第1课时 实数的分类及性质.ppt

［2010²巴中］下列各数：
1A. 2
,0，
，0.303003„„，
中无理数的个数为（ B. 3 ，1-
B
C .Байду номын сангаас4
【解析】属于无理数的是：
,0.303 003„„, ∴选B.
【点悟】实数可分为有理数（整数、分数）和无理数，只要是整数、分数,就一定不是无 理数.
类型之二
倒数、相反数和绝对值
（1）［2011²扬州］A. 2 B. 12
18，19，20，21，22，23，24题中的预测变形3，4题.
［学生用书P1］ 1.［2011²湖州］-5的相反数是（ A. 5 B. -5 C.
A A
）
） D. -1 ） D.
2.［2011²义乌］-3的绝对值是（ A. 3 B. -3 C.
3.［2011²广东］-2的倒数是（
A. 2 B. - 2 C.
若实数x,y满足|x-2|+(3-y)2=0,则代数式xy-x2的值为 2 【解析】由非负数的意义确定x,y的值，再求代数式xy-x2的值. 由题意得 解得 【点悟】 （1）常见的非负数有|a|,a2, （a≥0）；
.
（2）若几个非负数（式）的和为零，那么这几个数（式）都为零.
精确度：一个近似数，四舍五入
到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起到 精确到的数位 止，所有的数字都叫做这个数的有效数字.
8.平方根与立方根 平方根：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根（也叫二次方根），记 为x=± （a≥0 ) .
［学生用书P1］ 类型之一 实数的概念 、sin30°中，无理数的个数为( D.4 B )

第1课时 实数【课标要求】1.有理数①理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。

②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）。

③理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）。

④理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。

⑤能运用有理数的运算解决简单的问题。

⑥能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。

2.实数①了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。

②了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。

③了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。

④能用有理数估计一个无理数的大致范围。

⑤了解近似数与有效数字的概念；解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题要求对结果取近似值。

【知识要点】1.实数的分类：实数可分为： 和 ；也可以分为： 、 和 。

◆数轴上的点和 一一对应。

2.有理数：叫做有理数。

◆整数和分数统称为有理数。

3.无理数：叫做无理数。

◆常见的几种无理数：①根号型：如35,2等开方开不尽的数。

②三角函数型：如sin60°,cos45°等。

③圆周率π型:如2π，π-1等。

④构造型：如1.121121112…等无限不循环小数。

4.相反数、倒数和绝对值： （1）若a a =， 则：a 0； （2）若a a -=，则：a 0。

5.负指数幂、零指数幂：pp aa 1=-， ()010≠=a a6.平方根、算术平方根和立方根：（1）3的平方根表示为： ； （2）3的算术平方根表示为： ； （3）3的立方根表示为： 。

◆正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；0的平方根是它本身；负数没有平方根。

◆正数、0、负数都只有一个立方根，正数的立方根是正数；0的立方根是它本身；负数的立方根是负数。

第六章 实 数
6.3 实 数 第1课时 实数及其分类
1 课堂讲解
无理数 实数及其分类 实数与数轴上的点的关系
2 课时流程
பைடு நூலகம்
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
回顾旧知
什么是有理数？有理数怎样分类？
有理数
整数 分数
正有理数
有理数

0
负有理数
知识点 1 无理数
知1－导
探究 我们知道有理数包括整数和分数，请把下列分数写成 小数的形式，你有什么发现？
如，将3看成3.0)， 那么任何一个有理数都可以写成有
限小数或无限循环小数的形式. 反过来，任 何有限小
数或无限循环小数也都是有理数.
（来自教材）
知1－讲
1. 定义：无限不循环小数叫做无理数． 判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环．
2. 三种常见形式： (1)开方开不尽的数，如 3 ，3 5 ，…； (2)含有π的一类数： 1 π， 1 π，π＋1，…；
5 8
，0，0.8，
45 6
，-4.2．
正数：{ ，…}；负数：{ ，…}；
正整数：{ ，…}；正分数：{ ，…}；
负整数：{ ，…}；负分数：{ ，…}.
分析： 以前学过的0以外的数就是正数，正数前面加上 “-”号就是负数，再看它们是整数还是分数．
解：正数：{13，+6， ，0.8，4 5 ，…}； 6
议一议 (1)如图，OA=OB,数轴上点A对应的数是什么？它介
于哪两个整数之间？ (2)你能在坐标轴上找到 5 对应的点吗？与同伴进
行交流.
知3－讲
1.实数与数轴间的关系：实数和数轴上的点是一一对应 的． 它包含着两层含义：

