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习题3-11、设(,)X Y 的分布律为求a 。
解：由分布律的性质，得1,0iji jp a =>∑∑，即111111691839a +++++=，0a >， 解得，29a =。
注：考察分布律的完备性和非负性。
2、设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，试用(,)F x y 表示：（1）{,}P a X b Y c ≤≤<；（2）{0}P Y b <<；（3）{,}P X a Y b ≥<。
解：根据分布函数的定义(,){,}F x y P X x Y y =≤≤，得（1）{,}{,}{,}(,)(,)P a X b Y c P X b Y c P X a Y c F b c F a c ---≤≤<=≤<-<<=-； （2）{0}{,}{,0}(,)(,0)P Y b P X Y b P X Y F b F -<<=≤+∞<-≤+∞≤=+∞-+∞； （3）{,}{,}{,}(,)(,)P X a Y b P X Y b P X a Y b F b F a b ---≥<=≤+∞<-<<=+∞-。
3、设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，分布律如下：试求：（1）13{,04}22P X Y <<<<；（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤；（3）(2,3)F 。
解：由(,)X Y 的分布律，得 （1）1311{,04}{1,1}{1,2}{1,3}002244P X Y P X Y P X Y P X Y <<<<===+==+===++=； （2）{12,34}{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ≤≤≤≤===+==+==+==1150016416=+++=；（3）(2,3){2,3}{1,1}{1,2}{1,3}F P X Y P X Y P X Y P X Y =≤≤===+==+==1119{2,1}{2,2}{2,3}000416416P X Y P X Y P X Y +==+==+===+++++=。
大学概率论第三章----随机向量第三章 随机向量第一节 二维随机向量及其分布1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E 是一个随机试验，它的样本空间是{}e Ω=.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间Ω上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e))为Ω上的二维随机向量或二维随机变量。
简记为(X,Y).定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y ，称二元函数 F(x,y)=P{X ≦x ，Y ≦y}为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。
(X,Y)的分布函数满足如下基本性质： (1)F(x,y)是变量x,y 的不减函数. (2)0≦F(x,y)≦1,(,)0y F y -∞=对于任意的 ,(,)0x F x -∞=对于任意的(,)0(,)1F F -∞-∞=+∞+∞=，(3)(,), (,)(0,)(,)(,0)F x y x y F x y F x y F x y F x y =+=+关于是右连续的，即， 1122121222211211(4)(,)(,),, (,)(,)(,)(,)0x y x y x x y y F x y F x y F x y F x y <<--+≥对于任意和，有2、二维离散型随机变量定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机向量。
设(X,Y)的一切可能值为(,) , ,1,2,i j X Y i j =L ，且(X,Y)取各对可能值的概率为,(,), ,1,2,i j i j P X Y P i j ==L(1) 非负性:,0, ,1,2,i j P i j ≥=L ；,(2)1ij i jp =∑规范性：, (,){,}i i ijx x y yX Y F x y P X x Y Y p ≤≤=≤≤=∑∑离散型随机变量的联合分布函数为定义4：{,}(,1,2,...)(,)ij P X x Y Y p i j X Y X Y ≤≤==称为二维离散型随机变量的概率分布或分布律，或随机变量和的联合分布律。
复旦大学《概率论基础》习题答案（第一版）第三章 随机变量与分布函数1、 解：令n ξ表在n 次移动中向右移动的次数，则n ξ服从二项分布，n k p p C k P k n kk n n ,1,0,)1(}{=-==-ξ以n S 表时刻时质点的位置，则n n S n n n n -=--=ξξξ2)(。
n ξ的分布列为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----n n n n n n p p p C p p C p n22211)1()1()1(210。
n S 的分布列为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+-+----n n n n n n p p p C p p C p n n n n22211)1()1()1(42。
2、 解：qp pq P P P +=+==}{}{}1{成失失成ξ，,}{}{}2{22p q q p qqp ppq P P P +=+=+==成成失失失成ξ所以ξ的概率分布为,2,1,}{2=+==k p q q p k p k 。
3、 解： （1）∑=⋅==Nk N Nck f 1)(1， 1=∴c 。
（2）∑∞=-==1)1(!1k ke c k c λλ， 1)1(--=∴λe c 。
4、 证：0)(≥x f ，且∞-∞∞---∞∞-∞∞--==-⎰⎰⎰0||||21)(x x x e dx e dx e dx x f)(x f ∴是一个密度函数。
5、 解：（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<-=<<)109(21)10(21)106(21)96(ξξP P 285788.0)2(2121)10(211=-Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=ξP（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<-=<<)1012(21)10(21)107(21)127(ξξP P ()774538.0)211(11)10(21211=-Φ-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=ξP（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<-=<<)1015(21)10(21)1013(21)1513(ξξP P 060597.0)211(212212)10(21211=Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<=ξP6、 解：7+24+38+24+7=100，93.0100/)7100(}{4=-=<x P ξ，=<}{3x P ξ100/)38247(}{3++=<x P ξ69.0=，查表得69.0)5.0(,93.0)5.1(≈Φ≈Φ。
