数字图像处理---整数小波

整数小波变换1. 简介整数小波变换（Integer Wavelet Transform，IWT）是一种信号处理技术，用于将信号分解成不同频率的子信号。

它是小波变换的一种特殊形式，适用于处理离散的整数信号。

小波变换是一种时频分析方法，它通过将信号与一组基函数进行卷积来提取不同频率的信息。

与傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时域局部性和多分辨率特性。

整数小波变换在数字图像处理、压缩编码、语音处理等领域具有广泛应用。

它可以用于图像去噪、图像压缩、特征提取等任务。

2. 原理整数小波变换是基于离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）的扩展。

DWT将信号分解成低频和高频部分，并对低频部分进行进一步细化。

整数小波变换在此基础上引入了整数尺度因子和整数平移因子，使得计算过程中只涉及整数运算，避免了浮点运算带来的误差。

具体而言，整数小波变换的过程可以分为以下几步：1.将输入信号进行预处理，将其扩展为长度为2的幂次方的序列。

2.构造整数小波滤波器组，包括低通滤波器和高通滤波器。

3.将输入信号与低通滤波器和高通滤波器进行卷积，得到低频和高频部分。

4.对低频部分进行进一步细化，重复步骤3，直到达到预定的尺度。

5.重构信号，将各个尺度的低频部分合并，并加上高频部分。

整数小波变换具有良好的局部性质和多分辨率特性。

它可以提取信号中不同尺度的细节信息，并保持原始信号的整体特征。

3. 应用3.1 图像去噪图像去噪是数字图像处理中常见的任务之一。

整数小波变换可以用于降噪图像，通过将图像进行小波变换，并对高频部分进行阈值处理来抑制噪声。

具体而言，可以使用整数小波变换将图像分解成不同尺度和方向上的子带系数。

然后根据子带系数的统计特性确定一个阈值，将低于阈值的子带系数置零。

最后使用整数小波反变换将处理后的子带系数合成为降噪图像。

3.2 图像压缩图像压缩是在保持图像质量的前提下减少数据量的过程。

整数小波变换可以用于图像压缩，通过对图像进行小波变换并保留较少的高频系数来实现数据压缩。

k k ,2/)]2(t ψ1+⊃j j V V图2.2 Mallat重构示意图三、常用小波函数介绍在小波分析理论在数学和工程领域中一个很重要的问题就是小波基的选择，选择一个最优的小波基，可以使图像处理更加优化。

在小波分析理论中有很多种的小波函数，下面介绍一些常用的小波基函数：3.1 Haar小波Haar小波是Haar于1990年提出的一种正交小波，它是小波理论分析发展过程中最早用到的的小波。

Haar小波是由一组互相正交归一的函数集，即Haar函数衍生产生的，是具有紧支撑的正交小波函数，其定义如下[5]：1012()1121tt tψ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他(3.1)Haar小波是一个最简单的时域不连续的小波，它类似一个阶梯函数，由于它的紧支撑性和正交性，使得Haar小波的应用很普遍。

图3-1所示为Haar波的函数图像。

图3-1 Haar小波函数图像由于Haar小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。

但也有自己的优点：①计算简单；②在2ja=的多分辨率系统中Haar小波构成一组最简单的正交归一的小波族。

因为()tψ不但与(2),()j t j Zψ∈正交，而且与自己的整数位移正交。

③()tψ的傅里叶变换是：24()sin()2j e jaψΩΩ=-ΩΩ(3.2)3.2Mexican hat(墨西哥草帽)小波Mexican Hat 小波又被称Marr 小波。

Marr 小波函数就是高斯函数的二阶导数，其表达式为：222()(1)t t t e ψ-=- (3.3)222()2e ωψωπω= (3.4)因为它的形状像墨西哥帽的截面，所以也称为墨西哥帽函数。

墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并且满足0)(=⎰∞∞-dx x ψ (3.5)由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。

其波形如图3-2所示。

Marr 小波的时域、频域都有很好的局部特性，但由于它的正交性尺度函数不存在，所以不具有正交性，主要用于信号处理和边缘检测。

第一章引言一.填空题1. 数字图像是用一个数字阵列来表示的图像。

数字阵列中的每个数字，表示数字图像的一个最小单位，称为像素2. 数字图像处理可以理解为两个方面的操作：一是从图像到图像的处理，如图像增强等；二是从图像到非图像的一种表示，如图像测量等。

