实数x ，若a x x >++-25恒成立，求实数a 的取值范围。

高中数学丨解题技巧「不等式恒成立」问题的8种解决策略分
享
不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．纵观历年高考数学压轴题，无一不是涉及有关不等式恒成立、求参数取值范围的问题。

这类题型意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考察的核心素养是逻辑推理、数学运算考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．
恒成立与有解问题的解决策略大致分四类：
①构造函数，分类讨论；
②部分分离，化为切线；
③完全分离，函数最值；
④换元分离，简化运算；
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不等式恒成立问题常用方法不等式恒成立问题是高中数学中一种非常典型的一类题型。

在各类考试中，都会经常遇到这个问题，而且也是近年高考的一个热点，近几年的高考题已经连续多年出现。

对一部分同学说，觉得很难，或者感到无从下手。

其实，恒成立问题，只要看透它，就显得非常容易了！笔者在平时的教学过程中，对这类问题作一归纳和总结，现提供给大家作以参考！我们首先要明确这三类题的区别：问题1是给定集合M为不等式的解集。

解集的意思是所有满足不等式的x 的集合，即M应和解集是相等关系；问题2不等式在给定集合M上有解。

即只在M中有使不等式成立的元素即可，即解集与M有公共元素即可；问题3不等式在给定集合M上恒成立。

即只要M内的元素都能满足不等式即可，但这里M也不一定是不等式的解集，而只需是解集的子集。

通过这个例题不仅说明不等式的解集、有解、和恒成立的区别与联系，同时也给我们提供一种解解决恒成立的方法，我们称之为子区间法。

一、子区间法当恒成立的不等式的解易于求出时一般适合应用子区间法。

2008年全国1卷的第21题的第二问所提供的参考答案就是用的此种方法。

二、利用函数的最值先看一下原理：设函数对定义域内的任一x均成立。

我们从函数的角度去分析。

令，在同一坐标系中作出它们的图象如图；由图可知，当且仅当a小于f（x）的最小值时，才能满足对于定义域内的任一x均有，即由此可以看出，本类问题实质上是一类求函数最值问题。

