高考数学140分必读之把关题解析30讲(12)

数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．2024年高考数学专项复习数列中的奇偶项问题（微专题）（解析版）2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.4(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 3=5,S 9=81，数列{b n }满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n a n +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .5(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．2【2020年新课标1卷文科】数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1，前16项和为540，则a1=1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n}是正项等比数列，满足a3是2a1、3a2的等差中项，a4=16．(1)求数列{a n}的通项公式；log，求数列{b n}的前n项和T n．(2)若b n=-1n⋅2a2n+12【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.n n+13(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.2(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n前n项和满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n的通项公式；和数列b n(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.【解析】【小问1详解】∵na n+1-n+1a n=1,∴a n+1n+1-a nn=1n-1n+1,a n+1+1n+1=a n+1n，所以a n+1n是常数列，即a n+1n=a1+11=3,∴a n=3n-1；【小问2详解】由(1)知，a n是首项为2，公差为3等差数列，由题意得b2n-1=a2n-1=6n-4，b2n=2a2n+1=12n+4，设数列b2n-1，b2n的前50项和分别为T1，T2，所以T1=50b1+b992=25×298=7450，T2=50×b2+b1002=25×620=15500，所以b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950；综上，a n=3n-1，b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．【答案】(1)证明见详解(2)S2n=2n-1n19+n34n+3【详解】(1)当n=1时，可得a1=1，当n≥2时，由a1+3a2+⋯+2n-1a n=n，则a1+3a2+⋯+2n-3a n-1=n-1n≥2，上述两式作差可得a n=12n-1n≥2，因为a1=1满足a n=12n-1，所以a n的通项公式为a n=12n-1，所以1a n=2n-1，因为1a n-1a n-1=2n-1-2n-3=2(常数)，所以1a n是一个等差数列．(2)c n=2n-119,n为奇数12n-12n+3,n为偶数 ，所以C1+C3+⋯C2n-1=1+5+9+⋯4n-319=2n-1n19，C2+C4+⋯C2n=1413-17+17-111+⋯+14n-1-14n+3=n34n+3所以数列c n的前2n项和S2n=2n-1n19+n34n+3．2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．【答案】(1)a1=12，a2=4；1024是数列a n的第342项(2)S2n-1=4n6+3n2-5n+116【详解】(1)由a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数可得a1=12，a2=4．令2n-2=1024=210，解得：n=12为偶数，不符合题意，舍去；令3n-2=1024，解得：n=342，符合题意．因此，1024是数列a n的第342项．(2)S2n-1=a1+a2+a3+a4+⋅⋅⋅+a2n-2+a2n-1=12+4+2+10+⋅⋅⋅+6n-8+22n-3=12+2+⋅⋅⋅+22n-3+4+10+⋅⋅⋅+6n-8=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116．另解：由题意得a2n-1=22n-3，又a2n+1a2n-1=4，所以数列a2n-1是以12为首项，4为公比的等比数列．a2n=6n-2，又a2n+2-a2n=6，所以数列a2n是以4为首项，6为公差的等差数列．S2n-1为数列a2n-1的前n项和与数列a2n的前n-1项和的总和．故S2n-1=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116.3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.【答案】(1)a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)证明见解析.【详解】(1)由题意a2n+1=a2n+1=2a2n-1+1,所以a2n+1+1=2a2n-1+1,因为a1+1=2≠0,所以数列a2n-1+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以a2n-1+1=2n,即a2n-1=2n-1,而a2n=2a2n-1=2n+1-2,所以a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)方法一：由(1)得T2n=ni=11a2i-1+1a2i=32ni=112i-1=32ni=12i+1-12i-12i+1-1<32ni=12i+12i-12i+1-1=3ni=12i2i-12i+1-1=3ni=112i-1-12i+1-1=31-12n+1-1<3方法二：因为2n-1≥2n-1n∈N*,所以T2n=∑ni=11a2i-1+1a2i=32∑n i=112i-1≤32∑n i=112i-1=31-12n<34(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5,S9=81，数列{b n}满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n an +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =2n -1,b n =3n (2)T 2n =3⋅9n 8-116n +12-724【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=5S 9=81 ，即a 1+2d =59a 1+9×82d =81 ，∴a 1=1,d =2，∴a n =2n -1.∵a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3，①∴a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n -1b n -1=n -2 ⋅3n +3n ≥2 ，②所以①-②得，a n b n =2n -1 ⋅3n ，∴b n =3n n ≥2 .当n =1时，a 1b 1=3,b 1=3，符合b n =3n .∴b n =3n .(2)T 2n =c 1+c 2+c 3+⋯+c 2n ，依题有：T 2n =b 1+b 3+⋯+b 2n -1 +1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2.记T 奇=b 1+b 3+⋯+b 2n -1，则T 奇=3(1-32n )1-32=32n +1-38.记T 偶=1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2，则T 偶=12d 1a 2-1a 4 +1a 4-1a 6 +⋯+1a 2n -1a 2n +2=12d 1a 2-1a 2n +2=1413-14n +3 .所以T 2n =32n +1-38+1413-14n +3 =3⋅9n 8-116n +12-7245(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =3n (2)T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数【详解】(1)因为a n 是等比数列，公比为q ≠-1，则a 4=a 1q 3,a 5=a 1q 4，a 7=a 1q 6,a 8=a 1q 7，所以a 4+a 5a 7+a 8=a 1q 3+a 1q 4a 1q 6+a 1q 7=1q 3=127，解得q =3，由S 4=a 3+93，可得a 11-34 1-3=9a 1+93，解得a 1=3，所以数列a n 的通项公式为a n =3n ．(2)由(1)得b n =-n ,n 为奇数3n ,n 为偶数，当n 为偶数时，T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n =b 1+b 3+⋅⋅⋅+b n -1 +b 2+b 4+⋅⋅⋅+b n =-1+3+⋅⋅⋅+n -1 +32+34+⋅⋅⋅+3n=-n2⋅1+n -12×+91-9n 21-9=983n -1 -n 24；当n 为奇数时T n =T n +1-b n +1=983n +1-1 -n +1 24-3n +1=18×3n +1-98-n +1 24；综上所述：T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数.题型二、含有(-1)n 类型2【2020年新课标1卷文科】数列{a n }满足a n +2+(-1)n a n =3n -1，前16项和为540，则a 1=【答案】7【解析】a n +2+(-1)n a n =3n -1，当n 为奇数时，a n +2=a n +3n -1；当n 为偶数时，a n +2+a n =3n -1.设数列a n 的前n 项和为S n ，S 16=a 1+a 2+a 3+a 4+⋯+a 16=a 1+a 3+a 5⋯+a 15+(a 2+a 4)+⋯(a 14+a 16)=a 1+(a 1+2)+(a 1+10)+(a 1+24)+(a 1+44)+(a 1+70)+(a 1+102)+(a 1+140)+(5+17+29+41)=8a 1+392+92=8a 1+484=540，∴a 1=7.故答案为：7.1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1、3a 2的等差中项，a 4=16．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =-1 n ⋅2a 2n +1log ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3是2a 1、3a 2的等差中项，所以2a 3=2a 1+3a 2，即2a 1q 2=2a 1+3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2-3q -2=0，解得q =2或q =-12，因为数列{a n }是正项等比数列，所以q =2．因为a 4=16，即a 4=a 1q 3=8a 1=16，解得a 1=2，所以a n =2×2n -1=2n ；(2)解法一：(分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，①若n 为偶数，T n =-3+5-7+9-⋯-2n -1 +2n +1 =-3+5 +-7+9 +⋯+-2n -1 +2n +1 =2×n2=n ；②若n 为奇数，当n ≥3时，T n =T n -1+b n =n -1-2n +1 =-n -2，当n =1时，T 1=-3适合上式，综上得T n =n ,n 为偶数-n -2,n 为奇数(或T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *)；解法二：(错位相减法)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，T n =-1 1×3+-1 2×5+-1 3×7+⋯+-1 n ⋅2n +1 ，所以-T n =-1 2×3+-1 3×5+-1 4×7+⋯+-1 n +1⋅2n +1 所以2T n =3+2[-1 2+-1 3+⋯+-1 n ]--1 n +12n +1 ，=-3+2×1--1 n -12+-1 n 2n +1 =-3+1--1 n -1+-1 n 2n +1=-2+2n +2 -1 n ，所以T n=n+1-1n-1，n∈N*2【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.【答案】(1)a n=2n-1，S n=n2；(2)T n=(-1)n n(n+1)2.【解析】【分析】(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前n项和即可；(2)根据(1)中所求即可求得b n，对n分类讨论，结合等差数列的前n项和公式，即可容易求得结果.【详解】(1)由S5=5(a1+a5)2=5×2a32=5a3=25得a3=5.又因为a5=9，所以d=a5-a32=2，则a3=a1+2d=a1+4=5，解得a1=1；故a n=2n-1，S n=n(1+2n-1)2=n2.(2)b n=(-1)n n2.当n为偶数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-1+b n=-12+22+-32+42+⋯+-(n-1)2+n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[n-(n-1)]×[n+(n-1)] =1+2+3+⋯+(n-1)+n=n(n+1)2.当n为奇数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-2+b n-1+b n=-12+22+-32+42+-(n-2)2+(n-1)2-n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[(n-1)-(n-2)]×[(n-1)+(n-2)]-n2 =1+2+3+⋯+(n-2)+(n-1)-n2=(n-1)(1+n-1)2-n2=-n(n+1)2.综上得T n=(-1)n n(n+1)2题型三、a n+a n+1类型3(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．【解析】(1)已知S n=a n2+n2+1，n∈N*当n=1时，a1=a12+2，a1=4；当n=2时，a1+a2=a22+5，a2=2，所以a1+a2=6．因为S n=a n2+n2+1①，所以S n+1=a n+12+n+12+1②．②-①得，a n+1=a n+12-a n2+n+12-n2，整理得a n+a n+1=4n+2，n∈N*，所以a n+1+a n+2-a n+a n+1=4n+1+2-4n+2=4(常数)，n∈N*，所以a n+a n+1是首项为6，公差为4的等差数列．(2)由(1)知，a n-1+a n=4n-1+2=4n-2，n∈N*，n≥2．当n为偶数时，S n=a1+a2+a3+a4+⋯+a n-1+a n=n26+4n-22=n2+n；当n为奇数时，S n=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a n-1+a n=4+n-1210+4n-22=n2+n+2．综上所述，S n=n2+n,当n为偶数时n2+n+2,当n为奇数时1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.【答案】(1)a n=n,n=2k-1,k∈Zn-1,n=2k,k∈Z，bn=3n-1；(2)58n-59n8.【分析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n82(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n 满足a 1=1，a n +a n +1=2n ；数列b n 前n 项和为S n ，且b 1=1，2S n =b n +1-1.(1)求数列a n 和数列b n 的通项公式；(2)设c n =a n ⋅b n ，求c n 前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，b n =3n -1；(2)58n -5 9n8.【解析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n8。

