抽象函数周期性的判断及其简单运用

抽象函数周期的几个结论及应用函数的周期性是函数的重要性质之一，也是高考常考内容之一，在中学教材里只介绍了三角函数周期的求法，而对于一般函数的周期尤其是抽象函数的周期则介绍不多，针对这种情况，本文给出几类抽象函数的周期，并举例说明它们的应用。

一、 抽象函数周期的几个结论1.设函数))((R x x f y ∈=是偶函数，且)0)(()(≠+=-a x a f x a f ，则函数)(x f y =必是周期函数，且a 2是它的一个周期。

证明：由)(x f 是偶函数得，对任意R x ∈，有)()(x f x f =-，又因为)()(x a f x a f +=-， )()]([)]([)2(x f x a a f x a a f x a f =--=-+=-∴，)()()]2(2[)2(x f x f a x a f a x f =-=+-=+∴，因此)(x f y =是周期函数，且a 2是它的一个周期。

2. 设函数))((R x x f y ∈=是奇函数，且)0)(()(≠+=-a x a f x a f ，则函数)(x f y =必是周期函数，且a 4是它的一个周期。

证明：由)(x f 是奇函数得，对任意R x ∈，有)()(x f x f -=-，又因为)()(x a f x a f +=-， )()]([)]([)2(x f x a a f x a a f x a f =--=-+=-∴，)()()2()2()]2(2[)4(x f x f x a f x a f x a a f a x f =--=+-=--=---=+∴，因此)(x f y =是周期函数，且a 4是它的一个周期。

3. 若函数))((R x x f y ∈=满足)()(x a f x a f +=-，)()(x b f x b f +=-)(a b R b a >∈且、，则)(x f y =是周期函数，且)(2a b -是它的一个周期。

抽象函数周期性的结论及应用抽象函数是指没有具体地给出函数解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数．下面例析其周期性的三个重要结论及应用．一、三个结论若a，b是非零常数，且a≠b，则有满足以下条件的函数f(x)为周期结论1 (递推式与周期关系结论)⑴若f(x＋a)＝f(x－a)，则T＝2a；⑵若f(x＋a)＝－1()f x，则T＝2a；⑶若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；⑷若f(x＋a)＝1()1()f xf x+-，则T＝4a．结论2(对称性与周期关系结论)⑴f(x)关于x＝a及x＝b对称，则T＝2(b－a)；⑵f(x)关于x＝b及M(a，0)对称，则T＝4(b－a)；⑶f(x)关于点M(a，0)和N(b，0)对称，则T＝2(b－a)．结论3 (奇偶性与周期关系结论)⑴f(x)是偶函数且关于直线x＝a对称，则T＝2a；⑵f(x)是奇函数且关于直线x＝a对称，则T＝4a．二、应用举例1．求值例1设f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈(0，1)时，f(x)＝3x－2，求13log 36f ⎛⎫ ⎪⎝⎭．解：由结论1⑴，得T ＝2．∴ ()133log 36log 36f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭f (－log 336＋4)＝39log 4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 易知0＜log 394＜1， ∴ 13log 36f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝39log 4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝39log 43－2＝94－2＝41． 例2 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)[1－f (x )]＝1＋f (x )，f (1)＝2005，求f (2001)的值．解：由f (x )≠1，则有f (x ＋2)＝1()1()f x f x +-，由结论1⑷，得T ＝2×4＝8． ∴ f (2001)＝f (1＋8×250)＝f (1)＝2005．例3 已知函数f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)对于x ∈R 成立，且f (1)＝100，求f (2005)的值．解：由f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)， ①得f (x ＋2)＝f (x ＋4)＋f (x )． ②由①、②，得f (x ＋4)＝－f (x －2)，即f (x ＋6)＝－f (x )．由结论1⑵，知T ＝12．故有f (2005)＝f (1＋12×167)＝f (1)＝100．2．判断奇偶性例4 若函数f (x )对于x ∈R 满足，f (x ＋1002)＝－1()f x ，f (1002＋x )＝f(1002－x)，则f(x)为( )(A) 是奇函数而不是偶函数(B) 是偶函数而不是奇函数(C) 是奇函数又是偶函数(D) 不是奇函数也不是偶函数解：由f(x＋1002)＝－1()f x，结合结论1⑵，知T＝2004．∴f(x)＝f(2004＋x)＝f[1002＋(1002＋x)]＝f[1002－(1002＋x)]＝f(－x)．即f(－x)＝f(x)．∴y＝f(x)是偶函数．故选(B)．3．求解析式例5已知偶函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且x∈[3，4]时，f(x)＝2x－1，求当x∈[14，15]时，f(x)的解析式．解：由条件及结论3⑴，知f(x)的周期是2．故当x∈[14，15]时，f(x)＝f(x－18)＝f(18－x)．而知3≤18－x≤4，故f(x)＝f(18－x)＝[2×(18－x)－1]＝－2x＋35．。

抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x -a)（或f(x -2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a -x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数； 7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。

（7、8应掌握具体推导方法，如7） 函数图像的对称性： 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a -x)或f(x+a)=f(a -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b -x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a -x,2b -y)=0； 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b -x)的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。

