通电直导线附近的场
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细说通电直导线附近的场摘要：一无限长通电直导线，周围没有电场只有磁场，运动的电子产生电场的同时也产生磁场，静止的正电荷只产生电场，根据一些基本实验事实和相对论的基本假设，可以推导出动电场和静电场叠加后相互抵消，只剩下运动电子产生的磁场，而且这个结论与根据库仑定律和毕奥—萨伐尔定律得出的结论是一致的。
关键词：无限长通电直导线；实验事实；相对论基本假设；电磁效应1 现象的描述对于一无限长通电直导线，我们知道它不产生电场，只产生磁场，磁感应线的分布如图1所示，并且电流越大，同一点的磁感应强度越大。
2 问题的提出学生认为静止的电荷产生电场，运动的电荷产生电场和磁场，一无限长通电直导线，导线内有定向漂移的电子和不动的正电荷，定向漂移的电子产生电场和磁场，正电荷产生电场，这两种电场是由不同运动状态的电荷产生的，为什么就能相互叠加抵消而只剩下负电荷产生的磁场呢？静止电荷产生的电场与运动电荷产生的电场，这两者的性质完全一样吗？3 过程的分析在用相对论分析之前，我们把以下事实作为出发点。
（1）带电体所带的电荷量相对不同参考系不会改变。
（2）源电荷静止，试探电荷不论静止还是运动，库仑定律都成立。
对于一无限长通电直导线产生的场可以理解成由一无限长均匀带正电的静止的线电荷产生的场和一无限长均匀带负电的匀速运动的线电荷产生的场的叠加，其中带负电的线电荷的运动速度为电子的定向漂移速度。
3.1 讨论一无限长均匀带正电的静止的线电荷产生的场先微元假设带正电的线电荷的电荷线密度为η+，相对实验室参考系S 静止，在x 轴上取一段微元dx ，电荷量为η+dx ，离原点距离为x ，考察点在y 轴上，离原点距离为y ，如图2所示。
元电荷产生的电场的场强为2020()14()140x y z dx x dE r r dx ydE r rdE ηπεηπε++===图1参评论文编号：008再累加根据对称性，dE x 累加的结果为零，因此只要累加dE y ，就可找出一无限长均匀带正电的静止的线电荷产生的电场。
2200()()11sin 44y y dx dx y E E dE r r r ηηθπεπε++====⎰⎰⎰式中θ为r 方向和v 方向的夹角，r 、x 和θ都是变量，但它们是有联系的，必须统一到同一个变量才能累加，其中2csc ,cot csc r y x y dx y d θθθθ==-=即，上述的累加为0011sin 42E d y yηηθθπεπε++==⎰ 我们可以看出，上述是根据毕奥—萨伐尔定律推出的结论。
电场线的分布具有一定的对称性，如图3所示。
3.2讨论一无限长均匀带负电的匀速运动的线电荷产生的场先微元假设带负电的线电荷的电荷线密度为η-，相对实验室参考系S 沿x 轴负方向作匀速运动，速度为v ,取一段微元dx ，为了简便起见认为t =0时刻，该微元在坐标原点。
电荷量为q 0的试探电荷以速度u x 相对S 沿x 轴正方向运动，t =0时刻，位于P 点，位置坐标为（x,y,z =0），如图4所示。
S ’为相对带负电的线电荷静止的参考系，在t =t ’=0时刻，其原点与S 的原点重合。
在S ’中，试探电荷的位置坐标为22',','01x x y y z z v c ====-试探电荷的速度为2','0,'01x x y z x u v u u u vu c+===+xy S η-dx · q 0 P(x,y,z=0)u x v rx'y'S ’η-'dx'· q 0P(x ’,y ’,z ’=0)u x ’ vr ’x y zOSη+ dx · r图2 y θ x 图3 E E那么在S ’中，源电荷静止，电荷量仍为η-dx ，试探电荷运动，电荷量仍为q 0，库仑定律仍成立，源电荷对试探电荷的作用力为020020()1''4''()1''4'''0x y z dx q x dF r r dx q y dF r r dF ηπεηπε--=== 式中r ’为此时刻源电荷和试探电荷的距离。
根据相对论的四维力变换：22'()'1x x x vF u F c F vu c+=+ 在S 中，此时刻，源电荷对试探电荷的作用力为20202'('''''')()1'''4''1x x x y y z z x x x vdF u dF u dF u dF dx q x c dF dF vu r r cηπε-+++===+ 其中22'''r x y =+2222()1x y v c=+-22222222222()()1v y x y x y c x y v c +-++=- 2222222()(1sin )1v x y c v c θ+-=-222221sin 1v c r v cθ-=- 式中θ为r 方向和v 方向的夹角，得22033220221()14(1sin )x v dx q c dF x r vc ηπεθ--=- 类似地得到220332220221()1(1)4(1sin )x y v dx q vu c dF y r c vcηπεθ--=--0z dF =合力为x y dF dF i dF j =+220332220221()1[(1)]4(1sin )x v dx q vu c xi y j r c vc ηπεθ--=+-- 220332220221()1[]4(1sin )x v dx q vyu c xi yj j r c vcηπεθ--=+-- 可以看出，作用力由两部分组成，其中一部分与试探电荷的速度u x 无关，它对试探电荷的作用力为电场力，即22033220221()1()4(1sin )E v dx q c dF xi yj r vcηπεθ--=+- 另一部分与试探电荷的运动速度u x 有关，它对试探电荷的作用力为磁场力，即220332220221()1()4(1sin )x B v dx q vyu c dF j r c vc ηπεθ--=-- 那么源电荷在P 点的电场强度和磁感应强度分别为22332200221()1()4(1sin )E v dF dx c dE xi yj q r vcηπεθ--==+- 2222033323222200222211()()1()()44(1sin )(1sin )B x v v u dF dx dx vy c c dB k vyk q u r c r v vc c ηηπεπθθ----===-- 式中，001c u ε=我们可以看出，运动电荷产生的电场的场强分布不是各向同性的，与θ有关。
当22r x y =+一定时，在电荷运动的方向上，θ=0，场强最小，在垂直电荷运动的方向上，θ=π/2，场强最大。
所以运动电荷产生的电场的电场线不是球对称的，沿着运动方向，电场线分布较疏，而垂直运动方向，电场线分布较密。
磁感应线是位于垂直电荷运动方向的平面内的同心圆，画出了源电荷右侧某两个平面内的磁感应线的分布，如图5所示。
再累加再把每段微元产生的场累加起来，就是一无限长通电直导线产生的场。
dE 沿着x 轴和y 轴的分量分别为dE x 和dE y ，根据对称性，dE x 累加的结果为零，因此只要累加dE y ，就可找出一无限长均匀带负电的匀速运动的线电荷产生的电场，如图6所示。
2233220221()1)4(1sin )y y v dx c E E dE y r vcηπεθ--===-⎰⎰ 其中2csc ,cot csc r y x y dx y d θθθθ==-=即，上述的累加为22322022(1)1sin 4(1sin )v d c E yvcηθθπεθ--=-⎰ 作以下的换元，221cos tan v c v cθφ-=- x y zOS η-dx · v r图6 y θ 图5 E v E B Bv由于(0,)θπ∈，因此2222tan (,)11v v c cv v ccφ∈---，sin (,)v vc c φ∈-可以得到，2222221sin 1cos 1tan v c v c θθφ-=-=-，2221s i n s e c v c d d v cθθφφ-=，那么2222322000221sec (1)1111cos 442[(1)(sin )]v c d v v c c E d v y y y vc c φφηηηφφπεπεπεφ-----===-⎰⎰ 这个结果与无限长均匀带正电的静止的线电荷产生的电场的场强大小相同。
由于dB 和dE 形式类似，可以推出0022u u IB v y yηππ-== 式中I 为通过导线的电流。
我们可以看出，上述根据相对论推出的E 和B 两式与库仑定律和毕奥—萨伐尔定律推出的结论是一致的。
电场线和磁感应线的分布具有一定的对称性，如图7所示。
4 结论的得出由上述推导，可以发现：（1）静止的点电荷和运动的点电荷产生的电场是不同的，前者具有球对称性，后者各向不同性；（2）无限长通电直导线中，静止的正电荷和定向漂移的电子产生的电场的场强大小是完全一样的，方向相反，两者叠加后相互抵消，因此无限长通电直导图7 E E B B v v线没有产生电场，只由定向漂移的电子产生磁场；（3）使人感到惊奇的是，如果承认两个实验事实和相对论的基本假设，在相对S系通电直导线的一种磁效应，在相对S’系看是一种电效应，电磁效应是相对参考系而言的。
在低速情况下，v/c→0，但电流的磁效应，恰恰可归结于这种看上去几乎完全可以忽略的在低速情况下的相对论效应。
参考文献：[1]赵凯华,陈熙谋.电磁学[M].高等教育出版社,1985.6[2]贾起民,郑永令,陈暨耀.电磁学[M].高等教育出版社,2001.1[3]费恩曼,莱顿,桑兹.费恩曼物理学讲义[M].上海科学技术出版社,2005.6。
