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选修4-2 矩阵与变换1．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－2 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 312，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，求满足AXB ＝C 的矩阵X . 解 AXB ＝C ，所以(A －1A )XB ·B －1＝A －1CB －1而A －1AXB ·B －1＝EXBB －1＝X (BB －1)＝X ，所以X ＝A －1CB －1 因为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －22 1， B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2， 所以X ＝A －1CB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －22 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －31 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 001. 2．设圆F ：x 2＋y 2＝1在(x ，y )→(x ′，y ′)＝(x ＋2y ，y )对应的变换下变换成另一图形F ′，试求变换矩阵M 及图形F ′的方程．解 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1.∵圆上任意一点(x ，y )变换为(x ′，y ′)＝(x ＋2y ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y y ′＝y， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－2y ′y ＝y ′. ∵x 2＋y 2＝1，∴(x ′－2y ′)2＋(y ′)2＝1.即F ′的方程为(x －2y )2＋y 2＝1.(1)求实数a 、b 、c 、d 的值；(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程．解 (1)由题设得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＋0＝2，2＋ad ＝0，bc ＋0＝－2，2b ＋d ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，c ＝2，d ＝2.(2)∵矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)，∴可取直线y ＝3x 上的两点(0，0)，(1，3)，得点(0，0)，(1，3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像是点(0，0)，(－2，2)． 从而，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y ＝－x .4．已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求矩阵A . 解 由特征值、特征向量定义可知，Aa 1＝λ1a 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8.解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1. 因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321. 5．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00 b (其中a >0，b >0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解 (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 3.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. ∴2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13， 故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 13. (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′，又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上， ∴x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 又a >0，b >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.6．给定矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －13－13 23，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. (1)求证：M 和N 互为逆矩阵；(2)求证：向量α同时是M 和N 的特征向量；(3)指出矩阵M 和N 的一个公共特征值．解 (1)证明：因MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －13－13 23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，且NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －13－13 23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 所以M 和N 互为逆矩阵．(2)证明：因为M α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 所以α是N 的特征向量．因为N α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 所以α是N 的特征向量．(3)由(2)知，M 对应于特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1的特征值为1，N 对应于特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1的特征值也为1，故1是矩阵M 和N 的一个公共特征值．。
矩阵分析复习第一章线性空间与线性变换一、线性空间1．线性空间：设V 是一个非空集合。
如果V 满足:（I）在V 中定义一个“加法”运算，即当V y x ，时，有唯一的和V y x （封闭性），且加法运算满足下列性质: （1）结合律z y x z y x )()(； （2）交换律x y y x ；（3）零元律O V ，称为零元， x V 有x O x ； （4）负元律x V ， y V 称为x 的负元，使O y x 。
（II）在V 中定义一个“数乘”运算，即当K k V x ,时，有唯一的V kx （封闭性），且数乘运算满足下列性质: （5）数因子分配律ky kx y x k )(； （6）分配律lx kx x l k )(； （7）结合律x kl lx k )()( ；（8）恒等律x x 1；[数域中一定有1]2．线性空间的基与维数基：设V 是数域K 上的线性空间，)1(,,21 r x x x r 是属于V 的r 个任意元素，如果它满足（1）r x x x ,,21 线性无关；（2）V 中任一向量x 均可由r x x x ,,21 线性表示。
则称r x x x ,,21 为V 的一个基。
维数：基中的元素个数称为V 的维数，记为V dim 。
3.坐标：称线性空间n V 的一个基n x x x ,,21 为nV 的一个坐标系，nV x ，它在该基下的线性表示为：),2,1,,(1n i V x K x ni i ni ii则称n ,,21 为x 在该坐标系中的坐标或分量，记为Tn ),,(214.基变换与坐标变换：设n x x x ,,21 及n y y y ,,21 是nV 的两组基，),2,1(1n i x cy ni iij j即C x x x c c c c c c c c c x x x y y y n nn n n n n n n ,,,,,,212122221112112121其中C 称为过渡矩阵。
2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：选修系列<第5部分：矩阵与变换）一、线性变换与二阶矩阵<一）矩阵相等的应用〖例〗已知A=，B=，若A=B，求，。
思路解读：由矩阵相等的定义，知矩阵A，B对应元素相等，列出方程组后求解。
解答：由矩阵相等的定义知，解得<二）二阶矩阵与平面向量乘法的应用〖例〗在平面直角坐标系xOy中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程。
思路解读：由已知矩阵可得坐标变换公式，从而得到椭圆上点与曲线上F上点坐标间的关系，再代入椭圆方程即可得F的方程。
解答：设是椭圆上任意一点，点P在矩阵A=的作用下的像为。
∵A=，∴坐标变换公式∴∵点P在椭圆上，故，∴，∴曲线F的方程为。
<三）线性变换性质的应用〖例〗二阶矩阵M对应的变换将点<1，-1）与<-2，1）分别变成点<-1，-1）与<0，-2）。
<1）求矩阵M；<2）设直线在变换M作用下得到了直线求直线的方程。
思路解读：由已知条件下可利用待定系数法求矩阵M，再通过矩阵M对应的坐标变换公式确定直线与直线上点坐标间的关系，即可求直线的方程。