也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数;
负数不存在算术平方根，即当 a 0时， a 无意义.
练一练
1．若一个数的算术平方根是 7 ，那么这个数
是7 ；
2． 9 的算术平方根是 3
；
3．( 2)2 的算术平方根是 3
2 3
；
4．若 m 2 2 ，则(m 2)2 16 ．
当堂练习
1.若 a 的算术平方根是3，则a =___8_1____.
（D）
B.一个数的立方根不是正数，就是负数 C.一个数的立方根等于它本身，这个数一定是0 D.一个非负数的立方根和这个数同好，0的立方根是0
2.已知a2=4，b3=27，则ab的值为__8_或__-_8_____.
3.求下列各式的值 ：
1 3 8;
2 3 0.064;
3 3 8 ;
3
4 3 9 .
36
4
面积/dm2
25
正方形的
边长/dm
1
3
2
4
6
5
你能指出它们的共同特点吗？ 都是已知一个正数的平方，求这个正数.
讲授新课
一 平方根的概念及性质
问题1 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
解析：
由于3 2 =9，
所以这个数是3或-3.
想一想 3和-3有什么特征？
问题2 根据上面的研究过程填表：
因为(
1 2
)3 =0.125,所以0.125的立方是（
1 2
）；
3
因为( 0 ) ＝０，所以０的立方根是（ 0）；
因为 ( -2)3＝－8，所以－8的立方根是（ -2）；
因为(
2 3
3
) ＝

用科学记数法表示为
考点聚焦
考向四 实数的大小比较与运算
例4 [2019·南京]实数a,b,c满足a>b且 [答案] A
ac<bc,它们在数轴上的对应点的位置
[解析]因为a>b且ac<bc,所以c<0.
可以是 (
选项A符合a>b,c<0条件,故满足条件的
)
对应点位置可以是A.
选项B不满足a>b,选项C,D不满足c<0,
第 1 课时
实数及其运算
第一单元
数与式
2020年中考复习
考点聚焦
考点一 实数的概念及分类
1.按定义分
有理数
整数
分数:① 有限
② 循环
实数
无理数
正无理数
负无理数
小数或无限
小数
无限③ 不循环 小数
考点聚焦
2.按大小分
(1)实数可分为正实数、0和负实数.0既不是正数,也不是负数.
(2)正负数的意义:一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的
考点聚焦
考点二
实数的有关概念
1.数轴:规定了原点、④ 正方向 和⑤ 单位长度 的直线.数轴上的点与实数一
一对应.
图1-1
2.相反数:a的相反数是⑥
-a
,0的相反数是0.
3.倒数:乘积是⑦ 1 的两个数互为倒数.0没有倒数,倒数等于本身的数是±1.
考点聚焦
4.绝对值:一般地,数轴上表示数 a 的点与原点的距离,叫做数 a 的绝对值,记作|a|,
ba
(a+b)+c=⑳ a+(b+c) ,
(ab)c=㉑ a(bc)
分配律 a(b+c)= ㉒ ab+ac

(2)分数（如− 、 、 ）


(3)无理数（如 、 、 ）
这些点没有“填满”数轴
这些点没有“填满”数轴
再添加像π、0.1010010001⋯这样的无理数
数轴上所有表示有理数、无理数的点把数轴“填满”了
概念学习
实数的概念：
有理数和无理数统称为实数.
即实数可分为有理数和无理数.
A.无理数都是无限小数
B.无限小数都是无理数
C.带根号的数都是无理数
D.无理数与数轴上的点是一一对应的
2. 和数轴上的点一一对应的是
( D )
A.整数
C.无理数
B.有理数
D.实数
新知巩固
3.关于 ，下列说法正确的是( D )A.是整数
C.是有理数
B.是分数
D.是无理数
4. 下列各数中无理数有 ( B )
活动二 画图 在方格纸中分别画出长度为 、 、 ⋯ ⋯的线段.



数学实验室
活动三 用图
(1)按如图所示的方法画下去，想一想所画出的图形形状.
(2)分别求出图中线段a1、a2、a3、a4、a5、⋯ ⋯的长.
a2=
a1=
a3=
1
a5=
a4=
(3)在数轴上分别标出表示数a1、a2、a3、a4、
小组讨论、交流，说说自己的想法.
数学实验室
活动一 读图 如图，方格纸中的小正方形边长为1，求出下列线段的长：
(1) 线段AB的长是________.

