图形综合题

图形综合题1、已知：如图，在正方形ABCD中，AD=12，点E是边CD上的动点（点E 不与端点C，D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD，AE，BC于点F，H，G，交AB的延长线于点P．（1）设DE=m（0＜m＜12），试用含m的代数式表示FHHG的值；（2）在（1）的条件下，当FHHG=12时，求BP的长．（1）过点G作GQ⊥AD于Q，则QG=AB=AD=12，∠FQG=∠D=90°∵∠QFG+∠DAE=∠AED+∠DAE=90°，∴∠QFG=∠AED ∴△QFG≌△AED ∴FG=EA，FQ=DE=m∵FP的垂直平分线AE ∴AH=1/2AE=1/2FG，∠FHA=∠FQG=90°∵∠FHA=∠FQG=90°，∠AFH=∠GFQ ∴△FHA∽△FQG∴FH/AH=FQ/QG ∴FH=AH×FQ/QG=1/2FG×m/12=m/24*FGHG=FG-FH=FG-m/24*FG=（24-m）/24*FG∴FH/HG=[m/24*FG]/[（24-m）/24*FG]=m/（24-m）（2）当FH/HG=1/2时m/（24-m）=1/2 ∴m=8∴FH=m/24*FG=1/3*√（8²+12²）=4/3√13∵FH/AH=FQ/QG=m/12=2/3∴AH=2√13∴FQ=√（FH²+AH²）=26/3GB=QA=FA-FQ=26/3-m=2/3∵△GBP∽△FQG∴BP/GB=QG/FQBP=2/3×12/8=12、如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点Q从A点出发沿AB向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了xs．（1）Q点的坐标为（2+3/5 x，4-4 /5 x）（2+3 /5 x，4-4/5 x）（用含x的代数式表示）；（2）当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？（3）记PQ的中点为G．请你探求点G随点P，Q运动所形成的图形，并说明理由．（1）（2）有了A、Q的坐标，如果分别过A、Q做x轴的垂线，通过构成的直角三角形，不难用x表示出AQ、AP和PQ的值，然后分AP=AQ，PQ=AP两种情况进行讨论，得出x的值．（3）通过观察G点似乎应该在三角形ABO的中位线上，因此它的轨迹应该是个线段．可设AB、BO的中点分别为点M、N，设MN、PQ相交于点G′，只要证明G′与G重合，也就是G′是QP的中点即可．过点P作PK∥AO交AB于点K．只要证明KM=QM就行了，根据三角形AOB为等腰三角形，AQ、PK、MN都平行，不难得出AQ=BK，AM=BM，因此便可得出KM=QM了．由此便可得出G′是PQ中点，与G重合．解答：解：（1）（2+3 5 x，4-4 5 x）．（2）由题意，得P（5-x，0），0≤x≤5 由勾股定理求得PQ2=（8 5 x-3）2+（4-4 5 x）2 AP2=（3-x）2+42若AQ=AP，则x2=（3-x）2+42，解得x=25 6 若PQ=AP则（8 5 x-3）2+（4-4 5 x）2=（3-x）2+42即11 5 x2-10x=0，解得x1=0（舍去），x2=50 11经检验，当x=25 6 或x=50 11 时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形．（3）设AB、BO的中点分别为点M、N，则点G随点P、Q运动所形成的图形是线段MN设MN，PQ相交于点G′，过点P作PK∥AO交AB于点K∴PK∥AO∥MN∴△A0B∽△KPB∽△MNB．∵AB=OB ∴BK=BP=AQ，BM=BN∴BK-BM=AQ-BM，BK-BM=AQ-AM即KM=QM∴PG′=QG′∴G′是PQ的中点即点G′与点G重合．∴点G随点P、Q运动所形成的图形是△OBA的中位线MN．点评：本题考查综合应用点的坐标，等腰三角形的判定等知识进行推理论证、运算及探究证明的能力．3、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t，T为何值时，△PBQ为直角三角形？解：（1）∵点P的运动速度为1cm/s，点Q的运动速度为2cm/s∴AP=t，BQ=2t∴BP=6-t∵t=2∴BP=6-2=4,BQ=2×2=4∴BP=BQ∴△BPQ为等腰三角形又∵在等边三角形ABC中，∠ABC=60°∴△BPQ为等边三角形（一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）（2）过Q点作QM⊥AB于M（我发的图上作了这个垂直，可以参照我的图看以下的解题过程）∵∠MBQ=60°,∠BMQ=90°∴∠BQM=180°-∠MBQ-∠BMQ=30°∴BM=BQ/2=2t/2=t∴QM=√(BQ²-BM²)=(√3)t∴S△BMQ=(BM×QM)/2=[(√3)/2]t²∵AP=t,BM=t,AB=6∴PM=6-t-t=6-2t∴S△PMQ=(QM×PM)/2=[(√3)t×(6-2t)]÷2=（2√3）t∴S△BPQ=S△BMQ＋S△PMQ=[(√3)/2]t²＋（2√3）t∴S=[(√3)/2]t²＋（2√3）t(3)讲一下思路吧：∵QR‖AB ∴∠PRQ=∠APR，那么还要证另一组等角。

要是△APR∽△PRQ，则∠PQR=∠ARP ∵QR‖AB ∴∠PQR=∠BPQ ∴∠ARP=∠BPQ然后可以观察到△APR∽△BQP(∠ARP=∠BPQ,∠A=∠B=60°)那么只要使△APR∽△BQP，则∠ARP=∠BPQ，我们就可以证出刚才所说的另一组等角了（∠PQR=∠ARP）。

