高三数学二轮复习讲座详稿

哈五中高三数学第二轮复习专题讲座（教师版）直线、平面、简单几何体第四课时题型四 求空间角【典例５】（重庆高考）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，11,1AB BB ==，E 为1BB 上使11B E =的点 平面1AEC 交1DD 于F ，交11A D 的延长线于G ，求：（Ⅰ）异面直线AD 与1C G 所成角的大小； （Ⅱ）二面角11A C G A --的正切值；分析：本题以棱柱为载体考查了空间线线角、面面角。

属于考查角的典型题型。

解析：解法一：（１）由11//AD D G C GD ∠知为异面直线1AD C G 与所成的角.连接1C F .因为AE 和1C F 分别是平行平面1111ABB A CC D D 和与平面1AEC G 的交线,所以1//AE C F ,由此可得1D F BE =,再由1FD G △∽FDA △得1D G在11Rt 6C GD π∠=11111△C D G 中，由C D =1,D（２）作11D H C G ⊥于H ,连接FH ,由三垂线定理知1FH C G ⊥,故1D HF ∠为二面角11F C G D --即二面角11A C G A --的平面角在1Rt GFD ∆中,由1DG =16D GH π∠=得12D H =,从而111an 2D Ft D HF D H∠===解法二：B 11B 1（１）由11//AD D G C GD ∠知为异面直线1AD C G 与所成的角.因为1EC 和AF 分别是平行平面1111BB C C AA D D 和与平面1AEC G 的交线,所以1//EC AF ,由此可得1114AGA EC B π∠=∠=从而111A G AA ==,于是1D G =在11111111,6Rt C D G C D D G C GD π==∠=中，由（２）在1111,46C AG AGC ππ∠=∠=11△A C G 中，由知11AC G ∠为钝角,作11A H GC ⊥交1GC 的延长线于H ,连接AH ,由三垂线定理知GH AH ⊥,故1AHA ∠为二面角二面角11A C G A --的平面角,在1Rt A HG ∆中,由11AG =,16AGH π∠=得112A H =,从而111an 2AA t AHA A H∠===解法三：（１）以1A 为原点,11111,,A B A D A A 所在直线分别为x 轴,y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.于是001A（,1(1,1,0)C,1)D , (1,0,1)E ,(0,1,0)AD =,1(0,1,1)EC =-因为1EC 和AF 分别是平行平面1111BB C C AA D D 和与平面1AEC G 的交线,所以1//EC AF ,设(0,y,0)G (0,,1))AG y =-由11//y EC AG －得于是1故11,0),(G C G =-,设异面直线AD 与1C G 所成的角的大小为θ,则113cos ||||AD C G AD C G θ⋅==⋅,从而6πθ=.（２）作111,A H C G H GH AH AHA ⊥⊥∠于，由三垂线定理知故为二面角二面角11A C G A --的平面角,设(,,0)H a b ,则1(,,0)A H a b =，1(-1,-1,0)C H a b =,由11A H C G ⊥得110A H C G ⋅=,由此得0()a i =又由1,,H C G 共线得11//C H C G ,从而11a --,于是1)0()b ii +-=联立（I ）和（II）得ab ,故H由1||(A H =,1||31A A =+得 111||3an 2||3A A t AHA A H ∠===拓展提升：作异面直线所成角的常用方法有：（１）平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另外一条直线的平行线或利用中位线；（２）补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系。

哈五中高三数学第二轮复习专题讲座(教师版)直线、平面、简单几何体第一课时题型一 多面体中平行与垂直的证明【典例1】(2004年天津高考) 如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD =DC ,E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F .（1）证明P A //平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C —PB —D 的大小.解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直,二面角等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力,满分12分.方法一：（1）证明：连结AC ,AC 交BD 于O ,连结EO . ∵底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点 在PAC ∆中,EO 是中位线,∴P A // EO 而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB , 所以,P A // 平面EDB （2）证明：∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ,∴DC PD ⊥∵PD =DC ,可知PDC ∆是等腰直角三角形,而DE 是斜边PC 的中线, ∴PC DE ⊥. ①同样由PD ⊥底面ABCD ,得PD ⊥BC .∵底面ABCD 是正方形,有DC ⊥BC ,∴BC ⊥平面PDC . 而⊂DE 平面PDC ,∴DE BC ⊥. ② 由①和②推得⊥DE 平面PBC . 而⊂PB 平面PBC ,∴PB DE ⊥又PB EF ⊥且E EF DE = ,所以PB ⊥平面EFD .（3）解：由（2）知,DF PB ⊥,故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角. 由（2）知,DB PD EF DE ⊥⊥,.设正方形ABCD 的边长为a ,则a BD a DC PD 2,===a BD PD PB 322=+=, a DC PD PC 222=+=a PC DE 2221==.A C在PDB Rt ∆中,a aa a PB BD PD DF 3632=⋅=⋅=. 在EFD Rt ∆中,233622sin ===a aDF DE EFD , ∴3π=∠EFD .所以,二面角C —PB —D 的大小为3π. 方法二：如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点,设a DC =. （1）证明：连结AC ,AC 交BD 于G ,连结EG . 依题意得)2,2,0(),,0,0(),0,0,(a a E a P a A . ∵底面ABCD 是正方形,∴G 是此正方形的中心,故点G 的坐标为)0,2,2(aa 且)2,0,2(),,0,(aa EG a a PA -=-=.∴EG PA 2=,这表明P A //EG .而⊂EG 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ,∴P A //平面EDB . （2）证明:依题意得(,,0)B a a ,(,,)PB a a a =-.又(0,,)22a a DE =, 故220022a a PB DE ⋅=+-=.∴DE PB ⊥.由已知PB EF ⊥,且E DE EF = ,所以⊥PB 平面EFD . （3）解：设点F 的坐标为),,(000z y x ,PB PF λ=,则),,(),,(000a a a a z y x -=-λ.从而a z a y a x )1(,,000λλλ-===.所以))21(,)21(,()2,2,(000a a a z a y a x FE ---=---=λλλ. 由条件PB EF ⊥知,0=⋅PB FE ,即0)21()21(222=---+-a a a λλλ,解得31=λ∴点F 的坐标为)32,3,3(aa a ,且(,,)366a a a FE =--,)32,3,3(aa a FD ---=∴03233222=+--=⋅a a a FD PB 即FD PB ⊥,故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角.∵691892222a a a a FD FE =+-=⋅,且 a a a a FE 6636369||222=++=,a a a a FD 369499||222=++=,∴2136666||||cos 2=⋅==a a a FD FE EFD . ∴3π=∠EFD .所以,二面角C —PB —D 的大小为3π. 拓展提升：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从9(A)证法中都能十分明显地体现出来 【变式训练】1（( 2006年湖南卷）如图4,已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高分别为1和2,AB =4.(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ;(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角; (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.解法一 （Ⅰ）连结AC 、BD ，设O BD AC = .由P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD .从而P 、O 、Q 三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD . （Ⅱ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD . 由（Ⅰ），QO ⊥平面ABCD . 故可分别以直线CA 、DB 、QP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P （0，0，1），A （22，0，0），Q （0，0，－2），B （0，22，0）.所以)2,0,22(--=AQ，图4(0,1)PB =-于是1cos ,623AQ PB AQ PB AQ PB⋅<>==⋅.从而异面直线AQ 与PB 所成的角是31arccos .(Ⅲ)由（Ⅱ），点D 的坐标是（0，－22，0），)0,22,22(--=AD ，(0,0,3)PQ =-，设),,(z y x n =是平面QAD 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0AD n AQ n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+002y x z x . 取x =1，得)2,1,1(--=n . 所以点P 到平面QAD 的距离322PQ n d n⋅==. 解法二 （Ⅰ）取AD 的中点，连结PM ，QM . 因为P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥， 所以AD ⊥PM ，AD ⊥QM . 从而AD ⊥平面PQM . 又⊂PQ 平面PQM ，所以PQ ⊥AD .同理PQ ⊥AB ，所以PQ ⊥平面ABCD .（Ⅱ）连结AC 、BD 设O BD AC = ，由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在PQ 上，从而P 、A 、Q 、C 四点共面.因为OA ＝OC ，OP ＝OQ ，所以P AQC 为平行四边形，AQ ∥PC . 从而∠BPC （或其补角）是异面直线AQ 与PB 所成的角. 因为322)22(2222=+=+==OP OC PC PB ，所以31323221612122cos 222=⨯⨯-+=⋅-∠PC PB BC PC PB BPC ＋＝. 从而异面直线AQ 与PB 所成的角是31arccos .(Ⅲ)连结OM ，则PQ AB OM 21221===. 所以∠PMQ ＝90°，即PM ⊥MQ .由（Ⅰ）知AD ⊥PM ，所以PM ⊥平面QAD . 从而PM 的长是点P 到平面QAD 的距离. 在直角△PMO 中，22222222=+=+=OM PO PM . 即点P 到平面QAD 的距离是22.QBCPADOM2.(2007全国Ⅰ·文)四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知45ABC ∠=︒，2AB =，BC =SA SB == （Ⅰ）证明：SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小． 解法一：（1）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ． 因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥． （Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥， 依题设AD BC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =SD又sin 452AO AB ==DE BC ⊥，垂足为E ，则DE ⊥平面SBC ，连结SE ．ESD ∠为直线SD 与平面SBC 所成的角．sin 11ED AO ESD SD SD ====∠ 所以，直线SD 与平面SBC所成的角为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O xyz -，因为2AO BO AB ===1SO =，又BC =0)A ，，DBCASOE(0B，(0C ，． (001)S ，，，(21)SA =-，，， (0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）(21)SD SA AD SA CB =+=-=--，，(20)OA =，，. OA 与SD 的夹角记为α，SD 与平面ABC 所成的角记为β，因为OA 为平面SBC 的法向量，所以α与β互余．22cos 11OA SD OASDα==，sin 11β=，所以，直线SD 与平面SBC 所成的角为arcsin 11．3.（全国1）已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形,AB ∥DC ,⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ,且PA =AD =DC =21AB =1,M 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小. 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分. 方案一：（Ⅰ）证明：∵P A ⊥面ABCD ,CD ⊥AD , ∴由三垂线定理得：CD ⊥PD .因而,CD 与面P AD 内两条相交直线AD ,PD 都垂直, ∴CD ⊥面P AD . 又CD ⊂面PCD ,∴面P AD ⊥面PCD . （Ⅱ）解：过点B 作BE //CA ,且BE =CA , 则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.连结AE ,可知AC =CB =BE =AE =2,又AB =2,所以四边形ACBE 为正方形. 由P A ⊥面ABCD 得∠PEB =90° 在Rt △PEB 中BE =2,PB =5, .510cos ==∠∴PB BE PBE .510arccos所成的角为与PB AC ∴D CA DCBN M E P（Ⅲ）解：作AN ⊥CM ,垂足为N ,连结BN . 在Rt △P AB 中,AM =MB ,又AC =CB , ∴△AMC ≌△BMC ,∴BN ⊥CM ,故∠ANB 为所求二面角的平面角. ∵CB ⊥AC ,由三垂线定理,得CB ⊥PC , 在Rt △PCB 中,CM =MB ,所以CM =AM . 在等腰三角形AMC 中,AN ·MC =AC AC CM⋅-22)2(, 5625223=⨯=∴AN . ∴AB =2,322cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB故所求的二面角为).32arccos(-方法二：因为P A ⊥PD ,P A ⊥AB ,AD ⊥AB ,以A 为坐标原点AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为A （0,0,0）B （0,2,0）,C （1,1,0）,D （1,0,0）,P （0,0,1）,M （0,1,)21. （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故 由题设知AD ⊥DC ,且AP 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线,由此得DC ⊥面P AD . 又DC 在面PCD 上,故面P AD ⊥面PCD . （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC.510||||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC PB AC PB AC PB AC 所以故（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ,y ,z ）,则存在,R ∈λ使,MC NC λ=11(1,1,),(1,0,),1,1,..22NC x y z MC x y z λλ=---=-∴=-==要使.54,0210,==-=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN MC AN),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.30304||,||,.555AN BN AN BN ==⋅=- 2cos(,).3||||AN BNAN BN AN BN ⋅∴==-⋅故所求的二面角为2arccos().3-第二课时题型二 结论探索性问题 【典例2】（2006年江西高考）如图,在三棱锥A －BCD 中,侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边,且AD BD ＝CD ＝1,另一个侧面是正三角形(1)求证：AD ⊥BC(2)求二面角B －AC －D 的大小 (3)在直线AC 上是否存在一点E ,使ED 与面BCD 成30︒角？若存在,确定E 的位置；若不存在,说明理由.分析：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，考查了余弦定理尤为突出的是本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。

