1999～2000年北大附中初二年级下学期期中数学试卷(代数)

一、选择题1．在ABCD 中AB BC ≠．F 是BC 上一点，AE 平分FAD ∠，且E 是CD 的中点，则下列结论：①AB BF =；②AF CF CD =+；③AF CF AD =+；④AE EF ⊥，其中正确的是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①②④ 2．下列二次根式的运算：①2623⨯=，②1882-=，③255=，④()222-=-；其中运算正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．下列计算正确的是（ ） A ．42=±B ．22423x x x +=C ．()326328a b a b -=-D ．()235x x x -=÷ 4．已知三个数2，2，4如果再添加一个数，使这四个数成比例，则添加的数是（ ）．A ．22B ．22或22C ．22，42或82D ．22，22或425．下列四个式子中，与1(2021)2021a a --的值相等的是（ ） A ．2021a - B ．2021a --C ．2021a -D ．2021a -- 6．如图，在平行四边形ABCD 中，90B ∠<︒，BC AB >．作AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，记EAF ∠的度数为α，AE a =，AF b =．则以下选项错误的是（ ）A ．::a b CD BC =B ．D ∠的度数为αC ．若60α=︒，则四边形AECF 的面积为平行四边形ABCD 面积的一半D ．若60α=︒，则平行四边形ABCD 的周长为()433a b + 7．如图，已知ABC ∆的面积为24,点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4,BC CF =四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．6B ．8C ．3D ．48．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．添加一个条件，使四边形AEBD 是菱形，这个条件是（ ）A ．BAD BDA ∠=∠B ．AB DE =C ．DF EF =D ．DE 平分ADB ∠9．如图，在ABC 中，AB AC =，8BC cm =，AE 平分BAC ∠，交BC 于点E ，D 为AE 上一点，且ACD CAD ∠=∠，3DE cm =，连接CD ．过点作DF AB ⊥，垂足为点F ．则下列结论正确的有（ ）①5CD cm =；②10AC cm =；③3DF cm =；④ACD △的面积为210cmA ．1B ．2C ．3D ．410．在ABC 中，10AB =，40AC =，BC 边上的高6AD =，则另一边BC 等于（ ）A ．10B ．8C ．6或10D ．8或10 11．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分图形的面积为3，则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．612．下图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边()x y >，下列四个说法：①2249x y +=，②2x y -=，③2449xy +=，④9x y +=．其中说法正确的是（ ）．A ．①③B ．①②③C ．②④D ．①②③④二、填空题13．如图，四边形ABCD 为菱形，以AD 为斜边的Rt AED △的面积为3，2DE =，点E ，C 在BD 的同侧，点P 是BD 上的一动点，则PE PC +的最小值是_____________．14．如图，AC 是ABCD 的对角线，点E 在AC 上，AD AE BE ==，102D =︒，则BAC ∠的度数是______．15．已知335x x y -+-=+，则3x y +的值为_________． 16．已知5ab =，则b a a b a b+=__． 17．若220x y -+=，则x y +=________．18．“东方之门”座落于美丽的金鸡湖畔，高度约为301.8米，是苏州的地标建筑，被评为“中国最高的空中苏式园林”．现以现代大道所在的直线为x 轴，星海街所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示的实际距离为100米），东方之门的坐标为4(6,)A -，小明所在位置的坐标为(2,2)B -，则小明与东方之门的实际距离为___________米．19．如图，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =.若点P '是ABC 外的一点，且P AB PAC '≌△△，则APB ∠的度数为_____．20．如图，∠AOD =90°，OA =OB =BC =CD ，若AC =3，则AD =_______．三、解答题21．如图，在▱ABCD 中，AB =12cm ，BC =6cm ，∠A =60°，点P 沿AB 边从点A 开始以2cm/秒的速度向点B 移动，同时点Q 沿DA 边从点D 开始以1cm/秒的速度向点A 移动，用t 表示移动的时间（0≤t ≤6）．（1）当t 为何值时，△PAQ 是等边三角形？（2）当t 为何值时，△PAQ 为直角三角形？22．如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，60C ∠=°，5AB =．2AD =．（1）求CD 的长；（2）求四边形ABCD 的面积．23．计算：（1231(12)272224--- （2） 248(31)(31)(31)(31)1++++- 24．观察，计算，判断：（只填写符号：＞，＜，=）（1）①当2a =，2b =时，2a b +ab ②当3a =，3b =时，2a b +ab ； ③当4a =，1b =时，2a b +ab ④当5a =，3b =时，2a b +ab （2）写出关于2a b +ab ______探究证明：（提示：20a b ≥）（3）实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，写出镜框周长的最小值为______．25．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ．求AE 的长．26．本题分为A，B两题，可以自由选择一题，你选择题A：如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处2m，则旗杆的高度为多少米？B：如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两只猴子所经路程都是16m，求树高AB．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】首先延长AD，交FE的延长线于点M，易证得△DEM≌△CEF，即可得EM＝EF，又由AE平分∠FAD ，即可判定△AEM 是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AE ⊥EF ，进而可对各选项进行判断．【详解】解：延长AD ，交FE 的延长线于点M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠M ＝∠EFC ，∵E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，在△DEM 和△CEF 中，M EFC DEM CEF DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEM ≌△CEF （AAS ），∴EM ＝EF ，∵AE 平分∠FAD ，∴AM ＝AF ，AE ⊥EF ．即AF ＝AD +DM ＝CF +AD ；故③，④正确，②错误．∵AF 不一定是∠BAD 的角平分线，∴AB 不一定等于BF ，故①错误．故选：C ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 2．C解析：C【分析】由二次根式的性质、二次根式的混合运算进行计算，再进行判断，即可得到答案．【详解】 2623=，故①正确；18832222==②正确；255=，故③正确；2，故④错误；∴正确的3个；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．3．C解析：C【分析】A 选项利用二次根式的化简判断即可；B 利用合并同类项的运算判断即可；C 利用积的乘方判断即可；D 利用同底数幂的除法判断即可；【详解】A 2= ，不符合二次根式的化简，故该选项错误；B 、22223x x x += ，不符合合并同类项的运算，故该选项错误；C 、()326328a ba b -=-，故该选项正确； D 、()523x x x -÷=- ，不符合同底数幂的除法，故该选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，合并同类项，整数指数幂，正确掌握公式是解题的关键； 4．D解析：D【分析】运用比例的基本性质，将所添的数当作比例式a ：b =c ：d 中的任何一项，进行计算即可，【详解】设添加的这个数是x当24:x =时，2x =x =当2:4x =时，2x =x =当2:4x =时，4x =2x =，当2:4x =8=， 解得x =故选D ．【点睛】本题考查比例的基本性质，注意写比例式的时候，一定要按照顺序写，顺序不同，结果不同.5．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件可得出20210a ->，可得20210a -<，由此可将2021a -变形得出答案．【详解】由题意得：20210a ->，可得20210a -<，∴((2021a a ---== 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，关键是由等式可确定出20210a ->． 6．C解析：C【分析】由平行四边形的性质得出//AD BC ，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，得出180D C ∠+∠=︒，求出180EAF C ∠+∠=︒，得出B D EAF α∠=∠=∠=；由平行四边形ABCD 的面积得出::a b CD BC =；若60α=︒，则60B D ∠=∠=︒，求出30BAE DAF ∠=∠=︒，由直角三角形的性质得出BE AE ==，DF ，得出2AB BE =，2AD DF ==，求出平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+；求出ABE ∆的面积212BE AE =⨯=，ADF ∆的面积2=，平行四边形ABCD 的面积BC AE a =⨯=⨯=，得出四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半；即可得出结论． 【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，180D C ∴∠+∠=︒，AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，360290180EAF C ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒，B D EAF α∴∠=∠=∠=；平行四边形ABCD 的面积BC AE CD AF =⨯=⨯，AE a =，AF b =，BC a CD b ∴⨯=⨯，::a b CD BC ∴=；若60α=︒，则60B D ∠=∠=︒，30BAE DAF ∴∠=∠=︒，33BE AE a ∴==，33DF AF b ==， 232AB BE a ∴==，232AD DF b ==， ∴平行四边形ABCD 的周长42()3()3AB AD a b =+=+； ABE ∆的面积2113322BE AE a a a =⨯=⨯⨯=，ADF ∆的面积2113322DF AF b b b =⨯=⨯⨯=，平行四边形ABCD 的面积2323BC AE b a ab =⨯=⨯=， ∴四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积22233()ab a b =-+≠平行四边形ABCD 面积的一半； 综上所述，选项A 、B 、D 不符合题意，选项C 符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．7．A解析：A【分析】想办法证明S 阴=S △ADE +S △DEC =S △AEC ，再由EF ∥AC ，可得S △AEC =S △ACF 解决问题；【详解】解：如图连接AF 、EC ．∵BC=4CF ，S △ABC =24，∴S △ACF = 14×24=6， ∵四边形CDEF 是平行四边形，∴DE ∥CF ，EF ∥AC ，∴S △DEB =S △DEC ，∴S 阴=S △ADE +S △DEC =S △AEC ，∵EF ∥AC ，∴S △AEC =S △ACF =6，∴S 阴=6．故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．8．D解析：D【分析】先证明△ADF ≌△BEF ，得到AD=BE ，推出四边形AEBD 是平行四边形，再逐项依次分析即可．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAB=∠EBA ，∵点F 是AB 的中点，∴AF=BF ，∵∠AFD=∠BFE ，∴△ADF ≌△BEF ，∴AD=BE ，∵AD ∥BE ，∴四边形AEBD 是平行四边形，A 、当BAD BDA ∠=∠时，得到AB=BD ，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；B 、AB=BE 时，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；C 、DF=EF 时，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；D 、当DE 平分ADB ∠时，四边形AEBD 是菱形，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键．9．B解析：B【分析】根据AB AC =，AE 平分BAC ∠，得AE BC ⊥，12BE EC BC ==，从而得CD ，结合ACD CAD ∠=∠，得AD CD =，从而计算得AE ；连接BD ，通过证明BED CED △≌△，得BD CD AD ==，通过勾股定理得DF ，即可完成求解．【详解】∵AB AC =，AE 平分BAC ∠∴AE BC ⊥，142BE EC BC === ∴2222345CD DE EC =+=+=∵ACD CAD ∠=∠∴5AD CD ==cm ，故①正确；∴8AE AD DE =+= ∴22224845AC EC AE =+=+=cm ，故②错误； ∴45AB AC ==如图，连接BD∵90DE DE DEB DEF BE EC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴BED CED △≌△∴BD CD =∴5BD CD AD ===∵DF AB ⊥∴1252AF BF AB === ∴()22225255DF AD AF =-=-=cm ，故③错误； ∴11541022ACD S AD EC =⨯=⨯⨯=△cm ，故④正确； 故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形、勾股定理、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解． 10．C解析：C【分析】分两种情况分类讨论，如图所示，分别在Rt ABD △与Rt ACD △中，利用勾股定理求出BD 与CD 的长，即可求出BC 的长．【详解】根据题意画出图形，如图所示，AD 是ABC 的高，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，如图1，10AB =，40AC ，6AD =，在Rt ABD △中，由勾股定理得：222AD BD AB +=， ∴22221068BD AB AD =--=，在Rt ACD △中，由勾股定理得：222AD CD AC +=， ∴()22224062CD AC AD =-=-=，∴10BC BD CD =+=；如图2，10AB =，40AC 6AD =，在Rt ABD △中，由勾股定理得：222AD BD AB +=， ∴22221068BD AB AD =--=，在Rt ACD △中，由勾股定理得：222AD CD AC +=，∴()22224062CD AC AD =-=-=，∴6BC BD CD =-=，∴BC 的长度为：6或10．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．B解析：B【分析】由图①结合勾股定理可得三个正方形面积之间的关系，在图②中，可知两个小正方形的面积与阴影部分面积之和减去大正方形的面积即可得到重叠部分的面积．【详解】设以直角三角形三边为边长的正方形面积分别为S 1，S 2，S 3，大小正方形重叠部分的面积为S ，则由勾股定理可得：S 1+S 2=S 3，在图②中，S 1+S 2+3-S=S 3，∴S=3，故选：B ．【点睛】本题主要考查勾股定理与图形面积，灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键．12．B解析：B【分析】根据直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．【详解】解：如图所示，∵△ABC 是直角三角形，∴根据勾股定理：22249x y AB +==，故①正确； 由图可知42x y CE -===，故②正确；由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为144492xy ⨯+=， 即2449xy +=，故③正确； 由2449xy +=可得245xy =，又∵2249x y +=，两式相加得：2224945x xy y ++=+，整理得：()294x y +=，9x y +=≠，故④错误； 故正确的是①②③．故选：B ．【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键．二、填空题13．3【分析】根据菱形的轴对称性可得AC 关于BD 对称当APE 三点共线时的值最小为AE 再根据三角形的面积即可得出答案【详解】解：∵四边形菱形∴AC 关于BD 对称∵点EC 在BD 的同侧∴当APE 三点共线时的值最 解析：3【分析】根据菱形的轴对称性可得A 、C 关于BD 对称，当A 、P 、E 三点共线时，PE PC +的值最小为AE ，再根据三角形的面积即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 菱形，∴A 、C 关于BD 对称，∵点E ，C 在BD 的同侧，∴当A 、P 、E 三点共线时，PE PC +的值最小，且最小值为AE ；∵以AD 为斜边的Rt AED △的面积为3， 2DE =， ∴112322⨯=⨯=AE DE AE ， ∴AE=3， ∴PE PC +的最小值是3故答案为：3．【点睛】本题考查了菱形的性质、最短问题、面积法等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，是中考常考题型．14．【分析】由四边形ABCD 是平行四边形得到∠ABC=∠D=102°再AD=AE=BE 得出∠EAB=∠EBA ∠BEC=∠BCA 继而得到∠ACB=2∠BAC 再根据∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-解析：26︒【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，得到∠ABC=∠D=102°，再AD=AE=BE ，得出∠EAB=∠EBA ，∠BEC=∠BCA ，继而得到∠ACB=2∠BAC ，再根据∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC 求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ， ∠ABC=∠D=102°，∵AD=AE=BE ，∴BC=AE=BE ，∴∠EAB=∠EBA ，∠BEC=∠BCA ，∵∠BEC=∠EAB ＋∠EBA=2∠EAB ，∴∠ACB=2∠BAC ，∴∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC=180°-102°=78°，∴3∠BAC=78°，即∠BAC=26°，故答案为：26°．