(北京版第01期)高三数学 名校试题分省分项汇编 专题09 圆锥曲线 理(无答案)

一．基础题组1.【吉林市普通高中2012—2013学年度高中毕业班下学期期末复习检测 数学（理科）】 中心为)00(，, 一个焦点为)25,0(F 的椭圆,截直线23-=x y 所得弦中点的横坐标为21，则该椭圆方程是（ ）A. 125275222=+y xB.1257522=+y x C.1752522=+y x D. 175225222=+y x2.【昆明第一中学2014届高三开学考试】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为9π，则p =（ ） (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B3.【吉林省白山市高三摸底考试理科数学】 设双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，设O 为坐标原点，若OB n OA m OP += (R n m ∈,)，且92=mn ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．223 B ．553 C ． 423 D ．894.【吉林市普通高中2012—2013学年度高中毕业班下学期期末复习检测 数学（理科）】 设圆1O 和圆2O 是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是（ ）① ② ③ ④ ⑤ A ．①③⑤B ．②④⑤C ．①②④D ．①②③5.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理科数学】 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点F ，直线c a x 2=与其渐近线交于A ，B 两点，且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. （∞+，3）B. （1，3）C. （∞+，2）D . （1，2）6.【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试理科数学】 设双曲线2218y x -=的两个焦点为12,F F ，P 是双曲线上的一点，且12||:||=3:4PF PF ,则△PF 1 F 2的面积等于( ) 3 3 557.【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学】已知⊙P 的半径等于6，圆心是抛物线x y 82=的焦点，经过点)2,1(-M的直线l 将⊙P 分成两段弧，当优弧与劣弧之差最大时，直线l 的方程为( ) （A ）032=++y x （B ）052=--y x（C ）02=+y x（D ）052=--y x∴直线l 的方程为)1(212--=+x y ，即032=++y x ．故选A ． 考点：直线和圆的基本知识.8.【云南省玉溪一中2014届高三上学期第一次月考数学（理科）】 设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12F F A 、，是双曲线渐近线上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ，则渐近线的斜率为 （ ）（A ）5或5- （B ）2或2- （C ）1或1-（D ）2或2-【答案】D 【解析】二．能力题组1.【昆明第一中学2014届高三开学考试】 已知(,0)F c 是双曲线:C 22221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点，若双曲线C 的渐近线与圆2221:()2E x c y c -+=相切，则双曲线C的离心率为．2.【齐齐哈尔市2013届高三第二次模拟考试理科数学】已知12,F F分别为双曲线22221x ya b-=（a＞0,b＞0）的左、右焦点，O为原点，A为右顶点，P为双曲线左支上的任意一点，若OAPFPF-122存在最小值为12a，则双曲线离心率e的取值范围是（）A．[)∞+5 B．(]5,2 C．(]5,1 D．()2,13.【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学】已知1F、2F是双曲线1222=-y ax 的两个焦点，点P 在此双曲线上，021=⋅PF PF ，如果点P 到x 轴的距离等于55，那么该双曲线的离心率等于 ．∴2125512PF PF a =⨯+，解得42=a . ∴1422=-y x 的离心率等于25.考点：双曲线的离心率.4.【云南省玉溪一中2014届高三上学期第一次月考数学（理科）】 已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线与y 轴的交点为,M N 为抛物线上的一点，且满足NF MN λ=，则λ的取值范围是 ____ ．三．拔高题组1.【吉林市普通高中2012—2013学年度高中毕业班下学期期末复习检测 数学（理科）】 设F为抛物线px y 22= (0>p )的焦点，,,R S T 为该抛物线上三点，若=++，且6=++FT FS FR（Ⅰ）求抛物线22y px =的方程；（Ⅱ）M 点的坐标为(m ,0)其中0>m ，过点F 作斜率为1k 的直线与抛物线交于A 、B两点，A 、B 两点的横坐标均不为m ，连结AM 、BM 并延长交抛物线于C 、D 两点，设直线CD 的斜率为2k ．若421=k k ，求m 的值. （Ⅱ）设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y 则121212212121244y y y y k y y x x y y --===--+，同理2344k y y =+……………………7分 所以12341()4y y y y +=+考点：抛物线标准方程，直线与抛物线联立，韦达定理应用.2.【昆明第一中学2014届高三开学考试】 已知平面内与两定点(2,0)A ，(2,0)B -连线的斜率之积等于14-的点P 的轨迹为曲线1C ， 椭圆2C 以坐标原点为中心，焦点在y 轴上，离心率为5． （Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）若曲线1C 与2C 交于M 、N 、P 、Q 四点，当四边形MNPQ 面积最大时，求椭圆2C 的方程及此四边形的最大面积.【答案】（Ⅰ）221(2)4x y x =≠±（Ⅱ）2211235y x =，四边形MNPQ 的最大面积为4 【解析】试题分析：（Ⅰ）设动点坐标为(,)x y ，利用此动点与两定点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜∴椭圆2C 的方程为2211235y x +=，四边形MNPQ 的最大面积为4.………12分 考点：1.圆锥曲线的定义;2.椭圆的方程与性质.3.均值不等式.3.【吉林省白山市高三摸底考试理科数学】 已知椭圆C : 22221x y a b+= (a >b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆221x y +=上.(I)求椭圆C 的方程；(II)若斜率为k 的直线过点M (2,0),且与椭圆C 相交于A , B 两点.试探讨k 为何值时,三角形O AB 为直角三角形.(1)若O 为直角顶点,则0OA OB ⋅= ,即12120x x y y +=有 ,1212(2)(2)y y k x k x =-⋅-,所以上式可整理得,222282401212k k k k -+=++,解,得5k =,满足22(k ∈4.【齐齐哈尔市2013届高三第二次模拟考试理科数学】 如图,焦点在x 轴的椭圆C ，离心率22=e ，且过点A （-2，1），由椭圆上异于A 的P 点发出的光线射到A 点处被直线1y =反射后交椭圆于Q 点(Q 与P 不重合). （Ⅰ）求椭圆标准方程;（Ⅱ）求证：直线PQ 的斜率为定值； （Ⅲ）求OPQ ∆的面积的最大值．【答案】()122163x y += ()21k =- ()3 92【解析】试题分析：（Ⅰ）椭圆有两个独立量，所以需要建立两个方程①利用离心率22e =②利用点P（Ⅲ）由（Ⅱ），设PQ 的方程为y x m =-+.由22163y x mx y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立得：2234260x mx m -+-=令0∆>，得33m -<<，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则考点：椭圆及其性质,直线与圆锥曲线的关系运算,求函数最值.5.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理科数学】 已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）右顶点与右焦点的距离为31-，短轴长为22. （I ）求椭圆的方程；（II ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若三角形OAB 的面积为324，求直线AB 的方程．考点：1、椭圆的方程；2、直线被圆锥曲线所截弦长的求法；3、点到直线的距离公式． 6.【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试理科数学】已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为215(4,1)M ，直线:0l x y m -+=交椭圆于不同的两点A ，B.(1)求m 的取值范围；，(2)若直线l 不经过点M ，求证：直线,MA MB 的斜率互为相反数.22(420)8(5)8(1)055m m m m --=---=所以直线,MA MB 的斜率互为相反数. ………………12分 考点：1.椭圆的标准方程；2.韦达定理.7.【云南省玉溪一中2014届高三上学期第一次月考数学（理科）】 已知(,0)F c 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，圆222:()F x c y a -+=与x 轴交于E D 、两点，B 是椭圆C 与圆F 的一个交点，且3BD BE =. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）过点B 与圆F 相切的直线l 与C 的另一交点为A ，且ABD △的面积为246c ，求椭圆C 的方程.。

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学一模试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、〔2021一模〕设p 是椭圆2212516x y +=上的点．假设12F F ，是椭圆的两个焦点，那么12PF PF +等于〔〕A ．4 B5 C ．8D ．10D2、〔2021一模〕12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，假设2ABF ∆是等腰直角三角形，那么这个椭圆的离心率是〔〕AC1-DC3、〔2021一模〕中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的间隔为，那么双曲线方程为〔〕A 、x 2－y 2＝2B 、x 2－y 2C 、x 2－y 2＝1D 、x 2－y 2＝12A4、〔2021一模〕圆074422=+--+y x y x 上的动点P 到直线0=+y x 的最小间隔为A ．1B ．122-C ．2D ．22B5、〔2021一模〕设平面区域D 是由双曲线1422=-x y 的两条渐近线和椭圆1222=+y x 的右准线所围成的三角形〔含边界与内部〕．假设点D y x ∈),(，那么目的函数y x z +=的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．6C6、〔2021一模〕过点A(3,0)的直线l 与曲线1)1(22=+-y x 有公一共点，那么直线l 斜率的取值范围为A ．(3-,3)B ．[3-,3]C ．(33-,33) D ．[33-,33] D 二、解答题1、〔2021一模〕动圆C 过点A(－2，0)，且与圆M ：(x －2)2+x 2=64相内切(1)求动圆C 的圆心的轨迹方程；(2)设直线l :y=kx+m(其中k ，m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B ，D ，与双曲线22x y 1412-=交于不同两点E ，F ，问是否存在直线l ，使得向量DF BE 0+=，假设存在，指出这样的直线有多少条？