[精品]2019学年高中数学课时达标训练八新人教A版选修7

课时达标训练（十九）[即时达标对点练]题组1 面积、体积的最值问题1．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π D.14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π2．用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A ．6 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm 题组2 成本最低(费用最省)问题3．做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( ) A ．6 m B ．8 m C ．4 m D ．2 m4．某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为12x 2万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________．5．甲、乙两地相距400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100 千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/时)的函数是P ＝119 200v 4－1160v 3＋15v ，(1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？并求此时运输成本的最小值． 题组3 利润最大问题6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q 与零售价p 有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入—进货支出)( )A．30 元 B．60 元C．28 000 元 D．23 000 元8．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0，0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________．9．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交4元的管理费，预计当每件产品的售价为x元(8≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x之间的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值．[能力提升综合练]1．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( )A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不对2．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )A.3V B.32V C.34V D．23V3．某厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( )A．32 m，16 m B．30 m，15 mC．40 m，20 m D．36 m，18 m4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－x3900＋400x(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A．150 B．200 C．250 D．3005．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________cm.6．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．7．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P (万件)与每台机器的日产量x (万件)(4≤x ≤12)之间满足关系：P ＝0.1x 2－3.2 ln x ＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y (万元)表示为x 的函数； (2)当每台机器的日产量x (万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？ 8．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 1，l 2所在的直线分别为y ，x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b为常数)模型．(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．答 案 即时达标对点练1. 解析：选A 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ， ∴h ＝l －4r2，V ＝πr 2h ＝12πr 2l －2πr 3⎝⎛⎭⎪⎫0<r <l 4. 则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0，∴r ＝l6是其唯一的极值点．当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.2. 解析：选B 设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积V cm 3.由题意，得V ＝x (48－2x )2(0<x <24)，V ′＝12(x －24)(x －8)，令V ′＝0，得x ＝8或x ＝24(舍去)．当x ∈(0，8)时，V ′>0；当x ∈(8，24)时，V ′<0. ∴当x ＝8时，V 取得最大值．3. 解析： 选C 设底面边长为x m ，高为h m ，则有x 2h ＝256，所以h ＝256x2.所用材料的面积设为S m 2，则有S ＝4x ·h ＋x 2＝4x ·256x 2＋x 2＝256×4x ＋x 2.S ′＝2x －256×4x2，令S ′＝0，得x ＝8，因此h ＝25664＝4(m)．4. 解析：设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝2 000x，总运费与总存储费之和f (x )＝4n ＋12x 2＝8 000x ＋12x 2，令f ′(x )＝x －8 000x2＝0，解得x ＝20.