数据结构树的有关算法

数据结构中的树与图算法教程第一章树的基本概念与遍历算法树是一种非线性数据结构，它由若干个节点组成，这些节点以层级的方式连接，形成分支的结构。

树中的一个节点被称为根节点，它没有父节点；其他节点可以有一个或多个父节点，这些节点被称为子节点。

树具有分支，但没有循环。

1.1 具体树的概念在树的结构中，每个节点可以有零个或者多个子节点，但是只能有一个父节点。

树具有层级关系，通过连接节点的边表示。

1.2 树的分类常见的树包括二叉树、二叉搜索树、红黑树等。

其中，二叉树是一种特殊的树结构，它的每个节点最多可以有两个子节点。

1.3 树的遍历算法树的遍历算法主要有前序遍历、中序遍历和后序遍历。

前序遍历是以根节点、左子树、右子树的顺序进行遍历；中序遍历是以左子树、根节点、右子树的顺序进行遍历；后序遍历是以左子树、右子树、根节点的顺序进行遍历。

第二章树的存储结构与常见应用2.1 树的存储结构树的存储结构有两种常见的实现方式，分别是链表实现和数组实现。

链表实现利用指针进行节点的连接，数组实现则使用数组的索引来表示节点之间的关系。

2.2 平衡二叉树平衡二叉树是一种自平衡的二叉搜索树，它的左右子树的高度差不超过1。

平衡二叉树的插入和删除操作都可以通过旋转操作进行平衡。

2.3 哈夫曼树哈夫曼树是一种特殊的二叉树，用于编码和解码数据。

哈夫曼树中出现频率高的字符距离根节点较近，而出现频率低的字符距离根节点较远，以实现编码的高效率。

第三章图的基本概念与遍历算法3.1 图的基本概念图是由节点和边组成的非线性数据结构。

节点表示实体，边表示节点之间的关系。

图可以分为有向图和无向图两种类型，有向图的边是有方向的，无向图的边没有方向。

3.2 图的存储结构图的存储结构有邻接矩阵和邻接表两种常见的方式。

邻接矩阵是一个二维数组，用于表示节点之间的连接关系；邻接表是由链表或者数组实现的，用于表示每个节点相邻节点的信息。

3.3 图的遍历算法图的遍历算法主要有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

数据结构树知识点总结图一、树的定义树是一种抽象的数据结构，它是由n（n≥0）个节点组成的有限集合，其中一个节点被指定为根节点，其他节点被划分为m（m≥0）个互不相交的子集T1、T2、...、Tm，每个子集本身又是一棵树。

树的定义可以用递归方式来描述，即树是由一个根节点和若干颗子树组成的。

其中，根节点没有父节点，每个子树的根节点都是父节点的孩子节点。

二、树的特点1. 树是一种层次结构：树中的节点可以分层次地组织，也就是包含父子关系。

根节点是树的第一层，它的子节点是树的第二层，以此类推。

2. 树是一种非线性结构：树中的节点之间的关系是非线性的，每个节点可以有多个子节点，但只有一个父节点。

3. 树是一种递归结构：树的定义中包含了对子树的定义，因此树是一种递归结构，通过递归的方式可以方便地对树进行操作。

4. 树是一种有序结构：树中的节点之间存在明确定义的顺序关系，因此可以用来表示有序集合。

三、树的基本操作1. 树的创建：创建一棵树需要先创建根节点，然后在根节点上添加子节点，逐层递归地创建子树。

2. 树的遍历：树的遍历是指按照一定顺序访问树中的每个节点，常见的遍历方式包括前序遍历、中序遍历、后序遍历和层序遍历。

3. 树的查找：树的查找是指在树中查找指定的节点，包括广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）两种方式。

4. 树的插入：树的插入是指将新节点插入到树中的指定位置，可以在根节点或指定节点的子节点上进行插入操作。

5. 树的删除：树的删除是指将指定节点从树中删除，可以删除叶子节点、中间节点或整棵子树。

6. 树的修改：树的修改是指对树中的节点进行数值或结构的改变，包括修改节点的值、替换子树等操作。

四、常见类型的树1. 二叉树（Binary Tree）：每个节点最多含有两个子节点的树，包括普通二叉树、满二叉树和完全二叉树等。

2. 平衡二叉树（Balanced Binary Tree）：每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1的二叉树。

