角平分线模型讲练

高中角平分线练习题及讲解### 高中角平分线练习题及讲解角平分线是高中数学中的一个重要概念，它将一个角平分为两个相等的角。

本文将提供几个关于角平分线的基础练习题，并给出相应的解题思路和步骤。

#### 练习题一题目：在三角形ABC中，BD是角B的平分线，求证：AB/AC = BD/DC。

解题思路：1. 利用角平分线定理，即角平分线将对边按比例分割。

2. 根据角平分线定理，我们知道AB/AC = BD/DC。

证明步骤：- 由于BD是角B的平分线，根据角平分线定理，我们有AB/AC =BD/DC。

- 证明完成。

#### 练习题二题目：在三角形ABC中，点D在BC上，且AD是角A的平分线。

求证：AB/AC = BD/DC。

解题思路：1. 根据角平分线的定义，AD将角A平分为两个相等的角。

2. 利用相似三角形的性质来证明比例关系。

证明步骤：- 由于AD是角A的平分线，角BAD = 角DAC。

- 根据角角相似准则，三角形ABD与三角形ACD相似。

- 因此，AB/AC = BD/DC。

- 证明完成。

#### 练习题三题目：在三角形ABC中，已知AB = AC，BD是角B的平分线，求证：AD垂直于BC。

解题思路：1. 利用等腰三角形的性质，即底角相等。

2. 利用角平分线的性质，结合等腰三角形的性质来证明垂直。

证明步骤：- 由于AB = AC，三角形ABC是等腰三角形，角B = 角C。

- BD是角B的平分线，所以角ABD = 角CBD。

- 由于角B = 角C，我们有角ABD = 角CBD = 角C / 2。

- 因此，角ADB = 90度，即AD垂直于BC。

- 证明完成。

#### 练习题四题目：在三角形ABC中，点D在BC上，AD是角A的平分线，且AB/AC = 2。

求BD/DC的值。

解题思路：1. 根据角平分线定理，找到AB和AC的比例关系。

2. 利用给定的比例关系求解BD/DC。

解题步骤：- 根据角平分线定理，AB/AC = BD/DC。

专题01 角平分线的五种模型模型一、角平分线垂两边例1.如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2B．6：4C．2：3D．不能确定【答案】A【详解】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∵AD为∠BAC的平分线，∴DE=DF，又AB：AC=3：2，∴S△ABD：S△ACD=（12AB•DE）：（12AC•DF）=AB：AC=3：2．故选A．例2.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为___．【答案】2【详解】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵PC//OA，∴∠CPO＝∠POD，又∠AOP＝∠BOP＝15°，∴∠CPO＝∠BOP＝15°，又∠ECP为△OCP的外角，∴∠ECP＝∠COP＋∠CPO ＝30°，在直角三角形CEP 中，∠ECP ＝30°，PC ＝4，∴PE ＝12PC ＝2，则PD ＝PE ＝2．故答案为：2． 【变式训练1】如图所示，在四边形ABCD 中，DC //AB ，∠DAB =90°，AC ⊥BC ，AC =BC ，∠ABC 的平分线交A D ，AC 于点E 、F ，则BFEF的值是___________.11221BCBC BC ==--【详解】解：如图，作FG ⊥AB 于点G ，∠DAB -90°，∴FG /AD ，∴BF EF =BGAGAC ⊥BC ，∴∠ACB =90° 又BF 平分∠ABC ，∴FG =FC 在Rt △BGF 和Rt △BCF 中BF BFCF GF=⎧⎨=⎩ ∴△BGF ≌△BCF （HL ），∴BC =BGAC =BC ，∴∠CBA =45°，∴AB =2BC1BF BG BC EF AG AB BG ∴====- 【变式训练2】如图，BD 平分ABC 的外角∠ABP ，DA =DC ，DE ⊥BP 于点E ，若AB =5，BC =3，求BE 的长．【答案】1【详解】解：过点D 作BA 的垂线交AB 于点H ，∵BD平分△ABC的外角∠ABP，DH⊥AB，∴DE＝DH，在Rt△DEB和Rt△DHB中，DE DHDB DB=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEB≌Rt△DHB（HL），∴BE＝BH，在Rt△DEC和Rt△DHA中，DE DHDC DA=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEC≌Rt△DHA（HL），∴AH＝CE，由图易知：AH＝AB−BH，CE＝BE＋BC，∴AB−BH＝BE＋BC，∴BE＋BH＝AB−BC＝5−3＝2，而BE＝BH，∴2BE＝2，故BE＝1．【变式训练3，的平分线相交于点E，过点E作交AC于点F，则EF的长为.【答案】【解析】延长FE交AB于点D G H，如图所示：四边形BDEG是矩形，平分CE平分，四边形BDEG是正，，设，则，，，解得，，即，解得，.模型二、角平分线垂中间例．如图，已知，90,,BAC AB AC BD ∠=︒=是ABC ∠的平分线，且CE BD ⊥交BD 的延长线于点E ．求证：2BD CE =． 【答案】见解析【详解】证明：如图，延长CE 与BA 的延长线相交于点F ，∵90,90EBF F ACF F ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴EBF ACF ∠=∠，在ABD △和ACF 中，EBF ACF AB AC BAC CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABD ACF ASA △≌△，∴BD CF =，∵BD 是ABC ∠的平分线，∴EBC EBF ∠=∠．在BCE ∆和BFE ∆中，EBC EBF BE BE CEB FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BCE BFE ASA ≌△△， ∴CE EF =，∴2CF CE =， ∴2BD CF CE ==．【变式训练1】如图，已知△ABC ，∠BAC ＝45°，在△ABC 的高BD 上取点E ，使AE ＝BC ． （1）求证：CD ＝DE ；（2）试判断AE 与BC 的位置关系？请说明理由；【答案】（1）见解析；（2）AE BC ⊥，理由见解析；（3）【详解】（1）证明：∵BD AC ⊥，45BAC ∠=︒，∴90,45EDA BDC ABD BAD ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴AD BD =，在Rt ADE △和Rt BDC 中，∵AD BDAE BC =⎧⎨=⎩ ∴()Rt ADE Rt BDC HL ≅，∴CD ＝DE ； （2）AE BC ⊥，理由如下：如图，延长AE ，交BC 于点F ， 由（1）得,90EAD EBF EAD AED ∠=∠∠+∠=︒，∵AED AEF ∠=∠，∴90BEF EBF ∠+∠=︒，∴90EFB =︒，即AE BC ⊥；【变式训练2】如图，D 是△ABC 的BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，AE ⊥CE 于点E ，且AB =10，AC =16，则DE 的长度为________【答案】3【解答】解：如图，延长CE ，AB 交于点F .AE 平分∠BAC ，AE ⊥EC ，∴∠F AE =∠CAE ，∠AEF =∠AEC =90°在△AFE 和△ACE 中，EAF EAC AE AE AEF AEC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠，∴△AFE ≌ACE （ASA ），∴AF =AC =16，EF =EC ，∴B F =6又D 是BC 的中点，∴BD =CD ，∴DE 是△CBF 的中位线，∴DE =12BF =3，故答案为：3. 【变式训练3】如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.【答案】见解析【解答】证明：延长AD 交BC 于点F .CD 平分ACF ∠, ACD FCD ∴∠=∠.又,,AD CD CD CD ⊥=ADC ∴∆≌FDC ∆,AD FD ∴=. 又DE ∥BC ,EA EB ∴=.模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形例.如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE 时，EP +BP =________.【答案】12【解答】解：如图，延长BQ 交射线EF 于点M .E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF //BC ，∴∠CBM =∠EMBBM 平分∠ABC ，∴∠ABM =∠CBM ，∴∠EMB =∠EBM ，∴EB =EM ，∴EP +BP =EP +PM =EM CQ =13CE ，∴EQ =2CQ由EF //BC 得，△EMQ ∽△CBQ∴2 212 12EM EQEM BC EP BP BC CQ==∴==∴+=【变式训练1】如图，平分于点C ，，求OC 的长？【解析】如图所示：过点D 作交OA 于点E ，则，平分，，中，，.【变式训练2C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且，则AC=．【解析】过点E于G，连接CF，如图所示：分别是，CF是的平分线，，，由勾股定理可得.模型四、利用角平分线作对称例.平分.【答案】见解析【解析】证明：在AB上截取，连接DE，如图所示：.【变式训练】AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝3，S△ABC＝20．（1）如图1，若AB＝AC，求AC的长；（2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长．【答案】（1）203；（2）253【详解】解：（1）如图1，作DF⊥AC于F，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF ＝DE ＝3， 由题意得，12×AB ×3＋12×AC ×3＝20，解得，AC ＝AB ＝203； （2）如图2，作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF ＝DE ＝3， 由题意得，12×5×3＋12×AC ×3＝20，解得，AC ＝253． 模型五、内外模型例.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠AC E 的平分线相交于点D ，则∠D 的度数为（ ）A ．15°B ．17.5°C ．20°D ．22.5°【答案】A4321DA【解析】∵∠ABC与∠AC E的平分线相交于点D，∴∠DCE=∠DCA，∠CBD=∠ABD，即.的外角的平分线CP与内角BP交于点P，若，则.【解析】平分平分又，过点P的延长线，垂足分别为点E、F、G，如图所示：由角平分线的性质可得，AP是.课后训练1．如图，BD是ABC的外角∠ABP的角平分线，DA＝DC，DE⊥BP于点E，若AB＝5，BC＝3，则BE 的长为（）A ．2B ．1.5C ．1D ．0【答案】C【详解】解：如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，BD 是ABP ∠的角平分线，DF AB ⊥，DE ⊥BP ，DE DF ∴=，在Rt BDE 和Rt BDF 中，BD BDDE DF =⎧⎨=⎩，()Rt BDE Rt BDF HL ∴△≌△，BE BF ∴=，在Rt ADF 和Rt CDE △中，DA DCDE DF=⎧⎨=⎩，()Rt ADF Rt CDE HL ∴△≌△，AF CE ∴=，AF AB BF =-，CE BC BE =+，AB BF BC BE ∴-=+，2BE AB BC ∴=-，5AB =，3BC =，2532BE ∴=-=，解得：1BE =．故选：C ．2．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，若7ABC S =△，32=DE ，5AB =，则AC 的长为（ ）A ．133B ．4C ．5D ．6【答案】A【详解】∵AD 是ABC ∆中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，∴32DF DE ==． 又∵ABCABD ACDSSS=+，5AB =，∴1313752222AC =⨯⨯+⨯⨯，∴133AC =．故选：A ． 3．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，CD ＝2，BD ＝3，Q 为AB 上一动点，则DQ 的最小值为（ ）A．1B．2C．2.5D【答案】B【详解】解：作DH⊥AB于H，如图，∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，∴DH=DC=2，∵Q为AB上一动点，∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．故选：B．4．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD 的面积是______．【答案】30【详解】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°，∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝DC=4，∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝12×BC×CD＋12×AB×DE＝12×9×4＋12×6×4＝30，故答案为：30．5．如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB=5，AC=3，DF=2，则△ABC的面积为______．【答案】8【详解】解：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=2，∴△ABC的面积=12×5×2+12×3×2=8，故答案侍：8．6．在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB＝_____︒【答案】25【详解】解：如图示：过点E ，分别作EF BD ⊥交BD 于点E ，EG AC ⊥交AC 于点G ，EH AB ⊥，交AB 延长线于点H ， ∵BE 平分ABC ∠，CE 平分ACD ∠，∴EH EF =，EG EF =，∴EH EG =，∴AE 平分HAC ∠， ∵62ABC ∠=︒，50∠=°ACB ，∴6250112HAC ABC ACB ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴111125622EAO HAC ∠=∠=⨯︒=︒， ∵BE 平分ABC ∠，62ABC ∠=︒∴11623122EBC ABC ∠=∠=⨯︒=︒ 在AOE △和BOC 中，OBC OCB OAE AEB ∠+∠=∠+∠∴31505625AEB OBC OCB OAE ∠=∠+∠-∠=︒+︒-︒=︒，故答案是：25． 7．如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD =CD ，BE =CF ．（1）求证：AD 平分∠BAC ：（2）已知AC =18，BE =4，求AB 的长． 【答案】（1）见解析；（2）10AB =．【详解】（1）证明：DE AB ∵⊥，DF AC ⊥，90E DFC ∴∠=∠=︒，在Rt BED 和Rt CFD △中，BD CD BE CF =⎧⎨=⎩，∴Rt BED Rt CFD ≅()HL ，DE DF ∴=，DE AB ∵⊥，DF AC ⊥，AD ∴平分BAC ∠；（2）解：DE DF =，AD AD =，Rt ADE Rt ADF ∴≅()HL ，AE AF ∴=，AB AE BE AF BE AC CF BE =-=-=--，184410AB ∴=--=．8．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A （-4，0），B （0，4），AD ⊥BC 交BC 于D 点，交y 轴正半轴于点E （0，t ）（1）当t=1时，点C 的坐标为 ； （2）如图2，求∠ADO 的度数；（3）如图3，已知点P （0，3），若PQ ⊥PC ，PQ=PC ，求Q 的坐标（用含t 的式子表示）． 【答案】（1）点C 坐标（1，0）；（2）∠ADO =45°；（3）Q （-3，3-t ）． 【详解】（1）如图1，当t =1时，点E （0，1）， ∵AD ⊥BC ， ∴∠EAO +∠BCO =90°， ∵∠CBO +∠BCO =90°，∴∠EAO =∠CBO ，在△AOE 和△BOC 中，∵90EAO CBOAO BO AOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠︒⎩＝，∴△AOE ≌△BOC （ASA ），∴OE =OC =1，∴点C 坐标（1，0）． 故答案为：（1，0）；（2）如图2，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，∵△AOE ≌△BOC ，∴S △AOE =S △BOC ，且AE =BC ， ∵OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，∴OM =ON ，∴OD 平分∠ADC ；AD ⊥BC ，90ADC ∴∠=︒∴∠ADO =1452ADC ∠=︒；（3）如图3，过P 作GH ∥x 轴，过C 作CG ⊥GH 于G ，过Q 作QH ⊥GH 于H ，交x 轴于F ，∵P （0，3），C （t ，0），∴CG =FH =3，PG =OC =t ， ∵∠QPC =90°，∴∠CPG +∠QPH =90°， ∵∠QPH +∠HQP =90°，∴∠CPG =∠HQP ，∵∠QHP=∠G=90°，PQ=PC，∴△PCG≌△QPH，∴CG=PH=3，PG=QH=t，∴Q（-3，3-t）．。