最值法一般适用于函数的最值易于求出时（可能与参数有关，但情况较少时）或最值的求出与参数无关时。

三、分离参数法分离参数法一般适合于最值不易求出（与参数有关），同时又比较易于分离参数的情况。

四、根的分布法事实上，例4我们还可以用如下的方法进行求解：根的分布法一般用于最值与参数有关且参数不易分离，且是关于二次不等式在某个区间内的恒成立。

2008年全国1卷的第21题若用此方法会显得非常简单，请读者试试。

五、二次函数在实数域内的恒成立这种方法适用于二次函数在整个实数域内恒成立的情况。

中学数学教师专业发展的“五种意识”安徽省六安第一中学 陆学政（邮编：237009）教师专业发展是指教师的专业成长或教师内在专业结构的不断更新、演进和丰富过程.对于中学数学教师而言，专业发展的理想目标应涵盖四个基本范畴：专业知识基础的构建；专业技能的娴熟；专业素养的形成与发展；专业情意的健全.如何实现上述理想目标？除了外在影响（即对教师的培训和逐步完善制度）和外在压力的作用，更重要的是中学数学教师的“自主专业发展”，即在专业发展过程中，订立适合自己的专业发展目标、计划, 选择自己需要学习的内容，监控自己专业发展的过程，评价专业发展的结果.笔者认为，要实现真正的专业发展，必须培养“五种意识”！1 主动发展意识主动发展是教师专业成长的首要条件.美国著名社会心理学家马斯诺的需要层次理论告诉我们：最高层次的需要是自我实现的需要.孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者.”教师的专业发展，若仅仅是迫于外在压力，一定是被动的、消极的、表面的、无果而终的；只有以实现自我，甚至超越自我为目标，专业发展才具有真正的内在动力与活力，教师才能不断地挑战自我、完善自我，才能克服没有追求、没有方向、得过且过的平庸哲学，才能克服软弱怕苦、姑息缺点、宽恕懒惰的精神状态，才能克服被动学习、不求甚解、容易满足的消极作风，才能主动地去研究数学、研究学生、研究教学.当然，教师的主动发展意识取决于教师对职业的认识.如果仅将教师职业看成是社会对教师角色的规范与要求，这样的教师就只能成为社会的代言人和工具；如果将教师的职业看成是一种自我价值的实现，一种体验幸福的职业，那么他就能体现教师内在的主体价值，就能丰富和提升自身的生命意义.显然，我们需要的是后面这样的教师.2 问题研究意识问题是数学的心脏.一个中学数学教师，具备了数学本科或研究生毕业的水平，并不代表他对数学问题的本质有深刻的理解，也不代表他有很强的独立研究数学问题的能力，更不代表他能将学科形态科学地转化为教育形态.这些都需要教师在教学实践中理论联系实际，不断摸索，不断总结，通过量的积累实现质的飞跃，因此，教师必须具有强烈的问题研究意识，才能将专业发展落到实处.然而，现实情况并不容乐观，主要表现在很多教师满足于照本宣科，人云亦云，将教材、教辅资料的内容照搬过来即万事大吉，而对其中蕴含的问题视而不见，充耳不闻，导致教学往往只能停留在表面，错失对学生思维的广阔性、深刻性、灵活性等思维品质的培养.试想，如果教师都缺乏研究问题的意识和能力，那么又谈何去引导学生进行研究性学习呢？ 例1 “过定点的直线系”课后交流教师甲的教学处理：先让学生求直线1l ：0243=-+y x 与直线2l ：022=++y x 的交点坐标，然后提出：当λ变化时，方程0)22(243=+++-+y x y x λ表示什么图形？图形有何特点？最终得出：该方程表示经过直线1l 与2l 交点)2,2(-的直线系，并强调不包括直线2l . 课后交流时，笔者问教师甲：该直线系包括过定点)2,2(-除2l 外的其它所有直线吗？为什么？教师甲回答：好像是这样.因为无论λ取何值，都无法得到直线2l ：022=++y x ，而过点)2,2(-的其它直线好像都可以得到.事实上，这是对一个问题的逆向研究，该问题也并不难回答.该直线系是否包括过定点)2,2(-的所有直线，取决于斜率k 的取值情况，由452432++-=++-=λλλk （4-≠λ）知k 的取值范围是{}2-≠∈k R k ，当4-=λ时，斜率不存在，直线为2-=x ，故该直线系包括过定点)2,2(-除2l 外的所有直线.例2 “直线200r y y x x =+与圆222r y x =+” 课后交流教师乙的教学处理：引导学生分情况讨论，得出：点),(00y x P 在圆上时，200r y y x x =+表示以P 为切点的切线方程；点),(00y x P 在圆外时，200r y y x x =+表示从P 向圆引两条切线的切点弦所在直线方程.课后交流时，笔者问教师乙：点),(00y x P 在圆内（不与圆心重合）时，200r y y x x =+表示什么呢？教师乙一脸诧异：啊？这时还能过点P 作圆的切线吗？辅导资料上也只有我讲的两种情况啊！笔者的问题并不突兀，点P 与圆的位臵关系有三种情况，无论点P 在何处（除非与圆心重合），200r y y x x =+都表示一条确定的直线，既然研究了点P 在圆上、圆外时的情况，自然也要考虑点P 在圆内的情形.