《数据结构》树的基本操作数据结构是计算机科学中的重要概念，它是指在计算机内存中组织数据的方式。

树是一种重要的数据结构，它具有层次结构和非线性的特点。

树的基本操作包括插入、删除、和遍历。

本文将详细介绍树的基本操作。

首先，我们先了解一下树的基本概念。

树由节点和边组成，每个节点可以有多个子节点，但每个子节点只能有一个父节点。

树有一个根节点，根节点没有父节点。

除了根节点之外，每个节点都有且仅有一个父节点。

节点之间的连接称为边。

树的基本操作之一是插入操作。

插入操作是指在树中添加新节点的过程。

要插入一个节点，需要找到它的父节点，然后将父节点的子节点指针指向新节点。

插入操作的时间复杂度为O(1)，因为它只需要修改指针。

另一个基本操作是删除操作。

删除操作是指将一个节点及其所有子节点从树中移除的过程。

要删除一个节点，需要找到它的父节点，然后将父节点的子节点指针指向它的子节点。

删除操作的时间复杂度取决于树的结构，通常为O(logn)到O(n)之间。

操作是树的另一个重要操作。

操作是指在树中查找一个特定节点的过程。

要一个节点，可以使用深度优先（DFS）或广度优先（BFS）算法。

DFS通过递归地遍历树的子节点，找到与目标节点相同的节点。

BFS通过遍历树的层次结构，逐层地目标节点。

操作的时间复杂度取决于树的深度，通常为O(logn)到O(n)之间。

最后，树的遍历操作是指按照一定顺序访问树中的所有节点。

常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。

前序遍历先访问根节点，然后递归地遍历左子树和右子树。

中序遍历先递归地遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树。

后序遍历先递归地遍历左子树和右子树，最后访问根节点。

树的遍历操作的时间复杂度为O(n)，其中n是树的节点数。

综上所述，树的基本操作包括插入、删除、和遍历。

这些操作在解决各种实际问题和算法中起着重要的作用。

掌握了树的基本操作，可以更好地理解和应用数据结构和算法。

同时，对于日常编程工作和面试准备也是非常有帮助的。

数据库技术知识数据结构的算法对于将要参加计算机等级考试的考生来说，计算机等级考试的知识点辅导是非常重要的复习资料。

以下是收集的数据库技术知识数据结构的算法，希望大家认真阅读!1、数据：数据的基本单位是数据元素。

数据元素可由一个或多个数据项组成。

数据项是数据的不可分割的最小单位2、数据结构：数据的逻辑结构、数据的存储结构、数据的运算3、主要的数据存储方式：顺序存储结构(逻辑和物理相邻，存储密度大)和链式存储结构顺序存储结构：顺序存储计算公式Li=L0+(i-1)×K顺序结构可以进行随机存取;插人、删除运算会引起相应节点的大量移动链式存储结构：a、指针域可以有多个，可以指向空，比比顺序存储结构的存储密度小b、逻辑上相邻的节点物理上不一定相邻。

c、插人、删除等不需要大量移动节点4、顺序表：一般情况下，若长度为n的顺序表，在任何位置插入或删除的概率相等，元素移动的平均次数为n/2(插入)和(n-1)/2(删除)。

5、链表：线性链表(单链表和双向链表等等)和非线性链表线性链表也称为单链表，其每个一节点中只包含一个指针域，双链表中，每个节点中设置有两个指针域。

(注意结点的插入和删除操作)6、栈：“后进先出”(LIFO)表。

栈的应用：表达式求解、二叉树对称序周游、快速排序算法、递归过程的实现等7、队列：“先进先出”线性表。

应用：树的层次遍历8、串：由零个或多个字符组成的有限序列。

9、多维数组的顺序存储：10、稀疏矩阵的存储：下三角矩阵顺序存储其他常见的存储方法还有三元组法和十字链表法11、广义表：由零个或多个单元素或子表所组成的有限序列。

广义表的元素可以是子表，而子表的元素还可以是子表12、树型结构：非线性结构。

常用的树型结构有树和二叉树。

二叉树与树的区别：二叉树不是树的特殊情况，树和二叉树之间最主要的区别是：二叉树的节点的子树要区分左子树和右子树，即使在节点只有一棵子树的情况下也要明确指出该子树是左子树还是右子树。