专题十 计数原理第三十讲 排列与组合答案部分1．C 【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有210C 种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率21031C 15==P ，故选C ． 2．D 【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有2343C A 36⨯=种． 故选D ．3．C 【解析】不放回的抽取2次有1198C C 9872=⨯=，如图 21，3，4，5，6，7，8，923，4，5，6，7，8，91可知(1,2)与(2,1)是不同，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同有11542C C =40，所求概率为405728=． 4．B 【解析】由题意可知E F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法计数原理知，共有6318⨯= 种走法，故选B ．5．D 【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中任选一个，有13A 种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列,有44A 种方法，所以其中奇数的个数为1434A A 72=，故选D ． 6．B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个，选B ． 7．D 【解析】4422728P -==． 8．D 【解析】易知12345||||||||||x x x x x ++++=1或2或3，下面分三种情况讨论．其一：12345||||||||||x x x x x ++++=1，此时，从12345,,,,x x x x x 中任取一个让其等于1或-1，其余等于0，于是有115210C C =种情况；其二：12345||||||||||x x x x x ++++=2，此时，从12345,,,,x x x x x 中任取两个让其都等于1或都等于-1或一个等于1、另一个等于-1，其余等于0，于是有221552240C C C +=种情况；其三：12345||||||||||x x x x x ++++=3，此时，从12345,,,,x x x x x 中任取三个让其都等于1或都等于-1或两个等于1、另一个等于-1或两个等于-1、另一个等于1，其余等于0,于是有3313255353280C C C C C ++=种情况．由于104080130++=．9．C 【解析】直接法：如图，在上底面中选11B D ，四个侧面中的面对角线都与它成60︒，共8对，同样11A C 对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对，所以全部共有48对．间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60︒，所以成角为60︒的共有21212648C --=． 10．A 【解析】分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有2345(1)a a a a a +++++种不同的取法；第二步，5个无区别的篮球都取出或都不取出，则有5(1)b +种不同的取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球任取0个，1个，…，5个，有5(1)c +种不同的取法，所以所求的取法种数为2345(1)a a a a a +++++5(1)b +5(1)c +．11．B 【解析】能够组成三位数的个数是9×10×10=900，能够组成无重复数字的三位数的个数是9×9×8 =648．故能够组成有重复数字的三位数的个数为900648252-=．12．A 【解析】先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有122412C C =种． 13．D 【解析】和为偶数，则4个数都是偶数，都是奇数或者两个奇数两个偶数，则有44224545156066C C C C ++⋅=++=种取法．14．C 【解析】若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有14C ⨯14C ⨯14C =64，若2张同色，则有21213244144C C C C ⨯⨯⨯=，若红色1张，其余21张不同色，则有12114344192C C C C ⨯⨯⨯=，其余2张同色则有11243472C C C ⨯⨯=，所以共有64+144+192+72=472．另解1：472885607216614151641122434316=-=--⨯⨯=--C C C C ,答案应选C ． 另解2：472122642202111241261011123212143431204=-+=⨯⨯+-⨯⨯=+-C C C C C ． 15．B 【解析】B ，D ，E ，F 用四种颜色，则有441124A ⨯⨯=种涂色方法；B ，D ，E ，F 用三种颜色，则有334422212192A A ⨯⨯+⨯⨯⨯=种涂色方法；B ，D ，E ，F 用两种颜色，则有242248A ⨯⨯=种涂色方法；所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法．16．B 【解析】分两类：一类为甲排在第一位共有4424A =种，另一类甲排在第二位共有133318A A =种，故编排方案共有241842+=种，故选B ． 17．C ．【解析】共有5！=120个不同的闪烁，每个闪烁要完成5次闪亮需用时间为5秒，共5⨯120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5⨯(120—1)=595秒。

