2020-2021中考数学——平行四边形的综合压轴题专题复习及答案

专题03《平行四边形》平行四边形以及由它衍生出来的矩形、菱形、正方形与梯形共同组成了一个和睦完美的“幸福之家”．同学们通过图形的变换与探索，对这一“家庭成员”以及相互关系进行了了解和认识，并能利用各成员的性质解决简单的问题．现在让我们再次走进这个“幸福之家”，去挖掘你所需的“宝藏”．一、思维导图二、知识回顾1. 四边形的“全家福”2. 平行四边形定义有两组______的四边形叫做平行四边形.3. 平行四边形的性质平行四边形的对边______.平行四边形的对角______.平行四边形的对角线______；平行线之间距离处处______.一组对边______的四边形是平行四边形；4. 平行四边形的判定对角线______的四边形是平行四边形.两组对角______的四边形是平行四边形.一组对边______的四边形是平行四边形.两组对边______的四边形是平行四边形.连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的______.三角形的中位线平行于______，并且等于它的______.5. 矩形有一个角是______的平行四边形是矩形.矩形的四个内角都是______，对角线______且______；直角三角形斜边上的中线等于斜边的＿＿＿. 对角线______的平行四边形是矩形，有三个角是______的四边形是矩形.6. 菱形有一组邻边______的平行四边形，叫做菱形.菱形的四条边都______，菱形的两条对角线______，并且每一条对角线平分每一组______.四条边______的四边形是菱形.7. 正方形正方形是______的菱形；正方形是______的矩形.三、中考链接考点1：平行四边形的性质例1（2020·湖南邵阳）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E ，B ，D ，F 在同一条直线上，请添加一个条件使得ABE CDF △≌△，下列不正确．．．的是（ ）A ．AE CF =B ．AEB CFD ∠=∠C ．EAB FCD ∠=∠ D ．BE DF =【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可.【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠ABD=∠BDC ，∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF ，∴∠ABE=∠CDF ，A.若添加AE CF =，则无法证明ABE CDF △≌△，故A 错误；B.若添加AEB CFD ∠=∠，运用AAS 可以证明ABE CDF △≌△，故选项B 正确；C.若添加EAB FCD ∠=∠，运用ASA 可以证明ABE CDF △≌△，故选项C 正确；D.若添加BE DF =，运用SAS 可以证明ABE CDF △≌△，故选项D 正确．故选：A ．【名师点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．考点2：平行四边形的判定例2（2020·湖南衡阳）如图,在四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）A ．AB ∥DC ,AB =DC B ．AB =DC ,AD =BC C ．AB ∥DC ,AD =BC D ．OA=OC ,OB =OD【答案】C【分析】根据平行四边形的判定方法逐项分析即可.【解析】A. ∵ AB ∥DC ,AB =DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形；B. ∵ AB =DC ,AD =BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形；C.等腰梯形ABCD 满足 AB ∥DC ,AD =BC ，但四边形ABCD 是平行四边形；D. OA=OC ,OB =OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形；故选C.【名师点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤.两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 考点3：三角形中位线定理例3（2020·内蒙古赤峰）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点F 是线段DE 上的一点连接AF ，BF ，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF 的长是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可．【解析】∵∠AFB=90°，点D 是AB 的中点，∴DF=12AB=4， ∵BC= 14，D 、E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE=12BC=7，∴EF=DE -DF=3，故选：B 【名师点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．考点4：矩形的性质例4（2020·贵州毕节）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是AO ，AD 的中点，连接EF ，若6AB cm =，8BC cm =，则EF 的长是（ ）A ．2.2cmB ．2.3cmC ．2.4cmD ．2.5cm【答案】D 【分析】由勾股定理求出BD 的长，根据矩形的性质求出OD 的长，最后根据三角形中位线定理得出EF 的长即可．【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD ，OA=OC=OD=OB ，∵6AB cm =，8BC cm =，∴10cm = ∴BD=10cm ，∴152OD BD cm ==， ∵点E ，F 分别是AO ，AD 的中点，∴115 2.522EF OD cm ==⨯=．故选：D ． 【名师点睛】本题考查矩形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 考点5：菱形的性质例5（2020·江苏无锡）如图，在菱形ABCD 中，50B ∠=︒，点E 在CD 上，若AE AC =，则BAE ∠=__________．【答案】115°【分析】先根据菱形性质求出∠BCD ，∠ACE ，再根据AE AC =求出∠AEC ，最后根据两直线平行，同旁内角互补解题即可．【解析】四边形ABCD 是菱形，50B ∠=︒，∴AB ∥CD ，∴∠BCD=180°-∠B=130°，∠ACE=12∠BCD=65°， ∵ AE AC =，∴∠ACE=∠AEC=65°，∴∠BAE=180°-∠AEC=115°．【名师点睛】本题考查了菱形性质，等腰三角形性质，解题方法较多，根据菱形性质求解∠ACE 是解题关键．考点6：菱形的判定例6（2020·内蒙古通辽）如图，AD 是ABC 的中线，四边形ADCE 是平行四边形，增加下列条件，能判断ADCE 是菱形的是( )A ．90BAC ∠=︒B ．90DAE ∠=︒C ．AB AC =D ．AB AE =【答案】A 【分析】根据菱形的判定方法逐一分析即可.【解析】A 、若90BAC ∠=︒，则AD=BD=CD=AE ，∵四边形ADCE 是平行四边形，则此时四边形ADCE 为菱形，故选项正确；B 、若90DAE ∠=︒，则四边形ADCE 是矩形，故选项错误；C 、若AB AC =，则∠ADC=90°，则四边形ADCE 是矩形，故选项错误；D 、若AB AE =，而AB ＞AD ，则AE≠AD ，无法判断四边形ADCE 为菱形，故选项错误.故选A.【名师点睛】本题考查了菱形的判定，还涉及到平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握判定定理.考点7：正方形的性质例7（2020·内蒙古呼和浩特）如图，正方形ABCD ，G 是BC 边上任意一点（不与B 、C 重合），DE AG ⊥于点E ，//BF DE ，且交AG 于点F ．（1）求证：；（2）四边形BFDE 是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点G 的位置，如不可能请说明理由．AF BF EF -=【答案】（1）见解析；（2）不可能，理由见解析.【分析】（1）证明△ABF≌△DAE，从而得到AF=DE，AE=BF，可得结果；（2）若要四边形BFDE是平行四边形，则DE=BF，则∠BAF=45°，再证明∠BAF≠45°即可.【解析】（1）证明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAF+∠DAE=90°，∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BAF，BF DE，∴∠BFA=90°=∠AED，∴△ABF≌△DAE（AAS），又∵//-=-=；∴AF=DE，AE=BF，∴AF BF AF AE EF（2）不可能，理由是：如图，若要四边形BFDE是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE=BF时，四边形BFDE为平行四边形，∵DE=AF，∴BF=AF，即此时∠BAF=45°，而点G不与B和C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形BFDE不能是平行四边形.【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是找到三角形全等的条件.第18章平行四边形达标检测一、选择题(每题3分,共30分)1.下列条件中，不能判定四边形为平行四边形是（）A. 一组对边平行，另一组对边相等B. 一组对边平行且相等C. 两组对边分别平行D. 对角线互相平分2.给出平面上不在同一直线上的三个点，则以此三点为顶点的平行四边形有（）A.1个B.2个C.3个D4个3. 已知□ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是（）A．100° B．160° C．80° D．60°4.（2020·湖南湘西）下列说法中，不正确．．．是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形5.（2020·江苏南通）下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD6.如图，如果□ABCD的对角线AC和BD相交于点O，那么图中全等的三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对7.（2020·山东滨州）下列命题是假命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．8.如图，矩形ABCD沿着AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果∠BAF＝60°,则DAE等于（）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD的周长为（）A．20 B．18 C．16 D．1510.（2020·山东菏泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（ ）A ．互相平分B ．相等C ．互相垂直D ．互相垂直平分二、填空题(每题3分,共30分)11.已知在□ABCD 中，AB =14cm ，BC =16cm ，则此平行四边形的周长为 cm .12.（2020·黑龙江）如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件____，使四边形ABCD 是平行四边形（填一个即可）．13.如图，正方形ABCD 的对线AC 、BD 相交于点O ．那么图中共有 个等腰直角三角形.14. （2020·内蒙古）如图，在平行四边形ABCD 中，2,AB ABC =∠的平分线与BCD ∠的平分线交于点E ，若点E 恰好在边AD 上，则22BE CE +的值为______．15. （2020•无锡）如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝50°，点E 在CD 上，若AE ＝AC ，则∠BAE ＝ °．16.如图，□ABCD 中，AE 平分∠BAD ，AD =6cm,AB =9cm,则CE =________cm ．17. （2020·江苏徐州）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点，若5BF =，则DE =_______．18. 我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．．．．．．现有一个对角线分别为6cm 和8cm 的菱形，它的中点四边形的对角线长是 ．19. （2020·浙江金华）如图，平移图形M ，与图形N 可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是______°．20.如图,l 是四边形ABCD 的对称轴,如果AD ∥BC ,有下列结论: (1)AB ∥CD ;(2)AB=CD ;(3)AB ⊥BC ;(4)AO=OC .其中正确的结论是 ．(把你认为正确的结论的序号都填上)三、解答题(共60)21. （6分）（2020·山东济南）如图，在▱ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点 O ，过点 O 的一条直线分别交 AD ，BC 于点 E ，F ．求证：AE=CF ．22. （6分）（2020·四川自贡）如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且,连接和相交于点．求证： ．23. （6分）如图12, □ABCD 中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG ,∠DGE =100°.(1)试说明DF=BG ；(2)试求AFD ∠的度数.24. （6分）（2020·湖南娄底）如图，ABCD 中，2BC AB =，AB AC ⊥，分别在边BC 、AD 上的点E 与点F 关于AC 对称，连接EF 、AE 、CF 、DE ．（1）试判定四边形AECF 的形状，并说明理由；（2）求证：AE DE ⊥25. （8分）先阅读下面的题目及解题过程，再根据要求回答问题．如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线与BC 边相交于点E ，∠ABC 的平分线与AD 边相交于点F ，AE 与BF 相交于O ，试说明四边形ABEF 是菱形．解：①∵四边形ABCD 是平行四边形，ABCD E BC F CD CE DF =AE BF M AE BF=A BC D 图1 ②∴AD ∥BC ，③∠ABE +∠BAF =1800，④∵AE ，BF 分别是∠BAF ，∠ABE 的平分线，⑤∴∠1=∠2=∠BAF ，∠3=∠4=∠ABE ， ⑥∴∠1+∠3=（∠BAF +∠ABE ）=900 ⑦∴∠AOB =900⑧∴AE ⊥BF⑨∴四边形ABEF 是菱形．(1)上述解题过程是 否正确？________．(2)如有错误，在第___步到第___步推理错误，应在第_____步后添加如下步骤：________．26. （8分）如图1，有一张菱形纸片ABCD ，AC ＝8，BD ＝6．（1）请沿着AC 剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分分拼成一个平行四边形，在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形；若沿着BD 剪开，请在图3中用实线画出拼成的平行四边形；并直接写出这两个平行四边形的周长．（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4中用实线画出拼成的平行四边形．（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）27.（10分）（2020·四川遂宁）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别是线段BC 、AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：△BDE ≌△F AE ；（2）求证：四边形ADCF 为矩形．212121 A B C D 图3 周长________ A B C D 图4 A B C D 图2周长________28.（10分）（2020·浙江嘉兴）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF 拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．（思考）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．（发现）当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE （如图4）．（探究）当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．。

2020-2021备战中考数学压轴题专题复习——平行四边形的综合含答案一、平行四边形1．如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．（1）求证：AD=EC；（2）当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先证四边形ABDE是平行四边形，再证四边形ADCE是平行四边形即可；（2）由∠BAC=90°，AD是边BC上的中线，得AD=BD=CD，即可证明.【详解】(1)证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，∵AD是边BC上的中线，∴BD=DC，∴AE=DC，又∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形.(2) 证明：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的中线.∴AD=CD∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理.根据图形与已知条件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键.2．如图（1）在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为G 交AD于F（1）求证：AF＝DE；（2）连接DG，若DG平分∠EGF，如图（2），求证：点E是CD中点；（3）在（2）的条件下，连接CG，如图（3），求证：CG＝CD．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CG＝CD，见解析．【解析】【分析】（1）证明△BAF≌△ADE（ASA）即可解决问题．（2）过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．想办法证明AF＝DF，即可解决问题．（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DE＝CD，利用直角三角形斜边中线的性质，只要证明BC＝CP即可．【详解】（1）证明：如图1中，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90o，∴∠2+∠3＝90°又∵BF⊥AE，∴∠AGB＝90°∴∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠3在△BAF与△ADE中，∠1=∠3 BA=AD ∠BAF=∠D，∴△BAF≌△ADE（ASA）∴AF＝DE．（2）证明：过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．由（1）得∠1＝∠3，∠BGA＝∠AND＝90°，AB＝AD ∴△BAG≌△ADN（AAS）∴AG＝DN，又DG平分∠EGF，DM⊥GF，DN⊥GE，∴DM＝DN，∴DM＝AG，又∠AFG＝∠DFM，∠AGF＝∠DMF∴△AFG≌△DFM（AAS），∴AF＝DF＝DE＝12AD＝12CD，即点E是CD的中点．（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DE＝CD，∠ADE＝∠ECP＝90°，∠DEA＝∠CEP，∴△ADE≌△PCE（ASA）∴AE＝PE，又CE∥AB，∴BC＝PC，在Rt△BGP中，∵BC＝PC，∴CG＝12BP＝BC，∴CG＝CD．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．3．(1)如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD ．①求证：四边形BFDE 是菱形；②直接写出∠EBF 的度数；(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，点G 、I 分别在BF 、BE 边上，且BG=BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长，交ED 于点J ，连接IJ 、IH 、IF 、IG.试探究线段IH 与FH 之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD 满足AB=AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE 、EF 、DF ，使△DEF 是等腰直角三角形，DF 交AC 于点G.请直接写出线段AG 、GE 、EC 三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH ＝3FH ；（3）EG 2＝AG 2+CE 2．【解析】【分析】（1）①由△DOE ≌△BOF ，推出EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ＝ED 即可．②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题．（2）IH ＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OB ＝OD ，∴∠EDO ＝∠FBO ，在△DOE 和△BOF 中，EDO FBO OD OBEOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ，∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ，∴EB ＝ED ，∴四边形EBFD 是菱形．②∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABE ＝∠EBD ，∵EB ＝ED ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∴∠ABD ＝2∠ADB ，∵∠ABD +∠ADB ＝90°，∴∠ADB ＝30°，∠ABD ＝60°，∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠OBF ＝30°，∴∠EBF ＝60°．（2）结论：IH＝3FH ．理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ ．∵四边形EBFD 是菱形，∠B ＝60°，∴EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ，∴∠JDH ＝∠FGH ，在△DHJ 和△GHF 中，DHG GHF DH GHJDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DHJ ≌△GHF ，∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ，∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ，∴BE ＝IM ＝BF ，∵∠MEJ ＝∠B ＝60°，∴△MEJ 是等边三角形，∴MJ ＝EM ＝NI ，∠M ＝∠B ＝60°在△BIF 和△MJI 中，BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BIF ≌△MJI ，∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ，∴IH ⊥JF ，∵∠BFI +∠BIF ＝120°，∴∠MIJ +∠BIF ＝120°，∴∠JIF ＝60°，∴△JIF 是等边三角形，在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°，∴∠FIH ＝30°，∴IH＝3FH ．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，∵∠FAD +∠DEF ＝90°，∴AFED 四点共圆，∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°，∴∠ADF +∠EDC ＝45°，∵∠ADF ＝∠CDM ，∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ，在△DEM 和△DEG 中，DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△DEG ≌△DEM ，∴GE ＝EM ，∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ，∴∠ECM ＝90°∴EC 2+CM 2＝EM 2，∵EG ＝EM ，AG ＝CM ，∴GE 2＝AG 2+CE 2．【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.4．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ⊥DB ，垂足为点D ，将平行四边形ABCD 折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF＝120°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折叠可知，BC＝DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴AE PD1==BE BP∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜边上的中线，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等边三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60°，∵AB∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60°，∴∠EDF＝120°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度5．已知AD是△ABC的中线P是线段AD上的一点（不与点A、D重合），连接PB、PC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AD与EF交于点M；（1）如图1，当AB＝AC时，求证：四边形EGHF是矩形；（2）如图2，当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△BPE面积相等的三角形（不包括△BPE本身）．【答案】（1）见解析；（2）△APE、△APF、△CPF、△PGH．【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得出EG∥AP，EF∥BC，EF=12BC，GH∥BC，GH=12BC，推出EF∥GH，EF=GH，证得四边形EGHF是平行四边形，证得EF⊥AP，推出EF⊥EG，即可得出结论；（2）由△APE与△BPE的底AE=BE，又等高，得出S△APE=S△BPE，由△APE与△APF的底EP=FP，又等高，得出S△APE=S△APF，由△APF与△CPF的底AF=CF，又等高，得出S△APF=S△CPF，证得△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，推出S△PGH=12S△AEF=S△APF，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，∴EG∥AP，EF∥BC，EF＝12BC，GH∥BC，GH＝12BC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EGHF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴EF⊥AP，∵EG∥AP，∴EF⊥EG，∴平行四边形EGHF是矩形；（2）∵PE是△APB的中线，∴△APE与△BPE的底AE＝BE，又等高，∴S△APE＝S△BPE，∵AP是△AEF的中线，∴△APE与△APF的底EP＝FP，又等高，∴S△APE＝S△APF，∴S△APF＝S△BPE，∵PF是△APC的中线，∴△APF与△CPF的底AF＝CF，又等高，∴S△APF＝S△CPF，∴S△CPF＝S△BPE，∵EF∥GH∥BC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，∴△AEF底边EF上的高等于△ABC底边BC上高的一半，△PGH底边GH上的高等于△PBC 底边BC上高的一半，∴△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，∵GH＝EF，∴S△PGH＝12S△AEF＝S△APF，综上所述，与△BPE面积相等的三角形为：△APE、△APF、△CPF、△PGH．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，40），直线AB：y＝13x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH．（1）求边EF的长；（2）将正方形EFGH沿射线FB10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）．①当点F1移动到点B时，求t的值；②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE重叠部分的面积．【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；【解析】【分析】（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-43x+40，可求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，1010=10；②F点移动到F'10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在Rt△F'NF中，NFNF'=13，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，43MHEM'=，t=4，S=12×(12+454)×11=10238；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，PKF K'=13，PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，PKKG'＝31539tt--+＝43，t=7，S=15×（15-7）=120.【详解】（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），∴30040k bb+=⎧⎨=⎩，∴4340kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y＝﹣43x+40，直线AB与直线DE的交点P（21，12），由题意知F（30，15），∴EF＝15；（2）①易求B（0，5），∴BF＝10，∴当点F 1移动到点B 时，t ＝101010÷＝10； ②当点H 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'的距离是10t ，在Rt △F'NF 中，NF NF '=13， ∴FN ＝t ，F'N ＝3t ，∵MH'＝FN ＝t ，EM ＝NG'＝15﹣F'N ＝15﹣3t ，在Rt △DMH'中，43MH EM '=， ∴41533t t =-， ∴t ＝4， ∴EM ＝3，MH'＝4，∴S ＝1451023(12)11248⨯+⨯=； 当点G 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'10，∵PF ＝10∴PF'10t ﹣10，在Rt △F'PK 中，13PK F K ='， ∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9，在Rt △PKG'中，PK KG '＝31539t t --+＝43， ∴t ＝7，∴S ＝15×（15﹣7）＝120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．7．如图所示，矩形ABCD 中，点E 在CB 的延长线上，使CE ＝AC ，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接BF 、DF ，求证：BF ⊥DF ．【答案】见解析.【解析】【分析】延长BF ，交DA 的延长线于点M ，连接BD ，进而求证△AFM ≌△EFB ，得AM =BE ，FB =FM ，即可求得BC +BE =AD +AM ，进而求得BD =BM ，根据等腰三角形三线合一的性质即可求证BF ⊥DF ．【详解】延长BF ，交DA 的延长线于点M ，连接BD ．∵四边形ABCD 是矩形，∴MD ∥BC ，∴∠AMF =∠EBF ，∠E =∠MAF ，又FA =FE ，∴△AFM ≌△EFB ，∴AM =BE ，FB =FM ．∵矩形ABCD 中，∴AC =BD ，AD =BC ，∴BC +BE =AD +AM ，即CE =MD ．∵CE =AC ，∴AC =CE = BD =DM ．∵FB =FM ，∴BF ⊥DF ．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，本题中求证DB =DM 是解题的关键．8．如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处．AB′与CD交于点E．（1）求证：△AED≌△CEB′；（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得AD=BC=B'C，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS证明全等，则结论可得；（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠∴BC＝B'C，∠B＝∠B'∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC∴△ADE≌△B'EC（2）四边形AECF是菱形∵△ADE≌△B'EC∴AE＝CE∵AE＝CE，EF⊥AC∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF∴AF＝CF∵CD∥AB∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF∴∠AEF＝∠EFA∴AF＝AE∴AF＝AE＝CE＝CF∴四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键．9．问题情境在四边形ABCD 中，BA ＝BC ，DC ⊥AC ，过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ，M 是边AD 的中点，连接MB ，ME.特例探究(1)如图1，当∠ABC ＝90°时，写出线段MB 与ME 的数量关系，位置关系；(2)如图2，当∠ABC ＝120°时，试探究线段MB 与ME 的数量关系，并证明你的结论； 拓展延伸(3)如图3，当∠ABC ＝α时，请直接用含α的式子表示线段MB 与ME 之间的数量关系．【答案】(1)MB ＝ME ，MB ⊥ME ；(2)ME ＝3MB ．证明见解析；(3)ME ＝MB·tan 2α. 【解析】【分析】（1）如图1中，连接CM ．只要证明△MBE 是等腰直角三角形即可；（2）结论：EM=3MB ．只要证明△EBM 是直角三角形，且∠MEB=30°即可； （3）结论：EM=BM•tan2α．证明方法类似； 【详解】(1) 如图1中，连接CM ．∵∠ACD=90°，AM=MD ，∴MC=MA=MD ，∵BA=BC ，∴BM 垂直平分AC ，∵∠ABC=90°，BA=BC ，∴∠MBE=12∠ABC=45°，∠ACB=∠DCE=45°， ∵AB ∥DE ，∴∠ABE+∠DEC=180°，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=∠CDE=45°，∴EC=ED ，∵MC=MD ，∴EM 垂直平分线段CD ，EM 平分∠DEC ，∴∠MEC=45°，∴△BME 是等腰直角三角形，∴BM=ME ，BM ⊥EM ．故答案为BM=ME ，BM ⊥EM ．(2)ME ＝3MB ．证明如下：连接CM ，如解图所示．∵DC ⊥AC ，M 是边AD 的中点，∴MC ＝MA ＝MD ．∵BA ＝BC ，∴BM 垂直平分AC ．∵∠ABC ＝120°，BA ＝BC ，∴∠MBE ＝12∠ABC ＝60°，∠BAC ＝∠BCA ＝30°，∠DCE ＝60°. ∵AB ∥DE ，∴∠ABE ＋∠DEC ＝180°，∴∠DEC ＝60°，∴∠DCE ＝∠DEC ＝60°，∴△CDE 是等边三角形，∴EC ＝ED ．∵MC ＝MD ，∴EM 垂直平分CD ，EM 平分∠DEC ， ∴∠MEC ＝12∠DEC ＝30°， ∴∠MBE ＋∠MEB ＝90°，即∠BME ＝90°.在Rt △BME 中，∵∠MEB ＝30°，∴ME 3．(3) 如图3中，结论：EM=BM•tan 2．理由：同法可证：BM ⊥EM ，BM 平分∠ABC ，所以EM=BM•tan 2． 【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．10．在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=8，现将纸片折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，连接DF ．（1）说明△BEF 是等腰三角形；（2）求折痕EF 的长．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】 （1）根据折叠得出∠DEF =∠BEF ，根据矩形的性质得出AD ∥BC ，求出∠DEF =∠BFE ，求出∠BEF =∠BFE 即可；（2）过E 作EM ⊥BC 于M ，则四边形ABME 是矩形，根据矩形的性质得出EM =AB =6，AE =BM ，根据折叠得出DE =BE ，根据勾股定理求出DE 、在Rt △EMF 中，由勾股定理求出即可．【详解】（1）∵现将纸片折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，∴∠DEF =∠BEF ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DEF =∠BFE ，∴∠BEF =∠BFE ，∴BE =BF ，即△BEF 是等腰三角形；（2）过E 作EM ⊥BC 于M ，则四边形ABME 是矩形，所以EM =AB =6，AE =BM ．∵现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，∴DE=BE，DO=BO，BD⊥EF．∵四边形ABCD是矩形，BC=8，∴AD=BC=8，∠BAD=90°．在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，即（8﹣BE）2+62=BE2，解得：BE==DE=BF，AE=8﹣DE=8﹣==BM，∴FM=﹣=．在Rt△EMF中，由勾股定理得：EF==．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质和矩形性质、勾股定理等知识点，能熟记折叠的性质是解答此题的关键．11．如图，抛物线y=mx2+2mx+n经过A（﹣3，0），C（0，﹣32）两点，与x轴交于另一点B．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，写出点E的坐标，并求AC、BE的交点F的坐标（3）若抛物线的顶点为D，连结DC、DE，四边形CDEF是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．【答案】（1）y=12x2+x﹣32；（2）F点坐标为（﹣1，﹣1）；（3）四边形CDEF是菱形．证明见解析【解析】【分析】将A、C点的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得该抛物线的解析式；根据（1）题所得的抛物线的解析式，可确定抛物线的对称轴方程以及B、C点的坐标，由CE∥x轴，可知C、E关于对称轴对称。