5. 数字图像处理包含很多方面的研究内容。

其中，图像重建的目的是根据二维平面图像数据构造出三维物体的图像。

二.简答题1. 数字图像处理的主要研究内容包含很多方面，请列出并简述其中的4种。

①图像数字化：将一幅图像以数字的形式表示。

主要包括采样和量化两个过程。

②图像增强：将一幅图像中的有用信息进行增强，同时对其无用信息进行抑制，提高图像的可观察性。

③图像的几何变换：改变图像的大小或形状。

④图像变换：通过数学映射的方法，将空域的图像信息转换到频域、时频域等空间上进行分析。

如傅利叶变换等。

⑤图像识别与理解：通过对图像中各种不同的物体特征进行定量化描述后，将其所期望获得的目标物进行提取，并且对所提取的目标物进行一定的定量分析。

2. 什么是图像识别与理解？图像识别与理解是指通过对图像中各种不同的物体特征进行定量化描述后，将其所期望获得的目标物进行提取，并且对所提取的目标物进行一定的定量分析。

比如要从一幅照片上确定是否包含某个犯罪分子的人脸信息，就需要先将照片上的人脸检测出来，进而将检测出来的人脸区域进行分析，确定其是否是该犯罪分子。

5. 简述图像几何变换与图像变换的区别。

①图像的几何变换：改变图像的大小或形状。

比如图像的平移、旋转、放大、缩小等，这些方法在图像配准中使用较多。

②图像变换：通过数学映射的方法，将空域的图像信息转换到频域、时频域等空间上进行分析。

比如傅里叶变换、小波变换等。

第二章图像的基本概念一.填空题1. 量化可以分为均匀量化和非均匀量化两大类。

2. 采样频率是指一秒钟内的采样次数。

3. 图像因其表现方式的不同，可以分为连续图像和离散图像两大类。

3.5. 对应于不同的场景内容，一般数字图像可以分为二值图像、灰度图像和彩色图像三类。

《数字图像处理》课程设计报告题目：小波变换处理图像专业：信息与计算科学学号：组长：指导教师：成绩：二〇一〇年六月二十六日一、课程设计目的小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近10年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。

与Fourier 变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。

通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。

小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。

小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶；小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。

二、课程设计要求1、对知识点的掌握要求：利用小波变换的基本原理在MATLAB环境下编写程序对静态图像进行分解并压缩，并观察分析其处理效果。

2、分组情况：组长：组员：分工情况：：设计全过程的监督及协助和整个源程序代码的整理。

：负责小波变换的分解：负责小波变化的重构算法：负责编写MATLAB程序：负责图像的压缩3、课程设计内容对知识点的掌握要求：利用小波变换的基本原理在MATLAB环境下编写程序对静态图像进行分解并压缩，并观察分析其处理效果MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。

MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其它编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。

本设计利用MATLAB 工具箱中的Wavele Toolbox ——小波工具箱对图像进行小波变换。

第一章概论一、数字图像与像素数字图像是由一个个的像素（Pixel）构成的，各像素的值(灰度，颜色)一般用整数表示。

二、数字图像处理的目的1、提高图像的视觉质量。

2、提取图像中的特征信息。

3、对图像数据进行变换、编码和压缩。

三、工程三层次图像处理、图像分析和图像理解图像理解符号目标像素高层中层低层高低抽象程度数据量操作对象小大语义图像分析图像处理四、图像处理硬件系统组成图像输入设备（采集与数字化设备，如数码相机），图像处理设备（如PC机）和图像输出设备（如显示器，打印机）第二章数字图像处理基础一、图像数字化过程----采样与量化模拟图像的数字化包括采样和量化两个过程。

细节越多，采样间隔应越小。

把采样后得到的各像素的灰度值进一步转换为离散量的过程就是量化。

一般，灰度图像的像素值量化后用一个字节(8bit)来表示。

二、采样、量化与图像质量的关系采样点数越多，图像质量越好；量化级数越多，图像质量越好。

为了得到质量较好的图像采用如下原则：对缓变图像，细量化，粗采样，以避免假轮廓。

对细节化图像，细采样，粗量化，以避免模糊。

三、图像尺寸、数据量、颜色数量的计算灰度图像的像素值量化后用一个字节(8bit)来表示。

彩色图像的像素值量化后用三个字节(24bit)来表示。

一幅512X512（256K）的真彩色图像，计算未压缩的图像数据量是多少？（必考）图像总像素：512px*512px=256K总数据量：256K*3Byte=768KB一幅256X256（64K）的真彩色图像，计算未压缩的图像数据量是多少？图像总像素：256px*256px=64K总数据量：64K*1Byte=64KB四、数字图像类型二值图像、灰度图像、索引颜色图像)和真彩色图像。