且当0<x <20时f ′(x )<0，当x >20时f ′(x )>0，故x ＝20时，f (x )最小． 答案：205. 解：(1)Q ＝P ·400v＝⎝⎛⎭⎪⎫119 200v 4－1160v 3＋15v ·400v＝⎝⎛⎭⎪⎫119 200v 3－1160v 2＋15·400＝v 348－52v 2＋6 000(0<v ≤100)． (2)Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0，则v ＝0(舍去)或v ＝80，当0<v <80时，Q ′<0； 当80<v ≤100时，Q ′>0，∴v ＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q min ＝Q (80)＝2 0003(元)．6. 解析：选C 因为y ′＝－x 2＋81，所以当∈(9，＋∞)时，y ′<0；当x ∈(0，9)时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9时函数取最大值．7. 解析：选D 设毛利润为L (p )，由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8 300－170p －p 2)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000， 所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0，右侧L ′(p )<0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元．8. 解析：存款利率为x ，依题意：存款量是kx 2，银行应支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048kx 2，x ∈(0，0.048)．所以银行的收益是y ＝0.048kx 2－kx 3(0<x <0.048)，由于y ′＝0.096kx －3kx 2，令y ′＝0得x ＝0.032或x ＝0(舍去)，又当0<x <0.032时，y ′>0；当0.032<x <0.048时，y ′<0，所以当x ＝0.032时，y 取得最大值．答案：0.0329. 解：(1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 之间的关系为：L (x )＝(x －3－4)(12－x )2＝(x －7)(12－x )2，即L (x )＝(x －7)(12－x )2，其中x ∈[8，11]． (2)由于L (x )＝(x －7)(12－x )2，∴L ′(x )＝(12－x )2＋(x －7)·2(12－x )·(－1) ＝(12－x )(12－x －2x ＋14)＝(12－x )(26－3x )， 令L ′(x )＝0得x ＝12或x ＝263，由于x ∈[8，11]，所以取x ＝263，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫8，263时，L ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤263，11时，L ′(x )<0，所以当x ＝263时，L (x )在[8，11]上取到极大值，也是最大值，L ⎝ ⎛⎭⎪⎫263＝50027(万元)． 故当每件售价为263元时，公司一年的利润L 最大，最大利润是50027万元．能力提升综合练1. 解析：选B 设一个数为x ，则另一个数为8－x ，则其立方和y ＝x 3＋(8－x )3＝83－192x ＋24x 2(0≤x ≤8)，y ′＝48x －192.令y ′＝0，即48x －192＝0，解得x ＝4.当0≤x <4时，y ′<0；当4<x ≤8时，y ′>0.所以当x ＝4时，y 最小．2. 解析：选C 设底面边长为x ，高为h ， ∴34x 2·h ＝V ，∴h ＝4V 3x2＝43V3x 2.∴S 表＝2·34x 2＋3x ·h ＝32x 2＋43V x， S ′(x )＝3x －43Vx2，令S ′(x )＝0可得3x ＝43V x2，x 3＝4V ，x ＝34V .当0<x <34V 时，S ′(x )<0；当x >34V 时，S ′(x )>0， ∴当x ＝34V 时，S (x )最小．3. 解析：选A 设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m ，其他两边边长为y m ，则xy ＝512，堆料场的周长l ＝x ＋2y ＝512y ＋2y (y >0)，令l ′＝－512y2＋2＝0，解得y ＝16(另一负根舍去)，当0<y <16时，l ′<0；当y >16时，l ′>0，所以当y ＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x ＝51216＝32.4. 解析：选D 由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，由P ′(x )＝－x 2300＋300＝0，得x ＝300.当0≤x <300时，P ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大．5. 解析：设高为h ，则底面半径r ＝400－h 2，0<h <20，V ＝13π·r 2·h ＝13π·(400－h 2)·h ＝4003πh －π3h 3.由V ′＝4003π－πh 2＝0得h 2＝4003，h ＝2033或h ＝－2033(舍去)，因为当0<h <2033时，V ′>0，当h >2033时，V ′<0，所以当h ＝2033时，V 最大．答案：20336. 解析：设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，0， 点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，∴矩形ACBD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝－x 34＋x ，x ∈(0，2)．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－233(舍)，x 2＝233，∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )是递增的，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的， ∴当x ＝233时，f (x )取最大值439.答案：4397. 