苏科版九年级数学下册特殊角的三角函数值专题练习

7.3 特殊角的三角函数一．单选题1．点关于轴对称的点的坐标是 A ．，B ．，C ．，D ．，2．已知在中，，的值为 A ．BCD3．当300≤a ≤600时，以下结论正确的是 【提示：】A ．12<sin a≤32B ．12<cos a ≤32C ．33≤tan a ≤3 D ．33≤cot a≤34．在中，，，，则的度数为 A ．B ．C．D ．5．为锐角，当无意义时，的值为 A B C D 6．若菱形的两邻角之比为，那么此菱形的较短对角线与较长对角线之比为 A ．B．C ．D ．7．因为，，所以；由此猜想、推理知：当为锐角时有，由此可知： A ．B ．C ．D ．8．如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是 A ．1，1B ．1，1C ．1，2D ．1，2，39．某限高曲臂道路闸口如图所示，垂直地面于点，与水平线的夹角为，，若米，米，车辆的高度为（单位：米），不考虑闸口(sin 60,cos60)-︒︒y ()12(12(12-1(2-3)2-Rt ABC ∆90C ∠=︒sin B =cos A ()12()1cot tan αα=Rt ABC ∆4AB =AC =90C ∠=︒A ∠()30︒40︒45︒60︒α11tan α-sin(15)cos(15)αα+︒+-︒()1:2()1:21:321cos602︒=1cos 2402︒=-cos 240cos(18060)cos60︒=︒+︒=-︒αcos(180)cos αα︒+=-cos 210(︒=)12-()AB 1l A BE 2l (090)αα︒︒……12////EF l l 1.5AB =2BE =h与车辆的宽度：①当时，小于3.4米的车辆均可以通过该闸口；②当时，等于3.0米的车辆不可以通过该闸口；③当时，等于3.2米的车辆可以通过该闸口．上述说法正确的个数为 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二．填空题10．如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，画射线，则的值等于 ．11．已知是锐角，，则 ．12．在中，，， ．13．在中，若，，都是锐角，则是 三角形．14．如图，半径为的圆与地面相切于点，圆周上一点距地面高为，圆沿地面方向滚动，当点第一次接触地面时，圆在地面上滚动的距离为 ．15．已知等腰三角形一条腰上的高与腰之比为度．90α=︒h 45α=︒h 60α=︒h ()O OM A A AO B OB sin AOB ∠αtan(90)0α︒--=α=︒Rt ABC ∆90C ∠=︒2AB =BC =sin 2A=ABC ∆21|sin (cos )02A B -+-=A ∠B ∠ABC ∆2cm O B A (2cm +O BC A O三．解答题16．（1）计算：．（2）计算：．17．求下列各式的值：（1）； （2）．18．计算：19．求满足下列条件的锐角：．201()(2020)60|3|2π--+-︒--102021202116cos 45()( 1.73)|5|4(0.25)3-︒++-+-+⨯-sin 45cos 454tan 30sin 60︒︒+︒︒222cos602sin 45tan 60sin 303︒-︒+︒-︒2602cos303tan 45tan ︒︒-+︒α2tan tan 20αα+-=20．求满足下列条件的锐角：．21．对于钝角，定义它的三角函数值如下：，，．（1）求，，的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是，，是这个三角形的两个顶点，，是方程的两个不相等的实数根，求、的值及和的大小．22．一般地，当，为任意角时，，，与的值可以用下面的公式求得：；；；．例如：．α22cos 5tan 20αα-+=βsin sin(180)ββ=︒-cos cos(180)ββ=-︒-tan tan(180)ββ=-︒-sin120︒cos135︒tan150︒1:1:4A B sin A cos B 210ax bx --=a b A ∠B ∠αβsin()αβ+sin()αβ-cos()αβ+cos()αβ-sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=⋅+⋅sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=⋅-⋅cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=⋅-⋅cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=⋅+⋅11sin 90sin(6030)sin 60cos30cos60sin 30122︒=︒+︒=︒⨯︒+︒⨯︒=+⨯=类似地，求：（1）的值．（2）的值．（3）的值提示：对于钝角，定义它的三角函数值如下：，．23．如图，是等腰三角形，，以为直径的与交于点，，垂足为，的延长线与的延长线交于点．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为2，，求的度数；（3）在（2）的条件下，求图形中阴影部分的面积．sin15︒cos75︒tan165︒[αsin sin(180)αα=︒-cos cos(180)]a α=-︒-ABC ∆AB AC =AC O e BC D DE AB ⊥E ED AC F DE O e O e 1BE =A ∠答案一．单选题1．【详解】解：，，，关于轴对称点的坐标是，．故本题选：．2．【详解】解：在中，，．故本题选：．3．【详解】解：、，，，∴12<sin a ≤32，故此选项正确；、，∴12<cos a ≤32故此选项错误；、，，∴33≤tan a ≤3，故此选项错误；、，∴33≤cot a≤3，故此选项错误．故本题选：．sin 60︒=1cos602︒=(sin 60∴-︒cos60)(︒=12y 1)2A Rt ABC ∆90C ∠=︒90AB ∴∠+∠=︒cos sin A B ∴==C A 3060α︒<︒ …1sin 302︒=sin 60︒=B cos30︒=1cos602︒=C tan 30︒=tan 60︒D cot 30︒= cot 60︒=A【详解】解：如图，在中，，，，则．故本题选：．5．【详解】解：无意义，，即，锐角，．故本题选：．6．【详解】解：如图，菱形的两邻角之比为，较小角为，，，，故本题选：．Rt ABC ∆4AB =AC =cos AC A AB ∴===45A ∠=︒C11tan α-1tan 0α∴-=tan 1α=∴45α=︒sin(15)cos(15)sin 60cos30αα∴+︒+-︒=︒+︒=+=A 1:2∴60︒30ABO ∴∠=︒tan OA ABO OB ∴=∠=2AC OA = 2BD OB =:3AC BD ∴==C【详解】解：，．故本题选：．8．【详解】解：、若三边为1，1，由于，则此三边构成一个等腰直角三角形，所以这个三角形不是“实验三角形”，所以选项错误；、由1，1，顶角为，所以这个三角形是“实验三角形”，所以选项正确；、若三边为1，2，则此三边构成直角三角形，最小角为，所以这个三角形不是“实验三角形”，所以选项错误；、由1，2，3不能构成三角形，所以选项错误．故本题选：．9．【详解】解：由题知，限高曲臂道路闸口高度为：，①当时，米，即米即可通过该闸口，故①错误；②当时，米，即米即可通过该闸口，等于3米的车辆不可以通过该闸口，故②正确；③当时，米，即米即可通过该闸口，，等于3.2米的车辆可以通过该闸口，故③正确．故本题选：．二．填空题10．【详解】解：如图，连接，cos(180)cos αα︒+=-cos 210cos(18030)cos30∴︒=︒+︒=-︒=C A 22211+=A B 30︒120︒B C 22212+=30︒C D D B 1.52sin α+⨯90α=︒(1.52)h <+ 3.5h <45α=︒(1.52h <+(1.5h <+3 1.5> h ∴60α=︒(1.52h <+(1.5h <+3.2 1.5<+ h ∴C AB以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，，以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，是等边三角形，，．．11．【详解】解：，，，，故本题答案为：30．12．【详解】解：，．故本题答案为：．13．【详解】解：，，，，，是等边三角形．故本题答案为：等边．14．【详解】解：如图，作于，于，O OM A OA OB ∴= A AO B AOB ∴∆60AOB ∴∠=︒sin sin 60AOB ∴∠=︒=tan(90)0α︒-=tan(90)α∴︒-=9060α∴︒-=︒30α∴=︒sin BC A AB == 60A ∴∠=︒1sinsin 3022A ∴=︒=1221|sin (cos )02A B +-=sin A ∴=1cos 2B =60A ∴∠=︒60B ∠=︒ABC ∴∆AD BC ⊥D OE AD ⊥E则，又，，，，则的长为，则圆在地面上滚动的距离为．故本题答案为：．15．【详解】解：由题意知，分两种情况：（1）当腰上的高在三角形内部时，如下图，，，在直角三角形中，顶角；（2）当腰上的高在三角形外部部时，如上图，，，在直角三角形中，，顶角．故本题答案为：．三．解答题16．解：（1）22AE =+=2OA =sin AE AOEOA ∴∠==60AOE ∴∠=︒150AOB ∴∠=︒¶AB 150251803ππ⨯=O 53cm π53cm πAB AC =CD AB ⊥ADC sin CAD ∠==∴45CAD ∠=︒AB AC =CD AB ⊥ADC sin CD CAD AC ∠===45CAD ∴∠=︒180********CAB CAD ∠=︒-∠=︒-︒=︒45135︒︒或201()(2020)60|3|2π--+-︒--；（2）．．17．解：（1）原式；（2）原式．18．解：原式19．解：（舍去），．20．解：原式413=+-4113=+--1=102021202116cos 45()( 1.73)|5|4(0.25)3-︒++-+-+⨯-20216315(40.25)=++--⨯3151=+++--8=4=+122=+52=221212232=-⨯+⨯-1121232232=-⨯+⨯-111222=-+-1=21=-11=+=(tan 2)(tan 1)0αα+-=tan 20α=-=tan 1α=45α=︒(2cos 1)(cos 2)0αα--=，（舍去）．21．解：（1），，；（2）一个三角形的三个内角的比是，且三角形的内角和为，三角形的三个内角为30、30、120，①当、时，，，，是方程的两个不相等的实数根，，解得：，；②当、时，，，，是方程的两个不相等的实数根，，解得：，；③当、时，，此时，不满足题意．综上，当时，，、时，，．22．解：如图，连接，将阴影部分沿翻折，点的对应点为，过点作于1cos 2α=cos 2α=60α=︒3sin120sin(180120)sin 602︒=︒-︒=︒=cos135cos(180135)cos 45︒=-︒-︒=-︒=tan150tan(180150)tan 30︒=-︒-︒=-︒= 1:1:4180︒∴30A =︒30B =︒1sin 2A =cos B =sin A cos B 210ax bx --=∴12112b a a⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩a =2b =--30A =︒120B =︒1sin 2A =1cos 2B =-sin A cos B 210ax bx --=∴1122111()22b a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪⨯-=-⎪⎩4a =0b =120A =︒30B =︒sin A =cos B =sin cos A B =30A B ==︒a =2b =-30A =︒120B =︒4a =0b =AO CE F M M MN CD ⊥点，为的直径，，，，，，垂足为，设的半径为，则，，解得：或（舍去），，即的半径是5；，由对称性可知，，，连接，则，，过点作于点，，即图中阴影部分的面积是：．故本题答案为：．23．解：如图，当点在点时，作出点关于的对称点，当点在点时，作出点的对称点，连接，，N CD O e AB CD ⊥8AB =142AG AB ∴==:3:5OG OC = AB CD ⊥G ∴O e 5k 3OG k =222(3)4(5)k k ∴+=1k =1k =-55k ∴=O e 15ECD ∠=︒ 30DCM ∠=︒CBM S S =阴影弓形OM 60MOD ∠=︒120MOC ∴∠=︒M MN CD ⊥N sin 605MN MO ∴=︒=g 12025253603OMC OMC S S S ππ∆⨯⨯∴=-==-阴影扇形253π253πP A C BP C 'P D CC ''C C ''BD点的运动轨迹是以点为圆心，以长为半径的圆弧，线段的扫过的区域面积为扇形的面积和△的面积之和，，，，，，，扇形的面积为：，过点作于点，，线段扫过的区域的面积为．故本题答案为：24．解：（1）；（2）∴1C B BC C C '''∴1CC BC C '''BC C ''2AB=BC=tan CD DBC BC ∴∠==30DBC ∴∠=︒260C BC DBC ''∴∠=∠=︒120C BC '''∴∠=︒∴BC C '''22120143603BC πππ⋅⋅=⨯⨯=C ''C F BC ''⊥F sin sin 603C F BC C BC ''''''∴=∠=︒=11322C CB S BC C F ''''∴=⋅=⨯=V ∴1CC 4π+4π+sin15︒sin(4530)=︒-︒sin 45cos30cos 45sin 30=︒⋅︒-︒⋅︒12==cos75︒cos(4530)=︒+︒cos 45cos30sin 45sin 30=︒⋅︒-︒⋅︒；（3）．．．25．（1）证明：如图，连接、，是直径，，，是的中点，又是的中点，，，，12==sin165sin(18015)sin15tan165cos165cos(18015)cos15︒︒-︒︒︒===︒︒-︒-︒cos15︒cos(4530)=︒-︒cos 45cos30sin 45sin 30=︒⋅︒+︒⋅︒12==tan1652︒==-AD OD AC AD BC ∴⊥AB AC = D ∴BC O AC //DO AB ∴DE AB ⊥ DO DE ∴⊥又点在上，是的切线；（2）解：由（1）知，，，，，解得：，，，；（3）解：如上图，连接，，，是等边三角形，，同理可得：是的中位线，四边形是平行四边形，，，，，，，平行四边形的面积，． D O e DE ∴O e //DO AE FOD FAE ∴∆∆∽∴FO DO FA AE =∴FC OCDO FC AC AB BE +=+-∴22441FC FC +=+-2FC =6AF ∴=411cos 62AE AB BE A AF AF --∴====60A ∴∠=︒OM AB AC = 60A ∠=︒ABC ∴∆224OF OC CF =+=+=OM ABC ∆∴ODBM 60FOD ∴∠=︒60MOD ∠=︒120COM ∴∠=︒sin 604DF OF =︒==11222DOF S DO DF ∴==⨯⨯=V g 11222DB BC AC === ∴sin 602DE DB =︒==g 2120423603COM S ππ=⋅=扇形∴ODBM 2DO DE ===g 4433S ππ∴=-=-阴影。

7.3 特殊角的三角函数一、选择题1.45∘的正弦值为( )A. 1B. 12C. √22D. √322.已知α是等腰直角三角形的一个锐角，则sinα的值为( )A. 12B. √22C. √32D. 13.4cos60∘的值为( )A. 12B. 2 C. √32D. 2√34.计算sin60∘+cos45∘的值等于( )A. 1+√22B. √2+√32C. 1+√32D. √35.已知α是锐角，cosα=√32，则α等于( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘6.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA=12，cosB=√32，则△ABC是( )A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形7.−tan60∘+2sin45∘的值等于( )A. 1B. √2−1C. −√3+√2D. √2−√338.在△ABC中，∠C=90∘，sinB=√32，则∠B为( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘9.若sin(α−10o)=√32，则∠α为( )A. 30∘B. 40∘C. 60∘D. 70∘10.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为( )A. 12B. √33C. √22D. √3211.在△ABC中，∠C=90∘，若∠A=30∘，则sinA+cosB的值等于( )A. 1B. 1−√32C. 1+√32D. 14二、解答题12.计算：2cos30∘−√2sin45∘−tan60∘．13.计算：cos45∘−4sin60∘+tan30∘+√2．14.计算：tan260∘−2sin30∘−√2cos45∘．15.计算tan45∘sin30∘−cos45∘sin60∘⋅tan60∘．16.计算：cos60∘−2tan30∘⋅cos30∘+sin245∘．17.计算：cos245∘−1sin30∘+1tan30∘+cos230∘．参考答案一、1. C2. B3. B4. B5. A6. B7. C8. C 9. D 10. D 11. A 二、12. 解：原式=2×√32−√2×√22−√3=√3−1−√3 =−1．13. 解：原式=√22−4×√32+√33+√2=3√22−5√33． 14. 解：原式=(√3)2−2×12−√2×√22=3−1−1=1． 15. 解：原式=112−√22√32×√3=2−√23． 16. 解：原式=12−2×√33×√32+(√22)2 =12−1+12=0． 17. 解：cos 245∘−1sin30+1tan30+cos 230∘=(√22)2−112+√33+(√32)2 =12−2+√3+34 =−34+√3．。