A
(2) 线段AC的长是________.

(3) 线段DE的长是________.

B
C
D

知5－导
感悟新知
(6)(ab)c=________(乘法结合律)； (7)1·a=a·1=________；
知5－导
(8)a(b +c)=________(乘法对于加法的分配律)，
(b+c)a=________(乘法对于加法的分配律)；
(9)实数的减法运算规定为a-b=a+____；
(10)对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足a·b=b·a=1，
知5－讲
感悟新知
知5－讲
要点精析：在实数范围内做开方运算时，要注意正
实数和零既能开平方，也能开立方，负实数
不能开平方.
(1)运算种类：
运算级别 第一级 运算名称 加 减 运算结果 和 差
第二级 乘除 积商
第三级 乘方 平方 幂 方根
感悟新知
知5－讲
(2)运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后算加减同 级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括 号里面的.
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
2
，0，144，
9 ，π，
2 3
，3
2 ，0.101 001 0001…(邻
两个1之间逐次增加一个0).
解：0，1.414， 9 ， 2 是有理数，
3
2 ，π，3 2，0.1010 000 1是无理数.
感悟新知
结论
知1－讲
有理数和无理数统称为实数(real number). 这样，我们可以得到：
课堂小结
实数
运算种类：
运算级别 第一级 运算名称 加 减 运算结果 和 差
第二级 乘除 积商
第三级 乘方 平方 幂 方根
课堂小结
实数
3.易错警示：(1)负实数只能开奇次方，不能开偶次方； (2)计算结果中如果包含开方开不尽的数，则保留根号，

规律但不循环的小数,如1.01001000100001…(两个1之间依次多一个0)
自学导航
有理数和无理数统称为实数.
（1）按定义分
有理数
正有理数
0
有限小数或者无限循环小数
负有理数
实数
正无理数
无理数
无限不循环小数
负无理数
自学导航
有理数和无理数统称为实数.
（2）按性质分
正有理数
正实数
实数
正无理数
0
负有理数
无理数π可以用数轴上的点来表示出.
合作探究
如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形
对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示 2，与负半轴的交点就表示
- 2.(为什么)
合作探究
事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.
当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点是一一对应的，即
1.了解实数的意义，并能将实数按要求进行分
类；
2.熟练掌握实数大小的比较方法；（重点）
3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴
上的点表示无理数.（难点）
自学导航
我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，
它们有什么特征？
5 3 27 11 9
, , , , .
2 5 4 9 11
5
2.5
2
3
0.6
5
27
6.75
4
.
11
1. 2
9
. .
9
0. 81
11
它们都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式.
整数能写成小数的形式吗？3可以看成是3.0吗？

∴最小的数是-1，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的比较大小，绝对值，注意负数的绝对值等于它的相反数．
感受中考
4.（3分）（2021•天津6/25）估计 17 的值在（
A．2和3之间
B．3和4之间
）
C．4和5之间
D．5和6之间
【解答】解：∵ 17 4.12 ，
∴ 17 的值在4和5之间．
故选：C．
）
典例分析
例1：将下列各数分别填入下列相应的括号内：
3
1
9 , ， 7 , π, 16, 5, 3 8,
4
4
25, 0.3232232223
, 0,
9
无理数： 9,
3
7, π, 5, 0.3232232223
1
4
，
3
, 0, 25
有理数： 4 16, 8,
9
1
4
为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，那么点 A 表示的数
是
．
（3）如图 3，网格中每个小正方形的边长为 1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，
求新的正方形的面积和边长．
解：
（1）设拼成的正方形的边长为 a，
则 a2＝5，
a= 5，
即拼成的正方形的边长为 5，
故答案为： 5；
整数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实
数
分数
含开方开不尽的数
无理数：
无限不循环小数
含有
π 的数
有规律但不循环的小数
（2）按性质分：
＝﹣3 5 +3；
（4）| 6 − 2|+| 2 −1|﹣|3− 6|

