河北省保定市数学高三上学期理数联考试卷

2023-2024学年高三年级上学期期末考试数学试题（考试时间：120分钟，满分：150分）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知集合{}01A x x =≤≤，1,12xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>-⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （）A.∅B.(]0,1 C.[)0,2 D.[]0,12.若虚数z 是关于x 的方程()220R x x m m -+=∈的一个根，且z =，则m =（）A.6B.4C.2D.13.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x 在[0,)+∞上单调递减，且(3)0f =，则不等式((15)0)2x x f --<的解集为（）A .5(,2),42⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B.(4,)+∞ C.52,(4,)2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.(,2)-∞-4.已知函数()3131-=+x x f x ，数列{}n a 满足11a =，()*3N n n a a n +=∈，()()1230f a f a a ++=，则20231i i a ==∑（）A.0B.1C.675D.20235.已知向量()2,3a =- ，()1,2b = ，()9,4c = ，若正实数m ，n 满足c ma nb =+ ，则11m n+的值为（）A.710B.37C.47D.576.如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12行、122字铭文.铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载.“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的深度约为30cm ，上口的内径约为20cm ，圆柱的深度和底面内径分别约为20cm,16cm ，则“何尊”的容积大约为（）A.35500cmB.36000cmC.36500cmD.37000cm7.直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ===，P 为BC 中点，12AP BC =，Q 为11A C 上一点，11112A Q A C =，则经过A ，P ，Q 三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（）A.72B.4C.92D.58.若曲线ln 1y x =+与曲线23y x x a =++有公切线，则实数a 的取值范围（）A.2ln 233ln 2,62--⎡⎤⎢⎣⎦B.14ln 23ln 2,122--⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .2ln 23,6-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.14ln 2,12-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.已知实数a ，b 11>，则（）A.0.20230.2023log log a b <B.33a b <C.11b b a a +>+ D.11ab ab ++的最小值为110.若函数()πtan 238f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的定义域为5ππ,162k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C.()f x 在π3π,1616⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()f x 的图象关于点π,016⎛⎫⎪⎝⎭对称11.已知双曲线:C 22213x y a -=(0)a >的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线28y x =的焦点与双曲线C 的焦点重合，点P 是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（）A.双曲线C的渐近线方程为y = B.17PF =C.12F PF △的面积为 D.126cos 7F PF ∠=12.已知函数()32,0e 23,0x x f x x mx x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩，若函数()()1g x f x =-恰有3个零点，则实数m 的值可以为（）A.5B.6C.7D.8三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知0:p x ∃∈R ，200430x ax -+<，请写出一个使p 为假命题的实数a 的值，=a______．14.2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为_________.15.l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与该抛物线交于,A B 两点，若8,AB P =为该抛物线上一点，Q 为圆223:(1)12C x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭上一点，则PF PQ +的最小值为__________.16.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点,,,A B C D 满足3AB BC CD DA DB =====cm，AC =cm ，则该“鞠”的表面积为_______2cm .四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①11n n na a n -=-()2n ≥且11a =；②22n S n n =+；③2120n n n a a a +++-=且11a =，33a =，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：（1）已知数列{}n a 满足______，求{}n a 的通项公式；（2）已知正项等比数列{}n b 满足12b a =，2312b b +=，求数列2212log log n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．18.已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(sin ,cos )m C C =，(2sin cos ,sin )n A B B =-- ，且m n ⊥ ．（1）求角C 的值；（2）若2a =，求ABC 周长的取值范围．19.如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PDC ⊥平面ABCD，PD PC ==，122CB BA AD ===，AD CB ，90BAD ∠=，E 为PD 中点.（1）求证：CE 面PAB ；（2）点Q 在棱PA 上，设(01)PQ PA λλ=<< ，若二面角P －CD －Q 余弦值为13，求λ.20.全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x （单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．（1）求这2000户农户家庭年收入的样本平均数x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间中点值代表）．（2）由直方图可认为农户家庭年收入X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为ξ，求()3P ξ≤．（结果精确到0.001）1.52≈；②若()2,X Nμσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=；③40.841350.501≈．21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，M 为椭圆C 上的一个动点，且点M 到右焦点2F 距离的最大值为2+．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当1F AB 的面积最大时，求此时直线l 的方程．22.已知()()e 1sin =-xf x x ，()0,2πx ∈．（1）求()f x 在点()()π,πP f 的切线方程；（2）设()()2g x f x x =-，()0,2πx ∈，判断()g x 的零点个数，并说明理由．2023-2024学年高三年级上学期期末考试数学试题（考试时间：120分钟，满分：150分）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知集合{}01A x x =≤≤，1,12xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>-⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （）A.∅ B.(]0,1 C.[)0,2 D.[]0,1【答案】B 【解析】【分析】化简集合B ，后由交集定义可得答案.【详解】集合{}01A x x =≤≤，因12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()1,-+∞上单调递减，则{}02B y y =<<，得(]0,1A B = 故选：B ．2.若虚数z 是关于x 的方程()220R x x m m -+=∈的一个根，且z =，则m =（）A.6B.4C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】设复数i z a b =+，将其代入方程求得1a =，21m b =+，然后利用复数z =即可求解.【详解】依题意，设i z a b =+（,R a b ∈且0b ≠），代入方程220x x m -+=，得()()2i 2i 0a b a b m +-++=，整理得222(22)i 0b a m ab b a --++-=．所以2220220a b a m ab b ⎧--+=⎨-=⎩，解得211m b a ⎧=+⎨=⎩，因为z ==，即222a b +=，所以21,2b m ==．故选：C ．3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x 在[0,)+∞上单调递减，且(3)0f =，则不等式((15)0)2x x f --<的解集为（）A.5(,2),42⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.(4,)+∞ C.52,(4,)2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.(,2)-∞-【答案】C 【解析】【分析】依题意作函数图像，根据单调性和奇偶性求解.【详解】依题意，函数的大致图像如下图：因为()f x 是定义在R 上的偶函数，在[0,)+∞上单调递减，且(3)0f =，所以()f x 在(,0]-∞上单调递增，且(3)0f -=，则当3x >或3x <-时，()0f x <；当33x -<<时，()0f x >，不等式((15)0)2x x f --<化为250(1)0x f x ->⎧⎨-<⎩或250(1)0x f x -<⎧⎨->⎩，所以25013x x ->⎧⎨->⎩或25013x x ->⎧⎨-<-⎩或250313x x -<⎧⎨-<-<⎩，解得4x >或x ∈∅或522x -<<，即522x -<<或4x >，即原不等式的解集为52,(4,)2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；故选：C.4.已知函数()3131-=+x x f x ，数列{}n a 满足11a =，()*3N n n a a n +=∈，()()1230f a f a a ++=，则20231i i a ==∑（）A.0B.1C.675D.2023【答案】B 【解析】【分析】利用函数计算可得1230a a a ++=，再利用数列的周期性可求20231ii a =∑.【详解】()f x 的定义域为R ，且()()31313131x x x x f x f x -----==-=-++，故()f x 为R 上的奇函数.而()2131x f x =-+，因31x t =+在R 上为增函数，21y t=-在()1,+∞为增函数，故()f x 为R 上的增函数.又()()1230f a f a a ++=即为()()123f a f a a =--，故1230a a a ++=，因为()*3Nn n a a n +=∈，故{}na 为周期数列且周期为3.因为20232022136741=+=⨯+，所以()202312320231167401ii aa a a a a ==+++=+=∑.故选：B.5.已知向量()2,3a =- ，()1,2b = ，()9,4c = ，若正实数m ，n 满足c ma nb =+ ，则11m n+的值为（）A.710B.37C.47D.57【答案】A 【解析】【分析】利用向量线性运算的坐标表示求得,m n ，从而得解..【详解】因为()2,3a =- ，()1,2b =，()9,4c = ，所以()()2,329,4c ma nb m n m n =+=+-+=，所以29324m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得25m n =⎧⎨=⎩，所以111172510m n ++==.故选：A.6.如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12行、122字铭文.铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载.“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的深度约为30cm ，上口的内径约为20cm ，圆柱的深度和底面内径分别约为20cm,16cm ，则“何尊”的容积大约为（）A.35500cmB.36000cmC.36500cmD.37000cm 【答案】C 【解析】【分析】根据圆柱以及圆台的体积公式计算，即可得答案.【详解】由题意可知圆台的高为302010(cm)-=，故组合体的体积大约为22216280ππ820π(881010)10657333⨯⨯+⨯+⨯+⨯=≈3(cm )，故选：C7.直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ===，P 为BC 中点，12AP BC =，Q 为11A C 上一点，11112A Q A C =，则经过A ，P ，Q 三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（）A.72B.4C.92D.5【答案】C 【解析】【分析】如图，在11B C 上取点M ，使得11114C M B C =，取11B C 的中点N ，连接1,QM A N ，则//QM AP ，利用线面垂直的判定定理与性质可得AP ⊥PM ，则截面为直角梯形APQM ，结合题意求出QM 、AP 、PM ，由梯形的面积公式计算即可求解.【详解】如图，在11B C 上取点M ，使得11114C M B C =，取11B C 的中点N ，连接1,QM A N ，则1//QM A N ，又1//AP A N ，所以//QM AP ，得A 、P 、M 、Q 四点共面，又AB AC =，P 为BC 的中点，所以⊥AP BC ，由1AP A A ⊥，得1AP BB ⊥，又11,BB BC B BB BC =⊂ 、平面11BCC B ，所以AP ⊥平面11BCC B ，由PM ⊂平面11BCC B ，得AP ⊥PM ，所以截面为直角梯形APQM ，且AB AC ⊥，得4BC ==，所以11111224QM A N AP BC ====，作MD BC ⊥于D ，则3PM ==，所以19)1((21)3222APQM S M AP PM Q +=⨯+⨯==梯形.故选：C ．8.若曲线ln 1y x =+与曲线23y x x a =++有公切线，则实数a 的取值范围（）A.2ln 233ln 2,62--⎡⎤⎢⎣⎦B.14ln 23ln 2,122--⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2ln 23,6-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.14ln 2,12-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a 关于切点x 的解析式，根据解析式的值域确定a 的范围.【详解】设()11,x y 是曲线ln 1y x =+的切点，设()22,x y 是曲线23y x x a =++的切点，对于曲线ln 1y x =+，其导数为'1y x=，对于曲线23y x x a =++，其导数为'21y x =+，所以切线方程分别为：()()1111ln 1y x x x x -+=-，()()()22222321y x x a x x x -++=+-，两切线重合，对照斜率和纵截距可得：21212121ln 3x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得()22212222213ln ln ln 2121a x x x x x x =+=+=-+++（212x >-），令()()2ln 21h x x x =-++（12x >-），()()()2'2121242220212121x x x x h x x x x x +-+-=-+===+++，得：12x =，当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()'0h x <，()h x 是减函数，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0h x >，()h x 是增函数，∴()min 11ln224h x h ⎛⎫==-⎪⎝⎭且当x 趋于12-时，，()h x 趋于+∞；当x 趋于+∞时，()h x 趋于+∞；∴13ln24a ≥-，∴14ln212a -≥；故选：D ．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.已知实数a ，b11>，则（）A.0.20230.2023log log a b <B.33a b <C.11b b a a +>+D.11ab ab ++的最小值为1【答案】BC【解析】【分析】根据不等式的性质可得0a b <<.结合对数函数、幂函数的单调性即可判断AB ；利用作差法计算即可判断C ；结合基本不等式计算即可判断D.11>可知0a >，0b >，由不等式的性质可知11a b>，则0a b <<．选项A ：因为对数函数.02023log y x =为减函数，0a b <<，所以0.20230.2023log log a b >，故A 错误；选项B ：由函数3y x =的单调性可知33a b <，故B 正确；选项C ：因为()()()()1110111b a a b b b b a a a a a a a +-++--==>+++，所以11b b a a +>+，故C 正确；选项D ：()11111111ab ab ab ab +=++-≥-=++，当且仅当111ab ab +=+，即0ab =时取得等号，显然等号不成立，故D 错误．故选：BC.10.若函数()πtan 238f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的定义域为5ππ,162k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C.()f x 在π3π,1616⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D.()f x 的图象关于点π,016⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BC【解析】【分析】A 选项，由πT ω=求出最小正周期；B 选项，整体法得到()ππ2π82x k k -≠+∈Z ，求出定义域；C 选项，得到ππ20,84x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，得到()f x 在π3π,1616⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；D 选项，整体法求解出函数的对称中心.【详解】A 选项，()f x 的最小正周期为ππ2ω==T ，A 错误；B 选项，由()ππ2π82x k k -≠+∈Z ，得()5ππ162k x k ≠+∈Z ，B 正确；C 选项，由π3π,1616x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得ππ20,84x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为sin y z =在π40,z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在π3π,1616⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，C 正确；D 选项，由()ππ282k x k -=∈Z ，得()ππ164k x k =+∈Z ，当0k =时，π16x =，所以()f x 的图象关于点π,316⎛⎫⎪⎝⎭对称，D 错误.故选：BC 11.已知双曲线:C 22213x y a -=(0)a >的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线28y x =的焦点与双曲线C 的焦点重合，点P 是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（）A.双曲线C 的渐近线方程为y =B.17PF =C.12F PF △的面积为D.126cos 7F PF ∠=【答案】AB【解析】【分析】先根据抛物线方程得出2F 的坐标，即c 的值，进而求出a ，得出双曲线的方程.即可得出A 项；联立双曲线与抛物线的方程，求出P 点坐标，即可求得1PF 的值，判断B 项、得出12F PF △的面积，判断C 项、求得2PF 的值，根据余弦定理，得出12cos F PF ∠的值，判断D 项.【详解】由已知，抛物线的焦点坐标为()2,0，所以双曲线右焦点()22,0F ，即2c =.又23b =，所以2221a c b =-=，所以，双曲线的方程为2213y x -=.对于A 项，双曲线的C的渐近线方程为b y x a=±=，故A 项正确；对于B 项，联立双曲线与抛物线的方程222138y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，整理可得，23830x x --=，解得3x =或13x =-（舍去负值），所以3x =，代入28y x =可得，y =±.设(P ，又()12,0F -，所以17PF =，故B 项正确；对于C项，易知122211422F PF S F F =⨯⨯=⨯⨯= ，故C 项错误；对于D 项，因为25PF ==，所以，由余弦定理可得，22212121212cos 2PF PF F F F F P P P F F +⨯=-∠222754296275357+-==≠⨯⨯，故D 项错误.故选：AB.12.已知函数()32,0e 23,0x x f x x mx x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩，若函数()()1g x f x =-恰有3个零点，则实数m 的值可以为（）A.5B.6C.7D.8【答案】CD【解析】【分析】将问题转化为方程()1f x =恰有3个实数根，再讨论0x >时可得有1个根，进而当0x ≤时，方程()1f x =有2个实数根，再构造函数()242(0)x x x xϕ=-<，求导分析单调性与最值即可.【详解】令()()10g x f x =-=，解得()1f x =，故问题转化为方程()1f x =恰有3个实数根.当0x >时，令21ex =，解得ln2x =，故当0x ≤时，方程()1f x =有2个实数根.令3231x mx --=，即324x mx -=，显然0x =不是该方程的根，242m x x ∴=-.令()242(0)x x x xϕ=-<，则()()()()322224141144x x x x x x x x xϕ'++-+=+==，故当1x <-时，()0x ϕ'<，当1x >-时，()0x ϕ'>，故当=1x -时，()x ϕ有极小值6，而x →-∞时，()x ϕ→+∞，当0x <，且0x →时，()x ϕ→+∞，故实数m 的取值范围为()6,+∞.故选：CD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知0:p x ∃∈R ，200430x ax -+<，请写出一个使p 为假命题的实数a 的值，=a ______．【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】利用命题的否定来找到一个满足条件即可.【详解】由题意，:p x ⌝∀∈R ，2430x ax -+≥为真命题，当0a =时，224330x ax x -+=+≥恒成立，满足题意，故答案为：0（答案不唯一）.14.2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为_________.【答案】13【解析】【分析】利用计数原理和排列组合公式，分别计算甲、乙分配到同一个场馆的方法数和甲分配到游泳馆的方法数，根据古典概型的计算公式计算.【详解】甲、乙分配到同一个场馆有以下两种情况：（1）场馆分组人数为1，1，3时，甲、乙必在3人组，则方法数为1333C A 18=种；（2）场馆分组人数为2，2，1时，其中甲、乙在一组，则方法数为122332C C A 18=种，即甲、乙分配到同一个场馆的方法数为181836n =+=.若甲分配到游泳馆，则乙必然也在游泳馆，此时的方法数为12123232C A C A 12m =+=，故所求的概率为121363m P n ===.故答案为：1315.l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与该抛物线交于,A B 两点，若8,AB P =为该抛物线上一点，Q 为圆223:(1)12C x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭上一点，则PF PQ +的最小值为__________.【答案】1-##1-+【解析】【分析】利用直线的点斜式方程写出直线AB 的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及焦点弦公式，结合三点共线线段最小及两点间的距离公式即可求解.