要使△APR∽△BQP，我们当然不能证两组角相等，因为角相等(∠ARP=∠BPQ)是证它所得的结论那么则要使两条边（AP对应BQ,AR对应BP）对应成比例且他们的夹角（∠A=∠B=60°）相等∵AP/BQ=t/2t=1/2 ∴AR/BP=1/2因为平行线(本题中是QR‖AB)分得的线段成比例，所以AR/AC=BQ/BC.∵AC=BC ∴AR=BQ∴BQ/BP=1/2 ∴2t/(6-t)=1/2 解得：t=6/54、如图所示，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=6，E、F分别是AB．AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x．（1）当x= EF时，求S△DPE：S△DBC的值；（2）当CQ= CE时，求y与x之间的函数关系式；（3）①当CQ= CE时，求y与x之间的函数关系式；②当CQ= CE（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式．考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；三角形中位线定理。

专题：代数几何综合题；压轴题。

分析：（1）根据中位线定理、相似三角形的判定与性质可以求得S△DPE：S△DBC的值；（2）（3）问的解答，采用一般到特殊的方法．解答中首先给出了一般性结论的证明，即当EQ=kCQ（k＞0）时，y与x满足的函数关系式为：y=6k﹣x；然后将该关系式应用到第（2）（3）问中求解．在解题过程中，充分利用了相似三角形比例线段之间的关系．另外，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质得出了一个重要结论（（2）中①式子），该结论在解题过程中发挥了重要作用．解答：解：（1）∵E、F分别是AB．AC的中点，x= EF，∴EF∥BC，且EF= BC，∴△EDP∽△CDB，∴= ，∴S△DPE：S△DBC=1：36；（2）如右图，设CQ=a，DE=b，BD=c，则DP=y﹣c；不妨设EQ=kCQ=ka（k＞0），则DQ=ka﹣b，CD=（k+1）a﹣b．过Q点作QM⊥BC于点M，作QN⊥BP于点N，∵BQ平分∠CBP，∴QM=QN．∴，又∵，∴，即①∵EP∥BC，∴，即②∵EP∥BC，∴，即③由①②③式联立解得：y=6k﹣x ④当CQ= CE时，k=1，∴y与x之间的函数关系式为：y=6﹣x．（3）当CQ= CE时，k=2，由（2）中④式可知，y与x之间的函数关系式为：y=12﹣x；当CQ= CE（n为不小于2的常数）时，k=n﹣1，由（2）中④式可知，y与x之间的函数关系式为：y=6（n﹣1）﹣x；点评：本题综合考查了相似三角形线段之间的比例关系、三角形中位线定理和角平分线性质等重要知识点，难度较大．在解题过程中，涉及到数目较多的线段和较为复杂的运算，注意不要出错．本题第（2）（3）问，采用了从一般到特殊的解题思想，简化了解答过程；同学们亦可尝试从特殊到一般的解题思路，即当CQ= CE时，CQ= CE时分别探究y与x的函数关系式，然后推广到当CQ= CE（n为不小于2的常数）时的一般情况．：(1)∵E、F分别是AB．AC的中点，x=EF，∴EF∥BC，且EF=BC，∴△EDP∽△CDB，∴=，∴S△DPE：S△DBC=1：36；(2)如右图，设CQ=a，DE=b，BD=c，则DP=y﹣c；不妨设EQ=kCQ=ka(k＞0)，则DQ=ka﹣b，CD=(k+1)a﹣b．过Q点作QM⊥BC于点M，作QN⊥BP于点N，∵BQ平分∠CBP，∴QM=QN．∴，又∵，∴，即①∵EP∥BC，∴，即②∵EP∥BC，∴，即③由①②③式联立解得：y=6k﹣x ④当CQ=CE时，k=1，∴y与x之间的函数关系式为：y=6﹣x．(3)当CQ=CE时，k=2，由(2)中④式可知，y与x之间的函数关系式为：y=12﹣x；当CQ=CE(n为不小于2的常数)时，k=n﹣1，由(2)中④式可知，y与x之间的函数关系式为：y=6(n﹣1)﹣x；解析：分析：(1)根据中位线定理、相似三角形的判定与性质可以求得S△DPE：S△DBC的值；(2)(3)问的解答，采用一般到特殊的方法．解答中首先给出了一般性结论的证明，即当EQ=kCQ(k＞0)时，y与x满足的函数关系式为：y=6k﹣x；然后将该关系式应用到第(2)(3)问中求解．在解题过程中，充分利用了相似三角形比例线段之间的关系．另外，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质得出了一个重要结论((2)中①式子)，该结论在解题过程中发挥了重要作用．点评：本题综合考查了相似三角形线段之间的比例关系、三角形中位线定理和角平分线性质等重要知识点，难度较大．在解题过程中，涉及到数目较多的线段和较为复杂的运算，注意不要出错．本题第(2)(3)问，采用了从一般到特殊的解题思想，简化了解答过程；同学们亦可尝试从特殊到一般的解题思路，即当CQ=CE时，CQ=CE时分别探究y与x的函数关系式，然后推广到当CQ=CE(n为不小于2的常数)时的一般情况．5、（2012•青岛）问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊性的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以△ABC的三个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．