重庆市渝东八校2019-2020学年高二下期中考试数学试题

重庆八中2019-2020学年度度（下学期考试高二年级数学试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.若复数1iz i-=（i 为虚数单位),则z 的模为( ) A.12 C.2D.2【参考答案】C【试题分析】由复数除法运算可得1i z =--,从而可求出其模. 【试题解答】解:因为()2111i ii z i i i--===--,所以2z =故选:C.本题考查了复数的除法运算,考查了复数模的求解.本题的易错点是化简时,误将2i 当作1进行计算.2.已知3()2sin f x x x =+,则(0)f '=（ )A.2-B.0C.1D.2【参考答案】D【试题分析】利用求导公式,求出2()2cos 3f x x x '=+,进而求出(0)f '.【试题解答】3()2sin f x x x =+,2()2cos 3f x x x '∴=+,则(0)=2f '.故选:D.本题考查了导数的求导公式,导数的运算法则,属于基础题.3.若,x y满足约束条件13020xx yx y≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩,则z x y=-+的最大值为（ )A.12- B.1-C.12D.1【参考答案】D【试题分析】画出约束条件所表示的平面区域,结合图形确定目标函数的最优解,联立方程组求得最优解对应的点的坐标,代入即可求解.【试题解答】画出约束条件13020xx yx y≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域,如图所示,目标函数z x y=-+,可化为直线y=x+z,当直线y=x+z过点A时,此时直线y=x+z在y轴上的截距最大, 此时目标函数z取得最大值,又由130xx y=⎧⎨+-=⎩,解得(1,2)A,所以目标函数的最大值为121z=-+=.故选:D.本题主要考查简单线性规划求解目标函数最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域,利用"一画、二移、三求",确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力.4.某工艺品厂要制作一批鼠年迎春微章,每一个经检验合格的徽章售出后能产生4元钱的纯利润.统计发现,每个工人每天制作的合格品个数平均值为300,方差为25,那么每个工人每天能为工厂贡献的纯利润的标准差为（ ) A.5 B.20 C.25 D.100【参考答案】B【试题分析】合格品个数为x ,利润为y ,从而可得4y x =,由225x s =可推出2y s 的值,进而可求出纯利润的标准差.【试题解答】合格品个数x ,利润为y ,由225x s = 得22516=400y s =⨯,20y s ∴=.故选:B本题考查了标准差的求解.本题的关键是由个数的方差,结合个数和利润的关系,求出利润的方差.5.已知m ,n 为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列说法正确的是( ) A.若m 与α所成的角等于n 与α所成的角,则//m n B.若m 与α所成的角等于m 与β所成的角,则//αβ C.若//m n ,//αβ,则m 与α所成的角等于n 与β所成的角 D.若m n ⊥,则m 与α所成的角不可能等于n 与α所成的角 【参考答案】C【试题分析】在正方体中,举出反例,可判断四个选项的正确性.【试题解答】解:A:如图,在正方体中,设下底面为α,点C 为边上中点,此时m 与α所成的角等于n 与α所成的角,其正切值均为2,但m 与n 相交,不平行,则A 错误；B:如图,在正方体中,设其下底面为α,左侧面为β,此时m 与α所成的角等于m 与β所成的角均为45︒,但此时αβ⊥,则B 错误；D:如图,在正方体中,设下底面为α,此时m n ⊥,但m 与α所成的角与n 与α所成的角相等,为45︒,则D 错误.故选:C.本题考查了直线与平面所成角,考查了直线与平面的位置关系.对于此类问题,常结合具体的几何体举出反例说明选项错误,利用排除法选出正确答案.6.2()ln f x ax bx x =++在点(1,(1))f 处的切线方程为22y x =-,则b a -=（ )A.1-B.0C.1D.2-【参考答案】D【试题分析】求()f x ',根据导数的几何意义求出切线的斜率,再求出切点,解方程组即可求出,a b . 【试题解答】1()2f x ax b x'=++,在点(1,(1))f 处的切线斜率(1)21k f a b '==++, 由点(1,(1))f 处的切线方程为22y x =-,可得212a b ++=,① 又(1)2120f =⨯-=,所以0a b +=,② 由①②解得1a =,1b =-,所以2b a -=-. 故选:D本题主要考查求切线的斜率,导数的几何意义,属于基础题.7.某校为了了解全校高中学生十一小长假参加实践活动的情况,抽查了100名学生,统计他们假期参加实践活动的时间,绘成的频率分布直方图如图所示,估计这100名学生参加实践活动时间的中位数是（ )A.7.2B.7.16C.8.2D.7【参考答案】A【试题分析】由中位数两侧的面积相等,可解出中位数.【试题解答】因为在频率分布直方图中,中位数两侧的面积相等,所以0.04×2+0.12×2+（x ﹣6)×0.15＝0.5, 可解出x ＝7.2, 故选A .本题主要考查频率分布直方图,中位数,熟记中位数的计算方法是关键,属于基础题. 8.某平台为一次活动设计了"a "、"b "、"c "三种红包,活动规定:每人可以获得4个红包,若集齐至少三个相同的红包（如:"aaab "),或者集齐两组两个相同的红包（如:"aabb "),即可获奖.已知小赵收集了4个红包,则他能够获奖的不同情形数为( ) A.9B.10C.12D.16【参考答案】C【试题分析】由题意将中奖情况列举出为aabb 型、aaab 型、4个一样,每种情况结合组合的思想即可求出每种情况的数量,将最后结果相加即可.【试题解答】解:由题意知,aabb 型有233C =种；aaab 型有11326C C =种；4个一样有133C =种,则36312++=种, 故选:C.本题考查了计数原理中分类的思想,考查了组合数的计算,考查了排列组合的思想. 9.()()nmx x n N +∈的展开式中,各二项式系数和为32,各项系数和为243,则展开式中x3的系数为（ ) A.40B.30C.20D.10【参考答案】D【试题分析】根据二项式系数和求得n ,令1x =,以各项系数和列方程,解方程求得m 的值,再结合二项式展开式的通项公式,求得3x 的系数.【试题解答】∵(nmx +的展开式中,各二项式系数和为2n＝32,∴n ＝5.再令x ＝1,可得各项系数和为（m +1)5＝243＝35,∴m ＝2, 则展开式中的通项公式为T r +15rC =•m 5﹣r •52rx -,令52r-=3,可得r ＝4, 故展开式中x 3的系数为45C •2＝10, 故选:D .本小题主要考查二项式系数和、各项系数之和,考查二项式展开式中指定项的系数,属于基础题.10.重庆已经成为中外游客旅游的热门目的地之一,比如洪崖洞,长江索道,李子坝穿楼轻轨已经成为网红景点,旅游的必到打卡地.现有4名外地游客来重庆旅游,若每个人只能从上述三个网红景点中选择一处进行游览,则每个景点都有人去游玩的概率为（ ) A.89B.49C.619D.34【参考答案】B【试题分析】基本事件总数4381n ==,每个景点都有人去游玩包含的基本事件个数234336m C A ==,由此能求出每个景点都有人去游玩的概率.【试题解答】解:洪崖洞,长江索道,李子坝穿楼轻轨已经成为网红景点,旅游的必到打卡地. 现有4名外地游客来重庆旅游,若每个人只能从上述三个网红景点中选择一处进行游览, 则基本事件总数4381n ==,每个景点都有人去游玩包含的基本事件个数234336m C A ==,则每个景点都有人去游玩的概率为364819m p n ===. 故选:B .本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 11.用一根长为18cm 的铁丝围成正三角形框架,其顶点为,,A B C ,将半径为2cm 的球放置在这个框架上（如图).若M 是球上任意一点,则四面体MABC 体积的最大值为( )A.3334cm B.33cm C.333cm D.393cm【参考答案】D【试题分析】由等边三角形的性质,求出ABC 内切圆半径3r cm =,其面积293ABCScm =,从而可求四面体MABC 的高max 3h =,进而可求出体积的最大值.【试题解答】解:设球的圆心为O ,半径为R ,ABC 内切圆圆心为1O ,由题意知ABC 三边长为6cm ,则ABC 内切圆半径1cos3033r AB cm =⋅⋅︒=,则2211OO R r =-=, 所以四面体MABC 的高max 13h OO R =+=.因为223934ABCSAB cm =⋅=, 所以四面体MABC 体积的最大值3max max 1933ABCV S h cm =⋅=.本题考查了三棱锥体积的求解.本题的难点是求出球心到三角形所在平面的距离.12.已知双曲线 ()2222:10x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点,点P 在双曲线右支上,且()22·0PF OP OF +=,若直线1PF 的倾斜角为θ且5sin 29θ=,则双曲线E 的离心率为（ )A.32B.3【参考答案】A【试题分析】证明12PF PF ⊥,用θ和c 表示出P 到两焦点的距离,根据三角变换公式即可求出ca的值. 【试题解答】解:设2PF 的中点为M ,则22OP OF OM +=, 22()0PF OP OF +=, 2OM PF ∴⊥,又OM 是△12PF F 的中位线,1//OM PF ∴, 12PF PF ∴⊥.又122F F c =,12PF F θ∠=, 12cos PF c θ∴=,22sin PF c θ=,由双曲线的定义可知122PF PF a -=,即2(cos sin )2c a θθ-=,1cos sin c e a θθ∴==-, 24(cos sin )12sin cos 1sin 29θθθθθ-=-=-=, 2cos sin 3θθ∴-=, 故32e =.本题考查了双曲线的定义与性质,向量数量积与向量垂直的关系,考查三角恒等变换,属于中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数,其中m 是实数,则z =_____________.【参考答案】i -【试题分析】根据纯虚数的定义,列出方程组可求出m ,再根据共轭复数的定义,即可求出z .【试题解答】因为复数z 是纯虚数,所以2010m m m ⎧+=⎨+≠⎩,解得0m =,所以zi ,所以z i =-.故答案为:i -本题主要考查了纯虚数的定义及共轭复数的定义,属于基础题.14.在()41x +的二项展开式中,二项式系数最大的项为______. 【参考答案】26x【试题分析】由二项式系数的性质可得,展开式中中间项的系数最大,即最大项为:22246C x x =【试题解答】根据二项式展开式的二项式系数的性质得:二项式系数最大的项为展开式的中间项,即二项式系数最大的项为:22246C x x =.故答案为:26x .主要考查二项式展开式中知识,属于基础题目.15.A ,B ,C ,D ,E ,F 六名同学参加一项比赛,决出第一到第六的名次.A ,B ,C 三人去询问比赛结果,裁判对A 说:"你和B 都不是第一名"；对B 说:"你不是最差的"；对C 说:"你比A ,B 的成绩都好",据此回答分析:六人的名次有_____________种不同情况.【参考答案】180【试题分析】根据裁判所说,对A 的名次分两类:第一类是A 获最后一名,再考虑B ,C 且C 在B 前面,最后排剩下3人；第二类是A 没有获得最后一名,此时可同时考虑A ,B ,C 获得前5名,根据加法原理即可得到答案.【试题解答】根据裁判所说,对A 的名次分两类:第一类是A 获最后一名,再考虑B ,C ,从前5名中选2两个名次给B ,C 且C 在B 前面有25C 种,最后排D ,E ,F 有33A 种,根据分步计数原理,共有235360C A =种；第二类是A 没有获得最后一名,此时可同时考虑A ,B ,C 获得前5名中的3个名次 且C 名次在A ,B 之前有3252C A 种,最后排D ,E ,F 有33A 种,根据分步计数原理,共有323523120C A A =种；根据分类计数原理,六人的名次共有60120180+=种不同情况. 故答案为:180本题主要考查分类计数原理和分步计数原理,注意对同学A 进行分类讨论,属于中档题. 16.设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ,准线为l ,弦AB 过点F 且中点为M ,过点F ,M 分别作AB 的垂线交l 于点P ,Q ,若|AF |＝3|BF |,则|FP |•|MQ |＝_____. 【参考答案】169【试题分析】利用抛物线的定义以及3AF BF =结合平面几何知识,求得FP 和MQ 的长,由此求得FP MQ ⋅.【试题解答】如图,作BF ⊥l 于F ,作AE ⊥l 于E ,令准线与x 轴交点为S ,AB 交准线于K . 设BH ＝m ,则AF ＝3m ,∵13HB KB AE AK ==,∴BK ＝2m 则sin ∠HKB 122m m ==,∴∠HKB ＝30°. ∵23HB m SF m =,∴213m =,∴23m =, ∴|FK |＝2.∴303PF FK tan =⋅=. |QM |＝|MK |•tan 30°＝4m ×tan 30°.83333=⨯= 则|FP |•|MQ |169333=⋅=. 故答案为:169.本小题主要考查抛物线的定义,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知函数32()(2)1().f x x a x a R =--+∈ (1)当1a =时,求()f x 的单调区间；(2)若0x =是()f x 的极大值点,求a 的取值范围.【参考答案】(1) 单调增区间为2(,)3-∞-和(0,)+∞,单调减区间为2(,0)3-；(2) (2,)+∞.【试题分析】(1)将1a =代入,求出函数()f x 的解析式,再确定函数()f x 的定义域,利用导数法,即可求出函数()f x 的单调区间；(2)求()f x ',求出()0f x '=的根,然后对a 分类讨论,结合0x =是()f x 的极大值点,即可求出a 的取值范围.【试题解答】(1)当1a =时,32()1f x x x +=+,函数()f x 的定义域为R ,2()32f x x x '=+,令()0f x '>,解得23x <-或0x >；令()0f x '<,解得203x -<<,所以函数()f x 的单调增区间为2(,)3-∞-和(0,)+∞,单调减区间为2(,0)3-.(2)由已知得2()32(2)f x x a x '=--,令()0f x '=得0x =或243a x -=, 当2a >时,2403a x -=>,此时0x =是()f x 的极大值点,故当2a >,符合题意.当2a =时,2()30f x x '=≥,此时()f x 在R 上单调递增,函数()f x 无极值点,故2a =不符合题意； 当2a <时,2403a x -=<,x24(,)3a --∞ 243a - 24(0)3a -， 0 (0,)+∞()f x '＋ 0─ 0＋ ()f x↗极大值 ↘极小值↗此时,0x =是()f x 的极小值点,不符合题意. 综上,a 的取值范围为(2,)+∞本题主要考查利用导数求函数的单调区间,已知极值点求参数范围,属于中档题.需要注意的是:()0f x '=的解要是极大值点,导函数在该点处值需由正变负.18.如图1,在六边形ABCDEF 中,45//3AB AF DC DE BC EF BC EF ＝＝，＝＝，，＝＝.如图2,将ABF DCE ，分别沿着BF CE ，折起,使点A ,点D 恰好重合于点M .（1)求证:平面MBF ⊥平面BCEF ；（2)若2BF ＝,求直线BM 与平面CEM 所成角的正弦值. 【参考答案】(1)证明见解析 (2) 31016【试题分析】（1)推导出BM BC ⊥,FM FE ⊥,由//BC FE ,得BC MF ⊥,从而BC ⊥平面BMF ,由此能证明平面MBF ⊥平面BCEF .（2)取BF 中点O ,连结MO ,则MO BF ⊥,从而MO ⊥平面BCEF ,且15MO =取CE中点N ,连结MN ,由5MC ME ==,则MN CE ⊥,且26MN =,设B 到平面MCE 的距离为h ,由M BCE B MCE V V --=,得310h =,由此能求出直线BM 与平面CEM 所成角的正弦值. 【试题解答】解:（1)证明:由已知45AB AF DC DE ＝＝，＝＝,得453BM CM BC ＝，＝，＝, BM BC ∴⊥,同理,FM FE ⊥,又//BC FE BC MF ∴⊥，，BMMF M =,BM ⊂平面BMF ,MF ⊂平面BMF ,BC ∴⊥平面BMF ,BC ⊂平面BCEF ∴，平面MBF ⊥平面BCEF ；（2)解:取BF 中点O ,连结MO , MB MF =,则MO BF ⊥，又平面BMF ⊥平面BCEF 于BF ,则MO ⊥平面BCEF ,且15MO =, 又取CE 中点N ,连结MN ,由5MC ME ==, 则MN CE ⊥,且26MN ＝, 设B 到平面MCE 的距离为h ,由M BCE B MCE V V --＝,得1111153********h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯, 解得3104h =, 设直线BM 与平面CEM 所成角为θ,则直线BM 与平面CEM 所成角的正弦值310sin h BM θ==.本题考查面面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.19.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品,为了检测两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在[100,120)内,则为合格品,否则为不合格品.图1是甲套设备的样本的频率分布直方图,表1是乙套设备的样本的频数分布表.图1:甲套设备的样本的频率分布直方图表1:乙套设备的样本的频数分布表质量指标数[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]频数16191851（1)根据上述所得统计数据,计算产品合格率,并对两套设备的优劣进行比较；（2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.甲套设备乙套设备合计合格不合格附:22(), ()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++【参考答案】(1)见解析；(2)没有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.