2020年4月高考数学大数据精选模拟北京卷04(含解析)

2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷(4月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={2,3，5，7，11}，B={x|x2>9}，则A∩B=()A. {3,5，7，11}B. {7,11}C. {11}D. {5,7，11}2.若复数(a+1)+(a2−1)i(a∈R)是实数，则a=()A. −1B. 1C. ±1D. 不存在3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A. y=1x B. y=(12)xC. y=|x|D. y=−x34.等差数列{a n}中，a2+a5+a8=12，则前9项和S9=()A. 18B. 24C. 36D. 485.在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3,4)，则sinα=()A. −45B. −35C. 35D. 456.已知实数a<b，那么()A. a−b<0B. a−b>0C. a2<b2D. 1a <1b7.某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则()A. 3∈AB. 5∈AC. 2√6∈AD. 4√3∈A8.已知F是抛物线C：y=2x2的焦点，点P(x,y)在抛物线C上，且x=1，则|PF|=()A. 98B. 32C. 178D. 529.函数f(x)=1x+ln|x|的图象大致为()A. B. C. D.10. 方程|lgx|+x −3=0实数解的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 已知(2+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为15，则展开式中所有项的系数和为________．12. 已知向量a ⃗ =(2,2)，b ⃗ =(−3,4)，则a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．13. 一个容量为20的样本数据，已知分组与频数分别如下：[10,20)，2个；[20,30)，3个；[30,40)，4个；[40,50)，5个；[50,60)，4个；[60,70]，2个．则样本在[10,50)上的频率是__________．14. 函数f (x )=sin (12x +π3)在[−π,π2]上的单调递增区间为___________．15. 已知|cos θ|=15，5π2<θ<3π，那么sin θ2=____. 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω>0,A >0,|φ|<π2)的图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数y=f(x)在[−π4,π6]上的值域．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD//BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=12AD．(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAC；(Ⅱ)侧棱PA上是否存在点E，使得BE//平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；(Ⅲ)求二面角A−PD−C的余弦值．18.某快递公司(为企业服务)准备在两种员工付酬方式中选择一种，现邀请甲、乙两人试行10天．两种方案如下：甲无保底工资，送出50件以内(含50件)，每件支付3元，超出50件的部分每件支付5元；乙每天保底工资50元，且每出送一件再支付2元．分别记录其10天的件数，得到如下茎叶图：若将频率视作概率，回答以下问题：(1)记甲的日工资额为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；(2)如果仅从日工资额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为快递公司在两种付酬方式中作出选择，并说明理由．+ln x−1．19.已知a∈R，函数f(x)=ax(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值．20.椭圆C：x24+y2=1的右顶点和上顶点分别为A、B，斜率为12的直线l与椭圆C交于P、Q两点(点P在第一象限)．(Ⅰ)求证：直线AP、BQ的斜率之和为定值；(Ⅱ)求四边形APBQ面积的取值范围．21.设k为正整数，若数列{a n}满足a1=1，且(a n+1−a n)2=(n+1)k，则称数列{a n}为“k次方数列”．(1)设数列{a n}为“2次方数列”，且数列{a nn}为等差数列，求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{a n}为“4次方数列”，且存在正整数m满足a m=15，求m的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查交集的求法，是基础题．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．解：∵集合A ={2,3，5，7，11}，B ={x|x 2>9}={x|x <−3或x >3}，∴A ∩B ={5,7，11}．故选：D ．2.答案：C解析：本题考查复数的概念.根据复数是实数，可知a 2−1=0，由此可得a 的值．解：∵复数(a +1)+(a 2−1)i(a ∈R)是实数，∴a 2−1=0，解得a =±1．故选C ．3.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性及单调性，属于基础题．分别判断各选项函数的奇偶性、单调性即可．解：A.y =1x 是奇函数，在区间(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减，但是在定义域内不是减函数，不符合题意；B .y =(12)x 是非奇非偶函数，不符合题意；C .y =|x| 是偶函数，不符合题意；D .y =−x 3是奇函数，且在定义域R 上单调递减，符合题意．故选D ．解析：解：在等差数列{a n}中，∵a2+a5+a8=12，由等差数列的性质得：a5=13(a2+a5+a8)=4，∴前9项和为：S9=(a1+a9)×92=9×a5=36．故选：C．根据等差数列的性质求出a5的值，再根据前n项和公式求出S9即可．本题考查了等差数列的性质与前n项和公式的运用，是基础题目．5.答案：D解析：本题考查任意角的三角函数，属于基础题．直接根据三角函数的定义，即可求得结果．解：∵角α的终边过点P(3,4)，则|OP|=√32+42=5，，故选D．6.答案：A解析：本题主要考查了不等式的比较大小，属于基础题．解：实数a<b，则a−b<0，故A正确，B错误，若a=−2，b=0，则a2>b2，故C错误，若a=1，b=2，则1a >1b，故D错误．故选A．解析：本题考查几何体的三视图．由几何体的三视图可知该几何体为三棱柱截去一个三棱锥，判断出线面的位置关系，由勾股定理求几何体的棱长，即可得答案．解：由几何体的三视图可知该几何体为三棱柱截去一个三棱锥，如图所示，四边形ABCD是一个边长为4的正方形，且AF⊥AB，DE⊥DC，DE⊥BD，所以EC=√DC2+DE2=4√2，EF=FB=√AF2+AB2=2√5，BE=√DE2+BD2=√42+4√22=4√3，A为此几何体所有棱的长度构成的集合，所以A={2,4,4√2,4√3,4√5}．故选D．8.答案：C解析：本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．解：由y=2x2，得x2=y2，则p=14；由x=1得y=2，由抛物线的性质可得|PF|=2+p2=2+18=178．故选：C．9.答案：B解析：本题考查了图象的画法，由函数的性质结合特殊值可排除得答案．解：当x<0时，函数f(x)=1x +ln(−x)，由函数y=1x，y=ln(−x)都单调递减知函数f(x)=1x+ln(−x)单调递减，排除C，D；当x>0时，函数f(x)=1x +ln x，此时，f(1)=11+ln1=1，而选项A的最小值为2，故可排除A，B正确，故选B．10.答案：C解析：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．方程|lgx|+x−3=0的实数解的个数，即函数y=|lgx|与函数y=3−x的交点的个数，结合图象得出结论．解：方程|lgx|+x−3=0的实数解的个数，即函数y=|lgx|与函数y=3−x的交点的个数，如图所示：函数y=|lgx|与函数y=3−x的交点的个数为2，故选C．11.答案：32解析：本题考查了二项式求展开式的特定项、求展开式的系数和问题，属于中档题．由题意可得2C52+aC51=15，解得a=−1，再令x=1，即可求出展开式中所有项的系数和．解：(2+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为15，即2C52+aC51=15，解得a=−1，设(2−x)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6令x=1，得25=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=32．故答案为32．12.答案：2解析：解：由已知得到a⃗⋅b⃗ =2×(−3)+2×4=−6+8=2；故答案为：2．利用平面向量的数量积的坐标表示解答．本题考查了平面向量的数量积的坐标运算；a⃗=(x,y)，b⃗ =(m,n)，则a⃗⋅b⃗ =xm+yn．13.答案：710解析：本题考查频率的概念．本题属于容易题．解：由题知[10,50)上的频率为2+3+4+520=1420=710．故答案为：71014.答案：[−π,π3]解析：本题考查正弦函数的图象与性质，根据正弦函数的单调递增区间可得结果． 解：因为−π≤x ≤π2， 所以−π6≤12x +π3≤7π12，所以函数f (x )=sin (12x +π3)在[−π,π2]上的单调递增区间为： −π6≤12x +π3≤π2， 解得−π≤x ≤π3． 故答案为[−π,π3]．15.答案：−√155解析：本题考查了三角函数二倍角公式是应用，属于基础题.先将|cosθ|=15去绝对值得cosθ=−15，再由二倍角公式得1−2sin 2θ2=−15，解出sin θ2的值即可． 解：∵5π2<θ<3π，|cosθ|=15，∴cosθ=−15， 由二倍角公式得1−2sin 2θ2=−15， ∴2sin 2θ2=65，∴sin 2θ2=35， ∵sin θ2<0， 所以sin θ2=−√155．故答案为−√155．16.答案：解：(1)函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中ω>0，A >0，|φ|<π2)的图象，可得A =1，14⋅2πω=7π12−π3，∴ω=2． 再根据五点法作图可得2×π3+φ=π，∴φ=π3，∴f(x)=sin(2x +π3).(2)在[−π4,π6]上，2x +π3∈[−π6,2π3]，所以，当2x +π3=π2，即x =π12,f(x)max =f(π12)=1； 当2x +π3=−π6，即x =−π4,f(x)min =f(−π4)=−12． 所以函数f(x)的值域为[−12,1]．解析：本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．(1)由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式． (2)利用正弦函数的定义域和值域，即可求得函数y =f(x)在[−π4,π6]上的值域．17.答案：解：因为∠PAD =90°，所以PA ⊥AD.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD ∩底面ABCD =AD ，所以PA ⊥底面ABCD.又因为∠BAD =90°， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设AD =2，则A(0,0，0)，B(1,0，0)，C(1,1，0)，D(0,2，0)，P(0,0，1)．(Ⅰ)证明：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0, 0, 1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1, 1, 0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1, 1, 0)，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD ．又因为AP ∩AC =A ，所以CD ⊥平面PAC.(4分)(Ⅱ)设侧棱PA 的中点是E ，则E(0,0,12)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,12)． 设平面PCD 的一个法向量是n =(x,y ，z)，则{n ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗=0n ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0因为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2, −1)， 所以{−x +y =02y −z =0取x =1，则n =(1,1，2)．所以n ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2)⋅(−1,0,12)=0，所以n ⊥BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 因为BE ⊄平面PCD ，所以BE//平面PCD.(8分)(Ⅲ)由已知，AB ⊥平面PAD ，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)为平面PAD 的一个法向量． 由(Ⅱ)知，n =(1,1，2)为平面PCD 的一个法向量． 设二面角A −PD −C 的大小为θ，由图可知，θ为锐角， 所以cosθ=n⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6×1=√66． 即二面角A −PD −C 的余弦值为√66.(13分)解析：(I)由已知易得，AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出各顶点的坐标，然后求出直线CD 的方向向量及平面PAC 的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．(II)设侧棱PA 的中点是E ，我们求出直线BE 的方向向量及平面PCD 的法向量，代入判断及得E 点符合题目要求；(III)求现平面APD 的一个法向量及平面PCD 的一个法向量，然后代入向量夹角公式，即可求出二面角A −PD −C 的余弦值．利用空间向量来解决立体几何夹角问题，其步骤是：建立空间直角坐标系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解．18.答案：解：(1)设甲日送件量为a ，则当a =48时，X =48×3=144，当a =49时，X =49×3=147，当a =50时，X =50×3=150，当a =51时，X =50×3+5=155，当a =52时，X =50×3+5×2=160， ∴X 的所有可能取值为：144，147，150，155，160． ∴X 的分布列为：所以E(X)=144×110+147×310+150×15+155×15+160×15=151.5(元); (2)乙日送件量为：48×0.2+49×0.1+50×0.2+51×0.3+52×0.2=50.2乙的日均工资额为：50+50.2×2=150.4(元)， 而甲的日均工资额为：151.5元，150.4元<151.5元， 因此，推荐该公司选择乙的方案．解析：本题考查茎叶图、离散型随机变量的分布列与期望的计算，属于中档题． (1)根据离散型随机变量的性质求出分布列和数学期望即可； (2)根据甲、乙的均值判断即可．19.答案：解：函数定义域x ∈(0,+∞)，所以 f′(x)=−1x 2+1x =x−1x 2，x ∈(0,+∞)．因此 f′(2)=14.即曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 14． 又 f(2)=ln2−12，所以曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y −(ln2−12)=14(x −2)， 即x −4y +4ln2−4=0．(2)因为 f(x)=ax +lnx −1，所以 f′(x)=−ax 2+1x =x−a x 2.令f′(x)=0，得x =a ．①若a ≤0，则f′(x)>0，f(x)在区间(0,e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值． ②若0<a <e ，当x ∈(0,a)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(0,a)上单调递减， 当x ∈(a,e]时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(a,e]上单调递增， 所以当x =a 时，函数f(x)取得最小值ln a ．③若a ≥e ，则当x ∈(0,e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0,e]上单调递减，所以当x =e 时，函数f(x)取得最小值 ae .综上可知，当a ≤0时，函数f(x)在区间(0,e]上无最小值； 当0<a <e 时，函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为ln a ； 当a ≥e 时，函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为 ae ．解析：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．(1)把a =1代入到f(x)中化简得到f(x)的解析式，求出f′(x)，因为曲线的切点为(2,f(2))，所以把x =2代入到f′(x)中求出切线的斜率，把x =2代入到f(x)中求出f(2)的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；(2)借助于导数，将函数f(x)=ax +lnx −1的最值问题转化为导函数进行研究．此题只须求出函数的导函数，利用导数求解．20.答案：(Ⅰ)证明：设直线l 方程为：y =12x +b 代入椭圆C ：x 24+y 2=1并整理得：x 2+2bx +2b 2−2=0设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=−2bx 1x 2=2b 2−2．从而k AP +k BQ =y 1x1−2+y 2−1x 2=x 1x 2+(b−1)(x 1+x 2−2)(x 1−2)x 2=2b 2−2+(b−1)(−2b−2)(x 1−2)x 2=0，所以直线AP 、BQ 的斜率之和为定值0． (Ⅱ)设C ：x 24+y 2=1的左顶点和下顶点分别为C 、D ，则直线l 、BC 、AD 为互相平行的直线，所以A 、B 两点到直线l 的距离等于两平行线BC 、AD 间的距离d =√1+14．∵|PQ|=√1+k 2|x 2−x 1|=√1+14|x 2−x 1|，∴S APBQ =12d ⋅|PQ|=|x 2−x 1|=√8−4b 2，又p 点在第一象限， ∴−1<b <1， ∴S ∈(2,2√2]．解析：略21.答案：解：(1)因为数列{a n}为“2次方数列”，所以(a n+1−a n)2=(n+1)2，于是a2−a1=±2.又a1=1，故a2=−1或a2=3．当a2=3时，由数列{a nn }为等差数列，得数列{a nn}的首项为1，公差为12，所以a nn =1+(n−1)×12=12(n+1)，所以a n=12(n2+n)，经检验，满足题意;当a2=−1时，由数列{a nn }为等差数列，得数列{a nn}的首项为1，公差为−32，所以a nn =1−32(n−1)=−32n+52，所以a n=−32n2+52n，经检验，不满足题意，舍去．综上所述，数列{a n}的通项公式为a n=12(n2+n)．(2)因为数列{a n}为“4次方数列”，所以a n+1−a n=±(n+1)2，即a n=1±22±32±⋯±n2．因为a m=15，当m≤3时，a m的最大值是1+22+32=14，所以m≤3时不成立;当m=4时，因为1±22±32±42等于−28，−20，−10，−2，4，12，22，30，所以m=4时不成立;当m=5时，因为1−22+32−42+52=15，所以m的最小值为5．综上所述，m的最小值为5．解析：本题考查新定义下的数列问题，属于较难题．(1)根据新定义：数列{a n}为“2次方数列”，则(a n+1−a n)2=(n+1)2，于是a2−a1=±2.}为等差数列，得到通项公又a1=1，故a2=−1或a2=3.分别对a2的两种情况讨论，借助于数列{a nn式；(2)根据数列{a n}为“4次方数列”，得到a n+1−a n=±(n+1)2，即a n=1±22±32±⋯±n2.由a m=15，分别讨论当m≤3时当m=4时，当m=5时是否成立，成立即为所求．。

