柯西积分概念与勒贝格积分概念的比较
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x n = b 使 f ( x) 在每个区间 ( xk - 1 , xk ) 取常值 ck ,
∫
a
b
f ( x) dx = Lim
n →∞
f ( x) dx ∫
a n
b
在分点 xk 取值 ck - 1 或 ck ,则称 f ( x ) 为定义在
[ a , b ] 上的阶梯函数 ,又称 a = x0 < x1 < … <
科技出版社 .
[3] 沈燮昌、 邵品琮等 1 数学分析纵横谈 [ M ]1 北京大学
∫
[0 ,1]
D ( x ) dx = 0 ,
出版社 ,1991.
[4] 孙家宸等 1 实变函数与泛函分析 [ M ]1 东北师范大
312 在柯西积分理论中 ,处理极限和积分
学出版社 ,1995.
[5] 王大海、 陈太道 1 柯西积分概念及其与黎曼积分的
111 阶梯函数的积分及其性质
{ f n ( x) } 为在[ a , b ] 上一致收敛于 f ( x ) 的阶梯
函数列 ,正则函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的积分 可如下定义 :
定义 1 设 f ( x ) 定义在闭区间[ a , b ] 上 , 若存在[ a , b ] 的一个分法 : a = x0 < x1 < … <
参考文献
[1] H1π 1 那汤松 1 实变函数论 [ M ]1 徐瑞云译 1 人民教
则定义 f ( x) 在区间[ a , b ] 上的勒贝格积分为 :
∫
f ( x ) dx = Lim
n →∞
φ ( x) dx ∫
a n
b
注意 :函数 f ( x) 在[ a , b ] 上的勒贝格积分 与单调的简单函数序列{φn ( x) } 的选取无关
摘 要 :介绍了柯西积分概念及定义在区间上的实函数的勒贝格积分概念 ,并将两者加 以比较. 关键词 :柯西积分 ;勒贝格积分 ;概念比较 中图分类号 :) 17212 文献标识码 :A 文章编号 :1008 - 6722 (2003) 02 - 0006 - 02
1 柯西积分概念
Limφ n ( x) = f ( x )
n →∞
则称 f ( x ) 是区间[ a , b ] 上的可测函数.
213 定义在区间 [ a , b ] 上的实函数的勒
设 f ( x) 是 区 间 [ a , b ] 上 的 正 则 函 数 ,
收稿日期 :2003 - 03 - 08
作者简介 : 陈太道 (1958 - ) ,男 ,海南乐东人 ,琼州大学数学系讲师 .
定义 4 设 E 是可测集 ,φ( x) 是 E 上的有 限函数 ,如果 E 可分解为有限个互不相交的可 测子集 : E = ∪Ei ,使得φ( x) 在每个 Ei 上都恒
i =1 m
… + cn ( x n - x n - 1 ) =
i =1
6
n
ck ( xk - xk - 1 )
由[5] 知 , 在 [ a , b ] 上连续的每一个函数 f ( x ) ,都存在阶梯函数列{ f n ( x ) } , 且在 [ a , b ] 上一致收敛于 f ( x ) , 并且极限 Lim
cepts. Key words :Cauchy Integral Conceptp ;Lebesgue Integral Concept ;Concept Lomparison
Abstract :This article represents Cauchy Integral Concept and Lebesgue Integral Concept. It also compares the two con2
可以说柯西积分是为 “基本上” 是连续函数建立 的. 例 如 狄 里 克 雷 函 数 D ( x ) = 1 , x 是有理数 它在 [0 ,1] 区间上是有界函数 , 0 , x 是无理数 但不连续 ,柯西积分定义因有局限性. 但勒贝格 积分为
育出版社 ,1955.
[2] 夏道行等 1 实变函数论与泛函分析概要 [ M ]1 上海
f ( x ) ,则 f ( x ) 为正则函数 ,也称为准连续函数.