备战高考数学“棘手”问题培优专题讲座---函数的基本性质（函数的奇偶性、对称性、周期性）灵活应用一．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可．(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.【方法点拨】1.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x=a+b2对称．(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ， 则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )中心对称．2. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍， 为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍． (注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴、对称中心和周期之间的关系)3. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 【典型题示例】例1.已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________.【分析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )关于直线x ＝12对称，由函数f (x ＋1)是奇函数，f (x )关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x )的周期为2，作出函数f (x )的图象即可.【解析】因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以f (1－x )＝f (x )，所以f (x ＋1)＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， 所以 函数f (x )的周期为2，且图象关于直线x ＝12对称．作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可得f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4.【答案】4 二、典型例题1.奇偶性与周期性的综合问题1.已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断：①f (5)＝0； ②f (x )在[1,2]上是减函数； ③函数f (x )没有最小值； ④函数f (x )在x ＝0处取得最大值； ⑤f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中正确的序号是________．解：因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以f (1＋x )＝－f (1－x )＝－f (x －1)，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数．由题意知，函数y ＝f (x )(x ∈R)关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．答案：①②④2. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当(]1,0x ∈-时，()2x f x =，且()1f x +的图像关于原点对称，则20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2B C ．2-D ．【解题思路】根据偶函数及()1f x +的图像关于原点对称可知，函数的周期；根据周期性及()1f x +为奇函数，可得20192f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．解：由题可知函数()f x 的图像关于直线0x =和点()1,0对称，所以函数()f x 的周期为4，则12201933114252222222f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 答案:C3.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1，则( )A ．f (－3)<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52B ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<f (2)C ．f (2)<f (－3)<f ⎝⎛⎭⎫52D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3) 解： ∵f (x －1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的周期T ＝2．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1＝x ·e x－1e x ＋1，则f (－x )＝－x ·e －x －1e －x ＋1＝－x ·1－e x 1＋e x ＝x ·e x －1e x ＋1＝f (x )，则函数f (x )为偶函数，因此f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (－3)＝f (－1)＝f (1)，f (2)＝f (0)． 当0 ≤x ≤1时，函数y ＝x 与y ＝1－2e x ＋1均为增函数且都不小于0， 所以f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1在区间[0，1]上是增函数，∴f (1)>f ⎝⎛⎭⎫12>f (0)，即f (－3)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)． 答案:D4.（2018年全国2卷）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A.B. 0C. 2D. 50分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.【答案】C点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5. 已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝( )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋1解：由题可知f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝f ⎝⎛⎭⎫1 008＋32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫12. 又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝3－1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－3＋1. 答案：D奇偶性与周期性综合问题的解题策略函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6. 已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为______ 解：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1， ∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4. 答案：(－1,4)7. 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解：∵f (x )的周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 又∵当－1≤x ＜0时，f (x )＝－4x 2＋2， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：18. 若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 解：由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎫2×4－76＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76 ＝－316＋sin π6＝516.答案：5169.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.解：由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5. 答案：2.510.若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解：由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (3)－f (4)＝－1.答案：－111.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝15，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝－1f （x ），则f (8)＝________；f (2 015)＝________. 解：由f (x ＋3)＝－1f （x ），得f (x ＋6)＝－1f （x ＋3）＝f (x )， 故函数f (x )是周期为6的周期函数.故f (8)＝f (2)＝15，f (2 015)＝f (6×335＋5)＝f (5)＝－1f （2）＝－115＝－5.答案：15；－513.奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．解：函数f (x )是奇函数，则f (0)＝0，由f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]知f (1)＝1，f (2)＝0，又f (x )的周期为4，所以f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝f (2)＋f (3)＋f (0)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1. 答案：－114.已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝________.解：由函数f (x )是周期为2的奇函数得f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝f ⎝⎛⎭⎫65＝f ⎝⎛⎭⎫－45＝－f ⎝⎛⎭⎫45， 又当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)， 所以f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝－f ⎝⎛⎭⎫45＝－lg 95＝lg 59， 故f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1. 答案：115.设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2. 答案： 216.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________.解：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1， 即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22， 即b ＝－2a .② 由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－1017.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________.解：因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案：718.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.解：在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知， 函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1， 且f (x )是周期为2的周期函数.∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误. 答案：①②1. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0，1)上单调递增，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＞b ＝c B.b ＞a ＝c C.b ＞c ＞a D.a ＞c ＞b解：依题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数，f (2)＝f (0)＝0，又f (3)＝－f (2)＝0，且f (x )在[0，1)上是增函数， 于是有f ⎝⎛⎭⎫12＞f (0)＝f (2)＝f (3)，即a ＞b ＝c . 答案：A2.奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)， 即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.3. 已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数， 那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数 解：由题意知f (x ＋2)＝1f (x ＋1)＝f (x )，所以f (x )的周期为2， 又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数， 则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数．选A7.设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解：∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x ＜π时，f (x )＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12. 故选A. 8.已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( )A ．0B ．－4C ．－8D ．－16解：由题可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f(x＋12)＝f[(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4，故选B.9.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，则f(2 014)等于( )A.0B.3C.4D.6解：依题意，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)＝f(2)，即2f(2)＝f(2)，f(2)＝0，f(x＋4)＝f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数，又2014＝4×503＋2，所以f(2014)＝f(2)＝0.故选A.答案：A11.奇函数f(x)的定义域为R. 若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A．－2 B．－1 C．0 D．1解：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，故f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝1. 故选D12.f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为( )A．4 B．5 C．8 D．10解：由零点的定义可得f(x)＝|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点。

抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=fx ,满足fx+a=fx -a 或fx -2a=fxa >0恒成立,则y=fx 是周期为2a 的周期函数；2、若y=fx 的图像关于直线x=a 和x=b 对称,则函数y=fx 是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=fx 的图像关于点a,0和b,0对称,则函数y=fx 是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=fx 的图像有一个对称中心Aa,0和一条对称轴x=ba ≠b ,则函数y=fx 是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=fx 满足fa+x=fa -x ,其中a>0,且如果y=fx 为奇函数,则其周期为4a ；如果y=fx 为偶函数,则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=fx ,满足fx+a=-fx ()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或,则y=fx 是周期为2|a|的周期函数；7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=fx 是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=fx 是周期为2a 的周期函数;7、8应掌握具体推导方法,如7 函数图像的对称性：1、若函数y=fx 满足fa+x=fb -x ,则函数y=fx 的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=fx 满足fx=f2a -x 或fx+a=fa -x ,则函数y=fx 的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=fx 满足fa+x+fb -x=c ,则y=fx 的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线fx,y=0关于点a,b 的对称曲线的方程为f2a -x,2b -y=0； 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线,由常数分离法 ()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=fx 定义在实数集上,则y=fx+a 与y=fb -x 的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=fx 有反函数,则y=fa+x 和y=f -1x+a 的图像关于直线y=x+a 对称;一、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f1+sinx=2+sinx+cos 2x , 求fx二、方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题;例2．.232|)(:|,)1(2)(),)(,(≥=-=x f x x f x f x f x f(x)y 求证且为实数即是实数函数设三、待定系数法如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题; 例3．已知fx 是二次函数,且fx+1+fx -1=2x 2-4x ,求fx .四、赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决; 例4．对任意实数x,y ,均满足fx+y 2=fx+2fy 2且f1≠0,则f2001=_______. 例5．已知fx 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的实数a,b 都满足 fab=afb+bfa. 1求f0,f1的值；2判断fx 的奇偶性,并证明你的结论;五、转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系,为问题的解决带来极大的方便.例6．设函数fx 对任意实数x,y ,都有fx+y=fx+fy ,若x>0时fx<0,且f1= -2, 求fx 在-3,3上的最大值和最小值;例7．定义在R +上的函数fx 满足： ①对任意实数m ,fx m =mfx ； ②f2=1. 1求证：fxy=fx+fy 对任意正数x,y 都成立； 2证明fx 是R +上的单调增函数； 3若fx+fx -3≤2,求x 的取值范围;六、递推法 对于定义在正整数集N 上的抽象函数,用递推法来探究,如果给出的关系式具有递推性,也常用递推法来求解.例8．已知fx 是定义在R 上的函数,f1=1,且对任意x ∈R 都有fx+5≥fx+5,fx+1≤fx+1;若gx=fx+1-x ,则g2002=_________.模型法模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法; 应掌握下面常见的特殊模型：=_____________ 例11．设定义在R 上的函数fx ,满足当x>0时,fx>1,且对任意x,y ∈R ,有fx+y=fxfy,f1=2 1解不等式f3x -x 2>4；2解方程fx 2+12fx+3=f2+1 例12．已知函数fx 对任何正数x,y 都有fxy=fxfy ,且fx ≠0,当x>1时,fx<1;试判断fx 在0,+∞上的单调性,并说明理由;函数性质练习1. 已知函数为偶函数,则的值是A. B. C. D.2. 若偶函数在上是增函数,则下列关系式中成立的是)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f m 1234)(x f (]1,-∞-A. B.C. D.3. 如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为,那么在区间上是A. 增函数且最小值是B. 增函数且最大值是C. 减函数且最大值是D. 减函数且最小值是4. 设是定义在上的一个函数,则函数在上一定是 A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数5. 下列函数中,在区间上是增函数的是A. B. C. D. 6. 函数是A. 是奇函数又是减函数B. 是奇函数但不是减函数C. 是减函数但不是奇函数D. 不是奇函数也不是减函数7. 设奇函数的定义域为,若当时,的图象如右图,则不等式的解是8. 函数________________.9. 已知,则函数的值域是.10. 若函数是偶函数,则的递减区间是 .11. 下列四个命题 1; 2函数是其定义域到值域的映射;)2()1()23(f f f <-<-)2()23()1(f f f <-<-)23()1()2(-<-<f f f )1()23()2(-<-<f f f )(x f [3,7]5)(x f []3,7--5-5-5-5-)(x f R )()()(x f x f x F --=R ()0,1x y =x y -=3xy 1=42+-=x y )11()(+--=x x x x f )(x f []5,5-[0,5]x ∈)(x f ()0f x <2y x =+[0,1]x ∈y =2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+)(x f ()f x =3函数的图象是一直线；4函数的图象是抛物线,其中正确的命题个数是____________.12. 已知函数的定义域为,且同时满足下列条件：1是奇函数；2在定义域上单调递减；3求的取值范围.抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=fx ,满足fx+a=fx -a 或fx -2a=fxa >0恒成立,则y=fx 是周期为2a 的周期函数；2、若y=fx 的图像关于直线x=a 和x=b 对称,则函数y=fx 是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=fx 的图像关于点a,0和b,0对称,则函数y=fx 是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=fx 的图像有一个对称中心Aa,0和一条对称轴x=ba ≠b ,则函数y=fx 是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=fx 满足fa+x=fa -x ,其中a>0,且如果y=fx 为奇函数,则其周期为4a ；如果y=fx 为偶函数,则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=fx ,满足fx+a=-fx ()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或,则y=fx 是周期为2|a|的周期函数；7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=fx 是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=fx 是周期为2a 的周期函数;7、8应掌握具体推导方法,如7 函数图像的对称性：1、若函数y=fx 满足fa+x=fb -x ,则函数y=fx 的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=fx 满足fx=f2a -x 或fx+a=fa -x ,则函数y=fx 的图像关于直线x=a 对称；2()y x x N =∈22,0,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩()f x ()1,1-()f x ()f x 2(1)(1)0,f a f a -+-<a ()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++3、若函数y=fx 满足fa+x+fb -x=c ,则y=fx 的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线fx,y=0关于点a,b 的对称曲线的方程为f2a -x,2b -y=0； 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线,由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=fx 定义在实数集上,则y=fx+a 与y=fb -x 的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=fx 有反函数,则y=fa+x 和y=f -1x+a 的图像关于直线y=x+a 对称;二、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法. 