6.2 实数第1课时 实数的概念及分类【教学目标】1.了解无理数和实数的概念，会对一组实数进行分类.2.知道实数与数轴上的点是一一对应的关系.【教学重点】无理数、实数的概念.【教学难点】无理数、实数的概念及实数与数轴上的点一一对应关系的理解. 教学过程一、组织教学，复习提问1.有理数是怎样分类的？有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数负整数零分类⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数或有理数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数零负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数2.把下列各数填在相应的括号里.－2，－34，－2.5，0，0.3·，1，43，227，34，12，－0.81··整数：{ }分数：{ }归纳：任何一个有理数，都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.反之，任何一个有限小数或无限循环小数都可以写成一个分数的形式.因此，任何一个有理数都可以写成分数的形式.多媒体课件展示图1和图2及思考题：图1是由4条横线、5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1.从这些纵横线相交得出的20个点(称为格点)中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形.你能找出多少种面积互不相同的格点正方形？二、创设情境，引入新课1.创设情境.问题1：(1)有面积分别是1、4、9的格点正方形吗？分别有几个？边长是多少？(2)有面积是2的格点正方形吗？把它画出来，有几个？(3)有面积是5的格点正方形吗？把它画出来，有几个？师：请同学们认真观察、思考图1及思考题，可以互相讨论，然后回答问题.生1：面积是1的格点正方形有12个，边长是1；面积是4的格点正方形有6个，边长是2；面积是9的格点正方形有2个，边长是3.生2：如图2，四个边长为1的相邻正方形的对角线围成一个面积为2的格点正方形.师：为什么？生1：因为四个边长为1的相邻正方形的总面积为4，它们的对角线围成的格点正方形的面积是总面积的一半，所以四个边长为1的相邻正方形的对角线围成的格点正方形是一个面积为2的格点正方形.图1中有6个面积为2的格点正方形.生2：以一个面积为9的格点正方形相邻两边长的13点和23点的连线为边长依次围成的正方形是面积为5的格点正方形.师：为什么？生1：因为一个面积为9的格点正方形相邻两边长的13点和23点的连线为边长依次围成的正方形的面积等于9减去4个三角形的面积，而这4个三角形刚好拼成4个格点正方形，它们的面积为4，所以一个面积为9的格点正方形相邻两边长的13点和23点的连线为边长依次围成的正方形是面积为5的格点正方形.生2：我用面积为9的格点正方形纸，经过剪纸验证了这个格点正方形是面积为5的格点正方形.生3：可以画出4个面积为5的格点正方形.问题2：(1)一个面积为2的格点正方形边长是多少？(2)一个面积为5的格点正方形边长是多少？师：请同学们认真观察、思考，可以互相讨论，然后回答问题2.生1：正方形的面积等于边长的平方，我们已知正方形的面积，求边长，就是已知一个数的平方，求这个数.可以用开平方运算.生2：(1)设边长为x，则x2＝2；因为x＞0，所以x＝ 2.(2)设边长为x，则x2＝5；因为x＞0，所以x＝ 5.2.引入新课.问题3：2、5是怎样的数？师：请同学们结合问题1和问题2进行思考，可以互相讨论，然后回答问题3.2、5存在吗？2、5又是怎样的一个数？生：2、5分别是面积为2、5的格点正方形的边长，应当是存在的.师：下面我们来共同探究2是怎样的一个数.首先，请同学们想一想，2介于哪两个整数之间？生：因为1＜2＜4，所以1＜2＜4，即1＜2＜2.这说明2不能是整数.师：1和2之间的一位小数有1.1，1.2，…，1.9，那么2是其中的哪个小数呢？如何确定？生：在这九个数中找出平方最接近2的那两个小数，这两个小数是1.4和1.5.因为1.42＝1.96，1.52＝2.25，1.96＜2＜2.25，所以 1.96＜2＜ 2.25，即1.4＜2＜1.5.师：这又有什么意义？生：2是介于1.4和1.5之间的一个两位小数.师：1.4和1.5之间的两位小数有1.41，1.42，…，1.49，那么2是其中的哪个小数呢？如何确定？生：同样是在这九个数中找出平方最接近2的那两个小数，这两个小数是1.41和1.42.因为1.412＝1.988 1，1.422＝2.016 4，1.988 1＜2＜2.016 4，所以 1.988 1＜2＜ 2.016 4，即1.41＜2＜1.42.师：这又有什么意义？生：2是介于1.41和1.42之间的一个三位小数.