解：(1)由题意得，所获得的利润为y ＝10[2(x －P )－P ]＝20x －3x 2＋96ln x －90(4≤x ≤12)．(2)由(1)知，y ′＝－6x 2＋20x ＋96x ＝－2（3x ＋8）（x －6）x.当4≤x <6时，y ′＞0，函数在[4，6)上为增函数；当6<x ≤12时，y ′＜0，函数在(6，12]上为减函数，所以当x ＝6时，函数取得极大值，且为最大值，最大利润为y ＝20×6－3×62＋96ln 6－90＝96ln 6－78(万元)．故当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利润为(96ln 6－78)万元． 8. 解：(1)由题意知，M 点的坐标为(5，40)，N 点的坐标为(20，2.5)，代入曲线C 的方程y ＝ax 2＋b，可得⎩⎪⎨⎪⎧40＝a52＋b ，2.5＝a202＋b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知曲线C 的方程为y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)，y ′＝－2 000x3， 所以y ′|x ＝t ＝－2 000t3即为l 的斜率．又当x ＝t 时，y ＝1 000t2，所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2，所以l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )． 令x ＝0，得y ＝3 000t2；令y ＝0，得x ＝32t .所以f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22，其中5≤t ≤20. ②由①知f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22，其中5≤t ≤20.令g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝94t 2＋9×106t4，所以g ′(t )＝92t －4×9×106t 5＝92·t 6－8×106t 5＝92·t 6－（102）6t 5.因为5≤t ≤20，令g ′(t )<0，得5≤t ＜102；令g ′(t )＝0，得t ＝102；g ′(t )>0，得102<t ≤20.所以g (t )在区间[5，102)单调递减，在(102，20]单调递增．所以g (102)＝675是g (t )的极小值，也是最小值．所以当t ＝102时，f (t )取得最小值，最小值为f (102)＝15 3.即最短长度为15 3.。

课时作业(八)1．设集合A＝{a，b，c，d，e}，B⊆A，已知a∈B，且B中含有3个元素，则集合B有( ) A．A24个B．C24个C．A35个D．C35个答案 B解析即B＝{a，x，y}．x，y在A中任取，是组合问题．∴集合B有C24个．2．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有( )A．36个B．72个C．63个D．126个答案 D解析此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C49＝126个．3．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A．120种B．48种C．36种D．18种答案 C4．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )A．140种B．120种C．35种D．34种答案 D5．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为( )A．2 B．3C．4 D．5答案 A解析设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意C36－C3x＝16，即x(x－1)(x－2)＋16×6＝6×5×4，∴x(x－1)(x－2)＝2×3×4，∴x＝4.即女生有2人．6．甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( ) A．150种 B．180种C．300种 D．345种答案 D解析分类：若这名女同学是甲组的，则选法有C13C15C26，若这名女同学是乙组的，则选法有C25C12C16.∴符合条件的选法共有C13C15C26＋C25C12C16＝345种．7．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有( ) A．24种 B．18种C．12种 D．96种答案 B8．假设在200件产品中，有3件次品，现在从中任意抽出5件，其中至少有2件次品的抽法有( )A．C23C3197种B．(C23C3197＋C33C2197)种C．(C5200－C519)种D．(C5200－C13C4197)种答案 B思路分析这是一个抽样问题，200件产品中有3件次品，从中任意抽出5件，而且其中至少有2件次品，由“至少”可知，5件产品中可以有2件次品或3件次品，可以应用“直接法”．也可以采用“间接法”，先不论次品，抽去5件产品的抽法数除去没有次品和只有1件次品的抽法数之和，即可解决问题．解析方法一(直接法)至少有两件次品的抽法有两种可能，即①2件次品，3件合格品有：C23C3197种；②3件次品，2件合格品有：C33C2197种．由分类计数原理得抽法种数为(C23C3197＋C33C2197)种．所以应选B.方法二(间接法)不论次品，抽法有C5200种，恰有1件次品的抽法数为C13C4197种，没有次品的抽法种数为C5197种，所以至少有2件次品的抽法种数为(C5200－C5197－C13C4197)种．所以应选B.点评理解对“至少”“至多”等词的含义，分清事件的类别，用直接法解；或者是反面考虑，用间接法解答．9.某城市街道如右图所示，某人要用最短路程从A地前往B地，则不同的走法有( ) A．8种B．10种C．12种D．32种答案 B思路分析根据题意可知①要走的路程最短必须走5步，且不能重复；②向东的走法定出后，向北的走法随之确定，所以我们只要确定出向东的三步或向北的两步走法有多少即可．解析不同的走有C35＝10(种)，故选B.点评因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验，探究走法更实际；若东西街道有n条，南北街有m条，则由A到B的最短走法共有C m n＋m＝C n n＋m种．10．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A．85 B．56C．49 D．