数据结构最基础的十大算法数据结构是计算机科学中的重要分支，它研究如何组织和存储数据以便于访问和修改。

在数据结构中，算法是解决问题的关键。

下面将介绍数据结构中最基础的十大算法。

1. 线性搜索算法线性搜索算法是最简单的算法之一，它的作用是在一个列表中查找一个特定的元素。

该算法的时间复杂度为O(n)，其中n是列表中元素的数量。

2. 二分搜索算法二分搜索算法是一种更高效的搜索算法，它的时间复杂度为O(log n)。

该算法要求列表必须是有序的，它通过将列表分成两半来查找元素，直到找到目标元素为止。

3. 冒泡排序算法冒泡排序算法是一种简单的排序算法，它的时间复杂度为O(n^2)。

该算法通过比较相邻的元素并交换它们的位置来排序列表。

4. 快速排序算法快速排序算法是一种更高效的排序算法，它的时间复杂度为O(nlog n)。

该算法通过选择一个基准元素并将列表分成两部分来排序列表。

5. 插入排序算法插入排序算法是一种简单的排序算法，它的时间复杂度为O(n^2)。

该算法通过将每个元素插入到已排序的列表中来排序列表。

6. 选择排序算法选择排序算法是一种简单的排序算法，它的时间复杂度为O(n^2)。

该算法通过选择最小的元素并将其放在列表的开头来排序列表。

7. 堆排序算法堆排序算法是一种更高效的排序算法，它的时间复杂度为O(n log n)。

该算法通过将列表转换为堆并进行排序来排序列表。

8. 归并排序算法归并排序算法是一种更高效的排序算法，它的时间复杂度为O(n log n)。

该算法通过将列表分成两部分并将它们合并来排序列表。

9. 哈希表算法哈希表算法是一种高效的数据结构，它的时间复杂度为O(1)。

该算法通过将键映射到哈希表中的位置来存储和访问值。

10. 树算法树算法是一种重要的数据结构，它的时间复杂度取决于树的深度。

树算法包括二叉树、AVL树、红黑树等。

以上是数据结构中最基础的十大算法，它们在计算机科学中有着广泛的应用。

数据结构树的实验报告数据结构树的实验报告一、引言数据结构是计算机科学中的重要概念，它可以帮助我们组织和管理数据，提高程序的效率和性能。

而树作为一种常见的数据结构，具有广泛的应用。

本实验旨在通过实践操作，深入理解树的基本概念、特性和操作。

二、实验目的1. 掌握树的基本概念和特性；2. 熟悉树的基本操作，如插入、删除、查找等；3. 理解树的遍历算法，包括前序、中序和后序遍历；4. 实现树的基本功能，并验证其正确性和效率。

三、实验过程1. 构建树的数据结构首先，我们需要定义树的数据结构。

树由节点组成，每个节点可以有零个或多个子节点。

我们可以使用面向对象的思想，创建一个节点类和树类。

节点类包含节点值和子节点列表的属性，以及插入、删除子节点等操作的方法。

树类则包含根节点的属性和遍历方法等。

2. 插入和删除节点在树中插入和删除节点是常见的操作。

插入节点时，我们需要找到合适的位置，并将新节点作为子节点添加到相应的位置。

删除节点时，我们需要考虑节点的子节点和兄弟节点的关系，并进行相应的调整。

通过实现这两个操作，我们可以更好地理解树的结构和特性。

3. 查找节点树中的节点可以通过值进行查找。

我们可以使用递归或迭代的方式，在树中进行深度优先或广度优先的搜索。

在查找过程中，我们需要注意节点的存在性和唯一性，以及查找算法的效率。

4. 树的遍历树的遍历是指按照一定的顺序访问树中的所有节点。

常见的遍历方式有前序、中序和后序遍历。

前序遍历先访问根节点，然后递归地访问左子树和右子树；中序遍历先递归地访问左子树，然后访问根节点，最后访问右子树；后序遍历先递归地访问左子树和右子树，最后访问根节点。