重难点：（双）角平分线模型【知识梳理】（双）角平分线模型1.双内角平分线2.双外角平分线3.内角平分线+外角平分线三角形三个内角的和等于180°三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.【考点剖析】题型1.双内角平分线例1.如图，△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝70°，则∠BOC＝度．【解答】解：如图，延长AO交于BC于点D，∵∠B和∠C的平分线交于点O∴∠ACB＝2∠2，∠ABC＝2∠1，∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，∴2∠1+2∠2+∠BAC＝180°，∴∠1+∠2＝（180°﹣∠BAC）÷2＝（180°﹣70°）÷2＝55°．∵∠BOD＝∠1+∠BAO，∠DOC＝∠2+∠OAC，又∵∠BAO+∠CAO＝∠BAC，∠BOD+∠COD＝∠BOC，∴∠BOC＝∠1+∠2+∠BAC＝55°+70°＝125°．故答案为：125．例2．（2022秋•瑶海区期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数．（1）若∠A＝68°，则∠BPC＝°；（2BPC＝（用含∠A的式子表示），并说明理由．【解答】解：（1）∵∠A＝68°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣68°＝112°，∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×112°＝56°，∴∠BPC＝180°﹣56°＝124°，故答案为：124°；（2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A由（1）得：∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A故答案为：90°+∠A．例3.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，根据下列条件求∠BIC的度数，（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠BIC＝；（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，则∠BIC＝；（3）若∠A＝56°，则∠BIC＝；（4）若∠BIC＝100°，则∠A＝；（5）通过以上计算，探索出您所发现规律：∠A与∠BIC之间的数量关系是．【解答】解：（1）∠ICB＝＝40°＝25°∠CIB＝180°﹣40°﹣25°＝115°；（2）∠ICB+∠IBC＝（∠ABC+∠ACB）＝58°，∠CIB＝180°﹣58°＝122°；（3）∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝112°，∠ICB+∠IBC＝（∠ABC+∠ACB）＝56°，∠CIB＝180°﹣56°＝118°；（4）∠ICB+∠IBC＝180°﹣∠CIB＝80°，∠ABC+∠ACB＝2（∠ICB+∠IBC）＝160°，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝20°；（5）∠BIC＝180°﹣（∠ICB+∠IBC）而∠ICB+∠IBC＝（∠ABC+∠ACB）；∠ABC+∠ACB＝180﹣∠A所以∠BIC＝180°﹣（180﹣∠A）＝90°+∠A．例4．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．（1）若∠ABC＝40°、∠ACB＝50°，则∠BOC＝；（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，则∠BOC＝；（3）若∠A＝76°，则∠BOC＝；（4）若∠BOC＝120°，则∠A＝；（5）请写出∠A与∠BOC之间的数量关系（不必写出理由）．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），（1）当∠ABC＝40°、∠ACB＝50°时，∠OBC+∠OCB＝×（40°+50°）＝45°，∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝135°．故答案是：135°；（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，则∠OBC+∠OCB＝×116°＝58°，∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝122°．故答案是：122°；（3）在△ABC中，∠A＝76°，则∠ABC+∠ACB＝180°﹣76°＝104°．∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝52°，∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝128°．故答案是：128°；（4）若∠BOC＝120°，则∠OBC+∠OCB＝60°，∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝120°，∴在△ABC中，∠A＝180°﹣120°＝60°．故填：60°；（5）设∠BOC＝α，∴∠OBC+OCB＝180°﹣α，∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+OCB）＝2（180°﹣α）＝360°﹣2α，∴∠A＝180°﹣（ABC+∠ACB）＝180°﹣（360°﹣2α）＝2α﹣180°，故∠BOC与∠A之间的数量关系是：∠A＝2∠BOC﹣180°．故答案是：∠A＝2∠BOC﹣180°．题型2.双外角平分线例5.（1）如图（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝40°求∠BOC的度数．（2）如图（2），△A′B′C′外角的平分线相交于点O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数．（3）由（1）、（2）可以发现∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？设∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的数量关系？这个结论你是怎样得到的？【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，则∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°．故∠BOC＝180°﹣70°＝110°；（2）因为∠A的外角等于180°﹣40°＝140°，△A′B′C′另外的两外角平分线相交于点O′，根据三角形的外角和等于360°，所以∠1+∠2＝×（360°﹣140°）＝110°，∠B′O′C′＝180°﹣110°＝70°；（3）∵（1）（2）中∠BOC+∠B′O′C′＝110°+70°＝180°，∴∠BOC与∠B′O′C′互补；证明：当∠A＝n°时，∠BOC＝180°﹣[（180°﹣n°）÷2]＝90°+n°，∵∠A′＝n°，∠B′O′C′＝180°﹣[360°﹣（180°﹣n°）]÷2＝90°﹣n°，∴∠A+∠A′＝90°+n°+90°﹣°＝180°，∠BOC与∠B′O′C′互补，∴当∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′还具有互补的关系．例6.（2022秋·八年级课时练习）如图1，△ABC的外角平分线交于点F．（1）若∠A＝40°，则∠F的度数为；（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A 与α+β的数量关系是；（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由；②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．【答案】（1）70°（2）190 2Aαβ+−∠=︒（3）①见解析②不成立；190 2Aβα−−∠=︒或1902Aαβ−−∠=︒【详解】解：（1）如图1，∵∠A，∴∠ABC+∠ACB＝140°，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣140°＝220°，又∵△ABC的外角平分线交于点F，∴∠FBC+∠FCB＝12（∠DBC+∠ECB）＝12×220°＝110°，∴△BCF中，∠F＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°；（2）如图2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，又∵△ABC的外角平分线交于点F，∴∠FBC+∠FCB＝12（∠DBC+∠ECB）＝12×（180°+∠A）＝90°+12∠A ，∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+12∠A ）＝90°﹣12∠A，又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣12∠A＝180°，即α+β﹣12∠A＝90°，故答案为：α+β﹣12∠A＝90°；（3）①α+β﹣12∠A＝90°，理由如下：如图3，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣12∠A，∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣12∠A＝180°，即α+β﹣12∠A＝90°，②当直线MN与线段BC有交点时，①中∠A与α，β之间的数量关系不成立．分两种情况：如图4，当M在线段AB上，N在AC延长线上时，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣12∠A，∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，∴90°﹣12∠A﹣α+β＝180°，即β﹣α﹣12∠A＝90°；如图5，当M在AB的延长线上，N在线段AC上时，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣12∠A，∵∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，∴90°﹣12∠A﹣β+α＝180°，即α﹣β﹣12∠A＝90°；综上所述，∠A与α，β之间的数量关系为β﹣α﹣12∠A＝90°或α﹣β﹣12∠A＝90°．题型3.内角平分线+外角平分线例7．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2013BC的平分线与∠A2013CD的平分线交于点A2014，得∠A2014CD，则∠A2014＝．【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，即∠ACD＝∠A1+∠ABC，∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，…，以此类推可知∠A2014＝∠A＝°．故答案为：°．例8.（2021秋•利辛县月考）（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A；（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+A；（2）猜想：证明：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∵∠PCE＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCE﹣∠PBC，又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴，∴∠P＝ACE﹣ABC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝A．【过关检测】一．选择题（共8小题）1．（2022春•振兴区校级期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为15，20，25，点O是△ABC 三条角平分线的交点，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5【分析】过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如图，利用角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，然后根据三角形面积公式得到S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：AC．【解答】解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如图，∵点O是△ABC三条角平分线的交点，∴OD＝OE＝OF，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（AB•OD）：（OE•BC）：（OF•AC）＝AB：BC：AC＝15：20：25＝3：4：5．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积公式．2．（2022秋•黄冈期中）如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A＝50°，则∠BOC 等于（）A．110°B．115°C．120°D．130°【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠BOC的度数．【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°．故选：B．【点评】本题主要利用三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键．3．（2022秋•上杭县校级期末）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC＝125°，则∠A的度数为（）A．60°B．80°C．70°D．45°【分析】根据BF平分∠ABC可得，∠FBC＝∠ABC，同理，然后根据∠BFC＝125°，利用三角形内角和可得∠∠FBC+∠FCB＝55°，从而得到∠ABC+∠ACB＝110°，再根据三角形内角和得到∠A＝70°．【解答】解：在△FBC中，∠BFC＝125°．∴∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠BFC＝55°．∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB．∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB．∴∠ABC+∠ACB＝2（∠FBC+∠FCB）＝110°．∴在△ABC中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝70°．故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理与角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．4．（2022秋•西陵区校级期中）如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别是9、12、15．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．3：4：5D．2：3：4【分析】过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，根据角平分线的性质可知：OD＝OE ＝OF，利用三角形的面积公式计算可求解．【解答】解：过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，∵△ABC的三条角平分线交于点O，∴OD＝OE＝OF，在△ABC中，AB＝9，BC＝12，AC＝15，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB•DO：BC•EO：AC•OF＝AB：BC：AC＝9：12：15＝3：4：5，故选：C．【点评】本题主要考查勾股定理，三角形的面积，角平分线的性质，利用角平分线的性质求得OD＝OE＝OF 是解题的关键．5．（2021秋•冷水滩区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，∠A＝40°，则∠BDC的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°第6题图【分析】在△ABC中，求得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，根据∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，求得∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，在△DBC中根据三角形内角和定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝40°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣70°＝110°．故选：A．【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练应用三角形内角和定理是解题的关键．6．（2021秋•新兴县期中）如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，若∠BOC＝140°，则∠A的度数是（）A．40°B．90°C．100°D．140°【分析】先根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可得∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，再根据三角形内角和定理计算出∠1+∠2的度数，进而得到∠ABC+∠ACB，即可算出∠A的度数．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，∵∠BOC＝140°，∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝2×40°＝80°，∴∠A＝180°﹣80°＝100°，故选：C．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．7．（2022•峨边县模拟）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CD交于点D．过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，则△AEF的周长为（）A．12B．13C．14D．15【分析】根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形，即可解答．【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴EB＝ED，FD＝FC，∵AB＝6，AC＝8，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝14，∴△AEF的周长为：14，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形是解题的关键．8．（2022秋•东光县校级月考）如图，D是△ABC的角平分线BD和CD的交点，过点D作△BCD的高，交BC于点E．