高三数学第二轮复习计划潍坊滨海中学高三数学组2011年3月21日滨海中学高三数学第二轮复习计划针对本校数学薄弱的实际情况，经过本组老师的共同分析研讨，特制定第二轮复习计划如下：一、基本策略和要求（1）抓好集体备课。

每周一次的集体备课必须抓落实，发挥集体智慧的力量研究数学高考的动向，学习与研究《考试说明》、《考试大纲》，比较新、旧《考试说明》的差异，注意哪些内容降低要求，哪些内容成为新的高考热点。

明确高考“考什么”，“怎样考”，讲课讲透，讲练到位。

（2）抓好基础知识，精讲多练。

课本是高考试题的源头，基础知识是能力提高的根本。

高考除重视教材的作用外，还注重通性通法，淡化特殊技巧，体现对基本知识和基本概念的考查。

在当前减负增效形势下，更应少走弯路。

针对这种情况，要求教师要有目标的精讲。

基本做到三讲、三不讲。

三讲：容易混淆的知识点要讲；容易解错的知识点要讲；容易遗漏的知识点要讲。

三不讲：学生已会的不讲；学生怎么也学不会的不讲；老师看了答案才勉强会做的不讲。

提倡教师要勇于抛弃一些学生难以掌握的非常规解法，将课本中的通性通法实实在在讲好讲透，让学生扎扎实实掌握这一类问题的解法。

（3）强化主干知识与数学思想方法的复习。

强化高中数学主干知识的复习，形成良好知识网络。

整理知识体系，总结解题规律，模拟高考情境，提高应试技巧，掌握通性通法。

对重点、难点、疑点、误点、弱点、考点进行强化训练。

二、复习的内容和形式复习内容：（1）函数和导数（一周）此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是高考重点，特别要注重交汇问题的训练。

对二次函数的复习要达到一定的深度。

（2）三角函数、平面向量和解三角形（一周）此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，三角变换是重点。

（3）数列（一周）此专题重点是等差等比数列内在联系，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。

（4）立体几何（一周）此专题注重点线面的关系，论证平行与垂直问题的通性通法，注意各种角与距离的求法。

张喜林制[选取日期]高三数学第二轮专题讲座复习：关于求空间的角的问题高考要求空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想 重难点归纳空间角的计算步骤 一作、二证、三算1 异面直线所成的角 范围 0°＜θ≤90°方法 ①平移法；②补形法2 直线与平面所成的角 范围 0°≤θ≤90° 方法 关键是作垂线，找射影3 二面角方法 ①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法注1 二面角的计算也可利用射影面积公式S ′=S cos θ来计算注2 借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果 4．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线,a b 所成的角θ：cos cos ,a b θ=<>；⑵直线a 与平面α(法向量n )所成的角θ：sin cos ,a n θ=<>； ⑶锐二面角θ：cos cos ,m n θ=<>，其中,m n 为两个面的法向量。

典型题例示范讲解例1在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、A ′D ′的中点(1)求证 四边形B ′EDF 是菱形；(2)求直线A ′C 与DE 所成的角；(3)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角；(4)求面B ′EDF 与面ABCD 所成的角命题意图 本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强知识依托 平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角 错解分析 对于第(1)问，若仅由B ′E =ED =DF =FB ′就断定B ′EDF 是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B ′、E 、D 、F 四点共面技巧与方法 求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法(1)证明 如上图所示，由勾股定理，得B ′E =ED =DF =FB ′=25a ,下证B ′、E 、D 、F 四点共面，取AD 中点G ，连结A ′G 、EG ，由EG AB A ′B ′知，B ′EGA ′是平行四边形 ∴B ′E ∥A ′G ,又A ′FD G ,∴A ′GDF 为平行四边形∴A ′G ∥FD ，∴B ′、E 、D 、F 四点共面故四边形B ′EDF 是菱形(2)解 如图所示，在平面ABCD 内，过C 作CP ∥DE ，交直线AD 于P ，则∠A ′CP (或补角)为异面直线A ′C 与DE 所成的角在△A ′CP 中， 易得A ′C =3a ，C P =DE =25a ,A ′P =213a 由余弦定理得cos A ′CP =1515 故A ′C 与DE 所成角为另法（向量法） 如图建立坐标系，则(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2aA a C a a D a E a '(,,),(,,0)2aA C a a a DE a '⇒=-=-15cos ,15||||A C DE A C DE A C DE ''⇒<>==' 故A ′C 与DE 所成角为 (3)解 ∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上 如下图所示又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′ 在Rt △B ′AD 中，AD =2a ，AB ′=2a ,B ′D =2a则cosADB ′=33故AD 与平面B ′EDF 所成的角是 另法（向量法）∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上 如下图所示 又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线，故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′， 如图建立坐标系，则 (0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a '(0,,0),(,,)DA a DB a a a '⇒=-=-3cos ,3||||DA DB DA DB DA DB ''⇒<>=='，故AD 与平面B ′EDF 所成的角是 (4)解 如图，连结EF 、B ′D ，交于O 点，显然O 为B ′D 的中点，从而O 为正方形ABCD —A ′B ′C ′D 的中心作OH ⊥平面ABCD ，则H 为正方形ABCD 的中心， 再作HM ⊥DE ，垂足为M ，连结OM ，则OM ⊥DE ，B故∠OMH 为二面角B ′—DE ′—A 的平面角在Rt △DOE 中，OE =22a ,OD =23a ,斜边DE =25a , 则由面积关系得OM =1030=⋅DEOEOD a 在Rt △OHM 中，sin OMH =630=OM OH 故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为 另法（向量法） 如图建立坐标系，则(0,0,0),(0,0,),(,0,),(0,,0),(,,0)2aA A aB a a D a E a ''，所以面ABCD 的法向量为(0,0,),m AA a '==下面求面B ′EDF 的法向量n设(1,,)n y z =，由(,,0),(0,,),22a aED a EB a '=-=- 00221002a a y nED y a z nED y az ⎧-+=⎪⎧==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⎩⎪⎪⎩-+=⎪⎩∴(1,2,1)n =∴6cos ,||||6n m n m n m <>==故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为 例2如下图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱AA 1长为b ,且AA 1与AB 、AD 的夹角都是120°求 (1)AC 1的长；(2)直线BD 1与AC 所成的角的余弦值技巧与方法 数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用21111111222111:(1)||()()()()||||||222AC AC AC AA AC AA AC AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AA AD AB AD=⋅=++=++++=+++⋅+⋅+⋅解22222111112221:||,||||,,120,,9011cos120,cos120,0,22||2AA b AB AD aAA AB AA AD AB AD AA AB b aab AA AD b a ab AB AD AC a b ===<>=<>=︒<>=︒∴⋅=⋅︒=-⋅=⋅︒=-⋅=∴=+-由已知得12,||ab AC ∴=1111112211(2),||2,()()AC a AC AB AD BD AD BA AA AD AB AC BD AB AD AA AD AB AB AA AD AA AB AD AD AB ==+=+=+-∴⋅=++-=⋅+⋅+⋅+-依题意得21111122222111||()()||||||2222AB AD ab BD BD BD AA AD AB AA AD AB AA AD AB AA AD AB AD AA AB a b -⋅=-=⋅=+-+-=+++⋅-⋅-⋅=+2212||b a BD +=∴111cos ,||||4BD AC BD AC BD AC ⋅<>==∴BD 1与AC例3如图，l αβ--为60°的二面角，等腰直角三角形MPN 的直角顶点P 在l 上，M ∈α,N ∈β,且MP 与β所成的角等于NP 与α (1)求证 MN 分别与α、β所成角相等； (2)求MN 与β所成角(1)证明 作NA ⊥α于A ，MB ⊥β于B ,连接AM ，再作AC ⊥l 于C ，BD ⊥l 于D ，连接NC 、∵NA ⊥α,MB ⊥β,∴∠MPB 、∠NP A 分别是及NP 与α所成角，∠MNB ，∠NMA 分别是MN 与角，∴∠MPB =∠NP A在Rt △MPB 与Rt △NP A 中，PM =PN ，∠MPB =∠NPA ，∴△MPB ≌△NPA ，∴MB =NA在Rt △MNB 与Rt △NMA 中，MB =NA ，MN 是公共边，∴△MNB ≌△NMA ，∴∠MNB =∠NMA ，即(1)结论成立(2)解 设∠MNB =θ,MN =2a ,则PB =PN =a ,MB =NA =2a sin θ，NB =2a cos θ,∵MB ⊥β,BD ⊥l ,∴MD ⊥l ,∴∠MDB 是二面角α—l —β的平面角，∴∠MDB =60°，同理∠NCA =60°,∴BD =AC =3633=MB a sin θ,CN =DM =63260sin 6=︒MB a sin θ, ∵MB ⊥β，MP ⊥PN ，∴BP ⊥PN∵∠BPN =90°,∠DPB =∠CNP ,∴△BPD ∽△PNC ,∴PBBDPN PC ===整理得，16sin 4θ－16sin 2θ+3=0解得sin 2θ=4341或,sin θ=2321或，当sin θ=23时，CN =632a sin θ= 2a ＞PN 不合理，舍去 ∴sin θ=21,∴MN 与β所成角为30°。