【试题分析】(1)根据图1和表1中的数据,分别求出甲、乙的合格率,再比较合格率的大小及各区间产品的分布情况即可；(2)根据图1和表1中的数据,可求得甲、乙的合格和不合格的产品数量,即可完成列联表,将表中的数据代入2K 的公式,求出2K ,查对临界值作出判断,即可得到结论. 【试题解答】(1)根据图1和表1可知:甲套设备生产的合格品概率约为4350, 乙套设备生产的合格品的概率约为4850； 乙设备生产的产品的质量指标主要集中在[105,115)之间, 甲套设备生产的产品的质量指标与乙设备相比较为分散；因此,可以认为乙套设备生产的合格品的概率更高,且质量指标更稳定,从而乙套设备优于甲套设备.(2)根据表1和图1可得列联表:提出假设0H :该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择无关. 根据联表中的数据可以求得22100(432487) 3.053 3.8419195050K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,当0H 成立时,2 3.053K ≥的概率大于5%,故没有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关. 本题主要考查了统计和独立性检验的相关知识,考查数据处理能力,属于中档题.20.已知函数()()2203xxf x f e e x '+=﹣. （1)求()f x 的解析式；（2)设()22g x x axa +＝﹣,若对任意()()2x f x g x ≥≥，,求a 的取值范围. 【参考答案】(1) ()23xf x e x += (2) 33a e ≤【试题分析】（1)求导,求出(0)f ',代入即可；（2)2x =,显然成立,2x >,分离参数,构造()h x ,求出()h x 的最小值,即可求出a 的范围. 【试题解答】解:（1)2()2(0)3x x f x f e e x ='-+.()2(0)32x f x f e x ''∴=-+,由(0)2(0)30f f ''=-+,得(0)3f '=, 所以2()3x f x e x =+,（2)若对任意2x ,()()f x g x ,即32x e ax a >-,当2x =时,a R ∈；当2x >时,参变分离,32xe a x -恒成立,令3()(2)2xe h x x x =>-,23(3)()(2)x e x h x x -'=-,当(2,3)x ∈时,()0h x '<,()h x 单调递减； 当(3,)x ∈+∞时,()0h x '>,()h x 单调递增； 所以3()(3)3min h x h e ==, 故33a e . 综上,33a e .考查求导法求解析式,和分离参数求函数的最值,属于中档题.21.2019年4月,河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案,决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施"312++"高考模式.所谓"312++",即"3"是指考生必选语文、数学、外语这三科；"1"是指考生在物理、历史两科中任选一科；"2"是指考生在生物、化学、思想政治、地理四科中任选两科.（1)若某考生按照"312++"模式随机选科,求选出的六科中含有"语文,数学,外语,物理,化学"的概率.（2)新冠疫情期间,为积极应对"312++"新高考改革,某地高一年级积极开展线上教学活动.教育部门为了解线上教学效果,从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试,并给前400名颁发荣誉证书,假设该次网络测试成绩服从正态分布,且满分为450分.①考生甲得知他的成绩为270分,考试后不久了解到如下情况:"此次测试平均成绩为171分,351分以上共有57人",请用你所学的统计知识估计甲能否获得荣誉证书,并说明理由； ②考生丙得知他的实际成绩为430分,而考生乙告诉考生丙:"这次测试平均成绩为201分,351分以上共有57人",请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪,并说明理由. 附:()0.6828P X μσμσ-≤≤+=；()220.9544P X μσμσ-≤≤+=； ()330.9974P X μσμσ-≤≤+=.【参考答案】（1)14；（2)①能,理由见解析；②无法辨别乙同学信息真假,理由见解析【试题分析】（1)已经选出五科,再从剩余三个科目中选1个科目的方法为13C ,计算出从物理、历史里选一门,生物、化学、思想政治、地理4门中选2门的总方案数,即可得其概率. （2)①由题意可知,171μ= ,而570.02282500= ,结合3σ原则可求得σ的值,结合获奖概率,并求得()P X μσ≥+,比较后可求得获奖的最低成绩,即可由甲的成绩得知甲能否获得荣誉证书.②假设乙所说为真,求得()2P X μσ≥+,进而求得σ的值,从而确定3μσ+的值,即可确定3X μσ≥+的概率.比较后即可知该事件为小概率事件,而丙已经有这个成绩,因而可判断乙所说为假.【试题解答】解:（1)设事件A :选出的六科中含有"语文,数学,外语,物理,化学",则()13122414C P A C C ==⋅（2)设此次网络测试的成绩记为X ,则()2,X N μσ①由题知171μ=,因为570.02282500=,且()12210.95440.022822P X μσμσ--≤≤+-==所以351171902σ-==,而4000.162500=, 且()()110.68280.15870.1622P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+===<所以前400名的成绩的最低分高于261μσ+=分 而270261>,所以甲同学能获得荣誉证书 ②假设乙所说的为真,则201μ=()()12210.954420.022822P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+===,而570.2282500=,所以351201752σ-==,从而3201375426430μσ+=+⨯=<,而()()13310.997430.00130.00522P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+===<答案示例1:可以认为乙同学信息为假,理由如下:事件"3X μσ≥+"为小概率事件,即"丙同学的成绩为430分"是小概率事件,可认为其不可能发生,但却又发生了,所以可认为乙同学信息为假； 答案示例2:无法辨别乙同学信息真假,理由如下:事件"3X μσ≥+"即"丙同学的成绩为430分"发生的概率虽然很小,一般不容易发生,但是还是有可能发生的,所以无法辨别乙同学信息真假.本题考查了古典概型概率求法,由组合数求法求概率,结合3σ原则求概率值, 并由3σ原则判断事件真伪,综合性强,属于难题.22.已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 1的直线与C 交于A ,B两点.△ABF 2的周长为. （1)求椭圆C 的标准方程:（2)设点P 为椭圆C 下顶点,直线PA ,PB 与y ＝2分别交于点M ,N ,当|MN |最小时,求直线AB 的方程.【参考答案】（1)2212x y +=（2)x ﹣y +1＝0【试题分析】（1)根据三角形2ABF 的周长求得a ,结合椭圆离心率和222b a c =-求得,b c 的值,由此求得椭圆C 的标准方程.（2)设出直线AB 的方程,联立直线AB 的方程和椭圆的方程,写出韦达定理.通过直线PA 的方程求得M x ,通过直线PB 的方程求得N x ,由此求得MN 的表达式并进行化简,对m 进行分类讨论,由此求得MN 的最小值以及此时直线AB 的方程.【试题解答】（1)由题意可得:4a＝2c a =, ∴a =c ＝1,∴b 2＝a 2﹣c 2＝1, ∴椭圆C 的方程为:2212x y +=； （2)点P （0,﹣1),F 1（﹣1,0),设A （x 1,y 1),B （x 2,y 2),显然直线AB 与x 轴不重合,设直线AB 的方程为:x ＝my ﹣1,则可知m ≠﹣1,联立方程22122x my x y =-⎧⎨+=⎩,消去y 得:（m 2+2)y 2﹣2my ﹣1＝0, ∴12222m y y m +=+,12212y y m =-+, 直线PA 的方程为:（y 1+1)x ﹣x 1y ﹣x 1＝0,可得1131M x x y =+, 同理2231N x x y =+, |MN |＝|12123311x x y y -++|＝3|()()()()()()122112111111my y my y y y -+--+++|＝312121211m y y y y y y +-⨯=+++221312122m m m m +⨯=-++++,当m ＝0时,|MN |＝,当m ≠0时,|MN |＝=由于m 1m +∈（﹣∞,﹣2)∪[2,+∞),则()11112211m m ∞⎡⎫∈⋃+⎪⎢⎣⎭++，，,此时|MN |的最小值为6＜在m＝1处取得,综上所述,当|MN|最小时,直线AB的方程为:x＝y﹣1,即x﹣y+1＝0.本小题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆中线段长度的最值的求法,考查运算求解能力,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.。

2019-2020学年重庆市第八中学高二下学期阶段性测试数学试题一、单选题 1．设212iz i+=-，则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】B【解析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，即可得出复数z 的虚部. 【详解】()()()()212251212125i i i iz i i i i +++====--+Q ，因此，复数z 的虚部为1. 故选：B. 【点睛】本题考查复数虚部的求解，一般利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.2．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（ ）A ．25B ．23C ．12D ．07【答案】C【解析】根据随机数表依次进行选取即可． 【详解】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字， 大于30的数字舍去，重复的舍去，取到数字依次为07，04，08，23，12， 则抽取的第5个零件编号为12. 故选：C ．【点睛】本题考查简单随机抽样的应用，同时考查对随机数表法的理解和辨析．3．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)-，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D ．2【答案】C【解析】由(1,2)-在直线b y x a =-上，可得b a，由e =【详解】解：Q 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)-，∴点(1,2)-在直线by x a=-上， ∴2ba=．则该双曲线的离心率为e ==故选：C ． 【点睛】本题考查了双曲线的性质、离心率以及渐近线方程，属于基础题．4．函数()y f x =是R 上的可导函数，命题():p f x 既有极大值又有极小值，命题:q 方程()0f x '=至少有两个解，则下列说法正确的是（ ） A ．p 是q 的充分不必要条件 B ．p 是q 的必要不充分条件 C ．p 是q 的充要条件 D ．p 是q 的既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用极值点的定义和充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若函数()y f x =既有极大值又有极小值，则方程()0f x '=至少有两个解，p q ⇒； 取()431143f x x x =-，则()()3221f x x x x x '=-=-，则方程()0f x '=的解为0x =和1x =.当0x <或01x <<，则()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.此时，函数()y f x =只有一个极值点，所以q p ⇒/. 因此，p 是q 的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及可导函数极值点必要条件的应用，考查推理能力，属于中等题.5．中共一大会址、江西井冈山、贵州遵义、陕西延安是中学生的几个重要的研学旅行地.某中学在校学生3000人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地硏学旅行的情况，随机调查了500名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有40人，到过井冈山研学旅行的20人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有10人，根据这项调查，估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有（ ）人 A ．240 B ．180C ．120D ．60【答案】B【解析】作出韦恩图，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为x ，根据题意求出x 的值，由此可得出该学校到过中共一大会址研学旅行的学生人数. 【详解】如下图所示，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为x ，由题意可得()102040x -+=，解的30x =，因此，该学校到过中共一大会址研学旅行的学生的人数为303000180500⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查韦恩图的应用，同时也考查了利用分层抽样求样本容量，考查计算能力，属于基础题.6．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（ ） A ．p ＜1B ．p ＞1C ．p ＜2D ．p ＞2【答案】D【解析】根据抛物线的几何性质当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值2p，列不等式求解. 【详解】∵设P 为抛物线的任意一点， 则P 到焦点的距离等于到准线：x 2p=-的距离， 显然当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值2p ． ∴12p＞，即p ＞2． 故选：D ． 【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题.7．已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．,1a e b ==- B ．,1a e b == C ．1,1a e b -== D ．1,1a e b -==-【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ． 【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 8．某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（ ） A ．474种 B ．77种C ．462种D ．79种【答案】A【解析】【详解】试题分析：根据题意，由于某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），所有的上课方法有39A ，那么连着上3节课的情况有533A 种，则利用间接法可知所求的方法有39A -533A =474，故答案为A.【考点】排列组合点评：主要是考查了排列组合的运用，属于基础题．9．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++L ，则9a =（ ）A ．9B ．10C ．-9D ．-10【答案】D【解析】()()9011010019910999991...1[...]n n n x C C x C x a x a C C x C x +=++⇒+=++，()10101a x +=019910101010101010(...)a C C x C x C x ++++，根据已知条件得9x 的系数为0，10x 的系数为19999910101010101010011a a C a C a a C =-⎧⋅+⋅=⎧⇒⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩ 故选D. 10．已知点E 是抛物线()2:20C y px p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C的焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP △中，若PF PE μ=⋅，则μ的最小值为（ ）A．B．2CD【答案】A【解析】过点P 作PM 垂直于抛物线的准线，垂足为点M ，由抛物线的定义得出PF PM =，进而可得出cos PEF μ=∠，进而可知当直线PE 与抛物线C 相切时，μ取最小值，并设直线PE 的方程为2px my =-，与抛物线方程联立，由0∆=求出m 的值，进一步可得出μ的最小值. 【详解】如下图所示，过点P 作PM 垂直于抛物线的准线，垂足为点M ，由抛物线的定义可知PF PM =，则cos cos PF PMEPM PEF PE PEμ===∠=∠， 所以，当PEF ∠最大时，μ取最小值，此时，直线PE 与抛物线C 相切， 易知点,02p E ⎛⎫-⎪⎝⎭，设直线EP 的方程为2p x my =-，联立222p x my y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得2220y mpx p -+=，则222440m p p ∆=-=，解得1m =±， 4PEF π∴∠=，所以，μ的最小值为2cos4π=. 故选：A. 【点睛】本题考查抛物线中线段长的比值问题的计算，考查了抛物线定义的应用，解题时要抓住直线与抛物线相切这一位置的分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.11．