第7章　锐角三角函数7.3　特殊角的三角函数7.4　由三角函数值求锐角基础过关全练知识点1　特殊角的三角函数值1.(2022天津中考)tan 45°的值等于( )A.2 B.1 22 D.332.【教材变式·P 106习题T 1】计算:(1)2sin 30°+3cos 60°-4tan 45°;(2)cos 230°1+sin30°+tan 260°.知识点2　特殊角的三角函数值的应用3.(2022江苏常州金坛月考)已知锐角α满足tan(α+10°)=1,则锐角α的度数为( )A.20°B.35°C.45°D.50°4.【新独家原创】已知α,β均为锐角,且sinα―+|cos β―32|=0,则tan(2α-β)= .知识点3　由锐角三角函数值确定锐角的度数5.已知sin A=0.56,用计算器求∠A的大小,选项中按键顺序正确的是( )A.2ndFsin0.56=B.2ndF0.56sin=C.sin2ndF0.56=D.sin0.562ndF=6.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边.;(1)求证:tan A=sin Acos A(2)若sin2A-(3-1)sin A·cos A-3cos 2A=0,求∠A的度数.能力提升全练7.(2021山东东营中考,5,★☆☆)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=42°,BC=8,若用科学计算器求AC的长,则下列按键顺序正确的是( )A.8 ÷ sin 4 2 =B.8 ÷ cos 4 2 =C.8 ÷ tan 4 2 =D.8 × tan 4 2 =8.(2023江苏苏州振华中学校期中,6,★☆☆)在△ABC中,(2cos A-2)2+|1-tan B|=0,则△ABC一定是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形9.(2022黑龙江绥化中考,18,★★☆)定义一种运算:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.例如:当α=45°,β=30°时,sin(45°+30°)=22×32+22×12=6+24,则sin 15°的值为 .10.(2019江苏宿迁中考,17,★★☆)如图,∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C在射线AN上运动,则当△ABC是锐角三角形时,BC的取值范围是 .11.(2022浙江金华中考,17,★☆☆)计算:(-2 022)0-2tan 45°+|-2|+9.素养探究全练12.【推理能力】(2018江苏扬州中考)问题呈现如图①,在边长为1的正方形网格中,连接格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求tan∠CPN的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点M,N和D,M,可得MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.问题解决(1)图①中tan∠CPN的值为 ;(2)如图②,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求cos∠CPN的值;思维拓展(3)如图③,AB⊥BC,AB=4BC,点M在AB上,且AM=BC,延长CB到N,使BN=2BC,连接AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求∠CPN 的度数.答案全解全析基础过关全练1.B tan 45°的值等于1,故选B.2.解析　(1)原式=2×12+3×12―4×1=1+32―4=―32.(2)原式2+(3)2=3432+3=72.3.B ∵tan(α+10°)=1,tan 45°=1,∴α+10°=45°,∴α=35°,故选B.4.3解析　∵sin α―+|cos β―32|=0,∴sin α-22=0,cos β-32=0,∴sinα=22,cos β=32,∴α=45°,β=30°,∴2α-β=90°-30°=60°,∴tan 60°=3.5.A 已知sin A =0.56,用计算器求锐角A 的大小,按键顺序为2ndFsin0.56=.故选A.6.解析　(1)证明:∵∠ACB =90°,∴tan A =a b ,sin A =a c ,cos A =bc ,∴sin A cos A=a c b c=ab =tan A.(2)将sin 2A -(3-1)sin A ·cos A -3cos 2A =0两边同时除以cos 2A ,得tan 2A -(3-1)tan A -3=0,解得tan A =3或tan A =-1(不合题意,舍去),∴∠A =60°.能力提升全练7.D ∵在△ABC中,∠C =90°,∴tan B =ACBC ,∵∠B =42°,BC =8,∴AC=BC·tan B=8×tan 42°.故选D.8.D　由(2cos A-2)2+|1-tan B|=0,得2cos A-2=0,1-tan B=0,∴cos A=22,tan B=1,∴∠A=45°,∠B=45°,∴∠C=180°-45°-45°=90°,则△ABC一定是等腰直角三角形,故选D.9.答案6―24解析　sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°·sin30°=22×32―22×12=6―24.故答案为6―24.10.答案3<BC<23解析　如图,过点B作BC1⊥AN,垂足为C1,BC2⊥AM,交AN于点C2,在Rt△ABC1中,AB=2,∠A=60°,∴BC1=AB·sin 60°=3,在Rt△ABC2中,AB=2,∠A=60°,∴BC2=AB·tan 60°=23,当△ABC是锐角三角形时,点C在C1、C2之间移动(不与C1,C2重合), 3<BC<23.11.解析　原式=1-2×1+2+3=1-2+2+3=4.素养探究全练12.解析　(1)2.(2)如图1,取格点D,连接CD,DM,则CD∥AN,∴∠CPN=∠DCM,易知△DCM是等腰直角三角形,∴∠DCM=∠CDM=45°,∴cos∠CPN=cos∠DCM=22.图1(3)构造网格,如图2,取格点D,连接AD,DN,则PC∥DN,∴∠CPN=∠AND,易知AD=DN,∠ADN=90°,∴∠AND=∠DAN=45°,∴∠CPN=45°.图2。

7.3 特殊角的三角函数一．选择题（共15小题）1．45°的正弦值为（）A．1 B．C．D．2．在△ABC中，若tanA=1，sinB=，你认为最确切的判断是（）A．△ABC是等腰三角形；B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形；D．△ABC是一般锐角三角形3．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（）A．75°B．90°C．105°D．120°4．cos60°的值等于（）A．B．1 C．D．5．因为cos60°=，cos240°=﹣，所以cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°；由此猜想、推理知：当α为锐角时有cos（180°+α）=﹣cosα，由此可知：cos210°=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣6．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于（）A．B．C．D．第6题第8题7．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（）A．B．C．D．8．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=，则∠2的度数为（）A．120°B．135°C．145°D．150°9．计算：tan45°+sin30°=（）A．2 B．C．D．10．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|=0，则△ABC一定是（）A．直角三角形；B．等腰三角形；C．等边三角形；D．等腰直角三角形11．在△ABC中，（tanA﹣）2+|﹣cosB|=0，则∠C的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°12．计算sin60°+cos45°的值等于（）A．B．C．D．13．已知∠C=75°，则∠A与∠B满足以下哪个选项才能构成△ABC（）A．sinA=，sinB=B．cosA=，cosB=C．sinA=，tanB=D．sinA=，cosB=14．若sin（α﹣10o）=，则∠α为（）A．30°B．40°C．60°D．70°15．已知∠A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是（）A．0＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°二．填空题（共10小题）16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，则sin=．17．已知△ABC的内角满足|tanA﹣3|+=0，则∠C=度．18．如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都是格点，则cos∠BAC=．第18题第19题19．如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan（α+β）tanα+tanβ．（填“＞”“=”“＜”）20．若tan（x+10°）=1，则锐角x的度数为．21．计算：tan45°﹣2cos60°=．22．已知α是锐角，tanα=2cos30°，那么α=度．23．在△ABC中，若，∠A、∠B都是锐角，则∠C=．24．已知对任意锐角α、β均有：cos（α+β）=cosα•cosβ﹣sinα•sinβ，则cos75°=．25．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是三角形．1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 1516. ；17. ；18. ；19. ；20. ；21. ；22. ；23. ；24. ；25. ；三．解答题（共8小题）26．计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．27．计算：2sin30°+4cos30°•tan60°﹣cos245°．28．计算：sin45°．29．计算：cos245°+﹣•tan30°．30．计算：2cos230°﹣sin30°+．31．若规定：sin（α+β）=sinα•sinβ+cosα•sinβ，试确定sin75°+sin90°的值．32．已知α为锐角，sin（α+15°）=，计算﹣4cosα+tanα+（）﹣1的值．33．计算：﹣sin60°（1﹣sin30°）参考答案与解析一．选择题（共15小题）1．45°的正弦值为（）A．1 B．C．D．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：sin45°=，故选：C．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．2．在△ABC中，若tanA=1，sinB=，你认为最确切的判断是（）A．△ABC是等腰三角形B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形D．△ABC是一般锐角三角形【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A，∠B的值，再根据三角形内角和定理求出∠C即可判断．【解答】解：∵tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=45°．又∵三角形内角和为180°，∴∠C=90°．∴△ABC是等腰直角三角形．故选B．【点评】解答此题关键是熟记特殊角的三角函数值，三角形内角和定理及等腰三角形的判定．3．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（）A．75°B．90°C．105°D．120°【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0．”分别求出∠A、∠B的值．然后用三角形内角和定理即可求出∠C的值．【解答】解：∵|sinA﹣|=0，（﹣cosB）2=0，∴sinA﹣=0，﹣cosB=0，∴sinA=，=cosB，∴∠A=45°，∠B=30°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=105°．故选C．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式、绝对值、非负数等考点的运算．4．cos60°的值等于（）A．B．1 C．D．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：cos60°=，故选：D．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．5．因为cos60°=，cos240°=﹣，所以cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°；由此猜想、推理知：当α为锐角时有cos（180°+α）=﹣cosα，由此可知：cos210°=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【分析】当α为锐角时有cos（180°+α）=﹣cosα．把210°代入计算即可．【解答】解：∵cos（180°+α）=﹣cosα，∴cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣．故选：C．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，本题是信息题，按照“一般地当α为锐角时有cos（180°+α）=﹣cosα”去答题．同时熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键．6．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于（）A．B．C．D．【分析】连接AB，先根据题意判断出△AOB的形状，再得出∠AOB的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论．【解答】解：连接AB，∵以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，∴OA=OB，∵以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴sin∠AOB=sin60°=．故选C．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及等边三角形的判定与性质，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．7．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（）A．B．C．D．【分析】根据比例设三个内角分别为k、2k、3k，然后根据三角形内角和等于180°列出方程求出最小角，继而可得出答案．【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为1：2：3，∴设三个内角分别为k、2k、3k，∴k+2k+3k=180°，解得k=30°，最小角的正切值=tan30°=．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”求解更加简单．8．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=，则∠2的度数为（）A．120°B．135°C．145°D．150°【分析】首先根据特殊角的三角函数值即可求得∠1的度数，然后根据直角三角形的两个锐角互余，以及平行线的性质即可求解．【解答】解：∵sin∠1=，∴∠1=45°，∵直角△EFG中，∠3=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°，∴∠4=180°﹣∠3=135°，又∵AB∥CD，∴∠2=∠4=135°．故选B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，以及直角三角形的性质、平行线的性质，正确理解平行线的性质是关键．9．计算：tan45°+sin30°=（）A．2 B．C．D．【分析】将tan45°=1，sin30°=，分别代入，然后合并即可得出答案．【解答】解：∵tan45°=1，sin30°=，∴tan45°+sin30°=1+=．故选C．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握tan45°=1，sin30°=，难度一般，注意记忆一些特殊角的三角函数值．10．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|=0，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案．【解答】解：由，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|=0，得2cosA=，1﹣tanB=0．解得A=45°，B=45°，则△ABC一定是等腰直角三角形，故选：D．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．11．在△ABC中，（tanA﹣）2+|﹣cosB|=0，则∠C的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】先根据非负数的性质求出tanA及cosB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B的值，根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵（tanA﹣）2+|﹣cosB|=0，∴tanA﹣=0，﹣cosB=0，∴tanA=，cosB=，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°，故选B．【点评】本题考查是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．12．计算sin60°+cos45°的值等于（）A．B．C．D．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：sin60°+cos45°=，故选：B．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．13．已知∠C=75°，则∠A与∠B满足以下哪个选项才能构成△ABC（）A．sinA=，sinB=B．cosA=，cosB=C．sinA=，tanB=D．sinA=，cosB=【分析】根据三角形内角和可得∠A+∠B=180°﹣75°=105°，然后再根据特殊角的三角函数进行分析即可．【解答】解：∵∠C=75°，∴∠A+∠B=180°﹣75°=105°，A、sinA=，sinB=，则∠A=45°，∠B=45°，∠A+∠B=90°，故此选项错误；B、cosA=，cosB=，则∠A=60°，∠B=30°，∠A+∠B=90°，故此选项错误；C、sinA=，tanB=，则∠A=45°，∠B=60°，∠A+∠B=105°，故此选项正确；D、sinA=，cosB=，∠A=60°，∠B=60°，∠A+∠B=120°，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查特殊角的三角函数值，关键掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．