【详解】由题可知直线AB的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，则由222p y x y px ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩,消去y ，整理得22122030x px p -+=，，所以1253p x x +=，所以1258833p p AB x x p p =++=+==，解得3p =，所以3,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而圆C 的圆心3,12C ⎛⎫- ⎪⎝⎭,因为1PF PQ QF CF CQ CF +≥≥-=-，当且仅当点,,,C Q P F 在同一条直线上取等号，且点Q 位于点,C P 之间，如图所示：又CF ==所以PF PQ +1.1-.16.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点,,,A B C D满足3AB BC CD DA DB =====cm ，AC =cm ，则该“鞠”的表面积为_______2cm .【答案】112π9【解析】【分析】作出辅助线，找到球心的位置，利用余弦定理和勾股定理求出球的半径，得到表面积.【详解】取BD 的中点E ，连接,AE CE ，因为3AB BC CD DA DB =====cm ，所以3BE DE ==cm 且,CE BD AE BD ⊥⊥，故m 3c 2CE AE ===，因为AC =，所以22244121cos 22222AE CE AC AEC AE CE +-+-∠===-⋅⨯⨯，故120AEC ∠=︒，在CE 上取点F ，使得2CF EF =，则点F 为等边BCD △的中心，则m 24,3cm c 3EF CF ==，设点O 为三棱锥A BCD -的外接球球心，则OF ⊥平面BCD ，连接,OA OC ，设外接球半径为cm r ，则cm OA OC r ==，过点A 作AP ⊥CE ，交CE 延长线于点P ，则60AEP ∠=︒，由于O 在平面ACE 中，故//AP OF ，故AP ⊥平面BCD ，过点O 作OH ⊥AP 于点H ，则,OH PF PH OF ==，m cos 0c 61PE AE =︒=，m sin 06AP AE =︒=，25133PF PE EF =+=+=()cm ，故cm 53OH PF ==，设OF PH h ==，则AH AP HP h =-=，由勾股定理得)2222259AO AH OH h =+=+，2222169OC OF CF h =+=+，故)22251699h h +=+，解得cm 233h =，故22231628399r ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，故该“鞠”的表面积为22281124π4ππ9cm 9r =⨯=.故答案为：112π9四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①11n n n a a n -=-()2n ≥且11a =；②22n S n n =+；③2120n n n a a a +++-=且11a =，33a =，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：（1）已知数列{}n a 满足______，求{}n a 的通项公式；（2）已知正项等比数列{}n b 满足12b a =，2312b b +=，求数列2212log log n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）n a n=（2）21n n T n =+【解析】【分析】（1）若选①，由已知可推得11n n a a n n -=-，进而得出数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，从而得出n a n =；若选②，由已知推得222n n n S =+，进而根据n a 与n S 的关系，即可推得n a n =；若选③，根据等差中项的性质，可推得数列{}n a 是等差数列.然后由已知求得1d =，即可得出n a n =.（2）根据已知可求出2n n b =，然后根据对数运算以及裂项化简可得2212112log log 1n n b b n n +⎛⎫=- ⎪⋅+⎝⎭，然后相加即可得出n T .【小问1详解】若选①11n n n a a n -=-()2n ≥且11a =由11n n n a a n -=-可得11n n a a n n -=-.又111a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，且1n a n =，所以n a n =.若选②22n S n n=+由已知22n S n n =+可得，222n n n S =+.当1n =时，有21111122a S ==+=；当2n ≥时，有222n n n S =+，()211122n n n S ---=+，两式作差可得，()221112222n n n n n n S S n --=+----=，所以n a n =.又11a =满足，所以n a n =.若选③2120n n n a a a +++-=且11a =，33a =由2120n n n a a a +++-=可得，212n n n a a a +++=，所以，数列{}n a 是等差数列.又11a =，33a =，所以3122a a d -==，所以1d =，所以()1111n a a n d n n =+-=+-=.【小问2详解】由（1）知，n a n =，所以22a =.设等比数列{}n b 公比为q ()0q >，由已知可得12223112120b a b b b q b q q ==⎧⎪+=+=⎨⎪>⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以112n n n b b q -==.所以()221122222112log log log log 1221n n n n b b n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，所以1111121222231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ +⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.18.已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(sin ,cos )m C C = ，(2sin cos ,sin )n A B B =-- ，且m n ⊥ ．（1）求角C 的值；（2）若2a =，求ABC 周长的取值范围．【答案】（1）π6C =（2）(32++【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示得2sin sin (sin cos cos sin )0C A C B C B -+=，应用正余弦定理的边角关系化简，结合锐角三角形求角C ；（2）法一：将,b c 用A 的三角函数表示出来，结合ππ,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A 求周长范围；法二：首先得到3b ⎫∈⎪⎪⎭，再用b 表示周长，利用函数的单调性求范围.【小问1详解】sin (2sin cos )cos sin m n C A B C B ⋅=--=2sin sin (sin cos cos sin )0C A C B C B -+=，（法一）2sin (cos cos )0a C c B b C -+=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab+-=，∴2sin 0a C a -=，则1sin 2C =，又ABC 为锐角三角形，故π6C =.（法二）则2sin sin sin()2sin sin sin 0C A C B C A A -+=-=，sin 0A ≠，∴1sin 2C =，且ABC 为锐角三角形，故π6C =.【小问2详解】52sin πsin cos cos 6sin sin sin sin A a B A A A b A A AA⎛⎫- ⎪+⎝⎭====，sin 1sin sin a C c A A ==，由于ABC 为锐角三角形，则π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5ππ062C A <=-<，解得ππ,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A ，（法一）周长cos 1cos 122sin sin sin A A l a b c A A A+=++=+++=++22cos 12222cossin tan222A A AA =+=+，而ππ,264A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即tan ,123A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，∴1tan 2A ∈，故ABC 的周长l 的取值范围为(32++．（法二）由上433b ⎫∈⎪⎪⎭，由余弦定理得c ==周长2l a b c b =++=++，记()2f b b =++，则()f b 在433⎫⎪⎪⎭单调递增，∴ABC 的周长l 的取值范围为(32++．19.如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PDC ⊥平面ABCD ，PD PC ==，122CB BA AD ===，AD CB ，90BAD ∠=，E 为PD 中点.（1）求证：CE 面PAB ；（2）点Q 在棱PA 上，设(01)PQ PA λλ=<< ，若二面角P －CD －Q 余弦值为13，求λ.【答案】（1）答案见解析；（2）34λ=【解析】【分析】（1）取PA 中点为F ，连接EF ，FB .通过证明EC FB ，可得CE 面PAB.（2）如图建立以C 为原点，CM 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CN 所在直线为z 轴的空间直角坐标系，由(01)PQ PA λλ=<<，可得()131,CQ λλ=+--，后分别求出平面PCD 法向量1n ，平面CDQ 法向量2n ，则121313cos ,n n=，据此可得答案.【小问1详解】取PA 中点为F ，连接EF ，FB .因E ，F 分别为PD ，PA 中点，则12,EF DA BC EF DA BC == ，即四边形ECBF 为平行四边形，则∥EC FB ，又EC ⊄平面PAB ，FB ⊂平面PAB ，则CE 面PAB ；【小问2详解】取CD 中点为G ，因PD PC =，则PG CD ⊥.又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD CD =，PG ⊂平面PDC ，则PG ⊥平面ABCD .过C 点作BA 平行线，交AD 于M .因,CB CM ⊂平面ABCD ，则PG ⊥,CB PG CM ⊥.过C 做PG 平行线CN ，则以C 为原点，CM 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CN 所在直线为z 轴，如图建立空间直角坐标系.则()()()000220220,,,,,,,,.C D A -注意到CD =，则PG =(11,P -.则(13,,PA =，(11,CP =- ，()2,2,0CD =-，()131,CQ CP PQ CP λPA λλ=+=+=+--.设平面PCD 法向量为()1111,,n x y z =，则11111110220n CP x y n CD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取()1110,,n = ；设平面CDQ 法向量为()2222,,n x y z = ，则()())222222213110220n CQ x y z n CD x y λλλ⎧⋅=++-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令221x y ==，则()22410λλz z +-=⇒=211,n ⎛⎫ = ⎝ .因二面角P －CD －Q余弦值为13，则12121213cos ,n n n n n n ⋅===⋅，()()28189043230λλλλ=⇒-+=⇒--=.又01λ<<，则34λ=..20.全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x （单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．（1）求这2000户农户家庭年收入的样本平均数x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间中点值代表）．（2）由直方图可认为农户家庭年收入X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为ξ，求()3P ξ≤．（结果精确到0.001）2.3 1.52≈；②若()2,X Nμσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=；③40.841350.501≈．【答案】（1）8x =，2 2.3s =（2）①317户；②(3)0.499P ξ≤≈【解析】【分析】（1）由平均数和方差的计算公式求解即可；（2）①根据正态分布的对称性得出(9.52)P X ≥，进而得出所求户数；②年收入不超过9.52万元的农户家庭数ξ服从二项分布，根据二项分布的概率公式求解即可.【小问1详解】这2000户农户家庭年收入的样本平均数50.160.1570.280.390.2100.18x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.这2000户农户家庭年收入的样本方差22222220.1(3)0.15(2)0.2(1)0.300.210.12 2.3s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】①农户家庭年收入X 近似服从正态分布(8,2.3)N .因为89.52+≈，所以()(9.52)0.50.50.341350.158652P x P X μσμσ-<<+≥=-=-=.因为20000.15865317.3317⨯=≈，所以这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数为317.②年收入不超过9.52万元的农户家庭数ξ服从二项分布(4,0.84135)B ξ .所以444(3)1(4)1C (0.84135)10.5010.499P P ξξ≤=-==-≈-=.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，M 为椭圆C 上的一个动点，且点M 到右焦点2F 距离的最大值为2+．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当1F AB 的面积最大时，求此时直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=（2）0x -=或0x -=．【解析】【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质可得32c a =、2a c +=+，结合222a b c =+求出a 、b 即可求解；（2）设直线l 的方程为x my =11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立椭圆方程，利用韦达定理表示12y y +、12y y ，根据弦长公式表示1F AB S ，结合基本不等式计算即可求解.【小问1详解】椭圆C的离心率为2c a =，又点M 到右焦点2F距离的最大值为2+，即2a c +=解得2a =，c =又由222a b c =+，可得1b =．∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．【小问2详解】由题意，设直线l的方程为x my =+联立221,4x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(4)10m y ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122234y y m -+=+，12214y y m =-+，1122112F AB S F F y y =-=△2==，当且仅当=m =时取等号．∴所求直线l的方程为0x +=或0x -=．22.已知()()e 1sin =-xf x x ，()0,2πx ∈．（1）求()f x 在点()()π,πP f 的切线方程；（2）设()()2g x f x x =-，()0,2πx ∈，判断()g x 的零点个数，并说明理由．【答案】（1）π(1e )(π)y x =--（2）存在唯一零点，理由见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程即可；（2）先根据题意得到2()(e 1)sin x g x x x =--，再分[π,2π)x ∈，π[,π)2x ∈，π(0,2x ∈三种情况讨论，结合构造函数，二次求导，零点存在性定理即可得到结论．【小问1详解】由()()e 1sin =-xf x x ，()0,2πx ∈，则()e (sin cos )cos x f x x x x +-'=，所以π(π)e 1f =-+'，()0f π=，所以()f x 在点()()π,πP f 的切线方程为π(1e )(π)y x =--．【小问2详解】依题意得2()(e 1)sin x g x x x =--，①当[π,2π)x ∈时，因为(e 1)sin 0x x -≤，20x -<，所以()0g x <，即()g x 无零点；②当π[,π)2x ∈时，()e (sin cos )cos 2x g x x x x x =+--'，()2e cos sin 2x g x x x '+'=-，因为2e cos 0x x ≤，sin 20x -<，所以()0g x ''<，即()g x '在π[,π)2上递减，令()2=e 1x x x ϕ--，[)1,x ∞∈+，则()=e 2x x x ϕ'-，()=e 20xx ϕ'-'>，所以()x ϕ'在[)1,+∞上单调递增，则()()()min =1=e 20x x ϕϕϕ''-'≥>，所以()2=e 1x x x ϕ--在[)1,+∞上单调递增，则()()()min =1=e 110x x ϕϕϕ≥-->，所以当π2x =，2π2ππ=e 1022ϕ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即π22πe 104-->；当πx =，()π2π=e π10ϕ-->，即π22e π1π>+>，即π2e π>，则π2π(e π02g ='->，π(π)e 12π0g '=-+-<，所以存在0π(,π)2x ∈，使得()g x 在0π(,)2x 上递增，在0(,π)x 上递减，又π22ππ()e 1024g =-->，所以0π()()02g x g >>，而2(π)π0g =-<，所以()g x 在π[,π)2上存在唯一零点；③当π(0,2x ∈时，设()()h x g x ''=，则()2e (cos sin )cos x h x x x x =-+'，()4e sin sin x h x x x =--''，因为()4e sin sin 4e sin 10x xx x x --=-+<，所以()0h x ''<，即()h x '在π(0,)2上递减，又(0)30h '=>，π2π()2e 02h =-<'，所以存在1π(0,)2x ∈，使得()g x ''在1(0,)x 上递增，在1π(,)2x 上递减，又(0)0g ''=，π()102g =-'<'，所以存在2π(0,)2x ∈，使得()g x '在2(0,)x 上递增，在2π(,)2x 上递减，又(0)0g '=，π2π()e π02g ='->，所以()g x 在π(0,)2上递增，所以()(0)0g x g >=，所以()g x 在π(0,)2上无零点，综上可知，()g x 在(0,2π)上存在唯一零点．【点睛】关键点点睛：涉及函数零点问题，利用导函数研究函数的单调性，极值和最值情况，结合零点存在性定理是解答这类题的关键．。

河北省保定市综合高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，，则（）A. B. C.D.参考答案：，，通过数轴表示可知，两个集合的公共部分为，即，故选C.2. 已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B为切点，若四边形PACB面积的最小值是2，则k的值是（）A．B．C．2 D．2参考答案：C【考点】圆的切线方程．【分析】由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后利用点到直线的距离求出直线的斜率即可．【解答】解：∵圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1，∴圆心C（0，1），半径r=1．根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小．切线长为2，∴PA=PB=2，∴圆心到直线l的距离为d=．直线方程为y+4=kx，即kx﹣y﹣4=0，∴=，解得k=±2，∵k＞0，∴所求直线的斜率为：2．故选C．3. 设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]参考答案：D【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用基本不等式，先求出当x＞0时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x++a，此时函数的最小值为a+2，若a＜0，则函数的最小值为f（a）=0，此时f（0）不是f（x）的最小值，此时不满足条件，若a≥0，则要使f（0）是f（x）的最小值，则满足f（0）=a 2≤a+2，即a 2﹣a ﹣2≤0解得﹣1≤a≤2，∵a≥0，∴0≤a≤2，故选：D【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据基本不等式的性质以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的一点，，则的值是( )A．4 B． C. D．参考答案：C5. 已知A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|2x＞1}，则A∩（?R B）为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1）D．（﹣2，0]参考答案：D解不等式得集合B，根据交集与补集的定义写出A∩（?R B）即可．解：A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|2x＞1}={x|x＞0}，∴?R B={x|x≤0}，∴A∩（?R B）={x|﹣2＜x≤0}=（﹣2，0]．故选：D．6. 设集合( )A．B．C．D．参考答案：B7. 已知奇函数f（x）在[-1，0]上为单调递减函数，又α，β为锐角三角形两内角，下列结论正确的是A．f（cosα）> f（cosβ） B．f（sinα）> f（sinβ）C．f（sinα）> f（cosβ） D．fsinα）<f（cosβ）参考答案：D8. 已知数列，则是它的第( )项．A．19 B．20 C．21 D．22参考答案：C【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】计算题．【分析】根据数列的前几项找规律，归纳出数列的通项公式，再令a n=，解方程即可【解答】解：数列，中的各项可变形为：，，，，，…，∴通项公式为a n==，令=，得，n=21故选C【点评】本题考察了观察法求数列的通项公式，以及利用通项公式计算数列的项的方法．9.如图所示是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个不连通的色块组成，可以用线段在不穿越其它色块的条件下将其中两个色块连接（如同架桥），如果用三条线段将四个色块连接起来，不同的连接方法有_______种。