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用相关知识．15．2【分析】依据二次根式有意义的条件可求得x 的值然后可得到y 的值最后代入计算即可【详解】∵∴∴故答案为：2【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件依据二次根式有意义的条件得到xy 的值是解题的关键解析：2【分析】依据二次根式有意义的条件可求得x 的值，然后可得到y 的值，最后代入计算即可．【详解】∵5y =， ∴3x =，5y =．∴2==．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，依据二次根式有意义的条件得到x 、y 的值是解题的关键．16．【分析】先利用二次根式化简然后分和两种情况解答即可【详解】解：原式当时原式；当时原式；即故答案为【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质根据二次根式的性质化简所给的二次根式是解答本题的关键解析：±【分析】先利用二次根式化简，然后分0a >、0b >和0a <，0b <两种情况解答即可．【详解】解：原式=+a b =+，=5ab =，∴当0a >，0b >时，原式==当0a <，0b <时，原式=-=-即=±故答案为±【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，根据二次根式的性质化简所给的二次根式是解答本题的关键．17．2【分析】先根据非负数的性质得出关于xy 的方程求出xy 的值代入x+y 进行计算即可【详解】解得故答案为：2【点睛】本题考查的是非负数的性质解题的关键是掌握非负数的性质即几个非负数的和为0时这几个非负数解析：2【分析】先根据非负数的性质得出关于x 、y 的方程，求出x 、y 的值，代入x+y 进行计算即可．【详解】220x y -+=，20x ∴-=，0y =，解得2x =，202x y +=+=．故答案为：2．【点睛】本题考查的是非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质，即几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．18．【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB 的长度再根据个单位长度表示的实际距离为米求出结果即可【详解】解：如图AC=6-（-2）=8BC=2-（-4）=6∴∴小明与东方之门的实际距离为10×10解析：1000【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB 的长度，再根据1个单位长度表示的实际距离为100米求出结果即可．【详解】解：如图，AC=6-（-2）=8，BC=2-（-4）=6 ∴2222=6+8=10AB BC AC +∴小明与东方之门的实际距离为10×100=1000（米）故答案为：1000．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键． 19．150°【分析】由可知：PA ＝P′A ∠P′AB ＝∠PACBP′=CP 然后依据等式的性质可得到∠P′AP ＝∠BAC ＝60°从而可得到△APP′为等边三角形可求得PP′由△APP′为等边三角形得∠APP解析：150°【分析】由P AB PAC '≌△△可知：PA ＝P′A ，∠P′AB ＝∠PAC ，BP′=CP ，然后依据等式的性质可得到∠P′AP ＝∠BAC ＝60°，从而可得到△APP′为等边三角形，可求得PP′，由△APP′为等边三角形，得∠APP′＝60°，在△PP′B 中，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P′PB ＝90°，进而可求∠APB 的度数．【详解】连接PP′，∵P AB PAC '≌△△，∴PA ＝P′A=6，∠P ′AB ＝∠PAC ，BP′=CP=10，∴∠P′AP ＝∠BAC ＝60°，∴△APP′为等边三角形，∴PP′＝AP ＝AP′＝6，又∵8PB =，∴PP′2＋BP 2＝BP′2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°∴∠APB ＝90°＋60°＝150°，故答案是：150°【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得△APP′为等边三角形、△BPP′为直角三角形是解题的关键．20．【分析】设OA=OB=BC=CD=a 可知AB=AC=AD=由题意知AC=3即可求出AD 的长；【详解】∵OA=OB=BC=CD ∴设OA=OB=BC=CD=a ∵∠AOD=90°∴AC===∴∵AC==3 解析：32【分析】设OA=OB=BC=CD=a ，可知2a ，5a ，10a ,由题意知AC=3，即可求出AD 的长；【详解】∵ OA=OB=BC=CD ，∴ 设OA=OB=BC=CD=a ，∵∠AOD=90°，∴22AO OC +()222a a +5a ， ∴2222(3)10AD OD OA a a a =+=+=，∵5a =3， ∴35∴5=故答案为：【点睛】本意考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键；三、解答题21．（1）t=2；（2）t=3或65t=．【分析】（1）根据等边三角形的性质，列出关于t的方程，进而即可求解．（2）根据△PAQ是直角三角形，分两类讨论，分别列出方程，进而即可求解．【详解】解：（1）由题意得：AP=2t（米），AQ=6-t（米）．∵∠A=60°，∴当△PAQ是等边三角形时，AQ=AP，即2t=6-t，解得：t=2，∴当t=2时，△PAQ是等边三角形．（2）∵△PAQ是直角三角形，∴当∠AQP=90°时，有∠APQ=30°，即AP=2AQ，∴2t=2（6-t），解得：t=3（秒），当∠APQ=90°时，有∠AQP=30°，即AQ=2AP，∴6-t=2·2t，解得65t=（秒），∴当t=3或65t=时，△PAQ是直角三角形．【定睛】本题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的定义以及平行四边形的定义，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的定义，列出方程，是解题的关键．22．（1）2）2【分析】（1）作DM⊥BC，AN⊥DM垂足分别为M、N，易知四边形MNAB是矩形，分别在Rt△ADN中求出DN，利用含60°的直角三角形求CD即可；（2）由（1）可知，四边形ABCD的面积就是△DCM与梯形ADMB的面积和．【详解】解：（1）如图作DM⊥BC，AN⊥DM垂足分别为M、N．∵∠B＝∠NMB＝∠MNA＝90°，∴四边形MNAB是矩形，∴MN＝AB＝5，AN＝BM，∠BAN＝90°，∵∠C +∠B +∠ADC +∠BAD ＝360°，∠C ＝60°，∠B ＝∠ADC ＝90°，∴∠DAN ＝∠BAD ﹣∠BAN ＝30°，在RT △AND 中，∵AD ＝2，∠DAN ＝30°，∴DN ＝12AD ＝1，AN ＝2222213AD DN -=-=， 在RT △DMC 中，∵DM ＝DN +MN ＝6，∠C ＝60°，∴∠CDM ＝30°，∴CD ＝2MC ，设MC ＝x ，则CD ＝2x ，∵CD 2＝DM 2+CM 2，∴4x 2＝x 2+62，∵x ＞0∴x ＝23，∴CD ＝43．（2）由（1）得，112366322DCM S CM DM =⨯⨯=⨯⨯=， 1111()3113222ADMB S AN DM AB =⨯⨯+=⨯⨯=梯形， 1123633322DCM ABCD ADMB S S S =+=+=四边形梯形．【点睛】本题考查了勾股定理和含有30°角的直角三角形的性质，通过作辅助线，构建特殊的直角三角形是解题关键．23．（1）52；（2）16332- 【分析】（1）先由二次根式的性质、立方根、绝对值的意义进行化简，然后进行计算，即可得到答案；（2）由平方差公式进行化简，然后得到答案．【详解】解：（1）原式3213222=++52=；（2）原式248(31)(31)(31)(31)(31)12-++++=-16163133122--=-=． 【点睛】本题考查了平方差公式，实数的混合运算，二次根式的性质，以及绝对值的化简，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．24．（1）①＝；②＝；③>；④>；（2）2a b +≥，证明见解析；（3）4． 【分析】（1）①、②、③、④直接将a 、b 的值代入计算即可；（2）由20≥可得0a b -≥，最后移项即可说明；（3）当镜框为正方形时，周长最小，即然后根据正方形的面积求出边长即可解答．【详解】（1）①当2a =，2b =时，2a b +=2，则2a b +②当3a =，3b =时，2a b +=3，则2a b +③当4a =，1b =时，2a b +=2.5，则2a b +④当5a =，3b =时，2a b +=42a b + 故：①＝，②＝，③>，④>；（2）2a b +≥ 20≥，∴0a b -≥，整理得，2a b +≥； （3）当镜框为正方形时，周长最小∵镜框的面积为1∴镜框的边长为1，即周长为4．【点睛】 本题主要考查了二次根式的应用，确定出两个算式的大小关系并灵活运用这种关系成为解答本题的关键．25．254【分析】连接BE ，先利用勾股定理求出BC 的长，根据线段垂直平分线的性质可得AE ＝BE ，然后设AE ＝BE ＝x ，再由勾股定理可得方程（8−x ）2＋62＝x 2，求解后即可得出答案．【详解】解：连接BE ，在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，∴AC 2＋BC 2＝AB 2．即82＋BC 2＝102，解得：BC ＝6．∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ．设AE ＝BE ＝x ，则EC ＝8−x ，∵Rt △BCE 中，EC 2＋BC 2＝BE 2，∴（8−x ）2＋62＝x 2，解得：x ＝254， ∴AE ＝254． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理，掌握线段垂直平分线的性质并结合勾股定理求解线段的长度是解题的关键，且要注意数形结合思想应用．26．A 题：8米；B 题：41213m 【分析】A 题：设出旗杆的高度，利用勾股定理解答即可；B 题：根据题意表示出AD 、AC 、BC 的长，进而利用勾股定理求出AD 的长，即可得出答案．【详解】解：A 题：设旗杆的高度为x 米，则绳子长为（x+2）米，由勾股定理得：()22226x x +=+，解得：8x =，答：旗杆的高度为8米；B 题：由题意可得：BD=10m ，BC=6m ，设AD=xm ，则有：AC=()16x -m ，在Rt △ABC 中，222AB BC AC +=， 即()()22210616x x ++=-， 解得：3013x =， 故AB=30410121313+=m ， 答：树高AB 为41213m ． 【点睛】本题考察勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键．。

初中数学试卷桑水出品北京教育学院附属中学2014-2015学年度 第二学期期中八年级数学试卷 2015.4考生须知1. 本试卷共4页.正卷满分100分，附加题5分，考试时间100分钟.2. 在试卷的密封线内准确填写班级、姓名、学号.3. 在试卷上按要求作答.4. 考试结束，请将试卷按页码顺序整理好交回.一．选择题（每小题3分，共30分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把正确结论的代号写在题后的括号内. 1. 在△ABC 中，∠C ＝90°，若AC=3，BC=5，则AB 等于（ ）. A ．34 B ．4 C ．20 D ．都不对 2. 下列各组数中，以a 、b 、c 为边长的三角形不是．．直角三角形的是（ ）. A ．a =3， b =4， c =5， B ．a =5， b =12， c =13 C ．a =23， b =2， c =3 D ．a =1， b =2， c =5 3. 顺次连结对角线垂直的四边形各边中点，所得四边形是（ ）. A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.任意四边形 4. 对于反比例函数2y x=，下列说法不正确．．．的是 （ ）. A 、点(21)--，在它的图象上 B 、它的图象在第一、三象限C 、当0x >时，y 随x 的增大而增大D 、当0x <时，y 随x 的增大而减小 5.用配方法解一元二次方程0542=--x x 的过程中，配方正确的是（ ）． A ． 1)2(2=+x B ． 1)2(2=-x C ． 9)2(2=+x D ． 9)2(2=-x6. 如图，A 为反比例函数xky =图象上一点，AB ⊥x 轴与点B ， 若3=∆AOB S ，则k 的值为（ ）. A ．3 B ．6 C ．23D ．无法确定 7. 在下列方程中，没有实数根的是（ ）．A ．0122=-+x x B ．02222=++x xC ．0122=++x xD ．022=++-x x 8. 在函数xy 3-=的图象上有三个点)4(1y ，-，)1(2y ，-， )3(3y ，，则函数值 1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）． A.2y <3y <1y B.3y <2y <1y C.1y <2y <3y D.3y <1y <2y9. 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相平分，要使它成为正方形，需要添加的条件（ ）.A ．AB=CDB ．AC=BDC ．AC ⊥BD D ．AC=BD 且AC ⊥BD10. 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF ．若AD ＝3，则菱形AECF的面积为（ ）.A ．23B ．34C ．4D ．8 二．填空题（11--19每小题2分，20题3分，共21分）11. 已知双曲线7m y x+=在第二、四象限内，则m 的取值范围是 . 12. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90︒，∠B =40︒，D 为线段AB 的中点，则∠ACD = .13.一元二次方程052=-x x 的根是 .14.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若DE ＝6㎝，则BC ＝ cm ．15. 如图，菱形ABCD 中，若BD=24，AC=10，则AB 的长等于 ． 16. 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，过O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，已知AD=4 cm ，图中阴影部分的面积总和为6 cm 2，则矩形的对 角线AC 长为 cm ．第14题 第15题第16题 17. 平行四边形ABCD 的周长为20cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若△BOC 的周长比 A D CBOB CDA A ED EO△AOB 的周长大2cm ，则CD ＝ cm .18. 如图 ，正方形ABCD 的边长为4，M 在DC 上，且DM=1，N 是AC 上一动点，则DN+MN 的最小值为 ．第18题 第20题19. 平行四边形的一个角的平分线分对边为3和4两部分，则平行四边形的周长为 .20. 已知，如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 ．三．解答题（第21题10分，第22-24题6分，共28分） 21. 解一元二次方程：49)52)(1(2=-x 084)2(2=-+x x.22. 已知： 如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 上的点，BE=DF 。

北大附中初二年级第二学期代数期中练习答案一、判断正误：（本题共11分，每小题1分）请你将每道小题正确判断（对用“T”，错用“F”）的答案对应的字母填在下表相应的位置。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11答案 F F T T F T F F T T F 1．的立方根是；2．是的立方根；3．任何实数的绝对值都是非负数； 4．与互为倒数；5 无理数就是开方开不尽的数；6．；7．；8．的平方根是；9．若，则；10．若a为实数，式子|a|，a2，都是非负数；11．；二、填空题：（本题共17分，每小题1分）12．-4的平方等于[ 16 ]，-4的算术平方根是[ 无 ]；13．一个数的算术平方根是0.1，则此数的平方根是[ 0.1 ] ；14．，则的值为[ ]；15．计算：=[ 13 ]；= [ ]；16．(-25)2的算术平方根是[ 25 ]，[ -1 ]；17．已知，则的值等于[ ]；18．，则x的取值范围是[ ]；19．若，则的平方根是 [ 62.35 ]；()20．，则a与b的关系为 [ a= b ]；21．若x满足方程，则x的值为 [ 3、4、5 ]；22．大于且小于的整数有[ -2,-1,0,1,2 ]；23．若，则为[ 0,1 ]；若，则为[ 非负数 ]；24．设的整数部分为，小数部分为，则的值为[ 1 ]；三、选择题：（本题共27分，每小题3分）在下列各题的四个被选答案中，只有一个是正确的，请你将每道小题正确的答案对应的字母填在下表相应的位置。

题252627282930313233号A A CBC AD B C答案25．数a、b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（）（A）（B）（C）（D）26．已知：则的值是（）。

（A）1.096 （B） 0.1096 （C）0.346 （D） 3.4627．下列各式中：最简二次根式有（）个。

[本题中涉及到的字母取值都是根式有意义]（A） 2 （B） 3 （C） 4 （D） 528．化简后为（）。

北师大版八年级数学下册期中试卷及答案【完整】 班级： 姓名： 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．-2的倒数是（ ）A ．-2B ．12-C ．12D ．22．（-9）2的平方根是x ，64的立方根是y ，则x+y 的值为（ ）A ．3B ．7C ．3或7D ．1或7 3．式子12a a +-有意义，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≥-1 B ．a ≠2 C ．a ≥-1且a ≠2 D ．a ＞24．若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 值有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个5．已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（ ）A ．九边形B ．八边形C ．七边形D ．六边形6．一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（ ）A ．4B ．6C ．7D ．107．如图，在数轴上表示实数15的点可能是（ ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N8．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，//DE BC ，BE 平分ABC ∠，若170∠=，则CBE ∠的度数为（ ）A ．20B ．35C ．55D ．7010．已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD ≌△ACD 的条件是 （ ）A ．AB ＝AC B ．BD ＝CD C ．∠B ＝∠C D ．∠BDA ＝∠CDA二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．已知a 、b 为两个连续的整数，且11a b <<，则a b +=__________．2．将二次函数245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为__________．3．若2|1|0a b -++=，则2020()a b +=_________．4．含45°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中A(-2，0)，B(0，1)，则直线BC 的解析式为________．5．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1，3）、（n ，3），若直线y=2x 与线段AB 有公共点，则n 的值可以为____________．（写出一个即可）6．如图，长为8 cm 的橡皮筋放置在x 轴上，固定两端A 和B ，然后把中点C向上拉升3 cm 到点D ，则橡皮筋被拉长了_____ cm.三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程组：（1）329817x y x y -=⎧⎨+=⎩ （2）272253x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2．先化简，再求值：21(1)11x x x ÷+--，其中21x =-．3．已知11881,2y x x =-+-+求代数式22x y x y y x y x ++-+-的值.4．在▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F（1）在图1中证明CE=CF ；（2）若∠ABC=90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；（3）若∠ABC=120°，FG ∥CE ，FG=CE ，分别连接DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．5．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、B2、D3、C4、B5、B6、B7、C8、A9、B10、B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1、72、22()1y x =-+3、14、113y x =-+5、26、2.三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、（1）11x y =⎧⎨=⎩；（2）23x y =⎧⎨=⎩2、11x +，23、14、(1)略;(2)45°；(3)略.5、略。