14．若sin（α﹣10o）=，则∠α为（）A．30°B．40°C．60°D．70°【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：sin（α﹣10o）=，得α﹣10=60°，α=70°，故选：D．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．15．已知∠A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是（）A．0＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°【分析】根据正切函数的增减性，可得答案．【解答】解：＜＜1，由正切函数随锐角的增大而增大，得tan30°＜tanA＜tan45°，即30°＜A＜45°，故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，利用正切函数的增减性是解题关键．二．填空题（共10小题）16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，则sin=．【分析】根据∠A的正弦求出∠A=60°，再根据30°的正弦值求解即可．【解答】解：∵sinA==，∴∠A=60°，∴sin=sin30°=．故答案为：．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．17．已知△ABC的内角满足|tanA﹣3|+=0，则∠C=75度．【分析】根据非负数的和为零，可得特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由题意，得，解得∠A=60°，∠B=45°，∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°，故答案为与：75．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18．如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都是格点，则cos∠BAC=．【分析】分别利用勾股定理求出AB、BC、AC的长度，然后判断△ABC的形状，得出∠BAC 的度数，求出cos∠BAC的值．【解答】解：AB=BC==，AC==，则AB2+BC2=5+5=10=AC2，则△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°，则cos∠BAC=．故答案为：．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值以及勾股定理及逆定理，解答本题的关键是判断三角形ABC为直角三角形．19．如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan（α+β）＞tanα+tanβ．（填“＞”“=”“＜”）【分析】根据正切的概念和正方形网格图求出tanα和tanβ，根据等腰直角三角形的性质和tan45°的值求出tan（α+β），比较即可．【解答】解：由正方形网格图可知，tanα=，tanβ=，则tanα+tanβ=+=，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴α+β=45°，∴tan（α+β）=1，∴tan（α+β）＞tanα+tanβ，故答案为：＞．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、锐角三角函数的定义以及等腰直角三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值、正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键．20．若tan（x+10°）=1，则锐角x的度数为20°．【分析】利用特殊角的三角函数值得出x+10°的值进而求出即可．【解答】解：∵tan（x+10°）=1，∴tan（x+10°）==，∴x+10°=30°，∴x=20°．故答案为：20°．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关角对应的函数值是解题关键．21．计算：tan45°﹣2cos60°=0．【分析】把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，后计算加减法即可．【解答】解：原式=1﹣2×，=1﹣1，=0．故答案为：0．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°，45°，60°角的三角函数值．22．已知α是锐角，tanα=2cos30°，那么α=60度．【分析】根据30°角的余弦值等于，正切值是的锐角为60°解答即可．【解答】解：∵tanα=2cos30°=2×=，∴α=60°．故答案为：60．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的正弦值、余弦值、正切值是解此类题目的关键．23．在△ABC中，若，∠A、∠B都是锐角，则∠C=105°．【分析】根据绝对值及完全平方的非负性，可得出∠A及∠B的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出∠C的度数．【解答】解：∵，∴sinA=，cosB=，∴∠A=45°，∠B=30°，故可得∠C=180°﹣45°﹣30°=105°．故答案为：105°．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值及非负数的性质，解答本题的关键是得出sinA=，cosB=，另外要熟练掌握特殊角的三角函数值．24．已知对任意锐角α、β均有：cos（α+β）=cosα•cosβ﹣sinα•sinβ，则cos75°=．【分析】直接利用已知公式将原式变形，进而结合特殊角的三角函数值求出答案．【解答】解：∵cos（α+β）=cosα•cosβ﹣sinα•sinβ，∴cos75°=cos（30°+45°）=cos30°•cos45°﹣sin30°•sin45°=×﹣×=．故答案为：．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确将原式变形是解题关键．25．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是直角三角形．【分析】根据一个角的正弦等于它余角的余弦，可得答案．【解答】解：由△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，得∠A+∠B=90°，故答案为：直角．【点评】本题考查了余角，利用直角三角形的判定是解题关键．三．解答题（共8小题）26．计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．【分析】根据特殊角的三角函数值可以计算出tan30°cos60°+tan45°cos30°的值．【解答】解：tan30°cos60°+tan45°cos30°===．【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是明确特殊角的三角函数值．27．计算：2sin30°+4cos30°•tan60°﹣cos245°．【分析】将sin30°=，cos30°=，tan60°=，cos45°=代入运算，即可得出答案．【解答】解：原式=2×+4ו﹣=1+6﹣=．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆，难度一般．28．计算：sin45°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=﹣×+×=﹣+1=0．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．29．计算：cos245°+﹣•tan30°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=（）2+﹣×=+﹣1=．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．30．计算：2cos230°﹣sin30°+．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=2×（）2﹣+=1++．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．31．若规定：sin（α+β）=sinα•sinβ+cosα•sinβ，试确定sin75°+sin90°的值．【分析】根据给出的公式，将75°和90°化为特殊角即可求出答案．【解答】解：原式=sin（30°+45°）+sin（30°+60°）=sin30°•cos45°+cos30°•sin45°+sin30°•cos60°+cos30°•sin60°=×+×+×+×=+++=【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是将75°和90°化为特殊角进行计算，本题属于基础题型．32．已知α为锐角，sin （α+15°）=，计算﹣4cosα+tanα+（）﹣1的值．【分析】首先得出α的值，进而利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质化简求出答案．【解答】解：∵sin （α+15°）=，∴α=45°， ∴﹣4cosα+tanα+（）﹣1=2﹣2+1+3=4．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．33．计算：﹣sin60°（1﹣sin30°）【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=﹣×（1﹣）=﹣×=．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．7.4三角函数求锐角1．在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ）A 都扩大2倍B 都扩大4倍C 没有变化D 都缩小一半2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，c=10 23cos B ，则b=（ ） A 5 3 B 10 3 C 5 D 103．等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ）A 600B 900C 1200D 15004．若∠A 是锐角，sinA=43， 那么（ ） A ．0°＜∠A ＜30°B．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°5．有一个角的余弦值为21的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ） A cm 41 B cm 21 C cm 43 D cm 23 6.若sin α=23,则锐角α=________. 若2cos α= 2 ,则锐角α=_________； 7. α为锐角，若sin α=21,则cos α=_________；若sin α=23,则tan α=_________； 8.已知a 是锐角， ()01sin 152α+=，则a =_____； 9. △ABC 中，且0cos 2233tan 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B A ,则∠C=_________； 10.Rt △ABC 中∠C ＝900 ,6,3si 2==a nB ，则__________,==c b ；11.在△ABC 中，若∠C ＝900,2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ；12.如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧AB 上的一点(不与A 、B 重合)，则sin C 的值为_______．13.（1）tan230°+2sin60°+tan45°－tan60°+cos230°；（2）cos60°－sin245°+tan230°+cos230°－sin30°．14.在矩形ABCD中,CE⊥BD,E为垂足,连结AE,已知BC=3,CD=4, 求(1)△ADE的面积,(2)tan∠EAB.15.如图，△ABC中，DC⊥AC交AB于D，若4 :2:3,cos5 ACD CDBS S DCB∆∆=∠=.（1）求∠A的度数；（2）若AC+CD=36，求AB的长.7.5解直角三角形及其应用-一、选择题1.在△ABC中，∠C＝90°，4sin5A ，则tan B＝ ( )A．43 B．34C．35D．452．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC 长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A． B． C． D．第2题第3题第4题3．河堤、横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1:3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( )A ．53米B ．10米C ．15米D ．103米4．如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点，则cos ∠OMN 的值为 ( )A ．12 B ．22C ．32D ．1 5．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为 ( )A ．sin h αB ．tan h αC ．cos h αD ．sin h α第5题 第6题 第7题 第8题6．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若3cos 5BDC ∠=，则BD 的长是 ( )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm7．如图所示，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距 ( ) A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里8．如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200 m的M和N两点分别测定对岸一棵树P的位置，P在M的正北方向，在N 的北偏西30°的方向，则河的宽度是 ( )m C．1003m D．100m A．2003m B．20033二、填空题9．在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是．第9题第10题第11题10.如图所示，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AG的值为______．AF11．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为____海里(结果保留根号)．12．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．13．如图所示．线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A点测得D点的仰角α＝45°，则乙建筑物高DC＝__ __米．第12题第13题第14题14.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，那么，由此可知，B、C两地相距________m．三、解答题15．如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1:3(即AB:BC＝1:3)，且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．16.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）17．北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）一、选择题1.【答案】B ；【解析】如图，sin A＝45BC AB =，设BC ＝4x ．则AB ＝5x ．根据勾股定理可得AC ＝223AC AB BC x =-=，∴33tan 44AC x B BC x ===． 2.【答案】B ．【解析】如图所示：设BC=x ，∵ 在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，∴ AC=2BC=2x ，AB=BC=x ，根据题意得：AD=BC=x ，AE=DE=AB=x ，作EM ⊥AD 于M ，则AM=AD=x ，在Rt △AEM 中，cos ∠EAD==x x321=；3.【答案】A ；【解析】由tan BC i A BC===知，53AC BC ==(米)． 4.【答案】B ；【解析】由题意知MN ∥BC ，∠OMN ＝∠OBC ＝45°，∴ cos 2OMN ∠=． 5.【答案】A ；【解析】由定义sin h l α=，∴ sin h l α=. 6.【答案】D ；【解析】∵ MN 是AB 的中垂线, ∴ BD ＝AD ．又3cos 5DC BDC BD ∠==， 设DC ＝3k ，则BD ＝5k ，∴ AD ＝5k ，AC ＝8k ．∴ 8k ＝16，k ＝2，BD ＝5×2＝10．7.【答案】B ；【解析】 连接AC ，∵ AB ＝BC ＝40海里，∠ABC ＝40°+20°＝60°，∴ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝AB ＝40海里．8.【答案】A【解析】依题意PM ⊥MN ，∠MPN ＝∠N ＝30°，tan30°200PM =， 2003PM =． 二、填空题9．【答案】2；【解析】设菱形ABCD 边长为t ，∵ BE=2，∴ AE=t ﹣2，∵ cosA=，∴，∴ =，∴ t=5， ∴ AE=5﹣2=3，∴ DE==4， ∴ tan ∠DBE 224===BE DE ．故答案为：2． 10．3； 【解析】由已知条件可证△ACE ≌△CBD ．从而得出∠CAE ＝∠BCD ． ∴ ∠AFG ＝∠CAE+∠ACD ＝∠BCD+∠ACD ＝60°，在Rt △AFG 中，3sin 602AG AF ==°． 11．【答案】40403+；【解析】在Rt △APC 中，PC ＝AC ＝AP ·sin ∠APC ＝2402402⨯=． 在Rt △BPC 中，∠BPC ＝90°-30°＝60°，BC ＝PC ·tan∠BPC ＝403，所以AB ＝AC+BC ＝40403+．12．【答案】12；【解析】如图，连接BD ，作DF ⊥BC 于点F ，则CE ⊥BD ，∠BCE ＝∠BDF ，BF ＝AD ＝2，DF ＝AB ＝4，所以21tan tan 42BF BCE BDF DF ∠=∠===． 13．【答案】58；【解析】α＝45°，∴ DE ＝AE ＝BC ＝30，EC ＝AB ＝28，DE ＝DE+EC＝5814．【答案】200；【解析】由已知∠BAC ＝∠C ＝30°，∴ BC ＝AB ＝200.三、解答题15.【答案与解析】过点A 作AF ⊥DE 于F ，则四边形ABEF 为矩形， ∴ AF ＝BE ，EF ＝AB ＝2．设DE ＝x ，在Rt △CDE 中，3tan tan 603DE DE CE x DCE ===∠°． 在Rt △ABC 中，∵ 3AB BC =，AB ＝2，∴ 23BC =． 在Rt △AFD 中，DF ＝DE-EF ＝x -2．∴ 23(2)tan tan 30DF x AF x DAF -===-∠°∵ AF ＝BE ＝BC+CE ．∴ 33(2)23x x -=+，解得6x =． 答：树DE 的高度为6米．16.【答案与解析】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE﹣CE=6﹣8；（2）∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，∴ 3x=6，得x=2，∴ BE=8，AE=10，∴ tanE====，解得，DE=，∴ AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的长是．17.【答案与解析】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x米．Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°==，解得：x≈3米．所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．。