高中数学解题基本方法书籍在高中学习阶段，数学是一门非常重要的科目，需要掌握一定的解题基本方法。

为了帮助广大高中生更好地掌握数学解题技巧，我推荐以下几本经典的高中数学解题基本方法书籍。

一、《高中数学解题秘籍》《高中数学解题秘籍》是一本经典的数学解题指南，详细介绍了高中数学中常见的各类题型以及解题技巧。

该书以通俗易懂的语言，结合大量例题和实例，系统地介绍了数学解题的基本方法。

不仅涵盖了代数、几何、概率等各个方面的知识，还提供了大量实用的解题技巧和思维导图，帮助读者迅速掌握解题的要领。

二、《高中数学全解与定理导读》《高中数学全解与定理导读》是一本全面介绍高中数学基本解题方法和定理的参考书。

该书以解题为主线，详细解析了高中数学中的典型题型，并提供了详细的解题步骤和思路。

同时，该书还对高中数学中的重要定理进行了概述和导读，帮助读者理解定理的来龙去脉，掌握定理的应用技巧。

三、《高中数学解题思路与方法》《高中数学解题思路与方法》是一本针对高中生的解题指南。

该书注重培养学生的思维能力和解题思路，通过举一反三的方法，帮助读者理解题目的本质，抓住解题的关键。

同时，该书还介绍了一些高效的解题技巧和方法，如逆向思维、巧妙运用代数变换等，帮助读者提高解题的效率。

四、《高中数学解题技巧与方法大全》《高中数学解题技巧与方法大全》是一本全面介绍高中数学解题技巧和方法的参考书。

该书从问题分析到解题方法的选择，再到解题过程的详细展示，全面系统地介绍了高中数学中各类题型的解题技巧和方法。

此外，该书还提供了大量习题和试题，读者可以进行针对性的练习，提高解题能力。

五、《高中数学解题实战指南》《高中数学解题实战指南》是一本注重实际应用的解题指南。

该书通过实战演练的方式，结合实际问题，帮助读者理解数学知识的应用场景，掌握解决实际问题的方法。

同时，该书还提供了大量实战题目和解题思路，可以让读者在实践中不断提高解题的能力。

总结：以上是我为大家推荐的几本高中数学解题基本方法书籍。

高考数学140分30讲（11）1．高考2005江苏理(22)（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知a R ∈，函数2()||f x x x a =-.(Ⅰ)当2a =时，求使()f x x =成立的x 的集合； (Ⅱ)求函数()y f x =在区间[12]，上的最小值. 本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力. 满分14分.解：（Ⅰ）由题意，2()2f x x x =-.当2x <时，2()(2)f x x x x =-=，解得0x =或1x =；当2x ≥时，2()(2)f x x x x =-=，解得1x =+.综上，所求解集为{011+，，. （Ⅱ）设此最小值为m .①当1a ≤时，在区间[12]，上，32()f x x ax =-. 因为22()323()03f x x ax x x a '=-=->，(12)x ∈，， 则()f x 在区间[12]，上是增函数，所以(1)1m f a ==-. ②当12a <≤时，在区间[12]，上，2()()0f x x x a =-≥，由()0f a =知 ()0m f a ==.③当2a >时，在区间[12]，上，23()f x ax x =-. 22()233()3f x ax x x a x '=-=-.若3a ≥，在区间(12)，内()0f x '>，从而()f x 为区间[12]，上的增函数， 由此得(1)1m f a ==-.若23a <<，则2123a <<.当213x a <<时，()0f x '>，从而()f x 为区间2[1]3a ，上的增函数；当223a x <<时，()0f x '<，从而()f x 为区间2[2]3a ，上的减函数.因此，当23a <<时，(1)1m f a ==-或(2)4(2)m f a ==-.当723a <≤时，4(2)1a a -≤-，故(2)4(2)m f a ==-；当733a <<时，14(2)a a -<-，故(1)1m f a ==-. 综上所述，所求函数的最小值 111274(2)23713a a a m a a a a -≤⎧⎪<≤⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪->⎪⎩，当时；0，当时；，当时；，当时．(23)（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1231611a a a ===，，，且 1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+= ，，，，，其中A B ，为常数. (Ⅰ)求A 与B 的值；(Ⅱ)证明：数列{}n a 为等差数列；(Ⅲ)1对任何正整数m n ，都成立.（23）本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力. 满分14分.解：（Ⅰ）由已知，得111S a ==，2127S a a =+=，312318S a a a =++=. 由1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+，知2132372122S S A B S S A B --=+⎧⎨-=+⎩，， 即 28248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩，，解得 20A =-，8B =-. （Ⅱ）方法1由（Ⅰ），得 1(58)(52)208n n n S n S n +--+=--， ① 所以 21(53)(57)2028n n n S n S n ++--+=--. ②②-①，得 21(53)(101)(52)20n n n n S n S n S ++---++=-， ③ 所以 321(52)(109)(57)20n n n n S n S n S ++++-+++=-. ④ ④-③，得 321(52)(156)(156)(52)0n n n n n S n S n S n S ++++-+++-+=. 因为 11n n n a S S ++=-，所以 321(52)(104)(52)0n n n n a n a n a ++++-+++=. 又因为 520n +≠，所以 32120n n n a a a +++-+=， 即 3221n n n n a a a a ++++-=-，1n ≥. 所以数列{}n a 为等差数列. 方法2由已知，得111S a ==，又1(58)(52)208n n n S n S n +--+=--，且580n -≠， 所以数列{}n S 是唯一确定的，因而数列{}n a 是唯一确定的. 设54n b n =-，则数列{}n b 为等差数列，前n 项和(53)2n n n T -=.于是 1(1)(52)(53)(58)(52)(58)(52)20822n n n n n n n T n T n n n +++---+=--+=--，由唯一性得 n n b a =，即数列{}n a 为等差数列. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，15(1)54n a n n =+-=-.要证1，只要证 51mn m n a a a >++因为 54mn a mn =-，(54)(54)2520()16m n a a m n mn m n =--=-++，故只要证 5(54)12520()16mn mn m n ->+-+++即只要证 202037m n +->因为 558m n a a m n ≤+=+- 558(151529)m n m n <+-++-202037m n =+-，所以命题得证.2．高考2005辽宁理21．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应 用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x P F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x aca F +=………………………3分 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r F r F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a ca r F cx r r a r r +===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x aca由椭圆第二定义得a c cax F =+||||21，即.||||||21x a c a c a x a c P F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x aca F +=…………………………3分（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥.又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，),(),,(002001y xc MF y x c MF --=---=， ③ ④由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x 于是，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当c b a 2≥时，记cx y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 212121=+-=∠k k k k MF F …………14分22．（本小题满分12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分（Ⅰ）解：).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分 （Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则③ ④因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；当0)(,0<'<x h x x 时.所以0x 是)(x h 唯一的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分（Ⅲ）解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤另一方面，由于3223)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用（II ）的结果可知，3223x b ax =+的充要条件是：过点（0，b ）与曲线3223x y =相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.)2(21b x b y +=-于是3223x b ax ≥+的充要条件是.)2(21b a ≥…………………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b ③因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分（Ⅲ）解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤………………………………………………………………8分令3223)(x b ax x -+=φ，于是3223x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .0)(≥x φ 由.0)(331--==-='a x xa x 得φ当30-<<a x 时;0)(<'x φ当3->a x 时，0)(>'x φ，所以，当3-=a x 时，)(x φ取最小值.因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3≥-a φ，即.)2(21-≥b a ………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(b b -≤-②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分。

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3—9：重中之重——拉格朗日中值定理深层次剖析以上就是对高考有着极大帮助的几个基础高等数学定理，资优生掌握以后必定能再更上一层楼，对其突破140的瓶颈大有裨益。