北京市达标名校2020年高考四月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不．正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．天津的往返机票平均价格变化最大C ．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D ．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加 2．设()f x x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．63．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ） A ．±6B ．6C ．-6D ．1324．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）． A ．103B ．62C ．33D 36．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N7．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为A ．24(4h 2π+π+B ．216(2h π+π+C ．2(821)h π+π+D ．2(2216)h π+π+8．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2 ） A ．2B 2C 3D ．39．已知随机变量X 的分布列如下表： X1-0 1P ab c其中a ，b ，0c >.若X 的方差()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则（ ） A ．13b ≤B ．23b ≤C ．13b ≥D ．23b ≥10．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．53π B ．2πC ．52π D ．3π11．若双曲线222:14x y C m-=的焦距为45，则C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．19D ．21912．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市2020年4月高考数学模拟试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设U ＝R ，A ＝2{|40}x x x -<，B ＝{|1}x x ≤，则()U A C B ⋂＝（ ） A ．{}04x x <≤ B ．{}14x x ≤< C ．{}04x x << D ．{}14x x << 【答案】D【解析】A ＝2{|40}{04}x x x x x -<=<<，U {1}B x x =>ð，U (){14}A B x x ⋂=<<ð.故选:D2．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+【答案】A【解析】∵复数1z i =+，∴||z =，()2212z i i =+=，则22||22(1)221211(1)(1)z i z i i i i i z i i i -+=+=+=-+=+++-，故选：A. 3．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A 1B ．2 C． D ．1【答案】D【解析】由抛物线2:2(0)C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2px =-，则点(5,)t 到焦点的距离为562p d =+=，则2p =，所以抛物线方程：24y x =，设(,)P x y ，圆22:(6)1M x y -+=，圆心为(6,1)，半径为1，则PM ===，当4x =时，PQ 取得最小值，11=，故选D.4．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<- D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-【答案】C【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=， 有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,∞+上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C. 5．不等式1021x x -≤+的解集为 ( ) A ．1,12⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[)1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U【答案】A 【解析】不等式1021x x -≤+等价于(1)(21)0{210x x x -+≤+≠解得112x -<≤，所以选A.6．3481(3)(2)x x x+-展开式中x2的系数为( ) A ．－1280 B ．4864 C ．－4864 D ．1280【答案】A【解析】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出33x 项，第二个括号里出1x项，或者第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x ，具体为：()23174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简得到-1280 x2 故得到答案为：A.7．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．812πB ．814πC ．65πD ．652π 【答案】B【解析】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：由图可知在长方体中的四棱锥P ABCD -完全满足题意，故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，故外接球半径222722294R ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==，故该球的表面积为28144S R ππ==. 故选：B.8．若数列{xn}满足lg xn ＋1＝1＋lg xn(n ∈N ＋)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)的值为( ) A ．102 B ．101 C ．100D ．99【答案】A【解析】由1lg 1ln n n x x +=+，得110n nx x +=，所以数列{}n x 是公比为10的等比数列， 又10010010010111022200100,,,x x q x x q x x q L =⋅=⋅=⋅，所以10010010210110220012100()1010010x x x q x x x +++=+++=⋅=L L ，所以()101102200lg 102x x x +++=L ，故选A ．9．牡丹花会期间，记者在王城公园随机采访6名外国游客，其中有2名游客来过洛阳，从这6人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1人来过洛阳的概率是（ ） A ．115 B ．23 C ．35 D ．45【答案】C【解析】由题意，从6名外国游客中选取2人进行采访，共有2615C =种不同的选法，其中这2人中至少有1人来过洛阳的共有112242819C C C +=+=种不同选法，由古典概型的概率计算公式可得93155p ==，故选C ． 10．英国统计学家..E H 辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉.记录这些被上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）：记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为1x ，2x 和x ，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为1y ，2y 和y ，则下面说法正确的是（ ） A ．11x y <，22x y <，x y > B ．11x y <，22x y <，x y < C ．11x y >，22x y >，x y > D ．11x y >，22x y >，x y < 【答案】D【解析】由题意，可得法官甲民事庭维持原判的案件率为1290.90632x =≈，行政庭维持原判的案件率21000.847118x =≈，总体上维持原判的案件率为1290.86150x ==；法官乙民事庭维持原判的案件率为1900.9100y ==，行政庭维持原判的案件率为2200.825y ==，总体上维持原判的案件率为1100.88125y ==．所以11x y >，22x y >，x y <．选 D ．第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量(2,4),(1,)a b m ==r r ，若(2)a a b ⊥+r r r，则实数m =_____________. 【答案】3-【解析】Q (2,4),(1,)a b m ==r r ，可得220a =r根据向量数量积坐标计算可得：24,a b m ⋅=+r r 又Q (2)a a b ⊥+r r r ，∴2(2)20a a b a a b ⋅+=+⋅=r r r r r r， ∴2480m +=，解得：3m =-.故答案为：3-12．若函数()sin f x x x ωω= (x ∈R ，0>ω)满足()()02f f αβ==，，且||αβ-的最小值等于2π，则ω的值为___________. 【答案】1【解析】由题,()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭, 因为()0fα=,()2f β=,且||αβ-的最小值等于2π,即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为2π, 所以142T π=,即2T π=,所以2212T ππωπ===,故答案为:1 13．已知直线l ：()4y k x =+与圆()2224x y ++=相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，则M 的轨迹方程为____________；M 到直线3460x y +-=的距离的最小值为_______. 【答案】()()22314x y x ++=≠-； 2【解析】由题意，直线()4y k x =+过定点()4,-0，代入圆方程中，()224204-++=，成立，故()4,-0为直线和圆的一个交点，设(),M x y ，()4,0-A ，()()111,4B x y x ≠-，因为M 是AB 中点，所以11422x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒11242x x y y =+⎧⎨=⎩，点B 在圆上，故()()2224224x y +++=，整理得，()()22314x y x ++=≠-，所以点M 的轨迹是以()3,0-为圆心，1为半径的圆，不包含()4,-0；则点M 到直线3460x y +-=距离的最小值为()3,0-12=.故答案为：()()22314x y x ++=≠-；214．已知奇函数()()2221x x a a f x x R ⋅+-=∈+，则函数()f x 的值域为__________.【答案】()1,1-【解析】Q 奇函数()f x 的定义域为R ，∴()()f x f x -=-，∴()()00f f -=-，即()00f =．∴2202a -=，解得1a =此时21()21x x f x -=+， 212()12121x x xf x -==-++ Q 211x +>，∴20221x <<+即()f x 的值域为(1,1)-故答案为：(1,1)-. 15．已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且0BA BC ⋅=u u u r u u u r ，若点M 的坐标为()3,0，则MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r 的最大值为________. 【答案】10【解析】根据题意，0BA BC ⋅=u u u r u u u r，所以AC 为圆的直径，设AC 的中点即圆心为O ，()0,0O ， 则226MA MB MC MO MB MO MB MB ++=+≤+=+u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，当且仅当MO u u u u r 和MB u u u r 同向时取等号，且当B 取()1,0-时，MB u u u r 取最大值，此时4MB =u u u r ，所以6410MA MB MC ++≤+=u u u r u u u r u u u u r，即MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r的最大值为10.故答案为：10三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知在等比数列{an}中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且{12n n b a +}为等差数列． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）求数列{bn}的前n 项和 【答案】（1）1232;2,122n n n n a b n n --==-⋯（＝，，）；（2）213312442n n T n n -=+-+. 【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q ．由等比数列的性质得a4a5＝27a a ＝128，又2a ＝2，所以7a ＝64．所以公比7552642 2aqa===．所以数列{an}的通项公式为an＝a2qn－2＝2×2n－2＝2n－1．设等差数列{12n nb a+}的公差为d．由题意得，公差221111113221122222d b a b a⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+⨯-+⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以等差数列{12n nb a+}的通项公式为()()11113331122222n nb a b a n d n n⎛⎫+=++-=+-⋅=⎪⎝⎭．所以数列{bn}的通项公式为12313132222222n nn nb n a n n--=-=-⋅=-（n＝1，2，…）．（2）设数列{bn}的前n项和为Tn．由（1）知，2322nnb n-=-（n＝1，2，…）．记数列{32n}的前n项和为A，数列{2n－2}的前n项和为B，则()33322124n nA n n⎛⎫+⎪⎝⎭==+，()1112122122nnB--==--．所以数列{bn}的前n项和为()1213133112242442n nnT A B n n n n--=-=+-+=+-+．17．（本小题14分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且1PO=OB=．（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证CA⊥平面DP O；（Ⅱ）求三棱锥P ABC-体积的最大值；（Ⅲ）若2BC=E在线段PB上，求CE OE+的最小值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13；26+【解析】（Ⅰ）在C∆AO中，因为COA=O，D为CA的中点，所以C DA⊥O．又PO垂直于圆O所在的平面，所以C PO ⊥A ．因为D O PO =O I ，所以C A ⊥平面D P O ．（Ⅱ）因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1． 又2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为12112⨯⨯=．又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =，故三棱锥C P -AB 体积的最大值为111133⨯⨯=．（Ⅲ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =o ，所以22112PB =+=．同理C 2P =，所以C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C B 'P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值．又因为OP =OB ，C C 'P ='B ，所以C O '垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而26262C C +O '=OE +E '=+=，亦即C E +OE 的最小值为26+．18．（本小题14分）黄冈市有很多名优土特产，黄冈市的蕲春县就有闻名于世的“蕲春四宝”（蕲竹，蕲艾，蕲蛇，蕲龟），很多人慕名而来旅游，通过随机询问60名不同性别的游客在购买“蕲春四宝”时是否在来蕲春县之前就知道“蕲春四宝”，得到如下列联表：男 女 总计事先知道“蕲春四宝” 8nq事先不知道“蕲春四宝” m436总计40p t（1）写出列联表中各字母代表的数字；（2）由以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为购买“蕲春四宝”和是否事先知道“蕲春四宝”有关系？（3）从被询问的q 名事先知道“蕲春四宝”的顾客中随机选取2名顾客，求抽到的女顾客人数ξ的分布列及其数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】（1）32m =，16n =，20p =，24q =，60t =.（2）在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为购买“蕲春四宝”和事先知道“蕲春四宝”有关系.（3）见解析，9269【解析】（1）由列联表能求出32m =，16n =，20p =，24q =，60t =.（2）由计算可得2260(843216)2010.82840202436K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为购买“蕲春四宝”和事先知道“蕲春四宝”有关系. （3）ξ的可能取值为0，1，2.224287(0)69C P C ξ===；1181624232(1)69C C P C ξ===；1622243010(2)6923C P C ξ====，∴ξ的分布列为：∴ξ的数学期望()01269692369E ξ=⨯+⨯+⨯=. 19．（本小题15分） 已知幂函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >.（1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2m =，()4f x x -=； （2）111(,)(,3)322-U .【解析】（1）由题意，函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >，所以在区间(0,)+∞为单调递减函数，所以240m m -<，解得04m <<，又由m Z ∈，且函数()24-=m mf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，所以24m m -为偶数，所以2m =，所以()4f x x -=.（2）因为函数()4f x x -=图象关于y 轴对称，且在区间(0,)+∞为单调递减函数，所以不等式()()212+<-f a f a ，等价于122a a -<+且120,20a a -≠+≠，解得1132a -<<或132a <<， 所以实数a 的取值范围是111(,)(,3)322-U . 20．（本小题14分）已知点F 是椭圆2221(0)1x y a a+=>+的右焦点，点(,0)M m ，(0,)N n 分别是x 轴，y 轴上的动点，且满足0MN NF ⋅=u u u u v u u u v .若点P 满足2OM ON PO =+u u u u v u u u v u u u v（O 为坐标原点）． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与直线x a =-分别交于点S ，T ，试判断以线段ST 为直径的圆是否经过点F ？请说明理由． 【答案】（1）24y ax =（2）经过【解析】（Ⅰ）∵椭圆2221(0)1x y a a+=>+右焦点F 的坐标为(),0a ，∴(),NF a n =-u u u v .∵(),MN m n =-u u u u v ， ∴由0MN NF ⋅=u u u u v u u u v ，得20n am +=.设点P 的坐标为(),x y ，由2OM ON PO =+u u u u v u u u v u u u v，有()()(),020,,m n x y =+--，2m xy n =-⎧⎪⎨=⎪⎩，代入20n am +=，得24y ax =.即点P 的轨迹C 的方程为24y ax =.（Ⅱ）解法一：设直线AB 的方程为x ty a =+，211,4y A y a ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y a ⎛⎫⎪⎝⎭， 则OA l ：14a y x y =，OB l ：24a y x y =.由14a y x y x a⎧=⎪⎨⎪=-⎩得214,a S a y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，同理得224,a T a y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.∴2142,a FS a y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u v ，2242,a FT a y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u v ，则4212164a FS FT a y y ⋅=+u u u v u u u v . 由24x ty a y ax=+⎧⎨=⎩得22440y aty a --=，∴2124y y a =-.则()422221644404a FS FT a a a a ⋅=+=-=-u u u v u u u v . 因此，以线段ST 为直径的圆经过点F .解法二：①当AB x ⊥时，(),2A a a ，(),2B a a -，则OA l ：2y x =，OB l ：2y x =-.由2y xx a =⎧⎨=-⎩，得点S 的坐标为(),2S a a --，则()2,2FS a a =--u u u v ，由2y xx a=-⎧⎨=-⎩，得点T 的坐标为(),2T a a -，则()2,2FT a a =-u u u v .∴()()()22220FS FT a a a a ⋅=-⨯-+-⨯=u u u v u u u v.②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()()0y k x a k =-≠，211,4y A y a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y a ⎛⎫⎪⎝⎭，同解法一，得4212164a FS FT a y y ⋅=+u u u v u u u v .由()24y k x a y ax⎧=-⎨=⎩，得22440ky ay ka --=，∴2124y y a =-. 则()422221644404a FS FT a a a a⋅=+=-=-u u u v u u u v .因此，以线段ST 为直径的圆经过点F . 21．（本小题14分）若函数()y f x =对定义城内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使得()()120f x f x +=成立，则称该函数为“Y 函数”.(1)判断函数()sin f x x =是否为“Y 函数”，并说明理由；(2)若函数()2log g x x =在定义域[],m n 上为“Y 函数”，求2m n +的取值范围；(3)已知函数()()22214h x x b x b =-++-在定义域[]1,2-上为“Y 函数”.若存在实数[]1,2x ∈-，使得对任意的t R ∈，不等式()()254h x t p t x ≥-+--+都成立，求实数p 的取值范围.【答案】（1）不是，理由见解析；（2）23m n +>；（3）134p ≥或12p ≤-.【解析】(1)()sin f x x =不是为“Y 函数”.若16x π=，当26x π=-或276x π=时，满足()()120f x f x +=， 此时2x 不唯一，所以()sin f x x =不是为“Y 函数”.(2)因为函数()2log g x x =在[],m n 为増函数，且在[],m n 上为“Y 函数”，所以()()0g m g n +=，即1mn =.又因为0m n <<，所以01m <<.所以22m n m m +=+.令()2F m m m =+，则()222221m F m m m-'=-=， 因为01m <<，所以()0F m '<，所以()F m 在()0,1上单调递减，所以()()13F m F >=，即23m n +>. (3)若()h x 图像对称轴()211,22b x +=∈-，设()12,1,2x x ∈-，且1x ，2x 关于212b x +=对称， 此时，()()12h x h x =，由条件可知，存在3x ，使()()()()132300h x h x h x h x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，这与“Y 函数”定义矛盾.所以()h x 在[]1,2-上单调，且()()120h h -+=，由()()120h h -+=，得220b b --=，解得2b =或1b =-.检验：()h x 在[]1,2-上单调，所以2b =.不等式即()22554x x t p t x -≥-+--+， 整理得2240t xt x px ++--≥，由题意知，上式对任意t R ∈恒成立.得()22440x x px ---≤，整理得234160x px --≥，由题意知，存在[]1,2x ∈-使得上式成立，所以34160p +-≥或128160p --≥.解得134p ≥或12p ≤-.。