现安排5名同学A 、B 、C 、D 、E 参加志愿者服务活动，每人从事接待、后勤保障、服务、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.A 、B 不会开车但能从事其他三项工作，C 、D 、E 都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ） A ．54 B ．90C ．126D ．152【答案】C【解析】分两种情况讨论，一是只有一人从事开车工作、二是有两人从事开车工作，将其他人分配另外三项工作，利用分类计数原理可求得结果. 【详解】分以下两种情况讨论：（1）只有一人从事开车工作，有3种选择，然后将其余4人分为3组，分配给其他三种工作，此时，安排方案数为23433108C A ⨯=种；（2）有两人从事开车工作，有23C 种选择，然后将其余3人分配给其他三种工作，此时，安排方案数为233318C A =种.综上所述，不同安排方案的种数10818126+=种. 故选：C. 【点睛】本题考查分组分配问题，涉及分类计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.12．已知1F 、2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点P 满足224OPF POF ∠=∠（O 为坐标原点），则E 的离心率为（ ）A ．B ．CD 【答案】D【解析】作出图形，分析出12F PF ∠为直角，利用已知条件求出1OF P ∠，进而可求得双曲线一条渐近线的倾斜角，由此可求得b a ，再由公式e =可求得双曲线的离心率. 【详解】如下图所示，由于点P 是点1F 关于双曲线某条渐近线的对称点，则12OP OF OF ==， 所以，12F PF △为直角三角形，且12F PF ∠为直角，且22OPF OF P ∠=∠，224OPF POF ∠=∠Q ，则22226OPF OF P POF OPF π∠+∠+∠=∠=，26OPF π∴∠=，123OF P OPF π∴∠=∠=，所以，双曲线的渐近线b y x a=的倾斜角为6π，3tan 6b a π∴==因此，双曲线E 的离心率为22222313c a b b e a a a +⎛⎫===+= ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，在涉及双曲线的渐近线时，利用公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭计算较为简洁，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．将一枚质地均匀且各面分别标有数字1、2、3、4的正四面体连续抛掷两次，记面朝下的数字依次为a 和b ，则点(),a b 在直线12y x =上的概率为__________. 【答案】18【解析】计算出所有的基本事件数，并列举出事件“点(),a b 在直线12y x =上”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率. 【详解】所有的基本事件数为2416=，事件“点(),a b 在直线12y x =上”所包含的基本事件有：()2,1、()4,2，共2种，因此，所求事件的概率为21168=. 故答案为：18. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于基础题.14．若,x y 满足约束条件220101x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为 ___________．【答案】3-.【解析】画出约束条件表示的平面区域，结合图象求出最优解，再计算目标函数的最小值． 【详解】解：画出x ，y 满足约束条件220101x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩……„，表示的平面区域，如图所示； 结合图象知目标函数2z x y =-过A 时，z 取得最小值，由110x x y =⎧⎨-+=⎩，解得(1,2)A ，所以z 的最小值为1223z =-⨯=-． 故答案为：3-．【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合解题方法，是基础题．15．已知2nx x ⎛ ⎝的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为__________.【答案】1-【解析】写出二项展开式的第5项，根据题意求出n 的值，然后令1x =可求得该式中所有项系数的和. 【详解】2nx⎛ ⎝的展开式中第5项为()()4444242102n n n n C xC x --⎛⋅⋅=⋅-⋅ ⎝， 由题意可得2100n -=，得5n =.因此，该式中所有项系数的和为()5121-=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查利用展开式中的常数项求参数，同时也考查了二项式各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.16．若2x =-是函数()()211x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极大值为__________. 【答案】35e【解析】根据题意得出()20f '-=，可求得实数a 的值，然后利用导数可求得函数()y f x =的极大值.【详解】()()211e x f x x ax -=+-Q ，()()2121x f x x a x a e -'⎡⎤∴=+++-⎣⎦， 由题意可得()()3210f a e -'-=-+=，解得1a =-.()()211e x f x x x -∴=--，()()212x f x x x e -'=+-，令()0f x '=，得2x =-或1x =.列表如下：所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),2-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()2,1-，所以，函数()y f x =的极大值为()352f e -=. 故答案为：35e. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，同时也考查了利用极值点求参数，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．函数()323612f x x x x =+-+. （1）求曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程； （2）函数()()()212g x f x ax ax a R =+-∈在区间()1,1-上是单调递减函数，求a 的取值范围.【答案】（1）610x y +-=；（2）(]9,3--.【解析】（1）求出()0f '的值，利用点斜式可求得所求切线的方程；（2）求得()()323612a g x x x a x +=+-++，()()()361g x x a x '=++-，根据题意可得出关于a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）()323612f x x x x =+-+Q ，()2336f x x x '∴=+-，()06f '∴=-， 因此，曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程16y x -=-，即610x y +-=； （2）()()()322361212a x g x f x x a x x a a x =++-++-=+Q ， ()()()()()2336361g x x a x a x a x '=++-+=++-，令()0g x '=，得63a x +=-或1x =， 由于函数()y g x =在区间()1,1-上是单调递减函数，则6113a +-≤-<，解得93a -<≤-.因此，实数a 的取值范围是(]9,3--. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.18．为了了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如图所示的直方图：根据频率分布直方图估计，事件C：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”发生的概率()0.30P C=.（1）根据所给的频率分布直方图估计各段频数；（附：频数分布表）A组实验甲离子残留频数表[)0,1.5[)1.5,2.5[)2.5,3.5 [)3.5,4.5[)4.5,5.5[)5.5,6.5 [)6.5,7.5[)7.5,8.5[]8.5,100（2）请估计甲离子残留百分比的中位数，请估计乙离子残留百分比的平均值. 【答案】（1）见解析；（2）甲离子残留百分比的中位数为4，乙离子残留百分比的平均值为6.【解析】（1）根据()0.30P C =，求出a 、b 的值，利用频数、频率和总容量的关系求出每组的频数，填入表格即可；（2）由甲离子残留百分比直方图中位数左边矩形面积和为0.5可求出中位数，将每个矩形底边中点值与对应的矩形面积相乘，再将所得结果相加即可得出平均数.【详解】（1）事件C ：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”发生的概率()0.30P C =，0.050.150.30b ∴++=，0.10b ∴=，10.050.100.150.200.150.35a ∴=-----=，因此，频数分布表如下表所示：（2）设甲离子残留百分比的中位数为m ，0.150.20.50.150.20.3+<<++Q ，[]3.5,4.5m ∴∈，()0.150.2 3.50.30.5x ∴++-⨯=，解得4x =.由频率分布直方图可知，乙离子残留百分比的平均值为30.0540.150.1560.3570.280.156⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数、平均数，考查计算能力，属于中等题.19．已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中点，且OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r.（1）当3λ=时，求点M 的坐标； （2）当12OA OB ⋅=uu r uu u r时，求直线l 的方程. 【答案】（1）(2,2)M ；（2）6y x =-.【解析】（1）将P 代入抛物线方程，求得p 的值，根据向量的坐标运算，即可求得M 的值；（2）方法一：根据向量的坐标运算，求得M 的纵坐标，利用抛物线的“点差法”求得直线的斜率，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线l 的方程；方法二：设直线l 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，中点坐标公式，及向量的坐标运算，即可求得直线l 的方程． 【详解】解：（1）将(1,2)P -代入抛物线2:2C y px =方程，得2p =，所以C 的方程为24y x =，焦点(1,0)F ，设0(M x ，0)y ，当3λ=时，3OM OP OF +=uuu r uu u r uu u r，可得(2,2)M ． （2）方法一：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(M x ，0)y ，由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r．可得0(1x +，02)(y λ-=，0)，所以02y =， 所以直线l 的斜率存在且斜率1212120421y y k x x y y y -====-+， 设直线l 的方程为y x b =+，联立24y x by x=+⎧⎨=⎩，消去y ， 整理得22(24)0x b x b +-+=，△22(24)416160b b b =--=->，可得1b <，则1242x x b +=-，212x x b =，2121212()4y y x x b x x b b =+++=，所以21212412OA OB x x y y b b =+=+=u u u r u u u rg， 解得6b =-，2b =（舍)， 所以直线l 的方程为6y x =-． 方法二：设直线l 的方程为x my n =+， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(M x ，0)y ，联立方程组24x my ny x=+⎧⎨=⎩，消去x ， 整理得2440y my n --=，△216160m n =+>， 则124y y m +=，124y y n =-，则21212()242x x m y y n m n +=++=+，则2(2M m n +，2)m ，由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r． 得2(21m n ++，22)(m λ-=，0)，所以1m =， 所以直线l 的方程为x y n =+， 由△16160n =+>，可得1n >-，由124y y n =-，得221212()16y y x x n ==，所以21212412OA OB x x y y n n =+=-=u u u r u u u rg， 解得6n =或2n =-，（舍去） 所以直线l 的方程为6y x =-． 【点睛】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力，属于中档题． 20．在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为长方形，SB ⊥底面ABCD ，其中BS =2，BA =2，BC =λ，λ的可能取值为：①14λ=；②12λ=；③3λ=；④32λ=；⑤λ=3（1）求直线AS 与平面ABCD 所成角的正弦值；（2）若线段CD 上能找到点E ，满足AE ⊥SE ，则λ可能的取值有几种情况？请说明理由；（3）在（2）的条件下，当λ为所有可能情况的最大值时，线段CD 上满足AE ⊥SE 的点有两个，分别记为E 1，E 2，求二面角E 1－SB －E 2的大小. 【答案】（1）22（2）λ可以取①②③，见解析（3）30°【解析】（1）由SB ⊥底面ABCD ，得SAB ∠即为直线AS 与平面ABCD 所成的角，由此能求出直线AS 与平面ABCD 所成角的正弦值．（2）以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BS 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，根据SE EA ⊥u u r u u u r 得到2(2)x x λ=-，再根据x 的取值范围得到λ的取值；（3）利用向量法能求出12,BE BE u u u r u u u u r夹角的余弦值，进而求得二面角12E SB E --的大小．【详解】（1）因为SB ⊥底面ABCD ，所以∠SAB 即为直线AS 与平面ABCD 所成的角， 在Rt SBA V 中，2sin sin 452SAB ︒∠==（2）以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BS 的方向分别为x 轴、y 轴z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：B (0，0，0)，A (0，2，0)，D (λ，2，0)，S (0，0，2). 设(,,0)(02)E x x λ≤≤，所以，(,,2),(,2,0)SE x EA x λλ=-=--u u r u u u r22(2)0(2)SE EA x x x x λλ⊥⇒-+-=⇒=-u u r u u u r因为x ∈[0，2]， 2(2)[0,1]x x λ=-∈，所以在所给的数据中，λ可以取①②③（3）由（2）知3λ=12x =或32x =，即满足条件的点E 有两个，根据题意得，其坐标为131(,0)2E 和233,0)2E ， 因为SB ⊥平面ABCD ，所以SB ⊥BE 1， SB ⊥BE 2， 所以，∠E 1BE 2是二面角E 1−SB −E 2的平面角由12121233344cos ,213BE BE BE BE BE BE +⋅===⨯⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r 由题意得二面角E 1−SB −E 2为锐角，所以二面角E 1−SB −E 2的大小为30° 【点睛】本题考查线线面角的正弦值、二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21．已知函数()()()2115ln 2f x x a x a x a R =-+++∈. （1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）当[]1,x e ∈时，记()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的解析式. 【答案】（1）单调递增区间为()0,1和()2,+∞，单调递减区间为()1,2；（2）()()229,12ln 5,12115,2a a a g a a a a a e e a e e a e ⎧-≤⎪⎪⎪=--+<<⎨⎪⎪---+≥⎪⎩.【解析】（1）当2a =时，求出函数()y f x =的解析式、定义域和导数，分别解不等式()0f x '>和()0f x '<，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间； （2）求得()()()1x x a f x x--'=，然后分1a ≤、1a e <<和a e ≥三种情况讨论，分析函数()y f x =在区间[]1,e 上的单调性，进而可得出函数()y f x =在区间[]1,e 上的最大值，由此可得出()g a 的解析式. 【详解】（1）当2a =时，()21352ln 2f x x x x =-++，定义域为()0,∞+， ()()()1223x x f x x x x--'=-+=. 令()0f x '>，得01x <<或2x >；令()0f x '<，得12x <<.所以，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1和()2,+∞，单调递减区间为()1,2； （2）()()2115ln 2f x x a x a x =-+++Q ，()()()()11x x a a f x x a x x--'∴=-++=，令()0f x '=，得1x =或x a =.