28答案 C解析甲、乙、丙都没有入选有C37＝35种；只有丙没有入选有C39＝84种，故甲、乙至少有1人入选而丙没有入选的不同选法种数有84－35＝49(种)．11．某校开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有________种不同选修的方案．(用数字作答) 答案75解析本题可分作两类，第一类学生不选A、B、C中的任意一门，有C46＝15(种)选法．第二类学生从A，B，C中选一门，再从其他6门中选3门课程，共有C13C36＝60(种)选法．所以共有15＋60＝75(种)选法．点评要弄清题目是分类还是分步是关键．12．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的取法有________种．答案350解析完成这个问题共有两类办法．第一类办法：第一步在原装计算机中任意选取2台，有C26种方法；第二步是在组装计算机中任意选取3台，有C35种方法，据乘法原理共有C26·C35种方法．同理，第二类办法共有C36·C25种方法．据加法原理完成全部的选取过程共有C26·C35＋C36·C25＝350种方法．13．以正方体的顶点为顶点的四面体个数有________．答案58解析先从8个顶点中任取4个的取法为C48种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为C48－12＝58(个)．14．现有10名学生，其中男生6名．(1)从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？(2)从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？(3)从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？(4)从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？解析(1)方法一(直接法)：必须有女生可分两类：第一类只有一名女生，共有C16C14＝24种；第二类有2名女生，共有C24＝6种，根据分类计数原理，必须有女生的不同选法有C16C14＋C24＝30种．方法二(间接法)：C210－C26＝45－15＝30.(2)C26C24＝90.(3)C28＝28.(4)方法一(直接法)：可分两类解决：第一类甲、乙只有1人被选，共有C12C38＝112种不同选法；第二类甲、乙两人均被选，有C28＝28种不同选法，根据分类计数原理，男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内的选法有C12C38＋C28＝112＋28＝140种．方法二(间接法)：先不考虑要求，从10名学生中任选4名学生，共有C410＝210种，而甲、乙均不被选的方法有C48＝70种，所以甲、乙至少有1人被选上的选法种数是C410－C48＝210－70＝140种．15．甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班．可以排出多少种不同的值班表？解析方法一(直接法)由题意可分两类：(1)甲值周六，另一天从周二至周五4天中再值一天有C14种，乙同学任选2天值班，有C24种再余2天由丙值班，此时，有C14C24种．(2)甲不值周六，可从周二至周五4天中选2天，有C24种，乙从周一至周五中甲不值班的3天中选两天值，方法有C23种，剩下的2天给丙，此时有C24C23种，由分类计数原理，共有C14C24＋C24C23＝42种．方法二(间接法)甲值周一或乙值周六是不合题意的，故可列式为C24C26－2C15C24＋C14C13＝42种．►重点班选做题16．20个不同的小球平均分装在10个格子中，现从中拿出5个球，要求没有两个球取自同一格中，则不同的拿法一共有( )A．C510种B．C520种C．C510C12种D．C510·25种答案 D解析从5个格子中分别取一个球，每个格子共有2种取法，故共有C510·25种．17．n个不同的球放入n个不同的盒子中，若恰好有1个盒子是空的，则共有________种不同的方法．答案C2n A n－1n解析(先分组，再排列)：将n个不同的球分成(n－1)组，(其中必有一组有2个元素)的分组方法为C2n，再将这(n－1)组放到n个位去排，有A n－1n种排法，故不同的方法为C2n A n－1n(种)．1．某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B、C两校必选，且B在C前．则此考生不同的填表方法共有________种．答案270解析选填第一档次的三个志愿栏：因A校定为第一档次的第一志愿，故第一档次的二、三志愿有A26种填法；再填第二档次的三个志愿；B、C两校有C23种填法，剩余的一个志愿栏有A13种填法．由分步计数原理知，此考生不同的填表方法共有A26C23A13＝270(种)．2．已知集合A＝{x|1≤x≤9，且x∈N}，若p、q∈A，e＝log p q，则以e为离心率的不同形状的椭圆有________个．答案26。

2．3.1 抛物线及其标准方程[提出问题]如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？提示：是．AB是直角三角形的一条直角边．问题2：点D在移动过程中，满足什么条件？提示：|DA|＝|DC|.问题3：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线．[导入新知]抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．[化解疑难]对抛物线定义的认识(1)定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.(2)注意定点F不在直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．[提出问题]平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－2,0)；l1：x＝－1，l2：x＝2.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹是什么？对应方程是什么？提示：抛物线；y2＝4x.问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y2＝－8x.[导入新知]抛物线标准方程的几种形式1．标准方程特征：等号一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一变量的一次项． 2．标准方程中p 表示焦点到准线的距离，p 的值永远大于零．3．