河南省名校2020届高三下学期六月联数学(理)试卷

2020届河南省名校联盟高三下学期6月联考数学（理）试题一、单选题 1．已知集合101x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，()(){}230B x x x =∈+-<Z ，则A B =（ ） A ．{}0,1 B ．{}1,0,1- C ．{}0,1,2D ．1,0,1,2【答案】A【解析】先解分式不等式101x x -≤+得{}11A x x =-<≤，解不等式()()023x x +-<得{}1,0,1,2B =-，再求集合交集即可 【详解】 解：解分式不等式101x x -≤+得11x -<≤，故{}10111x A x x x x ⎧⎫-=≤=-<≤⎨⎬+⎩⎭， 解一元二次不等式()()023x x +-<得23x -<< ，故{}1,0,1,2B =-， 所以{}0,1AB =.故选：A. 【点睛】本题考查分式不等式，一元二次不等式的解法，集合的交集运算，是基础题. 2．已知在复数域内一元n 次方程有n 个根，i 是虚数单位.若复数12i z =-+为一元二次方程20x ax b ++=（a ，b ∈R ）的一个根，则此一元二次方程的另一个根在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】根据实系数一元二次方程的虚根成对定理和复数的几何意义可得结果. 【详解】因为复数12i -+为一元二次方程20x ax b ++=（a ，b ∈R ）的一个根， 所以根据实系数一元二次方程的虚根成对定理知此一元二次方程的另一个根为12i --，它在复平面内所对应的点(1,2)--在第三象限.故选：C. 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了的复数的几何意义，属于基础题.3．设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为22184y x -=”是“C 的渐近线方程为y =”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据C 的方程为22184y x -=，则渐近线为y =；若渐近线方程为y =，则双曲线方程为222y x λ-=（0λ≠）即可得答案.【详解】解：若C 的方程为22184y x -=，则a =2b =，渐近线方程为a y x b =±，即为y =，充分性成立；若渐近线方程为y =，则双曲线方程为222y x λ-=（0λ≠），∴“C 的方程为22184y x -=”是“C 的渐近线方程为y =”的充分而不必要条件. 故选：B. 【点睛】本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4．正项等比数列{}n a 中，225689264a a a a ++=，且3a 与7a 的等差中项为2，则1a =（ ） A ．325B ．2C ．25D ．117【答案】C【解析】根据等比数列的下标和性质可得598a a +=，再由等差中项的性质可得374a a +=，从而求出公比，求得首项1a ；【详解】解:由题意，在正项等比数列{}n a 中，由225689264a a a a ++=，可得()2222256895599592264a a a a a a a a a a ++=++=+=，即598a a +=.由3a 与7a 的等差中项为2，得374a a +=.设公比为q ，则()223748q a a q +==，则q =或q =（舍去），所以26114a a q q +=，解得125a =. 故选:C . 【点睛】本题考查等比数列下标和性质的应用，以及等比数列通项公式的应用，考查计算能力，属于基础题.5．若()3,a m =（m ∈R ），()6,4b =-，且λab （R λ∈），则()()3a b a b +⋅+=（ ） A ．0 B ．5-C ．12-D ．13-【答案】D【解析】根据向量平行的坐标表示可得2m =-，再根据平面向量数量积的坐标表示可得结果. 【详解】a b λ=，所以34(6)0m ⨯--=，解得2m =-，()3,2a ∴=-，()6,4b =-，()3,2a b +=-，()33,2a b +=-，()()()39413a b a b ∴+⋅+=-+-=-.故选：D. 【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，考查了平面向量数量积的坐标表示，属于基础题. 6．2019年12月，国家统计局发布社会消费品零售总额1~11月相关数据，如下图所示，下面分析正确的是（ ）2019年11月份社会消费品零售总额主要数据指标11月1~11绝对量（亿元）同比增长（%）绝对量（亿元）同比增长（%）社会消费品零售总380948.03728728.0额其中：除汽车以外346299.13379519.0的消费品零售额其中：限额以上单13965 4.4132639 3.9位消费品零售额其中：实物商品往——7603219.7上零售额按经营地分城镇323457.93186147.9乡村57489.1542599.0A．2019年1~11月中，6月是社会消费品零售总额最高的月份B．2019年11月，社会消费品总额乡村增长率高于城市增长率，所以乡村对拉动社会消费品总额总增长率的作用大于城镇C．2019年前3季度中，第一季度平均同比增长率最高D ．2019年1~11月份，社会消费品零售总额372872亿元，其中汽车消费品零售总额34921亿元 【答案】D【解析】对于A ，由图表可知6月是社会消费品零售总额同比增长速度最高的月份，而不是社会消费品零售总额最高的月份，对于B ，11月，乡村社会消费品零售总额同比增长率比较高但是绝对量较少，从图表看，对于C ，11月，乡村社会消费品零售总额同比增长率比较高但是绝对量较少，对于D 选项，从表中的数据计算可得答案. 【详解】由图知2019年1~11月中，6月是社会消费品零售总额同比增长速度最高的月份，A 错误；2019年11月，乡村社会消费品零售总额同比增长率比较高但是绝对量较少，所以城镇的影响更大，B 错误；第二季度平均同比增长率高于第一季度，C 错误；2019年1~11月，汽车消费品零售总额37287233795134921=-=亿元，D 正确. 故选：D. 【点睛】此题考查了统计图表的识别和应用，属于基础题.7．设点P 是函数()()()201xf x e f x f ''=-+图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．30,,24πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B【解析】在()f x '中令0x =后可求()01f '=，再根据导数的取值范围可得tan α的范围，从而可得α的取值范围. 【详解】()()()2e 01x f x f x f ''=-+，()()2e 0x f x f ''∴=-，()()020f f ''∴=-，()01f '=，()()2e 1x f x x f '∴=-+，()2e 11x f x '∴=->-.点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，tan 1α∴>-.[)0,απ∈，30,,24ππαπ⎡⎫⎛⎫∴∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查导数的运算以及导数的几何意义，还考查了直线的斜率与倾斜角的关系，本题属于基础题.8．如图，边长为3的正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，点E 为线段DC 上的点，且1CE =，则在旋转的过程中，BP 与线段EC 有交点的概率为（ ）A ．13 B ．12C ．23D ．14【答案】A【解析】首先求出CBE ∠，再根据角度型几何概型概率公式计算可得； 【详解】解：3tan 33CE CBE CB ∠===，6CBE π∴∠=，BP ∴与线段EC 有交点的概率为1632ππ=. 故选：A . 【点睛】本题考查几何概型的概率公式的应用，属于基础题. 9．已知函数()()()cos 2,0,sin 2,0x a x f x x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩（a 、b ∈R ）的图像关于y 轴对称，将函数()()2cos 4g x x a b =++的图像向右平移6π个单位长度，再把所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y h x =的图像，则下列关于函数()y h x =的说法正确的是A ．最小正周期为4π B ．图象关于直线3x π=对称C ．图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 D ．在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 【答案】C【解析】由函数()()()cos 2,0,sin 2,0x a x f x x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩（a 、b ∈R ）的图像关于y 轴对称，可求出22a b k ππ+=+，从而得()2cos 42g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2cos 26h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后依次求解此函数的周期，对称轴，对称中心，单调区间，可得答案. 【详解】因为函数()()()cos 2,0sin 2,0x a x f x x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像关于y 轴对称，所以cos sin 22a b ππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()cos sin a b ππ-+=+，即sin cos a b =，cos sin a b =，因此22a b k ππ+=+（k ∈Z ），所以()()2cos 22cos 42g x x a b x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，从而()2cos 26h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其周期22T ππ==，选项A 错误； 由26x k ππ-=（k ∈Z ）得对称轴方程为122k x ππ=+（k ∈Z ），选项B 错误； 对称中心为,032k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ），1k =-时，对称中心为,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，选项C 正确； 由2226k x k ππππ≤-≤+，得7,()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以单调递减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ），选项D 错误. 