且 φ( x) = ck , x ∈ ( xk , xk +1 ) , k = 0 ,1 , …, n 1
设 f ( x ) 定义在区间 [ a , b ] 上 ,若在 [ a , b ] 上存在一系列简单函数{φ n ( x ) } ,使得在 [ a , b ] 上几乎处处地有
第 10 卷 第2期 琼州大学学报 2003 年 4 月 28 日 Vol. 10 No. 2 Journal of Qiongzhou University Apr. 28. 2003
柯西积分概念与勒贝格积分概念的比较
陈太道
( 琼州大学 , 海南 五指山 572200)
a n →∞ a n b b
定义 5 定义在区间[ a , b ] 上实数为简单 函数 , 如果区间 [ a , b ] 可以分为一些区间 [ xk ,
xk +1 ] 的和集 : a = x0 < x1 < … < xn = b
于是阶梯函数积分就推广到连续函数中来 了. 对连续函数的积分也有类似阶梯函数积分 的性质. 112 柯西积分概念 定义 3 设{ f n ( x ) } 为区间 [ a , b ] 上的阶 梯函数列 , 若{ f n ( x ) } 在 [ a , b ] 上一致收敛于
第 2 期 陈太道 : 柯西积分概念与勒贝格积分概念的比较 7
贝格积分 : 对于简单函数φ( x) (见[1]) 定义其勒贝格 积分为 :
∫
a
b
n- 1
φ( x ) dx =
k xk )
列可积函数的极限可能根本是不可积的 ,当然 更谈不上换序的问题. 例如 1 2 n x ,当 0 ≤ x ≤ n 设 S n ( x) = 则 S n ( x) 1 1 ,当 < x ≤1
0 当 x = 0
每个 S n ( x ) 都是柯西可积的 ,而极限函数
S ( x) 却不是柯西可积的. 这个一致收敛的要求
φ φ 其中 φ 1 ( x) ≤ 2 ( x) ≤ … ≤ n ( x) ≤ … 且 φ n ( x ) dx ≤ A < + ∞
a
∫
b a
b
或者常常得不到满足 ,或者招致繁琐的验证. 由 于积分与极限的换序问题不能顺利解决 ,就大 大降低了柯西积分的应用效果. 313 定义在区间上的实函数的勒贝格积 分与柯西积分尽管在形式上有许多类似之处 , 但本质上是不同的. 区别主要在于定义域的分 划. 柯西积分是把定义域分划成一些小区间 ,而 勒贝格积分实质是把函数值相近的点放在一起 作为分划中的子集. 显然柯西积分的分划必是 勒贝格的分划 ,而勒贝格的分划未必是柯西积 分的分划. 总之 ,勒贝格积分对于被积函数连续性的 要求降低些 ,运用起来更方便些 ,同时勒贝格积 分使原来不完备的空间完备了.
(参看[2] 中 P62 ～ P68) .
3 柯西积分与定义在区间上的实
函数的勒贝格积分比较
黎曼积分与柯西积分在运用中逐渐感到柯 西积分优于黎曼积分 (结论见 《中国高等教育研 究》 199719 ; P1497) . 但它们与勒贝格积分在应用 中相比还有很大的局限性.
311 柯西积分对函数的连续性依赖太强.
x n
现在可以对区间 [ a , b ] 上的可测函数 f ( x ) (见[2]) 定义其勒贝格积分了. 设{φn ( x) } 为单调上升的简单函数序列 , 且在[ a , b ] 上几乎处处地有 Limφ n ( x) = f ( x)
n →∞
1
收敛于 S ( x) =
x
,当 0 < x ≤1
n →∞
取某个常数值 ci , i = 1 ,2 , …, n ,则称 φ( x) 是
E 上的简单函数.
∫
a
b
f n ( x ) dx
212 可测函数的定义
由 f ( x) 唯一确定. 这样就可以将阶梯函数积分 列的极限定义为 f ( x) 在区间 [ a , b ] 上的积分 , 即
f ( x ) dx = Lim f ( x ) dx ∫ ∫
x n = b 为阶梯函数对应分法.
这样由最简单的阶梯函数的积分定义出发 得到了正则函数的积分定义 ,将这种形式积分 统称为 Cauchy 积分.
定义 2 阶梯函数 f ( x ) 在[ a , b ] 上的定积 分为
2 勒贝格积分的概念
211 简单函数的定义
∫
a
b
f ( x) dx = c1 ( x1 - x0 ) + c2 ( x2 - x1 ) +
交换顺序时 ,所要求的条件也是相当苛刻的 ,一 比较 [ J ]1 琼州大学学报 11994 (1) :161 — 167. 般要求一致收敛性. 因为如果不一致收敛 ,则一 The Comparison of Cauchy Integral Concept and Lebesgue Integtal Concept CHEN Tai - dao (Department of Mathematics ,Qiongzhou University ,Wuzhishan Hainan 572200 ,China)
∫
a
b
f ( x) dx = Lim
n →∞
f ( x) dx ∫
a n
b
在分点 xk 取值 ck - 1 或 ck ,则称 f ( x ) 为定义在
[ a , b ] 上的阶梯函数 ,又称 a = x0 < x1 < … <
科技出版社 .