通过实现这三种遍历算法，我们可以更好地理解树的结构和遍历过程。

五、实验结果与分析通过实验，我们成功地实现了树的基本功能，并验证了其正确性和效率。

我们可以通过插入和删除节点操作，构建出不同形态的树，并进行查找和遍历操作。

在插入和删除节点时，树的结构会发生相应的变化，但其基本特性仍然保持不变。

数据结构与算法系列研究五——树、⼆叉树、三叉树、平衡排序⼆叉树AVL树、⼆叉树、三叉树、平衡排序⼆叉树AVL⼀、树的定义树是计算机算法最重要的⾮线性结构。

树中每个数据元素⾄多有⼀个直接前驱，但可以有多个直接后继。

树是⼀种以分⽀关系定义的层次结构。

a.树是n(≥0)结点组成的有限集合。

{N.沃恩}(树是n(n≥1)个结点组成的有限集合。

{D.E.Knuth})在任意⼀棵⾮空树中：⑴有且仅有⼀个没有前驱的结点----根(root)。

⑵当n>1时，其余结点有且仅有⼀个直接前驱。

⑶所有结点都可以有0个或多个后继。

b. 树是n(n≥0)个结点组成的有限集合。

在任意⼀棵⾮空树中：⑴有⼀个特定的称为根（root）的结点。

⑵当n>1时，其余结点分为ｍ（ｍ≥0）个互不相交的⼦集T1，T2，…，Tm。

每个集合本⾝⼜是⼀棵树，并且称为根的⼦树（subtree）树的固有特性---递归性。

即⾮空树是由若⼲棵⼦树组成，⽽⼦树⼜可以由若⼲棵更⼩的⼦树组成。

树的基本操作1、InitTree(&T) 初始化2、DestroyTree(&T) 撤消树3、CreatTree(&T,F) 按F的定义⽣成树4、ClearTree(&T) 清除5、TreeEmpty(T) 判树空6、TreeDepth(T) 求树的深度7、Root(T) 返回根结点8、Parent(T,x) 返回结点 x 的双亲9、Child(T,x,i) 返回结点 x 的第i 个孩⼦10、InsertChild(&T,&p,i,x) 把 x 插⼊到 P的第i棵⼦树处11、DeleteChild(&T,&p,i) 删除结点P的第i棵⼦树12、traverse(T) 遍历树的结点：包含⼀个数据元素及若⼲指向⼦树的分⽀。

●结点的度: 结点拥有⼦树的数⽬●叶结点: 度为零的结点●分枝结点: 度⾮零的结点●树的度: 树中各结点度的最⼤值●孩⼦: 树中某个结点的⼦树的根●双亲: 结点的直接前驱●兄弟: 同⼀双亲的孩⼦互称兄弟●祖先: 从根结点到某结点j 路径上的所有结点（不包括指定结点）。

数据结构树知识点总结大全本文将对树结构的知识点进行详细的总结，包括树的基本概念、树的分类、树的遍历、树的应用以及一些相关的算法和数据结构。

通过本文的学习，读者将对树结构有一个全面的了解，并可以在实际的编程和问题解决中灵活运用树结构。

一、树的基本概念1.1 节点和边1.2 根节点、叶子节点和内部节点1.3 子树和森林1.4 高度和深度1.5 有序树和无序树1.6 二叉树二、树的分类2.1 二叉搜索树2.2 平衡二叉树2.3 B树和B+树2.4 红黑树2.5 AVL树2.6 Trie树2.7 堆和堆排序2.8 Huffman树2.9 伸展树2.10 Splay树三、树的遍历3.1 深度优先遍历3.1.1 前序遍历3.1.2 中序遍历3.1.3 后序遍历3.2 广度优先遍历四、树的应用4.1 数据库索引4.2 文件系统4.3 图形学中的场景图4.4 解析树4.5 代码优化4.6 线段树4.7 树状数组4.8 字典树4.9 贝叶斯分类器中的朴素贝叶斯算法五、树的相关算法和数据结构5.1 查找5.1.1 二叉搜索树的插入和删除5.1.2 二叉搜索树的查找5.1.3 递归查找和非递归查找5.2 排序5.2.1 二叉搜索树的中序遍历5.2.2 堆排序5.2.3 AVL树的平衡调整5.2.4 红黑树的插入和删除5.3 最短路径5.3.1 二叉堆的应用5.3.2 AVL树的应用5.4 动态规划5.4.1 线段树的应用5.4.2 树状数组的应用六、结语树结构是数据结构中非常重要的一部分，它有着广泛的应用领域。

通过本文的学习，读者可以对树结构有一个全面的了解，并可以在实际的编程和问题解决中灵活运用树结构。

希望本文对读者有所帮助，也希望读者可以通过学习树结构，提高自己在算法和数据结构方面的能力，为未来的编程之路打下坚实的基础。

考研数据结构图的必背算法及知识点Prepared on 22 November 20201.最小生成树：无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树问题背景：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。

这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。

在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。

n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢分析问题（建立模型）：可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。

对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。

即无向连通图的生成树不是唯一的。

连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。

图G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示：G5G5的三棵生成树：可以证明，对于有n个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n－1条边。

最小生成树的定义：如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小生成树，简称为最小生成树。

最小生成树的性质：假设N=(V,{E})是个连通网，U是顶点集合V的一个非空子集，若（u,v）是个一条具有最小权值(代价)的边，其中，则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。