四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.[例1] (1)y 2＝－14x ； (2)5x 2－2y ＝0； (3)y 2＝ax (a ＞0)．[解] (1)因为p ＝7，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，0，准线方程是x ＝72. (2)抛物线方程化为标准形式为x 2＝25y ，因为p ＝15，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110，准线方程是y ＝－110.(3)由a ＞0知p ＝a 2，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.[类题通法]已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p ，从而得焦点坐标和准线方程．需注意p ＞0，焦点所在轴由标准方程一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴．[活学活用]求抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点坐标和准线方程． 解：把抛物线方程y ＝ax 2化成标准方程x 2＝1ay .当a ＞0时，焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a ；当a ＜0时，焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a . 综上知，所求抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a .[例2] (1)过点M (－6,6)；(2)焦点F 在直线l ：3x －2y －6＝0上． [解] (1)由于点M (－6,6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上， 设其方程为y 2＝－2px (p ＞0)，将点M (－6,6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x . 若抛物线开口向上，焦点在y 轴上， 设其方程为x 2＝2py (p ＞0)，将点M (－6,6)代入可得，36＝2p ×6，∴p ＝3， ∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是F (2,0)， ∴p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y .[类题通法]求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．(2)方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程； ②直接根据定义求p ，最后写标准方程；③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数． [活学活用]根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝－1；(2)焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.(1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，则焦点到准线的距离是－p 2－p2＝p ＝3，因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .[例3] 平面上动点P [解] 法一：设点P 的坐标为(x ，y )， 则有x －2＋y 2＝|x |＋1.两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x x ，x ＜，∴点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．法二：由题意，动点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y ＝0上的点符合条件；当x ≥0时，题中条件等价于点P 到点F (1,0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)． [类题通法]求轨迹方程一般有两种方法：一是直接法，根据题意直接列方程确定点P 的轨迹方程；二是定义法，利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线，再根据抛物线的性质写出方程．[活学活用]已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．解：法一：设点P 的坐标为(x ，y )， 由条件知|AP |＝r ＋1(r 为圆P 的半径)， 即x ＋2＋y 2＝|x －1|＋1，化简，整理得y 2＝－8x . ∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .法二：如图所示，作PK 垂直于直线x ＝1，垂足为K ，作PQ 垂直于直线x ＝2，垂足为Q ，则|KQ |＝1，∴|PQ |＝r ＋1.又|AP |＝r ＋1，∴|AP |＝|PQ |，故点P 到圆心A (－2,0)的距离和定直线x ＝2的距离相等，∴点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点，直线x ＝2为准线． ∴p2＝2，∴p ＝4.∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .3.研析抛物线定义的应用[典例] 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标．[解] 如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ， 则|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号．∴(|PA |＋|PF |)min ＝|AB |＝3＋12＝72.此时y P ＝2，代入抛物线得x P ＝2， ∴P 点坐标为(2,2)． [多维探究](1)若已知抛物线上点P 到焦点F 的距离(或与此有关)，往往转化为点P 到准线的距离，其步骤是： ①过P 作PN 垂直于准线l ，垂足N ；②连接PF ；③|PF |＝|PN |＝x P ＋p2(焦点在x 轴正半轴上时)．