①当1a ≤时，对任意的[]1,x e ∈，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间[]1,e 上单调递增，则()()912g a f a ==-； ②当1a e <<时，若1x a <≤，则()0f x '<；若a x e <≤，则()0f x '>. 所以，函数()y f x =在区间[)1,a 上单调递减，在区间(],2a 上单调递增.所以，()()2ln 52a g a f a a a a ==--+；③当a e ≥时，对任意的[]1,x e ∈，()0f x '≤. 此时，函数()y f x =在区间[]1,e 上单调递减，则()()()21152g a f e e a e e ==---+.综上所述，()()229,12ln 5,12115,2a a a g a a a a a e e a e e a e ⎧-≤⎪⎪⎪=--+<<⎨⎪⎪---+≥⎪⎩. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解含参函数在区间上的最值，对参数进行分类讨论是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）.已知12PF F △C 的离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与A 、B 重合）.设ABQ △的外心为G ，求证2AB GF 为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）由已知条件得出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 的值，进而可得出椭圆C 的方程；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，可设直线l的方程为x my =+l 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出AB ，利用线段AB 和AQ 的垂直平分线的交点得出点G 的坐标，进而得出2GF ，再对2AB GF 进行化简即可.【详解】（1）12PF F △的面积的最大值为122c b bc ⨯⨯==由已知条件得bc c e a a ⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由题意可知，直线AB的斜率存在，且不为零，易知点)2F ，设直线l的方程为x my =+()11,A x y 、()22,B x y ，可知点()11,Q x y -，联立2214x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22410m y ++-=，由韦达定理得1224y y m +=-+，12214y y m =-+，由弦长公式得12AB y y =-== ()22414m m +=+，122y y +=121222x x y y m ++=⋅=， 所以，线段AB的中点为22,44M m m ⎛⎫- ⎪⎪++⎝⎭， 则线段AB的垂直平分线的方程为y m x ⎛+=-- ⎝⎭，即第 21 页 共 21 页24y mx m =-++， 线段AQ 的垂直平分线为x轴，在直线方程y mx =-+中，令0y =，得x =则点2,04G m ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，)22214m GF m +∴==+， 因此，()22224143m AB GF m +==+（定值）. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系中的定值问题，解题的关键是由直线与椭圆的方程联立，充分利用弦长公式和两点间的距离公式，考查运算求解能力与分析问题的能力，属于中等题.。

2019-2020学年重庆市第八中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}23,A x x x Z =-<<∈，{}21B x x =≥，则集合A B =（ ）A ．{}2B ．{}1,2C ．{}1,1,2-D ．1,0,1,2【答案】C【解析】化简集合A ，B ，根据交集计算即可. 【详解】{}{}23,1,0,1,2A x x x Z =-<<∈=-,{}21(,1][1,)B x x =≥=-∞-⋃+∞,{1,1,2}A B ∴=-故选：C 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，考查了运算能力，属于容易题. 2．设命题:,1p x Q x Q ∀∉+∉，则p ⌝为（ ） A ．00,1x Q x Q ∃∉+∈ B ．,1x Q x Q ∀∈+∈ C ．,1x Q x Q ∀∉+∈ D ．00,1x Q x Q ∃∈+∈【答案】A【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可． 【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即:p ⌝00,1x Q x Q ∃∉+∈． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，属于基础题． 3．i 为虚数单位，复数112ii+-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】首先化简复数得到1355z i =-+，再判断其对应的象限即可.【详解】 设复数112iz i+=-， 则()()()()2112112213121212555i i i i i i z i i i i ++++++====-+--+， 所以z 在复平面内对应的点为13,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限.故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的几何意义，属于简单题.4．已知m 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若//,//m ααβ，则//m β B ．若,,m αβα⊥⊥则//m β C ．若,//,m ααβ⊥则m β⊥ D ．若//,,m ααβ⊥则m β⊥【答案】C【解析】利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行逐项判断即可. 【详解】对于选项A: 若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂,故选项A 错误; 对于选项B: 若,,m αβα⊥⊥则//m β或m β⊂，故选项B 错误;对于选项C: 若,//,m ααβ⊥由面面平行的性质和线面垂直的判定知m β⊥成立, 故选项C 正确;对于选项D: 若//,,m ααβ⊥则//m β或m β⊂或m 与β相交,故选项D 错误; 故选:C 【点睛】本题考查利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，判断空间中直线与平面的位置关系;考查学生的逻辑思维能力和空间想象能力;属于中档题、常考题型.5．如下表提供的x 和y 是两组具有线性相关关系的数据，已知其回归方程为0.650.6y x =+，m 等于（ ）x3 5 7 9y2.54m6.5A ．3.5B ．4C ．4.5D ．5【答案】D【解析】计算出样本中心点(),x y 的坐标，代入回归直线方程可求得m 的值. 【详解】由表格中的数据可得357964x +++==， 2.54 6.51344m m y ++++==， 由于回归直线过样本的中心点(),x y ，则130.6560.64m +⨯+=，解得5m =. 故选：D. 【点睛】本题考查利用回归直线过样本的中心点求参数，考查计算能力，属于基础题. 6．已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（ ）A ．()sin x x y e e -=+B ．()sin x xy e e -=- C ．()cos x x y e e-=-D ．()cos x xy e e -=+【答案】D【解析】根据0x =时的函数值，即可选择判断. 【详解】由图可知，当0x =时，0y <当0x =时，()sin x xy e e -=+20sin =>，故排除A ；当0x =时，()sin x xy e e-=-00sin ==，故排除B ；当0x =时，()cos x x y e e -=-010cos ==>，故排除C ；当0x =时，()cos x xy e e -=+20cos =<，满足题意.故选：D. 【点睛】本题考查函数图像的选择，涉及正余弦值的正负，属基础题. 7．已知3log 2a =，lg 4b =，9log 5c =，则有（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】B【解析】由同底对数的单调性可比较,a c 的大小，由换底公式可比较,a b 的大小. 【详解】9331log 5log 5log 2c ===3log 2a =,而3log y x =在(0,)+∞上单调递增，a c ∴<3333log 42log 2lg 4log 10log 10b ===，33log 10log 92>=，32log 22b a ∴<=， b a c ∴<<故选：B 【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，换底公式，属于中档题. 8．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()11f x f x +=，当()0,1x ∈时，有()2x f x =，则()2log 9f 等于（ ）A ．89B ．98C ．169D ．916【答案】A【解析】首先根据题意得到函数()f x 的周期2T =，利用函数的周期性得到()221log 99log 8f f =⎛⎫ ⎪⎝⎭，再计算29log 8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可得到答案. 【详解】因为函数()f x 满足：()()()()()111,21f x f x f x f x f x +=+==+，所以函数()f x 的周期2T =.所以()()22222911log 9log 92log 994log 1log 48f f f f f ⎛⎫=-===⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为290log 8<<1，所以29log 8299log 288f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()2218log 999log 8f f ==⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题主要考查对数函数的性质和对数的运算，同时考查了函数的周期性，属于中档题. 9．某学校需要把包含甲，乙，丙在内的6名教育专家安排到高一，高二，高三三个年级去听课，每个年级安排2名专家，已知甲必须安排到高一年级，乙和丙不能安排到同一年级，则安排方案的种数有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．72种【答案】B【解析】分2种情况讨论：①甲和乙丙中1人在高一，②甲和其他三人中的1人在高一，分别求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①甲和乙丙中1人在高一，此时高一的安排方法有12C 种，高二的选法有24C 种，则此时有122412C C ⨯=种安排分法，②甲和其他三人中的1人在高一，则乙丙三人分别在高二、高三，有2种情况，将其他三人全排列，安排到三个年级，有336A =种安排方法，则此时有2612⨯=种安排方法； 故有121224+=种安排方法； 安排方案的种数有12+24=36 故选：B ．【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M 的中点，O 为坐标原点，22ON NF b -=，260ONF ∠=，12F MF △的面积为23，则该双曲线的方程为（ ）A ．221164x y -=B ．22184x y -=C ．22182y x -=D ．2214x y -=【答案】C【解析】作出图形，利用双曲线的定义可得2a b =，利用余弦定理和三角形的面积公式可求得12F MF △的面积为2323b =，可求得b 的值，进而可求得a 的值，由此可得出双曲线的方程. 【详解】 如下图所示：O 为12F F 的中点，N 为2MF 的中点，则()12224MF MF ON NF b -=-=，即24a b =，可得2a b =，且有1//ON MF ，则1260F MF ∠=， 在12F MF △中，由余弦定理得()222222121212121222cos60c F F MF MF MF MF MF MF MF MF ==+-⋅=+-⋅()221212124MF MF MF MF a MF MF =-+⋅=+⋅，22212444MF MF c a b ∴⋅=-=，则12F MF △的面积为122121sin 603232F MF S MF MF b =⋅==△，解得2b =，22a ∴=.因此，该双曲线的标准方程为22182y x -=.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，考查了双曲线焦点三角形面积的计算，考查了余弦定理以及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.11．函数1,(0)(){0,(0)x x f x x x +≠==，关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不等的实数根的充分必要条件是（ ） A ．2b <-且0c > B ．2b >-且0c < C ．2b <-且0c D ．2b ≥-且0c【答案】C 【解析】【详解】：当0x =时()0f x =，当0x =为()()20f x bf x c ++=的一个根时可得0c．所以()()20fx bf x c ++=即()()20f x bf x +=有4个不同的根，()0f x ≠，()f x b ∴=-有4个根．0x ≠时()11122f x x x x x x x=+=+≥=，图象如图所示:由图可知22b b ->⇒<-． 综上可得2,0b c <-=．故C 正确．12．已知定义在R 上的函数1131122()(1)22x x x x f x x -----=--+，则不等式(23)(2)0f x f x ++-≥的解集为（ ）A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(,3]-∞D ．(0]3，【答案】A【解析】利用复合函数关系判断()(1)g x f x =+是奇函数，同时也是减函数，利用函数奇偶性和单调性进行转化求解即可. 【详解】解：令1t x =-，则322(1)22t t t tf t t ---+=-+， 则(1)f t +是奇函数， 则当0t ≥时，2333322221214(14)2212212141414t t t t t t t t t t ty t t t t t ------++=-=-=-=-=--+++++，为减函数，∴当1≥x 时，()f x 为减函数，即()(1)g x f x =+是奇函数，则(23)(2)0f x f x ++-≥等价为(221)(31)0f x f x +++-+≥， 即(22)(3)0g x g x ++-≥， 则(22)(3)(3)g x g x g x +≥--=-，则223x x +≤-，得131,3x x ≤≤，即原不等式的解集为1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选：A. 【点睛】本题主要考查复合函数的奇偶性和单调性、以及利用这些性质求解不等式等知识点，考查运算求解能力，属于中等题型.二、填空题13．已知函数()ln f x x x =．则曲线y ()f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______． 【答案】10x y --=【解析】求出(),(0),(0)f x f f ''，即可求出切线的点斜式方程，化简得出结论. 【详解】()ln ,()ln 1,(1)1,(1)0f x x x f x x f f ='=+'==,所以曲线y ()f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是1y x =-， 即10x y --=. 故答案为：10x y --=. 【点睛】本题考查导数的几何意义，注意已知点是否为切点，属于基础题. 14．函数()22log 45y x x =-++的单调递增区间是__________. 【答案】(1,2]-【解析】先求出函数的定义域,然后求出函数245y x x =-++在定义域(1,5)-内的递增区间. 【详解】由2450x x -++>解得15x -<<,所以函数22log (45)y x x =-++的定义域为(1,5)-,又因为底数2>1,所以只需求函数245y x x =-++(15)x -<<的递增区间,因为-1<0,所以二次函数的图象的开口向下,又对称轴为2x =,所以245y x x =-++(15)x -<<的递增区间,为(1,2]-.故答案为: (1,2]-. 【点睛】本题考查了复合函数的单调区间的求法,属于中档题. 对数型复合函数的单调区间的求法” ①利用真数大于0求出函数的定义域;②根据底数与1的大小,利用同增异减的法则转化为求真数函数在定义域内的单调区间.15．已知函数3xy a =-（0a >且1a ≠）与2y a =的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________.【答案】3(0,1)(1,)2【解析】根据题意，分1a >和01a <<两种情况讨论，作出函数|1|xy a =-的图象，利用数形结合得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论：①1a >时，函数3xy a =-的草图如图：若|3(0xy a a =-且1)a ≠与2y a =的图象有两个交点， 必有023a <<，即302a <<，又由1a >，故312a <<； ②01a <<时，函数3xy a =-的草图如图：，若|3(0xy a a =-且1)a ≠与2y a =的图象有两个交点， 必有023a <<，分析可得01a <<， 综合可得：a 的取值范围为3(0,1)(1,)2． 故答案为：3(0,1)(1,)2【点睛】本题主要考查函数与方程的关系，涉及分段函数的图象，分类讨论思想、数形结合的思想，属于中档题．16．