《高等流体力学》习题集

1.简述流体力学有哪些研究方法和优缺点?实验方法就是运用模型实验理论设计试验装置和流程，直接观察流动现象，测量流体的流动参数并加以分析和处理，然后从中得到流动规律。

实验研究方法的优点：能够直接解决工程实际中较为复杂的流动问题，能够根据观察到的流动现象，发现新问题和新的原理，所得的结果可以作为检验其他方法的正确性和准确性。

实验研究方法的缺点主要是对于不同的流动需要进行不同的实验，实验结果的普遍性稍差。

理论方法就是根据流动的物理模型和物理定律建立描写流体运动规律的封闭方程组以及相应初始条件和边界条件，运用数学方法准确或近似地求解流场，揭示流动规律。

理论方法的优点是：所得到的流动方程的解是精确解，可以明确地给出各个流动参数之间的函数关系。

解析方法的缺点是：数学上的困难比较大，只能对少数比较简单的流动给出解析解，所能得到的解析解的数目是非常有限的。

数值方法要将流场按照一定的规则离散成若干个计算点，即网格节点；然后，将流动方程转化为关于各个节点上流动参数的代数方程；最后，求解出各个节点上的流动参数。

数值方法的优点是：可以求解解析方法无能为力的复杂流动。

数值方法的缺点是：对于复杂而又缺乏完整数学模型的流动仍然无能为力，其结果仍然需要与实验研究结果进行对比和验证。

2.写出静止流体中的应力张量,解释其中非0项的意义.无粘流体或静止流场中，由于不存在切向应力，即p ij =0（i ≠j ），此时有P =000000xx yy zz p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=000000p p p -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=-p 00000011⎡⎤⎢⎥1⎢⎥⎢⎥⎣⎦= -p I 式中I 为单位张量，p 为流体静压力。

流体力学中，常将应力张量表示为 p =-+P I T （2-9）式中p 为静压力或平均压力，由于其作用方向与应力定义的方向相反，所以取负值；T 称为偏应力张量，即T =xx xy xz yx yy yz zx zy zz τττττττττ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2-10）偏应力张量的分量与应力张量各分量的关系为：i ＝j 时，p ij 为法向应力，τii = p ij - p ；当i ≠j 时p ij 为粘性剪切应力，τij =p ij 。

《高等流体力学》复习题一、 基本概念1． 什么是理想流体？正压流体，不可压缩流体？ [答]：教材P57当流体物质的粘度较小，同时其内部运动的相对速度也不大，所产生的粘性应力比起其它类型的力来说可以忽略不计时，可把流体近似地看为是无粘性的，这样无粘性的流体称为理想流体。

内部任一点的压力只是密度的函数的流体，称为正压流体。

流体的体积或密度的相对变化量很小时，一般可以看成是不可压缩的，这种流体就被称为不可压缩流体。

2． 什么是定常场；均匀场；并用数学形式表达。

[答]：如果一个场不随时间的变化而变化，则这个场就被称为定常场。

其数学表达式为：)(ϕϕ=如果一个场不随空间的变化而变化，即场中不显含空间坐标变量r ，则这个场就被称为均匀场。

其数学表达式为：)(t ϕϕ=3． 理想流体运动时有无切应力？粘性流体静止时有无切应力？静止时无切应力是否无粘性？为什么？ [答]：理想流体运动时无切应力。

粘性流体静止时无切应力。

但是，静止时无切应力，而有粘性。

因为，粘性是流体的固有特性。

4． 流体有势运动指的是什么？什么是速度势函数？无旋运动与有势运动有何关系？ [答]：教材P119-123如果流体运动是无旋的，则称此流体运动为有势运动。

对于无旋流动来说，其速度场V 总可以由某个速度标量函数（场）),(t r φ的速度梯度来表示，即φ∇=，则这个标量函数（场）),(t φ称为速度场V 的速度势函数。

无旋运动与有势运动的关系：势流运动与无旋运动是等价的，即有势运动是无旋的，无旋运动的速度场等同于某个势函数的梯度场。

5． 什么是流函数？存在流函数的流体具有什么特性？（什么样的流体具有流函数？） [答]：6． 平面流动中用复变位势描述的流体具有哪些条件（性质）？ [答]：教材P126-127理想不可压缩流体的平面无旋运动，可用复变位势描述。

7． 什么是第一粘性系数和第二粘性系数？在什么条件下可以不考虑第二粘性系数？Stokes 假设的基本事实依据是什么？ [答]：教材P89第一粘性系数μ：反映了剪切变形对应力张量的贡献，因此称为剪切变形粘性系数； 第二粘性系数μ’：反映了体变形对应力张量的贡献，因而称为体变形粘性系数。