但是由于篇幅有限，不能一一对其深入剖析，在此向大家致歉。

不过本文对以上定理中最最重要的，也是高考压轴题中最最常用的拉格朗日中值定理进行了深层次剖析。

拉格朗日中值定理，是对高考数学压轴题帮助最大的高等数学定理，望学有余力的同学务必将其掌握！10—15：拉格朗日中值定理在高考题里的应用或许有同学不相信拉格朗日中值定理对高考的帮助是如此之大，以下将会以高考真题为例子向你阐明。

我想很大一部分同学或许不知道该如何应用，下文将对于高考真题应用拉格朗日中值定理解题并与参考答案的解法作比较，体现高观点解题的好处。

重中之重—————拉格朗日中值定理资优生掌握了拉格朗日中值定理以后可帮助其突破140的瓶颈，一举成为数学大神！！！拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，它是沟通函数及其导数之间关系的桥梁，课本中关于拉格朗日中值定理的应用并没有专门的讲解，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结。

本文首先进一步分析了定理的实质，以便使读者深入理解拉格朗日中值定理；然后从课本中证明拉格朗日中值定理的思想（构造辅助函数法）出发，提出了一个较简单的辅助函数，从而使拉格朗日中值定理的证明简单化；以此为理论依据并在别人研究的基础上，最后重点总结了拉格朗日中值定理在各个方面的应用。