探究二：以△ABC的三个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨假设点Q在△PAC内部，如图②；另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨假设点Q在PA上，如图③．显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个不重叠的小三角形．探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点可把△ABC分割成7个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个顶点可把△ABC分割成2m+1个互不重叠的小三角形．探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个顶点可把四边形分割成2m+2个互不重叠的小三角形．问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个顶点可把△ABC分割成2m+n-2个互不重叠的小三角形．实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）考点：作图—应用与设计作图；规律型：图形的变化类．专题：阅读型；规律型．分析：探究三：分三角形内部三点共线与不共线两种情况作出分割示意图，查出分成的部分即可；探究四：根据前三个探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，根据此规律写出（m+3）个点分割的部分数即可；探究拓展：类似于三角形的推理写出规律整理即可得解；问题解决：根据规律，把相应的点数换成m、n整理即可得解；实际应用：把公式中的相应的字母，换成具体的数据，然后计算即可得解．解答：解：探究三：如图，三角形内部的三点共线与不共线时都分成了7部分，故答案为：7；分割示意图（答案不唯一）探究四：三角形内部1个点时，共分割成3部分，3=3+2（1-1），三角形内部2个点时，共分割成5部分，5=3+2（2-1），三角形内部3个点时，共分割成7部分，7=3+2（3-1），…，所以，三角形内部有m个点时，3+2（m-1）或2m+1；…4分探究拓展：四边形的4个顶点和它内部的m个点，则分割成的不重叠的三角形的个数为：4+2（m-1）或2m+2；…6分问题解决：n+2（m-1）或2m+n-2；…8分实际应用：把n=8，m=2012代入上述代数式，得2m+n-2，=2×2012+8-2，=4024+8-2，=4030．…10分点评：本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律的问题，读懂题目信息，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键．6、/math/ques/detail/9f802638-5424-4189-afdd-fb4243c4af61如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．（1）请你探究：ACAB=CDDB，AC1AB1=C1DDB1是否都成立？（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问ACAB=CDDB一定成立吗？并证明你的判断．（3）如图2所示Rt△ABC中，∠ACB=90︒，AC=8，AB=403，E为AB上一点且AE=5，CE交其内角角平分线AD于F．试求DFFA的值．ACAB=CDDB；由于∠C1AB1=60°，得∠B1=30°，则AB1=2AC1，同理可得到DB1=2DC1，易得AC1AB=C1DDB1；（2）过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠E=∠CAD=∠BAD，则BE=AB，并且根据相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到ACBE=CDDB，而BE=AB，于是有ACAB=CDDB，这实际是三角形的角平分线定理；（3）AD为△ABC的内角角平分线，由（2）的结论得到CDDB=ACAB=8403=35，EFFC=AEAC=58，又AEEB=5403-5=35，则有CDDB=AEEB，得到DE∥AC，根据相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，即有∴DFAF=EFCF=58．解答：解：（1）两个等式都成立．理由如下：∵△ABC为等边三角形，AD为角平分线，∴AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，∴DB=CD，∴ACAB=CDDB；∵∠C1AB1=60°，∴∠B1=30°，∴AB1=2AC1，又∵∠DAB1=30°，∴DA=DB1，而DA=2DC1，∴DB1=2DC1，∴AC1AB1=C1DDB1；（2）结论仍然成立，理由如下：如右图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，∴∠E=∠CAD=∠BAD，∴BE=AB，∵BE∥AC，∴△EBD∽△ACD，∴ACBE=CDDB而BE=AB，∴ACAB=CDDB；（3）如图，连DE，∵AD为△ABC的内角角平分线∴CDDB=ACAB=8403=35，EFFC=AEAC=58，又∵AEEB=5403-5=35，∴CDDB=AEEB，∴DE∥AC，∴△DEF∽△ACF，∴DFAF=EFCF=58．