假设不存在，请说明理由.(此题主要考察圆、椭圆、直线等根底知识和数学探究，考察数形结合、类与整的数学思想方法，以及推理论证才能、运算求解才能和创新意识)解：〔1〕圆M ：(x －2)2+x 2=64，圆心M 的坐标为(2，0)，半径R=8.∵|AM|=4<R，∴点A(－2，0)在圆M 内，设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得r=|CA|，且|CM|=R －r ， 即|CM+|CA|=8>|AM|，……3分∴圆心CD 的轨迹是中心在原点，以A ，M 两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为2222x y 1a b+=(a>b>0)，那么a=4，c=2，∴b 2=a 2－c 2=12，∴所求动圆C 的圆心的轨迹方程为22x y 11612+=. ……5分(2)由22y =kx +m x y +=11612⎧⎪⎨⎪⎩消去y 化简整理得：(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2－48=0， 设B(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，那么x 1+x 2=28km3+4k-. △1=(8km)2－4(3+4k 2)(4m 2－48)>0.①……7分由22y =kx +m x y =1412⎧⎪⎨-⎪⎩消去y 化简整理得：(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12=0， 设E(x 3，y 3)，F(x 4，y 4)，那么x 3+x 4=22km3k -. △2=(－2km)2+4(3－4k 2)(m 2+12)>0.②……9分 ∵DF BE 0+=，∴(x 4－x 2)+(x 3－x 1)=0，即x 1+x 2=x 3+x 4，∴228km 2km3+4k 3k -=-，∴2km=0或者22413+4k 3k -=-，解得k=0或者m=0，……11分 当k=0时，由①、②得<m -<，∵m∈Z，∴m 的值是－3，－2，－1，0，1，2，3； 当m=0时，由①、②得<m <，∵k∈Z，∴k=－1，0，1.∴满足条件的直线一共有9条.……14分 2、〔2021三校一模〕知定点()0,1F和定直线1-=x ，N M ,是定直线1-=x 上的两个动点且满足⊥,动点P 满足∥，∥〔其中O 为坐标原点〕.(1)求动点P 的轨迹C 的方程; (2)过点F 的直线l 与C 相交于B A ,两点①求OB OA ⋅的值; ②设λ=,当三角形OAB 的面积[]5,2∈S 时,求λ的取值范围.解：(1)设()()()21,1,,1,,y N y M y x P--(21,y y 均不为0),由∥得y y =1,即()y E ,1-2分由∥得x y y -=2,即⎪⎭⎫ ⎝⎛--x y N ,12分 ⊥得()()40,2,202121-=⋅⇒=-⋅-⇒=⋅y y y y ()042≠=∴x x y∴动点P 的轨迹C 的方程为()042≠=x x y 6分〔2〕①由〔1〕得P 的轨迹C 的方程为()042≠=x x y ，()0,1F ,设直线l 的方程为1+=my x ,将其与C 的方程联立,消去x 得0442=--my y .8分设B A ,的坐标分别为()()4433,,,y x y x ,那么443-=y y .1161242343==∴y y x x ,9分 故.34343-=+=⋅y y x x 10分②解法一：()()4433,1,1,y x y x -=--∴=λλ ，即⎩⎨⎧=--=-，4343,1y y x x λλλ又3234x y =,4244x y =.∴可得.2,234λλ=-=y y 11分故三角形OAB 的面积λλ12143+=-⋅=y y OF S ,12分因为21≥+λλ恒成立，所以只要解51≤+λλ.即可解得253253+≤≤-λ.14分解法二：()()4433,1,1,y x y x -=--∴=λλ ，∴43y y λ=-，43y y λ=∴〔注意到0>λ〕又由①有443-=y y ，434y y =∴，λ24=∴y三角形OAB 的面积λλλλ1)22(21)(2143+=+=+=y y OF S 〔以下解法同解法一〕3、〔2021一模〕设椭圆222:1(0)2x y C a a +=>的左右焦点分别为1F 、2F ，A 是椭圆C 上的一点，且2120AF F F ⋅=，坐标原点O 到直线1AF 的间隔为113OF ．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设Q 是椭圆C 上的一点，过点Q 的直线l 交x 轴于点(1,0)F -，交y 轴于点M，假设l 的斜率．解：〔Ⅰ〕由题设知12(F F a >其中由于2120AF F F ⋅=，那么有212AF F F ⊥，所以点A的坐标为2)a±……..2分故1AF所在直线方程为1)y a=±+…………3分所以坐标原点O 到直线1AF，又1OF ==，解得：2a =.………….5分所求椭圆的方程为22142x y +=.…………7分〔2〕由题意可知直线l 的斜率存在，设直线斜率为k ，那么直线l 的方程为(1)y k x =+，那么有(0,)M k .……9分设11(,)Q x y ，由于Q 、F 、M 三点一共线，且2MQ QF =.根据题意得1111(,)2(1,)x y k x y -=±+,解得112x y k =-⎧⎨=-⎩或者11233x k y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.…………12分又Q 在椭圆C 上，故22(2)()142k --+=或者222()()33142k-+=， 解得0,4kk ==±,综上，直线l 的斜率为0或者4±…………14分4、〔2021番禺一模〕抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，点A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的间隔等于5，过A 作AB 垂直y 轴于点B ，线段OB 的中点为M .xy O P B1F 2F 〔1〕求抛物线方程； 〔2〕过点M 作FA MN⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；〔3〕以点M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M的位置关系．解：〔1〕抛物线22y px =的准线2p x =-45, 2.2pp ∴+=∴= ∴所求抛物线方程为24y x =………………3分〔2〕∵点A 的坐标是〔4，4〕，由题意得B 〔0，4〕，M 〔0，2〕，又∵F〔1，0〕，∴,43,;34-=∴⊥=MN FAk FA MN k 那么FA 的方程为y=34〔x －1〕，MN 的方程为.432x y -=-解方程组).54,58(5458,432)1(34N y x x y x y ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=得………………7分〔3〕由题意得，圆M 的圆心是点〔0，2〕，半径为2.当m=4时，直线AK 的方程为x =4，此时，直线AK 与圆M 相离，……………9分当m≠4时，直线AK 的方程为),(44m x my --=即为,04)4(4=---m ym x …………………10分圆心M 〔0，2〕到直线AK 的间隔2)4(16|82|-++=m m d ，…………………11分令1,2>>m d 解得1>∴m 当时，直线AK 与圆M 相离；……………………12分当m=1时，直线AK 与圆M 相切；…………………13分 当1<m时，直线AK 与圆M 相交.……………………14分5、〔2021一模〕如图6，抛物线C ：1312+-=x y 与坐标轴的交点分别为P 、1F 、2F .⑴求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆方程； ⑵经过坐标原点O 的直线 l 与抛物线相交于A 、B 两点，假设2AO OB =，求直线 l 的方程．⑴由1312+-=x y 解得)1 , 0(P 、)0 , 3(1-F 、)0 , 3(2F ----------3分所以1=b ，3=c ，从而2=a ----------5分，椭圆的方程为1422=+y x ----------6分⑵依题意设l ：kx y =----------7分，由⎪⎩⎪⎨⎧+-==1312x y kxy 得01312=-+kx x ----------8分 依题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⋅-=+>-⨯⨯-B A B A B A x x x x kx x k 3330)3(14)3(2----------11分，解得32±=k ----------13分所以，直线 l 的方程是x y 32=或者x y 32-=----------14分6、〔2021一模〕椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：2240x y x +-+=的圆心C 。

高考数学精品复习资料2019.5北京市部分区高三上学期考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择、填空题1、（朝阳区高三上学期期末）已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为320x y +=，则b 等于 ．2、（西城区高三上学期期末）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x = （B 0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=3、（东城区高三上学期期末）抛物线22y x =的准线方程是（A ）1y =- （B ）12y =- （C ）1x =- （D ）12x =-4、（丰台区高三上学期期末）设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 ． 5、（海淀区高三上学期期末）抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．36、（昌平区高三上学期期末）在焦距为2c 的椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>中，12,F F 是椭圆的两个焦点，则 “b c <”是“椭圆M 上至少存在一点P ，使得12PF PF ⊥”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7、（海淀区高三上学期期末）已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A ．12y x =-+B ．12y x =C ．2y x =-D ．2y x =-8、（石景山区高三上学期期末）若双曲线2214x y m -=的渐近线方程为y x =，则双曲线的焦点坐标是 ．9、（通州区高三上学期期末）“>1m ”是“方程2211x y m m -=-表示双曲线”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10、（东城区高三上学期期末））若点(2,0)P 到双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的距离为1，则a =_______．11、（北京昌平临川育人学校高三上学期期末）设双曲线=1的两焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上的一点，若PF 1与双曲线的一条渐近线平行，则•=（ ）A ．B ．C ．D ．二、解答题1、（昌平区高三上学期期末）椭圆C 的焦点为1(F ,2F ，且点M 在椭圆C 上.过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点,点B 关于y 轴的对称点为点D （不同于点A ）.(I) 求椭圆C 的标准方程；(II)证明：直线AD 恒过定点，并求出定点坐标.2、（朝阳区高三上学期期末）已知椭圆22:132x y C +=上的动点P 与其顶点(A ,B 不重合．（Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN ∆的面积．3、（西城区高三上学期期末）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅ 为定值．4、（东城区高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)M ，离心率为12．,A B 是椭圆C 上两点，且直线,OA OB 的斜率之积为34-，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若射线OA 上的点P 满足||3||PO OA =，且PB 与椭圆交于点Q ，求||||BP BQ 的值．5、（丰台区高三上学期期末）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.6、（海淀区高三上学期期末）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．7、（石景山区高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于x 轴的对称点为B '．直线B A '与x 轴的交点Q 是否为定点？请说明理由．8、（通州区高三上学期期末）如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点)23,1(P ，离心率21=e . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），直线AB 与直线:4l x =相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，3k ，2k 成等差数列．参考答案一、选择、填空题1、32、B3、D4、535、B6、A7、A 8、( 9、A 1011、解：由双曲线=1的a=，b=1，c=2，得F 1（﹣2，0），F 2（2，0），渐近线为，由对称性，不妨设PF 1与直线平行，可得，由得，即有，，•=﹣×+（﹣）2=﹣．故选B ．二、解答题1、解：(I)法一设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由已知得22222,211,a b c a b c ⎧=+⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎩解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22142x y +=. …………6分法二设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由已知得c =12214a MF MF =+==.所以2a =， 2222b a c =-=.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. …………6分 (II)法一当直线l 的斜率存在时（由题意0≠k ），设直线l 的方程为1y kx =+.由221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y .则22122122168(21)0,4,212.21k k k x x k x x k ⎧⎪∆=++>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩特殊地，当A 为(2,0)时，12=-k ，所以2423=-x ，223=-x ，243=y ，即24(,)33-B .所以点B 关于y 轴的对称点24(,)33D ，则直线AD 的方程为(2)=--y x . 又因为当直线l 斜率不存时，直线AD 的方程为0=x ， 如果存在定点Q 满足条件，则(0,2)Q . 所以111112111---===-QA y y k k x x x ，222222111---===-+--QD y y k k x x x ， 又因为 121212112()2()220QA QB x x k k k k k k x x x x +-=-+=-=-=， 所以=QA QD k k ，即,,A D Q 三点共线.即直线AD 恒过定点，定点坐标为(0,2)Q . …………14分 法二(II)①当直线l 的斜率存在时（由题意0≠k ），设直线l 的方程为1y kx =+ .由221,24y kx x y =+⎧⎨+=⎩，可得22(12)420k x kx ++-=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)D x y -.所以22122122168(21)0,4,212.21k k k x x k x x k ⎧⎪∆=++>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩因为2121AD y y k x x -=--，所以直线AD 的方程为：211121()y y y y x x x x --=---.所以21121112121y y x y x yy x y x x x x --=⋅++--+21121121112121y y x y x y x y x yx x x x x --++=⋅+--+2112212121y y x y x y x x x x x -+=⋅+--+ 2112212121(1)(1)y y x kx x kx x x x x x -+++=⋅+--+ 21122121212y y kx x x x x x x x x -++=⋅+--+ 2112212121y y kx x x x x x x -=⋅++--+21212y y x x x -=⋅+--.因为当0,2x y ==， 所以直线MD 恒过(0,2)点.②当k 不存在时，直线AD 的方程为0x =，过定点(0,2). 综上所述，直线AD 恒过定点，定点坐标为(0,2). …………14分2、解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，则2200132x y +=． 所以直线PA 与PB2200220062233(3)3y x x x -===---．……4分 （Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为23-． ①当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON的斜率为±OM 的方程是3y x =，由22236,,x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得2x =±，1y =±．取M，则1)N -．所以OMN ∆②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程是y kx m =+,由22,2360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(32)6360k x kmx m +++-=． 因为M ，N 在椭圆C 上，所以2222364(32)(36)0k m k m ∆=-+->，解得22320k m -+>．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122632kmx x k +=-+，21223632m x x k -=+．MN ===． 设点O 到直线MN 的距离为d，则d =．所以OMN ∆的面积为12OMNS d MN ∆=⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①． 因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为23-，所以121223y y x x =-． 所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2222636m k m -=-． 由222262363m k m -=--，得22322k m +=．⋅⋅⋅⋅⋅⋅②由①②，得OMNS ∆===．综上所述，2OMN S ∆=． …………………………………13分 3、解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±，所以||AB =[2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，[4分]所以△MAB面积的最大值是2．[5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而2224t n +=．[6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．[7分]直线MA 的方程为00()y ny n x t x t--=--，[8分] 令0y =，得000ty nx x y n-=-，从而000ty nx OE y n -=-．[9分]直线M B 的方程为00()y ny n x t x t++=--，[10分] 令0y =，得000ty nx x y n+=+，从而000ty nx OF y n +=+．[11分]所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()222202204242=n y n y y n ----[13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]4、解：（Ⅰ）由题意得222212.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，解得b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………………5分（Ⅱ）设112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ． 因为点P 在直线AO 上且满足||3||PO OA =， 所以11(3,3)P x y ． 因为,,B Q P 三点共线， 所以BP BQ λ=．所以12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ--=--，123212323(),3().x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩ 解得31231231,31.x x x y y y λλλλλλ-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩因为点Q 在椭圆C 上，所以2233143x y +=．所以2212123131()()143x x y y λλλλλλ--+++=．即22222112212122296(1)()()()()1434343x y x y x x y y λλλλλ--+++-+=1， 因为,A B 在椭圆C 上，所以2211143x y +=，2222143x y +=．因为直线,OA OB 的斜率之积为34-， 所以121234y y x x ⋅=-，即1212043x x y y+=．所以2291()1λλλ-+=，解得5λ=． 所以||||5||BP BQ λ==． ……………………………14分 5、解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =. (4)分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分 所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分 则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=． 所以，FS FT ⋅u u r u u u r的值是定值，且定值为0. (13)分6、解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==.所以2228,c a b c =-==所以椭圆G 的离心率是c e a == （Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=② 将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+ 所以22361,31C k k y k --+=+因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.7、解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C 上，所以2a =．