(2)上例中，求|PA |＋|PF |的最小值时，结合图形，根据平面几何知识判断|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PN |≥|AB |.体现了数形结合的思想．1．若点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值． 解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，P 点，(0,2)点，和抛物线的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0三点共线时距离之和最小，所以最小距离d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋－2＝172.2．若点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到直线3x －4y ＋72＝0的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值．解：如图．|PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PF |≥|AF |min .AF 的最小值为F 到直线3x －4y ＋72＝0的距离．d ＝3×12＋7232＋42＝1.3．若长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，求M 点到y 轴的最短距离． 解：设抛物线焦点为F ，连接AF ，BF ，如图抛物线y 2＝2x 的准线为l ：x ＝－12，过A ，B ，M 分别作AA ′，BB ′，MM ′垂直于l ，垂足分别为A ′，B ′，M ′.由抛物线定义，知|AA ′|＝|FA |，|BB ′|＝|FB |. 又M 为AB 中点，由梯形中位线定理， 得|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|FA |＋|FB |) ≥12|AB |＝12×3＝32. 则x ≥32－12＝1(x 为M 点的横坐标，当且仅当AB 过抛物线的焦点时取得等号)，所以x min ＝1，即M 点到y 轴的最短距离为1. [类题通法]解决此类问题通过回归抛物线定义和运用平面几何知识中的两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等，使问题化难为易．[随堂即时演练]1．焦点是F (0,5)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝20x B ．x 2＝20y C ．y 2＝120xD ．x 2＝120y解析：选B 由5＝p2得p ＝10，且焦点在y 轴正半轴上，故方程形式为x 2＝2py ，所以x 2＝20y .2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．12解析：选B 由抛物线的方程得p 2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.3．若双曲线x 2m －y 23＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则m ＝________.解析：∵抛物线焦点为(3,0)， ∴m ＋3＝3且m ＞0，则m ＝6. 答案：64．焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 在准线上的射影为N ，若|MN |＝p ，则|FN |＝________. 解析：由条件知|MF |＝|MN |＝p ，MF ⊥MN ，答案：2p5．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M 的坐标． 解：由抛物线方程y 2＝－2px (p ＞0)，得其焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0， 准线方程为x ＝p2，设点M 到准线的距离为d ， 则d ＝|MF |＝10， 即p2－(－9)＝10， 因此p ＝2.故抛物线的方程为y 2＝－4x .将M (－9，y )代入抛物线方程，得y ＝±6. 故点M 的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．[课时达标检测]一、选择题1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4x B ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4y D ．y 2＝4x 或x 2＝－4y解析：选C 设抛物线方程为y 2＝－2p 1x 或x 2＝2p 2y ，把(－4,4)代入得16＝8p 1或16＝8p 2，即p 1＝2或p 2＝2. 故抛物线的标准方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .2．已知点P (8，a )在抛物线y 2＝4px 上，且点P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16解析：选B 准线方程为x ＝－p ， ∴8＋p ＝10，p ＝2.∴焦点到准线的距离为2p ＝4.3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4解析：选C ∵抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，∴－p2＝－1，即p ＝2.4．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆解析：选A 由题意知，圆C 的圆心到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，即圆C 的圆心到点(0,3)的距离与到直线y ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)解析：选A 点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图，|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.二、填空题6．抛物线x ＝14m y 2的焦点坐标是________．解析：方程改写成y 2＝4mx ，得2p ＝4m ， ∴p ＝2m ，即焦点(m,0)． 答案：(m,0)7．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.