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！12022-2023学年河北省保定市高三上学期期末数学试题及答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）{}12A x x =-≥{}1,0,1,2,3,4B =-A B = A. B.C.D.{}1,0,1-{}2,3,4{}3,4{}1,3,4-【答案】D 【解析】【分析】解不等式得到集合，然后求交集即可.A 【详解】由题意得或，所以. {3A x x =≥}1x ≤-{}1,3,4A B =- 故选：D.2. 若，则等于（ ） ()()2i 1i z =+-z z +A. 2 B. 6 C. D.2-6-【答案】B 【解析】【分析】根据复数的乘法公式可得，再根据共轭复数的概念及复数的加法运算即3i z =-可求解.【详解】,()()22i 1i 22i i i 3i z =+-=-+-=-所以. 3i 3i 6z z +=-++=故选：B3. 数列满足，，则（ ） {}n a 14a =1421n n a a n +=++4a =A. 2 B.C.D.832-83-【答案】A 【解析】【分析】运用代入法进行求解即可, 【详解】因为，14a =所以， 23414244284212,,281142213313a a a a =+=+==+==+=+++故选：A4. 如图，点P 为射线与以原点O 为圆心的单位圆的交点，一动点在圆O 上以点Py =为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点横坐标关于运动时间t 的()f t 函数的解析式是（ ）A. B. ()23πsin f t t ⎛⎫=+⎪⎝⎭()π3πsin f t t ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. D. ()π3πcos f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()23πcos f t t ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】动点的运动速度为，射线对应的角度为，故动点行程π/rad s y =π3θ=P 的射线对应的角度为，得到答案. OP ππ3t +【详解】动点的运动速度为，射线对应的角度为， 2ππ/2rad s =y =π3θ=故动点行程的射线对应的角度为，故，P OP ππ3t +()π3πcos f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：C 5. 函数的图像大致是（ ） ()241xf xx =+A.B.C .D.【答案】A 【解析】【分析】结合基本不等式判断函数在的最值，再结合图像判断.()0,∞+【详解】时，恒成立，故C 错误； 0x >()2401xf x x =>+且时，，当且仅当时取等， 0x >()244211x f x x x x==≤++1x =故在有最大值2，故B 、D 错误； ()f x ()0,∞+故选：A.6. 已知函数，若在上恰在两个零()()21sin 022xf x x ωωω=+->()f x π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭点，则ω的值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 312【答案】C 【解析】【分析】根据三角恒等变换求出的解析式，根据选项分别讨论函数在零点()f x π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭的个数，即可求解.【详解】， ()211πsin cos sin 2226x f x x x x x ωωωωω⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭对于A ，如果，则，12ω=()1πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为，所以， π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1ππ7π,261212x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则在上没有零点，A 错误； ()f x π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭对于B ，如果，则， 1ω=()πsin 6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭因为，所以，π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭ππ4π,633x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则在上恰有1个零点， ()f x π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭此时，B 错误； π7ππ,66x x -==对于C ，如果，则， 2ω=()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭因为，所以，π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π5π17π2,666x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则在上恰有2个零点， ()f x π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭此时或，解得，C 正确； π2π6x -=π22π6x -=7π13π,1212x x ==对于D ，如果，则， 3ω=()πsin 36f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭因为，所以， π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭π4π13π3,633x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则在上恰有3个零点， ()f x π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭此时或或， π32π6x -=π33π6x -=π34π6x -=解得，D 错误. 13π19π25π,,181818x x x ===故选：C.7. 已知椭圆C ：，，分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上()222210x y a b a b+=>>1F 2F 一点，，过作外角平分线的垂线交的延长线于N 点．若12π3PF F ∠=2F 12F PF ∠1F P，则椭圆的离心率（ ） 2sin PNF ∠=【答案】D 【解析】【分析】根据二倍角公式以及互余关系可得，进而在()121cos cos π24F PF α∠=-=中，由余弦定理联立方程可得，进而可求解.12PF F △220c a +=【详解】设与外角平分线的交点为,设， 2NF 12F PF ∠M 2NPM MPF α∠=∠=由于,所以,进而2sin PNF ∠=290PMF ∠=2cos sin PNF α=∠=，所以, 221cos 22cos 1214αα=-=⨯-=-()121cos cos π24F PF α∠=-=设，则，在中，由余弦定理得1PF x =22PF a x =-12PF F △,，()()()222122222cos c x a x x a x F PF =+---∠()()222π2222cos 3a x x c x c -=+-两式联立得，即，解得或，220c a +=210e +=e =e =由于，故， 01e <<e =故选：D8. 已知三棱锥的所有棱长均为2，以BD 为直径的球面与的交线为L ，则D ABC -ABC 交线L 的长度为（ ）【答案】A 【解析】【分析】分别取的中点，由题意分析知，以BD 为直径的球面与的交,AB BC ,M N ABC 线为外接圆周长的，求出的外接圆半径，求解即可. BMN 13BMN 【详解】取BD 的中点为，所以为球心，过作平面于点， O O D DF ⊥ABC F 即为的中心，延长交所以交于点，则为的中点，F ABC BF BF AC E E AC所以， 23BF BE ===DF ===取的中点，连接，，则平面， BF 1O 1OO 1//OO DF 1OO ⊥ABC因为平面，即，且， BE ⊂ABC 1OO BE ⊥112OO DF ==， 1112FO BF OF =====所以为以BD 为直径的球面上一点，F 分别取的中点，连接， ,AB BC ,M N ,OM ON 且，所以也为以BD 为直径的球面上一点， 112OM ON DC ===,M N 则为等边三角形，的外接圆即为四边形的外接圆，BMN BMN BMFN 为外接圆的半径，所以，1BO 12120MO N MBN ∠=∠=︒所以以BD 为直径的球面与的交线L 长为外接圆周长的， ABC BMN 13所以. 12π3L =⨯⋅=故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 某中学为了能充分调动学生对学术科技的积极性，鼓励更多的学生参与到学术科技之中，提升学生的创新意识，该学校决定邀请知名教授于9月2日和9月9日到学校做两场专题讲座．学校有东、西两个礼堂，第一次讲座地点的安排不影响下一次讲座的安排，假设选择东、西两个礼堂作为讲座地点是等可能的，则下列叙述正确的是（ ） A. 两次讲座都在东礼堂的概率是14B. 两次讲座安排在东、西礼堂各一场的概率是 12C. 两次讲座中至少有一次安排在东礼堂的概率是34D. 若第一次讲座安排在东礼堂，下一次讲座安排在西礼堂的概率是 13【答案】ABC 【解析】【分析】利用古典概型求概率的公式计算概率即可.【详解】总的情况有种，两次讲座都在东礼堂有1种情况，所以的概率是，22⨯11224=⨯故A 正确；两次讲座安排在东、西礼堂各一场有第一次安排在东礼堂，第二次安排在西礼堂和第一次安排在西礼堂，第二次安排在东礼堂两种情况，所以概率是，故B 正确； 21222=⨯两次讲座至少有一次安排在东礼堂的对立事件为两次讲座都安排在西礼堂，所以概率是，故C 正确； 131224-=⨯第一次讲座安排在东礼堂，下一次讲座安排在西礼堂的概率是，故D 错. 11224=⨯故选：ABC.10. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中（ ）A. AB 与CD 平行B. CD 与GH 是异面直线C. EF 与GH 成角D. CD 与EF 平行60︒【答案】CD 【解析】【分析】根据正方体的平面展开图得到直观图，然后判断即可. 【详解】该正方体的直观图如下：与是异面直线，故A 错；与相交，故B 错；因为该几何体为正方体，所AB CD CD GH 以，三角形为正三角形，直线与直线所成角为，则与EF CD GHD GH GD 60︒EF 所成角为，故CD 正确.GH 60︒故选：CD.11. 已知函数，则（ ）()()2e 0af x a x=≠()f x A. 在上单调递增B. 无极小值(),0∞-C. 无最小值D. 有极小值，极小值为22e 4a 【答案】ABC 【解析】【分析】求导得，判断的正负情况结合原函数的定义域和奇偶性可()32ae f x x'=-()f x '得ABC 正确.【详解】易知函数的定义域为且为偶函数()(),00,∞-+∞U ，因为，当时，，单调递减，()32e af x x=-'e 0a >()0,x ∈+∞()0f x '<()f x 结合偶函数图像关于轴对称知在上单调递增，则A 正确；y ()f x (),0∞-易知单调函数在开区间内无极值和最值，则在和内均没有极值和最()f x (),0∞-()0,∞+值，则B,C 正确，D 错误. 故选：ABC.12. 平面内有一定点和一个定圆，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和直A O P O AP l 线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹可以是（ ） OP Q P Q A. 直线 B. 圆C. 椭圆D. 双曲线【答案】BCD 【解析】【分析】根据各曲线的定义确定轨迹. 【详解】如图所示，由垂直平分线可知，，QA QP =当点在圆外时，，即动点到两定点之间的距A QA QO QP QO OP OA -=-=<Q 离之差为定值，故此时点的轨迹为双曲线，故D 选项正确； Q 当点在圆上时，点与点重合；A Q O 当点在圆内且不与圆心重合时，，即动点A O QA QO QP QO OP OA +=+=>Q 到两定点之间的距离之和为定值，故此时点的轨迹为椭圆，故C 选项正确； Q 当点与点重合时，为中点，即，即动点到点的距离为定A O Q OP 12OQ OP =Q O 值，故此时点的轨迹为圆，故B 选项正确； Q 故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 的展开式中x 项的系数是___________． ()()32121x x +-【答案】 4【解析】【分析】分别展开，，即可得312233(12)1C (2)C (2)x x x +=+++⋯22(1)12x x x -=-+出．【详解】，，3122333(12)1C (2)C (2)8x x x x +=+++ 22(1)12x x x -=-+展开式中项的系数为，32(12)(1)x x ∴+-x 132C 42-=故答案为：414. 已知向量，，，，则___________．()1,1a = ()1,0b = c a b λ=+,,a b b c 〈〉=〈〉 λ=【答案】## 12-0.5-【解析】【分析】根据平面向量夹角公式进行求解即可.【详解】因为向量，，，()1,1a = ()1,0b = c a b λ=+所以，因为，()1,c λλ=+ ,,a b b c 〈〉=〈〉 所以有，12a b b c a b b c λ⋅⋅=⇒=⇒=-⋅⋅ 故答案为： 12-15. 定义在R 上的两个函数和，已知，()f x ()g x ()()13f x g x +-=．若图象关于点对称，则___，()()33g x f x +-=()y g x =()1,0()0f =___________．()()()()1231000g g g g ++++= 【答案】 ①. ②. 30【解析】【分析】①根据题意，利用方程法得到，通过赋值得到，()()2f x f x =--()()02f f =-根据的图象关于点对称得到，即可得到()y g x =()1,0()()110g x g x -++=，再利用方程法得到，令，得到()()13f x g x -+=()()26f x f x +-=0x =，然后求即可；()()026f f +-=()0f ②利用方程法得到，整理可得，得到4是的一()()2g x g x =--()()4g x g x =-()g x 个周期，然后根据得到，最后再利用周()()2g x g x =--()()()()12340g g g g +++=期求即可.()()()()1231000g g g g ++++ 【详解】由可得， ()()33g x f x +-=()()123g x f x -+--=又，所以， ()()13f x g x +-=()()2f x f x =--令，所以；0x =()()02f f =-因为的图象关于点对称，所以， ()y g x =()1,0()()110g x g x -++=又，所以，()()13f x g x +-=()()13f x g x -+=因为，所以，，()()33g x f x +-=()()123g x f x ++-=()()26f x f x +-=令，所以，则；0x =()()026f f +-=()03f =因为，所以，()()13f x g x -+=()()323f x g x ---=又，所以，，则()()33g x f x +-=()()2g x g x =--()()24g x g x -=--，4是的一个周期，()()4g x g x =-()g x 因为，，所以， ()()31g g =-()()42g g =-()()()()12340g g g g +++=因为周期是4，所以. ()g x ()()()()12310000g g g g ++++= 故答案为：3，0.16. 已知双曲线：，圆：，在的第四象限部分取点1C 221x y -=2C ()2242x y -+=1C P ，过P 作斜率为1的直线，若与交于不同的两点M ，N ，则的最小值为l l 2C PM PN ⋅___________． 【答案】 5【解析】【分析】根据圆的切割线定理，结合圆的性质、换元法、配方法、二次函数的性质进行求解即可.【详解】设是圆的切线，为切点，PE 2C E 圆：的圆心为，2C ()2242x y -+=2C ()4,0由圆的切割线定理可知：， 2PE PM PN =⋅另一方面，由圆的切线性质可知：，2222222PE PC PC =-=-设直线的方程为，与圆的方程联立，得l y x m =+2C ()()222222814042y x m x m x m x y =+⎧⎪⇒+-++=⎨-+=⎪⎩，()()2228814062m m m ⇒∆=--+>⇒-<<-直线的方程为，与双曲线：联立，l y x m =+1C 221x y -=， 2222221112,12212m x y x m m m m P x y m m m y m ⎧--=⎪=+⎛⎫⎧---⎪⇒⇒⎨⎨ ⎪-=-⎩⎝⎭⎪=⎪⎩22222222111184328,222m m PC m m m m m m ⎛⎫⎛⎫---⎛⎫=-+=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2221118302PC m m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦令，， 1m t m+=设， ()()218302g t t t =++因为函数在上单调递增，()1f m m m =+(,1)-∞-所以函数在上单调递增，()1f m m m=+62m -<<-故， ()()37562(,62f t f t -<<-⇒∈--，()()()221183041422g t t t t ⎡⎤=++=++⎣⎦当时，函数有最小值，最小值为，4t =-()g t 11472⨯=所以的最小值为， 2PE 72=5-故答案为：5【点睛】关键点睛：利用圆的切割性定理，结合对钩函数的单调性进行求解是解题的关键. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 数列的前n 项和为满足． {}n a n S 233n n S a =-（1）求数列的通项公式；{}n a （2）已知数列满足，在数列中清除掉属于数列的项，并且把剩余{}n b 3n b n ={}n b {}n a 的项从小到大排列，构成新数列，求数列的前100项和． {}n c {}n c 100T 【答案】（1） 3nn a =（2）16332【解析】【分析】(1)根据前项和求的通项;n n a (2)根据和的项,把剩余的项从小到大排列,新的数列前100项和可以由前{}n b {}n a {}n b 105项的和减去前5项和得出. {}n a 【小问1详解】在中令，得，233n n S a =-1n =13a =∵，∴当时，， 233n n S a =-1n >11233n n S a --=-两式相减得，∴， 1233n n n a a a -=-13n n a a -=∴数列是以1为首项，以3为公比为的等比数列， {}n a ∴． 3nn a =【小问2详解】 ∵，3n b n =∴数列中的项都在数列中．{}n a {}n b 数列前5项： 3，9，27，81，243,在数列前105项中,这五项和为363 {}n a {}n b 数列前105项为3，6，9，…，27，…81，…，243，…，315， {}n b 它们的和为105310552316695⨯+⨯⨯=所以数列的前100项和为数列前105项的和减去3、9、27、81、243的和， {}n c {}n b 得：．105310552336316332⨯+⨯⨯-=18. 已知 的内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，，点D 在边AB 上，且ABC 2b a =．2sin sin CD A b ACB ⋅=⋅∠（1）求CD 与c 的关系；（2）若，求．AD DB =cos ACB ∠【答案】（1）； CD c =（2）. 34【解析】【分析】（1）由及正弦定理即可求解；2sin sin CD A b ACB ⋅=⋅∠（2），两边平方可得，根据及余弦定理即可1122CD CA CB =+222522c a b =+2b a =求解.【小问1详解】∵， 2sin sin CD A b ACB ⋅=⋅∠∴由正弦定理得. 2CD a bc ⋅=∵，∴CD ＝c . 2b a =【小问2详解】∵，∴，AD DB =1122CD CA CB =+ 两边平方得，，()()()22242CDCA CBCA CB =++⋅即，化简得：．222222422a b c c b a ab ab+-=++⋅222522c a b =+∵，∴．2b a =222c a =∴.222423cos 224a a a ACB a a +-∠==⋅19. 已知矩形ABCD 中，，M 为AB 中点，沿AC 将折起，得到三2AB =AD =ACD 棱锥．-P ABC（1）求异面直线PM 与AC 所成的角；（2）当二面角的大小为时，求AB 与平面PBC 所成角． P AC B --60︒【答案】（1） 90︒（2） 45︒【解析】【分析】（1）根据三角形相似证明DM ⊥AC ，从而线面垂直，利用线面垂直性质即可求出异面直线夹角；（2）结合（1）中结论，求得PA⊥平面PBC，方法一：利用定义法作出线面角，从而在直角三角形中求出，方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可求解【小问1详解】设AC与DM相交于点O，AD=∵矩形ABCD中AB＝2，，M为AB中点，∴AD∶DC＝MA∶AD，∴△ADC∽△MAD，∴∠DCA＝∠ADM，90︒90︒∵∠ACD＋∠DAC＝，∴∠ADM＋∠DAC＝，90︒∴∠DOA＝，∴DM⊥AC．由折叠可知PO⊥AC，OM⊥AC，⊂⊂∵PO OM＝O，PO平面POM，OM平面POM，∴AC⊥平面POM，∵PM在平面POM内，∴AC⊥PM．∴PM与AC所成的角为90︒【小问2详解】由（1）知，PO⊥AC，OM⊥AC，∴二面角P—AC—B所成平面角为∠POM＝60°PO=OM=，PM＝1，PA=又∵AM＝1，，∴PM⊥AB，方法一：∵M 为AB 中点，∴PA ⊥PB ，PB PA ==又∵PA ⊥PC ，PC 与PB 交与P 点，PC 平面PBC ，PB 平面PBC ， ⊂⊂∴PA ⊥平面PBC ，∴∠ABP 即为AB 与平面PBC 所成的角， ∵∠ABP ＝，45︒∴AB 与平面PBC 所成的角为． 45︒方法二：PM ⊥AB ，由（1）知AC ⊥PM ．AC 与AB 交与A 点， AC 平面ABC ，AB 平面ABC ，∴PM ⊥平面ABC ，⊂⊂取AC 中点E ，连接ME ，则ME ∥BC ，∴ME ⊥AB ， 以M 为坐标原点，分别以ME ，MA ，MP 所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系M —xyz ，∴A （0，1，0），B （0，-1，0），，P （0，0，1），)1,0C-∴，，()0,2,0BA =)BC =()0,1,1BP =设平面PBC 的法向量，则， (),,m x y z = 0m BP m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴，令得，平面PBC 的一个法向量， 0y z +=⎧⎪=1y =()0,1,1m =- 设AB 与平面PBC 所成的角为，则，αsin BA m BA mα⋅==⋅ ∴AB 与平面PBC 所成的角为.45︒20. 根据《全国普通高等学校体育课程教学指导纲要》第六条：普通高等学校要对三年级及以上学生开设体育选修课．某学院大三、大四年级的学生可以选择羽毛球、健美操、乒乓球、排球等体育选修课程，规定每位学生每学年只能从中选修一项课程，大三选过的大四不能重复选，每项课程一学年完成共计80学时．现在在该学院进行乒乓球课程完成学时的调查，已知该学院本学年选修乒乓球课程大三与大四学生的人数之比为3：2，现用分层随机抽样的方法从这两个年级选修乒乓球课的数据中随机抽取100位同学的乒乓球课程完成学时，得到如下频率分布表：成绩（单位：学时）[)30,40[)40,50[)50,60[)60,70[]70,80 频数（不分年级） 3 x 21 3533频数（大三年级） 2 6 16 y 16（1）求，的值；x y （2）在这100份样本数据中，从完成学时位于区间的大四学生中随机抽取2份，[)30,60记抽取的这2份学时位于区间的份数为，求的分布列与数学期望； [)40,50X X （3）已知该学院大三、大四学生选修乒乓球的概率为25%，本学年这两个年级体育选修课程学时位于的学生占两个年级总体的16%．现从该学院这两个年级中任选一位学[]70,80生，若此学生本学年选修的体育课程学时位于，求他选修的是乒乓球的概率（以[]70,80样本数据中完成学时位于各区间的频率作为学生完成学时位于该区间的概率，精确到0.0001）．【答案】（1）， 8x =20y =（2）分布列见解析，数学期望为 12（3） 0.5156【解析】【分析】(1)根据总人数即可求解的值，利用分层抽样方法得出大三年级的人数即可求解x 的值；y (2)利用学时处在各区间的人数，即可分析出的取值，再依次求出相应的概率，列出分X布列，再利用数学期望公式求解即可；(3)先求出学时位于的概率，再利用条件概率公式，即可得出结果. []70,80【小问1详解】由题意得，大三年级人数：， 3100605⨯=，3213533100x ++++= ，()10032135338x ∴=-+++=，3261616100605y ++++=⨯=()6026161620y ∴=-+++=综上，，. 8x =20y =【小问2详解】由题意可知，大四年级人数为，40这位学生学时在的大四学生为人，100[)30,608在的大四学生为人， [)40,502则的取值可能为，，，X 012，，()2628C 65150C 8728P X ⨯====⨯()116228C C 622131C 877P X ⨯⨯⨯====⨯， ()2228C 2112C 8728P X ⨯====⨯随机变量X 的概率分布列如表为：∴X 0 1 2P1528 37 128随机变量X 的数学期望为. ∴15311012287282⨯+⨯+⨯=【小问3详解】由题知，学时位于的概率为， []70,80330.33100=A ＝{大三大四中任选一学生一学年体育课程完成学时位于区间[70，80]}， B ＝{大三大四中任选一学生体育课程选的乒乓球}，则由条件概率公式得()()()P AB P B A P A =，25%0.3316%⨯=0.515.6250.5156=≈即该生选乒乓球的概率约为．0.515621. 已知椭圆与直线l ：有唯一的公共点M ．221168x y +=()0y kx m k =+≠（1）当时，求点M 的坐标；4m =（2）过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于，两点．当点M 运动(),0A x ()0,B y 时，（i ）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；(),P x y （ii ）如果推广到一般椭圆，能得到什么相应的结论？（直接写出结论即可）【答案】（1）或()2-()（2）（ⅰ）点的轨迹方程是（），轨迹是焦点在y 轴，长轴长为P 22184y x +=0xy ≠，短轴长为4的椭圆（去掉四个顶点）（ii ）答案见解析 【解析】【分析】（1）根据直线与椭圆相切利用判别式求解即可； Δ0=（2）（ⅰ）由直线与椭圆相切求出点坐标，再由垂直求出直线()0y kx m k =+≠M ，得出坐标，利用消元即可得出轨迹方程；8116k y x m k m ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭,A B 22168m k =+（ⅱ）由（ⅰ）可归纳出一般椭圆时对应的轨迹方程. 【小问1详解】将代入，得， 4y kx =+221168x y +=()2241168kx x ++=整理得 ①． 22(21)16160k x kx +++=因为M 是椭圆与直线l 的唯一公共点，所以，得2k 2＝1，22(16)416(21)0k k -⨯⨯+=∴．将k =k =k =x =-代入得； 4y kx =+2y =将代入方程①得，代入得y ＝2． k =x =4y kx =+∴点M 为或． ()2-()【小问2详解】（ⅰ）将代入，得， y kx m =+221168x y +=()221168kx m x ++=整理得 ②． 222(21)42(8)0k x kmx m +++-=因为M 是椭圆与直线l 的唯一公共点，所以，即 ③． 222(4)42(21)(8)0km k m -⨯+-=22168m k =+方程②的解为，将③式代入，得，2221km x k =-+2221km x k =-+16kx m=-将代入，得，16k x m =-y kx m =+22168m k y m m-==所以点M 的坐标为， 168,k m m ⎛⎫-⎪⎝⎭因为，所以过点M 且与l 垂直的直线为． 0k ≠8116k y x m k m ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭可得，，，即，．8,0k A m ⎛⎫-⎪⎝⎭80,B m ⎛⎫- ⎪⎝⎭88,k P m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭8k x m =-8y m =-由，，得，，8k x m=-8y m =-x k y =8m y =-将，，代入得，所以x k y =8m y =-22168m k =+228168xy y ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2216864x y +=整理得（）． 