故选：C. 【点睛】此题考查了三角函数的图像和性质，三角函数的图像变换，属于基础题.10．已知函数()()1ln ,1,1e ,1,x x x f x x x -≥⎧=⎨--⋅<⎩函数()()()1e g xf f x =-零点的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】令()f x t =，讨论t 的取值范围：当1t ≥时或当1t <时，可得()1ee f x =或()0f x =，讨论x 的取值范围，再利用导数研究函数的单调性，求出最值即可求解.【详解】令()f x t =，则()()1ln ,11e ,1t t t f t t t -≥⎧=⎨--⋅<⎩， （1）当1t ≥时，()1e f t =，即1e 1ln e et t =⇒=，即()1e e f x =. 当1≥x 时，1e ln e x =有一个解.当1x <时，()1e xf x x -'=-，(),0x ∈-∞，()0f x '>；()0,1x ∈，()0f x '<，且()10ef =.当1x <时，()111ee x x ---⋅≤，而1e 1e e>，所以方程()111e e t t -+⋅=无解. （2）当1t <时，()1ef t =，由（1）知0t =，即()0f x =. 当1≥x 时，ln 0x =有一个解. 当1x <时，()10ef x <≤，所以()0f x =无解. 综上，函数()g x 有两零点. 故选：B . 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了计算求解能力，属于中档题. 11．设数列{}n a 满足12a =，26a =，312a =，数列{}n a 前n 项和为n S ，且211131n n n n S S S S +-+-+=-+（n *∈N 且2n ≥）.若[]x 表示不超过x 的最大整数，()21n n n b a ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2020T =（ ）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【答案】C【解析】根据递推公式，可知{}1n n a a +-从第2项起是等差数列，可得122n n a a n +-=+，再根据累加法，可得()1n a n n =+，由此可得当2n ≥时，()211n n n b a ⎡⎤+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又()211112b a +==，由此即可求出n T .【详解】当2n ≥时，211131n n n n S S S S +-+-+=-+， 211131n n n n a a a a ++++++∴=+，2122n n n a a a ++∴-+=，()2112n n n n a a a a +++∴---=，{}1n n a a +∴-从第2项起是等差数列.又12a =，26a =，312a =，()()32212a a a a ∴---=，()142122n n a a n n +∴-=+-=+，当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()()1221222212n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+， ()211nn n a n++∴=（2n ≥）， ∴当2n ≥时，()2111n n n n b a n ⎡⎤++⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 又()211112b a +==，2222020122020232021220192021T a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故选：C.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式、等差数列的概念，以及累加法在求通项公式中的应用，属于中档题.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为27π，1A DB △与11A DC △的重心分别为E ，F ，球O 与该正方体的各条棱都相切，则球O 被EF 所在直线截的弦长为（ ） A．B．C．D【答案】D 【解析】由题意可求得正方体棱长为3，则球O的半径2r =，以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得111,,,(1,0,1)222OE EF →→⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，进而可得点O 到直线EF 的距离d =，根据公式可得弦长【详解】设正方体的边长为a，则24272a ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，即正方体棱长为3a =，.球O 的球心为正方体的中心，以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则A （3，0，0），1303A （，，），B （3，3，0），()1033C ，，，D （0，0，0）， 333(2,1,1),(1,1,2),,,222E F O ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ 111,,,,(1,0,1)222OE EF →→⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，∴点O 到直线EF的距离12d ==，又球O的半径为2r ==， 因此正方体外接球被EF 所在直线截的弦长为2222321221722r d ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了正方体的几何性质，正方体和球的关系以及垂径定理，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.二、填空题 13．已知()8223160123161x a a x a x a x a x -=+++++，则45a a +=______.【答案】28【解析】先求出二项的通项公式()()82181rrr r T Cx -+=-，由此通项可知展开式中x 的次数均为偶数，所以50a =，当6r =时，x 的次数为4，从而可求出4a ，进而可得结果. 【详解】解：因为()821-x 的第1r +项为()()82181rrrr T C x -+=-（08r ≤≤且r *∈N ）， 所以5x 不存在，所以50a =，因为4x 的系数为()668128C -=，所以428a =，所以4528a a +=. 故答案为：28 【点睛】此题考查二项式展开式的指定项的系数，熟记二项式展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.14．已知抛物线C ：22x py =-()0p >的焦点F 与22184y x +=的一个焦点重合，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两不同点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为2，则弦长AB =______. 【答案】10【解析】首先根据已知条件得到抛物线方程为28x y ，设直线AB 方程为2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，利用导数的几何意义得到两条切线分别为21148x x y x =-+和22248x x y x =-+，联立切线得到122M x x x +=，从而得到124x x +=，联立直线AB 与抛物线，利用韦达定理即可得到12k =-，再求焦点弦长即可. 【详解】由题意可得()0,2F -，则4p =，抛物线方程为28xy .设直线AB 方程为2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，其中2118x y =-，2228x y =-. 由28x y =-得4x y '=-，所以在点A 处的切线方程为()1114x y y x x -=--，化简得21148x x y x =-+①，同理可得在点B 处的切线方程为22248x x y x =-+②.联立①②得122M x x x +=，又M 的横坐标为2， 124x x ∴+=.将AB 方程代入抛物线得28160x kx +-=，1284x x k ∴+=-=，12k ∴=-，()1212144462y y k x x ∴+=+-=-⨯-=-，1210AB p y y ∴=--=.故答案为：10【点睛】本题主要考查抛物线的焦点弦，同时考查导数的几何意义，属于中档题. 15．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[)0,+∞ 【解析】先根据2x π=时22f a ππ⎛⎫≤⎪⎝⎭得0a ≥，再对函数()f x 求导，研究导函数的单调性、最值等，进而研究函数()f x 单调性，即可解决. 【详解】 解：22f a ππ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，0a ∴≥. 由题意得()()2sin sin cos 1sin cos 1f x x x x x x x x '=-++-=-+-⎡⎤⎣⎦， 令()sin cos 1g x x x x =-+-，则()sin g x x x '=-. 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， ()g x ∴的最小值为()1g ππ=--.又22g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，302g π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3,22x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，()0g x ≤，即()0f x '≤，()f x ∴在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数.02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤.又当0a ≥，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0ax ≥， 故()f x ax ≤恒成立，因此a 的取值范围是[)0,+∞.故答案为：[)0,+∞ 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分析与解决问题的能力，是中档题.三、双空题16．已知点(),P x y 在不等式组230y x y x y a ≥+⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域D 上运动，（1）若区域D表示一个三角形，则a 的取值范围是______；（2）若6a =，则2z x y =-+的最小值是______.