又因为2c e a ==，所以c =1b =． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n '-．设直线AB ：(1)(0)y k x k =-≠． ……………………6分联立22(1)440y k x x y =-+-=和，得：2222(14)8440k x k x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+． ……………8分直线AB '的方程为121112()y y y y x x x x +-=--， ……………9分令0y =，解得112122111212()y x x x y x yn x y y y y -+=-+=++ ………11分又1122(1),(1)y k x y k x =-=-， 所以121212()42x x x x n x x -+==+-．所以直线B A '与x 轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分 8、解：（Ⅰ）由点3(1,)2P 在椭圆上得，221914a b +=① 11,22c e a ==又所以② 由①②得2221,4,3c a b ===，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=……………….4分（Ⅱ）椭圆右焦点坐标F (1,0)，显然直线AB 斜率存在， 设,AB k AB 的斜率为则直线的方程为(1)y k x =-③…………….5分代入椭圆方程22143x y +=，整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-= ……………….6分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++④ ……………….7分 在方程③中，令4x =得，(4,3)M k ，从而2121213322,,11y y k k x x --==-- 33312412k k k -==--，……………….9分 又因为B F A 、、共线，则有BF AF k k k ==，即有k x yx y =-=-112211 所以=+21k k =--+--1231232211x y x y )1111(2311212211-+---+-x x x y x y =2k -121212232()1x x x x x x +--++⑤将④代入⑤得=+21k k 322k -12134834)3(42348222222-=++-+--+k k kk k k k ，……………….12分又213-=k k ， 所以=+21k k 32k ，即132,,k k k 成等差数列.……………….13分。

一．基础题组1. 【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考】若焦点在x 轴上的双曲线1222=-my x 的离心率为62，则该双曲线的渐近线方程为( )A. x y 22±= B. x y 2±= C.x y 21±= D.x y 2±=2. 【2013年河南省十所名校高三第三次联考试题】双曲线244x 2－y ＝的离心率为( )A ．6B ．5C ．6 D ．53. 【唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试】已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -= B ．22134x y -= C ．221916x y -= D ．22143x y -=4. 【河南省方城一高2014届高三第一次调研（月考）】过抛物线24y x =的焦点F 且倾斜角为060的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A B 、两点，则||||AF BF 等于（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ． 2考点：抛物线的定义.5. 【河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试】双曲线x y -=22154的顶点和焦点到其渐近线距离的比是( )（A）35（B）53（C）355（D）536. 【河北省高阳中学2014届高三上学期第一次月考】已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点(,2)P m-到焦点的距离为4，则m的值为( )A．4 B．－2 C．4或－4 D．12或－27. 【石家庄市2013届高中毕业班第一次模拟】已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线的方程为3x±4y=0,则该双曲线的标准方程为（）A.116922=-yxB.191622=-yxC.116922=-xyD.191622=-xy8. 【2013年河南省十所名校高三第三次联考试题】圆2x2＋y－2x＋my－2＝0关于抛物线2x＝4y 的准线对称，则m ＝_____________.9. 【唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试】抛物线22(0)y px p =>的准线截圆22210x y y +--=所得弦长为2，则P= .10. 【河北省高阳中学2014届高三上学期第一次月考】1F 、2F 是双曲线2211620x y -=的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1F 的距离等于9，则点P 到焦点2F 的距离等于_____________.11. 【河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试】设,F F 12分别是椭圆x y +=2211612的左、右焦点，点P 在椭圆上，若△PF F 12为直角三角形，则△PF F 12的面积等于__ __.12. 【河南省方城一高2014届高三第一次调研（月考）】（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为3e =，直线:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切. （1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F ，且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程； （3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点R S 、在2C 上（R S 、与Q 也不重合），且满足0QR RS •=，求||QS 的取值范围.由33 e=，得222213bea=-=，所以3a=，所以椭圆的方程是221:132x yC+=. （4分）∴22221122112562563223264y y yy y=++≥•=，当且仅当2121256yy=，即14y=±时等号成立. 又222222221||()(8)6444yQS y y=+=+-，∵2264y≥，∴当2264y=，即28y=±时，min||85QS=故||QS的取值范围是[85,)+∞.(12分)考点：1.椭圆的标准方程；2.点到直线的距离公式；3.抛物线的定义；4.基本不等式. 13．【河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试】已知动圆C经过点(0，m) (m>0)，且与直线y＝－m相切，圆C被x轴截得弦长的最小值为1，记该圆的圆心的轨迹为E.（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）是否存在曲线C与曲线E的一个公共点，使它们在该点处有相同的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由.（Ⅱ）假设存在题设的公共点21(,)2B b b ．4y x =-+或4y x =-++，即4y =±-．…12分考点：1.轨迹方程；2.圆的的切线和抛物线的切线.14. 【河北省高阳中学2014届高三上学期第一次月考】（本小题满分12分）已知，椭圆C 过点3(1,)2A ，两个焦点为(1,0),(1,0)-．(1)求椭圆C 的方程；(2) ,E F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．【答案】（1）22+=143x y ；（2）12. 【解析】试题分析：(1)由椭圆的定义来求解；（2）设直线AE 的方程，联立直线AE 与椭圆22+=143x y 的方程，求解点E 的坐标，同理可求点F 的坐标，化简求EF 的斜率即可.试题解析：(1)由题意1c =，由定义122||||4F A F A a =＋所以2,a b ==，∴椭圆方程为22+=143x y . ……4分二．能力题组1. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学】已知(2,1)Q ,F 为抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线上一个动点，则PF PQ +的最小值为______________．【答案】3 【解析】试题分析：由抛物线24y x =可得准线l 的方程为：x 1=-．过点P 作PN ⊥l ，垂足为N ．由抛物线定义知，PF =．当且仅当3点Q ，N ，P 共线时，PF PQ +取得最小值PN |21|3=--=()， 故答案为3．考点：抛物线的定义、几何性质.2. 【中原名校联盟2013——2014学年高三上期第一次摸底考试】（本小题满分12分） 已知椭圆长轴的左右端点分别为A ，B ，短轴的上端点为M ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ·FB ＝1，｜OF ｜＝1． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21212422,33n x x n x x ，112212211,,111FP MQx y x y x x y y ，3. 【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考】(本小题满分12分)设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为F ，离心率为22，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2.(1) 求椭圆方程.(2) 过点)2,0(P 的直线l 与椭圆交于不同的两点B A ,，当OAB ∆面积最大时，求AB .试题解析：(1)由题意可得22c a =，211122b+=，又222a b c -=，解得221,2b a ==，所以椭圆方程为2212x y += …………………………………（4分）4. 【唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试】（本小题满分12分）已知点M 是椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>上一点，12,F F 分别为C 的左右焦点12||4F F =，01260F MF ∠=，12F MF ∆43. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(0,2)N ，过点(1,2)P --作直线l ，交椭圆C 异于N 的,A B 两点，直线,NA NB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k +为定值.（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为2(1)y k x +=+， 由221842(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩，得222(12)4(2)280k x k k x k k ++-+-=．