若∠A＝70°，∠CDE＝65°，则∠DBE的度数为（）A．30°B．35°C．20°D．25°【分析】利用三角形的内角和定理先求出∠BCD，再求出∠ABC，通过角平分线的定义得结论．【解答】解：∵DE⊥BC∴∠CED＝90°．∴∠DCB+∠CDE＝90°．∵∠CDE＝65°，∴∠BCD＝25°∵BD、CD分别是∠CBA、∠BCA的平分线，∴∠CBA＝2∠CBD，∠BCA＝2∠BCD＝50°．∵∠A+∠CBA+∠BCA＝180°，∠A＝70°，∴∠CBA+∠BCA＝110°．∴∠CBA＝110°﹣50°＝60°．∴∠DBE＝∠DBC＝30°．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理及角平分线的定义，掌握“三角形的内角和是180°”及角平分线的定义是解决本题的关键．二．填空题（共6小题）9．（2021秋•岷县期中）如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC 于点E，F．当EF＝6，CF＝4时，BE的长为．【分析】利用平行和角平分线得到BE＝OE，OF＝CF，可得出结论EF＝BE+CF，由此即可求得BE的长．【解答】解：如图，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO；∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EOB＝∠EBO，∴BE＝OE；同理可证CF＝OF，∴EF＝BE+CF，∵EF＝6，CF＝4，∴OE＝EF﹣OF＝EF﹣C＝2，∴BE＝OE＝2，故答案为2．BE＝EO，CF＝OF是解题的关键．10．（2022秋•安陆市期中）如图△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于H，过点H作EF∥BC交AB 于E，交AC于F，HD⊥AC于D，以下四个结论①∠BHC＝90°+∠A；②EF﹣BE＝CF；③点H到△ABC各点的距离相等；④若B，H，D三点共线时，△ABC一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为．【分析】①先根据角平分线的性质得出∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；②根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H可得出∠EBH＝∠CBH，∠BCH＝∠FCH，再由EF∥BC可知∠CBH＝∠EHB，∠BCH＝∠CHF，故可得出BE＝EH，HF＝CF，由此可得出结论；③根据三角形内心的性质即可得出结论；④根据已知条件可以得到△ABD≌△CBD，利用全等三角形的性质即可解决问题．【解答】解，①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H，∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故①错误；②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H，∴∠EBH＝∠CBH，∠BCH＝∠FCH．∵EF∥BC，∴∠CBH＝∠EHB，∠BCH＝∠CHF，∴∠EBH＝∠EHB，∠FCH＝∠CHF，∴BE＝EH，HF＝CF，∴EF＝EH+HF＝BE+CF，∴EF﹣BE＝CF，故②正确；③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H，∴点H是△ABC的内心，∴点H到△ABC各边的距离相等，故③正确；④若B，H，D三点共线时，则BD⊥AC，且BD平分∠ABC，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴AB＝AC，∴△ABC一定为等腰三角形，故④正确．故答案为：②③④；【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解题的关键．11．（2022秋•武昌区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线相交于点O，OD⊥OA交AC于D，OE⊥OB交BC于E，BC＝4，AC＝3，AB＝5，则△CDE的周长为2．【分析】延长DO交AB于点M，延长EO交AB于点N，根据ASA定理可得△BOE≌△BON，△AOD≌△AOM，再由SAS定理得出△EOD≌△NOM，由全等三角形的对应边相等可得出结论．【解答】解：延长DO交AB于点M，延长EO交AB于点N∵OB是∠ABC的平分线，∴∠OBE＝∠OBN．∵OE⊥OB，∴∠BOE＝∠BON＝90°．在△BOE与△BON中，，∴△BOE≌△BON（ASA）．同理可得，△AOD≌△AOM，∴OE＝ON，OD＝OM，BE＝BN，AD＝AM．在△EOD与△NOM中，，∴△EOD≌△NOM（SAS），∴DE＝MN．∴CE+CD+DE＝BC﹣BE+AC﹣AD+MN＝BC﹣（BM+MN）+AC﹣（AN+MN）+MN＝BC﹣BM﹣MN+AC﹣AN﹣MN+MN＝BC﹣BM﹣MN+AC﹣AN＝BC﹣（BM+MN+AN）+AC＝BC+AC﹣AB＝4+3﹣5＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．12．（2021秋•道里区期末）如图，在△ABC中，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过点D，且EF∥BC，若BE＝3，CF＝4，则EF的长为．【分析】根据角平分线与平行两个条件，可证出等腰三角下即可解答．【解答】解：∵BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴EB＝ED＝3，FD＝FC＝4，∴EF＝ED+DF＝3+4＝7，故答案为：7．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线与平行两个条件，可以证明等腰三角形是解题的关键．13．（2022秋•长兴县月考）如图，在△ABC中，∠A＝64°，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC ＝°．【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再利用角平分线的定义求出∠OBC与∠OCB 的和，最后利用三角形的内角和定理求出∠O．【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝64°，∴∠ABC+∠ACB＝116°．∵OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝ACB．∴∠OBC+∠OCB＝ABC+ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝58°．∵∠O+∠OBC+∠OCB＝180°，∴∠O＝180°﹣58°＝122°．故答案为：122°．【点评】本题考查了角平分线的定义及三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是180°”及角平分线的定义是解决本题的关键．14．（2021秋•天山区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2008BC的平分线与∠A2008CD 的平分线交于点A2009，得∠A2009，则∠A2009＝．【分析】读懂题意，根据角平分线的定义找规律，按规律作答．利用外角的平分线表示∠ACA1，再根据角平分线和三角形内角和定理求出∠A1等于∠A的一半，同理，可以此类推，后一个是前一个的一半，而2的次数与脚码相同．【解答】解：∵∠ACA1＝∠A1CD＝∠ACD＝（∠A+∠ABC），又∵∠ABA1＝∠A1BD＝∠ABD，∠A1CD＝∠A1BD+∠A1，∴∠A1＝∠A＝α．同理∠A2＝∠A1，…即每次作图后，角度变为原来的．故∠A2009＝．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发三．解答题（共8小题）15．（2021秋•呼和浩特期中）（1）如图1，在△ABC中BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作直线EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，直接写出EF和BE、CF的数量关系．（2）如图2，若将（1）中的“BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB”改为“BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB的外角”，其他条件不变，则EF与BE、CF的关系又如何？请说明理由．【分析】（1）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系；（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系．【解答】解：（1）EF＝BE+CF．理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝BE+CF．（2）EF＝BE﹣CF，理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCD，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCD，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝BE﹣CF．【点评】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，关键是推出BE＝OE，CF ＝OF．16．（2022秋•新乡期末）如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．（1）当BE＝5，CF＝3，则EF＝；（2）当BE＞CF时，若CO是∠ACB的外角平分线，如图2，它仍然和∠ABC的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，试判断EF，BE，CF之间的关系，并说明理由．【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可证BE＝OE＝5，OF＝CF＝3，即可得出答案；（2）与（1）同理可证．【解答】解：（1）∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠BCO，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE＝5，OF＝CF＝3，∴EF＝EO+FO＝8，故答案为：8；（2）EF＝BE﹣CF，理由如下：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，∵EO∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠ABO＝∠EOB，∴EB＝EO，同理可得FO＝FC，∴EF＝EO﹣FO＝EB﹣FC．【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，利用角平分线和平行线证明等腰三角形是解题的关键．17．（2022秋•瑶海区期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数．（1）若∠A＝68°，则∠BPC＝°；（2）从上述计算中，我们能发现：∠BPC＝（用含∠A的式子表示），并说明理由．【分析】（1）先根据三角形的内角和求出∠ABC+∠ACB＝112°，再由角平分线定义得：∠PBC+∠PCB＝56°，从而得出∠BPC的度数；（2）与（1）同理可得：∠BPC＝90°+∠A．【解答】解：（1）∵∠A＝68°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣68°＝112°，∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×112°＝56°，∴∠BPC＝180°﹣56°＝124°，故答案为：124°；（2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A由（1）得：∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A故答案为：90°+∠A．【点评】本题主要考查了内角平分线和外角平分线的定义，与三角形内角和相结合，得出内角平分线的夹角18．（2021秋•双台子区校级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O 作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．直接写出线段EF与BE，CF之间的数量关系：．（2）如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．则EF与BE，CF之间的数量关系又如何？说明你的理由．【分析】（1）利用角平分线与平行线证明△BEO和△CFO是等腰三角形即可；（2）利用角平分线与平行线证明△BEO和△CFO是等腰三角形即可．【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴EB＝EO，FC＝FO，∵EF＝EO+FO，∴EF＝EB+FC，故答案为：EF＝EB+FC；（2）EF＝BE﹣CF，理由是：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EBO＝∠EOB，∴EB＝EO，同理可得：FO＝CF，∵EF＝EO﹣FO，∴EF＝BE﹣CF．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，结合图形找到角与边的关系是解题的关键．19．（2023春•永春县期末）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是射线AB上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线CD于点F，∠BEF的角平分线所在的直线与直线CD交于点G（不与点C重合）．（1）如图，点E在线段AD上运动，若∠B＝50°，∠ACB＝30°，求∠EGC的度数；（2）若点E在线段DB的延长线上时，设∠A＝α，求∠EGC的度数（答案可用含α的代数式表示）．【分析】（1）由角平分线的性质及平行线的性质可得：∠FEG＝∠DEG＝∠FED＝25°，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝∠EFD＝15°，再利用三角形的外角可得结果；（2）先求得∠EGD＝90°﹣α，再由平角可得∠EGC．【解答】解：（1）EF∥BC，∴∠B＝∠FEB＝50°，∠EFD＝∠BCD，∵CF是∠ACB的平分线，EG是∠FED的平分线，∴∠FEG＝∠DEG＝∠FED＝25°，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝∠EFD＝15°，∴∠EGC＝∠FEG+∠EFG＝45°，（2）当点E在射线DB上时，如图，∵∠EGD＝∠FEG+∠EFG＝（∠FED+∠ACB）＝（∠ACB+∠B）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣α，∴∠EGC＝180°﹣∠EGD＝180°﹣90°+∠α＝90°+∠α．【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．20．（2022秋•东昌府区校级期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．（2）如图2，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？并说明理由．（3）如图3，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB 于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质即可得出结论；（2）利用（1）的方法解答即可；（3）利用角平分线的定义和平行线的性质可以判定△BEO和△CFO为等腰三角形，利用线段和差的关系可得结论．【解答】解：（1）EF与BE、CF之间的关系为：EF＝BE+CF．理由：∵BO是∠ABC的平分线，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．同理：CF＝FO．∴EF＝OE+OF＝BE+CF．（2）第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在，即EF＝BE+CF．理由：∵BO是∠ABC的平分线，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．同理：CF＝FO．∴EF＝OE+OF＝BE+CF．∴第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在．（3）图中还存在等腰三角形△BEO和△CFO，此时EF＝BE﹣CF，理由：∵BO是∠ABC的平分线，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．∴△BEO是等腰三角形，同理可证△CFO是等腰三角形，∵BE＝EO，OF＝FC∴BE＝EF+FO＝EF+CF，∴EF＝BE﹣CF．【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，利用角平分线与平行线的组合模型得出等腰三角形是解题的关键．21．（2022秋•滨海新区期中）（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A；（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，根据角平分线的定义得出∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，根据三角形内角和定理得出∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC），再求出答案即可；（2）根据三角形外角性质得出∠ACE＝∠A+∠ABC，∠P＝∠PCE﹣∠PBC，根据角平分线的定义得出，再求出答案即可．【解答】（1）证明：∵A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+A；（2）猜想：证明：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∵∠PCE＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCE﹣∠PBC，又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴，∴∠P＝ACE﹣ABC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝A．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质等知识点，能熟记三角形的内角和等于180°和角平分线的定义是解此题的关键．22．（2021秋•北流市校级月考）已知：如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O．求证：∠BOC＝90°+∠A．【分析】根据角平分线的定义可得∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证．【解答】证明：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，即：∠BOC＝90°+∠A．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键。