例2. 已知f1+sinx=2+sinx+cos 2x , 求fx解：令u=1+sinx ,则sinx=u -1 0≤u ≤2,则fu=-u 2+3u+1 0≤u ≤2 故fx=-x 2+3x+1 0≤x ≤2二、方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题;例2．.232|)(:|,)1(2)(),)(,(≥=-=x f x x f x f x f x f(x)y 求证且为实数即是实数函数设解:xx x f x x f x f x x 323)(,1)(2)1(,1--==-联立方程组，得得代换用三、待定系数法如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题; 例3．已知fx 是多项式函数,且fx+1+fx -1=2x 2-4x ,求fx . 解：由已知得fx 是二次多项式,设fx=ax 2+bx+c a≠0 代入fx+1=ax+12+bx+1+c=ax 2+2a+bx+a+b+c fx -1= ax -12+bx -1+c=ax 2+ b -2ax+a -b+c∴fx+1+ fx -1=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x比较系数得：a=1,b= -2,c= -1 , fx=x 2-2x -1.四、赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决; 例4．对任意实数x,y ,均满足fx+y 2=fx+2fy 2且f1≠0,则f2001=_______. 解：令x=y=0,得：f0=0,令x=0,y=1,得f0+12=f0+2f12,∵f1≠0 ∴f1= . 令x=n,y=1,得fn+1=fn+2f12=fn+ 即fn+1-fn = 12,故fn = 2n ,f2001= 20012例5．已知fx 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的实数a,b 都满足 fab=afb+bfa. 1求f0,f1的值；2判断fx 的奇偶性,并证明你的结论; 3若f2=2,u n =f2n n ∈N ,求证：u n+1>u n n ∈N . 解：1令a=b=0,得f0=0,令a=b=1,得f1=0.2fx 是奇函数;因为：令a=b=-1,得f -1-1=-f -1-f -1,f -1=0, 故f -x=f -1x= -fx+xf -1= -fx ,故fx 为奇函数. 3先用数学归纳法证明：u n =f2n >0 n ∈N 略五、转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系,为问题的解决带来极大的方便.例6．设函数fx 对任意实数x,y ,都有fx+y=fx+fy ,若x>0时fx<0,且f1= -2,求fx 在-3,3上的最大值和最小值;解：令x=y=0,得f0=0,令y=-x ,得f -x+fx=f0=0,即fx 为奇函数. 设x 1<x 2,则x 2-x 1>0,由已知得fx 2-x 1<0,故fx 2=fx 2-x 1+x 1=fx 2-x 1+fx 1< fx 1 所以fx 是R 上的减函数,又f3=f1+f2=3f1=-6,f -3=6 故fx 在-3,3上的最大值为6,最小值为-6.例7．定义在R +上的函数fx 满足： ①对任意实数m ,fx m =mfx ； ②f2=1. 1求证：fxy=fx+fy 对任意正数x,y 都成立； 2证明fx 是R +上的单调增函数； 3若fx+fx -3≤2,求x 的取值范围;解：1令x=2m ,y=2n ,其中m,n 为实数,则fxy=f2m+n =m+nf2=m+n .1212又fx+fy=f2m +f2n =mf2+nf2=m+n ,所以fxy=fx+fy 2证明：设0<x 1<x 2,可令m<n 且使x 1=2m ,x 2=2n 由1得fx 1-fx 2=12x f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=f2m -n=m -nf2=m -n<0故fx 1<fx 2,即fx 是R +上的增函数;3由fx+fx -3≤2及fx 的性质,得fxx -3≤2f2=f4 解得 3<x ≤4;六、递推法 对于定义在正整数集N 上的抽象函数,用递推法来探究,如果给出的关系式具有递推性,也常用递推法来求解.例8．已知fx 是定义在R 上的函数,f1=1,且对任意x ∈R 都有fx+5≥fx+5,fx+1≤fx+1;若gx=fx+1-x ,则g2002=_________.解：由fx+1≤fx+1得fx+5≤fx+4+1≤fx+3+2≤fx+2+3≤fx+1+4 又∵fx+5≥fx+5 ∴fx+5≤fx+1+4 ∴fx+1≤fx+1 又∵fx+1≤fx+1 ∴fx+1=fx+1又∵f1=1 ∴fx=x gx=fx+1-x=1,故g2002=1;模型法模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法; 应掌握下面常见的特殊模型：=_____________ 分析：因为函数fx 恒满足f2+x= f2-x ,方程fx=0有5个实根,可以将该函数看成是类似于二次函数y=kx -22为模型引出解题思路,即函数的对称轴是x=2,并且函数在f2=0,其余的四个实数根关于x=2对称 解：因为实数集上的函数fx 恒满足f2+x= f2-x ,方程fx=0有5个实根,所以函数关于直线x=2对称,所以方程的五个实数根也关于直线x=2对称,其中有一个实数根为2,其它四个实数根位于直线x=2两侧,关于直线x=2对称,则这5个根之和为10;例11．设定义在R 上的函数fx ,满足当x>0时,fx>1,且对任意x,y ∈R ,有fx+y=fxfy,f1=2 1解不等式f3x -x 2>4；2解方程fx 2+12fx+3=f2+1 分析：可联想指数函数fx=a x ;解：1先证fx>0,且单调递增,因为fx=fx+0=fxf0,x>0时fx>1,所以f0=1 对于任意x<0,则-x>0,fxf -x=fx -x=f0=1,∴fx=()1f x - ∵-x>0,f -x>1 ∴0<fx<1 综上所述 fx>0 任取x 1,x 2∈R 且x 1<x 2,则x 2-x 1>0,fx 2-x 1>1, 所以fx 1-fx 2=fx 2-x 1+x 1-fx 1=fx 2-x 1fx 1-fx 1=fx 1fx 2-x 1-1>0 所以x ∈R 时,fx 为增函数;不等式f3x -x 2>4可化为3x -x 2>2 解得：{x|1<x<2}2f1=2,f2=4,f3=8,原方程可化为：fx 2+4fx -5=0,解得fx=1或fx=-5舍 由1得x=0;例12．已知函数fx 对任何正数x,y 都有fxy=fxfy ,且fx ≠0,当x>1时,fx<1;试判断fx 在0,+∞上的单调性,并说明理由;分析：可联想幂函数 fx=x n 解：对x ∈R +,有fx=20ff =≥,又fx ≠0,故fx>0设x 1,x 2∈R +,且x 1<x 2,则211x x >,则()()()()()2211211211111x x f x f f x f x x x x f f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===< ⎪⎝⎭所以fx 1>fx 2,故fx 在R +上为减函数;函数性质答案1. B 奇次项系数为2. D3. A 奇函数关于原点对称,左右两边有相同的单调性4. A5. A 在上递减,在上递减,在上递减,6. A为奇函数,而为减函数. 7. 奇函数关于原点对称,补足左边的图象8. 是的增函数,当时,9. 该函数为增函数,自变量最小时,函数值最小；自变量最大时,函数值最大10.11. 1,不存在；2函数是特殊的映射；3该图象是由离散的点组成的；4两个不同的抛物线的两部分组成的,不是抛物线.12. 解：,则,0,20,2m m -==3(2)(2),212f f =--<-<-()()()()F x f x f x F x -=--=-3y x =-R 1y x=(0,)+∞24y x =-+(0,)+∞()(11)(11)()f x x x x x x x f x -=----+=+--=-222,12,01(),2,102,1x x x x f x x x x x -≥⎧⎪-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎪<-⎩(](2,0)2,5-[2,)-+∞1,x y ≥-x 1x =-min 2y =-[)0,+∞210,1,()3k k f x x -===-+121x x ≥≤且22(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-2211111111a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩∴01a <<。