已知函数()()22,0log 11,0ax x f x a x x -≤⎧⎪=⎨⎡⎤++>⎪⎣⎦⎩的值域为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围是________. 【答案】[)1,0-【解析】根据题意分析函数()y f x =的单调性，结合函数()y f x =的最小值为2-可得出关于实数a 的不等式组，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】由于函数()()22,0log 11,0ax x f x a x x -≤⎧⎪=⎨⎡⎤++>⎪⎣⎦⎩的值域为[)2,-+∞，则函数()2f x ax =-在区间(],0-∞上单调递减或为常值函数， 函数()()2log 11f x a x =++⎡⎤⎣⎦在区间()0,∞+上单调递增或为常值函数.①若函数()2f x ax =-在区间(],0-∞上单调递减，则0a <，此时()()02f x f ≥=-， 且此时函数()()2log 11f x a x =++⎡⎤⎣⎦在区间()0,∞+上单调递增或为常值函数， 则10a +≥，解得1a ≥-，当0x >时，()()22log 11log 10f x a x =++≥=⎡⎤⎣⎦， 即当10a -≤<时，函数()y f x =的值域为[)2,-+∞；②若函数()2f x ax =-在区间(],0-∞为常值函数，则0a =，当0x ≤时，()2f x =-， 当0x >时，()()22log 1log 10f x x =+>=， 即当0a =时，函数()y f x =的值域为{}()20,-+∞，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是[)1,0-. 故答案为：[)1,0-. 【点睛】本题考查利用分段函数的值域求参数，要结合题意分析函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题17．已知函数()af x x =和()24g x x ax a =++.（1）命题p ：()f x 是[)0,+∞上的增函数，命题q ：关于的方程()0g x =有实根，若p q ∧为真，求实数a 的取值范围；（2）若“[]1,2x ∈”是“()0g x ≤”的充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）14a ≥；（2）4,9⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】（1）首先计算p 真，p 真时a 的范围，再根据p q ∧为真得到不等式组，即可得到答案.（2）首先根据题意得到()()11502490g a g a ⎧=+≤⎪⎨=+≤⎪⎩，再解不等式组即可.【详解】（1）因为()af x x =是[)0,+∞上的增函数，所以0a >，即p 真：0a >，方程()0g x =有实根，则21640a a -≥，14a ≥或0a ≤.即q 真：14a ≥或0a ≤. 因为p q ∧为真，所以0104a a a >⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，解得14a ≥. （2）因为“[]1,2x ∈”是“()0g x ≤”的充分条件，所以()()11502490g a g a ⎧=+≤⎪⎨=+≤⎪⎩，解得49a. 所以实数a 的取值范围：4,9⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查了根据复合命题的真假求参数，同时考查了充分条件，属于中档题. 18．已知()421x x f x =-+.（1）若[0,)x ∈+∞，求()f x 的最小值； （2）若()()2xf xg x =，且存在[0,]x a ∈使得3()2g x ≥成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）[1，)+∞【解析】（1）设2x t =，(1)t ，2()1f x t t ==-+，利用21y t t =-+在[1，)+∞单调性，即可求解． （2）()1()2122xx xf xg x ==+-，要使得3()2g x 成立，只需3()2maxg x 即可． 【详解】（1）设2x t =，(1)t ．2213()4211()24x x f x t t t =-+=-+=-+，1t ，21y t t ∴=-+在[1，)+∞单调递增，()1f x ∴．所以，()f x 的最小值为1； （2）()1()2122xx xf xg x ==+-， [0x ∈，]a ，令2x t =，[1t ∈，2]a要使得3()2g x 成立， 3()2maxg x 即可． 11y t t =+- 在[1，2]a 递增，132122a a ∴+-， 22a ∴，解得1a故实数a 的取值范围为[1，)+∞． 【点睛】本题考查了指数函数、二次函数与对勾函数的单调性与最值、存在性问题，属于中档题． 19．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，O 为边AD 的中点，23AB =，7PA PD ==，13PB =.（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）点M 在线段PC 上，12PM MC =，求二面角M OB C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（227【解析】（1）根据等腰三角形性质得PO AD ⊥,再根据计算得PO OB ⊥,根据线面垂直判定定理得PO ⊥平面ABCD ,最后根据面面垂直判定定理得结果；（2）根据条件建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角M OB C --的余弦值. 【详解】（1）连接PO ，因为7PA PD ==，所以PO AD ⊥，因为底面ABCD 是菱形，23AB =，所以23AD =,因为O 为边AD 的中点，所以223732AO PO PA AO =∴=-=-= 因为60BAD ∠=︒，所以22212cos 312232392BO AO AB AO AB BAO =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯= 因此2224913PO BO PB +=+==,即PO OB ⊥， 因为,,ADOB O AD OB =⊂平面ABCD ,所以PO ⊥平面ABCD ,因为PO ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）因为2223912AO BO AB +=+==,所以AO OB ⊥，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 为,,x y z 轴，则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(0,0,2),(23,3,0)O A B P C -, 111(,,2)(23,3,2)233M M M PM MC PM PC x y z =∴=∴-=-- 2341,3M M M x y z ∴===,即234()3M 平面OBC 的一个法向量为1(0,0,1)n =,设平面OBM 的一个法向量为(,,)n x y z =,因为n OBn OM⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以302330yx y z=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩令3x=得2z=，(3,0,2)n=因为11127cos,7||||7n nn nn n⋅<>===，又二面角M OB C--为锐二面角，因此二面角M OB C--的余弦值为277【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理、利用空间向量求二面角，考查基本分析论证求解能力，属中档题.20．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布2(,)Nμσ，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为142.7511.95σ=≈；②若2~(,)Z Nμσ，则()0.6826P Zμσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Zμσμσ-<≤+=．【答案】（1）26.5（2）①0.6826②见解析【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①根据Z 服从正态分布()2,N μσ，从而求出(14.5538.45)P Z <<；②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，X 的可能取值为0,1,2,3,4，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得X 的数学期望. 试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为：50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）①∵Z 服从正态分布()2,N μσ，且26μ=，11.95σ≈，∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在()14.55,38.45内的概率是0.6826． ②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ∴X 的分布列为∴()1422E X =⨯=． 21．已知圆C ：22(1)8x y -+=和点(1,0)A -，M 为圆上一动点，作线段MA 的垂直平分线交MC 于点N ，记N 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）若过定点(0,2)P 的直线l 交曲线E 于不同的两点G ，H （点G 在点P ，H 之间），且满足35PG PH =，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）2y =+【解析】（1）由题意可知||||NC r NM =-，可得||||||NC NA r AC +==，点N 的轨迹是以A 、C为焦点的椭圆，2a =，即a =1c =，椭圆的方程为：2212x y +=； （2）由（1）可知：设直线GH 的方程为：2y kx =+，代入椭圆方程，由韦达定理可知：122412k x x k +=-+，122312x x k =+，由35PG PH =，求得1235x x =，代入即可求得2322k =>，即可求得直线方程，当直线GH 斜率不存在时，不符合题意． 【详解】（1）设点N 的坐标为(,)x y ，'NN 是线段AM 的垂直平分线，又点N 在CM 上，圆C ：22(1)8x y-+=，半径是r = ||||||NC r NM r NA ∴=-=-， ||||||NC NA r AC ∴+==，∴点N 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，设椭圆的方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，2a ∴=a =1c =，由2221b a c =-=，∴椭圆的方程为：2212x y +=，∴曲线E 方程：2212x y +=；（2）设1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，当直线GH 斜率存在时，设直线GH 的斜率为k 则直线GH 的方程为：2y kx =+，∴22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：221()4302k x kx +++=， 由△0>，解得：232k >， 122412k x x k +=-+，122312x x k =+，又1(PG x =，12)y -，2(PH x =，22)y -，35PG PH =， 1235x x ∴=，整理得：222356()51212k k k -=++，即2322k =>，解得：k =∴直线l 的方程为：2y =+，当直线GH 斜率不存在时，直线的l 方程为0x =，13PG PH =与35PG PH =矛盾，故直线GH 斜率不存在时，直线方程不成立，∴直线l 的方程为：2y =+．【点睛】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查分类讨论思想，属于中档题． 22．已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数.（1）当0a =时，求函数()f x 在[1,)+∞上的值域；（2）若1a =-，设函数()f x 在（0，1）上的极值点为0x ，求证：()02f x <-. 【答案】（1）(-∞，1]2e（2）证明见解析 【解析】（1）求出()f x 的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求得()f x 的导数，可得极值点满足的方程，运用分析法化简整理，即可得到证明． 【详解】（1）0a =时，2()lnx f x x =的定义域是(0,)+∞，312()lnxf x x -'=，令()0f x '>，解得0x <<()0f x '<，解得x >则()f x 在递增，在)+∞递减，故1()2f x fe==极大值， 0x →时，()f x →-∞，x →+∞时．()0f x →，故函数()f x 的值域是(-∞，1]2e． （2）证明：1a =-，则2()(1)lnx f x x =-，导数为3112()(1)lnx x f x x --'=-， 设函数()f x 在(0,1)上的极值点为0x ， 可得001120lnx x --=， 即有00121lnx x =-， 要证0()2f x <-，即2020(1)lnx x +<-，由于2200002000000011144(12)1222(1)2(1)2(1)2(1)x x x x x x x x x x x --+-+=+==----， 由于0(0,1)x ∈，且012x =，0121lnx x =-不成立， 则02020(1)lnx x +<-， 故0()2f x <-成立． 【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论思想方法，以及转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．。

2019-2020学年重庆八中高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−2<x<3,x∈Z}，B={x|x2≥1}，则集合A∩B=()A. {2}B. {1,2}C. {−1,1，2}D. {−1,0，1，2}2.设命题p：∀x∉Q，x+1∉Q，则￢p为()A. ∃x0∉Q，x0+1∈QB. ∀x0∉Q，x+1∈QC. ∀x∉Q，x+1∈QD. ∃x0∈Q，x0+1∈Q3.i为虚数单位，复数1+i1−2i在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知m为一条直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是()A. 若m//α，α//β，则m//βB. 若α⊥β，m⊥α，则m⊥βC. 若m//α，α⊥β，则m⊥βD. 若m⊥α，α//β，则m⊥β5.如表提供的x和y是两组具有线性相关关系的数据，已知其回归方程为ŷ=0.65x+0.6，则m等于()x3579y 2.54m 6.556.已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是()A. y=sin(e x+e−x)B. y=sin(e x−e−x)C. y=cos(e x−e−x)D. y=cos(e x+e−x)7.已知a=log32，b=lg4，c=log95，则有()A. a<b<cB. b<a<cC. a<c<bD. c<a<b8.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x+1)=1f(x)，x∈(0,1]时，f(x)=2x，则f(log29)等于()A. ..B. 98C. 89D. 25169.某学校需要把包含甲、乙、丙在内的6名教育专家安排到高一、高二、高三三个年级去听课，每个年级安排2名专家，已知甲必须安排到高一年级，乙和丙不能安排到同一年级，则安排方案的种数有()A. 24种B. 36种C. 48种D. 72种10. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在双曲线的右支上，点N 为F 2M 的中点，O 为坐标原点，|ON|−|NF 2|=2b ，∠ONF 2=60°，△F 1MF 2的面积为2√3，则该双曲线的方程为( )A. x 24−y 22=1 B. x 24−y 24=1 C. x 28−y 22=1 D. x 28−y 24=1 11. 已知函数f(x)={|x +1x |, x ≠00, x =0则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c =0有5个不同实数解的充要条件是( )A. b <−2 且 c >0B. b >−2 且 c <0C. b <−2 且 c =0D. b ≥−2 且 c =012. 已知定义在R 上的函数f(x)=21−x −2x−121−x +2x−1−(x −1)3，则不等式f(2x +3)+f(x −2)≥0的解集为( )A. (−∞,13]B. (0,13]C. (−∞,3]D. (0,3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若函数f(x)=xlnx ，则f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______． 14. 函数y =log 2(−x 2+4x +5)的单调递增区间是______．15. 已知函数y =|a x −3|(a >0且a ≠1)与y =2a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是______．16. 已知函数f(x)={ax −2,x ≤0log 2((a +1)x +1),x >0的值域为[−2,+∞)，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数f(x)=x a 和g(x)=x 2+4ax +a ．