12.3 角平分线的性质角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。

注意：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.题型1：作已知角的平分线1.尺规作图：已知：∠CBA，求作∠CAB的平分线.【变式1-1】如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等。

（不写作法，保留作图痕迹）【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，△C=90°.（1）作△BAC的平分线AD交边BC于点D.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.（2）在（1）的条件下，若△BAC=28°，求△ADB的度数.题型2：角平分线的性质的应用-证明线段2.如图，已知OE平分△AOB，BC△OA于点C，AD△OB于点D，求证：EA=EB．【变式2-1】如图，点D、B分别在△A的两边上，C是△A内一点，AB = AD，BC = CD，CE△AD于E，CF△AF于F.求证：CE = CF.【变式2-2】已知：如图，OC是△AOB的平分线，P是OC上的一点，PD△OA，PE△OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF.求证：DF＝EF.题型3：角平分线的性质的应用-和差关系3.如图，在△ABC中，△C=90°，△CAD=△BAD，DE△AB于E，点F在边AC 上，连接DF．（1）求证：AC=AE；（2）若AC=8，AB=10，求DE的长；（3）若CF=BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系.【变式3-1】如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角平分线AD于点D，DF△AB于点F，且AB＞AC，试探究BF、AC、AF之间的数量关系，并说明理由．【变式3-2】题型4：角平分线的性质的应用-面积相关4.如图，BD是ΔABC的角平分线，DE⊥AB垂足为E，ΔABC的面积为70，AB= 16，BC=12，求DE的长.【变式4-1】如图，AD是△ABC的角平分线，DF△AB，垂足为F，如图DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，求△EDF的面积【变式4-2】如图，在ΔABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若ΔABC的面积为21cm2，AB=8cm，AC=6cm，求DE的值.角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.注意：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB题型5：角平分线的判定5.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．【变式5-1】如图所示,PA=PB,△1+△2=180°.求证:OP平分△AOB.【变式5-2】如图所示，AP、CP分别是△ABC外角△MAC和△NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为△MBN的平分线．题型7：角平分线的性质与判定综合6.如图，已知点A、C分别在△GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD△BE，△GBE的平分线与AD交于点D，连接CD.求证：（1）AB=AD；（2）CD平分△ACE.【变式6-1】如图，已知△ABC中BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，BG⊥AC交AC于点G．求证．（1）BF=CG．（2）若AB=6，AC=8，求AF的长度．【变式6-2】如图，在△ABC外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE.连接DC、BE交于F点．（1）求证：△DAC△△BAE．（2）直线DC、BE是否互相垂直，请说明理由．（3）求证：AF平分∠DFE．【变式6-3】如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知△A=78°，△BPC=39°，BC=7，AB=4．（1）求证：BD平分△ABC；（2）如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM△BC于点M，求MC的长度．题型7：角平分线的实际应用7.某地有两条相交叉的公路，计划修建一个饭馆：希望饭馆点P既在MN这条公路上，又到直线OA、OB的距离相等．你能确定饭馆应该建在什么位置吗？（保留作图痕迹）【变式7-1】如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观点．【变式7-2】太和中学校园内有一块直角三角形（Rt △ABC）空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．题型8：三角形中的角平分线8.已知△ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作OD△BC，OE△AC，OF△AB.求证：OD=OE=OF.【变式8-1】如图，△ABC中，AB＝6，AC＝7，BD、CD分别平分△ABC、△ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F. 求△AEF的周长．【变式8-2】如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于？【变式8-3】如图①，在△ABC中，△ABC和△ACB的平分线交于点O，△A＝α．（1）如图①，若△A＝50°，求△BOC的度数．（2）如图②，连接OA，求证：OA平分△BAC．（3）如图③，若射线BO与△ACB的外角平分线交于点P，求证OC△PC．一、单选题1．如图，在△ABC中，△C=90°，BD平分△ABC，交AC于点D；若DC=3，AB=8则△ABD的面积是()A．8B．12C．16D．242．如图，OP平分△MON，PA△ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA= 4，则PQ的长不可能是（）A．3.5B．4C．4.5D．53．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，△A=40°，则△BOC=（）A．110°B．120°C．130°D．140°4．如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P()A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成△E的平分线D．组成△E的平分线所在的直线(E点除外)5．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=12，BD=2CD，AD平分∠BAC，则点D到AB的距离等于（）A．3B．4C．5D．9二、填空题6．如图，在△ABC中，BE平分△ABC交AC于点E，AF△BC于点F，BE、AF交于点P，若AB=9，PF=3，则△ABP的面积是.7．如图，已知△COB＝2△AOC，OD平分△AOB，且△COD＝18°，则△AOB的度数为．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, AC=6, BC=8, AB=10, AD是∠BAC的平分线.若P, Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是.9．如图，OP平分△AOB，PM△OA于M，点D在OB上，DH△OP于H．若OD＝4，OP＝7，PM＝3，则DH的长为．三、作图题10．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．四、解答题11．如图，已知AD⊥BC于点D，E是延长线BA上一点，且EC⊥BC于点C，若∠ACE=∠E.求证：AD平分∠BAC.12．如图，在△ABC中，AD为△BAC的平分线，DE△AB于E，DF△AC于F，△ABC 面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长．13．如图，点P是△AOB的角平分线OC上一点，PE△OA，OE＝12cm，点G是线段OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4cm，求△PGE的面积.14．如图，直线AB△CD，点E在CD上，点O、点F在AB上，连接OE，过点F作FH△OE于点H.（1）尺规作图：作△EOF的角平分线OG交CD于点G；（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）（2）在（1）的条件下，已知△OFH＝20°，求△OGD的度数.15．如图，△ABC和△EBD中，△ABC＝△DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE△CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分△CBE；②MB平分△AMD，其中正确的一个是（请写序号），并给出证明过程.。

专题12.3角平分线的性质（讲练）一、知识点1、角的平分线的作法：课本第19页；2、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；3、证明一个几何中的命题，一般步骤： ①明确命题中的已知和求证；②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； ③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程；4、性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上；（利用三角形全等来解释） 三角形的三条角平分线相交于一点，该点为内心；二、标准例题：例1：如图，OC 为AOB ∠的平分线，CM OB ⊥于M ，5OC =，4OM =，则点C 到射线OA 的距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】解：如图，过C 作CF ⊥AO 于F∵OC 为∠AOB 的平分线，CM ⊥OB ， ∴CM=CF ， ∵OC=5，OM=4，∴CM=3， ∴CF=3， 故选：B ．总结：此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．例2：如图，在三角形ABC 中，90C =∠，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，且2BD CD =，6BC cm =，则点D 到AB 的距离为（ ）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm【答案】C【解析】如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵BD ：DC=2：1，BC=6， ∴DC=112+×6=2， ∵AD 平分∠BAC ，∠C=90∘， ∴DE=DC=2． 故选：C ．总结：本题考查角平分线的性质和点到直线的距离，解题的关键是掌握角平分线的性质.例3：如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52【答案】C【解析】解：由作法得AG 平分BAC ∠，G ∴点到AC 的距离等于BG 的长，即G 点到AC 的距离为1，所以ACG ∆的面积14122=⨯⨯=． 故选：C ．总结：本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了交平分线的性质． 例4：点D ，E 分别在△ABC 的边AC ，BD 上，BD ，CE 交于点F ，连接AF ，∠FAE ＝∠FAD ，FE ＝FD ．（1）如图1，若∠AEF ＝∠ADF ，求证：AE ＝AD ；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF ，FB 平分∠ABC ，求∠BAC 的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G 在BE 上，∠CFG ＝∠AFB 若AG ＝6，△ABC 的周长为20，求BC 长．【答案】（1）见解析;（2）60BAC ∠=︒;（3）7BC =.【解析】（1）∵FAE FAD ∠=∠，AEF ADF ∠=∠，FE FD =. ∴AEF ADF ∆≅∆，∴AE AD =.（2）过F 点分别作AB ，BC ，AC 边上的高，FP ，FQ ，FN ，点P ，Q ，N 为垂足. ∵AF ，BF 分别平分BAC ∠和ABC ∠，∴FP FQ =，FP FN =， ∴FQ FN =，且FN AC ⊥，FQ BC ⊥，∴CF 平分ACB ∠. ∴ACE BCE ∠=∠.∵2BEC BAC ACE BAF ACE ∠=∠+∠=∠+∠， ∴2EFD ABF BEC ABF BAF ACE ∠=∠+∠=∠+∠+∠1180902BAF BAF =⨯︒+∠=︒+∠. ∵FE FD =，∴Rt PEF Rt NDF ∆≅∆，∴PEF FDN ∠=∠，∴180PEF ADF ∠+∠=︒， ∴()42180BAC EFD PEF ADF ∠+∠=-⨯︒-∠-∠360180180=︒-︒=︒. ∴90180BAF BAC ︒+∠+∠=︒且2BAC BAF ∠=∠， ∴60BAC ∠=︒.（3）在BC 上取点R ，使CR CA =，∵CF CF =，FCA FCR ∠=∠，∴CAF CRF ∆≅∆. ∴30CRF CAF ∠=∠=︒，180150BRF CRF ∠=︒-∠=︒. ∵CFG AFB ∠=∠，∴CFG BFG AFB BFG ∠-∠=∠-∠， ∴18060120AFG BFC ∠=∠=︒-︒=︒，∵1302BAF BAC ∠=∠=︒， ∴30AGF ∠=︒，180150BGF AGF ∠=︒-∠=︒. ∴BGF BRF ∠=∠.∵GBF RBF ∠=∠，BF BF =，∴BGF BRF ∆≅∆. ∴BG BR =.∵AC AB BC BG AG BC AC ++=+++6220BR AG BC CR BC =+++=+=， ∴7BC =.总结：本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，正确作出辅助性、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．三、练习1．如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC 的大小为( )A ．135°B ．120°C ．90°D ．60°【答案】B【解析】∵O 到三边的距离相等 ∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°−∠A) ∵∠A=60°∴∠OBC+∠OCB=60°∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−60°=120° 故选B.2．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地ABC 上修建一个度假村。

QPONMFAEBC D 2图A E BDFC1图F GE 图3D CNMBA专题1.11 与角平分线有关的几何模型（知识讲解）【知识回顾】1、角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

2、角平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.3、角平分线的判定：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 【学习目标】1．了解几何模型的含义；2．掌握角平分线的几何模型，并运用几何模型解决问题. 【要点梳理】1、模型一、 角平分线+平行线模型如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点 P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。

结论：△POQ 是等腰三角形。

.+2.+3.+⇒⎫⎪⇒⇔⎬⎪⇒⎭拓展：1角平分线平行线等腰三角形角平分线等腰三角形平行线知二得一平行线等腰三角形角平分线 特别说明：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

【典型例题】1、 解答下列问题：（1）如图①所示，在△ABC 中，EF ∥BC ，点D 在EF 上，BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACB ，写出线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系；（2）如图②所示，BD 平分∠ABC 、CD 平分∠ACG ，DE ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系？并说明理由。

（3）如图③所示，BD 、CD 分别为外角∠CBM 、∠BCN 的平分线，，DE ∥BC 交AB 延长线于点E ，交AC 延长线于点F ，直接写出线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系？.+⇒⇒思路分析：（1）BD.CD 为角平分线EF//CD ED=EB,FD=FC EF=BE+CF.+EF ⇒⇒⇒=（2）BD.CD 为角平分线EF//CD ED=EB,FD=FC EF=ED-FD EB-FD. .+EF DE DFEF ⇒⇒⇒=+⇒=（2）BD.CD 为角平分线EF//CD ED=EB,FD=FC EF=ED-FD EB+FD.举一反三：【变式】如图，点I 为△ABC 角平分线交点，AB ＝8，AC ＝6，BC ＝5，将△ACB 平移使其顶点C 与点I 重合，则图中阴影部分的周长为__．【答案】8【分析】此题有角平分线，平移可知ID//AC,BC//IE,构造平行线+角平分线解决问题：解：解：如图，连接AI ，BI ， △点I 为△ABC 角平分线交点， △IA 和IB 分别平分△CAB 和△CBA ， △△CAI ＝△DAI ，△CBI ＝△EBI ， △将△ACB 平移，使其顶点与点I 重合， △DI ∥AC ，EI ∥BC ，△△CAI ＝△DIA ，△CBI ＝△EIB ， △△DAI ＝△DIA ，△EBI ＝△EIB ， △DA ＝DI ，EB ＝EI ，△DE+DI+EI ＝DE+DA+EB ＝AB ＝8． 即图中阴影部分的周长为8． 故答案为：8．【点拨】解题关键在于作辅助线构造平行线+角平分线几何模型。

