数字信号处理离散时间信号和序列及抽样

数字信号处理的基本原理数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是指对连续时间信号进行采样并进行离散化处理的技术。

它在现代通信、音频、图像处理、雷达、医学影像和控制系统等领域得到广泛应用。

本文将介绍数字信号处理的基本原理，包括信号的采样与量化、离散时间信号的运算以及数字滤波器的设计等。

一、信号的采样与量化在数字信号处理中，信号首先经过采样与量化的过程，将连续时间信号转换为离散时间信号，以便于后续的数字化处理。

采样将连续时间信号在时间上进行离散化，而量化将采样得到的信号在幅度上进行离散化。

采样定理（Nyquist采样定理）规定了进行采样时的最小采样频率。

根据采样定理，在采样前，需要对输入信号进行低通滤波，以防止混叠（混叠是指频率高于采样频率一半的信号叠加到了低于采样频率一半的频率范围内，导致丢失信息）。

量化过程将连续时间信号在幅度上进行离散化。

常见的量化方式有线性量化和非线性量化。

线性量化将幅度范围等分为若干等级，将连续信号映射到最接近的量化级别上。

非线性量化则根据人耳或人眼对信号的敏感性不同，将不同幅度的信号映射到对应的量化级别上。

二、离散时间信号的运算离散时间信号的运算包括时域运算和频域运算两种方式。

时域运算是指对离散时间信号在时间上进行加、减、乘、除等基本运算。

频域运算则是通过将信号从时域转换到频域，进行频域上的运算，如傅里叶变换、滤波等。

时域运算基于离散时间卷积的原理。

离散时间卷积是指将输入信号转换为离散时间序列之后，利用卷积操作对其进行处理。

离散时间卷积可以实现滤波器的设计和信号的平移等操作。

频域运算通过傅里叶变换将信号从时域转换到频域，并在频域上进行运算。

傅里叶变换能够将时域信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦函数，通过对这些正弦和余弦函数进行加权，可以实现滤波、频谱分析等操作。

三、数字滤波器的设计数字滤波器是数字信号处理中非常重要的组成部分。

它通过对输入信号进行滤波，去除希望信号中的噪声或无用成分，从而得到干净的输出信号。

数字信号处理的基本原理与方法数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是将连续时间信号转化为离散时间序列并进行数字计算的处理过程。

在现代科技的发展中，数字信号处理在各个领域都起到了重要的作用，例如音频处理、图像处理、通信系统等。

下面将详细介绍数字信号处理的基本原理与方法。

1. 数字信号处理的基本原理1.1 采样：连续时间信号首先要经过采样过程，将信号在时间轴上划分为离散时间点，并对每个时间点进行采样。

1.2 量化：采样得到的信号是连续幅度的，需要将其转化为离散幅度，即进行量化。

量化过程将连续的信号幅度划分成一个个离散级别，常用的方式是将幅度映射到固定的数值范围内。

1.3 编码：量化后的信号是一个个离散的幅度值，需要将其转化为数字形式，进一步进行处理和存储。

常用的编码方式为二进制编码。

1.4 数字信号处理：编码后的信号可以进行各种数字计算，如滤波、变换、解调等处理过程，以达到信号处理的目的。

2. 数字信号处理的基本方法2.1 时域分析：时域分析是对信号在时间域上进行分析的方法，主要包括时域图像的显示、波形分析和时域特征提取等。

时域信号处理主要是根据信号的特性和形态进行相关处理，例如加窗处理、平滑处理等。

2.2 频域分析：频域分析是将信号从时域转换为频域进行分析的方法，主要包括傅里叶变换、功率谱分析、频谱估计等。

频域分析可以提取信号的频率成分和能量分布等信息，对信号的频率特性进行研究。

2.3 滤波：滤波是数字信号处理中常用的方法，用于去除信号中的噪声或者选取感兴趣的频率成分。

滤波可以分为低通滤波、高通滤波、带通滤波等不同类型，通过设置滤波器的截止频率或者滤波器的类型来实现信号的滤波处理。

2.4 变换：变换是将信号从一个域转换到另一个域的方法，常用的变换包括傅里叶变换、离散余弦变换、小波变换等。

变换可以将信号在时域和频域之间进行转换，方便对信号进行分析和处理。

2.5 解调与调制：解调与调制是数字通信中常用的方法，用于将模拟信号转换为数字信号或者将数字信号转换为模拟信号。

《数字信号处理》辅导一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号（1）基本概念信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。