7.3 特殊角的三角函数同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（共10小题）.1. 计算2cos30∘的值为（）A.1 2B.√32C.1D.√32. 已知tan A=√3，则锐角A的度数是（）A.30∘B.45∘C.60∘D.75∘3. 已知2sin A=√2，则锐角A的度数为（）A.30∘B.45∘C.60∘D.75∘4. 下列三角函数值错误的是（）A.sin30∘=12B.sin60∘=√32C.tan45∘=1D.cos60∘=√35. 计算：2sin30∘+4cos230∘−tan245∘的值等于（）A.4B.2√2C.3D.26. 已知∠A是锐角，且cos A=√32，那么∠A等于（）A.30∘B.45∘C.60∘D.75∘7. cos 30∘的值是（ ） A.1 B.√32C.12D.√228. 若∠A 是锐角，且sin A =12，则∠A 等于（ ） A.60∘ B.45∘ C.30∘ D.75∘9. 在△ABC 中，∠C =90∘，cos A +sin B =1，则∠A =( ) A.45∘ B.30∘ C.60∘D.不能确定10. 若∠B 是Rt △ABC 的一个内角，sin B =√32，则cos B2的值是（ ）A.12B.√22C.√33D.√32二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ） 11. sin 260∘+cos 260∘−tan 45∘=________．12. 计算：sin 60∘⋅cos 30∘−tan 45∘=________.13. 求值：sin 60∘−tan 30∘＝________．14. 若√2cos α−1=0，则α=________∘.15. 计算：sin 60∘⋅cos 30∘−tan 45∘=________.16. 已知：Rt △ABC 中，∠C =90∘，sin B =√32，则cos B =________，tan B =________．17. 在Rt △ABC 中，∠C =90∘，2a =√3c ，则∠B =________．18. 求值：tan 60∘⋅tan 45∘−cos 30∘+1=________．19. 在△ABC 中，已知sin A =12，cos B =√22，则∠C =________．20. 在△ABC 中，已知∠A =74∘37′，∠B =60∘23′，那么∠C =________度；sin C +cos C =________．三、 解答题 （本题共计 8 小题，共计60分 ， ） 21. 计算：2cos 60∘+4sin 60∘⋅tan 30∘−cos 245∘.22. 计算：4cos 230∘−cot 45∘tan 60∘+2sin 45∘．23. 计算：sin245∘+cos60∘−tan60∘+√3tan30∘+(−tan45∘)2014．+tan60∘．24. 计算：cos245∘tan30∘⋅cos60∘25. 计算下列各式的值．230∘+cos230∘−sin30∘（1）cos60∘−sin245∘+34tan．（2）tan60∘−sin60∘+tan45∘−12(cos30∘+tan45∘)26. 计算：3tan30∘−2tan45∘+2sin60∘+4cos60∘．27. 计算tan45∘+tan30∘+sin60∘．1−cos60∘28. （1）2sin 60∘+3tan 30∘（2）sin 260∘+cos 260∘−tan 45∘ （3）cos 60∘−tan 45∘+sin 60∘tan 30∘+sin 30∘（4）√22sin 45∘+sin 60∘−2cos 45∘．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解答】原式=2×√32=√3．2.【答案】C解：∵tan A=√3，A为锐角，tan60∘=√3，∴∠A=60∘．故选C．3.【答案】B解：∵sin A=√22，∴A=45∘．故选B．4.【答案】D解：∵sin30∘=12，sin60∘=√32，tan45∘=1，cos60∘=12，∴D选项错误．故选D．5.【答案】C解：原式=2×12+4×(√32)2−1=1+3−1=3．故选C．6.【答案】A【解答】解：∵△ABC中，∠A是锐角，cos A=√32，∴∠A=30∘．故选A．7.【答案】B解：cos30∘=√32．故选B．8.【答案】C解：∵∠A是锐角，sin A=12，∴ ∠A =30∘． 故选C ． 9. 【答案】 C解：∵ ∠C =90∘，cos A +sin B =1，∴ cos A +sin (90∘−∠A)=cos A +cos A =2cos A =1， ∴ cos A =12， ∴ ∠A =60∘． 故选C ． 10. 【答案】 D解：∵ ∠B 是Rt △ABC 的一个内角，sin B =√32，∴ ∠B =60∘．∴ cos ∠B 2=cos 30∘=√32．故选D ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 11. 【答案】解：原式=(√32)2+(12)2−1=0． 故答案为：0． 12.【答案】−1解：sin60∘⋅cos30∘−tan45∘，=√32⋅√32−1，=−1 4 .故答案为：−14.13.【答案】√36【解答】原式=√32−√33=3√36−2√36=√36．14.【答案】45解：∵√2cosα−1=0，∴cosα=√22，∴α=45∘.故答案为：45.15.【答案】−1 4解：原式=√32×√32−1=34−1=−14.故答案为：−14.16.【答案】12,√3解：∵Rt△ABC中，∠C=90∘，sin B=√32，∴∠B=60∘，∴cos B=12，tan B=√3．故答案为：12，√3．17.【答案】30∘解：在Rt△ABC中，∵∠C=90∘，2a=√3c，∴b=√c2−a2=c2，则sin∠B=bc =12，∴∠B=30∘．故答案为：30∘．18.【答案】√32+1解：原式=√3×1−√32+1=√32+1．19.【答案】105∘解：∵sin A=12，cos B=√22，∴∠A=30∘，∠B=45∘，∴∠C=180∘−30∘−45∘=105∘．故答案为：105∘．20.【答案】45,√2解：∠C=180∘−74∘37′−60∘23’=45∘，sin C+cos C=sin45∘+cos45∘=√22+√22=√2．三、解答题（本题共计8 小题，每题10 分，共计80分）21.【答案】解：原式=2×12+4×√32×√33−(√22)2=1+2−12=52．解：原式=2×12+4×√32×√33−(√22)2=1+2−12=52．22.【答案】解：原式=4×(√32)2−1√3+2×√22=3+2=2√3−2√2．解：原式=4×(√32)2−1√3+2×√22=√3+√2=2√3−2√2．23.【答案】解：sin245∘+cos60∘−tan60∘+√3tan30∘+(−tan45∘)2014．=(√22)2+12−√3+√3×√33+(−1)2014=12+12−√3+1+1=3−√3．解：sin245∘+cos60∘−tan60∘+√3tan30∘+(−tan45∘)2014．=(√2)2+1−√3+√3×√3+(−1)2014=12+12−√3+1+1=3−√3．24.【答案】解：原式=(√22)2√33×12+√3=12√36+√3=√3+√3=2√3．解：原式=(√22)2√33×12+√3=12√36+√3=√3+√3=2√3．25.【答案】解：(1)cos60∘−sin245∘+34tan230∘+cos230∘−sin30∘=12−(√22)2+34×(√33)2+(√32)2−12=12−12+14+34−12=12；（2）tan60∘−sin60∘+tan45∘−12(cos30∘+tan45∘)=√3−12+1−12×(√32+1)=√3−12+1−(2−√3)=3√3−22．解：(1)cos60∘−sin245∘+34tan230∘+cos230∘−sin30∘=12−(√22)2+34×(√33)2+(√32)2−12=1−1+1+3−1=12；（2）tan60∘−sin60∘+tan45∘−12(cos30∘+tan45∘)=√3−12+1−12×(√32+1)=√3−12+1−(2−√3)=3√3−22．26.【答案】解：原式=3×√32−2×1+2×√32+4×12=√3−2+√3+2=2√3．解：原式=3×√32−2×1+2×√32+4×12=√3−2+√3+2=2√3．27.【答案】解：原式=1+√33+√321−12=1+5√3612=1+5√33．解：原式=1+√33+√321−12=1+5√3612=1+5√33．28.【答案】解：（1）2sin60∘+3tan30∘=2×√32+3×√33=√3+√3 =2√3；（2）sin 260∘+cos 260∘−tan 45∘=1−1=0；（3）cos 60∘−tan 45∘+sin 60∘tan 30∘+sin 30∘ =12−1+√32√33+√32=√32−125√36=3−√35；（4）√22sin 45∘+sin 60∘−2cos 45∘ =√2×√2+√3−2×√2 =12+√32−√2． 解：（1）2sin 60∘+3tan 30∘=2×√32+3×√33 =√3+√3=2√3；（2）sin 260∘+cos 260∘−tan 45∘=1−1=0；（3）cos 60∘−tan 45∘+sin 60∘tan 30∘+sin 30∘=12−1+√32√33+√32=√32−12 5√36=3−√35；（4）√22sin45∘+sin60∘−2cos45∘=√22×√22+√32−2×√22=12+√32−√2．。

7.3特殊角的三角函数【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点二、特殊角的三角函数值锐角A Ca b要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略例1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC 为直角三角形， ∴tan ∠B==，故选：D ．类型二、特殊角的三角函数值的计算例2．求下列各式的值：(1) 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2) sin60°﹣4cos 230°+sin45°•tan60°；(3) +tan60°﹣．【答案与解析】 解：（1）原式==12(2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+3；(3) 原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2．类型三、锐角三角函数之间的关系例3．已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足（1﹣tanA ）2+|sinB ﹣|=0（1）试判断△ABC 的形状．（2）求（1+sinA ）2﹣2﹣（3+tanC ）0的值． 【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA ）2+|sinB ﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用例4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°， 又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴PC CDPA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【巩固练习】一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）A ．2B ．C ．D ．3. 已知锐角α满足sin25°＝cos α，则α＝( ) A ．25° B ．55° C ．65° D ．75°4．如图所示，直径为10的⊙A 经过点C(0，5)和点O(0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为 ( )A ．12 B ．34 C ．2 D ．45第4题 第5题5．如图，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则sinB 的值是( )A C D 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的正弦值( ) A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．扩大4倍D ．不变7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC ＝30cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC 则边BC 的长为( )A ．．．．cm第7题 第8题8. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若AC BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A ．3．3 C ．2 D ． 23二、填空题9．如图，点A （3，t ）在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α=，则t 的值是 ．10. 用不等号连接下面的式子．(1)cos50°________cos20° (2)tan18°________tan21°11．在△ABC 中，若2sin cos 02A B ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，∠A 、∠B 都是锐角，则∠C 的度数为 . 12．如图所示，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sinA ＝________．13．已知：正方形ABCD 的边长为2，点P 是直线CD 上一点，若DP ＝1，则tan ∠BPC 的值是________．第12题 第15题14．如果方程2430x x -+=的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 的最小角为A ，那么tanA 的值为________．15．如图所示，△ABC 的内心在y 轴上，点C 的坐标为(2，0)，点B 的坐标是(0，2)，直线AC 的解析式为112y x =-，则tanA 的值是________． 16.若α为锐角，且，则m 的取值范围是 ．三、解答题17．如图所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，DC ⊥AC ，且∠BCD ＝30°， 求∠CDA 的正弦值、余弦值和正切值．18. 计算下列各式的值． (1) ；(2) sin45°+tan45°﹣2cos60°．(3)﹣cos60°．19．如图所示，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE ＝BC ，DF ⊥AE ，垂足为F ，连接DE ． (1)求证：AB ＝DF ；(2)若AD ＝10，AB ＝6，求tan ∠EDF 的值．20. 如图所示，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为A 为弦BC 所对优弧上任意一点(B 、C 两点除外)．(1)求∠BAC 的度数；(2)求△ABC 面积的最大值．(参考数据：sin 602=°，cos302=°，tan 303=°．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C.【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，sinB=，∵AD ⊥BC ， ∴sinB=，sinB=sin ∠DAC=，综上，只有C 不正确 故选：C ．2.【答案】D ；【解析】如图：由勾股定理得，AC=，AB=2，BC=， ∴△ABC 为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D ．3. 【答案】C ；【解析】由互余角的三角函数关系，cos sin(90)αα=-°，∴ sin25°-sin(90°-α)， 即90°-α＝25°，∴ α＝65°．4.【答案】C ；【解析】设⊙A 交x 轴于另一点D ，连接CD ，根据已知可以得到OC ＝5，CD ＝10，∴ OD =，∵ ∠OBC ＝∠ODC ，∴ cos OB cos OD C ODC CD ∠=∠===5.【答案】D ；【解析】如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∵ ∠BAC ＝120°，∴ ∠CAD ＝60°，又∵ AC ＝2，∴ AD ＝1，CD∴ BD ＝BA+AD ＝5，在Rt △BCD 中，BC ==，∴ sin 14CD B BC ===．6.【答案】D ；【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的比值或角的大小有关．7.【答案】C ；【解析】由tan BC BAC AC ∠==，∴ 30BC AC ===8. 【答案】A ；【解析】 ∵ 3AB ==，∴ sin sin 3AC ACD B AB ∠=∠==二、填空题 9.【答案】．