一、选择题1．如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC ∆纸片，点D E 、分别是边AB AC 、上的点，将ABC ∆沿着DE 折叠压平，A 与A '重合，若50A ∠=︒，则12∠+∠=（ ）A ．90︒B ．100︒C ．110︒D ．120︒ 2．下列说法正确的有（ ）①每个定理都有逆定理；②每个命题都有逆命题；③假命题没有逆命题；④真命题的逆命题是真命题A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知四边形ABCD 是长方形，点,E F 分别为线段BC ，AD 上的两点，将四边形CDFE 沿EF 折叠得到四边形C D FE ''，若40BEC '∠=︒，则EFD ∠等于（ ）A ．50︒B ．65︒C ．60︒D ．70︒4．我国民间流传的数学名题：“只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）”，其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有x 个人，共分y 两银子，根据题意，可列方程组为（ ）A ．7755x y y x -=⎧⎨=-⎩B ．7+755x y y x =⎧⎨-=⎩C ．7755y x y x -=⎧⎨-=⎩D ．7755x y y x -=⎧⎨-=⎩5．如图，方格中的任一行、任一列及对角线上的数的和都相等，则m 等于（ ）A ．14B ．10C ．13D ．96．小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明己经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s （米）与爸爸出发时间t （分钟）之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是（ ）A ．a ＝15B ．小明的速度是150米/分钟C ．爸爸从家到商店的速度为200米/分钟D ．爸爸出发7分钟追上小明7．函数1y x =-自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x > B ．1≥x C ．1x ≥- D ．1x ≠8．下列各图象中，y 不是．．x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知∠A 、∠B 互余，∠A 比∠B 大30°，设∠A 、∠B 的度数分别为x°、y°，下列方程组中符合题意的是（ ）A ．18030x y x y +=⎧⎨=-⎩B ．180+30x y x y +=⎧⎨=⎩C ．9030x y x y +=⎧⎨=-⎩D ．90+30x y x y +=⎧⎨=⎩ 10．在平面直角坐标系中，点P （﹣3，4）关于x 轴的对称点的坐标是（ ）A ．（﹣4，﹣3）B ．（﹣3，﹣4）C ．（3，4）D ．（3，﹣4） 11．下列说法正确的是（ ） A ．4的平方根是2B ．16的平方根是±4C ．-36的算术平方根是6D ．25的平方根是±5 12．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）A ．2,3,4a b c ===B ．5,6,8a b c ===C ．5,12,13a b c ===D ．7,15,12a b c === 二、填空题13．若一个三角形三个内角度数的比为1:3:6，则其最大内角的度数是________． 14．在一个三角形中，若其中一个内角的度数是另一个内角的2倍，则我们称这个三角形为“倍角三角形”．已知某“倍角三角形”的一个内角的度数为60°，则其它两个内角的度数分别是_______．15．若方程组41524x y k x y +=-⎧⎨+=⎩的解为x 、y ，且x ＋y ＞0，则k 的取值范围是__________． 16．若12x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的二元一次方程ax ﹣3＝y 的解，则a 的值为_____． 17．某商店在节日期间开展优惠促销活动：购买原价超过200元的商品，超过200元的部分可以享受打折优惠．若购买商品的实际付款金额y （单位：元）与商品原价x （单位：元）的函数关系的图象如图所示，则超过200元的部分可以享受的优惠是打_____折．18．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D 、E 分别是AB 和CB 边上的点，把△ABC 沿着直线DE 折叠，若点B 落在AC 边上，则CE 的取值范围是_____．19．若3a ++|b ﹣2|＝0，则（a+b ）2020的值为______．20．如图，在四边形ABCD 中，B D 90∠∠==︒，AD=CD ，AB+BC=8，则四边形ABCD 的面积是_________．三、解答题21．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，AE BC ⊥．若40BAD ∠=︒，70C ∠=︒，求DAE ∠的度数．22．（1）计算：（6﹣215）×3﹣612； （2）解方程组：321237x y x y -=⎧⎨+=-⎩． 23．如图，平面直角坐标系中，直线3944y x =-+与直线3922y x =+交于点B ，与x 轴交于点A ．（1）求点B 的坐标．（2）若点C 在x 轴上，且ABC 是以AB 为腰的等腰三角形，求点C 的坐标． 24．在平面直角坐标系中，已知点(1,3)A ，(3,1)B ，(4,3)C ．（1）画出ABC ；（2）画出ABC 关于x 轴对称的111A B C △．连接1A B ，请直接写出线段1A B 的长． 25．求下列各式中x 的值．（1）2x 2＝72；（2）（x +1）3+3＝﹣61．26．阅读下列材料并完成任务：中国古代三国时期吴国的数学家赵爽最早对勾股定理作出理论证明.他创制了一幅“勾股圆方图”(如图l)，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为12ab ；中间的小正方形边长为b a -，面积为()2b a -.于是便得到式子：222+=a b c .赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.如图2，是“赵爽弦图”，其中ABH ∆、BCG ∆、CDF ∆和DAE ∆是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理.设AD c =，DE a =，AE b =，取10c =，2b a -=.任务：(1)填空：正方形EFGH 的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；(2)求()2a b +的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ADE+∠AED，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，然后利用平角等于180°列式计算即可得解．【详解】∵∠A=50°，∴∠ADE+∠AED=180°-50°=130°，∵△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，∴∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，∴∠1+∠2=180°-（∠A′ED+∠AED）+180°-（∠A′DE+∠ADE）=360°-2×130°=100°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，整体思想的利用求解更简便．2．A解析：A【分析】根据逆定理的定义，某一定理的条件和结论互换所得命题是真命题是这个定理的逆定理可以判断①，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，可判断②，利用命题分类分为真命题与假命题都是命题，都有逆命题，可判断③，真命题是正确的命题，真命题的逆命题有真假命题之分，可判断④即可．【详解】解：①每个定理都有逆命题，看根据逆命题的条件能否推出正确的结论，能推出，由逆定理，不能推出，没有逆定理，故①不正确；②每个命题都有逆命题；故②正确；③假命题也是命题，命题都有逆命题，故③不正确；④真命题的逆命题可能是假命题，也可能是真命题，根据条件能否推出正确的结论有关，能推出，由是真命题，不能推出，是假命题，故④不正确．正确的说法只有一个②．故选择：A．【点睛】本题考查命题，真命题，假命题，逆命题，定理，逆定理，掌握命题，真命题，假命题，逆命题，定理，逆定理的定义，以及它们的区别是解题关键．3．D解析：D【分析】先根据平行线的性质的得出40'∠=∠=︒FME BEC ，DFE BEF ∠=∠，结合折叠的性质得出∠DFE=∠MFE ，即可得出结论【详解】解：∵四边形ABCD 是长方形，∴AD//BC ，//''D F C E∴40'∠=∠=︒FME BEC ，DFE BEF ∠=∠，∵四边形CDFE 沿EF 折叠得到四边形C D FE ''，∴∠DFE=∠MFE ，MFE MEF ∴∠=∠∴∠EFD=∠MFE=()118040702⨯-=， 故选D ．【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．4．D解析：D【分析】根据“每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：依题意，得：7755x y y x -=⎧⎨-=⎩． 故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．5．D【分析】如图，根据题意得121211161115121116x yx++=++⎧⎨++=++⎩，求出1314xy=⎧⎨=⎩，根据16+m+y=12+11+16，求出答案．【详解】如图，由题意得12121116 1115121116x yx++=++⎧⎨++=++⎩，解得1314 xy=⎧⎨=⎩，∵16+m+y=12+11+16，∴16+m+14=39，解得m=9，故选：D．．【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，根据题意设出未知数列方程组解决问题是解题的关键．6．D解析：D【分析】利用到商店时间+停留时间可确定A，利用爸爸所用时间+2分与路程3300米可求小明速度可确定B，利用设爸爸开始时车速为x米/分，列方程10x+5(x+60)=3300，解出可确定C，利用小明和爸爸行走路程一样，设 t分爸爸追上小明，列方程150（t+2）=200t，求解可知D．【详解】解：A．a＝10+5=15，故A正确，不合题意；B．小明的速度为3300÷22=150米/分，故B正确，不合题意；C．设爸爸开始时车速为x米/分，10x+5(x+60)=3300，解得x=200米/分，故爸爸从家到商店的速度为200米/分钟正确，不合题意；D．设t分爸爸追上小明，150（t+2）=200t，t=6，故爸爸出发7分钟追上小明不正确，故选择：D．【点睛】本题考查行程问题的函数图像，会看图像，能从中获取信息，掌握速度，时间与路程三者关系，把握基准时间是解题关键．7．B【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数．【详解】解：根据题意得x-1≥0，解得x≥1．故选：B．【点睛】本题考查函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．8．B解析：B【分析】对于自变量x的每一个确定的值y都有唯一的确定值与其对应，则y是x的函数，根据函数的定义解答即可.【详解】根据函数的定义，选项A、C、D图象表示y是x的函数，B图象中对于x的一个值y有两个值对应，故B中y不是x的函数，故选：B.【点睛】此题考查函数的定义，函数图象，结合函数图象正确理解函数的定义是解题的关键. 9．D解析：D【解析】试题∠A比∠B大30°，则有x=y+30，∠A，∠B互余，则有x+y=90．故选D．10．B解析：B【解析】试题分析：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），即关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，这样就可以求出对称点的坐标．解：点A （﹣3，4）关于x 轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣4），故选B ．考点：关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．11．D解析：D【分析】根据平方根和算术平方根的定义判断即可．【详解】解：A. 4的平方根是±2，故错误，不符合题意；±2，故错误，不符合题意；C. -36没有算术平方根，故错误，不符合题意；D. 25的平方根是±5，故正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的概念，解题关键是熟悉相关概念，准确进行判断． 12．C解析：C【分析】由勾股定理的逆定理逐一分析各选项，从而可得答案．【详解】解：22222223134,a b c +=+=≠= 故A 不符合题意；22222256618,a b c +=+=≠= 故B 不符合题意；22222251216913,a b c +=+=== 故C 符合题意；22222271219315,a c b +=+=≠= 故D 不符合题意；故选：.C【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握“利用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形．”是解题的关键二、填空题13．108°【分析】已知三角形三个内角的度数之比可以设一份为x°根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数确定最大的内角的度数【详解】解：设一份为x°则三个内角的度数分别为x°3x°6x°根据解析：108°【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为x °，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，确定最大的内角的度数．解：设一份为x°，则三个内角的度数分别为x°，3x°，6x°，根据三角形内角和定理，可知x+3x+6x＝180，解得x＝18．所以6x°＝108°，即最大的内角是108°．故答案为108°【点睛】此题考查三角形的内角和定理，利用三角形内角和定理和列方程求解可简化计算．14．30°90°或40°80°【分析】根据倍角三角形的定义结合三角形的内角和定理分三种情况即可得出结论【详解】在△ABC中不妨设∠A=60①若∠A=2∠C则∠C=30∴∠B=；②若∠C=2∠A则∠C=1解析：30°，90°或40°，80°【分析】根据“倍角三角形”的定义结合三角形的内角和定理分三种情况即可得出结论．【详解】在△ABC中，不妨设∠A=60︒，①若∠A=2∠C，则∠C=30︒，︒-︒-︒=︒；∴∠B=180603090②若∠C=2∠A，则∠C=120︒，︒-︒-︒=︒(不合题意，舍去)；∴∠B=180601200=︒-︒=120︒，③若∠B=2∠C，则3∠C18060︒-︒-︒=︒；∴∠C4=0︒，∠B=180604080综上所述，其它两个内角的度数分别是：30︒，90︒或40︒，80︒．【点睛】本题考查了“倍角三角形”的定义以及三角形的内角和等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．15．k＞-3【分析】本题可将两式相加得到6x+6y=k+3根据x+y的取值可得出k 的值【详解】两式相加得：6x+6y=k+3∵x+y＞0∴6x+6y=6（x+y）＞0即k+3＞0∴k＞-3故答案为：k＞解析：k＞-3【分析】本题可将两式相加，得到6x+6y=k+3，根据x+y的取值，可得出k的值．【详解】两式相加得：6x+6y=k+3，∵x+y＞0∴6x+6y=6（x+y）＞0，即k+3＞0，∴ k＞-3，故答案为：k＞-3．本题考查的是二元一次方程的解的性质，通过化简得到x+y 的形式，再根据x+y ＞0求得k 的取值．16．【分析】根据方程的解满足方程把解代入可得关于a 的一元一次方程再解一元一次方程可得答案【详解】解：是关于xy 的二元一次方程ax ﹣3＝y 的解a ﹣3＝2a ＝5故答案为：5【点睛】本题考查了二元一次方程的解解析：【分析】根据方程的解满足方程，把解代入，可得关于a 的一元一次方程，再解一元一次方程，可得答案．【详解】解：12x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的二元一次方程ax ﹣3＝y 的解， a ﹣3＝2，a ＝5．故答案为：5．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，把解代入得出一元一次方程是解题的关键．17．七【分析】设超过200元的部分可以享受的优惠是打n 折根据：实际付款金额=200+（商品原价-200）×列出y 关于x 的函数关系式将x=500y=410代入求解可得答案【详解】设超过200元的部分可以享解析：七【分析】设超过200元的部分可以享受的优惠是打n 折，根据：实际付款金额=200+（商品原价-200）×10折扣，列出y 关于x 的函数关系式，将x=500、y=410代入求解可得答案． 【详解】设超过200元的部分可以享受的优惠是打n 折， 根据题意，得：y=200+（x-200）·10n ， 由图象可知，当x=500时，y=410，即：410=200+（500-200）×10n ， 解得：n=7，∴超过200元的部分可以享受的优惠是打七折，故答案为：七【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，理解题意根据相等关系列出实际付款金额y 与商品原价x 间的函数关系式是解题的关键．18．≤CE≤4【分析】当点B 落在A 处时CE 取得最小值设CE ＝x 则BE ＝8﹣x ；根据勾股定理列出关于x的方程解方程可求出CE；当点B落在C处时CE取得最大值4则可得出答案【详解】解：如图当点B落在A处时C解析：74≤CE≤4【分析】当点B落在A处时，CE取得最小值，设CE＝x，则BE＝8﹣x；根据勾股定理列出关于x的方程，解方程可求出CE74=；当点B落在C处时，CE取得最大值4，则可得出答案．【详解】解：如图，当点B落在A处时，CE取得最小值，设CE＝x，则BE＝8﹣x，由题意得：AE＝BE＝8﹣x，由勾股定理得：x2+62＝（8﹣x）2，解得：x74 =，即CE的长为74，当点B落在C处时，CE取得最大值4，综上可得CE的取值范围是：74≤CE≤4．故答案为：74≤CE≤4．