北京市第五中学期中考试理科数学试卷

2023北京五中高三（上）期中数 学班级______ 姓名_______学号______ 成绩________一.选择题: 共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合2{|4}P x x =≤，{}M m =，若P M M = ，则m 的取值范围是A. (],2-∞ B. []2,2- C. [)2,+∞ D. (][)-22∞∞，，+ 2．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是A ．若,m n αα∥∥，则m n ∥ B ．若,m m αβ∥∥，则αβ∥C ．若,,m m αββα⊥⊥⊄，则m //α D ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递增的是A ．3y x = B ．21y x =-+ C ．2log y x =D ．2,02,0x xx y x -⎧≥=⎨<⎩4. 已知直线1:210l mx y +-=与直线()2:10l x m y m +--=平行，则m 的值为A ．1-B ．2C ．1-或2D ．2-5．已知圆22:1O x y +=，过直线34100x y +-=上的动点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为A ．1BCD ．26．关于函数()sin cos f x x x x =-，下列说法正确的是A ．()f x 是偶函数B ．0是()f x 的极值点C ．()f x 在(,22ππ-上有且仅有1个零点 D ．()f x 的值域是[]1,1-7．《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈. 现有一刍甍，如图所示，则该刍甍的体积为A. 5立方丈B. 20立方丈C. 40立方丈D. 80立方丈8．已知a 和b 是两个互相垂直的单位向量，()R λλ=+∈c a b ，则“1λ=”是“c 和a 夹角为4π”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知,A B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在双曲线E 上，满足ABM ∆为等腰三角形，顶角为120︒，则双曲线E 的离心率为B. 210．如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动. 若1D O OP ⊥，则△11D C P 面积的最小值为ABCD．二.填空题: 共5小题，每小题5分，共25分.11．已知抛物线2:C y ax =的准线方程为18x =-，则=a .12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为y x =，若焦点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．13．函数()sin 2f x x =的图像向左平移_______个长度单位得到函数π)4()sin(2g x x =+的图像，若函数()g x 在区间(0,)a 单调递增，则a 的最大值为_______14. 北京2022年冬奥会将于2022年2月4日开幕.某社区为了宣传冬奥会，决定在办公楼外墙建一个面积为28m 的矩形展示区，并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏(如图所示)，要求上下各空0.25m ，左右各空0.25m ，相邻宣传栏之间也空0.25m. 设三个宣传栏的面积之和为S (单位:2m )，则S 的最大值为________.15. 对于函数()[]()()sin π,0,212,2,2x x f x f x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，下列4个结论正确的是 .①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有()()122f x f x -≤；②()()2(2)N f x kf x k k *=+∈，对一切[0,)x ∈+∞恒成立；③若关于x 的方程()(0)f x m m =<有且只有两个不同的实根12,x x ，则123x x +=；④函数()ln(1)y f x x =--有5个零点三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1,3,cos AD CD B ===.（1）求AC 的长；（2）若_________；求ABC △的面积.从①=BC 3BCA π∠=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，AB CD ，且2,1,CD PA AB BC AB BC ====⊥.（Ⅰ）求证：AD PC ⊥；（Ⅱ）求平面PCD 与平面PAB 的夹角；（Ⅲ）在线段PB 上是否存在一点M ，使得直线PC 与平面ADM 垂直，如果垂直，求此时点M 到平面PCD 的距离，如果不垂直，说明理由.18. 智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测. 调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差. 对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如下：序号智能体温计测温（C）水银体温计测温（C ）序号智能体温计测温（C ）水银体温计测温（C ）0136.636.61136.336.20236.636.51236.736.70336.536.71336.236.20436.536.51435.435.40536.536.41535.235.30636.436.41635.635.60736.236.21737.237.00836.336.41836.836.80936.536.51936.636.61036.336.42036.736.7（Ⅰ）试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率；（Ⅱ）用频率估计概率，从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X 为使用智能体温计“测温准确”的人数，求X 的分布列与数学期望；(Ⅲ) 医学上通常认为，人的体温在不低于37.3C 且不高于38C 时处于“低热”状态. 该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3C ，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由.19.已知椭圆22:36C xy +=的右焦点为F .（Ⅰ）求点F 的坐标和椭圆C 的离心率；（Ⅱ）直线():0l y kx m k=+≠过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为'P ，判断直线'P Q 是否经过x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．20. 已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数.（Ⅰ）若0a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,)a -上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若1a =-，设函数()f x 在(0,1)上的极值点为0x ，求证：0()2f x <-.21. 对于向量()0000,,X a b c =，若0a ，0b ，0c 三数互不相等，令向量()1111,,i i i i X a b c ++++=，其中1i i i a a b +=-，1i i i b b c +=-，1i i i c c a +=-，0,1,2,3,i = .（Ⅰ）当()05,2,1X =时，试写出向量100X ；（Ⅱ）证明：对于任意的i N ∈，向量i X 中的三个数i a ，i b ，i c 至多有一个为0；（Ⅲ）若000,,a b c N ∈，证明：存在正整数t ，使得3tt X X +=参考答案一.选择题: 共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.12345678910BCDBCCAADB二.填空题: 共5小题，每小题5分，共25分.11．【答案】1212．【答案】2231x y -=13．【答案】8π，8π14. 【答案】9215. 【答案】①③对于②，当3k =时，则()6(6)f x f x =+，而由解析式知对于③，函数()f x 与函数y m =的图象如下图所示，若关于根12,x x ，则112m -<<-，由对称性可知1x +对于④，函数()f x 与函数ln(1)y x =-的图象如下图所示，由图可知，两函数的交点有()ln(1)y f x x =--有3个零点，④错误.故答案为：①③.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. （1）由cos B =21cos 22cos 13B B =-=-，又2B D ∠=∠，所以1cos 3D =-，在ADC 中，由余弦定理，得2222cos 12AC AD DC AD DC D =+-⋅=，所以AC =（2）选①：=BC AC =cos B =sin B =在ABC 中，由余弦定理，得222cos 2BC AB AC B BC AB+-=⋅，2=AB =所以11sin 22ABC S AB BC B =⋅∠=⨯= .选②：3BCA π∠=，由(1)知AC =由cos B =sin B =所以sin sin()sin cos sin cos BAC B BCA B BCA BCA B ∠=+∠=∠+∠=在ABC 中，由正弦定理，得sin sin AC AB B BCA =∠，则AB =所以11sin 22ABC S AB AC BAC =⋅∠== 17.【详解】（1）证明：,,1,2AB CD AB BC AB BC CD ⊥===∥，∴45AC BAC DCA =∠=∠=︒.∵在DAC △中，由余弦定理得2222cos AD AC DC AC DC ACD =+-⋅∠，即222222AD =+-AD =∴222AC AD DC +=.∴AC AD ⊥.又PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD .∴PA AD ⊥.又：,,AC PA A AC PA =⊂ 平面PAC ，∴AD ⊥平面PAC ，∵PC ⊂平面PAC ，∴AD PC ⊥.（2）解：取CD 中点N，连结AN .∵,2,1,1AB CD CD AB CN ===∥，∴,AB NC AB NC =∥.∴四边形ABCN 是平行四边形.∴AN BC ∥.∵AB BC ⊥，∴AB AN ⊥.∵PA ⊥平面ABCD ，∴,PA AN PA AB ⊥⊥.∴以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(0,0,1)A B C D P -∴(1,11),(1,0,0),(0,2,0)PC BC DC =-==.平面PBC 的一个法向量为(1,0,0)n =，设平面PDC 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则∴00m PC m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1111020x y z y +-=⎧∴⎨=⎩令11x =，则得11z =，此时(1,0,1)m =.∴cos ,||||m m n n m n ⋅〈〉==.∴平面PDC 与平面PBC 所成角的余弦值为4π.（3）解：∵M 为PB.18. 解：(Ⅰ)表中20人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是01，0406，07，09，12，13，14，16，18，19，20，共有12种情况. 由此估计所求概率为123205=.…………4分（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3X =由(Ⅰ)可知，用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为35.所以0303338(0)155125P X C ==-=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 12133336(1)155125P X C ==-=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；21233354(2)155125P X C ==-=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 3333327(3)155125P X C ==-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 所以X 的分布列为X 0123P8125361255412527125故X 的数学期望8365427225901231251251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯==（）（Ⅲ）设这3人中至少有1人处于“低热”状态为事件N .表中20人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为02，05，11，17，共计4种情况，由此估计从社区任意抽查1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为15.由此估计，这3人中至少有1人处于“低热”状态的概率为124()1125111555P N =-⨯⨯（）=. 结论1：因为124()125P N =接近于1，由此可以认定这3人中至少有1人处于“低热”状态.结论2：因为124()1251P N =<，所以有可能这3人都不处于“低热”状态.19.解：（Ⅰ）因为椭圆 ：，所以焦点 ，离心率．（Ⅱ）直线 ：（）过点 ，所以 ，所以 ：．由得 ．（依题意）．设 ，，则，．因为点 关于 ，则．所以，直线的方程可以设为，令，所以直线 过 轴上定点 ．20. 解：1）当0a =时，()ln xf x x =，定义域为()0,+∞，()312ln 'x f x x -=，令()'0f x =，得x =∴当x =()f x 的极大值为12e，无极小值.（2）()()312ln 'ax x f x x a +-=+，由题意()'0f x ≥对()0,x a ∈-恒成立.()0,x a ∈-，()30x a ∴+<，∴ 12ln 0ax x+-≤对()0,x a ∈-恒成立，∴ 2ln a x x x ≤-对()0,x a ∈-恒成立.令()2ln g x x x x =-，()0,x a ∈-，则()'2ln 1g x x =+，①若120a e -<-≤，即120a e ->≥-，则()'2ln 10g x x =+<对()0,x a ∈-恒成立，∴ ()2ln g x x x x =-在()0,a -上单调递减，则()()()2ln a a a a ≤----，()0ln a ∴≤-，1a ∴≤-与12a e -≥-矛盾，舍去；②若12a e -->，即12a e -<-，令()'2ln 10g x x =+=，得12x e -=，当120x e -<<时，()'2ln 10g x x =+>，()2ln g x x x x ∴=-单调递减，当12e x a -<<-时，()'2ln 10g x x =+>，()2ln g x x x x ∴=-单调递增，∴当12x e -=时，()12ming x g e -⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭ 111122222ln 2e e e e ----⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，122a e -∴≤-.综上122a e -≤-.（3）当1a =-时，()()2ln 1xf x x =-，()()312ln '1x x x f x x x --=-，令()12ln h x x x x =--，()0,1x ∈，则()()'12ln 1h x x =-+ 2ln 1x =--，令()'0h x =，得12x e -=，①当121ex -≤<时，()'0h x ≤，()12ln h x x x x ∴=--单调递减，()120,21h x e -⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，()()312ln '01x x x f x x x --∴=<-恒成立，()()2ln 1xf x x ∴=-单调递减，且()12f x f e -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.②当120x e -<≤时，()'0h x ≥，()12ln h x x x x ∴=--单调递增，1111222212ln h e e e e ----⎛⎫⎛⎫∴=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12210e -=->又()()222212ln h eee e ----=--⋅ 2510e=-<，∴存在唯一1200,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，()0'0f x ∴=，当00x x <<时，()0'0f x >，()()2ln 1xf x x ∴=-单调递增，当120x x e -<≤时，()0'0f x <，()()2ln 1xf x x ∴=-单调递减，且()12f x f e -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，由①和②可知，()()2ln 1xf x x =-在()00,x 单调递增，在()0,1x 上单调递减，∴当0x x =时，()()2ln 1xf x x =-取极大值.()000012ln 0h x x x x =--= ，0001ln 2x x x -∴=，()()020ln 1x f x x ∴=-()2000112111222x x x ==-⎛⎫--⎪⎝⎭，又1200,2x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，201112,0222x ⎛⎫⎛⎫∴--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0201211222f x x ∴=<-⎛⎫--⎪⎝⎭.21.【详解】（1）1523a =-=，1211b =-=，1154c =-=，即1(3,1,4)X =；2312a =-=，2143b =-=，2431c =-=，即2(2,3,1)X =；3231a =-=，3312b =-=，3121c =-=，即3(1,2,1)X =；4121a =-=，4211b =-=，4110c =-=，即4(1,1,0)X =；5110a =-=，5101b =-=，5011c =-=，即5(0,1,1)X =；6011a =-=，6110b =-=，6101c =-=，即6(1,0,1)X =；7101a =-=，7011b =-=，7110c =-=，即7(1,1,0)X =；......由上，从4(1,1,0)X =开始，每3个向量出现重复一个向量，而100332314(1,1,0)X X X +⨯+===.试题11（2）假设i X 中i a ，i b ，i c 有不止1个为0，若0,0i i i a b c ==≠且1i ≥，则1111||0,||0i i i i i i a a b b b c ----=-==-=，故111i i i a b c ---==，此时11||0i i i c c a --=-≠矛盾；若0i i i a b c ===且1i ≥，111111||0,||0,||0i i i i i i i i i a a b b b c c c a ------=-==-==-=，所以111i i i a b c k ---===为定值，而0a ，0b ，0c 三数互不相等，当2i ≥，则122122122i i i i i i i i i a a b b b c c c a k ---------=-==-==-=，不妨令222i i i a b c ---≤≤，则222222i i i i i i b a c b c a k -------=-=-=，显然222222()()2i i i i i i b a c b c a k k -------+-=-⇒=，即0k =，所以1110i i i a b c ---===，以此类推得：2220i i i a b c ---===，......