【解析】过点A 作AB ⊥x 轴于B ， ∵点A （3，t ）在第一象限， ∴AB=t ，OB=3， 又∵tan α===，∴t=． 故答案为：．10.【答案】(1)＜； (2)＜；【解析】当α为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，∴ cos50°＜cos20°；当α为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，∴ tan18°＜tan21°．11．【答案】105°；【解析】∵ 2sin cos 0A B ⎫+=⎪⎪⎝⎭，∴ sin 02A -=cos 0B -=即sin A =cos B =． 又∵ ∠A 、∠B 均为锐角，∴ ∠A ＝45°，∠B ＝30°，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C ＝180°，∴ ∠C ＝105°．12．【解析】假设每一个小正方形的边长为1，利用网格，从C 点向AB 所在直线作垂线CH ．垂足为H ，则∠A 在直角△ACH 中，利用勾股定理得AC ==∴sin 5CH A AC ===13．【答案】2或23【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P 是直线CD 上一点，所以点P 既可以在边CD 上，也可以在CD 的延长线上，当P 在边CD 上时，tan 2BC BPC PC ∠==；当P 在CD 延长线上时，2tan 3BC BPC PC ∠==．14．【答案】13或4；【解析】由2430x x -+=得11x =，23x =，①当3为直角边时，最小角A 的正切值为1tan 3A =；②当3为斜边时，另一直角边为=，∴ 最小角A 的正切值为tan 4A ==. 故应填13或4．15．【答案】13； 【解析】由△ABC 的内心在y 轴上可知OB 是∠ABC 的角平分线，则∠OBA ＝45°，易求AB 与x 轴的交点为(-2，0)，所以直线AB 的解析式为：2y x =+，联立2112y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩可求A 点的坐标为(-6，-4)， ∴AB ==OC ＝OB ＝2，∴ BC ＝Rt △ABC 中，1tan 3BC A AB ===．16.【答案】 ； 【解析】∵0＜cos α＜1，∴0＜＜1， 解得.三、解答题17.【答案与解析】过D 作DE ∥AC ，交BC 于点E ．∵ AD ＝BD ，∴ CE ＝EB ，∴ AC ＝2DE ．又∵ DC ⊥ AC ，DE ∥AC ，∴ DC ⊥DE ，即∠CDE ＝90°．又∵ ∠BCD ＝30°，∴ EC ＝2DE ，DC DE ．设DE ＝k ，则CD ，AC ＝2k ．在Rt △ACD 中，AD ==．∴ sinAC CDA AD ∠===cos CD CDA AD ∠===．tan3AC CDA CD ∠===．18.【答案与解析】解：（1）原式=4×﹣×+×=1+3． (2) 原式=×+1﹣2×=1+1﹣1=1．(3) 原式=﹣×=﹣=14． 19.【答案与解析】(1)证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD ∥BC ，AD ＝BC∴ ∠DAF ＝∠AEB又∵ AE ＝BC ，∴ AE ＝AD又∵ ∠B=∠DFA ＝90°，∴ △EAB ≌△ADF ．∴ AB ＝DF ．(2)解：在Rt △ABE 中，8BE ===∵ △EAB ≌△ADF ，∴ DF ＝AB ＝6，AF ＝EB ＝8，∴ EF ＝AE-AF ＝10-8＝2．∴ 21tan 63EF EDF DF ∠===．20.【答案与解析】(1)连接BO 并延长，交⊙O 于点D ，连接CD ．∵ BD 是直径，∴ BD ＝4，∠DCB ＝90°．在Rt △DBC 中，sin BC BDC BD ∠=== ∴ ∠BDC ＝60°，∴ ∠BAC ＝∠BDC ＝60°．(2)因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处．过O作OE⊥BC于点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优孤BC的中点．连结AB，AC，则AB＝AC，∠BAE12=∠BAC＝30°．在Rt△ABE中，∵BE=BAE＝30°，∴3tan30BEAE===°，∴132ABCS=⨯=△答：△ABC面积的最大值是。

专题1.5 锐角三角函数的计算——特殊角的三角函数值（专项练习）一、单选题 1．tan45°＝（ ） A ．1B ．22C 3D 323）． A ．cos30︒B ．tan30︒C ．cos45︒D ．sin30︒3．点()sin60,cos30︒︒关于y 轴对称的点的坐标是（ ）． A ．132⎛- ⎝⎭B ．13,2⎛ ⎝⎭C ．33⎛ ⎝⎭D ．33⎝⎭4．已知()3tan 903α︒-=α的度数是（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．75°5．在△ABC 中，∠C =90°，AB 2BC =1，则∠A 的度数为（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．75︒6．关于三角函数有如下的公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-，由该公式可求得sin15︒的值是（ ）A 62+B 62-C 32-D 31-7．若)23A 32cos B 30-+=，则ABC 的形状是（ ）A ．含有60°直角三角形B ．等边三角形C ．含有60°的任意三角形D ．等腰直角三角形82x 0（x ≠0），cos30°38 ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，30BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DF AB ⊥交AB 于F ，DE DF ⊥交AC 于E ．若8AE =，则DF 等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．210．如果∠A 为锐角，cos A 3∠A 取值范围是（ ） A ．0°＜∠A ≤30° B ．30°＜∠A ≤45° C ．45°<∠A<60° D ．60°＜∠A ＜90°二、填空题11．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos∠AOB 的值等于______12．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上，则AOB ∠的正切值是______．13．两块全等的等腰直角三角形如图放置，90,A DE ∠=︒交AB 于点P ，E 在斜边BC 上移动，斜边EF 交AC 于点Q ，32,10BP BC ==，当BPE 是等腰三角形时，则AQ 的长为___________．14．如图，平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴正半轴上，5BC =，4sin 5CBA ∠=，一次函数4y x =-的图象经过点A 、C ，反比例函数ky x=的图象经过点D ，则k =________．15．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝8，∠B ＝120°，点O 是对角线AC 的中点，OE ∠CD 于点E ，则OE 的长为 __．16．如图，在∠ABC 中，AB =4，BC =7，∠B =60°，点D 在边BC 上，CD =3，联结AD ．如果将∠ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为____．17．如图，在矩形ABCD 中，10BC =，30ABD ∠=︒，若点M 、N 分别是线段DB 、AB 上的两个动点，则AM MN +的最小值为___________________．18．如图，已知线段4AB =，O 是AB 的中点，直线l 经过点O ，160∠=，P 点是直线l 上一点，当APB ∆为直角三角形时，则BP =_____．三、解答题19．计算：(1) 3tan30tan 452sin30︒+︒+︒； (2) 2cos 30tan 30sin 60245︒︒︒︒+⨯． 20．计算 (1) 013131(2007)()3tan 3084π-+---︒(2) 2cos 6045tan 30cos30︒+︒+︒⋅︒．21．计算与化简题(1) 计算：11351220224sin 603-⎛⎫-⨯++︒ ⎪⎝⎭(2) 先化简，再求代数式21691224a a a a -+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭的值，其中4cos303tan 45a =︒+︒．22．如图，已知等边三角形ABC 的边长为6cm ，点P 从点A 出发，沿A →C →B 的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为t，请解决下列问题：(1)若点P在边AC上，当t为何值时，APQ为直角三角形？(2)是否存在这样的t值，使APQ的面积为3 2 ？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．23．四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是对角线BD上的一个动点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转120°得到线段AF，连接EF，DF．（1）如图1，求∠BDF的度数；（2）如图2，当DB＝3DF时，连接EC，求证：四边形FECD是矩形；（3）若G为DF中点，连接EG，当线段BD与DF满足怎样的数量关系时，四边形AEGF 是菱形，并说明理由．24．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将∠BCD沿直线BD翻折得到∠BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；参考答案1．A【分析】根据直角三角形中45°角的正切值计算并判断即可．解：tan45°＝1，故选：A ．【点拨】本题考查直角三角形中45°角的正切值，能够牢记直角三角形中特殊度数的角的正切值，正弦值，余弦值是解决此类题型的关键．2．A【分析】根据特殊角的三角函数值解答． 解：A 、cos30︒3B 、tan30︒3C 、cos45︒＝22，不符合题意； D 、sin30︒＝12，不符合题意；故选A ．【点拨】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键．3．C【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y 轴对称的坐标即可． 解：∠sin60°3cos30°3∠33y 轴对称的点的坐标是（33．故选：C ．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．4．A【分析】根据3tan 30︒=9030α︒-=︒即可求解． 解：∠()3tan 903α︒-=，α为锐角，∠9030α︒-=︒， ∠60α=︒， 故选：A ．【点拨】本题考查根据特殊角三角函数值求角的度数，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．5．B【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案． 解：∠∠C =90°，AB 2BC =1，∠sin A =22BC AB = ∠∠A =45°． 故选：B ．【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 6．B【分析】根据()sin15sin 4530sin45cos30cos45sin30︒=︒-︒=︒︒-︒︒，代入特殊三角函数值计算即可．解：()sin15sin 4530︒=︒-︒sin45cos30cos45sin30=︒︒-︒︒23212=62-=故选：B ．【点拨】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，灵活运用公式把一般角转化为特殊角的和或者差是解题的关键．7．A333,cos A B ==，从而得到60,30A B ∠=︒∠=︒，即可求解．解：解∠∠)23A 32cos B 30-+=，330,2cos 30A B -==，333,cos A B =， ∠60,30A B ∠=︒∠=︒， ∠∠C =90°，∠ABC 是含有60°直角三角形． 故选：A【点拨】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，绝对值和平方的非负性，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．8．B【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答． 2x 0（x ≠0）=1，3cos30°382382，x 0=1， 所以，有理数的个数是2， 故选：B ．【点拨】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．9．B【分析】过D 点作DG ∠AC 于G 点，通过DF ∠AB ，DE ∠DF ，可得AB ED ∥，进而有∠BAD =∠ADE ，∠DAE =∠ADE =15°，即可得AE =DE =8，易证得AFD AGD ≅△△，即可求解DF =DG =4．解：过D 点作DG ∠AC 于G 点，如图，∠AD 平分∠BAC ，∠BAC =30°， ∠∠BAD =∠CAD =15°， 又∠DF ∠AB ，DE ∠DF ，∠AB ED ∥，∠AFD =∠AGD =90°， ∠∠BAD =∠ADE ， ∠∠DAE =∠ADE =15°， ∠∠AED 是等腰三角形，∠AE=DE=8，∠DEC=∠EDA+∠EAD=30°，在Rt∠DEG中，有1sin sin302 DGDEGDE=∠==，∠DG=4，∠∠AFD=∠AGD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠AFD AGD≅△△，∠DF=DG=4，故选：B．【点拨】本题考查了角平分线的性质、平行的相关的性质、等腰三角形的判定和性质以及特殊角的三角函数等知识，利用角平分线的性质是解答本题的关键．10．C【分析】分别求出60°和45°角的余弦值，由此得到答案．解：∠cos60°＝12，cos45°2，且1322∠45°＜∠A＜60°．故选C．【点拨】此题考查了角度的余弦公式，余弦值随着角度的增大而减小的性质，熟记公式是解题的关键．11．1 2解：∠OA=OB=AB，∠∠ABC是等边三角形，∠∠AOB=60°，∠cos∠AOB=cos60°=12．故答案是：12．12．1【分析】连接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的长，判断△ABO是等腰直角三角形，即可求得答案．解：连接AB，由勾股定理得：AB 221310+AO 221310+OB 222425+= ∠AB ＝AO ，(22222101020OA AB OB +=+==，∠△ABO 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，∠tan tan 451AOB ∠︒=＝，故答案为：1．【点拨】此题考查了勾股定理在网格中的应用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．13．8210322【分析】解答时，分BE =PE ，PB =PE 和BP =BE 三种情况求解即可．解：当BE =PE 时，∠∠B =∠C =∠DEF =∠DFE =45°，∠∠BPE =45°，∠BEP =90°，∠QEC =45°，∠EQC =90°，∠PE =BE =BPsin 45°=232，EQ =CQ =ECsin 45°=272(103)- ∠ BC =10，∠AC =BCsin 45°=210=52 ∠AQ =AC -QC =723252= 当PB =PE 时， 根据前面计算，得到BH =PH =3，∠BH =HE =3，∠∠B =∠C =∠DEF =∠DFE =45°，∠∠EQC =45°，∠CEQ =90°，EC =EQ =BC -BE =10-6=4，∠CQ =4=42sin 452CQ =， ∠ BC =10，∠AC =BCsin 45°=210=52 ∠AQ =AC -QC =52422当BP =BE 时，∠∠B =∠C =∠DEF =∠DFE =45°，∠∠BPE =∠BEP =∠QEC =∠EQC ，∠PE =BE =32EQ =CQ =BC -BE =(1032)-，∠ BC =10，∠AC =BCsin 45°=210=522⨯ ∠AQ =AC -QC =52(1032)8210-=，综上所述AQ 的长为8210232， 故答案为：8210232【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握等腰直角三角形的性质和准确进行等腰三角形的等腰分类，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．14．4【分析】根据平行四边形的性质、三角函数值，结合一次函数求出D 的坐标即可求解； 解：如图，过点D 作DE ∠AB将y =0代入y =x -4中记得x =4∠A (4，0)在平行四边形ABCD 中，∠∠OAD =∠CBA∠4sin 5DE OAD AD ∠== ∠AD =BC =5∠DE =4，AE =3∠OE =OA -AE =4-3=1∠D （1，4）∠144k x y =⋅=⨯=故答案为：4【点拨】本题主要考查反比例函数、平行四边形、三角函数值、一次函数，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．15．23【分析】连接OB ，由菱形的性质得BC ＝AB ＝8，BO ∠AC ，再由等腰三角形的性质得∠ACB ＝∠ACD ＝30°，然后由锐角三角函数定义求出OC ＝3最后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．解：连接OB，如图所示：∠四边形ABCD为菱形，点O是对角线AC的中点，∠BC＝AB＝8，BO∠AC，∠∠ACB＝∠ACD12=（180°﹣120°）＝30°，在Rt∠BOC中，OC＝cos30°•BC3=8＝3∠OE∠CD，∠∠CEO＝90°，在Rt∠COE中，OE12=OC12=⨯33故答案为：3【点拨】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义以及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．1633【分析】过E点作EH∠BC于H，证明∠ABD是等边三角形，进而求得∠ADC=120°，再由折叠得到∠ADE=∠ADC=120°，进而求出∠HDE=60°，最后在Rt∠HED中使用三角函数即可求出HE的长．