事实上，当点P 在圆内时，可以过点P 作圆的非直径的动弦，从每一条弦的两端分别引圆的切线，两切线的交点的轨迹就是直线200r y y x x =+，并且，只要抓住这三种情形层层深入、环环相扣的内在联系，该结论不难证明（限于篇幅，此处略）.以上两例只是教学中众多问题的冰山一角，教师甲的含糊回答，教师乙的诧异以及不假思索的反问，都凸显了问题研究意识的严重缺失，以及问题研究能力的不足，这也是阻碍中学数学教师专业发展的重要因素.3 实践反思意识实践基础上的反思，是指通过系统的自我研究、通过研究别的教师和提高在课堂研究中对有关理论的检验而实现专业上的自我发展.其主要目的并不在于外在的、技术性知识的获取，而是在于通过这种或那种形式的“反思”，促进教师对于自己、自己的专业活动直至相关的物、事有更为深入的“理解”，发现其中的“意义”.增强实践反思意识，强调反思性实践，是切实提高教学水平的有效途径.例3 “等差数列求和公式” 的教学反思这是笔者教学的亲身经历.在根据小高斯计算10021+++ 的故事，利用倒序相加法得出等差数列求和公式，并作基本练习后，笔者给出如下思考题：求下列“方阵”中所有数的和：1951 1952 1953 … 1999 20001952 1953 1954 … 2000 20011953 1954 1955 … 2001 2002……1999 2000 2001 … 2047 20482000 2001 2002 … 2048 2049.几乎所有的学生都是先求每一行（列）的和，发现每一行（列）的和构成了一个新的等差数列，再求和得出结果，这当然是正确的做法.问题是，这道题本来可以很快做出来：500000*********=⨯⨯，可为什么没有学生主动想到这种方法？问题出在什么地方？课后，笔者对教学过程作了认真的反思，通过反复阅读课本，终于认识到：是笔者没有真正领会高斯算法乃至等差数列求和公式2)(1n a a S n n +=中的思想实质，教学中流于形式，导致学生的思维受到禁锢.事实上，高斯算法的实质并非倒序相加，而是当求和的数“首尾等距”（即成等差数列）时，可以用首尾的平均数代替原来的每一个数，进而将加法简化为乘法，类似地，等差数列求和公式2)(1n a a S n n +=也应理解为n a a S n n ⨯+=2)(1，这也是算式500000*********=⨯⨯的思想实质.在教下一届学生时，笔者对本节课的教学作了针对性的调整，取得了比较好的效果.例4 “不等式恒成立” 的教学反思题目、已知不等式p x px x +>++212.（1）若当]4,2[∈x 时，不等式恒成立，求p 的取值范围.（2）若当2≤p 时，不等式恒成立，求x 的取值范围.（教师丙引导分析）（1）用“分离参数法”转化为最值问题或利用二次函数图像（略）；（2）将x 视为参数，p 视为主元，参数x 不易分离，因此该题不适合用“分离参数法”. 原不等式等价于0)12()1(2>+-+-x x p x ，可设)12()1()(2+-+-=x x p x p f ，则当2≤p 时，函数)(p f 的图像是一条线段，因此，欲使0)(>p f 恒成立，当且仅当30)2(0)2(>⇒⎩⎨⎧>>-x f f 或1-<x . 执教者的意图很明显，旨在将两个小题进行对比，让学生体会“分离参数法”何时适用的同时，也学习了用函数图像解决恒成立问题的方法.需要说明的是，第（2）问很多资料上都是强调利用函数图像进行理解.需要反思的是，真的不能“分离参数”吗？事实上，由于方程p x px x +=++212的两个实根为1，p -1，因此①当11>-p ，又2≤p ，即)0,2[-∈p 时，解得1<x 或p x ->1，从而不等式恒成立等价于1<x 或max )1(p x ->，即1<x 或3>x .②当11<-p ，又2≤p ，即]2,0(∈p 时，解得1>x 或p x -<1，从而不等式恒成立等价于 1>x 或min )1(p x -<，即1>x 或1-<x .③当11=-p ，即0=p 时，不等式恒成立等价于1>x 或1<x .欲使2≤p 时不等式恒成立，即)0,2[-∈p 、]2,0(∈p 、0=p 时均成立，因此取交集得1-<x 或3>x .第（2）问本来是训练恒成立问题的一个很好的素材，“分离参数”不仅可行，而且可让学生体会到：欲使不等式在某个区间内恒成立，有时候可将该区间划分为几个子区间的并，只需该不等式在每个子区间上都成立即可.而执教者的处理无形中束缚了学生的思维，“生拉硬拽”地将学生向自己的设计思路上引，失去了一个很好的激发学生研究、拓宽学生思维的机会.叶澜教授说：一个教师写一辈子教案不一定成为名师，如果一个教师写三年的反思，有可能成为名师.美国学者波斯纳曾得出这样的公式：经验+反思=成长.教师工作最显著的特征就是实践性，而教学反思恰如一位向导，带领我们从经验迷宫走向智慧殿堂.4 专家引领意识这里的“专家”，不是见面时客套称呼的“专家”，而是具有真才实学的“专家” .他们往往具有高尚的品德，高深的学问，平易而近人；他们往往既占领理论制高点，又有非常丰富的教育教学实践经验；他们往往更能敏锐地洞察问题的本质，抓住问题的要害.