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线被其它两边所截，所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了等边三角形的性质、含30°的直角三角形三边的关系以及角平分线的性质．（1）当时，求线段的长；M AB C、P、Q« 上一页123 ...366643666536666 36667 3666836669∴．即，∴．…………………………………1分（2）或或4．……………………………………………3分由（1）可得．即QM=2t．∴QE=4-2t．………………………2分∴S△PQC =PC·QE=………………………………………………1分即当＞2时，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H.．由题意得，．∴ ．∴．∴ ．∴．∴ PQ∥．CH⊥PQ，HF=AP=6- t∴S△PQC =PQ·CH=………………………………………1分即y=综上所述或y= ( 2< <6) …………………1分如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB‖OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB＝OC．（1）求点B的坐标；（2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OB，垂足为H，设△HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；问题补充：解：（1）如图1，过点B作BN⊥OC，垂足为N∵(OA-8)2+10-OC=0，OB=OC，∴OA=8，OC=10∴OB=OC=10，BN=OA=8，∴ON=OB2-BN2=6．∴B（6，8）（2）如图1，∵∠BON=∠POH，∠ONB=∠OHP=90°．∴△BON∽△POH，∴BOPO=ONOH=BNPH∵PC=5t．∴OP=10-5t．∴OH=6-3t．PH=8-4t．∴BH=OB-OH=10-（6-3t）=3t+4，∴S= 12（3t+4）（8-4t）=-6t 2+4t+16，∴t的取值范围是：0≤t＜2如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A．（1）∠BEF=180°-2α（用含α的代数式表示）；（2）当AB=AD时，猜想线段EB、EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB=mDE，AD=nDE”，其他条件不变（如图），求EBEF的值（用含m，n的代数式表示）考点：相似三角形的判定与性质；梯形．分析：（1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，根据平行线的性质，易求得∠A的度数，又由∠BEF=∠A，即可求得∠BEF的度数；（2）首先连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得△EOB∽△DOF，根据相似三角形的对应边成比例，可得OEOD=OF，继而可证得△EOD∽△BOF，又由相似三角形的对应角相等，易得∠EBF=∠EFB=α，即可得EB=EF；（3）首先延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得△DEF∽△GBE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得EBEF的值．解答：（1）解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°，∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α，又∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠A=180°-2α；故答案为：180°-2α；（2）EB=EF．证明：连接BD交EF于点O，连接BF．∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α，∠ADC=180°-∠C=180°-α．∵AB=AD，∴∠ADB=12（180°-∠A）=α，∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=180°-2α，由（1）得：∠BEF=180°-2α=∠BDC，又∵∠EOB=∠DOF，∴△EOB∽△DOF，∴OEOD=OBOF，即OEOB=OF，∵∠EOD=∠BOF，∴△EOD∽△BOF，∴∠EFB=∠EDO=α，∴∠EBF=180°-∠BEF-∠EFB=α=∠EFB，∴EB=EF；（3）解：延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，则∠G=∠AEG=180°-∠A2=180°-(180°-2α)2=α，∵AD∥BC，∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC，∴∠EDF=∠G，∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠GBC，∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，即∠EBG=∠FED，∴△DEF∽△GBE，∴EBEF=BGDE，∵AB=mDE，AD=nDE，∴AG=AE=（n+1）DE，∴BG=AG-AB=（n+1）DE-mDE=（n+1-m）DE，∴EBEF=BGDE=(n+1-m)DEDE=n+1-m．。