师：类似地，可得1.414＜2＜1.415，……像上面这样逐步逼近，我们可以得到：2＝1.414 213 5…它可以根据需要，想算到哪位，就可以算到哪位，即可无限继续算下去.因此，2是一个无限不循环小数，它不是有理数.同样5也是一个无限不循环小数，它也不是有理数，同学们课后可以用课本上同样的方法去探究.3.无理数的概念师：有理数包括哪些数？生：有理数包括整数和分数.师：整数和分数可以统一写成什么形式？生：整数可以看作分母为1的分数.因此，整数和分数可以统一写成分数的形式.师：这就是说，有理数总可以写成nm(m、n是正整数，且m≠0)的形式.分数能化成小数的形式吗？请同学们举例说明.有理数呢？生：3＝31＝3.0，12＝0.5，13＝0.3·，911＝0.81··.分数都可以化为有限小数或无限循环小数.因此，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数. 师：2＝1.4142135…是无限循环小数吗？是有理数吗？ 生：2不是无限循环小数，不是有理数，2是无限不循环小数. 师：今天引入一个新概念，我们把无限不循环小数叫做无理数.因此，2是无理数.此外，3＝1.732050808…，33＝1.44224957…，π＝3.14159265…这些数都是无限不循环小数.许多开方开不尽的数都是无限不循环小数.圆周率π以及以后要学的自然对数的底等数虽然不用根号的形式表示，但它们也是无限不循环小数，它们都是无理数.师：有同学说无理数就是开方开不尽的数，对不对？生1：不对.如圆周率π不是开方开不尽的数，但它是无理数.生2：只能说开方开不尽的数是无理数，但不能说无理数就是开方开不尽的数，因为所有无限不循环小数都是无理数，不仅仅是开方开不尽的数才是无理数.师：类似的，无理数可分为正无理数与负无理数.如2、3、π是正无理数，－2、－3、－π是负无理数.4.实数的概念.师：有理数和无理数统称为实数.这样，我们认识的数的范围又扩大了.5.实数的分类.师：我们可以将实数按如下方式分类.(多媒体展示实数分类表)实数⎩⎪⎨⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正有理数零负有理数有限小数或无限循环小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正无理数负无理数无限不循环小数三、例题分析1.教师出示课本第12页练习题.师：π、64、－38都是无理数吗？生：π是无理数，64＝8、－38＝－2都是有理数.师：因此，用根号形式表示的数并非都是无理数，必须先认真观察计算，不能一看见用根号形式表示的数就盲目认为是无理数.师：用根号形式表示的数与无理数是怎样的关系？生：用根号形式表示的数，不一定是无理数，无理数不一定是用根号形式表示的数.师：0.213··如何写成分数的形式？生：0.213··＝213－2990＝211990. 2.按大小对实数进行分类.(多媒体展示分类表)师：实数还可以如何分类？为什么？生：因为有理数、无理数都有正、负之分，所以实数也可以有正、负之分，可分为正实数、负实数和零.师：有同学说实数可分为正实数、负实数.对不对？为什么？生：不对，将0遗漏了.师：请同学们注意，实数按大小分类时，不能将0遗漏.3.思考，每一个有理数都可用数轴上的一个点来表示，那无理数也能用数轴上的点表示吗？如2呢？用多媒体展示：师：以数轴上的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心，这个正方形对角线长为半径画弧，以数轴正半轴的交点记作A，与数轴负半轴的交点记作A′，图中点A、点A′两点分别表示什么数？生1：因为图中正方形可以看成是面积为1的格点正方形，它的对角线长就是面积为2的格点正方形的边长，因此，对角线长应是2，也就是点A表示的数是 2.生2：因为A′点在数轴负半轴上，OA′的长也是对角线长，所以A′点表示的数是－ 2.师：通过以上演示，同学们发现了什么？生：无理数2、－2都能用数轴上的点来表示.师：一般地，与有理数一样，每个无理数也都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的点不是表示无理数就是表示有理数.所以实数和数轴上的点一一对应.四、提升练习问题：直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点A由原点到达A′，点A′表示的是什么数？师：要求出点A′表示的是什么数，同学们是怎么想的？生1：要求出点A′表示的是什么数，只要求出点A从原点沿数轴向右滚动一周到点A′的路程长度就行了.生2：我知道，就是圆的周长，圆的周长等于直径乘以π.生3：点A′表示的数是π.师：由此，无理数π也可以用数轴上的点来表示.五、课堂小结1.无理数与有理数的区别是什么？2.实数可以怎样分类？3.实数与数轴上的点有怎样的对应关系？学生回答，教师评价.。

