第1课时 实数的分类及性质.ppt

第1课时 实数【课标要求】1.有理数①理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。

②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）。

③理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）。

④理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。

⑤能运用有理数的运算解决简单的问题。

⑥能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。

2.实数①了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。

②了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。

③了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。

④能用有理数估计一个无理数的大致范围。

⑤了解近似数与有效数字的概念；解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题要求对结果取近似值。

【知识要点】1.实数的分类：实数可分为： 和 ；也可以分为： 、 和 。

◆数轴上的点和 一一对应。

2.有理数：叫做有理数。

◆整数和分数统称为有理数。

3.无理数：叫做无理数。

◆常见的几种无理数：①根号型：如35,2等开方开不尽的数。

②三角函数型：如sin60°,cos45°等。

③圆周率π型:如2π，π-1等。

④构造型：如1.121121112…等无限不循环小数。

4.相反数、倒数和绝对值： （1）若a a =， 则：a 0； （2）若a a -=，则：a 0。

5.负指数幂、零指数幂：pp aa 1=-， ()010≠=a a6.平方根、算术平方根和立方根：（1）3的平方根表示为： ； （2）3的算术平方根表示为： ； （3）3的立方根表示为： 。

◆正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；0的平方根是它本身；负数没有平方根。

◆正数、0、负数都只有一个立方根，正数的立方根是正数；0的立方根是它本身；负数的立方根是负数。

6.2 实数第1课时 实数的概念及分类【教学目标】1.了解无理数和实数的概念，会对一组实数进行分类.2.知道实数与数轴上的点是一一对应的关系.【教学重点】无理数、实数的概念.【教学难点】无理数、实数的概念及实数与数轴上的点一一对应关系的理解. 教学过程一、组织教学，复习提问1.有理数是怎样分类的？有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数负整数零分类⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数或有理数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数零负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数2.把下列各数填在相应的括号里.－2，－34，－2.5，0，0.3·，1，43，227，34，12，－0.81··整数：{ }分数：{ }归纳：任何一个有理数，都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.反之，任何一个有限小数或无限循环小数都可以写成一个分数的形式.因此，任何一个有理数都可以写成分数的形式.多媒体课件展示图1和图2及思考题：图1是由4条横线、5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1.从这些纵横线相交得出的20个点(称为格点)中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形.你能找出多少种面积互不相同的格点正方形？二、创设情境，引入新课1.创设情境.问题1：(1)有面积分别是1、4、9的格点正方形吗？分别有几个？边长是多少？(2)有面积是2的格点正方形吗？把它画出来，有几个？(3)有面积是5的格点正方形吗？把它画出来，有几个？师：请同学们认真观察、思考图1及思考题，可以互相讨论，然后回答问题.生1：面积是1的格点正方形有12个，边长是1；面积是4的格点正方形有6个，边长是2；面积是9的格点正方形有2个，边长是3.生2：如图2，四个边长为1的相邻正方形的对角线围成一个面积为2的格点正方形.师：为什么？生1：因为四个边长为1的相邻正方形的总面积为4，它们的对角线围成的格点正方形的面积是总面积的一半，所以四个边长为1的相邻正方形的对角线围成的格点正方形是一个面积为2的格点正方形.图1中有6个面积为2的格点正方形.生2：以一个面积为9的格点正方形相邻两边长的13点和23点的连线为边长依次围成的正方形是面积为5的格点正方形.师：为什么？生1：因为一个面积为9的格点正方形相邻两边长的13点和23点的连线为边长依次围成的正方形的面积等于9减去4个三角形的面积，而这4个三角形刚好拼成4个格点正方形，它们的面积为4，所以一个面积为9的格点正方形相邻两边长的13点和23点的连线为边长依次围成的正方形是面积为5的格点正方形.生2：我用面积为9的格点正方形纸，经过剪纸验证了这个格点正方形是面积为5的格点正方形.生3：可以画出4个面积为5的格点正方形.问题2：(1)一个面积为2的格点正方形边长是多少？(2)一个面积为5的格点正方形边长是多少？师：请同学们认真观察、思考，可以互相讨论，然后回答问题2.生1：正方形的面积等于边长的平方，我们已知正方形的面积，求边长，就是已知一个数的平方，求这个数.可以用开平方运算.生2：(1)设边长为x，则x2＝2；因为x＞0，所以x＝ 2.(2)设边长为x，则x2＝5；因为x＞0，所以x＝ 5.2.引入新课.问题3：2、5是怎样的数？