，0000a b c ===，与0a ，0b ，0c 三数互不相等矛盾；综上，对于任意的N i ∈，向量i X 中的三个数i a ，i b ，i c 至多有一个为0；（3）令{}max ,,i i i i a b c m =，又1+=-i i i a a b ，1+=-i i i b b c ，1+=-i i i c c a 且*,,N i i i a b c ∈，所以1i i m m +≤，且N i ∈，由题意，N i m ∈，且N i ∈，故{}i m 在*N i ∈上不可能单调递减，即必存在*N n ∈使1n n m m +=，根据1+n X 的定义，{},,n n n n X a b c =中,,n n n a b c 必有一个0，由（2）知：,,n n n a b c 中有且仅有一个为0，令0n a =，若n n b c ≠，不妨设0n n b c <<，则111,,n n n n n n n n n n n n n a a b b b b c c b c c a c +++=-==-=-=-=，则1n n n m m c +==，所以{}2111max ,n n n n n n n a a b b c b m ++++=-<-<，同理221,n n n b c m +++<，所以21n n m m ++<，又N i m ∈，故此情况不可能一直出现（至多有1n m +次），所以一定能找到*N l ∈，使得l l b c =；若n n b c =，则{}0,,n n n X b b =，{}1,0,n n n X b b +=，{}2,,0n n n X b b +=，{}30,,n n n X b b +=，...所以存在正整数t ，使得3+=t t X X ；综上，存在正整数t ，使得3+=t t X X .。

北京第五中学七年级上册期中数学试卷一、选择题1．有理数-3的倒数是( ) A ．3B ．﹣3C ．13D ．﹣132．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是20000000人一年的口粮，将20000000用科学记数法表示为_____． 3．下列计算错误的是（ ） A ．235m n mn +=B ．624a a a ÷=C ．()326x x =D ．23a a a ⋅=4．下列说法正确的是（ ） A ．m 2+m ﹣1的常数项为1 B ．单项式32mn 3的次数是6次 C ．多项式5m n+的次数是1，项数是2 D ．单项式﹣12πmn 的系数是﹣125．按如图程序输入一个数x ，若输入的数x =－1，则输出的结果为（ ）A ．—66B ．—36C ．—6D ．36 6．若代数式22(2)53m x y -++的值与字母x 的取值无关，则m 的值是（ ） A ．2-B ．2C ．3-D ．07．若有理数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ．2a >-B ．a b >-C ．0ab <D ．a b <8．定义a ＊b ＝3a －b ，2a b b a ⊕=-则下列结论正确的有（ ）个.①3＊2=11. ②()215⊕-=-.③（13＊25）712912425⎛⎫⊕⊕=- ⎪⎝⎭.④若a ＊b=b ＊a ，则a=b. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2020个图形中共有（ ）个○．A．6058 B．6059 C．6060 D．606110．如图，是小刚在电脑中设计的一个电子跳蚤，每跳一次包括上升和下降，即由点A—B—C为一个完整的动作．按照图中的规律，如果这个电子跳蚤落到9的位置，它需要跳的次数为 ( )A．5次B．6次C．7次D．8次二、填空题11．如果收入1000元记作+1000元，那么支出2000元记作____元．12．单项式﹣2xy3的系数是_____，次数是____．13．如图所示的计算流程图中，输入的x值为整数，若要使输出结果最小，则应输入x的值为_____．14．如图，将边长为a的正方形沿虚线剪成两个正方形和两个长方形。

北京市五中2022届高三数学上学期期中考试试题 理班级姓名学号成绩一.选择题〔每题5分，共40分〕1.设全集,R I =假设集合}.02{},2{2>--=>=x x x N x x M 那么以下结论正确的选项是 ( )2.非零实数a 、b 满足,b a >那么以下不等式中成立的是( )3.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，21,632==S a 那么公比q 等于( ).A 2.B 21.C 2或21.D 2-或21- 4.假设点),(y x P 是︒300角终边上异于原点的一点,那么xy的值为( ) 5.点)0,1(),0,1(B A -,C 为平面内一动点,且满足,2BC AC =那么点C 的轨迹方程为( )6.对函数,sin )(x x x f ⋅=现有以下命题:①函数)(x f 是偶函数; ②函数)(x f 的最小正周期是;2π ③点)0,(π是函数)(x f 的图像的一个对称中心; ④函数)(x f 在区间]2,0[π上单调递增,在区间]0,2[π-上单调递减.其中是真命题的是( ) .A ①③.B ①④.C ②③.D ②④7.设等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 且满足,0,01615<>S S 那么15152211,,,a S a S a S 中最大的项为( )8.假设关于b a ,的代数式),(b a f 满足:①;),(a a a f =②);,(),(b a kf kb ka f = ③);,(),(),(22112121b a f b a f b b a a f +=++④).2,(),(ba b f b a f += 那么=),(y x f ( )二.填空题〔每题5分，共30分〕9.,53sin =α且),,2(ππα∈那么αα2cos 2sin 的值等于.________,32==a 、b 的夹角为,60︒那么._____2=-a11.函数),52sin(2)(ππ+=xx f 对任意的,R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，那么21x x -的最小值为.________12.AC BD 、为⊙O :922=+y x 的两条相互垂直的弦，垂足为),3,2(M 那么四边形ABCD 的面积的最大值为. 13.函数)1(121)1(2>-=+-+-a y abx x a 的定义域为,R 那么a b 3-的取值范围是14.在平面直角坐标系中,定义2121),(y y x x Q P d -+-=为两点),,(11y x P),(22y x Q 之间的“折线距离〞.那么坐标原点O 与直线0522=-+y x 上一点的“折线距离〞的最小值为_______;圆122=+y x 上一点与直线0522=-+y x 上一点的“折线距离〞的最小值为.________ 三.解答题(此题总分值80分) 15.(此题总分值13分)在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为),1,sin (),2,(,,,A n b a m c b a ==且n m //. ⑴求B 的值；⑵求C A sin cos +的取值范围. 16.(此题总分值13分):以点)0,()2,(≠∈m R m mm C 为圆心的圆与x 轴交于点O 、,A 与y 轴交于点O 、,B 其中O 为原点.(1)求证:OAB ∆的面积为定值;(2)设直线42+-=x y 与圆C 交于点M 、,N 假设,ON OM =求⊙C 的方程. 17. (此题总分值13分)四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是边长为2的正方形,⊥PD 底面ABCD , E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点. (1)求证://DE 平面;PFB (2)二面角C BF P --的余弦值为,66 求四棱锥ABCD P -的体积. 18. (此题总分值13分)某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为,54第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为),(,q p q p >且不同课程是否取得PFED CBA优秀成绩相互独立,记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (2)求p ，q 的值； (3)求数学期望.ξE19.(此题总分值14分)函数3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥，'()f x 为函数()f x 的导函数．(1)设函数)(x f 的图象与x 轴交点为,A 曲线)(x f y =在A 点处的切线方程是33y x =-，求,a b 的值；(2)假设函数()'()ax g x e f x -=⋅，求函数()g x 的单调区间． 20.(此题总分值14分)设等差数列}{n a 的公差,0≠d 且),(0*∈≥N n a n 记n S 为数列}{n a 的前n 项和. (1)假设2a 、3a 、5a 成等比数列,且5a 、6a 的等差中项为,36求数列}{n a 的通项公式;(2)假设m 、n 、,*∈N p 且,2p n m =+证明：;211pn m S S S ≥+ (3)假设,10051503≤a 证明:.2008111200721>+++S S S答案一.选择题1.D2.A3.C4.D5.B6.B7.C8.A 二.填空题9.23-10.13 11.2 12.11 13.)3,(--∞ 14.255(第一空2分,第二空3分)三.解答题15.解: 16.解:(1)由可设⊙C 的方程为:2,4)2()(2222 m m m y m x +=-+-分 分别令,0,0==x y 易知4),4,0(),0,2( m B m A 分,4422121=⋅=⋅=∴∆mm OB OA S AOB 故OAB ∆的面积为定值64 分. (2)C ON OM ,= 为圆心,8 MN CO ⊥∴分,1-=⋅∴MN CO k k 而直线MN 的方程为,42+-=x y102,21222 ±=∴===∴m m m m k CO 分当2-=m 时,⊙C 与直线MN 相离,不合题意舍去……11分 所以⊙C 的方程为13.5)1()2(:22 =-+-y x 分 17.解:(2)以D 为原点,直线DP DC DA ,,分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系.