……………8分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1224(2)12k k x x k -+=-+，21222812k k x x k -=+． 从而1212121221212222(4)()4(2)2(4)428y y kx x k x x k k k k k k x x x x k k --+-+-+=+==--=-．……………11分当直线l 的斜率不存在时，得1414(1,),(1,)22A B ---，得124k k +=． 综上，恒有124k k +=． ……………12分 考点：1.椭圆的定义；2.韦达定理；3.直线的斜率.5. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学】（本题满分12分）已知定点(3,0)G -，S 是圆22:(3)72C x y -+=（C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E .设点E 的轨迹为M.(1),求M 的方程；(2)是否存在斜率为1的直线l ，使得直线l 与曲线M 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．根据以线段AB 为直径的圆恰好经过原点，0=⋅OB OA ，建立m 的方程，进一步确定 直线l 的方程为23y x =+或23y x =-.6．【河北省保定市八校联合体2014届高三上学期第一次月考】（本题满分12分）已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线283x y =的焦点．(1)求椭圆C 的方程;(2)点P(2，3)，Q(2，-3)在椭圆上，A 、B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，(i)若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值; (ii)当A 、B 运动时，满足∠APQ =∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．(2)（i ）设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为t x y +=21，所以AB 的斜率为定值21. …………………………………………………………………12分 考点：1、直线与椭圆的位置关系；2、直线方程、椭圆方程、四边形面积计算.7. 【2012-2013学年度南昌市高三第二次模拟测试卷】（本小题13分） 已知椭圆C ：12222=+b y a x 的离心率等于23，点P ()3,2在椭圆上。

一. 基础题组1.（北京市房山区2025年高三第一次模拟考试理2）双曲线x 2-my 2= 1的实轴长是虚轴氏的2倍，则〃2 （）1 A . 4B . 2C .- 21 D. 一42.（北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习（一）理3）已知双曲线二一£ = 1（。

>0">0）的一条渐近线方程是y = 它的一个焦点坐标为（2,0）,则cr tr焦点的最短距离为（）心率为则其渐近线方程为（第九章 圆锥曲线双曲线的方程为（)2 “22 2 22A.-)=1 X y 4B.——二=1C. X 2 -— = 1X2iD.——y 2=1 2 66 233 ‘（北京市海淀区2015届高三下学期期中练习 （一模）理2）抛物线x 2=4y上的点到其 3.A.4B.2C.11 D.- 24. （北京市顺义区2015届高三第一次统一练习（一模）理6）若双曲线二—占=1的离 er A.y = ±2xB.y = ±4xC.y = ±*一个焦点是抛物线y2 =8兀的焦点，且双曲线C 的离心率为2 ,那么双曲线C 的方程为.截抛物线/= 4兀的准线所得线段反为〃，则a = ______________ .8. （北京市朝阳区2015届高三第二次综合练习理18）已知点M 为椭圆+4^2=12 的右顶点，点A, B 是椭圆C 上不同的两点（均异于点M ）,且满足直线MA 与直线MB 斜率之积为4（I ） 求椭圆C 的离心率及焦点坐标；（II ） 试判断直线AB 是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由. 9. （北京市东城区2015届高三5月综合练习（二）理19）已知椭圆C 的中心在原点O, 焦点在兀轴上，离心率为』3,且椭圆C 上的点到两个焦点的距离之和为4.2（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设A 为椭圆C 的左顶点，过点A 的直线/与椭圆交于点M ,与y 轴交于点N,过 原点与/平行的直线与椭圆交于点P.证明：|AM|・|A/V|=2|OP|2.10. （北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习（一）理19）已知椭圆C ： 二+ ・ = l （d 〉b>0）的离心率为厶，右顶点A 是抛物线/ =8x 的焦点.直线/： / b~ 2y = k （x-l ）与椭圆C 相交于P, 0两点.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）如果AM=AP-^-AQ ，点M 关于直线/的对称点N 在y 轴上，求R 的值.11. （北京市海淀区101+学2014年高三上学期期屮模拟考试理16）在直角坐标系中，0 为坐标原点，设直线/经过点 mV2）,且与兀轴交于点F （2, 0）。

04．抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x =（B ）1x =-（C ）1y =（D ）1y =-12．若双曲线2221(0)16x y a a -=>经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(,0)A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别与直线4x =交于点P ，Q ，求PFQ ∠的大小． 4．D 12．2y x =±19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意得1,21,c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得2a =，1c =， …………… 3分 从而223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=． … 5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有3(1,)2M ，3(1,)2N -，(4,3)P -，(4,3)Q ，(1,0)F ，则(3,3)FP =-，(3,3)FQ =，故0FP FQ ⋅=，即90PFQ ∠=． ………… 6分当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，其中0k ≠． ……………… 7分 联立22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222(43)84120k x k x k +-+-=． ……………… 8分 由题意，知0∆>恒成立，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+． ………… 9分直线MA 的方程为11(2)2yy x x =--． ……………… 10分令4x =，得1122P y y x =-，即112(4,)2y P x -． ……………… 11分 同理可得222(4,)2y Q x -． ……………… 12分 MPAFNxyOQ所以112(3,)2y FP x =-，222(3,)2y FQ x =-． 因为121249(2)(2)y y FP FQ x x ⋅=+--212124(1)(1)9(2)(2)k x x x x --=+--2121212124[()1]92()4k x x x x x x x x -++=+-++ 22222222241284(1)434394121644343k k k k k k k k k --+++=+--+++22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)k k k k k k k --++=+--++0=， 所以90PFQ ∠=．综上，90PFQ ∠=. ……………… 14分(4) 若双曲线222:1(0)-=>y C x b b的一条渐近线与直线21=+y x 平行，则b 的值为(A) 1(B)(C) (D) 2(9) 设O 为坐标原点，点(,)10A ，动点P 在抛物线y x =22上，且位于第一象限，M 是线段PA 的中点，则直线OM 的斜率的范围为(A) (0]，1 (B) (02， (C) (02，(D) [)2+∞(13) 圆心在x 轴上，且与直线1:l y x =和2:2l y x =-都相切的圆的方程为___. (19) （本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，它的上，下顶点分别为A ，B ，左，右焦点分别为1F ，2F ，若四边形12AF BF 为正方形，且面积为2.（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线12,l l ，与椭圆E 分别交于点,,,C D M N ，且四边形CDMN 是菱形，求出该菱形周长的最大值. （4）D （9）C （13）221(1)2x y -+=(19) （本小题14分）解：（Ⅰ）因为 2222:1(0)x y E a b a b+=>>，所以 222a b c =+.因为 四边形12AF BF 为正方形，且面积为2,所以 22b c =，1(2)(2)22b c ⨯=. 所以 1b c ==，2222a b c =+=.所以 椭圆22:12x E y +=. …………4分（Ⅱ）设平行直线1:l y kx m =+，2:l y kx m =-，不妨设直线y kx m =+与2212x y +=交于()()1122,,,C x y D x y ，由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222x kx m ++=， 化简得：()222214220k x kmx m +++-=，其中 22222(4)4(21)(22)16880km k m k m ∆=-⨯+⨯-=-+>，即2221m k <+.所以 122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，由椭圆的对称性和菱形的中心对称性，可知OC OD ⊥， 所以 12120x x y y +=，11y kx m =+，22y kx m =+，()()()()()2212121212222222222222222222221221421212222422132221x x y y k x x km x x m mk k m m k k k m m k k m k m m k m k k +=++++-+-++=++---++=+--=+，所以 22322m k =+.||CD==≤所以当且仅当k =时，||CD此时 四边形CDMN周长最大值为 …………14分（5）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D .若4AF =，60DAF ∠=︒，则抛物线C 的方程为（A ）28y x = （B ） 24y x = （C ）22y x = （D ）2y x = （7）在△ABC 中，BC AB =，︒=∠120ABC ．若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为（A ）25 （B ）27（C（D（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y r +=（O 为坐标原点）.过点(0,)b 且斜率为1的直线与圆O 交于点(1,2)，与椭圆C 的另一个交点的横坐标为85-.（Ⅰ）求椭圆C 的方程和圆O 的方程；（Ⅱ）过圆O 上的动点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若直线1l 的斜率为(0)k k ≠且1l 与椭圆C 相切，试判断直线2l 与椭圆C 的位置关系，并说明理由.