人教版八年级下册第18章《平行四边形》章末专题复习《中位线》相关训练一．选择题1．如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且∠AED＝90°+∠C，则BC+2AE 等于（）A．AB B．AC C．AB D．AC2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，F，G为BC上的点，连接DG、EF，若AB＝5cm，BC＝8cm，FG＝4cm，则△HFG的面积为（）A．1cm2B．1.5cm2C．2cm2D．3cm23．如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度（）A．保持不变B．逐渐变小C．先变大，再变小D．逐渐变大4．如图，在三边互不相等的△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，连接DE，过点C作CM∥AB交DE的延长线于点M，连接CD、EF交于点N，则图中全等三角形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对5．如图，在△ABC中，动点P在AB边上由点A向点B以3cm/s的速度匀速运动，则线段CP的中点Q运动的速度为（）A．3cm/s B．2cm/s C．1.5cm/s D．1cm/s6．如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（）A．1B．C．D．7．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝6，AC＝9，则MD的长为（）A．3B．C．5D．8．如图，点B是直线l外一点，在l的另一侧任取一点K，以B为圆心，BK为半径作弧，交直线l于点M、N；再分别以M、N为圆心，以大于MN为半径作弧，两弧相交于点P；连接BP交直线l于点A；点C是直线l上一点，点D、E分别是线段AB、BC的中点；F在CA的延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝8，AB＝6，则四边形AEDF的周长为（）A．8B．10C．16D．189．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝8，BC＝14，则线段EF的长为（）A．2B．3C．5D．610．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E，F分别是AC，BC上两点，AE＝16，BF＝12，点P，Q，D分别是AF，BE，AB的中点，则PQ的长为（）A．10B．8C．2D．2011．如图，BD、CE是△ABC的两条角平分线，AN⊥BD于点N，AM⊥CE于点M，连接MN，若△ABC的周长为17，BC＝7，则MN的长度为（）12．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD与BC的和是12，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则△EFG的周长是（）A．8B．9C．10D．1213．如图，△ABC的周长为32，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（）A．3B．4C．5D．614．如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是中线，CF⊥AD于点F，AC＝5，AB＝13，则EF的长为（）A．B．C．3D．415．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6．M是BD的中点，则CM的长为（）二．填空题（共10小题）16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD ＝6，则EF＝．17．△ABC中，∠ACB＝90°，BD＝AC，M、N分别为CD、AB的中点，CD＝2，MN＝2，则CN＝．18．如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠BCD＝220°，E、F分别是AC、BD的中点，P 是AB边上的中点，则∠EPF＝°．19．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝．20．如图，四边形ABCD中，∠BMF+∠CNF＝90°，E、F分别是AD、BC的中点，AB＝5，CD＝12，则EF＝．21．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝2，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在的直线对称，点D，E分别为AB，BC的中点，连接DE 并延长交A′C所在直线于点F，连接A′E，当△A′EF为直角三角形时，AB的长为．22．如图，在△ABC中，D为BC边中点，P为AC边中点，E为BC上一点且BE＝CE，连接AE，取AE中点Q并连接QD，取QD中点G，延长PG与BC边交于点H，若BC ＝6，则HE＝．23．在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC＝4，BD＝8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF＝．24．如图，△ABC的顶点落在两条平行线上，点D、E、F分别是△ABC三边中点，平行线间的距离是8，BC＝6，移动点A，当CD＝BD时，EF的长度是．25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CD与△ABC的两条角平分线AE，BF分别交于H，G两点，点P，Q分别为HE，GF的中点，连接PQ，若AC＝4，BC＝6，则PQ的长为．三．解答题（共7小题）26．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长分别与BA、CD的延长线交于点M、N，∠BME与∠CNE的大小关系如何？试说明理由．27．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD中点，连EF交BD、AC于P、Q求证：OP＝OQ．28．（1）如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．求证：FG＝（AB+BC+AC）．[提示：分别延长AF、AG与直线BC相交]（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．29．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不必证明）（温馨提示：在图（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE．HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME＝∠CNE）（1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E．F分别是BC．AD 的中点，连接EF，分别交CD．BA于点M．N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．（2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E．F分别是BC．AD 的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD形状并证明．30．如图，在△ABC中，D为AC上一点，AB＝CD，F是AD的中点，M为BC的中点，连接MF并延长交BA延长线于点E，G为EF的中点，求证：AG⊥ME．31．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME＝∠CNE；（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）（2）如图2，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求FE的长度．32．如图，在四边形ABCD中，BC、AD不平行，且∠BAD+∠ADC＝270°，E、F分别是AD、BC的中点，已知EF＝4，求AB2+CD2的值．参考答案一．选择题1．解：如图，过点B作BF∥DE交AC于点F．则∠BFC＝∠DEF．又∵点D是AB的中点，∴EF＝AE．∵∠DEF＝∠BFC＝180°﹣∠AED＝180°﹣（90°+∠C）＝90°﹣∠C，∴∠FBC＝∠BFC，∴BC＝FC，∴BC+2AE＝AC．故选：B．2．解：连接，作AK⊥BC于K．∵AB＝AC，∴BK＝CK＝BC＝×8＝4，在Rt△ABK中，AK＝＝＝3，∵D、E分别是AB，AC的中点，∴DE是中位线，即平分三角形的高且DE＝8÷2＝4，∴DE＝BC＝FG，∴△DEH≌△GFH，H也是DG，EF的中点，∴△HFG的高是AK÷2＝1.5÷2＝0.75，∴S△HFG＝4×0.75÷2＝1.5．故选：B．3．解：连接AQ，∵点Q是边BC上的定点，∴AQ的大小不变，∵E，F分别是AP，PQ的中点，∴EF＝AQ，∴线段EF的长度保持不变，故选：A．4．解：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴∠EDC＝∠FCD，∵F是BC边的中点，∴CF＝BC，∴DE＝CF，在△DNE和△CNF中，∴△DNE≌△CNF（AAS），同理△AED≌△CEM，∵E、F分别是AC、BC边的中点，∴EF∥AB，又CM∥AB，∴CM∥EF，∵DE∥BC，CM∥EF，∴四边形EFCM是平行四边形，∴△EFC≌△CME，△BCD≌△MDC，∴△EFC≌△ADE，∴图中全等三角形共有5对故选：C．5．解：取AC的中点H，连接QH，当点P与点A重合时，点Q与点H重合，∵点Q是线段CP的中点，点H为AC的中点，∴QH＝AP，∵动点P在AB边上由点A向点B以3cm/s的速度匀速运动，∴点Q运动的速度为1.5cm/s，故选：C．6．解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME＝EB，又AD＝DB，∴DE＝AM，DE∥AM，∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝120°，∵CM＝CA，∴∠ACN＝60°，AN＝MN，∴AN＝AC•sin∠ACN＝，∴AM＝，∵BD＝DA，BE＝EM，∴DE＝，故选：B．7．解：延长BD交CA的延长线于E，∵AD为∠BAE的平分线，BD⊥AD，∴∠EAD＝∠BAD，∠ADE＝∠ADB＝90°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADB（ASA），∴BD＝DE，AB＝AE＝6，∴CE＝AC+AE＝9+6＝15，又∵M为△ABC的边BC的中点，∴DM是△BCE的中位线，∴MD＝CE＝×15＝7.5．故选：D．8．解：由题意得，BA⊥MN，∴BC＝＝10，∵∠BAC＝90°，点E是线段BC的中点，∴AE＝BE＝BC＝5，∴∠EAB＝∠B，∵∠FDA＝∠B，∴∠FDA＝∠EAB，∴DF∥AE，∵点D、E分别是线段AB、BC的中点，∴DE∥AC，DE＝AC＝4，∴四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF的周长＝2×（4+5）＝18，故选：D．9．解：延长AF交BC于G，在△BF A和△BFG中，，∴△BF A≌△BFG（ASA）∴BG＝AB＝8，AF＝FG，∴GC＝BC﹣BG＝6，∵AD＝DB，AF＝FG，∴DF∥BC，由AD＝DB，∴AE＝EC，∵AF＝FG，AE＝EC，∴EF＝GC＝3，故选：B．10．解：∵∠C＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵点P，D分别是AF，AB的中点，∴PD＝BF＝6，PD∥BC，∴∠PDA＝∠CBA，同理，QD＝AE＝8，∠QDB＝∠CAB，∴∠PDA+∠QDB＝90°，即∠PDQ＝90°，∴PQ＝＝10，故选：A．11．解：∵△ABC的周长为17，BC＝7．∴AB+AC＝17﹣BC＝10．如图，分别延长AM、AN交BC于点G，F．∵∠BNA＝∠BNF＝90°，BN＝BN，∠NBA＝∠NBF ∴△BNA≌△BNF（ASA）∴AN＝FN，AB＝FB同理，AM＝MG，AC＝GC，即MN为△AGF的中位线，∴MN＝GF，而FB+GC＝AB+AC，即BC+GF＝AB+AC，∵BC＝7，AB+AC＝10，∴GF＝3，∴MN＝GF＝，故选：A．12．解：连接AE，并延长交CD于K，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DKE，∠ABD＝∠EDK，∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．∴BE＝DE，在△AEB和△KED中，，∴△AEB≌△KED（AAS），∴DK＝AB，AE＝EK，EF为△ACK的中位线，∴EF＝CK＝（DC﹣DK）＝（DC﹣AB），∵EG为△BCD的中位线，∴EG＝BC，又FG为△ACD的中位线，∴FG＝AD，∴EG+GF＝（AD+BC），∵AD+BC＝12，AB＝5，DC＝11，即DC﹣AB＝6，∴EG+GF＝6，FE＝3，∴△EFG的周长是6+3＝9．故选：B．13．解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴∠ABQ＝∠EBQ，∵∠ABQ+∠BAQ＝90°，∠EBQ+∠BEQ＝90°，∴∠BAQ＝∠BEQ，∴AB＝BE，同理：CA＝CD，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝32﹣BC＝32﹣12＝20，∴DE＝BE+CD﹣BC＝8，∴PQ＝DE＝4．故选：B．14．解：延长CF交AB于G，如图所示：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠GAF＝∠CAF，在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG＝AC＝5，GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝13﹣5＝8．又∵AE是△ABC的中线，∴BE＝CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF＝BG＝4．故选：D．15．解：延长BC到E使BE＝AD，则四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3，AD＝6，∴C是BE的中点，∵M是BD的中点，∴CM＝DE＝AB，∵AC⊥BC，∴AB＝＝＝5，∴CM＝，故选：C．二．填空题（共10小题）16．解：连接CF并延长交AB于G，∵AB∥CD，∴∠FDC＝∠FBG，在△FDC和△FBG中，，∴△FDC≌△FBG（ASA）∴BG＝DC＝6，CF＝FG，∴AG＝AB﹣BG＝12﹣6＝6，∵CE＝EA，CF＝FG，∴EF＝AG＝3，故答案为：3．17．解：过点N作NE⊥BC于点E，则NE∥AC，又N是AB的中点，∴NE＝AC，BE＝（2+BD）＝（2+AC）＝1+AC，∴EM＝MD+DE＝1+BD﹣BE＝AC，∴NE＝ME，由勾股定理得，MN2＝ME2+NE2，即（2）2＝ME2+NE2，解得，NE＝ME＝2，∴CN＝＝＝．故答案为：．18．解：∵四边形ABCD中，∠ADC+∠BCD＝220°，∴∠BAD+∠ABC＝360°﹣220°＝140°，∵E、F分别是AC、BD的中点，P是AB边上的中点，∴PE是△ABC的中位线，PF是△ABD的中位线，∴PE∥BC，PF∥AD，∴∠BPF＝∠BAD，∠APE＝∠ABC，∴∠APE+∠BPF＝∠BAD+∠ABC＝140°，∴∠EPF＝180°﹣140°＝40°，故答案为：40．19．解：连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示：∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点，∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线，∴NF∥BE，MF∥AD，NF＝BE＝5，MF＝AD＝12，∵∠ACB＝90°，∴AD⊥BC，∵MF∥AD，∴MF⊥BC，∵NF∥BE，∴NF⊥MF，在Rt△MNF中，由勾股定理得：MN＝＝＝13；故答案为：13．20．解：连接BD，取BD的中点H，连接EH，HF，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴EH∥AB，EH＝AB＝，HF∥CD，HF＝CD＝6，∴∠HEF＝∠BMF，∠HFE＝∠CNF，∵∠BMF+∠CNF＝90°，∴∠HEF+∠HFE＝90°，∴∠EHF＝90°，∴EF＝＝＝，故答案为：．21．解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A'EF＝90°时，如图1，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A'C＝AC＝2，∠ACB＝∠A'CB，∵点D，E分别为AB，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠BDE＝∠MAN＝90°，∴∠BDE＝∠A'EF，∴AB∥A'E，∴∠ABC＝∠A'EB，∴∠A'BC＝∠A'EB，∴A'B＝A'E，Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A'E，由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，∴AE′＝，∴AB＝；②当∠A'FE＝90°时，如图2，∵∠ADF＝∠A＝∠DFC＝90°，∴∠ACF＝90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝2；综上所述，AB的长为或2；故答案为：或2．22．解：连接PQ．∵BD＝DC＝3，BE＝BC＝，EC＝，∵AQ＝QE，AP＝PC，∴PQ∥EC，PQ＝EC＝，∵∠QPG＝∠GHD，∠QGP＝∠DGH，QG＝GD，∴△PQG≌△HDG（AAS），∴PQ＝HD＝，BH＝BD﹣DH＝3﹣＝，∴HE＝BE﹣BH＝﹣＝，故答案为．23．解：如图，取BC的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴EG∥AC且EG＝AC＝×4＝2，FG∥BD且FG＝BD＝×8＝4，∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF＝．故答案为：224．解：如图，过点D作DH⊥BC于点H，∵过点D作DH⊥BC于点H，BC＝6，∴BH＝CH＝3．又平行线间的距离是8，点D是AB的中点，∴DH＝4，∴在直角△BDH中，由勾股定理知，BD＝＝＝5．∵点D是AB的中点，∴AB＝2BD＝10．又点E、F分别是AC、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB＝5．故答案是：5．25．解：延长CP交AB于K，延长CQ交AB于L，△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB＝＝＝2，∵BF是∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠CBF，又∵CD⊥AB，∴∠CGF＝∠BGD＝90°﹣∠ABF＝90°﹣∠CBF＝∠CFB，∴CG＝CF．又∵Q是GF的中点，∴CQ⊥GF，∴∠CQB＝∠LQB＝90°，∴∠BCQ＝∠BLQ，∴BL＝BC＝6，∴CQ＝LQ，同理得：CE＝CH，∵P是EH的中点，∴CP⊥EH，∴AP⊥CK，同理得AK＝AC＝4，CP＝PK，∵CP＝PK，CQ＝LQ，∴PQ＝LK＝（BL+AK﹣AB）＝（6+4﹣2）＝5﹣；故答案为：5﹣．三．解答题（共7小题）26．解：∠BME＝∠CNE，理由如下：连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，∵点E、F分别是BC、AD的中点，∴HF∥BM．HF＝AB，HE∥CD，HE＝CD，∴∠1＝∠BME，∠2＝∠ENC，∵AB＝CD，∴HF＝HE，∴∠1＝∠2，∴∠BME＝∠CNE．27．证明：取BC中点G，连EG、FG，∵E，G为AB、BC中点，∴EG＝AC，EG∥AC，∴∠FEG＝∠OQP，同理，FG＝BD，FG∥BD，∴∠EFG＝∠OPQ，∵AC＝BD，∴EG＝FG，∴∠FEG＝∠EFG，∴∠OPQ＝∠OQP，∴OP＝OQ．28．解：（1）如图1，∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF，∴∠BAF＝∠BMF，在△ABF和△MBF中，，∴△ABF≌△MBF（ASA），∴MB＝AB，∴AF＝MF，同理：CN＝AC，AG＝NG，∴FG是△AMN的中位线，∴FG＝MN，＝（MB+BC+CN），＝（AB+BC+AC）．（2）猜想：FG＝（AB+AC﹣BC），证明：如图2，延长AG、AF，与直线BC相交于M、N，∵由（1）中证明过程类似证△ABF≌△NBF，∴NB＝AB，AF＝NF，同理CM＝AC，AG＝MG，∴FG＝MN，∴MN＝2FG，∴BC＝BN+CM﹣MN＝AB+AC﹣2FG，∴FG＝（AB+AC﹣BC）．29．解：（1）取AC中点P，连接PF，PE，可知PE＝，PE∥AB，∴∠PEF＝∠ANF，同理PF＝，PF∥CD，∴∠PFE＝∠CME，又PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF，∴∠OMN＝∠ONM，∴△OMN为等腰三角形．（2）判断出△AGD是直角三角形．证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF＝AB，同理，HE∥CD，HE＝CD，∵AB＝CD∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，∵∠EFC＝60°，∴∠HEF＝60°，∴∠HEF＝∠HFE＝60°，∴△EHF是等边三角形，∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，∴△AGF是等边三角形．∵AF＝FD，∴GF＝FD，∴∠FGD＝∠FDG＝30°∴∠AGD＝90°即△AGD是直角三角形．30．证明：连接BD，取BD的中点为O，连接FO，MO，∵F是AD的中点，M为BC的中点，∴MO是△BCD的中位线，FO是△ABD的中位线，∴MO＝CD，FO＝AB，MO∥AC，OF∥AB，∵AB＝CD，∴MO＝FO，∴∠OFM＝∠OMF，∵OF∥AB，∴∠OFM＝∠AEF，∵OM∥AC，∴∠OMF＝∠CFM＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵G为EF的中点，∴AG⊥ME．31．（1）证明：连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，∵E，H分别是AD，BD的中点，∴EH∥AB，EH＝AB，∴∠BME＝∠HEF，∵F，H分别是BC，BD的中点，∴FH∥CD，FH＝CD，∴∠CNE＝∠HFE，∵AB＝CD∴HE＝FH，∴∠HEF＝∠HFE∴∠BME＝∠CNE；（2）连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，∵E，F分别是AD，BC的中点，∴EH＝AB，FH＝CD，FH∥AC，∴∠HFE＝∠FEC＝45°，∵AB＝CD＝2，∴HF＝HE＝1，∴∠HEF＝∠HFE＝45°，∴∠EHF＝180°﹣∠HFE﹣HEF＝90°，∴．32．解：连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于N，连接FM，∵∠BAD+∠ADC＝270°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，∴EM∥AB，FM∥CD，EM＝AB，FM＝CD，∴∠MNF＝∠ABC，∠MFN＝∠C，∴∠MNF+∠MFN＝90°，即∠NMF＝90°，由勾股定理得，ME2+MF2＝EF2＝16，∴AB2+CD2＝（2ME）2+（2MF）2＝64．。

中心对称图形——平行四边形压轴题复习（二）1．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、DB、BF．（1）求证：∠DEB＝∠BFD；（2）若∠ADB＝90°，证明：四边形BFDE是菱形．2．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求四边形DEBF的面积S四边形DEBF．3．如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．（1）猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC，AE分别交于点O，E，连接EC．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB＝AO，OD＝1，则菱形ADCE的周长为．5．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，∠1＝∠2．它是一个矩形吗？为什么？6．如图，在矩形ABCD中，F是CD的中点，连接AF交BC延长线于点E．求证：BC＝EC．7．如图，四边形ABCD为矩形，连接对角线AC，分别作∠BAC、∠BCA、∠ACD、∠DAC的角平分线AE、CE、CF、AF．（1）当AB＝BC时，求证：四边形AECF是菱形；（2）设AB＝4，BC＝3，分别作EM⊥AC于点M，FN⊥AC于点N，求MN的长；（3）分别作EG⊥BC于点G，FH⊥CD于点H，当GC＝3，HC＝4时，求矩形ABCD的面积．8．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD 边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求DF的长．9．已知P是正方形ABCD边BC上一点，连接AP，作PE⊥AP，且∠DCE＝45°．若PE 和CE交于E点，连接AE交CD于F．（1）求证：EP＝AP；（2）若正方形的边长为4，CF＝3，求CE的长．10．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，点E在边AC上AB＝AE，过点E 作EF∥BC，交AD于点F，连接BF．（1）如图1，求证：四边形BDEF是菱形；（2）如图2，当AB＝BC时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中度数等于∠BAD 的2倍的所有的角．11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB 上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）OE AE（填＜、＝、＞）；（2）求证：四边形OEFG是矩形；（3）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．12．已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝12，BF＝16，CE＝5，求四边形ABCD的面积．13．如图，菱形ABCD中，E为AB边上的一点，F为BC延长线上的一点，且∠BED+∠F ＝180°求证：DE＝DF．14．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．15．如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD 于E，F，连接AE，CF．（1）证明：四边形AECF是菱形；（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB且DC∥AB，∵E，F分别为边AB、CD上的中点，∴DF＝DC，BE＝AB，且DF∥BE，∴DF＝BE且DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴∠DEB＝∠BFD；（2）证明：∵E为边AB的中点，∴AE＝BE，∵∠ADB＝90°，∴△ADB为直角三角形∴DE＝AB＝BE，由（1）得，四边形BFDE是平行四边形，∴平行四边形BFDE是菱形．2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO，∵O是BD的中点，∴DO＝BO，在△DFO和△BEO中，，∴△DFO≌△BEO（ASA），∴DF＝BE，∵DC∥AB（即DF∥BE），∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝8，AD＝6，∴BD＝＝＝10，∵四边形DEBF是平行四边形，DE＝DF，∴四边形DEBF是菱形，∴DE＝BE，设DE＝BE＝x，在Rt△DAE中，AD2+AE2＝DE2，即62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，即BE＝，∴四边形DEBF的面积S四边形DEBF＝BE×AD＝×6＝．3．解：（1）PC＝PE，PC⊥PE证明∵点P位于AE的垂直平分线上，∴PA＝PE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AC，∠ADB＝∠CDB，∵PD＝PD，∴△ABP≌△CBP（SAS）∴PA＝PC，∴PC＝PE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CBP，∵PB＝PB，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠PAD＝∠PCD，∵PA＝PE，∴∠PAD＝∠E，∴∠PCD＝∠E，∵∠PFC＝∠DFE，∴△CPF∽△EDF，∴∠CPF＝∠FDE，∵四边形ABCD是正方形，，∴∠ADC＝90°，∴∠FDE＝90°，∴∠CPF＝90°，∴PC⊥PE．（2）PA＝CE．理由如下：证明：∵点P位于AE的垂直平分线上，∴PA＝PE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AC，∠ADB＝∠CDB，∵PD＝PD，∴△ABP≌△CBP，∴PA＝PC∴PC＝PE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CBP，∵PB＝PB，∴△ADP≌△CDP，∴∠PAD＝∠PCD，∵PA＝PE，∴∠PAD＝∠PED，∴∠PCD＝∠PED，∵∠PFC＝∠DFE，∴△CPF∽△EDF，∴∠CPF＝∠EDF，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°∴∠ADC＝∠ABC＝120°∴∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°∴∠CPF＝60°∵PE＝PC∴△PCE是等边三角形∴CE＝PE∴AP＝CE．4．（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，∴AD＝BC＝CD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：∵四边形ADCE是菱形，∴AD＝AE＝CE＝CD，AC⊥DE，OA＝OC，∵BD＝CD，∴OD是△ABC的中位线，∴AB＝2OD＝2，∴AO＝AB＝2，∴AD＝＝＝，∴菱形ADCE的周长＝4AD＝4，故答案为：4．5．解：四边形ABCD是矩形．理由如下：证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC＝AC，OB＝BD．又∵∠1＝∠2，∴OB＝OC，∴BD＝AC，∴▱ABCD是矩形．6．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AD＝BC，∴∠ADF＝∠ECF，∠DAF＝∠CEF，∵F是CD的中点，∴DF＝CF，∴在△ADF和△ECF中，∴△ADF≌△ECF（AAS）．∴AD＝EC，而AD＝BC∴BC＝EC．7．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，∴∠EAC＝∠FCA，∴AE∥CF，同理，AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB，∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∴四边形AECF是菱形；（2）过E作EH⊥BC于点H，EG⊥AB于点G，∵∠B＝90°，∴四边形BHEG为矩形，∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴EM＝EG＝EH，∴四边形BHEG是正方形，∴BG＝BH，∵EM＝EG＝EH，AE＝AE，CE＝CE，∴Rt△AEG≌Rt△AEM（HL），Rt△CEH≌Rt△CEM（HL），∴AM＝AG，CM＝CH，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，设AM＝AG＝x，CM＝CH＝y，BH＝BG＝z，则，解得，，∴AM＝3，CM＝2，∵由（1）知四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE，AF∥CE，∴∠FAN＝∠ECM，∵∠ANF＝∠CME＝90°，∴△ANF≌△CME（AAS），∴AN＝CM＝2，∴MN＝AM﹣AN＝3﹣2＝1；（3）过E作EK⊥AB于点K，EL⊥AC于点L，如图，∵矩形ABCD中AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵AE、CF分别平分∠BAC和∠ACD，∴∠KAE＝∠HCF，∵四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF，∵∠AKE＝∠CHF＝90°，∴△AEK≌△CHF（AAS），∴AK＝CH＝4，∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴EK＝EL＝EG，∵AE＝AE，CE＝CE，∴Rt△AEK≌Rt△AEL（HL），Rt△CEG≌Rt△CEL（HL），∴AK＝AL＝4，CG＝CL＝3，∴AC＝AL+CL＝4+3＝7，∵EK＝EG，∠EKB＝∠B＝∠EGB＝90°，∴四边形BGEK为正方形，∴BG＝BK，∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝24．8．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE＝x，则DE＝x，AE＝6﹣x，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，∴x2＝42+（6﹣x）2，解得：x＝，∵DF＝．9（1）证明：连接AC，过P点作PG⊥BC交AC于G点，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∠BCD＝90°，∵PG⊥BC，∴∠GPC＝90°，∴∠PGC＝45°，∴PG＝PC，∵∠DCE＝45°，∴∠AGP＝∠ECP＝90°+45°＝135°，∵AP⊥PE，∴∠APE＝∠GPC＝90°，∴∠APG＝∠EPC＝90°﹣∠GPE，在△PAG和△PEC中∴△PAG≌△PEC（ASA），∴PE＝PA；（2）解：延长CB到Q，使BQ＝DF，过E作EH⊥BC，EH交BC延长线于H，连接AQ，PF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB，∴∠ABQ＝∠D＝90°，在△ABQ和△ADF中∴△ABQ≌△ADF（SAS），∴AQ＝AF，∠DAF＝∠QAB，∵∠APE＝90°，AP＝PE，∴∠PAE＝∠AEP＝45°，∴∠AQP＝∠QAB+∠BAP＝∠DAF+∠BAP＝∠DAB﹣∠PAE＝90°﹣45°＝45°＝∠PAE，在△QAP和△FAP中∴△QAP≌△FAP（SAS），∴QP＝PE，∵EH⊥BC，∠ABP＝90°，∠APE＝90°，∴∠ABP＝∠H＝90°，∠APB＝∠PEH＝90°﹣∠EPH，在△PEH和△APB中∴△PEH≌△APB（AAS），∴BP＝EH，∵∠H＝90°，∠DCE＝45°，∴∠ECH＝45°＝∠CEH，∴CH＝EH＝BP，设EH＝CH＝BP＝x，∴PC＝4﹣x，PF＝BQ+BP＝DF+BP＝4﹣3+x＝1+x，在Rt△PCF中，由勾股定理得：（1+x）2＝（4﹣x）2+32，解之得：x＝，即CH＝EH＝，∴在Rt△CHE中，由勾股定理得：CE＝CH＝．10．解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD，∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴DB＝DE，∠BDA＝∠EDA．∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠BDA，∴∠EFD＝∠EDF，∴EF＝ED，∴EF＝BD，∵EF∥BD，∴四边形BDEF为菱形．（2）∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝2∠BAD，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCA＝2∠BAD，∵∠ABF＝∠AEF，∴∠ABF＝2∠BAD．所以图中度数等于∠BAD的2倍的所有的角：∠BAC，∠BCA，∠ABF，∠AEF．11．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E是AD的中点，∴OE＝AD＝AE，故答案为：＝；（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形；（3）解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．12．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBE，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB，∵AE⊥BF，∴∠AOB＝∠EOB＝90°，OB＝OB，∠ABO＝∠EBO，∴△ABO≌△EBO（ASA），∴AB＝BE，∴AF＝BE，又AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝BE，∴平行四边形ABEF是菱形．（2）如图，作AG⊥BC于点G，∵四边形ABEF是菱形，OA＝OE＝AE＝6，OB＝OF＝BF＝8，∴AB＝＝10，BE＝10，设BG＝x，则EG＝BE﹣BG＝10﹣x，∴在Rt△ABG和Rt△AEG中，根据勾股定理，得AG2＝AB2﹣BG2＝AE2﹣EG2即102﹣x2＝122﹣（10﹣x）2解得x＝，∴AG＝＝．∴四边形ABCD的面积为：BC•AG＝15×＝144．13．解：如图，过点D作DN⊥AB于N，DM⊥BC于F，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵S菱形ABCD＝AB×DN＝BC×DM，∴DN＝DM，∵∠BED+∠F＝180°，∠BED+∠AED＝180°，∴∠F＝∠AED，又∵∠DNE＝∠DMF，∴△DNE≌△DMF（AAS）∴DE＝DF．14．（1）证明：连接MN，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°，∴∠EAM＝∠FCN，AC＝＝＝5，∵M，N分别是AD，BC的中点，∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN，∴四边形ABNM是平行四边形，又∵∠B＝90°，∴四边形ABNM是矩形，∴MN＝AB＝3，在△AME和△CNF中，，∴△AME≌△CNF（SAS），∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，∴∠MEF＝∠NFE，∴EM∥FN，∴四边形EMFN是平行四边形，又∵AE＝CF＝1，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3，∴MN＝EF，∴四边形EMFN为矩形．（2）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：则四边形ABHM是矩形，∴MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，∵四边形EMFN为矩形，AE＝CF＝0.5，∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42，∴x＝2﹣．15．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴OA＝OC，EF⊥AC，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，EF⊥AC，∴CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，∵AC⊥AB，∴EF∥AB，∴∠OEC＝∠B＝30°，∴OC＝CE＝1，OE＝OC＝，∴AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，∴四边形AECF的面积＝AC×EF＝×2×2＝2．。