设,a PD =可得如下点的坐标:).0,2,2(),0,0,1(),,0,0(B F a P那么有7).0,2,1(),,0,1( =-=FB a PF 分因为⊥PD 底面,ABCD 所以平面ABCD 的一个法向量为8).1,0,0( =m 分设平面PFB 的一个法向量为),,,(z y x n =那么可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n FB n PF 即⎩⎨⎧=+=-020y x az x令,1=x 得,21,1-==y a z 所以10).1,21,1( an -=分由,二面角C BF P --的余弦值为,66所以得,661451,cos 2=+>=<aa n m 122 =∴a 分13.384231 =⨯⨯=∴-ABCD P V 分18.解：事件i A 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩〞，i =1,2,3，由题意知14()5P A =，2()P A p =，3()P A q =2 分(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩〞与事件“0ξ=〞是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是61191(0)1125125P ξ-==-=，4 分 答: 该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是.125119(2)由题意知 整理得 6125pq =，1p q += 由p q >，可得35p =，25q =.8 分19.解:(1)∵3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥，∴2'()1f x x ax =++． ∵()f x 在(1,0)处切线方程为33y x =-，∴'(1)3(1)0f f =⎧⎨=⎩，即1=a ，611-=b . ……5分 (2)'()()ax f x g x e=21axx ax e ++=()x R ∈． '()g x =22(2)(1)()ax ax ax x a e a x ax e e +-++2[(2)]axx ax a e -=-+-.……7分 ①当0a =时，'()2g x x =，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞．②当0a >时，令'()0g x =，得0x =或2x a a=- 〔ⅰ〕当20a a->，即0a <<时， ()g x 的单调递增区间为22(0,)a a -，单调递减区间为(,0)-∞，22(,)a a-+∞； 〔ⅱ〕当20a a-=，即a ='()g x =2220x x e -=-≤，故()g x 在(,)-∞+∞单调递减；〔ⅲ〕当20a a-<，即a >()g x 在22(,0)a a -上单调递增，在(0,)+∞，22(,)a a--∞上单调递 综上所述，当0a =时，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；当0a <<时，()g x 的单调递增区间为22(0,)a a-，单调递减区间为(,0)-∞，当a =()g x 的单调递减区间为(,)-∞+∞；当a >时，()g x 的单调递增区间为22(,0)a a -，单调递减区间为(0,)+∞，22(,)a a--∞．……14分20.解:(1)由得,5223a a a ⋅=即),4)(()2(1121d a d a d a ++=+化简得:,01=⋅d a ,0≠d .01=∴a 而,7265=+a a 即.8,72921=∴=+d d a 故4.88 -=n a n 分(3).2007221)11(21110042007110042008200712007S S S S S n n n n a n n=≥+=∑∑∑=-== 而,100510041004)502(10042100310041004503111004≤=+≤⨯+=a d a d a S .1004100511004≥∴S14.200810042007100520071100420071 >⨯≥≥∴∑=S S n n分。

北京市平谷区第五中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知集合{|1}A x x =>，{2,1,0,1,2}B =--，则A B = （）A ．{2,2}-B ．{1,0,1}-C ．{2}D ．{2,1,1,2}--2．已知()()0,1,11,2-1a b =-= ,,，则a 与b的夹角为（）A ．30︒B ．60︒C ．150︒D ．120︒3．下列命题中，正确的是（）.A ．若a b ≠，则a b≠r r B ．若a b > ，则a b> C ．若a b =，则a b=r rD ．若a b =r r ，则a b=4．从甲、乙、丙、丁四人中任选两人参加问卷调查，则甲被选中的概率是（）A ．12B ．13C ．23D ．345．为深入贯彻落实《国务院办公厅关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》，我市提出：到2020年，全市义务教育阶段学生体质健康合格率达到98%，基础教育阶段学生优秀率达到15%以上．某学校现有小学和初中学生共2000人，为了解学生的体质健康合格情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为400的样本，其中被抽到的初中学生人数为180，那么这所学校的初中学生人数为（）A ．800B ．900C ．1000D ．11006．已知两条不同的直线,m n ，两个不同的平面,αβ，则下列说法正确的是（）A ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m nB ．若,m n m α⊥⊥，则//n αC ．若,,n n m αβαβ⊥⋂=⊥，则m β⊥D ．若,,//n m m αβαβ⋂=⊂，则//m n7．甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6．乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为（）A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.68．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为棱11,AB C D 上的动点，那么三棱锥F CDE -的体积为（）A ．16B ．13C ．12D ．239．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立10．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.如图，已知一个正八面体ABCDEF 的棱长为2，M ，N 分别为棱AD ，AC 的中点，则直线BN 和FM 夹角的余弦值为（）A ．56BC ．216D二、填空题11．函数()f x =的定义域为.12．复数12i -的虚部为.13．已知空间向量(2,1,3)a =- ，(4,2,)b x =- ，且a 与b是共线向量，则实数x 的值为．14．正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为；15．若m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同平面，m α⊂，n β⊂.则“//αβ”是“//m n ”的条件.16．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是.17．已知实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是23，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率为．18．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 上的动点且不与B 重合，F 为线段1A E 的中点.给出下列四个命题：①三棱锥1A A BE -的体积为12；②11AB A E ⊥；③ADF △的面积为定值；④四棱锥11F ABB A -是正四棱锥.其中所有正确命题的序号是.三、解答题19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)求证：//PB 平面AEC .20．如图，三棱锥P ABC -中，1AB BC CA PB ====，平面PAB ⊥平面ABC ，点E 是棱PB 的中点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.(1)求平面EAC 与平面ACB 的夹角的余弦值.(2)求点E 到面ACP 的距离.条件①：PC =条件②：直线PC 与平面PAB 所成角为45︒.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.21．如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，AD CD ⊥，//AD BC ，PD ⊥平面ABCD ，E 是PB 的中点，PC 与平面ADE 交于点F ，22BC DC PD AD ====.(1)求证：F 是PC 的中点；(2)若M 为棱PD 上一点，且直线PA 与平面EFM 所成的角的正弦值为45，求PM PD的值.22．某球员在8场篮球比赛的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12214客场1186主场21512客场2135主场3228客场3217主场42317客场41815(1)从上述比赛中随机选择一场，求该球员在本场比赛中投篮命中率超过0.5的概率；(2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求该球员的投篮命中率一场超过0.5，另一场不超过0.5的概率；(3)记x 是表中8场命中率的平均数，1x 是表中4个主场命中率的平均数，2x 是表中4个客场命中率的平均数，比较1,,2x x x 的大小．（只需写出结论）》23．手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间.为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号12345A 型待机时间（h ）120125122124124B型待机时间（h）118123127120a已知A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等.(1)求a的值；(2)从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率.。