（3）已知双曲线)0(1222>=-b by x 的离心率为5 ，则b 的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（6）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ．点A 运动到点A '，线段AB 的长度为23π，则点M '到直线A B '的距离为（A ）1 （B ）23 （C ）22 （D ）21 （11）已知点P （1，2）在抛物线C ：y2 =2px 上，则抛物线C 的准线方程为 ．（20）（本小题共14分）已知椭圆C ：)0,0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(b B ，21BA A ∆的面积为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线B A 1与直线M A 2交于点P ，直线M A 1与直线B A 2交于点Q ．求证：BPQ ∆为等腰三角形．（20）解：（Ⅰ）由题2222.c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩， 解得21.a b =⎧⎨=⎩， 所以椭圆方程为2214x y +=.（II ）解法1证明：设直线2A M 方程为1(2)(0)2y k x k k =-≠≠±且，直线1A B 方程为112y x =+由(2),11.2y k x y x =-⎧⎪⎨=+⎪⎩解得点424(,)2121k k P k k +--. 由22(2)1.4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(41)161640k x k x k +-+-=，则221642=41M k x k -+. 所以2282=41M k x k -+，24=41M ky k -+.即222824(,)4141k kM k k --++. 12224141824241A Mkk k k kk -+==--++. 于是直线1A M 的方程为1(2)4y x k =-+，直线2A B 的方程为112y x =-+. 由1(2)4112y x k y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得点422(,)2121k Q k k +--- . 于是P Q x x =，所以PQ x ⊥轴. 设PQ 中点为N ，则N 点的纵坐标为42212112k k k -+--=.故PQ 中点在定直线1y =上. 从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以BP BQ =， 所以△BPQ 为等腰三角形. 解法2证明：设0000(,)(2,1)M x y x y ≠±≠±则220044x y +=. 直线2A M 方程为00(2)2y y x x =--，直线1A B 方程为112x y =+. 由00(2)21 1.2y y x x y x ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得点00000002444(,)2222x y y P y x y x +--+-+.直线1A M 方程为00(2)2y y x x =++，直线2A B 方程为112y x =-+. 由00(2)21 1.2y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 解得点000000024+44(,)2+222x y y Q y x y x -+++.0000000024424+4222+2P Q x x y x y y x y x x +-----++=0000000000002(22)(2+2)2(2+2)(22)(22)(2+2)x y y x x y y x y x y x +-+---+=-++22000000002(2)4)(4(2)0(22)(2+2)x y x y y x y x ⎡⎤+----⎣⎦==-++.于是P Q x x =，所以PQ x ⊥轴. 00000044222+2P Q y y y x y x y y +-+=++ 0000220000004(44)4(44)2(22)(2+2)(22)y y y y y x y x y x ++===-+++-. 故PQ 中点在定直线1y =上. 从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以BP BQ =， 所以△BPQ 为等腰三角形.9. 已知直线l:y =m (x −2)+2与圆C ：x 2+y 2=9交于A,B 两点，则使弦长|AB |为整数的直线l 共有 A. 6条 B. 7条 C. 8条D. 9条12. 设抛物线x 2=2py 经过点(2,1),则抛物线的焦点坐标为19. （本小题14分）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过A (2,0),B(0,1)两点. （I ）求椭圆C 的方程和离心率的大小；（II ）设M ，N 是y 轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数，直线AM 与椭圆C 的另一个交点为P ，直线AN 与椭圆C 的另一个交点为Q ，判断直线PQ 与x 轴的位置关系，并证明你的结论。

北京市12区高三第一次模拟（3、4月）数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择、填空题1、（朝阳区2019届高三一模）双曲线2214x y -=的右焦点到其一条渐近线的距离是 ．2、（东城区2019届高三一模）已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为 (A)83 (B) 3 (C) 163(D)6 3、（丰台区2019届高三一模）已知12,F F 为椭圆22212x y M m +=：和双曲线2221x N y n -=：的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且112PF F F ⊥，那么椭圆M 和双曲线N 的离心率之积为（A （B ）1 （C ）2（D ）124、（海淀区2019届高三一模）椭圆221:14x C y +=与双曲线22222:1x y C a b-=的离心率之积为1，则双曲线2C 的两条渐近线的倾斜角分别为 (A)6π，6π-(B)3π，3π-(C)6π，56π (D) 3π，23π5、（怀柔区2019届高三一模）已知抛物线22=y px 的准线方程为1x =-，则=p __________．6、（门头沟区2019届高三一模）双曲线22:21C x y -=的渐近线方程是 .7、（石景山区2019届高三一模）13.过双曲线22221x y a b-=的一个焦点F 作其渐近线的平行线l ，直线l 与y 轴交于点P ，若线段OP 的中点为双曲线的虚轴端点（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为____．8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））设双曲线C 经过点（4,0），且与双曲线2214x y -=具有相同渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 .9、（西城区2019届高三一模）设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为____．10、（平谷区2019届高三一模）设双曲线C 经过点（4，3），且与22149x y -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；离心率为________. 参考答案1、12、C3、B4、C5、26、y =7、28、141622=-y x ，x y 21±=. 9、310、依题意，设双曲线C 的方程为：2249x y k -=，经过点（4,3）， 所以，16949k -=，解得：k ＝3， 所以，C 的方程为：2211227x y -=，离心率为：c e a ==二、解答题1、（朝阳区2019届高三一模）已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．2、（东城区2019届高三一模）已知椭圆22:1(0)4x y C m m m+=>与x 轴交于两点12,A A ，与y 轴的一个交点为B ，△12BA A 的面积为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）在y 轴右侧且平行于y 轴的直线l 与椭圆C 交于不同的两点12,P P ，直线11A P 与直线22A P 交于点P .以原点O 为圆心，以1A B 为半径的圆与x 轴交于,M N 两点（点M 在点N 的左侧），求PM PN -的值.3、（丰台区2019届高三一模）已知抛物线2:2C y px =过点(2,2)M ，,A B 是抛物线C 上不同两点，且AB OM ∥（其中O 是坐标原点），直线AO 与BM 交于点P ，线段AB 的中点为Q . （Ⅰ）求抛物线C 的准线方程； （Ⅱ）求证：直线PQ 与x 轴平行.4、（海淀区2019届高三一模）已知抛物线2:2G y px =，其中0p >．点(2,0)M 在G 的焦点F 的右侧，且M 到G 的准线的距离是M 与F 距离的3倍．经过点M 的直线与抛物线G 交于不同的A B ，两点，直线OA 与直线2x =-交于点P ，经过点B 且与直线OA 垂直的直线l 交x 轴于点Q . (I)求抛物线的方程和F 的坐标；(Ⅱ)判断直线PQ 与直线AB 的位置关系，并说明理由．5、（怀柔区2019届高三一模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，点(0,)B b 满足||2FB =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点F 作直线l 交椭圆E 于M N 、两点，若BFM ∆与BFN ∆的面积之比为2，求直线l 的方程.6、（门头沟区2019届高三一模）如图， 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,12,F F 分别为其左、右焦点，过1F 的直线与此椭圆相交于,D E 两点，且2F DE △的周长为8,椭圆C 的离心率为2. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系错误!未找到引用源。

北京市各区年高考数学一模试题分类解析()-圆锥曲线-理————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：十二、圆锥曲线10（2012年海淀一模理10）过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . 答案：43200x y --=。

7．（2012年门头沟一模理7）已知点P 在抛物线24y x =上，则点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =- 的距离之和的最小值为（ C ）A.3716B.115C.2D.313．（2012年东城一模理13）抛物线2y x =的准线方程为 ；此抛物线的焦点是F ，则经 过F 和点(1,1)M ，且与准线相切的圆共有 个． 答案：14x =-；2。

9．（2012年丰台一模理9）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线方程为34y x =，则该双曲线的离心率是______． 答案：54.13．（2012年密云一模理13）若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为12,F F ，P 为双曲线上一点，且213PF PF =，则该双曲线离心率的取值范围是________． 答案：1<e≤2.9.（2012年朝阳一模理9）已知双曲线的方程为2213x y -=，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 . 答案：233；113.（2012年东城11校联考理13）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且34παπ<<，则双曲线的离心率的取值范围是_______.答案：），（22。