教学内容：角平分线的应用—— 综合题讲练（1）教学目标：1.灵活运用角平分线的性质解决问题； 2.进一步培养学生的逻辑推理能力。

遇到角平分线问题时的常规常法，常见题型，提炼出基本图形教学重点：综合运用角平分线的性质和判断解决问题。

教学难点：与角平分线有关的几种常见辅助线。

导入：王国维在《人间词话》里谈到三大境界：古今之成大事业、大学问者，必经过三种之境界： “昨夜西风凋碧树。

独上高楼，望尽天涯路。

”此第一境也。

“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”此第二境也。

“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。

”此第三境也。

引例 如图：线段OA=a,OB=b 且满足02222=++++a ab b a（1）求△AOB 的面积；（2）△OBD 为等边三角形，作CB ⊥BO 轴交AD 延长线于C ，作DE ⊥CD 交OB 轴于E 。

求证：BC=BE（明）常见辅助线：1.出现中线时2.出现角平分线时3.出现中垂线时4.出现含特殊角的等腰三角形时（行）找基本图形 （得）证明（3）C 是B 点左边的一动点，且B C ﹤2，AC 的中垂线交OA 于E ，连接CE 交OB 于点F ，求△BCF 的周长。

第一境界可以理解为“明”，此境界为登高远，“望尽天涯路”，把握全局，明确自己所追寻的目标与方向,是最初的求学与立志之境。

第二境界为“行",词境界为不经一番寒彻骨，争得梅花扑鼻香，为了实现远大目标理应坚忍不拔、“衣带渐宽”,这也是极其重要的。

第三境届为“得”之境界，第一境界与第二境界都做好了，功到自然成。

巩固练习 角平分线问题1.如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，DE BC 于点E ，现有：①∠1 =∠2 ② AD=DC ③∠3+∠4=180° ④AB+BC=2BE ，若把其中任意2个作为条件， 都可以得出另外2个结论（1）已知①②，求证：③④B（2）已知①③，求证：②④（3）已知①④，求证：②③（4）已知②③，求证：①④角平分线与等腰直角三角形2.在等腰Rt △ABC 中，∠BAC=900，AB=AC 。