[3] 沈燮昌、 邵品琮等 1 数学分析纵横谈 [ M ]1 北京大学
∫
[0 ,1]
D ( x ) dx = 0 ,
出版社 ,1991.
[4] 孙家宸等 1 实变函数与泛函分析 [ M ]1 东北师范大
312 在柯西积分理论中 ,处理极限和积分
学出版社 ,1995.
[5] 王大海、 陈太道 1 柯西积分概念及其与黎曼积分的
111 阶梯函数的积分及其性质
{ f n ( x) } 为在[ a , b ] 上一致收敛于 f ( x ) 的阶梯
函数列 ,正则函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的积分 可如下定义 :
定义 1 设 f ( x ) 定义在闭区间[ a , b ] 上 , 若存在[ a , b ] 的一个分法 : a = x0 < x1 < … <
参考文献
[1] H1π 1 那汤松 1 实变函数论 [ M ]1 徐瑞云译 1 人民教
则定义 f ( x) 在区间[ a , b ] 上的勒贝格积分为 :
∫
f ( x ) dx = Lim
n →∞
φ ( x) dx ∫
a n
b
注意 :函数 f ( x) 在[ a , b ] 上的勒贝格积分 与单调的简单函数序列{φn ( x) } 的选取无关
摘 要 :介绍了柯西积分概念及定义在区间上的实函数的勒贝格积分概念 ,并将两者加 以比较. 关键词 :柯西积分 ;勒贝格积分 ;概念比较 中图分类号 :) 17212 文献标识码 :A 文章编号 :1008 - 6722 (2003) 02 - 0006 - 02
1 柯西积分概念
Limφ n ( x) = f ( x )
n →∞
则称 f ( x ) 是区间[ a , b ] 上的可测函数.
213 定义在区间 [ a , b ] 上的实函数的勒
设 f ( x) 是 区 间 [ a , b ] 上 的 正 则 函 数 ,
收稿日期 :2003 - 03 - 08
作者简介 : 陈太道 (1958 - ) ,男 ,海南乐东人 ,琼州大学数学系讲师 .
定义 4 设 E 是可测集 ,φ( x) 是 E 上的有 限函数 ,如果 E 可分解为有限个互不相交的可 测子集 : E = ∪Ei ,使得φ( x) 在每个 Ei 上都恒
i =1 m
… + cn ( x n - x n - 1 ) =
i =1
6
n
ck ( xk - xk - 1 )
由[5] 知 , 在 [ a , b ] 上连续的每一个函数 f ( x ) ,都存在阶梯函数列{ f n ( x ) } , 且在 [ a , b ] 上一致收敛于 f ( x ) , 并且极限 Lim
cepts. Key words :Cauchy Integral Conceptp ;Lebesgue Integral Concept ;Concept Lomparison
Abstract :This article represents Cauchy Integral Concept and Lebesgue Integral Concept. It also compares the two con2
可以说柯西积分是为 “基本上” 是连续函数建立 的. 例 如 狄 里 克 雷 函 数 D ( x ) = 1 , x 是有理数 它在 [0 ,1] 区间上是有界函数 , 0 , x 是无理数 但不连续 ,柯西积分定义因有局限性. 但勒贝格 积分为
育出版社 ,1955.
[2] 夏道行等 1 实变函数论与泛函分析概要 [ M ]1 上海
f ( x ) ,则 f ( x ) 为正则函数 ,也称为准连续函数.