解答：二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵<一）与矩阵乘法的相关问题〖例〗⊿ABC的顶点为A<0，0），B<0，0），C<0，1）。
如果将三角形先后经过和两次变换变成⊿，求⊿的面积。
思路解读：先将两次变换转化成矩阵的乘法，再利用矩阵与向量的乘法求出变换后的点的坐标，最后用三角形的知识求面积。
解答：<二）与逆矩阵<变换相关的问题）〖例〗已知矩阵A=。
<1）求逆矩阵A-1；<2）若二阶矩阵X满足AX=，试求矩阵X。
思路解读：利用可以求出A-1，再利用A·A-1=E2，可求出二阶矩阵X。
解答：<1）∵==-1≠0。
∴矩阵A是可逆的，且A-1=<2）∵AX=，∴A-1 AX= A-1，∴X==。
专题11.6 矩阵与变换1. 已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求矩阵A 的特征值和特征向量． 【答案】属于特征值12λ=的一个特征向量121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦属于特征值23λ=的一个特征向量211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2.已知直线1=+y x l ：在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10n m A 对应的变换作用下变为直线1=-'y x l ：，求矩阵A . 【答案】1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】设直线:1l x y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y ''' ．由''01x m n x mx ny y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得x mx ny y y '=+⎧⎨'=⎩…………5分又点(,)M x y '''在l '上,所以1x y ''-=,即()1mx ny y +-=依题意111m n =⎧⎨-=⎩,解得12m n =⎧⎨=⎩，1201A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦ …………10分 3.选修4—2：矩阵与变换求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 113的特征值及对应的特征向量．【答案】属于λ1＝2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于λ1＝4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11．4.（选修4—2：矩阵与变换）设矩阵 02 1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为221x y +=，求曲线C 的方程.【答案】22841x xy y ++=【解析】由题意，矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--，因矩阵M 有一个特征值为2，(2)0f =，所以2a =. …………4分所以 2 0M 2 1x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即22x xy x y'=⎧⎨'=+⎩， 代入方程221x y +=，得22(2)(2)1x x y ++=，即曲线C 的方程为22841x xy y ++=.…10分 5.选修4 2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知二阶矩阵M 有特征值λ=3及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵M 对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15) ，求矩阵M .【答案】1436-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦6.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 13，其中a ∈R ，若点P (1,2)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(6,7)．(1)求实数a 的值与矩阵A ；(2)求矩阵A 的特征值及相应的特征向量． 【答案】（1）a ＝2，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2213.（2）属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1，属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.【解析】解：(1)由题意知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋2a 7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤67，∴2＋2a ＝6，∴a ＝2，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 21 3. (2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 213，其特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －2－1 λ－3＝(λ－2)(λ－3)－2，令f (λ)＝0，即λ2－5λ＋4＝0，解得λ1＝1，λ2＝4.当λ1＝1时，设对应的特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 213⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2n ＝m ，m ＋3n ＝n ，取n ＝1，则m ＝－2，故α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－21；当λ2＝4时，设对应的特征向量为β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 213⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝4x ，x ＋3y ＝4y ，取x ＝1，则y ＝1，故β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.∴矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1，属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.7. 设M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y 轴方向伸长为原来5倍的伸缩变换． (1)求直线4x －10y ＝1在M 作用下的方程； (2)求M 的特征值与相应的特征向量．【答案】（1）4x －2y ＝1.（2）当λ1＝1时，特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10；当λ2＝5时，特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.8.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244.(1)求矩阵A 的特征值及对应的特征向量；(2)计算矩阵A n.【答案】（1）当λ1＝8时，A 属于λ1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝2时，A 属于λ2的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.（2）⎣⎢⎢⎦⎥⎥332×8n－2n ＋138n＋2n ＋13c ＝2×8n－2n ＋13，d ＝8n ＋2n ＋13.故A n＝⎣⎢⎢⎦⎥⎥332×8n－2n ＋138n＋2n ＋139.已知a ，b ∈R ，若M =13a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x - y = 3变换成自身，试求实数a ，b ． 【答案】4,1-==b a 【解析】10.已知曲线C ：1xy =，若矩阵22M ⎥=⎥⎥⎣⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程. 【答案】222y x -= 【解析】试题解析：设曲线C 一点(,)x y ''对应于曲线C '上一点(,)x y ，∴2222x x y y '⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎥=⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，x y x ''=x y y ''+=，……5分∴x '=，y '=，∴1x y ''==，∴曲线C '的方程为222y x -=. …10分11.变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（Ⅰ）求点(2,1)P 在1T 作用下的点'P 的坐标；（Ⅱ）求函数2y x =的图象依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程。