22184y x +=0xy ≠轨迹是焦点在y 轴，长轴长为4的椭圆（去掉四个顶点）．（ⅱ）如果将此题推广到一般椭圆（a ＞b ＞0），直线，22221x y a b+=()0y kx m k =+≠其他条件不变，可得点P （x ，y ）的轨迹方程是（xy ≠0）， 2244221x y c ca b +=轨迹是焦点在y 轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆（去掉四个顶点）．22c b 22c a22. 已知函数．()()1e xf x x ax =--（1）当时，是的一个极值点且，求及的值； 1x >-0x ()y f x =()01f x =-0x a （2）已知，设，若，，且()2ln g x x x =()()e xh x f x a '=+⎡⎤⎣⎦11x >20x >，求的最小值．()()12g x h x =122x x -【答案】（1）， 00x =0a =（2） 22ln 2-【解析】【分析】（1）由已知可得出，消去可得，令()()0001f x f x ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩a ()02001e 10x x x -+-=，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，可得()()21e 1x F x x x =-+-1x >-()F x 出的值，进而可求得的值； 0x a （2）由已知可得，即为，利用导数分析函数()222211ln e ln e x x x x =()()21ex g x g =()g x 在上的单调性，可得出，可得出，利用导数求出函数()1,+∞21e xx =21222e 2xx x x -=-在上的最小值，即为所求.()e 2x q x x =-()0,∞+【小问1详解】解：因为，其中，则，()()1e xf x x ax =--1x >-()e xf x x a '=-令，则对任意的恒成立，()()p x f x '=()()1e 0xp x x '=+>1x >-所以，函数在上单调递增，()f x '()1,-+∞因为是的一个极值点且，则， 0x ()y f x =()01f x =-()()()0000000e 01e 1xx f x x a f x x ax ⎧=-=⎪⎨=--=-'⎪⎩消去可得，a ()02001e 10xx x -+-=令，其中，则，()()21e 1xF x x x =-+-1x >-()()1e xF x x x '=+当时，，此时函数单调递减， 10x -<<()0F x '<()F x 当时，，此时函数单调递增，0x >()0F x '>()F x 所以，，所以，，故，()()min 00F x F ==00x =00e 0xa x ==此时，则，()()1e xf x x =-()e xf x x '=当时，，此时函数单调递减， 10x -<<()0f x '<()f x 当时，，此时函数单调递增， 0x >()0f x ¢>()f x 故函数在处取得极小值，合乎题意. ()f x 0x =1-综上所述，. 00a x ==【小问2详解】解：因为，()()2e e xxh x f x a x '=+=⎡⎤⎣⎦因为，即，即，()()12g x h x =222112ln ex x x x =()222211ln e ln e x x x x =即，其中，，则，()()21ex g x g =11x>20x >2e 1x >当时，，故函数在上单调递增， 1x >()2ln 0g x x x x '=+>()g x ()1,+∞由可得，所以，，其中， ()()21ex g x g =21e x x=21222e 2x x x x -=-20x >构造函数，其中，则，由可得，()e 2xq x x =-0x >()e 2xq x '=-()0q x '=ln 2x =当时，，此时函数单调递减， 0ln 2x <<()0q x '<()q x 当时，，此时函数单调递增，ln 2x >()0q x '>()q x 故，即的最小值为. ()()min ln 222ln 2q x q ==-122x x -22ln 2-【点睛】关键点点睛：解本题第（2）的关键就是将等式变形为，转()222211ln e ln e x x x x =化为，利用指对同构的思想得出，将转化为以为自变()()21ex g x g =21e x x=122x x -2x 量的函数，进而利用导数求解.。

2021-2021学年第一学期12月月考试题高三年级数学试题〔理〕考试时间：120分钟 分值：150分一．选择题：〔本大题共12小题，每题5分．共60分．〕 1.{}{}1,0,2,sin ,P Q y y R θθ=-==∈，那么=PQ 〔 〕A.∅B. {}0C. {}1,0-D. {}1,0,2- 2.R b a ∈,，以下命题正确的选项是〔 〕A ．假设b a >，那么22b a > B ．假设b a >||，那么22b a > Ｃ．假设||b a ≠，那么22b a ≠ Ｄ．假设||b a >，那么22b a >3.在等差数列{}n a 中，假设1a ，2011a 为方程016102=+-x x 的两根，那么=++201010062a a a ( )A ．10B ．15C ．20D ．404. 如右图为一个几何体的三视图，其中府视 图为正三角形，A 1B 1=2，AA 1=4，那么该几何体 的外表积为( )A . 6+3 B. 24+3 C. 24+23 D. 325.如以下列图为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,0ωϕπ>≤≤ 的局部图像,其中,A B 两点之间的距离为5,那么()1f -=〔 〕 A ．2 B ．3 C ．3- D ．2-6.各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，那么456a a a =〔 〕 A ． 52 B ． 7 C ． 6 D ． 427.如图，在等腰直角ABO ∆中，设,,1,OA a OB b OA OB C ====为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线L ，设P 为垂线上任一点， ,OP p =那么()p b a •-=〔 〕A. 21-B. 21C. 23- D .238. 函数，，当x=a 时，取得最小值b ，那么函数O ABPCAA 1B 1正视图侧视图 俯视图xy OABb x )a ()x (g +=1的图象为〔 〕9.函数f 〔x 〕=3sin12log 2x x π-的零点个数是〔 〕A ．1B ．3C ．4D ．510.一个正方体的展开图如以下列图，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点， 那么在原来的正方体中( )A ．AB∥CDB ．AB 与CD 相交C ．AB⊥CD D ．AB 与CD 所成的角为60°11. 假设函数()f x 满足：“对于区间(1,2)上的任意实数1212,()x x x x ≠，2121|()()|||f x f x x x -<- 恒成立〞，那么称()f x 为完美函数.在以下四个函数中，完美函数是〔 〕 A ．1()f x x=B ．()||f x x =C ．()2x f x =D ．2()f x x =()f x 满足()()()(),22f x f x f x f x -=-=+，且当[]()()2'2,4,22x f x x xf ∈=+时，那么11623f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与的大小关系是( ) A ．11623f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B . 11623f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 11623f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 不确定 二、填空题：本大题4个小题，每题5分，共20分.13.假设a>0,b>0,且函数224)(23---=bx ax x x f 在x=1处有极值，那么ab 的最大值____14.整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…那么第60个数对是 .15.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝2AB ，假设E ，F 分别为线段A 1D 1，CC 1的中点，那么直线EF 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为_ .16．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-=)1(147)1()(22x a x a x axx x f ，假设R ,21∈∃x x ，且21x x ≠，使得)()(21x f x f =，那么实数a 的取值范围是 .三、解答题：(大题共6个小题总分值70分，17题10分，其余各题均12分．))(1sin 2cos sin 2)(2R x x x x x f ∈+-=．〔Ⅰ〕求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；〔Ⅱ〕假设在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，3=a ，A 为锐角，且32)8(=+πA f ，求ABC ∆面积S 的最大值．18.数列{}n a ，651=a ，假设以n a a a ,,,21 为系数的二次方程)2,(01*21≥∈=+--n N n x a x a n n 都有根βα,，且满足133=+-βαβα．〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕设n n na b =，求数列{}n b 的前n 项和n S19．ABC ∆的两边长分别为25AB =，39AC =，且O 为ABC ∆外接圆的圆心． 〔注：39313=⨯，65513=⨯〕 〔1〕假设外接圆O 的半径为652，且角B 为钝角，求BC 边的长； 〔2〕求AO BC ⋅的值．20.数列{n a }、{n b }满足：111,1,4(1)(1)n n n n n n b a a b b a a +=+==-+． 〔Ⅰ〕求1234,,,b b b b ； 〔Ⅱ〕设11n n c b =-，求证数列{}n c 是等差数列，并求n b 的通项公式； 〔Ⅲ〕设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，不等式4n n aS b <恒成立时，求实数a 的取值范围.21．在如以下列图的多面体ABCDE 中，AB⊥平面ACD ，DE⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G 为AD 中点． 〔1〕请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD ，并证明这一事实；〔2〕求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小； 〔3〕求点G 到平面BCE 的距离．()ln 3 (R)f x a x ax a =--∈．(1)假设1a =-,求函数)(x f 的单调区间并比较()f x 与(1)f 的大小关系(2)假设函数)(x f y =的图象在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为︒45，对于任意的]2,1[∈t ，函数32()[()]2mg x x x f x '=++在区间)3,(t 上总不是单调函数，求m 的取值范围；2021-2021学年第一学期12月月考试题高三年级数学试题〔理〕考试时间：120分钟 分值：150分一．选择题：〔本大题共12小题，每题5分．共60分．〕 1-5 CDBCA 6-10 AABDD 11-12 AB二、填空题：本大题4个小题，每题5分，共20分. 13. 9 14. (5,7) 15.6316. ()()5,32, ∞- 三、解答题：(大题共6个小题，总分值70分．) 17. 解：〔Ⅰ〕 1sin cos sin 2)(2+-=x x x x f =+=x x x 2cos cos sin 2)2cos 222sin 22(22cos 2sin x x x x +=+ =)42sin(2π+x ———2分 ∴)(x f 的最小正周期为π；————————————————————3分)(224222Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ，∴)(883Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ ∴)(x f 的增区间为))(8,83(Z k k k ∈++-ππππ————————————5分〔Ⅱ〕∵32)8(=+πA f ∴32)22sin(2=+πA ， ∴312cos =A ， ∴311cos 22=-A ．∵A 为锐角，即20π<<A ，∴36cos =A∴33cos 1sin 2=-=A A ．————————————————————7分 又 3=a ，由余弦定理得：A bc cb a cos 2222-+=，即362)3(222⋅-+=bc c b ， bc c b 222≥+， ∴26329+≤bc ．—————————————————————————9分 ∴=⋅+≤=33)26329(21sin 21A bc S 4)23(3+．—————————10分18. 解：〔Ⅰ〕∵将α＋β＝a n a n －1，αβ＝1a n －1代入3α－αβ＋3β＝1， 得a n ＝13a n －1＋13，——————————————————————————〔2分〕∴a n －12a n －1－12＝13a n －1＋13－12a n －1－12＝13为定值．又a 1－12＝13，∴数列{a n －12}是首项为13，公比为13的等比数列．———————————————————————————〔5分〕 ∴a n－12＝13×(13)n －1＝(13)n ，∴a n ＝(13)n ＋12．———————————————〔6分〕 〔Ⅱ〕 n n na n n 21)31(+= ∴)321(21334333231432n n S n n ++++++++++= ——————〔7分〕令=n T n n333323132++++ ．① 1432333323131+++++=n n nT ② ①－②得，14323313131313132+-+++++=n n n n T ∴n n n T 343243⋅+-=————————————————————————〔11分〕∴4)1(343243++⋅+-=n n n S n n ———————————————————〔12分〕19．解答：〔1〕由正弦定理有2sin sin AB ACR C B==， ∴253965sin sin C B==，∴3sin 5B =，5sin 13C =， ……………………3分且B 为钝角，∴12cos 13C =，4cos 5B =-，∴3125416sin()sin cos sin cos ()51313565B C B C C B +=+=⨯+⨯-=，又2sin BC R A=，∴2sin 65sin()16BC R A B C ==+=； ……………………6分 〔2〕由AO OC AC +=，∴22()AO OC AC +=，即2222||2||||39AO AO OC OC AC +⋅+== ……………………8分同理AO OB AB +=，∴2222||2||||25AO AO OB OB AB +⋅+==， …………10分两式相减得22(3925)(3925)896AO OC AO OB ⋅-⋅=-+=，即2896AO BC ⋅=，∴448AO BC ⋅=． ……………………12分20.解：〔Ⅰ〕11(1)(1)(2)2n n n n n n n nb b b a a b b b +===-+--因为1113,44a b ==，所以234456,,567b b b === 2分〔Ⅱ〕因为11112n n b b +-=--，所以12111111n n n n b b b b +-==-+--- 那么数列{}n C 是以-4为首项，-1为公差的等差数列n C =-4+〔n-1〕(-1)=-n-3, 那么n b =23n n ++ 6分 〔Ⅲ〕1n n a b =-=13n + 所以1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++=111......4556(3)(4)n n +++⨯⨯+⨯+ =1144n -+=4(4)n n + 8分 22(1)(36)8443(3)(4)n n an n a n a n aS b n n n n +-+---=-=++++<0恒成立即2(1)(36)80a n a n -+--<恒成立即可满足条件， 9分设8)63()1()(2--+-=n a n a n f 当1=a 时，()380f n n =--<恒成立 当1>a 时，由二次函数的性质知不可能成立 当1<a 时，对称轴 0)111(231223<---=--⋅-=a a a n ， )(n f 在(1,)+∞为单调递减函数．2(1)(1)(36)8(1)(36)8f a n a n a a =-+--=-+--=，∴154a < ∴1<a 时 4n n aSb <恒成立 ……12分21．解法一：以D 点为原点建立如以下列图的空间直角坐标系，使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A和点E ，那么各点的坐标为(0,0,0)D ，(2,0,0)A ， (0,0,2)E ，(2,0,1)B，(1,0)C ，〔1〕点F 应是线段CE 的中点，下面证明：设F 是线段CE 的中点，那么点F的坐标为1(2F，∴3(0)2BF =-， 显然BF 与平面xOy 平行，此即证得BF ∥平面ACD ； ……………………4分 〔2〕设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =， 那么n CB ⊥，且n CE ⊥，由(1,CB =，(1,2)CE =-，∴020x z x z ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩，不妨设y =12x z =⎧⎨=⎩，即(1,3,2)n =，∴所求角θ满足(0,0,1)2cos 2||n n θ⋅==4πθ=； ……………………8分〔3〕由G 点坐标为〔1，0，0〕，∴(1,0,1)BG =--，由〔2〕平面BCE 的法向量为(1,3,2)n =， ∴所求距离3||24||BG n d n ⋅==……………………12分解法二：〔1〕由AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB//ED ， 设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接FH ，那么//FH =12ED ，∴//FH =AB ，∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ， 由BF ⊄平面ACD 内，AH ⊂平面ACD ，//BF ∴平面ACD ； ……………4分 〔2〕由条件可知ACD ∆即为BCE ∆在平面ACD 上的射影，设所求的二面角的大小为θ，那么cos ACDBCES S θ∆∆=， ……………………6分易求得BC=BE =CE =∴1||2BCE S CE ∆==而2||4ACD S AC ∆==，∴cos 2ACD BCE S S θ∆∆==，而02πθ<<， ∴4πθ=；………………8分〔3〕连结BG 、CG 、EG ，得三棱锥C —BGE ， 由ED ⊥平面ACD ，∴平面ABED ⊥平面ACD ， 又CG AD ⊥，∴CG ⊥平面ABED ，设G 点到平面BCE 的距离为h ，那么C BGE G BCE V V --=即1133BGE BCE S GC S h ∆∆⨯=⨯，由32BGE S ∆=，BCE S ∆CG =∴BGE BCE S GC h S ∆∆⨯===G 到平面BCE 的距离．………………12分22.解析：〔1〕当1a =-时，(1)'() (0)x f x x x-=> 解'()0f x >得[)1x ,∈+∞；解'()0f x <得(]01x ,∈ - 所以，)(x f 的单调增区间为[)1,+∞，减区间为(]0,1可知min ()(1)f x f =，所以()(1)f x f ≥ -----------------------------3分 (2) ∵)0()1()('>-=x xx a x f ∴12)2('=-=af 得2-=a ，32ln 2)(-+-=x x x f ∴x x mx x g 2)22()(23-++=，∴2)4(3)('2-++=x m x x g ---------4分 ∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数，且()02'g =-∴⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g -----6分由题意知：对于任意的]2,1[∈t ，'()0g t <恒成立，所以，'(1)0'(2)0'(3)0g g g <⎧⎪<⎨⎪>⎩，∴9337-<<-m -----------------------------8分〔3) 猜想：ln 2ln 3ln 4ln 1(2,N )234n n n n n*⨯⨯⨯⨯<≥∈ -------------9分 证明如下： 由〔1〕可知当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >，即01ln >-+-x x ，∴0ln 1x x <<-对一切),1(+∞∈x 成立 -------------------------------10分 ∵2,N*n n ≥∈，那么有1ln 0-<<n n ，∴nn n n 1ln 0-<<-----------11分 ln 2ln 3ln 4ln 12311(2,N )234234n n n n n n n*-∴⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅=≥∈----------12分。

保定市2012-2013学年度第一学期高三期末调研考试 数学试题（理科） 本试卷分第工卷（选择题）和第I倦（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题共60分） 注意事项： 1.答第工卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答 题卡上． 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 3.考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的．） 1.已知全集U=R,集合A={0。

1。

2，3，4，5}，B={xR｜x≥2}，则图中阴影部分所表 示的集合为A.｛0，1｝B.｛1｝C.｛1，2｝D.｛0，1，2｝ 2.“a＝2”是“直线（a2－a)x＋y＝0和直线2x+y＋1=0互相平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C-充要条件 D.既不充分也不必要条件序面 3.用抽签法从1000名学生（其中男生250人）中抽取200人进行评教，某男学生被抽到的概率是 A、 B、 C、 D、 4.某程序框图如图所示，若输出的S=26，则判断框内为 A. k>2？ B. k>3? C. k>4? D. k>5? 5.用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积是A. 9B. 11　C、13 D、15 6.已知函数，则＝ A.　B. 1 C. 2 D. 7.函数f (x)=log3x＋:x－2的零点所在的区间为A. (0，1)B.（1，2)C. (2，3)D. (3，4) 8.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点 在抛物线y2=48x的准线上，则双曲线的方程为 A、 B、 C、 D、 9.在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为 A、 B、 C、 D、 l0.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC, bcosB, ccosA成等差数列，若b＝，则a＋c的最大值为 A. B. 3 C. 2 D. 9 11.若实数x, y满足x｜x｜－y｜y｜＝1，则点(x，y)到直线y=x的距离的取值范围是 A.、［1，）　B、（0，］　C.、（，1）　D.、（0，1］ 12.设方程＋x＝a的解为x1，方程lnx＋x＝a的解为x2，则｜x1－x2｜的最小值为A. 1B.C. 1n2D. ln2 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分，把最简答案填在答题卡的横线上） 13.若(sin+x) 5的展开式中x3的系数为2，则cos2＝＿＿＿＿ 14.已知两点A(1，0)，B〔1，1)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝135°， 设则的值为＿＿＿． 15.设x，y满足约束条件，则的最大值与最小值之和为＿＿＿＿ 16.已知数列{}为等差数列，a3 ＝3，a1+a2＋…+a6＝21，数列｛｝的前n项和为 Sn，若对一切nN＊, 恒有成立，则m的最大正整数是＿＿＿＿ 三、解答题（本大题共6小题，70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分10分） 黄岩岛是中国中沙群岛中唯一露出水面的岛礁，黄岩岛四周为距水面0.5米到3米 之间的环形礁盘．礁盘外形呈等腰直角三角形，其内部形成一个面积为130平方公里、 水深为10-20米的湖．湖东南端有一个宽400米的通道与外海相连，中型渔船和小型 舰艇可由此进人维修或者避风，受热带季风的影响，四月份通道一天中整点（偶数）时 的水深的近似值如下表： 此通道的水深y（米）与时间x（时）可以用形如y=Asin()+h(A>0,w>0, ｜｜＜)的函数来刻画。