2020年高考数学（4月份）模拟试卷一、选择题1．若复数z满足z＝（1﹣2i）•i，则复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0}，B＝{x|2x＜4}，则A∪（∁R B）＝（）A．（1，2]B．[2，4）C．[1，+∞）D．（1，+∞）3．下列函数中，在（0，+∞）内单调递增，并且是偶函数的是（）A．y＝﹣（x﹣1）2B．y＝cos x+1C．y＝lg|x|+2D．y＝2x4．函数y＝2+1的值域为（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．5．在圆M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0中，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．6B．12C．24D．366．将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度后得到曲线C1，再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C2，则C2的解析式为（）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin4x D．y＝cos4x7．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．2B．4C．2D．28．已知函数f（x）＝，若不等式f（x）≤|x﹣k|对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[0，1）D．（﹣1，0]9．已知数列{a n}是等比数列，前n项和为S n，则“2a3＞a1+a5”是“S2n﹣1＜0”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为（）A．7班、14班、15班B．14班、7班、15班C．14班、15班、7班D．15班、14班、7班二.填空题（共5小题）11．已知双曲线的左、右焦点和点P（2a，b）为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为．12．已知向量＝（1，1），＝（﹣3，m），若向量2﹣与向量共线，则实数m＝．13．如果抛物线y2＝2px上一点A（4，m）到准线的距离是6，那么m＝．14．在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝3，AD＝4，且∠ABC＝120°，则AC＝，cos∠BCD＝．15．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），且f（x）在R单调递增，对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f（x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则使不等式成立的m取值范围是．三.解答题（共6小题）16．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是等腰梯形，AD∥BC，AD＝2，BC＝4，∠ABC ＝60°，△PAD为等边三角形，且点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G，点E 在线段BC上，且CE：EB＝1：3．（1）求证：DE⊥平面PAD．（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．17．已知函数f（x）＝log k x（k为常数，k＞0且k≠1）．（1）在下列条件中选择一个使数列{a n}是等比数列，说明理由；①数列{f（a n）}是首项为2，公比为2的等比数列；②数列{f（a n）}是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{f（a n）}是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k＝时，设a n b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与．（1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率．19．已知函数f（x）＝+a2x+alnx，实数a＞0．（1）讨论函数f（x）在区间（0，10）上的单调性；（2）若存在x∈（0，+∞），使得关于x的不等式f（x）＜2+a2x成立，求实数a的取值范围．20．椭圆C的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为．（I）求椭圆C的方程：（II）设P是直线x＝a2上任意一点，过点P作圆x2+y2＝a2的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN恒过一个定点．21．定义：若数列{a n}满足所有的项均由﹣1，1构成且其中﹣1有m个，1有p个（m+p≥3），则称{a n}为“（m，p）﹣数列”．（1）a i，a j，a k（i＜j＜k）为“（3，4）﹣数列”{a n}中的任意三项，则使得a i a j a k＝1的取法有多少种？（2）a i，a j，a k（i＜j＜k）为“（m，p）﹣数列”{a n}中的任意三项，则存在多少正整数对（m，p）使得1≤m≤p≤100，且a i a j a k＝1的概率为．参考答案一.选择题（共10小题）1．若复数z满足z＝（1﹣2i）•i，则复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：z＝（1﹣2i）•i＝2+i，＝2﹣i在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限．故选：D．2．已知集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0}，B＝{x|2x＜4}，则A∪（∁R B）＝（）A．（1，2]B．[2，4）C．[1，+∞）D．（1，+∞）【分析】根据题意，求出集合A、B，进而由集合的运算分析可得答案．解：根据题意，集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0}＝（1，4），B＝{x|2x＜4}＝（﹣∞，2），则∁R B＝[2，+∞），则A∪（∁R B）＝（1，+∞）；故选：D．3．下列函数中，在（0，+∞）内单调递增，并且是偶函数的是（）A．y＝﹣（x﹣1）2B．y＝cos x+1C．y＝lg|x|+2D．y＝2x【分析】根据函数单调性和奇偶性的性质分别进行判定即可．解：A．y＝﹣（x﹣1）2的对称轴为x＝1，为非奇非偶函数，不满足条件．B．y＝cos x+1是偶函数，但在（0，+∞）内不是单调函数，不满足条件．C．y＝lg|x|+2为偶函数，在（0，+∞）内单调递增，满足条件，D．y＝2x，（0，+∞）内单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件．故选：C．4．函数y＝2+1的值域为（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．【分析】由结合指数函数的单调性求解．解：∵，∴，则y＝2+1≥2．∴函数y＝2+1的值域为[2，+∞）．故选：C．5．在圆M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0中，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．6B．12C．24D．36【分析】根据题意，把圆M的方程化为标准方程，分析其圆心坐标与圆的半径，结合直线与圆的位置关系可得AC、BD的值，进而分析可得答案．解：根据题意，圆M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝9，其圆心为（2，2），半径r＝3，过点E（0，1）的最长弦AC为圆M的直径，则|AC|＝6，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，且|ME|＝＝则有|BD|＝2×＝4，又由AC⊥BD，则四边形ABCD的面积S＝2×S△ABC＝2×（×AC×BE）＝12；故选：B．6．将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度后得到曲线C1，再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C2，则C2的解析式为（）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin4x D．y＝cos4x【分析】根据三角函数图象平移变换进行求解即可．解：将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度后得到曲线C1，C1的解析式为，再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C2，C2的解析式为．故选：B．7．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．2B．4C．2D．2【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，即可求出四面体的四个面中面积最大的面积．解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为＝2．故选：C．8．已知函数f（x）＝，若不等式f（x）≤|x﹣k|对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[0，1）D．（﹣1，0]【分析】作出y＝f（x）的图象，由题意可得y＝f（x）的图象不在y＝|x﹣k|的图象的上方，讨论k≤0，k＞0，结合平移和导数的几何意义，计算可得所求范围．解：作出函数f（x）＝的图象，由不等式f（x）≤|x﹣k|对任意的x∈R恒成立，可得y＝f（x）的图象不在y＝|x﹣k|的图象的上方，且y＝|x﹣k|的图象关于直线x＝k对称，当k≤0时，满足题意；当y＝|x﹣k|的图象与y＝f（x）的图象相切，即有y＝x﹣k为切线，设切点为（m，n），可得切线的斜率为＝1，则m＝1，n＝lnm＝0，k＝1，则0＜k≤1时，也满足题意．综上可得，k的范围是（﹣∞，1]．故选：A．9．已知数列{a n}是等比数列，前n项和为S n，则“2a3＞a1+a5”是“S2n﹣1＜0”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】设等比数列{a n}的公比为q（q≠0），由2a3＞a1+a5，得a1＜0，q≠±1，得＜0，充分性成立；举例说明必要性不成立．解：设等比数列{a n}的公比为q（q≠0），由2a3＞a1+a5，得＞，若a1＞0，则q4﹣2q2+1＜0，即（q2﹣1）2＜0，此式不成立；若a1＜0，则q4﹣2q2+1＞0，即（q2﹣1）2＞0，则q≠±1，此时＜0，充分性成立；反之，a n＝﹣1，满足S2n﹣1＜0，此时2a3＝a1+a5，必要性不成立．∴“2a3＞a1+a5”是“S2n﹣1＜0”的充分不必要条件．故选：B．10．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为（）A．7班、14班、15班B．14班、7班、15班C．14班、15班、7班D．15班、14班、7班【分析】分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级．解：假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，∴14班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，∴7班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，∴7班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班．故选：C．二.填空题（共5小题）11．已知双曲线的左、右焦点和点P（2a，b）为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为．【分析】由题意可得P在y轴右侧，所以可得等腰三角形的两边，由两点间的距离公式及a，c，b之间的关系，及离心率的范围求出双曲线的离心率．解：由题意可得左右焦点分别为：F1（﹣c，0），F2（c，0），因为P在y轴的右侧，所以相等的两边为PF1＝F1F2或PF2＝F1F2由题意可得：（2a+c）2+b2＝4c2整理可得：2c2﹣4ac﹣3a2＝0，即2e2﹣4e＝3＝0，e＞1，解得e＝，或（2a﹣c）2+b2＝4c2可得：2e2+4e﹣3＝0，e＞1，解得e＝＜1，不符合双曲线的条件；综上所述，离心率e＝，故答案为：．12．已知向量＝（1，1），＝（﹣3，m），若向量2﹣与向量共线，则实数m＝﹣3．【分析】先求出向量2﹣的坐标（5，2﹣m），这样根据向量平行时的坐标关系即可建立关于m的方程，解出m．解：因为向量＝（1，1），＝（﹣3，m），所以向量2﹣＝（5，2﹣m）；∵2﹣与向量共线；∴5m﹣（2﹣m）×（﹣3）＝0⇒m＝﹣3；故答案为：﹣3．13．如果抛物线y2＝2px上一点A（4，m）到准线的距离是6，那么m＝．【分析】首先求出抛物线y2＝2px的准线方程，然后根据点M（4，m）到准线的距离为6，列出4+＝6，直接求出结果．解：抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣，由题意得4+，解得p＝4．∵点A（4，m）在抛物线y2＝2px上，∴m2＝2×4×4，∴，故答案为：±4，．14．在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝3，AD＝4，且∠ABC＝120°，则AC＝，cos∠BCD＝﹣．【分析】根据题意画出图形，利用余弦定理求出AC的值，再利用勾股定理的逆定理判断∠ACD＝90°，由正弦定理和诱导公式求出cos∠BCD的值．解：如图所示，四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝3，AD＝4，且∠ABC＝120°，则AC2＝12+22﹣2×1×2×cos120°＝7，所以AC＝；又AC2+CD2＝7+9＝16＝AD2，所以∠ACD＝90°；由＝，sin∠ACB＝＝＝，cos∠BCD＝cos（∠ACB+90°）＝﹣sin∠ACB＝﹣．故答案为：，﹣．15．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），且f（x）在R单调递增，对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f（x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则使不等式成立的m取值范围是[0，9）．【分析】由于定义在R上的函数f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），所以f（﹣x）＝g（﹣x）﹣g（x）＝﹣f（x），由此得出函数f（x）为奇函数，且在R上递增；对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f（x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则[f（+）]2＝f（2+1）；使不等式可以转化为一个无理不等式，解不等式即可求出满足条件的实数m的取值范围．解：由于定义在R上的函数f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），所以f（﹣x）＝g（﹣x）﹣g（x）＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数；∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f（x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则[f（+）]2＝f（2+1）；不等式⇔不等式f（2+1）＞f（m﹣2），∵f（x）在R单调递增，∴2+1＞m﹣2；∴m﹣2﹣3＜0；解得0≤m＜9；故答案为：[0，9）．三.解答题（共6小题）16．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是等腰梯形，AD∥BC，AD＝2，BC＝4，∠ABC ＝60°，△PAD为等边三角形，且点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G，点E 在线段BC上，且CE：EB＝1：3．（1）求证：DE⊥平面PAD．（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【分析】（1）点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G，连接PG，通过证明PG⊥DE．然后证明DE⊥平面PAD；（2）取BC的中点F，连接GF，以G为原点，GA所在直线为x轴，GF所在直线为y 轴，GP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面APC的法向量，平面DPC的法向量，平面APC与平面DPC的夹角为θ，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：等腰梯形ABCD中，∵点E在线段BC上，且CE：EB＝1：3，∴点E为BC上靠近C点的四等分点由平面几何知识可得DE⊥AD．∵点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G，连接PG，∴PG⊥平面ABCD．∵DE⊂平面ABCD，∴PG⊥DE．又AD∩PG＝G，AD⊂平面PAD，PG⊂平面PAD．∴DE⊥平面PAD；（2）解：取BC的中点F，连接GF，以G为原点，GA所在直线为x轴，GF所在直线为y轴，GP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．由（1）易知，DE⊥CB，CE＝1．又∠ABC＝∠DCB＝60°，∴．∵AD＝2，△PAD为等边三角形，∴．则G（0，0，0），A（1，0，0），D（﹣1，0，0），，．∴，，，设平面APC的法向量为＝（x1，y1，z1），则，即，令，则y1＝3，z1＝1，∴．设平面DPC的法向量为＝（x2，y2，z2），则，即．令，则y2＝1，z2＝﹣1，∴．设平面APC与平面DPC的夹角为θ，则，∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．17．已知函数f（x）＝log k x（k为常数，k＞0且k≠1）．（1）在下列条件中选择一个②使数列{a n}是等比数列，说明理由；①数列{f（a n）}是首项为2，公比为2的等比数列；②数列{f（a n）}是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{f（a n）}是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k＝时，设a n b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）选②，由f（x）和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；（2）运用等比数列的通项公式可得a n，进而得到b n＝＝＝（﹣），由数列的裂项相消求和可得所求和．解：（1）①③不能使数列{a n}是等比数列，②可以．由题意f（a n）＝4+2（n﹣1）＝2n+2，即log k a n＝2n+2，可得a n＝k2n+2，且a1＝k4≠0，＝＝k2，由常数k＞0且k≠1，可得k2为非零常数，则{a n}是k4为首项、k2为公比的等比数列；（2）由（1）可得a n＝k4•（k2）n﹣1＝k2n+2，当k＝时，a n＝2n+1，a n b n＝，可得b n＝＝＝（﹣），前n项和T n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．18．某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与．（1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率．【分析】（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，由此能求出甲参赛的概率．（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1，2，3，4，利用列举法能求出甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率．解：（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，故甲参加围棋比赛的概率为．（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1，2，3，4，则所有的可能为：（1，2，1，2），（1，2，1，3），（1，2，1，4），（1，2，2，3），（1，2，2，4），（1，2，3，4），（1，3，1，2），（1，3，1，3），（1，3，1，4），（1，3，2，3），（1，3，2，4），（1，3，3，4），其中满足条件的有（1，2，3，4），（1，3，2，4）两种，故所求概率p＝．19．已知函数f（x）＝+a2x+alnx，实数a＞0．（1）讨论函数f（x）在区间（0，10）上的单调性；（2）若存在x∈（0，+∞），使得关于x的不等式f（x）＜2+a2x成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）＝，令f′（x）＝0，可得x＝，分①当时，．②当0时，讨论．（2）⇔存在x∈（0，+∞），使得不等式成立，令，（x＞0），利用导数可得g（x）min＝，只需a+aln2﹣alna﹣2＜0即可．令h（x）＝x+xln2﹣xlnx﹣2 利用导数求解．解：（1）＝＝．，（x＞0），令f′（x）＝0，可得x＝，x＝﹣（舍）．①当时，．函数f（x）在区间（0，）上单调递减，在区间（，10）上的单调递增；②当0时，函数f（x）在区间（0，10）上单调递减．