第一讲绪论习题：1.综述流体力学研究方法及其优缺点。

2.试证明下列各式：(1)grad(φ±ψ)=grad(φ)±grad(ψ)(2) grad(φψ)=ψgrad(φ)+φgrad(ψ)(3)设r= x i+y j+ z k，则=(4) 设r= x i+y j+ z k，求div(r)=？(5) 设r= x i+y j+ z k，则div(r4r)= ?3.给定平面标量场f及M点处上已知两个方向上的方向导数和，求该点处的grad f 第二讲应力张量及应变张量例2-1试分析下板不动上板做匀速运动的两个无限大平板间的简单剪切流动，，式中k为常数，且k=u0/b。

解：由速度分布和式(2-14、16和17)可得再由式(2-18)可得所以II=k=u0/b。

流动的旋转张量R的分量不全为零说明流动是有旋流动，I=tr A=0表明流动为不可压缩流动，II=k表明了流场的剪切速率为常数。

第三讲流体的微分方程习题：试由纯粘流体的本构方程和柯西方程推导纳维尔-斯托克斯方程（N-S方程）。

第四讲流动的积分方程【例3－1】在均匀来流速度为V的流场中放置一个垂直于来流的圆柱体，经过若干距离后测得的速度分布如图所示，假设图示的控制体边界上的压力是均匀的，设流体为不可压缩的，其密度为ρ，试求:(1)流线1-2的偏移量C的表达式；(2)单位长度圆柱体的受力F的表达式。

解：(1)无圆柱体时流管进出口一样大（即流线都是直线，无偏移），进出口的流速分布也是相同的，而放入圆柱体之后出口处的流速分布变成图示的那样，即靠近中心线部分的流速变小，由于已经假定流体是不可压缩的流体，若想满足进出口流量相同——连续性方程，必然会导致流管边界会向外偏移，也就是说出口处流管的截面会增大。

因此，求解时可由进出口流量相等入手，设入口处平均流速为V，取宽度为L，所得的连续性方程应为：求得C=a/2(2)在流管的进出口截面1-1与2-2之间使用动量方程，即圆柱体的阻力应等于单位时间内流出2-2面的流体的动量与流入1-1面的流体的动量差，列x方向的动量方程可表示为则，F=-R【例3－2】试求如图所示的射流对曲面的作用力。

《高等流体力学》复习题一、基本概念1． 什么是流体，什么是流体质点？2． 什么是流体粘性，静止的流体是否具有粘性，在一定压强条件下，水和空气的粘性随着温度的升高是如何变化的？3． 什么是连续介质模型？在流体力学中为什么要建立连续介质这一理论模型？4． 给出流体压缩性系数和膨胀性系数的定义及表达式。

5． 简述系统与控制体的主要区别。

6． 流体静压强的特性是什么？绝对压强s p 、计示压强（压力表表压）p 、真空v p 及环境压强（一般为大气压）a p 之间有什么关系？7． 什么是理想流体，正压流体，不可压缩流体？8． 什么是定常场，均匀场，并用数学形式表达。

9． 分别用数学表达式给出拉格朗日法和欧拉法的流体加速度表达式。

10． 流线和迹线有何区别，在什么条件下流场中的流线和迹线相重合？11． 理想流体运动时有无切应力？粘性流体静止时有无切应力？静止时无切应力是否无粘性？为什么？12． 试述伯努利方程()22p V Z C g gψρ++=中各项的物理意义，并说明该方程的适用条件。

13． 流体有势运动指的是什么？什么是速度势函数？无旋运动与有势运动有何关系？14． 什么是流函数？存在流函数的流体具有什么特性？（什么样的流体具有流函数？）15． 平面流动中用复变位势描述的流体具有哪些条件（性质）？16． 伯努利方程22p V Z Const g gρ++=对于全流场均成立需要基于那些基本假设？ 17． 什么是第一粘性系数和第二粘性系数？在什么条件下可以不考虑第二粘性系数？stokes 假设的基本事实依据是什么？18． 为推出牛顿流体的本构方程，Skokes 提出了3条基本假设，分为是什么？19． 作用在流体微团上的力分为那两种？表面应力ij τ的两个下标分别表示？ij τ的正负如何规定？20． 从分子运动学观点看流体与固体比较有什么不同？21． 试述流体运动的Helmhottz 速度分解定律并给出其表达式。