【答案】()3,+∞ 5【解析】要使不等式组2,30,y x y x y a ≥+⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域是一个三角形，结合图形可知3a >；作出可行域，根据图形找到最优解，可得答案.【详解】因为直线2y x =+与30y x -=的交点为()1,3，所以要使不等式组2,30,y x y x y a ≥+⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是3a >.当6a =时，作出可行域，如图：由图可知，当直线2z x y =-+经过点(1,3)M 时，z 取得最小值5. 故答案为：()3,+∞；5. 【点睛】本题考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于基础题.四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin a c A C b c B -+=-.（1）求角A 的大小；（2）若2cos a b C =，试判断ABC 的形状并给出证明. 【答案】（1）3π；（2）ABC 为等边三角形，证明见解析. 【解析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）由正弦定理边化角及诱导公式、两角和的正弦公式可得sin cos cos sin 0B C B C -=，即可得到B C =，从而得到三角形的形状；【详解】 解：（1）()()()sin sin sin a c A C b c B -+=-，∴由正弦定理得()()()a c a c b c b -+=-，222122b c a bc +-∴=，根据余弦定理知1cos 2A =.又角A 为ABC 的内角，3A π∴=.（2）ABC 为等边三角形2cos a b C =，∴由正弦定理得sin 2sin cos A B C =.由三角形内角和公式得()A B C π=-+，故()sin sin A B C =+，()sin 2sin cos B C B C ∴+=，整理得sin cos cos sin 0B C B C -=，()sin 0B C -=∴，又(),B C ππ-∈-，B C ∴=.又由（1）知3A π=，ABC ∴为等边三角形.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式的应用，属于中档题. 18．2019年，受非洲猪瘟影响，全国猪肉价格大幅上涨.10月份全国居民消费指数（CPI ）同比上涨3.8%，创七年新高，其中猪肉价格成为推动居民消费指数上涨的主要因素之一.某学习调查小组为研究某市居民对猪肉市场的信心程度，对当地200名居民在未来一段时间内猪肉价格上涨幅度的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中a 的值，并估算该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值；（2）将猪肉价格上涨幅度预期值在[)10,30和[)90,110的居民分别定义为对市场“信心十足型”和“信心不足型”，现采用分层抽样的方法从样本中位于这两个区间的居民中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，记X 表示这三人中“信心十足型”的人数，求X 的分布列、数学期望与方差.【答案】（1）0.015a =，预期值为55%；（2）分布列见解析，()2E X =，()0.4D X =. 【解析】（1）由频率直方图中的各矩形的面积和为1，可求得a ，再由频率直方图求得对猪肉价格上涨幅度心理预期值的平均数，则由此可估计该市的居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值；（2）先由分层抽样的定义分别求出在“信心十足型”居民中和在“信心不足型”居民中各抽取的人数，再得出随机变量可能的取值，根据古典概率公式可求得其分布列，从而求得期望和方差. 【详解】解：（1）由直方图知()0.0050.020.00750.0025201a ++++⨯=，解得0.015a =. 设该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值为x ，则()0.005200.015400.02600.0075800.00251002055x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，所以该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值为55%.（2）由题意，样本中，“信心十足型”型居民有0.0052020020⨯⨯=人.“信心不足型”型居民有0.00252020010⨯⨯=人.由分层抽样的定义可知“信心十足型”居民抽取4人，“信心不足型”居民抽取2人. 则X 的可能取值为1，2，3，()124236C C110.2C 5P X ⋅====，()214236C C 320.6C 5P X ⋅====，()304236C C 130.2C 5P X ⋅====，故X 的分布列为 X 1 2 3 P 0.20.60.2()10.220.630.22E X =⨯+⨯+⨯=，()()()()222120.2220.6320.20.4D X =-⨯+-⨯+-⨯=.【点睛】本题考查识别频率直方图，根据频率直方图估计总体的预期值，考查随机变量的分布列的求法，以及随机变量的期望和方差，属于中档题.19．如图，在三棱锥P ABC -中，底面是正三角形，24AB PA ==，PA ⊥底面ABC ，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点.（1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ；（2）在线段PB （不含端点）上是否存在点G ，使得平面EFG 与平面PBC 所成锐二15？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）根据PA ⊥底面ABC 可得PA BE ⊥，结合BE AC ⊥可证BE ⊥平面PAC ，从而可得平面BEF ⊥平面PAC .（2）设BG BP λ=，以EB ，EC ，EF 方向为x ，y ，x 轴建立坐标系，求出平面EFG 的法向量与平面PBC 的法向量的夹角的余弦值后得到关于λ的方程，求出λ后可得线段PB 上不存在满足条件的点G . 【详解】 证明：（1）AB BC =，E 为AC 的中点，BE AC ∴⊥.又PA ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，PA BE ∴⊥.PA AC A =，PA ，AC ⊂平面PAC ，BE ∴⊥平面PAC ，又BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC .（2）如图，由（1）知，PA BE ⊥，PA AC ⊥，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点，//EF PA ∴，EF BE ∴⊥，EF AC ⊥，又BE AC ⊥，EB ∴，EC ，EF 两两垂直，以E 为原点，以EB ，EC ，EF 方向为x ，y ，x 轴建立坐标系，则()0,2,0A -，()0,2,2P -，()23,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0E ，()0,0,1F .设()23,2,2BG BP λλλλ==--（()0,1λ∈），)()231,2,2G λλλ∴--，)()()231,21,2AG AB BG λλλ∴=+=--，()0,0,1EF =，)()231,2,2EG λλλ=--.设平面EFG 的法向量为(),,m a b c =，则)0,0,1220,0,c m EF a b c m EG λλλ=⎧⎧⋅=⎪∴⎨⎨-⋅-⋅+⋅=⋅=⎪⎩⎩令a λ=，则)1b λ=-，)(),1,0m λλ∴=-.()23,2,0BC -，()0,4,2PC =-，设平面PBC 的法向量(),,n x yz =， 则0,20,0,420,n BC y n PC y z ⎧⎧⋅=-+=⎪∴⎨⎨⋅=-=⎪⎩⎩令1x =，则y =z =(1,3,2n ∴=.由已知1cos ,14m n =-=，114λ=⇒=， 因为()0,1λ∈，故线段PB 上不存在点G ，使得直线AG 与平面PBC 所成的角的正弦. 【点睛】面面垂直的判定可由线面垂直得到，而线面垂直可通过线线垂直得到，注意面中两条直线是相交的．由面面垂直也可得到线面垂直，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的离心率是e ，定义直线eby=±为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±，长轴长为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，直线l 交椭圆C 于E ，F 两不同点（点E ，F 与点A 不重合），且满足AE AF ⊥，若点P 满足2OP OE OF =+，求直线AP 的斜率的取值范围.【答案】（1）2211612xy +=；（2）5656⎡-⎢⎣⎦. 【解析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程，联立方程组求得216a =，212b =，24c =，则椭圆方程可求；（2）分直线l x ⊥轴与直线l 不垂直于x 轴两种情况讨论，当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠），联立直线方程与椭圆方程，消元由>0∆，得到2216120k t -+>，再列出韦达定理，由AE AF ⊥则0AE AF ⋅=，解得47k t =-，再由2OP OE OF =+，求出P 的坐标，则178AP k k k+=，再利用基本不等式求出取值范围； 【详解】解：（1）由题意得：e b abc==28a =，又222a b c =+， 联立以上可得：216a =，212b =，24c =，∴椭圆C 的方程为2211612x y+=.（2）由（1）得()4,0A ，当直线l x ⊥轴时，又AE AF ⊥，联立224,1,1612y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2732160x x -+=，解得47x =或4x =，所以47E F x x ==，此时4,07P ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AP 的斜率为0. 当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠）， 联立223448y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，整理得()2223484480k x ktx t +++-=， 依题意()()2222644344480k t kt∆=-+->，即2216120k t -+>（）且122834kt x x k +=-+，212244834t x x k-⋅=+. 