解决方案：两种常用的构造最小生成树的算法：普里姆（Prim）和克鲁斯卡尔（Kruskal）。

他们都利用了最小生成树的性质1.普里姆（Prim）算法：有线到点，适合边稠密。

时间复杂度O(N^2)假设G＝（V，E）为连通图，其中V为网图中所有顶点的集合，E为网图中所有带权边的集合。

四叉树的算法原理四叉树是一种用于解决二维空间数据存储和查询问题的数据结构。

它将空间划分为四个象限，并将数据递归地存储在每个象限中。

四叉树的算法原理包括构建四叉树、查询和插入数据、删除数据等。

四叉树的构建过程是将二维空间不断地划分为四个象限，直到满足某个停止条件。

首先，将整个二维空间看作一个正方形，将其划分为四个等大小的象限。

然后，对于每个象限，如果象限内的数据点个数超过了某个阈值，再对该象限进行进一步的划分；如果未超过阈值，则将数据点存储在该象限中。

如此反复进行，直到达到停止条件，即每个象限内的数据点个数都不超过阈值或达到了最大的划分层数。

在查询数据时，首先将查询范围划分为四个象限，并与四叉树的四个象限进行比较。

如果查询范围与某个象限完全重合，则返回该象限内的所有数据点。

如果查询范围与某个象限不重合，则不需要继续向该象限的子象限进行查询。

如果查询范围与某个象限部分重合，则需要继续向该象限的子象限进行递归查询。

在插入数据时，首先将数据点与四叉树的根节点进行比较。

如果数据点在根节点所占据的范围内，则将数据点插入该节点中。

如果数据点在某个子象限的范围内，则继续递归地将数据点插入该子象限中。

如果数据点不在任何子象限的范围内，则需要对整个四叉树进行扩展，以容纳新的数据点。

在删除数据时，同样需要根据数据点的位置，递归地进行搜索，并将数据点从相应的节点中删除。

如果节点中没有其他数据点，则可以将该节点及其子节点释放，以减少存储空间的占用。

四叉树的优势在于其可以高效地处理空间数据的存储和查询问题。

它可以将二维空间划分为各个象限，并将数据点存储在相应的象限中，从而可以方便地进行数据查询和范围查询。

四叉树还可以应用于多个领域，如计算机图形学、GIS（地理信息系统）等，用于处理地理数据和图像数据。

然而，四叉树也存在一些局限性。

首先，四叉树只适用于二维空间数据的存储和查询，对于更高维度的数据，需要使用其他的数据结构。

其次，四叉树的构建和维护时的时间复杂度较高，特别是当数据点的分布不平衡或分布非常集中时，容易导致四叉树的深度较大，影响操作的效率。

大数据数据结构和算法_树2_AVL树部分AVL树是一种自平衡二叉树，它的特点是每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1、AVL树的平衡是通过旋转操作来实现的，这样可以保证树的高度始终在O(log n)的范围内。