【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．19．1【分析】首先根据非负数的性质可求出ab的值进而可求出ab的和【详解】∵∴a+3＝0b﹣2＝0∴a＝﹣3b＝2；因此a+b＝﹣3+2＝﹣1则（a+b）2020＝（﹣1）2020＝1故答案为：1【点睛解析：1【分析】首先根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出a、b的和．【详解】∵20b -=∴a+3＝0，b ﹣2＝0，∴a ＝﹣3，b ＝2；因此a+b ＝﹣3+2＝﹣1．则（a+b ）2020＝（﹣1）2020＝1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查算术平方根与绝对值的非负性及乘方，熟练掌握算术平方根与绝对值的非负性及乘方是解题的关键．20．16【分析】求不规则四边形的面积可以转化为两个三角形的面积由题意可知：求出与的面积即为四边形ABCD 的面积【详解】连接AC ∵∴∴∵AB+BC=8∴∴∴故答案为：16【点睛】本题主要考查的是四边形面积解析：16【分析】求不规则四边形的面积，可以转化为两个三角形的面积，由题意B D 90∠∠==︒，可知：求出Rt ABC 与Rt ADC 的面积，即为四边形ABCD 的面积．【详解】连接AC ，∵B D 90∠∠==︒，∴222AB BC AC +=，222AD DC AC +=， ∴11=22ABC ADCABCD S S S BC AB CD AD +=⋅+⋅四边形21122BC AB AD =⋅+ ()2221111=2224BC AB CD AB BC AB BC ⋅+=⋅++， ∵AB+BC=8，∴222=64AB BC BC AB ++⨯，∴4464ABC ADCS S +=， ∴=16ABC ADC ABCD S SS +=四边形故答案为：16．【点睛】本题主要考查的是四边形面积的求解，三角形面积以及勾股定理，熟练运用三角形面积公式以及勾股定理是解答本题的关键．三、解答题21．20°【分析】由题意，先求出30B ∠=︒，然后得到60=︒∠BAE ，即可求出答案．【详解】解：如图：AD 平分BAC ∠224080BAC BAD ∴∠=∠=⨯︒=︒70C ∠=︒30B ∴∠=︒AE BC ⊥于点E90AED ∴∠=︒903060BAE ∴∠=︒-︒=︒604020DAE BAE BAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及余角的定义，解题的关键是正确的求出角的度数进行计算．22．（1）-2）11132313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【分析】（1）二次根式的混合运算，注意先算乘除，后算加减；（2）利用加减消元法解二元一次方程组求解．【详解】解：（1﹣＝＝﹣（2）321?237?x y x y -=⎧⎨+=-⎩①② ①×3得：9x ﹣6y ＝3③，②×2得：4x ＋6y ＝﹣14④，③＋④得：x ＝﹣1113， 把x ＝﹣1113代入①得：y ＝﹣2313， ∴方程组的解为：11132313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【点睛】本题考查解二元一次方程组和二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．23．（1）(1,3)B -；（2）123(5,0),(2,0),(8,0)C C C --【分析】（1）联立两直线解析式构建二元一次方程组求解即可；（2）由题意易得点A 的坐标，然后分AB=AC 和AB=BC 两种情况结合等腰三角形的性质可进行分类求解．【详解】解：（1）由题意可联立解析式得：39443922y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：13x y =-⎧⎨=⎩， ∴(1,3)B -；（2）由直线3944y x =-+可令y=0得：(3,0)A ， ①若A 为顶角顶点，如图所示：由（1）及两点距离公式可得， ∴22435AC AB ==+=，∴22OC =，38OC =，②若B 为顶角顶点，∴5BC BA ==，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，则有14C D AD ==，∴15OC =，∴综上所述：当△ABC 以AB 为腰的等腰三角形，则有123(5,0),(2,0),(8,0)C C C --．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理及一次函数的性质，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理及一次函数的性质是解题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析；125A B =．【分析】(1)描点，后顺次连接A,B,C 三点即可；(2)先确定对称点，后依次连接即可；利用勾股定理计算即可.【详解】（1）ABC 如图所示；（2）∵点(1,3)A ，(3,1)B ，(4,3)C ，∴关于x 轴对称的对称点分别为1A （1，-3），1B （3，-1），1C （4，-3），描点，连线，得111A B C △，如图所示， ∴2212425A B =+=．【点睛】本题考查了坐标系中根据坐标确定点的位置，轴对称，网格中的勾股定理，熟记轴对称的意义是解题的关键.25．（1）x ＝6或x ＝﹣6；（2）x ＝﹣5【分析】（1）直接利用平方根的定义计算得出答案；（2）直接利用立方根的定义计算得出答案．【详解】解：（1）2x 2＝72x 2＝36，故x ＝±6，则x ＝6或x ＝﹣6；（2）（x +1）3+3＝﹣61（x +1）3＝﹣64，x +1＝﹣4∴x ＝﹣5．【点睛】此题主要考查了立方根和平方根，正确掌握相关定义是解题关键．26．(1)4，96；(2)196.【分析】（1）根据题意得图中的四个直角三角形都全等，可得正方形EFGH 的边长为2，即可得正方形EFGH 的面积；再利用正方形ABCD 的面积-正方形EFGH 的面积即可得四个直角三角形的面积和；（2）易求得ab 的值，和a 2+b 2的值，根据完全平方公式即可求得（a+b ）2的值，即可解题．【详解】(1)根据题意得，图中的四个直角三角形都全等，∴AB=c=10，AE-AH=b-a=2，∴正方形EFGH 的面积为22=4，正方形ABCD 的面积为102=100，∴四个直角三角形的面积和=正方形ABCD 的面积-正方形EFGH 的面积=100-4=96；(2)由(1)可知四个直角三角形的面积和为96，14962ab ∴⨯=，即296ab =. 222100a b c +==，()222210096196a b a b ab ∴+=++=+=. 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，求得ab 的值是解题的关键．。

北师大版八年级数学下册期中试卷（及参考答案) 班级： 姓名： 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1．多项式2mx m -与多项式221x x -+的公因式是（ ）A ．1x -B ．1x +C ．21x -D ．()21x - 2．关于x 的分式方程2322x m m x x++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．6m <-且2m ≠ B ．6m >且2m ≠ C ．6m <且2m ≠- D ．6m <且2m ≠3．成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（ ）A ．74610-⨯B ．74.610-⨯C ．64.610-⨯D ．50.4610-⨯4．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ）A ．1201508x x =-B ．1201508x x =+C ．1201508x x =-D ．1201508x x =+ 5．如果2(21)12a a -=-，则a 的取值范围是（ ）A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥ 6．如图，两条直线l 1∥l 2，Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=BC ，顶点A 、B 分别在l 1和l 2上，∠1=20°，则∠2的度数是（ ）A ．45°B ．55°C ．65°D ．75° 7．已知=2{=1x y 是二元一次方程组+=8{ =1mx ny nx my -的解，则2m n -的算术平方根为（）A．±2 B．2C．2 D．48．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是（）A．0 B．1 C．2 D．39．如图，两个不同的一次函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是（）A．B．C．D．10．如图，函数y1＝﹣2x 与y2＝ax+3 的图象相交于点A（m，2），则关于x 的不等式﹣2x＞ax+3 的解集是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=________．2．函数132y xx=--+中自变量x的取值范围是__________．3．因式分解：a2-9=_____________．4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF ＝AC，则∠ABC＝________度．5．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF ，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．6．如图，在等边三角形ABC 中，BD=CE,AD,BE 交于点F,则AFE ∠=____________;三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程：（1）2450x x --=； （2）22210x x --=．2．先化简，再求值[（x 2+y 2）-（x-y ）2+2y （x-y ）]÷2y ，其中x=-2，y=-12．3．若方程组3133x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩的解满足x 为非负数，y 为负数． （1）请写出x y +=_____________；（2）求m 的取值范围；（3）已知4m n +=，且2n >-，求23m n -的取值范围．4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，过点C 的直线MN ∥AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE ⊥BC ，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE ．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．5．如图，在△OBC中，边BC的垂直平分线交∠BOC的平分线于点D，连接DB，DC，过点D作DF⊥OC于点F.(1)若∠BOC＝60°，求∠BDC的度数；(2)若∠BOC＝ ，则∠BDC＝；（直接写出结果）(3)直接写出OB，OC，OF之间的数量关系.参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、A2、D3、C4、D5、B6、C7、C8、D9、C10、D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、72、23x -<≤3、（a+3）（a ﹣3）4、455、706、60°三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、（1）x 1=5，x 2=-1；（2）121122x x +==.2、2x-y ；-312．3、（1）1；（2）m ＞2；（3）-2＜2m -3n ＜184、（1）略；（2）四边形BECD 是菱形，理由略；（3）当∠A ＝45°时，四边形BECD 是正方形，理由略5、（1）120°；（2）180°－α；（3）OB ＋OC ＝2OF。

八年级下册数学期中考试试题(答案)一、选择题(每小题3分，共30分) 1．化简16的值为( A ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．22．要使二次根式4＋x 有意义，x 的取值范围是( D ) A ．x ≠－4 B ．x ≥4 C ．x ≤－4 D ．x ≥－43．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是( C ) A ．a ＝2 2，b ＝2 3，c ＝2 5 B ．a ＝32，b ＝2，c ＝52C ．a ＝6，b ＝8，c ＝10D ．a ＝5，b ＝12，c ＝13 4．下列二次根式中，化简后不能与3进行合并的是( C ) A.13B.27C.32D.12 5．顺次连接四边形ABCD 各边的中点，若得到的四边形EFGH 为菱形，则四边形ABCD 一定满足( A )A ．对角线AC ＝BDB ．四边形ABCD 是平行四边形C ．对角线AC ⊥BD D ．AD ∥BC 6．下列各式计算正确的是( B ) A ．3 3－3＝3 B.8×2＝8×2 C.323×4 3＝6 3 D ．215＋2 3＝ 5 7．如图，在△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE ⊥AC.若DE ＝5，AE ＝8，则BE 的长度是( C )A ．5B ．5.5C ．6D ．6.5,第7题图),第9题图),第10题图)8．已知菱形的周长为20，一条对角线长为6，则菱形的面积为(B)A．48 B．24 C．18 D．129．如图，把菱形ABCD沿AH折叠，点B落在BC边上的点E处．若∠BAE＝40°，则∠EDC的大小为(B)A．10°B．15°C．18°D．20°10．如图，点E，G分别是正方形ABCD的边CD，BC上的点，连接AE，AG，分别交对角线BD于点P，Q.若∠EAG＝45°，BQ＝4，PD＝3，则正方形ABCD的边长为(A)A．6 2 B．7 C．7 2 D．5二、填空题(每小题3分，共18分)11．化简：50－72＝．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，AB边上的高是______cm.13．计算：(6－2 3)2＝．14．如图，点E，F是正方形ABCD内两点，且BE＝AB，BF＝DF，∠EBF＝∠CBF，则∠BEF的度数为__45°__．,第14题图),第15题图),第16题图)15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，CB′的长为．16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E是边AB的中点，点F，P 分别是BC，AC上的动点，则PE＋PF的最小值是______．三、解答题(共72分)17．(8分)计算：4 12－1318.【解析】原式＝22－2＝ 2.18．(8分)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，经过点O的直线交AB于点E，交CD于点F，连接DE，BF.(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；(2)当EF与BD满足条件__EF⊥BD__时，四边形DEBF是菱形．【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠OEB，在△DOF和△BOE中．∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE(AAS)．∴OE＝OF.又∵OD＝OB，∴四边形DEBF是平行四边形．19．(8分)计算(7＋4 3)(2－3)2－(2＋3)(2－3)＋3的值． 【解析】原式＝1－1＋3＝ 3.20．(8分)如图，在▱ABCD 中，点E 是BC 的中点．连接AE 并延长，交DC 的延长线于点F ，且AF ＝AD ，连接BF.求证：四边形ABFC 是矩形．最新八年级下册数学期中考试题及答案人教版八年级下学期期中数学试卷八年级数学一、选择题 1、若二次根式5-x 有意义，则x 的取值范围是（ a ）A 、5≥xB 、5≤xC 、5 xD 、5 x2、下面各式是最简二次根式的是（ d ）A 、8B 、21C 、9D 、2 3、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ c ）A 、6,8,10B 、5,12,13C 、1.5,2,3D 、9,12,15 4、下列计算正确的是（ c ） A 、532=+ B 、3223=- C 、632=⨯ D 、322324= 5、在平面直角坐标系中，点P （1，-3）到原点的距离是（ b ）A 、4B 、10C 、22D 、无法确定 6、如图所示，在平行四边形ABCD 中，已知AC=3cm ，若△ABC 的周长为9cm ， 则平行四边形的周长为（ b ）A 、6cmB 、12cmC 、16cmD 、11cm 7、下列命题是真命题的是（ c ）A 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B 、对角线互相垂直的平行四边形是矩形C 、四条边相等的四边形是菱形D 、对角线相等的矩形是正方形8、甲、乙两同学骑自行车从A 地沿同一条路到B 地，已知乙比甲先出发， 他们离出发地的距离s （km ）和骑行时间t （h ）之间的函数关系如图所示， 根据图像信息，以上说法正确的是（ d ）A 、甲和乙两人同时到达目的地；B 、甲在途中停留了0.5h;C 、相遇后，甲的速度小于乙的速度；D 、他们都骑了20km9、已知菱形的面积为24cm ²，一条对角线长为6cm ，则这个菱形的边长是（ b ）cm A 、8 B 、5 C 、10 D 、410如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥CD 于 F ，连接EF ，给出下列四个结论：①AP=EF,②△APD 一定是等腰三角形，G ，③∠PFE=∠BAP,④PD=2EC.其中正确结论的序号是（ d ） A 、①②④ B 、②④ C 、①②③ D 、①③④ 二、填空题11、=÷218__3_____12、在实数范围内因式分解：32-x =__)3)(3(-+x x _13、如图，在直角三角形ABC 中，点D 为AC 的中点，BC=3，AB=4，则BD=____2.5______ 14、“全等三角形的对应角相等”的逆命题 对应角相等的三角形是全等三角形 ,这个命题是__假__命题。