解：如图，过点E作EH∠BC于H，∠BC=7，CD=3，∠BD=BC-CD=4，∠AB=4=BD，∠B=60°，∠∠ABD是等边三角形，∠∠ADB =60°，∠∠ADC =∠ADE =120°，∠∠EDH =60°，∠EH ∠BC ，∠∠EHD =90°．∠DE =DC =3，∠EH =DE 333 ∠E 到直线BD 33 33 【点拨】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出∠ADE=∠ADC=120°，另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，对应的角相等．17．15【分析】如图，过A 作AG BD ⊥于G ，延长AG ，使AG EG =，过E 作EN AB ⊥于N ，交BD 于M ，则AM MN EN +=最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解EN 即可得到答案．解：如图，过A 作AG BD ⊥于G ，延长AG ，使AG EG =，过E 作EN AB ⊥于N ，交BD 于M ，则AM MN EN +=最短，四边形ABCD 为矩形，10BC =，30ABD ∠=︒，10,20,cos303,AD BD AB BD ∴===•︒= ,AG BD AD AB •=•2010103,AG ∴=⨯53,2103,AG AE AG ∴===,,,AE BD EN AB EMG BMN ⊥⊥∠=∠30,E ABD ∴∠=∠=︒3cos3010315,EN AE ∴=•︒== 15,AM MN ∴+=即AM MN +的最小值为15.故答案为：15.【点拨】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的最小值问题，解题的关键是掌握以上知识． 18．2或2327【分析】分90APB ∠=、90PAB ∠=、90PBA ∠=三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．解：如图：∠2AO OB ==，160∠=∠当2BP =时，90APB ∠=，当90PAB ∠=时，∠60AOP ∠=，∠tan 23AP OA AOP =⋅∠=， ∠2227BP AB AP +=当90PBA ∠=时，∠60AOP ∠=，∠tan 123BP OB =⋅∠=故答案为2或2327【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．19．3 2 (2)14【分析】（1）根据特殊角的三角函数值解决此题．（2）根据特殊角的三角函数值及二次根式的乘法进行计算即可解决此题．（1）解：原式＝331+212⨯ 3=1+13=2； （2）解：原式＝23⎝⎭33223142=+-1 14=． 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．20．(1)2-；(2)32【分析】（1）先化简绝对值、计算零指数幂与负整数指数幂、特殊角的正切值、立方根，再计算二次根式的乘法与加减法即可得；（2）先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得．（1） 解：原式3311432=+-- 323=2=-．（2） 解：原式122332=111222=++ 32=． 【点睛】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算、二次根式的乘法与加减法、零指数幂与负整数指数幂等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．21．(1)3-(2)23a -3【分析】（1）根据负整数指数幂，胡加绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值，进行计算求解即可；（2）先去括号，把除法变为乘法把分式化简，再把数代入求值．(1) 解：原式＝3335314-⨯+-+951=-++ 3=-；(2)21691224a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭()()2222123a a a a ---=⨯-- ()()222323a a a a --=⨯-- 23a =-； 4cos303tan 45a =︒+︒3431=⨯ 33=； 原式323333==+-． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．22．(1)1.2s 或3s ； (2)存在，(35)s 或4s【分析】（1）当APQ 为直角三角形时，∠A =60度，所以可能只有∠APQ =90°或∠AQP =90°，当∠APQ =90°时，∠AQP =30°，AP =12AQ ，求出t =1.2秒；当∠AQP =90°时，∠APQ =30°，AQ =12AP ，求得t =3秒；（2）当点P 在AC 上时，边AQ =6-t ，算出AQ 上的高PD 3t ，即可写出12（6-t ）3t =23t =35P 在BC 上时，算出AQ 边上的高PF )36t -，即可写出12（6-t ）)36t -=23t =4． （1）解：∠∠ABC 是等边三角形，∠AB =BC =CA =6，∠A =∠B =∠C =60°，当点P 在边AC 上时，由题意知，AP =2t ，AQ =6-t ，当∠APQ =90°时，AP =12AQ ，即2t =12（6-t ），解得t =1.2，当∠AQP =90°时，AQ =12AP ，即6-t =12×2t ，解得t =3，所以，点P 在边AC 上，当t 为1.2s 或3s 时，∠APQ 为直角三角形；（2）存在∠当点P 在边AC 上时，此时0≤t ≤3，过点P 作PD ∠AB 于点D ，在Rt∠APD 中，∠A =60°，AP =2t ， ∠sin A =PD AP ，即sin60°=2PD t 3 ∠PD 3t ，S △APQ =12AQ ●PD =12（6-t ）3t ，由12（6-t ）3t =23135t =，235t =∠当点P 在边BC 上时，此时3≤t ≤6，如图，过点P 作PF ∠AB 于点F ，在Rt∠BPF 中，∠B =60°，BP =12-2t ， ∠sin B =PF BP，即sin60°=122PF t -3 ∠PF )36t -，S △APQ =12AQ ●PF =12（6-t ）)36t -， 由12（6-t ）)36t -=3()1248t t ==，不合题意，舍去因此，当t 为(35s 或4s 时，∠APQ 的面积为3【点睛】本题主要考查了直角三角形的存在性和三角形的面积的存在性，解决问题的关键是熟练掌握直角三角形的直角三个角都有可能，要分类讨论；面积是同一个值的三角形不可能只有一个，全面考虑，分类讨论．23．（1）60︒；（2）证明见解析；（3）32BD DF =，理由见解析 【分析】（1）先证明,BAE DAF ≌可得,ABE ADF ∠=∠再证明30,30,ABE ADB 从而可得答案；（2） 先证明2,DEDF 再证明90,EFD FDC ∠=∠=︒90,FEC ∠=︒ 从而可得结论； （3）先证明2,DF DE 结合,BE DF = 可得3,BD DE 从而可得答案.【详解】解（1） 四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，120BAD ∴∠=︒,由旋转可得：120,,EAF AE AF120,BAD EAF ,,BADBAE EAD EAF EAD DAF ,BAE DAF又∠四边形ABCD 是菱形，,AB AD ∴=,BAE DAF ≌,ABE ADF ∴∠=∠又∠四边形ABCD 是菱形，60,ABC ∠=︒30,30,ABE ADBBDC30,ADF ∴∠=︒ 60.BDF ADB ADF （2）由（1）可得：60,BDF30,CDB90,CDF ∴∠=︒由（1）可得：,BAE DAF ≌,BE DF ∴= 33,DB DF BE DE BE2,DE DF60,30,BDF BDC 90,FDC ∴∠=︒1cos cos60,2EDF ∠=︒= 1cos ,2DF EDF DE ∴∠== EDF ∴是直角三角形，90,EFD180906030,FED ∴∠=︒-︒-︒=︒120,,EAF AE AF ∠=︒=30,AEF AFE ∴∠=∠=︒60,AED ∴∠=︒由菱形的对称性可得：60,DEC DEA ∠=∠=︒306090,FEC ∴∠=︒+︒=︒ 而90,EFD FDC ∠=∠=︒∴ 四边形ABCD 为矩形.（3）3,2BD DF 理由如下：如图，四边形AEGF 是菱形，120,EAF ∠=︒1120,302EGF EAF FEG GFE AEG 60,BDF 90,FED2,DF DE,BE DF =2,BE DE3,BD DE 3,2BD DF3.2BD DF 【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，锐角三角函数的应用，灵活的应用以上知识解题是解题的关键.24．（1）y =x 2﹣2x ﹣3；（2）点C ′的坐标为（1，3，点D 的坐标为（123） 【分析】（1）根据抛物线2y ax bx c =++经过点(2,5)A -，与x 轴相交于(1,0)B -，(3,0)C 两点，利用待定系数法求得该抛物线的解析式即可；（2）先确定二次函数对称轴，BC 长度，根据题意和翻折的性质，得到B C′长度，利用三角函数求出∠C′BC ，再根据角平分线求出∠DBC ，解直角三角形可以求得点C '和点D 的坐标，本题得以解决．【详解】解：（1）∠抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣2，5），与x 轴相交于B （﹣1，0），C （3，0）两点，∠4250930a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，即抛物线的函数表达式是y =x 2﹣2x ﹣3；（2）∠与x 轴相交于B （﹣1，0），C （3，0）两点，∠BC =3﹣（﹣1）=3+1=4，该抛物线的对称轴是直线x =132-+=1， 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ，则点H 的坐标为（1，0），∠BH =2，∠将∠BCD 沿直线BD 翻折得到∠BC ′D ，点C ′恰好落在抛物线的对称轴上，∠BC =BC ′=4，∠C ′HB =90°，∠C ′BD =∠DBC ，∠OC 2242-3cos∠C ′BH ='BH BC =24=12， ∠C ′的坐标为（1，3，∠C ′BH =60°，∠∠DBC =30°，∠BH =2，∠DBH =30°，∠OD =BH 323 ∠点D 的坐标为（123）， 由上可得，点C ′的坐标为（1，3，点D 的坐标为（123）．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，图形翻折变化、二次函数的性质、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．。

九年级数学下册7.3特殊角的三角函数同步练习（共2套苏科版）第7章锐角三角函数3 特殊角的三角函数知识点1 特殊角的三角函数值．XX?天津cos30°的值等于A.22B.32c．1D.3．tan45°的值为A.12B．1c.22D.2．计算6tan45°－2cos60°的结果是A．43B．4c．53D．5．已知△ABc是等边三角形，则cos2A的值为A.12B.32c.14D.34．XX?天水在正方形网格中，△ABc的位置如图7－3－1所示，则cosB的值为图7－3－1A.12B.22c.32D.33．计算：sin260°＋cos60°－tan45°＝________．．在Rt△ABc中，∠c＝90°，若∠B＝2∠A，则cosB的值等于________．题变式计算：1．教材习题第＋0＋－1－2cos45°；sin260°＋cos260°－tan45°；cos60°－tan45°＋sin60°tan30°＋cos30°.知识点2 由特殊角的三角函数值求角度．在Rt△ABc中，∠c＝90°，∠A，∠B所对的边分别为a，b，且a＝1，b＝3，则∠A＝A．30°B．45°c．60°D．90°0．已知α为锐角，tan＝3，则α等于A．30°B．45°c．55°D．60°1．XX?杭州三模已知∠c＝75°，则锐角∠A与∠B满足以下哪个选项才能构成△ABcA．sinA＝22，sinB＝22B．cosA＝12，cosB＝32c．sinA＝22，tanB＝3D．sinA＝32，cosB＝12．若∠A是锐角，且sinA＝34，则A．0°<∠A<30°B．30°<∠A<45°c．45°<∠A<60°D．60°<∠A<90°3．在△ABc中，若锐角∠A，∠B满足|cosA－12|＋2＝0，则∠c＝________°.．教材例2变式求满足下列条件的锐角α的度数：tanα－1＝0；0.＝1－cos．在锐角三角形ABc中，若sinA＝22，∠B＝75°，求cosc 的值．．已知α为锐角，当21－tanα无意义时，求tan－cos的值．17．在△ABc中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝12，tanB ＝3，AB＝10，求△ABc的面积．18．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等．于是，小陆同学提出一个问题：如图7－3－2，将一副三角尺的直角顶点重合，拼放在一起，点B，c，E在同一直线上，若Bc ＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．图7－3－2．XX?临沂如图7－3－3，有一个三角形的钢架ABc，∠A ＝30°，∠c＝45°，Ac＝2.请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1的圆形门．图7－3－320．对于钝角α，定义它的三角函数值如下： sinα＝sin，cosα＝－cos．求sin120°，cos120°，sin150°的值；若一个三角形的三个内角的度数之比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是关于x的一元二次方程4x2－x－1＝0的两个不相等的实数根，求的值及∠A和∠B的大小．第7章锐角三角函数3 特殊角的三角函数．B．B．D [解析]原式＝6×1－2×12＝5.．c [解析]由△ABc是等边三角形，得∠A＝60°，则cos2A＝cos260＝2＝14.故选c.．B [解析]过点A作AD⊥Bc于点D，通过网格容易看出△ABD为等腰直角三角形，故cosB＝cos45°＝22，故选B.14 [解析]原式＝2＋12－1＝34＋12－1＝14.12．解：原式＝2＋1＋2－2＝3.sin260°＋cos260°－tan45°＝1－1＝0.cos60°－tan45°＋sin60°tan30°＋cos30°＝12－1＋3233＋32＝32－12536＝3－35.．A [解析]如图所示，∵在Rt△ABc中，∠c＝90°，a＝1，b＝3，∴tanA＝ab＝33，∴∠A＝30°，故选A.0．B [解析]∵tan＝3，∴α＋15°＝60°，B.故选.°45＝α∴1．c [解析]∵∠c＝75°，∴∠A＋∠B＝180°－75°＝105°.A项，sinA＝22，sinB＝22，则∠A＝45°，∠B＝45°，∠A＋∠B＝90°，故此选项错误；B项，cosA＝12，cosB＝32，则∠A＝60°，∠B＝30°，∠A＋∠B＝90°，故此选项错误；c项，sinA＝22，tanB＝3，则∠A＝45°，∠B＝60°，∠A＋∠B＝105°，故此选项正确；D项，sinA＝32，cosB ＝12，则∠A＝60°，∠B＝60°，∠A＋∠B＝120°，故此选项错误．故选c.．c [解析]∵sin30°＝12，sin45°＝22，sin60°＝32，sinA＝34，22＜34＜32，∴45°<∠A<60°.故选c.3．75 [解析]∵cosA－12＋2＝0，∴cosA－12＝0，sinB－22＝0，∴cosA＝12，sinB＝22.∵∠A，∠B为锐角，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠c＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－45°＝75°.．解：由已知，得tanα＝1，所以α的度数为45°.由已知，得cos＝12.又因为α为锐角，所以α＋10°＝60°，所以α＝50°.．解：∵sinA＝22，∠A为锐角，∴∠A＝45°.又∵∠B＝75°，∴∠c＝180°－∠A－∠B＝60°，∴cosc＝cos60°＝12.．解：由题意，得1－tanα＝0，∴α＝45°，∴tan－cos＝tan60°－cos30°＝3－32＝32.．[解析]根据已知得该三角形为直角三角形，利用三角函数公式求出各边的长，再利用三角形的面积公式求解．解：如图，在△ABc中，∵∠A，∠B都是锐角，sinA＝12，tanB＝3，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠c＝90°.∵sinA＝ac＝12，tanB＝ba＝3，c＝AB＝10，∴a＝12c＝5，b＝3a＝53，∴S△ABc＝12ab＝12×5×53＝2532.．解：∵在Rt△ABc中，Bc＝2，∠A＝30°，∴Ac＝BctanA＝23，∴EF＝Ac＝23.∵∠E＝45°，∴Fc＝EF?sinE＝6，∴AF＝Ac－Fc＝23－6.D.，垂足为Ac⊥BD作B．解：过点在Rt△ABD中，∠ABD＝90°－∠A＝60°，则AD＝tan∠ABD?BD＝3BD；在Rt△BcD中，∠c＝45°，∴cD＝BD，∴Ac ＝AD＋cD＝3BD＋BD＝BD＝2，解得BD＝2＜2.1，故工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1的圆形门．0．解：由题意得sin120°＝sin＝sin60°＝32；cos120°＝－cos＝－cos60°＝－12；sin150°＝sin＝sin30°＝12.∵三角形的三个内角的度数之比是1∶1∶4，∴三个内角的度数分别为30°，30°，120°.①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根分别为12，－12.将x＝12代入方程，得×2－×12－1＝0，解得＝0，此时方程为4x2－1＝0.经检验，－12是方程4x2－1＝0的根，∴＝0符合题意．②当∠A＝120°，∠B＝30°时，方程的两根分别为32，32，不符合题意．③当∠A＝30°，∠B＝30°时，方程的两根分别为12，32，将x＝12代入方程，得4×2－×12－1＝0，解得＝0，此时方程为4x2－1＝0.经检验，32不是方程4x2－1＝0的根，不符合题意．.°120＝B°，∠30＝A，∠0综上所述，＝。