北京五中2015/2016学年度第一学期期中考试试卷高三数学(理科)一、选择题(每小题5分,共40分)1、设集合}{}{{}20,1,2,3,4,5,1,2,540,U A B x Z x x ===∈-+＜则()U C A B =U（ ）A. {0,1,2,3}B. {5}C. {1,2,4}D. {0,4,5}2、已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的 （ ） A.充分非必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D.既非充分也非必要条件3、（）A.B.C.D.4、只需要将函数sin 4y x =的图象 （）A. B. C. D. 5、若ABC ∆的三个内角,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则ABC ∆ （ ） A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角或者钝角三角形6、设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤+1011y x x y x ， （ ）A. []3,3-B.[]2,2-C.[]1,1-D.7、如图， AOB ∆为等腰直角三角形，1OA =，OC 为斜边AB 的高，P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅= （ ） A. 1-B. 18-C. 14-D. 12-8、已知点(0,1)A ，曲线C ：ln y a x =恒过定点B ，P 为曲线C 上的动点且AP AB ⋅的最小值为2，则a = （ ） A. 2-B. 1-C. 1D. 2二、填空题(每小题5分,共30分)9、写出命题2:(,0),10P x x x ∃∈-∞++≤的否定P ⌝_____________________________ 10、函数()2ln(23)=-++f x x x 的单调减区间为____________________________ 11、已知正数,x y 满足22x y +=，则18y x+的最小值为_______________________ 12、已知向量2(,1),(1,)a x x b x t =+=-，若函数()f x a b =⋅在区间(1,1)-上是增函数，则实数t 的取值范围是__________________________________ 13、已知21)tan(=-βα,71tan -=β,且),0(,πβα∈,则βα-2的大小为_________ 14、如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为,([0,])x x π∈，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：①()32f π=；②任意[0,]2x π∈，都有()()422f x f x ππ-++=；③任意12,(,)2x x ππ∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-其中所有正确结论的序号是_______________________________ 三、解答题(共80分)15、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足2cos cos c b Ba A-=. （1）求角A 的大小；（2，求ABC ∆面积的最大值．16、已知向量(sin(m x =(sin(n x =+()f x m n =⋅，R x ∈．（1）求函数)(x f y =的单调增区间； （2）将函数)(x f y =图象向下平移个单位得函数)(x g y =的图象，试写出)(x g y =的解析式并做出它在17、某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（2）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望． 18、如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，//EF AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =，AE AF =，G 是EF 的中点，1AG = （1）证明：AG ⊥平面ABCD ；（2）求直线BF 与平面ACE 所成角的正弦值； （3）判断线段AC 上是否存在一点M ，使//MG 平面ABF ？若存在，求出AM AC的值；若不存在，说明理由．19（1）若函数)(x f 在2=x 处取得极值，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）讨论函数)(x f 的单调性；（3）设,ln )(22x x a x g -= 若)()(x g x f >对1>∀x 恒成立，求实数a 的取值范围．20、设集合{}*1,2,3,,(,2)S n n N n =∈≥L ，,A B 是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最大数小于集合B 中的最小数，记满足条件的集合对(,)A B 的个数为n P .（1）求23,P P 的值； （2）求n P 的表达式.北京五中2015/2016学年度第一学期期中考试答案高三数学一、选择题：(每小题5分,共60分)二、填空题：(每小题5分,共50分)9.01),0,(2>++-∞∈∀x x x 10. [1,3)11. 9 12.[)∞+，5 13.①② 三、解答题:15. 【答案】（1）8n =，（【答案】 【解析】试题分析：（1整理为(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅，再由正弦定理可化简为2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=（2）根据余弦定理有bc c b =-+2022，于是由基本不等式可得20≤bc ，当且仅当b c =时取“=” ．所以三角试题解析：，所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅，由正弦定理， 得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅．整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅．所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=． 在△ABC 中，sin 0C ≠．所以．所以2220220b c bc bc +-=≥-所以20bc ≤，当且仅当b c =时取“=”16.【答案】（Ⅱ）)(x g =【解析】试题分析：第一问根据向量的数量积的坐标运算式，应用倍角公式和辅助角公式求得函数解析式，从而求得其对称中心的坐标，第二问根据图像变换的原则，求得)(x g y =的解析式，利试题解析：分所以的图像的对称中心坐标为分（Ⅱ）)(x g =描点、连线得函数()y g x =在5ππ考点：向量的数量积的坐标运算式，倍角公式，辅助角公式，函数图像的变换，函数的图像的做法． 17．（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ， ………………1分则 2334A 1()A 4P A ==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14． ………………4分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20． ………………5分1(0)4P X ==， 2224A 1(5)A 6P X ===， 222344A 11(10)A A 6P X ==+=， 122234C A 1(15)A 6P X ⋅===， 3344A 1(20)A 4P X ===． ………………10分所以，随机变量X 的分布列为:………………11分11111051015201046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分18. 【答案】（Ⅲ）14AM AC=【解析】（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G 是EF 的中点， 所以AG EF ⊥.1分 又因为//EF AD ， 所以AG AD ⊥.2分因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以AG ⊥平面ABCD .4分19.【答案】（1）4230x y +-=； （2时)(x f 在定义域),0(+∞上单调递增； 当0≤a 时，)(x f 在)1,0(a -上单调递减，在),1(+∞-a 上单调递增； 时，)(x f 在),0(a 和),1(+∞-a 上单调递增，在)1,(a a -上单调递减；（3【解析】试题分析：（1）先求导，函数)(x f 在2=x 处取得极值即()'20f =，从而可求得a 的值．再根据导数的几何意义在点))1(,1(f 处切线的斜率即为()'1f ，根据点斜式可得切线方程．（2）求导将通分化简．令,0)('=x f 得.1a x a x -==或讨论两根的大小并讨论两根是否在定义域(0,)+∞内，再讨论导数的正负，导数正得增区间，导数负得减区间．（3）由)()(x g x f >对1>∀x 恒成立可得对1>∀x 恒成立．求导，讨论导数的正负得函数的增减区间．根据函数的单调性求函数的最值． 试题解析：解：（1得1-=a 或2=a （舍去） 经检验，1-=a 时，函数)(x f 在2=x 处取得极值1-=a 时，．4分 （2）)(x f 的定义域为).,0(+∞令,0)('=x f 得.1a x a x -==或 时，.01,1>--≤a a a 且)(x f ∴在定义域),0(+∞上单调递增； ．