2020-2021中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习附答案一、平行四边形1．（问题情景）利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一．例如：张老师给小聪提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=3，AD=6，问△ABC的高AD与CE的比是多少？小聪的计算思路是：根据题意得：S△ABC=12BC•AD=12AB•CE．从而得2AD=CE，∴12 AD CE请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：（1）（类比探究）如图2，在▱ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AF=CE，并相交于点O，连接BE、BF，求证：BO平分角AOC．（2）（探究延伸）如图3，已知直线m∥n，点A、C是直线m上两点，点B、D是直线n上两点，点P是线段CD中点，且∠APB=90°，两平行线m、n间的距离为4．求证：PA•PB=2AB．（3）（迁移应用）如图4，E为AB边上一点，ED⊥AD，CE⊥CB，垂足分别为D，C，∠DAB=∠B，AB=34，BC=2，AC=26，又已知M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN．求△DEM与△CEN的周长之和．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）34【解析】分析：(1)、根据平行四边形的性质得出△ABF和△BCE的面积相等，过点B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，从而得出AF=CE，然后证明△BOG和△BOH全等，从而得出∠BOG=∠BOH，即角平分线；(2)、过点P作PG⊥n于G，交m于F，根据平行线的性质得出△CPF和△DPG全等，延长BP交AC于E，证明△CPE和△DPB全等，根据等积法得出AB=AP×PB，从而得出答案；(3)、，延长AD，BC交于点G，过点A作AF⊥BC于F，设CF=x，根据Rt△ABF和Rt△ACF的勾股定理得出x的值，根据等积法得出AE=2DM=2EM，BE=2CN=2EN， DM+CN=AB，从而得出两个三角形的周长之和．同理：EM+EN=AB详解：证明：（1）如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABF=S▱ABCD，S△BCE=S▱ABCD，∴S△ABF=S△BCE，过点B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，∴S△ABF=AF×BG，S△BCE=CE×BH，∴AF×BG=CE×BH，即：AF×BG=CE×BH，∵AF=CE，∴BG=BH，在Rt△BOG和Rt△BOH中，，∴Rt△BOG≌Rt△BOH，∴∠BOG=∠BOH，∴OB平分∠AOC，（2）如图3，过点P作PG⊥n于G，交m于F，∵m∥n，∴PF⊥AC，∴∠CFP=∠BGP=90°，∵点P是CD中点，在△CPF和△DPG中，，∴△CPF≌△DPG，∴PF=PG=FG=2，延长BP交AC于E，∵m∥n，∴∠ECP=∠BDP，∴CP=DP，在△CPE和△DPB中，，∴△CPE≌△DPB，∴PE=PB，∵∠APB=90°，∴AE=AB，∴S△APE=S△APB，∵S△APE=AE×PF=AE=AB，S△APB=AP×PB，∴AB=AP×PB，即：PA•PB=2AB；（3）如图4，延长AD，BC交于点G，∵∠BAD=∠B，∴AG=BG，过点A作AF⊥BC于F，设CF=x（x＞0），∴BF=BC+CF=x+2，在Rt△ABF中，AB=，根据勾股定理得，AF2=AB2﹣BF2=34﹣（x+2）2，在Rt△ACF中，AC=，根据勾股定理得，AF2=AC2﹣CF2=26﹣x2，∴34﹣（x+2）2=26﹣x2，∴x=﹣1（舍）或x=1，∴AF==5，连接EG，∵S△ABG=BG×AF=S△AEG+S△BEG=AG×DE+BG×CE=BG（DE+CE），∴DE+CE=AF=5， 在Rt △ADE 中，点M 是AE 的中点， ∴AE=2DM=2EM ，同理：BE=2CN=2EN ， ∵AB=AE+BE ， ∴2DM+2CN=AB ， ∴DM+CN=AB ，同理：EM+EN=AB ∴△DEM 与△CEN 的周长之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN=（DE+CE ）+[（DM+CN ）+（EM+EN ）]=（DE+CN ）+AB=5+．点睛：本题主要考查的就是三角形全等的判定与性质以及三角形的等积法，综合性非常强，难度较大．在解决这个问题的关键就是作出辅助线，然后根据勾股定理和三角形全等得出各个线段之间的关系．2．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，对角线AC 平分BAD ∠.（1）如图1，若120DAB ∠=︒，且90B ∠=︒，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.（2）如图2，若将（1）中的条件“90B ∠=︒”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图3，若90DAB ∠=︒，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.【答案】（1）AC AD AB =+.证明见解析；（2）成立；（3）2AD AB +=.理由见解析.【解析】试题分析：（1）结论：AC=AD+AB ，只要证明AD=12AC ，AB=12AC 即可解决问题； （2）（1）中的结论成立．以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE=60°，∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，只要证明△DAC ≌△BEC 即可解决问题；（3）结论：AD +AB 2AC ．过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，只要证明△ACE 是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；试题解析：解：（1）AC=AD+AB．理由如下：如图1中，在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠B=90°，∴AB＝12AC，同理AD＝12AC．∴AC=AD+AB．（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，∵∠BAC=60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC=AE=CE，∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，∴∠DCB=60°，∴∠DCA=∠BCE，∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，∴△DAC≌△BEC，∴AD=BE，∴AC=AD+AB．（3）结论：AD+AB2AC．理由如下：过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，∴DCB=90°，∵∠ACE=90°，∴∠DCA=∠BCE ，又∵AC 平分∠DAB ，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°．∴AC=CE ．又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE ，∴△CDA ≌△CBE ，∴AD=BE ，∴AD+AB=AE ．在Rt △ACE 中，∠CAB=45°，∴AE ＝245AC AC cos ︒＝ ∴2AD AB AC +＝.3．在图1中，正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形FAE 的斜边AE ＝2b ，且边AD 和AE 在同一直线上．操作示例当2b ＜a 时，如图1，在BA 上选取点G ，使BG ＝b ，连结FG 和CG ，裁掉△FAG 和△CGB 并分别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构成四边形FGCH ．思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG 绕点F 逆时针旋转90°到△FEH 的位置，易知EH 与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH=BG ，故△CHD ≌△CGB ，从而又可将△CGB 绕点C 顺时针旋转90°到△CHD 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图1），过点F 作FM ⊥AE 于点M （图略），利用SAS 公理可判断△HFM ≌△CHD ，易得FH=HC=GC=FG ，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形．实践探究（1）正方形FGCH 的面积是 ；（用含a ， b 的式子表示）（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由．【答案】（1）a2+b2；（2）见解析；联想拓展：能剪拼成正方形.见解析．【解析】分析：实践探究：根据正方形FGCH的面积=BG2+BC2进而得出答案；应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化，BG永远等于等腰直角三角形斜边的一半．注意当b=a时，也可直接沿正方形的对角线分割．详解：实践探究：正方形的面积是：BG2+BC2=a2+b2；剪拼方法如图2-图4；联想拓展：能，剪拼方法如图5（图中BG=DH=b）．．点睛：本题考查了几何变换综合，培养学生的推理论证能力和动手操作能力；运用类比方法作图时，应根据范例抓住作图的关键：作的线段的长度与某条线段的比值永远相等，旋转的三角形，连接的点都应是相同的．4．已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．（1）求证：△DOE≌△BOF．（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFED为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF （ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．试题解析：（1）∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，理由：∵△DOE≌△BOF，∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵∠EOD=90°，∴EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．5．如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE ⊥AG 于E ，BF ∥DE ，交AG 于F ．求证：AF=BF+EF ．【答案】详见解析.【解析】【分析】由四边形ABCD 为正方形，可得出∠BAD 为90°，AB=AD ，进而得到∠BAG 与∠EAD 互余，又DE 垂直于AG ，得到∠EAD 与∠ADE 互余，根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF ，利用AAS 可得出△ABF ≌△DAE ；利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE ，由AF-AE=EF ，等量代换可得证.【详解】∵ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠BAD=90°∵DE ⊥AG ，∴∠DEG=∠AED=90°∴∠ADE+∠DAE=90°又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=∠BAF ．∵BF ∥DE ，∴∠AFB=∠DEG=∠AED ．在△ABF 与△DAE 中，AFB AED ADE BAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△DAE （AAS ）．∴BF=AE ．∵AF=AE+EF ，∴AF=BF+EF ．点睛：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．6．如图（1）在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为G 交AD于F（1）求证：AF＝DE；（2）连接DG，若DG平分∠EGF，如图（2），求证：点E是CD中点；（3）在（2）的条件下，连接CG，如图（3），求证：CG＝CD．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CG＝CD，见解析．【解析】【分析】（1）证明△BAF≌△ADE（ASA）即可解决问题．（2）过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．想办法证明AF＝DF，即可解决问题．（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DE＝CD，利用直角三角形斜边中线的性质，只要证明BC＝CP即可．【详解】（1）证明：如图1中，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90o，∴∠2+∠3＝90°又∵BF⊥AE，∴∠AGB＝90°∴∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠3在△BAF与△ADE中，∠1=∠3 BA=AD ∠BAF=∠D，∴△BAF≌△ADE（ASA）∴AF＝DE．（2）证明：过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．由（1）得∠1＝∠3，∠BGA＝∠AND＝90°，AB＝AD∴△BAG≌△ADN（AAS）∴AG＝DN，又DG平分∠EGF，DM⊥GF，DN⊥GE，∴DM＝DN，∴DM＝AG，又∠AFG＝∠DFM，∠AGF＝∠DMF∴△AFG≌△DFM（AAS），∴AF＝DF＝DE＝12AD＝12CD，即点E是CD的中点．（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DE＝CD，∠ADE＝∠ECP＝90°，∠DEA＝∠CEP，∴△ADE≌△PCE（ASA）∴AE＝PE，又CE∥AB，∴BC＝PC，在Rt△BGP中，∵BC＝PC，∴CG＝12BP＝BC，∴CG＝CD．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7．（1）如图1，将矩形ABCD 折叠，使BC 落在对角线BD 上，折痕为BE ，点C 落在点C '处，若42ADB =o ∠，则DBE ∠的度数为______o .（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD ，4AB =，9AD =.（画一画）如图2，点E 在这张矩形纸片的边AD 上，将纸片折叠，使AB 落在CE 所在直线上，折痕设为MN （点M ，N 分别在边AD ，BC 上），利用直尺和圆规画出折痕MN （不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；（算一算）如图3，点F 在这张矩形纸片的边BC 上，将纸片折叠，使FB 落在射线FD 上，折痕为GF ，点,A B 分别落在点A '，B '处，若73AG =，求B D '的长.【答案】（1）21；（2）画一画；见解析；算一算：3B D '=【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题；（2）【画一画】，如图2中，延长BA 交CE 的延长线由G ，作∠BGC 的角平分线交AD 于M ，交BC 于N ，直线MN 即为所求；【算一算】首先求出GD=9-72033=，由矩形的性质得出AD ∥BC ，BC=AD=9，由平行线的性质得出∠DGF=∠BFG ，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG ，证出∠DFG=∠DGF ，由等腰三角形的判定定理证出DF=DG=203，再由勾股定理求出CF ，可得BF ，再利用翻折不变性，可知FB′=FB ，由此即可解决问题．【详解】（1）如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=42°，由翻折的性质可知，∠DBE=∠EBC=12∠DBC=21°，故答案为21．（2）【画一画】如图所示：【算一算】如3所示：∵AG=73，AD=9，∴GD=9-72033，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BC=AD=9，∴∠DGF=∠BFG，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，∴∠DFG=∠DGF，∴DF=DG=203，∵CD=AB=4，∠C=90°，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF=22222016433 DF CD⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，∴BF=BC-CF=9161133-=，由翻折不变性可知，FB=FB′=11 3，∴B′D=DF-FB′=2011333-=.【点睛】四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题．8．（感知）如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE=DG．（拓展）如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．求证：BE=DG．（应用）如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE=2ED，∠A=∠F，△EBC的面积为8，菱形CEFG的面积是_______．（只填结果）【答案】见解析【解析】试题分析：探究：由四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，利用SAS易证得△BCE≌△DCG，则可得BE=DG；应用：由AD∥BC，BE=DG，可得S△ABE+S△CDE=S△BEC=S△CDG=8，又由AE=3ED，可求得△CDE 的面积，继而求得答案．试题解析：探究：∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F．∵∠A=∠F，∴∠BCD=∠ECG．∴∠BCD-∠ECD=∠ECG-∠ECD，即∠BCE=∠DCG ．在△BCE 和△DCG 中，BC CD BCE DCG CE CG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BCE ≌△DCG （SAS ），∴BE=DG ．应用：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，∵BE=DG ，∴S △ABE +S △CDE =S △BEC =S △CDG =8，∵AE=3ED ，∴S △CDE=1824⨯= , ∴S △ECG =S △CDE +S △CDG =10∴S 菱形CEFG =2S △ECG =20.9．如图，现将平行四边形ABCD 沿其对角线AC 折叠，使点B 落在点B ′处．AB ′与CD 交于点E ．（1）求证：△AED ≌△CEB ′；（2）过点E 作EF ⊥AC 交AB 于点F ，连接CF ，判断四边形AECF 的形状并给予证明．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得AD=BC=B'C ，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS 证明全等，则结论可得；（2）由△AED ≌△CEB′可得AE=CE ，且EF ⊥AC ，根据等腰三角形的性质可得EF 垂直平分AC ，∠AEF=∠CEF ．即AF=CF ，∠CEF=∠AFE=∠AEF ，可得AE=AF ，则可证四边形AECF 是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ＝BC ，CD ∥AB ，∠B ＝∠D∵平行四边形ABCD 沿其对角线AC 折叠∴BC ＝B'C ，∠B ＝∠B'∴∠D ＝∠B'，AD ＝B'C 且∠DEA ＝∠B'EC∴△ADE≌△B'EC（2）四边形AECF是菱形∵△ADE≌△B'EC∴AE＝CE∵AE＝CE，EF⊥AC∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF∴AF＝CF∵CD∥AB∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF∴∠AEF＝∠EFA∴AF＝AE∴AF＝AE＝CE＝CF∴四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键．10．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的关系是___；（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）成立；（3）成立.【解析】试题分析：（1）只要证明四边形CDGF是平行四边形即可得出FG=CE，FG∥CE；（2）构造辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，利用等量代换即可求出FG=C，FG∥CE；（3）证明△CBF≌△DCE后，即可证明四边形CEGF是平行四边形．试题解析：解：（1）FG=CE，FG∥CE；（2）过点G作GH⊥CB的延长线于点H．∵EG⊥DE，∴∠GEH+∠DEC=90°．∵∠GEH+∠HGE=90°，∴∠DEC=∠HE．在△HGE与△CED中，∵∠GHE =∠DCE ，∠HGE =∠DEC ，EG =DE ，∴△HGE ≌△CED （AAS ），∴GH =CE ，HE =CD ．∵CE =BF ，∴GH =BF ．∵GH ∥BF ，∴四边形GHBF 是矩形，∴GF =BH ，FG ∥CH ，∴FG ∥CE ．∵四边形ABCD 是正方形，∴CD =BC ，∴HE =BC ，∴HE +EB =BC +EB ，∴BH =EC ，∴FG =EC ；（3）∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =CD ，∠FBC =∠ECD =90°．在△CBF 与△DCE 中，∵BF =CE ，∠FBC =∠ECD ，BC =DC ，∴△CBF ≌△DCE （SAS ），∴∠BCF =∠CDE ，CF =DE ．∵EG =DE ，∴CF =EG ．∵DE ⊥EG ，∴∠DEC +∠CEG =90°．∵∠CDE +∠DEC =90°，∴∠CDE =∠CEG ，∴∠BCF =∠CEG ，∴CF ∥EG ，∴四边形CEGF 平行四边形，∴FG ∥CE ，FG =CE ．11．在ABC V 中，ABC 90o ∠=，BD 为AC 边上的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG ，DF ．()1求证：BD DF =；()2求证：四边形BDFG 为菱形；()3若AG 5=，CF 7=，求四边形BDFG 的周长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）8【解析】【分析】()1利用平行线的性质得到90CFA ∠=o ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证，()2利用平行四边形的判定定理判定四边形BDFG 为平行四边形，再利用()1得结论即可得证，()3设GF x =，则5AF x =-，利用菱形的性质和勾股定理得到CF 、AF 和AC 之间的关系，解出x 即可．【详解】()1证明：AG //BD Q ，CF BD ⊥，CF AG ∴⊥，又D Q 为AC 的中点， 1DF AC 2∴=， 又1BD AC 2=Q ， BD DF ∴=，()2证明：BD//GF Q ，BD FG =，∴四边形BDFG 为平行四边形，又BD DF =Q ，∴四边形BDFG 为菱形，()3解：设GF x =，则AF 5x =-，AC 2x =，在Rt AFC V 中，222(2x)(7)(5x)=+-，解得：1x 2=，216x (3=-舍去)， GF 2∴=，∴菱形BDFG 的周长为8．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，正确掌握这些定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键．12．猜想与证明：如图1，摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B 、C 、G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上，连接AF ，若M 为AF 的中点，连接DM 、ME ，试猜想DM 与ME 的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为 ．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．【答案】猜想：DM=ME，证明见解析；（2）成立，证明见解析.【解析】试题分析：延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（1）、延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（2）、连接AE，根据正方形的性质得出∠FCE=45°，∠FCA=45°，根据RT△ADF中AM=MF得出DM=AM=MF，根据RT△AEF中AM=MF得出AM=MF=ME，从而说明DM=ME.试题解析：如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=DE，∴DM=HM=ME，∴DM=ME．（1）、如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM∴DM=HM=ME，∴DM=ME，（2）、如图2，连接AE，∵四边形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，∴AE和EC在同一条直线上，在RT△ADF中，AM=MF，∴DM=AM=MF，在RT△AEF中，AM=MF，∴AM=MF=ME，∴DM=ME．考点：（1）、三角形全等的性质；（2）、矩形的性质.13．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．【答案】（1）AG2=GE2+GF2（2）【解析】试题分析：（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+x）2，解得x=，推出BN=，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题.试题解析：（1）结论：AG2=GE2+GF2．理由：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于对角线BD对称，∵点G在BD上，∴GA=GC，∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CF=GE，在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，∴AG2=GF2+GE2．（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，∴∠AMN=30°，∴AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，∴1=x2+（2x+x）2，解得x=，∴BN=，∴BG=BN÷cos30°=．考点：1、正方形的性质，2、矩形的判定和性质，3、勾股定理，4、直角三角形30度的性质14．如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，AF⊥AE交CB的延长线于F．求证：AE=AF．【答案】见解析【解析】【分析】根据同角的余角相等证得∠BAF=∠DAE，再利用正方形的性质可得AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，根据ASA判定△ABF≌△ADE，根据全等三角形的性质即可证得AF=AE．【详解】∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE=90°，又∵∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAF=∠DAE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，在△ABF和△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（ASA），∴AF=AE．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，证明△ABF≌△ADE是解决本题的关键．15．如图1，若分别以△ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形ACDE和BCFG为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形．（1）发现：如图2，当∠C=90°时，求证：△ABC与△DCF的面积相等．（2）引申：如果∠C 90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图3，分别以△ABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC中，AC=3，BC=4．当∠C=_____°时，图中阴影部分的面积和有最大值是________．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.【解析】试题分析：（1）因为AC=DC ，∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC ，所以△ABC ≌△DFC ，从而△ABC 与△DFC 的面积相等；（2）延长BC 到点P ，过点A 作AP ⊥BP 于点P ；过点D 作DQ ⊥FC 于点Q ．得到四边形ACDE ，BCFG 均为正方形，AC=CD ，BC=CF ，∠ACP=∠DCQ ．所以△APC ≌△DQC ． 于是AP=DQ ．又因为S △ABC =12BC•AP ，S △DFC =12FC•DQ ，所以S △ABC =S △DFC ； （3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC 的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC 的面积最大，当△ABC 是直角三角形，即∠C 是90度时，阴影部分的面积和最大．所以S 阴影部分面积和=3S △ABC =3×12×3×4=18． （1）证明：在△ABC 与△DFC 中， ∵{AC DCACB DCF BC FC∠∠＝＝＝，∴△ABC ≌△DFC ．∴△ABC 与△DFC 的面积相等；（2）解：成立．理由如下：如图，延长BC 到点P ，过点A 作AP ⊥BP 于点P ；过点D 作DQ ⊥FC 于点Q ． ∴∠APC=∠DQC=90°．∵四边形ACDE ，BCFG 均为正方形，∴AC=CD ，BC=CF ，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，∴∠ACP=∠DCQ ．∴{APC DQCACP DCQ AC CD∠∠∠∠＝＝＝，△APC ≌△DQC （AAS ），∴AP=DQ ．又∵S△ABC=12BC•AP，S△DFC=12FC•DQ，∴S△ABC=S△DFC；（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，∴当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．∴S阴影部分面积和=3S△ABC=3×12×3×4=18．考点：四边形综合题。

2020-2021中考数学——平行四边形的综合压轴题专题复习及答案一、平行四边形1．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）求证：△AED≌△CEB′（2）若AB = 8，DE = 3，点P为线段AC上任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥BC于H.求PG + PH的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由折叠的性质知，，，，则由得到；（2）由，可得，又由，即可求得的长，然后在中，利用勾股定理即可求得的长，再过点作于，由角平分线的性质，可得，易证得四边形是矩形，继而可求得答案.【详解】（1）四边形为矩形，，，又，；（2），，，，在中，，过点作于，，，，，，，、、共线，，四边形是矩形，，.【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.2．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．3．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62或233.【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，EF=23，AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠FEK=33，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=12EK=2，∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=12PF=1，HF=3，OH=2﹣3，∴OP=()2212362+-=-.如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=33OE=33，综上所述：OP6223.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD 的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形BCFD是菱形；（2）若AD=1，BC=2，求BF的长．【答案】（1）证明见解析（2）23 【解析】 （1）∵AF ∥BC ，∴∠DCB =∠CDF ，∠FBC =∠BFD ，∵点E 为CD 的中点，∴DE =EC ，在△BCE 与△FDE 中，FBC BFD DCB CDF DE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△FDE ，∴DF =BC ，又∵DF ∥BC ，∴四边形BCDF 为平行四边形，∵BD =BC ，∴四边形BCFD 是菱形；（2）∵四边形BCFD 是菱形，∴BD =DF =BC =2，在Rt △BAD 中，AB =223BD AD -=，∵AF =AD +DF =1+2=3，在Rt △BAF 中，BF =22AB AF +=23．5．如图，四边形ABCD 中，∠BCD =∠D =90°，E 是边AB 的中点.已知AD =1，AB =2. （1）设BC =x ，CD =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当∠B =70°时，求∠AEC 的度数；（3）当△ACE 为直角三角形时，求边BC 的长.【答案】（1）()22303y x x x =-++<<；（2）∠AEC =105°；（3）边BC 的长为2117+. 【解析】试题分析：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ，得到四边形ADCH 为矩形．在△BAH 中，由勾股定理即可得出结论．（2）取CD 中点T ，连接TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，∠AET =∠B =70°．又AD =AE =1，得到∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，即可得到结论．（3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 解△ABH 即可得到结论．②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，由相似三角形对应边成比例即可得到结论． 试题解析：解：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ．由∠D =∠BCD =90°，得四边形ADCH 为矩形． 在△BAH 中，AB =2，∠BHA =90°，AH =y ，HB =1x -，∴22221y x =+-，则()22303y x x x =-++<<（2）取CD 中点T ，联结TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，∴∠AET =∠B =70°．又AD =AE =1，∴∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，∴∠AEC =70°＋35°=105°．（3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 则在△ABH 中，∠B =60°，∠AHB =90°，AB =2，得BH =1，于是BC =2．②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，又2224AC BC AB x =-=-，则221411724AD CA x x AC CB x x -±=⇒=⇒=-（舍负） 易知∠ACE <90°，所以边BC 的长为1172+． 综上所述：边BC 的长为2或1172+．点睛：本题是四边形综合题．考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质．解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法．6．在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且∠EAF=∠CEF=45°.(1)将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG ≌△AEF ；(2)若直线EF 与AB ，AD 的延长线分别交于点M ，N(如图②)，求证：EF 2=ME 2+NF 2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF ，BE，DF之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2．如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2考点：四边形综合题7．如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．求证：AF=BF+EF．【答案】详见解析.【解析】【分析】由四边形ABCD 为正方形，可得出∠BAD 为90°，AB=AD ，进而得到∠BAG 与∠EAD 互余，又DE 垂直于AG ，得到∠EAD 与∠ADE 互余，根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF ，利用AAS 可得出△ABF ≌△DAE ；利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE ，由AF-AE=EF ，等量代换可得证.【详解】∵ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠BAD=90°∵DE ⊥AG ，∴∠DEG=∠AED=90°∴∠ADE+∠DAE=90°又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=∠BAF ．∵BF ∥DE ，∴∠AFB=∠DEG=∠AED ．在△ABF 与△DAE 中，AFB AED ADE BAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△DAE （AAS ）．∴BF=AE ．∵AF=AE+EF ，∴AF=BF+EF ．点睛：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．8．(1)如图①，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD ．①求证：四边形BFDE 是菱形；②直接写出∠EBF 的度数；(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，点G 、I 分别在BF 、BE 边上，且BG=BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长，交ED 于点J ，连接IJ 、IH 、IF 、IG.试探究线段IH 与FH 之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD 满足AB=AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE 、EF 、DF ，使△DEF 是等腰直角三角形，DF 交AC 于点G.请直接写出线段AG 、GE 、EC 三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH ＝3FH ；（3）EG 2＝AG 2+CE 2．【解析】【分析】（1）①由△DOE ≌△BOF ，推出EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ＝ED 即可．②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题．（2）IH ＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OB ＝OD ，∴∠EDO ＝∠FBO ，在△DOE 和△BOF 中，EDO FBO OD OBEOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ，∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ，∴EB ＝ED ，∴四边形EBFD 是菱形．②∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABE ＝∠EBD ，∵EB ＝ED ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∴∠ABD ＝2∠ADB ，∵∠ABD +∠ADB ＝90°，∴∠ADB ＝30°，∠ABD ＝60°，∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠OBF ＝30°，∴∠EBF ＝60°．（2）结论：IH ＝3FH ．理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ ．∵四边形EBFD 是菱形，∠B ＝60°，∴EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ，∴∠JDH ＝∠FGH ，在△DHJ 和△GHF 中，DHG GHF DH GHJDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DHJ ≌△GHF ，∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ，∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ，∴BE ＝IM ＝BF ，∵∠MEJ ＝∠B ＝60°，∴△MEJ 是等边三角形，∴MJ ＝EM ＝NI ，∠M ＝∠B ＝60°在△BIF 和△MJI 中，BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BIF ≌△MJI ，∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ，∴IH ⊥JF ，∵∠BFI +∠BIF ＝120°，∴∠MIJ +∠BIF ＝120°，∴∠JIF ＝60°，∴△JIF 是等边三角形，在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°，∴∠FIH ＝30°，∴IH ＝3FH ．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，∵∠FAD +∠DEF ＝90°，∴AFED 四点共圆，∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°，∴∠ADF +∠EDC ＝45°，∵∠ADF ＝∠CDM ，∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ，在△DEM 和△DEG 中，DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△DEG ≌△DEM ，∴GE ＝EM ，∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ，∴∠ECM ＝90°∴EC 2+CM 2＝EM 2，∵EG ＝EM ，AG ＝CM ，∴GE 2＝AG 2+CE 2．【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.9．已知AD 是△ABC 的中线P 是线段AD 上的一点（不与点A 、D 重合），连接PB 、PC ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、PB 、PC 的中点，AD 与EF 交于点M ；（1）如图1，当AB＝AC时，求证：四边形EGHF是矩形；（2）如图2，当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△BPE面积相等的三角形（不包括△BPE本身）．【答案】（1）见解析；（2）△APE、△APF、△CPF、△PGH．【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得出EG∥AP，EF∥BC，EF=12BC，GH∥BC，GH=12BC，推出EF∥GH，EF=GH，证得四边形EGHF是平行四边形，证得EF⊥AP，推出EF⊥EG，即可得出结论；（2）由△APE与△BPE的底AE=BE，又等高，得出S△APE=S△BPE，由△APE与△APF的底EP=FP，又等高，得出S△APE=S△APF，由△APF与△CPF的底AF=CF，又等高，得出S△APF=S△CPF，证得△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，推出S△PGH=12S△AEF=S△APF，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，∴EG∥AP，EF∥BC，EF＝12BC，GH∥BC，GH＝12BC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EGHF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴EF⊥AP，∵EG∥AP，∴EF⊥EG，∴平行四边形EGHF是矩形；（2）∵PE是△APB的中线，∴△APE与△BPE的底AE＝BE，又等高，∴S△APE＝S△BPE，∵AP是△AEF的中线，∴△APE与△APF的底EP＝FP，又等高，∴S△APE＝S△APF，∴S△APF＝S△BPE，∵PF是△APC的中线，∴△APF与△CPF的底AF＝CF，又等高，∴S△APF＝S△CPF，∴S△CPF＝S△BPE，∵EF∥GH∥BC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，∴△AEF底边EF上的高等于△ABC底边BC上高的一半，△PGH底边GH上的高等于△PBC 底边BC上高的一半，∴△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，∵GH＝EF，∴S△PGH＝1S△AEF＝S△APF，2综上所述，与△BPE面积相等的三角形为：△APE、△APF、△CPF、△PGH．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．10．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．(1)试猜想AE与GC有怎样的关系(直接写出结论即可)；(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．(3)在(2)中，若E是BC的中点，且BC＝2，则C，F两点间的距离为．【答案】(1) AE＝CG，AE⊥GC；(2)成立，证明见解析；2．【解析】【分析】（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1＝∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5＝∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6＝∠7；由图知∠AEB＝∠CEH＝90°﹣∠6，即∠7+∠CEH＝90°，由此得证．（3）如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．想办法求出CH，HF，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】(1)AE＝CG，AE⊥GC；证明：延长GC交AE于点H，在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD＝DC，∠ADE＝∠CDG＝90°，DE＝DG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE，CG，∠1＝∠2∵∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠AHG＝180°﹣(∠1+∠3)＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥GC．(2)答：成立；证明：延长AE和GC相交于点H，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠DCB＝∠B＝∠BAD＝∠EDG＝90°，∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3；∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∠5＝∠4；又∵∠5+∠6＝90°，∠4+∠7＝180°﹣∠DCE＝180°﹣90°＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠6+∠AEB＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴∠CEH+∠7＝90°，∴∠EHC＝90°，∴AE⊥GC．(3)如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．∵BE ＝CE ＝1，AB ＝CD ＝2，∴AE ＝DE ＝CG ═DG ＝FG 5∵DE ＝DG ，∠DCE ＝∠GND ，∠EDC ＝∠DGN ，∴△DCE ≌△GND(AAS)，∴GCD ＝2，∵S △DCG ＝12•CD•NG ＝12•DG•CM ， ∴2×25， ∴CM ＝GH 45， ∴MG ＝CH 22CG CM -355， ∴FH ＝FG ﹣FG 5， ∴CF 22FH CH +22535()()55+2． 2．【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．11．（问题情境）在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 为BC 所在直线上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．当P 在BC 边上时（如图1），求证：PD+PE ＝CF ．证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD+PE ＝CF ．（不要证明）（变式探究）（1）当点P 在CB 延长线上时，其余条件不变（如图3），试探索PD 、PE 、CF 之间的数量关系并说明理由；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）（2）如图4，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C′处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG ⊥BE 、PH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，若AD＝16，CF＝6，求PG+PH的值．（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线l1：y＝-43x+8与直线l2：y＝﹣2x+8相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点，若点P到直线l1的距离为2．求点P的坐标．【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】（﹣1，6），（1，10）【解析】【变式探究】连接AP，同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得；【结论运用】过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，根据勾股定理和矩形的性质解答即可；【迁移拓展】分两种情况，利用结论，求得点P到x轴的距离，再利用待定系数法可求出P的坐标．【详解】变式探究:连接AP，如图3：∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC＝S△ACP﹣S△ABP，∴12AB•CF＝12AC•PE﹣12AB•PD．∵AB＝AC，∴CF＝PD﹣PE；结论运用:过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，∵四边形ABCD是长方形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．∵AD＝16，CF＝6，∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，由折叠可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．∴DF＝5．∵∠C＝90°，∴DC2222DF CF-=-8．106∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC．∴四边形EQCD是长方形．∴EQ＝DC＝4．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB．∵∠BEF＝∠DEF，∴∠BEF＝∠EFB．∴BE＝BF，由问题情境中的结论可得：PG+PH＝EQ．∴PG+PH＝8．∴PG+PH的值为8；迁移拓展:如图，由题意得：A（0，8），B（6，0），C（﹣4，0）∴AB2210，BC＝10．68∴AB＝BC，（1）由结论得：P1D1+P1E1＝OA＝8∵P1D1＝1＝2，∴P1E1＝6 即点P1的纵坐标为6又点P1在直线l2上，∴y＝2x+8＝6，∴x＝﹣1，即点P1的坐标为（﹣1，6）；（2）由结论得：P2E2﹣P2D2＝OA＝8∵P2D2＝2，∴P2E2＝10 即点P1的纵坐标为10又点P1在直线l2上，∴y＝2x+8＝10，∴x＝1，即点P1的坐标为（1，10）【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点，利用面积法列出等式是解决问题的关键．12．阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是命题（填“真”或“假”）．（3）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°．若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD 的和谐线，且AB＝BC，请求出∠ABC的度数．【答案】（1） C ；（2）∠ABC的度数为60°或90°或150°.【解析】试题分析：（1）根据菱形的性质和和谐四边形定义，直接得出结论.（2）根据和谐四边形定义，分AD=CD，AD=AC，AC=DC讨论即可.（1）根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够．故选C.（2）∵等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°，∴AB=AD.∵AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，∴分三种情况讨论：若AD=CD，如图1，则凸四边形ABCD是正方形，∠ABC=90°；若AD=AC，如图 2，则AB=AC=BC，△ABC是等边三角形，∠ABC=60°；若AC=DC，如图 3，则可求∠ABC=150°.考点：1.新定义；2．菱形的性质；3．正方形的判定和性质；4．等边三角形的判定和性质；5.分类思想的应用.13．如图1，在正方形ABCD中，AD=6，点P是对角线BD上任意一点，连接PA，PC过点P作PE⊥PC交直线AB于E．（1）求证：PC=PE;（2）延长AP交直线CD于点F.①如图2，若点F是CD的中点，求△APE的面积；②若ΔAPE的面积是21625，则DF的长为（3）如图3，点E在边AB上，连接EC交BD于点M,作点E关于BD的对称点Q，连接PQ，MQ，过点P作PN∥CD交EC于点N，连接QN，若PQ=5，MN=723，则△MNQ的面积是【答案】（1）略；（2）①8，②4或9；（3）5 6【解析】【分析】（1）利用正方形每个角都是90°，对角线平分对角的性质，三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和，等角对等边等性质容易得证;（2）作出△ADP和△DFP的高，由面积法容易求出这个高的值.从而得到△PAE的底和高，并求出面积.第2小问思路一样，通过面积法列出方程求解即可;（3）根据已经条件证出△MNQ是直角三角形，计算直角边乘积的一半可得其面积.【详解】(1) 证明：∵点P在对角线BD上，∴△ADP≌△CDP,∴AP=CP, ∠DAP =∠DCP,∵PE⊥PC，∴∠EPC=∠EPB+∠BPC=90°,∵∠PEA=∠EBP+∠EPB=45°+90°-∠BPC=135°-∠BPC,∵∠PAE=90°-∠DAP＝90°-∠DCP,∠DCP=∠BPC-∠PDC=∠BPC-45°,∴∠PAE=90°-(∠BPC-45°)= 135°-∠BPC,∴∠PEA=∠PAE,∴PC=PE;（2）①如图2，过点P分别作PH⊥AD,PG⊥CD,垂足分别为H、G.延长GP交AB于点M.∵四边形ABCD 是正方形，P 在对角线上，∴四边形HPGD 是正方形，∴PH=PG,PM ⊥AB,设PH=PG=a,∵F 是CD 中点，AD ＝6，则FD=3,ADF S=9, ∵ADF S=ADP DFP S S +=1122AD PH DF PG ⨯+⨯, ∴1163922a a ⨯+⨯=,解得a=2, ∴AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4,又∵PA=PE,∴AM=EM,AE=4,∵APE S =1144822EA MP ⨯=⨯⨯=, ②设HP ＝b,由①可得AE=2b,MP=6-b,∴APE S =()121626225b b ⨯⨯-=, 解得b=2.4 3.6或,∵ADF S =ADP DFP S S +=1122AD PH DF PG ⨯+⨯, ∴11166222b DF b DF ⨯⨯+⨯=⨯, ∴当b=2.4时，DF=4；当b ＝3.6时，DF ＝9,即DF 的长为4或9;（3）如图，∵E 、Q 关于BP 对称，PN ∥CD,∴∠1＝∠2，∠2+∠3＝∠BDC=45°,∴∠1+∠4=45°,∴∠3=∠4,易证△PEM ≌△PQM, △PNQ ≌△PNC,∴∠5=∠6, ∠7=∠8 ,EM=QM,NQ=NC,∴∠6+∠7=90°,∴△MNQ 是直角三角形,设EM=a,NC=b 列方程组222252372 3a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎪+= ⎪⎝⎭⎩, 可得12ab=56, ∴MNQ 56S =, 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.要注意运用数形结合思想.14．（问题发现）（1）如图（1）四边形ABCD 中，若AB =AD ，CB =CD ，则线段BD ，AC 的位置关系为 ；（拓展探究）（2）如图（2）在Rt △ABC 中，点F 为斜边BC 的中点，分别以AB ，AC 为底边，在Rt △ABC 外部作等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE ，连接FD ，FE ，分别交AB ，AC 于点M ，N ．试猜想四边形FMAN 的形状，并说明理由；（解决问题）（3）如图（3）在正方形ABCD中，AB=2，以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转60°，得到正方形AB'C'D'，请直接写出BD'平方的值．【答案】（1）AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形，理由见解析；（3）16+8或16﹣8【解析】【分析】（1）依据点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出AC 垂直平分BD；（2）根据Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，可得AF=CF=BF，再根据等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，进而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，即可判定四边形AMFN是矩形；（3）分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结论．【详解】（1）∵AB=AD，CB=CD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，∴AC垂直平分BD，故答案为：AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形．理由：如图2，连接AF，∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，∴AF=CF=BF，又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，∴AD=DB，AE=CE，∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，又∵∠BAC=90°，∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，∴四边形AMFN是矩形；（3）BD′的平方为16+8或16﹣8．分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，如图所示：过D'作D'E⊥AB，交BA的延长线于E，由旋转可得，∠DAD'=60°，∴∠EAD'=30°，∵AB=2=AD'，∴D'E=AD'=，AE=，∴BE=2+，∴Rt△BD'E中，BD'2=D'E2+BE2=（）2+（2+）2=16+8②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，如图所示：过B作BF⊥AD'于F，旋转可得，∠DAD'=60°，∴∠BAD'=30°，∵AB=2=AD'，∴BF=AB=，AF=，∴D'F=2﹣，∴Rt△BD'F中，BD'2=BF2+D'F2=（）2+（2-）2=16﹣8综上所述，BD′平方的长度为16+8或16﹣8．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理进行计算求解．解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．15．小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB 与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；②沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P 处，再折出PB、PC，最后用笔画出△PBC(图1)．（1）求证：图1中的PBC是正三角形：（2）如图2，小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN，其中IJ=6cm，且HM=JN．①求证：IH=IJ②请求出NJ的长；（3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度a变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同．请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1233）3＜a＜3，a＞3【解析】分析：（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；（2）①利用“HL”证Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一点Q，使QI=QN，由Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15°，继而可得∠NQJ=30°，设NJ=x，则IQ=QN=2x、3，根据IJ=IQ+QJ求出x即可得；（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可．（1）证明：∵①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF∴PB=PC∵沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处∴PB=BC∴PB=PC=BC∴△PBC是正三角形：（2）证明：①如图∵矩形AHIJ∴∠H=∠J=90°∵△MNJ 是等边三角形∴MI=NI在Rt △MHI 和Rt △JNI 中MI NI MH NJ =⎧⎨=⎩∴Rt △MHI ≌Rt △JNI （HL ）∴HI=IJ②在线段IJ 上取点Q ，使IQ=NQ∵Rt △IHM ≌Rt △IJN ，∴∠HIM=∠JIN ，∵∠HIJ=90°、∠MIN=60°，∴∠HIM=∠JIN=15°，由QI=QN 知∠JIN=∠QNI=15°，∴∠NQJ=30°，设NJ=x ，则IQ=QN=2x ，QJ=22=3QN NJ -x ，∵IJ=6cm ，∴2x+3x=6，∴x=12-63，即NJ=12-63（cm ）．（3）分三种情况：①如图：设等边三角形的边长为b ，则0＜b≤6，则tan60°=3=2a b ，∴a=32b ， ∴0＜b≤632=33； ②如图当DF 与DC 重合时，DF=DE=6，∴a=sin60°×DE=632=33， 当DE 与DA 重合时，a=6643sin6032==︒， ∴33＜a ＜43；③如图∵△DEF 是等边三角形∴∠FDC=30°∴DF=643cos303==︒∴a ＞3点睛：本题是四边形的综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．。