苏科新版九年级下学期《7.3 特殊角的三角函数》同步练习卷一．解答题（共40小题）1．计算（1）2sin30°﹣tan60°+tan45°；（2）tan245°+sin230°﹣3cos230°2．计算：tan60°﹣cos45°•sin45°+sin30°．3．计算：2cos60°+4sin60°•tan30°﹣cos45°4．3sin60°﹣2cos30°+tan60°•cot45°5．计算：tan45°﹣3cot60°+2cos30°+2sin30°．6．计算：6tan30°﹣2sin60°+cos245°．7．计算：﹣sin30°（cos45°﹣sin60°）8．计算：+9．计算.2cos60°+4sin60°•tan30°﹣cos245°10．计算tan60°﹣+111．计算：（）﹣1﹣2tan45°+4sin60°﹣12．计算：cos30°+sin60°﹣（tan45°﹣1）201813．计算：﹣﹣tan45°14．求下列各式的值：（1）2sin30°﹣3cos60°（2）16cos245°﹣．15．计算：cos245°﹣4sin30°tan45°．16．计算：sin60°×tan30°﹣cos245°．17．计算：2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．18．计算：2sin30°+4cos30°•tan60°﹣cos245°19．计算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣|﹣|．20．计算：（sin30°）﹣1+﹣tan45°．21．计算：sin30°+3tan60°﹣cos245°．22．求值：cos245°﹣sin30°tan60°+sin60°23．计算：sin245°+cos30°•tan60°24．计算：sin30°•tan60°+．25．计算：2sin30°﹣tan60°+cos60°﹣tan45°．26．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．27．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．28．计算：cos30°•tan60°﹣4sin30°+tan45°．29．计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．30．计算：﹣cos30°．31．计算：﹣3sin60°+2cos45°．32．计算：2cos230°+﹣sin60°．33．计算：．34．计算：﹣2tan45°﹣cos30°+4sin30°．35．计算：sin30°﹣2cos230°+（﹣tan45°）2018．36．计算：．37．计算：cot30°﹣sin60°+．38．计算：45°．39．计算：．40．计算：﹣sin45°•tan45°苏科新版九年级下学期《7.3 特殊角的三角函数》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．计算（1）2sin30°﹣tan60°+tan45°；（2）tan245°+sin230°﹣3cos230°【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：（1）2sin30°﹣tan60°+tan45°＝2×﹣+1＝2﹣；（2）tan245°+sin230°﹣3cos230°＝×12+（）2﹣3×（）2＝+﹣＝﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．2．计算：tan60°﹣cos45°•sin45°+sin30°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式＝﹣×+＝．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．3．计算：2cos60°+4sin60°•tan30°﹣cos45°【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：2cos60°+4sin60°•tan30°﹣cos45°＝2×+4××﹣＝1+2﹣＝3﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．4．3sin60°﹣2cos30°+tan60°•cot45°【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式＝3×﹣2×+×1＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．5．计算：tan45°﹣3cot60°+2cos30°+2sin30°．【分析】直接例题特殊角的三角函数值分别代入求出答案．【解答】解：tan45°﹣3cot60°+2cos30°+2sin30°＝1﹣3×+2×+1＝1﹣++1＝2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．6．计算：6tan30°﹣2sin60°+cos245°．【分析】先求出每一部分的值，再代入求出即可．【解答】解：6tan30°﹣2sin60°+cos245°＝6×﹣2×+（）2＝2﹣+＝+．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键．7．计算：﹣sin30°（cos45°﹣sin60°）【分析】依据30°、45°、60°角的各种三角函数值，即可得到计算结果．【解答】解：原式＝﹣（﹣）＝﹣＝＝【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，其应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．8．计算：+【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式＝+＝（1﹣）×+＝﹣+＝+．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．9．计算.2cos60°+4sin60°•tan30°﹣cos245°【分析】直接把特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式＝2×+4××﹣（）2＝1+2﹣＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．10．计算tan60°﹣+1【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式＝﹣+1＝﹣+1＝．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．11．计算：（）﹣1﹣2tan45°+4sin60°﹣【分析】根据特殊角的三角函数值和负整数指数的意义进行计算．【解答】解：原式＝2﹣2×1+4×﹣2＝2﹣2+2﹣2＝0．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：熟练掌握特殊角的三角函数值．12．计算：cos30°+sin60°﹣（tan45°﹣1）2018【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式＝+﹣（1﹣1）2018＝．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．13．计算：﹣﹣tan45°【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式＝﹣（﹣1）﹣1＝﹣﹣+1﹣1＝﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．14．求下列各式的值：（1）2sin30°﹣3cos60°（2）16cos245°﹣．【分析】（1）直接把特殊角的三角函数值代入求出答案；（2）直接把特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：（1）2sin30°﹣3cos60°＝2×﹣3×＝1﹣＝﹣；（2）16cos245°﹣tan260°＝16×（）2﹣×（）2＝8﹣＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．15．计算：cos245°﹣4sin30°tan45°．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算即可．【解答】解：原式＝（）2﹣4××1＝﹣2＝﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．16．计算：sin60°×tan30°﹣cos245°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：sin60°×tan30°﹣cos245°＝×﹣（）2＝﹣＝0．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．17．计算：2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．【分析】直接利用把特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：2sin30°+3cos60°﹣4tan45°＝2×+3×﹣4×1＝﹣1.5．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18．计算：2sin30°+4cos30°•tan60°﹣cos245°【分析】根据30°、45°、60°角的三角函数值进行计算即可得解．【解答】解：2sin30°+4cos30°•tan60°﹣cos245°，＝2×+4××﹣（）2，＝1+6﹣，＝6.5．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．19．计算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣|﹣|．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式＝2×﹣+﹣＝﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．计算：（sin30°）﹣1+﹣tan45°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式＝（）﹣1+﹣1＝2++﹣1＝．【点评】本体考察了特殊角，熟记特殊角三角函数值是解题关键．21．计算：sin30°+3tan60°﹣cos245°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式＝+3×﹣（）2＝+﹣＝．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．22．求值：cos245°﹣sin30°tan60°+sin60°【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式＝×（）2﹣×+×＝﹣+＝．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．23．计算：sin245°+cos30°•tan60°【分析】根据特殊胶，可得答案．【解答】解：sin245°+cos30°•tan60°＝（）2+×＝+＝2．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．24．计算：sin30°•tan60°+．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：sin30°•tan60°+＝×+＝+﹣2＝﹣2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．25．计算：2sin30°﹣tan60°+cos60°﹣tan45°．【分析】根据解特殊角的三角函数值解答．【解答】解：2sin30°﹣tan60°+cos60°﹣tan45°＝＝．【点评】考查了特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．26．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：原式＝2×+（）2﹣＝1+﹣＝﹣．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．27．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：3tan30°+cos245°﹣2sin60°＝＝＝．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．28．计算：cos30°•tan60°﹣4sin30°+tan45°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：原式＝×﹣4×+1＝﹣2+1＝．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．29．计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式＝3×﹣（）2+﹣2×＝﹣+2﹣＝．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．30．计算：﹣cos30°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝2+﹣＝2+．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．31．计算：﹣3sin60°+2cos45°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式＝＝＝．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．32．计算：2cos230°+﹣sin60°．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘方，后算乘法，最后计算加减即可．【解答】解：原式＝2×（）2+﹣，＝+﹣，＝3﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．33．计算：．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝3﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．34．计算：﹣2tan45°﹣cos30°+4sin30°．【分析】将tan60°＝，tan45°＝1，cos30°＝，sin30°＝代入进行计算即可得解．【解答】解：﹣2tan45°﹣cos30°+4sin30°，＝﹣2×1﹣×+4×，＝﹣2﹣+2，＝0．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键．35．计算：sin30°﹣2cos230°+（﹣tan45°）2018．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式＝﹣2×（）2+（﹣1）2018＝﹣+1＝0．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．36．计算：．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式＝＝．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．37．计算：cot30°﹣sin60°+．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝．【点评】此题主要考查了特殊角三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．38．计算：45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣×＝﹣＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．39．计算：．【分析】直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式＝＝＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．40．计算：﹣sin45°•tan45°【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可【解答】解：原式＝﹣×1＝﹣＝3+2﹣＝【点评】本题考查了特殊角的三角函数值及二次根式的化简，牢记特殊角的三角函数值，是解决本题的关键．。

章节测试题1.【答题】计算sin245°+cos30°·tan60°,其结果是（）A.2B.1C.D.【答案】A【分析】主要考查特殊角的三角函数值.熟练记忆和运用特殊教的三角函数值是解题的关键.【解答】原式选A.2.【答题】计算sin30°·cos60°的结果是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可。

【解答】.故本题应选A.3.【答题】cos60°的值为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可。

熟记特殊三角函数值：sin30°=cos60°=，sin60°=cos30°=，sin45°=cos45°=，tan30°=，tan45°=1，tan60°=.【解答】cos60°=.选A.4.【答题】计算sin245°+cos30°·tan60°,其结果是（）A.2B.1C.D.【答案】A【分析】主要考查特殊角的三角函数值.熟练记忆和运用特殊教的三角函数值是解题的关键.【解答】原式选A.5.【答题】在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA＝,则∠A的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【分析】本题考查了特殊角的三角函数.【解答】在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA＝,所以∠A=30°.选A.6.【答题】在△ABC中，∠C＝90°，，那么∠B的度数为（）A.60°B.45°C.30°D.30°或60°【答案】C【分析】根据特殊角的三角函数值可知∠A=60°，再根据直角三角形中两锐角互余求出∠B的值即可.【解答】∵，∴∠A=60°.∵∠C＝90°，∴∠B=90°-60°=30°.7.【答题】在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC 的形状是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可。

