不等式第三课时

第三章 不等式3.4基本不等式2a bab +≤（第三课时）【创设情景 引入新知】前一节课我们学习了利用基本不等式解一些简单的实际应用问题，求一些简单的最值问题，在应用的过程中，我们对基本不等式2ba ab +≤的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.基本不等式不仅应用广泛，而且由基本不等式还可以推导出许多变形公式，为下一步的学习好应用提供了更多的思路和方法，那么你知道基本不等式有哪些变通形式？怎么灵活应用呢？另外，有一些代数式的积或和都不是定值，应该怎么求最值呢？对一些不等式我们能否利用基本不等式进行证明呢？本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用.【探索问题 形成概念】基本不等式的变通公式： 变式1：将基本不等式2a bab +≥两边平方可得22()a b ab +≥； 变式2：在不等式222a bab +≥两边同加上22a b +，再除以4，可得，22222()a b a b ++≥； 变式3：将不等式2(0,0)a b ab a b +≥>>两边同乘以ab ，可得2abab a b≥+，再让我再想想吧？将2ab a b+的分子、分母同除ab ，得211ab a b≥+.综合上述几种变式得出，2222211a b a b ab a b++≥≥≥+.（一）利用基本不等式求积或和都不是定值的函数的最值问题利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解. 【例题】（1）已知3x <，求43()f x x x =+-的最大值；（2）已知01x << ，求 21x x -的最大值.【思路】（1）用基本不等式求最值时,构造积为定值，各项必须为正数,若为负数,则添负号变正.（2）构造和为定值，利用基本不等式求最值. 【解答】（1）330,.x x <∴-<4433334433233331()()()()f x x x x x x x x x ∴=+=+-+--⎡⎤=-+-+≤-⨯-+⎢⎥--⎣⎦=-当且仅当433()x x =--，即x ＝1时取等号．()f x ∴的最大值为－1.（2）2222201111122,()x x x x xx x <<+-∴-=-≤=当且仅当221xx =-，即22x =时取等号． ()f x ∴的最大值为12.【反思】对于某些问题,从形式上看不具备应用基本不等式的条件,可设法变形拼凑出应用基本不等式的条件,然后用基本不等式求解.（二）形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值思考两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到． 【例题】求函数2232x y x +=+的最小值.【思路】由于分子变量的次幂是分母变量次幂的2倍，因此可化为1y t t=+型函数求解. 【错误解法】22223122222min,.x y x x x y +==++≥++∴=但是22x +与212x +不可能相等，即“＝”取不到，因此最小值不是2.【正确解法】222231222x y x x x +==++++，令22t x =+，则2t ≥，所以原式为12()y t t t=+≥.而函数1y t t=+在01(,)t ∈上为减函数，在1(,)t ∈+∞上为增函数，2t ≥，则当2t =时，y 取最小值，且132222min y =+=，此时0x =，故当0x =时，y 取最小值322.【反思】当形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值时，可用函数的单调性求解，而函数0()b y at t t =+>在0,b a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数，在,b a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上为增函数.（三）利用基本不等式证明不等式证明不等式是均值不等式的一个基本应用,注意分析不等式的左右两边的结构特征,通过拆(添)项创设一个应用均值不等式的条件.在解决本类问题时注意以下几点: （1）均值不等式成立的前提条件;（2）通过加减项的方法配凑成算术平均数、几何平均数的形式; （3）注意“1”的代换;（4）灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用.【例题】已知,,a b c 为不全相等的正实数．求证222a b cab bc ac ++>++.【思路】先构造基本不等式的条件，再运用基本不等式证明，不要忘记判断等号成立的条件. 【证明】22222222200022222,,,,,,()(),a b c a b ab b c bc a c ac a b c ab bc ac >>>∴+≥+≥+≥∴++≥++ 即222,a b cab bc ac ++≥++又,,a b c 为不全等的正实数，故等号不成立． ∴222a b cab bc ac ++>++【反思】对要证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明．如果本例条件不变，求证a b c ab bc ac ++>++.则可以类似的证明000,,,a b c >>>222,,,a b ab b c bc a c ac ∴+≥+≥+≥∴22()()a b c ab bc ac ++≥++即a b c ab bc ac ++≥++.由于,,a b c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a b c ab bc ac ++>++.【解疑释惑 促进理解】难点一、如何利用基本不等式求条件最值在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值． 【例题】已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值；【错误解法】0,0x y >>，且191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。