2021中考数学 专题训练：多边形与平行四边形一、选择题1. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A . 7B . 7或8C . 8或9D . 7或8或92. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝22，CD＝2，点P 在四边形ABCD 的边上．若P 到BD 的距离为32，则点P 的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 43. 一个正多边形的每个外角不可能等于()A ．30°B ．50°C ．40°D ．60°4. （2020·泰安）如图，四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，其高AG ﹦2cm ，底边BC ﹦6cm ，∠B ﹦45°，沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形．若∠BEF ﹦30°，则AF 的长为（ ）A ．1cmB ．63 cm C ．（2 3 —3）cm D ．（2— 3 ）cmA BCDEFG5. 如图，ABCD 中，AB=2，AD=4，对角线AC ，BD 相交于点O ，且E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，则下列说法正确的是A ．EH=HGB ．四边形EFGH 是平行四边形C ．AC ⊥BDD．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍6. (2020·潍坊)如图，点E是□ABCD的边AD上的一点，且12DEAE=，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若3,4DE DF==，则□ABCD的周长为（）FEDCBA A.21 B. 28 C. 34 D. 42 7. （2020·海南）如图，在□ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为( ) A．16 B．17 C．24 D．25 8. 如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为A．135B．125C．195D．165二、填空题9. 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形.10. 如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=1，则S▱AEPH=.11. 如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．12. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．13. 如图，在ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的大小为__________．14. 如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝________°.15. （2020·黔东南州）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为．16. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若O E=3，则菱形的周长为__________．三、解答题17. 如图，△ABC是正三角形，剪去三个边长均不相等的小正三角形(即△ADN，△BEF，△CGM)后，得到一个六边形DEFGMN.(1)六边形DEFGMN的每个内角是多少度？为什么？(2)六边形DEFGMN是正六边形吗？为什么？18. （2020·重庆B卷）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD 和∠DCB，交对角线BD于点E，F．（1）若∠BCF=60°，求∠ABC的度数；（2）求证：BE=DF．19. 如图①，在平行四边形ABCD中，连接BD，AD＝6cm，BD＝8cm，∠DBC ＝90°，现将△AEF沿BD的方向匀速平移，速度为2cm/s，同时，点G从点D 出发，沿DC的方向匀速移动，速度为2cm/s.当△AEF停止移动时，点G也停止运动，连接AD，AG，EG，过点E作EH⊥CD于点H，如图②所示，设△AEF 的移动时间为t(s)(0＜t＜4)．(1)当t＝1时，求EH的长度；(2)若EG⊥AG，求证：EG2＝AE·HG；(3)设△AGD的面积为y(cm2)，当t为何值时，y可取得最大值，并求y的最大值．20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O 出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O —C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为____________；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？2021中考数学专题训练：多边形与平行四边形-答案一、选择题1. 【答案】D【解析】分类讨论：(1)切去一个角，减少一条边，设减少一条边后的边数是n，则180°(n－2)＝1080°，得出n＝8，所以原多边形的边数是9；(2)切去一个角，增加一条边，设增加一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是7；(3)切去一个角，边数无改变，设边数没有改变时的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是8，综上所述，原多边形的边数是9，7，8都符合题意，答案选择D.2. 【答案】B 【解析】本题考查了直角三角形中的点到直线的距离. 解题思路：如解图，分别过点A 和C 作AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F.⎭⎬⎫∠BAD ＝90° AB ＝AD ⇒⎭⎪⎬⎪⎫∠ADB ＝45° AD ＝22⇒AE＝2＞32⇒AB 、AD 上各有一点到BD 的距离为32.同理，得CF ＝1＜32⇒AB 、AD 上没有点到BD 的距离为32.3. 【答案】B[解析] 设正多边形的边数为n ，则当30°n ＝360°时，n ＝12，故A可能；当50°n ＝360°时，n ＝365，不是整数，故B 不可能；当40°n ＝360°时，n ＝9，故C 可能；当60°n ＝360°时，n ＝6，故D 可能．4. 【答案】D【解析】本题考查了图形全等的概念、平行四边形的性质以及解直角三角形，过点F 作FH ⊥BC ，垂足为H.E CFHA B DG设AF=x ，因为四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，所以AD=BC.因为沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，所以BE=DF ，所以AF=EC=x ．因为AG 是BC 边上的高，FH ⊥BC ，所以GH=AF=x .因为∠B=45°，AG=2，所以BG=2，则HE=6-2-2x =4-2x . 因为tan ∠BEF=HF HE ，所以HE=tan HFBEF ∠3=2 3 ，则4-2x =2 3 ，解得x =2- 3 ，因此本题选D ．5. 【答案】B【解析】∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，在ABCD 中，A B=2，AD=4， ∴EH=12AD=2，HG=1122CD =AB=1，∴EH≠HG ，故选项A 错误； ∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点， ∴EH=1122AD BC FG ==， ∴四边形EFGH 是平行四边形，故选项B 正确；由题目中的条件，无法判断AC 和BD 是否垂直，故选项C 错误； ∵点E 、F 分别为OA 和OB 的中点，∴EF=12AB ，EF ∥AB ，∴△OEF ∽△OAB ，∴214AEF OABS EF SAB ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 即△ABO 的面积是△EFO 的面积的4倍，故选项D 错误， 故选B ．6. 【答案】B【解析】利用平行四边形、相似的有关性质解决问题.∵12DE AE =，DE=3，∴AE=6.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC,AB=CD,AB ∥CD,∴△DEF ∽△AEB, ∴DE DFAE AB =,又DF=4，∵AB=8，∴□ABCD 的周长为28.故选B.7. 【答案】A 【解析】 在R t △ABG 中，AG6.∵四边形ABCD 是平行四边形，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠ADE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，则CE ＝BC －BE ＝15－10＝5.又∵BG ⊥AE ，∴AE ＝2AG ＝12，则△ABE 的周长为32.∵AB ∥DF ，∴△ABE ∽△CFE ，∴△ABE 的周长：△CEF 的周长＝BE ：CE ＝2：1，∴△CEF 的周长为16.8. 【答案】A【解析】正方形ABCD 中，∵BC=4， ∴BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90°， ∵AF=DE=1，∴DF=CE=3，∴BE=CF=5，在△BCE 和△CDF 中，BC CD BCE CDF CE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△CDF(SAS)，∴∠CBE=∠DCF ， ∵∠CBE+∠CEB=∠ECG+∠CEB=90°=∠CGE ， cos ∠CBE=cos ∠ECG=BC CGBE CE=， ∴453CG =，CG=125，∴GF=CF ﹣CG=5﹣125=135， 故选A ．二、填空题9. 【答案】答案不唯一，如AD ∥BC 或AB=CD 或∠A +∠B=180°等10. 【答案】4[解析]由“平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形”可推出▱AEPH 的面积等于▱PGCF 的面积. ∵CG=2BG ，∴BG ∶BC=1∶3，BG ∶PF=1∶2. ∵△BPG ∽△BDC ，且相似比为1∶3， ∴S △BDC =9S △BPG =9.∵△BPG ∽△PDF ，且相似比为1∶2， ∴S △PDF =4S △BPG =4. ∴S ▱AEPH =S ▱PGCF =9-1-4=4.11. 【答案】110°【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠CAB ＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，∴∠ABE ＝90°，∴∠2＝∠CAB ＋∠ABE ＝20°＋90°＝110°.12. 【答案】36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED ＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.13. 【答案】21° 【解析】设∠ADE=x ， ∵AE=EF ，∠ADF=90°，∴∠DAE=∠ADE=x ，DE=12AF=AE=EF ， ∵AE=EF=CD ，∴DE=CD ， ∴∠DCE=∠DEC=2x ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∴∠DAE=∠BCA=x ，∴∠DCE=∠BCD ﹣∠BCA=63°﹣x ，∴2x=63°﹣x ，解得x=21°，即∠ADE=21°； 故答案为：21°．14. 【答案】75【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形，作它的外接圆⊙O ，∴劣弧A 10A 3的度数＝5×360°12＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝12×150°＝75°.15. 【答案】（2，﹣1）【解析】∵▱ABCD 是中心对称图形，它的对角线交点O 为原点，点A （﹣2，1）与点C 成中心对称，∴点C 的纵、横坐标与点A 的互为相反数．∴点C 的坐标为（2，﹣1）.16. 【答案】24【解析】∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=BC=CD=AD ，BO=DO ， ∵点E 是BC 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线， ∴CD=2OE=2×3=6，∴菱形ABCD 的周长=4×6=24； 故答案为：24．三、解答题17. 【答案】解：(1)六边形DEFGMN 的各个内角都是120°. 理由：∵△ADN ，△BEF ，△CGM 都是正三角形，∴它们的每个内角都是60°，即六边形DEFGMN 的每个外角都是60°. ∴六边形DEFGMN 的每个内角都是120°.(2)六边形DEFGMN 不是正六边形．理由：∵三个小正三角形(即△ADN ，△BEF ，△CGM)的边长均不相等， ∴DN ，EF ，GM 均不相等． ∴六边形DEFGMN 不是正六边形．18. 【答案】（1）解： ∵CF 平分∠BCD ，∴∠BCD =2∠BCF .∵∠BCF =60°，∴∠BCD =2×60°=120°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ,∴∠ABC +∠BCD =180°. ∴∠ABC =180°-120°=60°.（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∠BAD =∠DCB .∴∠ABE =∠CDF .∵AE ，CF 分别平分∠BAD 和∠DCB ，∴∠BAE =12∠BAD =12∠DCB =∠DCF .在△ABE 和△CDF 中，∵∠ABE =∠CDF ，AB =CD ，∠BAE =∠DCF ， ∴△ABE ≌△CDF . ∴BE =DF .19. 【答案】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，又∠DBC ＝90°， ∴∠ADB ＝90°，又AD ＝6cm ，BD ＝8cm ，由勾股定理得，AB ＝AD 2＋BD 2＝10cm ， 当t ＝1时，EB ＝2cm ， 则DE ＝8－2＝6cm ， ∵EH ⊥CD ，∠DBC ＝90°， ∴△DEH ∽△DCB ， ∴DE DC ＝EH BC ，即610＝EH 6， 解得EH ＝3.6cm ； (2)∵∠CDB ＝∠AEF ， ∴AE ∥CD ，∴∠AEG ＝∠EGH ，又EG ⊥AG ，EH ⊥CD ， ∴△AGE ∽△EHG ， ∴EG HG ＝AE EG ， ∴EG 2＝AE ·HG ；(3)由(1)得，△DEH ∽△DCB ，∴DE CD ＝EH BC ，即8－2t 10＝EH 6， 解得，EH ＝24－6t 5，∴y ＝12×DG ×EH ＝－6t 2＋24t 5＝－65t 2＋245t ＝－65(t －2)2＋245， ∴当t ＝2时，y 的最大值为245.20. 【答案】（1）点C 的坐标为(3，4)，直线l 的解析式为43y x =． （2）①当M 在OC 上，Q 在AB 上时，502t ＜≤． 在Rt △OPM 中，OP ＝t ，4tan 3OMP ∠=，所以43PM t =． 在Rt △AQE 中，AQ ＝2t ，3cos 5QAE ∠=，所以65AE t =． 于是618855PE t t t =+-=+．因此212162153S PE PM t t =⋅=+． ②当M 在OC 上，Q 在BC 上时，532t ＜≤． 因为25BQ t =-，所以11(25)163PF t t t =---=-．因此2132223S PF PM t t =⋅=-+． ③当M 、Q 相遇时，根据P 、Q 的路程和2115t t +=+，解得163t =． 因此当M 、Q 都在BC 上，相遇前，1633t ＜≤，PM ＝4，162163MQ t t t =--=-． 所以16322S MQ PM t =⋅=-+．图2 图3 图4（3）①当502t ＜≤时，222162160(20)153153S t t t =+=+-． 因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S 随t 的增大而增大，所以当52t =时，S 最大，最大值为856． ②当532t ＜≤时，2232812822()339S t t t =-+=--+． 因为抛物线开口向下，所以当83t =时，S 最大，最大值为1289．③当1633t ＜≤时，16322S MQ PM t =⋅=-+． 因为S 随t 的增大而减小，所以当3t =时，S 最大，最大值为14． 综上所述，当83t =时，S 最大，最大值为1289． 考点伸展第（2）题中，M 、Q 从相遇到运动结束，S 关于t 的函数关系式是怎样的？ 此时161332t ＜≤， 216316MQ t t t =+-=-．因此16322S MQ PM t =⋅=-． 图5。

2021年中考数学专题复习：四边形试题精选汇编一．选择题（共30小题）1．（2020•西藏）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．∠ADB＝90°B．OA＝OB C．OA＝OC D．AB＝BC 2．（2020•锦州）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4B．C．6D．3．（2020•大庆）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A 运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或4．（2020•河池）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED ＝4．则CE的长是（）A．5B．6C．4D．5 5．（2020•绵阳）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（）A．2条B．4条C．6条D．8条6．（2020•鄂尔多斯）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA2A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（）A．B．22018C．22018+D．1010 7．（2020•十堰）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BAD＝120°，则||＝（）A．B．3C．D．8．（2020•宁夏）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（）A．13B．10C．12D．5 9．（2020•毕节市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（）A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm 10．（2020•玉林）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．求证：DE∥BC，且DE＝BC．证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF 是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴DF BC；②∴CF AD．即CF BD；③∴四边形DBCF是平行四边形；④∴DE∥BC，且DE＝BC．则正确的证明顺序应是：（）A．②→③→①→④B．②→①→③→④C．①→③→④→②D．①→③→②→④11．（2020•十堰）已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC ⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（）A．①B．②C．③D．④12．（2020•烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．85°13．（2020•宜昌）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（）A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B．每段直路要短C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D．每段直路要长14．（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE 15．（2020•威海）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为（）A．B．C．D．16．（2020•荆门）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（）A．20B．30C．40D．50 17．（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD ∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2）B．（2，﹣4）C．（2，0）D．（0，2）或（0，﹣2）18．（2020•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．B．C．3D．5 19．（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD ＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（）A．2B．C．3D．4 20．（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米21．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4B．8C．D．6 22．（2020•绥化）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE＝BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个23．（2020•临沂）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△P AD的面积为S1，△PBC 的面积为S2，则（）A．S1+S2＞B．S1+S2＜C．S1+S2＝D．S1+S2的大小与P点位置有关24．（2020•黑龙江）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B 重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤25．（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD26．（2020•达州）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF ＝BD；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A．4B．3C．2D．1 27．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72B．24C．48D．96 28．（2020•泰安）如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC ＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（）A．1cm B．cm C．（2﹣3）cm D．（2﹣）cm 29．（2020•泰安）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个30．（2020•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（）A．66°B．60°C．57°D．48°二．填空题（共4小题）31．（2020•德阳）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G 是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝．32．（2020•鞍山）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，AE，BC的延长线交于点F．若△ECF的面积为1，则四边形ABCE的面积为．33．（2020•鄂尔多斯）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A 重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．以上结论正确的有（把所有正确结论的序号都填上）．34．（2020•河池）如图，菱形ABCD的周长为16，AC，BD交于点O，点E在BC上，OE ∥AB，则OE的长是．三．解答题（共16小题）35．（2020•济南）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．36．（2020•阜新）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH＝CH；②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．37．（2020•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点F是射线AD上的动点，连接CF，以CF为对角线作正方形CGFE（C，G，F，E按逆时针排列），连接BE，DG．（1）当点F在线段AD上时．①求证：BE＝DG；②求证：CD﹣FD＝BE；（2）设正方形ABCD的面积为S1，正方形CGFE的面积为S2，以C，G，D，F为顶点的四边形的面积为S3，当时，请直接写出的值．38．（2020•鞍山）在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是，位置关系是；②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH 中点，连接GM，AB＝3，BC＝2，求GM的最小值．39．（2020•朝阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，M是AC边上的一点，连接BM，作AP⊥BM于点P，过点C作AC的垂线交AP的延长线于点E．（1）如图1，求证：AM＝CE；（2）如图2，以AM，BM为邻边作平行四边形AMBG，连接GE交BC于点N，连接AN，求的值；（3）如图3，若M是AC的中点，以AB，BM为邻边作平行四边形AGMB，连接GE交BC于点M，连接AN，经探究发现，请直接写出的值．40．（2020•赤峰）如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E，过点P作MN⊥AB，交直线CD于点M，交直线AB于点N．AB＝4，AD＝4．（1）如图1，①当点P在线段AC上时，∠PDM和∠EPN的数量关系为：∠PDM∠EPN；②的值是；（2）如图2，当点P在CA延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，以线段PD，PE为邻边作矩形PEFD．设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y．请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值．41．（2020•长春）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．42．（2020•丹东）已知：菱形ABCD和菱形A′B′C′D′，∠BAD＝∠B′A′D′，起始位置点A在边A′B′上，点B在A′B′所在直线上，点B在点A的右侧，点B′在点A′的右侧，连接AC和A′C′，将菱形ABCD以A为旋转中心逆时针旋转α角（0°＜α＜180°）．（1）如图1，若点A与A′重合，且∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，求证：BB′＝DD′．（2）若点A与A′不重合，M是A′C′上一点，当MA′＝MA时，连接BM和A′C，BM和A′C所在直线相交于点P．①如图2，当∠BAD＝∠B′A′D′＝90°时，请猜想线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．②如图3，当∠BAD＝∠B′A′D′＝60°时，请求出线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．③在②的条件下，若点A与A′B′的中点重合，A′B′＝4，AB＝2，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长．43．（2020•长春）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．44．（2020•盐城）木门常常需要雕刻美丽的图案．（1）图①为某矩形木门示意图，其中AB长为200厘米，AD长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；（2）如图②，对于（1）中的木门，当模具换成边长为30厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．45．（2020•永州）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x 的函数关系式，并求s的最大值．46．（2020•吉林）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．【探究】求证：四边形AGHD是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为．47．（2020•云南）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F，（1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；（2）若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．48．（2020•湖北）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD 上的点C′处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C′交AB于点M，C′F交DE于点N，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA'D的形状是；（2）如图2，线段MC′与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若AC′＝2cm，DC'＝4cm，求DN：EN的值．49．（2020•宜昌）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，0°＜∠ABO≤60°，点G是射线OD上一个动点，过点G作GE∥DC交射线OC于点E，以OE，OG为邻边作矩形EOGF．（1）如图1，当点F在线段DC上时，求证：DF＝FC；（2）若延长AD与边GF交于点H，将△GDH沿直线AD翻折180°得到△MDH．①如图2，当点M在EG上时，求证：四边形EOGF为正方形；②如图3，当tan∠ABO为定值m时，设DG＝k•DO，k为大于0的常数，当且仅当k＞2时，点M在矩形EOGF的外部，求m的值．50．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA 重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长；②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2020•西藏）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．∠ADB＝90°B．OA＝OB C．OA＝OC D．AB＝BC【答案】D【解答】解：A、平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；故选：D．2．（2020•锦州）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4B．C．6D．【答案】B【解答】解：连结BP，如图，∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，∵S△ABC＝S△P AB+S△PBC，∴×5×PE+×5×PF＝12，∴PE+PF＝，故选：B．3．（2020•大庆）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A 运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或【答案】A【解答】解：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH于Q，AC交FG于P．由题意，△ABC是等腰直角三角形，AQ＝OE＝OG＝AP＝OF，S△OEF＝1，∵y＝，∴S四边形AOEQ+S四边形AOFP＝1.5，∴OA•2＝1.5，∴OA＝，∴AM＝1+＝．如图2中，当点A在正方形外部时，由题意，重叠部分是六边形WQRJPT，S重叠＝S△ABC﹣2S△BQR﹣S△AWT，∴2.5＝××﹣1﹣×2AN×AN，解得AN＝，∴AM＝2+，综上所述，满足条件的AM的值为或2+，故选：A．4．（2020•河池）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED ＝4．则CE的长是（）A．5B．6C．4D．5【答案】C【解答】解：∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE＝5，∴AD＝5，∵EA＝3，ED＝4，在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，∴∠AED＝90°，∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．故选：C．5．（2020•绵阳）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（）A．2条B．4条C．6条D．8条【答案】B【解答】解：如图，因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，所以此图形的对称轴有4条．故选：B．6．（2020•鄂尔多斯）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA2A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（）A．B．22018C．22018+D．1010【答案】B【解答】解：∵四边形OAA1B1是正方形，∴OA＝AA1＝A1B1＝1，∴S1＝1×1＝，∵∠OAA1＝90°，∴OA12＝12+12＝2，∴OA2＝A2A3＝2，∴S2＝2×1＝1，同理可求：S3＝2×2＝2，S4＝4…，∴S n＝2n﹣2，∴S2020＝22018，故选：B．7．（2020•十堰）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BAD＝120°，则||＝（）A．B．3C．D．【答案】B【解答】解：根据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，∴菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，OD⊥OC，如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N．连接OD，OC．∵DO⊥OC，∴∠COM+∠DON＝90°，∠DON+∠ODN＝90°，∴∠COM＝∠ODN，∵∠CMO＝∠DNO＝90°，∴△COM∽△ODN，∴，∵菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，∠BAD＝120°，∴∠OCD＝60°，∠COD＝90°，∴，∴，∴，∴．故选：B．8．（2020•宁夏）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（）A．13B．10C．12D．5【答案】B【解答】解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，∴OB＝OD＝＝5，∴BD＝2OD＝10，∴EG＝BD＝10；故选：B．9．（2020•毕节市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（）A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），∴BD＝10cm，DO＝5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴EF＝OD＝2.5cm，故选：D．10．（2020•玉林）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．求证：DE∥BC，且DE＝BC．证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF 是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴DF BC；②∴CF AD．即CF BD；③∴四边形DBCF是平行四边形；④∴DE∥BC，且DE＝BC．则正确的证明顺序应是：（）A．②→③→①→④B．②→①→③→④C．①→③→④→②D．①→③→②→④【答案】A【解答】证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴AD＝BD，AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF AD．即CF BD，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF BC，∴DE∥BC，且DE＝BC．∴正确的证明顺序是②→③→①→④，故选：A．11．（2020•十堰）已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC ⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】B【解答】解：A．AB＝BC，邻边相等的平行四边形是菱形，故A不符合题意；B．AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，故B符合题意；C．AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C不符合题意；D．AC平分∠BAD，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D不符合题意．故选：B．12．（2020•烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．85°【答案】C【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，∴∠A＝∠B＝（180°﹣140°）＝20°，∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，故选：C．13．（2020•宜昌）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（）A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B．每段直路要短C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D．每段直路要长【答案】A【解答】解：∵从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，∴＝72°，∴每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走．故选：A．14．（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE【答案】A【解答】解：添加∠BAC＝90°时，∵AD是△ABC的中线，∴AD＝BC＝CD，∴四边形ADCE是菱形，选项A正确；添加∠DAE＝90°，∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形，选项B错误；添加AB＝AC，可得到AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，选项C错误；添加AB＝AE，∵AE＝AB，AB＞AD，∴AE＞AD，故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形；故选：A．15．（2020•威海）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，由已知可得，GE∥BF，CE＝EF，∴△CEG∽△CFB，∴，∵，∴，∵BC＝3，∴GB＝，∵l3∥l4，∴∠α＝∠GAB，∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，∴∠ABG＝90°，∴tan∠BAG＝＝，∴tanα的值为，故选：A．16．（2020•荆门）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（）A．20B．30C．40D．50【答案】C【解答】解：∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝AB＝5，∴AB＝10，∵四边形ABD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40；故选：C．17．（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD ∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2）B．（2，﹣4）C．（2，0）D．（0，2）或（0，﹣2）【答案】D【解答】解：根据菱形的对称性可得：当点C旋转到y轴负半轴时，A、B、C均在坐标轴上，如图，∵∠BAD＝60°，AD＝4，∴∠OAD＝30°，∴OD＝2，∴AO＝＝＝OC，∴点C的坐标为（0，），同理：当点C旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为（0，），∴点C的坐标为（0，）或（0，），故选：D．18．（2020•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．B．C．3D．5【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，∵H为BC中点，∴OH＝BC＝．故选：B．19．（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD ＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（）A．2B．C．3D．4【答案】B【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OD＝BD＝×6＝3，OA＝AC＝×8＝4，AC⊥BD，由勾股定理得，AD＝＝5，∵OE＝CE，∴∠DCA＝∠EOC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠DAC＝∠EOC，∴OE∥AD，∵AO＝OC，∴OE是△ADC的中位线，∴OE＝AD＝×5＝2.5，故选：B．20．（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米【答案】B【解答】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷45°＝8，∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80（m）．故选：B．21．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4B．8C．D．6【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH＝BD，∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝×12×BD＝48，∴BD＝8，∴OH＝BD＝4；故选：A．22．（2020•绥化）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE＝BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解答】解；∵CD为斜边AB的中线，∴AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴AE＝CE，DE＝BC；①正确；∵EF＝DE，∴DF＝BC，∴四边形DBCF是平行四边形；②正确；∴CF∥BD，CF＝BD，∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB的中线，∴CD＝AB＝BD，∴CF＝CD，∴∠CFE＝∠CDE，∵∠CDE+∠EGC＝180°，∠EGF+∠EGC＝180°，∴∠CDE＝∠EGF，∴∠CFE＝∠EGF，∴EF＝EG，③正确；作EH⊥FG于H，如图所示：则∠EHF＝∠CHE＝90°，∠HEF+∠EFH＝∠HEF+∠CEH＝90°，FH＝GH＝FG＝1，∴∠EFH＝∠CEH，CH＝GC+GH＝3+1＝4，∴△EFH∽△CEH，∴＝，∴EH2＝CH×FH＝4×1＝4，∴EH＝2，∴EF＝＝＝，∴BC＝2DE＝2EF＝2，④正确；故选：D．23．（2020•临沂）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△P AD的面积为S1，△PBC 的面积为S2，则（）A．S1+S2＞B．S1+S2＜C．S1+S2＝D．S1+S2的大小与P点位置有关【答案】C【解答】解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC的延长线于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴S＝BC•EF，，，∵EF＝PE+PF，AD＝BC，∴S1+S2＝，故选：C．24．（2020•黑龙江）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B 重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤【答案】D【解答】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．∵BE＝BH，∠EBH＝90°，∴EH＝BE，∵AF＝BE，∴AF＝EH，∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，∴∠F AE＝∠EHC＝135°，∵BA＝BC，BE＝BH，∴AE＝HC，∴△F AE≌△EHC（SAS），∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，∵∠ECH+∠CEB＝90°，∴∠AEF+∠CEB＝90°，∴∠FEC＝90°，∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°，∵CG＝CG，CE＝CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG＝GH，∵GH＝DG+DH，DH＝BE，∴EG＝BE+DG，故③错误，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，∴S△AEF＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，∵﹣＜0，∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，在Rt△AEG中，则有（x+a）2＝（a﹣x）2+（a）2，解得x＝，∴AG＝GD，故⑤正确，故选：D．25．（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【答案】C【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．26．（2020•达州）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF ＝BD；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】A【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，∴EB＝ED，∵BO＝DO，∴OE平分∠BOD，故①正确；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD＝∠BAD＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵OB＝OD，BE＝DE，∴OE⊥BD，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠BOE＝∠BDA，∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，∴∠ADO＝45°，∴AO＝AD，∴△AOF≌△ABD（ASA），∴OF＝BD，故②正确；③∵△AOF≌△ABD，∴AF＝AB，连接BF，如图1，∴BF＝，∵BE＝DE，OE⊥BD，∴DF＝BF，∴DF＝，故③正确；④根据题意作出图形，如图2，∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，∴AG＝OG，∴∠AOG＝∠OAG，∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，∴∠F AG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，∵四边形ABCD是矩形，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，∴∠EAG＝90°，∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，∴∠AEG＝45°，∴AE＝AG，∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；故选：A．27．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72B．24C．48D．96【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝4，∴BD＝8，∵OA＝6，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积＝．故选：C．28．（2020•泰安）如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC ＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（）A．1cm B．cm C．（2﹣3）cm D．（2﹣）cm 【答案】D【解答】解：过F作FH⊥BC于H，∵高AG＝2cm，∠B＝45°，∴BG＝AG＝2cm，∵FH⊥BC，∠BEF＝30°，∴EH＝，∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，∴AF＝CE，∵AG⊥BC，FH⊥BC，。