函数周期性的判断及应用函数的周期性是指函数在某一范围内呈现出重复的规律性。

周期性的判断主要通过函数的图像或者函数的表达式进行分析。

在数学中，周期性函数是一类非常重要的函数，它们在各个领域有着广泛的应用。

首先我们来讨论如何判断一个函数是否是周期性函数。

一个函数f(x)的周期性可以由以下两种方法进行判断：1. 通过观察函数图像：根据函数图像的规律来判断函数是否具有周期性。

如果函数图像在某一范围内呈现出重复的规律性，则说明函数是周期性函数。

例如，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)具有周期性，它们的图像在任意区间长度为2π的范围内都重复。

同样的道理，周期为T的函数可以通过观察函数图像在T范围内是否重复来判断。

2. 通过函数表达式：根据函数的表达式来推测函数的周期性。

一些特定的函数在函数表达式中就包含周期性的特征，如三角函数、指数函数和对数函数等。

这些函数具有明确的周期性。

例如，sin(x)和cos(x)的周期都是2π，可以在函数表达式中直接看出。

对数函数ln(x)的周期为e，指数函数e^x的周期为ln(a)，其中a是正实数。

除了以上两种方法之外，还可以通过计算周期性函数的周期来判断。

周期性函数的周期可以通过函数图像上两个相邻波峰或者波谷的横坐标差得出。

接下来我们来讨论周期性函数的应用。

周期性函数在各个领域都有广泛的应用，其中包括：1. 信号处理：在电信号处理中，周期性函数被广泛用于信号的表示和分析。

例如，正弦函数和余弦函数可以用来表示周期性电信号的波形。

傅里叶变换是一种常用的信号处理方法，它可以将任意信号分解成不同频率的正弦波的叠加。

周期性函数在傅里叶变换中发挥着重要的作用。

2. 振动和波动现象：周期性函数在物理学中的振动和波动现象的描述中发挥着重要的作用。

例如，弹簧振子的运动可以通过正弦函数来描述。

波动现象如水波、光波以及声波等，也可以通过周期性函数进行描述和分析。

3. 经济学和金融学：周期性函数在经济学和金融学中有很多应用。

周期函数注意点以及常见抽象函数周期性的证明周期函数是指函数在一些时间间隔内重复出现相同的值的函数。

周期函数的周期是指函数在一个完整的周期内重复出现的时间间隔。

在讨论周期函数的注意点之前，我们先来了解一下常见的抽象函数周期性的证明。

常见抽象函数周期性的证明：1.偶函数的周期性证明：偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数。

要证明一个函数是偶函数，需要通过代数方法来验证上述等式是否成立。

其中常见的方法有代入法和变量替换法。

例如对于函数f(x)=x^2-1，将x替换成-x，得到f(-x)=(-x)^2-1=x^2-1=f(x)，所以函数f(x)是一个偶函数。

2.奇函数的周期性证明：奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数。

要证明一个函数是奇函数，也需要通过代数方法来验证上述等式是否成立。

同样常见的方法有代入法和变量替换法。

例如对于函数f(x)=x^3+x，将x替换成-x，得到f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)，所以函数f(x)是一个奇函数。

3.周期为2π的三角函数的周期性证明：对于常见的三角函数sin(x)和cos(x)，它们的周期都是2π，也就是说sin(x + 2π) = sin(x)和cos(x + 2π) = cos(x)。

可以通过代数方法来证明它们的周期性，我们需要利用三角函数的性质和三角恒等式。

例如对于函数f(x) = sin(x)，我们有f(x + 2π) = sin(x + 2π)= sin(x)cos(2π) + cos(x)sin(2π) = sin(x)，而且sin(x)在区间[0,2π]上单调递增，所以可以得出函数f(x)的周期是2π。

同理，对于函数f(x) = cos(x)，我们有f(x + 2π) = cos(x + 2π) = cos(x)cos(2π) - sin(x)sin(2π) = cos(x)，而且cos(x)在区间[0,2π]上单调递减，所以可以得出函数f(x)的周期是2π。