高三数学二轮复习专题讲解 第10讲 导数中的极值点偏移问题专题综述极值点偏移问题在高考和模考中都是一个热点问题，试题设问灵活新颖，综合性强，难度较大，往往作为压轴题出现. 极值点偏移的定义：对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，函数()f x 的零点分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0212x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2）若0212x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏；（3）若0212x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0x 右偏.极值点偏移问题大致分为4中类型：加法型、减法型、商型、平方型，本专题重点探究这类问题的一般解法.专题探究探究1：构造对称的和（或差）已知函数()f x 在区间(),a b 的两个零点为12,x x ，或()()12f x f x =，且极值点为0x ，证明关于12,x x 的加法型不等式、乘法型不等式问题，可进行对称化构造，解决此类问题. 答题思路：例：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+，或2120x x x <（1）定极值点：讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ，设102x x x <<；假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增.（2）构造函数)2()()(0x x f x f x F --=或2()()()x F x f x f x=-；分析：①要证1202x x x +<⇐只需证02012x x x x <<-⇐只需证()()2012f x f x x <-⇐即证()()1012f x f x x <-，构造函数()00()()(2),0,F x f x f x x x x =--∈.②要证2120x x x <⇐只需证20021x x x x <<⇐只需证()2021x f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭⇐即证()2011x f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，构造函数()20()()(),0,x F x f x f x x x=-∈.（3）利用单调性比较大小：通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，求出函数()F x 的最值.（4）转化：转化为()()101,2f x f x x -，或()2011,x f x f x ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系.若要证明12'()2x x f +的符号问题，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.(2022江苏省扬州市月考)已知函数()ln .f x ax x =+（1）讨论()f x 的单调性：（2）若1x ，212()x x x <是()f x 的两个零点.证明：122x x a+>-；【审题视点】证明()f x 的两个零点的加法型不等式，构造函数()()02y f x f x x =--解决.【思维引导】通过讨论单调性，明确有两个零点时的极值点及单调区间，根据上述答题思路，构造函数()21,0,y f x f x x a a ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求最值，从而得出()2f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，再利用函数()f x 的单调性，得出自变量值的大小关系.【规范解析】解：（1）由题意得 11()axf x a x x+'=+=，则当0a …时()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞为增函数当0a <时，令()0f x '>，则1x a <-∴()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a -+∞上单调递减综上，0a …时，()f x 在(0,)+∞为增函数；0a <时，()f x 在1(0,)a-上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减（2）由（1）知，当0a <时函数()f x 有两个零点且max 11()()1ln 0f x f a a ⎛⎫=-=-+-> ⎪⎝⎭，∴10a e-<<，又210x x >>，∴1210x x a <<-<，则2121x x a a >-->-，设21()()(),0,g x f x f x x a a ⎛⎫=---∈- ⎪⎝⎭ 则22(1)()02ax g x ax x a +'=>⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴()g x 在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增()10g x g a ⎛⎫∴<-= ⎪⎝⎭即当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()()f x f x a <--故()2112()()f x f x f x a=<--()f x 在区间1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减212x x a ∴>--，即122x x a+>-【探究总结】本题证明的不等式中含有两个变量,对于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧,然后根据函数的单调性,通过两个变量之间的关系“减元”,建立新函数,最终将问题转化为函数的最值问题来求解.解题时，按照答题思路，逐步呈现，较容易的证明出结论，注意细节的处理. 证明乘法型不等式有时也可以通过取对数，变为加法型解决.(2022江苏南京联考)已知函数2()ln 1.f x x x ax =-+（1）若()0f x …恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若函数3()1y f x ax ax =-+-的两个零点为1x ，2x ，证明：212.x x e >探究2：消参减元消参减元的主要目的就是减元,进而构造与所求解问题相关的函数.主要是利用函数极值点乘积所满足的条件进行消参减元.其解题要点如下:答题思路：（1）建立方程组：若12,x x 为函数()f x 的两个零点，则()()1200f x f x =⎧⎪⎨=⎪⎩，若12,x x 为函数()f x 的两个极值点，则()()1200f x f x '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，方程组中都含有参数；（2）定关系：利用方程之间的和差积商的运算，建立12,x x 与参数的关系；（3）消参减元：将所需证明的不等式或需求取值范围的代数式表示出来，表示的过程中，要12,x x 与参数的关系式消去参数，将12,x x 以比值或差值的形式呈现，将比值或差值设为t ，减元. （4）构造函数求解：构造关于t 的函数，转化为求函数的单调性、极值、最值问题.(2022湖北省荆州市高三模拟)已知函数21()2ln .2f x x ax x =-+（1）讨论()f x 的单调性; （2）设31()()22g x xf x x x =-+有两个不同的零点1x ，2x ，且2130x x -…，证明：2126.x x e -+>【审题视点】2130x x -≥转化为213x x ≥，可以利用消参减元的方法求12x x +的范围.【思维引导】第（2）问中得出2112ln 22ln 22x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，可用1x ，2x 表示出a ，通过两方程相加，等号左侧凑出12ln x x ，右侧变形出现21x x ，换元完成减元. 【规范解析】解：（1）由题意得2121()2x ax f x x a x x-+'=-+=①当0a …时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上为单调递增；②当0a >时，2210x ax -+=的判别式2440a =-…，i ）当01a <…时，()0f x '…，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数；ii ）当1a >时，令()0f x '=，则3x a =-4x a =34(0,)(,)x x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在3(0,)x ，4(,)x +∞上单调递增，当34(,)x x x ∈时，()0f x '<，()f x 在34(,)x x 上为单调递减.综上所述：当1a …时，()f x 在(0,)+∞上为增函数，当1a >时，()f x在(0,a和()a +∞上单调递增，在(a a -+上单调递减.（2）证明：31()()2(ln 22)2g x xf x x x x x ax =-+=-+，∴1x ，2x 是方程ln 220x ax -+=的两个不等实根，则2112ln 22ln 22x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，∴2121ln ln 2()x x a x x -=-，∴21121221ln ln ln ln 4()x x x x x x x x -++=+-，即212122111ln()4ln 1x x xx x x x x ++=-，设21x t x =，则3t …， 设1()ln 1t g t t t +=-，(3)t …，则212l n ()(3)(1)t tt g t t t --'=-…，设1()2ln (3)h t t t t t=--…，则()22(1)0t h t t -'=>，∴()h t 在[3,)+∞上为增函数，∴1()(3)3ln303h t h =-->…， 则212ln ()0(1)t t t g t t --'=>-， ∴()g t 在[3,)+∞上为增函数，∴()(3)2ln3ln9g t g ==…，即12ln()4ln9x x +…，即1249x x e …，又120x x <<，∴212266x x e e -+>=，即2126.x x e -+> 【探究总结】求解本题的关键点有两个：一个是消参，列出零点12,x x 的方程组，需要利用两个变量12,x x 把参数a 表示出来，这是解决问题的基础；二是减元,即减少变量的个数,把方程转化为一个“变量”的式子后,构造与之相应的函数,转化为函数问题求解.(2022安徽蚌埠月考)已知函数()ln 1f x x ax =-+有两个零点．（1）求a 的取值范围；（2）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：()121.f x x a '⋅<-探究3：比（差）值换元比(差)值换元的目的也是消参、减元,就是根据已知条件首先建立12,x x 之间的关系, 然后利用两个极值点之比(差)作为变量t ,实现消参、减元的目的.结合12,x x 满足的方程组，使12,x x 分别用t 表示，带入需证明或求范围的代数式，转化为关于t 的函数求解.(2022山东青岛联考)设函数()(1)ln af x x a x b x=++-+，,a b R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，若函数()()ln F x f x x x =+-恰有两个零点1x ，212(0)x x x <<，求证：22122.x x +> 【审题视点】思路一：12,x x 为函数两个零点，且函数()F x 中含有参数，需要消参；求证平方型不等式，利用()()120,0F x F x ==，凑不出平方和，故使用比值换元法，构造关于t 的函数.思路二：根据基本不等式可得()21222122x x x x ++>，可利用探究一中的方法证明122x x +>，再证明22122x x +>.【思维引导】设21x t x =，再利用()()120,0F x F x ==，分别用t 表示12,x x ，带入2212x x +，构造关于t 的函数. 【规范解析】（1）解：由题意得221(1)()()1a a x x a f x x x x -+-'=-+=，(0).x > ①当0a …时，()0f x '>，即()f x 在(0,)+∞上是增函数; ②当0a >时，若(0,)x a ∈，则()0f x '<，此时()f x 单调递减; 若(,)x a ∈+∞，则()0f x '>，此时()f x 单调递增. 综上可得：当0a …时，()f x 在(0,)+∞上单调递增;当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.（2）证明：当1a =时，1()()ln ln F x f x x x x b x=+-=++， 则11221ln 01ln 0x b x x b x ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩相减得121212ln ln x x x x x x -=-121212.ln ln x x x x x x -∴=-令211x t x =>，则21x tx =，111212ln x tx x x x x -∴=10x >，211ln ln t t x t t--∴==- 211ln x t x t t t-∴== 21211111(1)ln ln ln ln t t t t x x t t t t t t t----∴+=+=+=设2()12ln (1)g t t t t t =-->，则()22(1ln )g t t t '=-+设()()h t g t ='，则2()20h t t'=-> ()g t ∴'在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g t g ∴'>'= ()g t ∴在(1,)+∞上单调递增()(1)0g t g ∴>=，即212ln 0t t t -->，212ln t t t ∴->1t >，ln 0t t ∴>212ln t t t -∴>，即222121212()2.22x x x x x x ++>∴+>> 2212 2.x x ∴+>【探究总结】平方型的不等式，利用方程组()()120,0f x f x ==通过加减难以变形出现的情况下，利用比（差）值换元，将12,x x 用t 表示，带入不等式，转化为关于t 的函数.但处理这类问题，方法不唯一，也可以巧妙变形利用消参减元证明，或构造对称和（或差）证明.（2022福建宁德模拟）已知函数()1()x f x ae lnx a R -=+-∈．（1）当a e …时，讨论函数()f x 的单调性：（2）若函数()f x 恰有两个极值点1x ，212()x x x <，且1223x x ln +…，求21x x 的最大值． 专题升华导数中的极值点偏移问题，题干中出现12,x x 为函数零点或极值点，证明关于12,x x 的不等式或求代数式的范围，这类问题能较好考查学生的逻辑推理能力,数据处理能力,转化与化归思想,函数与方程思想等.常见的需证明的12,x x 的关系有加法型、减法型、乘法型和商型，每种类型没有唯一的解题方法，上述方法要灵活运用.以探究一的变式训练为例：方法一：构造对称的和（或差）函数极值点为1a ，证明21221x x e a >>，构造函数()()211,0,F x h x h x a x a ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 方法二：构造对称的和（或差）结合基本不等式函数极值点为1a ，可以先证明122x x a +>，构造函数()()21,0,F x h x h x x a a ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用基本不等式证明212x x e >；方法三：消参换元由1122ln 0ln 0x ax x ax -=⎧⎨-=⎩得()12121212ln ln ln x x a x x x x a x x -⎧=⎪-⎨⎪=+⎩，合并()112211212112221ln ln ln ln 1xx x x xx x x x x x x x x+-=⋅+=⋅--， 设12x t x =，直接构造关于t 的函数； 方法四：引入变量t设1122ln ,ln t x t x ==，则121200t t t ae t ae ⎧-=⎨-=⎩，则1212t t t e t -= 设()12,0,1t k k t =∈，则12ln ln ,11k k kt t k k ==--，则证明1212ln 2x x t t =+> 设()()ln ln ,0,111k k kF k k k k =+∈--，求最值. 极值点偏移问题，方法不唯一，解题时选择适当方法，灵活解题.【答案详解】变式训练1【解答】（1）解：()0,x ∀∈+∞，2ln 10x x ax -+…，即1ln a x x x+…恒成立.设1()ln g x x x x =+，则21()ln 1g x x x'=-+，易知()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0.g '=所以当(0,1)x ∈时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0.g x '>∴()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，∴min ()(1)1g x g ==，∴(],1a ∈-∞（2）证明：由题意得 方程ln 0x ax -=的两不相等的根为1x ，2x 设()ln h x x ax =-，则1122ln 0ln 0x ax x ax -=-=⎧⎨⎩，∴1212ln ()x x a x x =+又11()ax h x a x x-'=-=当0a …时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增，不存在两个零点;当0a >时，()h x 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减，则max 11()()ln 10h x h a a ==->，得10.a e<< 设1210x x a<<< 令222()()()ln()()ln F x h x h x x a x x ax a a a =--=----+2ln()ln 22x x ax a=--+-，1(0,).x a ∈则22(1)()0(2)ax F x x ax -'=<-，∴()F x 在1(0,)a 上单调递减，故1()()0.F x F a >=∴1112()()()0F x h x h x a =-->，即1122()()()0.h x h x h x a->==2x ，121(,)x a a -∈+∞，且()h x 在1(,)a +∞上单调递减，∴212x x a>-，即122x x a +>， ∴1212ln ln ()2x x a x x +=+>故212x x e >成立.变式训练2【解答】（1）解：由题意得 ()1f x a x'=- ①当0a ≤时，()0f x '>∴()f x 在区间()0,+∞上单调递增②当0a >时，令()0f x '>，则1x a<∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减 ∴()max 1ln 11ln 0f x f a a a ⎛⎫==--+=-> ⎪⎝⎭,故1a < 当1a <时，1110a a f e e e ⎛⎫=--+=-< ⎪⎝⎭，ln 11ln 0e e e f a a a ⎛⎫=-+=> ⎪⎝⎭ ∴()f x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上分别有一个零点 (),1a ∴∈-∞（2）证明：由题意得 1122ln 10ln 10x ax x ax -+=⎧⎨-+=⎩ 1212ln ln x x a x x -∴=- 又()12121f x x a x x '⋅=-要证()121f x x a '⋅<-，只需证121x x ⋅>，即证12ln ln 0x x +>，即证()()12110ax ax -+->， 即证122a x x >+，即证121212ln ln 2x x x x x x ->-+ 设120,x x <<故11122121222(1)2()ln1x x x x x x x x x x --<=++， 令122(1)(0,1),()ln 1x t t h t t x t -=∈=-+， 则22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t -'=-=>++ ∴()h t 在()0,1上单调递增，∴()()10h t h <=，故11122121222(1)2()ln1x x x x x x x x x x --<=++式成立，即()121f x x a '⋅<-.变式训练3【解答】解：（1）由题意得 1()x xx e ax f x ae x xe --'=-+=， ①当0a …时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②当0a e <…时，设()x g x e ax =-，则()x g x e a '=-， 令()0g x '>，则ln x a >∴()g x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增 ()()(1)0lna g x g lna e alna a lna ∴=-=-厖，()0f x ∴'…，()f x 在(0,)+∞上单调递增；综上，当a e …时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；（2）由题意得 12()()0f x f x ''==，即121200x x e ax e ax ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ ∴2121x x x e x -=，设21x t x =，则1t >，21x tx =，1(1)t x e t -=， ∴12,11lnt tlnt x x t t ==--， ∴12(1)1t lnt x x t ++=-， 设(1)()(1)1t lnt h t t t +=>-，则212()(1)t lnt t h t t --'=-， 设1()2(1)t t lnt t tϕ=-->，则22212(1)()10t t t t t ϕ-'=+-=>， ()t ϕ∴在(1,)+∞单调递增，则()t ϕϕ>（1）0=， ()0h t ∴'>，则()h t 在(1,)+∞单调递增，又1223x x ln +…，即()23h t ln …，h （3）23ln =， (1t ∴∈，3]，即21x x 的最大值为3．。