课标全国卷数学高考模拟试题精编十二【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 2＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i2．“函数y ＝a x 是增函数”是“log 2a ＞1”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．(理)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各系数之和为A ，各二项式系数之和为B ，且A＋B ＝72，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6(文)设集合A ＝{1，a 2，－2}，B ＝{2,4}，则“a ＝2”是“A ∩B ”＝{4}的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知实数4，m,1构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( ) A.22 B.3 C.22或 3 D.12或35．执行如图所示的程序框图，则输出的B 的值为( ) A ．63 B ．31 C ．15 D ．76．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．77．已知集合M ＝{x ||x ＋2|＋|x －1|≤5}，N ＝{x |a ＜x ＜6}，且M ∩N ＝(－1，b ]，则b －a ＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．3 D ．7 8．(理)如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (1,0)，B (1,2)，C (0,2)，曲线y ＝ax 2经过点B .现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影部分的概率是( ) A.23 B.12 C.34 D.47(文)已知f (x )＝⎩⎨⎧3sin πx x ≤0f (x －1)＋1 x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值为( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－19．(理)一个班有6名战士，其中正副班长各一名，现从中选4人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，正副班长中有且仅有一人参加，另一人要留下值班，则不同的分配方法有( ) A ．240种 B ．192种 C ．2 880种 D ．1 440种(文)双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±12x C ．y ＝±2x D ．y ＝±22x10．如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π B ．3π C.23π D ．2π11．把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，……，依次循环的规律分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( ) A ．98 B ．197 C ．390 D ．39212．定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ(λ∈R )，使得对任意的x ∈R ，都有f (x ＋λ)＝λf (x )，则称y ＝f (x )为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为假命题的是()A．若函数y＝f(x)是倍增系数λ＝－2的倍增函数，则y＝f(x)至少有1个零点B．函数f(x)＝2x＋1是倍增函数，且倍增系数λ＝1C．函数f(x)＝e－x是倍增函数，且倍增系数λ∈(0,1)D．若函数f(x)＝sin 2ωx(ω＞0)是倍增函数，则ω＝2kπ2(k∈N*)答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或粗虚线画出了某简单组合体的三视图和直观图(斜二测画法)，则该简单组合体的体积为________．14．数列{a n}满足a1＝3，a n－a n a n＋1＝1，A n表示{a n}的前n项之积，则A2 013＝________.15．(理)某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为________．(文)若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边长AB的长度等于________．16．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C )－1＝6cos B cos C . (1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c .18．(理)(本小题满分12分)某食品店每天以每瓶2元的价格从厂家购进一种酸奶若干瓶，然后以每瓶3元的价格出售，如果当天卖不完，余下的酸奶变质作垃圾处理．(1)若食品店一天购进170瓶，求当天销售酸奶的利润y (单位：元)关于当天的需求量n (单位：瓶，n ∈N )的函数解析式；(2)根据市场调查，100天的酸奶的日需求量(单位：瓶)数据整理如下表：若以100170瓶酸奶，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列和数学期望EX .(文)(本小题满分12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a ，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b ，求关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为m ，将球放回袋中，然后从袋中随机取一个球，该球的编号记为n .若以(m ，n )作为点P 的坐标，求点P 落在区域⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －5＜0内的概率． 19.(理)(本小题满分12分)如图：四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，三角形ADE 是等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ADE ，EF ∥AB ，CD ＝2AB ＝2AD ＝2EF ＝4，CG →＝23CF →(1)求证：AF ∥平面BDG ； (2)求二面角C －BD －G 的余弦值． (文)(本小题满分12分)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝3a ，BC ＝2a ，D 是BC 的中点，E ，F 分别是A 1A ，C 1C 上一点，且AE ＝CF ＝2a . (1)求证：B 1F ⊥平面ADF ； (2)求三棱锥B 1－ADF 的体积； (3)求证：BE ∥平面ADF .20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点F 1，F 2和上下两个顶点B 1，B 2是一个边长为2且∠F 1B 1F 2为60°的菱形的四个顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 2斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线PF 2的斜率为k ′.求证：k ·k ′为定值．21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e (e 是自然对数的底数，e ＝2.718 28…)使不等式2f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，梯形ABCD 内接于圆O ，AD ∥BC ，且AB ＝CD ，过点B 引圆O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于点E 、F . (1)求证：CD 2＝AE ·BC ；(2)已知BC ＝8，CD ＝5，AF ＝6，求EF 的长． 23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45ty ＝－1－35t(t 为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)求直线l 被曲线C 所截得的弦长．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －7|－|x －3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)当x ＜5时，不等式|x －8|－|x －a |＞2恒成立，求实数a 的取值范围． 课标全国卷高考模拟试题精编十二1．D 2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i ，选D.2．A 函数y ＝a x 是增函数可知a ＞1，不能推出log 2a ＞1，若log 2a ＞1，则a ＞2，可推出a ＞1.3．(理)A 在二项式中令x ＝1得系数之和A ＝4n ，又B 为二项式系数之和，则B ＝2n ，故A ＋B ＝4n ＋2n ＝72，得n ＝3，选A.(文)A 由题意当a ＝2时，A ∩B ＝{4}；反之，当A ∩B ＝{4}时，a ＝±2，因此“a＝2”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件，选A. 4．C ∵m 2＝4，∴m ＝±2.当m ＝2时，曲线为椭圆，∴e ＝c a ＝2－12＝22.当m ＝－2时，曲线为双曲线，∴e ＝ca ＝1＋21＝ 3.5．A 第一次循环：B ＝2×1＋1＝3，A ＝2；第二次循环：B ＝2×3＋1＝7，A ＝3；第三次循环：B ＝2×7＋1＝15，A ＝4；第四次循环：B ＝2×15＋1＝31，A ＝5；第五次循环：B ＝2×31＋1＝63，A ＝6，此时不满足A ≤5，终止循环，故输出的B 的值为63，选A. 6.B 不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≥0x －1≤0表示的区域为图中阴影部分．又ax －y ＋1＝0恒过定点(0,1)，当a ＝0时，不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0所表示的平面区域的面积为12，不合题意，当a ＜0时，所围成的区域面积小于12，所以a ＞0，此时所围成的区域为三角形，如图所示，其面积为S ＝12×1×(a ＋1)＝2，解之得a ＝3.7．C 由数轴可知M ＝{x |－3≤x ≤2}，又M ∩N ＝(－1，b ] ∴a ＝－1，b ＝2，∴b －a ＝3.8．(理)A 因为y ＝ax 2的图象过B 点，所以2＝a ×12，则a ＝2，故所求的概率是1－∫102x 2d x 2＝1－⎪⎪⎪23x 3102＝23.故选A . (文)B f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋1＝－3·32＋1＝－12.9．(理)B 不同的分配方法有：C 12C 34A 44＝192种．(文)A 由方程x 2＋my 2＝1得x 2－y 2－1m＝1，所以2－1m ＝2×2，解得m ＝－14，令x 2－14y 2＝0，得渐近线方程为y ＝±2x. 10．A如图所示，取BD 的中点E ，BC 的中点O ，连接AE ，OD ，EO ，AO.由题意，知AB ＝AD ，所以AE ⊥BD.由于平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊥BD ，所以AE ⊥平面BCD.因为AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，所以AE ＝22，EO ＝12，所以OA ＝32. 在Rt △BDC 中，OB ＝OC ＝OD ＝12BC ＝32，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为32.所以该球的体积V ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝32π.故选A .11．D 将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n －1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n －1}的第16×6＋2＝98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.12．B 对于选项A ，∵函数y ＝f(x)是倍增系数λ＝－2的倍增函数，∴f(x －2)＝－2f(x)，当x ＝0时，f(－2)＋2f(0)＝0，若f(0)，f(－2)任意一个为0，函数f(x)有零点，若f(0)，f(－2)均不为零，则f(0)，f(－2)异号，由零点存在性定理，在区间(－2,0)内存在x 0，使得f(x 0)＝0，即y ＝f(x)至少有1个零点，故A 正确；对于选项B ，∵f(x)＝2x ＋1是倍增函数，∴2(x ＋λ)＋1＝λ(2x ＋1)，∴λ＝2x ＋12x －1≠1，故B 不正确；对于选项C ，∵f(x)＝e －x 是倍增函数， ∴e－(x ＋λ)＝λe －x，∴1e x ·e λ＝λe x ，∴λ＝1e λ∈(0,1)，故C 正确；对于选项D ，∵f(x)＝sin 2ωx(ω＞0)是倍增函数，∴sin [2ω(x ＋λ)]＝λsin 2ωx ，∴ω＝k π2(k ∈N *)，故D 正确．13．解析：本题中的组合体是一个三棱锥挖去四分之一个圆锥后剩下的部分，所以先求出三棱锥和圆锥的体积，然后按照要求相减即可．图中三棱锥的底面是一个腰长为4的等腰直角三角形，高为4；还原的圆锥的底面半径为2，高为4，所以这个组合体的体积V ＝13×12×4×4×4－14×13×π×22×4＝323－43π. 答案：323－43π14．解析：由a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，得a n ＋1＝a n －1a n ，所以a 2＝3－13＝23，a 3＝－12，a 4＝3，所以{a n }是以3为周期的数列，且a 1a 2a 3＝－1，又2 013＝3×671，所以A 2 013＝(－1)671＝－1. 答案：－115．(理)解析：甲、乙两人恰好对门的概率为P ＝3A 22A 44A 66＝15.答案：15(文)解析：S △ABC ＝12AC ·BC sin 60°＝12AC ·2·32＝3，∴AC ＝2. 利用余弦定理AB ＝22＋22－2·2·2cos 60°＝2. 答案：216．解析：由题意得f ′(x )＝3ax 2－3，当a ≤0时，有f ′(x )＝3ax 2－3＜0，∴f (x )在[－1,1]上为减函数，∴f (x )最小值＝f (1)＝a －2≥0，解之得a ≥2(与条件a ≤0矛盾)，不符合题意； 当a ＞0时，令f ′(x )＝0可得x ＝±1a ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 时f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数． 由f (－1)＝4－a ≥0可得0＜a ≤4，又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ×1a a －3a ＋1＝1－2a ≥0可得a ≥4.综上可知a ＝4. 答案：417．解：(1)3(cos B cos C ＋sin B sin C )－1＝6cos B cos C ， 得3cos B cos C －3sin B sin C ＝－1.即3cos(B ＋C )＝－1，从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝13. (2)由于0＜A ＜π，所以sin A ＝223. 又S △ABC ＝12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.①由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13.② 由①②两式联立可得b ＝2，c ＝3或b ＝3，c ＝2. 18．(理)解：(1)y ＝⎩⎨⎧n －2(170－n ) (0＜n ＜170)170 (n ≥170)y ＝⎩⎨⎧3n －340 (0＜n ＜170)170 (n ≥170) (2)X 可取110,140,170.E (X )＝0.17×110＋0.23×(文)解析：(1)设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”． 当a ＞0，b ＞0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b . 以下第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．基本事件共12个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．事件A 中包含6个基本事件：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)． 事件A 发生的概率为P (A )＝612＝12.(2)先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点P (m ，n )的所有可能情况为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．落在区域⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －5＜0内的有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共4个，所以点P 落在区域⎩⎨⎧x －y ≥0x ＋y －5＜0，内的概率为14.19．(理)解：(1)连接AC 交BD 于H ，连接GH ，∵AB CD ＝12∴AH CH ＝12，即CH AC ＝23 ∴CH AH ＝CG GF ＝2 ∴GH ∥AF ∵GH ⊂平面BDG AF ⊄平面BDG ∴AF ∥平面BDG (2)如图建立空间坐标系，∵B (2,2,0)，C (0,4,0)，F (1,2，3) ∴CG →＝23CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－43，233 ∴DG→＝DC →＋CG →＝(0,4,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－43，233＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，83，233 ∵DB→＝(2,2,0)设平面BDG 的法向量为n 1＝(x ，y,1) ∵⎩⎪⎨⎪⎧DB →·n 1＝0DG →·n 1＝0∴n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，1设平面BDC 的法向量为n 2，n 2＝(0,0,1) ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝153＝155 所以二面角C －BD －G 的余弦值为155. (文)解：(1)证明：∵AB ＝AC ，D 为BC 中点， ∴AD ⊥BC .在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∵B 1B ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，∴AD ⊥B 1B . ∵BC ∩B 1B ＝B ，∴AD ⊥平面B 1BCC 1. ∵B 1F ⊂平面B 1BCC 1，∴AD ⊥B 1F .在矩形B 1BCC 1中，∵C 1F ＝CD ＝a ，B 1C 1＝CF ＝2a ， ∴Rt △DCF ≌Rt △FC 1B 1.∴∠CFD ＝∠C 1B 1F .∴∠B 1FD ＝90°.∴B 1F ⊥FD . ∵AD ∩FD ＝D ，∴B 1F ⊥平面AFD . (2)∵B 1F ⊥平面AFD ，∴VB 1－ADF ＝13·S △ADF ·B 1F ＝13×12×AD ×DF ×B 1F ＝52a 33. (3)连EF ，EC ，设EC ∩AF ＝M ，连DM ， ∵AE ＝CF ＝2a ，∴四边形AEFC 为矩形， ∴M 为EC 中点．∵D 为BC 中点，∴MD ∥BE .∵MD ⊂平面ADF ，BE ⊄平面ADF ，∴BE ∥平面ADF .20．解：(1)由条件知a ＝2，b ＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设过点F 2(1,0)的直线l 方程为：y ＝k (x －1)，设点E (x 1，y 1)，点F (x 2，y 2)， 将直线l 方程y ＝k (x －1)代入椭圆C ：x 24＋y 23＝1， 整理得：(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，因为点F 2在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，Δ＞0恒成立，且x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.直线AE 的方程为：y ＝y 1x 1－2(x －2)，直线AF 的方程为：y ＝y 2x 2－2(x －2)，令x ＝3，得点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 1x 1－2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 2x 2－2，所以点P 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2直线PF 2的斜率为 k ′＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2－03－1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2 ＝14·y 2x 1＋x 2y 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝14·2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4.将x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3代入上式得：k ′＝14·2·4k 2－124k 2＋3－3k ·8k 24k 2＋3＋4k4k 2－124k 2＋3－2·8k 24k 2＋3＝－34k . 所以k ·k ′为定值－34.21．解：(1)由题意知f ′(x )＝ln x ＋1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，此时f (x )单调递增．当0＜t ＜t ＋2＜1e 时，t 无解； 当0＜t ≤1e ＜t ＋2，即0＜t ≤1e 时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；当1e ＜t ＜t ＋2，即t ＞1e 时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，故f (x )min ＝f (t )＝t ln t . 所以f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0＜t ≤1et ln t ，t ＞1e.(2)由题意知2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 即a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x ＞0)，则h ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，h ′(x )＜0，此时h (x )单调递减；当x ∈(1，e]时，h ′(x )＞0，此时h (x )单调递增．所以h (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，h (e )，因为存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，使2f (x )≥g (x )成立，所以a ≤h (x )max ，又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2＋1e ＋3e ，h (e)＝2＋e ＋3e ，故h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＞h (e)，所以a ≤1e ＋3e －2.22．解：(1)因为AD ∥BC ，所以∠EAB ＝∠ABC .又因为FB 与圆O 相切于点B ，所以∠EBA ＝∠ACB ，所以△EAB ∽△ABC ， 所以AE BA ＝ABBC ，即AB 2＝AE ·BC ， 因为AB ＝CD ，所以CD 2＝AE ·BC .(2)由(1)得AE ＝AB 2BC ＝258，因为AD ∥BC ，所以∠F AE ＝∠ACB ，又∠EBA ＝∠ACB ， 所以∠F AE ＝∠EBA ，∠F ＝∠F ，所以△FEA ∽△F AB ， 所以AE AB ＝EF AF ，所以EF ＝AE AB ·AF ＝154.23．解：(1)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45ty ＝－1－35t (t 为参数)化为普通方程为3x ＋4y＋1＝0.将曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为直角坐标方程为x 2＋y 2－x ＋y ＝0.(2)由(1)可知曲线C 表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径为22的圆，则圆心到直线l 的距离d ＝110，所以直线l 被曲线C 截得的弦长为2r 2－d 2＝212－1100＝75.24．解：(1)f (x )＝⎩⎨⎧4，x ≤310－2x ，3＜x ＜7，－4，x ≥7图象如图所示：(2)∵x ＜5，∴不等式|x －8|－|x －a |＞2可化为8－x －|x －a |＞2， ∴|x －a |＜6－x 对x ＜5恒成立， 即x －6＜x －a ＜6－x 对x ＜5恒成立， ∴⎩⎨⎧a ＜6a ＞2x －6对x ＜5恒成立． 又∵x ＜5时，2x －6＜4，∴4≤a ＜6. ∴实数a 的取值范围为[4,6)．。