7分②当0≤a 时，)(x f 在)1,0(a -上单调递减，在),1(+∞-a 上单调递增； 时，)(x f 在),0(a 和),1(+∞-a 上单调递增，在)1,(a a -上单调递减．（3对1>∀x 恒成立． ．令0)('=x h ，得时，)(x h 单调递减；时，)(x h 单调递增． 时，)(x h 取得最小值考点：用导数研究函数的性质．20.【答案】（Ⅰ）21P =，35P =（Ⅱ）1(2)21n nP n -=-⋅+【解析】试题分析：（Ⅰ）根据具体数值，结合新定义，列举满足条件的数对：当2n =时，即{}1,2S =，此时{}1A =，{}2B =，所以21P =，当3n =时，即{}1,2,3S =，若{}1A =，则{}2B =，或{}3B =，或{}2,3B =；若{}2A =或{}1,2A =，则{}3B =；所以35P =.11（Ⅱ）由定义知，A,B 无共同元素，分别在两部分取相应子集：当集合A 中的最大元素为“k ”时，集合A 的其余元素可在1,2,,1k -中任取若干个（包含不取），所以集合A 共有0121111112k k k k k k C C C C ------++++=种情况，此时，集合B 的元素只能在1,2,,k k n ++中任取若干个（至少取1个），所以集合B 共有12321n k n k n k n k n k n k C C C C ------++++=-种情况，集合对(,)A B 共有1112(21)22k n k n k -----=- 对， 再求和101221(1)2(2222)(2)21n n n n P n n ---=-⋅-++++=-⋅+L 试题解析：（1）当2n =时，即{}1,2S =，此时{}1A =，{}2B =，所以21P =， \ 当3n =时，即{}1,2,3S =，若{}1A =，则{}2B =，或{}3B =，或{}2,3B =； 若{}2A =或{}1,2A =，则{}3B =；所以35P =. \（2）当集合A 中的最大元素为“k ”时，集合A 的其余元素可在1,2,,1k -中任取若干个（包含不取），所以集合A 共有012111112k k k k k k C C C C ------++++=种情况，6分此时，集合B 的元素只能在1,2,,k k n ++中任取若干个（至少取1个），所以集合B 共有12321n k n k n k n k n k n k C C C C ------++++=-种情况， 所以，当集合A 中的最大元素为“k ”时，集合对(,)A B 共有1112(21)22k n k n k -----=- 对，当k 依次取1,2,3,,1n -时，可分别得到集合对(,)A B 的个数，求和可得101221(1)2(2222)(2)21n n n n P n n ---=-⋅-++++=-⋅+L . 考点：归纳找规律。

北京市第五中学分校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题一、单选题1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）AB C D 2．已知平行四边形ABCD 中，∠A ＋∠C ＝110°，则∠B 的度数为（ ）A ．125°B ．135°C ．145°D ．155°3．以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B 3，5C ．6，7，8D ．5，12，13 4．一次函数y ＝−x ＋1的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．下列运算正确的是（ ）A 3=B ．4=C =D 4= 6．下表是某公司25位员工收入的资料：能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（ ）A ．平均数和众数B ．平均数和中位数C ．平均数和方差D ．中位数和众数7．如图，在ABCD Y 中，AE 平分BAD ∠交CD 于E ，4=AD ，6AB =，则CE 的长为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()2,3-，以点O 为圆心，OP 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（ ）A ．5-和4-之间B ．4-和3-之间C ．3-和2-之间D ．2-和1-之间 9．如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB AC ⊥，若4AB =，10BD =，则AC 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．810．如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿B C D A →→→的路径匀速运动到点A 处停止．设点P 运动的路程为x ，PAB V 的面积为y ，表示y 与x 函数关系的图象如图2所示，则下列结论正确的是（ ）①4a =；②20b =；③当9x =时，点P 运动到点D 处；④当9y =时，点P 在线段BC 或DA 上．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题11x 的取值范围是．12．已知点()12,A y -和点()23,B y 是一次函数23y x =-图象上的点，则1y 与2y 的大小关系是1y 2y ．（用“＞”“＜”“＝”填空）13．下表记录了四名运动员100米短跑几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加市运动会100米短跑项目，应选择．14．用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD 的面积为10，3AH =，则小正方形对角线EG 的长为．15．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为边CD 的中点，连接OE ．若2AB =，60DAB ∠=︒，则OE 的长为，菱形面积为．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线12y x =与2y x a =-+交于点()1,2P ，则不等式2x x a >-+的解集为．17．如图，在矩形ABCD 中，将BAD V 沿对角线BD 翻折，点A 落在点E 处，DE 与BC 交于点F ．若9BC =，3DC =，则DF 的长为．18．如图，点C 在线段AB 上，DAC △是等边三角形，四边形CDEF 是正方形．（1）DAE ∠=；（2）点P 是线段AE 上的一个动点，连接PB ，PC ．若1AC =，2BC =，则PB PC +的最小值为．三、解答题19．计算：(2)已知1x =，求224x x --的值．20．下面是小红设计的“已知直角作矩形”的尺规作图过程．已知：如图，90A ∠=︒．求作：矩形ABCD ．作法：如图，①在A ∠的两边上分别任取点B ，D （不与点A 重合）；②以点B 为圆心，AD 长为半径画弧，以点D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧在A ∠的内部交于点C ；③连接BC ，CD ．所以四边形ABCD 即为所求作的矩形．根据小红设计的尺规作图过程(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下列证明．证明：∵AB CD =，AD =_________，∴四边形ABCD 是平行四边形（_________）（填推理的依据）．又∵90A ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形（_________）（填推理的依据）．21．如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，求证：BF DE ∥．22．表格是一次函数y kx b =+（k ，b 为常数，0k ≠）中y 与x 的几组对应值．(1)求这个一次函数的表达式；(2)画出函数图象，并求出直线与坐标轴围成的三角形的面积．23．为响应“带动三亿人参与冰雪运动”的号召，某校七、八年级举行了“冰雪运动知识竞赛”．为了解学生对冰雪运动知识的掌握情况，学校从两个年级分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a．七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．b．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：c ．七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示：请你根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)上表中m ＝______，n ＝______，p ＝______；(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对冰雪运动知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）；(3)该校八年级共400名学生参加了此次测试活动，估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数．24．在平面直角坐标系xOy 中，将点(),2A m 向右平移4个单位长度，得到点B ，点B 在直线1y x =-上．(1)求m 的值和点B 的坐标； (2)如果一次函数2y x b =+的图象与线段AB 有公共点，则b 的取值范围是______． 25．已知：如图，在□ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，过点F 作FG ⊥BF 交BC 的延长线于点G ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）如果AB = 2，∠BAD=60°，求FG 的长．26．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数2y x =-的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整．