高三数学二轮复习专题讲解第11讲 函数与导数—导数中的同构问题专题综述同构法在近几年的模考中频繁出现，把等式或不等式变形为两个形式上一样的函数，利用函数的单调性转化成比较大小,或者解恒成立，求最值等问题.同构法在使用时，考验“眼力”，面对复杂的结构，仔细观察灵活变形，使式子两则的结构一致.构造函数，判断函数单调性，进一步求参数或证明不等式.专题探究探究1：指对跨阶型解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，则将不等式变形为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的结构，()f x 即为外层函数，其单调性易于研究.常见变形方式：①ln xx xxe e+=；②ln xx x e e x-=；③ln x xx x e e -=；④()ln ln x x x xe +=；⑤ln ln x e x x x -=. 答题思路：1.直接变形：（1）积型：b b ae aln ≤⇒()ln ln a b x a e b e f x xe ⋅≤⋅⇒=（同左）；ln ln a a e e b b ⇒⋅≤⋅()ln f x x x ⇒=（同右）； ⇒()ln ln ln ln a a b b +≤+⇒()ln f x x x =+（取对数）.说明：取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知.（2）商型：b b a e a ln <⇒ln ln a b e e a b <()x e f x x⇒=（同左）； ln ln a ae be b⇒<⇒x x x f ln )(=（同右）； ⇒)ln(ln ln ln b b a a -<-⇒x x x f ln )(-=（取对数）.（3）和差型：b b a e aln ±>±⇒ln ln abe a eb ±>±⇒x e x f x ±=)(（同左）；ln ln a a e e b b ⇒±>+⇒x x x f ln )(±=（同右）.2.先凑再变形：若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以x ，同加上x 等，再用上述方式变形.常见的有： ①x aeaxln >ln ax axe x x ⇒>；②[]ln 1ln()ln (1)1ln ln(1)1xxx a e a ax a a e a x e a x a->--⇒>--⇒->--ln ln(1)ln ln(1)1ln(1)x a x e x a x x e x --⇒+->-+-=+-；③ln ln ln log (ln )ln ln xx ax a a xa x e x a e x x a>⇒>⇒>；(2022重庆市市辖区模拟)若关于x 的不等式ln x a e x a -≥+对一切正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. (],e -∞C. (],1-∞D. (],2-∞【审题视点】不等式中有指、对数结构，不等式两侧都加上x ，即能出现同构法中的“和差型”.【思维引导】由不等式的结构判断，通过将不等式变形为ln x a e x a x x -+-≥+，符合同构法中的指对同阶模型，或者直接构造含参函数，分类讨论.【规范解析】解：ln x a e x a -+…，ln x a e x a x x -∴+-+…，ln ln x a x e x a e x -∴+-+…设()t f t e t =+，则()10t f t e '=+>∴()f t 在R 上单调递增故ln ln x ax ex a e x -+-+…即()()ln f x a f x -…，即ln x a x -…即ln x x a -…设()ln g x x x =-，则()111x g x x x-'=-=，令()0g x '>，则1x > ∴()g x 在()1,+∞上单调递减，在()0,1上单调递减故()()min 11g x g ==，故1a …故选.C【探究总结】不等式或函数中指对数结构都存在时，仔细观察结构特征，可优先考虑放缩或同构，化繁为简，降低单调性判断的难度.故要对常见不等关系的结论（专题1.3.8）及上述的常见变形方法牢记于心，能够熟练变形，构造相应函数.(2022山东省泰安市一模)已知()2ln 12a f x x x x =++.（1）若函数()()cos sin ln 1g x f x x x x x x =+---在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有1个零点，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的方程()212x aa xef x x ax -=-+-有两个不同的实数解，求a 的取值范围.探究2：双变量型含有同等地位的两个变量12,x x 的等式或不等式，同构后使等式或不等式两侧具有一致的结构，便于构造函数解决问题.答题思路：常见的同构类型有：①[]12211121()()()()()()()()g x g x f x f x g x f x g x f x λλλ->-⇒+>+()()()h x g x f x λ⇒=+； ②12121212112212()()()()()()()f x f x k x x f x f x kx kx f x kx f x kx x x -><⇒-<-⇒-<--()()h x f x kx ⇒=-；③1212121212121221()()()()()()f x f x k x x k k k x x f x f x x x x x x x x x --<<⇒->=--1212()()k k f x f x x x ⇒+>+()()k h x f x x⇒=+. (2022江西省萍乡市联考)已知函数()()21ln011x ax f x a x e -=+>--， （1）求函数()f x 的定义域；（2）对1x ∀，21(0,)2x ∈，当21x x >时，都有212111()()11x x f x f x e e -<---成立，求实数a 的取值范围．【审题视点】第（2）问中的双变量不等式，若变量能分离且结构相同，不等式转化函数单调性问题.【思维引导】双变量的恒成立不等式，分离变量，不等式变形212111()()11x x f x f x e e -<---，构造函数()h x，由不等式得出函数()h x 的单调性.【规范解析】解：（1）由题意得 20110x ax x e -⎧>⎪-⎨⎪-≠⎩，即2()(1)00a x x ax ⎧-->⎪⎨⎪≠⎩，①当02a <<时，21a >，函数()f x 的定义域为2(,0)(0,1)(,)a-∞+∞；②当2a =时，21a=，函数()f x 的定义域为{|1x x ≠且0}x ≠，③当2a >时，21a<，函数()f x 的定义域为2(,0)(0,)(1,)a -∞+∞；（2）由题意得1x ∀，21(0,)2x ∈，当21x x >时，212111()()11x x f x f x e e -<---设()12()ln 11x ax h x f x e x -=-=--，则()()21h x h x < ()h x ∴在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减设2(1)22()111ax a x a a u x a x x x --+--===+---，即函数()u x 在1(0,)2上是减函数，且1()02u …，2012201120a a a ->⎧⎪⎪-⎪∴⎨⎪-⎪⎪>⎩…，解得24a <…，∴实数a 的取值范围为(2,4].【探究总结】典例2中出现的双边量问题是同构法中较为典型的情况，思路明确.针对上述类型的不等式，分离变量，构造函数得出单调性.构造的函数可能是抽象函数，也可能是具体函数，利用函数单调性，解不等式.(2022江苏省苏州市联考)已知函数21()ln 2f x x a x =+，若对任意1x ，212[2,)()x x x ∈+∞≠，存在3[1,]2a ∈，使1212()()f x f xm x x ->-成立，则实数m 的取值范围是（）A. (,2]-∞B. (-∞C. 5(,]2-∞D. 11(,]4-∞探究3：同构放缩或同构换元共存型有些更复杂的指对不等式，利用常见的变形方法（探究一）先进行同构变形再换元，使构造的函数较为简单，或者本身不等式的结构不特殊，可以先结合常用不等结论（专题1.3.8）放缩，使结构特殊再同构，但要注意取等号的条件等. 常见的放缩模型：（1）利用1x e x ≥+放缩：①ln ln 1x x xxe ex x +=≥++ ；②ln ln 1xx x e e x x x-=≥-+；③ln ln 1n x x n x x e e x n x +=≥++（2）利用xe ex ≥放缩：①ln (ln )xx xxe ee x x +=≥+；②ln ln 1x xx x e x x e-=≥-+；③ln (ln )n x x n x x e e e x n x +=≥+.（3）利用ln 1x x ≤-放缩：①ln ln()1x x x x xe xe +=≤-；②ln ln()1n x n xx n x x e x e +=≤-. （4）利用ln x x e≤放缩：①1ln ln()x x x x xe xe -+=≤；②1ln ln()n x n x x n x x e x e -+=≤.(2022河北省石家庄市联考)已知函数()()1ax f x x ea R -=⋅∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的图象经过点(1,1)，求证：0x >时，1ln ()0.xf x x e+⋅… 【审题视点】待证明的不等式中有x xe ，ln x x +，容易联系到指对同阶的常见变形，将不等式同构.【思维引导】第（2）问，求出1a =，显化不等式()1ln 0xf x xe +≥，进行指对变形，换元简化函数. 【规范解析】解：（1）由题意知，函数()f x 的定义域为.R 当0a =时，()exf x =，函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增．当0a ≠时，1111()ee e ()ax ax axf x ax a x a ---'=+=+，令()0f x '>，即1()0a x a+>①当0a <时，1x a <-∴()f x 在区间1(,)a -∞-上单调递增；在区间1(,)a -+∞上单调递减．②当0a >时，1x a >-∴()f x 在区间1(,)a -∞-上单调递减，在区间1(,)a-+∞上单调递增．（2）若函数()f x 的图象经过点(1,1)，则1(1)1a f e -==，得1a =，则111ln ()ln 1ln 1e e exx x x f x x x xe x x x +=++-=+-， 设xt xe =，则当0x >时，()0,t ∈+∞ 设()1ln 1g t t t =+-，则()22111t g t t t t-'=-+= 令()0g t '>，则1t >∴()g x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增∴()()()min 10g x g x g ≥== ∴当0x >时，1ln ()0x f x xe+…恒成立． 【探究总结】同构法让复杂的函数式在指对结构上呈现“一致性”，再换元，大大降函数研究的难度.但这类问题，方法不唯一，也可利用其他方法，比如不等式证明问题，直接构造函数求最值，或着变形为()()f x g x >的结构，比较最值.(2022江苏省南京市模拟)已知函数()ln f x x ax =-.（1）讨论()f x 的单调性； （2）设1()()x g x exf x -=+，若()0g x …恒成立，求a 的取值范围． 专题升华同构思想不仅仅应用于导数部分，整个高中数学中，在方程、不等式、解析几何、数列部分都有体现，本质上是变形，使结构一致，转化为其它知识点求解.①方程中的应用：()()00f a f b ==⎧⎨⎩⇒两式结构相同，转化为,a b 为方程()0f x =的两根；如：若函数()f x m =在区间[],a b 上的值域为(),122a b b a ⎡⎤>≥⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是.思路：由()f x 单调递增⇒()()22a f a bf b ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⇒,a b 为方程()2x f x =的两个根. ②不等式中的应用：不等式两侧化为相同结构，利用函数单调性，比较大小，或解不等式；如：若()[)5533cos sin 7cos sin ,0,2θθθθθπ-<-∈，则θ的取值范围是.思路：()55335353cossin 7cos sin cos 7cos sin 7sin θθθθθθθθ-<-⇒-<-，构造函数()537f x x x =-研究单调性.③解析几何中的应用：如点()()1122,,,A x y B x y 的坐标满足相同的关系式，即01102211y y mx y y mx =-⎧⎨=-⎩则直线AB 的方程为01y y mx =-，或得出两点在同一条曲线上；④数列中的应用：将递推公式变形为关于(),n a n 与()1,1n a n --的同构式，如()113121311n n n n a a a a n n n n ++⎛⎫⎛⎫=++⇒+=+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，可以构造辅助数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭解题.解题时，针对除变量外完全相同的结构式，要灵活的利用其同构的特点,寻求与问题的某种内在联系,从而找到解决问题的思路方法.同构法体现了发现、类比、化归等思想,是一种富有创造性的解决问题的方法.同构法为解题提供了突破口,从同构式中挖掘隐含条件,能让数学难题豁然开朗.【答案详解】 变式训练1【解答】解：（1）由题意得2()cos sin 2a g x x x x x =+-，(0x ∈，]2π， 则()(sin )g x x a x '=-，①当1a …时，sin 0a x -…，()0g x '>∴所以()g x 在(0，]2π单调递增， (0)0g =，故()g x 在(0，]2π上无零点；②当01a <<时，0(0,)2x π∃∈，使得0sin x a =，∴()g x 在0(x ，]2π上单调递减，在0(0,)x 上单调递增，又(0)0g =，2()128a g ππ=-故()()000g x g >= ∴()g x 在区间()00,x 上无零点i ）当21028a g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭即28a π>时，()g x 在(0，]2π上无零点，ii ）当21028a g ππ⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭即280a π<…时，()g x 在(0，]2π上有一个零点， ③当0a …时，sin 0a x -<，()0g x '<∴()g x 在(0，]2π上单调递减，()g x 在(0，]2π上无零点，综上所述：当280a π<…时，()g x 在(0，]2π上有一个零点；（2）由2()1(0)2x a a xe f x x ax x -=-+->得x a xe xlnx ax -=+， 即x a e lnx a -=+，则有()ln x a x a e e x lnx --+=+， 令()h x x lnx =+，0x >，1()10h x x'=+>，∴函数()h x 在(0,)+∞上递增， ∴方程()()x a h e h x -=即为方程x a e x -=即ln a x x =-有2个不同的正实根设()x x lnx ϕ=-，则11()1x x x xϕ-'=-=， 当01x <<时，()0x ϕ'<，当1x >时，()0x ϕ'>， 所以函数()x x lnx ϕ=-在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增， 所以()min x ϕϕ=（1）1=，当0x →时，()x ϕ→+∞，当x →+∞时，()x ϕ→+∞，∴当1a >时，方程ln a x x =-有2个不同的正实根综上所述：()1,a ∈+∞.变式训练2【解析】解：令21()()ln 2g x f x mx x a x mx =-=+-，由1212()()f x f x m x x ->-得()1212()0g x g x x x ->-∴()g x 在[2,)+∞递增，[)()2,,0a x g x x m x '∴∀∈+∞=+-≥，即am x x+…恒成立，设()a h x x x =+，[)2,x ∈+∞，3[1,]2a ∈，则()ah x x x=+在[2,)+∞上单调递增，∴11 / 11 min ()(2)22a h x h ==+，故有22a m +…，3[1,]2a ∃∈，使得22a m +…成立，故(2)max 2a m +…，即11.4m …故选：D . 变式训练3【解析】解：（1）由题意得1().f x a x'=- ①当0a …时，()0f x '>，则()f x 在(0,)+∞上单调递增;②当0a >时，令()0f x '=得到1x a =， 当10x a <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x a>时，()0f x '<，()f x 单调递减；综上：当0a …时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减;（2）12()ln x g x e x x ax -=+-，令1x =，则(1)10g a =-…，故1a …， 当1a …时，()l 2n 1211()ln 1ln ln 1x x x x g x e x x ax e x x x e x x x ----⎡⎤=--=+--⎦-+⎣-…， 设()ln 1h x x x =--，则()111x h x x x-'=-= 令()0h x '>，则1x > ∴()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增设()[)1,0,x t x e x x =--+∞，则()10x t x e '=-≥∴()t x 在[)0,+∞上单调递增()()00t x t ∴≥=故()ln 1ln 110x x e x x ------≥，即()ln 1ln 110x x x e x x --⎡⎤----≥⎣⎦综上所述：当1a …时，()0g x ≥.()()()min 10h x h x h ∴≥==。