课 题：不等式的性质（3）教学目的：1． 熟练掌握定理1，2，3的应用；2． 掌握并会证明定理4及其推论1，2；3． 掌握反证法证明定理5教学重点：定理4，5的证明教学难点：定理4的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b ，c>d ，是同向不等式 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b ，c<d ，是异向不等式2．不等式的性质：定理1：如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b ．(对称性)即：a>b ⇒b<a ；b<a ⇒a>b定理2：如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性)即a>b ，b>c ⇒a>c定理3：如果a>b ，那么a+c>b+c ．即a>b ⇒a+c>b+c推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则)即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ．二、讲解新课：定理4：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac<bc ．证明：∵ac-bc ＝(a-b)c∵a>b ∴a-b>0当c>0时，(a-b)c>0即ac>bc ．当c<0时，(a-b)c <0即ac<bc ．类比定理3推论，设想同向不等式相乘，不等号方向是否改变？即如果a>b ，c>d 是否一定能得出ac>bd ？(举例说明)能否加强条件得出ac>bd 呢?(引导学生探索，得出推论) ．推论1 如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd ．(相乘法则)证明：,0a b c >> a c b c ∴>①又,0,c d b >> ∴bc bd > ②由①、②可得ac bd >说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；（2）所有的字母都表示正数，如果仅有,a b c d >>，就推不出ac bd >的结论（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向推论2 若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；（2）应强调学生注意n ∈N 1n >且的条件如果a>b >0，那么a n >b n (n ∈N ，且n>1)定理5若0,1)a b n N n >>>∈>且点拨：遇到困难时，可从问题的反面入手，即所谓的“正难则反” ．我们用反证法来证明定理5<=<，就“归谬”了事，而必须进行“穷举” 证明：假定n a 不大于n b<n n b a = 由推论2和定理1，<有a b <；当n n b a =时，显然有b a = 这些都同已知条件0a b >>矛盾>点评：反证法证题思路是：反设结论→找出矛盾→肯定结论．三、讲解范例：例1 已知0>>b a 且d c <<0，求证：db c a > (相除法则) 证：∵0>>c d ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a > 例2 已知a>b>0，c<0，求证：bc a c >证明：∵0,a b >>两边同乘以正数得,1ab 11,b a> 即 b a 11< ，又 c<0 ∴ b c a c > 例3 已知a ，b ，x ，y 是正数，且b a 11>，x>y ．求证：by y a x x +>+ 证：∵ba 11>>0 ∴b>a>0, 又x>y>0 ∴xb>ay ∴xy+xb>xy+ay 即 x(y+b)>y(x+a) ∵a ，b ，x ，y 是正数，∴y+b>0，x+a>0∴by y a x x +>+ 例4 已知函数2()f x ax c =-, -4≤(1)f ≤-1, -1≤f (2)≤5, 求(3)f 的取值范围分析： 利用(1)f 与(2)f 设法表示a 、c, 然后再代入(3)f 的表达式中，从而用(1)f 与(2)f 来表示(3)f , 最后运用已知条件确定(3)f 的取值范围解： ∵ ⎩⎨⎧=+=-)2(4)1(f c a f c a 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)1(34)2(31)]1()2([31f f c f f a ∴ )1(35)2(389)3(f f c a f -=-= ∵ -4≤f (1)≤1, 故 )35)(4()1()35()35)(1(--≤-≤--f (1) 又 -1≤f (2)≤5, 故 340)2(3838≤≤-f (2) 把(1)和(2)的各边分别相加，得：-1≤)1(35)2(38f f -≤20 所以，-1≤f (3)≤20点评：应当注意，下面的解法是错误的：依题意，得：⎩⎨⎧≤+≤--≤-≤-(2)541(1) 14c a c a 由（1）（2）利用不等式的性质进行加减消元，得0≤a ≤3， 1≤c ≤7 (3)所以，由c a f -=9)3(可得，-7≤f (3)≤27以上解法其错因在于，由（1）（2）得到不等式（3）是利用了不等式性质中的加法法则，而此性质是单向的，不具有可逆性，从而使得a 、c 的范围扩大，这样f (3)的范围也就随之扩大了四、课堂练习：1．已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：db ec a e ->- 证：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>->-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->- 6．如果0,0<<>>d c b a 求证：db c a ->-ππααsin sin log log 证：∵1sin 0<<α π>1 ∴0log sin <πα又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->- ∴d b c a -<-11 ∴db c a ->-ππααsin sin log log 五、小结 ：通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础六、课后作业：一选择题：1． 如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的是 [ C ]A ．a-d>b-cB ．cb d a > C ．a+d>b+c D ．ac>bd 2 如果a 、b 为非0实数，则不等式b a 11>成立的充要条件是 [ D ]A ．a>b 且ab<0B ．a<b 且ab>0C ．a>b,ab<0或ab<0D ．a 2b-ab 2<0 3 当a>b>c 时，下列不等式恒成立的是 [ B ]A ．ab>acB ．(a-b)∣c-b ∣>0C ．a ∣c ∣>b ∣c ∣D ．∣ab ∣>∣bc| 4已知a 、b 为实数，则“a+b>2”是“a 、b 中至少有一个大于1”的 [ A ] A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 不充分也不必要条件5．log m 2> log n 2的充要条件是 [ C ]A ．n>m>1或1>m>n>0B ．1>m>n>0C ．n>m>1或1>n>m>0D ．m>n>1 二填空题： 6．若-1<x<y<0,则x 1，y1，2x ，2y 的大小关系为___2x >2y >x 1y 1 7．设角α、β满足22πβαπ<<<-，则α-β的取值范围为-π<α-β<0 8．若实数a>b, 则a 2-ab > ba-b 2填上不等号)9．已知a>b>c ，且a+b+c=0,则b 2 – 4ac 的值的符号为 正数三解答题： 10．已知x 、y 均为正数，设M=y x 11+, N=y x +4, 试比较M 和N 的大小证明：2114()0()x y M N x y x y xy x y ⎛⎫--=+-=≥ ⎪++⎝⎭M N ⇒≥ 11．设函数f(x)的图象为一条开口向上的抛物线, 已知x 、y 均为正数，p>0,q>0且p+q=1,求证f (px+qy)<pf (x)+qf (y)证明：设2()f x ax bx c =++ (0)a >，由p>0,q>0且p+q=1,则2()()()f px qy a px qy b px qy c +=++++＝2()p ax bx c +++2()q ay by c +++2apqxy所以pf (x)+qf (y) －f (px+qy)＝－2apqxy >0所以f (px+qy)<pf (x)+qf (y) 七、板书设计（略）八、课后记：。