抽象函数周期的求法函数模型法抽象函数的周期是指函数在一个周期内重复的最小单位长度。

对于周期函数，它的周期可以通过函数模型法来求解。

本文将详细介绍函数模型法，并以具体的例子进行解释。

函数模型法是一种求解函数周期的常用方法，它的核心思想是通过构建函数模型来寻找函数的周期性规律。

具体而言，可以通过观察函数的图像、函数的性质以及函数的定义域和值域等来构建函数模型，从而求解函数的周期。

在使用函数模型法求解函数周期时，可以按照以下步骤进行：Step 1: 寻找函数的周期性规律首先，我们需要观察函数的图像，尝试发现函数的周期性规律。

在观察图像时，可以注意函数的重复部分，例如曲线的形状是否相同、峰值或谷值是否重复出现等。

对于一些简单的函数，周期性规律可能比较明显，但对于一些复杂的函数，可能需要借助额外的方法来寻找周期性规律。

Step 2: 构建函数模型在寻找到函数的周期性规律之后，我们可以尝试构建函数模型。

函数模型可以描述函数的周期性特点，并且可以通过函数模型来预测函数在其他区间的表现。

函数模型可以是一个数学式子或者一个函数图像。

具体而言，如果函数的周期是T，则可以构建函数模型为：f(x+T)=f(x)。

即函数在周期T内的任意两个点的函数值相等。

通过构建函数模型，我们可以利用函数的周期性规律来简化函数的计算和分析。

Step 3: 求解函数的周期一旦构建了函数模型，我们可以通过函数模型来推导函数的周期。

具体而言，我们可以将函数模型中的变量替换为特定的数值，来找到满足函数模型的周期T。

对于一些简单的函数，可以直接观察函数模型的形式来求解周期。

例如，对于正弦函数sin(x)，它的函数模型为sin(x + 2π) = sin(x)，因此它的周期是2π。

但是对于一些复杂的函数，可能需要借助一些数学方法来求解周期。

例如，对于幂函数f(x) = ax^b，其中a、b为常数，可以通过求解函数的导数或者利用对数函数的性质来求解周期。

周期性1、已知函数f(x)对任意实数x,都有 f(x ＋m)＝－f(x),求证:2m 是f(x)的一个周期. 证明：因为f(x ＋m)＝－f(x) 所以，f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m] ＝－f(x ＋m) ＝f(x)所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.2、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝f(x －m ),求证:2m 是f(x)的一个周期. 证明：因为f(x ＋m)＝f(x －m) 令x －m ＝t ，则x ＋m ＝t ＋2m于是f(t ＋2m)＝f(t)对于t ∈R 恒成立， 所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.3、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝)x (f 1)x (f 1+-,求证:2m 是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m]1()11()1()1()11()f x f x m f x f x m f x ---++==++++＝f(x)所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.4、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m]1()11()11()1()()11()f x f x m f x f x m f x f x -+-++=-=-=-++-+ 于是f(x ＋4m)＝－)m 2x (f 1+＝f(x)所以f(x)是以4m 为周期的周期函数.5、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x),求证:2|a －b|是f(x)的一个周期.(a≠b) 证明：不妨设a ＞b于是f(x ＋2(a －b))＝f(a ＋(x ＋a －2b)) ＝f(a －(x ＋a －2b))＝f(2b －x) ＝f(b －(x －b))＝f(b ＋(x －b)) ＝f(x)∴ 2(a －b)是f(x)的一个周期 当a ＜b 时同理可得所以，2|a －b|是f(x)的周期6、已知函数f(x)的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1) 若f(0)＝2004，求f(2004)解：因为f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1) 所以f(x ＋1)＝f(x)＋f(x ＋2) 两式相加得0＝f(x －1)＋f(x ＋2) 即：f(x ＋3)＝－f(x) ∴ f(x ＋6)＝f(x)f(x)是以6为周期的周期函数 2004＝6×334∴ f(2004)＝f(0)＝2004习题:1、f(x)是定义在R 上的奇函数，f(－1)＝3，对任意的x ∈R ，均有： f(x ＋4)＝f(x)＋f ⑵，求f(2001)的值.2、f(x)是定义在T 上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当x ∈[2，3]时，f(x)＝x ，当x ∈[－2，0]时，求f(x)的解析式.3、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1,求证:2m 是f(x)的一个周期.4、已知函数f(x)对任意实数x,都有： f(m ＋x)＝f(m －x)，且f(x)是偶函数, 求证:2m 是f(x)的一个周期.5、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m ＋x)＝f(m －x)，且f(x)是奇函数, 求证:4m 是f(x)的一个周期.周期性的应用1、函数)(x f 在（0，2）上是增函数，且)2(+x f 是偶函数，那么下列不等式成立的是（ ）2、设f x x R ()()∈是以3为周期的奇函数， 且f f a ()()112>=，，则（ ）3、设)(x f 是定义在R 上的奇函数， 2)1(=f ，且)6()1(+=+x f x f ，求)4()10(f f +的值4、)(x f 是定义在R 上的偶函数，图象关于直线2=x 对称，且x ∈[-2，2]时，1)(2+-=x x f ， 求：当x ∈[-6，-2]时，)(x f 的解析式5、)(x f 定义域为R ，)()2(x f x f -=+。

抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x -a)（或f(x -2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a -x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。

（7、8应掌握具体推导方法，如7）函数图像的对称性：1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a -x)或f(x+a)=f(a -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b -x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a -x,2b -y)=0；()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b -x)的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。

抽象函数的周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号T=2|a-b| ；(2)函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| ；(3)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b| ；(4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:y=f(a+x)与y=f(b-x)关于2ab x -=对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点)0,2(ab-对称。

（可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x为对称轴）例：①已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+2) = – f (x)，则f (6)的值为（）A. –1 B. 0 C. 1 D. 2解：②函数f(x)对于任意的实数x 都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于对称。

练习1、函数)1(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =的图象关于 对称。

2、函数)(x f y =满足)(1)3(x f x f -=+，且1)3(=f ，则=)2010(f 。

3、函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且11()()22f x f x +=-,则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++=解析：法一：因f(x)为奇函数且关于12x =对称，T=2,可借助图象解答，得结果。

小结：此方法为数形结合法；法二：因f(x)为奇函数且关于12x =对称，类比()sin f x x =联想函数()sin f x x π= ； 小结：此方法为抽象函数具体化法。

4.设f(x)是R 的奇函数,f(x+2)= — f(x),当0≤x ≤1,时,f(x)=x,则f(7.5)= - 0.55.定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=3,则f-1(x)+f-1(3-x)=6、 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A.4B.5C.6D.77、设函数f(x)的定义域为[1,3],且函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x [2,3]时f(x)=2x,求当x [1,2]时,f(x)的解析式.。