高三数学第二轮复习专题讲座 人教版专题一 函数考点高考要求 1 映射的概念 了解 2 函数的概念 理解 3 函数的单调性的概念 了解 4 简单函数单调性的判断 掌握 5 函数的奇偶性 了解 6 反函数的概念了解 7 互为反函数的函数图象间的关系 了解 8 简单函数的反函数的求法 掌握 9 分数指数幂的概念 理解 10 有理数指数幂的运算性质 掌握 11 指数函数的概念、图象和性质 掌握 12 对数的概念 理解 13 对数的运算法制掌握 14 对数函数的概念、图象和性质 掌握 15运用函数的性质解决简单的实际问题掌握说明：1．了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能在有关的问题中直接应用；2．理解和掌握：要求对所列知识内容有较为深刻的理性认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题；3．灵活和综合运用：要求系统的掌握知识的内在联系，能够运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题．（以下两点分析主要针对的是2004年全国各地的高考试题，共15套） 二、高考考点分析：在2004年全国各地的高考题中，考查函数的试题或与函数有关的试题大约有56道，在150分中约占25分到30分．对函数，常常从以下几个方面加以考查．1知识点函数的解析式 定义域和值域（包括最大值和最小值） 函数的单调性 函数的奇偶性和周期性 函数的反函数 题量27335函数和一些分段函数，简单的函数方程为背景，难度以中等题和容易题为主，如： 例1．（重庆市）函数)23(log 21-=x y 的定义域是（ D ）A 、[1,)+∞B 、23(,)+∞C 、23[,1]D 、23(,1]例2．（天津市）函数123-=xy （01<≤-x ）的反函数是（ D ）A 、)31(log 13≥+=x x yB 、)31(log 13≥+-=x x yC 、)131(log 13≤<+=x x yD 、)131(log 13≤<+-=x x y也有个别小题的难度较大，如 例3．（北京市）函数,,(),,x x P f x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出下列四个判断：①若P M ⋂=∅，则f P f M ()()⋂=∅ ②若P M ⋂≠∅，则f P f M ()()⋂≠∅ ③若P M ⋃=R ，则()()f P f M ⋃=R ④若P M R ⋃≠，则()()f P f M ⋃≠R 其中正确判断有（ B ）A 、 1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个分析：若P M ⋂≠∅，则只有}0{=⋂M P 这一种可能．②和④是正确的．2．对数形结合思想、函数图象及其变换的考查．对图象的考查有6道试题，也以小题为主，难度为中等． 例4．（上海市）设奇函数f (x )的定义域为[-5，5]．若当x ∈[0，5]时f (x )的图象如右图，则不等式f (x )<0的解是]5,2()0,2( -． 例5．（上海市）若函数y =f (x )的图象可由函数y =lg(x +1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则f （x ）为（ A ） A 、10-x-1 B 、10x-1 C 、1-10-xD 、1-10x3．对函数思想的考查．利用函数的图象研究方程的解；利用函数的单调性证明不等式（常常利用函数的导数来判断和证明函数的单调性）；利用函数的最值说明不等式恒成立等问题．在全部考题中，有7道小题考查了用函数研究方程或不等式的问题，有14道大题考查了函数与方程、不等式、数列等的综合问题． 例6．（1）（浙江省）已知⎩⎨⎧≥<-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是]23,(-∞．（2）（全国卷3）设函数2(1),1,()41, 1,x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为（ A ）A 、(-∞,-2][0,10]B 、(-∞,-2][0,1]C 、(-∞,-2][1,10] D 、[-2,0][1,10]例7．（上海市）已知二次函数y =f 1（x ）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y =f 2（x ）的图象与直线y =x 的两个交点间距离为8，f （x ）= f 1（x ）+ f 2（x ）． （1）求函数f （x ）的表达式；（2）证明：当a >3时，关于x 的方程f (x )= f (a )有三个实数解．解：（1）由已知,设f 1(x )=ax 2，由f 1(1)=1，得a =1，故f 1(x )= x 2．设f 2(x )=xk(k >0)，它的图象与直线y =x 的交点分别为A (k ，k )、B (－k ,－k ) 由AB =8，得k =8，故f 2(x )=x 8．所以f (x )=x 2+x8． （2）证法一：由f （x ）=f （a ）得x 2+x 8=a 2+a 8， 即x 8=－x 2+a 2+a 8．在同一坐标系内作出f 2(x )=x 8和f 3(x )= －x 2+a 2+a8的大致图象，其中f 2(x )的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f 3(x )的图象是以(0，a 2+a8)为顶点，开口向下的抛物线．因此,，f 2(x )与f 3(x )的图象在第三象限有一个交点，即f (x )=f (a )有一个负数解． 又因为f 2(2)=4,，f 3(2)= －4+a 2+a8 当a >3时，f 3(2)－f 2(2)= a 2+a8－8>0, 所以当a >3时，在第一象限f 3(x )的图象上存在一点(2，f (2))在f 2(x )图象的上方． 所以f 2(x )与f 3(x )的图象在第一象限有两个交点，即f (x )=f (a )有两个正数解． 因此，方程f (x )=f (a )有三个实数解． 证法二：由f (x )=f (a )，得x 2+x 8=a 2+a 8， 即(x －a )(x +a －ax8)=0，得方程的一个解x 1=a ． 方程x +a －ax8=0化为ax 2+a 2x －8=0，由a >3，∆=a 4+32a >0，得 x 2=a a a a 23242+--， x 3=aa a a 23242++-，因为x 2<0, x 3>0, 所以x 1≠ x 2，且x 2≠ x 3．若x 1= x 3，即a =aa a a 23242++-，则3a 2=a a 324+， a 4=4a ，得a =0或a =34，这与a >3矛盾，所以x 1≠ x 3． 故原方程f (x )=f (a )有三个实数解． 例8．（福建高考题）已知f (x )=2324()3x ax x x +-∈R 在区间[－1，1]上是增函数． （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f (x )=3312x x +的两个非零实根为x 1、x 2．试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）f ＇(x )=4+2,22x ax - ∵f (x )在[－1，1]上是增函数，∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立． ①设ϕ(x )=x 2－ax －2，方法一：① ⇔ ⎩⎨⎧≤-+=-≤--=021)1(021)1(a a ϕϕ ⇔－1≤a ≤1，∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(-1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0∴A ={a |－1≤a ≤1}.方法二：①⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+=-≥021)1(02a a ϕ或⎪⎩⎪⎨⎧≤--=<021)1(02a a ϕ⇔ 0≤a ≤1或－1≤a ≤0⇔ －1≤a ≤1．∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(－1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0， ∴A ={a |－1≤a ≤1}． （Ⅱ）由,02,0,3123242332=--=+=-+ax x x x x x ax x 或得 ∵△=a 2+8>0，∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，x 1x 2=－2， 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a ． ∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3．要使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立， 当且仅当m 2+tm +1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②设g(t)=m 2+tm －2=mt +(m 2－2)，方法一：②⇔ g (－1)=m 2－m －2≥0且g (1)=m 2+m －2≥0，⇔m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m |m ≥2，或m ≤－2}. 方法二：当m =0时，②显然不成立；当m ≠0时，②⇔m >0，g (－1)=m 2－m －2≥0 或m <0，g (1)=m 2+m －2≥0 ⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m |m ≥2，或m ≤－2}.说明：本题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力． 三、高考热点分析函数几乎贯穿了高中数学的始末，它与高中数学的每一部分内容几乎都有联系．对函数的认识，应该包含对函数的概念和性质的理解；对二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数和分段函数的概念和性质的理解；函数图象的变换和应用；建立函数模型解决问题的意识等．在复习过程中，以下几点值得重视：1．重视对函数概念和基本性质的理解．包括定义域、值域（最值）、对应法则、对称性（包括奇偶性）、单调性、周期性、反函数、图象变换、基本初等函数（常常是载体）等．研究函数的性质要注意分析函数解析式的特征，同时要注意函数图象（形）的作用．对这部分知识的考查，除了一部分比较简单的小题直接考查函数某一方面的性质外，常常是对函数综合的类型较多（中等难度题，以小题和前三道大题为主），包括函数内部多种知识的综合，函数同方程、不等式、数列的综合．例1．（北京市）函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ D ）A . a ∈-∞(,]1B . a ∈+∞[,)2C . a ∈[,]12D . a ∈-∞⋃+∞(,][,)12 说明：涉及二次函数的单调性、反函数的概念、充分必要条件等知识．例2． （福建省）已知函数y =log 2x 的反函数是y =f —1(x )，则函数y = f —1(1－x )的图象是（ C ）例3．（全国高考题3）已知函数y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )=3x -1，设f (x )的反函数是y =g (x )，则g (-8)=___-2_____．例4．（湖北省）函数]1,0[)1(log )(2在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ B ）A 、41B 、21 C 、2 D 、4例5．（北京市）在函数f x ax bx c ()=++2中，若a ，b ，c 成等比数列且f ()04=-，则f x ()有最大 值（填“大”或“小”），且该值为-3．例6．（湖南省）设函数,2)2(),0()4(.0,2,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤++=f f f x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、4例7．（江苏省）设k >1，f (x )=k (x -1)(x ∈R ) ．在平面直角坐标系xOy 中，函数y =f (x )的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y =f -1(x )的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点．已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（ B ）A 、3B 、32C 、43D 、65例8．