6,

••
, 1. 2 3,
22 , 36
2
7
1.232232223 (两个3之间依次多一个 2)
有理数是：1.
•
2
•
3
22
,7
36
无理数是： 6
,,

2
1.232232223 ,(两个3之间依次多一个 2)
思考：无理数一般有哪些形式?
（1）像 7, 3, 12 的开不尽方的数是无理数。
020
002
000
02…是无
理数吗？
1.57079632679...
2
它们都是无限 不循环小数，
2.02002000200002…
是无理数
常见的一些无理数：
(1)含 π 的一些数；
(2)含开不尽方的数； (3)有规律但不循环的小数,如1.01001000100001…
例：判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
人教版七年级数学 下册
6.3 实 数 第1课时 实数的概念
1.了解实数的意义，并能将实数按要求进 行准确的分类；
2.熟练掌握实数大小的比较方法；（重点） 3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用 数轴上的点 表示无理数.（难点）
认真阅读课本中6.3 实数的 内容，完成下面练习并体验知 识点的形成过程。
• 这个矛盾说明， 2 不能写成分数的形式， 即 2 不是有理数。
• 实际上， 2 是无限不循环小数。
实数的概念：
在前面的学习中,我们知道,许多数的平方根和 立方根都是无限不循环小数,它们不能化成分数.我 们给无限不循环小数起个名字，叫“无理数”.有理 数和无理数统称为实数.
思考：

2的相反数是＿＿-2＿＿；
3 5
的相反数是＿＿＿＿
；
-π的相反数__π___
0的相反数是__0___
2 __2____, 3 ______, 0 ___0____;
5
π
0
●在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理 数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样。
1、实数的相反数：
实数a的相反数是 a
课程 在这里,我想讲几点最关键的策略,以帮助教师在课堂上合理安排学 生活动。今天,我们的主题简短、明确并易于实践。 目标如下: (1)帮助教师了解当学生没有事情可做时,会出现什么状况; (2)给教师提供几个规划课堂的好方法首先,以这几个问题开始
●你是否曾经在给学生布置任务时,要求所有人在同样的时间里 完成? 你是否曾注意到,布置任务时要求的时间越长,有些学生磨蹭的时间 就越长?
5、求下列各数的绝对值： 17 ,
2, 3
1.4 2.
3 8, 3 1.7,
归纳一下
绝对值有什么样 的质？
• 你能说出来吗？
2、绝对值性质及应用
1）一个正数的绝对值是_它__本_身__，
一个负数的绝对值是它__的__相__反_数__，
零的绝对值是__零__。
a
a 0
a0 a0
a a 0
a4
任务3实数的运算
阅读课本85页 自学实数的运算法则和性质
3.实数运算
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅
可以进行加 减 乘 除 乘方运算，又增加了非
负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运 算。
进行实数运算时，有理数的运算法 则及性质等同样适用
例：计算下列各式的值
(1)( 3 2) 2; (2)3 3 2 3

－a
＝
.
⁠
知识点四：确定数轴上无理数对应点的位置
14. 在数轴上作出表示 的点.
◉答案 略

15. 代数式（ m ＋1）2， （ m ≥0）， x2＋1，｜ －2｜， − 中一定是正
数
B
的有（
A. 1个
B ）
C. 3个
B. 2个
D. 4个
16. （潍坊中考）用教材中的计算器依次按键－
解：由题意得 x －2＋ y －2＝0，所以 x ＋ y ＝4，所以 x ＋ y 的平方根为±2.
19. [几何直观]如图，以数轴上的单位长度为宽，以2个单位长度为长，作一个长方
形，以数轴原点为圆心，以长方形的对角线长为半径画弧，交数轴的正半轴于点
A ，求点 A 表示的数.
◉答案

20. （宁阳县十一中月考）如图所示，数轴上与1， 对应的点分别为 A ， B ，点
C. 1＋
D. －1－
9. 化简：｜1＋ ｜－｜1－ ｜＝ 2
.
⁠
10. 已知 a ， b ， c ， d ， m ， n 均为实数，且 a 与 b 互为相反数， c 与 d 互为倒
数，

m 的倒数等于它本身， n 的平方根等于它的立方根.试求 ＋（ a ＋ b ） m －｜
应点的位置介于（
A ）之间.
A. B 与 C
B. C 与 D
C. E 与 F
D. A 与 B
2 ＝，显示的结果在数轴上对
17.

（绥化中考）在 ，

，π，－1.6， 这五个数中，有理数有 3
个.
18. 已知 − 和 − 互为相反数，求 x ＋ y 的平方根.