一、选择题1．如图，作边长为4的等边11OA B ，延长11A B 至点2A ，使得121112B A A B =，再以 12B A 为边作等边122B A B ．延长22A B 至点3A ，使得23B A ＝222A B ，再以23B A 为边作等边233B A B ，以此类推……．若点C 、1C 、2C 、3C ……分别是1OA 、11A B 、32A B 、33A B ……的中点，则2021CC 的长度为（ ）A ．6058B ．6060C ．6062D ．60642．如图，在平行四边形ABCD 中，AB≠BC ，点F 是BC 上一点，AE 平分∠FAD ，且点E 是CD 的中点，有如下结论：①AE ⊥EF ；②AF=CF+CD ；③AF=CF+AD ；④AB ＝BF ，其中正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．①③④ 3．如图，在□ABCD 中，AB=5，BC=6，点O 是AC 的中点，OE ⊥AC 交边AD 于点E ，则△CDE 的周长为等于（ ）A ．5.5B ．8C ．11D ．224．H7N9病毒直径为30纳米，已知1纳米=0.000 000 001米．用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（ ）A ．93010-⨯米B ．83.010-⨯米C ．103.010-⨯米D ．90.310-⨯米 5．在一只不透明的口袋中放入红球5个，黑球1个，黄球n 个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为13，则放入口袋中的黄球总数n 是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．冬季来临，为防止疫情传播，某学校决定用420元购买某种品牌的消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价购买多了20瓶，求原价每瓶多少元．设原价每瓶x 元，则可列出方程为（ ）A ．420420200.5x x -=- B ．420420200.5x x -=+ C ．420420200.5x x-=+ D ．420200.5x =- 7．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．a 2+4B ．a 2+ab +b 2C ．a 2+4ab +b 2D ．x 2+2x +1 8．下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ） A ．12xy 2＝3xy •4yB ．（x +1）（x ﹣3）＝x 2﹣2x ﹣3C ．x 2﹣4x +1＝x （x ﹣4）+1D ．x 3﹣x ＝x （x +1）（x ﹣1） 9．下列因式分解结果正确的是（ ）A ．x 2+3x +2=x （x +3）+2B ．4x 2﹣9=（4x +3）（4x ﹣3）C ．a 2﹣2a +1=（a +1）2D ．x 2﹣5x +6=（x ﹣2）（x ﹣3） 10．下面是几种病毒的形态模式图，这些图案中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．若a b <，则下列各式中不一定成立的是（ ）A ．11a b -<-B ．33a b <C ．a b ->-D ．ac bc < 12．如图，A ，B 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C 也在格点上，且ABC 为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C 的个数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题13．如图，AE 平分∠BAC ，DE 平分∠BDC ，已知∠B =10°，∠C =40°，则∠E =____________．14．如图，在平行四边形ABCD 中，∠B=60°，∠BCD 的平分线交AD 点E ，若CD=3，四边形ABCE 的周长为13，则BC 长为__．15．若113m n+=，则分式225m n mn m n +---的值为________ ． 16．计算22111m m m---，的正确结果为_____________． 17．分解因式：a 2﹣a ﹣6=________________． 18．在平面直角坐标系中，点A(-2，-3)关于坐标原点O 中心对称的点的坐标为____________19．若关于x 的不等式组0521x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解有且只有4个，则m 的取值范围是：__________．20．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，△ABC 的面积为60，AB ＝16，BC ＝14，则DE 的长等于_____．三、解答题21．如图，已知六边形ABCDEF 的每个内角都相等，连接AD .（1）若148∠=︒，求2∠的度数；（2）求证：//AB DE .22．解方程：125133x x x-=---． 23．第一步：阅读材料，掌握知识．要把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a ，再把它的后两项分成一组，提出公因式b ，从而得： am ＋an ＋bm ＋bn ＝a (m ＋n )＋b (m ＋n )．这时，由于a (m ＋n )＋b (m ＋n )中又有公因式(m ＋n )，于是可提出(m ＋n )，从而得到(m ＋n )(a ＋b )，因此有： am ＋an ＋bn ＋bn ＝(am ＋an )＋(bm ＋bn )＝a (m ＋n )＋b (m ＋n )＝(m ＋n )(a ＋b )．这种方法称为分组法．第二步：理解知识，尝试填空．（1）ab －ac ＋bc －b 2＝(ab －ac )＋(bc －b 2)＝a (b －c )－b (b －c )＝ ．第三步：应用知识，解决问题．（2）因式分解：x 2y －4y －2x 2＋8．第四步：提炼思想，拓展应用．（3）已知三角形的三边长分别是a 、b 、c ，且满足a 2＋2b 2＋c 2＝2b (a ＋c )，试判断这个三角形的形状，并说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(1,4)A -，(3,2)B -，(0,2)C ．（1）将ABC ∆以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的11A B C ∆；（2）平移ABC ∆，若A 的对应点2A 的坐标为()3,2--，画出平移后的222A B C ∆； （3）若将222A B C ∆绕某一点旋转可以得到11A B C ∆，请直接写出旋转中心的坐标． 25．已知用2辆A 型车和1辆B 型车装满货物一次可运货11吨；用3辆A 型车和2辆B 型车装满货物一次可运货19吨，某物流公司现有50吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运转，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨?（2）请你帮该物流公司设计，有几种租车方案?（3）若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．26．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，垂足为D ，与AC 交于点E ，连接BE ． （1）若∠A ＝42°，求∠EBC 的度数；（2）若AB ＝10，△BEC 的周长为16，求△ABC 的周长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由作法知两类等边三角形11OA B ，122B A B 边长分比为4，2,由点C 、1C 、2C 、3C ……分别是1OA 、11A B 、32A B 、33A B ……的中点，利用中位线可求123452CC C C C C ==== 同理34564C C C C ===求出26CC =由此求出2k 6CC k =，利用相等线段关系2021202020202021110106CC CC C C CC =+=⨯+即可求出．【详解】由作法知11OA B ，233B A B ，455B A B ……都是边长为4的等边三角形,122B A B ，344B A B ，566B A B ……都是边长为2的等边三角形,∵点C 、1C 、2C 、3C ……分别是1OA 、11A B 、32A B 、33A B ……的中点，∴CC 1=111OB =4=222⨯=C 2C 3=C 4C 5=……， ∵1211111111=2=222B A A B B C B C =⨯=， ∵23B A ＝222A B ，∴232222=22B A B C A B =即2222B C A B =，∴121224C C B B ==，同理34564C C C C ===，∴2112246CC CC C C =+=+=，∴2242226k k CC C C C C +====，∴422426CC CC C C =+=⨯，∴644626636CC CC C C =+=⨯+=⨯，∴2k 6CC k =，∴20212020202020212110101010626062CC CC C C CC CC =+=+=⨯+=，故选择：C ．【点睛】本题考查图形规律探究问题，从图形分布入手：由图形特点⇒找出特殊情况⇒推广到一般情况⇒总结规律．2．A解析：A【分析】首先延长AD ，交FE 的延长线于点M ，易证得△DEM ≌△CEF ，即可得EM=EF ，又由AE 平分∠FAD ，即可判定△AEM 是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AE ⊥EF ．【详解】延长AD ，交FE 的延长线于点M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠M=∠EFC ，∵E 是CD 的中点，∴DE=CE ，在△DEM 和△CEF 中，M EFC DEM CEF DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEM ≌△CEF （AAS ），∴EM=EF ，∵AE 平分∠FAD ，∴AM=AF ，AE ⊥EF ．即AF=AD+DM=CF+AD；故①，③正确，②错误．∵AF不一定是∠BAD的角平分线，∴AB不一定等于BF，故④错误．故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．3．C解析：C【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，继而可得△CDE的周长等于AD+CD，又由平行四边形ABCD的AB+BC=AD+CD=11．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，∵AB=5，BC=6，∴AD+CD=11，∵OE⊥AC，OA=OC，∴AE=CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=11．故选：C．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．4．B解析：B【分析】由于1纳米=10-9米，则30纳米=30×10-9米，然后根据幂的运算法则计算即可．【详解】解：1纳米=0.000 000 001米=10-9米，30纳米=30×10-9米=3×10-8米．故选：B．【点睛】本题考查了科学记数法-表示较小的数：用a×10n（1≤a＜10，n为负整数）表示较小的数．5．A解析：A【分析】根据概率公式列出关于n的分式方程，解方程即可得．【详解】解：根据题意可得51n n ++＝13， 解得：n ＝3， 经检验n ＝3是分式方程的解，即放入口袋中的黄球总数n ＝3，故选：A ．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n． 6．A解析：A【分析】根据“原价买的瓶数-实际价格买的瓶数=20”列出方程即可．【详解】 解：原价买可买420x 瓶，经过还价，可买4200.5x -瓶．方程可表示为： 420420200.5x x-=-． 故选：A ．【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程．列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题要注意还价前后商品的单价的变化．7．D解析：D【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】A 、a 2+4，无法分解因式，故此选项错误；B 、a 2+ab+b 2，无法运用公式分解因式，故此选项错误；C 、a 2+4ab+b 2，无法运用公式分解因式，故此选项错误；D 、x 2+2x+1＝（x+1）2，正确．故选：D ．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．8．D解析：D【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】此题考查因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明9．D解析：D【分析】根据因式分解的方法进行计算即可判断．【详解】A．因为x2+3x+2=（x+1）（x+2），故A错误；B．因为4x2﹣9=（2x+3）（2x﹣3），故B错误；C．因为a2﹣2a+1=（a﹣1）2，故C错误；D．因为x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法、公式法，解决本题的关键是掌握因式分解的方法．10．C解析：C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判定即可；【详解】A、是轴对称图形不是中心对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形不是中心对称图形，故不符合题意；C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故符合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，正确理解轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键；11．D解析：D【分析】根据不等式的性质进行解答．【详解】A 、在不等式的两边同时减去1，不等式仍成立，即11a b -<-，故本选项不符合题意．B 、在不等式的两边同时乘以3，不等式仍成立，即33a b <，故本选项不符合题意．C 、在不等式的两边同时乘以-1，不等号方向改变，即a b ->-，故本选项不符合题意．D 、当0c ≤时，不等式ac bc <不一定成立，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了不等式的性质，做这类题时应注意：在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．12．B解析：B【分析】分两种情况：①AB 为等腰三角形的底边；②AB 为等腰三角形的一条腰；画出图形，即可得出结论．【详解】解：如图所示：①AB 为等腰三角形的底边，符合条件的点C 的有5个；②AB 为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C 的有3个．所以符合条件的点C 共有8个．故选：B ．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键，注意数形结合的解题思想．二、填空题13．15°【分析】根据周角定义和四边形的内角和为360°可得∠BDC ﹣∠BAC=50°根据角平分线的定义可得∠EAC=∠BAC ∠EDC=∠BDC 再根据对顶角相等和三角形的内角和为180°可证得∠E+∠E解析：15°【分析】根据周角定义和四边形的内角和为360°可得∠BDC ﹣∠BAC=50°，根据角平分线的定义可得∠EAC=12∠BAC，∠EDC=12∠BDC，再根据对顶角相等和三角形的内角和为180°可证得∠E+∠EDC=∠C+∠EAC，进而可求得∠E的度数．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠C+(360°﹣∠BDC)=360°，∠B=10°，∠C=40°，∴∠BDC﹣∠BAC=50°，∵AE平分∠BAC，DE平分∠BDC，∴∠EAC=12∠BAC，∠EDC=12∠BDC，∴∠EDC﹣∠EAC==12∠BDC﹣12∠BAC=25°，设CD与AE相交于F，则∠DFE=∠AFC，∵∠E+∠EDC+∠DFE=∠C+∠EAC+∠AFC，∴∠E+∠EDC=∠C+∠EAC，∴∠E=∠C﹣(∠EDC﹣∠EAC)=40°﹣25°=15°，故答案为：15°．【点睛】本题考查角平分线的定义、四边形的内角和为360°、周角定义、三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握这些知识的运用与联系是解答的关键．14．5【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行进而得出DE=CD=3再求出AE+BC=7BC-AE=3即可求出BC的长【详解】∵CE平分∠BCD交AD边于点E∴∠ECD=∠ECB∵在平行四边形ABCD解析：5【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出DE=CD=3，再求出AE+BC=7，BC-AE=3，即可求出BC的长．【详解】∵CE平分∠BCD交AD边于点E，∴∠ECD=∠ECB，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3，AD=BC，∠D=∠B=60°，∴∠DEC=∠ECB，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=CD=3，∴△CDE 是等边三角形，∴CE=CD=3，∵四边形ABCE 的周长为13，∴AE+BC=13-3-3=7①，∵AD-AE ═DE=3，即BC-AE=3②，由①②得：BC=5；故答案为：5．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出∠DEC=∠DCE 是解题关键．15．【分析】由可得m+n=3mn 再将原分式变形将分子分母化为含有（m+n ）的代数式进而整体代换求出结果即可【详解】解：∵∴即m+n=3mn ∴====故答案为：【点睛】本题考查分式的值理解分式有意义的条件 解析：13- 【分析】 由113m n+=可得m+n=3mn ，再将原分式变形，将分子、分母化为含有（m+n ）的代数式，进而整体代换求出结果即可．【详解】 解：∵113m n+=， ∴=3m n mn+，即m+n=3mn ， ∴225m n mn m n +--- =()()25+m n mn m n +-- =2353mn mn mn⋅-- =3mn mn- =13-． 故答案为：13-． 【点睛】本题考查分式的值，理解分式有意义的条件，掌握分式值的计算方法是解决问题的关键． 16．【分析】根据分式的加减法运算法则平方差公式因式分解计算即可解答【详解】解：===故答案为：【点睛】本题考查分式的加减运算平方差公式因式分解熟记公式掌握分式的加减运算法则是解答的关键 解析：11m - 【分析】根据分式的加减法运算法则、平方差公式因式分解计算即可解答．【详解】 解：22111m m m --- =22111m m m +-- =1(1)(1)m m m ++- =11m -， 故答案为：11m -． 【点睛】 本题考查分式的加减运算、平方差公式因式分解，熟记公式，掌握分式的加减运算法则是解答的关键．17．（a+2）（a ﹣3）【分析】利用十字相乘法分解即可【详解】解：原式=（a+2）（a-3）故答案是：（a+2）（a-3）【点睛】此题考查了利用十字相乘法因式分解熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键解析：（a+2）（a ﹣3）【分析】利用十字相乘法分解即可．【详解】解：原式=（a+2）（a-3）．故答案是：（a+2）（a-3）．【点睛】此题考查了利用十字相乘法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 18．（23）；【分析】直接利用关于原点对称点的特点得出答案【详解】解：∵关于原点对称点的坐标纵横坐标互为相反数∴点A （-2-3）关于坐标原点O 中心对称的点的坐标为（23）故答案为：（-2-3）【点睛】此解析：（2，3）；【分析】直接利用关于原点对称点的特点得出答案．【详解】解：∵关于原点对称点的坐标纵横坐标互为相反数∴点A （-2，-3）关于坐标原点O 中心对称的点的坐标为（2，3），故答案为：（-2，-3）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的特点，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 19．【分析】先解不等式组得到解集为：＜此时的整数解有且只有4个结合数轴分析可得到的取值范围【详解】解：由①得：＜由②得：所以不等式组的解集为：＜不等式组的整数解有且只有4个如图不等式组的整数解为＜故答案 解析：56m <≤【分析】先解不等式组，得到解集为：2x ≤＜m ，此时的整数解有且只有4个，结合数轴分析可得到m 的取值范围．【详解】解：0521x m x -<⎧⎨-≤⎩①②由①得：x ＜m ，由②得：24,x -≤-2,x ∴≥所以不等式组的解集为：2x ≤＜m ，不等式组的整数解有且只有4个，如图，不等式组的整数解为2,3,4,5,5∴＜ 6.m ≤故答案为：56m <≤．【点睛】本题考查的是不等式组的整数解问题，掌握利用数轴分析得出不等式组中字母的取值范围是解题的关键．20．【分析】过点D 作DF ⊥BC 垂足为F 根据角平分线的性质得到FD=DE 再利用面积求DE 即可【详解】解：过点D 作DF ⊥BC 垂足为F ∵BD 是△ABC 的角平分线DE ⊥ABDF ⊥BC ∴FD=DEDE=4故答案为解析：【分析】过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，根据角平分线的性质得到FD=DE ，再利用面积求DE 即可．【详解】解：过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，∵BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴FD=DE ，182ABD SAB DE DE =⋅=， 172CBDS BC DF DE =⋅=， ABC ABD DBC S S S =+△△△，8760DE DE +=，DE=4，故答案为：4．