增强专家引领意识，抓住一切机会多听专家的讲座，看专家的著作与文章，向专家请教，与专家交流，体会专家的思想并付诸于反思性实践，是教师专业发展的高效途径.例5 “任意角例题” 的教学改进人教A 版必修4“任意角”的例2，要求写出终边在y 轴上角的集合.教材是采用先分后合的方式，得到{} Z k k S ∈⋅+==︒︒,36090ββ{}Z k k ∈⋅+=︒︒,360270ββ{} Z k k ∈⋅+==︒︒,180290ββ{}Z k k ∈⋅++=︒︒,180)12(90ββ {}Z n n ∈⋅+==︒︒,18090ββ.其中关键是将︒180的奇数倍、偶数倍合并为︒180的整数倍.笔者所在学校的教师丁在教学中采用此法，学生也可以接受，但当教师变换题目，让学生思考{}Z k k ∈⋅+=︒︒,9045αα以及{}Z k k k ∈⋅+≤≤⋅+︒︒︒,180)1(18045ββ表示什么样的角时，问题便比较突出了.学生对︒⋅180k ，︒⋅90k （Z k ∈）等的本质并没有很好理解，导致需要对k 进行分类讨论（︒⋅90k ，Z k ∈包含四种情况），显得繁琐而呆板.2011年11月人教社章建跃博士来我校讲学，恰巧讲到对“三角函数”的理解，他指出： 三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运动的本质表现.角是“转”出来的：平面有向线段绕起点（原点）在此平面内旋转就得到一个角.“旋转”就有始边、终边之分，由转的大小和方向决定.任意角不仅是可取任意值的角，还有其他丰富内容，主要是有方向：将任意角α的终边旋转任意角β，就得到任意角βα+.可谓“一语惊醒梦中人”，章博士的讲座使人茅塞顿开，既然角是“转”出来的，为什么不变“静”为“动”，用“转”的眼光看待上述问题呢？y 轴上角的集合完全可以看做将︒90的终边旋转︒180的任意整数倍而得到，立即有{}Z n n S ∈⋅+==︒︒,18090ββ，教师丁的变式也就迎刃而解了，只是旋转起始位臵的不同与每旋转一次角度大小的不同.5 合作发展意识合作发展是中学数学教师专业发展的最理想方式，在一个良好的、人人都关注教学的教师共同体内，可以通过相互听课、同课异构，交流上数学课中自认为成功与失败的体验；或通过题目研讨，案例研究，文献研究，QQ 、博客等方式，合作学习，共同提高.在合作过程中，努力理解数学问题，理解教育规律，从而不断对教学产生良好的影响.2009年，安徽省开始实行高中学生综合素质评价，笔者参与了学校的具体评价工作，在一次数学教研组课题会上，笔者提出一个设想：能否从综合素质评价中提炼出一个数学问题.很多教师积极思考、讨论，最终有了下面的问题：例6：“综合素质评价”等级的个数问题综合素质评价一般分为六个维度，每个维度又被分为若干个项目，分为A ，B ，C ，D 四个等级.不考虑六个维度的排序，可得到AAAAAA ，AAAAAB …，DDDDDD 等各类等级.问：共有多少种不同的等级？解决该问题的过程，经历了三个不断讨论、由浅入深的阶段.第一次讨论时，有老师提出用“笨”的办法来排一排，但发现维度较少时还可以，如两个维度时，第一位选A ，则第二位有4种可能；第一位选B ，则第二位有3种可能；第一位选C ，则第二位有2种可能；第一位选D ，则第二位有1种可能；所以，共有10种不同的等级.类似的，若是三个维度，则有20个不同的等级.但维度越多，这种方法越繁琐.显然，这种方法不具有一般性，有必要挖掘出问题的实质.第二次讨论时，将该问题进一步作数学化处理，力求将其转化为一个纯数学问题，得到如下解法：设六个维度中选A 的有a 个，选B 的有b 个，选C 的有c 个，选D 的有d 个，则有6=+++d c b a ，N d c b a ∈,,,.从而有10)1()1()1()1(=+++++++d c b a .问题转化为将10分成4个正整数之和的方法数，采用隔板法，有9110=-个空格，需要3块隔板，故不同的方法数为8439=C .第三次讨论时，发现该问题的实质是可重复组合问题，，于是采用类似的方法，将问题推广到了一般情况：设从n 个元素中取出m 个可重复的元素进行组合，则所有的方法数为m m n n m n C C 111-+--+=.从提出设想、呈现问题，到尝试解决问题，直至最终理解问题本质，这个过程是合作发展价值的充分体现.6 结语中学数学教师的专业发展是一个长期的、艰巨的、复杂的过程，仅仅具有“五种意识”是不够的，教师必须确立终身学习的理念，具有有扎根实践的情怀、不畏艰难的勇气、默默奉献的精神，才能真正实现良好的专业发展.参考文献1 普通高中课程标准实验教科书（人教A 版必修2，4，5），人民教育出版社，2007,12 普通高中数学课程标准，人民教育出版社，2003，43 郭要红，王曲，中学数学教师专业发展的途径.中学数学教学.2009，2，25-284 曹才翰，章建跃，中学数学教学概论（第二版），北京师范大学出版社，2008，4.5 任勇，你能成为最好的数学教师，华东师范大学出版社，2011,1。