备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_四边形_平行四边形的性质-填空题专训及答案平行四边形的性质填空题专训1、(2021泰州.中考模拟) 如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________.2、(2017襄城.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，A，D两点分别在反比例函数y=﹣（x＜0）与y= （x＞0）的图象上，则▱ABCD的面积为________．3、(2017于洪.中考模拟) 在平行四边形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图，分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，作直线MN交CD于点E，交AB于点F．若AB=6，BC=4，则△ADE的周长为________．4、(2017松北.中考模拟) 如图，▱ABCD中，E是AB的中点，AB=10，AC=9，DE=12，则△CDE的面积S=________．5、(2017徐汇.中考模拟) 如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AD=4，BF=3，∠EAF=60°，设= ，如果向量=k （k≠0），那么k的值是________．6、(2017青浦.中考模拟) 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，联结CE 并延长，交对角线BD于点F，交BA的延长线于点G，如果DE=2AE，那么CF：EF：EG=________．7、(2017徐州.中考模拟) 如图，已知▱ABCD的顶点A、C分别在直线x=2和x=5上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为________．8、(2017玄武.中考模拟) 如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，EF与BD相交于点M，若△DEM的面积为1，则▱ABCD的面积为________．9、(2017昌乐.中考模拟) 如图，在▱ABCD中，DB=DC，∠C的度数比∠ABD的度数大54°，AE⊥BD于点E，则∠DAE的度数等于________．10、(2017曹.中考模拟) 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16cm，则△DOE的周长是________ cm．11、(2016东营.中考真卷) 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D 在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是________．12、(2017郑州.中考模拟) 如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，按一下步骤作图，分别以点A，点C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，作直线MN交CD于点E，交AB于点F，若AB=5，BC=3，则△ADE的周长为________．13、(2017焦作.中考模拟) 如图，在▱ABCD中，DB=DC，∠C=58°，AE⊥BD于E，则∠DAE=________度．14、(2016黄陂.中考模拟) 在▱ABCD中，已知∠A=25°，将△BDA沿BD翻折至△BDA′，连接CA′，∠DA′C=55°，则∠ABD=________．15、(2019海珠.中考模拟) 在直角坐标系内，设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t为实数），记N为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N的值可能为________.16、(2014崇左.中考真卷) 如图，A（4，0），B（3，3），以AO，AB为边作平行四边形OABC，则经过C点的反比例函数的解析式为________．17、(2017宁夏回族自治区.中考真卷) 如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．若∠1=∠2=50°，则∠A'为________．18、(2019高港.中考模拟) 如图，四边形ABCD是平行四边形，其中边AD是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，若⊙O的周长是12π，则四边形ABCD的面积为________.19、(2020金华.中考真卷) 如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是________°.20、(2020贵港.中考模拟) 如图，已知反比例函数y= (x＞0)与正比例函数y=x(x≥0)的图象，点A(1，4)，点A'(4，b)与点B'均在反比例函数的图象上，点B在直线y=x上，四边形AA'B'B是平行四边形，则B点的坐标为.平行四边形的性质填空题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：16.答案：17.答案：18.答案：19.答案：20.答案：。

山东省聊城市，2020~2021年中考数学压轴题精选解析山东省聊城市中考数学压轴题精选~~第1题~~(2020莘.中考模拟) 如图，二次函数y=ax²+bx+c （a≠0）的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，点B 的坐标为（3，0），顶点C 的坐标为（1，4）。

（1） 求二次函数的解析式和直线BD 的解析式；（2） 点P 是直线BD 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，当点P 在第一象限时，求线段PM 长度的最大值；（3） 在抛物线上是否存在异于B 、D 的点Q ，使△BDQ 中BD 边上的高为2？若存在求出点Q 的坐标；若不存在请说明理由。

~~第2题~~(2020聊城.中考真卷) 如图，二次函数y ＝ax ＋bx ＋4的图象与x 轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，其对称轴与线段BC 交于点E ．垂直于x 轴的动直线l 分别交抛物线和线段BC 于点P 和点F ，动直线l 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x 轴正方向移动到B 点．（1） 求出二次函数y ＝ax ＋bx ＋4和BC 所在直线的表达式；（2） 在动直线l 移动的过程中，试求使四边形DEFP 为平行四边形的点P 的坐标；（3） 连接CP ，CD ，在移动直线l 移动的过程中，抛物线上是否存在点P ，使得以点P，C ，F 为顶点的三角形与 D CE 相似，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由．~~第3题~~(2019莘.中考模拟) 如图，抛物线y=-x +bx+c 交x 轴于点A （-3，0)和点B ，交y 轴于点C(0，3）．222（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S=4S，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值，并求出△DAC 面积的最大值．~~第4题~~(2019聊城.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，又已知位于轴右侧且垂直于轴的动直线，沿轴正方向从运动到（不含点和点），且分别交抛物线，线段以及轴于点．（1）求抛物线的表达式；（2）连接，，当直线运动时，求使得和相似的点的坐标；（3）作，垂足为，当直线运动时，求面积的最大值．~~第5题~~(2018莘.中考模拟) 已知如图，抛物线y=x+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．~~第6题~~(2018聊城.中考模拟) 已知，抛物线y=ax+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．△A OP△BOC22（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3） a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．~~第7题~~(2018聊城.中考真卷) 如图，已知抛物线与轴分别交于原点和点，与对称轴交于点 .矩形的边在轴正半轴上，且，边，与抛物线分别交于点， .当矩形沿轴正方向平移，点，位于对称轴的同侧时，连接，此时，四边形的面积记为；点，位于对称轴的两侧时，连接，，此时五边形的面积记为 .将点与点重合的位置作为矩形平移的起点，设矩形平移的长度为 .（1）求出这条抛物线的表达式；（2）当时，求的值；（3）当矩形沿着轴的正方向平移时，求关于的函数表达式，并求出为何值时，有最大值，最大值是多少？~~第8题~~(2017高唐.中考模拟) 如图，已知抛物线y=﹣ +bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE// BC交AC于E，DF//AC交BC于F．①求证：四边形DECF是矩形；②试探究：在点D运动过程中，DE、DF、CF的长度之和是否发生变化？若不变，求出它的值，若变化，试说明变化情况．~~第9题~~(2017冠.中考模拟) 如图，已知抛物线y=﹣ x+bx+4与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B （8，0）（1）求抛物线的解析式及其对称轴．（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由．（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．~~第10题~~(2017阳谷.中考模拟) 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y= 的图像与正比例函数y=kx（k≠0）的图像相交于横坐标为2的点A，平移直线OA，使它经过点B（3，0）．（1）求平移后直线的表达式；（2）求OA平移后所得直线与双曲线的交点坐标．山东省聊城市中考数学压轴题答案解析~~第1题~~答案：2解析：~~第2题~~答案：解析：答案：解析：~~第4题~~答案：解析：答案：解析：~~第6题~~答案：解析：答案：解析：~~第8题~~答案：解析：~~第9题~~答案：解析：答案：解析：。

2020-2021中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习含答案解析一、平行四边形1．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．【答案】(1)见解析；（2）18°.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵AO=CO，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．2．已知：在菱形ABCD中，E，F是BD上的两点，且AE∥CF．求证：四边形AECF是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】由菱形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，由“SAS”可证△ADF≌△CDF，可得AF＝CF，由△ABE≌△CDF，可得AE＝CF，由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形AECF是菱形．【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，∵AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，DF＝DF∴△ADF≌△CDF（SAS）∴AF＝CF，∵AB∥CD，AE∥CF∴∠ABE＝∠CDF，∠AEF＝∠CFE∴∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CDF，AB＝CD∴△ABE≌△CDF（AAS）∴AE＝CF，且AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形又∵AF＝CF，∴四边形AECF是菱形【点睛】本题主要考查菱形的判定定理，首先要判定其为平行四边形，这是菱形判定的基本判定.3．如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2.（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）当∠B=70°时，求∠AEC的度数；（3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长.【答案】（1）()22303y x x x =-++<<；（2）∠AEC =105°；（3）边BC 的长为2117+. 【解析】试题分析：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ，得到四边形ADCH 为矩形．在△BAH 中，由勾股定理即可得出结论．（2）取CD 中点T ，连接TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，∠AET =∠B =70°．又AD =AE =1，得到∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，即可得到结论．（3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 解△ABH 即可得到结论．②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，由相似三角形对应边成比例即可得到结论． 试题解析：解：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ．由∠D =∠BCD =90°，得四边形ADCH 为矩形． 在△BAH 中，AB =2，∠BHA =90°，AH =y ，HB =1x -，∴22221y x =+-， 则()22303y x x x =-++<<（2）取CD 中点T ，联结TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，∴∠AET =∠B =70°．又AD =AE =1，∴∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，∴∠AEC =70°＋35°=105°．（3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 则在△ABH 中，∠B =60°，∠AHB =90°，AB =2，得BH =1，于是BC =2．②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，又2224AC BC AB x =-- 则22411724AD CA x x AC CB x x -=⇒=⇒=-（舍负） 易知∠ACE <90°，所以边BC 117+ 综上所述：边BC 的长为2117+．点睛：本题是四边形综合题．考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质．解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法．4．如图（1）在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为G 交AD于F（1）求证：AF＝DE；（2）连接DG，若DG平分∠EGF，如图（2），求证：点E是CD中点；（3）在（2）的条件下，连接CG，如图（3），求证：CG＝CD．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CG＝CD，见解析．【解析】【分析】（1）证明△BAF≌△ADE（ASA）即可解决问题．（2）过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．想办法证明AF＝DF，即可解决问题．（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DE＝CD，利用直角三角形斜边中线的性质，只要证明BC＝CP即可．【详解】（1）证明：如图1中，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90o，∴∠2+∠3＝90°又∵BF⊥AE，∴∠AGB＝90°∴∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠3在△BAF与△ADE中，∠1=∠3 BA=AD ∠BAF=∠D，∴△BAF≌△ADE（ASA）∴AF＝DE．（2）证明：过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．由（1）得∠1＝∠3，∠BGA＝∠AND＝90°，AB＝AD∴△BAG≌△ADN（AAS）∴AG＝DN，又DG平分∠EGF，DM⊥GF，DN⊥GE，∴DM＝DN，∴DM＝AG，又∠AFG＝∠DFM，∠AGF＝∠DMF∴△AFG≌△DFM（AAS），∴AF＝DF＝DE＝12AD＝12CD，即点E是CD的中点．（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DE＝CD，∠ADE＝∠ECP＝90°，∠DEA＝∠CEP，∴△ADE≌△PCE（ASA）∴AE＝PE，又CE∥AB，∴BC＝PC，在Rt△BGP中，∵BC＝PC，∴CG＝12BP＝BC，∴CG＝CD．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E 是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形ADBC的面积．【答案】（1）见解析；（2）S平行四边形ADBC=32．【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=12AB，BE=12AB，得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度.所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD//BC，则四边形BCFD是平行四边形.（2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；【详解】解：（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°，∵E为AB的中点，∴AE=BE，又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC，在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=12AB，BE=12AB，∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°，又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°，又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°，∴FC∥BD，又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC，∴四边形BCFD是平行四边形；（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AF=3，AC=33∴S平行四边形BCFD=3×33=93，S△ACF=12×3×33=932，S平行四边形ADBC=2732．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.6．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．（1）证明：BE=CF．（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．【答案】(1)见解析；（2）33）见解析【解析】试题分析：（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大.试题解析：（1）证明：连接AC，∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=∠ADC=60°∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∴△ABC、△ACD为等边三角形∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF．（ASA）∴BE=CF．（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF．故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值．作AH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形AECF=S△ABC===；（3）解：由“垂线段最短”可知，当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．由（2）得，S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=﹣=．点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ABE≌△ACF是解题的关键．7．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF＝120°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折叠可知，BC＝DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴AE PD1==BE BP∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜边上的中线，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等边三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60°，∵AB∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60°，∴∠EDF＝120°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度8．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，40），直线AB：y＝13x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH．（1）求边EF的长；（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）．①当点F1移动到点B时，求t的值；②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积．【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；【解析】【分析】（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-43x+40，可求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，1010=10；②F点移动到F'10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在Rt△F'NF中，NFNF'=13，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，43MHEM'=，t=4，S=12×(12+454)×11=10238；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，PKF K'=13，PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，PKKG'＝31539tt--+＝43，t=7，S=15×（15-7）=120.【详解】（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），∴30040k bb+=⎧⎨=⎩，∴4340kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y＝﹣43x+40，直线AB与直线DE的交点P（21，12），由题意知F（30，15），∴EF＝15；（2）①易求B（0，5），∴BF＝1010，∴当点F1移动到点B时，t＝101010÷＝10；②当点H运动到直线DE上时，F点移动到F'10，在Rt△F'NF中，NFNF'=13，∴FN＝t，F'N＝3t，∵MH'＝FN＝t，EM＝NG'＝15﹣F'N＝15﹣3t，在Rt△DMH'中，43MHEM'=，∴41533tt=-，∴t ＝4，∴EM ＝3，MH'＝4，∴S ＝1451023(12)11248⨯+⨯=； 当点G 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'10，∵PF ＝10∴PF'10t ﹣10，在Rt △F'PK 中，13PK F K ='， ∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9，在Rt △PKG'中，PK KG '＝31539t t --+＝43， ∴t ＝7，∴S ＝15×（15﹣7）＝120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．9．（感知）如图①，四边形ABCD 、CEFG 均为正方形．可知BE=DG ．（拓展）如图②，四边形ABCD 、CEFG 均为菱形，且∠A=∠F ．求证：BE=DG ．（应用）如图③，四边形ABCD 、CEFG 均为菱形，点E 在边AD 上，点G 在AD 延长线上．若AE=2ED ，∠A=∠F ，△EBC 的面积为8，菱形CEFG 的面积是_______．（只填结果）【答案】见解析【解析】试题分析：探究：由四边形ABCD 、四边形CEFG 均为菱形，利用SAS 易证得△BCE ≌△DCG ，则可得BE=DG ；应用：由AD ∥BC ，BE=DG ，可得S △ABE +S △CDE =S △BEC =S △CDG =8，又由AE=3ED ，可求得△CDE 的面积，继而求得答案．试题解析：探究：∵四边形ABCD 、四边形CEFG 均为菱形，∴BC=CD ，CE=CG ，∠BCD=∠A ，∠ECG=∠F ．∵∠A=∠F ，∴∠BCD=∠ECG ．∴∠BCD-∠ECD=∠ECG-∠ECD ，即∠BCE=∠DCG ．在△BCE 和△DCG 中，BC CD BCE DCG CE CG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BCE ≌△DCG （SAS ），∴BE=DG ．应用：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，∵BE=DG ，∴S △ABE +S △CDE =S △BEC =S △CDG =8，∵AE=3ED ，∴S △CDE =1824⨯= , ∴S △ECG =S △CDE +S △CDG =10∴S 菱形CEFG =2S △ECG =20.10．在ABC V 中，ABC 90o ∠=，BD 为AC 边上的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG ，DF ．()1求证：BD DF =；()2求证：四边形BDFG 为菱形；()3若AG 5=，CF 7=，求四边形BDFG 的周长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）8【解析】【分析】()1利用平行线的性质得到90CFA ∠=o ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证，()2利用平行四边形的判定定理判定四边形BDFG 为平行四边形，再利用()1得结论即可得证，()3设GF x =，则5AF x =-，利用菱形的性质和勾股定理得到CF 、AF 和AC 之间的关系，解出x 即可．【详解】()1证明：AG //BD Q ，CF BD ⊥，CF AG ∴⊥，又D Q 为AC 的中点，1DF AC 2∴=， 又1BD AC 2=Q ， BD DF ∴=，()2证明：BD//GF Q ，BD FG =，∴四边形BDFG 为平行四边形，又BD DF =Q ，∴四边形BDFG 为菱形，()3解：设GF x =，则AF 5x =-，AC 2x =，在Rt AFC V 中，222(2x)7)(5x)=+-，解得：1x 2=，216x (3=-舍去)， GF 2∴=，∴菱形BDFG 的周长为8．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，正确掌握这些定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键．11．已知边长为1的正方形ABCD 中， P 是对角线AC 上的一个动点（与点A 、C 不重合），过点P 作PE ⊥PB ，PE 交射线DC 于点E ，过点E 作EF ⊥AC ，垂足为点F ． （1）当点E 落在线段CD 上时（如图），①求证：PB=PE ；②在点P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E 落在线段DC 的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P 的运动过程中，△PEC 能否为等腰三角形？如果能，试求出AP 的长，如果不能，试说明理由．【答案】（1）①证明见解析；②点PP 在运动过程中，PF 的长度不变，值为22；（2）画图见解析，成立 ；（3）能，1.【解析】 分析：（1）①过点P 作PG ⊥BC 于G ，过点P 作PH ⊥DC 于H ，如图1．要证PB=PE ，只需证到△PGB ≌△PHE 即可；②连接BD ，如图2．易证△BOP ≌△PFE ，则有BO=PF ，只需求出BO 的长即可．（2）根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立．（3）可分点E 在线段DC 上和点E 在线段DC 的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP 的长．详解：（1）①证明：过点P 作PG ⊥BC 于G ，过点P 作PH ⊥DC 于H ，如图1．∵四边形ABCD 是正方形，PG ⊥BC ，PH ⊥DC ，∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°．∴PG=PH ，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°．∵PE ⊥PB 即∠BPE=90°，∴∠BPG=90°﹣∠GPE=∠EPH ．在△PGB 和△PHE 中，PGB PHE PG PHBPG EPH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△PGB ≌△PHE （ASA ），∴PB=PE ．②连接BD ，如图2．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOP=90°．∵PE ⊥PB 即∠BPE=90°，∴∠PBO=90°﹣∠BPO=∠EPF ．∵EF ⊥PC 即∠PFE=90°，∴∠BOP=∠PFE ．在△BOP 和△PFE 中，PBO EPF BOP PFE PB PE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BOP ≌△PFE （AAS ），∴BO=PF ．∵四边形ABCD 是正方形，∴OB=OC ，∠BOC=90°，∴BC=2OB．∵BC=1，∴OB=22，∴PF=22．∴点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为22．（2）当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图3所示．同理可得：PB=PE，PF=22．（3）①若点E在线段DC上，如图1．∵∠BPE=∠BCE=90°，∴∠PBC+∠PEC=180°．∵∠PBC＜90°，∴∠PEC＞90°．若△PEC为等腰三角形，则EP=EC．∴∠EPC=∠ECP=45°，∴∠PEC=90°，与∠PEC＞90°矛盾，∴当点E在线段DC上时，△PEC不可能是等腰三角形．②若点E在线段DC的延长线上，如图4．若△PEC是等腰三角形，∵∠PCE=135°，∴CP=CE，∴∠CPE=∠CEP=22.5°．∴∠APB=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°．∵∠PRC=90°+∠PBR=90°+∠CER，∴∠PBR=∠CER=22.5°，∴∠ABP=67.5°，∴∠ABP=∠APB．∴AP=AB=1．∴AP的长为1．点睛：本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键．12．如图，点E是正方形ABCD的边A B上一点，连结CE，过顶点C作CF⊥CE，交AD延长线于F．求证：BE=DF.【答案】证明见解析.【解析】分析：根据正方形的性质，证出BC=CD，∠B=∠CDF，∠BCD=90°，再由垂直的性质得到∠BCE=∠DCF，然后根据“ASA”证明△BCE≌△BCE即可得到BE=DF详解：证明：∵CF⊥CE，∴∠ECF=90°，又∵∠BCG=90°，∴∠BCE+∠ECD =∠DCF+∠ECD∴∠BCE=∠DCF，在△BCE与△DCF中，∵∠BCE=∠DCF，BC=CD，∠CDF=∠EBC，∴△BCE≌△BCE（ASA），∴BE=DF.点睛：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．13．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点（P与B、D不重合），∠APE=90°，且点E在BC边上，AE交BD于点F．（1）求证：①△PAB≌△PCB；②PE=PC；（2）在点P的运动过程中，的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理由；（3）设DP=x，当x为何值时，AE∥PC，并判断此时四边形PAFC的形状．【答案】（1）见解析；（2）；（3）x=﹣1；四边形PAFC是菱形．【解析】试题分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，得出AB=BC，∠ABP=∠CBP°，再根据PB=PB，即可证出△PAB≌△PCB，②根据∠PAB+∠PEB=180°，∠PEC+∠PEB=180°，得出∠PEC=∠PCB，从而证出PE=PC；（2）根据PA=PC，PE=PC，得出PA=PE，再根据∠APE=90°，得出∠PAE=∠PEA=45°，即可求出；（3）先求出∠CPE=∠PEA=45°，从而得出∠PCE，再求出∠BPC即可得出∠BPC=∠PCE，从而证出BP=BC=1，x=﹣1，再根据AE∥PC，得出∠AFP=∠BPC=67.5°，由△PAB≌△PCB 得出∠BPA=∠BPC=67.5°，PA=PC，从而证出AF=AP=PC，得出答案．试题解析：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=∠ABC=45°．∵PB=PB，∴△PAB≌△PCB （SAS）．②由△PAB≌△PCB可知，∠PAB=∠PCB．∵∠ABE=∠APE=90°，∴∠PAB+∠PEB=180°，又∵∠PEC+∠PEB=180°，∴∠PEC=∠PAB=∠PCB，∴PE=PC．（2）在点P的运动过程中，的值不改变．由△PAB≌△PCB可知，PA=PC．∵PE=PC，∴PA=PE，又∵∠APE=90°，∴△PAE是等腰直角三角形，∠PAE=∠PEA=45°，∴=．（3）∵AE∥PC，∴∠CPE=∠PEA=45°，∴在△PEC中，∠PCE=∠PEC=（180°﹣45°）=67.5°．在△PBC中，∠BPC=（180°﹣∠CBP﹣∠PCE）=（180°﹣45°﹣67.5°）=67.5°．∴∠BPC=∠PCE=67.5°，∴BP=BC=1，∴x=BD﹣BP=﹣1．∵AE∥PC，∴∠AFP=∠BPC=67.5°，由△PAB≌△PCB可知，∠BPA=∠BPC=67.5°，PA=PC，∴∠AFP=∠BPA，∴AF=AP=PC，∴四边形PAFC是菱形．考点：四边形综合题．14．倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径．下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”的问题．习题如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由．解答：∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′，点F、D、E′在一条直线上．∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF，又∵AE′=AE，AF=AF∴△AE′F≌△AEF（SAS）∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．类比猜想：（1）请同学们研究：如图（2），在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，还有EF=BE+DF吗？请说明理由．（2）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=∠BAD时，EF=BE+DF吗？请说明理由．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：（1）把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′，如图（2），连结E′F，根据菱形和旋转的性质得到AE=AE′，∠EAF=∠E′AF，利用“SAS”证明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F；由于∠ADE′+∠ADC=120°，则点F、D、E′不共线，所以DE′+DF＞EF，即由BE+DF＞EF；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△ADE′，如图（3），根据旋转的性质得到AE′=AE，∠EAF=∠E′AF，然后利用“SAS”证明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F，由于∠ADE′+∠ADC=180°，知F、D、E′共线，因此有EF=DE′+DF=BE+DF；根据前面的条件和结论可归纳出结论．试题解析：（1）当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，EF=BE+DF不成立，EF＜BE+DF．理由如下：∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，∴AB=AD，∠1+∠2=60°，∠B=∠ADC=60°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′，如图（2），连结E′F，∴∠EAE′=120°，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60°，∴∠2+∠3=60°，∴∠EAF=∠E′AF，在△AEF和△AE′F中，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF=E′F，∵∠ADE′+∠ADC=120°，即点F、D、E′不共线，∴DE′+DF＞EF∴BE+DF＞EF；（2）当AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=∠BAD时，EF=BE+DF成立．理由如下：如图（3），∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△ADE′，如图（3），∴∠EAE′=∠BAD，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B，∵∠B+∠D=180°，∴∠ADE′+∠D=180°，∴点F、D、E′共线，∵∠EAF=∠BAD，∴∠1+∠2=∠BAD，∴∠2+∠3=∠BAD，∴∠EAF=∠E′AF，在△AEF和△AE′F中，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF=E′F，∴EF=DE′+DF=BE+DF；归纳：在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=∠BAD时，EF=BE+DF．考点：四边形综合题．15．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）．将正方形ABCO 绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式；（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）∠PAG =45°，PG=OG+BP．理由见解析（3）y=x﹣3．（4）、．【解析】试题分析：(1)由AO=AD，AG=AG，根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，判断出△AOG≌△ADG即可．(2)首先根据三角形全等的判定方法，判断出△ADP≌△ABP，再结合△AOG≌△ADG，可得∠DAP=∠BAP，∠1=∠DAG；然后根据∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，求出∠PAG的度数；最后判断出线段OG、PG、BP之间的数量关系即可．(3)首先根据△AOG≌△ADG，判断出∠AGO=∠AGD；然后根据∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，判断出当∠1=∠2时，∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，求出∠1=∠2=30°；最后确定出P、G两点坐标，即可判断出直线PE的解析式．(4)根据题意，分两种情况：①当点M在x轴的负半轴上时；②当点M在EP的延长线上时；根据以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形，求出M点坐标是多少即可．试题解析：(1)在Rt△AOG和Rt△ADG中，（HL）∴△AOG≌△ADG．(2)在Rt△ADP和Rt△ABP中，∴△ADP≌△ABP，则∠DAP=∠BAP；∵△AOG≌△ADG，∴∠1=∠DAG；又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，∴2∠DAG+2∠DAP=90°，∴∠DAG+∠DAP=45°，∵∠PAG=∠DAG+∠DAP，∴∠PAG=45°；∵△AOG≌△ADG，∴DG=OG，∵△ADP≌△ABP，∴DP=BP，∴PG=DG+DP=OG+BP．(3)解：∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD，又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠PGC，又∵∠AGO=∠AGD，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=180°÷3=60°，∴∠1=∠2=90°﹣60°=30°；在Rt△AOG中，∵AO=3，∴OG=AOtan30°=3×=，∴G点坐标为（，0），CG=3﹣，在Rt△PCG中，PC===3（﹣1），∴P点坐标为：（3，3﹣3 ），设直线PE的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线PE的解析式为y=x﹣3．(4)①如图1，当点M在x轴的负半轴上时，，∵AG=MG，点A坐标为（0，3），∴点M坐标为（0，﹣3）．②如图2，当点M在EP的延长线上时，，由（3），可得∠AGO=∠PGC=60°，∴EP与AB的交点M，满足AG=MG，∵A点的横坐标是0，G点横坐标为，∴M的横坐标是2，纵坐标是3，∴点M坐标为（2，3）．综上，可得点M坐标为（0，﹣3）或（2，3）．考点：几何变换综合题．。