AVL树的平衡是通过对节点进行四种旋转操作来实现的：LL、LR、RR、RL旋转。

LL旋转是指当一个节点的左子树的高度大于右子树的高度，并且左子树的左子树高度大于左子树的右子树高度时，需要进行LL旋转。

LL旋转是将当前节点的左子节点提升为根节点，然后将原根节点降为右子节点。

LR旋转是指当一个节点的左子树的高度大于右子树的高度，并且左子树的右子树高度大于左子树的左子树高度时，需要进行LR旋转。

LR旋转是先对当前节点的左子节点进行RR旋转，然后再对当前节点进行LL旋转。

RR旋转是指当一个节点的右子树的高度大于左子树的高度，并且右子树的右子树高度大于右子树的左子树高度时，需要进行RR旋转。

RR旋转是将当前节点的右子节点提升为根节点，然后将原根节点降为左子节点。

RL旋转是指当一个节点的右子树的高度大于左子树的高度，并且右子树的左子树高度大于右子树的右子树高度时，需要进行RL旋转。

RL旋转是先对当前节点的右子节点进行LL旋转，然后再对当前节点进行RR旋转。

AVL树的插入操作和二叉树的插入操作类似，都是先找到插入位置，然后将新节点插入到相应位置。

不同的是，在插入节点之后，需要向上回溯检查每个祖先节点的平衡因子。

如果一些祖先节点的平衡因子超过了1或者小于了-1，就需要进行相应的旋转操作，以恢复平衡。

AVL树的删除操作也和二叉树的删除操作类似，都是先找到要删除的节点，然后根据节点的情况进行删除。

删除节点之后，需要向上回溯检查每个祖先节点的平衡因子，进行相应的旋转操作以恢复平衡。

AVL树的优点是能够维护树的平衡性，使得在最坏情况下的、插入和删除操作的时间复杂度都是O(log n)。

然而，AVL树的缺点是在插入和删除操作中需要进行旋转操作，这会增加一定的时间开销。

树和图数据结构中的非线性结构在计算机科学中，数据结构是指数据元素之间的关系，以及对这些数据元素进行操作的规则。

数据结构可以分为线性结构和非线性结构两大类。

在非线性结构中，树和图是两种重要的数据结构，它们在实际应用中起着至关重要的作用。

本文将重点介绍树和图数据结构中的非线性结构，探讨它们的特点、应用以及相关算法。

### 树(Tree)数据结构树是一种重要的非线性数据结构，它由若干个节点组成，这些节点之间通过边相连。

树的一个节点被称为根节点，除根节点外的其他节点被分为若干个互不相交的子树。

树的每个节点可以有零个或多个子节点，而每个子节点也可以有自己的子节点，以此类推。

树的节点之间的关系是一对多的关系。

树的特点包括以下几点：1. 树中的每个节点都有唯一的父节点，除了根节点外；2. 树中不存在环路，即任意两个节点之间只有一条路径相连；3. 树中的节点之间是有序的，即每个节点的子节点之间是有顺序的。

树的应用非常广泛，例如在操作系统中的文件系统、数据库系统中的索引结构、网络中的路由算法等都会用到树结构。

常见的树结构包括二叉树、二叉搜索树、平衡二叉树等。

树的遍历算法有前序遍历、中序遍历和后序遍历等，这些算法在树的操作和应用中起着重要作用。

### 图(Graph)数据结构图是另一种重要的非线性数据结构，它由节点（顶点）和边组成。

图中的节点可以是任意对象，而边则表示节点之间的关系。

根据边的不同特性，图可以分为有向图和无向图。

在有向图中，边是有方向的，而在无向图中，边是没有方向的。

图的特点包括以下几点：1. 图中的节点之间可以有任意多条边相连，即节点之间的关系是多对多的关系；2. 图中可能存在环路，即节点之间可以通过若干条边形成环路；3. 图中的边可以带有权重，表示节点之间的距离或者代价。

图在实际应用中有着广泛的应用，例如社交网络中的好友关系、地图导航中的路径规划、电路设计中的连通性分析等都可以用图来建模和解决。

数据结构中各种树阅读⽬录 数据结构中有很多树的结构，其中包括⼆叉树、⼆叉搜索树、2-3树、红⿊树等等。

本⽂中对数据结构中常见的⼏种树的概念和⽤途进⾏了汇总，不求严格精准，但求简单易懂。

1. ⼆叉树 ⼆叉树是数据结构中⼀种重要的数据结构，也是树表家族最为基础的结构。

⼆叉树的定义：⼆叉树的每个结点⾄多只有⼆棵⼦树(不存在度⼤于2的结点)，⼆叉树的⼦树有左右之分，次序不能颠倒。

⼆叉树的第i层⾄多有2i-1个结点；深度为k的⼆叉树⾄多有2k-1个结点；对任何⼀棵⼆叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。

⼆叉树的⽰例：满⼆叉树和完全⼆叉树： 满⼆叉树：除最后⼀层⽆任何⼦节点外，每⼀层上的所有结点都有两个⼦结点。

也可以这样理解，除叶⼦结点外的所有结点均有两个⼦结点。

节点数达到最⼤值，所有叶⼦结点必须在同⼀层上。

满⼆叉树的性质： 1) ⼀颗树深度为h，最⼤层数为k，深度与最⼤层数相同，k=h; 2) 叶⼦数为2h; 3) 第k层的结点数是：2k-1; 4) 总结点数是：2k-1，且总节点数⼀定是奇数。

完全⼆叉树：若设⼆叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～(h-1)层) 的结点数都达到最⼤个数，第h层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全⼆叉树。

注：完全⼆叉树是效率很⾼的数据结构，堆是⼀种完全⼆叉树或者近似完全⼆叉树，所以效率极⾼，像⼗分常⽤的排序算法、Dijkstra算法、Prim算法等都要⽤堆才能优化，⼆叉排序树的效率也要借助平衡性来提⾼，⽽平衡性基于完全⼆叉树。