（上海市）记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． （1）求A ；（2）若B ⊆A , 求实数a 的取值范围． 解：（1）2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0， x <－1或x ≥1，即A =(－∞，－1) [1，+ ∞)． （2）由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．因为a <1，所以a +1>2a ，故B =(2a ，a +1)． 因为B ⊆A ，所以2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2，而a <1， 所以21≤a <1或a ≤－2，故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是(－∞，－2] [21，1)．例9．（2003年全国理科高考题）已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式|2|1|2| 1.x x c R y x x c +->⇔=+-R 的解集为函数在上恒大于 22,2,|2|2,2,1|2|2.|2|121.211,,0.,, 1.(0,][1,).22x c x c x x c c x c y x x c c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞R 函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为 2．重视利用导数研究函数的单调性等性质，进而证明一些不等式或转化一些不等式恒成立问题． 例10．（全国高考题1）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 分析：函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上递减等价于0)(≤'x f 恒成立．解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f当0)(≤'x f （x ∈R ）时，)(x f 是减函数.23610()ax x x +-≤∈R .3012360-≤⇔≤+=∆<⇔a a a 且所以，所求a 的取值范围是（].3,-∞-说明：这类问题在2004年全国各地的高考题中大量出现，需重视． 例11．（重庆市）设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =-->（1）求导数/()f x ；并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ； （2）若不等式12()()0f x f x +≤成立，求a 的取值范围． 解：（1）.)1(23)(2a x a x x f ++-='.0)(,;0)(,;0)(,:)())((3)(,,,,04)1(4.0)1(230)(221121212122>'><'<<<'<'--='<>≥+-=∆=++-='x f x x x f x x x x f x x x f x x x x x f x x x x a a a a x a x x f 时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令因此1x 是极大值点，2x 是极小值点.（2）因故得不等式,0)()(21≤+x f x f ：.0)(]2))[(1(]3))[((.0)())(1(212122121221212122213231≤++-++--++≤++++-+x x a x x x x a x x x x x x x x a x x a x x 即又由（I ）知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.3),1(322121a x x a x x ，代入前面不等式，两边除以（1+a ），并化简得.02522≥+-a a.0)()(,2,.)(212:21成立不等式时当因此舍去或解不等式得≤+≥≤≥x f x f a a a 例12．（2003年江苏高考题）已知n a ,0>为正整数. （Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意证明：（Ⅰ）因为nk knnC a x 0)(=∑=-k kn x a --)(，所以1)(--=-='∑k kn nk kn xa kC y nk n 0=∑=.)()(1111------=-n k k n k n a x n x a C （Ⅱ）对函数nn n a x x x f )()(--=求导数:nn n n n n n n n n n n n n a n n a n n a n x a x x x f a x x f a x a n n n n f a x n nx x f )()1()1(,,.)()(,.0)(,0].)([)(,)()(1111-->-+-+≥--=≥∴>'>≥--='--='----时当因此的增函数是关于时当时当所以∴))()(1(])1()1)[(1()1(1n n n n n a n n n a n n n n f --+>-+-++=+'+ ).()1())()(1(1n f n a n n n n n n n '+=--+>- 即对任意).()1()1(,1n f n n f a n n n '+>+'≥+四、二轮复习建议（正文用宋体五号字）1．进一步加强对基本概念、基础知识、基本方法的理解和训练（在函数性质和函数与其他知识的小综合上要多加训练，这是关键）．2．在二轮复习过程中，做两件事情：一是分专题讲解“函数、导数与不等式”（重点）、“函数与数列”，二是在整个复习过程中，不断渗透函数的思想方法和数形结合的思想方法． 一些备选例题：1．（2000年春季）已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图所示，则（ A ）A 、b ∈(-∞，0)B 、 b ∈(0,1)C 、 b ∈(1,2)D 、 b ∈(2,+∞) 分析：显然，（想方程）方程f (x )=0的根为0、1、2，所以，可以设f (x )=ax (x -1)(x -2)，与f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 比较可得：b =-3a ．（想不等式）又x >2时，有f （x ）>0，于是有a >0，故b <0.2．（2000年上海）已知函数f (x )=xax x ++22,x ∈[)+∞,1.（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值； （2）若对任意的x ∈[)+∞,1,f (x )>0恒成立，试求a 的取值范围．分析：本题考查求函数的最值的方法，以及等价变换和函数思想的运用．当a =21时，f (x )=221++xx ≥222212+=+⋅x x ，当且仅当22,21==x x x 即时等号成立，而[)∞+∉122，也就是说这个最小值是取不到的． 解：(1)当a =21时，f (x )=221++xx ，函数f (x )在区间[)+∞,1上为增函数（证明略），所以当x =1时，取到最小值f (1)=3.5.(2)解法一：f (x )>0恒成立，就是x 2+2x +a >0恒成立，而函数g (x )=x 2+2x +a 在[)+∞,1上增函数，所以当x =1时，g (x )取到最小值3+a ，故3+a >0，得：a >-3．解法二：f (x )>0恒成立，就是x 2+2x +a >0恒成立，即a >-x 2-2x 恒成立，这只要a 大于函数-x 2-2x 的最大值即可．而函数-x 2-2x 在[)+∞,1上为减函数，当x =1时，函数-x 2-2x 取到最大值-3，所以a >-3．说明：函数、方程不等式之间有着密切的联系，在解题时要重视这种联系，要善于从函数的高度理解方程和不等式的问题，也要善于利用方程和不等式的知识解决函数的问题．3．某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W （吨）与时间t （小时，且规定早上6时t ＝0）的函数关系为W ＝100t ．水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出?分析：本题主要考查由实际问题建立函数关系式、并利用函数关系解决实际问题.解本题时, 在建立函数关系式后,根据题意应有0＜y ≤300对t 恒成立（注意区分不等式恒成立和解不等式的关系）． 解：设进水量选第x 级，则t 小时后水塔中水的剩余量为y ＝100＋10xt －10t －100t ，且0≤t ≤16．根据题意0＜y ≤300，∴0＜100＋10xt －10t －100t ≤300．0 1 2 xy由左边得x ＞1＋10（t t11-）＝1＋10〔－2)211(-t ＋41〕， 当t ＝4时，1＋10〔－2)211(-t ＋41〕有最大值3．5．∴x ＞3．5．由右边得x ≤t t 1020+＋1，当t ＝16时，tt 1020+＋1有最小值4．75，∴x ≤4．75． 综合上述，进水量应选为第4级．说明：a 为实数，函数f (x )定义域为D ，若a >f (x )对x D ∈恒成立，则a >f (x )的最大值；若a <f (x )对x D ∈恒成立，则a <f (x )的最小值．4．设()x f 是定义在[-1，1]上的偶函数，()x g 与()x f 的图象关于直线01=-x 对称．且当[]3,2∈x 时，()()()()为实数a x x a x g 32422---⋅=（1）求函数()x f 的表达式；（2）在(]6,2∈a 或()+∞,6的情况下，分别讨论函数()x f 的最大值，并指出a 为何值时，()x f 的图像的最高点恰好落在直线12=y 上．分析：（1）注意到()x g 是定义在区间[]3,2上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出()x f 在区间[]0,1-上的解析式，()x f 在区间[]1,0上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求．简答：()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-+-=1024012433x ax x x ax x x f（2）因为()x f 为偶函数，所以，()x f （11≤≤-x ）的最大值，必等于()x f 在区间[]1,0上的最大值．故只需考虑10≤≤x 的情形，此时，()ax x x f 243+-=．对于这个三次函数，要求其最大值，比较容易想到的方法是：考虑其单调性．因此，可以求函数()x f 的导数．简答：如果()+∞∈,6a 可解得：8=a ； 如果(]6,2∈a ，可解得：61833>=a ，与(]6,2∈a 矛盾．故当8=a 时，函数()x f 的图像的最高点恰好落在直线12=y 上．说明：（1）函数的单调性为研究最值提供了可能；（2）奇偶性可以使得我们在研究函数性质时，将问题简化到定义域的对称区间上． 5．已知函数3211()(1)32f x x b x cx =+-+ (b 、c 为常数),(Ⅰ) 若()f x 在x =1和x =3处取得极值，试求b 、c 的值；(Ⅱ)若()f x 在12(,),(,)x x x ∈-∞+∞上单调递增且在12(,)x x x ∈上单调递减,又满足211x x ->，求证：22(2)b b c >+；(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，若1t x <，试比较2t bt c ++与1x 的大小，并加以证明． 解： (Ⅰ)'2()(1)f x x b x c =+-+，由题意得:1和3是方程2(1)0x b x c +-+=的两根，113,1 3.b c -=+⎧∴⎨=⨯⎩解得3,3.b c =-⎧⎨=⎩ (Ⅱ)由题得:当12(,),(,)x x x ∈-∞+∞时，'()0f x >；12(,)x x x ∈时, '()0f x <．12,x x ∴是方程2(1)0x b x c +-+=的两根，则12121,,x x b x x c +=-=222121212212122212(2)24[1()]2[1()]4()41() 1.b bc b b cx x x x x x x x x x x x ∴-+=--=-+--+-=+--=--211x x ->,2221()10,2(2)x x b b c ∴-->∴>+.(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,由上一问知212(1)()(),x b x c x x x x +-+=-- 即212()(),x bx c x x x x x ++=--+所以2112112()()()(1),t bt c x t x t x t x t x t x ++-=--+-=-+-2121111,10,0,0,x x t t x t x t x >+>+∴+-<<<∴-<又 2121()(1)0,.t x t x t bt c x ∴-+->++>即。