习题一 场论和张量代数(习题一中黑体符号代表矢量)1．(一)用哈密顿符号法证明：rot n n n n n n n n n n n n n n C C ⨯=-⨯∇⨯=-⨯∇⨯=-∇⋅+⋅∇=-∇⋅+⋅∇()()()()()()C 12因为n 为单位向量，n n ⋅=1，故 ∇⋅=()n n 0，于是rot n n n n ⨯=⋅∇().注意： 将rot n n ⨯写成rot n n n n ⨯=∇⨯⨯()是不正确的。

右端表示矢量][)(pk q jpqijk x n n ∂∂εε.直接写rot n n n n n n n n ⨯=-⨯∇⨯=-∇⋅+⋅∇()()()尽管也能给出证明，但由第二步(反用混合积公式)到第三步却是错误的，一定要引入辅助矢量n C 才能进行正确的推导。

(二)张量表示法证明：()()1()()2n n n ijk jmnk jik jmn k im kn km in k m m mk i k k k k i k in n nn n n x x x n n n n n n x x x εεεεδδδδ∂∂∂⨯==-=--∂∂∂∂∂∂⋅=-+=-+⋅∇=⋅∇∂∂∂rot n n n n n n2．(一)哈密顿符号法：grad(a n a n n a n a ⋅=∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇)()()()； rot(a n a n n a n a ⨯=∇⨯⨯=⋅∇-∇⋅)()()().于是n a n a n n n a n a n n a a a ⋅⋅-⨯=⋅⨯∇⨯+∇⋅=⋅∇⋅=∇⋅=[()()][()()]()grad rot div(二)张量表示法：()()[grad()rot()]()j j j p ki ijki j ijk kpq q i j i j j p j ii j ip jq iq jp q ij j i j i j a n a a n n n n x x x x a a a a n n n n n n x x x x εεεδδδδ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⨯⋅⋅-⨯=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎡⎤∂∂∂∂=--=-⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦a n n a n a n div j i j ji i ja n x a Q n n Q x ⎡⎤∂+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦∂=+=+∂ a其中()0j j i i i jji j j i ij i ja a a aQ n n n n n n n x x x x ∂∂∂∂=-=-=∂∂∂∂(进行j i ,指标互换)，证毕。

高等流体力学一、流体的运动用x=a,y=e t b+c2+e−tb−c2,z=e tb+c2−e−tb−c2表示，求速度的拉格朗日描述与欧拉描述。

解：由题可知速度分量为：{u=ðxðt=0v=ðyðt=e t b+c2−e−t b−c2=zw=ðzðt =e t b+c2+e−t b−c2=y则速度的拉格朗日描述：V⃑ =(0,e t b+c2−e−t b−c2,e t b+c2+e−t b−c2)速度的欧拉描述：V⃑ =(0,z,y)二、速度场由V⃑ =(x2t,yt2,xz)给出，当t=1时求质点p(1,3,2)的速度及加速度。

解：由V⃑ =(x2t,yt2,xz)可得速度分量式为：{u=x2t v=yt2 w=xz则当t=1时，质点p(1,3,2)的速度为：V⃑ =(1,3,2)；加速度为{a x=ðuðt+uðuðx+vðuðy+wðuðz a y=ðvðt+uðvðx+vðvðy+wðvðza z=ðwðt +uðwðx+vðwðy+wðwðz={a x=x2+x2t∙2xt+yt2∙0+xz∙0a y=2yt+x2t∙0+yt2∙t2+xz∙0a z=0+x2t∙z+yt2∙0+xz∙x={a x=1+2+0+0=3a y=6+0+3+0=8a z=0+2+0+2=4，即加速度为：a=(3,9,4)三、速度场由V⃑ =(αx+t2,βy−t2,0)给出，求速度及加速度的拉格朗日表示。

解：由题可得速度场V⃑ =(u,v,w)=(αx+t2,βy−t2,0)，则由{u=ðxðt=αx+t2v=ðyðt=βy−t2w=ðzðt =0得{dxdt−αx=t2dydt−αy=−t2dzdt=0，解微分方程得{x=c1eαt−1αt2−2α2t−2α3y=c2eβt+1βt2+2β2t+2β3z=c3，即为流体质点运动的拉格朗日表达式,其中c1,c2,c3为任意常数。

高等流体力学-习题集—c b + c b — c.一 ............................... ......... ........... ........... 2^，Z = ee2表示，求速度的拉格朗日描述与欧拉描述。

解：由题可知速度分量为 （ u=—=0Stdy /fi+c b —c \ v = — = e -------- e — = zdr22 dz t h+c . b —c—=e ------- 卜 e — = v&t22丿则速度的拉格朗日描述（00宁一戶宁严宁*与）速度的欧拉描述：戸=（①宣、y ）、速度场由卩=仗乜刃给出，当£ = 1时求质点p （X3,2）的速度及 加速度。