第1课时实数的有关概念【知识梳理】1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a的相反数是-a，0的相反数是0.5.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.6.叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．10.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．11.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．12.立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．13.开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】例1.下列运算正确的是（）A．33--=B．3)31(1-=-C3=±D3=-例）A．B C．2-D．2例3.2的平方根是（）A．4 B C．D．例4.《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（）A．107.2610⨯元B．972.610⨯元C ．110.72610⨯ 元D ．117.2610⨯元例5.实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（ ）A ．0a b +>B ．0a b -<C ．0ab >D ．0a b< 例6.（改编题）有一个运算程序，可以使： a ⊕b = n (n 为常数)时，得（a +1）⊕b = n +2， a ⊕（b +1）= n -3现在已知1⊕1 = 4，那么2009⊕2009 = ．【当堂检测】1.计算312⎛⎫- ⎪⎝⎭的结果是（ ） A ．16 B ．16- C ．18 D ．18- 2.2-的倒数是（ ） A ．12- B ．12 C ．2 D ．2-3.下列各式中，正确的是（ ）A ．3152<<B ．4153<<C ．5154<<D ．161514<<4.已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -的结果为（ ）A ．1B ．1-C ．12a -D ．21a -5.2-的相反数是（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12- 6.-5的相反数是____,-12的绝对值是=_____.7.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 .8.如果2()13⨯-=，则“”内应填的实数是（ ） A ．32 B ． 23 C ．23- D ．32-第2课时 实数的运算第4题图0 例5图【知识梳理】1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘； 任何数与0相乘，积仍为0．4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．6．有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a(a b 、为任意有理数)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c 为任意有理数)【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】 例1.某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学其有____________名.例2.下表是5个城市的国际标准时间（单位：时）那么北京时间2006年6月17日上午9时应是( )A ．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时.B ．纽约时间2006年6月17日晚上22时.C ．多伦多时间2006年6月16日晚上20时 .D ．汉城时间2006年6月17日上午8时.例3.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由__________例4.下列运算正确的是（） 9 0 -4 国际标准时间（时）-5 例2图 ……例3图A ．523=+B ．623=⨯C ．13)13(2-=-D ．353522-=-例5.计算： (1) 911)1(8302+-+--+-π(2)0(tan 45π--+º(3)102)21()13(2-+--；(4)2008011(1)()3π--+-.【当堂检测】1.下列运算正确的是（ ）A ．a 4×a 2=a 6B ．22532a b a b -=C ．325()a a -=D ．2336(3)9ab a b =2.某市2008年第一季度财政收入为76.41亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为( )A ．81041⨯元B ．9101.4⨯元C ．9102.4⨯元D ．8107.41⨯元3.估计68的立方根的大小在( )A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间4.如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ）AB． C ． 3.2- D．5.计算： (1)02200960cos 16)21()1(-+--- （2）)10112-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭第3课时 整式与分解因式第4题图【知识梳理】1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n a a 1=-（a≠0，n 为正整数）；2.整式的乘除法:(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除.(2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.(4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即22))((b a b a b a -=-+；(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．4.分解因式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．6．分解因式时常见的思维误区：⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．(3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】【例1】下列计算正确的是（ ）A. a ＋2a=3a 2B. 3a －2a=aC. a 2•a 3=a 6D.6a 2÷2a 2=3a 2【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）A ．mB ．mC ．m +1D ．m -1【例3】若2320a a --=，则2526a a +-= ．【例4】下列因式分解错误的是( )A ．22()()x y x y x y -=+-B ．2269(3)x x x ++=+C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________【例6】给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【当堂检测】1.分解因式：39a a -= ， _____________223=---x x x2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时， （a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ．3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )A. 2⨯107B. 4⨯1014C.3.2⨯105D. 3.2⨯1014 ．4.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中2332a b =-=，．5．先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．。