抽象函数的周期性、对称性和奇偶性及其应用周金国江苏省盐城市伍佑中学(224041)抽象函数是指只给出函数的某些性质而未给出具体表达式的函数，解决这类问题与解决具体函数问题的思路和方法并不完全相同，对抽象思维能力有着较高的要求，因而一直是高考考查的热点之一．本文在关于抽象函数的周期性、对称性和奇偶性讨论的基础上，通过几个例题的研究，为解决此类抽象函数问题提供一些常用方法，力求使此类问题的解法有“章”可循.1几个重要性质性质1定义在R 上的函数()f x ，若()f a x +=()f bx ，则函数()f x 的图象关于直线()/2x a b =+对称.反之，若函数()f x 的图象关于直线()/2x a b =+对称，则必有()()f a x f b x +=成立．当a b =时，()f x 的图象关于直线x a =对称.特别地当0a b ==时，函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称.简证：若()()f a x f b x +=.设(,())P m f m 为()f x 的图象上的任一点,而P 关于直线()/2x a b =+的对称点为(,())Q a b m f m +，因为()[()]f m f b b m =[()]()f a bm f a bm =+=+，所以点Q 也在()f x 的图象上，即函数()f x 的图象关于直线()/2x a b =+对称.若函数()f x 的图象关于直线()/2x a b =+对称，设(,())P m f m 为()f x 的图象上的任一点,而P 关于直线()/2x a b =+的对称点为(,())Q a b m f m +也在()f x 的图象上，所以()()f m f a b m =+，令b m x =，则m b x =，所以()()f a x f b x +=.性质2定义在实数集R 上的函数()f x ，若()()(0)f x a f x b a b +=+≠恒成立，则()f x 是以a b +为一个周期的周期函数.反之，若0a b +≠为函数V 的一个周期，则必有()()f x a f x b +=成立.特别当a b =时，()f x 是以2a 为一个周期的周期函数.简证：因为()()f x a f x b +=，令t x b =，则x t b =+，所以()()f t f t a b =++,故()f x 是以a b+为一个周期的周期函数.同理，若0a b +≠为函数()f x 的一个周期，则()()f t f t a b =++，令t x b =，则x t b =+，所以()()f x a f x b +=.性质3定义在R 上的函数()f x ，若()()f x f x a b ++=恒成立，则()f x 是以2a 为一个周期的周期函数.简证：在()()f x f x a b ++=中，将x 用x a +来代替，得()(2)f x a f x a b +++=,联立()()f x f x a b++=与()(2)f x a f x a b +++=，消去()f x a +得()(2)f x f x a =+，所以2a 为()f x 的周期.性质4定义在R 上的函数()f x ，若()f x =1()f x a ±+恒成立，则()f x 是以2a 为一个周期的周期函数.简证：在1()()f x f x a =±+中，将x 用x a +来代替，得1()(2)f x a f x a +=±+,联立1()()f x f x a =±+与1()(2)f x a f x a +=±+，消去()f x a +得()(2)f x f x a =+，所以2a 为()f x 的周期.性质5定义在R 上的函数()f x 若满足()()f a x f bx +=,且()()f c x f dx +=，则()f x 是一个周期函数,它的一个周期为|()()|a b c d ++.简证：由()()f a x f b x +=,得()()f x f a b x =+,由()()f c x f d x +=，得()()f x f c d x =+,所以()()f c d x f a b x +=+即()()f x f x a b c d =++,故()f x 是一个周期函数,它的一个周期为|()()|a b c d ++.性质6定义在R 上的函数()f x ，若()f a x ++()2f a x b =恒成立，则()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.特别当0b =时，()y f x =的图象关于点(,0)a 对称.当0a b ==时，()y f x =是奇函数，图象2008年第5期福建中学数学17关于点(0,0)对称.简证若()()2f a x f a x b++=,设(,())P m f m为()f x的图象上的任一点，而P关于直线点(,)a b的对称点为(2,2())Q a m b f m，令x a m=，则()()2f a a m f m b++=，故(2)2()f a m b f m=，所以点Q也在()y f x=的图象上，即()y f x=的图象关于点(,)a b对称.推论1定义在R上的函数()f x，若()f a x+= ()f a x且()()2f b x f b x c++=恒成立，则()y f x=为周期函数，4()b a是函数的一个周期.简证：因为()()f a x f a x+=，所以()(2)f x f a x=，①又由()()2f b x f b x c++=，得()(2)2f x f b x c+=，②用2a x代换x，得(2)(22)2f a x f b a x c++=，③由①②③得(2)(22)f b x f b a x=+而[4()][22(22)]f b a x f b a b a x+=++[2(22)](2)()f b b a x f a x f x=+==，所以()y f x=为周期函数，4()b a是函数的一个周期.推论2定义在R上的函数()f x，若()f a x++ ()2f a x c=且()()2f b x f b x c++=恒成立，则()y f x=为周期函数，2()b a是函数的一个周期.简证：由()()2f a x f a x c++=，得()(2)2f x f a x c+=，①又()()2f b x f b x c++=，得()(2)2f x f b x c+=，②由①②得(2)(2)f b x f a x=而[2()][2(2)]f b a x f b a x+=[2(2)]()f a a x f x==，所以()f x为周期函数,2()b a是函数的一个周期.性质7定义在R上的函数()f x，若()(f x f x= )()a f x a++恒成立，则()y f x=是周期函数，且6a是它的一个周期.简证：由()()()f x f x a f x a=++，得()(2)()f x a f x a f x+=++，两式相加得(2)()f x a f x a+=，所以()(3)(6)f x f x a f x a=+=+，故()y f x=是周期函数，且6a是它的一个周期.应用举例例1设函数2()(,,,0)f x ax bx c a b c R a=++∈≠满足：(1)当x R∈时，(4)(2)f x f x=且()f x x≥(2)()f x在R上的最小值为0；(3)当(0,2)x∈时，2()(1)/4f x x≤+，求()f x的表达式.解：由(4)(2)f x f x=知，()f x的图象关于1x=对称，所以/(2)1b a=,即2b a=；①由(2)知1x=时，0y=,即0a b c+=；②由(1)知(1)1f≥，又由(3)知(1)1f≤，所以(1)1f=即1a b c++=.③由①、②、③得1/4,1/2,1/4a b c===，因此2()/4/21/4f x x x=++.例2定义在R上的偶函数()f x，恒有(1)f x+(1)f x=成立，且当[2,3]x∈时，()f x x=，则当[2,0]x∈时，()f x的表达式为()A.4x+ B.2xC.3|1|x+ D.2|1|x++解析：根据题意,()f x是以2为周期的函数..当[2,1]x∈时，4[2,3]x+∈，所以()(4)4f x f x x=+=+；当[0,1]x∈时，2[2,3]x+∈，所以()(2)2f x f x x=+=+；又()f x为偶函数,当[1,0,]x∈时，[0,1]x∈，所以()()2f x f x x==+;故当[2,0,]x∈时，合并得,()3|1|f x x=+,选C.例3设()f x是定义在实数集R上的奇函数，且满足()(2)f x f x a++=，(1)0f=，其中a为常数，试判断方程()0f x=在(3，7)内至少有几个根？解析：根据性质3，4为()f x的周期，于是(5)(1)0,(3)(1)0f f f f====，(4)(0)0f f==.所以1，0，1，3，4，5是方程()0f x=在(3，7)内的6个根;另一方面，在()(4)()f x f x f x=+=中，令4x x+=，得2,(2)0x f==.于是(6)(2)(2)0f f f===，所以2，2，6是方程()0f x=在(3，7)内的3个根.因此方程()0f x=在(3，7)内至少有9个根.例4定义在实数集R上的函数()f x，若()f x= 1/(2)f x+，且当[2,2)x∈时，()f x=/21x+，则当[2,24)x n n∈+时，试求函数()f x的解析式.解析：因为()1/(2)(4)f x f x f x=+=+，所以函数()f x是以4为周期的周期函数.()当为奇数时，()+=+为的倍数18福建中学数学2008年第5期21n2221n n4.当[2,24)x n n ∈+时，22[2,2)x n ∈，所以(22)(22)/21f x n x n =+，于是有()(22)f x f x n =(22)/21/2x n x n =+=.(2)当n 为偶数时，可知2n 、24n +为4的倍数.当[2,22)x n n ∈+时，有2[0,2)x n ∈，于是(2)(2)/21f x n x n =+，从而有2()(2)1122xn x f x f x n n ==+=+；当[22,24)x n n ∈++时，有24[2,0)x n ∈，于是有(24)(24)/21f x n x n =+，所以()(24)f x f x n =(24)/21/21x n x n =+=.综合(1)(2)可得：当n 为奇数时，()/2,[2,24);f x x n x n n =∈+当n 为偶数时，/21,[2,22),()/21,[22,24).x n x n n f x x n x n n +∈+=∈++例5设函数()f x 在(,)∞+∞上满足(2)f x +=(2)f x ,(7)(7)f x f x +=且在闭区间[0,7]上，只有(1)(3)0f f ==.试求方程()0f x =在闭区间[2008,2008]上的根的个数.解:根据题意,由性质5知,函数()f x 为周期函数,它的一个周期为|(2+2)-(7+7)|=10又(1)(3)0f f ==,所以(11)(13)(7)(9)0f f f f ====,故()f x 在[0,10]和[10,0]上均有两个解,从而可知函数()f x 在[0,2008]上有402个解,在[2008,0]上有401个解,所以()f x 在闭区间[2008,2008]上803个解.例6已知()f x 是定义在R 上的函数，若(2)(2)f x f x +=且(3)(3)2f x f x ++=，又函数()f x 在[0，4]上的最小值为2，最大值为9.求()f x 在[2004，2008]区间上的最小值和最大值.解：由(2)(2)f x f x +=且(3)(3)2f x f x ++=知，()y f x =为周期函数，4(32)4=是函数的一个周期，又函数()f x 在[0，4]上的最小值为2，最大值为9.所以()f x 在[2004，2008]区间上也有最小值2和最大值9.例7已知()f x 是定义在R 上的函数，若对任意的x R ∈，有(2007)(2006)(2008)f x f x f x +=+++，且(3)2f =，(5)4f =，则(2008)f =().解：由(2007)(2006)(2008)f x f x f x +=+++，得()(1)(1)f x f x f x =++，故6是它的一个周期，所以(2008)(63344)f f =×+(4)(3)(5)246f f f ==+=+=.参考文献[1]李昭平.破解抽象函数问题“六法”.中学理科,2006,8.[2]王光炎.函数对称性与周期及其应用.中学数学教学，1999,1.怎样把实验带进数学课堂邓云云谭晓琴陕西宝鸡文理学院数学系(721013)通常认为，数学是一门严谨的学科，数学活动只是高度的抽象思维活动．因而，对于数学教学中是否需要实验，还存在一些认识上的偏差．历史表明，数学不只是逻辑推理，还有实验．新型的人才不仅需要传统意义上的逻辑思维能力、几何直观能力和运算能力，而且还需要数学建模能力和数据处理能力，数学实验正是为了综合培养这些能力而设置的[1]．数学学习无论是知识还是能力和方法的掌握都不可忽视实验的作用．“动手实践”是学生学习数学的重要方式之一，“实验操作”使以往的“学数学”变为“做数学”，使学生有兴趣、有信心地学习数学．因此，把实验带进数学课堂引起了现代教育专家的重视，特别是在课标课程背景下，已经成为一种必然趋势．1数学实验的概念中学数学实验是根据具体教学内容的需要，人为地、有目的地、模拟地创设一些有利于观察的数学对象，在典型的实验环境中或特定的实验条件下，经过某种预先的组织、设计，让学生借助一定的物质仪器和技术手段，并在数学思想和数学理论的指2008年第5期福建中学数学19。