河北省保定市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·南昌月考) 已知集合A={0，1，2}，B={1，2 }，则 =（）A . {0}B . {2}C . {0，2}D . {1，2}2. （2分） (2017高二下·深圳月考) 若，其中，是虚数单位，则（）A .B .C .D .3. （2分）设命题p:非零向量是的充要条件；命题q“x>1”是“x>3”的充要条件，则（）A . 为真命题B . 为假命题C . 为假命题D . 为真命题4. （2分） (2016高三上·安徽期中) 某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A . 4B . 2C . 4D . 85. （2分）已知a，b，c，d成等比数列，则下列三个数列：①a+b，b+c，c+d；②ab，bc，cd；③a﹣b，b ﹣c，c﹣d中，必成等比数列的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 36. （2分）已知四棱锥P-ABCD的三视图如图，则四棱锥P-ABCD的全面积为（）A .B .C . 5D . 47. （2分）(2017·青浦模拟) 设x1 ， x2 ，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有xm+m≤xn+n成立的不同排列的个数为（）A . 512B . 256C . 255D . 648. （2分） (2018高二下·晋江期末) 已知函数，当时，恒成立，则的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）如图，在四面体P﹣ABC中，PA=PB=PC=4，点O是点P在平面ABC上的投影，且tan∠APO= ，则四面体P﹣ABC的外接球的体积为（）A . 8 πB . 24πC . 32 πD . 48π10. （2分）设点F1 ， F2分别是椭圆C:+=1的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且的最小值为0，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，直线与抛物线的准线的交点为，点在抛物线在准线上的射影为，若，，则抛物线的方程为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高一下·双流期中) 定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：，当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0，且．设，则实数m与﹣1的大小关系为（）A . m＜﹣1B . m=﹣1C . m＞﹣1D . 不确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·山东理) 已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是________．14. （1分） (2015高二下·乐安期中) 若（x2﹣）9（a∈R）的展开式中x9项的系数为﹣，则函数f（x）=sinx与直线x=a、x=﹣a及x轴围成的封闭图形的面积为________．15. （1分）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________ 米时，运费与仓储费之和最小，最小值为________ 万元．16. （1分） (2018高二下·无锡月考) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a ， b ， c ，设S是△ABC 的面积，若﹣，则角A的值为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分）(2014·大纲卷理) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．18. （5分）(2017·湖北模拟) 某市对所有高校学生进行普通话水平测试，发现成绩服从正态分布N（μ，σ2），下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成绩．（1）计算这10名学生的成绩的均值和方差；（2）给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．由（1）估计从全市随机抽取一名学生的成绩在（76，97）的概率．19. （10分）(2017·榆林模拟) 如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．（Ⅰ）证明：EM⊥BF；（Ⅱ）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．20. （10分）已知函数，．（1）当时，证明：为偶函数；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围，使在上恒成立．21. （10分）(2018·河北模拟) 已知椭圆的上顶点为点，右焦点为 .延长交椭圆于点，且满足 .（1）试求椭圆的标准方程；（2）过点作与轴不重合的直线和椭圆交于两点，设椭圆的左顶点为点，且直线分别与直线交于两点，记直线的斜率分别为，则与之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由.22. （10分）(2018·银川模拟) 选修4-4：极坐标与参数方程在极坐标系中，已直曲线 ,将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1 ，又已知直线，且直线与C1交于A、B两点，（1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）设定点 , 求的值；23. （10分）(2017·湘潭模拟) 已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为1．（1）求a+b的值；（2）若恒成立，求实数m的最大值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2023-2024学年河北省保定市部分地区高三上学期1月期末联考调研数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合，，则A. B. C. D.2.已知i为虚数单位，且，则()A.1B.C.D.23.已知m，n为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列结论正确的为()A.，，则B.，，，，则C.，，，则D.，，，则4.若是奇函数，则()A.，B.，C.，D.，5.已知锐角的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，现将角的终边绕原点逆时针转后，交以原点为圆心的单位圆于点，则的值为()A. B. C. D.6.已知向量，为单位向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为()A. B. C. D.7.保定的府河发源于保定市西郊，止于白洋淀藻杂淀，全长26公里.府河作为保定城区主要的河网水系，是城区内主要的排沥河道.府河桥其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，是我市的标志性建筑之一，悬链线函数形式为，当其中参数时，该函数就是双曲余弦函数，类似地有双曲正弦函数若设函数，若实数x满足不等式，则x 的取值范围为()A. B.C. D.8.在椭圆中，，分别是左，右焦点，P 为椭圆上一点非顶点，I 为内切圆圆心，若，则椭圆的离心率e 为()A.B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法正确的是()A.从50个个体中随机抽取一个容量为20的样本，则每个个体被抽到的概率为B.数据11，19，15，16，19众数是19，中位数是15C.数据0，1，5，6，7，11，12，这组数据的第70百分位数为7D.对于随机事件A 与B ，若，，则事件A 与B 独立10.先将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把图象向右平移个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数的图象，则关于函数，下列说法正确的是() A.最小正周期为 B.在上单调递增C.时，D.其图象关于点对称11.已知曲线，则以下说法正确的是()A.若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则B.若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则其短轴长取值范围是C.曲线C为椭圆时，离心率为D.若曲线C为双曲线，则渐近线方程为12.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在四面体中，是直角三角形，为直角，点E，F分别是SB，BC的中点，且，，，，则()A.平面SABB.四面体是鳖臑C.E是四面体外接球球心D.过A、E、F三点的平面截四面体的外接球，则截面的面积是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省保定市七校2019-2020学年高三上学期第三次联考数学（理)试题1．集合{}2|60A x x x =--<，集合{}2|lo 1g B x x =<，则A B =U （ ） A ．()2,3- B ．(),3-∞C ．()2,2-D ．()0,2 2．若复数z 满足()212i 23i z -+=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）.A ．第三象限B ．第二象限C ．第一象限D ．第四象限 3．在公比为2的等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 7﹣2S 6＝1，则a 1+a 5＝（ ） A ．5 B ．9 C ．17 D ．334．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p ：m n ⊥，若p 是q 的必要条件，则q 可能是（ ）A ．q ：m α⊥，//n β，αβ⊥B ．q ：m α⊂，n β⊥，//αβC ．q ：m α⊥，n β⊥，//αβD ．q ：m α⊂，//n β，αβ⊥ 5．函数()()sin ln 2x f x x =+的部分图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．6．已知定义在R 上的奇函数21()2x x f x a-=+，则不等式()2(2)40f x f x -+-<的解集为（ ）A ．（-1，6）B ．（-6，1）C ．（-2，3）D ．（-3，2）7．已知)221sin a x dx π-=⎰，则二项式922x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．158- B ．212- C ．54- D ．1-8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当120x x >>时，都有()()12120f x f x x x -<-成立，设tan4a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.2c f π-=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c << 9．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，AC =三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．20πD ．24π10．已知M 是抛物线24x y =上一点，F 为其焦点，C 为圆22(1)(2)1x y ++-=的圆心，则||||MF MC +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 11．已知函数22()2sin cos sin (0)24x f x x x ωπωωω⎛⎫=⋅--> ⎪⎝⎭在区间25,56ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x =，关于x 的不等式()()20f x af x +>在区间[]200,200-上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C ．13ln 6,ln 234⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．13ln 6,ln 234⎛⎤-- ⎥⎝⎦13．已知实数x ，y 满足约束条件30,20,2,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩……„则3z x y =+的最小值为___________. 14．已知4,5,(,a b c a b λμλμ===+∈r r r r r R)，若(),a b c b a ⊥⊥-r r r r r ，则λμ=__________．15．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，23B π=，若224a c ac +=，则()sin sin sin AC A C+=__________． 16．已知点12,F F 分别是双曲线()222:10y C x b b -=>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足122F F OP =，21tan 4PF F ∠≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为__________．17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，D 是AB 边的中点，若1CD =，且()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭.求ABC ∆面积的最大值. 18．已知数列{}n a 满足：2112313333n n n a a a a -+++⋯+=，()*n N ∈ (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设()()111311n n n n b a a ++=--，数列{}n b 的前n 项和为n S ，试比较n S 与716的大小．19．如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ，60,2ABC PA AB ∠=︒==，点E F 、分别为BC PD 、的中点，设直线PC 与平面AEF 交于点Q .（1）已知平面PAB ⋂平面PCD l =，求证：//AB l .（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值.20．某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n 名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[]60,150），按下列分组[)60,70，[)70,80，[)80,90，[)90,100，[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150作出频率分布直方图，如图1；样本中分数在[)70,90内的所有数据的茎叶图如图2：根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表．（1）求n 的值及频率分布直方图中的,x y 值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取2人，求此2人都不能录取为专科的概率；（3）在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用ξ表示所抽取的3名学生中为自招的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．21．已知点()2,0A -，点()1,0B -，点()1,0C ，动圆O '与x 轴相切于点A ，过点B 的直线1l 与圆O '相切于点D ，过点C 的直线2l 与圆O '相切于点E （,D E 均不同于点A ），且1l 与2l 交于点P ，设点P 的轨迹为曲线Γ.（1）证明：PB PC +为定值，并求Γ的方程；（2）设直线1l 与Γ的另一个交点为Q ，直线CD 与Γ交于,M N 两点，当,,O D C '三点共线时，求四边形MPNQ 的面积.22．已知函数()(ln 2)x f x e x k -=-（k 为常数， 2.71828e =L 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直．（1）求()f x 的单调区间；（2）设1(ln 1)()x x x g x e-+=，对任意0x >，证明：2(1)()x x x g x e e -+<+．参考答案1．A【解析】【分析】先由二次不等式的解法得{}|23A x x =-<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =<<，再结合集合并集的运算即可得解.【详解】解不等式260x x --<,解得23x -<<,则{}|23A x x =-<<,解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =<<,即A B =U ()2,3-,故选:A.【点睛】本题考查了二次不等式的解法及对数不等式的解法，重点考查了集合并集的运算，属基础题. 2．A【解析】【分析】对已知复数所满足的条件进行化简得到复数z ，再由复数z 几何意义即可得.【详解】因为()2122313z i i -+=+=， 所以有：()()()131213121212i z i i i --==-+-+-- ()2213261326132655514ii i i ----===---- 所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为1326,55⎛--⎫ ⎪⎝⎭，即第三象限 故选：A【点睛】本题考查了复数的运算及复数的几何意义，属于容易题.3．C【解析】【分析】根据等比数列的性质找到76,S S 的关系计算即可得出首项与公比,再求15a a +即可.【详解】由等比数列前n 项和的性质11+=+n n S a qS 可知,当6n =时7162S a S =+,又7621-=S S ,得11a =,故41511217a a +=+⨯=.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列前n 项和的性质11+=+n n S a qS ,属于中等题型.4．B【解析】【分析】根据线面平行与垂直的判定与性质判断即可.【详解】由题知q 能推出p ：m n ⊥.对A, 当//m n 时仍然可以有m α⊥,//n β,αβ⊥.故A 错误.对B, n β⊥,//αβ则n α⊥,又m α⊂,则m n ⊥.故B 正确.对C, m α⊥,//αβ则m β⊥,又n β⊥,故//m n .故C 错误.对D,当αβ⊥且相交于m 时,若//n m 也满足m α⊂,//n β.故D 错误.故选：B【点睛】本题主要考查了空间中线面平行与垂直的判定与性质,属于基础题型.5．A【解析】【分析】考查函数()y f x =的定义域、在()1,0-上的函数值符号，可得出正确选项.【详解】对于函数()y f x =，2021x x +>⎧⎨+≠⎩，解得2x >-且1x ≠-， 该函数的定义域为()()2,11,---+∞U ，排除B 、D 选项.当10x -<<时，sin 0x <，122x <+<，则()ln 20x +>，此时，()()sin 0ln 2x f x x =<+， 故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点、函数值符号进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．D【解析】【分析】利用函数的奇偶性定义求出1a =，结合函数的单调性，对所求不等式化简，即可求解.【详解】 函数21()2x x f x a-=+是定义在R 上的奇函数 所以212122x x x x a a----=-++，化简得1a = 即212()12121x x x f x -==-++且()f x 在R 上单调递增 ()()22(2)404(2)f x f x f x f x -+-<⇒-<-Q242x x ∴-<-，解得：32x -<<故选：D【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，函数的奇偶性的应用，关键是利用函数的单调性来解抽象不等式.7．B【解析】()222222111[sin ]4cos |2a xdx x πππ---=+=⨯⨯⨯+-⎰=2，所以922x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为：99222r r r x C x -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令r=3得常数项为()6339121222C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 8．D【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得()()2212log 3log 3log 3b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，分析可得()f x 在()0+∞，上为减函数，据此分析可得答案． 【详解】由于当120x x >>时，都有()()12120f x f x x x -<-成立， 故()f x 在0x >上为减函数，()tan 14a f f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，()122log 3log 3b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，而0.22log 310π->>>， 所以()()()0.12log 31f f f π-<<，即b a c <<. 故答案为D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数单调性，属于中档题． 9．C【解析】由题意得PC 为球O 的直径,而PC ==即球O的半径R =所以球O 的表面积24π20πS R ==.本题选择C 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.10．B 【解析】 【分析】设出抛物线的准线方程，问题求||||MF MC +的最小值，结合抛物线的定义，就转化为，在抛物线上找一点M ，使M 到C 点、到抛物线准线距离之和最小，利用平面几何的知识可以求解出来． 【详解】解：设抛物线24x y =的准线方程为:1l y =-，C 为圆22(1)(2)1x y ++-=的圆心，所以C 的坐标为(1,2)-，过M 作l 的垂线，垂足为E ，根据抛物线的定义可知||||MF ME =，所以问题求||||MF MC +的最小值，就转化为求||||MF MC +的最小值，由平面几何的知识可知，当C ，M ，E 在一条直线上时，此时CE l ⊥，||||ME MC +有最小值，最小值为2(1)3CE =--=，故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线的定义，以及动点到两点定点距离之和最小问题．解决本题的关键是利用抛物线的定义把问题进行转化，属于中档题． 11．D 【解析】 【分析】将函数()f x 用三角恒等变换化简成正弦型函数，根据整体代换与正弦函数的性质，结合已知建立ω的不等量关系，即可求解. 【详解】22()2sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭2sin [1cos()]sin sin 2x x x x πωωωω=⋅+--=，Q ()f x 在区间25,56ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，250,56x ωπωωπω>-≤≤，53,0625ππωω∴≤∴<≤. 当22(),()22k x k k Z x k Z πππωπωω=+∈=+∈时，()f x 取得最大值， 而()f x 在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，222ππωπππωω⎧≤⎪⎪∴⎨⎪+>⎪⎩，解得1522ω≤<，综上，1325ω≤≤. 故选:D. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换、正弦函数的性质，整体代换是解题的关键，属于中档题. 12．D 【解析】 【分析】根据()f x 的周期和对称性得出不等式在(0,4]上的整数解的个数为3,计算()(1,2,3,4)f k k =的值得出a 的范围.【详解】因为偶函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-, 所以(4)(4)(4)f x f x f x +=-=-,所以()f x 的周期为8且()f x 的图象关于直线4x =对称,由于[200,200]-上含有50个周期,且()f x 在每个周期内都是轴对称图形, 所以关于x 的不等式2()()0f x af x +>在(0,4]上有3个整数解,当(0,4]x ∈时,21ln 2'()xf x x -=, 由'()0f x >,得02e x <<,由'()0f x <,得42ex <<, 所以函数()f x 在(0,)2e 上单调递增,在(,4)2e上单调递减,因为(1)ln 2f =,ln83(2)(3)(4)ln 2044f f f >>==>, 所以当(1,2,3,4)x k k ==时,()0f x >,所以当0a ≥时,2()()0f x af x +>在(0,4]上有4个整数解,不符合题意, 所以0a <,由2()()0f x af x +>可得()0f x <或()f x a >-,显然()0f x <在(0,4]上无整数解,故而()f x a >-在(0,4]上有3个整数解,分别为1,2,3,所以3(4)ln 24a f -≥=,ln 6(3)3a f -<=,(1)ln 2a f -<=, 所以ln 63ln 234a -<≤-. 故选:D 【点睛】本题考查了函数的周期性,考查了函数的对称性,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了一元二次不等式,属于较难题. 13．5- 【解析】 【分析】先作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数所对应的直线，观察直线所在的位置求目标函数的最小值即可. 【详解】解：由实数x ，y 满足约束条件30,20,2,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩……„，作出可行域如图所示，联立2030x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得(2,1)A -，由简单的线性规划问题可得，当目标函数所对应的直线过点(2,1)A -时，目标函数取最小值，即当2,1x y =-=时，目标函数z 取最小值3(2)15⨯-+=-， 故答案为：5-.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.14．