【点睛】本题考查是角平分线的性质，解题关键是熟知角平分线性质，作垂线，利用面积求DE ．三、解答题21．(1)248∠=︒；（2）证明见解析；【分析】（1）先求六边形ABCDEF 的每个内角的度数，再根据四边形的内角和是360°，求∠2的度数．（2）由（1）中∠ADC 的度数，可得∠BAD=∠ADE ，利用内错角相等，两直线平行，可证AB ∥DE ．【详解】（1）∵六边形ABCDEF 的每个内角的度数是（6-2）×180°÷6=120°∴∠FAB=120°,∵∠1=48°∴∠FAD=∠FAB-∠1=120°-48°=72°,∴∠2=360°-120°-120°-72°=48°．（2）∵∠1=48°,∠2=48°，∴AB ∥DE ．【点睛】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．注意平行于同一条直线的两直线平行．22．无解．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：两边同乘(3)x -得125(3)x x -=---，1253x x -=--+，2513x x -+=--+，3x -=-，解得3x =，检验：当3x =时，30x -=，因此，3x =不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．23．（1）（b-c ）（a-b ）；（2）（y-2）（x+2）（x-2）；（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析．【分析】（1）提取b-c 即可；（2）先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；（3）移项后分解因式，可得出a=b=c ，则可得出答案．【详解】解：（1）a （b-c ）-b （b-c ）=（b-c ）（a-b ）．故答案为：（b-c ）（a-b ）；（2）x 2y-4y-2x 2+8=（x 2y-4y ）-（2x 2-8）=y （x 2-4）-2（x 2-4）=（y-2）（x 2-4）=（y-2）（x+2）（x-2）；（3）这个三角形为等边三角形．理由如下：∵a 2+2b 2+c 2=2b （a+c ），∴a 2+2b 2+c 2-2ba-2bc=0，∴a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2=0，∴（a-b ）2+（b-c ）2=0，∵（a-b ）2≥0，（b-c ）2≥0，∴a-b=0，b-c=0，∴a=b=c ，∴这个三角形是等边三角形．【点睛】本题考查分组因式分解，等边三角形的定义．能理解题意，掌握分组分解法是解题关键． 24．（1）见解析；（2）见解析；（3）旋转中心为(1,1)--【分析】（1）根据网格结构找出点A 、B 绕点C 旋转180°后的对应点1A 、1B 的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A 、B 、C 平移后的位置，然后顺次连接即可；（3）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可．【详解】解：（1）11A B C 如图所示；（2）222A B C ∆如图所示；（3）如图所示，旋转中心为(1,1)--．【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构以及旋转的性质，准确找出对应点的位置是解题的关键．25．（1）1辆A 型车和1辆B 型车一次分别可以运货3吨，5吨；（2）4种；（3）当租用A 型车0辆，B 型车10辆时，租车费最少为1200元．【分析】（1）设1辆A 型车和1辆B 型车一次分别可以运货x 吨，y 吨，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到x 与y 的值，即可确定出所求；（2）根据某物流公司现有50吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，列出方程，确定出a 的范围，根据a 为整数，确定出a 的值即可确定出具体租车方案． （3）根据几个租车方案得出租车费即可．【详解】解：（1）设1辆A 型车和1辆B 型车一次分别可以运货x 吨，y 吨，根据题意得：2113219x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：35x y =⎧⎨=⎩， 则1辆A 型车和1辆B 型车一次分别可以运货3吨，5吨； （2）某物流公司现有50吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆， 3550a b ∴+=， 则有050305a a b ⎧⎪-⎨=⎪⎩， 解得：20163a ， a 为整数，0a ∴=，1，2，⋯，10，11，12，13，14，15，16． 50331055a b a -==-为整数， 0a ∴=，5，10，15，0a ∴=，10b =，5a =，7b =；10a =，4b =；15a =，1b =，∴满足条件的租车方案一共有4种，0a =，10b =，5a =，7b =；10a =，4b =；15a =，1b =；（3）A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次，当0a =，10b =，租车费用为：1000101201200W =⨯+⨯=元； 当5a =，7b =，租车费用为：100571201340W =⨯+⨯=元；当10a =，4b =，租车费用为：1001041201480W =⨯+⨯=元；当15a =，1b =，租车费用为：1001511201620W =⨯+⨯=元，∴当租用A 型车0辆，B 型车10辆时，租车费最少．【点睛】此题考查了一次不等式组的应用，二元一次方程的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题意是解本题的关键．26．（1）27°；（2）26【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC 的度数，根据线段的垂直平分线的性质求出∠EBA 的度数，计算即可；（2）根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式求出AC+BC+AB=16+5+5=26，计算即可．【详解】（1）∵AB=AC，∠A=42︒，∴∠ABC=∠C=69︒．∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，∴∠EBA=∠A=42︒，∴∠EBC=27︒；（2）∵DE是AB的垂直平分线，AB=10∴EB=AE，△BEC的周长=EB+BC+EC=EA+BC+EC=AC+BC=16，则△ABC的周长=AB+BC+AC=26．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．。

2023北京人大附中初二（下）期中数 学一、选择题：（每小题3分，共30分）1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）2. 下列各组数中不能．．作为直角三角形的三边长的是（ ）A. 1，1B. 12C. 4，5，6D. 6，8，103. 如图，ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，且10AC BD ，3AB =．则OCD 的周长为（ ）A. 13B. 8C. 7D. 54. 下列等式不成立的是（ ）2=6==2=5. 如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ） A. AB CD =，AD BC = B. ABDC ，AD BCC. ABDC ，AB DC = D. AB CD =，AD BC ∥6. 如图，在4×3的正方形网格中，标记格点A 、B 、C 、D ，且每个小正方形的边长都是1．下列选项中的的是（ ）A. 线段ABB. 线段BCC. 线段CDD. 线段AD7. 实数a ，b ）A. 2a −B. 2b −C. 22b a −D. 08. 如图，在ABCD 中，42B ∠=︒，E 为AD 上一点，且DE DC =，过D 作DF EC ⊥交BC 于F ，则DFC ∠的度数为（ ）A. 14︒B. 18︒C. 21︒D. 22︒9. 某工厂要制作一些等腰三角形的模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照腰长、底长和底边上高的顺序进行了记录，其中记录有错误的是（ ） A. 26，10，24 B. 10，16，6C. 17，30，8D. 13，24，510. 如图，在ABCD 中，2=AD AB ，F 是AD 的中点，作CE AB ⊥于E ，连接CF 、EF ，下列结论不成立的是（ ）A. 2BCD DFC ∠=∠B. EF CF =C. 13AEF DFE ∠=∠ D. 2BEC EFC S S =△△二、填空题：（第11－19题每空2分，第20题每空1分，共22分）11. x 的取值范围是______．12. 分解因式：mn 2﹣m=__________ 13. 方程215x x=+的解为___________．14. 当1x =时，代数式x 2＋2x ＋2的值是__________ 15. 如图，在ABCD 中，120A ∠=︒，2AD =，作CE AB ⊥于E ，则ECB ∠=______；CE =______．16. 已知2431849=，2441936=，2452025=，2462116=．若n 为整数且1n n <<+，则n的值是______．17. 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．在转动其中一张纸条的过程中，线段AD 和BC 的长度始终相等，这里蕴含的数学原理是____________．18. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，8BC =，D ，E 分别是边AB 和BC 上的点，把ABC 沿着直线DE 折叠，若B 恰好落在AC 中点M 上，则CE 长为______．19. 如图，点A ，B 为定点，直线l AB ∥，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA PB ，的中点，对于下列各值：①线段MN 的长； ②PAB 的周长； ③PMN 的面积； ④APB ∠的大小；⑤直线MN 与AB 之间的距离．其中会随点P 的移动而发生变化的是______（填序号）．20. 如图，等边ABC 边长为2，点D 为边BC 延长线上一动点，CD DE =，120∠=︒BDE ，点F 是线段BE 的中点，连接DF CF 、．（1）用等式表示线段DF和AD的数量关系为：______；（2）线段CF长度的最小值为：______．三、解答题：（第21题8分，第22－25题每小题5分，第26题6分，第27、28题每小题7分，共48分）21. 计算：（1（2．22. 解不等式组：274,4.2x xxx+>−⎧⎪⎨+<⎪⎩23.，其中：3a=，2b=．24. 勾股定理是几何中的一个重要定理，且贴近人们的生活实际，古往今来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，出现了诸多证法．下面是证明勾股定理的两种图形构造方法，选择______其中一种，补全后续证明过程．ABC中，22=c．个全等的该直角三角形围成一个大正方共线，点D、E、F共方法二证明：如图，将围成一个梯形，即使点QAB为等腰直角三角形．25. 如图，在ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AE CF =．（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；（2）若DE 为ADC ∠的平分线，且3AD =，2EB =，求ABCD 的周长．26. 在学习完二次根式后，数学兴趣小组开始自主研究根式方程的解法，针对关于x 的根式方程1=，小组成员展开讨论（如材料一），并梳理了解法（如材料二）． 材料一：（1）解关于x 1=；（2）解关于x 1x =−．27. 已知ABCD ，2BC =．（1）如图1，若以BC 为边作等边BCE ，且点E 恰好在边AD 上，直接写出此时ABCD 的面积；（2）如图2，若以BC 为斜边作等腰直角BCF △，且点F 恰好在边AD 上，过C 作CG CD ⊥交BF 于G ，连接AG ． ①依题意将图2补全；②用等式表示此时线段CD CG AG ，，之间的数量关系，并证明；（3）如图3，以BC 为边作BCMN ，且60CMN ∠=︒，3BN =．若NA BD ⊥，直接用等式表示此时BD 与NA 的数量关系．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于没有公共点的两个图形M 、N 给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，若P 、Q 两点间距离的最大值和最小值分别为1d 和2d ，则称比值12d d 为图形M 和图形N 的“距离关联值”，记为(),k M N ．已知ABCD 顶点坐标为()1,1A −，()1B −，()1,1C −，)D．（1）若E 为ABCD 边上任意一点，则OE 的最大值为______，最小值为______，因此k （点O ，ABCD ）＝______；（2）若()1,F x m 为ABCD 对角线BD 上一点，()2,G x m 为ABCD 对角线AC 上一点，其中12x x ≠．①若12m =，则k （线段FG ，ABCD ）=______；②若6k ≤（线段FG ，ABCD ）8＜，求m 的取值范围；（3）若HIJK 的对角线交点为O ，且顶点(),H p n 在直线AC 上，顶点(),K q n 在直线BD 上，其中p q <，请直接用含n 的代数式表示(),k HIJK ABCD ．参考答案一、选择题：（每小题3分，共30分）11. 【答案】3x ≥【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，进行求解． 【详解】解：由题意得：30x −≥， ∴3x ≥； 故答案为3x ≥．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 12. 【答案】m （n+1）（n ﹣1） 【解析】【分析】先提取公因式m ，再利用平方差公式a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）进行二次分解． 【详解】mn 2﹣m=m （n 2﹣1）=（n+1）（n ﹣1） 考点：提公因式法与公式法的综合运用 13. 【答案】x =5 【解析】【分析】观察可得最简公分母是x (x +5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解． 【详解】解：215x x=+ 方程的两边同乘x (x +5),得：2x =x +5, 解得：x =5, 经检验：把x =5代入x (x +5)=50≠0. 故答案为：x =5.【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根. 14. 【答案】18 【解析】【分析】首先把x 2＋2x ＋2化为（x+1）2+1，然后把1x =代入，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：x 2＋2x ＋2=（x+1）2+1，当1x =时，原式=)211118++=．故答案为：18．【点睛】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 15.【答案】 ①. 30︒##30度 ②【解析】【分析】利用平行四边形的性质求得=60B ∠︒，根据三角形内角定理即可求得ECB ∠；利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求得CE 的长． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，120A ∠=︒， ∴18060B A ∠=︒−∠=︒， ∵CEAB ⊥，∴90CEB ∠=︒，∴906030ECB ∠=︒−︒=︒；∵四边形ABCD 是平行四边形，2AD =， ∴2BC AD ==， ∴112BE BC ==，CE ==故答案为：30︒【点睛】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 16. 【答案】44 【解析】<<，即4445<<，从而可得答案．【详解】解：∵193620232025<<，<<4445<<，又∵1n n <<+，n 为整数，∴44n =． 故答案为：44．【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 17. 【答案】两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【解析】【分析】根据题意可证明四边形ABCD 是平行四边形，再由平行四边形的性质即可得到AD BC =． 【详解】解：蕴含的数学原理是两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ∵AD BC ∥，AB CD ∥， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC =．故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形对边相等；【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”． 18. 【答案】5516【解析】【分析】在Rt ABC △中，利用勾股定理求得6AC =，结合点M 是AC 中点可得3CM =，由翻折可知ME BE BC CE ==−，在Rt CME △中运用勾股定理求解即可．【详解】解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，8BC =，6AC ∴==，点M 是AC 中点， 132CM AC ∴==， 由翻折可知ME BE BC CE ==−， 在Rt CME △中，222CM CE ME +=，()22238CE CE ∴+=−，解得：5516CE =， 故答案为：5516．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握折叠的性质，并运用勾股定理正确计算． 19. 【答案】②④ 【解析】【分析】根据中位线，平行线间的距离处处相等，进行判断即可． 【详解】解：∵点M ，N 分别为PA PB ，的中点， ∴MN 是ABP 的中位线， ∴12MN AB =，∥MN AB ，∵AB 为定值，∴MN 为定值，①不符合要求； PAB 的周长为PA PB AB ++，∵PA PB 、为变化的量，∴PAB 的周长变化，②符合要求；∵l AB ∥，∥MN AB ，∴MN l ∥，∴P 到MN 的距离d 为定值， ∴2PMN MN d S ⨯=为定值，③不符合要求； 设∠PAB 减少的量为α，PBA ∠增加的量为β，由题意知，0PAB α<<∠，0180PBA β<<︒−∠， ∵180PAB PBA APB ∠+∠+∠=︒，α与β不一定相等，∴APB ∠的大小随着P 的变动而变化，④符合要求；∵∥MN AB ，直线MN 与AB 之间的距离是定值，⑤不符合要求；∴发生变化的为②④，故答案为：②④．【点睛】本题考查了中位线，平行线之间距离处处相等．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 20. 