《新课标》高三数学（人教版）第二轮复习专题讲座第一讲 数形结合思想一．知识探究：数形结合作为一种重要的数学思想方法历年来一直是高考考察的重点之一。

数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。

1．数形结合的途径 （1）通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。

这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

4)1()2(22=-+-y x 如等式（2）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将a ＞0与距离互化，将a2与面积互化，将a 2+b 2+ab=a 2+b 2－2)12060(cos ︒=︒=θθθ或b a 与余弦定理沟通，将a≥b≥c＞0且b+c ＞a 中的a 、b 、c 与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。

张喜林制[选取日期]高三数学第二轮专题讲座复习：数形结合思想高考要求数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征 重难点归纳应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化 （1）集合的运算及韦恩图 （2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有 借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法以数助形常用的有 借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合典型题例示范讲解例1设A ={x ｜–2≤x ≤a }，B ={y ｜y =2x +3，且x ∈A }，C ={z ｜z =x 2，且x ∈A }，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围命题意图 本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目知识依托 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C 进而将C ⊆B 用不等式这一数学语言加以转化错解分析 考生在确定z =x 2，x ∈［–2,a ］的值域是易出错，不能分类而论 巧妙观察图象将是上策 不能漏掉a ＜–2这一种特殊情形技巧与方法 解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决解 ∵y =2x +3在［–2, a ］上是增函数∴–1≤y ≤2a +3，即B ={y ｜–1≤y ≤2a +3}作出z =x 2的图象，该函数定义域右端点x =a 有三种不同的位置情况如下①当–2≤a ≤0时，a 2≤z ≤4即C ={z ｜a 2≤z ≤4}要使C ⊆B ,必须且只须2a +3≥4得a ≥21与–2≤a ＜0矛盾 ②当0≤a ≤2时，0≤z ≤4即C ={z ｜0≤z ≤4}，要使C ⊆B ，由图可知必须且只需⎩⎨⎧≤≤≥+20432a a 解得21≤a ≤2③当a ＞2时，0≤z ≤a 2，即C ={z ｜0≤z ≤a 2}，要使C ⊆B 必须且只需⎩⎨⎧>+≤2322a a a 解得2＜a ≤3 ④当a ＜–2时，A =∅此时B =C =∅，则C ⊆B 成立综上所述，a 的取值范围是(–∞,–2)∪［21,3］ 例2已知a cos α+b sin α=c , a cos β+b sin β=c (ab ≠0,α–β≠k π, k ∈Z )求证22222c o sb a +=-βα 命题意图 本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力知识依托 解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程 进而由A 、B 两点坐标特点知其在单位圆上错解分析 考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一 如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二技巧与方法 善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题证明:在平面直角坐标系中，点A （cos α,sin α）与点B （cos β, sin β）是直线l :ax +by =c 与单位圆x 2+y 2=1的两个交点如图从而 ｜AB ｜2=(cos α–cos β)2+(sin α–sin β)2=2–2cos(α–β) 又∵单位圆的圆心到直线l 的距离22||ba c d +=由平面几何知识知｜OA ｜2–(21｜AB ｜)2=d 2即 b a c d +==---2224)cos(221βα∴22222cos ba c +=-βα 例3曲线y =1+24x - (–2≤x ≤2)与直线y =r (x –2)+4有两个交点时，实数r 的取值范围解析 方程y =1+24x -的曲线为半圆，y =r (x –2)+4为过（2，4）的直线答案 （43,125］ 例4设f (x )=x 2–2ax +2,当x ∈［–1,+∞)时，f (x )＞a 恒成立，求a 的取值范围 解法一 由f (x )＞a ，在［–1,+∞)上恒成立 ⇔x 2–2ax +2–a ＞0在［–1,+∞)上恒成立考查函数g (x )=x 2–2ax +2–a 的图象在［–1,+∞］时位于x 轴上方 如图两种情况不等式的成立条件是(1)Δ=4a 2–4(2–a )＜0⇒a ∈(–2,1)(2)⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<≥∆0)1(10g a a ∈(–3,–2]， 综上所述a ∈(–3,1)解法二 由f (x )＞a ⇔x 2+2＞a (2x +1)令y 1=x 2+2,y 2=a (2x +1),在同一坐标系中作出两个函数的图象如图满足条件的直线l 位于l 1与l 2之间，而直线l 1、l 2对应的a 值（即直线的斜率）分别为1，–3， 故直线l 对应的a ∈(–3,1) 学生巩固练习1 方程sin(x –4π)=41x 的实数解的个数是( ) A 2 B 3 C 4 D 以上均不对2 已知f (x )=(x –a )(x –b )–2（其中a ＜b )，且α、β是方程f (x )=0的两根（α＜β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系为( )A α＜a ＜b ＜βB α＜a ＜β＜bC a ＜α＜b ＜βD a ＜α＜β＜b3(4cos θ+3–2t )2+(3sin θ–1+2t )2，(θ、t 为参数)的最大值是4 已知集合A ={x ｜5–x ≥)1(2-x },B ={x ｜x 2–ax ≤x –a }，当A B 时，则a 的取值范围是5 设关于x 的方程sin x +3cos x +a =0在（0,π）内有相异解α、β（1）求a 的取值范围； （2）求tan(α+β)的值6 设A ={(x ,y )｜y =222x a -,a ＞0}，B ={(x ,y )｜(x –1)2+(y –3)2=a 2,a ＞0},且A ∩B≠∅，求a 的最大值与最小值 参考答案1 解析 在同一坐标系内作出y 1=sin(x –4π)与y 2=41x 的图象如图答案 B2 解析 a ,b 是方程g (x )=(x –a )(x –b )=0的两根，在同一坐标系中作出函数f (x )、g (x )的图象如图所示 答案 A3 解析 联想到距离公式，两点坐标为A (4cos θ,3sin θ),B (2t –3,1–2t )点A的几何图形是椭圆，点B 表示直线 考虑用点到直线的距离公式求解 答案227 4 解析 解得A ={x ｜x ≥9或x ≤3}，B ={x ｜(x –a )(x –1)≤0}，画数轴可得 答a ＞35 解 ①作出y =sin(x +3π)(x ∈(0,π))及y =–2a 的图象，知当｜–2a ｜＜1且–2a ≠23时，曲线与直线有两个交点， 故a ∈(–2,–3)∪(–3,2)②把sin α+3cos α=–a ,sin β+3cos β=–a 相减得tan 332=+βα， 故tan(α+β)=36 解 ∵集合A 中的元素构成的图形是以原点O 为圆心，2a 为半径的半圆；集合B 中的元素是以点O ′(1,3)为圆心，a 为半径的圆 如图所示∵A ∩B ≠∅，∴半圆O 和圆O ′有公共点 显然当半圆O 和圆O ′外切时，a 最小2a +a =｜OO ′｜=2,∴a min =22–2当半圆O 与圆O ′内切时，半圆O 的半径最大，即2a 最大此时2a –a =｜OO ′｜=2,∴a max =22+2。