第4章平行四边形章末检测卷（浙教版）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021ꞏ江苏苏州市ꞏ九年级零模）一个n 边形的每个外角都是45°，则这个n 边形的内角和是（）A ．1080°B ．540°C ．2700°D ．2160°【答案】A【分析】根据多边形外角和及内角和可直接进行求解．【详解】解：由一个n 边形的每个外角都是45°，可得：360845n ︒==︒，∴这个多边形的内角和为：()821801080-⨯︒=︒，故选A ．【点睛】本题主要考查多边形的内角和及外角和，熟练掌握多边形的内角和及外角和是解题的关键．2．（2020ꞏ山东阳谷ꞏ初二期末）随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此依次判断即可.【解析】∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，∴A 、C 、D 不符合，不是中心对称图形，B 选项为中心对称图形.故选：B.【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解题关键.3．（2021ꞏ山东东营市ꞏ八年级期末）下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C ．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D ．有两组对角相等的四边形是平行四边形【答案】C【分析】根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】A 、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项A 不符合题意；B 、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项B 不符合题意；C 、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，∴选项C 符合题意；D 、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．4．（2021ꞏ山东烟台市ꞏ八年级期末）如图1，平行四边形纸片ABCD 的面积为120，20AD =．今沿两对角线将四边形ABCD 剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD 、CB 重合）形成一轴对称图形（戊），如图2所示，则图形戊的两对角线长度和为（）A ．26B ．29C ．2243D ．1253【答案】A 【分析】由题意可得对角线EF ⊥AD ，且EF 与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出BC 边的高即可．【详解】解：如图，连接AD 、EF ，则可得对角线EF ⊥AD ，且EF 与平行四边形的高相等．∵平行四边形纸片ABCD 的面积为120，AD=20，∴BC=AD=20，12EF×AD=12×120，∴EF=6，又AD=20，∴则图形戊中的四边形两对角线之和为20+6=26，故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．5．（2020ꞏ福建南平市ꞏ七年级期中）如图，点,A B 为定点，直线//,l AB P 是直线l 上一动点．对于下列各值：①线段AB 的长；②APB ∠的度数；③PAB △的周长；④PAB △的面积．其中不会随点P 的移动而变化的是（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B 【分析】由A 、B 为定点可得AB 长为定值，进而可判断①；当P 点移动时，∠APB 的度数发生变化，PA +PB 的长也发生变化，于是可判断②、③；由直线l ∥AB 可得P 到AB 的距离为定值，于是可判断④，从而可得答案．【详解】解：∵A 、B 为定点，∴AB 长为定值，∴①线段AB 的长不会随点P 的移动而变化；当P 点移动时，∠APB 的度数发生变化，∴②∠APB 的度数会随点P 的移动而变化；当P 点移动时，PA +PB 的长发生变化，∴③△PAB 的周长会随点P 的移动而变化；∵点A ，B 为定点，直线l ∥AB ，∴P 到AB 的距离为定值，∴④△APB 的面积不会随点P 的移动而变化；综上，不会随点P 的移动而变化的是①④．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质、同底等高的三角形的面积相等以及平行线间的距离等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．6．（2020ꞏ江苏南通市ꞏ南通第一初中）已知：ABC ∆中，AB AC =，求证：90O B ∠<，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴180O A B C ∠+∠+∠>，这与三角形内角和为180O 矛盾,②因此假设不成立．∴90O B ∠<,③假设在ABC ∆中，90O B ∠≥,④由AB AC =，得90O B C ∠=∠≥，即180O B C ∠+∠≥．这四个步骤正确的顺序应是（）A ．③④②①B ．③④①②C ．①②③④D ．④③①②【答案】B【分析】根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.【详解】题目中“已知：△ABC 中，AB=AC ，求证：∠B ＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：(1)假设∠B≥90°，(2)那么，由AB=AC ，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，(3)所以∠A+∠B+∠C ＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，(4)因此假设不成立．∴∠B ＜90°，原题正确顺序为：③④①②，故选B ．【点睛】本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.7．（2021ꞏ上海九年级专题练习）四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ．给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB CD =，AD BC =；③AO CO =，BO DO =；④AB ∥CD ，AD BC =．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（）A ．1组；B ．2组；C ．3组；D ．4组．【答案】C【分析】根据平行四边形的判定方法对①②③④分别作出判断即可求解．【详解】①AB ∥CD ，AD ∥BC ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；②AB CD =，AD BC =，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；；③AO CO =，BO DO =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；④AB ∥CD ，AD BC =，无法判定四边形是平行四边形．故选：C【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定定理是解题关键．8．（2021ꞏ山东潍坊市ꞏ八年级期末）如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分,6,2ADC AD BE ∠==，则平行四边形ABCD 的周长是（）A ．16B ．18C ．20D ．24【答案】C 【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED ，再根据等角对等边的性质可得CE=CD ，然后利用平行四边形对边相等求出CD 、BC 的长度，再求出▱ABCD 的周长．【详解】解：∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠CDE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，BC=AD=6，AB=CD ，∴∠ADE=∠CED ，∴∠CDE=∠CED ，∴CE=CD ，∵AD=6，BE=2，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，∴▱ABCD 的周长=6+6+4+4=20．故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD 是解题的关键．9．（2021ꞏ山东潍坊市ꞏ八年级期末）如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，,AD AC AE CD =⊥于点E ，点F 是BC 的中点，若10BD =，则EF 的长为（）A ．8B ．6C ．5D ．4【答案】C【分析】首先根据AD AC =可得△ACD 为等腰三角形，再由AE CD ⊥结合“三线合一”性质可得E 为CD 的中点，从而得到EF 为△CBD 的中位线，最终根据中位线定理求解即可．【详解】∵AD AC =，∴△ACD 为等腰三角形，∵AE CD ⊥，∴E 为CD 的中点，（三线合一）又∵点F 是BC 的中点，∴EF 为△CBD 的中位线，∴152EF BD ==，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键．10．（2021ꞏ山东泰安市ꞏ九年级期末）如图，已知ABC ∆的面积为24,点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4,BC CF =四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A ．6B ．8C ．3D ．4【答案】A【分析】想办法证明S 阴=S △ADE +S △DEC =S △AEC ，再由EF ∥AC ，可得S △AEC =S △ACF 解决问题；【详解】解：如图,连接AF 、EC ．∵BC=4CF ，S △ABC =24，∴S △ACF =14×24=6，∵四边形CDEF 是平行四边形，∴DE ∥CF ，EF ∥AC ，∴S △DEB =S △DEC ，∴S 阴=S △ADE +S △DEC =S △AEC ，∵EF ∥AC ，∴S △AEC =S △ACF =6，∴S 阴=6．故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．11．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级期末）如图，在平行四边形ABCD 中，90B ∠<︒，BC AB >．作AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，记EAF ∠的度数为α，AE a =，AF b =．则以下选项错误的是（）A ．::a b CD BC =B ．D ∠的度数为αC ．若60α=︒，则四边形AECF 的面积为平行四边形ABCD 面积的一半D ．若60α=︒，则平行四边形ABCD )a b +【答案】C【分析】由平行四边形的性质得出//AD BC ，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，得出180D C ∠+∠=︒，求出180EAF C ∠+∠=︒，得出B D EAF α∠=∠=∠=；由平行四边形ABCD 的面积得出::a b CD BC =；若60α=︒，则60B D ∠=∠=︒，求出30BAE DAF ∠=∠=︒，由直角三角形的性质得出33BE AE a ==，33DF AF b ==，得出23AB BE a ==，23AD DF ==，求出平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+；求出ABE ∆的面积2126BE AE a =⨯=，ADF ∆的面积26=，平行四边形ABCD 的面积BC AE a =⨯=⨯=，得出四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积22()36ab a b =-+≠平行四边形ABCD 面积的一半；即得出结论．【详解】解： 四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，180D C ∴∠+∠=︒，AE BC ⊥ 于点E ，AF CD ⊥于点F ，360290180EAF C ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒，B D EAF α∴∠=∠=∠=；平行四边形ABCD 的面积BC AE CD AF =⨯=⨯，AE a =，AF b =，BC a CD b ∴⨯=⨯，::a b CD BC ∴=；若60α=︒，则60B D ∠=∠=︒，30BAE DAF ∴∠=∠=︒，33BE AE a ∴==，33DF AF ==，23AB BE a ∴==，23AD DF ==，∴平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+；ABE ∆ 的面积21122BE AE a =⨯=⨯，ADF ∆的面积21122DF AF b =⨯=⨯=，平行四边形ABCD 的面积33BC AE a ab =⨯=⨯=，∴四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积22()36a b =-+≠平行四边形ABCD 面积的一半；综上所述，选项A 、B 、D 不符合题意，选项C 符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．12．（2021ꞏ山东泰安市ꞏ九年级期末）如图，ABCD 的对角线AC BD 、交于点,O DE 平分ADC ∠交AB 于点,60,E BCD ∠=︒12AD AB =，连接OE ．下列结论：①ABCD S AD BD =⋅ ；②DB 平分CDE ∠；③AO DE =；④OE 垂直平分BD ．其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】求得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，即可得到S ▱ABCD =AD•BD ；依据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE ，进而得出DB 平分∠CDE ；依据Rt △AOD 中，AO ＞AD ，即可得到AO ＞DE ；依据O 是BD 中点，E 为AB 中点，可得BE=DE ，利用三角形全等即可得OE ⊥BD 且OB=OD ．【详解】解：在ABCD 中，∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED ，∴△ADE 是等边三角形，12AD AE AB ∴==，∴E 是AB 的中点，∴DE=BE ，1302BDE AED ︒∴∠=∠=，∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S▱ABCD=AD•BD，故①正确；∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°，∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；∵Rt△AOD中，AO＞AD，∵AD=DE，∴AO＞DE，故③错误；∵O是BD的中点，∴DO=BO,∵E是AB的中点，∴BE=AE=DE∵OE=OE∴△DOE≌△BOE(SSS)∴∠EOD=∠EOB∵∠EOD+∠EOB=180°∴∠BOE=90°∴OE垂直平分BD，故④正确；正确的有3个，故选择：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式的综合运用，三角形全等判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质定理和等边三角形判定定理，三角形全等判定方法和性质是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）B a b关于原点成中心13．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级其他模拟）在直角坐标系中．点A-和点(,)a b的值为_____．对称，则-【答案】-【分析】直接利用关于原点成中心对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．B a b关于原点成中心对称，∴a=-b=【详解】解：∵点A-和点(,)则a-b的值为：a-b=-=-．故答案为：-．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．14．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级开学考试）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是A B C，则平行四边形第四个顶点D的坐标为__________．(1,2),(3,0),(5,4)【答案】（3，6），（-1，-2），（7，2）【分析】分三种情况讨论，由平行四边形的性质即可得出答案．【详解】解：观察图象可知满足条件的点D的坐标为（3，6），（-1，-2），（7，2），故答案为：（3，6），（-1，-2），（7，2）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，解答本题的关键要注意分情况求解，不能忽略任何一种可能的情况．15．（2020ꞏ四川遂宁市ꞏ射洪中学九年级月考）如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于F ，AB =13，AC =8，则DF 的长为_________．【答案】2.5【分析】延长CF 交AB 于H ，证明△AFH ≌△AFC ，根据全等三角形的性质得到AH=AC=7，CF=FH ，求出HB ，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：延长CF 交AB 于H，∵AE 平分∠BAC ，∴∠HAF=∠CAF,在△AFH 和△AFC 中，90HAF CAF AF AF AFH AFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△AFH ≌△AFC （ASA ），∴AH=AC ，CF=FH ，∵AB=13，AC=8，∴AH=AC=8，∴HB=AB-AH=13-8=5，∵CF=FH ，CD=DB ，∴DF=12HB=2.5，故答案为：2.5．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．16．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级其他模拟）在ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD的延长线于点F ．已知AB =120A ∠=︒，5BF =：则FD =__________，ABCD S = __________．62-【分析】结合题意，通过证明AEB DEF △≌△，得到AB FD =，即可得到FD ；过点F 作FH BC ⊥于点H ，延长AD 交FH 于点G ，结合题意，根据平行四边形、对顶角、直角三角形两锐角互余的性质，计算得30DFG ∠= ，从而得CH 的值；再根据勾股定理计算，得FH 和BC 的值，结合平行四边形ABCD 性质以及FD CD =，DG 是CFH △中位线，从而得到DG ，通过计算即可得到答案．【详解】∵E 是AD 边上的中点∴AE ED=∵平行四边形ABCD ∴//AB CD ∴BAE EDF∠=∠∵AEB DEF ∠=∠∴AEB DEF △≌△∴AB FD=∵AB =∴FD AB ==过点F 作FH BC ⊥于点H ，延长AD 交FH 于点G∵ABCD ∴//AD BC ∴AG FH ⊥，即90DGF ∠=∵120A ∠=︒，且ABCD ∴18060ADC A ∠=-∠=∴60FDG ADC ∠=∠= ∴9030DFG FDG ∠=-∠= ∴12CH CF =∵平行四边形ABCD ∴==CD AB ∴CF CD DF =+=∴12CH CF ==∴3FH ===∴4BH ===∴4BC BH CH =-=-∵//AD BC ，FD CD ==∴DG 是CFH △中位线∴1322FG GH FH ===∴(34622ABCD BC S GH ⨯=⨯=-= ，62-．【点睛】本题考查了平行四边形、勾股定理、直角三角形、三角形中位线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、勾股定理、直角三角形、三角形中位线、全等三角形的性质，从而完成求解．17．（2021ꞏ安徽阜阳市ꞏ九年级期末）如图，在▱ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝8，AD ＝6，点E 、F 分别是边AB 、CD 上的动点，将该四边形沿折痕EF 翻折，使点A 落在边BC 的三等分点处，则AE 的长为．【答案】143或285【分析】设点A 落在BC 边上的A′点，分两种情况：①当A′C=13BC=2时；②如图2，当A′B=13BC=2时，过A′点作AB 延长线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理即可．【详解】设点A 落在BC 边上的A′点．①如图1，当A′C=13BC=2时，A′B=4，设AE=x ，则A′E=x ，BE=8-x ．过A′点作A′M 垂直于AB ，交AB 延长线于M 点，在Rt △A′BM 中，∠A′BM=60°，∴BM=2，．在Rt △A′EM 中，利用勾股定理可得：x 2=（10-x ）2+12，解得x=285．即AE=285；②如图2，当A′B=13BC=2时，设AE=x ，则A′E=x ，BE=8-x ．过A′点作A′N 垂直于AB ，交AB 延长线于N 点，在Rt △A′BN 中，∠A′BN=60°，∴BN=1，在Rt △A′EN 中，利用勾股定理可得：x 2=（9-x ）2+3，解得x=143．即AE=143；所以AE 的长为5.6或143．故答案为5.6或143．【点睛】本题主要考查翻折性质、平行四边形的性质、勾股定理，同时考查分类讨论的数学思想．18．（2020ꞏ山东济南市ꞏ八年级期末）如图，在 ABCD 中，AD=2AB ，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上，F 、G 分别是AD 、CE 的中点，连接FG ，EF 、CD 的延长线交于点H ，则下列结论：①12DCF BCD ∠=∠；②EF CF =：③2BEC CEF S S = ；④3DFE AEF ∠=∠.其中，正确的序号有【答案】①②④【分析】由点F 是AD 的中点，结合 ABCD 的性质，得FD=CD ，即可判断①；先证∆AEF ≅∆DHF ，再证∆ECH 是直角三角形，即可判断②；由EF=HF ，得2HEC CEF S S = ，由CE AB ⊥，CE ⊥CD ，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x ，则∠H=x ，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x ，由FD=CD ，∠DFC=∠FCH=x ，由FG ∥CD ∥AB ，得∠AEF=∠EFG=x ，由EF=CF ，∠EFG=∠CFG=x ，进而得到3DFE AEF ∠=∠，即可判断④．【详解】∵点F 是AD 的中点，∴2FD=AD ，∵在 ABCD 中，AD=2AB ，∴FD=AB=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠BCF ，∴∠DCF=∠BCF ，即：12DCF BCD ∠=∠，∴①正确；∵AB ∥CD ，∴∠A=∠FDH ，∠AEF=∠H ，又∵AF=DF ，∴∆AEF ≅∆DHF （AAS ），∴EF=HF ，∵CE AB ⊥，∴CE ⊥CD ，即：∆ECH 是直角三角形，∴EF CF ==12EH ，∴②正确；∵EF=HF ，∴2HEC CEF S S = ∵CE AB ⊥，CE ⊥CD ，垂足E 在线段AB 上，∴BE CH <,∴BEC HCE S S < ,∴2BEC CEF S S < ，∴③错误；设∠AEF=x ，则∠H=x ，∵在Rt∆ECH 中，CF=FH=EF ，∴∠FCH=∠H=x ，∵FD=CD ，∴∠DFC=∠FCH=x ，∵点F ，G 分别是EH ，EC 的中点，∴FG ∥CD ∥AB ，∴∠AEF=∠EFG=x ，∵EF=CF ，∴∠EFG=∠CFG=x ，∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x ，∴3DFE AEF ∠=∠．∴④正确．【点睛】本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级其他模拟）在66⨯的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，请在图1、图2、图3中各画一个以A ，B 为顶点的四边形，满足以下要求：（1）在图1中画出一个面积为6，且是中心对称的四边形；（2）在图2中画出一个面积为9，且是轴对称的四边形；（3）在图3中画出一个既是轴对称又是中心对称的四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）画一个底为2，高为3的平行四边形即可；（2）画一个上底为2，下底为4，高为3的梯形即可；（3）以AB 为边画一个正方形即可．【详解】解：（1）如图，四边形ABCD 即为所作；（2）如图，四边形ABCD 即为所作；（3）如图，四边形ABCD 即为所作．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握相应图形的性质，以及网格的性质．20．（2021ꞏ山东烟台市ꞏ八年级期末）如图，在ABC 中，CD 是AB 边的中线，E 是CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ．求证：2BF CF =．【答案】见解析【分析】取AF 的中点M ，连接DM ，则DM 是△ABF 的中位线，利用中位线定理结合全等三角形的判定即可证得．【详解】证明：取AF 的中点M ，连接DM ，∵CD 是AB 边的中线，∴D 是AB 边的中点，∴2BF DM =，//DM BC ．∴MDE FCE ∠=∠，DME CFE ∠=∠．∵E 是CD 的中点，∴DE CE =，在△MDE 和△FCE 中，MDE FCE DME CFE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MDE FCE ≌△△．∴DM CF =，∴2BF CF =．【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．21．（2021ꞏ渝中区ꞏ重庆巴蜀中学九年级期末）已知：在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在AD 和BC 上，点G 、H 在对角线AC 上，且BF=DE ，AH=CG ，连接FH 、HE 、BG 、FG ．（1）求证：FG=EH ．（2）若EG 平分∠AEH ，FH 平分∠CFG ，FG//AB ，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）77°【分析】（1）根据平行四边形的性质可得//AD BC ，AD BC =，通过证明AEH △≌CFG △即可得证；（2）利用角平分线的定义可得35GFH CFH ∠=∠=︒，再根据平行四边形的性质求出18042ACB D ACD ∠=︒-∠-∠=︒，利用三角形外角的性质即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，AD BC =，∴EAH FCG ∠=∠，∵BF DE =，∴AD DE BC BF -=-，即AE CF =，在AEH △和CFG △中，AE CF EAH FCG AH CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEH △≌CFG △，∴FG=EH ；（2）∵FH 平分∠CFG ，∠GFH=35°，∴35GFH CFH ∠=∠=︒，∵FG//AB ，∴70B GFC ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴70D B ∠=∠=︒，∴18042ACB D ACD ∠=︒-∠-∠=︒，∴77GHF CFH ACB ∠=∠+∠=︒．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，掌握上述性质定理是解题的关键．22．（2021ꞏ安徽九年级一模）如图，在□ABCD 中，点P 在对角线AC 上一动点，过点P 作PM //DC ，且PM =DC ，连接BM ，CM ，AP ，BD ．（1）求证：△A DP ≌△BCM ；（2）若PA =12PC ，设△ABP 的面积为S ，四边形BPCM 的面积为T ，求S T的值．【答案】（1）证明见解析；（2）13【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，得到AD=BC ，∠ADC+∠BCD=180︒，由PM //DC ，且PM =DC ，证得四边形PMCD 是平行四边形，得到PD=CM ，∠PDC+∠DCM=180︒，推出∠ADP=∠BCM ，即可证得结论；（2）作BH ⊥AC 于H ，DG ⊥AC 于G ，根据四边形ABCD 是平行四边形，得到△ABC ≌△CDA ，BH=DG ，求得2BCP ABP S S = ，ADP ABP S S = ，利用△A DP ≌△BCM ，得到ADP BCM S =S ，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，∠ADC+∠BCD=180︒，∵PM //DC ，且PM =DC ，∴四边形PMCD 是平行四边形，∴PD=CM ，∠PDC+∠DCM=180︒，∴∠ADP=∠BCM ，∴△A DP ≌△BCM ；（2）解：作BH ⊥AC 于H ，DG ⊥AC 于G ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴△ABC ≌△CDA ，∴BH=DG ，∴12ABP BCP S AP S CP == ，即2BCP ABP S S = ，12112ABPADP AP BH S S AP DG ⋅⋅==⋅⋅ ，即ADP ABP S S = ，∵△A DP ≌△BCM ，∴ADP BCM S =S ，∴S T =13ABP BCP ADP S S S =+．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，同底等高或同高的三角形的面积关系，证明△A DP≌△BCM并利用其全等的性质解决问题是解题的关键．23．（2020ꞏ黑龙江哈尔滨市ꞏ九年级月考）如图，在△AFC中，∠FAC=45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB=FC，过点A作AD⊥AF，且AD=BC，连接CD．（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，若AB平分∠FAC，延长FE交CD于点H，请直接写出与∠ABE相等的角．【答案】（1）见解析；（2）∠CHB；∠BCH；∠BAD；∠FCA；∠CFA【分析】（1）由题意易得∠FEA=∠FEC=90°，∠FAC=∠EFA=45°，进而可证Rt△AEB≌Rt△FEC，则有BE=CE，然后可证BC∥AD，最后求解问题即可；（2）由（1）及题意可直接进行解答．【详解】（1）证明：∵FE⊥AC，∴∠FEA=∠FEC=90°，∵∠FAC=45°，∴∠FAC=∠EFA=45°∴AE=EF，∵AB=FC，∴Rt△AEB≌Rt△FEC(HL)，∴BE=CE，∵AD⊥AF，∴∠FAD=90°，∴∠CAD=90°-45°=45°，∴∠CBE=∠BCE=∠CAD=45°，∴BC∥AD，∵BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：由（1）得：∠CBE=∠BCE=∠CAD=∠BFA=45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠CHB，∠BAC=∠DCA，∵AB平分∠FAC，∴∠BAC=∠BAF，∵∠ABE=∠BFA+∠BAF，∠BCH=∠BCE+∠DCA，∴∠ABE=∠BCH=∠BAD，∵∠CFA=∠CFH+∠BFA，∠HCE=∠CFE，∴∠ABE=∠CFA，∵∠DCA+∠FCA=90°，∴∠ABE=∠FCA，∴与∠ABE相等的角有：∠CHB；∠BCH；∠BAD；∠FCA；∠CFA．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定及角的和差关系，熟练掌握平行四边形的性质与判定及角的和差关系是解题的关键．24．（2020ꞏ全国八年级课时练习）如图，等腰Rt△ABD中，AB＝AD，点M为边AD上一动点，点E在DA 的延长线上，且AM＝AE，以BE为直角边，向外作等腰Rt△BEG，MG交AB于N，连NE、DN．（1）求证：∠BEN＝∠BGN．（2）求NGAB的值．（3）当M在AD上运动时，探究四边形BDNG的形状，并证明之．【答案】（1）详见解析；（2；（3）四边形BDNG是平行四边形，证明详见解析.【分析】（1）连接BM，推出BE＝BM，∠EBA＝∠MBA，根据SAS证△BMN≌△BEN，推出∠BMN＝∠BEN，证出∠BMN＝∠BGN即可；（2）过G作GH⊥AB，垂足为H，证△BGH≌△ABE，推出BH＝AE＝AN，求出NGGHAB，代入求出即可；（3）根据ADN≌△BAE，推出BG⊥BE，BG＝BE，得出BG∥DN，BG＝DN，根据平行四边形的判定判断即可．【解析】（1）证明：连BM，∵∠BAD＝90°，∴BA⊥EM，∵AE＝AM，∴BE＝BM，∠EBA＝∠MBA，在△BEN和△BMN中BE BMEBA MBABN BN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BMN≌△BEN，∴∠BMN＝∠BEN，∵BE＝BG＝BM，∴∠BMN＝∠BGN，∴∠BEN＝∠BGN．（2）解：由（1）得，∠GBE＝∠GNE＝90°，∴△NME等腰直角三角形，∴AE＝AN，过G作GH⊥AB，垂足为H，∴∠H＝∠BAE＝∠GBE＝90°，∴∠HGB+∠HBG＝90°，∠HBG+∠ABE＝90°，∴∠HGB＝∠EBA，在△BGH和△ABE中H BAEHGB ABEBG BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BGH≌△ABE，∴BH＝AE＝AN，HN＝AB＝GH，NGGHAB，∴NGAB=．（3）解：四边形BDNG是平行四边形，理由是：∵∠DAN＝∠BAE＝90°，AN＝AE，AB＝AD，∴△ADN≌△BAE，∴DN⊥BE，DN＝BE＝BG，又∵BG⊥BE，BG＝BE，∴BG∥DN，BG＝DN∴四边形BDNG为平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质等知识点的运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题型较好，但有一定的难度．25．（2020ꞏ广东深圳市ꞏ八年级期末模拟）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____；（3）如图2，点N为线段BC上的动点且CM=CN，连接MN，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的EP的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（﹣2，），（4，）；（2）（2）；（3）EP 的值为3或65．【分析】（1）由30°直角三角形的性质求出OD 的长，再由平行四边形的性质求出BD 的长即可解决问题；（2）首先证明四边形OPME ′是平行四边形，可得OP =EM ，因为PM 是定值，推出PB +ME ′=OP +PB 的值最小时，BP +PM +ME ′的长度最小；（3）分三种情形画出图形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，在Rt △ADO 中，∵∠A =60°，∴∠AOD =30°．∵AD =2，∴OD A （﹣2，），∵四边形ABCO 是平行四边形，∴AB =OC =6，∴DB =6﹣2=4，∴B （4，）；（2）如图1中，连接OP ．∵EF 垂直平分线段OD ，PM ⊥OC ，∴∠PEO =∠EOM =∠PMO =90°，∴四边形OMPE 是矩形，∴PM =OE ．∵OE =OE ′，∴PM =OE ′，PM ∥OE ′，∴四边形OPME ′是平行四边形，∴OP =EM ，∵PM 是定值，∴PB +ME ′=OP +PB 的值最小时，BP +PM +ME ′的长度最小，∴当O 、P 、B 共线时，BP +PM +ME ′的长度最小．∵直线OB 的解析式为y =2x ，∴P （2．故答案为（2．（3）如图2中，当PM =PN 时，∵AOCB 是平行四边形，∴∠MCN =∠A =60°．∵MC =CN ，∴△MNC 是等边三角形，∴∠CMN =∠CNM =60°．∵PM ⊥OC ，∴∠PMN =∠PNM =30°，∴∠PNF =30°+60°=90°，∵∠PFN =∠BCO =60°，∴∠NPF =30°，NF =1，∴PF =2NF =2，∵EF =2BD OC =5，∴PE =5﹣2=3．如图3中，当PM =MN 时，∵PM =MN =CM ，∴EP =OM =6如图4中，当点P 与F 重合时，NP =NM ，此时PE =EF =5．综上所述：满足条件的EP 的值为3或65．【点睛】本题考查了四边形综合题、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、最短问题等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短，解决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．26．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，16cm AB =，13cm BC =，21cm CD =，动点N 从点D 出发，以每秒2cm 的速度在射线DC 上运动到C 点返回，动点M 从点A 出发，在线段AB 上，以每秒1cm 的速度向点B 运动，点M ，N 分别从点A ，D 同时出发．当点M 运动到点B 时，点N 随之停止运动，设运动时间为t （秒）．（1）当t 为何值时，四边形MNCB 是平行四边形．（2）是否存在点N ，使NMB △是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t 的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）5秒或373秒；（2）存在，163秒或72秒或685秒【分析】（1）由题意已知，AB ∥CD ，要使四边形MNBC 是平行四边形，则只需要让BM=CN 即可，因为M 、N 点的速度已知，AB 、CD 的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；（2）使△BMN 是等腰三角形，可分三种情况，即BM=BN 、NM=NB 、MN=MB ；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t 表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t ．【详解】解：（1）设运动时间为t秒．∵四边形MNCB是平行四边形，∴MB=NC，当N从D运动到C时，∵BC=13cm，CD=21cm，∴BM=AB-AM=16-t，CN=21-2t，∴16-t=21-2t，解得t=5，当N从C运动到D时，∵BM=AB-AM=16-t，CN=2t-21∴16-t=2t-21，解得t=373，∴当t=5秒或373秒时，四边形MNCB是平行四边形；（2）△NMB是等腰三角形有三种情况，Ⅰ．当NM=NB时，作NH⊥AB于H，则HM=HB，当N从D运动到C时，∵MH=HB=12BM=12（16-t），由AH=DN得2t＝12(16−t)+t，解得t＝163秒；当点N从C向D运动时，观察图象可知，只有由题意：42-2t=12（16-t）+t，解得t=685秒．Ⅱ．当MN=MB，当N从D运动到C时，MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t，BM=16-t，∵MN2=t2+122，∴（16-t）2=122+t2，解得t＝72（秒）；Ⅲ．当BM=BN，当N从C运动到D时，则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t，∵BM2=BN2=NH2+BH2=122+（16-2t）2，∴（16-t）2=122+（16-2t）2，即3t2-32t+144=0，∵△＜0，∴方程无实根，。

2021年中考数学专题复习：《四边形》专项练习题精选一．选择题1．（2020•河池）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（）A．5B．6C．4D．5 2．（2020•玉林）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．求证：DE∥BC，且DE＝BC．证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴DF BC；②∴CF AD．即CF BD；③∴四边形DBCF是平行四边形；④∴DE∥BC，且DE＝BC．则正确的证明顺序应是：（）A．②→③→①→④B．②→①→③→④C．①→③→④→②D．①→③→②→④3．（2019•梧州）正九边形的一个内角的度数是（）A．108°B．120°C．135°D．140°4．（2019•柳州）如图，在▱ABCD中，全等三角形的对数共有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对5．（2019•河池）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，BE ＝CF ，则图中与∠AEB 相等的角的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．（2019•贵港）如图，E 是正方形ABCD 的边AB 的中点，点H 与B 关于CE 对称，EH 的延长线与AD 交于点F ，与CD 的延长线交于点N ，点P 在AD 的延长线上，作正方形DPMN ，连接CP ，记正方形ABCD ，DPMN 的面积分别为S 1，S 2，则下列结论错误的是（ ）A ．S 1+S 2＝CP 2B ．AF ＝2FDC ．CD ＝4PD D ．cos ∠HCD ＝7．（2019•河池）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是（ ）A ．∠B ＝∠F B ．∠B ＝∠BCFC ．AC ＝CFD ．AD ＝CF8．（2018•河池）如图，要判定▱ABCD 是菱形，需要添加的条件是（ ）。