又AE AF ⊥，()()()()()()121212124444AE AF x x y y x x kx t kx t ∴⋅=-⋅-+⋅=-⋅-+++()()222212122732161(4)16034t kt k k x x kt x x t k++=+⋅+-+++==+，22732160t kt k ∴++=，即()()7440t k t k ++=，47kt ∴=-且t 满足（）， ()121222862,,3434kt t OP OE OF x x y y k k ⎛⎫∴=+=++=- ⎪++⎝⎭，2243,3434kt t P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭，故直线AP 的斜率2222331344716412874834APt t k k k kt k kt k k k k+==-==+++--++， 当k 0<时，7788k k k k ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭78k k -=-，即k =时取等号，此时0AP k ≤<； 当0k >时，78k k +≥=78k k =，即k =时取等号，此时056AP k <≤； 综上，直线AP的斜率的取值范围为5656⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于难题. 21．已知函数()()21ln f x ax x b x =-++（a 、b ∈R ）.（1）当1a =，4b =-时，求()y f x =的单调区间； （2）当2b =-，1≥x 时，求()()g x f x =的最小值.【答案】（1）增区间为3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，减区间为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）()min 1,0,0,01,1, 1.a a g x a a a -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩. 【解析】（1）求出函数的定义域，然后对函数求导，导函数大于零，解得其增区间，导函数小于零，解得其减区间；（2）由()2ln g x ax x x =--，令()2ln x ax x x ϕ=--（1≥x ），然后利用导数讨论()x ϕ的单调性，最值，从而可求出()g x 的最小值.（1）当1a =，4b =-时，()23ln f x x x x =--（()0,x ∈+∞）.()()()223132321x x x x f x x x x x-+--'=--==， 令()0f x '=得32x =，或1x =-（舍去）. 当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()f x ∴单调递增区间为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）()2ln g x ax x x =--.设()2ln x ax x x ϕ=--（1≥x ），()121x ax xϕ'=--， 1）当0a ≤时，()0x ϕ'<，则()x ϕ在[)1,+∞上单调递减，且()110a ϕ=-<，()()g x x ϕ∴=-，()g x 在[)1,+∞上单调递增，()()min 11g x g a ∴==-.2）当0a >时，()221ax x x xϕ--'=，设()221t x ax x =--，180a ∆=+>，()0t x ∴=有两根1x ，2x .12102x x a+=>，12102x x a =-<，不妨令120x x <<，∴当()20,x x ∈时，()0t x <，即()0x ϕ'<，()x ϕ在()20,x 上单调递减，当()2,x x ∈+∞时，()0t x >，即()0x ϕ'>，()x ϕ在()2,x +∞上单调递增. ①当()1220t a =-≥，即1a ≥时，21x ≤，()x ϕ在[)1,+∞上单调递增. 又()110a ϕ=-≥，()()g x x ϕ∴=，()()()min min 11g x x a ϕϕ∴===-.②当()10t <，即01a <<时，21>x ，()x ϕ在()21,x 上单调递减，在()2,x +∞上单又()110a ϕ=-<，()()2222min ln x x ax x x ϕϕ==--，2242222ln ln 0a a a a a a a ϕ⎛⎫=⋅--=-> ⎪⎝⎭，∴存在[)022,1,x x a ⎛⎫∈⊆+∞ ⎪⎝⎭使得()20x ϕ=，()()0min 0g x x ϕ∴==.综上可得()min1,0,0,01,1, 1.a a g x a a a -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩【点睛】此题考查利用导数求函数的单调性，利用导数求函数的最值，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题.22．已知直线l的参数方程为：1x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C的极坐标方程为：4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，点P 是曲线C 上除极点以外的任意一点，点M 在直线OP 上且满足1OP OM ⋅=，设点M 的轨迹为曲线E . （1）求直线l 和曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 分别与曲线C 、曲线E 交于A （与原点不重合）、B 两不同点，求线段AB 的长.【答案】（1）3πθ=（ρ∈R ），sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）先将直线l 的参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程，设()00,P ρθ（00ρ≠），(),M ρθ，则由题意得01ρρ=，0θθ=，而点P 是曲线C 上除极点以外的任意一点，所以14πθρ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，化简后得曲线E 的极坐标方程； （2）设A 、B 两点的极径分别为1ρ、2ρ，直线l 的极坐标方程分别与曲线C 的极坐标方程和曲线E 的极坐标方程联立方程组求出1ρ、2ρ，从而可求出12AB ρρ=-的值.（1）将直线l的参数方程1x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）消去参数t ，得y =，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得直线l 的极坐标方程为3πθ=（ρ∈R ）.设()00,P ρθ（00ρ≠），(),M ρθ，由题意0θθ=，① 又1OP OM ⋅=，01ρρ∴=，即01ρρ=.②因为点P 在曲线C上，所以004πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将①②代入004πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得14πθρ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 整理得曲线E 的极坐标方程为sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （2）设A 、B 两点的极径分别为1ρ、2ρ，联立直线l 和曲线C的极坐标方程34πθπρθ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，得1134ππρ⎛⎫=+=⎪⎝⎭联立直线l 和曲线E的极坐标方程3sin 14πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，得2134ρππ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭(121AB ρρ∴=-==【点睛】此题考查参数方程与极坐标方程，考查了极坐标系中极径的几何意义，考查运算能力，属于中档题.23．已知函数()21f x x x =--+. （1）解不等式()2f x <；（2）若正实数m ，n 满足3m n +=，试比较122m n +与()32f x -的大小，并说明理由. 【答案】（1）12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；（2）()12322f x m n +≥-，理由见解析. 【解析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可； （2）先根据绝对值的三角不等式可得()33f x -≤≤，进而求出()933222f x -≤-≤；再利用基本不等式求出122m n+的最小值32，由此即可得结果．【详解】（1）①当1x ≤-时，()()212x x --++<，无解； ②当12x -<<时，()()212x x ---+<，122x -<<； ③当2x ≥时，()()212x x --+<，恒成立，2x ≥， 所以该不等式的解集为12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭.（2）因为|()21213x x x x --+≤--+≤，当有仅当()()210x x -⋅+≥，即1x ≤-或2x ≥时取“=”， 所以()33f x -≤≤，即()933222f x -≤-≤. 又1212112322233222m n n m m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=+⋅=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22n mm n=，即1m =，2n =时取等号， 所以()12322f x m n +≥-. 【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，以及基本不等式的应用，属于中档题．。