连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。

模拟信号：是连续信号的特例。

时间和幅度均连续。

离散信号：时间上不连续，幅度连续。

常见离散信号——序列。

数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。

（2）基本序列（课本第7——10页）1）单位脉冲序列 1,0()0,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩ 2）单位阶跃序列 1,0()0,0n u n n ≥⎧=⎨≤⎩3）矩形序列 1,01()0,0,N n N R n n n N ≤≤-⎧=⎨<≥⎩ 4）实指数序列 ()n a u n5）正弦序列 0()sin()x n A n ωθ=+ 6）复指数序列 ()j n n x n e e ωσ= （3）周期序列1）定义：对于序列()x n ，若存在正整数N 使()(),x n x n N n =+-∞<<∞ 则称()x n 为周期序列，记为()x n ，N 为其周期。

注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N 表示法 3）周期延拓设()x n 为N 点非周期序列，以周期序列L 对作()x n 无限次移位相加，即可得到周期序列()x n ，即()()i x n x n iL ∞=-∞=-∑当L N ≥时，()()()N x n x n R n = 当L N <时，()()()N x n x n R n ≠（4）序列的分解序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列()x n 都可以分解成关于/2c M =共轭对称的序列()e x n 和共轭反对称的序列()o x n 之和，即()()(),e o x n x n x n n =+-∞<<∞并且1()[()()]2e x n x n x M n *=+- 1()[()()]2o x n x n x M n *=--（4）序列的运算 1）基本运算2）线性卷积：将序列()x n 以y 轴为中心做翻转，然后做m 点移位，最后与()x n 对应点相乘求和——翻转、移位、相乘、求和定义式： 1212()()()()()m y n x m x n m x n x n ∞=-∞=-=*∑线性卷积的计算：A 、图解 B 、解析法C 、不进位乘法（必须掌握）3）单位复指数序列求和（必须掌握）/2/2/2/2/2/21/2/2/2/2/2/2(1)/21()()/(2)1()()/(2)sin(/2)sin(/2)j N j N j N j N j N j N j N N j nj j j j j j j n j N e e e e e e e j ee e e e e e e j N e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------=-----===---=∑如果2/k N ωπ=，那么根据洛比达法则有sin(/2)(0)(0)(()())sin(/2)N N k N N k N ωδδω===或可以结合作业题3.22进行练习（5）序列的功率和能量能量：2|()|n E x n ∞=-∞=∑功率：21lim |()|21NN n NP x n N →∞=-=+∑ （6）相关函数——与随机信号的定义运算相同（二） 离散时间系统1．系统性质 （1）线性性质定义：设系统的输入分别为1()x n 和2()x n ，输出分别为1()y n 和2()y n ，即1122()[()],()[()]y n T x n y n T x n ==统的输对于任意给定的常数a 、b ，下式成立1212()[()()]()()y n T ax n bx n a y n by n =+=+则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。

实验一 离散时间信号分析一、实验目的1．熟悉MATLAB 应用环境，常用窗口的功能和使用方法。

2．掌握各种常用的序列，理解其数学表达式和波形表示。

3．掌握在计算机中生成及绘制数字信号波形的方法。

4．掌握序列的相加、相乘、移位、反褶、卷积等基本运算及计算机实现。

5．通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力。

二、实验原理1．序列的基本概念离散时间信号是指在离散时刻才有定义的信号，简称离散信号，或者序列。

离散时间信号在数学上可用时间序列)}({n x 来表示，其中)(n x 代表序列的第n 个数字，n 代表时间的序列，n 的取值范围为∞<<∞-n 的整数，n 取其它值)(n x 没有意义。

离散时间信号可以是由模拟信号通过采样得到，例如对模拟信号)(t a x 进行等间隔采样，采样间隔为T ，得到一个有序的数字序列)}({nT x a 就是离散时间信号，简称序列。

