第八章 地基承载力(第4-5节)

(8 - 51)
c ctg p D sin 2 z 2 D sin
1 3 sin 1 3 2c ctg
(5 - 7)
39

将式（8－51）对求导，并令dz/d=0得
dz p D cos 2 2 1 0 d sin 故 cos 2 sin 得2
B
2
N cNc qNq
(8 - 32)
14
式中，
tg K p1 N 1 2 2 cos K p2 Nc tg 2 cos K p3 Nq cos2
(8 - 33) (8 - 34) (8 - 35)

地基承载力系数N、Nc、Nq的值只与土 的内摩擦角有关（图8-18）。
(2 sin 2 ) p D 3 (2 sin 2 )
1
p D
(8 - 49)
式中，2为M点与长条荷载边缘连线MA、 MB之间的夹角（弧度）。大主应力1的 方向在AMB的分角线上。
36
37

假定静止土压力系数 K0＝1，任意点M由 于外荷载及土的自重所产生的总主应力 为：
BcKp 2 BqKp3 1 2 K p1 E p B tg 2 2 8 cos 2 cos 2 cos2 (8 - 31)

将式（8－31）代入式（8－26），经过 整理后得：
K p3 K p 2 B tg K p1 pu 1 tg q c 2 2 2 2 2 cos cos cos
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设计中往往选用临塑荷载pcr或临界荷载 p1/4和p1/3作为地基容许承载力的初值。 p1/4和p1/3分别代表基础下极限平衡区发展 的最大深度等于基础宽度B的1/4和1/3时 所对应的荷载。
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临塑荷载pcr、临界荷载p1/4和p1/3的特性：
（1）地基即将产生或已产生局部破坏，但 尚未发展成整体失稳，这时地基土的强 度已经比较充分的发挥，但距离丧失稳 定则尚有足够的安全系数。

2

(8 - 52)

将式（8－52）代入式（8－51）得极限 平衡区最大发展深度的计算公式
p D c ctg zmax D ctg 2 (8 - 53)
40
2．临塑荷载pcr和临界荷载p1/3、p1/4

当zmax=0时，由式（8－53）得到临塑荷 载pcr；令zmax=B/4或zmax=B/3得到的压应 力p就是临界荷载p1/3和p1/4。
第四节 地基极限承载力的其它分析方法
一、基础下形成刚性核时地基的极限承载 力—太沙基解（地基土整体剪切破坏） 在荷载作用下基础向下移动时，由于基 础底面与地基表面之间的摩擦作用，基 底下的土体形成一个刚性核（或弹性 核），它与基础一起整体竖直向下移动 （图8－16 ）。由于刚性核的存在，在整 体剪切破坏时地基中部分土体不处于极 限平衡状态。
注意：当基底的摩擦力不足以完全限制 土体ABC的侧向变形，则 < BAC < 45o+/2（主动土压力时）。
6


刚性核代替了普朗德尔解的朗肯主动区 （即I区），因此在考虑有刚性核存在时， 地基滑裂面的形状只由朗肯被动区和对 数螺线过渡区所构成。
7
（二）从刚性核的静力平衡条件求地基的 极限承载力 取刚性核为隔离体，将两个侧面AC和BC 当成挡土墙的墙背。土体破坏时的基底 压应力就是极限承载力pu。
式中，z、x和xz—用弹性理论计算的 附加应力；—土的容重；z—计算点在 基底以下的深度；D—基础的埋置深度； Ko—静止土压力系数。
30
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2．根据式（8－47）的应力，求各计算点 的主应力：
1 3 z x
2
2 z x zx 2 2 z x zx 2 2 2
41
ctg pcr D 1 c ctg ctg 2 2

太沙基假定基础完全粗糙、刚性核与基 础成为一个整体沿竖直方向下沉。因此 刚性核的尖端C点处左右两侧的曲线滑裂 面必定与铅垂线CM相切（图8－17a）。
4
B C

A 900+
M
无粘性土
无重粘性土
5

设刚性核的两个侧面AC和BC是滑裂面， 则按极限平衡理论，两组滑裂线的交角 ACM为（900+）（被动土压力），因 此BAC=。
19

汉森极限承载力公式为：
(8 - 45)
1 pu BN s d i g b qN q sq d q iq g q bq cN c sc d c ic g c bc 2
N、Nc、Nq—地基承载力系数。