【高考复习】高考数学140分方法各种题型解题思路【高考复习】高考数学140分方法各种题型解题思路我提到的学习方法是指最有效的优化学习理念，即根据您的实际情况，在最短的时间内获得最有效的结果。

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学生和家长都知道，高中学习方法我对我想就读的大学有了深入的了解，我已经非常清楚我需要在高考中取得什么样的分数才能进入这所大学（虽然由于竞争，我在高考中获得了自主选择和录取的优惠分数，但我的目标是以赤裸裸的分数进入我心目中的学校），然后将这些分数分配给各个科目。

我发现，数学只要考到130多分就够了，然后我把这130多分再分配到各个题型上去，看哪些题可以舍弃，哪些题不能舍弃，这使我对整张数学试卷的答题策略有了清晰的认识。

首先，我分析了近年来省级数学试题的构成：十道选择题→ 五道填空题→ 六个大问题。

几年前我研究了15个问题高考研究发现，大多数是基本问题，只需要训练速度和准确性，少数是技能问题，需要更好的思考和接触课本知识的能力。

对于这部分的问题，我特意买了一小套问题（有很多套测试题，每一套只有十道选择题和五道填空题）来进行特别的突破。

每天测试一套。

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目标是在25分钟内完成，并确保100%的准确性。

一开始，一组测试需要40多分钟，而且经常出错。

基于对基础知识的回顾，这部分问题取决于更多的实践。

在练习了几十套之后，你会感觉非常舒服，并且开始得非常顺利。

最后，我基本上实现了我的目标，在25分钟内完成了它，偶尔也犯了一个错误。

更多高中学习方法信息查看对于以后的几个大问题，我发现我省高考数学问题的安排已经有好几年的固定顺序（2022年高考的顺序已经改变了，所以我们要小心），16个三角函数。