(1)命题p ：f(x)是R 上的增函数，命题q ：关于的方程g(x)=0有实根，若p ∧q 为真，求实数a 的取值范围；(2)若“x ∈[1,2]”是“g(x)≤0”的充分条件，求实数a 的取值范围．18. 已知f(x)=4x −2x +1．(1)若x ∈[0,+∞)，求f(x)的最小值；(2)若g(x)=f(x)2x ，且存在x∈[0,a]使得g(x)≥32成立，求实数a的取值范围．19.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为边AD的中点，AB=2√3，PA=PD=√7，PB=√13．(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；(2)点M在线段PC上，PM=12MC，求二面角M−OB−C的余弦值．20.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ=√142.75≈11.95；②若Z ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z ≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z ≤μ+2σ)=0.9544．21. 已知圆C ：(x +1)2+y 2=8，定点A(1,0)，M 为圆上一动点，线段m 的垂直平分线交线段MC于点N ，设点N 的轨迹为曲线E ． (Ⅰ)求曲线E 的方程：(Ⅱ)若经过F(0,2)的直线L 交曲线E 于不同的两点G ，H(点G 点F ，H 之间)，且满足FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =35FH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线L 的方程．22. 已知函数f(x)=lnx(x+a)2，其中a 为常数．(1)当a =0时，求函数f(x)在[1,+∞)上的值域；(2)若a =−1，设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x 0，求证：f(x 0)<−2．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={−1,0，1，2}，B={x|x≤−1或x≥1}，∴A∩B={−1,1，2}．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：因为全称命题的否定是特称命题．故命题p：∀x∉Q，x+1∉Q，则￢p为：∃x0∉Q，x0+1∈Q；故选：A．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.答案：B解析：解：令z=1+i1−2i =(1+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−1+3i5=−15+35i，则复数z在复平面内对应的点的坐标为：(−15,35)，位于第二象限．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.答案：D解析：【分析】本题主要考查了直线，平面之间的位置关系的判断，需要学生具备空间想象力，逻辑推理能力，对四个选项，分别进行判断，即可得出结论，属于中档题．【解答】解：对于A，若m//α，α//β，则m//β或m⊂β，不正确；对于B，∵α⊥β，∴设α∩β=a，在平面β内作直线b⊥a，则b⊥α，∵m⊥α，∴m//b，若m ⊄β，则m//β，若m ⊂β，也成立．∴m//β或m ⊂β，不正确； 对于C ，若m//α，α⊥β，则则m//β或m ，β相交，不正确；对于D ，若m ⊥α，α//β，利用平面与平面平行的性质，可得m ⊥β，正确． 故选：D ．5.答案：D解析：解：x −=3+5+7+94=6，y −=2.5+4+m+6.54=13+m 4，∴样本点的中心为(6,13+m4)，代入y ̂=0.65x +0.6，得13+m4=0.65×6+0.6，解得m =5． 故选：D ．由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求解m 值．本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．6.答案：D解析：解：令s(x)=e x +e −x ，该函数的定义域为R ，且s(−x)=e −x +e x =s(x)， ∴s(x)为R 上的偶函数；令t(x)=e x −e −x ，该函数的定义域为R ，且t(−x)=e −x −e x =−(e x −e −x )=−t(x)， ∴t(x)为R 上的奇函数，又正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数， 且图中所给出的函数为偶函数，排除A 与C ； 又由图可知，所求函数在[0,1]上为减函数，而B 中内层函数t(x)在[0,1]上为增函数，而外层函数正弦函数在[0,π2]上为增函数， 故当x 大于0且在0附近时，B 中函数为增函数，排除B ． 故选：D ．由函数的奇偶性排除A 与C ，在分析复合函数的单调性排除B ，则答案可求．本题考查函数的图象与图象变换，考查复合函数的奇偶性与单调性的应用，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．7.答案：B解析：解：∵log 95=log 35log 39=log 352=log 3√5>log 32，lg4=log 34log 310<log 34log 39=log 342=log 32，∴b <a <c ． 故选：B ．容易得出log 95=log 3√5>log 32，lg4<log 34log 39=log 32，然后即可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了对数的换底公式，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．8.答案：C解析：解：函数f(x)满足：f(x +1)=1f(x)， 可得：f(x +2)=1f(x+1)=f(x)， ∴函数的周期T =2．∴f(log 29)=f(2+log 294)=f(log 294). ∵1<log 294<2∴f(1+log 298)=1f(log 298)，∵0<log 298<1， ∴f(log 298)=98 ∴f(log 29)=1f(log 298)=89．故选C ．根据函数f(x)满足：f(x +1)=1f(x)，求出函数的周期，利用x ∈(0,1]时，f(x)=2x ，即可求f(log 29)的值．本题考查了函数周期的求法，对数和指数的基本运用，属于中档题．9.答案：A解析：解：根据题意，分2种情况讨论： ①甲和乙丙中1人在高一，此时高一的安排方法有C 21种，高二的选法有C 42种，则此时有C 21×C 42=12种安排分法，②甲和其他三人中的1人在高一，则乙丙三人分别在高二、高三，有2种情况，将其他三人全排列，安排到三个年级，有A 33=6种安排方法，则此时有2×6=12种安排方法； 故有12+12=24种安排方法； 故选：A ．分2种情况讨论：①甲和乙丙中1人在高一，②甲和其他三人中的1人在高一，分别求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．10.答案：C解析：解：由N为MF2的中点，所以ON//MF1，且|ON|=12|MF1|，由题意可得∠F1MF2=60°，|ON|−|NF2|=12(|MF1|−|MF2|)=a，故a=2b，设双曲线的焦距为2c，在△MF1F2中，由余弦定理可得4c2=|MF1|2+|MF2|2−2|MF1||MF2|cos60°=(|MF1|−|MF2|)2+|MF1||MF2|= 4a2|+|MF1||MF2|，所以|MF1||MF2|=4c2−4a2=4b2，∴S△F1MF2=12|MF1||MF2|sin60°=√3b2=2√3，∴b2=2，a2=4b2=8，双曲线的方程为x28−y22=1．故选：C．由题意可得ON，NF2的值用MF1，MF2来表示，由椭圆的定义及|ON|−|NF2|=2b可得a，b的关系，三角形中由余弦定理可得两边之积，再由面积公式及题意可得a，b的值，进而求出双曲线的方程．本题考查双曲线的简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．11.答案：C解析：解：∵方程f2(x)+af(x)+b=0有且只有5个不同实数解，∴对应于f(x)等于某个常数有4个不同实数解，由题意作出f(x)的简图：由图可知，只有当f(x)=0时，它有−个根．且f(x)=−b时有四个根，由图可知−b>2，∴b<−2．故所求充要条件为：b<−2且c=0，故选C．作出f(x)的简图，数形结合可得．本题考查方程根的个数问题，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12.答案：A解析：解：令t=x−1，则f(t+1)=2−t−2t2−t+2t−t3，则f(t+1)是奇函数，则当t≥0时，y=2−t−2t2−t+2t −t3=1−22t1+22t−t3=1−4t1+4t−t3=−(1+4t)+21+4t−t3=21+4t−1−t3，为减函数，∴当x≥1时，f(x)为减函数，即g(x)=f(x+1)是奇函数，则f(2x+3)+f(x−2)≥0等价为f(2x+2+1)+f(x−3+1)≥0，即g(2x+2)+g(x−3)≥0，则g(2x+2)≥−g(x−3)=g(3−x)，则2x+2≤3−x，得3x≤1，x≤13，即原不等式的解集为(−∞,13]，故选：A．利用复合函数关系判断g(x)=f(x+1)是奇函数，同时也是减函数，利用函数奇偶性和单调性进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合条件构造新函数，判断新函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．有一定的难度．13.答案：x−y−1=0解析：解：∵f(x)=xlnx，∴f′(x)=lnx+1，则f′(1)=1，又f(1)=0，∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=1×(x−1)，即x−y−1=0．故答案为：x−y−1=0．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再求出f(1)，利用直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．14.答案：(−1,2)解析：解：由−x2+4x+5>0，得x2−4x−5<0，解得−1<x<5．令t=−x2+4x+5，其对称轴方程为x=2，且在(−1,2)上单调递增，而外层函数y=log2t是定义域内的增函数，∴函数y=log2(−x2+4x+5)的单调递增区间是(−1,2)．故答案为：(−1,2)．由对数函数的真数大于0求解函数的定义域，再求出内层函数二次函数在定义域内的增区间，然后利用复合函数的单调性得答案．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．)15.答案：(0,1)∪(1,32解析：解：根据题意，分2种情况讨论：①a>1时，函数y=|a x−3|的草图如图：若y=|a x−3|(a>0且a≠1)与y=2a的图象有两个交点，必有0<2a<3，即1<a<3，2又由a>1，故此时无解；②0<a<1时，函数y=|a x−3|的草图如图：，若y=|a x−3|(a>0且a≠1)与y=2a的图象有两个交点，必有0<2a<3，分析可得0<a<1，).综合可得：a的取值范围为(0,1)∪(1,32).故答案为：(0,1)∪(1,32根据题意，分a>1和0<a<1两种情况讨论，作出函数y=|a x−1|的图象，利用数形结合得答案．本题考查函数与方程的关系，涉及分段函数的图象，属于中档题．16.答案：[−1,0)解析：解：∵函数f(x)={ax −2,x ≤0log 2((a +1)x +1),x >0的值域为[−2,+∞)，∴当a =0时，f(x)={−2,x ≤0log 2(x +1),x >0，函数f(x)的值域为{−2}∪(0,+∞)，不合题意；当a >0时，x ≤0时，f(x)的取值范围是(−∞,−2]，不符合题意； 当−1<a <0时，x ≤0时，f(x)=ax −2≥−2， x >0时，f(x)=log 2((a +1)x +1)>0，此时函数f(x)={ax −2,x ≤0log 2((a +1)x +1),x >0的值域为[−2,+∞)，符合题意；当a =−1时，f(x)={−x −2,x ≤0log 21,x >0的值域为[−2,+∞)，符合题意；当a <−1时，x ≤0时，f(x)=ax −2≥−2，x >0时，f(x)=log 2((a +1)x +1)的值可能小于2，也可能无解，不符合题意， 综上，实数a 的取值范围是−1≤a <0，即[−1,0)． 故答案为：[−1,0)．完全分类上应当分a =0，a >0，−1<a <0，a =−1，a <−1讨论，由此能求出实数a 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.答案：解：(1)若f(x)=x a 是R 上的增函数，则a >0，即p ：a >0；关于x 的方程g(x)=x 2+4ax +a =0有实根，则△=16a 2−4a ≥0， 解得a ≤0或a ≥14，即q ：a ≤0或a ≥14， 若p ∧q 为真，则{a >0a ≤0或a ≥14，即a ≥14．∴实数a 的取值范围是[14,+∞)；(2)若“x ∈[1,2]”是“g(x)≤0”的充分条件， 则{g(1)=1+5a ≤0g(2)=4+9a ≤0，解得a ≤−49． ∴实数a 的取值范围为(−∞,−49].解析：(1)利用幂函数的性质求解a 的范围化简p ，由判别式大于等于0求解a 的范围化简q ，取交集得答案；(2)把“x ∈[1,2]”是“g(x)≤0”的充分条件转化为关于a 的不等式组求解．本题考查充分必要条件的判断及其应用，考查复合命题的真假判断，考查数学转化思想方法，是中档题．18.答案：解：(1)设2x =t ，(t ≥1)．f(x)=4x −2x +1=t 2−t +1=(t −12)2+34，∵t ≥1，∴y =t 2−t +1在[1,+∞)单调递增，∴f(x)≥1． 所以，f(x)的最小值为1； (2)g(x)=f(x)2x=2x +12x −1，∵x ∈[0,a]，令2x =t ，t ∈[1,2a ] 要使得g(x)≥32成立， g(x)max ≥32即可．∵y =t +1t −1 在[1,2a ]递增， ∴2a +12a −1≥32， ∴2a ≥2，解得a ≥1故实数a 的取值范围为[1,+∞)．解析：(1)设2x =t ，(t ≥1)，f(x)═t 2−t +1，利用y =t 2−t +1在[1,+∞)单调性，即可求解． (2)g(x)=f(x)2x=2x +12x −1，要使得g(x)≥32成立，只需g(x)max ≥32即可．本题考查了函数的最值、存在性问题，属于中档题．19.答案：解：(1)证明：连结PO ，∵四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠BAD =60°，O 为边AD 的中点， AB =2√3，PA =PD =√7，PB =√13． ∴PO ⊥AD ，PO =√7−3=2，BO =√(2√3)2−(√3)2=3，∴PO 2+BO 2=PB 2，∴PO ⊥BO ， ∵AD ∩BO =O ，∴PO ⊥平面ABCD ， ∵PO ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ． (2)解：∵四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠BAD =60°，O 为边AD 的中点， ∴AD ⊥BO ，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵点M 在线段PC 上，PM =12MC ， ∴P(0,0，2)，C(−2√3,3，0)，M(−2√33,1，43)，B(0,3，0)，O(0,0，0)， OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√33,1，43)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,3，0)， 设平面OBM 的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√33x +y +43z =0n ⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3y =0，取x =2，得n⃗ =(2,0，√3)， 平面OBC 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设二面角M −OB −C 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√7⋅1=√217． ∴二面角M −OB −C 的余弦值为√217．解析：(1)连结PO ，推导出PO ⊥AD ，PO ⊥BO ，从而PO ⊥平面ABCD ，由此能证明平面PAD ⊥平面ABCD ．(2)推导出AD ⊥BO ，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M −OB −C 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：(1)根据频率分布直方图可得各组的频率为：(0,10]的频率为：0.010×10=0.1； (10,20]的频率为：0.020×10=0.2； (20,30]的频率为：0.030×10=0.3； (30,40]的频率为：0.025×10=0.25； (40,50]的频率为：0.015×10=0.15，所以所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为 x =5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5． (2)①∵Z 服从正态分布N(μ,σ2)，且μ=26.5，σ≈11.95，∴P(14.55<Z <38.45)=P(26.5−11.95<Z <26.5+11.95)=0.6826， ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826．②根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于(10,30]内的概率为0.2+0.3=0.5， 所以X ～B(4,12)，X 的可能取值分别为：0，1，2，3，4，P(X =0)=C 40(12)4=116， P(X =1)=C 41(12)4=14， P(X =2)=C 42(12)4=38， P(X =3)=C 43(12)4=14，P(X =4)=C 44(12)4=116，∴X 的分布列为：∴E(X)=4×2=2．