（2）存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）＜2+a2x成立⇔存在x∈（0，+∞），使得不等式成立，令，（x＞0），，∵a＞0，∴g′（x）＞0⇒x＞，g°（x）＜0⇒0＜x＜，∴g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴g（x）min＝，依题意只需a+aln2﹣alna﹣2＜0即可．令h（x）＝x+xln2﹣xlnx﹣2，h′（x）＝1+ln2﹣lnx﹣1＝ln2﹣lnx＝0，可得x＝2．∴h（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，且h（2）＝0．∴实数a的取值范围（0，2）∪（2，+∞）．20．椭圆C的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为．（I）求椭圆C的方程：（II）设P是直线x＝a2上任意一点，过点P作圆x2+y2＝a2的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN恒过一个定点．【分析】（I）根据椭圆的离心率公式，及，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（II）方法一：设P点坐标，根据直线的斜率公式，化简，求得直线MN的方程，即可求证直线MN恒过一个定点；方法二：根据圆的性质，求得MN所在的圆的方程，与x2+y2＝2联立，化简，求得直线直线MN的方程，同理可得直线MN恒过一个定点；方法三：根据圆的极点与极线，求得直线MN的方程，因此可以证明直线MN恒过一个定点．解：（I）由题意可知，，解得，b＝c＝1，所以椭圆的标准方程；（II）证明：方法一：设点P（2，y0），M（x1，y1），N（x2，y2）．其中，，由PM⊥OM，PN⊥ON，，，即，，注意到，，于是，2﹣2x1﹣y1y0＝0，2﹣2x2﹣y2y0＝0，所以，M，N满足2﹣2x﹣yy0＝0，由y0的任意性可知，x＝1，y＝0，即直线MN恒过一个定点（1，0）．方法二：设点P（2，y0），过点P且与圆x2+y2＝2相切的直线PM，PN，切点分别为M，N，由圆的知识可知，M，N是圆以OP为直径的圆和圆x2+y2＝2的两个交点，由，消去二次项得直线MN方程为2﹣2x﹣yy0＝0，由y0的任意性可知，x＝1，y＝0，即直线MN恒过一个定点（1，0）．方法三：由圆的极点极线可知，已知M（x0，y0）为圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝R2外一点，由点M引圆C的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，则直线AB的方程为，特殊地，知M（x0，y0）为圆C：x2+y2＝R2外一点，由点M引圆C的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，则直线AB的方程为．设点P（2，y0），由极点与极线可知，直线MN的方程2x+yy0＝2，即2x+yy0﹣2＝0，由y0的任意性可知，x＝1，y＝0，即直线MN恒过一个定点（1，0）．所以直线MN恒过一个定点（1，0）．21．定义：若数列{a n}满足所有的项均由﹣1，1构成且其中﹣1有m个，1有p个（m+p≥3），则称{a n}为“（m，p）﹣数列”．（1）a i，a j，a k（i＜j＜k）为“（3，4）﹣数列”{a n}中的任意三项，则使得a i a j a k＝1的取法有多少种？（2）a i，a j，a k（i＜j＜k）为“（m，p）﹣数列”{a n}中的任意三项，则存在多少正整数对（m，p）使得1≤m≤p≤100，且a i a j a k＝1的概率为．【分析】（1）三个数乘积为1有两种情况：“﹣1，﹣1，1”，“1，1，1”，其中“﹣1，﹣1，1”共有：＝12种，“1，1，1”共有：种，利用分类计数原理能求出使得a i a j a k＝1的取法种数．（2）“﹣1，﹣1，1”共有种，“1，1，1”共有种，而在“（m，p）﹣数列”中任取三项共有种，根据古典概型有：＝，再根据组合数的计算公式能得到（p﹣m）（p2﹣3p﹣2mp+m2﹣3m﹣2）＝0，利用p＝m和p2﹣3p﹣2mp+m2﹣3m ﹣2＝0分类讨论，能求出存在多少正整数对（m，p）使得1≤m≤p≤100，且a i a j a k＝1的概率为．解：（1）三个数乘积为1有两种情况：“﹣1，﹣1，1”，“1，1，1”，其中“﹣1，﹣1，1”共有：＝12种，“1，1，1”共有：种，利用分类计数原理得：a i，a j，a k（i＜j＜k）为“（3，4）﹣数列”{a n}中的任意三项，则使得a i a j a k＝1的取法有：12+4＝16种．（2）与（1）基本同理，“﹣1，﹣1，1”共有种，“1，1，1”共有种，而在“（m，p）﹣数列”中任取三项共有种，根据古典概型有：＝，再根据组合数的计算公式能得到：（p﹣m）（p2﹣3p﹣2mp+m2﹣3m﹣2）＝0，①p＝m时，应满足，∴（m，p）＝（k，k），k∈{2，3，4，…，100}，共99个，②p2﹣3p﹣2mp+m2﹣3m﹣2＝0时，应满足，视m为常数，可解得p＝，∵m≥1，∴，根据p≥m可知，p＝，（否则p≤m﹣1），下设k＝，则由于p为正整数知k必为正整数，∵1≤m≤100，∴5≤k≤49，化简上式关系式可以知道：m＝＝，∴k﹣1，k+1均为偶数，∴设k＝2t+1，（t∈N*），则2≤t≤24，∴m＝，由于t，t+1中必存在偶数，∴只需t，t+1中存在数为3的倍数即可，∴t＝2，3，5，6，8，9，11，…，23，24，∴k＝5，11，13，…，47，49．检验：p＝＝≤＝100，符合题意，∴共有16个，综上所述：共有99+16＝115个数对（m，p）符合题意．。

北京市2020年4月高考数学模拟试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|30M x x x =-<，{}|17N x x =≤≤，则M N =I （ ）A ．{}|13≤<x xB ．{}3|1x x <<C ．{}|07x x <<D ．{}|07x x <≤【答案】A 【解析】集合{}{}{}2|30|(3)0|03M x x x x x x x x =-<=-<=<<，故{}|13M N x x =≤<I .故选A ． 2．已知复数32(1)iz i =-，则z 在复平面内对应点所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】()322(1)21i i z i i i ==---()()111i i i +=-+-1122i =--，则1122z i =-+， z 在复平面内对应点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第二象限故选B ．3．曲线方程2240x y Ex y ++-+=表示一个圆的充要条件为（ ） A ．15E >B ．15E ≥C ．215E >D ．215E ≥【解析】表示圆的充要条件是()221440E +--⨯>，即215E >.故选C ． 4．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13-B ．13 C ．12-D ．12【答案】B【解析】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f （x ）是定义在[a –1，2a]上的偶函数，得a –1=–2a ，解得a=13，又f （–x ）=f （x ），∴b=0，∴a+b=13．故选B ． 5．不等式（a －2）x 2+2(a －2)x -4＜0,对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．（-∞,2]B ．（-2,2]C ．（-2,2）D ．（-∞,2) 【答案】B【解析】因为不等式（a －2）x 2+2(a －2)x -4＜0,对一切x ∈R 恒成立，则对二次项系数是否为零，分为两种情况来解得，求解得到a 的取值范围是（-2,2] ，故选B ． 6．若二项式22()nx x+的展开式，二项式系数之和为16，则展开式中x 的系数为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】C【解析】由展开式中二项式系数之和为16，即216n =，得4n =.展开式中44314422()2r rr r r r r T C xC x x--+== ， 令431r -=，得1r =，故x 的系数为11428C =，故选C ． 7．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A ．24 B ．48 C ．72 D ．120【答案】C【解析】A 参加时参赛方案有31342348C A A = (种)，A 不参加时参赛方案有4424A = (种)，所以不同的参赛方案共72种，故选C ．8．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–20【解析】根据题意，可知{}n a 为等差数列，公差2d =，由134,,a a a 成等比数列，可得2314a a a =，∴1112()4(6)a a a ++=，解得18a =-.∴22(1)981829()224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--.根据单调性，可知当4n =或5时，n S 取到最小值，最小值为20-.故选D ． 9．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）A ．116B ．316C ．14D ．1316【答案】D【解析】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种请中的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为111111111322222222216111222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯，所以灯泡亮的概率为31311616-=,故本题选D ． 10．箱子里有3双颜色不同的手套（红蓝黄各1双），有放回地拿出2只，记事件A 表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A 的概率为（ ） A ．16B ．13C ．15D ．25【答案】B【解析】分别设3双手套为：121212a a b b c c 、、，111a b c 、、分别代表左手手套，222a b c 、、分别代表右手手套；从箱子里的3双不同的手套中，随机拿出2只，所有的基本事件是：n 6636=⨯=，共有36个基本事件；事件A 包含：()()()()()122112212112a b b a a c c a a b b a ，、，、，、，、，、，、()()()()()()211212212112a c c a b c c b b c c b ，、，、，、，、，、，一共12个基本事件，故事件A 的概率为()121P 363A ==，故选B ． 第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分．11．向量a b r r ，的夹角为120°，且1,2a b ==r r ，则a b -rr 等于______． 【答案】【解析】Q 1||||cos12012()12a b a b ⋅==⨯⨯-=-or r r r∴2222||22(11)27a b ab b a -=-+=-⨯-+=r r r r r r故答案为．12．以下说法正确的是_______．（填写所有正确的序号）①若两非零向量,a b r r ，若0a b ⋅>r r ，则,a b r r 的夹角为锐角；②若a b ⊥r r ，则0a b ⋅=r r ，反之也对；③在ABC ∆中，若a b >，则sin sin A B >，反之也对； ④在锐角ABC ∆中，若2B A =，则,.64A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 【答案】③④【解析】对于①，a r 与 b r 同向时，若0a b ⋅>r r ，夹角为0o ，不是锐角，故①错误；对于②，若0a rr=时，则0a b ⋅=rr ，a r与 b r平行，故②错误；对于③，由正弦定理得，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B >⇔>⇔>,故③正确；对于④，由02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，可得64A ππ<<，即,64A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故④正确，故答案为③④.13．若函数()f x 的图象上存在不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中1122,,,x y x y 使得222212121122x x y y x y x y +++0，则称函数()f x 是“柯西函数”．给出下列函数： ①()ln (03)f x x x =<<； ②1()(0)f x x x x=+>； ③2()28f x x =+ ④2()28f x x =-其中是“柯西函数”的为 ___．（填上所有正确答案的序号） 【答案】① ④设()()1122,,,OA x y OB x y ==u u u v u u u v ，由向量的数量积的可得||||||OA OB OA OB ⋅≤⋅u u u v u u u v u u u v u u u v ，当且仅当向量OA OB u u u v u u u v ，共线（,,O A B 三点共线）时等号成立．故222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0时，当且仅当,,O A B 三点共线时成立．所以函数()f x 是“柯西函数”等价于函数()f x 的图象上存在不同的两点,A B ，使得,,O A B 三点共线． 对于①，函数()ln (03)f x x x =<<图象上不存在满足题意的点； 对于②，函数()1(0)f x x x x=+>图象上存在满足题意的点； 对于③，函数()228f x x =+图象上存在满足题意的点； 对于④，函数()228f x x =-图象不存在满足题意的点．故函数① ④是“柯西函数”．14．已知函数2()x f x e =，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为____________. 【答案】2 -0e x y = 【解析】设切点坐标为()2,tt e，()2xf x e=Q ，()22xf x e '∴=，()22tf t e '=，则曲线()y f x =在点()2,tt e处的切线方程为()222tty e ex t -=-，由于该直线过原点，则222t t e te -=-，得12t =，因此，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为2y ex =，故答案为20ex y -=． 15．函数()142(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是______．【答案】()1,6【解析】令x ﹣1=0，解得：x=1，此时y=4+2=6，故函数恒过定点（1，6），四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）105. 【解析】（1）连接ME ，1B CM Q ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线1//ME B C ∴且112ME B C =,又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且112ND B C =//ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE //MN ∴平面1C DE（2）设AC BD O =I ，11111A C B D O ⋂=由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD Q 四边形ABCD 为菱形 AC BD ∴⊥则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：)A，()0,1,2M，)14A ，D （0，-1,0）1,,222N ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭取AB 中点F ，连接DF ，则1,022F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭Q 四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠=o BAD ∴∆为等边三角形DF AB ∴⊥又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD 1DFAA ∴⊥DF ⊥∴平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMA DF ∴u u u r为平面1AMA 的一个法向量，且3,,022DF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r 设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =r ，又)11,2MA =-u u u u r，3,022MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu ur 120302n MA y z n MN y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩u u u u v ru u u u v r，令x =1y =，1z =-)1n ∴=-rcos ,5DF n DF n DF n ⋅∴<>===⋅u u u r ru u u r r u u u rr sin ,5DF n ∴<>=u u u r r ∴二面角1A MA N --的正弦值为5 17．（本小题14分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（1）（1）212n na -=；（2）2n S n =.【解析】(1)因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，32216a a =+，12a =，所以令数列{}n a 的公比为q ，2231=2a a q q =，212a a q q ==，所以22416q q =+，解得2q =-(舍去)或4，所以数列{}n a 是首项为2、公比为4的等比数列，121242n n n a --=⨯=．(2)因为2log n n b a =，所以21n b n =-，+121n b n =+，12n n b b +-=，所以数列{}n b 是首项为1、公差为2的等差数列，2.2)112(n n n n S n =+-=18．（本小题14分）2019年“非洲猪瘟”过后，全国生猪价格逐步上涨，某大型养猪企业，欲将达到养殖周期的生猪全部出售，根据去年的销售记录，得到销售生猪的重量的频率分布直方图（如图所示）.（1）根据去年生猪重量的频率分布直方图，估计今年生猪出栏（达到养殖周期）时，生猪重量达不到270斤的概率（以频率代替概率）；（2）若假设该企业今年达到养殖周期的生猪出栏量为5000头，生猪市场价格是8元/斤，试估计该企业本养殖周期的销售收入是多少万元；（3）若从本养殖周期的生猪中，任意选两头生猪，其重量达到270斤及以上的生猪数为随机变量Y ，试求随机变量Y 的分布列及方差.【答案】(1)0.25 (2)1222.4万元(3)见解析【解析】（1）估计生猪重量达不到270斤的概率为(0.00050.002)400.005300.25+⨯+⨯=. （2）生猪重量的平均数为1800.022200.082600.23000.323400.24⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3800.1+⨯+4200.04⨯305.6=（斤）.所以估计该企业本养殖周期的销售收入是305.685000⨯⨯1222.4=（万元）. （3）由（1）可得随机选一头生猪，其重量达到270斤及以上的概率为310.254-=， 由题意可得随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2，则3~(2,)4Y B ， ∴022311(0)C ()()4416P Y ==⨯⨯=， 1112313(1)C ()()448P Y ==⨯⨯=， 2202319(2)C ()()4416P Y ==⨯⨯=， ∴随机变量Y 的分布列为 Y 01 2 P11638916∴随机变量Y 的方差313()2448D Y =⨯⨯=． 19．（本小题15分）已知函数()e 1xf x a lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． 【答案】(1) a=212e ；f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析. 【解析】（1）f （x ）的定义域为()0+∞，，f ′（x ）=aex –1x ．由题设知，f ′（2）=0，所以a=212e． 从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-．当0<x<2时，f ′（x ）<0；当x>2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a≥1e 时，f （x ）≥e ln 1e x x --．设g （x ）=e ln 1ex x --，则()e 1'e x g x x =-．当0<x<1时，g′（x ）<0；当x>1时，g′（x ）>0．所以x=1是g （x ）的最小值点．故当x>0时，g （x ）≥g （1）=0．因此，当1a e≥时，()0f x ≥． 20．（本小题14分）在平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,0B ，设直线AC 、BC 的斜率分别为1k 、2k 且1212k k ⋅=- ， （1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）过()F 作直线MN 交轨迹E 于M 、N 两点，若MAB △的面积是NAB △面积的2倍，求直线MN 的方程．【答案】(1) 22142x y +=（0y ≠）(2) 07x y -+=或07x y +=【解析】（1）由题意，设(),C x y ，则12y k x =+，22y k x =-，又由2122142y k k x ==--，整理得22142x y +=，由点,,A B C 不共线，所以0y ≠，所以点C 的轨迹方程为221(0)42x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，易知直线MN 不与x 轴重合，设直线:MN x my =22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得得()22220m y +--=，易知>0∆，且12y y +=，122202y y m -=<+由2MAB NAB S S =V V ，故122y y =，即122y y =-，从而()2212122122141222y y y y m y y m y y +-==++=-+，解得227m =，即7m =±，所以直线MN的方程为07x y -=或07x y ++=． 21．（本小题14分） 对于正整数n ，如果()*k k N∈个整数12ka a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，，为n 的一个“正整数分拆”.记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g . (Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值; (Ⅲ)对所有的正整数n ，证明:n n f g ≤;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ) ()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ) n 为偶数时，2n k =，n 为奇数时，12n k -=；(Ⅲ)证明见解析，2n =，4n =【解析】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2nk =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为12n k -=；综上所述：n 为偶数，k 最大为2n k =，n 为奇数时，k 最大为12n k -=. (Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <；当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是11 每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”，故n n f g ≤.综上所述：n n f g ≤.当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==；当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3故442f g ==； 当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <.综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =.。