2．常用序列常用序列有：单位脉冲序列（单位抽样）)(n δ、单位阶跃序列)(n u 、矩形序列)(n R N 、实指数序列、复指数序列、正弦型序列等。

3．序列的基本运算序列的运算包括移位、反褶、和、积、点乘、累加、差分运算、卷积等。

4．序列的卷积运算)()()()()(n h n x m n h m x n y m *=-=∑∞-∞=上式的运算关系称为卷积运算，式中*代表两个序列卷积运算。

两个序列的卷积是一个序列与另一个序列反褶后逐次移位乘积之和，故称为离散卷积，也称两序列的线性卷积。

其计算的过程包括以下4个步骤（1）反褶：先将)(n x 和)(n h 的变量n 换成m ，变成)(m x 和)(m h ，再将)(m h 以纵轴为对称轴反褶成)(m h -。

（2）移位：将)(m h -移位n ，得)(m n h -。

当n 为正数时，右移n 位；当n 为负数时，左移n 位。

（3）相乘：将)(m n h -和)(m x 的对应点的值相乘。

1、信号的分类：模拟信号（时间连续，幅度也连续）、连续时间信号（时间连续，幅度可以连续也可以离散）、离散时间信号（在一组离散的时间下表示信号数值的函数，又称取样信号或序列）、数字信号（在时间上和幅度上都经过量化的信号）。

2、信号处理系统分类：连续时间系统、离散时间系统、模拟系统、数字系统。

3、数字信号处理过程：P3首先通过一连续时间的前置取样滤波器，以保证输入信号的最高频率限制在一定数值之内。

然后在A/D 转换器中每隔T 秒读出一次 的幅度，并将其量化为标准电平 。

经过数字处理器加工以后，转换为另一组输出序列 ，再在数/模转换器中将数码反转成模拟电压（或电流），其中二进制数首先转换成连续时间脉冲，再用零阶保持法等方法填充脉冲间的空隙。

最后利用连续时间滤波器滤出模拟量中不需要的高频成分就得到系统输出的模拟信号 。

4、信号的取样过程：取样开关每隔T 秒短暂地闭合一次，接通连续时间信号。

若每次开关闭合时间为t 秒，则取样器的输出将是一列重复周期为T ，宽度为t 的脉冲串。

而每一脉冲的幅度则等于该脉冲所在时刻的相应的连续时间信号的幅度，即这组脉冲信号的幅度被原来的连续时间信号所调制。

这种信号成为取样信号。

5、香农(Shannon)采样定理：为了避免发生混叠现象，ωs ≥2ωmax ，即取样频率必须大于原模拟信号频谱中最高频率的两倍， 6、序列的运算规则（1）移位：序列x(n)，当m>0时：x(n-m)：延时/右移m 位；x(n+m)：超前/左移m 位。

（2）翻褶：x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶。

（3）和： ，同序列号n 的序列值逐项对应相加。

（4）积： ，同序号n 的序列值逐项对应相乘。

（5）累加： （6）差分： 前向差分： 后向差分：（8）卷积和7、常用的典型序列 （1）单位取样序列：)(t x a )(t x a )(n x )(n x ()y n )(t y a （7）时间尺度变换（2）单位阶跃序列：与单位抽样序列的关系：（3）矩形序列：与其他序列的关系：8、序列的周期性：讨论一般正弦序列的周期性若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号的周期T0之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？9、线性系统10、移不变系统：若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不变系统（或时不变系统）。

数字信号处理实验一离散时间信号分析2013年3月6日一、实验目的1. 初步掌握Matlab的使用，掌握编写M文件和函数文件2. 掌握各种常用序列的表达，理解其数学表达式和波形表示之间的关系。

3. 掌握生成及绘制数字信号波形的方法。

4. 掌握序列的基本运算及实现方法。

5. 研究信号采样时采样定理的应用问题。

二、实验原理1．序列的基本概念离散时间信号在数学上可用时间序列{x(n)}来表示，其中x(n)代表序列的第n个数字，n 代表时间的序列，n 的取值范围为-∞<n <∞的整数，n 取其它值x(n)没有意义。

离散时间信号可以是由模拟信号通过采样得到，例如对模拟信号x (t) a 进行等间隔采样，采样间隔为T，得到{x a(nT )}一个有序的数字序列就是离散时间信号，简称序列。