且 φ( x) = ck , x ∈ ( xk , xk +1 ) , k = 0 ,1 , …, n 1
设 f ( x ) 定义在区间 [ a , b ] 上 ,若在 [ a , b ] 上存在一系列简单函数{φ n ( x ) } ,使得在 [ a , b ] 上几乎处处地有
第 10 卷 第2期 琼州大学学报 2003 年 4 月 28 日 Vol. 10 No. 2 Journal of Qiongzhou University Apr. 28. 2003
柯西积分概念与勒贝格积分概念的比较
陈太道
( 琼州大学 , 海南 五指山 572200)
a n →∞ a n b b
定义 5 定义在区间[ a , b ] 上实数为简单 函数 , 如果区间 [ a , b ] 可以分为一些区间 [ xk ,
xk +1 ] 的和集 : a = x0 < x1 < … < xn = b
于是阶梯函数积分就推广到连续函数中来 了. 对连续函数的积分也有类似阶梯函数积分 的性质. 112 柯西积分概念 定义 3 设{ f n ( x ) } 为区间 [ a , b ] 上的阶 梯函数列 , 若{ f n ( x ) } 在 [ a , b ] 上一致收敛于
第 2 期 陈太道 : 柯西积分概念与勒贝格积分概念的比较 7
贝格积分 : 对于简单函数φ( x) (见[1]) 定义其勒贝格 积分为 :
∫
a
b
n- 1
φ( x ) dx =
k xk )
列可积函数的极限可能根本是不可积的 ,当然 更谈不上换序的问题. 例如 1 2 n x ,当 0 ≤ x ≤ n 设 S n ( x) = 则 S n ( x) 1 1 ,当 < x ≤1
0 当 x = 0
每个 S n ( x ) 都是柯西可积的 ,而极限函数
S ( x) 却不是柯西可积的. 这个一致收敛的要求
φ φ 其中 φ 1 ( x) ≤ 2 ( x) ≤ … ≤ n ( x) ≤ … 且 φ n ( x ) dx ≤ A < + ∞
a
∫
b a
b
或者常常得不到满足 ,或者招致繁琐的验证. 由 于积分与极限的换序问题不能顺利解决 ,就大 大降低了柯西积分的应用效果. 313 定义在区间上的实函数的勒贝格积 分与柯西积分尽管在形式上有许多类似之处 , 但本质上是不同的. 区别主要在于定义域的分 划. 柯西积分是把定义域分划成一些小区间 ,而 勒贝格积分实质是把函数值相近的点放在一起 作为分划中的子集. 显然柯西积分的分划必是 勒贝格的分划 ,而勒贝格的分划未必是柯西积 分的分划. 总之 ,勒贝格积分对于被积函数连续性的 要求降低些 ,运用起来更方便些 ,同时勒贝格积 分使原来不完备的空间完备了.
(参看[2] 中 P62 ～ P68) .
3 柯西积分与定义在区间上的实
函数的勒贝格积分比较
黎曼积分与柯西积分在运用中逐渐感到柯 西积分优于黎曼积分 (结论见 《中国高等教育研 究》 199719 ; P1497) . 但它们与勒贝格积分在应用 中相比还有很大的局限性.
311 柯西积分对函数的连续性依赖太强.
x n
现在可以对区间 [ a , b ] 上的可测函数 f ( x ) (见[2]) 定义其勒贝格积分了. 设{φn ( x) } 为单调上升的简单函数序列 , 且在[ a , b ] 上几乎处处地有 Limφ n ( x) = f ( x)
n →∞
1
收敛于 S ( x) =
x
,当 0 < x ≤1
n →∞
取某个常数值 ci , i = 1 ,2 , …, n ,则称 φ( x) 是
E 上的简单函数.
∫
a
b
f n ( x ) dx
212 可测函数的定义
由 f ( x) 唯一确定. 这样就可以将阶梯函数积分 列的极限定义为 f ( x) 在区间 [ a , b ] 上的积分 , 即
f ( x ) dx = Lim f ( x ) dx ∫ ∫
x n = b 为阶梯函数对应分法.
这样由最简单的阶梯函数的积分定义出发 得到了正则函数的积分定义 ,将这种形式积分 统称为 Cauchy 积分.
定义 2 阶梯函数 f ( x ) 在[ a , b ] 上的定积 分为
2 勒贝格积分的概念
211 简单函数的定义
∫
a
b
f ( x) dx = c1 ( x1 - x0 ) + c2 ( x2 - x1 ) +
交换顺序时 ,所要求的条件也是相当苛刻的 ,一 比较 [ J ]1 琼州大学学报 11994 (1) :161 — 167. 般要求一致收敛性. 因为如果不一致收敛 ,则一 The Comparison of Cauchy Integral Concept and Lebesgue Integtal Concept CHEN Tai - dao (Department of Mathematics ,Qiongzhou University ,Wuzhishan Hainan 572200 ,China)