2020年河南省名校联盟高考数学联考试卷(理科)(6月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|−1<x<5}，B={x|0<x≤2}，则A∩B=()A. {x|−1<x≤2}B. {x|0<x<5}C. {0,1，2}D. {1,2}2.已知z=(a−1)+(a+2)i在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a的取值范围为()A. (−1,2)B. (−2,1)C. (2,+∞)D. (−∞,−2)3.“k<1”是“方程x23−k +y2k−1=1表示双曲线”的()A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若等比数列{a n}，前n项和S n，且a2a3=2a1，54为a4与2a7的等差中项，则S4=()A. 29B. 30C. 31D. 335.设a⃗=(1,−2),b⃗ =(3,4),c⃗=(2,−1),则(a⃗+b⃗ )⋅c⃗=()A. 6B. 5C. 4D. 36.如图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图(其中同比是今年第n个月与去年第n个月之比)，则下列说法错误的是()A. 2018年下半年我国原油进口总量高于2018上半年B. 2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C. 2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D. 2018年1月−5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减7. 函数f(x)=e x x的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( )A. y =x +e −1B. y =eC. y =x −e −1D. x =e8. 在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图(如图)设计的，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自内部小正方形部分的概率为( )．A. 125B. 925C. 1625D. 24259. 将y =f(x)的图象向右平移π3个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y =sin(x −π6)的图象，则f(x)=( )A. cos2xB. sin 12xC. cos(12x +π6)D. sin(2x +π6)10. 函数f(x)=(x−1)ln(−x)x−3的零点个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n+1=a n +a n+２，且a 2=32，则Ｓ105为( )A. 3B. 6C. 9D. 1212. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 是线段A 1C 1的中点，若四面体M −ABD 的外接球的表面积为36π，则正方体棱长为( )A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知C n 4=C n 6，设(3x −4)n =a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯…+a n (x −1)n ，则a 1+a 2+⋯…+a n =_________ ．14. 已知不等式组{y ≥0y ≤x 2x +y −9≤0表示的平面区域为D.若直线y =a(x +1)与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是______．15.已知点F1是抛物线C1：y=14x2与椭圆C2：x2a2+y2b2=1(b>a>0)的公共焦点，F2是椭圆C2的另一焦点，P是抛物线C1上的动点，当|PF1||PF2|取得最小值时，点P恰好在椭圆C2上，则椭圆C2的离心率为________．16.函数f(x)=12x+sinx在区间[0,2π]上的最大值为________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，已知sin A：sin B：sin C=4：5：6，且a+b+c=30，求a．18.某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个送外卖小哥某天从9：00到21：00这个时间段送的50单外卖，以2小时为一时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如图．时间区间[9011)[11,13)[13,15)[15,17)[17,19)[19,21]每单收入(元)6 5.56 6.4 5.5 6.5(1)求频率分布直方图中a的值，并求这个外卖小哥送这50单获得的收入；(2)这个外卖小哥记得在[13,15)这个时段只有4单外卖带有饮品，现在从[13,15)这个时段送出的外卖中随机抽取3单外卖，求这3单外卖中带有饮品的单数X的分布列和数学期望．19.如图，在三棱锥A−BCD中，AB=AD=CD=12BC=2，E为BC的中点，BD⊥CD，且AE=√2．(1)证明：平面ACD⊥平面ABD．(2)求平面ABC与平面ACD所成锐二面角的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，且长轴长与短轴长之比为√2:1．(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)若不与坐标轴平行的直线l与椭圆相切于点P，O为坐标原点，求直线OP与直线l的斜率之积．21. 已知函数g(x)=e x −2ax −b ，a ，b ∈R ．(1)求函数g(x)的单调区间； (2)求函数g(x)在[0,1]上的最小值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23.已知函数f(x)=−|x|−|x+2|．(1)解不等式f(x)<−4；(2)若正实数a，b满足a+b=√5，试比较a2+b2与f(x)+3的大小，并说明理由．4【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题． 先求出A ，再求交集即可．解：集合A ={x ∈Z|−1<x <5}={0,1，2，3，4}， B ={x|0<x ≤2}， 则A ∩B ={1,2}． 故选D ．2.答案：D解析：本题考查复数的几何意义，属于基础题目．依据复数a +bi(a,b ∈R)与复平面上的点(a,b)--对应，再由第三象限点横纵坐标都为负，即可求取值范围．解：因为z =(a −1)+(a +2)i 在复平面内对应的点位于第三象限， 所以{a −1<0a +2<0，解得a <−2．故选D ．3.答案：A解析：解：若方程x 23−k+y 2k−1=1表示双曲线，则(3−k)(k −1)<0，即k <1或k >3．∴k <1⇒方程x 23−k+y 2k−1=1表示双曲线，反之不一定成立． ∴“k <1”是“方程x 23−k+y 2k−1=1表示双曲线”的充分不必要条件． 故选：A ． 由方程x 23−k+y 2k−1=1表示双曲线求得k 的范围，然后结合充分必要条件的判定得答案．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的判断，考查充分必要条件的判定，是基础题．4.答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查等差数列中项的性质，化简整理的运算能力，属于中档题．设等比数列{a n}的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得首项和公比，运用等比数列的求和公式，即可得到所求和．解：设等比数列{a n}的公比为q，a2a3=2a1，54为a4与2a7的等差中项，可得a1q⋅a1q2=2a1，2×54=a4+2a7=a1q3+2a1q6，解得q=12，a1=16，则S4=a1(1−q4)1−q =16(1−124)1−12=30．故选B．5.答案：A解析：解：根据题意，a⃗=(1,−2)，b⃗ =(3,4)，则a⃗+b⃗ =(4,2)，又由c⃗=(2,−1)，则(a⃗+b⃗ )⋅c⃗=4×2+2×(−1)=6；故选：A．根据题意，由a⃗、b⃗ 的坐标计算可得向量a⃗+b⃗ 的坐标，进而由向量数量积的坐标计算公式计算可得答案．本题考查向量的数量积的计算，关键求出向量a⃗+b⃗ 的坐标．6.答案：D解析：解：由图易知A，B正确，由数量同比折线图可知，除6月和10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量，C正确，由2018年1月−5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量只增不减，故D错误，故选：D．先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属中档题．7.答案：B解析：先对f(x)求导，然后得到切线的斜率，再求出切线方程即可．本题考查了利用导数研究函数的切线方程，属基础题．解：由f(x)=e xx ，得f′(x)=xex−e xx2，∴切线斜率k=f′(1)=0，又f(1)=e，∴在点(1,f(1))处的切线方程为y=e．故选：B．8.答案：A解析：本题考查几何概型，是基础题．由已知直角三角形的边长分别求出两个正方形的面积，即得答案．解：∵直角三角形的直角边的边长分别是3和4，∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为4−3=1．大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，所以此点取自内部小正方形部分的概率为125．故选：A．9.答案：A解析：本题考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属于基础题．由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得：将y=sin(x−π6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，再把所得图象向左平移π3个单位，即可得到f(x)的图象．解：将y =sin(x −π6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍得到y =sin(2x −π6)， 再把所得图象向左平移π3个单位， 得到f(x)=sin[2(x +π3)−π6]=cos2x ， 故选：A ．10.答案：A解析：解：∵函数f(x)=(x−1)ln(−x)x−3的零点个数，即为f(x)=0的根的个数，∴f(x)=(x−1)ln(−x)x−3=0，即(x −1)ln(−x)=0，∴x −1=0或ln(−x)=0， ∴x =1或x =−1， ∵{−x >0x −3≠0，解得x <0，∵函数f(x)的定义域为{x|x <0}， ∴x =−1，即方程f(x)=0只有一个根， ∴函数f(x)=(x−1)ln(−x)x−3的零点个数1个．故选：A ． 将函数f(x)=(x−1)ln(−x)x−3的零点个数问题转化为方程f(x)=0的根的个数问题，求出方程的根，即可得到答案．本题考查了根的存在性及根的个数的判断．要注意函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x 轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．11.答案：A解析：本题考查数列的递推公式和求和，属中档题．