五、数字图像文件的类型jpg、bmp、tif、gifJPEG采用基于DCT变换的压缩算法,为有损压缩。

六、图像文件三要素文件头、颜色表、图像数据七、读取一个图像，并将其尺寸缩小0.5倍，将缩小后的图像旋转30度。

第10章 小波变换与JPEG 2000编码之小波变换虽然基于DCT 的JPEG 标准的压缩效果已经很不错，但在较高压缩比时会出现明显的马赛克现象，且不能渐进传输。

为了适应网络发展的需要，JPEG 于2000年底推出了采用DWT (Discrete Wavelet Transform 离散小波变换)的JPEG 2000标准。

小波变换是1980年代中期发展起来的一种时频分析方法，比DCT 这样的傅立叶变换的性能更优越，被广泛应用于调和分析、语音处理、图像分割、石油勘探和雷达探测等等方面，也被应用于音频、图像和视频的压缩编码。

本章先介绍小波变换的来龙去脉，然后分别介绍连续小波变换、离散小波变换、Haar 小波变换和整数小波变换，最后介绍JPEG 2000的编码算法和标准。

10.1 小波变换小波变换(wavelet transform)是傅立叶变换的发展，中间经历了窗口傅立叶变换。

原始数据一般是时间或空间信号，在时空上有最大分辨率。

时空信号经傅立叶变换后得到频率信号，在频域上有最大分辨率，但其本身并不包含时空定位信息。

窗口傅立叶变换通过对时空信号进行分段或分块进行时空-频谱分析，但由于其窗口的大小是固定的，不适用于频率波动大的非平稳信号。

而小波变换可以根据频率的高低自动调节窗口大小，是一种自适应的时频分析方法，具有多分辨分析功能。

本节先讨论小波变换与（窗口）傅立叶变换的关系，然后依次介绍连续小波变换、离散小波变换、Haar 小波变换和第二代小波变换（整数小波变换）。

10.1.1 傅立叶变换与小波变换傅立叶变换(Fourier transform)是法国科学家Joseph Fourier 发表于1822年的他在用无穷三角级数求解热传导偏微分方程时所提出的一种数学方法，它可将时空信号变换成频率信号。

鉴于傅立叶变换不含时空定位信息，（1971年的诺贝尔物理学奖获得者）匈牙利人Dennis Gabor 于1946年提出窗口傅立叶变换（window Fourier transform ）。

小波简介摘要小波是数学函数，它把数据分割成不同的频率成分，然后用与其规模相匹配的解决方案来研究每个频率成分，小波在物理情况下比传统的傅立叶方法有诸多的优点，即在信号包含不连续点和尖峰值的时候。

小波在数学，量子物理，电器工程和地质学方面都有独立的发展。

在过去的十年间这些独立的领域之间的交流导致了许多新的小波应用。

比如图象压缩，湍流，人的视觉，雷达，地震预测等。

本卷把小波介绍给那些数字信号处理领域之外的有兴趣的技术人员，我从傅立叶方法开始对小波的发展史做了描述，比较了小波变换和傅立叶变换，以及其他的特殊小波方面。

以一些有趣的例子作为结束，如图象压缩，音乐音调和去噪数据。

1：波回顾小波分析的基本方法是按照规模来分析，的确，一些小波领域的研究人员感觉通过使用小波你其实是在处理数据时候采用了一种全新的思维模式，或者说观点。

小波是可以满足特定数学要求的函数，被广泛用于数据重现和其他用途。

其实这种方法并不是一种新的方法，自从19世纪早期，当傅立叶发现他可以叠加正弦和余弦函数来重现其他的函数或应用时，这种利用叠加的近似已经存在了。

然而在小波分析的过程当中，我们用于观察数据的规模扮演了特殊的角色，小波分析方法以不同的规模和解决方案来处理数据，如果我们用一个小窗来观察信号，我们可以注意到一些微小的特征，小波分析的结果是我们既可以看到森林又可以看到树木。