2020-2021年度人教版八年级数学下册《18.1平行四边形》常考题型专题提升训练（附答案）1．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，BD＝10，AC＝6，则OE的长为（）A．1.5B．2C．2.5D．32．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（）A．3对B．2对C．1对D．0对3．下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，CB＝CDC．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC4．如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（）A．110°B．35°C．70°D．55°5．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（）A．2B．3C．4D．56．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，若CE＝2，则四边形ADFE的周长为（）A．2B．4C．6D．87．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④OE＝BC．其中成立的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．在▱ABCD中，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若▱ABCD 的周长为22cm，则△CDE的周长为（）A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm9．如图，若平行四边形ABCD的周长为40cm，BC＝AB，则BC＝（）A．16cm B．14cm C．12cm D．8cm10．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10，BC ＝15，MN＝3，则AC的长是（）A．12B．14C．16D．1811．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠EPF的度数是．12．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG 以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．13．如图，在▱ABCD中，BC＝9，AB＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为．14．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，BC＝5，AB＝4，AE＝3，则AF的长度为．15．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC，交AD于点E，交CD延长线于点F，则DE+DF的长度为．16．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠F AD＝60°，AE平分∠F AD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝．17．如图在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，3），B（2，1），直角坐标系中存在点C，使得点O，A，B，C四点构成平行四边形，则C点坐标为．18．如图，BD是▱ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是．19．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC长为．20．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB＝10，BC＝8，则EF的长是．21．已知：△ABC中，D是BC上的一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：EG、HF互相平分．22．如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的长．23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；（2）求证：AE＝CF．24．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．（1）求证：CD＝BE；（2）若点F为DC的中点，DG⊥AE于G，且DG＝1，AB＝4，求AE的长．25．在平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，F是DE上一点，若∠B＝∠AFE，AB＝AF．求证：（1）△ADF≌△DEC．（2）BE＝EF．26．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且BF＝DE．（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．27．已知，如图，在平行四边形ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．参考答案1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝10，AC＝6，∴OA＝3，OB＝5，AB∥DC，∵∠OCD＝90°，∴∠BAO＝90°，∴AB＝，∵E是BC边的中点，OA＝OC，∴2OE＝AB，∴OE＝2，故选：B．2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABD＝S△CBD．∵BP是平行四边形BEPH的对角线，∴S△BEP＝S△BHP，∵PD是平行四边形GPFD的对角线，∴S△GPD＝S△FPD．∴S△ABD﹣S△BEP﹣S△GPD＝S△BCD﹣S△BHP﹣S△PFD，即S▱AEPG＝S▱HCFP，∴S▱ABHG＝S▱BCFE，同理S▱AEFD＝S▱HCDG．即：S▱ABHG＝S▱BCFE，S▱AGPE＝S▱HCFP，S▱AEFD＝S▱HCDG．故选：A．3．解：A、∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴2∠B+2∠C＝360°，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，但不能推出其它条件，即不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；B、根据AB＝AD，CB＝CD不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；C、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；D、由AB∥CD，AD＝BC也可以推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；故选：C．4．解：∵平行四边形ABCD的∠A＝110°，∴∠BCD＝∠A＝110°，∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°．故选：C．5．解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝14，∴DE＝BC＝7，∵∠AFB＝90°，AB＝8，∴DF＝AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，故选：B．6．解：∵点E是AC的中点，AB＝AC，∴AB＝AC＝4，∵D是边AB的中点，∴AD＝2，∵E、F分别是边、AC、BC的中点，∴DF＝AC＝2，同理，EF＝2，∴四边形ADFE的周长＝AD+DF+FE+EA＝8，故选：D．7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∵AB＝BC，∴AE＝BC，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＝30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确，∵AB＝BC，OB＝BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；或∵AC⊥AB，∴AB＜OB，故③错误；∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD∥BC，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE，∴BE＝CE，∵OA＝OC，∴OE＝AB＝BC，故④正确．故选：C．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，又∵EO⊥AC，∴AE＝CE，∵▱ABCD的周长为22cm，∴2（AD+CD）＝22cm∴AD+CD＝11cm∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝11cm 故选：C．9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∵▱ABCD的周长为40cm，∴AB+BC＝20cm，∵BC＝AB，∴BC＝20×＝8cm，故选：D．10．解：延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，∴∠BAN＝∠EAN，在△ABN与△AEN中，∵，∴△ABN≌△AEN（ASA），∴AE＝AB＝10，BN＝NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE＝2MN＝2×3＝6，∴AC＝AE+CE＝10+6＝16．故选：C．11．解：∵点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，∴PF＝BC，PE＝AD，又AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF＝30°，∴∠EPF＝120°，故答案为：120°．12．解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝6﹣2t，解得：t＝2；②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t﹣6，解得：t＝6；综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．故答案为：2或6．13．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∵BC＝9，CD＝5，∴DE＝AD﹣AE＝9﹣5＝4．故答案为：4．14．解：在▱ABCD中，CD＝AB＝4，∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF，即5×3＝4•AF，解得AF＝．故答案为：．15．解：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠AEB＝∠ABF，∴AB＝AE，同理可得：BC＝CF，∵AB＝3cm，BC＝5cm，∴AE＝3cm．CF＝5cm，∴DE＝5﹣3＝2cm，DF＝5﹣3＝2cm，∴DE+DF＝2+2＝4cm，故答案为：4cm．16．解：如图，延长AE，BC交于点G，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠D＝∠ECG，又∵∠AED＝∠GEC，∴△ADE≌△GCE，∴CG＝AD＝5，AE＝GE，又∵AE平分∠F AD，AD∥BC，∴∠F AE＝∠DAE＝∠G＝∠DAF＝30°，∴AF＝GF＝3+5＝8，又∵E是AG的中点，∴FE⊥AG，∴Rt△AEF中，EF＝AF＝4，故答案为：4．17．解：如图所示：∵以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，O（0，0），A（1，3），B（2，0），∴三种情况：①当AB为对角线时，点C的坐标为（3，4）；②当OB为对角线时，点C的坐标为（1，﹣2）；③当OA为对角线时，点C的坐标为（﹣1，2）；故答案为（3，4）或（1，﹣2）或（﹣1，2）．18．解：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∴当BE＝DF时，可得OE＝OF，则四边形AECF为平行四边形，∴可增加BE＝DF，故答案为：BE＝DF（答案不唯一）．19．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC＝AB＝6，AD＝BC，∴∠AFB＝∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC，∴∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB＝6，同理可证：DE＝DC＝6，∵EF＝AF+DE﹣AD＝2，即6+6﹣AD＝2，解得AD＝10，∴BC＝10，故答案为：10．20．解：∵D、E分别是BC、AC的中点，∴DE＝AB＝5，DE∥AB，BD＝BC＝4，∴∠ABF＝∠DFB，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠DBF，∴∠DBF＝∠DFB，∴DF＝DB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝1，故答案为：1．21．证明：连接EH，GH，GF，∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，∴AB∥EH∥GF，GH∥BC∥BF．∴四边形EHGF为平行四边形．∵GE，HF分别为其对角线，∴EG、HF互相平分．22．（1）证明：∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，∵DF∥BE，∴∠DF A＝∠BEC，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：∵∠CEB＝∠EBA+∠EAB＝2∠EBA，∴∠EAB＝∠EBA，∴AE＝BE＝3，∴CF＝AE＝3，∴AC＝AE+EF+CF＝3+2+3＝8．23．（1）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°，∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝40°；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF．24．（1）证明：∵AE为∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB．∴∠DAE＝∠E．∴∠BAE＝∠E．∴AB＝BE．∴CD＝BE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠BAF＝∠DF A．∴∠DAF＝∠DF A．∴DA＝DF．∵F为DC的中点，AB＝4，∴DF＝CF＝DA＝2．∵DG⊥AE，DG＝1，∴AG＝GF．∴AG＝．∴AF＝2AG＝2．在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）．∴AF＝EF，∴AE＝2AF＝4．25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，AD＝BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠DEC，∠B+∠C＝180°，∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠B＝∠AFE，∴∠AFD＝∠C，∵AB＝AF，∴AF＝DC，在△ADF和△DEC中，∴△ADF≌△DEC（AAS）；（2）证明：∵△ADF≌△DEC，∴AD＝DE，DF＝EC，又∵AD＝BC，∴BC＝DE，∴BC﹣EC＝DE﹣DF，即BE＝EF．26．（1）证明：延长CE交AB于点G，∵AE⊥CE，∴∠AEG＝∠AEC＝90°，在△AEG和△AEC中，，∴△AGE≌△ACE（ASA）．∴GE＝EC．∵BD＝CD，∴DE为△CGB的中位线，∴DE∥AB．∵DE＝BF，∴四边形BDEF是平行四边形．（2）解：BF＝（AB﹣AC）．理由如下：∵四边形BDEF是平行四边形，∴BF＝DE．∵D、E分别是BC、GC的中点，∴BF＝DE＝BG．∵△AGE≌△ACE，∴AG＝AC，∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）．27．证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠BCD，∴∠EAM＝∠FCN，又∵AD∥BC，∴∠E＝∠F．∵在△AEM与△CFN中，，∴△AEM≌△CFN（ASA）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD又由（1）得AM＝CN，∴BM＝DN，BM∥DN，∴四边形BMDN是平行四边形．。

2021中考数学几何专题训练：多边形与平行四边形一、选择题（本大题共10道小题）1. 已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为()A.12B.10C.8D.62. 如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM等于()A. 1B. 2C. 3D. 43. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离为32，则点P的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 44. 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以作2条对角线，则这个多边形是()A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形5. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是A．180°B．360°C．540°D．720°6. 如图，平行四边形ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为( ) A . 3 cm B . 4 cm C . 5 cm D . 8 cm7. (2020·潍坊)如图，点E 是□ABCD 的边AD 上的一点，且12DE AE =，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若3,4DE DF ==，则□ABCD 的周长为（ ）FEDCBAA .21 B. 28 C. 34 D. 428. (2019▪广西池河)如图，在△ABC中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是A ．∠B=∠FB ．∠B=∠BCFC ．AC=CFD ．AD=CF9. 如图，正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b ，m)，(c ，m)．则点E 的坐标是( ) A . (2，－3) B . (2，3) C . (3，2) D . (3，－2)10. （2020·海南）如图，在□ABCD 中，AB ＝10，AD ＝15，∠BAD的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE 于点G ，若BG ＝8，则△CEF 的周长为( )A．16 B．17 C．24 D．25二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形.12. 如图所示，x的值为________．13. 如图所示，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为__________．14. （2020·武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是□ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是____________．DA ECB15. 如图，含30°角的三角尺的直角边AC，BC分别经过正八边形的两个顶点，则∠1＋∠2＝________°.16. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△A D′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．17. 如图，小明从点A出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前进12米，又向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走了________米．18. 如图，在平行四边形□ABCD中，2,AB ABC=∠的平分线与BCD∠的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则22BE CE+的值为．E DCBA三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF.求证:(1)△ABF≌△DAE;(2)DE=BF+EF.20. ABC∆的三条中线分别为AD、BE、CF，H为BC边外一点，且BHCF为平行四边形，求证：AD EH∥．ABCDE FH21. （2020·乐山）点P 是平行四边形ABCD 的对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A 、C 重合），分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ．点O 为AC 的中点．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，线段OE 和OF 的关系是________； （2）当点P 运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P 在线段OA 的延长线上运动，当∠OEF ＝30°时，试探究线段CF 、AE 、OE 之间的关系．22. 如图①，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，AD ＝6cm ，BD ＝8cm ，∠DBC＝90°，现将△AEF 沿BD 的方向匀速平移，速度为2cm/s ，同时，点G 从点D 出发，沿DC 的方向匀速移动，速度为2cm/s.当△AEF 停止移动时，点G 也停止运动，连接AD ，AG ，EG ，过点E 作EH ⊥CD 于点H ，如图②所示，设△AEF 的移动时间为t (s)(0＜t ＜4)． (1)当t ＝1时，求EH 的长度； (2)若EG ⊥AG ，求证：EG 2＝AE ·HG ； (3)设△AGD 的面积为y (cm 2)，当t 为何值时，y 可取得最大值，并求y 的最大值．2021中考数学 几何专题训练：多边形与平行四边形-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】B2. 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABM ＝∠CMB ，∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABM ＝∠CBM ，∴∠CBM ＝∠CMB ，∴CB ＝MC ＝2，∴AD ＝BC ＝2，∵▱ABCD 的周长是14，∴AB ＝CD ＝5，∴DM ＝DC －MC ＝3.3. 【答案】B 【解析】本题考查了直角三角形中的点到直线的距离. 解题思路：如解图，分别过点A 和C 作AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F.⎭⎬⎫∠BAD ＝90° AB ＝AD ⇒⎭⎪⎬⎪⎫∠ADB ＝45° AD ＝22⇒AE ＝2＞32⇒AB 、AD 上各有一点到BD 的距离为32.同理，得CF ＝1＜32⇒AB 、AD 上没有点到BD 的距离为32.4. 【答案】B[解析] 设这个多边形的边数是n.由题意，得n －3＝2，解得n ＝5.5. 【答案】C【解析】黑色正五边形的内角和为：(5–2)×180°=540°， 故选C ．6. 【答案】B【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，BO ＝DO ，∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋BC ＝13 cm ，又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，∴AD －AB ＝BC －AB ＝3 cm ，解得AB ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，又AB⊥AC，E是BC的中点，∴AE＝BE＝CE＝12BC＝4 cm.7. 【答案】B【解析】利用平行四边形、相似的有关性质解决问题.∵12DEAE=，DE=3，∴AE=6.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AB=CD,AB∥CD,∴△DEF∽△AEB,∴DE DFAE AB=,又DF=4，∵AB=8，∴□ABCD的周长为28.故选B.8. 【答案】B【解析】∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12 AC．A．根据∠B=∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．B．根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．C．根据AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．D．根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．故选B．9. 【答案】C【解析】点A(0，a)，∴y轴过点A，点C、D纵坐标相同，∴CD 与x轴平行，∵正五边形是轴对称图形，∴点E和点B关于y轴对称，∴点E 的坐标为(3，2)．10. 【答案】A【解析】在R t△ABG中，AG22AB BG-22108- 6.∵四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠ADE＝∠AEB，∴AB＝BE，则CE＝BC－BE＝15－10＝5.又∵BG⊥AE，∴AE＝2AG＝12，则△ABE的周长为32.∵AB∥DF，∴△ABE∽△CFE，∴△ABE的周长：△CEF的周长＝BE：CE＝2：1，∴△CEF的周长为16.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】答案不唯一，如AD∥BC或AB=CD或∠A+∠B=180°等12. 【答案】55°[解析] 由多边形的外角和等于360°，得360°－105°－60°＋x ＋2x ＝360°，解得x ＝55°.13. 【答案】50°【解析】在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠FBA ＝∠C ＝40°，∵FD ⊥AD ，∴∠ADF ＝90°，∵AD ∥BC ，∴∠F ＝∠ADF ＝90°，∴∠BEF ＝180°－90°－40°＝50°.14. 【答案】26°【解析】本题考查了等腰三角形性质，平行四边形性质等，∵□ABCD ，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，DC ∥AB ，又∵AD ＝AE ＝BE ，∴BC ＝AE ＝BE ，∴∠BAC ＝∠EBA ，∠BEC ＝∠BCE ，∵AD ∥BC ，DC ∥AB ，∴∠DCB ＝78°，∠BAC ＝∠DCA ，∵∠BEC ＝∠BAC ＋∠EBA ，∴∠BCE ＝2∠BAC ，∴3∠BAC ＝78°，解得∠BAC ＝26°，因此本题答案为26°．15. 【答案】180 [解析] 正八边形的每一个内角为（8－2）×180°8＝135°，所以∠1＋∠2＝2×135°－90°＝180°.16. 【答案】36°【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED ＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.17. 【答案】120[解析] 由题意得360°÷36°＝10，则他第一次回到出发地点A 时，一共走了12×10＝120(米)．故答案为120.18. 【答案】16【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=2,AD=BC,AD ∥BC ，AB ∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°, ∠AEB=∠EBC ，∠DEC=∠ECB.又∵BE 、CE 分别是∠ABC 与∠DCB 的平分线，∴∠ABE=∠EBC ，∠DCE=∠ECB ，∴∠EBC+∠BCE=90°，∠ABE=∠AEB ，∠DCE=∠DEC ，∴AB=AE=2,DC=DE=2,2222416.BC BE CE =+==三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】证明:(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD ，AD ∥BC ，∴∠BP A=∠DAE.在△ABP 和△DAE 中，又∵∠ABC=∠AED ，∴∠BAF=∠ADE. ∵∠ABF=∠BPF ，∠BP A=∠DAE ， ∴∠ABF=∠DAE ，又∵AB=DA ，∴△ABF ≌△DAE (ASA).(2)∵△ABF ≌△DAE ，∴AE=BF ，DE=AF . ∵AF=AE +EF=BF +EF ， ∴DE=BF +EF .20. 【答案】此题解法很多，仅供两种解法参考．方法一：连结DE 、DH ．（如图1） ∵四边形BHCF 为平行四边形 ∴CH BF AF ==且CH AF ∥由中位线可得12DE AB AF == ∴CH DE =∴四边形DECH 为平行四边形 ∴DH CE ∥且DH CE AE == ∴四边形DHEA 为平行四边形 ∴AD EH ∥图1HFED CBA方法二：连结DE ．（如图2）通过中位线和平行四边的性质可得 DE HC =，AB DE HC ∥∥ ∴AED ECH ∠=∠ 又∵AE EC =显然ADE EHC ∆∆≌ ∴DAE HEC ∠=∠ ∴AD EH ∥ABCD EFH图221. 【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ；∵AE ⊥BP ，CF ⊥BP ，∴∠AEO＝∠CFO＝90°；∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF；（2）补全图形如图所示，OE＝OF仍然成立，证明如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠GCO；∵点O为AC的中点，∴AO＝CO；又∵∠AOE＝∠COG，∴△AOE≌△COG，∴OE＝OG；∵∠GFE＝90°，∴OF＝12EG＝OE；（3）当点P在线段OA的延长线上时，线段CF、AE、OE之间的关系为OE＝CF＋AE，证明如下：延长EO交FC的延长线于点H，如图所示，由（2）可知△AOE≌△COH，∴AE＝CH，OE＝OH；又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，∴HF＝12EH＝OE，∴OE＝CF＋CH＝CF＋AE．22. 【答案】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∠DBC＝90°，∴∠ADB＝90°，又AD＝6cm，BD＝8cm，11 / 11 由勾股定理得，AB ＝AD 2＋BD 2＝10cm ， 当t ＝1时，EB ＝2cm ，则DE ＝8－2＝6cm ，∵EH ⊥CD ，∠DBC ＝90°，∴△DEH ∽△DCB ，∴DE DC ＝EH BC ，即610＝EH 6，解得EH ＝3.6cm ；(2)∵∠CDB ＝∠AEF ，∴AE ∥CD ，∴∠AEG ＝∠EGH ，又EG ⊥AG ，EH ⊥CD ， ∴△AGE ∽△EHG ，∴EG HG ＝AE EG ，∴EG 2＝AE ·HG ；(3)由(1)得，△DEH ∽△DCB ，∴DE CD ＝EH BC ，即8－2t 10＝EH 6，解得，EH ＝24－6t 5，∴y ＝12×DG ×EH ＝－6t 2＋24t 5＝－65t 2＋245t ＝－65(t －2)2＋245， ∴当t ＝2时，y 的最大值为245.。

2020-2021年度人教版八年级数学下册《18.1平行四边形》经典好题专题提升训练（附答案）1．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．120°B．100°C．110°D．90°2．如图，在△ABC中，∠C＝50°，AC＝BC，点D在AC边上，以AB，AD为边作▱ABED，则∠E的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°3．▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的度数比可能是（）A．1：1：2：3B．1：2：1：2C．1：1：2：2D．1：2：2：1 4．下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AB∥AD，AO＝COC．AB＝AD，BC＝CD D．AB∥CD，AD＝BC5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，D、E分别是AC、AB的中点，则DE的长是（）A．6.5B．6C．5.5D．6．如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（）A．2B．C．3D．47．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（）A．4.5B．9 C．10D．128．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB 上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF 长度的最大值为（）A．3B．2C．4D．29．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°10．已知等腰三角形的两条中位线的长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为（）A．22B．26C．22或26D．1311．如图，在▱ABCD中，M是BC的中点，且AM＝5，BD＝12，AD＝，则▱ABCD的面积为（）A．20B．40C．62D．7212．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EP于D，BE＝3，DF＝1，则BC的长为（）A．2B．4C．6D．813．已知点A（3，0）、B（﹣1，0）、C（2，3），以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是．14．如图，若▱ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4cm，DF＝5cm，▱ABCD的面积为cm2．15．如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是．16．▱ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则AB的长为cm．17．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5，则对角线BD ＝．18．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为．19．如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，若∠B＝52°，则∠AEC的度数为．20．如图，在▱ABCD中，P为CD上一点，BC＝BP，BP平分∠ABC，∠ABD＝43°，则∠APB的度数是度．21．在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，则AC2+BD2的值为．22．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF ⊥AB于点F，则△DEF的面积为平方单位．23．平行四边形ABCD中，AB、BC长分别为12和26，边AD与BC之间的距离为8，则AB与CD间的距离为．24．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝105°，对角线AC、BD交于点O，∠DAC＝30°，AC＝4，点P从B点出发，沿着边BC、CD运动到点D停止，在点P运动过程中，若△OPC是直角三角形，则CP的长是．25．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．（1）求证：AE＝CF；（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．26．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且直线AB与DC之间的距离为4，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP+∠P AB，求AP的长度．27．如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACE，等边△ABD，取AB 的中点F，连接DF、EF，已知∠BAC＝30°．（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；（2）若BD＝4，求四边形BCEF的面积．28．如图，在△ABC中，D为AB的中点，点E在AC上，F在DE的延长线上，DE＝EF，连接CF，CF∥AB．（1）如图1，求证：四边形DBCF是平行四边形；（2）如图2，若AB＝AC，请直接写出图中与线段CF相等的所有线段．29．如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．30．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，EF∥BC．（1）求证：CD＝EF；（2）已知∠ABC＝60°，连接BE，若BE平分∠ABC，CD＝6，求四边形BDEF的周长．31．如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD和EF．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长．32．已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AE并延长至点G，使EG＝AE，连接CF、CG．（1）如图1，求证：EG＝FC；（2）如图2，连接BG、OG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．参考答案1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CAB＝∠1＝20°，∵BE⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴∠2＝∠EAB+∠EBA＝20°+90°＝110°．故选：C．2．解：∵∠C＝50°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，∵四边形ABED是平行四边形，∴∠E＝∠A＝65°．故选：C．3．解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知B正确．故选：B．4．解：能判定四边形ABCD是平行四边形的是∠A＝∠C，∠B＝∠D，理由如下：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，故选：A．5．解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则BC＝＝＝12，∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE＝BC＝6，故选：B．6．解：连接OE，如图所示：∵2AB＝BC＝4，∴AB＝2，∵AC，BD互相平分，∴OA＝OC，OB＝OD，四边形ABCD是平行四边形，∵以AC为斜边作Rt△ACE，∴OE＝OA＝OC＝AC，∵BE⊥DE，∴OE＝OB＝OD＝BD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝2，故选：A．7．解：∵点D、E、F分别是三边的中点，∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，∴DE＝AB＝×7＝，DF＝AC＝×5＝，EF＝BC＝×6＝3，∴△DEF的周长＝++3＝9，故选：B．8．解：连接DN、DB，在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，∴BD＝＝4，∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴EF＝DN，由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为4，∴EF长度的最大值为2，故选：D．9．解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，∴PE是△ABD的中位线，∴PE＝AD，同理，PF＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，故选：D．10．解：等腰三角形的两条中位线长分别为3和5，根据三角形中位线定理可知，等腰三角形的两边长为6和10，当腰为10时，则三边长为10，10，6时，周长为26；当腰为6时，则三边长为6，6，10时，周长为22，故选：C．11．解：过D作DE∥AM交BC的延长线于E．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵DE∥AM，∴四边形AMED是平行四边形，∴AD＝ME，AM＝DE，∵M是BC的中点，AD＝，∴MB＝BC＝，∴BE＝BM+ME＝13，∵四边形AMED是平行四边形，∴AM＝DE＝5，∵BD＝12，∴52+122＝132，∴△DBE为直角三角形．∴BE边上的高为＝，∴平行四边形ABCD的面积为×＝40．故选：B．12．解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，BC＝2EF，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠EDB，∴ED＝EB＝3，∴EF＝ED+DF＝4，∴BC＝2EF＝8，故选：D．13．解：如图，以BC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为（﹣2，3）就是第四个顶点D1；以AB为对角线，将BC向下平移3个单位，再向右平移1个单位，B点对应的位置为（0，﹣3）就是第四个顶点D2′；以AC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向右平移4个单位，C点对应的位置为（7，3）就是第四个顶点D3；∴第四个顶点D的坐标为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（7，3），故答案为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（7，3）．14．解：∵▱ABCD的周长为36cm，∴AB+BC＝18cm①，∵过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4cm，DF＝5cm，∴4AB＝5BC②，由①②得：AB＝10cm，BC＝8cm，∴▱ABCD的面积为：AB•DE＝40（cm2）．故答案为：40．15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），即△ABD和△CDB的面积相等；同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1＝S2．故答案为：S1＝S2．16．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，又平行四边形ABCD的周长为60cm，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，∴，两个方程相加，得AB＝19（cm）．故答案为：19．17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴OA＝AC＝，∴OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2；故答案为：2．18．解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，∵平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，∴∠CBH＝45°，BC＝4，又∵∠H＝90°，∴∠BCH＝45°，∴CH＝BH＝4，设AE＝x，则BE＝8﹣x，∵EF垂直平分AC，∴CE＝AE＝x，∵在Rt△CEH中，CH2+EH2＝EC2，∴42+（8﹣x+4）2＝x2，解得x＝，∴AE的长为．故答案为：．19．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∠DAE＝∠AEB，∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣52°＝128°，∵AE平分∠BAD，∴∠AEB＝∠DAE＝∠BAD＝64°，∴∠AEC＝180°﹣∠AEB＝180°﹣64°＝116°；故答案为：116°．20．证明：∵ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD＝BC，∴∠ABP＝∠BPC，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∴∠BPC＝∠CBP，∵BC＝BP，∴∠BPC＝∠C，∴∠CBP＝∠BPC＝∠C，∴BC＝BP＝PC，∴△BPC是等边三角形，∴∠BPC＝∠PBC＝∠ABP＝∠BAD＝60°，∴四边形DPBA是等腰梯形，∴∠P AB＝∠ABD＝43°，∴∠APB＝180°﹣60°﹣43°＝77°．故答案为：77．21．解：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，设BE＝CF＝x，AE＝DF＝y，则AC2+BD2＝（5﹣x）2+y2+（5+x）2+y2＝50+2x2+2y2＝50+2×42＝82．故答案为：82．22．解：如图，延长DC和FE交于点G，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠B＝∠ECG，∵E为BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝×4＝2，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（ASA），∴BF＝CG，∵∠B＝60°，∴∠FEB＝30°，∴BF＝BE＝1，∴EF＝，∵CG＝BF＝1，CD＝AB＝3，∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，∵EF⊥AB，AB∥CD，∴DG⊥FG，∴S△DEF＝EF•DG＝××4＝2．故答案为：2．23．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E、AF⊥CD于点F．由题意得，S四边形ABCD＝AE×BC＝CD×AF，∵AB＝12，BC＝26，AE＝8，∴26×8＝12×AF，∴AF＝，即AB与CD间的距离为．故答案是：．24．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC＝2，AB∥CD，AD∥BC，∴∠OCD＝∠BAC，∠BCO＝∠DAC＝30°，∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，∴∠OCD＝∠BAC＝75°﹣30°＝45°，分三种情况：①当点P在BC上，∠POC＝90°时，如图1所示：∵∠BCO＝30°，∴OP＝OC＝，CP＝2OP＝；②当点P在BC上，∠OPC＝90°时，如图2所示：∵∠BCO＝30°，∴OP＝OC＝1，CP＝OP＝；③当点P在CD上，∠OPC＝90°时，如图3所示：∵∠OCD＝45°，∴△OPC是等腰直角三角形，∴CP＝OC＝；综上所述，若△OPC是直角三角形，则CP的长是或或，故答案为：或或．25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．（2）四边形AGCH是菱形．理由如下：∵△AOE≌△COF，∴∠EAO＝∠FCO，∴AG∥CH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴四边形AGCH是平行四边形，∵AD∥BC，∴∠HAC＝∠ACB，∵AC平分∠HAG，∴∠HAC＝∠GAC，∵∠GAC＝∠ACB，∴GA＝GC，∴平行四边形AGCH是菱形．26．解：在平行四边形ABCD中，AB＝CD，∵BD＝CD，∴BD＝BA，又∵AM⊥BD，DN⊥AB，∴DN＝AM＝4，又∵∠ABD＝∠MAP+∠P AB，∠ABD＝∠P+∠BAP，∴∠P＝∠P AM，∴△APM是等腰直角三角形，∴AP＝AM＝8．27．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，又∵△ABD是等边三角形，F是AB的中点，∴AD＝AB＝BD，AB＝2AF，DF⊥AB，∴AF＝BC，在Rt△AFD和Rt△BCA中，，∴Rt△AFD≌Rt△BCA（HL），∴DF＝AC，∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AC＝AE，∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝90°，∴DF＝AE，又∵DF⊥AB，∴DF∥AE，∴四边形ADFE是平行四边形；（2）解：由（1）得：△AEF的面积＝△ADF的面积＝△ABC的面积，AB＝BD＝4，BC ＝AB＝2，AC＝BC＝2，∴四边形BCEF的面积＝△ACE的面积+△ABC的面积﹣△AEF的面积＝△ACE的面积＝×（2）2＝3．28．（1）证明：∵CF∥AB，∴∠A＝∠ECF，又∵∠AED＝∠CEF，DE＝FE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，∴BD＝CF，且CF∥BD，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）解：与线段CF相等的所有线段为AD、BD、AE、CE；理由如下：由（1）得：BD＝AD＝CF，AE＝CE，∵AB＝AC，∴BD＝AD＝AE＝CE＝CF．29．（1）证明：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵CD∥AB，∴∠AFE＝∠CDE，在△AEF和△CED中，，∵∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF＝CD，又∵CD∥AB，即AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）解：过C作CM⊥AB于M，如图所示：则∠CMB＝∠CMA＝90°，∵CD∥AB，∴∠B+∠DCB＝180°，∴∠B＝180°﹣135°＝45°，∴△BCM是等腰直角三角形，∴BM＝CM，∵∠BAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AC＝2AM，BM＝CM＝AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+AM＝6，解得：AM＝3﹣3，∴AC＝2AM＝6﹣6．30．（1）证明：∵DE∥AB，EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形，∴EF＝BD，∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD，∴CD＝EF；（2）解：∵BE平分∠ABC，∴∠FBE＝∠DBE，又∵四边形BDEF是平行四边形，∴BD＝EF，BF＝ED，EF∥BD，∴∠FEB＝∠DBE，∴∠FBE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴BD＝EF＝BF＝ED，又∵BD＝CD＝6，∴BD＝EF＝BF＝ED＝6，∴四边形BDEF的周长＝6×4＝24．31．（1）证明：∵D，E为AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF；（2）解：由（1）可知，DE∥BC，DE＝CF，∴四边形DCFE为平行四边形，∴EF＝DC，在等边△ABC中，D为AB中点，∴CD⊥AB，∴CD＝BC•sin60°＝2，∴EF＝2．32．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝FC，∵EG＝AE，∴EG＝FC；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，AB＝CD，S四边形ABCD＝4S△ABO，∵EG＝AE，点E为OB的中点，∴AG、OB互相平分，∴四边形ABGO是平行四边形，∴S△ABO＝S△BGO，∴S四边形ABGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，∵OA＝OC，EG＝AE，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∵四边形ABGO是平行四边形，∴BG∥AC，∴四边形BOCG是平行四边形，∴S四边形BGCO＝2S△BGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，∵四边形ABGO是平行四边形，∴GO∥AB，GO＝AB，∵AB∥CD，∴GO∥CD，GO＝CD，∴四边形CDOG是平行四边形，∴S四边形CDOG＝2S△CDO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴EF＝BD＝OD，∵四边形CDOG是平行四边形，∴CG∥EF，CG＝OD，∴EF＝CG，∴四边形EFCG是平行四边形，∴S四边形EFCG＝S四边形CDOG＝S四边形ABCD，∴图中的平行四边形ABGO、平行四边形BOCG、平行四边形CDOG、平行四边形EFCG 四个平行四边形，每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．。