2516【解析】由()c b a ⊥-r r r 得：()b-00c a c b c a ⋅=⇒⋅-⋅=r r r r r r r ，又a b c a b λμ⊥=+u u u r r r r r ，，所以220ab b a ab λμλμ+--=r r rr r r 得1625λμ=故λμ=251615 【解析】由余弦定理可得：22221cos 522a cb B b ac ac +-==-⇒=，再有正弦定理角化边可得：2sin 5sin sin sin()sin 5sin sin B A C A C B A C=⇒+=sin()5sin sin sin A C A C B +⇒==16．1,3⎛ ⎝⎦【解析】由122F F OP =，可得||OP =c ， 故12PF F ∆为直角三角形，且12PF PF ⊥， ∴2221212||||||PF PF F F +=．由双曲线定义可得12||||2PF PF a -=． ∵1212tan 4PF PF F PF ∠=≥，∴124PF PF ≥，可得223aPF ≤． 又22222(2)||4a PF PF c ++=， 整理得2222()2PF a c a +=-．∴222222225()2()39a a PF a c a a +=-≤+=． ∴222179c e a =≤，又1e >，∴1e <≤，即双曲线C 的离心率的取值范围为．答案： 点睛：求双曲线的离心率时，可将条件中给出的双曲线的几何关系转化为关于基本量,,a b c 的方程或不等式，然后利用222b c a ＝－和e=ca转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，解题时要注意平面几何知识的应用．17 【解析】【分析】由正弦定理将正弦化成边,再利用余弦定理求得1cos 4C =.再利用向量的加法得2CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r ,两边平方有85ab ≤,再根据1sin 2ABCS ab C ∆=即可求得面积的最大值. 【详解】由题意及正弦定理得到2222ab a b c +-=,于是可得1cos 4C =,又()0,C π∈,sin 4C =, 又因为D 是AB 的中点,所以2CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r ,故22242CD CA CB CA CB =++⋅u u u r u u u r ,则22221542cos 22a ab C b a b ab ab =++=++≥,则85ab ≤,当且仅当a b =时等号成立,所以118sin 22545ABC ab C S ∆=≤⨯⨯=,即ABC ∆面积的最大值是5. 【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用,同时与考查了基本不等式的运用,属于中等题型.18．（Ⅰ）()()n n2n 13a 1n 23⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩；（Ⅱ）详见解析.【解析】 【分析】(Ⅰ)直接利用利用递推关系式求数列的通项公式；(Ⅱ)首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和． 【详解】()I 解：数列{}n a 满足2n 1123n n 1a 3a 3a 3a 3-+++⋯+=，()n N .+∈n 2∴≥时，n 212n 1na 3a 3a 3--++⋯+=， 相减可得：n 1n 13a 3-=，n n 1a 3∴=．n 1=时，12a .3= 综上可得：()()n n2n 13a 1n 23⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩．()II 证明：()()n n 1n n 11b 31a 1a ++=--，12218b 21331133∴==⎛⎫⎛⎫⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， n 2≥时，n n n 1n 1n n 11111b 112313131133+++⎛⎫==⋅- ⎪--⎛⎫⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． n 2334n n 181111111S 32313131313131+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，n 1811173283116+⎛⎫=+-< ⎪-⎝⎭． 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

2014-2015学年河北省保定市重点高中联考高三（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．设集合M={y|y=2sinx，x∈[﹣5，5]}，N={x|y=log2（x﹣1）}，则M∩N=（）A． {x|1＜x＜5} B． {x|1＜x≤0} C． {x|﹣2≤x≤0} D． {x|1＜x≤2}2．i为虚数单位，复数在复平面内对应的点到原点的距离为（）A． B． C． 1 D．3．设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则（）A． a＞b＞c B． b＞a＞c C． a＞c＞b D． b＞c＞a4．已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．5．下列说法：（1）命题“∃x∈R，使得2x＞3”的否定是“∀x∈R，使得2x≤3”（2）命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题是真命题（3）f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2x，则x ＜0的解析式为f（x）=﹣2﹣x其中正确的说法的个数是（）A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个6．阅读程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a，i分别是（）A． a=12，i=3 B． a=12，i=4 C． a=8，i=3 D． a=8，i=47．若θ∈[，]，sin2θ=，则cosθ=（）A． B． C． D．8．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A． 5 B． 10 C． 20 D．9．一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于（）A． B． 2 C． 3 D． 610．若将函数的图象向右平移m（0＜m＜π）个单位长度，得到的图象关于原点对称，则m=（）A． B． C． D．11．已知数列{a n}中满足a1=15，=2，则的最小值为（）A． 10 B． 2﹣1 C． 9 D．12．已知函数f（x）=，g（x）=lnx，则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是cm3．14．设x，y满足，则z=x+y的最小值为．15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则正整数m的值为．16．在△ABC中，点D是BC中点，若∠A=60°，•=，则||的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}是公比不为1的等比数列，a1=1，且a1，a3，a2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项；（2）若数列{a n}的前n项和为S n，试求S n的最大值．18．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；（Ⅱ）已知△ABC的内角分别是A，B，C，角A为锐角，且f（﹣）=，cosB=，求sinC 的值．19．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2asinA=（2b﹣c）sinB+（2c ﹣b）sinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，b=2，求△ABC的面积．20．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．21．已知F1、F2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且离心率为，点A（﹣，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，使直线F2M与F2N的倾斜角互补，且直线l是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）=e x+ax﹣1（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=1时，求过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（Ⅱ）若f（x）≥x2在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年河北省保定市重点高中联考高三（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．设集合M={y|y=2sinx，x∈[﹣5，5]}，N={x|y=log2（x﹣1）}，则M∩N=（）A． {x|1＜x＜5} B． {x|1＜x≤0} C． {x|﹣2≤x≤0} D． {x|1＜x≤2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．解答：解：由M中y=2sinx，x∈[﹣5，5]，得到y∈[﹣2，2]，即M={y|﹣2≤y≤2}，由N中y=log2（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，∴N={x|x＞1}，则M∩N={x|1＜x≤2}，故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．i为虚数单位，复数在复平面内对应的点到原点的距离为（）A． B． C． 1 D．考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数在复平面内对应的点的坐标，由点到直线的距离公式得答案．解答：解：==．∴复数在复平面内对应的点的坐标为（），∴复数在复平面内对应的点到原点的距离为．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则（）A． a＞b＞c B． b＞a＞c C． a＞c＞b D． b＞c＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，考查指数函数的性质，判定a＞1＞c＞0，考查对数函数的性质，判定b ＜0，即得a、b、c的大小．解答：解：考查指数函数的图象与性质，知a=40.1＞1，c=0.50.1＞0，考查对数函数的图象与性质，知b=log30.1＜0，∴a＞c＞b．故选：C．点评：本题考查了指数与对数值比较大小的问题，解题时应借助于指数与对数的函数图象，容易得出结论，是基础题．4．（3分）（2015•山东模拟）已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用向量坐标关系，求出=（﹣3，4），=（5，﹣12），再利用cosθ=求解即可．解答：解：由向量，，得=（﹣3，4），=（5，﹣12），所以||=5，||=13，=﹣63，即与夹角的余弦值cosθ==．故选：B．点评：本题考查向量运算的坐标表示，夹角的计算，属于基础题．5．下列说法：（1）命题“∃x∈R，使得2x＞3”的否定是“∀x∈R，使得2x≤3”（2）命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题是真命题（3）f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2x，则x ＜0的解析式为f（x）=﹣2﹣x其中正确的说法的个数是（）A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题．分析：（1）中，根据特称命题的否定是全称命题，判定（1）正确；（2）中，写出命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题并判定真假；（3）中，根据题意，求出x＜0时，f（x）的解析式，判定（3）正确．解答：解：对于（1），根据特称命题的否定是全称命题，知命题“∃x∈R，使得2x＞3”的否定是“∀x∈R，使得2x≤3”；∴（1）正确．对于（2），命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题是“函数f（x）在x=x0处无极值，则f′（x0）≠0”，它是假命题，如f（x）=x3在x=0处无极值，但f′（0）=0；∴（2）错误．对于（3），∵f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且x＞0时，f（x）=2x，∴x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=2﹣x；又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣2﹣x；∴（3）正确．所以，以上正确的说法是（1）、（3）．故选：C．点评：本题通过命题真假的判定，考查了特称命题与全称命题的否定，原命题与否命题以及函数的导数与极值的关系，根据函数的奇偶性求解析式的问题，是综合性题目．6．阅读程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a，i分别是（）A． a=12，i=3 B． a=12，i=4 C． a=8，i=3 D． a=8，i=4考点：程序框图．专题：阅读型；图表型；算法和程序框图．分析：由程序框图依次计算第一、第二、第三次运行的结果，直到满足条件满足a被6整除，结束运行，输出此时a、i的值．解答：解：由程序框图得：第一次运行i=1，a=4；第二次运行i=2，a=8；第三次运行i=3，a=12；满足a被6整除，结束运行，输出a=12，i=3．故选A．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，解答的关键是读懂程序框图．7．若θ∈[，]，sin2θ=，则cosθ=（）A． B． C． D．考点：二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的倍角公式，进行化简求解即可．解答：解：∵θ∈[，]，∴2θ∈[，π]，则cos2θ==﹣，∵cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣，∴cos2θ=，即cosθ=，故选：C点评：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键，考查学生的计算能力．8．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A． 5 B． 10 C． 20 D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案．解答：解：设P（x0，y0）依题意可知抛物线准线x=﹣1，∴x0=5﹣1=4∴|y0|==4，∴△MPF的面积为×5×4=10故选：B点评：本题主要考查了抛物线的应用．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．9．一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于（）A． B． 2 C． 3 D． 6考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据已知三视图，我们结合棱锥的结构特征易判断出几何体为四锥锥，结合三视图中标识的数据，我们易求出棱锥的底面面积及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案．解答：解：由已知三视图我们可得：棱锥以俯视图为底面以侧视图高为高由于侧视图是以2为边长的等边三角形，故h=结合三视图中标识的其它数据，S底面=×（1+2）×2=3故V=×3×=故选A点评：本题考查的知识点是根据三视图求几何体的体积，其中根据已知三视图，结合简单几何体的结构特征易判断出几何体的形状，和相关的几何量（底面边长，高）是解答本题的关键．10．若将函数的图象向右平移m（0＜m＜π）个单位长度，得到的图象关于原点对称，则m=（）A． B． C． D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和差的正弦公式花简f（x）的解析式为sin（x﹣），把它的图象向右平移m个单位长度，得到的图象对应的函数为y=sin（x﹣m﹣），是奇函数，由此求得m 的值．解答：解：∵函数=（﹣）=sin（x﹣），把它的图象向右平移m（0＜m＜π）个单位长度，得到的图象对应的函数为y=sin（x﹣m ﹣），由题意可得y=sin（x﹣m﹣）为奇函数，故m=，故选A．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，奇函数的图象特征，属于中档题．11．已知数列{a n}中满足a1=15，=2，则的最小值为（）A． 10 B． 2﹣1 C． 9 D．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得a n+1﹣a n=2n，从而a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=n2﹣n+15，进而=n+﹣1，由此能求出当且仅当n=，即n=4时，取最小值4+=．解答：解：∵数列{a n}中满足a1=15，=2，∴a n+1﹣a n=2n，∴a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=15+2+4+6+8+…+2（n﹣1）=15+=n2﹣n+15，∴=n+﹣1≥2﹣1，∴当且仅当n=，即n=4时，取最小值4+=．故选：D．点评：本题考查的最小值的求法，是中档题，解题时要注意累加法和均值定理的合理运用．12．已知函数f（x）=，g（x）=lnx，则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：画出f（x）=，g（x）=lnx的图象，根据图形可判断交点个数．解答：解：∵f（x）=，g（x）=lnx，∴根据图形可判断：有3个交点，∴函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为3个，故选：C点评：本他考查了函数图象的运用求解有关系的函数的零点问题，关键是化函数图象，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是cm3．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：由勾股定理求出球的半径，再利用球的体积公式求球的体积．解答：解：球的半径为=5（cm），球的体积为×53=（cm3）故答案为．点评：本题考查球的体积公式，注意球心距，圆的半径，球的半径，三条线段构成直角三角形，可用勾股定理．14．（5分）（2015•黄山二模）设x，y满足，则z=x+y的最小值为 2 ．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值．解答：解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2．故答案为：2．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则正整数m的值为 5 ．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a m和a m+1的值，进而可得公差d，由通项公式和求和公式可得a1和m的方程组，解方程组可得所求．解答：解：由题意可得a m=S m﹣S m﹣1=0﹣（﹣2）=2，a m+1=S m+1﹣S m=3﹣0=3，∴等差数列{a n}的公差d=a m+1﹣a m=3﹣2=1，由通项公式可得a m=a1+（m﹣1）d，代入数据可得2=a1+m﹣1，①再由求和公式可得S m=ma1+d，代入数据可得0=ma1+，②联立①②可解得m=5故答案为：5点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及方程组的解法，属中档题．16．在△ABC中，点D是BC中点，若∠A=60°，•=，则||的最小值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的平行四边形法则、数量积运算、基本不等式即可得出．解答：解：如图所示，在△ABC中，点D是BC中点，∴，∵•=，∠A=60°．∴=，∴cb=1．∴=c2+b2+1≥2bc+1=3，当且仅当b=c=1时取等号．∴．∴||的最小值是．故答案为：．点评：本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算、基本不等式，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}是公比不为1的等比数列，a1=1，且a1，a3，a2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项；（2）若数列{a n}的前n项和为S n，试求S n的最大值．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）设等比数列的公比为q，由a1，a3，a2成等差数列，得2a3=a1+a2，由通项公式可得q的方程，从而可求q，通项a n；（2）由等比数列求和公式可得S n，分n为奇数、偶数可得S n的范围，从而可得结果；解答：解：（1）设等比数列的公比为q，∵a1，a3，a2成等差数列，∴2a3=a1+a2，又a1=1，∴2×1×q2=1+1×q，解得q=﹣，或q=1（舍）．∴．（2）由等比数列求和得，S n==，当n为奇数时，=1；当n为偶数时，．∴S n的最大值为1．点评：该题考查等比数列的通项公式、求和公式，考查分类讨论思想，属中档题．18．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；（Ⅱ）已知△ABC的内角分别是A，B， C，角A为锐角，且f（﹣）=，cosB=，求sinC的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由函数图象得到半周期，进一步求得周期，再利用周期公式求ω的值，再由f（）=1结合φ的范围求得φ值，则函数解析式可求，再由函数图象得到函数的减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的解析式结合f（﹣）=求得A，由cosB=求得sinB，利用sinC=sin （π﹣A﹣B）=sin（A+B）展开两角和的正弦求得sinC的值．解答：解：（Ⅰ）由图象可知，得，即ω=2．当x=时，f（x）=1，可得sin（+φ）=1．∵φ＜，∴φ=．故．由图象可得f（x）的单调递减区间为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，即，又角A为锐角，∴A=．∵0＜B＜π，cosB=，∴，∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，考查了已知三角函数值求角，训练了两角和的正弦公式，是中档题．19．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2asinA=（2b﹣c）sinB+（2c ﹣b）sinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，b=2，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）△ABC中，由正弦定理得，再由余弦定理求得cosA=，A=；（Ⅱ）△ABC中，由正弦定理得到，进而得到角B，再由内角和为π得到角C，由三角形面积公式即得结论．解答：解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，整理得，所以．又A∈（0，π），故．（Ⅱ）由正弦定理可知，又a=2，，，所以．又，故或．若，则，于是；若，则，于是．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理，以及三角形面积公式的应用，属于中档题20．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：综合题．分析：（Ⅰ）由已知，若证得AC⊥BC，则据面面垂直的性质定理即可．转化成在平面ABCD，能否有AC⊥BC，易证成立．（Ⅱ）设AC∩BD=N，则面AMF∩平面BDF=FN，只需AM∥FN即可．而CN：NA=1：2．故应有EM：FM=1：2解答：解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AD=DC=CB=a，∠ABC=60°∴四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120∴∠ACB=90，∴AC⊥BC又∵平面ACF⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE．（Ⅱ）当EM=时，AM∥平面BDF．在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连接FN，则CN：NA=1：2．∵EM=而 EF=AC=，∴EM：FM=1：2．∴EM∥CN，EM=CN，∴四边形ANFM是平行四边形．∴AM∥NF．又NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF．∴AM∥平面BDF．点评：本题考查线面位置关系及判定，考查空间想象能力，计算能力，转化能力．21．已知F1、F2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且离心率为，点A（﹣，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，使直线F2M与F2N的倾斜角互补，且直线l是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知得，由此能求出椭圆C的方程．（2）由题意知直线MN存在斜率，其方程为y=kx+m，由，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件推导出直线MN过定点（2，0）．解答：解：（1）∵F1、F2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且离心率为，点A（﹣，）在椭圆C上．∴，解得a2=2，b2=1．∴椭圆C的方程为．…（6分）（2）由题意知直线MN存在斜率，其方程为y=kx+m，由，消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，△=（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，设M（，，…（8分）又k F2M=，，由已知直线F2M与F2N的倾斜角互补，得．化简，得2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0，∴整理得m=﹣2k．…（10分）直线MN的方程为y=k（x﹣2），因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）．…（12分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理，倾斜解互补的性质的合理运用．22．已知函数f（x）=e x+ax﹣1（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=1时，求过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（Ⅱ）若f（x）≥x2在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（I）当a=1时，f（x）=e x+x﹣1，根据导数的几何意义可求得在点（1，f（1））处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x轴、y轴的交点A、B，利用直角三角形的面积公式即可求得；（II）将f（x）≥x2在（0，1 ）上恒成立利用参变量分离法转化为在（0，1 ）上恒成立，再利用导数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a的取值范围．解答：解：（I）当a=1时，f（x）=e x+x﹣1，f（1）=e，f'（x）=e x+1，f'（1）=e+1，函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e=（e+1）（x﹣1），即y=（e+1）x﹣1，设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B，∴A，B（0，﹣1），∴，∴过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为．（II）由f（x）≥x2得，令h（x）=，，令k（x）=x+1﹣e x…（6分）k'（x）=1﹣e x，∵x∈（0，1），∴k'（x）＜0，∴k（x）在（0，1）上是减函数，∴k（x）＜k（0）=0．因为x﹣1＜0，x2＞0，所以，∴h（x）在（0，1）上是增函数．所以h（x）＜h（1）=2﹣e，所以a≥2﹣e…（12分）点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题，解决函数恒成立问题常常利用参变量分离法求出参数范围，属于中档题．。