解析：本题考查了统计的基础知识，正态分布，属于中档题． (1)根据频率分布直方图分别计算各组的频率，再计算平均值即可； (2)①直接由正态分布的性质及题目所给可得；②根据题意得X ～B(4,12)，根据二项分布的性质即可求得X 的分布列、期望值．21.答案：解：(Ⅰ)设点N 的坐标为(x,y)，NP 为线段AM 的平分线，所以：|NA|=|MN|，又点N 在CM 上，圆C ：(x +1)2+y 2=8，半径r =2√2， 所以：|NC|+|NM|=2√2，|NC|+|MA|=|NC|+|NM|=2√2>|AC|所以：点N 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆． 设方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 2a =2√2，所以：a =√2，c =1， b 2=a 2−c 2=1， 所以曲线E 的方程为：x 22+y 2=1．(Ⅱ)设G(x 1,y 1)，H(x 2,y 2)，当直线GH 的斜率存在时，设直线的斜率为k ， 则：直线GH 的方程为：y =kx +2，所以：{y =kx +2x 22+y 2=1，整理得：(12+k 2)x 2+4kx +3=0， 由△>0解得：k 2>32，且：x 1+x 2=−4k 12+k 2，x 1x 2=312+k 2，①由于：FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−2)，FH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2−2)， 且：FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =35FH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 解得：x 1=35x 2，结合①得：35(−5k1+2k 2)=61+2k 2， 解得：k 2=2>32，直线l 的方程为：y =±√2x +2，当直线HG 的斜率不存在时，直线l 的方程为：x =0，FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13FH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =35FH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 矛盾， 所以直线l 的方程为：y =±√2x +2．解析：(Ⅰ)首先利用点N 的坐标为(x,y)，NP 为线段AM 的平分线，所以：|NA|=|MN|，又点N 在CM 上，C ：(x +1)2+y 2=8，半径r =2√2，所以：|NC|+|NM|=2√2，|NC|+|MA|=|NC|+|NM|=2√2>|AC|所以：点N 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆．设方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，进一步求出结果．(Ⅱ)利用分类讨论思想：设直线的方程①斜率存在②斜率不存在，利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用向量的坐标相等求出结果．本题考查的知识要点：曲线方程的求法，直线和曲线的位置关系，向量的坐标运算，直线方程的求法，属于中档题．22.答案：解：(1)a =0时，f(x)=lnx x 的定义域是(0,+∞)，f′(x)=1−2lnx x ，令f′(x)>0，解得0<x <√e ，令f′(x)<0，解得：x >√e ， 则f(x)在(0,√e)递增，在(√e,+∞)递减， 故f(x)极大值=f(√e)=12e ，x →0时，f(x)→−∞，x →+∞时．f(x)→0， 故函数f(x)的值域是(−∞,12e ].(2)证明：a =−1，则f(x)=lnx (x−1)，导数为f′(x)=1−2lnx−1x(x−1)3，设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x 0， 可得1−2lnx 0−1x 0=0，即有2lnx 0=1−1x 0，要证f(x 0)<−2，即lnx 0(x 0−1)2+2<0， 由于1−1x 02(x 0−1)2+2=12x0(x 0−1)+2=1−4x 0+4x 022x 0(x 0−1)=(1−2x 0)22x0(x 0−1)，由于x 0∈(0,1)，且x 0=12，2lnx 0=1−1x 0不成立，则lnx 0(x0−1)2+2<0，故f(x 0)<−2成立．解析：(1)求出f(x)的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(2)求得f(x)的导数，可得极值点满足的方程，运用分析法化简整理，即可得到证明．本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论思想方法，以及转化思想，考查化简整理的运算能力，属于综合题．。

重庆八中2019-2020学年度（下）半期考试高二年级数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1. 复数i i z -=1（i 为虚数单位），则=||z A.1 B.22C.2 D.2 2. 已知3sin 2)(x x x f +=，则=')0(fA.2-B.0C.1D.23. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+≥02031y x y x x ，则y x z +-=的最大值为 A.21- B.1- C.21 D.14. 某工艺品厂要制作一批鼠年迎春微章，每一个经检验合格的徽章售出后能产生4元钱的纯利润。

统计发现，每个工人每天制作的合格品个数平均值为300，方差为25，那么每个工人每天能为工厂贡献的纯利润的标准差为A.5B.20C.25D.1005. 已知m ，n 为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，则下列说法正确的是A.若m 与α所成的角等于n 与α所成的角，则m //nB.若m 与α所成的角等于m 与B 所成的角，则α//βC.若m //n ，αβ//则m 与α所成的角等于n 与β所成的角D.若m ⊥n ，则m 与α所成的角不可能等于n 与α所成的角6. x bx ax x f ln )(2++=在点))1(,1(f 处的切线方程为22-=x y ，则=-a bA.1-B.0C.1 D.27. 某校为了了解全校高中学生十一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假明参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示，估计这100名学生参加实践活动时间的中位数是A.16.7B.2.7C.2.8D.78. 某平台为一次活动设计了“a ”、“b ”、“c ”三种红包，活动规定：每人可以获得4个红包，若集齐至少三个相同的红包（如：“aaab ”），或者集齐两组两个相同的红包（如：“aabb ”），即可获奖：已知小赵收集了4个红包，则他能够获奖的不同情形数为A.9B.10C.12D.169. n x mx )(+)(+∈N n 的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中3x 的系数为A.40B.30C.20D.1010. 重庆已经成为中外游客旅游的热门目的地之一，比如洪崖洞，长江索道，李子坝穿楼轻轨已经成为网红景点，旅游的必到打卡地，现有4名外地游客来重庆旅游，若每个人只能从上述三个网红景点中选择一个进行游览，则每个景点都有人去游玩的概率为 A.98 B.94C.196 D.43 11. 用一根长为cm 18的铁丝围成正三角形框架，其顶点为A ，B ，C ，将半径为cm 2球放置在这个框架上（如图），若M 是球上任意一点，则四面体MABC 体积的最大值为 A.3433cm B.33cm C.333cm D.339cm12. 已知双曲线C ：12222=-by a x )0,0(>>b a 的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 在双曲线右支上，且0)(22=+⋅OF OP PF ，若直线1PF 的倾斜角为θ且952sin =θ，则双曲线C 的离心率为 A.23 B.3C.25 D.5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 若复数i m m m z )1(2+++=是纯虚数，其中m 是实数，则=z _____________.14. 在4)1(x +的二项展开式中，二项式系数最大的项为_____________.（写出该项的最简结果） 15. A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次.A ，B ，C 三人去询问比赛结果，裁判对A 说：“你和B 都不是第一名”；对B 说：“你不是最差的”；对C 说：“你比A ，B 的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有_____________种不同情况。

2019-2020年高二下学期期中联考数学理试题含答案一、选择题（本题12小题，每题5分共60分）1．已知复数的共轭复数(为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若命题：，命题：，则是的( )A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3．几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．设函数，则该函数曲线在处的切线方程是( )A. B.C. D.5．观察按下列顺序排列的等式：，，，，…，猜想第个等式应为( )A．B．C．D．6．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是( )A. B. C. D.7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则的值为() A．6或－6 B．2或－2 C．4或－4 D．12或－128. 七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有( )A .240种 B.192种 C.120种 D.96种9. 若的展开式中的系数为,则的值等于( )A. B. C. D.10．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是() A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值11．已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，,双曲线的右顶点为,，其双曲线的离心率为( )A．B．C．D．12. 如图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记，截面下面部分的体积为，则函数的图象大致为()二、填空题（本题4小题，每题5分，共20分）13．已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为14. 将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为__________.15．如图，由曲线和直线，，所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是__________16．我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对x 求导数，得 于是()()()[()ln ()()]()x f x y f x x f x x f x ϕϕϕ'''=+， 运用此方法可以求得函数在（1，1）处的切线方程是 .三解答题（本题6小题，17题10分，18-22题各12分，共70分）17.已知的展开式中前三项的系数成等差数列．设.求：(1)的值； (2)的值；(3) 的值；18．平行四边形中，且以为折线，把折起，使平面平面，连接（1）求证：；（2）求二面角 的余弦值.19．已知关于的不等式对任意恒成立；，不等式成立.若为真，为假，求的取值范围.20.设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围.21．椭圆E: 离心率为,且过.(1)求椭圆E 的方程;(2)已知直线过点,且与开口朝上,顶点在原点的抛物线C 相切于第二象限的一点,直线与椭圆E 交于两点,与轴交与点,若,,且,求抛物线C 的标准方程.22．已知函数在处取得极值2.（1）求的表达式；（2）设函数若对于任意的，总存在唯一的，使得，求实数的取值范围.xx 学年第二学期赣州市十二县（市）期中联考高二年级理科数学试卷答案一．选择题DCCAB DCBAD DA12.解析：选A.“分段”表示函数y ＝V (x )，根据解析式确定图象．y xD B O M NA ••当0＜x ＜12时，截面为五边形，如图所示． 由SC ⊥平面QEPMN ，且几何体为正四棱锥，棱长均为1，可求得正四棱锥的高h ＝22，取MN 的中点O ，易推出OE ∥SA ，MP ∥SA ，NQ ∥SA ，则SQ ＝SP ＝AM ＝AN ＝2x ，四边形OEQN 和OEPM 为全等的直角梯形，则V S -AMN ＝13×12·AM ·AN ·h ＝23x 2， 此时V (x )＝V S -ABCD －V S -AMN －V S -EQNMP ＝26－23x 2－13×(22x －32x 2)x ＝2x 3－2x 2＋26⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12， 非一次函数形式，排除选项C ，D.当E 为SC 中点时，截面为三角形EDB ，且S △EDB ＝24. 当12＜x ＜1时，S 截面24＝(1－x 12)2 ⇒S 截面＝2(1－x )2. 此时V (x )＝23(1－x )3⇒V ′(x)＝－2(1－x )2. 当x →1时，V ′→0，则说明V (x )减小越来越慢，排除选项B.二．填空题13. 14. 30 15. 14 16.16． 试题分析：仿照题目给定的方法，所以，所以，所以，即：函数在处的切线的斜率为1，故切线方程为：，即，故答案为：．三．解答题17解：(1) 由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍)． (3)(2). ，令8－r ＝5r ＝3，所以a 5＝7 (6)(3) 在等式的两边取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝1256…………….10 18．解：（1）在中，2222cos 603,BD AB AD AB AD =+-⋅⋅⋅=所以所以，因为平面平面，所以平面，所以（5分）（2）在四面体ABCD 中，以D 为原点，DB 为轴，DC 为轴，过D 垂直于平面BDC 的射线为轴，建立如图的空间直角坐标系. 则D （0，0，0），B （，0，0），C （0，1，0），A （，0，1）（6分）设平面ABC 的法向量为，而由得：取（8分）再设平面DAC 的法向量为而由得：取 （10分）所以即二面角B-AC-D 的余弦值是 （12分）19．解：关于的不等式对任意恒成立，即在上恒成立。

重庆八中2019-2020学年度（下）半期考试高二年级数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1. 复数i i z -=1（i 为虚数单位），则=||z A.1 B.22 C.2 D.22. 已知3sin 2)(x x x f +=，则=')0(fA.2-B.0C.1D.23. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+≥02031y x y x x ，则y x z +-=的最大值为 A.21-B.1-C.21 D.1 4. 某工艺品厂要制作一批鼠年迎春微章，每一个经检验合格的徽章售出后能产生4元钱的纯利润。

统计发现，每个工人每天制作的合格品个数平均值为300，方差为25，那么每个工人每天能为工厂贡献的纯利润的标准差为A.5B.20C.25D.1005. 已知m ，n 为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，则下列说法正确的是A.若m 与α所成的角等于n 与α所成的角，则m //nB.若m 与α所成的角等于m 与B 所成的角，则α//βC.若m //n ，αβ//则m 与α所成的角等于n 与β所成的角D.若m ⊥n ，则m 与α所成的角不可能等于n 与α所成的角6. x bx ax x f ln )(2++=在点))1(,1(f 处的切线方程为22-=x y ，则=-a bA.1-B.0C.1D.27. 某校为了了解全校高中学生十一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假明参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示，估计这100名学生参加实践活动时间的中位数是A.16.7B.2.7C.2.8D.78. 某平台为一次活动设计了“a ”、“b ”、“c ”三种红包，活动规定：每人可以获得4个红包，若集齐至少三个相同的红包（如：“aaab ”），或者集齐两组两个相同的红包（如：“aabb ”），即可获奖：已知小赵收集了4个红包，则他能够获奖的不同情形数为A.9B.10C.12D.169. n x mx )(+)(+∈N n 的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中3x 的系数为A.40B.30C.20D.1010. 重庆已经成为中外游客旅游的热门目的地之一，比如洪崖洞，长江索道，李子坝穿楼轻轨已经成为网红景点，旅游的必到打卡地，现有4名外地游客来重庆旅游，若每个人只能从上述三个网红景点中选择一个进行游览，则每个景点都有人去游玩的概率为 A.98 B.94C.196D.43 11. 用一根长为cm 18的铁丝围成正三角形框架，其顶点为A ，B ，C ，将半径为cm 2球放置在这个框架上（如图），若M 是球上任意一点，则四面体MABC 体积的最大值为 A.3433cm B.33cm C.333cm D.339cm 12. 已知双曲线C ：12222=-by a x )0,0(>>b a 的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 在双曲线右支上，且0)(22=+⋅OF PF ，若直线1PF 的倾斜角为θ且952sin =θ，则双曲线C 的离心率为 A.23 B.3 C.25 D.5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 若复数i m m m z )1(2+++=是纯虚数，其中m 是实数，则=z _____________.14. 在4)1(x +的二项展开式中，二项式系数最大的项为_____________.（写出该项的最简结果） 15. A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次.A ，B ，C 三人去询问比赛结果，裁判对A 说：“你和B 都不是第一名”；对B 说：“你不是最差的”；对C 说：“你比A ，B 的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有_____________种不同情况。