这一切使得小波方法有趣而且有用。

数十年来，科学家希望找到比正弦和余弦（包括傅立叶分析法）更好更合适的函数来近似信号（1），经过这些科学家的定义，这些函数都是非本地的，是无限延拓的，他们因此也做了许多尖峰近似的工作，但随着小波分析的出现，我们可以用一些包含有限应用的近似函数，小波分析法特别适合于有尖峰成分的近似数据。

小波分析过程采用了一种小波原形函数，即所谓的分析小波或叫做母小波。

状态分析是和合同的，高频率，的原型小波一起起作用的，但是频率分析是与不合同的低频率的同小波一起起作用的，因为原始信号或函数可以以小波拓展的形式得到重现（即使用小波函数的线形组合的系数），数据操作可以只用相应的小波系数来完成。

小波变换教程小波变换教程一、序言欢迎来到这个小波变换的入门教程。

小波变换是一个相对较新的概念（大概十年的样子），但是有关于它的文章和书籍却不少。

这其中大部分都是由搞数学的人写给其他搞数学的人看的，不过，仍然有大部分搞数学的家伙不知道其他同行们讨论的是什么（我的一个数学教授就承认过）。

换言之，大多数介绍小波变换的文献对那些小波新手们来说用处不大（仅仅为个人观点）。

当我刚开始学习小波变换的时候，曾经为了弄明白这个神奇的领域到底说的是什么困扰了好多天，因为在这个领域的入门书籍少之又少。

为此我决定为那些小波新手们写这个入门级的教程。

我自己当然也是一个新手，也有很多理论性的细节没有弄清楚。

不过，考虑到其工程应用性，我觉得没有必要弄清楚所有的理论细节。

在这篇教程中，我将试图给出一些小波理论的基本原理。

我不会给出这些原理和相关公式的证明，因为我假定预期的读者在读这个教程时并不需要知道这些。

不过，感兴趣的读者可以直接去索引（所列的书籍）中获取更为深入的信息。

在这篇文档中，我假定你没有任何相关知识背景。

如果你有，请忽略以下的信息，因为都是一些很琐碎的东西。

如果你发现教程中有任何不一致或错误的信息，请联系我。

我将乐于看到关于教程的任何评论。

二、变换什么首先，我们为什么需要（对信号做）变换，到底什么是变换？原始信号中有一些信息是很难获取的，为了获得更多的信息，我们就需要对原始信号进行数学变换。

在接下来的教程中，我将时域内的信号视为原始信号，经过数学变换后的信号视为处理信号。

可用的变换有很多种，其中傅立叶变换可能是最受欢迎的一种。

实际中很多原始信号都是时域内的信号，也就是说不管信号是如何测得的，它总是一个以时间为变量的函数。

换言之，当我们画信号图的时候，横轴代表时间（独立变量），纵轴代表信号幅度（非独立变量）。

当我们画信号的时域图时，我们得到了信号的时幅表示。

对大多数信号处理应用来说，这种表示经常不是最好的表示。

在很多时候，大量特殊的信息是隐藏在信号的频率分量中的。

整数小波变换的matlab程序整数小波变换的matlab程序是一种用于对信号进行分析和处理的工具。

它可以将连续的信号转化为离散的信号，以实现对信号的不同频率组分的提取和处理。

在本文中，我们将一步一步地介绍整数小波变换的Matlab 程序。

首先，我们需要明确整数小波变换的概念。

整数小波变换是一种将信号分解为不同频率下的子信号和低频近似部分的方法。

通过将信号与特定的小波基函数进行卷积，可以得到不同频率分量的系数。

整数小波变换不仅能够提取信号的频率信息，还能提供时间和频率的局部化。

在Matlab中实现整数小波变换，首先需要加载信号。

在这个例子中，我们将使用经典的ECG信号作为输入信号。

可以使用以下代码将ECG信号加载到Matlab环境中：load('ecg_data.mat');接下来，我们可以定义小波基函数。

在整数小波变换中，通常使用的小波基函数有Haar小波、Symlet小波和Daubechies小波。

在这个例子中，我们选择使用Daubechies小波，可以使用以下代码定义：wname = 'db4';接下来，我们需要将信号进行分解。

Matlab提供了一个名为`wavedec`的函数，可以用于对信号进行离散小波变换。

以下是分解信号的代码：[coeff, l] = wavedec(ecg_data, N, wname);在这个代码中，`wavedec`函数的第一个参数是输入信号，第二个参数是分解的层数N，第三个参数是小波基函数的名称。