解：U = x 2tv = yt 2高等流体力学、流体的运动用 t b+c由K =可得速度分量式为:W — xz 则当t=1时，质点pdX2）的速度为：卩=乩3」2）；加速度Cldu .du . dudt dy dzdv .. . &v a y=—+ u — dt d x+ v—F >v ——= dydzdw i . dw . dw a 7 = ---- u — + v ---- H w — £dt dy dza x = x 2 + x 2t - 2xt + yt 2 10 + xz ■ 0a y= 2yt + x 2t - 0 + yt 2 • t 2 + xz ■ 0 a z = 0 + x 2t ・ z + yt 2 - 0 + xz-x(a x = 1 + 24-0 + 0= 3= Jay-6 + 0-l-3-F0-8 ,即加速度为 [a z = 0 + 2 + 0 + 2 = 4a = (3,9; 4)三、速度场由V = （ar^t z t py - & 0）给出，求速度及加速度的拉格朗 表示。

解：由 题 可 得 速V — （u,巧 w ） = （ax + * py —（2 0） f dxU =——5二罟二旳-严得情w — — = 0I——aac = t 2 At -ay = -t 1 ,空=0 dl2,即为流体质点运动的拉=ax -H t 2解微分方程;乙一fl 严頁Z = c3V01f x = c^e at—-: 2y -巧尹 + - t z + —&x 2B =询3 -1a z= 0得速度的拉格朗日表达式为 為叼砂-詁j四、已知质点的位置表示如下：x - a.y = b + a （_e~2t — l ）,z = c+ a （e _3t - 1）求：（1）速度的欧拉表示；（2） 加速度的欧拉表示及拉格朗日表示，并分别求 （局”刃=（人0,0）及 （為陶=（九0,0）的值；（3） （4） （5）解：;))1|u = — = c^ae^ | V = -^ = C 2pG ptIW =Cid^e^1 —-aa yV =得加速度的拉格朗日表达式为V — （“cz'gat - *工2严£加-）过点（儿Q 0）的流线及1 = 0在（a’b 疋）三（九1,1）这一质点的迹线; 散度、旋度及涡线； 应变率张量及旋转张量P 辭oa = xb = y — x(e~2tc = z — x(e~3tX = I b + a(e z = c + a(e由题得 < 卩二警二 w = ~ =—3ae~3t = —3xe~2t V dt欧拉表示为V 二!> — 2宓盘—3化 (2) 加 速 度 分 量 f du , du , du , du _a y =——u ——i?——w — = 0x 9t dx dy dzdi? dv _2t 擢 _2t=—1- u — + v — + w — = 4^e = 4ae dt dx dy dz =—+ u ——v —+ w — = 9xe = 9ae 口 dt dx &y dz则加速度的欧拉表示为n =(0f 4xe 2\ 9xe ")； 则加速度的拉格朗日表示为 a =(0； 4ae~2t , 9ae _3t )； 当时，a =(074e-2t f 9e-3c )(3)流线微分方程式为,因为"二0所以，流线微分方程转化为，消去中间变2量积分得，又因为工二Q ，当x 二丄」二z 二0时，得到「=0，，即过点(1,0,0)(X = 1的流线为u = — = 0 dt—2ae _Zc =-2xc"2r ，则速度的 I, a yx = ay = b^-a(e-2t -l)，将 z = c + a(e _3t— 1) 代入得质点轨迹方程为je = 1y = e~2t)散度两八労+計牛= o + o + o = o旋\dy dz/ \dz dx/ \dx dyJOf + 3e~3t j + -2e~ll k涡线微分方程为— = — = —,又因为二0 ,涡线W x Wy W z微分方程转化为岛 =const ,即由迹线微分方程为度k =1涡线方程为(5)速y = -|e_f z + c2 k x— c3梯度-ayalzaya d u&z0 0 0-2e"2f0 03e~3f0 0VV =3z.・•・应变率张量=-e^2t_32e••旋转张量dudx1/dv du\ '2 \dxdy ) 1 /dw du\.2+ dz)/du dv\ 1 /du dwy\dv + dx) 2\dz + dx)1 /dv dw\2 \&z + dy)1 /dw dv\ dw2 \dy + dz)dz.A L 2\dy（1） 问运动是否定常，是否是不可压缩流体，是否为无旋流场; （2） 求t=1时在点（1,1,1）的加速度；（3） 求过点（1,1,1 ）的流线。