19.（2012年海淀一模理19）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -， P 为椭圆G 的上顶点，且145PF O ∠=︒.（Ⅰ）求椭圆G 的标准方程； （Ⅱ）已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所示.（ⅰ）证明：120m m +=;（ⅱ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值.解：（Ⅰ）设椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.因为1(1,0)F -，145PF O ∠=︒，所以1b c ==.所以 2222a b c =+=.所以 椭圆G 的标准方程为2212x y +=. （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .（ⅰ）证明：由122,1.2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：22211(12)4220k x km x m +++-=.则2218(21)0k m ∆=-+>，1122211224,1222.12km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以 221212||()()AB x x y y =-+- 2212121()4kx x x x =++- 22211224221()41212km m kk k-=+--⋅++ 221222122112k m kk-+=++. l 2l 1yxODCBA同理 2222221||22112k m CD k k -+=++.因为 ||||AB CD =,所以 222212222221212212211212k m k m kk k k -+-++=+++.因为 12m m ≠，所以 120m m +=.（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线,AB CD 间的距离为d ,则 1221m m d k-=+.因为 120m m +=， 所以 1221m d k=+.所以 2221122221||221121m k m S AB d kk k-+=⋅=+⋅++ 22211222112221(21)24242221212k m m k m m k k -++-+=≤=++. （或22422111222(21)114242()22(12)1224k m m m S k k +-==--+≤++）所以 当221212k m +=时， 四边形ABCD 的面积S 取得最大值为22.19.（2012年西城一模理19）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为53，定点(2,0)M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且12MB MB ⊥.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）由 222222519a b b e a a -===-， 得 23b a =.依题意△12MB B 是等腰直角三角形，从而2b =，故3a =.所以椭圆C 的方程是22194x y +=. （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为2x my =+.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 22(49)16200m y my ++-=.所以 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+. 若PF 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以0=+PB PA k k . 设(,0)P a ，则有12120y y x a x a+=--. 将 112x my =+，222x my =+代入上式， 整理得1212122(2)()0(2)(2)my y a y y my a my a +-+=+-+-，所以 12122(2)()0my y a y y +-+=. 将 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+代入上式， 整理得 (29)0a m -+⋅=.由于上式对任意实数m 都成立，所以 92a =. 综上，存在定点9(,0)2P ，使PM 平分APB ∠.19．（2012年东城一模理19）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，B 为短轴的端点，△12A BA 的面积为23，离心率是12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点P 是椭圆C 上异于1A ，2A 的任意一点，直线1A P ，2A P 与直线4x =分别交于M ，N两点，证明：以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于点2F (2F 为椭圆C 的右焦点)．解：（Ⅰ）由已知23,1.2ab c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得2a =，3b =．故所求椭圆方程为22143x y +=． 证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知()12,0A -，()22,0A ，设椭圆右焦点()21,0F ． 设()()00,2P x y x≠±，则22003412x y +=． 于是直线1A P 方程为 ()0022y y x x =++，令4x =，得0062M yy x =+； 所以(M 4,0062y x +)，同理(N 4,0022y x -)． 所以2F M =u u u u r (3,0062y x +)，2F N =u u u u r (3,0022y x -).所以 22F M F N ⋅=u u u u r u u u u r (3,0062y x +)⋅(3,0022y x -)000062922y y x x =+⨯+- ()220022003123129944x y x x -=+=+-- ()20209499904x x -=-=-=-． 所以 22F M F N ⊥，点2F 在以MN 为直径的圆上． 设MN 的中点为E ，则(4,E 00204(1)4y x x --)． 又2F E =u u u u r (3,00204(1)4y x x --)，()2001,,F P x y =-u u u u r 所以22F E F P ⋅=u u u u r u u u u r (3,00204(1)4y x x --)()()()20000020411,314y x x y x x -⋅-=-+-()()()()()20020123131313104x x x x x x --=-+=---=-．所以 22F E F P ⊥．因为2F E 是以MN 为直径的圆的半径，E 为圆心，22F E F P ⊥， 故以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于右焦点．19. （2012年丰台一模理19）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，且经过点(2,0)M -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，连接MA ，MB 并延长交直线x=4于P ，Q 两点，设y P ，y Q 分别为点P ，Q 的纵坐标，且121111P Qy y y y +=+．求证：直线l 过定点． 解：（Ⅰ）依题意2a =，22c a =，所以2c =． …2分 因为222a b c =+， 所以2b =．…3分椭圆方程为22142x y +=． …5分 （Ⅱ）2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消y 得 222(21)4240k x kmx m +++-=，0∆>． …6分 因为11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 122421kmx x k +=-+，21222421m x x k -=+． …7分 设直线MA ：11(2)2y y x x =++，则1162P y y x =+；同理2262Q y y x =+…9分 因为121111P Qy y y y +=+，所以12121222666666x x y y y y +++=+， 即121244066x x y y --+=．…10分 所以 1221(4)(4)0x y x y -+-=，所以 1221(4)()(4)()0x kx m x kx m -++-+=，1212122()4()80kx x m x x k x x m ++-+-=，222224442()4()80212121m km kmk m k m k k k -+----=+++，所以288021k mk --=+，得 m k =-． ……13分则y kx k =-，故l 过定点(1,0)． …14分19.（2012年朝阳一模理19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F .点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点N 的坐标为(3,2)，点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠.过点M 任作直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，NP ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若1322k k k +=，试求,m n 满足的关系式.解: （Ⅰ）依题意，2c =， 1b =，所以223a b c =+=.故椭圆C 的方程为2213x y +=. ……4分 （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得61,3x y ==±.不妨设6(1,)3A ，6(1,)3B -，因为13662233222k k -++=+=，又1322k k k +=，所以21k =，所以,m n 的关系式为213n m -=-，即10m n --=. …7分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+. …9分 又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-. 所以12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k k k k -⨯-+⨯++++=--⨯+++ 222(126)2.126k k +==+12分所以222k =，所以2213n k m -==-，所以,m n 的关系式为10m n --=.……13分 综上所述，,m n 的关系式为10m n --=. …14分19.（2012年东城11校联考理19）已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴的抛物线上有一点1()2A m ，，A 点到抛物线焦点的距离为1.（1）求该抛物线的方程；（2）设00(,)M x y 为抛物线上的一个定点，过M 作抛物线的两条互相垂直的弦MP ,MQ ,求证：PQ 恒过定点00(2,)x y +-.（3）直线01=++my x 与抛物线交于E ,F 两点，在抛物线上是否存在点N ，使得△NEF 为以EF 为斜边的直角三角形.解：（1）由题意可设抛物线的方程为22y px =，则由抛物线的定义可得1212=+p ，即1=p ， 所以抛物线的方程为 x y 22=. ……4分（2）由题意知直线PQ 与x 轴不平行，设PQ 所在直线方程为中代入x y n my x 2,2=+=得 2220.y my n --=1212,2,y y m y y n +==-所以其中12,,y y P Q 分别是的纵坐标,1.MP MQ MP MQ k k ⊥⋅=-因为，所以即102010201,y y y y x x x x --⋅=--- 所以1020()() 4.y y y y ++=- ,04)(2002121=++++⋅y y y y y y 0000(2)2240, 2.n my x n my x -+++==++即所以直线PQ 的方程为,200+++=x my my x即0000()2,(2,x m y y x x y =++++-它一定过定点）. …9分（3）假设N （01),2(,)2(,),0000=++-+my x y x y x 在直线点知则由为满足条件的点上，的解，消去x 得0244,06222≥-=∆=+-m my y N 所以存在点满足条件.