(1)自变量x 的取值范围是全体实数，表格是y 与x 的几组对应值：其中，m =______；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表格中各对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；(3)①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是______；②当2x <时，y 随x 的增大而减小；当2x ≥时，y 随x 的增大而______；(4)进一步探究，若关于x 的方程2x kx -=（0k ≠）只有一个解，则k 的取值范围是______． 27．四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，点E 是AC 上一点（不与AC 中点重合），过点A 作AE 的垂线，在垂线上取一点F ，使AF AE =，并且点E 和点F 在直线AB 的同侧，连结FD 并延长至点G ，使FD GD =，连结GE ．(1)如图1所示①根据题意，补全图形；②求CEG ∠的度数，判断线段GE 和CE 的数量关系并给出证明．(2)若点E 是正方形内任意一点，如图2所示，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，给出证明；如果不成立，说明理由．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知矩形OABC ，其中点()5,0A ，()5,4B ，()0,4C ．给出如下定义：若点P 关于直线l ：x t =的对称点P '在矩形OABC 的内部或边上，则称点P 为矩形OABC 关于直线l 的“关联点”．例如，图1中的点D ，点E 都是矩形OABC 关于直线l ：3x =的“关联点”．(1)如图2，在点()13,2P --，()22,0P -，()34,2P ，()42,1P -中，是矩形OABC 关于直线l ：=1x -的“关联点”的为______；(2)如图3，点()2,3P -是矩形OABC 关于直线l ：x t =的“关联点”，且O A P '△是等腰三角形，请直接写出t 的值；(3)若在直线13y x b =+上存在点Q ，使得点Q 是矩形OABC 关于直线l ：=1x 的“关联点”，请直接写出b 的取值范围．。

北京第五中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S—ABC的体积为A． B． C． D．参考答案：2. 如图，位于A处前方有两个观察站B，D，且△ABD为边长等于3km的正三角形，当发现目标出现于C处时，测得∠BDC=45°，∠CBD=75°，则AC=（）A．15﹣6km B．15+6km C． km D． km参考答案：C【考点】三角形中的几何计算．【分析】先利用正弦定理，求出DC，再用余弦定理，求出AC．【解答】解：由题意，∠BCD=60°，∴=，∴DC=（3+），∵∠CDA=105°，∴AC==，故选C．3. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（）A． B．C．D．参考答案：C略4.如图，从双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则的大小关系为（）A．B．C．D．大小关系不确定参考答案：答案:B5. 圆，过点作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是（）A． B． C． D．参考答案：C6. 已知命题：，；命题：.则下列结论正确的是A．命题是真命题 B．命题是真命题C．命题是真命题 D．命题是假命题参考答案：C因命题假，命题真，所以答案选C.7. 点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长达到Q点，则Q的坐标为A. B. C. D.参考答案：【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1【答案解析】A 点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx= ，所以Q（cos ，sin ），所以Q（- ，)．故选A．【思路点拨】由题意推出∠QOx角的大小，然后求出Q点的坐标．8. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若=a，=b，则等于A． B．C． D．参考答案：C9. ”a<0”是”函数在区间上单调递增”的A.必要不充分条件B.充要条件C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件参考答案：D略10. 设，，，则a，b，c三数的大小关系是A. B.C. D.参考答案：C【分析】利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将a，b，c与，比较即可. 【详解】由，，，所以有.选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ______.参考答案：x+y=3或y=2x略12. 对于等差数列等比数列，我国古代很早就有研究成果.北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一堆货物，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，依此类推，记第n层货物的个数为a n，则数列{a n}的通项公式a n =_______.参考答案：【分析】由题得，利用等差数列化简即得解.【详解】由题得.故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13. 考察下列式子：；；；；得出的结论是．参考答案：14. 若某程序框图如图所示，则输出的S 的值是参考答案：24略15. 设，则的最小值为. 参考答案：，当且仅当，即时成立，故所求的最小值为.16. 在中，若，且，则的大小为．参考答案：17. 对于定义在区间D上的函数f(x)，若满足对，且x1<x2时都有，则称函数f(x)为区间D上的“非增函数”.若f(x)为区间[0，1]上的“非增函数”且f(0) = l，ff(x)+f(l—x) = l，又当时，f(x)≤-2x+1恒成立.有下列命题：①;②当时，f(x1)f(x-)③;④当时，.其中你认为正确的所有命题的序号为________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

一、选择题1． 复数21i i+等于( ) .1 .1 .22 .22A i B i C i D i -++-++2． 如图给出的是计算11113519S =++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( ). 10 . 10 . 9 . 9A i B i C i D i ><><3． 如图，PAB ，PC 分别是O 的割线和切线(C 为切点)．若3PA AB ==，则PC 的长为( ). 6 . 3A B C D4． 执行如图所示的程序，输出结果为( ). 12 . 48 . 240 . 24A B C D5． 如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 与函数2y x =图象下方的点构成的区域（阴影部分），向D 内随机投入一点，则该点落入E 中的概率为( )1111. . . . 5432A B C D6． 设函数32cos ()412f x x x x θ=++-，其中5[0,]6θπ∈，则导数(1)f '-的取值范围是( ). [3,6] . [3,4. [4. [44A B C D +-+7． 复数1z ，2z 满足：1|1|1z +=，2|22|1z i --=，则12||z z -的取值范围是( )2] 2] 2] 2]A B C D ++-+8． 已知3()f x x x =-，过点00(,)x y 作()f x 图象的切线，如果可以作出三条切线，当0(0,1)x ∈时，点00(,)x y 所在的区域面积为( )111. . . . 1234A B C D二、填空题9． 如图，AB 为O 直径，且8AB =，P 为OA 中点，过P 作O 的弦CD ，且:3:4CP PD =，则弦CD 的长度为___________．10． 已知()(0)xe f x a a x a=<-为常数，，则()f x 的单调增区间为___________，单调减区间为___________．11． 如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ．已知O 的半径为3．2PA =，则PC =___________，OE =___________．12． 函数42()4(0)f x ax ax b a =-+>在[1,2]的最大值为3，最小值6-，则a =___________，b =___________．13． 有下列命题① 若()f x 存在导函数，则(2)[(2)]f x f x ''=；② 若函数44()cos sin h x x x =-，则()112h π'=； ③ 若函数()(1)(2)(2011)(2012)g x x x x x =----，则(2012)2011!g '=； ④ 若三次函数32()f x ax bx cx d =+++，则“0a b c ++=”是“()f x 有极值点”的充要条件．其中真命题的序号是___________．14． 甲乙二人用密码数字传递信息，两人约定星期一用八进制，星期日用七进制，其余时间星期几就用几进制．先将所发信息用汉语拼音表示，再将汉语拼音中的每个字母对应英文字母的位置序号（如a 对应1，b 对应2，…，x 对应24，z 对应26等），再将这些序号用几进制重新表达，发给对方．例如：今天是星期五，甲想发送“学习”，他的操作程序是：xue xi→24215 249→1233330 1444发送，乙接收到的信息是123330 1444．在一个周日的早晨，甲收到乙发来的一个信息：302 32442．请问：甲接收到的中文信息是___________．三、解答题15． 已知函数2()8ln f x x x =-，求：⑴()f x 的图象在点(1,1)处的切线方程；⑵()f x 的单调增区间；⑶()f x 的极值．16． 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 中点，N 在线段BC 上运动(不与B C 、重合)，PD ⊥平面ABCD ，且PD AD ==，1CD =．⑴当N 是BC 中点时，证明：MN ∥平面PCD ；⑵求二面角A PB D --的余弦值；⑶是否存在点N ，使直线MN 与平面PBD 所成的角为60︒？若存在，求出线段BN 的长；若不存在，请说明理由．17． 为了了解某市高三学生的高考数学成绩，随机抽取40名考生座位样本，得到样本的频率分布直方图（如图），⑴求样本中，分数不低于110分的考生人数；⑵在抽取的40名考生样本中，任意取出2个，设X 表示分数不低于110分的人数，求X 的分布列；⑶用这个样本区估计总体，在该市任意抽取5名考生的试卷，求恰有2人的成绩不低于110分的概率．18． 已知函数2()ln(1)2 (0)2k f x x x x k =+-+≥， ⑴当2k =时，求()f x 在[0,1]上的最大值和最小值；⑵若()f x 在(0,1)上单调递减，求()f x 的极值点．。