2．常用序列常用序列有：单位脉冲序列（单位抽样）δ(n)、单位阶跃序列u(n)、矩形序列R N(n)、实指数序列、复指数序列、正弦型序列等。

3．序列的基本运算序列的运算包括移位、反褶、和、积、标乘、累加、差分运算等。

4．序列的卷积运算上式的运算关系称为卷积运算，式中*代表两个序列卷积运算。

两个序列的卷积是一个序列与另一个序列反褶后逐次移位乘积之和，故称为离散卷积，也称两序列的线性卷积。

其计算的过程包括以下4 个步骤。

（1）反褶：先将x(n)和h(n)的变量n换成m ，变成x(m)和h(m)，再将h(m)以纵轴为对称轴反褶成h(-m)。

（2）移位：将h(-m)移位n，得h(n-m)。

当n为正数时，右移n位；当n为负数时，左移n 位。

（3）相乘：将h(n-m)和x(m)的对应点值相乘。

（4）求和：将以上所有对应点的乘积累加起来，即得y(n)。

三、主要实验仪器及材料PC 机、Matlab7.0四、实验内容1．知识准备认真复习以上基础理论，理解本实验所用到的实验原理。

2．离散时间信号（序列）的产生利用MATLAB产生和绘制下列有限长序列：（1）单位脉冲序列δ(n)，单位阶跃序列u(n)，矩形序列R8(n)程序如下：clear;n=-5:30;x1=[zeros(1,5),1,zeros(1,30)]; %定义单位脉冲序列 x2=[zeros(1,5),ones(1,31)]; %定义单位阶跃序列 x3=[zeros(1,5),ones(1,8),zeros(1,23)]; %定义矩形序列 subplot(3,1,1); stem(n,x1,'fill'); grid on ; subplot(3,1,2); stem(n,x2,'fill'); grid on ; subplot(3,1,3); stem(n,x3,'fill'); grid on绘制图如下：分析：根据以上三个序列的特点，正确使用零矩阵函数（zeros ）和幺矩阵函数（ones ）编程；也可以使用for 循环语句实现上述序列生成。

数字信号处理----离散时间信号数字信号是模拟信号抽样⽽来的，也叫做序列x(n)，值是在各时间点的抽样值。

x(n)=x a(t)|t=nT = x a(nT)， n = ....，-2，-1，0，1，2，....T为两个时间样本之间的间隔或抽样周期，抽样间隔T的倒数，记为抽样率F T，F T=1/T。

信号可能是源源不断传输的，也可能是截取的⼀段，所以可分为有限长序列和⽆限长序列。

若左右两边都⽆限长，称作双边序列，若是⼀边⽆限长，称作左序列或⼜序列。

序列的基本运算1. 积运算w[n] = x[n] * y[n] ，对应时刻相乘，调制、滤波的实质就是积运算（这点以后再谈），这个过程通常也叫加窗，由⽆限长序列⽣成有限长序列。

2. 标量乘法w[n] = Ax[n]，实现信号的放⼤等作⽤。

3. 加w[n] = x[n]+y[n]，两路信号相加，或者信号与噪声相加。

4. 时移包括延迟和超前，就是将信号按时间进⾏平移。

w[n] = x[n-5] 延迟5个时间单位5. 时间反转w[n] = x[-n] ，以0时刻为中⼼，将信号左右翻转⼀下。

6. 混合运算混合运算就是上⾯⼏种运算的混合，实际的信号处理电路就是实现混合运算。

序列的分类1. 基于对称性若满⾜ x[n] = x*[-n] ，称为共轭对称序列；若满⾜ x[n] = - x*[-n] ，成为共轭反对称序列。

>> 实共轭对称序列称为偶序列>> 实共轭反对称序列称为奇序列>> 任何复序列都能表⽰成共轭对称部分x cs[n]与共轭反对称部分x cs[n]之和2. 周期信号与⾮周期信号3. 能量信号与功率信号某时刻信号的能量是此刻信号幅值的平⽅，总能量就是所有时刻能量的求和。

有限长的求和会是⼀个有限的值，⽆限长的信号能量求和结果也是⽆限的。

能量信号⼀般指有限长信号，能量是有限的。

功率信号⼀般指⽆限长信号，它的能量是⽆限的，但功率是有限的。