2020年北京市东城区高考数学模拟试卷(一)(4月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={x|x2≤2x}，B={x|1<x≤4}，则A∪B=()A. (−∞,4)B. [0,4]C. (1,2]D. (1,+∞)2.已知a∈R，i是虚数单位，复数z=a+2i1+i，若|z|=√2，则a=()A. 0B. 2C. −2D. 13.抛物线y2=4x的准线与x轴的交点的坐标为()A. (−12,0) B. (−1,0) C. (−2,0) D. (−4,0)4.已知函数f(x)是定义在R上的单调递增函数，且满足对任意的实数x都有f[f(x)−3x]=4，则f(x)+f(−x)的最小值等于()A. 2B. 4C. 8D. 125.已知曲线C：x2k−5+y23−k=−1，则“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要6.一排12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为()A. A33(A44)3B. A44(A33)4C. A1212A33D. A1212A447.以点(2,−1)为圆心且与直线3x−4y+5=0相切的圆的方程为()A. (x−2)2+(y+1)2=3B. (x+2)2+(y−1)2=3C. (x−2)2+(y+1)2=9D. (x+2)2+(y−1)2=98.若{a n}是等比数列，其公比是q，且−a5，a4，a6成等差数列，则q等于()A. 1或2B. 1或−2C. −1或2D. −1或−29.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718...为自然对数的底数，k，b为常数)，若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是()A. 16小时B. 20小时C. 24小时D. 21小时10.若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={x|x(4−x)<0}，则图中阴影部分表示()A. {1 ,2 ,3 ,4}B. {1,2,3}C. {4,5}D. {1,4}二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知向量a⃗，b⃗ 不共线，向量m⃗⃗⃗ =2a⃗−λb⃗ ，n⃗=λa⃗−8b⃗ ，若m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为180°，则实数λ的值为．12.角α顶点在原点，起始边与x轴正半轴重合，终边过点(−1,−2)，则sinα为______ ．13.四棱锥S−ABCD的三视图如图所示，它的正视图，侧视图都是等腰直角三角形，俯视图是正方形及其一条对角线，则该四棱锥的体积为_____ ．14.顶点在原点，且过点(−2,4)的抛物线的标准方程是______ ．15.将函数f(x)=2sin(x+π3)图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩为原来的12，然后将所得函数图像向右平移m(m>0)个单位长度，此时函数图像关于y轴对称，则m的最小值为_________．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=9，D，E分别为AC、AB上的点，且DE//BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的正弦值．17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b2=a2+c2+ac．(Ⅰ)求角B；(Ⅱ)若b=√3，S为△ABC的面积，求S+√3cosAcosC的最大值，并求出A角．18.某班数学老师对班上50名同学一次考试的数学成绩进行统计，得到如下统计表：分数段[30,50)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]人数2a121610c频率0.040.160.240.32b d(1)求表中a ，b ，c 的值，并估计该班的平均分x ；(2)若该老师想在低于70分的所有同学中随机挑选3位同学了解学习情况，记X 为所选3人中分数在[30,50)的同学的人数，求X 的概率分布列和均值EX ．19. 已知函数，且曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y =2x 平行．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x 的不等式f(x)⩾2x +mx 恒成立，求实数m 的取值范围．20. 已知椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的右焦点F(1,0)，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60∘． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点T(t,0)，使得QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由．21.已知数列{a n+1+a n}的前n项和S n=2n+1−2，a1=0．(1)求数列{a n+1+a n}的通项公式；(2)求a2n．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵集合A={x|x2≤2x}={x|0≤x≤2}，B={x|1<x≤4}，∴A∪B={x|0≤x<4}=[0,4]．故选：B．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：利用商的模等于模的商列式求解a的值．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．解：∵复数z=a+2i1+i，且|z|=√2，∴|a+2i1+i |=√2，即√a2+4√2=√2，则a=0．故选：A．3.答案：B解析：解：抛物线y2=4x的准线为：x=−1，所以抛物线与x轴的交点的坐标(−1,0)．故选：B．求出抛物线的准线方程，然后求解准线与x轴的交点的坐标．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．4.答案：B解析：先求出f(x)+f(−x)，再利用基本不等式求最值即可．解：由f(x)的单调性知存在唯一实数K使f(K)=4，即f(x)=3x+K，令x=K，得f(K)=3K+K=4．又f(K)单调递增，所以K=1，从而f(x)=3x+1，即f(x)+f(−x)=3x+13x +2≥2√3x⋅13x+2=4，当且仅当x=0时取等号．故选B．5.答案：B解析：本题主要考查椭圆的概念和方程，考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．根据椭圆的概念和方程，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若方程x2k−5+y23−k=−1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，即x25−k +y2k−3=1，则{k−3>05−k>0k−3>5−k，解得4<k<5，所以“4≤k<5”是“方程x2k−5+y23−k=−1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选B．6.答案：B解析：本题考查分步计数原理及其应用，排列数及排列数公式的应用，注意相邻问题用捆绑法分析．根据题意，分2步进行分析：①将每个小组的成员安排在一起，看成一个元素，进行全排列②每个小组的成员之间全排列，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将每个小组的成员安排在一起，看成一个元素，将4个小组进行全排列，有A44种排法，②每个小组的成员之间有A33种排法，有4个小组，故共有(A33)4种排法，则不同的坐法有A44(A33)4种排法；故选：B．7.答案：C解析：本题考查圆的标准方程和直线与圆的位置关系，由直线与圆相切可以求出圆的半径，然后写出圆的方程，属于基础题．解：圆心到直线的距离d=22=3，由直线与圆相切，则r=d=3，所以圆的方程为(x−2)2+(y+1)2=9．故选C．8.答案：C解析：本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的定义和性质．解：∵−a5,a4,a6成等差数列，∴−a5+a6=2a4,∴−a4q+a4q2=2a4,∴q2−q−2=0,∴(q+1)(q−2)=0∴q=−1或q=2．故答案选：C．9.答案：C解析：本题考查指数函数的性质及函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．属于中档题．由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．解：y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．当x=0时，e b=192，当x=22时，e22k+b=48，∴e22k=48192=14，e11k=12，e b=192，当x=33时，e33k+b=(e11k)3⋅(e b)=(12)3×192=24.故选C.10.答案：A解析：本题考查了集合的化简与运算，同时考查了Venn图表示集合的关系及运算的应用，属于基础题．化简B={x|x(4−x)<0}={x|x<0或x>4}，而图中阴影部分表示的集合是C A(A∩B)，从而得出答案．解：图中阴影部分表示的集合是C A(A∩B)，∵B={x|x(4−x)<0}，即B={x|x<0或x>4}，∴A∩B={5}，∵集合A={1,2,3，4，5}，∴C A(A∩B)={1,2,3，4}．故选A．11.答案：−4解析：本题考查了平行向量与共线向量，考查了共线向量基本定理，是基础题．由题意可知m⃗⃗⃗ 与n⃗反向，然后由共线向量基本定理列式求解λ的值．解：若m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为180°，则m⃗⃗⃗ 与n⃗反向，m⃗⃗⃗ //n⃗，∵m⃗⃗⃗ =2a⃗−λb⃗ ，n⃗=λa⃗−8b⃗ ，∴2λ=λ8，解得λ=±4，∵当λ=4时，m⃗⃗⃗ 与n⃗同向，故舍去，∴λ=−4，故答案为−4．12.答案：−2√55解析：解：∵角α顶点在原点，起始边与x轴正半轴重合，终边过点(−1,−2)，∴x=−1，y=−2，r=√5，则sinα=yr =√5=−2√55，故答案为：−25√5．由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．13.答案：2√23解析：本题考查几何体的三视图、棱锥的体积公式，属于基础题．根据题意得出该四棱锥的底面是边长为√2的正方形，其中左正前方侧棱垂直底面的四棱锥，利用棱锥的体积公式，即可求出结果．解：由三视图知，该四棱锥的底面是边长为√2的正方形，高为√2，其中左正前方侧棱垂直底面的四棱锥，所以此四棱锥的体积为：V=13×√2×√2×√2=2√23．故答案为2√23．14.答案：x2=y或y2=−8x解析：解：由题意设抛物线方程为x2=2py或y2=−2p′x(p>0,p′>0)∵抛物线过点(−2,4)∴22=2p×4或42=−2p′×(−2)∴2p=1或2p′=8∴x2=y或y2=−8x故答案为：x2=y或y2=−8x．由题意设抛物线方程，代入点(−2,4)，即可求得抛物线的标准方程．本题考查抛物线的标准方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．15.答案：解析：本题主要考查了函数图象的应用，属于一般题．将图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩为原来的12，得函数的图像，然后向右平移m(m>0)个单位长度，可得函数的图像．根据所得函数的图像关于y轴对称，可得 π 3−2m=k π + π 2(k∈Z)，解得m=−k π 2− π 12(k∈Z).又m>0，所以当k=−1时，m取得最小值将f(x)=2sin(x+π3)图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩为原来的12，得函数g(x)=f(2x)=2sin(2x+π3)的图像，然后向右平移m(m>0)个单位长度，可得函数ℎ(x)的图像．根据所得函数的图像关于y轴对称，可得 π 3−2m=k π + π 2(k∈Z)，解得m=−k π 2− π 12(k∈Z).又m>0，所以当k=−1时，m取得最小值．16.答案：证明：(1)∵AC⊥BC，DE//BC，∴DE⊥AC．∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD=D，A1D，CD⊂平面A1DC，∴DE⊥平面A1DC．∵A1C⊂平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵A 1C ⊥CD ，CD ∩DE =D ，CD ，DE ⊂平面BCDE ． ∴A 1C ⊥平面BCDE ．解：(2)因AD =6，CD =3，A 1C ⊥CD ，则A 1C =3√3，以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，C(0,0，0)，A 1(0,0，3√3)，D(0,3，0)，M(0,32,3√32)，B(6,0，0)，E(4,3，0)，则CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,3√32)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,0，3√3)，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3，0)， 设平面A 1BE 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6x +3√3z =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +3y =0，取x =1，n ⃗ =(1,23,2√33)，设CM 与平面A 1BE 所成角为θ， sinθ=|n ⃗⃗ ⋅CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=43×53=45．∴CM 与平面A 1BE 所成角的正弦值为45．解析：本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，属于中档题．(1)推导出DE ⊥AC ，DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，从而DE ⊥A 1C .再由A 1C ⊥CD ，能证明A 1C ⊥平面BCDE ． (2)以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出CM 与平面A 1BE 所成角的正弦值．17.答案：解：(Ⅰ)由余弦定理，得cosB =a 2+c 2−b 22ac=−ac 2ac=−12．又∵0<B <π，∴B =23π．(Ⅱ)由(Ⅰ)得sinB =√32，又由正弦定理及b =√3，可得S =12acsinB =12⋅bsinA sinB⋅bsinC =√3sinAsinC ，∴S +√3cosAcosC =√3(cosAcosC +sinAsinC)=√3cos(A −C)． 当A =C ，即A =π−B 2=π6时，S +√3cosAcosC 取最大值√3．解析：(I)利用余弦定理即可得出；(II)由(Ⅰ)得sinB =√32，又由正弦定理及b =√3，可得S =12acsinB =12⋅bsinA sinB⋅bsinC =√3sinAsinC ，利用和差公式即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)由统计表，得：20.04=a 0.16=10b ，解得a =8，b =0，2，∴c =50−2−8−12−16−10=2．x =40×0.04+60×0.16+80×0.24+100×0.32+120×0.2+140×0.04=92． (2)由题意知X 可能取值为0，1，2， P(X =0)=C 83C 103=715， P(X =1)=C 21C 82C 103=715，P(X =2)=C 22C 81C 103=115，∴X 的分布列为：EX =0×115+1×715+2×115=35．解析：(1)由统计表，能求出表中a ，b ，c 的值，并能估计出该班的平均分x ．(2)由题意知X 可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的概率分布列和均值EX ． 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．19.答案：解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x >0}，f′(x)=a x −1x 2+2，又曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y =2x 平行所以f′(1)=a −1+2=2，即a =1∴f(x)=lnx +1x +2x ，f′(x)=(x+1)(2x−1)x 2(x >0)由f′(x)<0且x >0，得0<x <12，即f(x)的单调递减区间是(0,12)由f′(x)>0得x >12，即f(x)的单调递增区间是(12,+∞)．(2)由(1)知不等式f(x)≥2x +mx 恒成立可化为lnx +1x +2x ≥2x +mx 恒成立， 即m ≤x ·lnx +1恒成立令g(x)=x ·lnx +1，g′(x)=lnx +1当x ∈(0,1e )时，g′(x)<0，g(x)在(0,1e )上单调递减． 当x ∈(1e ,+∞)时，g′(x)>0，g(x)在(1e ,+∞)上单调递增． 所以x =1e 时，函数g(x)有最小值 由m ≤x ·lnx +1恒成立得m ≤1−1e ，即实数m 的取值范围是(−∞,1−1e ]．解析：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，结合切线方程求出a 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)问题转化为m ≤x ·lnx +1恒成立，令g(x)=x ·lnx +1，根据函数的单调性求出m 的范围即可．20.答案：解：(Ⅰ)根据题意，得c =1；又bc =tan60°=√3，所以b 2=3， 且a 2=b 2+c 2=4， 所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；(Ⅱ)设直线PQ 的方程为：y =k(x −1)，(k ≠0)， 代入x 24+y 23=1，得：(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0；设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，线段PQ 的中点为R(x 0,y 0)， 则x 0=x 1+x 22=4k 23+4k 2,y 0=k(x 0−1)=−3k 3+4k 2，由QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 得：PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(2TR ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 所以直线TR 为线段PQ 的垂直平分线； 直线TR 的方程为：y +3k 3+4k 2=−1k (x −4k 23+4k 2)，令y =0得：T 点的横坐标t =k 23+4k 2=13k 2+4，因为k 2∈(0,+∞)，所以3k 2+4∈(4,+∞)， 所以t ∈(0,14)；所以线段OF 上存在点T(t,0)，使得QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中t ∈(0,14)．解析：本题考查了椭圆的性质与应用的问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，直线垂直关系的应用问题以及根与系数的关系应用问题，是综合性题目． (Ⅰ)根据题意，知c =1，再求出b 2与a 2即可；(Ⅱ)设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立，得出关于x 的一元二次方程；再设出P 、Q 的坐标，表示出线段PQ 的中点R ，根据QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 得出TR 是线段PQ 的垂直平分线；利用直线TR 的方程，求出T 点的横坐标t 的取值范围，即可得出结论．21.答案：解：(1)设a n+1+a n =b n ，则n ≥2时，b n =S n −S n−1=(2n+1−2)−(2n −2)=2n ， 当n =1时，b 1=S 1=2，满足n ≥2时b n 的形式， ∴a n+1+a n =b n =2n ；(2)由(1)可知a n+1+a n =b n =2n ，a n+2+a n+1=2n+1， 两式相减，得a n+2−a n =2n ， 又∵a 1=0，a 1+a 2=2， ∴a 2=2，∴a 2n =a 2+(a 4−a 2)+(a 6−a 4)+⋯+(a 2n−2−a 2n−4)+(a 2n −a 2n−2) =2+22+24+⋯+22n−4+22n−2 =2+22−22n−2⋅221−22=22n 3+23．解析：本题考查求数列的通项、前n 项和，利用拆项法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．(1)当n ≥2时b n =S n −S n−1=2n ，当n =1时b 1=2满足n ≥2时b n 的形式，即得结论；(2)由a n+1+a n =b n =2n 可得a n+2+a n+1=2n+1，两式相减得a n+2−a n =2n ，利用拆项法将a 2n 写成a2+(a4−a2)+(a6−a4)+⋯+(a2n−2−a2n−4)+(a2n−a2n−2)，计算即可．。