【答案】 ①. 2AD DF = ②. 12##0.5【解析】【分析】（1）延长DF 至点M DF FM =，连接BM 、AM ，先证明()SAS BFM EFD ≌△△，得出BM DE MBF DEF =∠=∠，，则BM DE ∥，再证()SAS ABM ACD ≌△△，得AM AD BAM CAD =∠=∠，，据此即可求解；（2）连接CE ，取BC 的中点N ，作射线NF ，先由等腰三角形的性质得30DCE ∠=︒，再由三角形中位线定理得NF CE ∥，则30CNF DCE ∠=∠=︒，得出点F 的轨迹为射线NF ，且30CNF ∠=︒，当CF NF ⊥时，CF 最短，然后由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：（1）如图1，延长DF 至点M ，使DF FM =，连接BM 、AM ，∵点F 是线段BE 的中点，∴BF EF =，在BFM 和EFD △中，BF EF BFM EFD FM FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BFM EFD ≌△△，∴BM DE MBF DEF =∠=∠，，∴BM DE ∥，∵CD DE =，120∠=︒BDE ，∴CD DE BM ==，∴18012060MBD ∠=−=︒︒︒，∵ABC 是等边三角形，∴60AB AC ABC ACB =∠=∠=︒，，∴6060120ABM ABC MBD ∠∠∠︒︒=+=+=︒，∴ABM ACD ∠=∠，在ABM 和ACD 中，AB AC ABM ACD BM CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABM ACD ≌△△，∴AM AD BAM CAD =∠=∠，，∴60MAD MAC CAD MAC BAM BAC ∠∠∠∠∠∠=+=+==︒，∴AMD 是等边三角形，∴2==AD DM DF ；故答案为：2AD DF =；（2）如图2，连接CE ，取BC 的中点N ，作射线NF ，∵CD DE =，120∠=︒BDE ，∴30DCE ∠=︒，∵点N 是BC 的中点，∴NF 是BCE 的中位线，∴NF CE ∥，∴30CNF DCE ∠=∠=︒，∴点F 的轨迹为射线NF ，且30CNF ∠=︒，当CF NF ⊥时，CF 最短，∵2AB BC ==，∴1CN =，在Rt CNF △，30CNF ∠=︒， ∴1122CF CN ==， ∴线段CF 长度的最小值为：12． 故答案为：12．【点睛】本题考查了等边三角形和判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理，作出合适的辅助线，是解题的关键． 三、解答题：（第21题8分，第22－25题每小题5分，第26题6分，第27、28题每小题7分，共48分）21. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化简二次根式，然后合并同类二次根式；（2）先计算二次根式的除法，然后再计算二次根式的乘法即可．【小问1详解】解：原式==；【小问2详解】解：原式=5==【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确运用二次根式运算法则是解题的关键．22. 【答案】14x <<【解析】【分析】分别解两个一元一次不等式，再求交集即可． 【详解】解：27442x x x x +>−⎧⎪⎨+<⎪⎩①② 解不等式①得1x >，解不等式②得4x <，故所给不等式组的解集为：14x <<．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，正确计算是解题的关键．23. 【答案】a b −，1．【解析】【分析】利用二次根式的性质和平方差公式化简，然后代入求值即可．221·ab=−−a b =− a b =−，当3a =，2b =时，原式32=−1=．【点睛】题目主要考查二次根式的化简求值及平方差公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 24. 【答案】方法一，见解析；或方法二，见解析【解析】【分析】方法一，根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可；方法二，根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可．【详解】解：方法一，证明：如图，将4个全等的该直角三角形围成一个大正方形HCDF ，即分别使点C 、B 、D 共线，点D 、E 、F 共线，点F 、G 、H 共线，此时四边形ABEG 也是正方形． ∵12AHG GFE EDB BCA S S S S ab ====△△△△，2ABEG S c =正方形，()2CDFH S a b =+正方形， 又∵AHG GFE EDB BCA ABEG CDFH S S S S S S ++++=正方形正方形△△△△， ∴()22142ab c a b ⨯+=+，整理得22222ab c a ab b +=++， ∴222+=a b c ；方法二证明：如图，将2P 、A 、C 共线，此时QAB 为等腰直角三角形．∵()()()21122PQBC S b a a b a b =++=+梯形，12APQ BCA S S ab ==△△，212ABQ S c =△， 又∵APQ BCA ABQ PQBC S S S S ++=梯形△△△， ∴()221112222ab c a b ⨯+=+， ∴222+=a b c ．【点睛】本题主要考查勾股定理的验证，解题关键是利用面积相等建立等量关系，判定勾股定理成立． 25. 【答案】（1）见详解 （2）16【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等的性质和AE CF =可得BE DF =，进而可得四边形DEBF 是平行四边形．（2）根据（1）可得EDC AED ∠=∠，根据DE 为ADC ∠的平分线，可得ADE 为等腰三角形，即可得出AB 的值，即可解答．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ，AB CD =，∵AE CF =，∴BE DF =，∴四边形DEBF 是平行四边形．【小问2详解】解：∵AB CD ，∴EDC AED ∠=∠，∵DE 为ADC ∠的平分线，∴ADE EDC ∠=∠，∴ADE AED ∠=∠，∴ADE 为等腰三角形，∴3AE AD ==，∴325AB AE BE =+=+=， ABCD 的周长为：()22816AB AD +=⨯=．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的周长，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解答的关键．26. 【答案】（1）3x =；（2）无解【解析】【分析】仿照例题，两边平方，得到整式方程，解整式方程，再检验即可求解．【小问1详解】解：两边平方得：21x −=．解得：3x =．检验：将3x =代入原方程，成立．∴原方程的解为3x =；【小问2详解】解：两边平方得：()22431x x x +−=−． 解得：23x =． 检验：当23x =时，2111033x −=−=−<，即23x =是增根． ∴原方程无解．【点睛】本题考查了解无理方程，掌握解无理方程的步骤是解题的关键．注意一定要验根．27. 【答案】（1）ABCD 的面积为（2）①见解析；②CG CD AG =+；理由见解析（3）2219BD NA +=．【解析】【分析】（1）作EI BC ⊥于点I ，利用等边三角形的性质求得BI 的长，再利用勾股定理求得EI 的长，最后利用平行四边形的面积公式求解即可；（2）①依照题意补全图形即可；②延长CF 交BA 的延长线于点H ，延长CG 交BA 的延长线于点J ，利用ASA 证明HBF GCF ≌△△，推出GC BH =，FG FH =，再证明()SAS AFG AFH ≌△△，推出AG AH =，即可证明CG CD AG =+；（3）连接BM ，作BK MN ⊥并交MN 的延长线于点K ，推出四边形ADMN 是平行四边形，得到BMD 是直角三角形，22222BD DM BD NA BM +=+=，求得BM 即可解决问题．【小问1详解】解：作EI BC ⊥于点I ，∵BCE 是边长为2的等边三角形， ∴112BI IC BC ===，∴EI ==，∴此时ABCD 的面积为2BC EI ⨯==；【小问2详解】解：①补全图形如图，②CG CD AG =+；理由如下，延长CF 交BA 的延长线于点H ，延长CG 交BA 的延长线于点J ，∵BCF △是以BC 为斜边的等腰直角三角形，∴BF CF =，90BFC BFH ∠=∠=︒，45FBC ∠=︒，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AB CD =，∴45AFB FBC AFH ∠=∠=︒=∠，∵四边形ABCD 是平行四边形，CG CD ⊥，∴90BJG GFC ∠=∠=︒，∴9090HBF BGJ FGC GCF ∠=︒−∠=︒−∠=∠，在HBF 和GCF 中，90HFB GFC BF CF HBF GCF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA HBF GCF ≌△△，∴GC BH =，FG FH =，又∵AFB AFH ∠=∠，FA FA =，∴()SAS AFG AFH ≌△△，∴AG AH =，∴CG BH BA AH CD AG ==+=+；【小问3详解】解：2219BD NA +=．【点睛】本题考查了平行四边的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．28. 【答案】（1）2，1，2（2）①6；②3152m −<≤−或1325m ≤< （3）当01n <<时，()()21,1n k HIJK ABCD n +=−当n>1时()()121,n k HIJK ABC n D +=−【解析】 【分析】（1）如图1，过A 作AR BC ⊥于R ，过C 作CS AD ⊥于S ，AD 与y 轴交于T ，则四边形ARCS 是正方形，由题意知，当E 与B 或D 重合时，OE 最大，当E 与T 重合时，OE 最小，求2OB ==，1OT =，根据k (点O ，ABCD ) OB OT=，计算求解即可；（2）①如图2，设直线BD 的解析式为y kx =，则1=，解得3k =，即3y x =，122F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，由题意知，线段GF 上的点与ABCD 上的点的最大距离为FB ，最小距离为12，根据k(线段FG ，ABCD )定义求解即可；②将()1,F x m 代入3y x =，解得1x =，即)F m ，，分当01m <<时；当1m >时；当10m −<<时；当1m <−时；表示出最大与最小距离，然后解一元一次不等式组求解满足要求的解即可；（3）如图3，将()K q n ，代入3y x =，解得q =，即)K n ，，由p q <，可得0n >，由（2）可知，将HIJK 的边HK 等同于线段GF 时求k 的求解方法求解即可．【小问1详解】解：如图1，过A 作AR BC ⊥于R ，过C 作CS AD ⊥于S ，AD 与y 轴交于T ，则四边形ARCS 是正方形，由题意知，当E 与B 或D 重合时，OE 最大，当E 与T 重合时，OE 最小，∴2OB ==，1OT =，∴OE 最大为2，OE 最小为1，k (点O ，ABCD ) 2OB OT==， 故答案为：2，1，2；【小问2详解】解：如图2，设直线BD 的解析式为y kx=，则1=，解得3k =，∴3y x =， 当12m =，x =，∴12F ⎫⎪⎪⎝⎭，， 由题意知，线段GF 上的点与ABCD上的点的最大距离为3FB ==，最小距离为12，∴k (线段FG ，ABCD )3612==， 故答案为：6；②解：∵ABCD顶点坐标为11A −（，）) ∴对角线BD 、AC 相交于原点O 且与x 轴夹角分别为30°、45°。

2023北京北大附中初二（下）期中数 学班级__________ 数学教室号__________ 姓名__________ 考号__________第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1. 计算2的结果为（ ）A. 2B. 4D. 2. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（）A. 5，12，13B. 1，2，3 C. 4，4，4 D. 4，5，6 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）4. 在平面直角坐标系中，点()1,2P −到原点的距离是（）A. 1B. 25. 下列计算正确的是（）= B. 3= =2÷= 6. 如图，已知平行四边形ABCD ，BAD∠的角平分线交边BC 于点E ．交DC 延长线于点F ，如果70F ∠=︒，那么B ∠的度数是（ ）A. 30︒B. 40︒C. 50︒D. 70︒ 7. 如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m ，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m ，由此可计算出学校旗杆的高度是（ ）A. 8mB. 10mC. 12mD. 15m⨯的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以8. 如图，A，B为55A，B为顶点的格点矩形共可以画出（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. x的取值范围是______．10. 在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠A＝__．11. 在四边形ABCD中，如果AB CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，这个条件可以是______．（写出一种情况即可）12. “”的逆命题是：___________________________DE=，则BC的长为______．13. 如图，在ABC中，D，E分别为AB，AC边的中点，若314. 如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的面积均为1，正方形ABCM，CDEN，MNPQ的顶点都在格点上，则正方形MNPQ的面积为__________．15. 如图，在ABCD 中，对角线AC BD ﹑相交于点O ，过点O 作OE AC ⊥交AD 于E ，如果4,,2AE DE DC ===AC 长为_________．16. 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =1． 点Q 在直线BC 上，且AQ =2，则线段BQ 的长为___________．三、解答题（本题共52分，第17题6分，第18—21题每小题4分，第22—24题每小题5分，第25题7分，第26题8分）17.计算（1+（2）+18. 如图，点E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点．AE CF =．求证：DF BE =． 19. 下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A ．求作：直线AD ，使得AD // l ．作法：如图2，①在直线l 上任取两点B ，C ，连接AB ；②分别以点A ，C 为圆心，线段BC ，AB 长为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点D ；③作直线AD ．直线AD 就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接CD ．∵ AB ＝________，BC ＝________，∴ 四边形ABCD 为平行四边形（_________）（填推理的依据）．∴ AD // l ．20. 在解决问题“已知a =，求2281a a −+的值”时，小明是这样分析与解答的：∵2a ===−∴2a −=∴()223a −=，即2443a a −+=∴241a a −=−∴()()222812412111a a a a −+=−+=⨯−+=−. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题：(1)(2)若121a ，求2361a a −−的值. 21. 如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，在边AC 上截取AD AB =，连接BD ，过点A 作AE BD ⊥于点E ．已知6AB =，8BC =，如果F 是边BC 的中点，连接EF ，求EF 的长．22. 如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，4BC =， 2.5BD =．（1）则点D 到直线AB 的距离为______．（2）求线段AC 的长．23. 如图，每个小正方形的边长都是1，A ，B ，C ，D 均在网格的格点上．（1）判断BCD ∠是否为直角：______．（填写“是”或“不是”）（2）直接写出四边形ABCD 的面积为______．（3）找到格点E ，并画出四边形ABED （一个即可），使得其面积与四边形ABCD 面积相等． 24. 已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，BC ＝2，∠ABD ＝15°，∠C ＝60°．（1）求∠BDC 的度数；（2）求CD 的长．25. 如图，三角形ABC 中，AB BC ⊥，4AB BC ==，E 为线段AC 上任意一点，D 是BC 的中点，连接DE ，作DF 垂直于DE 且满足DF DE =（点F 与点B 在直线ED 同侧），连接EF ，直线EF 交AB于点G ．（1）根据题意补全图1；若AE =ED 的长为______；（2）若点G 恰好是线段EF 的中点，连接BF ，证明：4AC BF =且AC BF ⊥．（3）作点B 关于直线DF 的对称点Q ．连接AQ ，DQ ，当AQ DQ +取最小值时，直接写出此时ABQ 的面积．26. 对平面上的两个图形X ，Y ，若平移图形X 所得的图形X '与Y 相交，则称X '为X 关于Y 的“巡逻平移图形”，称X 关于Y 的所有巡逻平移图形所组成的整体，为X 关于Y 的“巡逻区域”，其面积为X 关于Y 的“巡逻面积”．示例：如下图，线段DG 是线段AB 关于线段CD 的一个巡逻平移图形；平行四边形EFGH 是线段AB 关于线段CD 的巡逻区域．注：图中每个小方格都是边长为1的正方形．（1）①请在图中画出线段CD 关于线段AB 的巡逻区域，其面积为______；②已知线段m 和线段n 的长度分别为1，x ，且m 关于n 的巡逻面积为1，则x 的取值范围是______； （2）图中三角形区域T 关于平行四边形区域P 的巡逻面积为______；注：此处所指的三角形区域，平行四边形区域，以及下文的正方形区域均包含内部的所有点． （3）①若线段k 关于某边长为1的正方形区域的巡逻面积为3，则线段k 长度的最小值为______； ②若正方形区域S 关于某长度为1的线段的巡逻面积为12，则S 边长的最小值为______．参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1. 【答案】A【解析】【分析】直接根据二次根式的性质求解即可．【详解】解：2=2， 故选A ．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握2(0)a a =≥是解答此题的关键． 2. 【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的三边关系逐项判断即可得．【详解】解：A 、22251216913+==，则此项可以构成直角三角形，符合题意；B 、123+=，则此项不能构成三角形，不符合题意；C 、222444+≠，则此项不可以构成直角三角形，不符合题意；D 、22245416+=≠，则此项不可以构成直角三角形，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 3. 【答案】A【解析】【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】A 、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式是最简二次根式，故A 符合题意；B B 不符合题意；C 7，被开方数含分母，不是最简二次根式，故C 不符合题意；D m ，被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，故D 不符合题意； 故选A ．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．4. 【答案】D【解析】【分析】直接利用勾股定理求解即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，点()1,2P −到原点的距离是=故选D 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握“由两点的坐标求解两点之间的距离”是解本题的关键． 5. 【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的加减乘除法法则逐项判断即可得．【详解】解：AB 、=C =D =故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．6. 