解：根据题意，a n+2=a n+1−a n =a n −a n−1−a n =−a n−1， 则有a n+3=−a n ，故a n+6=a n，∴数列{a n}的周期为6，又a n+3=−a n，则a1+a4=0，a2+a5=0，a3+a6=0，∴a1+a2+⋯+a6=0．又因数列{a n}的周期为6，则S105=17(a1+a2+⋯+a6)+a103+a104+a105=a1+a2+a3=2a2=3．故选A．12.答案：C解析：本题考查正方体棱长，考查四面体M−ABD的外接球表面积，属于中档题．设BD的中点O′，则球心O在MO′上，利用四面体M−ABD的外接球表面积为36π，求出球的半径，利用勾股定理建立方程，求出正方体棱长．解：设BD的中点O′，则球心O在MO′上，∵四面体M−ABD的外接球表面积为36π，设外接球的半径为R，∴4πR2=36π，∴R=3，设正方体棱长为2a，则O′A=√2a，由勾股定理可得32=(√2a)2+(2a−3)2，∴a=2，∴正方体棱长为2a=4．故选C．13.答案：1023解析：解：∵已知C n4=C n6，∴n=10，∵(3x−4)n=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+a n(x−1)n，即(3x−4)10=a0+a1(x−1)+a 2(x −1)2+⋯a 10(x −1)10， 令x =1，可得a 0=1；再令x =2，可得1+a 1+a 2+⋯+a n =210，∴a 1+a 2+⋯+a n =210−1=1023， 故答案为：1023．由题意利用二项式系数的性质，求得n =10，再分别令x =1、x =2，可得a 1+a 2+⋯+a n 的值． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.答案：[0,34]解析：画出满足约束条件不等式组{y ≥0y ≤x 2x +y −9≤0的平面区域，然后分析平面区域各角的顶点，将其代入y =a(x +1)中，求出y =a(x +1)对应的a 的值即可．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角的顶点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．解：满足约束条件不等式组{y ≥0y ≤x 2x +y −9≤0的平面区域如图示：因为y =a(x +1)过定点(−1,0)． 所以当y =a(x +1)过点P ，由{y =x 2x +y −9=0，解得A(3,3)，得到3=a(3+1)，解得a =34，又因为直线y =a(x +1)与平面区域D 有公共点． 所以0≤a ≤34 故答案为[0,34]．15.答案：√2−1解析：解：如下图所示，易知抛物线C 1的焦点为F 1(0,1)，所以，椭圆C 2的下焦点为F 2(0,−1)，抛物线C 1的准线为y =−1，该直线过点F 2，过点P 作PA ⊥l ，垂足为点A ，由抛物线的定义可得|PF 1|=|PA|，所以，|PF 1||PF 2|=|PA||PF 2|=cos∠APF 2=cos∠PF 2F 1，当直线PF 2与抛物线C 1相切时，∠PF 2F 1最大，此时，cos∠PF 2F 1取得最小值，即|PF 1||PF 2|取最小值，设直线PF 2的方程为y =kx −1，将该直线方程与抛物线C 1的方程联立得{x 2=4yy =kx −1，消去y 得，x 2−4kx +4=0，△=16k 2−16=0，解得k =±1，代入方程得x 2±4x +4=0，可求得点P 的坐标为(±2,1)， 由椭圆定义可得2a =|PF 1|+|PF 2|=√(±2)2+(1−1)2+√(±2)2+(1+1)2=2+2√2， ∴a =1+√2，因此，椭圆C 2的离心率为e =ca =1+√2=√2−1． 故答案为：√2−1．过点P作PA⊥l，由抛物线定义可得|PF1|=|PA|，再结合锐角三角函数得出|PF1||PF2|=|PA||PF2|=cos∠APF2=cos∠PF2F1，于是得出当直线PF2与抛物线C1相切时，∠PF2F1取得最大值，此时，|PF1||PF2|取得最小值，并设直线PF2的方程为y=kx−1，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用△=0求出k 的值，从而求出点P的坐标，然后利用椭圆的定义求出a的值，最终计算出椭圆的离心率．本题考查圆锥曲线的综合问题，考查抛物线与椭圆的定义，解决本题的关键在于找出直线与抛物线相切的位置，考查计算能力与推理能力，属于难题．16.答案：π解析：此题考查利用导数研究函数在闭区间的最大值，注意函数的定义域．对函数求导，研究单调性，进而得到答案．解：因为f′(x)=12+cosx，令f′(x)=0，x∈[0,2π]，解得x=2π3或x=4π3，当x∈(0,2π3)或(4π3,2π)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(2π3,4π3)，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以当x=2π3时，函数f(x)的极大值为f(2π3)=12×2π3+sin2π3=π3+√32，又f(0)=0，f(2π)=π，所以函数最大值为π．故答案为π．17.答案：解：∵sin A：sin B：sin C=4：5：6，由正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，又∵a+b+c=30，∴a=30×44+5+6=8．解析：由sin A：sin B：sin C=4：5：6，利用正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．18.答案：解：(1)由频率分布直方图得：2a=1−2×(0.05×2+0.08×2+0.14)=0.2，∴a=0.1，∵样本n=50，∴在[9,11)这个时间段的频数为0.08×2×50=8，同理可求得[11,13)，[13,15)，[15,17)，[17,19)，[10,21]这5个时间段的频数分别为14，10，5，8，5，∴外卖小哥送50单的收入为8×6+14×5.5+10×6+5×6.4+8×5.5+5×6.5=293.5(元)；(2)由(1)知，在[13,15)这段时间共送10单，10单中有4单带饮品，6单不带饮品，X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=C63C103=20120=16，P(X=1)=C41C62C103=60120=12，P(X=2)=C42C61C103=36120=310，P(X=3)=C43C103=4120=130，∴X的分布列为：E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65．解析：本题主要考查了随机变量的分布列及数学期望的应用问题，是综合题．(1)由频率分布直方图得a，然后求解外卖小哥送50单的收入即可．(2)求出X的可能取值为0，1，2，3求出概率得到X的分布列然后求解期望即可．19.答案：(1)证明：取BD的中点为O，连接OA，OE.因为BD⊥CD，BC=4，CD=2，所以BD=2√3，OB=√3.又AB =AD =2，所以BD ⊥AO ，且AO =1. 在△AOE 中，EO =12CD =1，AE =√2，所以AO 2+OE 2=AE 2，即OE ⊥AO ，从而CD ⊥AO. 又CD ⊥BD ，BD ∩AO =O ，所以CD ⊥平面ABD. 因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABD ． (2)解：由(1)知OB ，OE ，OA 两两垂直，如图，分别以OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O −xyz ， 则B(√3,0,0)，C(−√3,2,0)，D(−√3,0,0)，A(0,0，1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,2,−1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,2,0). 设m⃗⃗⃗ =(x,y,z)是平面ABC 的法向量，可得{−√3x +2y −z =0,−2√3x +2y =0,令x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,√3).设n⃗ =(x 1,y 1,z 1)是平面ACD 的法向量，因为DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,2,−1)， 则{2y 1=0,−√3x 1+2y 1−z 1=0,令x 1=1，得n ⃗ =(1,0,−√3)．设平面ABC 与平面ACD 所成的锐二面角为θ，则cos θ=|cos ⟨m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|1−3√7×2|=√77， 即平面ABC 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值为√77．解析：本题考查面面垂直的判定和利用空间向量求面面的夹角，考查推理能力、计算能力，属中档题．(1)取BD 的中点为O ，连接OA ，OE.推导出CD ⊥AO ，CD ⊥BD ，可得出CD ⊥平面ABD ，进而可证平面ACD ⊥平面ABD ．(2)由(1)知OB ，OE ，OA 两两垂直，如图，分别以OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O−xyz，求出平面ACD和平面ABC的法向量，利用向量法进行求解即可．20.答案：解：(I)已知椭圆中2c=2，且2a2b =√2，又a2=b2+c2，可得椭圆的方程为x22+y2=1．(Ⅱ)由题意：可设l的方程为y=kx+m(k存在且k≠0)与椭圆C联立消去y可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，由直线l与椭圆C相切，可设切点为(x0,y0)，由判别式△=0可得m2=1+2k2．解得x0=−2km ,y0=1m因此，直线OP的斜率为k OP=−12k，直线l的斜率为k，即直线OP与直线l的斜率之积为−12．解析：(Ⅰ)通过焦距，结合长轴长与短轴长之比为√2：1.求出a，b，然后求解椭圆方程．(Ⅱ)设出直线方程，与椭圆方程联立，设切点为(x0,y0)，利用△=0，推出直线OP的斜率为k OP=−12k，直线l的斜率为k，然后求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.答案：解：因为g′(x)=e x−2a，x∈[0,1]，e x∈[1,e]，(1)若a≤12，则2a≤1，g′(x)=e x−2a≥0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，g(x)min=g(0)=1−b．(2)若12<a<e2，则1<2a<e，于是当0<x<ln(2a)时，g′(x)=e x−2a<0，当ln(2a)<x<1时，g′(x)=e x−2a>0，所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减，在区间[ln(2a),1]上单调递增，g(x)min=g(ln(2a))=2a−2aln(2a)−b．