→ 17系列→ 18概率/排列和组合→ 19立体几何→ 20解析几何→ 21函数和导数（我们高考中概率/排列和组合以及函数和导数的顺序已经改变）。

其中，第20题和第21题相对较难，第21题为最后一题。

问题01 数集与点集的运算一、考情分析集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中． 二、经验分享(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别： ①{}220x x x -=；②{}22x y x x =-；③{}22y y x x =-；④(){}2,2x y y xx =-.(2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy =的整数解集可表示为()()()(){}1,2,2,1,1,2,2,1----.(3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系. (5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况．(6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质． 三、知识拓展1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1. 2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()U UA B A B U ⇔=∅⇔=I U痧 .3．奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z .4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F 是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F 中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F 中的数,即运算封闭,则称F 为数域. 四、题型分析(一)与数集有关的基本运算【例1】【2018年理新课标I 卷】已知集合，则A. B.C.D.【分析】首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.【点评】对于集合的运算,一般先把参与运算的集合化简,解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果，要注意端点值的取舍．【小试牛刀】【2017全国1理1】已知集合{}1A x x =<,{}31xB x =<,则（ ）. A. {}0A B x x =<I B. A B =R U C. {}1A B x x =>U D. A B =∅I 【答案】A【解析】{}1A x x =<,{}{}310xB x x x =<=<,所以{}0A B x x =<I ,{}1A B x x =<U .故选A.(二)与点集有关的基本运算 【例2】已知3(,)|3,{(,)|20},2y M x y N x y ax y a M N x -⎧⎫===++==∅⎨⎬-⎩⎭I ,则=a （ ） A ．－2 B ．－6 C ．2 D ．一2或－6【分析】首先分析集合M 是除去点(2,3)的直线33y x =-,集合N 表示过定点(1,0)-的直线,M N =∅I 等价于两条直线平行或者直线20ax y a ++=过(2,3),进而列方程求a 的值． 【解析】由3333(2)2y y x x x -=⇒=-≠-若M N φ=I ,则①：点(2,3)在直线20ax y a ++=上,即2602a a a ++=⇒=-；②：直线33y x =-与直线20ax y a ++=平行,∴362aa -=⇒=-,∴2a =-或6-.【点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键． 【小试牛刀】【2018年理数全国卷II 】已知集合，则中元素的个数为A. 9B. 8C. 5D. 4 【答案】A 【解析】，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.(三)根据数集、点集满足条件确定参数范围【例3】设常数a ∈R ,集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0},B ＝{x |x ≥a －1},若A ∪B ＝R ,则a 的取值范围为( ) A ．(－∞,2) B．(－∞,2] C ．(2,＋∞) D．[2,＋∞)【分析】先得到A ＝(－∞,1]∪[a ,＋∞),B ＝[a －1,＋∞),再根据区间端点的关系求参数范围.【点评】求解本题的关键是对a 进行讨论.【小试牛刀】已知P ＝{x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素,则k 的取值范围为________． 【答案】(5,6]【解析】因为P 中恰有3个元素,所以P ＝{3,4,5},故k 的取值范围为5<k ≤6. (四) 数集、点集与其他知识的交汇【例4】已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T,对任意x ∈R,有()()f x T Tf x +=成立.（1）函数()f x x =是否属于集合M ？说明理由；（2）设函数()(0x f x a a =>且1a ≠）的图象与y x =的图象有公共点,证明：()x f x a =∈M；（3）若函数()sin f x kx =∈M ,求实数k 的取值范围.【分析】抓住集合M 元素的特征,集合M 是由满足()()f x T Tf x +=的函数构成． 【解析】（1）对于非零常数T ,f （x +T ）=x +T ,Tf （x ）＝Tx ． 因为对任意x ∈R,x +T =Tx 不能恒成立,所以f （x ）＝x M ．（2）因为函数f （x ）=a x（a >0且a ≠1）的图象与函数y =x 的图象有公共点, 所以方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==xy a y x 有解,消去y 得a x =x ,显然x =0不是方程的a x =x 解,所以存在非零常数T ,使a T=T ． 于是对于f （x ）=a x,有f （x ＋T ）=a x +T = a T ·a x =T ·a x =T f （x ）,故f （x ）=a x ∈M ．【点评】集合与其他知识的交汇处理办法往往有两种：其一是根据函数、方程、不等式所赋予的实数的取值范围,进而利用集合的知识处理；其二是由集合的运算性质,得到具有某种性质的曲线的位置关系,进而转化为几何问题处理．【小试牛刀】在直角坐标系xoy 中,全集},|),{(R y x y x U ∈=,集合}20,1sin )4(cos |),{(πθθθ≤≤=-+=y x y x A ,已知集合A 的补集A C U 所对应区域的对称中心为M ,点P 是线段)0,0(8>>=+y x y x 上的动点,点Q 是x 轴上的动点,则MPQ ∆周长的最小值为（ ） A ．24 B ．104 C ．14 D ．248+ 【答案】B(五)与数集、点集有关的信息迁移题 【例5】若集合A 具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A ；(Ⅱ)若x ∈A ,y ∈A ,则x －y ∈A ,且x ≠0时,1x∈A .则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( ) (1)集合B ＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理数集Q 是“好集”；(3)设集合A 是“好集”,若x ∈A ,y ∈A ,则x ＋y ∈A . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【分析】抓住新定义的特点,根据“好集”满足的两个性质,逐个进行验证．【解析】选C,(1)集合B 不是“好集”,假设集合B 是“好集”,因为－1∈B,1∈B ,所以－1－1＝－2∈B ,这与－2∉B 矛盾．(2)有理数集Q 是“好集”,因为0∈Q,1∈Q ,对任意的x ∈Q ,y ∈Q ,有x －y ∈Q ,且x ≠0时,1x∈Q ,所以有理数集Q 是“好集”．(3)因为集合A 是“好集”,所以0∈A ,若x ∈A ,y ∈A ,则0－y ∈A ,即－y ∈A ,所以x －(－y )∈A ,即x ＋y ∈A .【点评】紧扣新定义,抓住新定义的特点,把新定义叙述的问题的本质搞清楚,并能够应用到具体的解题过程中．【小试牛刀】【2017浙江温州高三模拟】已知集合22{(,)|1}M x y x y =+≤,若实数λ,μ满足：对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈,则称(,)λμ是集合M 的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数对”的是（ ）A ．{(,)|4}λμλμ+=B ．22{(,)|4}λμλμ+= C ．2{(,)|44}λμλμ-= D ．22{(,)|4}λμλμ-= 【答案】C.【解析】分析题意可知,所有满足题意的有序实数对(,)λμ所构成的集合为{(,)|11,11}λμλμ-≤≤-≤≤,将其看作点的集合,为中心在原点,(1,1)-,(1,1)--,(1,1)-,(1,1)为顶点的正方形及其内部,A,B,D 选项分别表示直线,圆,双曲线,与该正方形及其内部无公共点,选项C 为抛物线,有公共点(0,1)-,故选C. 五、迁移运用1．【安徽省宿州市2018届第三次质检】已知全集，集合，集合，则（ ）A. B. C.D.【答案】A2．【四川省成都市2018届模拟】设，则是的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由得或，作出函数和，以及的图象，如图所示，则由图象可知当时，，当时，，因为，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.点睛：本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中正确作出相应函数的图象，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想方法的应用，以及推理与论证能力.3．【辽宁省葫芦岛市2018届第二次模拟】设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，的子集个数为故选C.4．【河南省洛阳市2018届三模】设集合，，则的子集个数为（）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】C5．【安徽省皖江八校2018届联考】设集合,,若,则（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】∵，∴，即，∴，故选B. 6．【山东省济南2018届二模】设全集,集合,集合则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】由题意可得：，，∴故选：D7．【安徽省江南十校2018届二模理】已知全集为，集合，，则（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】因为，，所以，即．8．【2018届四川成都高三上学期一诊模拟】已知集合2{|},{|320},A x x a B x x x =<=-+<若,A B B ⋂=则实数a 的取值范围是（）A. 1a <B. 1a ≤C. 2a >D. 2a ≥ 【答案】D【解析】集合{}{}{}2|,|320|12A x x a B x x x x x =<=-+<=<<, ,A B B B A ⋂=∴⊆Q ,则2a ≥,故选D.9．【2018届安徽蒙城高三上学期“五校”联考】已知集合{}{}0,1,1,0,3A B a ==-+,若A B ⊆,则a 的值为（ ）A. 2-B. 1-C. 0D. 1 【答案】A【解析】 因为{}{}0,1,1,0,3A B a ==-+,且A B ⊆, 所以31a +=,所以2a =-,故选A.10．【2018届湖南省五市十校教研教改共同体高三12月联考】已知集合{}220M x x x =--<,{}1N x y x ==-,则M N ⋃=（ ）A. {}1x x >- B. {}12x x ≤< C. {}12x x -<< D. {}0x x ≥ 【答案】A【解析】[)[){|12},1,1,2M x x N M N =-<<=+∞∴⋃=,选A. 11.已知集合，，则的元素个数为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B12．设集合，，记，则点集所表示的轨迹长度为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意的圆心为，半径为1，而圆心（-3sinα，-3cos α），满足（-3sinα）2+（-3cosα）2=9， 故圆心在以（0，0）圆心，半径为3的圆上，∴集合A 对应的几何图形为圆x 2+y 2=4和x 2+y 2=16之间的圆环区域，13.【2017全国2理2】设集合{}1,2,4A =,{}240B x x x m =-+=.若1A B =I ,则B =（）.A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 【答案】C【解析】由题意知1x =是方程240x x m -+=的解,代入解得3m =,所以2430x x -+=的解为1x =或3x =,从而{}13B =，.故选C.14．若集合{}2|870,|3x M x N x x P x N ⎧⎫=∈-+<=∉⎨⎬⎩⎭,则M P I 等于（ ） A.{}3,6 B.{}4,5 C.{}2,4,5 D.{}2,4,5,7 【答案】C【解析】因为{}{}{}2|870|17=2,3,4,5,6,|3x M x N x x x N x P x N ⎧⎫=∈-+<=∈<<=∉⎨⎬⎩⎭,所以{}2,4,5M P =I ,故选C.15．已知集合{}∅=-==B A x y x A I ,1,则集合B 不可能是（ ）A ．{}124+<x x x B ．{}1),(-=x y y xC ．{}1-=x yD ．{})12(log 22++-=x x y y 【答案】D 【解析】{}{}11≥=-==x x x y x A ,{}{}1)12(log 22≤=++-=y y x x y y ,故选D.16.已知集合M 是由具有如下性质的函数()f x 组成的集合：对于函数()f x ,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时有1212()()f x f x x x ->-．则下列函数①()(0)x f x e x =>；②ln ()xf x x=；③()f x x =；④()1sin f x x =+在集合M 中的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B对于③(),()02f x x f x x'==>,函数()f x 在(0,)+∞单调递增,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时,在()f x 单调增区间时有0()1f x '<<,此时只须1x >时可得0()1f x '<<.满足题意对于④()1sin ,,()cos f x x f x x '=+=,函数()f x 在3(2,2)()22k k k Z ππππ++∈单调递减,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时,在()f x 单调减区间时有()0f x '<,满足题意.17．设{}n a 是公比为q 的等比数列,||1q >,令1(1,2,)n n b a n =+=L ,若数列{}n b 有连续四项在集合{53,23,19,37,82}--中,则q =（ ）A ．32-B ．43-C ．23-D ．32【答案】A18.已知集合A ＝{(x ,y )|x 2＋y 2≤1,x ,y ∈Z },B ＝{(x ,y )||x |≤2,|y |≤2,x ,y ∈Z },定义集合A ⊗B ＝{(x 1＋x 2,y 1＋y 2)|(x 1,y 1)∈A ,(x 2,y 2)∈B },则A ⊗B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C【解析】如图,集合A 表示如图所示的所有圆点“”,集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”,集合A ⊗B 显然是集合{(x ,y )||x |≤3,|y |≤3,x ,y ∈Z }中除去四个点{(－3,－3),(－3,3),(3,－3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合A ⊗B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”,共45个．故A ⊗B 中元素的个数为45.故选C.19.非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a ,G b ∈,都有G a b ⊕∈；（2）存在G e ∈,使得对一切G a ∈,都有a e e a a ⊕=⊕=,则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①{}G =非负整数,⊕为整数的加法；②{}G =偶数,⊕为整数的乘法；③{}G =平面向量,⊕为平面向量的加法；④{}G =二次三项式,⊕为多项式的加法；⑤{}G =虚数,⊕为复数的乘法．其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①⑤D ．②③④ 【答案】B20．若集合(){},,,|04,04,04,,,E p q r s p s q s r s p q r s N =≤<≤≤<≤≤<≤∈且,(){},,,|04,04,,,F t u v w t u v w t u v w N =≤<≤≤<≤∈且,用()card X 表示集合X 中的元素个数,则()()card E card F +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】D【解析】()()333312341010200card E card F +=++++⨯=,故选D.21．【2018届江苏省南京市多校高三上学期第一次段考】已知集合{}1,2,21A m =--,集合{}22,B m =,若B A ⊆,则实数m =__________． 【答案】1【解析】由题意得2211m m m =-⇒=,验证满足22.设P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a 、b P ∈,都有a b +、a b -、ab 、aP b∈（除数0b ≠）,则称P 是一个数域,例如有理数集Q 是数域,有下列命题：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q M ⊆,则数集M 必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是 ． 【答案】①④【解析】当a b =时,0,1a a b P b -==∈,故可知①正确；当11,2,2a b Z ==∉不满足条件,故可知②不正确；对③当M 中多一个元素i 则会出现1i M +∉所以它也不是一个数域；故可知③不正确；根据数据的性质易得数域有无限多个元素,必为无限集,故可知④正确,故答案为①④.【点评】本题考查简单的合情推理、新定义问题以及转化与划归思想,属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本题的解答都围绕新概念“数域” 对任意a 、b P ∈,都有a b +、a b -、ab 、这一性质展开的.。