第04讲 线段的垂直平分线和角平分线(8类热点题型讲练)1.理解线段垂直平分线，角平分线的概念；2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算；4.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线和角平分线；5.会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.知识点01 线段的垂直平分线ìíî线段垂直平分线的：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两端点的距离相等；线段垂直平分线的：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上性质定理判.定定理知识点02 角的平分线ìïíïî角的平分线的：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等；角的平分线的：在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.性质定理性质定理题型01 线段的垂直平分线的性质(1)求证：BE AC =(2)若35B Ð=°，则BAC Ð=【答案】(1)见解析(2)75°∵AD BC ^于点D ，且D 为线段∴AD 垂直平分CE ，∴AC AE =，∵EF 垂直平分AB ，∵AD BC ^，∴90ADB Ð=°，∴903555BAD Ð=°-°=°，∴553520EAD Ð=°-°=°，∵AC AE =，AD BC ^，∴20EAD CAD Ð=Ð=°，∴75BAC BAE EAD CAD Ð=Ð+Ð+Ð=°．故答案为：75°．【变式训练】1．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，在ABC V 中，DM ，EN 分别垂直平分AC 和BC ，交AB 于M ，N 两点，DM 与EN 相交于点F ．(1)若CMN V 的周长为15cm ，求AB 的长；(2)若70MFN Ð=°，求MCN Ð的度数．【答案】(1)15cmAB =(2)40MCN Ð=°【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用．（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM CM =，BN CN =，然后求出CMN V 的周长AB =；（2）根据三角形的内角和定理列式求出 MNF NMF Ð+Ð，再求出A B ÐÐ+，根据等边对等角可得A ACM Ð=Ð，B BCN Ð=Ð，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解；【详解】（1）解：∵DM 、EN 分别垂直平分AC 和BC ，∴AM CM =，BN CN =，∴CMN V 的周长CM MN CN AM MN BN AB =++=++=，∵CMN V 的周长为15cm ，∴15cm AB =；（2）解：∵70MFN Ð=°，∴18070110MNF NMF Ð+Ð=°-°=°，∵AMD NMF Ð=Ð， BNE MNF Ð=Ð，∴110AMD BNE MNF NMF Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴909018011070A B AMD BNE Ð+Ð=°-Ð+°-Ð=°-°=°，∵AM CM =，BN CN =，∴A ACM Ð=Ð，B BCN Ð=Ð，∴()180218027040MCN A B Ð=°-Ð+Ð=°-´°=°．2．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在ABC V 中，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，AD BC ^于点D ，BD DE =，连接AE ．(1)若AE 平分BAC Ð，求C Ð的度数；(2)若ABC V 的周长为13cm ，5cm AC =，求CD 的长．【答案】(1)36°(2)4cm【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线、线段垂直平分线、三角形内角和定理等，解答本题的关键在于熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等及等腰三角形的性质本题即可求解．【详解】（1）解：AD BC BD DE ^Q ，＝，EF 垂直平分AC ，∴AB AE EC ＝＝，C CAE \ÐÐ＝，∵AE 平分BAC Ð，∴BAE EAC ÐÐ＝，∵AD BC ^于点D ，B D ＝D E ，∴AB AE ＝，∴2B AEB C EAC C ÐÐÐ+ÐÐ＝＝＝，根据三角形内角和等于180°可得，180B AEB BAE Ð+Ð+а＝，22180C C C \Ð+Ð+а＝，36C \а＝．（2）ABC QV 周长13cm ，5cm AC =，∴8cm AB BC +＝，∴8cm AB BE EC ++＝，即，228cm DE EC +＝，∴4cm DE EC +＝，∴4cm DC DE EC +＝＝．题型02 线段的垂直平分线的判定(1)求证：AD (2)已知ABC Ð【详解】（1）证明：∴点A 在BC AD \垂直平分（2）解：V 【变式训练】1.如图，ABC V 为等边三角形，AD AB ^，4AD DC ==，AC BD ，相交于点E ．(1)求证：BD 垂直平分AC ；(2)求BE 的长；(3)若点F 为BC 的中点，点P 在BD 上，则PC PF +的最小值为______．（直接写出结果）．【详解】（1）证明：∵ABC V 是等边三角形，∴AB BC =；∵,,AB BC AD CD BD BD ===，∴()ABD CBD SSS V V ≌，∴ADB CDB Ð=Ð，∵,,AD DC ADB CDB DE DE =Ð=Ð=，∴()ADE CDE SAS V V ≌，∴,90AE EC AED DEC =Ð=Ð=°，∴BD 垂直平分AC ；（2）解：∵DB AC ^，∴BE 平分ABC Ð，∵60ABC BAC Ð=Ð=°，∴30ABD Ð=°，∵90BAD Ð=°，∴30DAE Ð=°，∵4=AD ，∴8,2BD DE ==，∴6BE BD DE =-=；（3）解：连接AF 交BD 于点P ，连接PC ，∵BD 是AC 的垂直平分线，∴A 、C 关于BD 对称，(1)求证：DB DE=；(2)过点A作AF BC∥，交ED延长线于点F，交①若12EM=，则BD= ．题型03 线段的垂直平分线的实际应用【例题】如图，地面上有三个洞口A 、B 、C ，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A 、B 、C 三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在( )A ．ABC V 三边垂直平分线的交点B ．ABC V 三条角平分线的交点C ．ABC V 三条高所在直线的交点D ．ABC V 三条中线的交点【答案】A 【详解】解：∵猫所在的位置到A 、B 、C 三个点的距离相等，∴猫应该蹲守在ABC V 三边垂直平分线的交点处；故选A ．【变式训练】1．如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为、、A B C ，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（ ）A ．ABC V 的三条中线的交点B ．ABC V 三边的垂直平分线的交点C ．ABC V 三条角平分线的交点D ．ABC V 三条高所在直线的交点【答案】B 【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则学校应建在ABC V 三条边的垂直平分线的交点处．故选：B ．题型04 线段的垂直平分线的尺规作图【例题】如图，已知在ABC V 中，7AC =．(1)用尺规作BC 边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法）(2)BC 边的垂直平分线分别交AC BC 、于点D 、E ，连接BD ，若ABD △的周长是10，求AB ．【详解】（1）解：如图，DE 即为所求；；（2）解：∵DE 是BC 边的垂直平分线，∴BD DC =，∵7AC =，∴7AD DC AD BD +=+=，∵ABD △的周长是10，∴10AB BD AD ++=．∴3AB =．【变式训练】1．某公司招收职工的试卷中有道题：如图，有三条两两相交的公路，为便于及时进行监控，防止违章，这个监控仪器应安装在什么位置可以使离三个路口的交叉点的距离相等你能找到这个监控安装的位置吗？（尺规作图，不写过程，保留作图痕迹）【详解】解：如图，点P 这个监控安装的位置．．2．如图，已知点A 、点B 以及直线L ．(1)用尺规作图的方法在直线L 上求作一点P ，使PA PB =．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；(2)在（1）中所作的图中，连接AP BP ，，若90APB Ð=°，过点A 作AM L ^于点M ，过点B 作BN L ^于点N ．求证：MN AM BN=+【详解】（1）解：点P 如图所示，；（2）解：∵AM L ^，BN L ^，90APB Ð=°，∴90MAP APM NPB Ð=°-Ð=Ð，∵PA PB =，∴()AAS MAP NPB ≌△△，∴AM PN =，PM BN =，∴MN PN PM AM BN =+=+．题型05 角平分线的性质定理【例题】（2023上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知：如图AC 平分BAD Ð，CE AB CF AD ^^，，垂足分别为E 、F ，且BC CD =．(1)求证：BCE DCF △≌△；(2)若106AD BE ==，，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)22【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，本题中求证BCE DCF △≌△和Rt Rt ACF ACE @△△是解题的关键．（1）先证明CE CF =，再根据HL 即可证明BCE DCF △≌△；（2）先求出6DF BE ==，再根据HL 即可证明Rt Rt ACF ACE ≌△△，进而可求出AB 的长．【详解】（1）AC Q 平分BAD Ð，CE AB ^于E ，CF AD ^于F ，90CFD \Ð=°，90CEB Ð=°，CE CF =，在Rt BCE V 和Rt DCF V 中，CE CF BC CD =ìí=î，Rt Rt (HL)BCE DCF \△≌△；（2）∵BCE DCF △≌△，6BE =，∴6DF BE ==．∵10AD =，∴10616AF =+=．在Rt ACF V 和Rt ACE V 中，CF CE AC AC=ìí=î，Rt Rt (HL)ACF ACE \△≌△，∴16AE AF ==，∴16622AB =+=．【变式训练】1)求证：AE 是DAB Ð2)已知4AE =，DE 【答案】(1)见解析2)12【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质定理；（1）根据角平分线的性质得出∵90C Ð=°，∴EF AD ^，∵AE 是DAB Ð的平分线，∴EF EC =，(1)求证：BE CF =；(2)若67AF BC ==，，则ABC V 【答案】(1)证明见解析(2)19可．【详解】（1）证明：连接CD BD ，，∵D 在BC 的中垂线上，∴BD CD =，∵DE AB ^，DF AC ^，AD 平分BAC Ð，∴DE DF =，90BED CFD Ð=Ð=°，∴()Rt Rt HL BDE CDF V V ≌，∴BE CF =；（2）解：∵AD 平分BAC Ð，∴∠∠E A D FA D =，∵DE AB ^，DF AC ^，∴90AED AFD Ð=Ð=°，又∵AD AD =，∴()AAS AED AFD V V ≌，∴AE AF 6==，由（1）可知BE CF =，∴ABC V 的周长为：66719AC AB BC AF CF AE BE BC AF AE BC ++=-+++=++=++=，故答案为：19．题型06 角平分线的判定定理【例题】如图，A ，B 两点分别在射线OM ，ON 上，点C 在MON Ð的内部且CA CB =，CD OM ^，CE ON ^，垂足分别为D ，E ，且AD BE =．(1)求证：OC 平分MON Ð；(2)如果12AO =，4BO =，求OD 的长．【详解】（1）证明：由题意得：CD OM ^，CE ON ^，\90CDA CEB Ð=Ð=°，在Rt ACD △和Rt BCE V 中，AC BC AD BE=ìí=î，\()Rt Rt HL ACD BCE V V ≌，\CD CE =，Q CD OM ^，CE ON ^，\OC 平分MON Ð．（2）在Rt ODC △和Rt OEC △中，CD CE OC OC =ìí=î，\()L Rt Rt H ODC OEC ≌V V ，\OD OE =，设BE x =，Q 4BO =，\4OE OD x ==+，Q AD BE x ==，\4212AO OD AD x =+=+=，\4x =，\448OD =+=．【变式训练】1．如图，DE AB ^于E ，DF AC ^于F ，若,BD CD BE CF ==．(1)求证：AD 平分BAC Ð；(2)写出+AB AC 与AE 之间的等量关系，并说明理由．【详解】（1）证明：∵DE AB ^∴90E DFC Ð=Ð=°，(1)求证：OC 是AOB Ð的平分线；(2)若30AOB Ð=°，23PF =，PF 【详解】（1）证明：在Rt PDF V 和题型07 角平分线性质的实际应用【例题】三条公路将、、A B C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）A ．