抽象性周期函数的判定与应用【摘要】周期函数的概念、周期性的判定、最小正周期的求法以及函数周期性的应用是高中数学教学的难点，特别是抽象性周期函数的判定和应用比较困难，本文对抽象性周期函数做以论述。

【关键词】周期函数的概念周期性的判定应用周期函数的概念、周期性的判定、最小正周期的求法以及函数周期性的应用是高中数学教学的难点，特别是抽象性周期函数的问题。

抽象函数是相对于具体函数而言的，它没有给出具体的函数解析式。

近几年高考中也常出现涉及抽象函数的题目，但是在实际教学中学生对于抽象函数周期性的判定和应用比较困难，所以在此研究一下抽象性周期函数。

根据周期函数的定义可知：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当取定义域的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数f(x)叫x做周期函数，不为0的常数T叫做这个函数的周期，若T是f(x)的一个周期，则kT(k ∈Z、且k≠0)也是f(x)的周期。

下面给出几种具体的判定方法。

1 型如f(x+a)=f(x+b)(a≠b)分析：利用换元法得：当b>a时，令t=x+a,则x=t-af(t)=f(t-a+b)=f[t+(b-a)]所以根据周期函数的定义得f(x)是周期函数且b-a是其一个周期。

当a>b时，令t=x+b得：f(t)= f[t+( a-b)]所以f(x)是周期函数且a-b是其中一个周期。

因此|a-b|是f(x)的一个周期。

2 型如f(x+a)=-f(x)函数y= f(x),若f(x+a)=-f(x)，则y= f(x)是周期函数且2 a是它的周期。

分析：因为f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=-[-f(x)]=f(x)由周期函数定义可知：y= f(x)是周期函数，且2 a是f(x)的一个周期。

例1 设f(x)是R上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(2005.5)=( )A、0.5B、-0.5C、1.5D、-1.5解：此题符合f(x+a)=-f(x)型，所以f(x)是以4为周期的函数f(2005.5)=f(1.5+501×4)=f(1.5)=f(-0.5+2)=-f(-0.5)=f(0.5)=0.5例2（2006年山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为( )A、-1B、0C、1D、2解：∵f(x)是奇函数，且f(0)有意义，∴f(0)=0又∵f(x+2)=-f(x)∴f(x)是以4为周期的周期函数f(6)= f(2+4)= f(2)= -f(0)=0例3 已知定义在R上的函数f(x)的目象关于点（-34、0）成中心对称图形，且满足f(x)=-f(x+32), f(-1)=1, f(0)=-2，则f(1)+ f(2)+ f(3) +…+ f(2005)的值为（）A、-2B、-1C、0D、1解析：∵f(x+32) =- f(x)∴y= f(x)为以3为周期的周期函数∴f(2) = f(-1)=1、f(3)= f(0)=-2又因函数f(x)的目象关于点（-34、0）对称则f(-32-x) =- f(x)因此f(-32-x)= f(x+32)则―y= f(x)为偶函数，f(1)= f(-1)=1,∴f(1)+ f(2)+ f(3) +…+ f(2005)= f(2005)= f(1)=13 型如f(x+a)=1f(x)对于函数y=f(x)满足f(x+a)=1f(x),则函数y=f(x)是周期函数且2a是一个周期。

抽象函数周期性的判断
何福新
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2004(000)007
【摘要】函数的周期性是函数的重要性质之一，在许多题目中并未直接指出某函数是周期函数，或周期是多少，但我们根据周期函数的定义可以判断某些函数一定是周期函数，或周期是多少．现提供几种判断抽象函数周期性的常用方法．
【总页数】1页(P24)
【作者】何福新
【作者单位】山东省曹县第八中学，274400
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.从抽象函数形式看函数性质——抽象函数在周期性、对称性、奇偶性上的体现[J], 郑艳
2.抽象函数周期性的判断及其简单运用 [J], 朱永瑛
3.巧记结论灵活处理抽象函数的对称性、奇偶性及周期性的相关问题 [J], 闫婧梅
4.谈抽象函数周期性的破解策略 [J], 丁先宝
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