(3)若a≥e2，则2a≥e，g′(x)=e x−2a≤0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，g(x)min=g(1)=e−2a−b．综上所述，当a≤12时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=g(0)=1−b，当12<a <e2时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min =g(ln(2a))=2a −2aln(2a)−b ； 当a ≥e2时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min =g(1)=e −2a −b ．解析：本题考查了利用导数研究闭区间上函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)g(x)=f′(x)=e x −2ax −b ，g′(x)=e x −2a.对a 分类讨论，利用导数即可得出其单调性； (2)利用(1)的结论，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos 2θ=λρsinθ， 即：x 2=λ2y ，由于：曲线C 的焦点F 的极坐标为(1,π2)． 即：F(0,1)， 所以：λ8=1，故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ． 得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0． 所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos 2α<0， 且|AF|=3|FB|， 故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α，整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α，解得：tanα=±√33，由于：0<α≤π， 故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：解：(1)由题知|x|+|x+2|>4，①当x≤−2时，−2x−2>4，解得x<−3；②当−2<x≤0时，2>4，矛盾，无解；③当x>0时，2x+2>4，x>1；所以该不等式的解集为{x|x<−3或x>1}．(2)因为|x|+|x+2|≥|x−x−2|=2，当且仅当−2≤x≤0时，取“=”，所以f(x)=−|x|−|x+2|≤−2，即f(x)+3≤1．又a2+b24=5b24−2√5b+5=54(b2−85√5b)+5=54(b−45√5)2+1≥1，当且仅当a=√55,b=4√55时取等号．所以a2+b24≥f(x)+3．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式以及二次函数的性质，是一道中档题．(1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)求出f(x)+3≤1，根据二次函数的性质求出a2+b24≥1，从而比较大小．。

2020年河南省名校联盟高考数学联考试卷1（6月份）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别是2019，2020，则输出的a，b分别是()A. 2019，2019B. 2020，2019C. 2019，2020D. 2020，20202.已知点P(3,m)(m<0)为角α终边上一点，且sinα=m5，则tanα=()A. −35B. −53C. −34D. −433.二进制数10101(2)化为十进制数的结果为()A. 15B. 21C. 33D. 414.用秦九韶算法计算函数f(x)=2x4+3x3+5x−4，当x=2时，v2的值为()A. 10B. 2C. 12D. 145.函数f(x)=2sin(2x−π3)+3的最小值为()A. 5B. 1C. 3D. 46.程序框图如图所示，若输入值t∈(0,3)，则输出值S的取值范围是()A. (0,4)B. (0,4]C. [0,9]D. (0,3)7.某公司为了解职工每周参加体育锻炼的时间，随机抽取了300名职工进行调查，并将调查结果分为6组：[0,5),[5,10)，[10,15),[15,20)，[20,25),[25,30](单位：小时)，得到如图所示的频率分布直方图，则这300名职工中每周参加体育锻炼的时间不低于15小时的人数为()A. 90B. 135C. 150D. 2108.一个年级有16个班级，每个班级学生从1到50号编排，为了交流学习经验，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这里运用的是()A. 分层抽样B. 抽签法C. 随机数表法D. 系统抽样9.若a，b分别为函数y=13sinx−1的最大值和最小值，则a+b等于()A. 23B. −23C. −43D. −210.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出x与销售额y(单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据：x24568y3040605070经测算，年广告支出x与年销售额y满足线性回归方程y=b̂x+17.5，则b^的值为()A. 6.5B. 5.5C. 4.5D. 3.511.欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径3cm，中间有边长为1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是()A. 14πB. 12πC. 1πD. 2π12.校学生会现从高一、高二年级各3名同学中选出两人参加志愿者活动，则选出的两人恰好高一和高二各一人的概率是()A. 12B. 13C. 35D. 25二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若一组样本数据2017，2019，x，2020，2018的平均数为2019，则该组样本数据的方差为______．14.若从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛，则至少选出1名女生的概率为_______(结果用分数表示)．15.若掷一颗质地均匀的骰子，则出现向上的点数大于4的概率是______16.有下列四个命题：①若α、β均为第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ；②若函数y=2cos(ax−π3)的最小正周期是4π，则a=12；③函数y=sin2x−sinxsinx−1是奇函数；④函数y=sin(x−π2)在[0,π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.如图，某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)图中语文成绩的众数是______ ．(2)求图中a的值；(3)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分和中位数(中位数要求精确到小数点后一位)．18.为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分(满分100分)，将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．(1)求图中a的值，并求综合评分的中位数；(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率．19. 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份 2010 2011 2012 20122014 年份代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y(千亿元) 578911参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=(ni=1t i −t)(y i −y)∑(n i=1t −t)2=∑t i ni=1y i −nty ∑t i 2n i=1−nt2，a ̂=y −b ̂t ，√2≈1.414． (Ⅰ)由散点图看出；可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明：(精确到0.01)(Ⅱ)建立y 与t 的回归方程：|≤1，则认为所得到回归方程是可靠的，现知2017年、2018年该地区城乡居(Ⅲ)如果|y i−yi民人民币储蓄存款分别为15千亿元、17千亿元，选取这两组数据检验，试问(Ⅱ)中所得的回归方程是否可靠⋅20.已知f(x)=|x|，g(x)=x−1．(1)若x是从区间[−3,4]上任取的一个实数，y=2，求满足f(x)≥|g(y)+1的概率．(2)若x、y都是从区间[0,4]上任取的一个实数，求满足f2(x)+g2(y)≤1的概率．21.下图是函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)的部分图象，求函数f(x)的解析式.222. 已知sinα=45，且，α是第二象限角．(1)求tanα的值；(2)求cos(2π−α)+sin(π+α)sin(π2+α)+cos(π2−α)的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查的是程序框图的有关知识，属于一般题型．【解答】解：输入2019，2020后，该程序框图的执行过程是x=2019，a=2020，b=2019，故选B．2.答案：D解析：【分析】本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题．由题可得sinα=2=m5，解出m即可得．【解答】解：因为sinα=√9+m2=m5，所以√9+m2=5，解得m=−4或4(不合题意，舍去)，所以tanα=m3=−43．故选D．3.答案：B解析：【分析】本题考查的知识点是算法的概念，由二进制转化为十进制的方法，属于基础题．二进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数与该数位的权重的乘积，即可得到答案．【解答】解：10101(2)=1×20+0×21+1×22+0×23+1×24=21，故选：B．4.答案：D解析：解：∵f(x)=2x 4+3x 3+5x −4=(((2x +3)x +0)x +5)x −4， 当x =2时，v 0=2，v 1=2×2+3=7，v 2=7×2+0=14， 故选D ．f(x)=(((2x +3)x +0)x +5)x −4，进而得出答案．本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：B解析： 【分析】本题考查正弦三角函数的最值问题，属于基础题型． 直接根据正弦型函数的最值求解析式的最小值． 