河北省保定市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z=，则|z|=（）A．B．C．1 D．22．（5分）若集合A={0，1}，B={﹣1，a2}，则“A∩B={1}”是“a=1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则f（）=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣4．（5分）在区间[﹣5，5]内随机取出一个实数a，则a∈（0，1）的概率为（）A．0.5 B．0.3 C．0.2 D．0.15．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．2014 B．2013 C．1008 D．10076．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值是（）A．2 B．0 C．﹣10 D．﹣157．（5分）如图，为互相垂直的两个单位向量，则|+|=（）A．20 B．C．2D．8．（5分）湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个半径为6cm，深2cm 的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（）A．20cm B．18cm C．10cm D．8cm9．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1 B．1或2 C．1或3 D．310．（5分）已知函数f（x）=+2ax+c，a≠0，则它们的图象可能是（）A．B．C．D．11．（5分）已知b＞a＞0，ab=2，则的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4] B．（﹣∞，﹣4）C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则+取得最大值时，内角A的值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．13．（5分）已知a=（）﹣1，则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣2的系数为．14．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为15．（5分）直线l过椭圆C：+y2=1的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点，M为弦PQ的中点，O为原点，若△PMO是以线段OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为．16．（5分）设互不相等的平面向量组（i=1，2，3，…），满足：①||=2；②•=0，若=++…+（m≥2），则||的取值集合为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinC﹣ccosB=0．（1）求tanB；（2）若b=7，求△ABC的周长的最大值．18．（12分）已知等差数列{a n}的前S n项和为S n，a1=3，{b n}为等比数列，且b1=1，b n＞0，b2+S2=10，S5=5b3+3a2，n∈N*（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．19．（12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），其测量数据的茎叶图如图所示：规定：当产品中此种元素含量大于18毫克时，认定该产品为优等品．（1）试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小；（2）从乙厂抽出上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及数学期望．20．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=AP=BP=，PC=，AB=2．（1）求证：PC⊥AB；（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值的绝对值．21．（12分）已知：过抛物线x2=4y的焦点F的直线交抛物线于A，B两个不同的点，过A，B 分别作抛物线的切线，且二者相交于点C．（1）求证：•=0；（2）求△ABC的面积的最小值．22．（12分）已知函数f（x）=xlnx（1）若直线l过点（1，0），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；（2）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣1）在[1，e]上有且只有一个零点，求a的取值范围．（其中a∈R，e为自然对数的底数）河北省保定市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z=，则|z|=（）A．B．C．1 D．2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．解答：解：∵z==，∴|z|=．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题．2．（5分）若集合A={0，1}，B={﹣1，a2}，则“A∩B={1}”是“a=1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别判断其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：若A∩B={1}，则a=±1，不是充分条件，若a=1，则A∩B={1}，是必要条件，故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，考查了集合的性质，是一道基础题．3．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则f（）=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的周期公式求出ω即可．解答：解：∵函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，∴周期T==π，解得ω=2，即f（x）=sin（2x+），则f（）=sin（2×+）=sin（+）=sin=1，故选：A．点评：本题主要考查三角函数值的求解，根据函数的周期求出ω是解决本题的关键．4．（5分）在区间[﹣5，5]内随机取出一个实数a，则a∈（0，1）的概率为（）A．0.5 B．0.3 C．0.2 D．0.1考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：本题利用几何概型求概率，首先解得的区间长度以及与区间（0，1）的长度，求比值即得．解答：解：利用几何概型，其测度为线段的长度，区间[﹣5，5]的长度为10，a∈（0，1）的区间长度为1，由几何概型公式得，a∈（0，1）的概率为；故选D．点评：本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．5．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．2014 B．2013 C．1008 D．1007考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行的是什么．解答：解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，得：该程序运行的是当k＜2014时，计算S=0+1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1•k；∴该程序运行后输出的是：S=0+1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）2012•2013=1××=1007．故选：D．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论．6．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值是（）A．2 B．0 C．﹣10 D．﹣15考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点O时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，此时z=0，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．7．（5分）如图，为互相垂直的两个单位向量，则|+|=（）A．20 B．C．2D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：以，是互相垂直的单位向量，所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，得到向量，的终点坐标和起点坐标，从而得到向量a，b的坐标，即可得到和向量的坐标，再由模的公式即可得到答案．解答：解：以，是互相垂直的单位向量，所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，则向量的终点坐标为（3，0），起点坐标为（3.5，3.5），的终点坐标为（2，3），起点坐标为（3.5，3.5），则有=（0.5，3.5），=（1.5，0.5），=（2，4），即有||==2．故选C．点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其模的公式的运用，考查运算能力，属于基础题．8．（5分）湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个半径为6cm，深2cm 的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（）A．20cm B．18cm C．10cm D．8cm考点：球的体积和表面积．专题：计算题；球．分析：先设出球的半径，进而根据球的半径，球面上的弦构成的直角三角形，根据勾股定理建立等式，求得r，最后根据球面上的点到冰面的距离的最大值为2r﹣h，即可得到．解答：解：设球的半径为r，依题意可知36+（r﹣2）2=r2，解得r=10，则球面上的点到冰面的距离的最大值为20﹣2=18（cm）．故选B．点评：本题主要考查了球面上的勾股定理和球面上的点到球的截面的距离的最值，属基础题．9．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1 B．1或2 C．1或3 D．3考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的公差，由S1，S2，S4成等比数列求得公差，代入得答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，由S1，S2，S4成等比数列，得，即，则d=0或d=2a1．当d=0时，；当d=2a1时，．∴=1或3．故选：C．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等比中项的概念，是基础题．10．（5分）已知函数f（x）=+2ax+c，a≠0，则它们的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数f（x）的导数，判断导函数的对称轴，排除选项，利用函数的单调性排除C，推出结果．解答：解：因为f（x）=，f′（x）=ax2+2ax+c，则函数f′（x）即g（x）图象的对称轴为x=﹣1，故可排除A，D；由选项C的图象可知，当x＞0时，f'（x）＞0，故函数在（0，+∞）上单调递增，但图象中函数f（x）在（0，+∞）上不具有单调性，故排除C．本题应选B．故选：B．点评：本题考查函数的图象的判断，导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．11．（5分）已知b＞a＞0，ab=2，则的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4] B．（﹣∞，﹣4）C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，﹣2）考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得=﹣=﹣=﹣（b﹣a+）≤﹣2=﹣4，注意等号成立的条件即可．解答：解：∵b＞a＞0，ab=2，∴=﹣=﹣=﹣（b﹣a+）≤﹣2=﹣4当且仅当b﹣a=时取等号，故的取值范围为（﹣∞，﹣4]故选：A点评：本题考查基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式并注意等号成立的条件是解决问题的关键，属基础题．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则+取得最大值时，内角A的值为（）A．B．C．D．考点：正弦定理；基本不等式．专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：利用三角形的面积计算公式可得×a2=bcsinA即a2=2bcsinA，利用余弦定理及已知可得=4sin（A+）≤4，从而可解得A的值．解答：解：∵×a2=bcsinA，∴a2=2bcsinA．∵cosA=，∴b2+c2=a2+2bccosA=2bcsinA+2bccosA∴==2sinA+2cosA=4sin（A+）≤4，∴的最大值是4时有A+=2k，k∈Z∴可解得：A=2k，k∈Z∵0＜A＜π∴A=故选：D．点评：本题考查了三角形的面积计算公式、余弦定理、两角和差的正弦计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．13．（5分）已知a=（）﹣1，则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣2的系数为40．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：由题意，a=2，二项式（1﹣）5的展开式的通项为T r+1=，即可求出二项式（1﹣）5的展开式中x﹣2的系数．解答：解：由题意，a=2，二项式（1﹣）5的展开式的通项为T r+1=，∴二项式（1﹣）5的展开式中x﹣2的系数为=40．故答案为：40．点评：本题考查二项式（1﹣）5的展开式的通项，考查学生的计算能力，比较基础．14．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为16π+π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：空间几何体是圆柱里面挖去一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是3，求出圆柱表现出来的表面积，圆锥的表面积，求和得到结果．解答：解：由三视图知，空间几何体是圆柱里面挖去一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是3，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×3=16π，圆锥的表面积是=π∴空间组合体的表面积是16π+π，故答案为：16π+π．点评：本题考查由三视图求表面积，考查学生的计算能力，比较基础．15．（5分）直线l过椭圆C：+y2=1的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点，M为弦PQ的中点，O为原点，若△PMO是以线段OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆方程求得椭圆的焦点坐标，设出直线方程，和椭圆方程联立，由根与系数关系结合中点坐标公式求出M的坐标，由﹣求得直线的斜率．解答：解：由+y2=1，得a2=2，b2=1，∴c2=a2﹣b2=2﹣1=1．则c=1，则左焦点F（﹣1，0）．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为y=kx+k．设l与椭圆相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2），联立，得：（2k2+1）x2+4k2x+2k﹣2=0．则PQ的中点M的横坐标为．∵△FMO是以OF为底边的等腰三角形，∴﹣．解得：k=±．故答案为：．点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题．16．（5分）设互不相等的平面向量组（i=1，2，3，…），满足：①||=2；②•=0，若=++…+（m≥2），则||的取值集合为．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由||=2，•=0，（i∈N*）．可得，，，，，，且i的最大值为4.=+…++，对m分类讨论即可得出．解答：解：∵||=2，•=0，（i∈N*）．∴，，，∴，，，且i的最大值为4．==+…++= 4m+，若m=2时，=8，∴||=2；若m=3时，=4，∴=2；若m=4时，=4×4﹣2×8=0，∴=0．∴|T m|的取值集合为{0，2，2}．故答案为：．点评：本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinC﹣ccosB=0．（1）求tanB；（2）若b=7，求△ABC的周长的最大值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：（1）由已知和正弦定理可得sinBsinC﹣sinCcosB=0，即可求得tanB的值；（2）由（1）知，B=，由余弦定理可得（a+c）2=3ac+49≤（a+c）2+49，即有a+c≤14（当且仅当a=c=7时取等号），即可求△ABC的周长的最大值．解答：解：（1）∵bsinC﹣ccosB=0，∴sinBsinC﹣sinCcosB=0…（2分）∵sinC≠0，cosB≠0∴tanB=…（4分）（2）由（1）知，B=由72=a2+c2﹣2accosB，得49=a2+c2﹣ac，…（7分）∴（a+c）2=3ac+49≤（a+c）2+49∴a+c≤14（当且仅当a=c=7时取等号），∴△ABC周长的最大值为21 …（10分）点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理的应用，不等式的解法，综合性强，属于中档题．18．（12分）已知等差数列{a n}的前S n项和为S n，a1=3，{b n}为等比数列，且b1=1，b n＞0，b2+S2=10，S5=5b3+3a2，n∈N*（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的性质；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的其前n项和公式即可得出．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由b2+S2=10，S5=5b3+3a2，n∈N*，可得：，解得q=2或q=﹣（舍），∴d=2．∴数列{a n}的通项公式是a n=2n+1．数列{b n}的通项公式是．（2）a n b n=（2n+1）×2n﹣1．T n=3+5×2+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，∴2T n=3×2+5×22+…+（2n﹣1）×2n﹣1+（2n+1）×2n，∴﹣T n=3+2×（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n=﹣（2n+1）×2n=2n+1﹣1﹣（2n+1）×2n，∴T n=（2n﹣1）×2n+1．（n∈N*）．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），其测量数据的茎叶图如图所示：规定：当产品中此种元素含量大于18毫克时，认定该产品为优等品．（1）试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小；（2）从乙厂抽出上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）分别求出甲厂平均值和乙厂平均值，由此能比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小．（2）由已知得ξ的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及数学期望．解答：解：（1）甲厂平均值为（9+18+15+16+19+13+23+20+25+21）=17.9．…（2分）乙厂平均值为（18+14+15+16+19+10+13+21+20+23）=16.9，…（4分）所以甲厂平均值大于乙厂平均值．…（5分）（2）由已知得ξ的取值为0，1，2，3．…（6分）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，…（10分）所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P故E（ξ）==1.2．…（12分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．20．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=AP=BP=，PC=，AB=2．（1）求证：PC⊥AB；（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值的绝对值．考点：二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）设D为AB中点，连接DC，DP，利用勾股定理的逆定理可得：CD⊥AB，利用等腰三角形的性质可得：PD⊥AB，利用线面垂直的判定定理可得：AB⊥平面PCD．即可证明PC⊥AB．（2）如图，建立空间直角坐标系O﹣xyz．其中AB∥x轴，易得∠PDC=120°，∠PDO=60°，可得PO=，OD=．设平面PBA的法向量为=（x，y，z），利用，可得．同理可求得平面CBP的一个法向量，利用=，即可得出．解答：（1）证明：设D为AB中点，连接DC，DP，∵AC=BC=，AB=2，∴CD⊥AB，DC=1．∵PA=PB，AD=DB，∴PD⊥AB，又CD∩PD=D，∴AB⊥平面PCD．∴PC⊥AB．（2）解：如图，建立空间直角坐标系O﹣xyz．其中AB∥x轴，易得∠PDC=120°，∠PDO=60°，又PD=DC=1，∴PO=，OD=．则，A，C，P，∴=（2，0，0），=．设平面PBA的法向量为=（x，y，z），则，即，∴平面PBA的一个法向量=．∵=（1，﹣1，0），=，同理可求得平面CBP的一个法向量为=，∴===．点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、向量与数量积的关系、法向量与空间角的求法、等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）已知：过抛物线x2=4y的焦点F的直线交抛物线于A，B两个不同的点，过A，B 分别作抛物线的切线，且二者相交于点C．（1）求证：•=0；（2）求△ABC的面积的最小值．考点：抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0）．设AB：y=kx+1，代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣4=0，由y=，可得y′=，分别得出直线AC，BC的方程联立解得x0=2k，y0=﹣1．对k分类讨论，k≠0时，可得k AB•k CF=﹣1，可得•=0；若k=0，即可得出•=0；（2）由（1）知，点C到AB的距离d=|CF|=2，利用抛物线定义可得：|AB|=|AF|+|FB|=y1+y2+2，可得．解答：（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0）．设直线AB方程：y=kx+1，代入x2=4y得x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．，y′=，直线AC的方程为：，直线BC的方程为：，联立解得x0=2k，y0=﹣1．①若k≠0，则k CF=﹣，∴k AB•k CF=﹣1，∴•=0；②若k=0，=（﹣2k，2），=（x2﹣x1，k（x2﹣x1）），=﹣2k（x2﹣x1）+2k（x2﹣x1）=0，∴•=0；（2）解：由（1）知，点C到AB的距离d=|CF|=2，|AB|=|AF|+|FB|=y1+y2+2=k（x1+x2）+4=4k2+4，∴=，∴当k=0时，△ABC的面积的最小值为4．点评：本题考查了抛物线的定义及其标准方程及其性质、利用导数研究抛物线的切线、向量垂直与数量积的关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）已知函数f（x）=xlnx（1）若直线l过点（1，0），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；（2）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣1）在[1，e]上有且只有一个零点，求a的取值范围．（其中a∈R，e为自然对数的底数）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义以及直线和切线相切的条件即可求直线l 的方程；（2）将条件转化为函数g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）在（1，e]上没有零点，即可得到结论．解答：解：（1）设切点坐标为（x0，y0），则y0=x0lnx0，切线的斜率为lnx0+1，所以切线l的方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），又切线l过点（1，0），所以有﹣x0lnx0=（lnx0+1）（1﹣x0），即lnx0=x0﹣1，解得x0=1，y0=0．所以直线l的方程为y=x﹣1．（2）因为g（x）=xlnx﹣a（x﹣1），注意到g（1）=0所以，所求问题等价于函数g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）在（1，e]上没有零点．因为g′（x）=lnx+1﹣a所以由g′（x）＜0⇔lnx+1﹣a＜0⇔0＜x＜e a﹣1，g′（x）＞0⇔x＞e a﹣1所以g（x）在（0，e a﹣1）上单调递减，在（e a﹣1，+∞）上单调递增．①当e a﹣1≤1，即a≤1时，g（x）在（1，e]上单调递增，所以g（x）＞g（1）=0此时函数g（x）在（1，e]上没有零点，②当1＜e a﹣1＜e，即1＜a＜2时，g（x）在[1，e a﹣1）上单调递减，在（e a﹣1，e]上单调递增．又因为g（1）=0，g（e）=e﹣ae+a，g（x）在（1， e]上的最小值为g（e a﹣1）=a﹣e a﹣1所以，（i）当1＜a≤时，g（x）在[1，e]上的最大值g（e）≥0，即此时函数g（x）在（1，e]上有零点．（ii）当＜a＜2时，g（e）＜0，即此时函数g（x）在（1，e]上没有零点．③当e≤e a﹣1 即a≥2时，g（x）在[1，e]上单调递减，所以g（x）在[1，e]上满足g（x）＜g（1）=0，此时函数g（x）在（1，e]上没有零点综上，所求的a的取值范围是a≤1或＜a．点评：本题主要考查导数的综合应用，利用导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．。