解析：解析：根据抛物线的定义得1＋p2＝5，p ＝8.不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1，故a ＝14.答案：148．对标准形式的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号) 解析：抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足； 设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．答案：②④ 三、解答题9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2.作MN ⊥l ，垂足为N ， 则|MN |＝|MF |＝5， 而|MN |＝3＋p 2，3＋p2＝5， 即p ＝4.所以抛物线方程为x 2＝－8y ， 准线方程为y ＝2. 由m 2＝－8×(－3)＝24， 得m ＝±2 6.法二：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 则焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得{ p ＝4，m ＝±2 6.推 荐下 载 准线方程为y ＝2.10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)．解：如图所示：(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)，因为点C (5，－5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x 2＝－5y .(2)设车辆高h ，则|DB |＝h ＋0.5，故D (3.5，h －6.5)，代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．。

课时达标训练（四）[即时达标对点练]题组1 含逻辑联结词的命题的构成1．已知p：x∈A∩B，则綈p是( )A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B2．命题：“菱形对角线互相垂直平分”，使用的逻辑联结词的情况是( )A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“非”3．命题p：方向相同的两个向量共线，命题q：方向相反的两个向量共线．则命题：“p∨q”为___________________________________________________．4．命题“若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为零”的否定为：________，否命题为：________．题组2 含逻辑联结词的命题的真假判断5．若命题“p且q”为假，且为假，则( )A．p或q为假 B．q假C．q真 D．p假6．已知命题p：x2＋y2＝0，则x，y都为0；命题q：若a2>b2，则a>b.给出下列命题：①p且q；②p或q；③；④.其中为真命题的是( )A．①② B．①③ C．②③ D．②④7．由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“”形式的命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“”为真的是( )A．p：3为偶数，q：4是奇数B．p：3＋2＝6，q：5>3C．p：a∈{a，b}；q：{a}{a，b}D．p：Q R；q：N＝N8．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )A．p∨q B．p∧qC．()∧() D．p∨()题组3 利用三种命题的真假求参数范围9．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“”都是假命题，则x的值组成的集合为________．10．设p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．[能力提升综合练]1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．()∨()B ．p ∨()C ．()∧() D ．p ∨q2．已知命题p ：设x ∈R ，若|x |＝x ，则x >0，命题q ：设x ∈R ，若x 2＝3，则x ＝3，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．()∧q D ．()∨q3．下列各组命题中满足：“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，“”为真命题的是( )A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．在△ABC 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B ；q ：y ＝sin x 在第一象限内是增函数C ．p ：若a >b ，则1a <1b；q ：不等式|x |>x 的解集为(－∞，0)D ．p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：若a ·b <0，则a 与b 的夹角不一定是钝角 4．若命题为真命题，则p ，q 的真假情况为( )A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假5．命题p ：不等式ax ＋3>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－3a ，命题q ：在等差数列{a n }中，若a 1<a 2，则数列{a n }是递增数列，则“p ∧q ”“p ∨()”“()∧q ”中是真命题的是________．6．已知条件p ：(x ＋1)2>4，条件q ：x >a ，且綈p 是的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．7．分别写出下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的新命题，并判断其真假． (1)p ：3是9的约数，q ：3是18的约数；(2)p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根符号相同，q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根绝对值相等； (3)p ：π是有理数，q ：π是无理数．