2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1．（4分）集合A＝{x|x＞2，x∈R}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（2，+∞）D．（2，3）2．（4分）已知复数z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，则实数a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．±13．（4分）下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y＝x+2B．y＝sin x C．y＝x﹣x3D．y＝2x4．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，a1+a4＝5，则S6＝（）A．10B．9C．8D．75．（4分）在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于（）A．﹣B．﹣C．D．﹣6．（4分）设a，b，c为非零实数，且a＞c，b＞c，则（）A．a+b＞c B．ab＞c2C．D．7．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A．2，且∉S B．2，且∈SC．，且D．，且8．（4分）已知点M（2，0），点P在曲线y2＝4x上运动，点F为抛物线的焦点，则的最小值为（）A．B．2（﹣1）C．4D．49．（4分）已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（）①绕着x轴上一点旋转180°；②沿x轴正方向平移；③以x轴为轴作轴对称；④以x轴的某一条垂线为轴作轴对称．A．①③B．③④C．②③D．②④10．（4分）设函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝a（a∈R）有四个实数解x i（i＝1，2，3，4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则（x1+x2）（x3﹣x4）的取值范围是（）A．（0，101]B．（0，99]C．（0，100]D．（0，+∞）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11．（5分）在二项式（x2+2）6的展开式中，x8的系数为．12．（5分）若向量满足，则实数x的取值范围是．13．（5分）在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处．①．②．14．（5分）函数的最小正周期为；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，则a的最大值为．15．（5分）集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，B＝{（x，y）||xy|+1＝|x|+|y|}，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为．①a的值可以为2；②a的值可以为；③a的值可以为2+；三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）16．（13分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）满足下列3个条件中的2个条件：①函数f（x）的周期为π；②x＝是函数f（x）的对称轴；③f（）＝0且在区间（，）上单调．（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，PO⊥平面ABCD，O是AD的中点，且PO＝AD＝2BC＝2CD＝2．（Ⅰ）求证：AB∥平面POC；（Ⅱ）求二面角O﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）线段PC上是否存在点E，使得AB⊥DE，若存在指出点E的位置，若不存在，请说明理由．18．（14分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%．根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值．（结论不要求证明）19．（14分）设函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处切线的倾斜角为，求a的值；（Ⅱ）已知导函数f'（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．20．（15分）设椭圆，直线l1经过点M（m，0），直线l2经过点N（n，0），直线l1∥直线l2，且直线l1、l2分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点．（Ⅰ）若M，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线l1⊥x轴，求四边形ABCD的面积；（Ⅱ）若直线l1的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证：m+n＝0；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由．21．（14分）对于正整数n，如果k（k∈N*）个整数a1，a2，…，a k满足1≤a1≤a2≤…≤a k ≤n，且a1+a2+…+a k＝n，则称数组（a1，a2，…，a k）为n的一个“正整数分拆”．记a1，a2，…，a k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n；a1，a2，…，a k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n．（Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；（Ⅱ）对于给定的整数n（n≥4），设（a1，a2，…，a k）是n的一个“正整数分拆”，且a1＝2，求k的最大值；（Ⅲ）对所有的正整数n，证明：f n≤g n；并求出使得等号成立的n的值．（注：对于n的两个“正整数分拆”（a1，a2，…，a k）与（b1，b2，…，b n），当且仅当k ＝m且a1＝b1，a2＝b2，…，a k＝b m时，称这两个“正整数分拆”是相同的．）2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1．【分析】求出集合B，再求出交集【解答】解：A＝{x|x＞2，x∈R}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＞3或者x＜﹣1}，则A∩B＝（3，+∞），故选：A．2．【分析】结合已知及复数的概念进行求解即可．【解答】解：因为z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，所以，解可得a＝﹣1．故选：C．3．【分析】分别结合奇偶性及函数的值域判断各选项即可求解．【解答】解：A：y＝x+2为非奇非偶函数，不符合题意；B：y＝sin x的值域[﹣1，1]，不符合题意；C：y＝x﹣x3为奇函数且值域为R，符合题意；D：y＝2x为非奇非偶函数，不符合题意．故选：C．4．【分析】先求出公差，再根据求和公式即可求出．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，a1+a4＝5，∴a3﹣2d+a3+d＝5，∴4﹣d＝5，解得d＝﹣1，∴a1＝2+2＝4，a6＝a1+5d＝4﹣5＝﹣1，∴S6＝＝＝9，故选：B．5．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，复数乘法的几何意义，诱导公式，求出cosα的值．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设点B（x，y），则x+yi＝（1+2i）•（cos90°+i sin90°），即x+yi＝﹣2+i，∴x＝﹣2，y＝1，即B（﹣2，1）．由题意，sin（α﹣90°）＝＝﹣cosα，∴cosα＝﹣＝﹣，故选：A．6．【分析】利用不等式的可加性得a+b＞2c，由此可判断选项C正确．【解答】解：∵a＞c，b＞c，∴a+b＞2c，∴．故选：C．7．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出个各棱长．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以：AB＝BC＝CD＝AD＝DE＝2，AE＝CE＝2，BE＝．故选：D．8．【分析】设出P的坐标，利用已知条件化简表达式，通过基本不等式求解最小值即可．【解答】解：设P（x，y），可得＝＝＝x≥2＝4．当且仅当x＝2时取得最小值4．故选：D．9．【分析】结合图象直接观察得解．【解答】解：由图象可知，函数f（x）具有周期性，且有对称轴，故②④正确．故选：D．10．【分析】由函数的图象及性质判断出x1，x2，x3，x4之间的关系，进而把所求式子转化为函数y＝x﹣在[，1）上取值范围，即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）＝的图象如右：关于x的方程f（x）＝a（a∈R）有四个实数解，可得y＝f（x）的图象与直线y＝a有四个交点，可以判断0＜a≤1，x1+x2＝2×（﹣5）＝﹣10，|lgx3|＝|lgx4|≤1，且≤x3＜1，1＜x4≤10，可得﹣lgx3＝lgx4，即lgx3+lgx4＝0，即有x3x4＝1，x4＝，故（x1+x2）（x3﹣x4）＝﹣10（x3﹣），又由函数y＝x﹣在[，1）上递增，可得函数y＝x﹣在[，1）上的值域为[﹣9.9，0），可知﹣10（x3﹣）的取值范围为（0，99]．故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式的x8项的系数．【解答】解：二项式（x2+2）6展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣2r•2r＝2r•x12﹣2r，令12﹣2r＝8，解得r＝2，故二项式（x2+2）6展开式中的x8项的系数为：22＝60，故答案为：60．12．【分析】先利用向量数量积的坐标运算得出，再解关于x的不等式即可．【解答】解：因为：向量；∴＝x2+2x；∴⇒x2+2x＜3⇒﹣3＜x＜1；故实数x的取值范围是：（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．13．【分析】直接由频率折线图得结论．【解答】解：由频率折线图可知，甲省控制较好，确诊人数趋于减少；乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展．故答案为：①甲省控制较好，确诊人数趋于减少；②乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展．14．【分析】由题意利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，当x＝0时，2x+＝；当x＝a时，2x+＝2a+，∴2a+≤，∴0＜a≤，故答案为：π；．15．【分析】根据曲线性质求出集合A，B对应的图象，结合两角和差的正切公式进行求解即可．【解答】解：A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，x≥0，y≥0时，即x+y＝a表示在第一象限内的线段将x，y分别换成﹣x，﹣y方程不变，因此|x|+|y|＝a关于x轴对称，也关于y轴对称那么，集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}表示点集为正方形，∵|xy|+1＝|x|+|y|∴|xy|﹣|x|﹣|y|+1＝0即（|x|﹣1）（|y|﹣1）＝0∴|x|＝1或|y|＝1即x＝±1，y＝±1B＝{（x，y）|x＝±1，或x＝±1}，表示2组平行线，A∩B为8个点，构成正八边形①如图1，∠AOB＝45°又A（1，a﹣1），∴tan∠xOA＝a﹣1，tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝1，即2a﹣2＝2a﹣a2，∴a2＝2∵a＞0，∴a＝②如图2，∠AOB＝45°又A（a﹣1，1）∴tan∠xOA＝，tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝＝1，即2a﹣2＝﹣2a+a2，∴a2﹣4a+2＝0，解得a＝2+或a＝2﹣（舍），综上a＝或a＝2+．故答案为：②③．三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）16．【分析】（Ⅰ）由题意知应选择①②，由①求出ω的值，由②结合题意求出φ的值，写出函数的解析式；（Ⅱ）根据x的取值范围，利用三角函数的图象与性质求出函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）由题意知选择①②；由函数f（x）的周期为π，得ω＝＝2；又x＝是函数f（x）的对称轴，所以2×+φ＝+kπ，k∈Z；解得φ＝+kπ，k∈Z；又|φ|＜，所以φ＝；所以f（x）＝sin（2x+）．（Ⅱ）x∈[0，]时，2x+∈[，]，所以sin（2x+）∈[，1]，所以函数f（x）在x∈[0，]内的值域是[，1]．17．【分析】（Ⅰ）易证四边形AOBC是平行四边形，进而得到AB∥OC，由此得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面OPC及平面PCD的法向量，利用向量公式得解；（Ⅲ）假设存在，设出点E的坐标，通过AB⊥DE时，它们的数量积为0，建立方程即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，∵O是AD的中点，AD＝2BC＝2，BC∥AD，∴OA∥BC，且OA＝BC＝1，∴四边形AOBC是平行四边形，∴AB∥OC，∵AB不在平面POC内，OC在平面POC内，∴AB∥平面POC；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，四边形OBCD也为平行四边形，又OD＝CD＝1，CD⊥AD，∴四边形OBCD是正方形，则OB⊥OD，又PO⊥平面ABCD，故以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），P（0，0，2），C（1，1，0），D（0，1，0），，设平面OPC的一个法向量为，则，可取，设平面PCD的一个法向量为，则，可取，设二面角O﹣PC﹣D的平面角为θ，则；（Ⅲ）假设线段PC上存在点E，且满足，使得AB⊥DE，设E（r，t，s），则（r，t，s﹣2）＝λ（1，1，﹣2）＝（λ，λ，﹣2λ），故，即E （λ，λ，2﹣2λ），∴，又，∴，解得，故线段PC上存在点E，且满足，使得AB⊥DE．18．【分析】（I ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，再求出结论即可；（II ）根据题意，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，X ＝0，1，2，求出分布列和数学期望； （III ）根据题意，求出即可．【解答】解：（I ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为， 在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数约为50×0.1＝5万人； （II ）由图表得，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人， 记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，选出的8名男生中随机抽取2人，则X ＝0，1，2， 则P （X ＝0）＝，P （X ＝1）＝，P （X ＝2）＝，X 的分布列如下：x 0 1 2 p故E （X ）＝0，（III ）m 的最小值为4．19．【分析】（Ⅰ）求出函数在x＝2处的导数f′（2）＝﹣+2＝tan＝1，解得a＝2；（Ⅱ）根据导函数在（1，e）上存在零点，则f′（x）＝0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，得到函数f（x）的最小值，构造函数g（x）＝xlnx﹣﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证．【解答】（Ⅰ）解：根据条件f′（x）＝+2x﹣（a+2），则当x＝2时，f′（2）＝+4﹣（a+2）＝﹣+2＝tan＝1，解得a＝2；（Ⅱ）证明：因为f′（x）＝+2x﹣（a+2）＝，又因为导函数f′（x）在（1，e）上存在零点，所以f′（x）＝0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，且当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）≥f（）＝aln+﹣（a+2）＝alna﹣﹣（1+ln2）a，设g（x）＝xlnx﹣﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，则g′（x）＝lnx+1﹣﹣（1+ln2）＝lnx﹣﹣ln2，则g′′（x）＝﹣＜0，所以g′（x）在（2，2e）上单调递减，所以g（x）在（2，2e）上单调递减，则g（2e）＝2eln2e﹣e2﹣2e（1+ln2）＝﹣e2＜g（2），所以g（x）＞﹣e2，则根据不等式的传递性可得，当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．20．【分析】（Ⅰ）易知，此时四边形ABCD为矩形，且，由此求得面积；（Ⅱ）设直线l1的方程，并与椭圆方程联立，可得到|AB|的长度，同理可得|CD|的长度，由|AB|＝|CD|，可得m2＝n2，进而得证；（Ⅲ）运用反证法，假设平行四边形ABCD为矩形，但此时推出直线l1⊥x轴，与题设矛盾，进而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，，且四边形ABCD 为矩形，∴；（Ⅱ）证明：由题可设，l1：x＝ty+m（t∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（t2+2）y2+2mty+m2﹣2＝0，∴，且△＝4m2t2﹣4（t2+2）（m2﹣2）＞0，即t2﹣m2+2＞0，∴＝＝，同理可得，∵四边形ABCD为平行四边形，∴|AB|＝|CD|，即m2＝n2，由m≠n，故m＝﹣n，即m+n＝0，即得证；（Ⅲ）不能为矩形，理由如下：点O到直线l1，直线l2的距离分别为，由（Ⅱ）可知，m＝﹣n，∴点O到直线l1，直线l2的距离相等，根据椭圆的对称性，原点O应为平行四边形ABCD的对称中心，假设平行四边形ABCD为矩形，则|OA|＝|OB|，那么，则，∴x1＝x2，这是直线l1⊥x轴，这与直线l1的斜率存在矛盾，故假设不成立，即平行四边形ABCD不为矩形．21．【分析】（Ⅰ）由“正整数分拆”的定义能求出整数4的所有“正整数分拆”．（Ⅱ）欲使k最大，只须a i最小，由此根据n为偶数和n为奇数，能求出k的最大值．（Ⅲ）当n为奇数时，f n＝0，满足f n≤g n；当n为偶数时，设（a1，a2，…，a k）为满足a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，则他对应了各数均为奇数的分拆，从而f n≤g n；当n＝2时，f2＝g2；当n＝4时，f4＝g4；当n≥6时，f n≤g n．由此能证明f n≤g n，并能求出等号成立的n的值为2，4．【解答】解：（Ⅰ）解：整数4的所有“正整数分拆”有：（4），（1，3），（2，2），（1，1，2），（1，1，1，1，）．（Ⅱ）解：欲使k最大，只须a i最小，当n为偶数时，a1＝a2＝…＝a k＝2，k＝，当n为奇数时，a1＝a2＝…＝a k﹣1＝2，a k＝3，k＝．（Ⅲ）证明：①当n为奇数时，不存在a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，即f n＝0，满足f n≤g n；②当n为偶数时，设（a1，a2，…，a k）为满足a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，则他至少对应了（1，1，…，1）和（1，1，…，1，a1﹣1，a2﹣1，…，a k﹣1）这两种各数均为奇数的分拆，∴f n≤g n；③当n＝2时，a i均为偶数的“正整数分拆“只有：（2），a i均为奇数的”正整数分拆“只有：（1，1），f2＝g2；当n＝4时，a i均为偶数的”正整数分拆“只有：（4），（2，2），a i均为奇数的”正整数分拆“只有：（1，1，1），（1，3），f4＝g4；当n≥6时，对于每一种a i均为偶数的”正整数分拆“，除了各项不全为1的奇数分拆之外至少多出一个各为1的”正整数分拆“（1，1，…，1），∴f n≤g n．综上，使得f n≤g n中等号成立的n的值为2，4。

