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常用三角函数、导数、极限

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sin cos 1 1 tan sec 1 cot csc
2 2 2 2
2
2
诱导公式
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
sin( ) cos 2 cos( ) sin 2 tan( ) cot 2 cot( ) tan 2

sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos c ) sin( ) 2 1 cos sin sin( ) sin( ) 2 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 sin cos
导数的四则运算法则
设 u=u（x） ，v=v（x）均为 x 的可导函数，则有 （1） （u±v）'=u'±v' （2） （u·v）'=u'·v+u·v' （3） （cu）'=c·u' （4） （5） （6） （u·v·w）'=u'·v·w+u·v'·w+u·v·w'
求极限公式
（2）
（3） （4）
（5）
三角函数的和差化积公式
三角函数的积化和差公式
sin sin 2sin

2 2 sin sin 2 cos sin 2 2 cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2
三角函数公式表
同角三角函数的基本关系式 倒数关系 商的关系 平方关系
tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1
sin sec tan cos csc cos csc cot sin sec
tan
tan( )
半角的正弦、余弦和正切公式
三角函数的降幂公式
sin( ) 2 cos( ) 2

1 cos 2 1 cos 2
sin

1 cos 2 2 2 1 cos 2 cos 2
2
1 cos 1 cos sin tan( ) 2 1 cos sin 1 cos
两角和与差的三角函数公式



sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot
sin(
sin(2 ) sin cos(2 ) cos tan(2 ) tan cot(2 ) cot
二倍角的正弦、余弦和正切公式
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin 2 2sin cos cos 2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2
tan 2
2 tan 1 tan 2
sin 3 3sin 4sin 3 cos 3 4 cos 3 3cos . 3 tan tan 3 tan 3 1 3 tan 2
化 asinα ±bcosα 为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）
a sin x b cos x a 2 b2 sin( x )
其中 角所在的象限由 a 、 b 的符号确定， 角的值由 tan
b 确定 a
六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中 间 1” ；记忆方法“对角线上两个函数的积为 1；阴影三 角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三 角函数值的平方； 任意一顶点的三角函数值等于相邻两 个顶点的三角函数值的乘积。 ”
sin
2 tan( / 2) 1 tan 2( / 2) 1 tan 2( / 2) 1 tan 2( / 2) 2 tan( / 2) 1 tan 2( / 2)
cos
tan( )
tan tan 1 tan tan tan tan 1 tan tan
，
（6）
（7）
（8） 3、方法 （1）分母极限为 0 时，分解因式,凑公式 （2）当 时，除以最高指数的 X
n



sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot
sin(

3 ) cos 2 3 cos( ) sin 2 3 tan( ) cot 2 3 cot( ) tan 2 3 ) cos 2 3 cos( ) sin 2 3 tan( ) cot 2 3 cot( ) tan 2
万能公式
sin(2 ) sin cos(2 ) cos tan(2 ) tan cot(2 ) cot
(其中 k∈Z)
sin( ) cos 2 cos( ) sin 2 tan( ) cot 2 cot( ) tan 2

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三角函数

三角函数

三角函数三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。

也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。

三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。

在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

常见的三角函数包括正弦函数（SinX）、余弦函数（Cosx）和正切函数（tanx）。

在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数。

不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。

另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。

常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。

三角函数在数学中属于一类重要的周期函数也是初等函数里的超越函数的一类函数。

它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数（亦称为单调函数）意义上的反函数。

三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。

例如在天文测量、大地测量、工程测量、机械制造、力学、光学、电学、地球物理学及图像处理等众多学科和领域中都有广泛的应用。

三角函数一般用于计算三角形（通常为直角三角形）中未知长度的边和未知的角度，在导航系统，工程学以及物理学方面都有广泛的用途。

其在基本物理中的一个常见用途是将矢量转换到笛卡尔坐标系中。

现代比较常用的三角函数有6个，其中sin和cos还常用于模拟周期函数现象，比如说声波和光波，谐振子的位置和速度，光照强度和白昼长度，过去一年中的平均气温变化等等。

高等数学公式(定积分 微积分 三角函数 导函数 等等 应有尽有)

高等数学公式(定积分 微积分 三角函数 导函数 等等 应有尽有)

高等数学公式基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x =++⎰ （5）arcsin x C =+（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x =-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰ （17）2211ln ||2x adx C x a a x a -=+-+⎰ （18）sinxarc C a=+（19）ln(x C=++（20）ln |x C =++（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。

2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。

3、复习三角函数公式：2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2xx +=， 21cos 2sin 2xx -=。

注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ=⎰⎰，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。

极限和导数 -详细本

极限和导数 -详细本

推论：（有界性）若函数 在闭区间 上连续，则 在闭区间 上有界。
定理4.7(介值性定理)若函数 在闭区间 上连续，且 ，若 为 介于之间的任何实数（ 或 ）,则在开区间 内至少存在一点 ，使得 .
推论（根的存在定理）若函数 在闭区间 上连续，且 异号，则至少存在一点 使得 .即 在 内至少有一个实根.
当Δx→0时，Δy→0。 当Δx→0时，Δy不趋向于零。
定义：设函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义，如果当自变量x在点x0处的增量Δx趋近于零时，函数y=f(x)相应的增量 也趋近于零，那么就叫做函数y=f(x)在点x0连续。用极限表示，就是
或
定义2：设函数y=f(x)在点x0及其左右近旁有定义，如果函数y=f(x)当x1→x0时的极限存在，且等于它在x0处的函数值f(x0),即
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
和差化积4个
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cosห้องสมุดไป่ตู้(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。
4无穷小的定理:
定理1：设
定理2： 设 , 且 存在，则
=
5 无穷小的比较
①无穷小量阶的定义,设 .
(1)若 ,则称 是比 高阶的无穷小量.
(2) .
(3) 是同阶无穷小量.
(4) ,记为 .
(5)
三角函数的导数解析与归纳

三角函数的导数解析与归纳

三角函数的导数解析与归纳在微积分中，研究导数是一个重要的课题。

导数给出了函数在每个点上的变化率，而对于三角函数，其导数的求解是十分常见且重要的。

本文将解析地探讨三角函数的导数，并对其进行归纳总结。

一、正弦函数的导数我们首先来看正弦函数的导数。

设函数y = sin(x)，则按照导数的定义：y' = lim(h->0) [sin(x+h) - sin(x)] / h利用三角函数的和差公式sin(a+b) = sin a*cos b + cos a*sin b，我们可以将上式展开得到：y' = lim(h->0) [sin x*cos h + cos x*sin h - sin x] / h= lim(h->0) [cos h*sin x + sin h*cos x - sin x] / h= lim(h->0) [2*sin(h/2)*cos(h/2)*sin x + sin h*cos x - sin x] / h根据极限的性质，lim(h->0) sin(h/2)/h = 1 和 lim(h->0) sin h/h = 1，于是上式变为：y' = lim(h->0) [2*sin(x/2)*cos(x/2)*sin x + sin x*cos x - sin x] / h= lim(h->0) [sin x*(2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1)] / h由于lim(h->0) 2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1 = 0，所以上式化简为： y' = lim(h->0) sin x*(2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1) / h= sin x * lim(h->0) [2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1] / h= sin x * 0= 0因此，我们得出结论：正弦函数的导数为零，即 d(sin(x))/dx = 0。