中考专题复习——与四边形有关的综合题集(含压轴题)带答案一．选择题（共9小题）1．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD 一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（）A．4 B．3 C．2 D．12．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S△CEF =2S△ABE，其中结论正确的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH 与AC交于点M，以下结论：①FH=2BH；②AC⊥FH；③S△ACF=1；④CE=AF；⑤EG2=FG•D G，其中正确结论的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ，下列结论正确的个数是（ ）①AE=BF ；②AE ⊥BF ；③sin ∠BQP=；④S 四边形ECFG =2S △BGE ．A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD 中，BC=AB ，∠ADC 的平分线交边BC 于点E ，AH ⊥DE 于点H ，连接CH 并延长交边AB 于点F ，连接AE 交CF 于点O ，给出下列命题：（1）∠AEB=∠AEH （2）DH=2EH （3）OH=AE （4）BC ﹣BF=EH其中正确命题的序号（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（2）（3）（4）C ．（2）（4）D ．（1）（3）6．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，动点F ，E 分别以相同的速度从D ，C 两点同时出发向C 和B 运动（任何一个点到达即停止），过点P 作PM ∥CD 交BC 于M 点，PN ∥BC 交CD 于N 点，连接MN ，在运动过程中，则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；⑤线段MN的最小值为．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．如图，正方形ABCD中，以AD为底边作等腰△ADE，将△ADE沿DE折叠，点A落到点F处，连接EF刚好经过点C，再连接AF，分别交DE于G，交CD于H．在下列结论中：①△ABM≌△DCN；②∠DAF=30°；③△AEF是等腰直角三角形；④EC=CF；⑤S△HCF=S△ADH，其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四边形CDEF =S△AEF，其中正确的结论有（）个．A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④9．如图，正方形ABCD 的边CD 与正方形CGFE 的边CE 重合，O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于H ，连接OH 、FH 、EG 与FH 交于M ，对于下面四个结论：①GH ⊥BE ；②HO BG ；③点H 不在正方形CGFE 的外接圆上；④△GBE ∽△GMF ． 其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个评卷人 得 分二．填空题（共7小题）10．如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②EB ⊥ED ；③点B 到直线AE 的距离为；④S △APD +S △APB =1+；⑤S 正方形ABCD =4+．其中正确结论的序号是 ．11．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE=BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是 ．（把你认为正确的说法的序号都填上）12．如图，在菱形ABCD 中，AB=6，∠DAB=60°，AE 分别交BC 、BD 于点E 、F ，CE=2，连接CF ，以下结论：①△ABF ≌△CBF ；②点E 到AB 的距离是2；③tan ∠DCF=；④△ABF 的面积为．其中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）．13．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=，在边CD 上有一点E ，使EB 平分∠AEC ．若P 为BC 边上一点，且BP=2CP ，连接EP 并延长交AB 的延长线于F ．给出以下五个结论：①点B 平分线段AF ；②PF=DE ；③∠BEF=∠FEC ；④S 矩形ABCD =4S △BPF ；⑤△AEB是正三角形．其中正确结论的序号是 ．14．如图，在矩形ABCD 中，AD=AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论： ①∠AED=∠CED ；②OE=OD ；③BH=HF ；④BC ﹣CF=2HE ；⑤AB=HF ，其中正确的有 ．15．如图所示，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得∠BAE=15°，连结AE，CE．延长CE到F，连结BF，使得BC=BF．若AB=1，则下列结论：①AE=CE；②F 到BC的距离为；③BE+EC=EF；④；⑤．其中正确的是．16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AB=5cm．点P从点A出发沿AC以1.5cm/s的速度向点C匀速运动，到达点C后立刻以原来的速度沿CA返回；点Q 从点B出发沿BA以1cm/s的速度向点A匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线PC﹣CB﹣BQ于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点A时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0），则当t=秒时，四边形BQDE为直角梯形．评卷人得分三．解答题（共34小题）17．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6．点P在边AC上运动，过点P作PD ⊥AB于点D，以AP、AD为邻边作▱PADE．设□PADE与△ABC重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为x（0＜x≤6）．（1）求线段PE的长（用含x的代数式表示）．（2）当点E落在边BC上时，求x的值．（3）求y与x之间的函数关系式．（4）直接写出点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值．19．问题探究（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；问题解决（3）如图③，AC为边长为2的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°．点M和N 分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM 和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．20．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC=60°点M、N 分别是边BC、边CD上的动点，且MB=NC．连接AM、AN、MN．MN交AC于点P．（1）△AMN是什么特殊的三角形？说明理由．并求其面积最小值；（2）求点P到直线CD距离的最大值；（3）如图2，已知MB=NC=1，点E、F分别是边AM、边AN上的动点，连接EF、PF，EF+PF是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时AE、AF的长；若不存在，请说明理由．21．如图①，正方形ABCD边长为1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α度后得到正方形AB'C'D'（0°＜α＜90°），C'D'与直线CD相交于点E，C'B'与直线CD相交于点F．问题发现：（1）试猜想∠EAF=；三角形EC'F的周长．问题探究：如图②，连接B'D'分别交AE，AF于P，Q两点．（2）在旋转过程中，若D'P=a，QB'=b，试用a，b来表示PQ，并说明理由．（3）在旋转过程中△APQ的面积是否存在最小值，若存在，请求出这个值；若不存在，请说明理由．22．如图，在矩形ABCD中，AB=CD=4cm，AD=BC=6cm，AE=DE=3cm，点P从点E出发，沿EB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ⊥CD？（2）设四边形PBCQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PBCQ ：S四边形PQDE=22：5？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使A，P，Q三点在同一直线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．23．已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC 于点N（点N在点M的左侧）．（1）当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果△DMN是等腰三角形，求BN的长．24．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P不与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC=∠BPQ．（1）当QD=QC时，求∠ABP的正切值；（2）设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式；（3）联结BQ，在△PBQ中是否存在度数不变的角？若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．25．已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．26．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG ≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．27．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE ：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．28．如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．（1）当t=时，△PQR的边QR经过点B；（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）如图2，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值．29．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C 重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．30．已知：四边形ABCD中，对角线的交点为O，E是OC上的一点，过点A作AG⊥BE于点G，AG、BD交于点F．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：OE=OF；（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°．探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC=α，且AC⊥BD．结合上面的活动经验，探究线段OE与OF的数量关系为（直接写出答案）．31．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD 上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M 作MG⊥EM，交直线BC于点G．（1）若M为边AD中点，求证△EFG是等腰三角形；（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．32．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC 的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC 的长度．33．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF ：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．34．如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．35．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．36．如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t秒．（1）AM=，AP=．（用含t的代数式表示）（2）当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值（3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由②使四边形AQMK为正方形，则AC=．37．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．38．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，E点F点分别为AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）求菱形AEDF的面积；（3）若H从F点出发，在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B 点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，问当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时，四边形PCFH是平行四边形？39．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M 作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．40．如图（1），E是正方形ABCD的边BC上的一个点（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在射线EP上截取线段EF，使得EF=AE；过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．（1）求证：FG=BE；（2）连接CF，如图（2），求证：CF平分∠DCG；（3）当=时，求sin∠CFE的值．41．如图，已知在矩形ABCD中，AD=10，CD=5，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B、E、F三点共线时，两点同时停止运动，此时BF⊥CE．设点E移动的时间为t（秒）．（1）求当t为何值时，两点同时停止运动；（2）求当t为何值时，EC是∠BED的平分线；（3）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（4）求当t为何值时，△EFC是等腰三角形．（直接写出答案）42．如图1，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形B点正好落在CD上的点E 处，连结BE．（1）求证：∠BAE=2∠CBE；（2）如图2，连BG交AE于M，点N为BE的中点，连MN、AF，试探究AF与MN的数量关系，并证明你的结论；（3）若AB=5，BC=3，直接写出BG的长．43．将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10．（1）如图（1），在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；（2）如图（2），在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上D′点，过D′作D′G∥AO交E′F于T点，交OC于G点，求证：TG=AE′；（3）在（2）的条件下，设T（x，y）．①探求：y与x之间的函数关系式．②指出变量x的取值范围．44．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A 出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形．（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD=PD）？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．45．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，其中点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），点D为对角线OB上一个动点（不包括端点），∠BCD的平分线交OB于点E．（1）求线段OB所在直线的函数表达式，并写出CD的取值范围．（2）当∠BCD的平分线经过点A时，求点D的坐标．（3）点P是线段BC上的一个动点，求CD十DP的最小值．46．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，E为AB的中点，连接CE，BD，过点E作FE⊥CE于点E，交AD于点F，连接CF，已知2AD=AB=BC．（1）求证：CE=BD；（2）若AB=4，求AF的长度；（3）求sin∠EFC的值．47．如图①，在长方形ABCD中，AB=DC=3cm，BC=5cm，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC=cm．（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP，请说明理由；（3）如图②，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以acm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样a的值，使得△ABP与△PCQ全等？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．48．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求OA、OB的长．（2）若点E为x轴上的点，且S=，试判断△AOE与△AOD是否相似？并△AOE说明理由．（3）在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，请直接写出点F的坐标．49．如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，且AB=6cm，BC=8cm，对角线AC=l0cm．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）如图（2），若动点Q从点C出发，在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点P从点B出发，在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动，运动时间为t秒（0≤t＜2），连接BQ、AP，若AP⊥BQ，求t的值；（3）如图（3），若点Q在对角线AC上，CQ=4cm，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止．设点P运动了t 秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有可能的结果．50．如图，点E为正方形ABCD的边BC所在直线上的一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于F，连接BF．（1）如图1，当点E在CB的延长线上，且AC=EC时，求证：BF=；（2）如图2，当点E在线段BC上，且AE平分∠BAC时，求证：AB+BE=AC；（3）如图3，当点E继续往右运动到BC中点时，过点D作DH⊥AE于H，连接BH．求证：∠BHF=45°．四边形综合题集参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD ①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】①先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；②证明∠BGE=60°=∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S=S四边形BCDG，易求后者的面积；四边形CMGN③过点F作FP∥AE于P点，根据题意有FP：AE=DF：DA=1：3，则FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF；④因为点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，当点E，F分别是AB，AD中点时，CG⊥BD；⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°．【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED ≌△DFB ，故本选项正确；②∵∠BGE=∠BDG +∠DBF=∠BDG +∠GDF=60°=∠BCD ，即∠BGD +∠BCD=180°，∴点B 、C 、D 、G 四点共圆，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∴∠BGC=∠DGC=60°，过点C 作CM ⊥GB 于M ，CN ⊥GD 于N （如图1），则△CBM ≌△CDN （AAS ），∴S 四边形BCDG =S 四边形CMGN ，S 四边形CMGN =2S △CMG ，∵∠CGM=60°，∴GM=CG ，CM=CG ，∴S 四边形CMGN =2S △CMG =2××CG ×CG=CG 2，故本选项错误；③过点F 作FP ∥AE 交DE 于P 点（如图2），∵AF=2FD ，∴FP ：AE=DF ：DA=1：3，∵AE=DF ，AB=AD ，∴BE=2AE ，∴FP ：BE=FP ：2AE=1：6，∵FP ∥AE ，∴PF ∥BE ，∴FG ：BG=FP ：BE=1：6，即BG=6GF ，故本选项正确；④当点E ，F 分别是AB ，AD 中点时（如图3），由（1）知，△ABD ，△BDC 为等边三角形，∵点E ，F 分别是AB ，AD 中点，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC与△BGC中，，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故选：B．【点评】此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．2．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S△CEF =2S△ABE，其中结论正确的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，得到CE=CF；由正方形的性质就可以得出∠AEB=75°；设EC=x，由勾股定理得到EF，表示出BE，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF 和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∴CE=CF，故①正确；∵∠BAE=∠DAF，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°，∴∠AEB=75°，故②正确；设EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，∴AG≠2GC，③错误；∵CG=x，AG=x，∴AC=x∴AB=AC•=x，∴BE=x﹣x=x，∴BE+DF=（﹣1）x，∴BE+DF≠EF，故④错误；∵S△CEF=x2，S△ABE=×BE×AB=x×x=x2，∴2S△ABE ═S△CEF，故⑤正确．综上所述，正确的有3个，故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．3．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH 与AC交于点M，以下结论：①FH=2BH；②AC⊥FH；③S△ACF=1；④CE=AF；⑤EG2=FG•DG，其中正确结论的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①②、证明△ABH≌△ADF，得AF=AH，再得AC平分∠FAH，则AM既是中线，又是高线，得AC⊥FH，证明BH=HM=MF=FD，则FH=2BH；所以①②都正确；≠1，错误；③可以直接求出FC的长，计算S△ACF④根据正方形边长为2，分别计算CE和AF的长得结论正确；还可以利用图2证明△ADF≌△CDN得：CN=AF，由CE=CN=AF；⑤利用相似先得出EG2=FG•CG，再根据同角的三角函数列式计算CG的长为1，则DG=CG，所以⑤也正确．【解答】解：①②如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，∵AE平分∠DAC，∴∠FAD=∠CAF=22.5°，∵BH=DF，∴△ABH≌△ADF，∴AH=AF，∠BAH=∠FAD=22.5°，∴∠HAC=∠FAC，∴HM=FM，AC⊥FH，∵AE平分∠DAC，∴DF=FM，∴FH=2DF=2BH，故选项①②正确；③在Rt△FMC中，∠FCM=45°，∴△FMC是等腰直角三角形，∵正方形的边长为2，∴AC=2，MC=DF=2﹣2，∴FC=2﹣DF=2﹣（2﹣2）=4﹣2，S△AFC=CF•AD≠1，所以选项③不正确；④AF===2，∵△ADF∽△CEF，∴，∴，∴CE=，∴CE=AF，故选项④正确；⑤延长CE和AD交于N，如图2，∵AE⊥CE，AE平分∠CAD，∴CE=EN，∵EG∥DN，∴CG=DG，在Rt△FEC中，EG⊥FC，∴EG2=FG•CG，∴EG2=FG•DG，故选项⑤正确；本题正确的结论有4个，故选：C．【点评】本题是四边形的综合题，综合考查了正方形、相似三角形、全等三角形的性质和判定；求边时可以利用三角形相似列比例式，也可以直接利用同角三角函数列式计算；同时运用了勾股定理求线段的长，勾股定理在正方形中运用得比较多．4．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ，下列结论正确的个数是（ ）①AE=BF ；②AE ⊥BF ；③sin ∠BQP=；④S 四边形ECFG =2S △BGE ．A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】首先证明△ABE ≌△BCF ，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF ；②AE ⊥BF ；△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，利用角的关系求出QF=QB ，解出BP ，QB ，根据正弦的定义即可求解；根据AA 可证△BGE 与△BCF 相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，∴CF=BE ，在△ABE 和△BCF 中，，∴Rt △ABE ≌Rt △BCF （SAS ），∴∠BAE=∠CBF ，AE=BF ，故①正确；又∵∠BAE +∠BEA=90°，∴∠CBF +∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE ⊥BF ，故②正确；根据题意得，FP=FC ，∠PFB=∠BFC ，∠FPB=90°∵CD ∥AB ，∴∠CFB=∠ABF ，∴∠ABF=∠PFB ，∴QF=QB ，令PF=k （k ＞0），则PB=2k在Rt △BPQ 中，设QB=x ，∴x 2=（x ﹣k ）2+4k 2，∴x=，∴sin=∠BQP==，故③正确； ∵∠BGE=∠BCF ，∠GBE=∠CBF ，∴△BGE ∽△BCF ，∵BE=BC ，BF=BC ， ∴BE ：BF=1：，∴△BGE 的面积：△BCF 的面积=1：5，∴S 四边形ECFG =4S △BGE ，故④错误．故选：B．【点评】本题主要考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．5．如图，在矩形ABCD中，BC=AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE 于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：（1）∠AEB=∠AEH （2）DH=2EH（3）OH=AE （4）BC﹣BF=EH其中正确命题的序号（）A．（1）（2）（3）B．（2）（3）（4）C．（2）（4）D．（1）（3）【分析】（1）根据矩形的性质得到AD=BC=AB=CD，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE=CD，得到等腰三角形求出∠AED=67.5°，∠AEB=67.5°，得到（1）正确；（2）设DH=1，则AH=DH=1，AD=DE=，求出HE=﹣1，得到2HE≠1，所以（2）不正确；（3）通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形，从而得到（3）正确；（4）由△AFH≌△CHE，到AF=EH，由△ABE≌△AHE，得到BE=EH，于是得到BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB﹣AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，从而得到（4）不正确．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AD=BC=AB=CD，∠ADC=∠BCD=90°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=45°，∵AH⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形，∴AD=AH，∴AH=AB=CD，∵△DEC是等腰直角三角形，∴DE=CD，∴AD=DE，∴∠AED=67.5°，∴∠AEB=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AEH=∠AEB，所以（1）结论正确；（2）设DH=1，则AH=DH=1，AD=DE=，∴HE=DE﹣DH=﹣1，∴2HE=2（﹣1）=4﹣2≠1，所以（2）结论不正确；（3）∵∠AEH=67.5°，∴∠EAH=22.5°，∵DH=CD，∠EDC=45°，∴∠DHC=67.5°，∴∠OHA=180°﹣90°﹣67.5°=22.5°，∴∠OAH=∠OHA=22.5°，∴OA=OH，∴∠AEH=∠OHE=67.5°，∴OH=OE=OA，∴OH=AE，所以（3）正确；（4）∵AH=DH，CD=CE，在△AFH与△CHE中，，∴△AFH≌△CHE，∴AF=EH，在Rt△ABE与Rt△AHE中，，∴△ABE≌△AHE，∴BE=EH，∴BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB﹣AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，所以（2）不正确，故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．6．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C 两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥CD交BC 于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；⑤线段MN的最小值为．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个。

2020-2021备战中考数学压轴题专题平行四边形的经典综合题附答案一、平行四边形1．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．（1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由．（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求BE2+DG2的值．【答案】（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，证明见解析；（2）BG⊥DE，证明见解析；（3）16.25．【解析】分析：（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG．根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和．详解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，∴BC CG b==，DC CE a又∵∠BCG=∠DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25．点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理．2．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）求证：△AED≌△CEB′（2）若AB = 8，DE = 3，点P为线段AC上任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥BC于H.求PG + PH的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由折叠的性质知，，，，则由得到；（2）由，可得，又由，即可求得的长，然后在中，利用勾股定理即可求得的长，再过点作于，由角平分线的性质，可得，易证得四边形是矩形，继而可求得答案.【详解】（1）四边形为矩形，，，又，；（2），，，，在中，，过点作于，，，，，，，、、共线，，四边形是矩形，，.【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.3．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）133． 【解析】分析：（1）根据平行四边形ABCD 的性质，判定△BOE ≌△DOF （ASA ），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt △ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE ，由勾股定理求出BD ，得出OB ，再由勾股定理求出EO ，即可得出EF 的长.详解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点， ∴∠A=90°，AD=BC=4，AB ∥DC ，OB=OD ， ∴∠OBE=∠ODF ， 在△BOE 和△DOF 中，OBE ODF OB ODBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOE ≌△DOF （ASA ）， ∴EO=FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ， 设BE=x ，则 DE=x ，AE=6-x ， 在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2， ∴x 2=42+（6-x ）2， 解得：x= 133， ∵22AD AB +13∴OB=1213 ∵BD ⊥EF ，∴22BE OB -213∴413点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键4．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF AE =，连接DE ，DF ，EF . FH 平分EFB ∠交BD 于点H .（1）求证：DE DF ⊥； （2）求证：DH DF =：（3）过点H 作HM EF ⊥于点M ，用等式表示线段AB ，HM 与EF 之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以22sin 45HNBH HN HM ===︒.由22cos 45DFEF DF DH ===︒，得22EF AB HM =-.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒. ∵CF AE =。

八年级数学苏科版下册《中心对称图形—平行四边形》压轴题提优复习（三）1．已知：如图，点E、F分别为▱ABCD的边BC、AD上的点，且∠1＝∠2，求证：AE ＝CF．2．如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，直线EF经过点O，并且与AB交于点E，与DC交于点F，∠DFE＝∠BFE．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）若AD＝4，AB＝8，则线段EF的长是．（直接写出答案即可）3．如图，平行四边形ABCD中，点G是CD的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF为平行四边形．（2）若AB＝5cm，BC＝10cm，∠B＝60°．①当AE＝cm时，四边形CEDF是矩形．②当AE＝cm时，四边形CEDF是菱形．4．在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明．6．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．7．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是∠ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若AB＝BC＝4，则四边形ADCE的面积为多少？（3）直接回答：当△ABC满足时，四边形ADCE是正方形．9．如图，已知矩形ABCD，AD＝8，CD＝20，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．10．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？【思路分析】①读题标注；②梳理思路；要证四边形ABCD是菱形，根据题目中已有的条件选择判定定理：．【过程书写】11．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．（1）求证：DF∥AC；（2）连接DE、CF，若AB⊥BF，若G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是菱形；（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且AB＝2，则BC＝．12．如图1，在矩形ABCD中AB＝4，BC＝8，点E、F是BC、AD上的点，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）如果四边形AECF是菱形，求这个菱形的边长．（3）如图2，在（2）的条件下，取AB、CD的中点G、H，连接DG、BH，DG分别交AE、CF于点M、Q，BH分别交AE、CF于点N、P，求点P到BC的距离并直接写出四边形MNPQ的面积．13．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上任意一点，E是BC边上的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BF，CD．（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）如图2，若D为AB中点，求证：四边形CDBF是菱形；（3）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BE＝4，求的△BDE面积．14．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC 于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A＝100°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD （1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）连接CE交AB于点F，若BE＝2，AE＝2，求EF的长．参考答案1．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF．2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴∠OAE＝∠OCF，∵OA＝OC，∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，∴BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形，又∵∠DFE＝∠BFE，∠DFE＝∠FEB，∴∠BFE＝∠BEF，∴BE＝BF，∴四边形DEBF是菱形．（2）如图，作FH⊥AB于H．设DF＝BF＝x，在Rt△BCF中，∠BCF＝90°，BC＝AD＝4，CF＝4﹣x，∴x2＝42+（8﹣x）2，∴x＝5，∴DF＝5，CF＝3，∵∠FHB＝∠HBC＝∠BCF＝90°，∴四边形BCFH是矩形，∴CF＝BH＝3，FH＝BC＝4，∵BF＝DF＝5，∴EH＝2，∴EF＝＝＝2，故答案为．3．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BF，∴∠DEG＝∠CFG，∵G是CD的中点，∴GD＝GC，在△GED和△GFC中，，∴△GED≌△GFC（AAS），∴DE＝CF，又∵DE∥CF，∴四边形CEDF是平行四边形，（2）解：①当AE＝7.5cm时，四边形CEDF是矩形；理由如下：作AP⊥BC于P，如图所示：∵AB＝6cm，∠B＝60°，∴∠BAP＝30°，∴BP＝AB＝2.5cm，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDE＝∠B＝60°，DC＝AB＝5cm，AD＝BC＝10cm，∵AE＝7.5cm，∴DE＝AD﹣AE＝2.5cm＝BP，在△ABP和△CDE中，，∴△ABP≌△CDE（SAS），∴∠CED＝∠APB＝90°，∴平行四边形CEDF是矩形，故答案为：7.5；②当AE＝5cm时，四边形CEDF是菱形，理由如下：∵AE＝5cm，AD＝10cm，∴DE＝AD﹣AE＝5（cm），∵DC＝5cm，∠CDE＝∠B＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴DE＝CE，∴平行四边形CEDF是菱形，故答案为：5．4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB，在△DAE和△BCF中，∴△DAE≌△BCF（SAS），∴DE＝BF，∵AB＝CD，AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即DF＝BE，∵DE＝BF，BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠BAF，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠AFD，∴AD＝DF，∵四边形DEBF是平行四边形，∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，∴AD＝5，∵AE＝3，DE＝4，∴AE2+DE2＝AD2，∴∠AED＝90°，∵DE∥BF，∴∠ABF＝∠AED＝90°，∴AF＝＝＝4．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：补充的条件是：AC⊥BD．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形．6．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，又∵BF∥DE，∴∠BFA＝90°＝∠AED，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AE＝BF，∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；（2）不可能，理由是：如图，若要四边形BFDE是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，∵DE＝AF，∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，而点G不与B和C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形BFDE不可能是平行四边形．7．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝AC＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，∴OA＝＝＝3，∴OE＝OA＝3．8．（1）证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠MAC，∵∠MAC＝∠B+∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠MAE＝∠B，∴AN∥BC，∵F为AC的中点，D为BC的中点，∴FD∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE为平行四边形，∵AB＝AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥AE，∴∠DAE＝90°，∴四边形ADCE为矩形；（2）解：由（1）知四边形ADCE是矩形，∵BC＝AB＝4，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝4，∵D为BC的中点，∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝2，∴AD＝2，∴四边形ADCE的面积为CD×AD＝2×2＝4；（3）解：答案不唯一，如当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∵D为BC的中点，∴AD＝DC，∵四边形ADCE为矩形，∴四边形ADCE为正方形．故答案为：∠BAC＝90°．9．（1）证明：∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴ME是△PCD的中位线，NE是△PCD的中位线，∴ME∥PC，EN∥PD，∴四边形PMEN是平行四边形；（2）解：当AP＝10时，四边形PMEN是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝20，AD＝BC，∵AP＝10，AB＝20，∴BP＝10＝AP，∴△PAD≌△PBC（SAS），∴PD＝PC，∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴，，∴PM＝ME＝EN＝PN，∴四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形；理由如下：若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90°设PA＝x，PB＝20﹣x，由勾股定理得：DP2+CP2＝DC2，即64+x2+64+（20﹣x）2＝202，解得：x＝4或x＝16．∴当AP＝4或AP＝16时，四边形PMEN是矩形．10．解：是菱形，∵AB∥CD，AD∥BC，分别作CD，BC边上的高为AE，AF，∵两纸条宽度相同，所以纸条宽度AE＝AF．又∵平行四边形的面积为AE×CD＝BC×AF，∴CD＝BC．∴平行四边形ABCD为菱形．故答案为：四条边相等的四边形即为菱形．11．（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，∵BE＝EF，∴OE是△BDF的中位线，∴OE∥DF，即DF∥AC；（2）证明：如图所示：由（1）得：DF∥AC，∴∠F＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，∵G是CD的中点，∴DG＝CG，∴△DFG≌△CEG（AAS），∴FG＝EG，∴四边形CFDE是平行四边形，∴AB∥CD，又∵AB⊥BF，∴CD⊥BF，∴平行四边形CFDE是菱形；（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，CD＝AB＝2，∵四边形CFDE是正方形，∴DE＝CE＝CD＝，BE＝EF＝CD＝2，∠DEC＝90°，∴∠AED＝90°，∵AB⊥BF，∴∠ABE＝90°，∴AE＝＝＝2，∴AD＝＝＝，∴BC＝，故答案为：．12．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，BE＝DF，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AF∥EC，AF＝EC，∴四边形AECF为平行四边形；（2）解：设菱形AECF的边长为x，∵四边形AECF为菱形，AB＝4，BC＝8，∴AE＝EC＝x，BE＝8﹣x，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2即x2＝42+（8﹣x）2解得：x＝5，∴菱形AECF的边长为5；（3）四边形MNPQ面积为20﹣2×＝．13．（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ECF＝∠EBD．∵E是BC中点，∴CE＝BE．∵∠CEF＝∠BED，∴△CEF≌△BED（ASA），∴CF＝BD，且CF∥AB，∴四边形CDBF是平行四边形．（2）∵D为AB中点，∠ACB＝90°，∴AD＝CD＝BD，且四边形CDBF是平行四边形，∴四边形CDBF是菱形，（3）如图，作EM⊥DB于点M，在Rt△EMB中，EM＝BE•sin∠ABC＝2，∴BM＝2在Rt△EMD中，∵∠EDM＝30°，∴DM＝ME＝2，∴BD＝2+2∴△BDE面积＝×BD×ME＝×2×（2+2）＝4+4 14．（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB∴四边形DEBF是平行四边形∵DE∥BC∴∠EDB＝∠DBF∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC∴∠ABD＝∠EDB∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形∴四边形BEDF为菱形；（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°，∵四边形BEDF为菱形，∴∠EDF＝∠ABC＝50°，∠BDE＝∠EDF＝25°．15．（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形．（2）EF＝．。

2021年中考九年级数学专题复习过关训练：四边形综合型压轴题1、如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．2、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．求证：AM⊥DF．3、在⊥ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知⊥A=60°；（1）若BC =8，AB =6，当AP 的长为多少时，⊥CPE 的面积最大，并求出面积的最大值． （2）试探究当⊥CPE ⊥⊥CPB 时，⊥ABCD 的两边AB 与BC 应满足什么关系？4、已知：如图9，正方形ABCD 中，P 是边BC 上一点，BE ⊥AP ，DF ⊥AP ，垂足分别是E 、F ．(1)求证：EF=AE–BE ；(2)连接BF ，如果BF AF ADDF，求证：EF=EP ．5、如图，在⊥ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 是边CD 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CF=BC ，求证：四边形OCFE 是平行四边形．6、如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，BF 平分ABC ∠，交AD于点F ，AE 与BF 交于点P ，连接EF ，PD . （1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若4AB =，6AD =，60ABC ∠=︒，求tan ADP ∠的值.7、如图1，2,已知四边形ABCD 为正方形,在射线AC 上有一动点P ，作PE ⊥AD (或延长线)于E ，作PF ⊥DC (或延长线)于F ，作射线BP 交EF 于G .（1）在图1中,设正方形ABCD 的边长为2, 四边形ABFE 的面积为y , AP =x ，求y 关于x 的函数表达式．（2）结论GB ⊥EF 对图13，图14都是成立的，请任选一图形给出证明； （3）请根据图14证明：△FGC ∽△PFB ．8、在正方形ABCD 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE DE ，，其中DE 交直线AP 于点F ．（1）依题意补全图1；（2）若20PAB ∠=︒，求ADF ∠的度数；（3）如图2，若4590PAB ︒<∠<︒，用等式表示线段AB FE FD ，，之间的数量关系，并证明．9、如图，矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，点P 为AB 边上一动点，OP 交AC 于点Q ． （1）求证：⊥APQ ⊥⊥CDQ ；（2）P 点从A 点出发沿AB 边以每秒1个单位长度的速度向B 点移动，移动时间为t 秒． ①当t 为何值时，DP ⊥AC ？图 1PD CBA A BCDP图 2②设S⊥APQ+S⊥DCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值．10、如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，⊥AEP=90°，且EP 交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．11、分别以□ABCD （CDA ∠≠90°） 的三边AB ，CD ，DA 为斜边作等腰直角三角形，△ABE ，△CDG ，△ADF .（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF ，EF ．请判断GF与EF 的关系（只写结论，不需证明）；（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF ，EF ，(1)中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.12、如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，点O 为对角线BD 的中点，点P 从点A 出发，沿折线AD ﹣DO ﹣OC 以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与⊥ABD 重叠部分图形的面积为S （平方单位），点P 运动的时间为t （秒）． （1）求点N 落在BD 上时t 的值；（2）直接写出点O 在正方形PQMN 内部时t 的取值范围；（3）当点P 在折线AD ﹣DO 上运动时，求S 与t 之间的函数关系式； （4）直接写出直线DN 平分⊥BCD 面积时t 的值．ABCDGF E图1ABCDGFE图213、菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O ，4AC BD ==,动点P 在线段BD 上从点B 向点D 运动，PP ′⊥AB 于点P ′，四边形PFBG 关于BD 对称。