2020年北京高考数学模拟试卷4一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）命题：“∀x ≥1，x 2+x ﹣2＞0”的否定是（ ） A ．∃x ＜1，x 2+x ﹣2＞0 B ．∀x ≥1，x 2+x ﹣2≤0 C ．∃x ＜1，x 2+x ﹣2≤0D ．∃x ≥1，x 2+x ﹣2≤02．（4分）已知A ＝{x |x 2﹣1≥0}，B ＝{y |y ＝e x }，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，+∞） B ．（﹣∞，1]C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）3．（4分）已知偶函数f （x ）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增，若a ＝ln 3，b ＝log 213，c =log 1215，则f （a ），f （b ），f （c ）的大小关系为（ ） A ．f （a ）＞f （b ）＞f （c ） B ．f （b ）＞f （c ）＞f （a ） C ．f （c ）＞f （b ）＞f （a ）D ．f （a ）＞f （c ）＞f （b ）4．（4分）已知a =21.2，b =30.6，c =ln 83，则（ ） A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b5．（4分）为了宣传今年9月即将举办的“第十八届中国西部博览会”（简称“西博会”），组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动．在活动中，组委会对会议举办地参与活动的15～65岁市民进行随机抽样，各年龄段人数情况如表： 组号 分组 各组人数 各组人数频率分布直方图第1组 [15，25） 10第2组 [25，35） a 第3组 [35，45） b 第4组 [45，55） c 第5组[55，65]d根据以上图表中的数据可知图表中a 和x 的值分别为（ ） A ．20，0.15B ．15，0.015C ．20，0.015D ．15，0.156．（4分）若a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=2|c →|=2，则(a →−b →)⋅(c →−b →)的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．5√3D ．6√27．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．48．（4分）已知a ，b ∈R ，则“|a |≤1”是“|a ﹣b |+|b |≤1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（4分）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n 项和N 满足：①N ＞80②N 是2的整数次幂，则满足条件的最小的n 为（ ） A ．21B ．91C ．95D ．10110．（4分）关于函数f （x ）＝（x 2+ax ﹣1）e x ，有以下三个结论： ①函数恒有两个零点，且两个零点之积为﹣1； ②函数的极值点不可能是﹣1； ③函数必有最小值．其中正确结论的个数有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）11．（5分）二项式（3x ﹣1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为 ．12．（5分）已知复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且满足|z |＝5，z +z =6，则z 的实部为 ，虚部为 ．13．（5分）已知数列{a n +n}(n ∈N ∗)为等比数列，a 1＝1，a 2＝2，则a 3＝ ． 14．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A （0，1），B （1，1），P 为直线AB 上的动点，A 关于直线OP 的对称点记为Q ，则线段BQ 的长度的最大值是 ．15．（5分）给出下列4个命题，其中正确命题的序号 ．．①log 0.53＜213＜（13）0.2；②函数f （x ）＝log 4x ﹣2sin x 有5个零点； ③函数f(x)=lgx4−x的图象关于点（2，0）对称． ④已知a ＞0，b ＞0，函数y ＝2ae x +b 的图象过点（0，1），则1a+1b的最小值是4√2． 三．解答题（共6小题，满分85分）16．（13分）已知向量a →=(sinx ，cosx)，b →=(√3，−1)，f(x)=a →⋅b →． （1）若x ∈[5π，6π]，求函数f （x ）的对称中心； （2）若f(α+π6)=√3，α∈（0，π），求α．17．（14分）2019年6月，国内的5G 运营牌照开始发放．从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平．为了解高校学生对5G 的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：用户分类 预计升级到5G 的时段 人数 早期体验用户 2019年8月至2019年12月 270人 中期跟随用户 2020年1月至2021年12月530人 后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出如图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）．（Ⅰ）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；（Ⅱ）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由．18．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD．底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝1，P A＝AD＝DC＝2，PD=2√2．（Ⅰ）求证：AB⊥PD；（Ⅱ）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值；（Ⅲ）若M是棱P A的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行．19．（14分）已知椭圆G：x2a+y2b=1（a＞b＞0），上顶点为B（0，1），离心率为√22，直线l：y＝kx﹣2交y轴于C点，交椭圆于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求证：S△BOM•S△BCN为定值．20．（15分）已知函数f（x）＝a（x﹣1）lnx+ex（a∈R），其中e是自然对数的底数．（1）求函数f（x）在点x＝1处的切线方程；（2）若不等式f（x）﹣e x≤0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．21．（14分）已知集合S n＝{x|x＝（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2），对于A＝（a1，a2，…，a n）∈S n，B＝（b1，b2，…，b n）∈S n，定义A与B的差为A﹣B ＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…，|a n﹣b n|）；A与B之间的距离为d（A，B）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a n﹣b n|．（Ⅰ）若A﹣B＝（0，1），试写出所有可能的A，B；（Ⅱ）∀A，B，C∈S n，证明：d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B）；（Ⅲ）∀A，B，C∈S n，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中是否一定有偶数？证明你的结论．2020年北京高考数学模拟试卷4参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）命题：“∀x ≥1，x 2+x ﹣2＞0”的否定是（ ） A ．∃x ＜1，x 2+x ﹣2＞0 B ．∀x ≥1，x 2+x ﹣2≤0 C ．∃x ＜1，x 2+x ﹣2≤0D ．∃x ≥1，x 2+x ﹣2≤0【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即￢P ：∃x ≥1，x 2+x ﹣2≤0”， 故选：D ．2．（4分）已知A ＝{x |x 2﹣1≥0}，B ＝{y |y ＝e x }，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，+∞） B ．（﹣∞，1]C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【解答】解：A ＝{x |x ≤﹣1或x ≥1}，B ＝{y |y ＞0}， ∴A ∩B ＝[1，+∞）． 故选：C ．3．（4分）已知偶函数f （x ）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增，若a ＝ln 3，b ＝log 213，c =log 1215，则f （a ），f （b ），f （c ）的大小关系为（ ） A ．f （a ）＞f （b ）＞f （c ） B ．f （b ）＞f （c ）＞f （a ） C ．f （c ）＞f （b ）＞f （a ）D ．f （a ）＞f （c ）＞f （b ）【解答】解：偶函数f （x ）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增，且函数的图象关于y 轴对称，∴f （x ）在区间（1，+∞）上单调递减，∵a ＝ln 3∈（1，2），b ＝log 213=−log 23，c =log 1215=log 25＞2，且ln 3＜log 23，则f （a ）＝f （ln 3），f （b ）＝f （log 23），f （c ）＝f （log 25）， ∴f （c ）＜f （b ）＜f （a ）， 故选：A ．4．（4分）已知a =21.2，b =30.6，c =ln 83，则（ ） A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b【解答】解：由题意得：a ＝21.2∈（2，4），b ＝30.6∈(√3，3)，c =ln 83＜lne ＝1． ∵30.6=√31.2＜21，2，∴a ＞b ＞c ， 故选：B ．5．（4分）为了宣传今年9月即将举办的“第十八届中国西部博览会”（简称“西博会”），组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动．在活动中，组委会对会议举办地参与活动的15～65岁市民进行随机抽样，各年龄段人数情况如表： 组号 分组 各组人数 各组人数频率分布直方图第1组 [15，25） 10第2组 [25，35） a 第3组 [35，45） b 第4组 [45，55） c 第5组[55，65]d根据以上图表中的数据可知图表中a 和x 的值分别为（ ） A ．20，0.15B ．15，0.015C ．20，0.015D ．15，0.15【解答】解：由频率分布直方图可知，第一组的频率为：0.010×10＝0.1， 又∵第一组的人数为10， ∴总人数为：100，1=100，∵第二组的频率为：0.020×10＝0.2， ∴第二组的人数a ＝0.2×100＝20，由频率分布直方图可知，x =110×[1﹣（0.01+0.02+0.03+0.025）×10]＝0.015， 故选：C ．6．（4分）若a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=2|c →|=2，则(a →−b →)⋅(c →−b →)的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．5√3D ．6√2【解答】解：a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=2|c →|=2，则(a →−b →)⋅(c →−b →)=a →⋅c →−a →⋅b →−b →⋅c →+b →2=2cos ＜a →，c →＞−4cos ＜a →，b →＞−2cos＜b →，c →＞+4≤12，当且仅当a →，c →同向，a →，b →，反向，b →，c →反向时，取得最大值． 故选：B ．7．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．4【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：所以V =13×12×2×2×1=23． 故选：A ．8．（4分）已知a ，b ∈R ，则“|a |≤1”是“|a ﹣b |+|b |≤1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：|a ﹣b |+|b ≥|a ﹣b +b |＝|a |， 因为|a ﹣b |+|b |≤1，所以|a||≤1，故后者能推出前者，反之，比如a＝1，b＝3，推不出后者，故为必要不充分条件，故选：B．9．（4分）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n 项和N满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101【解答】解：依题意，因为N满足条件①N＞80②N是2的整数次幂，所以S n＝N＝2k，（k∈N*，且k≥7）如图：第m行各项的和为2m﹣1，前m行之和S m(m+1)2=（21﹣1）+（22﹣1）+……+（2m﹣1）＝（2+22+23+……+2m）﹣m＝2m+1﹣m﹣2，设满足条件的n在第m+1行，则前m行之和为2m+1﹣m﹣2≤2m+1，故N＝2m+1，则m+2＝1+2+4+……+2s，则满足条件的m的最小值为13，且N为第14行的第4项．所以n=(1+13)132+4＝95．故选：C．10．（4分）关于函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x，有以下三个结论：①函数恒有两个零点，且两个零点之积为﹣1；②函数的极值点不可能是﹣1；③函数必有最小值．其中正确结论的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x的零点，即为函数y＝x2+ax﹣1的零点，令x2+ax﹣1＝0，则△＝a2+4＞0，∴方程必有两个不等实根x1，x2，设x1＜x2，由韦达定理可得x1x2＝﹣1，故①正确；f'（x）＝（2x+a）e x+（x2+ax﹣1）e x＝[x2+（a+2）x+a﹣1]e x，当x＝﹣1时，f'（x）＝（1﹣a﹣2+a﹣1）e﹣1＝﹣2e﹣1≠0，故﹣1不可能是函数f（x）的极值点，故②正确；令f'（x）＝0即x2+（a+2）x+a﹣1＝0，△＝（a+2）2﹣4（a﹣1）＝a2+8＞0，设x2+（a+2）x+a﹣1＝0的两个实数根为x3，x4且x3＜x4，则当x∈（﹣∞，x3），x∈（x4，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（x3，x4）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x4）为函数极小值；由①知，当x∈（﹣∞，x1）时，函数f（x）＞0，∴当x∈（﹣∞，x3）时，f（x）＞0，又f（0）＝﹣e x＜0，∴0∈（x3，+∞），∴f（x4）≤f（0）＜0，∴f（x4）为函数的最小值，故③正确．故选：D．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）11．（5分）二项式（3x﹣1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为55．【解答】解：二项式（3x﹣1）11的二项展开式的通项公式T r+1=C11r•（3x）11﹣r•（﹣1）r，令r＝2，可得中第3项的二项式系数为C11r=C112=55，故答案为：55．12．（5分）已知复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且满足|z|＝5，z+z=6，则z的实部为3，虚部为4．【解答】解：设复数z＝a+bi（a∈R，b∈R），且a＞0，b＞0，∵|z|＝5，z+z=6，∴√a2+b2=5，a+bi+a﹣bi＝6，∴a＝3，b＝4，∴z的实部为3，虚部为4，故答案为：3，4．13．（5分）已知数列{a n+n}(n∈N∗)为等比数列，a1＝1，a2＝2，则a3＝5．【解答】解：根据题意，数列{a n+n}(n∈N∗)为等比数列，设b n＝a n+n，其首项b1＝a1+1＝2，b2＝a2+2＝4，则其公比q =b 2b 1=42=2， 则有b 3＝a 3+3＝8，解可得a 3＝5， 故答案为：5．14．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A （0，1），B （1，1），P 为直线AB 上的动点，A 关于直线OP 的对称点记为Q ，则线段BQ 的长度的最大值是 √2+1 ． 【解答】解：根据题意，点A （0，1），B （1，1）， 如图，A 、Q 关于直线OP 对称，则|OA |＝|OQ |＝1， 则Q 的轨迹为以（0，0）为圆心，半径r ＝|OA |＝1的圆， 连接OQ 、QB ，分析可得：当O 、Q 、B 三点共线时，|BQ |最大，此时|BQ |＝1+√2， 故答案为：√2+1．15．（5分）给出下列4个命题，其中正确命题的序号 ②③ ．． ①log 0.53＜213＜（13）0.2；②函数f （x ）＝log 4x ﹣2sin x 有5个零点； ③函数f(x)=lgx4−x的图象关于点（2，0）对称． ④已知a ＞0，b ＞0，函数y ＝2ae x +b 的图象过点（0，1），则1a+1b的最小值是4√2． 【解答】解：①log 0.53＜0，213＞1，0＜（13）0.2＜1，∴log 0.53＜（13）0.2＜213，故①错误，②函数f （x ）＝log 4x ﹣2sin x 有5个零点；由f （x ）＝log 4x ﹣2sin x ＝0得log 4x ＝2sin x ， 作出函数y ＝log 4x 和y ＝2sin x 的图象如图：由图象两个函数有5个交点，即函数f （x ）有5个零点，故②正确， ③由x 4−x＞0得x （x ﹣4）＜0，得0＜x ＜4，则f(x)=lg x4−x =lgx ﹣lg （4﹣x ），则f （x +2）＝lg （x +2）﹣lg （4﹣x ﹣2）＝lg （x +2）﹣lg （2﹣x ）， 设g （x ）＝lg （x +2）﹣lg （2﹣x ），则g （﹣x ）＝lg （2﹣x ）﹣lg （2+x ）＝﹣（lg （x +2）﹣lg （2﹣x ））＝﹣g （x ）， 即g （x ）是奇函数，关于原点对称，则函数f(x)=lg x4−x的图象关于点（2，0）对称．故③正确，④已知a ＞0，b ＞0，函数y ＝2ae x +b 的图象过点（0，1）， 则2a +b ＝1， 则1a +1b =（1a +1b ）（2a +b ）＝2+1+b a +2a b ≥3+2√b a ⋅2ab =3+2√2， 当且仅当ba =2ab ，即b =√2a 时取等号，即1a+1b的最小值是3+2√2，故④错误，故正确是②③， 故答案为：②③三．解答题（共6小题，满分85分）16．（13分）已知向量a →=(sinx ，cosx)，b →=(√3，−1)，f(x)=a →⋅b →． （1）若x ∈[5π，6π]，求函数f （x ）的对称中心；（2）若f(α+π6)=√3，α∈（0，π），求α．【解答】解：由题意得f(x)=a⋅b=√3sinx−cosx=2sin(x−π6 )（1）由x−π6=kπ，k∈Z，得x=π6+kπ，k∈Z．又x∈[5π，6π]，∴x=31π6．即当x∈[5π，6π]时，函数f（x）图象的对称中心为(31π6，0)．（2）∵f(α+π6)=√3，∴2sinα=√3，∴sinα=√32．又α∈（0，π），∴α=π3或α=2π3．17．（14分）2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放．从2G到5G，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平．为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：用户分类预计升级到5G的时段人数早期体验用户2019年8月至2019年12月270人中期跟随用户2020年1月至2021年12月530人后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出如图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）．（Ⅰ）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；（Ⅱ）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意知从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，∴估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率为：P=2701000+5301000=0.8．（Ⅱ）由题间意X的所有可能取值为0，1，2，记事件A为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”，事件B为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”，由题意可知，事件A，B相互独立，P（A）＝1﹣40%＝0.6，P（B）＝1﹣45%＝0.55，∴P（X＝0）＝P（AB）＝（1﹣0.6）（1﹣0.55）＝0.18，P（X＝1）＝P（A B+AB）＝0.6×（1﹣0.55）+（1﹣0.6）×0.55＝0.49，P（X＝2）＝P（AB）＝0.6×0.55＝0.33，∴X 的分布列为：X 0 1 2 P0.180.490.33E （X ）＝0×0.18+1×0.49+2×0.33＝1.15．（Ⅲ）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”， 则P （D ）=C 2703C 10003≈0.02．∴样本中早期体验用户的人数有所增加．18．（15分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，且AB ＝1，P A ＝AD ＝DC ＝2，PD =2√2． （Ⅰ）求证：AB ⊥PD ；（Ⅱ）求二面角P ﹣BC ﹣D 的余弦值；（Ⅲ）若M 是棱P A 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为平面ABCD ⊥平面P AD ， 平面ABCD ∩平面P AD ＝AD ， AB ⊂平面ABCD ，AB ⊥AD ， 所以AB ⊥平面P AD ，又因为PD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥PD ．（Ⅱ）解：因为P A ＝AD ＝2，PD =2√2，所以P A ⊥AD ． 由（Ⅰ）得AB ⊥平面P AD ，所以AB ⊥P A ， 故AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，则P （0，0，2），B （1，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0）． 因为P A ⊥平面BCD ，所以平面BCD 的一个法向量是n →=（0，0，1）．而PB →=(1，0，−2)，PC →=(2，2，−2)， 设平面PBC 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），则由{m →⋅PB →=0m →⋅PC →=0得{x −2z =0，2x +2y −2z =0．取z ＝1，有m →=（2，﹣1，1）， 所以cos ＜n →，m →＞=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=16=√66． 由题知，二面角P ﹣BC ﹣D 为锐角， 所以二面角P ﹣BC ﹣D 的余弦值为√66． （Ⅲ）解：假设棱BC 上存在点F ，MF ∥PC ，设BF →=λBC →，λ∈[0，1]． 依题意，可知M （0，0，1），BC →=(1，2，0)，F ＝（λ+1，2λ，0）， 所以MF →=(λ+1，2λ，−1)，PC →=(2，2，−2)．根据假设，有{λ+1=2μ，2λ=2μ，−1=−2μ，而此方程组无解，故假设错误，故对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行．19．（14分）已知椭圆G ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），上顶点为B （0，1），离心率为√22，直线l ：y ＝kx ﹣2交y 轴于C 点，交椭圆于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交x 轴于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）求证：S △BOM •S △BCN 为定值．