在汉森公式中取
2 0
N q tg (45 )e tg，N c ( N q 1)ctg ，N 1.8( N q 1)tg 2
8

当BAC=时，被动土压力 Ep的方向竖 直向上（被动土压力在挡土墙法线下侧 并与其成角）。因此，刚性核的静力平 衡条件为：
pu B 2 E p cBtg
B 2
4
tg
(8 聚力的竖 直分量，B2tg/4为刚性核的自重。
9
（三）被动土压力Ep的确定
1
2


当基底下土体形成一个弹性核时，其边 界条件相当复杂，难以直接应用极限平 衡偏微分方程组求地基的极限承载力。 通常先假定刚性核和滑裂面的形状，再 应用极限平衡条件和隔离体的静力平衡 条件求极限承载力的近似解。太沙基公 式是这种半理论半经验方法中应用最广 泛的一个。
3
（一）刚性核和滑裂面形状的确定
34
（三）长条均布荷载下极限平衡区的发展 和界限荷载的计算方法 1．极限平衡区的界线方程式和最大发展深 度 用一般计算方法确定极限平衡区的发展 范围，工作量大。长条均布荷载属平面 问题，可以直接推导出极限平衡区的界 线方程，使计算工作得以简化。
35

根据弹性力学解，条形均布荷载作用下， 地基中M点由于荷载（p-D）所引起的 主应力为：

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s、sc、sq—相应于基础形状的修正系数；
d、dc、dq—相应于考虑埋深范围内土强度 的深度修正系数； i、ic、iq—相应于荷载倾斜的修正系数；
g、gc、gq—相应于地面倾斜的修正系数；
b、bc、bq—相应于基础底面倾斜的修正系 数。
21
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第五节 地基的容许承载力
一、地基容许承载力的概念 正确的地基设计，既要满足地基稳定性 的要求，也要满足地基变形的要求，即 地基设计应按照两种极限状态设计。 作用在基底的压应力既不超过地基的极 限承载力，并且有足够的安全度，而且 所引起的变形也不超过建筑物的容许变 形，此时地基单位面积上所能承受的荷 载就称为地基的容许承载力。
23

地基的容许承载力不仅决定于地基土的 性质，而且还受基础宽度、基础埋置深 度以及建筑物的容许沉降量的影响。建 筑物的容许变形一般较难确定，因此地 基容许承载力的确定就很困难。
24

地基容许承载力的求法： 首先保证地基稳定的要求。按极限承载 力除以安全系数（通常取2~3）；或者是 控制地基内极限平衡区的发展范围；或 者采用地基规范承载力表作为容许承载 力的初值（或称为承载力设计值）。根 据这个初值设计基础。
E p E p1 E p 2 Ep3 (8 - 27)
11


无粘性土因滑裂土体重量引起的被动土 压力可按库伦土压力理论计算，表达为 K p1 1 2 E p1 H (8 - 28) 2 cos sin 无重粘性土由粘聚力c和侧荷载q引起的 被动土压力可分别表示为
E p2 H E p3 H cK p 2 cos sin qK p 3 cos sin (8 - 29) (8 - 30)
(2 2 sin ) ( D z ) p D 3 (2 sin 2 ) ( D z )
1
p D
(8 - 50)
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将公式（8－50）代入极限平衡条件公式 （5－7）中，可以得到极限平衡区界线 的方程式：
(8 - 40)
17

由于降低了内摩擦角，因此承载力系数 N’、Nc’和Nq’小于相应的N、Nc和Nq。修 改后的数值见图8-18中虚线所示。
注意：当用时，应查图中的虚线；若用 降低后的 时，则应查图中的实线。

18
二、汉森极限承载力公式 汉森对条形竖直均布荷载条件下的极限 承载力公式进行了多项修正，包括非条 形荷载的基础形状修正、埋深范围内考 虑土抗剪强度的深度修正、基底有水平 荷载时的荷载倾斜修正、地面有倾角时 的地面修正以及基底有倾角 时的基底 修正。
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然后进行沉降验算。 如果沉降也满足要求，则这时的基底压 力就是地基的容许承载力。
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二、按控制地基中极限平衡区（塑性区） 发展范围的方法确定地基的容许承载力 （一）基本概念 基础上的荷载达到临塑荷载时，地基土 中就开始发生极限平衡区。极限平衡区 随着荷载的增加而扩展。当荷载达到极 限承载力时，地基产生稳定破坏。
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式中，H—刚性核的竖直高度，H=Btg/2； —刚性核的底角； —刚性核的外侧倾角，即=180-； Kp1、Kp2、Kp3—分别为由于滑裂土体重量、 滑裂面上粘聚力和侧荷载所产生的被动 土压力系数。 注意：此时的滑裂面已不是古典库伦理 论中的平面假定！
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当=时（因H=(B/2)tg） ，