`wavedec`函数将返回分解系数和信号的长度l。

接下来，我们可以提取不同频率分量的系数。

通过对分解系数进行适当的索引，可以得到不同频率分量的系数。

以下是提取不同频率系数的代码：cA = appcoef(coeff, l, wname, 1);cD1 = detcoef(coeff, l, 1);cD2 = detcoef(coeff, l, 2);在这个代码中，`appcoef`函数是用于提取低频近似系数的函数，`detcoef`函数是用于提取详细系数的函数。

小波变换原理
小波变换是一种多用途的数学工具，自20世纪80年代以来已被广泛应用于数字图像处理领域。

小波变换把一个原始信号分解成多组低频信号和高频信号，通过分析低频信号来推断信号的趋势，考虑高频信号来掌握信号的细节，从而更好地提取信号中有价值的信息。

小波变换是一种类似滤波的多尺度变换技术，它是在时间上对信号的分解，即结合滤波和重构的形式来分析信号的多尺度特性，这样就可以在时间和频率范围内把信号分解成层次结构。

小波变换有两种基本模式：分解型和完全型。

分解型小波变换以采样频率为基础，把信号分解为几种不同尺度的波形，比如高频离散小波变换(DWT)或高斯小波变换(GWT)。

完全型小波变换是通过不同尺度的小波基函数进行分析的，比如曲线匹配和多项式建模技术。

小波变换的一个重要应用就是图像压缩。

图像压缩技术通常有两种应用模式：无损和有损。

无损图像压缩是指在压缩过程中不会出现失真，而有损图像压缩就是指在压缩过程中可能会出现一定程度的失真。

小波变换无损图像压缩技术采用分层多尺度分解的方法，通过把图像分解成多组低频和高频信号，只保留部分低频信号，忽略掉大部分高频信号，这样可以实现图像的压缩。

此外，小波变换还广泛应用于计算机视觉领域，可用于图像去噪处理、边缘检测和形态学处理等，可以帮助计算机识别图像中的目标对象，当然，小波变换也可以应用于其他领域，如声学、天气预报等。

综上所述，小波变换是一种强大的数学工具，可以帮助我们更好
地分析和处理信号，从而提取有价值的信息。

它在图像处理中的应用越来越广泛，还可以用于计算机视觉和其他领域，受到了广泛的关注。

小波变换与图像处理一：引言本文从二维小波理论出发，对其在图像处理的应用上进行了一些分析和处理，力图反映出小波分析在图像处理方面有着其独特的特点。

本文就以下几点进行阐述：①小波基本概念②图像压缩③图像消噪④图象增强⑤图象平滑处理二：小波基本概念小波定义：设,其傅立叶变换为,当满足允许条件，即完全重构条件或恒等分辨条件.时，我们称为一个基本小波或母小波，将母函数经伸缩和平移后，得。

我们称其为一个小波序列。

其中a为伸缩因子，b为平移因子。

小波变换是一种信号的时间--尺度分析方法，他具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可变，时间窗和频率窗都可变的时频局部化分析方法。

即再低频部分具有较高的频率分辨率和时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。

波分析是把信号分解成低频al和高频dl两部分，在分解中，低频al中失去的信息由高频dl捕获。

在下一层的分解中，又将al分解成低频a2和高频d2两部分，低频a2中失去的信息由高频d2捕获，如此类推下去，可以进行更深层次的分解。

二维小波函数是通过一维小波函数经过张量积变换得到的，二维小波函数分解是把尺度j的低频部分分解成四部分：尺度j+1的低频部分和三个方向(水平、垂直、斜线)的高频部分。

三：图像压缩对于图像来说，如果需要进行快速或实时传输以及大量存储，就需要对图像数据进行压缩。

在同样的通信容量下，如果图像数据压缩后在传输，就可以传输更多的图像信息。

例如，用普通的电话线传输图像信息。

图像压缩研究的就是寻找高压缩比的方法且压缩后的图像要有合适的信噪比,在压缩传输后还要恢复原信号，斌且在压缩、传输、恢复的过程中，还要求图像的失真度小。

这就是图像压缩的研究问题。

图像数据往往存在各种信息的冗余、如空间冗余、信息熵冗余、视觉冗余和结构冗余等等。