2021-2022学年河北省保定市部分学校高三（上）联考数学试卷（12月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|−3≤x<0}，B={x|−1<x≤1}，则A∩B=()A. (−1,0)B. [−3,1]C. (−1,1]D. (1,2]2.命题“∀α∈R，sinα<2”的否定为()A. ∃α∈R，sinα<2B. ∃α∈R，sinα≥2C. ∀α∈R，sinα≥2D. ∀α∈R，sinα>23.已知a=log53，b=2−1.2，c=0.3−0.2，则()A. c>b>aB. a>c>bC. a>b>cD. c>a>b4.函数f(x)=xcosx+x2在[−π,π]上的图象大致为()A. B.C. D.5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为9的正方形，则该圆柱的表面积为()A. 25π2B. 27π2C. 12πD. 13π6.已知定义在R上的函数y=f(x)是偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，则不等式f(x−1)>f(x)的解集为()A. (2,+∞)B. (−∞,0)∪(2,+∞)C. (12,+∞) D. (−∞,−23)∪(2,+∞)7.如图，某时钟显示的时刻为9：45，此时时针与分针的夹角为θ，则cos2θ=()A. 34B. 2−√24C. 45D. 2+√248.黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑．某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为30(√3−1)m的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°，则估算黄鹤楼的高度CD 为()A. 20√3mB. 20√2mC. 30√3mD. 30√2m二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知函数f(x)=xe x−x2−2x−1，则()A. f(x)的极大值为−1B. f(x)的极大值为−1eC. 曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为x−y−1=0D. 曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为x+y+1=010.已知椭圆C：x2m+1+y2m=1的离心率为12，左、右焦点分别为F1、F2，点P是椭圆C上任意一点(非长轴的顶点)，则()A. C的长轴长为4B. C的长轴长为2C. ΔPF1F2的周长为6D. ΔPF1F2的周长为811.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，公比为q，若S2=1，S6=91，则()A. S8=729B. S8=820C. q=3D. q=912.若函数f(x)=2lnx−x2+m在[1e,e2]上有两个不同的零点，则实数m的取值可能是()A. 1B. eC. 1e2+1 D. 1e2+2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(3,x)，b⃗ =(8,6)，且a⃗⊥b⃗ ，则x=______．14.已知抛物线C：y2=2px(p>0)上一点P(3,y0)到其准线的距离为8，则p=______．15.已知a>0，b>0，且a+4b=6，则1a +1b的最小值为______．16.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1，AA1=4，D为B1B的中点，则A1B与C1D所成角的余弦值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=32n2+52n．(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{3a n a n+1}的前n项和T n．18.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3bcosC=5asinA−3ccosB．(1)求sinA；(2)若a=3，b=5，求△ABC的面积．19.已知函数f(x)=√3sinωx+cosωx(ω>0)图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为π4．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)当x∈[−π6,7π12]时，求f(x)的值域．20.已知双曲线C的浙近线方程为y=±√63x，焦点的坐标分别为(0,√5)，(0,−√5)．(1)求双曲线C的标准方程；(2)若过点P(0,4)的直线l交双曲线C于A，B两点，原点O在以AB为直径的圆上，求直线l的方程．21.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为2√3的菱形，DE⊥平面ABCD，BF//DE，DE=3BF=3√3，∠DAB=60°．(1)证明：平面ACF⊥平面BDEF．(2)求二面角A−EF−C的正弦值．+a(x−1)．22.已知函数f(x)=lnx+1x(1)若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若实数x1，x2是方程f′(x)=0的两个不等实根，证明：x1x2>e．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A ={x|−3≤x <0}，B ={x|−1<x ≤1}，∴A ∩B ={x|−3≤x <0}∩{x|−1<x ≤1}={x|−1<x <0}=(−1,0)． 故选：A ．直接由交集运算得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．2.【答案】B【解析】解：由于全程命题的否定是特称命题，故命题“∀α∈R ，sinα<2”的否定为“∃α∈R ，sinα≥2”， 故选：B ．由题意利用全程命题的否定是特称命题，得出结论． 本题主要考查全程命题的否定，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵a =log 53>log 5√5=12，b =2−1.2<2−1=12，∴a >b ； ∵a =log 53<log 55=1，c =0.3−0.2>0.30=1，∴a <c ． ∴c >a >b ． 故选：D ．直接利用有理指数幂与对数的运算性质进行大小比较．本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．4.【答案】A【解析】解：因为f(−x)=−f(x)， 所以f(x)为奇函数，故选项D 错误；当0<x <π时，f(x)>0， 故选项C 错误； 因为f(π2)=2π<1，故选项B 错误，选项A 正确． 故选：A ．利用函数的奇偶性可判断选项D ，利用函数值的大小即可判断选项A ，B ，C ． 本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据题意，可得截面是边长为3的正方形， 由圆柱的特征可知，该圆柱的底面半径为32的圆，且高为3， 所以圆柱的表面积为S =2π×(32)2+2π×32×3=27π2．故选：B ．利用截面面积，求出截面正方形的边长，然后由圆柱的特征，确定圆柱的底面半径以及高，由圆柱的表面积公式求解即可．本题考查了圆柱的几何性质的理解与应用，圆柱的表面积公式的运用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：因为f(x)为偶函数，且在[0,+∞)上单调递减， 所以f(x)在(−∞,0]上单调递增， 由f(x −1)>f(x)，得|x −1|<|x|， 解得x >12，即不等式f(x −1)>f(x)的解集为(12,+∞)． 故选：C ．利用函数奇偶性与单调性去掉不等式的“f”，从而可得不等式的解集．本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的性质解不等式，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由题意可得θ=2π12×912=π8，∴cos2θ=1+cos2θ2=1+cosπ42=2+√24，故选：D．先求得θ的值，再利用二倍角的余弦公式，求得cos2θ=1+cos2θ2的值．本题主要考查二倍角的余弦公式，求得角θ的值，是解决问题的关键，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：在Rt△ABM中，AM=ABsin15∘，在△ACM中，∠CAM=15°+15°=30°，∠AMC=180°−15°−60°=105°，所以∠ACM=180°−30°−105°=45°，由正弦定理，AMsin∠ACM =CMsin∠CAM，故C M=AM⋅sin∠CAMsin∠ACM =30(√3−1)×12×√2√6−√24=60，在Rt△CDM中，CD=CMsin60°=60×√32=30√3(m)．所以估算黄鹤楼的高度CD为30√3m.故选：C．Rt△ABM中求得AM，在△ACM中运用正弦定理求得CM，解Rt△CDM求得CD的值．本题考查了三角形的正弦定理和解三角形的应用问题，也考查了方程思想和运算求解能力，是中档题．9.【答案】BD【解析】解：∵f(x)=xe x−x2−2x−1，∴f′(x)=e x+xe x−2x−2=(x+1)(e x−2)．由f′(x)=0，得x=−1或x=ln2，当x∈(−∞,−1)∪(ln2,+∞)时，f′(x)>0，当x∈(−1,−ln2)时，f′(x)<0，∴f(x)的单调增区间为(−∞,−1)，(ln2,+∞)，单调减区间为(−1,−ln2)，故f(x)的极大值为f(−1)=−1e，故A错误，B正确；∵f(0)=−1，f′(0)=−1，∴曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为x+y+1=0，故C错误，D正确．故选：BD．求出原函数的导函数，得到函数的单调性，求出函数的极值判断A与B；再求出曲线y= f(x)在(0,f(0))处的切线方程判断C与D．本题考查利用导数求函数的极值，利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】AC【解析】解：由题意可得a2=m+1，b2=m，c2=m+1−m=1，∵椭圆C：x2m+1+y2m=1的离心率为12，∴√m+1=12，解答m=3，∴a=2，c=1，故A正确，B错误；因为ΔPF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=4+2=6，故C正确，D错误．故选：AC．椭圆C的离心率为12，可求得m，即可判定A正确，B错误；利用ΔPF1F2的周长为|PF1|+ |PF2|+|F1F2|=2a+2c即可判定C正确，D错误．本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：正项等比数列{a n}的前n项和为S n，公比为q，S2=1，S6=91，∴{a1(1−q2)1−q=1a1(1−q6)1−q=91，且q>0，q≠1，整理得(1−q+q2)(1+q+q2)=(1+q2)2−q2=91，整理得q4+q2−90=0，由q>0，解得q=3，故C正确，D错误；∴a 1=14， S 8=14(1−38)1−3=820，故A 错误，B 正确．故选：BC ．利用正项等比数列前n 项和列方程组求出q =3，a 1=14，再求出S 8，由此能求出结果． 本题考查等比数列的运算，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】CD【解析】解：由f(x)=2lnx −x 2+m =0，得m =x 2−2lnx ， 令g(x)=x 2−2lnx ，则g′(x)=2x −2x =2(x−1)(x+1)x，∴g(x)在[1e ,1]上单调递减，在[1,e 2]上单调递增， ∵g(x)min =g(1)=1，g(1e )=1e 2+2<g(e 2)=e 2−4， ∴m 的取值范围是(1,1e 2+2]. 结合选项可知C 、D 正确， 故选：CD ．问题转化为y =m 与y =x 2−2lnx 的图象有两个交点，利用导数求g(x)=x 2−2lnx 的最值，即可求得m 的取值范围，结合选项得答案．本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】−4【解析】解：∵向量a ⃗ =(3,x)，b ⃗ =(8,6)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =24+6x =0，求得x =−4， 故答案为：−4．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得结果．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．14.【答案】10【解析】解：∵抛物线y 2=2px(p >0)上的一点P(3,y 0)到焦点F 的距离为8， ∴3+p2=8，解得p =10．故答案为：10．根据抛物线的定义可知该点到准线的距离为8，进而利用抛物线方程求得其准线方程，利用点到直线的距离求得p ；本题考查抛物线的简单性质，考查计算能力，属于基础题．15.【答案】32【解析】解：因为a >0，b >0，且a +4b =6， 所以1a +1b =(1a +1b )×16(a +4b)=16(5+4b a+a b )≥16(5+4)=32， 当且仅当4ba =ab ，即a =2，b =1时等号成立， 所以1a +1b 的最小值为32． 故答案为：32．利用“1”的代换，结合基本不等式转化求解即可．本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】√8510【解析】解：取A 1B 1的中点E ，连接DE ，EC 1， 在△A 1BB 1中，DE 为中位线，所以DE//A 1B ， ∴∠EDC 1为A 1B 与C 1D 所成的角，在△EDC 1中，ED =√172，DC 1=√5，EC 1=√32，∴cos∠EDC 1=ED 2+DC 12−EC 122ED×DC 1=174+5−342×√172×√5=√8510， 故答案为：√8510．取A 1B 1的中点E ，连接DE ，EC ，则∠EDC 1为A 1B 与C 1D 所成的角，再在△EDC 1中利用余弦定理即可求解结果．本题主要考查了异面直线所成的角，考查了余弦定理的应用，是基础题．17.【答案】解：(1)当n=1时，a1=S1=32+52=4．当n⩾2时，a n=S n−S n−1=32n2+52n−[32(n−1)2+52(n−1)]=3n+1，因为当n=1时，3×1+1=4，所以a n=3n+1．(2)因为3a n a n+1=3(3n+1)(3n+4)=13n+1−13n+4．所以T n=(14−17)+(17−110)+⋯+(13n+1−13n+4)=14−13n+4=3n12n+16．【解析】(1)由a n与S n的关系，可得通项公式，(2)利用裂项相消法求数列的和即可．本题考查数列求和，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为3bcosC=5asinA−3ccosB，所以3sinBcosC+3sinCcosB=3sin(B+C)=5sin2A，即3sinA=5sin2A，因为sin2A≠0，所以sinA=35．(2)因为a<b，所以cosA=√1−sin2A=45，因为a2=b2+c2−2bccosA，a=3，b=5，所以9=25+c2−2×5c×45，即c2−8c+16=0，所以c=4，故△ABC的面积为12bcsinA=12×5×4×35=6．【解析】(1)利用正弦定理化角，再利用两角和与差的公式化成sinA的方程，解出sinA的值；(2)利用余弦定理求出c的值，然后利用面积公式求出结果．本题考查正余弦定理与解三角形问题的常规思路，属于基础题．19.【答案】解：(1)∵函数f(x)=√3sinωx+cosωx=2sin(ωx+π6)(ω>0)图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为14×2πω=π4，∴ω=2，f(x)=2sin(2x+π6).令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，求得kπ−π3≤x≤kπ+π6，可得函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．(2)当x ∈[−π6,7π12]时，2x +π6∈[−π6,4π3]，sin(2x +π6)∈[−√32,1]，f(x)∈[−√3,2]，故函数f(x)的值域为[−√3,2]．【解析】(1)由题意利用正弦函数的图象的对称性求得ω，再根据正弦函数的增区间，得出结论．(2)由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论． 本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．20.【答案】解：(1)设双曲线方程为y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)，则{ab =√63c =√5c 2=a 2+b 2，解得{a =√2b =√3．∴双曲线C 的标准方程为y 22−x 23=1；(2)由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l ：y =kx +4，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =kx +4y 22−x 23=1，得(3k 2−2)x 2+24kx +42=0．则x 1+x 2=−24k 3k 2−2，x 1x 2=423k 2−2，∴y 1y 2=(kx 1+4)(kx 2+4)=k 2x 1x 2+4k(x 1+x 2)+16 =42k 23k 2−2−96k 23k 2−2+16=−6k 2−323k 2−2．∵原点O 在以AB 为直径的圆上，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=423k 2−2+−6k 2−323k 2−2=0， 即得k =±√153．∴直线l 的方程为y =±√153x +4．【解析】(1)设双曲线方程为y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)，由题意列关于a ，b ，c 的方程组，求得a 与b 值，则双曲线方程可求；(2)由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l ：y =kx +4，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线方程与双曲线方程，由根与系数的关系可得A 、B 的横坐标与纵坐标的乘积，结合向量数量积为0求得k 值，则直线方程可求．本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥AC ， 因为BD ⊂平面BDEF ，DE ⊂平面BDEF ，BD ∩DE =D ， 所以AC ⊥平面BDEF ，因为AC ⊂平面ACF ，所以平面ACF ⊥平面BDEF ．(2)设BD ∩AC =O ，取EF 的中点G ，连接OG ，则OG//DE ， 因为DE ⊥平面ABCD ，所以OG ⊥平面ABCD ， 由题意知OG ，AC ，BD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA ，OB ，OG 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(3,0,0)，C(−3,0,0)，E(0,−√3,3√3)，F(0,√3,√3)， AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−√3,3√3)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,−2√3)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,√3,√3)， 设平面AEF 的法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x −√3y +3√3z =0n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3y −2√3z =0，取z =1，得n ⃗ =(2,√3,√3)，设平面EFC 的法向量m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3b −2√3c =0m ⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a +√3b +√3c =0，取b =√3，得m ⃗⃗⃗ =(−2,√3,√3)，所以cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=15， ∴二面角A −EF −C 的正弦值为：√1−(15)2=2√65．【解析】(1)推导出AC ⊥BD ，DE ⊥AC ，从而AC ⊥平面BDEF ，由此能证明平面ACF ⊥平面BDEF ．(2)设BD ∩AC =O ，取EF 的中点G ，连接OG ，则OG//DE ，推导出OG ，AC ，BD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA ，OB ，OG 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −EF −C 的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：(1)因为f(x)在(0,+∞)上单调递增．所以f′(x)⩾0在(0,+∞)上恒成立．因为f′(x)=−lnxx2+a．所以−lnxx2+a⩾0.即a⩾lnxx2．则g(x)=lnxx2，则g′(x)=1−2lnxx3．由g′(x)=0，得x=√e．因为g(x)在(0,√e)上单调递增，在(√e,+∞)单调递减，所以g(x)max=g(√e)=12e，故a⩾12e，即a的取值范围是[12e,+∞),证明：(2)因为f′(x)=−lnxx2+a，所以f′(x)=0的根即直线y=a与y=lnxx2图象交点的横坐标，设x1<x2，因为f′(x)=0有两个不等实根．且当x>1时，lnxx2>0，所以x1∈(1,√e),x2∈(√e,+∞)，令F(x)=f′(x)−f′(ex )=lnex(ex)2−lnxx2=x2−x2lnxe2−lnxx2,x∈(1,√e)，则F′(x)=x(1−2lnx)e2−1−2lnxx3=(1−2lnx)(xe2−1x3)，因为x∈(1,√e)，所以1−2lnx>0．设ℎ(x)=xe2−1x3,x∈(1,√e)，因为ℎ(x)在(1,√e)上单调递增，所以ℎ(x)<ℎ(√e)=0，因为F(x)>F(√e)=0，所以f′(x)>f′(ex)因为x1∈(1,√e)，所以f′(x1)>f′(e x1)，因为f′(x1)=f′(x2)，所以f′(x2)>f′(e x1)，因为x2,e x1∈(√e,+∞)，且f′(x)在(√e,+∞)上单调递增，所以x2>e x1，即x1x2>e．【解析】(1)利用函数的单调性，求出函数的最值，即可得a的范围，(2)求出函数的两根的范围，再构造新的函数，证明即可．本题考查利用导数的研究函数的单调性，考查学生的综合能力，属于难题．。