第2课时【学习导航】知识网络学习要求1．进一步理解三个一元二次之间的关系，掌握一元二次不等式解的逆向问题。

2．会解一些简单的含参数的一元二次不等式．【课堂互动】自学评价1．不等式a(x-1)(x-2)<0的解集为{x|x<1或x>2}则a与0的关系为：2．不等式(x-1)(x-a)<0的解集为。

【精典范例】例1已知不等式x2+ax+b<0的解集为{x|－1<x<2}, 求不等式bx2－ax+1<0的解集。

【解】变式：已知不等式b x2－ax+１<0的解集为{x| x < －12或x>1}, 求不等式x2+ax+b<0的解集．思维点拔：不等式与方程的关系是关键．从不等式的解⇒方程的根⇒韦达定理(或将根代入) ⇒新不等式的解．追踪训练一１．不等式ax2+bx+2<0的解集为{x| －12<x<13}, 求a－b．2．已知关于x的不等式ax2+2x+6a<0的解集为{x| x <2或x>3}, 求a的值．例２.解关于x的不等式x2－(a+1)x+a>0学习札记例3：解关于x的不等式ax2－x+1>0【解】思维点拔：1.分类讨论标准的确定(1).x2系数的正负或者为零的讨论(2). 与０的大小比较(3).两根大小的比较．２．分类讨论不要重复和遗漏追踪训练二1. 解关于x的不等式ax2－(a+1)x+1>02. 解关于x的不等式x2－ax+1>0学习札记。