三条高的交点B ．三条中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三边垂直平分线的交点【答案】C 【详解】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在A B C ÐÐÐ、、的角平分线的交点处，故选：C ．【变式训练】1．如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．1个【答案】B 【详解】解：如图所示，分别作直线交点处的角平分线，根据角平分线的性质，可得点1234,,,P P P P 共4个点，故选：B ．题型08 作角平分线（尺规作图）【例题】已知：如图，在ABC V 中，AB AC =，2B A Ð=Ð．(1)求作ABC Ð的平分线，交AC 于点P ．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，求ABP Ð的角度？【详解】（1）解：以点B 为圆心，适当长为半径画弧交BA ，BC 于两点，再分别以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接点B 与该点所在直线交AC 于点P ，如图所示：BP 即为所求；（2）解：∵AB AC =，1．如图所示，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定点P的位置．【详解】解：如图所示，点P即为所要求作的点．一、单选题A．4cm B．5cm【答案】C【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含Q是AB的垂直平分线，DEAD DB cm\==，12\Ð=Ð=°，15DAE BA ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．过点D 作DE OB ^于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP DE =，再根据垂线段最短解答．【详解】解：如图，过点D 作DE OB ^于E ，OC Q 是AOB Ð的角平分线，DP OA ^，DP DE \=，由垂线段最短可得DQ DE ³，4DP =Q ，4DQ \³．故选：A ．3．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）在联合会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在ABC V 的（ ）A ．三边中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三边中垂线的交点D ．三边上高的交点【答案】C【分析】本题考查线段垂直平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，利用要使游戏公平，凳子就需要放在到A 、B 、C 三名选手距离相等的位置即可得到答案．【详解】解：由题可得：要使游戏公平，凳子就需要放在到A 、B 、C 三名选手距离相等的位置，则凳子所在的位置是ABC V 的外接圆圆心，A ．16°B ．26【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理， 根据90ACB Ð=°，直线116BDC Ð=°，结合CDE ÐA ．①②【答案】D∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB DC =，在Rt BED △和Rt CFD V DE DF BD DC=ìí=î，【答案】80°/80度【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．根据线段垂直平分线的性质可得CD BD =，从而得到BCD B Ð=Ð的性质可得50A ADC Ð=Ð=°，即可求解．【答案】3【分析】此题考查了角平分线的性质定理，作DH AB ^于点H ，先求出即可得到点D 到的距离．∵8BC =，5BD =，∴3CD BC BD =-=，∵90C Ð=°，∴DC AC ^，【答案】20【分析】本题考查垂直平分线画图及性质，三角形周长公式．根据题意可知利用垂直平分线可知AD 【详解】解：∵分别以点【答案】50【分析】本题考查了角的等分线计算，正确理解定义是解题的关键．设分线的性质，角的平分线的判定，三角形内角和定理计算即可．【详解】设3ABC x Ð=，Ð∵点M N 、是ABC Ð与Ð∵点M N 、是ABC Ð与ACB Ð∴BN 平分MBC Ð，CN 平分∴,NE NG NF NG ==，∴NE NF =，∴MN 平分BMC Ð，150BMN BMC Ð=Ð=°，【答案】 15° 6【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，证明三角形全等是解此题的关键．（1）先证明Rt Rt BDE △≌△11．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，在ABC V 中，AC 边的垂直平分线分别交BC AC 、于点E 、F ，连接AE ，作AD BC ^于点D ，且D 为BE 的中点．(1)试说明：AB CE =；(2)若32C Ð=°，求BAC Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)84°【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质．（1）根据等腰三角形的判定得出AB AE =，根据垂直平分线的性质得出AE CE =，等量代换即可得出结论；（2）根据等边对等角得出32C EAC Ð=Ð=°，再根据三角形的外角的性质得出64AEB C EAC Ð=Ð+Ð=°，再根据等边对等角得出64B AEB Ð=Ð=°，根据三角形内角和定理得出52BAE Ð=°，进而得出答案．【详解】（1）∵D 为BE 的中点，∴BD DE =，∵AD BC ^，∴AB AE =，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AE CE =，∴AB CE =；（2）∵32C AE CE Ð=°=，，∴32C EAC Ð=Ð=°，∴64AEB C EAC Ð=Ð+Ð=°，∵AB AE =，∴64B AEB Ð=Ð=°，∴180180646452BAE B AEB Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，∴523284BAC BAE EAC Ð=Ð+Ð=°+°=°．12．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图，已知ABC V 中，90C Ð=°，按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）．(1)作AB 边的垂直平分线，交AC 于点E ，交AB 于点F ；(2)连接CF ；(3)作BFC Ð的平分线，交BC 于点G ．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，作角平分线，掌握基本作图是解题的关键．根据题意作AB 边的垂直平分线，交AC 于点E ，交AB 于点F ，连结CF ，作BFC Ð的平分线，交BC 于G ．【详解】（1）解：如图，（2）解：如图，（3）解：如图，13．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）如图，在ABC V 中，D 是BC 上一点，DF AC ^于点F ，连接EF ，AD 垂直平分EF ．(1)求证：AD 是BAC Ð的平分线；(2)若ABC V 的周长为18，ABC V 的面积为24，6BC =，求DE 的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线的判定定理，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．（1）根据垂直平分线的性质得到DE DF =，然后利用角平分线的判定定理即可证明结论；（2）首先求出12AB AC +=，然后根据等面积法进行求解即可．【详解】（1）证明：∵AD 垂直平分EF ，(1)试问：BF 与CG 的大小如何？证明你的结论．(2)若104AB AC ==，，试求【答案】(1)BF CG =，证明见解析(2)7【分析】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质：Q AE 平分BAC Ð，EF AB ^\EF EG =，Q D 为BC 的中点，DE BC ^\DE 垂直平分BC ，\EB EC =，在Rt BFE △和Rt CGE △中，∵AB AC =，∴()111809022B A A Ð=°-Ð=°-Ð∵MN 为AB 的垂直平分线，∴90BNM Ð=°，(1)若120ACB Ð=°，则MCN Ð的度数为 (2)若MCN a Ð=，则MFN Ð的度数为 ；（用含(3)连接FA FB FC 、、，CMN V 的周长为6cm 【答案】(1)60°(2)1902a °-Q DM EN ，分别垂直平分AC 和BC ，MA MC \=，NB NC =，Q CMN V 的周长为6cm ，6cm MC NC MN \++=，6cm MA NB MN \++=，即6cm AB =，Q FAB V 的周长为14cm ，14cm FA FB AB \++=，8cm FA FB \+=，Q DF EF ，分别垂直平分AC 和BC ，FA FC \=，FB FC =，28cm FC \=，4cm FC \=．17．（2023上·湖南衡阳·八年级校考期末）如图，90BAC Ð=°，CD 平分ACB Ð交AB 于D ，CM CD ^，点M 在AB 的垂直平分线上，AM 交BC 于O ，MG AC ^于点G ，MF BC ^于点F ．(1)求证：BCM GCM Ð=Ð；(2)若2CG =，求BC AG -的长；(3)若点D 在BC 的垂直平分线上，试判断ABM V 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)2；(3)ABM V 是等边三角形，理由见解析．【分析】（1）由角平分线的性质可得ACD BCD Ð=Ð，由余角的性质可得结论；（2）由“AAS ”可证FCM GCM ≌V V ，可得MF MG =，2CF CG ==，由“HL ”可证Rt Rt BFM AGM ≌V V ，可得BF AG =，即可求解；（3）由线段垂直平分线的性质可求30DBC DCB ACD Ð=Ð=Ð=°，由等腰三角形的性质可求30MAG Ð=°，由三角形内角和定理可求解．【详解】（1）证明：∵CD 平分ACB Ð，∴ACD BCD Ð=Ð，∵CM CD ^，∴90DCM Ð=°，∴90ACD MCG Ð+Ð=°，90DCB BCM Ð+Ð=°，∴BCM GCM Ð=Ð；（2）∵BCM GCM Ð=Ð，90MFC MGC Ð=Ð=°，CM CM =，∴()AAS FCM GCM ≌V V ，∴MF MG =，2CF CG ==，∵点M 在AB 的垂直平分线上，∴AM BM =，且FM MG =，∴()Rt Rt HL BFM AGM ≌V V ，∴BF AG =，CBM MAG Ð=Ð，∴2BC AG BC BF CF -=-==；（3）∵点D 在BC 的垂直平分线上，∴BD CD =，∴DBC DCB Ð=Ð，且ACD DCB Ð=Ð，90DBC DCB ACD Ð+Ð+Ð=°，∴30DBC DCB ACD Ð=Ð=Ð=°，∵AM BM =，∴30MAB MBA ABC CBM CBM Ð=Ð=Ð+Ð=°+Ð，∵CBM MAG Ð=Ð，∴30MAB MAG Ð=°+Ð，∵90MAB MAG BAC Ð+Ð=Ð=°，∴30MAG Ð=°，∴60MAB MBA Ð=Ð=°，∴60AMB Ð=°，∴ABM V 是等边三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，证明全等三角形是本题的关键．18．（2023上·新疆和田·八年级统考期末）数学活动：如图1，角的平分线的性质的几何模型，已知OP 平分AOB Ð，PA OA ^于点A ，PB OB ^于点B ．(1)探究：如图2，点M 是OP 上任意一点（不与O 、P 重合），连接MA 、MB ，问题：请判断MA 与MB 的数量关系，并证明你的结论．(2)如图3，连接AB ．问题：①OP 垂直平分AB 吗？请说明理由．②若30AOP Ð=°，6AB =，求AOB V 的周长．【答案】(1)MA MB =，证明见解析(2)①OP 垂直平分AB ，理由见解析；②18【分析】（1）证明()AAS OAP OBP V V ≌，则OA OB =，证明()SAS AOM BOM V V ≌，进而可得MA MB =．（2）①如图3，记AB 与OP 的交点为C ，由（1）可知()AAS OAP OBP V V ≌，则OA OB =，证明()AAS OAP OBP V V ≌，则AC BC =，90ACO BCO Ð=Ð=°，进而可得OP 垂直平分AB ；②由题意知60AOB Ð=°，可证AOB V 是等边三角形，则6OA OB AB ===，然后求AOB V 的周长即可．【详解】（1）解：MA MB =，证明如下：∵OP 平分AOB Ð，PA OA ^，PB OB ^，∴AOP BOP Ð=Ð，90OAP OBP Ð=Ð=°，又∵OP OP =，∴()AAS OAP OBP V V ≌，∴OA OB =，∵OM OM =，AOM BOM Ð=Ð，OA OB =，∴()SAS AOM BOM V V ≌，∴MA MB =．（2）①解：OP 垂直平分AB ，理由如下：如图3，记AB 与OP 的交点为C ，。