⼆叉树的性质：1) 在⾮空⼆叉树中，第i层的结点总数不超过2i-1, i>=1; 2) 深度为h的⼆叉树最多有2h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点; 3) 对于任意⼀棵⼆叉树，如果其叶结点数为N0，⽽度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1; 4) 具有n个结点的完全⼆叉树的深度为log2(n+1); 5)有N个结点的完全⼆叉树各结点如果⽤顺序⽅式存储，则结点之间有如下关系： 若I为结点编号则如果I>1，则其⽗结点的编号为I/2； 如果2I<=N，则其左⼉⼦（即左⼦树的根结点）的编号为2I；若2I>N，则⽆左⼉⼦； 如果2I+1<=N，则其右⼉⼦的结点编号为2I+1；若2I+1>N，则⽆右⼉⼦。

数据结构算法背诵一、线性表1. 逆转顺序表中的所有元素算法思想：第一个元素和最后一个元素对调，第二个元素和倒数第二个元素对调，……，依此类推。

void Reverse(int A[], int n){int i, t;for (i=0; i < n/2; i++){t = A[i];A[i] = A[n-i-1];A[n-i-1] = t;}}2. 删除线性链表中数据域为item 的所有结点算法思想：先从链表的第2 个结点开始，从前往后依次判断链表中的所有结点是否满足条件，若某个结点的数据域为item，则删除该结点。

最后再回过头来判断链表中的第1 个结点是否满足条件，若满足则将其删除。

void PurgeItem(LinkList &list){LinkList p, q = list;p = list->next;while (p != NULL){if (p->data == item) {q->next = p->next;free(p);p = q->next;} else {q = p;p = p->next;}}if (list->data == item){q = list;list = list->next;free(q);}}3. 逆转线性链表void Reverse(LinkList &list){LinkList p, q, r;p = list;q = NULL;while (p != NULL){r = q;q = p;p = p->next;q->next = r;}list = q;}4. 复制线性链表（递归）LinkList Copy(LinkList lista){LinkList listb;if (lista == NULL)return NULL;else {listb = (LinkList)malloc(sizeof(LNode));listb->data = lista->data;listb->next = Copy(lista->next);return listb;}}5. 将两个按值有序排列的非空线性链表合并为一个按值有序的线性链表LinkList MergeList(LinkList lista, LinkList listb){LinkList listc, p = lista, q = listb, r;// listc 指向lista 和listb 所指结点中较小者if (lista->data <= listb->data) {listc = lista;r = lista;p = lista->next;} else {listc = listb;r = listb;q = listb->next;}while (p != NULL && q != NULL)if (p->data <= q->data) {r->next = p;r = p;p = p->next;} else {r->next = q;r = q;q = q->next;}}// 将剩余结点（即未参加比较的且已按升序排列的结点）链接到整个链表后面r->next = (p != NULL) ? p : q;return listc;}3二、树1. 二叉树的先序遍历（非递归算法）算法思想：若p 所指结点不为空，则访问该结点，然后将该结点的地址入栈，然后再将p 指向其左孩子结点；若p 所指向的结点为空，则从堆栈中退出栈顶元素（某个结点的地址），将p 指向其右孩子结点。

数据结构与算法：哈夫曼树哈夫曼树给定N个权值作为N个叶⼦结点，构造⼀棵⼆叉树，若该树的带权路径长度达到最⼩，称这样的⼆叉树为最优⼆叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。

哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较⼤的结点离根较近。

重要概念路径：从⼀个节点到它往下可以达到的节点所经shu过的所有节点，称为两个节点之间的路径路径长度：即两个节点的层级差，如A节点在第⼀层，B节点在第四层，那它们之间的路径长度为4-1=3权重值：为树中的每个节点设置⼀个有某种含义的数值，称为权重值(Weight)，权重值在不同算法中可以起到不同的作⽤节点的带权路径长度：从根节点到该节点的路径长度与该节点权重值的乘积树的带权路径长度：所有叶⼦节点的带权路径长度之和，也简称为WPL哈夫曼树判断判断⼀棵树是不是哈夫曼树只要判断该树的结构是否构成最短带权路径。

在下图中3棵同样叶⼦节点的树中带权路径最短的是右侧的树，所以右侧的树就是哈夫曼树。

代码实现案例：将数组{13,7,8,3,29,6,1}转换成⼀棵哈夫曼树思路分析：从哈夫曼树的概念中可以看出，要组成哈夫曼树，权值越⼤的节点必须越靠近根节点，所以在组成哈夫曼树时，应该由最⼩权值的节点开始。