【解答】解：f(x)=2sin(2x −π3)+3，当2x −π3=2kπ−π2，即x =kπ−π12(k ∈Z)时， 函数f(x)min =−2+3=1， 故选B ．6.答案：B解析： 【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S ={3tt <14t −t 2t ≥1的值，分类讨论即可得解． 本题主要考查了程序框图和二次函数的性质，属于基本知识的考查． 【解答】解：由程序框图可知程序框图的功能是计算并输出S ={3tt <14t −t 2t ≥1的值， ∴当t ∈(0,1)时，0<3t <3；当t ∈[1,3)时，4t −t 2=4−(t −2)2∈[3,4]， ∴综上得：0<S ≤4． 故选：B ．7.答案：C解析：【分析】本题考查频率分布直方图，属于基础题目．由频率分布直方图求出每周参加体育锻炼的时间不低于15小时的频率，进而求出答案即可．【解答】解：由直方图可得锻炼时间不低于15小时的频率为5×(0.06+0.03+0.01)=0.5，∴300名职工中每周参加体育锻炼的时间不低于15小时的人数为300×0.5=150．故选C．8.答案：D解析：解：∵学生人数比较多，∵把每个班级学生从1到50号编排，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这样选出的样本是采用系统抽样的方法，故选D．学生人数比较多，把每个班级学生从1到50号编排，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽样的方法．本题考查系统抽样，当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分即将总体分段，分段的间隔要求相等，系统抽样又称等距抽样．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．根据−1≤sinx≤1即可求解．【解答】解：由题意得，因为−1≤sinx≤1，所以函数y=13sinx−1的最大值和最小值分别是−23,−43,所以a+b=−2，故选D．10.答案：A解析：【分析】本题考查了线性回归方程经过样本中心的性质，属于基础题．求出x −,y −，代入回归方程计算b̂即可． 【解答】 解：x −=2+4+5+6+85=5，∴y −=30+40+60+50+705=50∵线性回归方程经过样本中心(5,50)， ∴50=b ̂×5+17.5，∴b ̂=6.5． 故选A ．11.答案：C解析： 【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N(A)，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N ，最后根据几何概率的公式求解． 【解答】解：∵S 正=1，S 圆=π ∴P =1π， 故选C ．12.答案：C解析： 【分析】本题考查古典概型的概率计算公式，以及简单组合数的计算，属于基础题． 分别求出总事件数和满足条件的事件数计算即可． 【解答】解：设选出的两人恰好高一和高二各一人为事件A ，从6人中选2人共有C 62=15种选法，高一高二各一人共有C 31C 31=9种选法，∴P(A)=915=35． 故答案为C ．13.答案：2解析：【分析】本题考查了数据的方差的求解，直接根据公式计算即可．【解答】=2019，解：由已知可得2017+2019+x+2020+20185解得x=2021，∴S2=1[(2019−2017)2+(2019−2019)2+(2019−2021)2+(2019−2020)2+(2019−52018)2]=2，故答案为2．14.答案：57解析：【分析】本题考查古典概型，注意等可能事件概率计算公式、对立事件概率计算公式的合理运用，属基础题．【解答】解：从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛，则所有可能结果共有种，设事件A“所选2人都是男生”，则A事件“所选2人都是男生”包含的基本事件个数有种，，故至少选出1名女生的概率为．故答案为：．15.答案：13解析：【分析】本题考查概率求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．基本事件总数n=6，则出现向上的点数大于4包含的基本事件个数m=2，由此能求出出现向上的点数大于4的概率．答案：解：掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数n=6，则出现向上的点数大于4包含的基本事件个数m=2，∴出现向上的点数大于4的概率p=mn =26=13．故答案为：13．16.答案：④解析：【分析】本题考查命题的真假判断与应用，正弦、余弦函数的图象与性质，突出考查正弦函数与余弦的周期性，奇偶性与单调性，属于基础题.利用正弦、余弦函数的图象与性质分别判断各命题，即可得正确命题．【解答】解：对于①，α=30°，β=−300°均为第一象限角，且α>β，但sin 30°=12<sin(−300°)=√32，故①错误；对于②，若函数y=2cos(ax−π3)的最小正周期是4π，即T=2π|a|=4π，则a=±12，故②错误；对于③，因为函数f(−x)=sin(−2x)−sin(−x)sin(−x)−1=sin2x−sinxsinx+1≠−sin2x−sinxsinx−1=−f(x)，所以函数y=sin2x−sinxsinx−1不是奇函数，故③错误；对于④，因为y=cosx在[0,π]上是减函数，所以函数y=sin(x−π2)=−cosx在[0,π]上是增函数，故④正确；综上所述，正确命题的序号为④．故答案为④．17.答案：解：(1)语文成绩的众数为60+702=65；(2)依题意得，10(2a+0.02+0.03+0.04)=1，解得a=0.005.(3)这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05= 73(分)．设中位数为(70+x)分，则由0.005×10+0.04×10+0.03x=0.5解得x=53≈1.7，∴这100名学生语文成绩的中位数约为71.7分．解析：本题考查频率分布直方图，属于基础题． (1)利用众数的意义即可得出；(2)根据频率分布直方图中各小矩形面积之和等于1即可得出； (3)根据平均数和中位数的意义即可得出．18.答案：解：(1)由(0.005+0.010+0.025+a +0.020)×10=1，解得a =0.040．令中位数为x ，则(0.005+0.010+0.025)×10+0.040(x −80)=0.5，解得x =82.5， 所以综合评分的中位数为82.5．(2)由(1)与频率分布直方图可知，一等品的频率为 (0.040+0.020)×10=0.6， 即概率为0.6，所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个， 则一等品与非一等品的抽样比为3：2，所以现抽取5个产品，则有3个一等品，记为a ，b ，c ，2个非一等品，记为d ，e ，则从5个产品中抽取2个产品的所有情况为：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共10种，而这2个产品中恰有一个一等品的情况为：(a,d)，(a,e)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，共6种． 记事件A 为“从5个产品中抽取2个产品，这2个产品中恰有一个一等品”． 则P(A)=610=35．解析：本题考查频率分布直方图，众数、中位数、平均数，分层抽样，古典概型的计算与应用，考查计算能力，属于中档题．(1)由样本的频率和等于1，可得a 的值，再由频率直方图估计中位数的方法可得中位数为82.5； (2)由分层抽样可得现抽取5个产品，则有3个一等品，2个非一等品，列出所有基本事件，利用古典概型的计算公式可得这2个产品中恰有一个一等品的概率．19.答案：(Ⅰ)由所给数据求得t =3,y =8，5t ·y =120，∑t i 5i=1y i =1×5+2×7+3×8+4×9+5×11=134，∑t i 25i=1−nt 2=10，∑y i 25i=1−ny 2=20，所以r =20×10≈0.99， 因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系；(Ⅱ)由数据，求得b̂=1.4，a ̂=8−1.4×3=3.8.所以y 关于t 的线性回归方程为y ̂=1.4t +3.8； (Ⅲ)2017年，2018年所对年份代号为8，9，当t =8时，y ̂=1.4×8+3.8=15，|15−15|=0<1， 当t =9时，y ̂=1.4×9+3.8=16.4，|17−16.4|=0.6<1， 所以，所得到的线性回归方程是可靠的．解析：本题考查了线性规划以及回归分析，属于中档题．(Ⅰ)由所给数据求得t =3,y =8，5t ·y =120，∑t i 5i=1y i =1×5+2×7+3×8+4×9+5×11=134，∑t i 25i=1−nt 2=10，∑y i 25i=1−ny 2=20，带入公式可求相关系数， (Ⅱ)由数据，求得b̂=1.4，a ̂=8−1.4×3=3.8，可得y 关于t 的线性回归方程； (Ⅲ)2017年，2018年所对年份代号为8，9，带入回归方程可得预测值，作差检验即可．20.答案：解：(1)当y =2时，满足f (x )≥|g (y )+1，即为|x |⩾1+1，解得x ≥2或x ≤−2，若x 是从区间[−3,4]上任取的一个实数满足f (x )≥|g (y )+1的概率P =2+17=37．(2)若x 、y 都是从区间[0,4]上任取的一个实数，其表示的平面区域为，满足f 2(x)+g 2(y)⩽1，即x 2+(y −1)1≤1表示以(0,1)为圆心，半径为1的圆在正方形内的部分， 所以满足f 2(x )+g 2(y )≤1的概率．解析：本题考查集合概型与长度面积有关的问题，属于中档题．(1)根据不等式的解在区间[−3,4]内的长度即可求满足f (x )≥|g (y )+1的概率． (2)根据面积比求满足f 2(x )+g 2(y )≤1的概率．21.答案：f (x )=sin (2x +π6)解析：由图象知A =1，f (x )的最小正周期T =4×(5π12−π6)=π，故ω=2πT=2.将点(π6,1)代入f (x )的解析式得sin (π3+ϕ)=1， ∴π3+ϕ=2kπ+π2,k ∈Z ，即ϕ=2kπ+π6,k ∈Z ，又|ϕ|<π2，∴ϕ=π6.故函数f (x )的解析式为f (x )=sin (2x +π6)．22.答案：解：(1)∵sinα=45，且，α是第二象限角，∴cosα=−√1−sin 2α=−35，∴tanα=sinαcosα=−43．(2)cos(2π−α)+sin(π+α)sin(π2+α)+cos(π2−α)=cosα−sinαcosα+sinα=1−tanα1+tanα=1+431−43=−7．解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．(1)由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，可得tanα的值． (2)利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得所给式子的值．。