2019-2020学年重庆八中高二下学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 已知直线y =2与双曲线Γ：x 29−y 24=1的渐近线交于M ，N 两点，任取双曲线Γ上的一点P ，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则( ) A. λ+μ=−14B. λ−μ=−14C. λμ=−14D. λμ=−142. 设函数f (x )=若f (α)=4，则实数α等于( )A. −4或−2B. −4或2C. −2或4D. −2或23. 从个同类产品(其中个是正品，个是次品)中任意抽取个的必然事件是( )A. 3个都是正品B. 至少有个是次品C. 个都是次品D. 至少有个是正品4. 若抛物线y =x 2在点(a,a 2)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为16，则a =( )A. 4B. ±4C. 8D. ±85. 如果命题“￢(p ∨q)”是假命题，则下列说法正确的是( )A. p 、q 均为真命题B. p 、q 中至少有一个为真命题C. p 、q 均为假命题D. p 、q 中至少有一个为假命题6. “a =1”是“x =−1是函数f(x)=−x 3−ax 2+a 2x −1的极小值点”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件开始7. 已知直线l 的参数方程为{x =m +√22t y =√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=12，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则|FA|⋅|FB|的值等于( )A. 1B. √2C. √3D. 28. 在等腰梯形ABCD 中，E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，把四边形AEFD 沿直线EF 折起后所在的平面记为α，P ∈α，设PB ，PC 与α所成的角分别为θ1，θ2(θ1,θ2均不等于零).若θ1=θ2，则点P 的轨迹为( )A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 抛物线9. (原创)若对定义在上的可导函数，恒有，(其中表示函数的导函数在的值)，则( )A. 恒大于等于0B. 恒小于0C. 恒大于0D. 和0的大小关系不确定10. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为A. 1B.C.D.11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体棱长的最大值为( )A. √5B. √6C. √7D. 2√212. 若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是( )A. [2,+∞)B. (−∞,−6]C. [−6,2]D. (−∞,−6]∪[2,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 不等式|x +2|≥|x|的解集是______．14. 已知E 、F 是x 轴上的点，坐标原点O 为线段EF 的中点，G 、P 是坐标平面上的动点，点P 在线段FG 上，|FG ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10，|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，(PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +12EG ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(1)求P 的轨迹C 的方程；(2)A 、B 为轨迹C 上任意两点，且OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =αOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−α)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为AB 的中点，求△OEM 面积的最大值． 15. 在平面直角坐标系中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则所投点在中的概率是 ___16. 函数y =2x 3−3x 2−12x +5在[0,3]上的最大值是 _______ 最小值是三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l 与极轴的夹角α=π3(Ⅰ)将l 的极坐标方程写成ρ=f(θ)的形式(Ⅱ)在极坐标系中，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系．若曲线C 2：{x =3sinθy =acosθ(θ为参数，a ∈R)与l 有一个公共点在Y 轴上，求a 的值．18. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BA ⊥平面ACC 1A 1，∠A 1AC =90°，AA 1=AB =AC =2．(1)求二面角B −CB 1−A 1的大小；(2)设P 是线段A 1C 的中点，H 是棱BC 的中点，求证：PH ⊥平面AB 1C .19. 已知函数f(x)=2lnx −x 2(1)讨论f(x)的单调性并求最大值；(2)设g(x)=xe x −(a −1)x 2−x −2lnx ，若f(x)+g(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围．20.某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A、B、C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A、B、C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1俩所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率．(1)求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率；(2)记X(单位：万元)为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求X的分布列与期望．21.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，F1，F2为E的左、右焦点，动点P在直线1：x=−3上，过P作E两条切线，切点分别为M，N.且|MF1|+|MF2|=2√2．(1)求椭圆E的方程；(2)如图，过F1，F2分别向PM，PN作垂线，垂足分别为A，B，C，D．(i)证明：|F1A|⋅|F2B|为定值；(ii)记△AF1C和△BF2D的面积分别为S1，S2.求S1S2的取值范围．22.已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)求函数在区间［０，３］上的最大值与最小值【答案与解析】1.答案：D解析：解：双曲线Γ：x 29−y 24=1的渐近线方程为y =±23x ，将直线y =2代入y =±23x ，可得M(−43,2)，N(43,2)． ∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ，μ∈R ， ∴P(−43(λ−μ),2λ+2μ)，∵P 是双曲线Γ：x 29−y 24=1的点，∴1681(λ−μ)2−(λ+μ)2=1，∴可得λμ=−14． 故选：D ．求出双曲线的渐近线方程，可得M ，N 两点的坐标，利用向量知识求出P 的坐标，代入双曲线方程，即可得出结论．本题考查双曲线的渐近线方程，考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，确定P 的坐标是关键．2.答案：B解析：本题考查分段函数的求值问题，根据ｘ的不同范围，分别令其等于４，分别求出各自定义域内的值．解∵函数，f(a)=4，∴当x ≤0时，−a =4，解得a =−4；当x >0时，a 2=4，解得a =2或a =−2(舍)．∴a=−4或a=2．故答案为B．3.答案：D解析：试题分析：由于个同类产品中个是正品，个是次品，故任意抽取3个时最少有一个是正品，故选D．考点：必然事件的概念4.答案：B解析：解：求导数可得y′=2x，所以在点(a,a2)处的切线方程为：y−a2=2a(x−a)，令x=0，得y=−a2；令y=0，得x=12a．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=12×|−a2|×|12a|=14|a3|=16，解得a=±4．故选B．确定点(a,a2)处的切线方程，进而可求切线与两坐标轴围成的三角形的面积，即可求得a的值．本题考查导数的几何意义，考查三角形面积的计算，确定切线方程是关键．5.答案：B解析：解：因为命题￢(p∨q)为假，所以(p∨q)为真，所以p或q中至少一个为真．故选B．￢(p∨q)是假命题，则p∨q为真命题，再根据或命题为真的规则判断．本题考查了命题的否定与原命题真假的关系，或命题为真的条件．属于基础题．6.答案：A解析：解：f′(x)=−3x2−2ax+a2，则f′(−1)=a2+2a−3，令f′(−1)=0⇒a=1或a=−3．检验：当a=1时，f′(x)=−3x2−2x+1，x=−1为极小值点，符合；当a=−3时，f′(x)=−3x2+6x+9，x=−1为极小值点，符合．故“a =1”是“x =−1是函数f(x)=−x 3−ax 2+a 2x −1的极小值点”的充分不必要条件． 本题考查了利用导数研究函数的极值、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．f′(x)=−3x 2−2ax +a 2，则f′(−1)=a 2+2a −3，令f′(−1)=0⇒a =1或a =−3.经过检验：当a =1，a =−3时，都满足要求．即可判断出结论．7.答案：D解析：解：根据题意，曲线C 的极坐标方程为曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=12， 则其标准方程为x 212+y 24=1，其左焦点为(−2√2,0)，直线l 过点(−2√2,0)参数方程为{x =m +√22t y =√22t(t 为参数)，则m =−2√2，将直线l 的参数方程{x =−2√2+√22t y =√22t 与曲线C 的方程x 212+y 24=1联立，得t 2−2t −2=0， 则|FA|⋅|FB|=|t 1t 2|=2． 故选：D ．根据题意，将曲线C 的极坐标方程变形为标准方程，由直线过的点的坐标可得m 的值，将直线的参数方程与曲线C 的方程联立，可得t 2−2t −2=0由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案； 本题考查椭圆的极坐标方程、参数方程，涉及椭圆与直线的位置关系，关键是求出椭圆、直线的普通方程，属于中档题．8.答案：B解析：解：由题意，EF ⊥平面AEB ，EF ⊥平面CFD ，记∠AEB =β， 过B 作BM ⊥AE ，垂足为M ，则BM ⊥平面α，CN ⊥DF ，垂足为N ， 则CN ⊥平面α，P 在直线MN 上． ∴BM =BEsinβ，CN =CFsinβ， ∵θ1=θ2， ∴tanθ1=tanθ2，∴BEsinβPM =CFsinβPN∴PMPN =BECF，∴点P的轨迹为圆．故选：B．由题意，EF⊥平面AEB，EF⊥平面CFD，记∠AEB=β，过B作BM⊥AE，垂足为M，则BM⊥平面α，CN⊥DF，垂足为N，则CN⊥平面α，P在直线MN上．利用θ1=θ2，可得PMPN =BECF，即可得出结论．本题考查线面角，考查轨迹问题，考查学生分析解决问题的能力，正确找出线面角是关键．9.答案：C解析：试题分析：函数，则===，∵恒成立，∴当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减，∴当时，取得极小值，同时也是最小值，∴，即.当时，，∴当时，.∵恒成立，∴当时，恒成立，∴.综上无论取何值，恒有，故选C．考点：1、导数的应用；2、不等式性质．10.答案：C解析：试题分析：第一次循环后s=，k=，第二次循环后s=，k=，第三次循环后s=，k=，第四次循环后s=，k=，第五次循环后s=，k=2，…可知循环后的结果成周期性，当循环2010次后s=，k=2011>2010，此时输出S为，故选C考点：本题考查了程序框图的运用点评：读懂程序结构，然后利用相关的知识去处理是解决程序框图问题的关键11.答案：C解析：解：根据几何体的三视图转换为几何体图形如下：该几何体为四棱锥体．所以：该几何体的最大棱长为l=√(√3)2+12+(√3)2=√7故选：C．首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的最大棱长．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.答案：D解析：13.答案：{x|x≥−1}解析：解：解法一：|x+2|≥|x|⇔(x+2)2≥x2⇔4x+4≥0⇔x≥−1．解法二：在同一直角坐标系下作出f(x)=|x+2|与g(x)=|x|的图象，根据图象可得x≥−1．解法三：根据绝对值的几何意义，不等式|x +2|≥|x|表示数轴上x 到−2的距离不小于到0的距离， ∴x ≥−1．将不等式|x +2|≥|x|两边平方，去掉绝对值然后根据绝对值不等式的解法进行求解．此题考查绝对值不等式的性质及其解法，解题的关键是去掉绝对值，还考查了不等式的一般解法，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型．14.答案：解：(1)取EG 的中点为H ，则PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +12EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵(PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +12EG ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴PH ⊥GE ， ∴PH 是线段EG 的垂直平分线，…(2分)∴|PE|=|PG|，∴|PE|+|PF|=|GF|=10，∴P 点的轨迹为椭圆，设其轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=1，…(4分) 则2a =10，a =5，2c =6，c =3，b 2=a 2−c 2=16，∴P 的轨迹C 的方程为：x 225+y 216=1.…(6分)(2)∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =αOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−α)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =αOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −αOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =αBA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴A 、B 、E 三点共线，…(8分)∵E(−3,0)，设AB 所在直线方程为x =my −3，联立{x =my −3x 225+y 216=1，整理得(16m 2+25)y 2−96my −256=0， ∴y 1+y 2=96m 16m 2+25，∴M 点的纵坐标为y M =y 1+y 22=48m 16m 2+25，…(11分) ∴S △OEM =12|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||y M |=12×3×48|m|16m 2+25=72|m|16m 2+25=7216|m|+25|m|≤95， ∴当16|m|=25|m|，即m =±54时，△OEM 的面积最大为95.…(13分)解析：(1)取EG 的中点为H ，由已知条件推导出PH 是线段EG 的垂直平分线，|PE|+|PF|=|GF|=10，从而得到P 点的轨迹为椭圆，由此能求出P 的轨迹C 的方程．(2)由已知条件推导出A 、B 、E 三点共线，设AB 所在直线方程为x =my −3，联立{x =my −3x 225+y 216=1，整理得(16m 2+25)y 2−96my −256=0，由此能求出△OEM 的面积最大值．本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．15.答案：解析：试题分析：由题意区域D的面积为4×4=16，区域E的面积为，根据几何概型知，向中随机投一点，则所投点在中的概率是考点：本题考查了几何概型点评：几何概型的计算一般按下列步骤进行：(1)选取合适的模型，即样本区域Ｄ；(2)在坐标系中正确表示Ｄ与所求概率事件A所在的区域d；(3)计算D与d的测度；(4)计算概率16.答案：12；−15解析：试题分析：，令，求得，求得，，，故最大值是１２，最小值是−１５。