C EODBA21C EDB A21OA全等三角形专题讲解专题一 全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”)2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS"） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”）4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS"）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．三角形全等是证明线段相等,角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢?(1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知:如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O,且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．图1（2）条件不足,会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维,逐步分析，探索结论成立的条件,从而得出答案．例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2,要使△ABC ≌△ADE,还需添加的条件是（只需填一个）_____． 图2（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时,当边或角的关系不明显时,可通过添加辅助线作为桥梁,沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知:如图3，AB=AC,∠1=∠2． 求证：AO 平分∠BAC ．分析：要证AO 平分∠BAC ，即证∠BAO=∠BCO,要证∠BAO=∠BCO,只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．图3GABF DEC ODA CBFCEDBA（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中,∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种:①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题,体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件 限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数 学知识按以下要求设计一测量方案﹒（1）画出测量图案﹒（2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒ 图5 (3)计算A 、B 的距离(写出求解或推理过程，结果用字母表示)﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1）题,测量图案如图5所示．第（2）题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB,这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第（3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：（1)如图6示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O,在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB,这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．（3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ． 又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ．∴CD=AB=a ． 图6评注：本题的背景是学生熟悉的,提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力,培养了 学生用数学的意识﹒练习:1．已知：如图7，D 是△ABC 的边AB 上一点,AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ． 求证：AE=CE ．C ED B AAO Q M CPBN A D C PBHF EGAD CBADCFBEA2．如图8，在△ABC 中，点E 在BC 上,点D 在AE 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ．求证：BD=CD ．3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法:如图9所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ，再取PM=QN,连接PN 、QM,得交点C ，则射线OC 平分∠AOB ．你能说明道理吗？4．如图10，△ABC 中，AB=AC,过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图10中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明．5．已知:如图11，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形,并给予证明．所添条件为__________,你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．6．如图12，∠1=∠2，BC=EF ，那么需要补充一个直接条件_____（写出一个即可）,才能使△ABC ≌△DEF ．7图13，在△ABD 和△ACD 中，AB=AC,∠B=∠C ．求证：△ABD ≌△ACD ．AODCBAFCGBEAF DCB EOED218．如图14，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证:EG=GF．10．已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．11．如图17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(）﹒（A）带①和②去 (B）带①去（C)带②去（D）带③去12．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图18中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并说明其中的道理．13．如图19，将两根钢条AA’、BB’的中点O连在一起,使AA’、BB’可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件,则A' B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OAB的理由是（ )（A)边角边（B）角边角（C）边边边（D）角角边专题二角的平分线从一个角的顶点出发,把一个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分,而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等,或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．(1)利用角的平分线的性质证明线段或角相等F ED CB A 21A FH DCGBEADCBE AF DC BE C E D例6 如图20，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ， BD ⊥OA 于D ，交点为C ．求证：AC=BC ．说明：本题若用全等方法证明点C 到OA 、OB 距离相等,浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法,不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理,应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法． 例7 已知:如图21,△ABC 中, BD=CD ，∠1＝∠2．求证：AD 平分∠BAC ．说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形 ①过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图22，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ． 求证：AE=ED ．分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E 是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E 分别作AB 、BC 、CD 的垂线段．②以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图23，在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC,连接DE ，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB 分成AE 和BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线 例10 如图24,在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．分析：注意到AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD ，于是可延长CE 交AB 于点F,即可构造全等三角形．．（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图25,在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 交AC 于点E ．易证△AED 是等腰三角形． 因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形．CF E BADQPCBACB AD EA例11 如图26，在△ABC 中，AB=AC,BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：CD=21BE ．分析：要证CD=21BE ，可将BE 分成两条线段，然后再证明CD 与这两条线段都相等．练习：1．如图27，在△ABC 中，∠B=90º,AD 为∠BAC 的平分线，DF ⊥AC 于F,DE=DC ．求证：BE=CF ．2．已知:如图28，AD 是△ABC 的中线,DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ．求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线；（2）AB=AC ．3．在△ABC 中,∠BAC=60º，∠C=40º，AP 平分∠BAC 交BC 于P,BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ． 求证：AB+BP=BQ+AQ ．4．如图30，在△ABC 中,AD 平分∠BAC ，AB=AC+CD ． 求证：∠C=2∠B ．5．如图31，E 为△ABC 的∠A 的平分线AD 上一点，AB ＞AC ． 求证:AB —AC ＞EB-EC ．CB AD 4321C E BADF CE BAD CEBADCBADACBD6．如图32,在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD=CD ，BD 平分∠ABC ． 求证：∠A+∠C=180º．7．如图33所示，已知AD ∥BC ，∠1=∠2,∠3=∠4,直线DC 过点E 作交AD 于点D ，交BC 于点C ．求证：AD+BC=AB ．8．已知,如图34，△ABC 中，∠ABC=90º，AB=BC,AE 是∠A 的平分线,CD ⊥AE 于D ．求证:CD=21AE ．9．△ABC 中，AB=AC,∠A=100º，BD 是∠B 的平分线．求证：AD+BD=BC ．10．如图36，∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为（ )A ．9B ．8C ．7D ．611．如图37，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD 交BC 于点D ，且D 是BC 的中点．求证：AB=AC ．A CF E B M D12．已知：如图38，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 是BC 的中点，EF ∥AD ，交AB 于M ，交CA 的延长线于F ．求证：BM=CF ．。

板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．重、难点知识点睛中考要求第十讲 全等三角形中的角平分线与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，AB OPPOB A A B OP【例1】 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．【解析】 ∵O 点为ABC △中角平分线的交点， ∴O 点到三边距离相等．∴ABC OAB OBC OAC S S S S =++△△△△1()331.52AB BC AC =⨯++⨯=【例2】 在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =，求证：AB AC =．ADOCB重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。