步骤：(1) 将数组转换成节点，并将这些节点由⼩到⼤进⾏排序存放在集合中(2) 从节点集合中取出权值最⼩的两个节点，以这两个节点为⼦节点创建⼀棵⼆叉树，它们的⽗节点权值就是它们的权值之和(3) 从节点集合中删除取出的两个节点，并将它们组成的⽗节点添加进节点集合中，跳到步骤(2)直到节点集合中只剩⼀个节点public class HuffmanTreeDemo {public static void main(String[] args) {int array[] = {13,7,8,3,29,6,1};HuffmanTree huffmanTree = new HuffmanTree();Node root = huffmanTree.create(array);huffmanTree.preOrder(root);}}//哈夫曼树class HuffmanTree{public void preOrder(Node root){if (root == null){System.out.println("哈夫曼树为空，⽆法遍历");return;}root.preOrder();}/*** 创建哈夫曼树* @param array 各节点的权值⼤⼩* @return*/public Node create(int array[]){//先将传⼊的各权值转成节点并添加到集合中List<Node> nodes = new ArrayList<>();for (int value : array){nodes.add(new Node(value));}/*当集合中的数组只有⼀个节点时,即集合内所有节点已经组合完成，剩下的唯⼀⼀个节点即是哈夫曼树的根节点*/while (nodes.size() > 1){//将节点集合从⼩到⼤进⾏排序//注意：如果在节点类没有实现Comparable接⼝，则⽆法使⽤Collections.sort(nodes);//在集合内取出权值最⼩的两个节点Node leftNode = nodes.get(0);Node rightNode = nodes.get(1);//以这两个节点创建⼀个新的⼆叉树，它们的⽗节点的权值即是它们的权值之和Node parent = new Node(leftNode.weight + rightNode.weight);parent.left = leftNode;parent.right = rightNode;//再从集合中删除已经组合成⼆叉树的俩个节点，并把它们俩个的⽗节点加⼊到集合中nodes.remove(leftNode);nodes.remove(rightNode);nodes.add(parent);}//返回哈夫曼树的根节点return nodes.get(0);}}//因为要在节点的集合内，以节点的权值value，从⼩到⼤进⾏排序，所以要实现Comparable<>接⼝class Node implements Comparable<Node>{int weight;//节点的权值Node left;Node right;public Node(int weight) {this.weight = weight;}public void preOrder(){System.out.println(this);if (this.left != null){this.left.preOrder();}if (this.right != null){this.right.preOrder();}}@Overridepublic String toString() {return "Node{" +"weight=" + weight +'}';}@Overridepublic int compareTo(Node o) {return this.weight - o.weight;}}哈夫曼编码定长编码固定长度编码⼀种⼆进制信息的信道编码。

数据结构中的树、图、查找、排序在计算机科学中，数据结构是组织和存储数据的方式，以便能够有效地对数据进行操作和处理。

其中，树、图、查找和排序是非常重要的概念，它们在各种算法和应用中都有着广泛的应用。

让我们先来谈谈树。

树是一种分层的数据结构，就像是一棵倒立的树，有一个根节点，然后从根节点向下延伸出许多分支节点。

比如一个家族的族谱，就可以用树的结构来表示。

最上面的祖先就是根节点，他们的后代就是分支节点。

在编程中，二叉树是一种常见的树结构。

二叉树的每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它具有特定的性质，即左子树中的所有节点值都小于根节点的值，而右子树中的所有节点值都大于根节点的值。

这使得在二叉搜索树中查找一个特定的值变得非常高效。

二叉搜索树的插入和删除操作也相对简单。

插入时，通过比较要插入的值与当前节点的值，确定往左子树还是右子树移动，直到找到合适的位置插入新节点。

删除节点则稍微复杂一些，如果要删除的节点没有子节点，直接删除即可；如果有一个子节点，用子节点替换被删除的节点；如果有两个子节点，通常会找到右子树中的最小节点来替换要删除的节点，然后再删除那个最小节点。

接下来，我们聊聊图。

图是由顶点（也称为节点）和边组成的数据结构。

顶点代表对象，边则表示顶点之间的关系。

比如，社交网络中的用户可以看作顶点，用户之间的好友关系就是边。

图可以分为有向图和无向图。

有向图中的边是有方向的，就像单行道；无向图的边没有方向，就像双向车道。

图的存储方式有邻接矩阵和邻接表等。

邻接矩阵用一个二维数组来表示顶点之间的关系，如果两个顶点之间有边，对应的数组元素为 1，否则为 0。

邻接表则是为每个顶点建立一个链表，链表中存储与该顶点相邻的顶点。

图的遍历是图算法中的重要操作，常见的有深度优先遍历和广度优先遍历。

深度优先遍历就像是沿着一条路一直走到底，然后再回头找其他路；广度优先遍历则是先访问距离起始顶点近的顶点，再逐步扩展到更远的顶点。