生物统计学二

任何事件的概率都在0和1之间，即:0≤P(A) ≤1 必然事件的概率等于1，即:P(U)=1 不可能事件的概率等于0,即:P(V)=0
二：概率的计算

事件的相互关系

和事件（sum event）事件A和事件B至少有一个发生构成的新 事件称事件A和事件B的和事件。记为A+B或 A B 积事件（product event ）积事件：事件A和事件B同时发生构 成的新事件，又叫变事件，记作AB 或 A B

数据
排序

求和 平均数 样本方差 var 总体方差 varp 样本标准差 stdev 总体标准差 stdevp
第三章 概率与概率分布
第一节 概率基础知识

概率的概念 概率的计算 概率分布 大数定律
一、概率的概念
事件：每种可能出现的情况称为事件。它是指事物发 生某种情况或试验中获得某种结果。 必然事件（U）和不可能事件（V） 随机事件：指在同一组条件下，可能发生也可能不发 生的事件。也就是说，在某一特定的条件下，可 能这样出现也可能那样出现，可能发生的只是其 中的几种情况，这种事件称为随机事件。
频率：事件Ａ在n次试验中发生了m次，其比值m/n称为事件A 发生的频率（frequency），记为
m W ( A) n
0≤W(A) ≤1
概率：就是用来度量每一事件出现的可能性大小的数字特征。 某件事A在n次重复试验中，发生了m次，当试验次数n不断 增大是，事件A发生的频率W(A)就越来越接近某一确定值p， 于是定义p为事件A发生的概率，记为


独立事件（independent event）事件A发生与否不影响事件B发生 的可能性，反之亦然，那么就称事件A对于事件B是独立的。简称 独立事件。 完全事件系（complete event system） n个事件两两互斥，且每 次试验必有其一出现。则这n个事件构成完全事件系。

概率的计算法则
P( x ) f ( x)d ( x) 1


表示概率密度函数f(x)曲线与x轴所围成的面积为1
四：大数定律

大数定律（law of large numbers）是概率论中用来阐述 大量随机现象平均结果稳定性的一些列定律的总称，最常 用的是贝努里大数定律，可描述为：设m是n次独立试验 中A出现的次数，而p是事件A在每次试验中出现的概率， 则对于任意小的正数ε ，有如下关系： m lim P{ p } 1 n n 贝努里大数定律说明：当试验在不变的条件下，重复n次 m 接近无限大时，频率 n 与理论概率p的差值，必定要小于 一个任意的小数，即这两者可以基本相等，这几乎是一个 必然要发生的时间，即P=1。
复习

生物统计学 常用的统计学术语 试验资料的类型和搜集
试验资料的整理
第二节 试验资料特征数的计算

数据的集中性和离散性 反应数据集中性的特征数：
平均数

反应数据离散性的特征数：
极差、方差、标准差和变异系数
一、平均数


平均数：是计量资料的代表值，表示资料中观测值的 中心位置，并且可作为资料的代表与另一组资料相比 较，以确定二者相差的情况。 平均数的种类 1、算术平均数 总体或样本资料中各个观测值的总和除以观测值的个 数所的的商

2、中位数
第1组数：1、2、3、6、7的中位数是3。 原理： 如果总数个数是奇数的话,按从小到大的顺序,取中 间的那个数 第2组数：1、2、3、5的中位数是2.5。 原理：如 果总数个数是偶数的话,按从小到大的顺序,取中间 那两个数的平均数.(2+3)/2=2.5 第3组数：1、100、101、10000的中位数是100.5 注意：中位数 和数值的大小没有绝对的关系
三：概率分布


离散型随机变量：试验只有几个确定的结果，并可一 一列出，变量x的取值可用实数表示，且x取某一值时， 其概率是确定的，这种类型的变量称为离散型随机变 量。将这种变量所有可能取值及其对应概率一一列出 所形成的分布称离散型随机变量的概率分布，也可用 函数f(x)表示，称为概率函数。 连续型随机变量：变量x的取值仅是一个范围，且x在 该范围内取值时，其概率是确定的。这时取x为一固 定值是无意义的，因为在连续尺度上一点的概率几乎 为0。这种类型的变量称为连续型随机变量。


辛钦大数定律是用来说明为什么可以用算术平均 数 x 来推断总体平均数μ的。它可以描述为：设 x1,x2,…，xn是来自同一总体的随机变量，对于 任意小的正数ε ，有如下关系
1 n lim P{ xi } 1 n n i 1