哈五中高三数学第二轮复习专题讲座(教师版)直线、平面、简单几何体第一课时题型一 多面体中平行与垂直的证明【典例1】(2004年天津高考) 如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD =DC ,E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F .（1）证明P A //平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C —PB —D 的大小.解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直,二面角等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力,满分12分.方法一：（1）证明：连结AC ,AC 交BD 于O ,连结EO . ∵底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点 在PAC ∆中,EO 是中位线,∴P A // EO 而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB , 所以,P A // 平面EDB （2）证明：∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ,∴DC PD ⊥∵PD =DC ,可知PDC ∆是等腰直角三角形,而DE 是斜边PC 的中线, ∴PC DE ⊥. ①同样由PD ⊥底面ABCD ,得PD ⊥BC .∵底面ABCD 是正方形,有DC ⊥BC ,∴BC ⊥平面PDC . 而⊂DE 平面PDC ,∴DE BC ⊥. ② 由①和②推得⊥DE 平面PBC . 而⊂PB 平面PBC ,∴PB DE ⊥又PB EF ⊥且E EF DE = ,所以PB ⊥平面EFD .（3）解：由（2）知,DF PB ⊥,故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角. 由（2）知,DB PD EF DE ⊥⊥,.设正方形ABCD 的边长为a ,则a BD a DC PD 2,===a BD PD PB 322=+=, a DC PD PC 222=+=a PC DE 2221==.A C在PDB Rt ∆中,a aa a PB BD PD DF 3632=⋅=⋅=. 在EFD Rt ∆中,233622sin ===a aDF DE EFD , ∴3π=∠EFD .所以,二面角C —PB —D 的大小为3π. 方法二：如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点,设a DC =. （1）证明：连结AC ,AC 交BD 于G ,连结EG . 依题意得)2,2,0(),,0,0(),0,0,(a a E a P a A . ∵底面ABCD 是正方形,∴G 是此正方形的中心,故点G 的坐标为)0,2,2(aa 且)2,0,2(),,0,(aa a a -=-=.∴EG PA 2=,这表明P A //EG .而⊂EG 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ,∴P A //平面EDB . （2）证明:依题意得(,,0)B a a ,(,,)PB a a a =-.又(0,,)22a a DE =, 故220022a a PB DE ⋅=+-=.∴DE PB ⊥.由已知PB EF ⊥,且E DE EF = ,所以⊥PB 平面EFD . （3）解：设点F 的坐标为),,(000z y x ,λ=,则),,(),,(000a a a a z y x -=-λ.从而a z a y a x )1(,,000λλλ-===.所以))21(,)21(,()2,2,(000a a a z a y a x FE ---=---=λλλ. 由条件PB EF ⊥知,0=⋅,即0)21()21(222=---+-a a a λλλ,解得31=λ∴点F 的坐标为)32,3,3(aa a ,且(,,)366a a a FE =--,)32,3,3(aa a FD ---=∴03233222=+--=⋅a a a FD PB 即FD PB ⊥,故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角.∵691892222a a a a =+-=⋅,且 a a a a 6636369||222=++=,a a a a 369499||222=++=,∴2136666||||cos 2=⋅==a a a FD FE EFD . ∴3π=∠EFD .所以,二面角C —PB —D 的大小为3π. 拓展提升：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从9(A)证法中都能十分明显地体现出来 【变式训练】1（( 2006年湖南卷）如图4,已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高分别为1和2,AB =4.(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ;(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角; (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.解法一 （Ⅰ）连结AC 、BD ，设O BD AC = .由P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD .从而P 、O 、Q 三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD . （Ⅱ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD . 由（Ⅰ），QO ⊥平面ABCD . 故可分别以直线CA 、DB 、QP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P （0，0，1），A （22，0，0），Q （0，0，－2），B （0，22，0）.所以)2,0,22(--=，图41)PB =-于是1cos ,623AQ PB AQ PB AQ PB⋅<>==⋅.从而异面直线AQ 与PB 所成的角是31arccos .(Ⅲ)由（Ⅱ），点D 的坐标是（0，－22，0），)0,22,22(--=AD ，(0,0,3)PQ =-，设),,(z y x n =是平面QAD 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AD n AQ n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+002y x z x . 取x =1，得)2,1,1(--=n . 所以点P 到平面QAD 的距离32PQ n d n⋅==. 解法二 （Ⅰ）取AD 的中点，连结PM ，QM . 因为P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥， 所以AD ⊥PM ，AD ⊥QM . 从而AD ⊥平面PQM . 又⊂PQ 平面PQM ，所以PQ ⊥AD .同理PQ ⊥AB ，所以PQ ⊥平面ABCD .（Ⅱ）连结AC 、BD 设O BD AC = ，由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在PQ 上，从而P 、A 、Q 、C 四点共面.因为OA ＝OC ，OP ＝OQ ，所以P AQC 为平行四边形，AQ ∥PC . 从而∠BPC （或其补角）是异面直线AQ 与PB 所成的角. 因为322)22(2222=+=+==OP OC PC PB ，所以31323221612122cos 222=⨯⨯-+=⋅-∠PC PB BC PC PB BPC ＋＝. 从而异面直线AQ 与PB 所成的角是31arccos .(Ⅲ)连结OM ，则PQ AB OM 21221===. 所以∠PMQ ＝90°，即PM ⊥MQ .由（Ⅰ）知AD ⊥PM ，所以PM ⊥平面QAD . 从而PM 的长是点P 到平面QAD 的距离. 在直角△PMO 中，22222222=+=+=OM PO PM . 即点P 到平面QAD 的距离是22.QBCPADOM2.(2007全国Ⅰ·文)四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知45ABC ∠=︒，2AB =，BC =SA SB = （Ⅰ）证明：SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小． 解法一：（1）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ． 因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥． （Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥， 依题设AD BC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =SD ==又sin 452AO AB ==DE BC ⊥，垂足为E ，则DE ⊥平面SBC ，连结SE ．ESD ∠为直线SD 与平面SBC 所成的角．sin ED AO ESD SD SD ====∠ 所以，直线SD 与平面SBC所成的角为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O xyz -，因为2AO BO AB ===， 1SO =，又BC=0)A ，，DBCASO E(0B，(0C ．(001)S ，，，(21)SA =-，，，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）(21)SD SA AD SA CB =+=-=--，，(20)OA =，，.OA 与SD 的夹角记为α，SD 与平面ABC 所成的角记为β，因为OA 为平面SBC 的法向量，所以α与β互余．22cos 11OA SD OA SDα==，sin 11β=， 所以，直线SD 与平面SBC 所成的角为arcsin 11．3.（全国1）已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形,AB ∥DC ,⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ,且PA =AD =DC =21AB =1,M 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小. 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分. 方案一：（Ⅰ）证明：∵P A ⊥面ABCD ,CD ⊥AD , ∴由三垂线定理得：CD ⊥PD .因而,CD 与面P AD 内两条相交直线AD ,PD 都垂直, ∴CD ⊥面P AD . 又CD ⊂面PCD ,∴面P AD ⊥面PCD . （Ⅱ）解：过点B 作BE //CA ,且BE =CA , 则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.连结AE ,可知AC =CB =BE =AE =2,又AB =2,所以四边形ACBE 为正方形. 由P A ⊥面ABCD 得∠PEB =90° 在Rt △PEB 中BE =2,PB =5, .510cos ==∠∴PB BE PBE .510arccos所成的角为与PB AC ∴A DCBN M E P（Ⅲ）解：作AN ⊥CM ,垂足为N ,连结BN . 在Rt △P AB 中,AM =MB ,又AC =CB , ∴△AMC ≌△BMC ,∴BN ⊥CM ,故∠ANB 为所求二面角的平面角. ∵CB ⊥AC ,由三垂线定理,得CB ⊥PC , 在Rt △PCB 中,CM =MB ,所以CM =AM . 在等腰三角形AMC 中,AN ·MC =AC AC CM ⋅-22)2(, 5625223=⨯=∴AN . ∴AB =2,322cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB故所求的二面角为).32arccos(-方法二：因为P A ⊥PD ,P A ⊥AB ,AD ⊥AB ,以A 为坐标原点AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为A （0,0,0）B （0,2,0）,C （1,1,0）,D （1,0,0）,P （0,0,1）,M （0,1,)21. （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故 由题设知AD ⊥DC ,且AP 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线,由此得DC ⊥面P AD . 又DC 在面PCD 上,故面P AD ⊥面PCD . （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==.510||||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC 所以故（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ,y ,z ）,则存在,R ∈λ使,MC NC λ=11(1,1,),(1,0,),1,1,..22NC x y z MC x y z λλ=---=-∴=-==要使.54,0210,==-=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅-===⋅=N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.30304||,||,.5AN BN AN BN ==⋅=- 2cos(,).3||||AN BNAN BN AN BN ⋅∴==-⋅故所求的二面角为2arccos().3-第二课时题型二 结论探索性问题 【典例2】（2006年江西高考）如图,在三棱锥A －BCD 中,侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边,且AD BD ＝CD ＝1,另一个侧面是正三角形(1)求证：AD ⊥BC(2)求二面角B －AC －D 的大小 (3)在直线AC 上是否存在一点E ,使ED 与面BCD 成30︒角？若存在,确定E 的位置；若不存在,说明理由.分析：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，考查了余弦定理尤为突出的是本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。