【答案】B 【解析】【分析】先根据平行四边形的性质可得,AB CD AD BC ，再根据平行线的性质可得70BAF F ∠=∠=︒，然后根据角平分线的定义可得2140B BAD AF ∠==∠︒，最后根据平行线的性质即可得．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，,AB CD AD BC ∴∥∥，70BAF F ∴∠=∠=︒，AF 是BAD ∠的角平分线，2140BAF BAD ∴∠==∠︒，又AD BC ，18040B BAD ∴∠=︒−∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．7. 【答案】C【解析】【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．【详解】解：设旗杆的长度为x m ，则绳子的长度为：（x +1）m ，如图，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52=（x+1）2，解得：x=12，∴旗杆的高度为12m．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．8. 【答案】D【解析】【分析】根据网格特点、矩形的判定画出相应的图形即可得．【详解】解：共可以画出以下4个格点矩形：故选：D．【点睛】本题考查了矩形与网格问题，熟练掌握矩形的判定是解题关键．二、填空题（本题共24分，每小题3分）x≥9. 【答案】1【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得．x−≥，【详解】解：由题意得：10x≥，解得1x≥．故答案为：1【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题关键．10. 【答案】50°．【解析】【分析】根据平行四边形的性质即可求解.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∵∠A+∠C＝100°，∴∠A＝50°，故答案为：50°．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质.∥（答案不唯一）11. 【答案】AD BC【解析】【分析】根据平行四边形的判定即可得．∥，【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知，这个条件可以是AD BC∥（答案不唯一）．故答案为：AD BC【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．12. 【答案】如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．【详解】解：命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的题设是“如果两个实数相等”，结论是“那么它们的绝对值相等”，故其逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”．故答案为：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.13. 【答案】6【解析】【分析】直接根据三角形中位线定理即可得．DE=，【详解】解：在ABC中，D，E分别为AB，AC边的中点，且3∴==26BC DE故答案为：6．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．14. 【答案】45【解析】【分析】根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵CM=3，CN=6，∠MCN=90°，∴MN2=CM2+CN2=32+62=45，∴正方形MNPQ的面积=MN2=45，故答案为：45．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．15. 【答案】【解析】【分析】连接CE，根据平行四边形的性质可得AO=CO，CD=AB=OE垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CE=AE=4，利用勾股定理的逆定理得到∠CED=90°，得到△AEC是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求得结论．【详解】解：连接EC，如图四边形ABCD是平行四边形，∴=，AO OC⊥，OE AC∴是线段AC的垂直平分线，OEEC AE∴==，4在DEC中，2222EC ED+=+=，42202220DC==222∴+=，EC ED DCDEC∴∠=︒，90∴∠=︒90AEC222224432∴=+=+=，AC AE EC∴=（舍负）．AC【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理及逆定理，正确作出辅助线证得∠CED=90°是解决问题的关键．16. 11【解析】【分析】分当Q在射线CB上和当Q在射线BC上两种情况利用勾股定理求解即可.【详解】解：如图所示，当Q在射线CB上时，∵AC =BC =1，AQ =2，∠ACB =90°，∴CQ ==∴1BQ CQ CB =−=；如图所示，当Q 在射线BC 上时，∵AC =BC =1，AQ =2，∠ACB =90°，∴∠ACQ =90°，∴CQ ==∴1BQ CQ CB =+=+，11.Q 的位置有两个.三、解答题（本题共52分，第17题6分，第18—21题每小题4分，第22—24题每小题5分，第25题7分，第26题8分）17. 【答案】（1）+（2）6【解析】【分析】（1）先化简各式，再合并同类二次根式；（2）先化简各式，再进行加减运算．【小问1详解】解：原式=；【小问2详解】原式523=−+6=． 【点睛】本题考查二次根式的性质，二次根式的运算．熟练掌握二次根式的性质，正确的计算，是解题的关键．18. 【答案】证明见解析【解析】【分析】先根据平行四边形的性质可得AB CD ，CD AB =，根据平行线的性质可得DCF BAE ∠=∠，再根据三角形全等的判定可得△△CDF ABE ≅，然后根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴∥，CD AB =，DCF BAE ∴∠=∠，在CDF 和ABE 中，CD AB DCF BAE CF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS CDF ABE ∴≅，DF BE ∴=．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．19. 【答案】（1）见解析；（2）DC ，AD ，两组对边分别相等的四边形是平行四边形【解析】【分析】（1）根据作法画出图形即可；（2）根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行证明即可．【详解】（1）如图所示，（2）证明：连接CD ．∵ AB ＝CD ，BC ＝AD ，∴ 四边形ABCD 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．∴ AD // l ．故答案为：DC ，AD ，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定．20. 【答案】（1+（2）2．【解析】【分析】（1）根据分母有理化的方法可以解答本题；（2）根据题目中的例子可以灵活变形解答本题．【详解】解：（12=2,2==+ （2）∵1.a ===+ ∴1a −=∴2212a a −+=，∴221a a −=∴2363,a a −=∴23612a a −−=． 【点睛】二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键.21. 【答案】2【解析】【分析】先利用勾股定理可得10AC =，从而可得4CD =，再根据等腰三角形的三线合一可得点E 是BD 的中点，然后根据三角形中位线定理即可得．【详解】解：在ABC 中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，10AC ∴==，=AD AB ，4CD AC AD AC AB ∴=−=−=，又=AD AB ，AE BD ⊥，∴点E 是BD 的中点，F 是边BC 的中点， 122EF CD ∴==． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的三线合一、三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．22. 【答案】（1）1.5（2）4【解析】【分析】（1）过点D 作DE AB ⊥于点E ，根据角平分线的性质，即可求解；（2）首先利用勾股定理，即可求得BE 的长，再利用相似三角形的判定与性质，即可求解．【小问1详解】解：4BC =， 2.5BD =，4 2.5 1.5CD BC BD ∴=−=−=，过点D 作DE AB ⊥于点E ，Rt ABC △中，90C ∠=︒，DC AC ∴⊥ AD 平分BAC ∠，1.5DE DC ∴==，∴D 到直线AB 的距离为1.5，故答案为：1.5；【小问2详解】解：在Rt BDE △中，2BE ===，90C DEB ∠=∠=︒，B B ∠=∠，ABC DBE ∴∽，AC BC DE BE∴=， 4 1.532BC DE AC BE ⋅⨯∴===． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握和运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．23. 【答案】（1）不是 （2）14（3）见解析（答案不唯一）【解析】【分析】（1）先利用勾股定理分别求出222,,BC CD BD 的长，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可得； （2）利用分割法求解即可得；（3）先利用平行四边形的性质找到格点E ，再利用等高模型画出图形即可．【小问1详解】解：2222529BC =+=，222125CD =+=，2224432BD =+=，222BC CD BD ∴+≠，BCD ∴∠不是直角，故答案为：不是．【小问2详解】解：四边形ABCD 的面积为1111552521111315142222⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯−⨯⨯−⨯⨯=， 故答案为：14．【小问3详解】解：如图，点E 和四边形ABED 即为所求．【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．24. 【答案】（1）45° （21【解析】【分析】（1）由AD ∥BC ，∠A ＝90°，∠C ＝60°，可求得∠ABC 与∠ADC 的度数，然后在Rt △ABD 中，利用直角三角形的性质，求得∠A DB 的度数，继而求得∠BDC 的度数；（2）过点B 作BE ⊥CD 于点E ，在Rt △BCE 中，由BC =2，∠C =60º，得∠EBC =30º，由此CE =112BC =，由勾股定理可求得BE =DE =BE ，即可求得CD 的值. 【小问1详解】解：∵AD ∥BC ，∠A ＝90°，∠C ＝60°，∴∠ABC ＝90°，∠ADC ＝180°−∠C ＝120°．在Rt △ABD 中，∵∠A ＝90°，∠ABD ＝15°，∴∠ADB ＝75°，∴∠BDC ＝∠ADC −∠ADB ＝45°；【小问2详解】解：过点B 作BE ⊥CD 于点E ，在Rt △BCE 中，∵BC =2，∠C =60º，∴∠EBC =30º，∴CE =112BC =，BE ==， ∵∠BDC =45º，∴DE =BE∴CD =DE +CE【点睛】此题考查了直角梯形的性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．25. 【答案】（1（2）见解析 （3）205− 【解析】【分析】（1）过点E 作EH BC ⊥于点H ，先后求得AC =，32CE ，3CH EH ==，1HD =，在Rt DHE △中，利用勾股定理即可求解；（2）过点E 作EM BF ∥交AB 于点M ，过点D 作ND BC ⊥交AC 于点N ，推出CDN △是等腰直角三角形，得到点N 是线段AC 的中点，证明()SAS BFD NED ≌△△，得到NE BF =，34∠∠=，再证明()ASA EMG FBG ≌△△，ME BF =，ME NE =，推出AEM △是等腰直角三角形，据此即可证明结论；（3）由于DQ DB DC ==，则点Q 的运动轨迹是以D 为圆心，BC 为直径的圆，则当A 、Q 、D 三点共线时，AQ DQ +的值最小，求得55AQ AD ==，142ABD S AB BD =⨯=△，利用等高的两个三角形的面积关系即可求解．【小问1详解】解：过点E 作EH BC ⊥于点H ，则90CHE ∠=︒，三角形ABC 中，AB BC ⊥，4AB BC ==，∴AC ==∵D 是BC 的中点， ∴122CD BD BC ===，∵AE =，∴CE AC AE =−=∵45C ∠=︒，∴CHE 是等腰直角三角形，∴32CH EH CE ===， ∴1HD CH CD =−=，在Rt DHE △中，由勾股定理得，ED ===；【小问2详解】证明：过点E 作EM BF ∥交AB 于点M ，过点D 作ND BC ⊥交AC 于点N ，∴CDN △是等腰直角三角形， ∴122CD ND BC ===，∴12CN AC ===，即点N 是线段AC 的中点， ∵BD CD =，∴BD ND =，∵5906BDE BDE ∠+∠=︒=∠+∠，∴56∠=∠，在BFD △和NED 中，56BD ND DF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BFD NED ≌△△，∴NE BF =，34∠∠=，∵点G 是线段EF 的中点，∴GE GF =，∵EM BF ∥，∴12∠=∠，在BFD △和NED 中，12GE GF MGE BGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA EMG FBG ≌△△，∴ME BF =，∴ME NE =，∵2345∠+∠=︒，∴1445∠+∠=︒，∴1490MEN FED ∠=∠+∠+∠=︒，∴90AEM ∠=︒，即ME AC ⊥，∴FB AC ⊥；∵45A ∠=︒，∴AEM △是等腰直角三角形， ∴1124AE ME BF EN AN AC =====， 即4AC BF =且AC BF ⊥；【小问3详解】解：由题意得DQ DB DC ==，∴点Q 的运动轨迹是以D 为圆心，BC 为直径的圆，∴当A 、Q 、D 三点共线时，AQ DQ +的值最小，如图，∵4AB =，2BD =，∴AD ==，2AQ AD QD =−=−，142ABD S AB BD =⨯=△，∴55AQ AD ===，∴55ABQABD S AQ S AD==△△， ∴ABQ的面积为12025AB QK −⨯⨯=． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．26. 【答案】（1）①画图见解析，8；②12x ≥（2）50（3）①2【解析】【分析】（1）①先根据题意画出对应的图形，然后利用网格求出面积即可；②先画出线段m 关于线段n 的巡逻区域，过点G 作GM EF ⊥交EF 延长线于M ，由m 关于n 的巡逻面积为1，求出12GM =，由此即可得到答案；（2）如解析图，先画出三角形区域T 关于平行四边形区域P 的巡逻区域，然后利用网格求出面积即可； （3）①如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，则由平行四边形ADEF ABGF BCHK CDHT ，，，和正方形ABCD 组成的区域即为线段k 关于正方形ABCD 区域的巡逻区域，其中AF BG BK CH DT DE =====，过点A 作AN FG ⊥于N ，过点K 作KM BC ⊥于M ，证明ANF BMK △≌△，得到FN MK =，设FN MK a AN b ===，，由线段k 关于正方形ABCD 区域的巡逻面积为3，推出1a b +=，再由勾股定理得到2211222AF a ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，则2AF ≥，即可求出线段k 长度的最小值为2；②如图所示，线段1AB =，则由平行四边形ABCD ABEF EFMN CDKL ，，，和正方形BHGD BHNE ACLQ AQPF ，，，组成的区域即为区域S 关于线段AB 的巡逻区域，过点C 作CT DK ⊥于T ，CW BD ⊥于W ，证明四边形TCWD 是矩形，则TC DW =，设TC DW m CW n ===，，正方形区域S 的边长为x ，由正方形区域S 关于线段AB 的巡逻面积为12，推出262x m n x −+=，由勾股定理得221+=m n ，再证明m n +≤，得到262x x−≤进而求出x ≥或x ≤（舍去），则S ． 【小问1详解】解：①如图所示，平行四边形MNKL 即为线段CD 关于线段AB 的巡逻区域，其面积为248⨯=；②如图所示，设1AB CD x ==，，则平行四边形EFGH 是线段AB 关于线段CD 的巡逻区域，即平行四边形EFGH 是线段m 关于线段n 的巡逻区域，∴22EF AB ==，过点G 作GM EF ⊥交EF 延长线于M ，∵m 关于n 的巡逻面积为1，∴1EF GM ⋅=， ∴12GM =， ∴12CD GM ==最小， ∴12x ≥；【小问2详解】解：如图所示，即为三角形区域T 关于平行四边形区域P 的巡逻区域，∴三角形区域T 关于平行四边形区域P 的巡逻面积为162422242424222502⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；【小问3详解】解：①如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，则由平行四边形ADEF ABGF BCHK CDHT ，，，和正方形ABCD 组成的区域即为线段k 关于正方形ABCD 区域的巡逻区域，其中AF BG BK CH DT DE =====，过点A 作AN FG ⊥于N ，过点K 作KM BC ⊥于M ，∴90ANF BMK ==︒∠∠，∵18090ABC ABG CBK ABC ++=︒=︒∠∠∠，∠，∴90ABG CBK NFA NAF +=︒=+∠∠∠∠，又∵NFA ABG =∠∠，∴NAF MBK =∠∠，∴()AAS ANF BMK △≌△，∴FN MK =，设FN MK a AN b ===，，∵线段k 关于正方形ABCD 区域的巡逻面积为3，∴平行四边形ADEF ABGF BCHK CDHT ，，，和正方形ABCD 组成的区域的面积为3，∴2223AB AN BC KM AB ⋅+⋅+=，∴2213a b ++=，∴1a b +=，在Rt ANF △中，由勾股定理得222AF AN FN =+，∴()22222AF a b a b ab =+=+−， ()121a a =−−2221a a =−+212122a ⎛⎫− ⎪⎭+⎝=， ∵2012a ⎛⎫−⎪⎝⎭≥ ， ∴21112222a ⎛⎫−+≥ ⎪⎝⎭， ∴212AF ≥，∴2AF ≥，∴线段k 长度的最小值为2；②如图所示，线段1AB =，则由平行四边形ABCD ABEF EFMN CDKL ，，，和正方形BHGD BHNE ACLQ AQPF ，，，组成的区域即为区域S 关于线段AB 的巡逻区域，过点C 作CT DK ⊥于T ，CW BD ⊥于W ，∴90CTD CWD TCW ===︒∠∠，∴四边形TCWD 是矩形，∴TC DW =，设TC DW m CW n ===，，正方形区域S 的边长为x ，∵正方形区域S 关于线段AB 的巡逻面积为12，∴平行四边形ABCD ABEF EFMN CDKL ，，，和正方形BHGD BHNE ACLQ AQPF ，，，组成的区域的面积为12，∴242212BD AC BD AC CT +⋅+⋅=，∴242212x mx nx ++=， ∴262x m n x−+=， 在Rt CWD △中，由勾股定理得222CD DW CW =+，∴221+=m n ，∵()22220m n m mn n −=−+≥，∴222m n mn +≥，∴2222222m n m mn n +≥++，∴()22222m n m n +≥+，∴()2222m n m n ++≥， ∴()212m n +≤，即()22m n +≤， ∵m n 、都是非负数，∴m n +≤∴262x x−≤∴262x −≤，即2260x +−≥，∴)230−+≥，∴由乘法的性质可得2030−≥+≥或2030−≤+≤，∴x ≥x ≤（舍去）， ∴S．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，完全平方公式的变形求值，矩形的性质与判断，全等三角形的性质与判定等等，正确画出对应的巡逻区域示意图是解题的关键．。