当试验重复次数n无限增大，随机变量的算术平均 数与总体平均数之间的差，一定小于任意小的正 数ε ,也就是 x 基本上与μ 相等，这几乎是一个必 x 然要发生的事件，即 P=1.
第二节 几种常见的理论分布
随机变量的分布可用分布函数来表述其概率， 常见的几种理论分布


离散型变量的概率分布
二项分布 泊松分布


连续型变量的概率分布
正态分布
一：二项分布



“非此即彼”时间构成的总体，称为二项总体， 起概率分布称为二项分布。 通常将二项总体中的“此”事件以变量“1”表示， 记为概率p；将“彼”事件以变量“0”表示，具概 率q。因此二项总体又称为“0、1”总体，其概率 为p+q=1或q=1-p。 二项分布试验具有重复性和独立性。重复性是指 每次试验条件不变，即在每次试验中时间A出项 的概率皆为p。独立性是指任何一次试验中事件A 的出现与其余各次试验中出现何种事件无关。
0 0 5 C5 p q
1 1 4 C5 pq
2 2 3 C5 p q
P(x) 0.00001
f(1)
f(2) f(3) f(4) f(5)
0.00045
0.00810 0.07290 0.32805 0.59049
C53 p 3 q 2
4 4 1 C5 p q
C55 p 5 q 0

例3.6 某小麦品种在田间出现自然变异植株的概率为0.0045，试计算： （1）调查100株，获得两株或两株以上变异植株的概率是多少？ （2）期望有0.99的概率获得1株或1株以上的变异植株，至少应调查 多少株？
0.950
0.910
0.33
0.930
0.918
0.920
调查株数（n）
５
２５
５０
１００
２００
５００
１０００
１５００
２０００
受害株数（a）
２
１２
１５
３３
７２
１７７
３５１
５２５
７０４
植株受害频率 （a/n）
0.40
0.48
0.30
0.33
0.36
0.354
0.351
0.350
0.352
概率的基本性质


互斥事件（mutually exclusive event） A和B不可能同时存在 （或发生）即AB为不可能事件，那么称事件A和事件B是互斥 事件。 A B
对立事件（contrary event）事件A和B不可能同时发生，但必 须发生其一，即A+B为必然事件，AB为不可能事件，这样A、 B互为对立事件 B是A的对立,记为 A
对于连续型随机变量x，取值于区间[x1,x2](x1<x2)内概率即为概率密度函数在 [x1,x2]的积分，即
x1 此公式即为连续型随机变量概率分布的表达式。由此可见，连续型随机变量概率
P( x1 x x2 )
x2
f ( x)dx
分布由概率密度函数所确定。 对于随机变量x在区间（-∞，+∞）内进行抽样，事件“-∞<x<+∞”为必然时间， 所以有：

以x表示在n次试验中事件A出现的次数。x是一个离散型随 机变性，它的所有可能取值为0，1，2，…，n，其概率分 布函数为：
P( x) C p q
x n
x n
x n x
n! C x!(n x)!

我们称P（x）为随机变量x的二项分布，记作B（n,p）
二项分布的计算


例3.4 豌豆的红花纯合基因型和白花纯合基因型杂交后，在F2代红花植株 与白花植株出现的比率为3：1，若每次随机观察4株，共观察100次，问 得红花为0株、1株、2株、3株和4株的概率各是多少？ 观察4株出现红花植株的概率分布表（p=0.75,q=0.25）
0.39 4.69 21.09 42.19 31.64 100.00
1 1 3 C4 pq
2 2 2 C4 p q
3 3 1 C4 pq
4 C4 p4q0

例3.5 某批鸡种蛋的孵化率是0.9，今从该批种蛋 中每次任选5个进行孵化，试求孵出小鸡的各种 可能概率。
孵出小鸡的可能性f(x) f(0)
Cnx p x q n x
红花植株 概率函数f(x) f(0) f(1) f(2) f(3) f(4) 总和
C pq
x n
x n x
P（x）
F(x)
NP(x)
0 0 4 C4 p q
0.0039 0.0469 0.2109 0.4219 0.3164 1.0000
0.0039 0.0508 0.2617 0.6836 1.0000


3、众数 例如：1，2，3，3，4的众数是3。 但是，如果有两个或两个以上个数出现次数 都是最多的，那么这几个数都是这组数据的众 数。 例如：1，2，2，3，3，4的众数是2和3。 还有，如果所有数据出现的次数都一样，那 么这组数据没有众数。 4、几何平均数