[7.3 特殊角的三角函数]一、选择题1．2018·天津cos30°的值等于( ) A.22 B.32C ．1 D. 3 2．计算sin 245°＋cos30°·tan60°，其结果是( ) A ．2 B ．1 C.52 D.543．若tan(α＋10°)＝3，则锐角α的度数是( )A ．20°B ．30°C ．35°D ．50° 4．已知∠B ＝40°，则( ) A ．0<cos B <22 B.22<cos B <32C.32<cos B <1 D.12<cos B <22 5．点M (－sin60°，cos60°)关于x 轴对称的点的坐标为链接听课例1归纳总结( ) A ．(32，12) B ．(－32，－12) C ．(－32，12) D ．(－12，－32) 6．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，BC ＝3＋1，则△ABC 的面积为( ) A.6＋22 B.3＋32C.3＋ 2D.3＋1 二、填空题7．计算：sin30°·cos30°－tan30°＝________．(结果保留根号)链接听课例1归纳总结8．2017·烟台在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则sin A2＝________．9．如图K －28－1，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于________．图K －28－110．在△ABC 中，∠A ，∠B 为锐角，且(2cos A －1)2＋|3－tan B |＝0，则△ABC 是________三角形．11．如图K －28－2，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A ＝70°，∠C ＝50°，那么sin ∠AEB 的值为________．图K －28－212．2017·随州如图K －28－3，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，P 是OA 上的一动点，N (3，0)是OB 上的一定点，M 是ON 的中点，∠AOB ＝30°，要使PM ＋PN 的值最小，则点P 的坐标为________．图K －28－3三、解答题 13．计算：(1)2sin30°＋3tan30°＋tan45°；(2)cos 245°＋tan60°cos30°；(3)cos 245°＋sin 245°；(4)2tan60°－2tan45°－43cos30°＋4sin30°.链接听课例1归纳总结14．如图K －28－4，已知在△ABC 中，∠C ＝90°，且sin A ＝32，BC ＝1.5，求AC 的长．图K －28－415．2016·丽水数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图K －28－5，将一副三角尺的直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．图K －28－516．如图K －28－6，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的点，AD ＝BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，求AG AF的值．图K －28－6.如图K －28－7，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A 处测得灯塔C 在北偏西30°方向上，轮船航行2小时后到达B 处，在B 处测得灯塔C 在北偏西60°方向上．当轮船到达灯塔C 的正东方向的D 处时，求此时轮船与灯塔C 的距离．(结果保留根号)图K－28－7阅读理解请耐心阅读，然后解答后面的问题：上周末，小明在书城随手翻阅一本高中数学参考书时，无意中看到了几个等式：sin51°cos12°＋cos51°sin12°＝sin63°，sin25°cos76°＋cos25°sin76°＝sin101°.一个猜想出现在他脑海里，回家后他马上用科学计算器进行验证，发现自己的猜想成立，并能推广到一般．其实这是大家将在高中学的一个三角函数知识．你是否和小明一样也有想法了？下面考考你，看你悟到了什么：(1)根据你的猜想填空：sin37°cos48°＋cos37°sin48°＝________，sinαcosβ＋cosαsinβ＝____________；(2)尽管75°角不是特殊角，请你用发现的规律巧算出sin75°的值．详解详析[课堂达标] 1．B2．[解析] A sin 245°＋cos 30°·tan 60°＝(22)2＋32×3＝12＋32＝2，故选A . 3．[解析] D ∵tan 60°＝3，∴α＋10°＝60°，∴α＝50°.4．[解析] B ∵cos 30°＝32，cos 45°＝22，cos 45°＜cos 40°＜cos 30°，∴22＜cos B ＜32. 5．[解析] B ∵sin 60°＝32，cos 60°＝ 12，∴点M 的坐标为(－32，12)．∵点(m ，n)关于x 轴对称的点的坐标为(m ，－n)，∴点M 关于x 轴对称的点的坐标为(－32，－12)．故选B .6．[解析] B 如图，过点A 作AH ⊥BC 于点H.设AH ＝x ，根据题意，可得tan 45°＝AH BH ＝1，∴BH ＝x ；tan 60°＝AH HC ＝3，∴HC ＝33x ，∴x ＋33x ＝3＋1，解得x ＝3，∴S △ABC ＝12×(3＋1)×3＝3＋32. 7．[答案] －312[解析] 原式＝12×32－33＝34－33＝－312.8．[答案] 12[解析] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2， BC ＝3， ∴sin A ＝32，∴∠A ＝60°，∴sin A 2＝12. 9．[答案] 12[解析] 连接AB ，通过画图可以知道OA ＝OB ＝AB ，所以△OAB 是等边三角形，所以∠AOB ＝60°，所以cos ∠AOB ＝12.10．[答案] 等边[解析] ∵(2cos A －1)2＋│3－tan B │＝0，∴2cos A －1＝0，3－tan B ＝0，∴2cos A ＝1，从而cos A ＝12，∴∠A ＝60°.由3－tan B ＝0，得tan B ＝3，∴∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形． 11．[答案] 32[解析] ∵∠A ＝70°，∠C ＝50°， ∴∠B ＝∠C ＝50°，∴∠AEB ＝60°， ∴sin ∠AEB ＝32. 12．[答案] (32，32)[解析] 作点N 关于OA 的对称点N′，连接MN′交OA 于点P ，则点P 即为所求．显然ON ＝ON′，∠NON ′＝2∠AOB ＝2×30°＝60°，∴△ONN ′为等边三角形，MN ′⊥ON.∵OM ＝32，则PM ＝OM·tan 30°＝32×33＝32，∴点P 的坐标为(32，32)． 13．(1)2＋ 3 (2)2 (3)1 (4)0 14．解：∵∠C ＝90°，且sin A ＝32， ∴∠A ＝60°， ∴tan A ＝BCAC ＝3，∴1.5AC＝3， 解得AC ＝32. 15．解：在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°， ∴AC ＝BCtan A＝2 3，则EF ＝AC ＝2 3.在Rt △EFC 中，∠E ＝45°，∴FC ＝EF·sin E ＝6， ∴AF ＝AC －FC ＝2 3－ 6. 16．解：在△CAD 与△ABE 中，∵AC ＝BA ，∠CAD ＝∠ABE ＝60°，AD ＝BE ， ∴△CAD ≌△ABE ， ∴∠ACD ＝∠BAE.∵∠BAE ＋∠CAE ＝60°， ∴∠ACD ＋∠CAE ＝60°，∴∠AFG ＝∠ACD ＋∠CAE ＝60°. 在Rt △AFG 中， ∵sin ∠AFG ＝AGAF，∴AG AF ＝32. 17．解：由题意得∠CAB ＝30°，∠CBD ＝60°， ∴∠ACB ＝30°， ∴∠ACB ＝∠CAB ，∴BC ＝AB ＝20×2＝40(海里)． ∵∠CDB ＝90°， ∴sin ∠CBD ＝CDBC ，即sin 60°＝CDBC ，∴CD ＝BC·sin 60°＝40×32＝20 3(海里)， ∴此时轮船与灯塔C 的距离为20 3海里． [素养提升] [解析] (1)根据题意，一个角的正弦与另一个角的余弦的积加上这个角的余弦与另一个角的正弦的积等于这两个角的和的正弦值，进行计算即可；(2)把75°分解成30°＋45°，然后根据两个角和的正弦列式计算即可得解．解：(1)根据题目信息，sin 37°cos 48°＋cos 37°sin 48°＝sin (37°＋48°)＝sin 85°，sin αcos β＋cos αsin β＝sin (α＋β)． 故答案为sin 85°，sin (α＋β)．(2)sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝12×22＋32×22＝2＋64. [点评] 本题考查了特殊角的三角函数值，读懂题目信息，理解两个角的和的正弦值的求解方法是解题的关键．。

7.3特殊的三角函数-苏科版九年级数学下册 培优训练一、选择题1、2 cos 60°的值为( )A. 1B. 3C. 2D. 122、已知α为锐角，且tan (90°－α)＝3，则α的度数为( )A ．30°B ．60°C ．45°D ．75°3、在△ABC 中，若∠A ，∠B 满足⎪⎪⎪⎪sin A －32＋⎝⎛⎭⎫cos B －122＝0，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形4、在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，则∠C 的度数是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5、在Rt △ABC 中，AB ＝4，AC ＝22，∠C ＝90°，则∠A 的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．45°D ．60°6、已知α为锐角，且sin （α﹣10°）=23，则α等于（ ） A ．70° B ．60° C ．50° D ．30° 7、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,若sinA ＝21,则BC ∶AC ∶AB 等于（ ） A.1∶2∶5 B.1∶3∶ 5 C. 1∶3∶ 2 D.1∶2∶38、若∠A ＝41°，则cosA 的大致范围是（ ） A ．0＜cosA ＜1 B.21＜cosA ＜22 C.22＜cosA ＜23 D. 23＜cosA ＜1 9、在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角且tanA ＝1，sinB ＝22，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．一般锐角三角形10、当锐角α>30°时，则cos α的值是( )A ．大于B ．小于C ．大于D ．小于 二、填空题11、计算：tan45°＋2cos45°＝____．12、在△ABC 中，若|sin A －12|＋(cos B －12)2＝0，则∠C 的度数是___ 13、（sin45°－1）2＋|1－tan60°|＝_______14、当锐角α变大时，sin α的值变_____，co s α的值变_______，tan α的值变_______.15、如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC ＝2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为________________m.16、在△ABC 中，若2)33(tan 21sin -+-B A =0，则△ABC 是 三角形． 17、计算：sin30º·cos30º－tan30º＝ （结果保留根号）18、如图，在等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的点，AD ＝BE ，AE 与CD 相交于点F ，AG⊥CD 于点G ，则sin ∠F AG 的值为____ ．123232三、解答题19、计算： (1)3cos 30°－3cos 60°＋2sin 45°. (2)(2016－π)0－2)21( －2si n 60°＋|3－1|.(3)sin 45°tan 60°－cos 30°. (4)sin 230°＋2sin60°＋tan45°－tan60°＋cos 230°；(5)cos30°－sin45°sin60°－cos45°； (6)1－2tan60°＋tan 260°－tan60°.20、如图是引拉线固定电线杆的示意图，已知CD ⊥AB ，CD ＝3 3 m ，∠A ＝∠B ＝60°，求拉线AC 的长．21、如图，在等边三角形ABC 中，D 是BC 边上的一点，延长AD 至点E ，使AE ＝AC ，∠BAE 的平分线交△ABC 的高BF 于点O ，求tan ∠AEO 的值．7.3特殊的三角函数-苏科版九年级数学下册 培优训练（答案）一、选择题1、2 cos 60°的值为(A )A. 1B. 3C. 2D. 122、已知α为锐角，且tan (90°－α)＝3，则α的度数为( A )A ．30°B ．60°C ．45°D ．75°3、在△ABC 中，若∠A ，∠B 满足⎪⎪⎪⎪sin A －32＋⎝⎛⎭⎫cos B －122＝0，则△ABC 是(D ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰非等边三角形 D．等边三角形4、在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，则∠C 的度数是( D ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°【解析】 由题意得sin A ＝12，cos B ＝12，则∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠C ＝90°.故选D.5、在Rt △ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，∠C ＝90°，则∠A 的度数为（ ） A ．30° B ．40° C ．45° D ．60°【解析】在Rt △ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，∴cos A ，则∠A ＝45°． 故选：C ．6、已知α为锐角，且sin （α﹣10°），则α等于（ ） A ．70° B ．60° C ．50° D ．30°【解析】∵sin （α﹣10°），∴α﹣10°＝60°，∴α＝70°．故选：A ． 7、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,若sinA＝21,则BC ∶AC ∶AB 等于（ C ） A.1∶2∶5 B.1∶3∶ 5 C. 1∶3∶ 2 D.1∶2∶38、若∠A ＝41°，则cosA 的大致范围是（ C ） A ．0＜cosA ＜1 B.21＜cosA ＜22 C.22＜cosA ＜23 D. 23＜cosA ＜1 9、在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角且tanA ＝1，sinB ＝22，则△ABC 的形状是（ B ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．一般锐角三角形10、当锐角α>30°时，则cos α的值是( A ．大于 B ．小于 C ．大于 D ．小于 二、填空题11、计算：tan45°＋2cos45°＝__2__．【解析】 tan45°＋2cos45°＝1＋2×22＝1＋1＝2.1212323212、在△ABC 中，若|sin A －12|＋(cos B －12)2＝0，则∠C 的度数是__90°_ 13、（sin45°－1）2＋|1－tan60°|＝___3－22____ 14、当锐角α变大时，sin α的值变_____，co s α的值变_______，tan α的值变_______.答案：增大，减小，增大15、如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC ＝2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为__433______m.16、在△ABC 中，若，则△ABC 是 三角形． 【解析】∵，∴sin A 0，tan B 0，∴sin A ，tan B，∴∠A ＝30°，∠B ＝30°，∴△ABC 是等腰三角形，故答案为：等腰． 17、计算：sin30º·cos30º－tan30º＝ 123- （结果保留根号） 18、如图，在等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的点，AD ＝BE ，AE 与CD 相交于点F ，AG⊥CD 于点G ，则sin ∠F AG 的值为__12__．【解】 在△CAD 与△ABE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CA ＝AB ，∠CAD ＝∠ABE ＝60°，AD ＝BE ，∴△CAD ≌△ABE (SAS )，∴∠ACD ＝∠BAE . ∵∠BAE ＋∠CAE ＝60°，∴∠ACD ＋∠CAE ＝60°，∴∠AFG ＝60°，∴在Rt △AFG 中，∠F AG ＝90°－60°＝30°，∴sin ∠F AG ＝12.三、解答题19、计算：(1)3cos 30°－3cos 60°＋2sin 45°. (2)(2016－π)0－2)21(-－2si n 60°＋|3－1|.(3)sin 45°tan 60°－cos 30°. (4)sin 230°＋2sin60°＋tan45°－tan60°＋cos 230°； (5)cos30°－sin45°sin60°－cos45°； (6)1－2tan60°＋tan 260°－tan60°.【解】 (1)原式＝3×32－3×12＋2×22＝32－32＋1＝1. (2)原式＝1－1⎝⎛⎭⎫122－2×32＋3－1＝1－4－3＋3－1＝－4. (3)原式＝223－32＝2232＝63.(4)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×32＋1－3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝2； (5)原式＝32－2232－22＝1； (6)原式＝|1－tan60°|－tan60°＝3－1－3＝－1.20、如图是引拉线固定电线杆的示意图，已知CD ⊥AB ，CD ＝3 3 m ，∠A ＝∠B ＝60°，求拉线AC 的长．【解】 在Rt △ACD 中，sin A ＝CD AC ， 则AC ＝CD sin A ＝3 332＝6(m)． 21、如图，在等边三角形ABC 中，D 是BC 边上的一点，延长AD 至点E ，使AE ＝AC ，∠BAE 的平分线交△ABC 的高BF 于点O ，求tan ∠AEO 的值． 【解】 ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝60°，AB ＝BC .∵BF ⊥AC ，∴∠ABF ＝12∠ABC ＝30°. ∵AB ＝AC ，AE ＝AC ，∴AB ＝AE .∵AO 平分∠BAE ，∴∠BAO ＝∠EAO .在△BAO 和△EAO 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AE ，∠BAO ＝∠EAO ，AO ＝AO ，∴△BAO ≌△EAO (SAS )，∴∠AEO ＝∠ABO ＝30°，∴tan ∠AEO ＝tan30°＝33.。