数学高考综合能力题选讲 1集合与简易逻辑100080 北京中国人民大学附中题型预测《考试说明》中，对于集合、充要条件已做出明确的要求 .高考中，对于这一部分的考查，主要集中在：（1）集合本身的性质和运算；（2）集合语言和集合思想的运用；（3）充分 条件和必要条件的判定•范例选讲例1命题甲：x 2或y 3 ；命题乙：x y 5，则（）A. 甲是乙的充分非必要条件；B. 甲是乙的必要非充分条件；C. 甲是乙的充要条件；D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 .讲解 为了进行判断，首先需要构造两个命题：甲 =>乙；乙=> 甲.但是，这两个命题都是否定性的命题，正面入手较为困难 .考虑到原命题与 逆否命题的等价性，可以转化为判断其逆否命题是否正确 .“甲=>乙”即“ x 2 或 y 3 ” => “ x y 5 ”其逆否命题为：“ x y 5 ” => “ x 2且y 3 ” 显然不正确.同理，可判断命题“乙=> 甲”为真命题. 故选择B.点评 本题虽然看上去是一个基本的不等量关系，但实质逻辑性很强，容 易选错，解本题的关键：一是从反面入手，利用原命题与逆否命题的等价性，二 是要对逻辑联结词“或” “且”深刻理解与领悟.(1)求 A B ；梁丽平 例2已知集合A tt 使 xx 2 2tx 4t 3 0 R 2B tt 使 xx 2tx 2t 0，其中x,t 均为实数.(2) 讲解 设m 为实数，gm m " (1)集合A 实际上是： '3，求 M mg m A B .0恒成立的所有实数t 的使得 2 x 2tx 4t 3 集合.故令1 (2t)1 2 4( 4t 3) 0， 解得 : 3 t 1.集合 B 实际上是：使得方程 x 2 2tx 2t 0有解的所有实数 t 的集合. 故令2 2t 2 4 ( 2t) 0，解得：t 0或t2所以, A 3, 1，B ,2 0, A B 3, 2 .(2) 设g m u ，则问题(2) 可转化为： 已知函数u g m 的值域(u 3 ,2 ) ，求其定义域.令3 m 2 3 2，可解得： 1 m 0或 0 m1 .所以, M = m 1 m 0或 0 m 1 .点评 学习数学，需要全面的理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这 就离不开对逻辑知识的掌握和运用•而集合作为近、现代数学的重要基础，集合 语言、集合思想也已经渗透到数学的方方面面.集合和简易逻辑，是学习、掌握 和使用数学语言的基础.本题以集合和逻辑为背景，主要考查对数学符号语言的 阅读、理解以及迁移转化的能力.1. (1985年全国高考)设a,b 是两个实数，A={(x,y) | x=n,y=na+b,n 是整数}，B={(x,y) | x=,m,y=3m 2+15,m 是整数}，C={(x,y) | x 2+y 2< 144}是平面 XOY 内的点集合.讨论是否存在a 和b 使得(1) A B ( 表示空集)；(2) (a,b)€ C 同时成立.1 l(1) 设 是方程x 丄 2的一个根，用列举法表示集合M .若在M 中 x任取两个数，求其和为零的概率.(2) 设复数w M z ，求证：M w M z(1993年全国高考)已知关于x 的实系数二次方程x 2 + ax +b =0有两个实2. ( 2001年上海高考)对任意一个非零复数z，定义集合.. 2n 1 ..M z ww z ,n N数根证明(I )如果| | < 2,| | < 2,那么2| a | < 4 + b且| b | < 4 ;(II)如果2| a | < 4 + b 且| b | < 4 ,那么| | < 2 , | | < 2 . [答案与提示：1•不存在• 2.M — li^^li.—li,— 1i ，在2 2 2 21其中任取两数，其和为零的概率为 1 * 3;证明略.3•略.]3。