高三数学 第一讲 不等式恒成立问题在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现不等式恒成立问题，此类问题一般综合性强，既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何等有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.高考往往通过此类问题考查学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。

此类问题常见解法：一、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.例2：在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y) 若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) 2321<<-a (D) 3122a -<< 例3：若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。

二、分离参数法在题目中分离出参数，化成a>f(x) （a<f(x)）型恒成立问题，再利用a>f max (x) （a<f min (x)）求出参数范围。

例4．（2012•杭州一模）不等式x 2﹣3＞ax ﹣a 对一切3≤x ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是 ．例5：设a 0为常数，数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝51[3n +(-1)n-1·2n ]+(-1)n ·2n ·a 0(n ∈N * )若对任意n ≥1，n ∈N *，不等式a n >a n-1恒成立，求a 0的取值范围。

例6．（2012•安徽模拟）若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1]恒成立，则a 的取值范围是 ． 例7．（2011•深圳二模）如果对于任意的正实数x ，不等式恒成立，则a 的取值范围是 ．例8．（2013•闵行区一模）已知不等式|x ﹣a|＞x ﹣1对任意x ∈[0，2]恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、数型结合法例9：如果对任意实数x ，不等式kx 1x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围是例10：已知a>0且a ≠1,当x ∈(-1，1)时，不等式x 2-a x <21恒成立，则a 的取值范围 例11、 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .例12、（2009•上海）当时，不等式sin πx ≥kx 恒成立．则实数k 的取值范围是 ．例13、若不等式log a x ＞sin2x （a ＞0，a ≠1）对任意都成立，则a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． （0，1）四、利用函数的最值（或值域）求解（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。