〔1〕－27；〔2〕1285；〔3〕3
3； 8
〔4〕0.216；〔5〕－5.
解 : (1) 33 27，
27的立方根是 3， 即3 27 3.
(2)
2 5
3
8， 125
8 的立方根是 2，
125
5
即 3 8 2. 125 5
〔3〕 3 3； 8
(3)
3 2
3
27 8
3 3， 8
立方根是它本身的数有 1, -1, 0； 平方根是它本身的数 只有0.
平方根与立方根的异同
被开方数 正数 负数 零
平方根 有两个互为相反数
无平方根 零
立方根 有一个,是正数 有一个,是负数
零
二 开立方及相关运算
每个数a都有一个立方根，记作 3 a ，读作“三次 根号a〞. 如：x3=7时，x是7的立方根．
(2) 3 0.008
-
3 a ___3 _a__
体会: (1)求一个负数的立方根,可以先求出这个负数绝对 值的立方根,然后再取它的相反数. (2)负号可从“根号内〞 直接移到“根号外〞 .
练一练
求以下各数的值:
13 0.125;
23 64;
3 3 64;
43 53 ;
5
3
16
3
.
〔1〕0.5 ，〔2〕－4 ，〔3〕－4 ，〔4〕5，〔5〕16.
注意:这个根指数3绝 对不可省略.
3a
3叫做根指数
a叫做被开方数
求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数
求一个数的立方根的运算叫作“开立方〞. “开立方〞与“立方〞互为逆运算
逆向思维
与学习开平方运算的过程一样，表达着一种 重要的数学思想方法，你有体会了么？

(8)、下列说法中，错误的个数是
（C ）
①无理数都是无限小数；②无理数都是开方开不尽的数； ③带根号的都是无理数；④无限小数都是无理数。 A.1个； B.2个； C.3个； D.4个。
9观察下列等式
，
1 1 1 1 2 2
1 1 1 23 2 3
1 1 1 3 4 3 4
．
1 n(n， 1)
．
1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 ． n( n 1)
（3）探究并计算：
1 1 1 1 2 4 4 6 68 2006 2008
• 搞清实数的分类标准，尤其要弄懂无理数的 三种常见形式：① ；②无限不循环小数， 如0.1010010001……；③开方开不尽的数， 如 等。 2 ; tg 60 0 • 绝对值的性质——要注意正确区分数的三种 情况，尤其是负数去掉绝对值应变为其相反 数。 • 实数的大小比较应重点掌握作差法和作商法， 才能更好地有的放矢。
将以上三个等式两边分别相加得：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 2 2 3 3 4 2 2 3 3 4 4 4
，
（1）猜想并写出：
1 1 1 1 （2）直接写出下列各式的计算结果： 1 2 2 3 3 4 2006 2007
无理数集合：{
8
;-π；0.100110001…
1
3.2
}。
中考时刻
（10上海）1.下列实数中，是无理数的为（ C ）
A. 3.14
1 B. 3
C.
3
D. 9
数轴、相反数、绝对值、倒数 例2 1.如图，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上， CD = 6，点 A对应的数为-1，则点B所对应的数为 5 ．

第11章 数的开方 11.2 实数
第1课时 实数的概念与分类
1. 有限小数或者无限循环小数叫做 有理数 ； 无限不循环小数 叫做无理数． 2. 有理数 与 无理数 统称为实数． 3. 实数 与数轴上的点一一对应．
知识点 实数的概念与分类
1. (2017·邯郸一模)下列各数中，是无理数的是
(B)
A．－1
1.(2017·简阳期中)如图，已知数轴上 A、B、C 三 点，AB＝2BC，点 A、B 表示的数分别是－2 2和 1， 则点 C 表示的数为 32＋ 2 ．
【解析】∵A、B两点表示的数分别是－2 2和1，
∴AB＝1＋2 2，∵AB＝2BC，∴BC＝12AB＝21＋ 2，
1
3
∴点C表示的数为1＋(2＋ 2)＝2＋ 2.
B．π
C．0
D. 9
2. 下列说法正确的是( C ) A．无理数是用根号表示的数 B．无理数是开方开不尽的数 C．无理数是无限不循环小数 D．无理数包括正无理数，0，负无理数
3. 下列说法中正确的是( D ) A．若 a 为实数，则 a≥0
1 B．若 a 为实数，则 a 的倒数为a C．若 x，y 为实数，且 x＝y，则 x＝ y D．若 a 为实数，则 a2≥0
…
；
(2)理数集合：
34，
5，－π，
…
；
(3)正实数集合：
34，
5，
9，191，0.2. 1. ，
… ；
(4)负实数集合： －6.8，3 －8 ，－5，－π， … .
9.已知 a，b，c，d，e，f 为实数，且 a，b 互为倒 数，c，d 互为相反数，e 的绝对值为 2，f 的算术平方根
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月5日星期日2021/9/52021/9/52021/9/5 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/52021/9/5September 5, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/5