师：请同学们结合问题1和问题2进行思考，可以互相讨论，然后回答问题3.2、5存在吗？2、5又是怎样的一个数？生：2、5分别是面积为2、5的格点正方形的边长，应当是存在的.师：下面我们来共同探究2是怎样的一个数.首先，请同学们想一想，2介于哪两个整数之间？生：因为1＜2＜4，所以1＜2＜4，即1＜2＜2.这说明2不能是整数.师：1和2之间的一位小数有1.1，1.2，…，1.9，那么2是其中的哪个小数呢？如何确定？生：在这九个数中找出平方最接近2的那两个小数，这两个小数是1.4和1.5.因为1.42＝1.96，1.52＝2.25，1.96＜2＜2.25，所以 1.96＜2＜ 2.25，即1.4＜2＜1.5.师：这又有什么意义？生：2是介于1.4和1.5之间的一个两位小数.师：1.4和1.5之间的两位小数有1.41，1.42，…，1.49，那么2是其中的哪个小数呢？如何确定？生：同样是在这九个数中找出平方最接近2的那两个小数，这两个小数是1.41和1.42.因为1.412＝1.988 1，1.422＝2.016 4，1.988 1＜2＜2.016 4，所以 1.988 1＜2＜ 2.016 4，即1.41＜2＜1.42.师：这又有什么意义？生：2是介于1.41和1.42之间的一个三位小数.师：类似地，可得1.414＜2＜1.415，……像上面这样逐步逼近，我们可以得到：2＝1.414 213 5…它可以根据需要，想算到哪位，就可以算到哪位，即可无限继续算下去.因此，2是一个无限不循环小数，它不是有理数.同样5也是一个无限不循环小数，它也不是有理数，同学们课后可以用课本上同样的方法去探究.3.无理数的概念师：有理数包括哪些数？生：有理数包括整数和分数.师：整数和分数可以统一写成什么形式？生：整数可以看作分母为1的分数.因此，整数和分数可以统一写成分数的形式.师：这就是说，有理数总可以写成nm(m、n是正整数，且m≠0)的形式.分数能化成小数的形式吗？请同学们举例说明.有理数呢？生：3＝31＝3.0，12＝0.5，13＝0.3·，911＝0.81··.分数都可以化为有限小数或无限循环小数.因此，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数. 师：2＝1.4142135…是无限循环小数吗？是有理数吗？ 生：2不是无限循环小数，不是有理数，2是无限不循环小数. 师：今天引入一个新概念，我们把无限不循环小数叫做无理数.因此，2是无理数.此外，3＝1.732050808…，33＝1.44224957…，π＝3.14159265…这些数都是无限不循环小数.许多开方开不尽的数都是无限不循环小数.圆周率π以及以后要学的自然对数的底等数虽然不用根号的形式表示，但它们也是无限不循环小数，它们都是无理数.师：有同学说无理数就是开方开不尽的数，对不对？生1：不对.如圆周率π不是开方开不尽的数，但它是无理数.生2：只能说开方开不尽的数是无理数，但不能说无理数就是开方开不尽的数，因为所有无限不循环小数都是无理数，不仅仅是开方开不尽的数才是无理数.师：类似的，无理数可分为正无理数与负无理数.如2、3、π是正无理数，－2、－3、－π是负无理数.4.实数的概念.师：有理数和无理数统称为实数.这样，我们认识的数的范围又扩大了.5.实数的分类.师：我们可以将实数按如下方式分类.(多媒体展示实数分类表)实数⎩⎪⎨⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正有理数零负有理数有限小数或无限循环小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正无理数负无理数无限不循环小数三、例题分析1.教师出示课本第12页练习题.师：π、64、－38都是无理数吗？生：π是无理数，64＝8、－38＝－2都是有理数.师：因此，用根号形式表示的数并非都是无理数，必须先认真观察计算，不能一看见用根号形式表示的数就盲目认为是无理数.师：用根号形式表示的数与无理数是怎样的关系？生：用根号形式表示的数，不一定是无理数，无理数不一定是用根号形式表示的数.师：0.213··如何写成分数的形式？生：0.213··＝213－2990＝211990. 2.按大小对实数进行分类.(多媒体展示分类表)师：实数还可以如何分类？为什么？生：因为有理数、无理数都有正、负之分，所以实数也可以有正、负之分，可分为正实数、负实数和零.师：有同学说实数可分为正实数、负实数.对不对？为什么？生：不对，将0遗漏了.师：请同学们注意，实数按大小分类时，不能将0遗漏.3.思考，每一个有理数都可用数轴上的一个点来表示，那无理数也能用数轴上的点表示吗？如2呢？用多媒体展示：师：以数轴上的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心，这个正方形对角线长为半径画弧，以数轴正半轴的交点记作A，与数轴负半轴的交点记作A′，图中点A、点A′两点分别表示什么数？生1：因为图中正方形可以看成是面积为1的格点正方形，它的对角线长就是面积为2的格点正方形的边长，因此，对角线长应是2，也就是点A表示的数是 2.生2：因为A′点在数轴负半轴上，OA′的长也是对角线长，所以A′点表示的数是－ 2.师：通过以上演示，同学们发现了什么？生：无理数2、－2都能用数轴上的点来表示.师：一般地，与有理数一样，每个无理数也都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的点不是表示无理数就是表示有理数.所以实数和数轴上的点一一对应.四、提升练习问题：直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点A由原点到达A′，点A′表示的是什么数？师：要求出点A′表示的是什么数，同学们是怎么想的？生1：要求出点A′表示的是什么数，只要求出点A从原点沿数轴向右滚动一周到点A′的路程长度就行了.生2：我知道，就是圆的周长，圆的周长等于直径乘以π.生3：点A′表示的数是π.师：由此，无理数π也可以用数轴上的点来表示.五、课堂小结1.无理数与有理数的区别是什么？2.实数可以怎样分类？3.实数与数轴上的点有怎样的对应关系？学生回答，教师评价.。