北京五中2015-2016学年度第一学期期中考试试卷高三数学（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1、设集合0,1,2,3,4,5U ，1,2A ，2540Bx Z xx ，则=U C A B （）A 、0,1,2,3B 、5C 、1,2,4D 、0,4,52、已知aR ，则“2a”是“22a a ”的（）A 、充分非必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件3、已知2a ，3b，19ab ，则ab 等于（）A 、13B 、15C 、17D 、74、要得到函数sin 43yx的图像，只需要将函数sin 4yx 的图像（）A 、向左平移12个单位B 、向右平移12个单位C 、向左平移3个单位D 、向右平移3个单位5、若ABC 的三个内角A ，B ，C 满足6sin 4sin 3sin A B C ，则ABC （）A 、一定是锐角三角形B 、一定是直角三角形C 、一定是钝角三角形D 、可能是锐角或者钝角三角形6、设x ，y 满足约束条件1101xy x xy ，则目标函数2y z x的取值范围为（）A 、3,3B 、2,2C 、1,1D 、22,337、如图，AOB 为等腰直角三角形，1OA ，OC 为斜边AB 的高，P 为线段OC 的中点，则=AP OP （）A 、1B 、18C 、14D 、128、已知点0,1A ，曲线C ：ln ya x 恒过定点B ，P 为曲线C 上的动点且AP AB 的最小值为2，则=a （）A 、2B 、1C 、1D 、2二、填空题（没小题5分，共30分）9、写出命题p ：,0x，210xx 的否定。

10、函数2ln23fxxx 的单调减区间为。

11、已知正数x ，y 满足22xy ，则18yx的最小值为。

12、已知向量2,1a x x ，1,b x t ，若函数f xa b 在区间1,1上是增函数，则实数t 的取值范围是。

13、已知1tan 2，1tan7，且，0,，则2的大小为。

北京市第五中学2024-2025学年高三上学期期中检测数学试卷一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，若{}1,0,1,2,3A B ⋃=-，则集合B 可以是（）A ．∅B ．{}1,0,1-C ．{}2,3,4D ．{}1,2,32．若直线10ax y a --+=与直线330x ay a -+-=平行，则实数a 的值为（）A ．0B ．－1C ．1D ．－1或13．设曲线C 是双曲线,则“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()sin f x x x =，设,,763a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．c b a>>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．a c b>>5．已知两点(2,0)A -，(0,2)B ，点C 是圆224460x y x y +-++=上任意一点，则ABC V 面积的最小值是（）A ．8B ．6C ．3D ．46．已知抛物线C ：2=12y x 的焦点为F ，准线为l ，点A 在C 上，过A 点作准线的垂线交准线于B ，若2π3FAB ∠=，则BF =（）A ．B ．CD ．37．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3，1AA ⊥底面，底面扇环所对的圆心角为π2，AD长度为 BC长度的3倍，且线段2AB CD ==，则该“曲池”的体积为（）A ．92πB ．5πC ．112πD ．6π8．在直角三角形ABC V 中，90,2,4A AB AC ∠=︒==，点P 在ABC V 斜边BC 的中线AD 上，则PB PC ⋅的取值范围（）A ．[5,0]-B ．[3,0]-C ．[0,3]D ．[0,5]9．金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度h 与其来摘后时间t （天）满足的函数解析式为()()ln 0h m t a a =+>.若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%；若采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.现在金针菇失去的新鲜度为60%，则采摘后的天数为（）（结果保留1.41≈）A ．1.5B ．1.8C ．2.0D ．2.110．已知定点()3,0A ，()0,4B ，若点C 在圆22:4O x y +=上运动，则2CA CB +的最小值为（）A ．B ．6C ．2+D ．2+二、填空题11．复数21iz =+的共轭复数z =.12．已知ABCD 为正方形，若椭圆M 与双曲线N 都以A 、B 为焦点，且图象都过C 、D 点，则椭圆M 的离心率为，双曲线N 的离心率为.13．在△ABC 中，4AB B π=∠=，点D 在边BC 上，2,3ADC π∠=CD =2，则AD =；△ACD 的面积为.14．已知函数()e-=x tf x ，()e =-+g x x ，()()(){}max ,h x f x g x =，其中{}max ,a b 表示a ，b 中最大的数．若1t =，则()0h =；若()e h x >对R x ∈恒成立，则t 的取值范围是．15．已知函数()323f x x x =-.给出下列四个结论：①过点()0,2A 存在1条直线与曲线()y f x =相切；②过点()2,10B 存在2条直线与曲线()y f x =相切；③过点()1,2C -存在3条直线与曲线()y f x =相切；④过点()1,D t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是()3,2--.其中，正确结论的序号是.三、解答题16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，14,3,5AA AC AB BC ====，点D 是线段BC 的中点.(1)求证：1AB AC ⊥；(2)求点1B 到平面1ACD 的距离；(3)求二面角1D CA A --的余弦值.17．设()()()ππsin cos cos sin 0,0,022f x A x A x A ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><<<< ⎪⎝⎭过点0,1，且一个周期的图象（原点O ，最高点M ，最低点N ）如图所示：(1)求A ，ϕ；(2)再从以下三个条件中任选其一，使函数()f x 唯一确定，并求()f x 的单调递增区间.条件①：5MN =；条件②：OM =条件③：502f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.18．自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到.不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作4T ，4S ，4F ，4Lz 的“基础分”如表1所示.跳跃动作4T 4S 4F 4Lz 基础分9.59.711.011.5表1选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”.表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”.4T 12.0411.22 4.759.069.9711.6310.984S 10.9810.5711.32 4.859.5112.074F 13.69 5.5014.0212.924Lz 13.5414.2311.218.3811.87表2假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立.(1)从该选手上一赛季所有4T 动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率；(2)若该选手在本赛季中，计划完成4T ，4S ，4F 这三个动作，且每个动作只完成一次.将这三个动作中成功的跳跃个数记为X ，求X 的分布列和数学期望E （X ）；(3)在本赛季中，从四个跳跃动作4T ，4S ，4F ，4Lz 中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称.19．已知函数()e ax f x x=，其中0a >.(1)当2a =时，求曲线=在点()()2,2f 处的切线方程；(2)求=的单调区间；(3)当12x x <且120x x ⋅>时，判断()()12f x f x -与1211x x -的大小，并说明理由.20．设椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>()4,0P 的直线与椭圆交于A ，B 两点，当直线AB 经过椭圆中心O 时，AB 4=.(1)求椭圆M 的方程；(2)已知点()1,1T ，直线AT 和直线BT 分别与y 轴交于C ，D ，与x 轴交于E ，F ，若3CDT EFT S S =△△，求直线AB 的斜率.21．设正整数数列{}n a 满足125,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩，为偶数为奇数N n *∈.(1)若61a =，请写出1a 所有可能的取值；(2)记集合{}*n M a n =∈N∣，且1a 不是5的倍数，求证：1M ∈；(3)存在常数T ，对于*N n ∀∈都有n T n a a +=，求1a 所有可能的取值.。