【解答】解：（1）由题意可知：{b =1c a =√22a 2=b 2+c 2，解得{a =√2b =1c =1，∴椭圆G 的方程为：x 22+y 2=1；（2）设点P （x 1，y 1），点Q （x 2，y 2），联立方程{y =kx −2x 22+y 2=1，消去y 得：（1+2k 2）x 2﹣8kx +6＝0， ∴x 1+x 2=8k 1+2k2，x 1x 2=61+2k2①，∵点P （x 1，y 1），B （0，1），∴直线BP 的方程为：y ﹣1=y 1−1x 1x ，令y ＝0得，x =x11−y 1，∴M （x 11−y 1，0）， 同理可得N （x 21−y 2，0），∴S △BOM •S △BCN =12×1×|x M |×12×3×|x N | =34×|x M •x N | =34×|x11−y 1⋅x21−y 2|=34×|x 1x 2(3−kx 1)(3−kx 2)| =34×|x 1x 29−3k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2| 把①式代入上式得：S △BOM •S △BCN =34×|61+2k 29−24k 21+2k 2+6k 21+2k2|=34×|61+2k2⋅1+2k 29|=12， ∴S △BOM •S △BCN 为定值12．20．（15分）已知函数f （x ）＝a （x ﹣1）lnx +ex （a ∈R ），其中e 是自然对数的底数． （1）求函数f （x ）在点x ＝1处的切线方程；（2）若不等式f （x ）﹣e x ≤0对任意的x ∈[1，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）∵f （x ）＝a （x ﹣1）lnx +ex ，f ′（x ）＝a （lnx +1−1x ）+e ， 所以切线斜率k ＝f ′（1）＝e ，且f （1）＝e ， 故切线方程y ﹣e ＝e （x ﹣1）即y ＝ex ，（2）令g （x ）＝f （x ）﹣e x ＝a （x ﹣1）lnx +ex ﹣e x ，（x ≥1）， 则g ′（x ）＝a （lnx +1−1x ）+e ﹣e x ，①若a ≤0，则g ′（x ）在[1，+∞）上单调递减，且g （1）＝0， 所以g （x ）≤0恒成立，②若a ＞0，令h （x ）＝g ′（x ）＝a （lnx +1−1x ）+e ﹣e x ， 则h ′（x ）＝a （1x +1x2）﹣e x ，易得1x+1x 2与﹣e x 在[1，+∞）上单调递减，所以则h ′（x ）在[1，+∞）上单调递减，h ′（1）＝2a ﹣e ， （i ）若2a ﹣e ≤0即0＜a ≤12e 时，h ′（x ）≤0恒成立，故h （x ）在[1，+∞）上单调递减，即g ′（x ）在[1，+∞）上单调递减， 又g ′（1）＝0，所以g ′（x ）≤0恒成立，所以g （x ）在[1，+∞）上单调递减，且g （1）＝0， 所以g （x ）≤0恒成立，满足题意，（ii ）2a ﹣e ＞0即a ＞12e 时，∃x 0∈（1，+∞）使得h ′（x ）＝0， 所以h （x ）在（1，x 0）单调递增，此时h （x ）＞h （1）＝0，所以g ′（x ）＞0即g （x ）在（1，x 0）单调递增，g （x ）＞g （1）＝0，不合题意， 综上 可得，a 的范围[﹣∞，12e ]．21．（14分）已知集合S n ＝{x |x ＝（x 1，x 2，…，x n ），x i ∈{0，1}，i ＝1，2，…，n }（n ≥2），对于A ＝（a 1，a 2，…，a n ）∈S n ，B ＝（b 1，b 2，…，b n ）∈S n ，定义A 与B 的差为A ﹣B ＝（|a 1﹣b 1|，|a 2﹣b 2|，…，|a n ﹣b n |）；A 与B 之间的距离为d （A ，B ）＝|a 1﹣b 1|+|a 2﹣b 2|+…+|a n ﹣b n |．（Ⅰ）若A ﹣B ＝（0，1），试写出所有可能的A ，B ； （Ⅱ）∀A ，B ，C ∈S n ，证明：d （A ﹣C ，B ﹣C ）＝d （A ，B ）；（Ⅲ）∀A ，B ，C ∈S n ，d （A ，B ），d （A ，C ），d （B ，C ）三个数中是否一定有偶数？证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ） A ＝（0，0），B ＝（0，1）；A ＝（0，1），B ＝（0，0）； A ＝（1，0），B ＝（1，1）； A ＝（1，1），B ＝（1，0）．（Ⅱ）令A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n），C＝（c1，c2，…，c n），对i＝1，2，…，n，当c i＝0时，有||a i﹣c i|﹣|b i﹣c i||＝|a i﹣b i|；当c i＝1时，有||a i﹣c i|﹣|b i﹣c i||＝|1﹣a i﹣（1﹣b i）|＝|a i﹣b i|．所以d（A﹣C，B﹣C）＝||a1﹣c1|﹣|b2﹣c2||+||a2﹣c2|﹣|b2﹣c2||+…+||a n﹣c n|﹣|b n﹣c n||＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a n﹣b n|＝d（A，B）．（Ⅲ）∀A，B，C∈S n，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中一定有偶数．理由如下：因为（a i﹣b i）+（b i﹣c i）+（c i﹣a i）＝0，且（a i﹣b i）+（b i﹣c i）+（c i﹣a i）与|a i﹣b i|+|b i﹣c i|+|c i﹣a i|奇偶性相同．所以|a i﹣b i|+|b i﹣c i|+|c i﹣a i|为偶数，故d（A，B）+d（B，C）+d（A，C）为偶数，所以d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数不可能都是奇数，即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中一定有偶数．。

2020年4月普通高考（北京卷）全真模拟卷（4）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数()()31z i i =-+，则z =（ ）A ．B ．CD ．20【答案】B【解析】()()3142z i i i =-+=+，故z ==B ．2．已知全集U =R ，集合{|21}x A x =<，2{|log 1}B x x =<，则()U A B =I ð（ ） A ．{|01}x x ≤< B ．{|12}x x ≤<C ．{|02}x x <<D ．{|02}x x ≤<【答案】C【解析】{}{}210xA x x x =<=<Q ，{}0U A x x ∴=≥ð，又{}{}2log 102B x x x x =<=<<，(){}02U A B x x ∴⋂=<<ð，故选C ．3．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A ．2y x =+ B ．y sinx =C ．3y x x =-D ．2x y =【答案】C【解析】A ．2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除；B ．y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；C ．3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；D ．2x y =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除．故选C ．4．函数y = ）A ．3[,)2+∞ B ．[2,)+∞ C ．3[,2]2D ．3(,2]2【答案】D【解析】依题意0231x <-≤，解得322x <≤，∴函数的定义域为3(,2]2，故选D ．5．已知圆22:40C x y x +-=与直线l 切于点(P ，则直线l 的方程为（ ）A ．20x -+=B ．40x -+=C ．40x +-=D ．20x +-= 【答案】A【解析】圆22:40C x y x +-=可化为：()2224x y -+=，显然过点(P 的直线1x =不与圆相切，则点P 与圆心连线的直线斜率为021=-，则所求直线斜率为3，代入点斜式可得)1y x -=-，整理得20x +=，故选A ． 6．已知函数()()cos 2f x x ϕ=+（ϕ为常数）为奇函数，那么cos ϕ=（ ）A ．0B ．2-C ．2D ．1【答案】A【解析】∵函数()()cos 2f x x ϕ=+（ϕ为常数）为奇函数，∴()00f =，代入cos 0ϕ=，∴选A ． 7．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A ．S S ，且B ．S S ，且C ．S S ，且D ．S S ，且 【答案】D【解析】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件．故12AB BCCD AD CC =====，11BC DC ==，1AC =故{2,S =，故S ，S ，故选D ．8．设,a b r r 为非零向量，则“a b a b +=+r r r r ”是“a r 与b r共线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若a b a b +=+r r r r ，则a r 与b r 共线，且方向相同，充分性；当a r 与b r共线，方向相反时，a b a b ≠++r r r r ，故不必要，故选A ．9．定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f(x 1)−f(x 2)|≤k|x 1−x 2|成立，则称函数f(x)在定义域D 上满足利普希茨条件．若函数f(x)=√x(x ≥1)满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．1D ．12【答案】12【解析】由已知中中利普希茨条件的定义，若函数f(x)=√x(x ≥1)满足利普希茨条件，所以存在常数k ，使得对定义域[1，+∞）内的任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f(x 1)−f(x 2)|≤k|x 1−x 2|成立，不妨设x 1＞x 2，则k ≥|√x 1−√x 2||x 1−x 2|=√x +√x ．而0＜√x +√x ＜12，所以k 的最小值为12，故选D ．10．在边长为1的正方体中，E ，F ，G ，H 分别为A 1B 1，C 1D 1，AB ，CD 的中点，点P 从G 出发，沿折线GBCH匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动，且点P与点Q运动的速度相等，记E，F，P，Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点P运动的路程为x，在0≤x≤2时，V与x的图象应为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】（1）当012x≤≤时，点P与点Q运动的速度相等根据下图得出：面OEF把几何体PEFQ分割为相等的几何体，∵S△OEF111122=⨯⨯=，P到面OEF的距离为x，V PEFQ＝2V P﹣OEF＝21132⨯⨯x＝2•63x x=；23（2）当12＜x32≤时，P在AB上，Q在C1D1上，P到12，S△OEF111122=⨯⨯=，V PEFQ＝2V P﹣OEF＝211113226⨯⨯⨯==定值；（3）当32＜x≤2时，S△OEF111122=⨯⨯=，P到面OEF的距离为2﹣x，V PEFQ ＝2V P ﹣OEF ＝21132⨯⨯⨯（2﹣x ）2133=-x ，V 10321136222132332xx x x x ⎧≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，＜，＜，，故选C ．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 ．【答案】22145x y -=【解析】双曲线C的渐近线方程为y x =，可知b a =①，椭圆221123x y +=的焦点坐标为(－3，0)和(3，0)，∴a 2＋b 2＝9②，根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，故所求的双曲线方程为22145x y -=．12．12x ⎛⎝展开式中的常数项为 ． 【答案】220-【解析】12x ⎛ ⎝展开式中第1k +项为41212311212((1),0,1,2,12k k k k k k k T C x C x k --+==-=L ， 令4120,93k k -==，∴常数项为931212220C C -=-=-． 13．如果抛物线22y px =上一点()4,A m 到准线的距离是6，那么m = ．【答案】±【解析】抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，由题意得462p+=，解得4p =．∵点()4,A m 在抛物线22y px =上，∴2244m =⨯⨯，∴m =±14．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且5a =，10c =，3B π=，则b =______，A =_________．【答案】6π【解析】∵5a =，10c =，3B π=，故可得b =，根据正弦定理可得12asinB sinA b ==，又∵b a >则B A >，故可得6A π=．故答案为：；6π． 15．已知函数，则()()______f f x =；下面三个命题中，所有真命题的序号是 ．① 函数()f x 是偶函数；② 任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对x R ∈恒成立；③ 存在三个点112233(,()),(,()),(,()),A x f x B x f x C x f x 使得ABC ∆为等边三角形．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分． 【答案】1 ①②③【解析】f （x ）必然是有理数0或1，在代入函数必然是f(f （x ）)=1． （1）当，则；当，则，很显然函数=()f x ∴函数()f x 是偶函数．∴①正确；（2）任取一个不为零的有理数T ，当，则；当，则，很显然函数()()f x T f x +=，∴②正确；（3）设，，，此时ABC ∆为等边三角形，∴③正确．四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）在①b 3=a 4，②a 3=3b 3，③a 2=4b 2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再判断{c n }是否是递增数列，请说明理由．已知{a n }是公差为1的等差数列，{b n }是正项等比数列，以a 1=b 1=1，________，判断{c n }是否是递增数列，并说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】解：因为{a n }是公差为1，首项为1的等差数列，所以a n =1+n −1=n ． 设{b n }的公比为q ，若选①，由b 3=a 4，得b 3=a 4=4，q =2，b n =2n−1，c n =n ·2n−1，c n c n+1=n⋅2n−1(n+1)⋅2n =n2(n+1)<1，则c n <c n+1，所以{c n }是递增数列．若选 ②，由a 3=3b 3=3，得b 3=1，q =1，b n =1，c n =n ， 则c n =n <c n+1=n +1，所以{c n }是递增数列．若选 ③，由a 2=4b 2=2，得b 2=12，q =12，b n =12n−1，c n =n2n−1，c n c n+1=n⋅2n(n+1)⋅2n−1=2n n+1≥1=2nn+1≥1，则c n ≥c n+1，所以{c n }不是递增数列．17．（本小题14分）如图，在三棱柱ADF BCE -中，平面ABCD ⊥平面ABEF ，侧面ABCD 为平行四边形，侧面ABEF 为正方形，AC AB ⊥，24AC AB ==，M 为FD 的中点．（I ）求证：//FB 平面ACM ； （II ）求二面角M AC F --的大小．【解析】（I ）证明：连接BD ，交AC 与O ，连接MO ，在DFB ∆中，//MO FB ， 又FB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，∴//FB 平面ACM ；（II ）解：由平面ABCD ⊥平面ABEF ，AC AB ⊥，AB 为平面ABCD 与平面ABEF 的交线，故AC ⊥平面ABEF ，故AF AC ⊥，又AF AB ⊥，∴AF ⊥平面ABCD ， 以A 为原点，AC ，AB ，AF 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()4,0,0C ，()0,2,0B ，()4,2,0D -，()0,0,2F ，()2,1,1M -， 设平面ACM 的法向量为(),,m x y z =u r ，()4,0,0AC =u u u r ，()2,1,1AM =-u u u u r，由4020m AC x m AM x y z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u u v v ，得()0,1,1m =u r ，平面ACF 的法向量为()0,1,0AB =u u u r ，由cos ,2AB m ==u u u r u r ，故二面角M AC F --的大小为45︒．18．（本小题14分）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率；（Ⅰ）从被抽取的年龄在[]50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在[)50,60的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望；（Ⅰ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．【解析】（Ⅰ）解：在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50)且未使用自由购的共有3+14=17人， ∴随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30，50)且未使用自由购的概率为17100P =． （Ⅰ）解：X 所有的可能取值为1，2，3，()124236C C 115C P X ===，()214236C C 325C P X ===，()304236C C 135C P X ===． ∴X 的分布列为∴X 的数学期望为1232555EX =⨯+⨯+⨯=． （Ⅰ）解：在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3121764244+++++=人， ∴该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100⨯=． 19．（本小题15分） 已知函数()1x xf x e-=． （I ）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （II ）求函数()f x 的零点和极值；（III ）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()1221f x f x e-≥-成立，求实数a 的最小值． 【解析】（I ）解：∵，∴'(0)2f =-． ∵，∴曲线在处的切线方程为． （II ）解：令，解得，∴的零点为．由解得，则及的情况如下：∴函数在 时，取得极小值． （III ）解法一：当时，；当时，． 若，由（II ）可知的最小值为，的最大值为，∴“对任意，有恒成立”等价于即， 解得． ∴的最小值为1．解法二：当时，． 当时，．且由（II ）可知，的最小值为， 若，令，则而，不符合要求，∴． 当时，，，∴，即满足要求，综上，的最小值为1． 20．（本小题14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的两个焦点是1F ，2F，)M在椭圆C 上，且124MF MF +=，O 为坐标原点，直线l 与直线OM 平行，且与椭圆交于A ，B 两点．连接MA 、MB 与x 轴交于点D ，E ．（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）求证：OD OE +u u u r u u u r为定值．【解析】（I ）解：∵124MF MF +=，由椭圆的定义得24a =，2a =，点)M在椭圆C 上，代入椭圆方程，解得22b =，∴C 的方程为22142x y +=；（II ）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB的斜率为2，设直线l的方程为2y x t =+，联立方程组222142y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y，整理得2220x t ++-=，∴12x x +=，2122x x t =-， 直线MA的直线方程为1y x -=-，令0y =，则111D x x y =-+-同理221E x x y =--，∴2O OED=+u u u r u u ur12+⎝=⎭==，代入整理得OD OE+=u u u r u u u rOD OE+u u u r u u u r为定值．21．（本小题14分）（信息给予题，三问）对于正整数n，如果()*k k N∈个整数12ka a a⋯，，，满足121ka a a n≤≤≤⋯≤≤，且12ka a a n++⋯+=，则称数组()12ka a a⋯，，，为n的一个“正整数分拆”．记12ka a a⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n kf a a a⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为ng．（I）写出整数4的所有“正整数分拆”；（II）对于给定的整数()4n n≥，设()12ka a a⋯，，，是n的一个“正整数分拆”，且12a=，求k的最大值；（III）对所有的正整数n，证明：n nf g≤；并求出使得等号成立的n的值．(注：对于n的两个“正整数分拆”()12ka a a⋯，，，与()12mb b b⋯，，，，当且仅当k m=且1122k ma b a b a b==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的．)【解析】（I）解：整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4．（II）解：当n为偶数时，123 (2)ka a a a=====时，k最大为2nk=；当n为奇数时，1231...2,3k ka a a a a-======时，k最大为12nk-=；综上所述：n为偶数，k最大为2nk=，n为奇数时，k最大为12nk-=．（III）证明：当n为奇数时，0nf=，至少存在一个全为1的拆分，故n nf g<；当n为偶数时，设()12,,...,ka a a是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”，故n n f g ≤．综上所述：n n f g ≤．当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==；当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3故442f g ==；当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <．综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =．。