……14分19.（2012年石景山一模理19）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）右顶点与右焦点的距离为31-，短轴长为22.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若三角形OAB 的面积为324，求直线AB 的方程． 200002,210,(,)30y x x my x y x my ⎧=+-+=⎨-+=⎩所以是方程组解：（Ⅰ）由题意，222312a c b a b c ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩--1分解得3,1a c ==. ---2分即：椭圆方程为.12322=+y x --3分 （Ⅱ）当直线AB 与x 轴垂直时，43AB =， 此时3AOB S ∆=不符合题意故舍掉； ----4分当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为：)1(+=x k y ，代入消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=. ----6分设1122(,),(,)A x y B x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ---7分所以 2243(1)23k AB k+=+. -----9分 原点到直线的AB 距离21kd k =+， 所以三角形的面积2221143(1)22231k k S AB d k k +==++. 由232224S k k =⇒=⇒=±， ---12分 所以直线:220AB l x y -+=或:220AB l x y ++=. ---13分19.（2012年房山一模19）已知椭圆G 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，一个顶点为()0,1A -，离心率为36． （I ）求椭圆G 的方程；（II ）设直线m kx y +=与椭圆相交于不同的两点,M N ．当AN AM =时，求m 的取值范围．解：（I ）依题意可设椭圆方程为 1222=+y a x ，则离心率为==ac e 36 故3222=ac ，而12=b ，解得32=a ， ………4分 故所求椭圆的方程为1322=+y x . ………5分 （II ）设()()()P P M M N N P x y M x y N x y ，、，、，，P 为弦MN 的中点，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x m kx y 得 0)1(36)13(222=-+++m mkx x k ， Q 直线与椭圆相交，()()()2226431310mk k m ∴∆=-+⨯->⇒1322+<k m ，① …7分23231M N P x x mk x k +∴==-+，从而231P P m y kx m k =+=+，（1）当0≠k 时 21313P AP P y m k k x mk+++∴==- (0=m 不满足题目条件)∵,AM AN AP MN =∴⊥，则kmk k m 13132-=++- ，即 1322+=k m ， ② …………9分把②代入①得 22m m < ，解得 20<<m ， ……10分由②得03122>-=m k ，解得21>m ．故221<<m ………11分 （2）当0=k 时∵直线m y =是平行于x 轴的一条直线，∴11<<-m ……13分综上，求得m 的取值范围是21<<-m ． …14分19．（2012年密云一模理19） 如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M （3，1）.平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m(m ≠0)，且交椭圆于A ，B 两不同点.（I ） 求椭圆的方程；（II ） 求m 的取值范围；（III ） 求证：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.解：（I）设椭圆的方程为12222=+byax(a>b>0)由题可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=119322baba2,1822==∴ba所求椭圆的方程为121822=+yx. …4分（II）∴直线l∥OM且在y轴上的截距为m,∴直线l方程为：y=31x+m.联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+mxyyx31121822消y化简得01896222=-++mmxx∵直线l交椭圆于A，B两点，∴0)189(24)6(22>-⨯⨯-=∆mm解得22<<-m又因为m≠0.m的取值范围为-2<m<2且m≠0. …8分（III）设直线MA、MB的斜率分别为21,kk，则问题只需证明021=+kk. 设A),(11yx,B),(22yx则31,31222111--=--=x y k x y k . 由（2）2189,322121-=⋅-=+m x x m x x 又m x y m x y +=+=221131,31代入 )3)(3()3)(1()3)(1(21122121----+--=+x x x y x y k k 整理得 033633363336331218932336313233632122212212121212121212121=--+-+--=--+---+-⨯=--+-+-+=--++-+-+=+))(())(())(())(())(())(()()(x x m m m m x x m m m m x x m x x m x x x x y y x x y x x y k k∴021=+k k .从而直线MA 、MB 与x 轴围成一个等腰三角形. …13分19．（2012年门头沟一模理19）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(2,1)A ，离心率为22，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆交于不同的两点,M N ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求→→•BN BM 的取值范围．解: （Ⅰ）由离心率为22，可设2,2c t a t ==，则2b t = 因为22221(0)x y a b a b+=>>经过点(2,1)A 所以2241142t t +=，解得232t =，所以226,3a b == 椭圆方程为22163x y += ……4分（Ⅱ）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(3)y k x =-，直线l 与椭圆的交点坐标为1122(,),(,)M x y N x y ……5分 由22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消元整理得：2222(12)121860k x k x k +-+-= ………7分 2222(12)4(12)(186)0k k k ∆=-+-> 得 201k ≤< …8分21221212k x x k +=+，212218612k x x k-=+…………9分 →→•BN BM 11221212(3,)(3,)(3)(3)x y x y x x y y =--=--+g …10分21212(1)[3()9]k x x x x =+-++223(1)12k k =+⨯+231(1)212k =++ 因为201k ≤<，所以2312(1)3212k <+≤+ 所以→→•BN BM 的取值范围是(2,3]．………14分。

【备战2016】（北京版）高考数学分项汇编 专题09 圆锥曲线（含解析）文1. 【2020高考北京文第3题】“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ）A ．充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2. 【2021高考北京文第7题】双曲线x 2－2y m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )．A ．m ＞12B ．m ≥1C ．m ＞1D ．m ＞23. 【2020高考北京文第8题】4. 【2007高考北京文第4题】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的核心为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点别离为M N ，，假设12MN F F ≤2，那么该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．202⎛⎤ ⎥ ⎝⎦，Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．212⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，5. 【2005高考北京文第9题】抛物线y 2=4x 的准线方程是 ；核心坐标是 ．6. 【2021高考北京文第9题】假设抛物线y 2＝2px 的核心坐标为(1,0)，那么p ＝__________；准线方程为__________．7. 【2020高考北京文第13题】椭圆22192x y +=的核心为12,F F ，点P 在椭圆上，假设1||4PF =，那么2||PF = ；12F PF ∠的大小为 .8. 【2020高考北京文第13题】已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，核心与椭圆221259x y +=的核心相同，那么双曲线的核心坐标为__________；渐近线方程为__________．9. 【2021高考北京文第10题】设双曲线C 的两个核心为()2,0-，()2,0，一个极点式()1,0，则C 的方程为 .考点：本小题要紧考查双曲线的方程的求解、,,a b c 的关系式，考查分析问题与解决问题的能力.10. 【2020高考北京文第10题】已知双曲线2221(0)yx bb-=>的一条渐近线的方程为2y x=，那么b= .11. 【2005高考北京文第20题】（本小题共14分）如图，直线l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部份记为W1，右半部份记为W2．（I）别离用不等式组表示W1和W2；（II）假设区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；（III）设只是原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2别离交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．12【2006高考北京文第19题】椭圆C : 12222=+by a x (a >b >0)的两个核心为F 1、F 2,点P 在椭圆C 上,且PF 1⊥F 1F 2,|PF 1|=34,|PF 2|=314. (1)求椭圆C 的方程;(2)假设直线l 过圆x 2+y 2+4x -2y =0的圆心M ,交椭圆C 于A 、B 两点,且A 、B 关于点M 对称,求直线l 的方程.13.【2007高考北京文第19题】（本小题共14分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）假设动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．14.【2020高考北京文第19题】（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x yG a ba b+=>>的离心率为63，右核心为(22,0)。