8．命题p ：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅；命题q ：函数y ＝(2a 2－a )x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围．(1)p ，q 至少有一个是真命题； (2)p 或q 是真命题且p 且q 是假命题．答 案 即时达标对点练1. 解析：选B p 等价于x ∈A 且x ∈B ，所以为x ∉A 或x ∉B .2. 解析：选B 菱形的对角线互相垂直且互相平分， ∴使用了逻辑联结词“且”．3. 答案：方向相同或相反的两个向量共线4. 解析：否定形式：若abc ＝0，则a 、b 、c 全不为零． 否命题：若abc ≠0，则a 、b 、c 全不为零．答案：若abc ＝0，则a 、b 、c 全不为零 若abc ≠0，则a 、b 、c 全不为零5. 解析：选B为假，则p 为真，而p ∧q 为假，得q 为假．6. 解析：选D 易知，p 真，q 假，所以p 且q 假，p 或q 真，假，真，即真命题是②④，故选D.7. 解析：选B 由已知得p 为假命题，q 为真命题，只有B 符合．8. 解析：选A 法一：取a ＝c ＝(1，0)，b ＝(0，1)，显然a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ＝1≠0，∴p 是假命题．a ，b ，c 是非零向量，由a∥b 知a ＝x b ，由b∥c 知b ＝y c ，∴a ＝xy c ，∴a∥c ，∴q 是真命题． 综上知p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题． 又∵为真命题，为假命题，∴()∧()，p ∨()都是假命题．法二：由于a ，b ，c 都是非零向量， ∵a ·b ＝0，∴a ⊥b .∵b ·c ＝0， ∴b⊥c .如图，则可能a∥c ，∴a ·c ≠0，∴命题p 是假命题，∴是真命题．命题q 中，a∥b ，则a 与b 方向相同或相反；b∥c ，则b 与c 方向相同或相反．故a 与c 方向相同或相反，∴a∥c ，即q 是真命题，则是假命题．故p ∨q是真命题，p ∧q ，()∧()，p ∨()都是假命题．9. 解析：因为“p ∧q ”为假，“”为假，所以q 为真，p 为假．故⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3，x ∈Z .因此，x 的值可以是－1，0，1，2. 答案：{－1，0，1，2}10. 解：对于p ，因为不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅， 所以Δ＝[－(a ＋1)]2－4＜0. 解这个不等式得，－3<a <1.对于q ：f (x )＝(a ＋1)x在定义域内是增函数， 则有a ＋1>1，所以a >0.又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题， 所以p 、q 必是一真一假．当p 真q 假时有－3<a ≤0，当p 假q 真时有a ≥1. 综上所述，a 的取值范围是(－3，0]∪[1，＋∞)．能力提升综合练1. 解析：选A “至少有一位学员没有降落在指定范围”是指“甲没降落在指定范围”或“乙没降落在指定范围”，应表示为()∨()．2. 解析：选D 由|x |＝x 应得x ≥0而不是x >0，故p 为假命题；由x 2＝3应得x ＝±3，而不只有x ＝3，故q 为假命题．因此为真命题，从而()∨q 也为真命题．3. 解析：选C 选项A 中，命题p 假，q 假，所以不满足题意；选项B 中，命题p 真，q 假，为假命题，也不满足题意；选项C 中，命题p 假，q 真，p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，为真命题，满足题意；选项D中，p ，q 都是真命题，不符合题目要求．4. 解析：选C 若为真命题，则p ∨()是假命题，故p 和都是假命题，即p 假q 真．5. 解析：易知p 为假命题，q 为真命题，故只有()∧q 为真命题．答案：()∧q6. 解析：由是的充分不必要条件，可知⇒; 但，又一个命题与它的逆否命题等价，可知q ⇒p 但pq ，又p ：x >1或x <－3，可知{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，所以a ≥1.答案：[1，＋∞)7. 解：(1)p 或q ：3是9的约数或是18的约数，真；p 且q ：3是9的约数且是18的约数，真；非p ：3不是9的约数，假．(2)p 或q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根符号相同或绝对值相等，假；p 且q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根符号相同且绝对值相等，假；非p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根符号不同，真． (3)p 或q ：π是有理数或是无理数，真；p 且q ：π是有理数且是无理数，假；非p ：π不是有理数，真．8. 解：因为关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅， 所以Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即a <－1或a >13，所以p 为真时a <－1或a >13，为真时－1≤a ≤13.因为函数y ＝(2a 2－a )x为增函数， 所以2a 2－a >1， 即a <－12或a >1，所以q 为真时a <－12或a >1.为真时－12≤a ≤1.(1)若()∧()为真，则－12≤a ≤13，所以p ，q 至少有一个是真时a <－12或a >13.即此时a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.(2)因为p ∨q 是真命题且p ∧q 是假命题， 所以p ，q 一真一假，所以()∧q 为真时⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤13，a <－12或a >1，即－1≤a <－12；p ∧()为真时⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >13，－12≤a ≤1.即13<a ≤1.所以p ∨q 是真命题且p ∧q 是假命题时， －1≤a <－12或13<a ≤1.即此时a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，1.。