弹性力学课件

相容方程说明
对于相容方程说明如下：
（1）物体满足连续性条件 导出形变和位 移之间的几何方程 导 出相容方程。
（2）形变满足相容方程 对应的位移存在 且连续 物 体保持连续；形变不满足 相容方程 对 应的位移不存在 物 体不保持连续。
所以相容方程是位移的连续性条件。
（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可
zx
Φ y
,
zy
Φ 。 x
(d )
相容方程
2. 将式（d）代入6个相容方程，前三式和 第六式自然满足，其余两式为
2zx0,
代入（d），得
2 zy
0。
2Φ 0, x
2Φ 0, y
由此得出扭转应力函数Φ应满足的方程：
2ΦC,
( e)
C为待定常数。
边界条件
3. 考察侧面边界条件(n 0 ,fx fy fz 0 ) 前两式自然满足，第三式成为
zx 0,
x
zy 0,
y
zx zy 0。( a )
x y
由式(a)前两式，得 zx ,仅 z为y （x,y）的
函数；第三式成为
xzx yzy。 (b)
又由偏导数的相容性，存在一个应力函数 Φ ,
x yΦ y xΦ,
( c)
对比式(b)和(c)，两个切应力均可用一个扭 转应力函数 Φ(x,表y)示为
位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界 条件。
考虑对称性：本题的任何x面和y面均 为对称面，∴可设
u0, v0, wwz。(a)
求解方程
（1）将位移(a)代入平衡微分方程,前两式 自然满足，第三式成为常微分方程，
21E 11 2d d2zw 2d d2zw 2g0。

研究对象
弹性力学的研究对象主要是弹性 体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复到原 来形状的物体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
弹性体在变形过程中，其内部各点间 距离的变化是微小的，且这种变化不 影响物体的整体形状和大小。
约束条件
弹性体的变形受到外部约束条件的限 制，如支撑、连接等，这些约束条件 对弹性体的变形和内力分布产生影响 。
2
例题2
无限大平板受均布载荷作用下的应力分 析。利用弹性力学理论求解无限大平板 在均布载荷作用下的应力分布，并讨论 平板厚度对应力分布的影响。
3
例题3
圆柱体受内压作用下的应力分析。通过 解析法或数值法求解圆柱体在内压作用 下的应力分布，并讨论不同材料属性和 几何参数对应力分布的影响。
03
弹性体变形协调方程与几何方程
3
讨论
通过对比各向同性和各向异性材料的力学行为， 加深对材料本构关系的理解。
05
平面问题求解方法与应用举例
平面问题定义及分类
平面应力问题
长柱形物体受平行于横截面的外力作用，横截面尺寸远小于轴向 尺寸。
平面应变问题
平面或板状物体受平行于中面的外力作用，中面尺寸远大于厚度。
平面问题的简化
忽略体力，将空间问题简化为平面问题。
各向异性材料本构关系简介
各向异性假设
材料在各个方向上具有不同的力学性质。
本构关系特点
应力与应变之间的关系复杂，需要考虑材料的方 向性。
典型各向异性材料
纤维增强复合材料、层合板等。
典型例题解析与讨论
1 2
例题一
求解各向同性材料在简单拉伸条件下的应力和应 变。
例题二
分析各向异性材料在复杂应力状态下的力学行为 。

y n
z n
（5）热流速度 — 相似于水流流量
dQ — 单位时间内通过等温面面积S的热量，因次： dt ［热量］［时间］-1
6.1 基本概念
第六章 温度应力平面问题概论
（6）热流密度 — 相似于水流速度
q dQ S dt
— 单位时间内通过等温面单位面积的热量，因次：［热 量］［时间］-1［长度］-2
弹性力学li
第六章 温度应力平面问题概论
6 温度应力平面问题概论
（平面热弹性力学问题概论） 什么是温度应力？
当弹性体的温度发生变化时，将发生膨胀或收缩变形，当这 种变形受到约束（外在约束或物体内部各部分之间的约束） 时，即产生应力（温度应力）。
分析思路：
首先计算弹性体的温度场，求出变温；
然后根据弹性体的变温求出弹性体内各点的温度应力。
（2）方程推导
y
qy
q y y
dy
① 吸收热量
qx
dx
qz
qz z
dz
qz
dy
qx
qx x
dx
令微小六面体的温度在dt时 间内升高了 T dt ，吸收
dz
的热量为： t
x
qy
z
Q吸＝cd
xdyTddz t t
6.2 热传导微分方程及边值条件
第六章 温度应力平面问题概论
y
qy
q y y
dy
② 传入的净热量
（4）边值条件 初始条件：弹性体在初始瞬时的温度分布。 (T)t0f(x,y,z)
边界条件：物体表面与周围介质之间进行热交换的规律。
分四类:
第一类：已知物体表面温度，即： Tsf1(x,y,z,t)
第二类：已知物体表面法向热流密度，即：(qn)sf2(x,y,z,t)

4.4 梁的整体稳定
Ø梁的临界弯矩 用稳定理论求解 最简单的工况：纯弯曲的简支梁，截面双轴对称。
M
c r
l
E I G I y t
2 E I 1 2 l G I t
（4-49）
此式含有侧向弯曲刚度E I y ，两个扭转刚度 G I t 和E I ，和失稳现象完全符合。 复杂的工况：承受任意横向荷载的简支梁，截面单轴对称。
1 为单肢对其平行虚轴的形心轴的长细比。
截面选择：先根据绕实轴稳定要求选出单肢截面，再按照等稳要求确定 两肢之间的距离。
计算时可先取缀条尺寸，以后再验算。
4.3 实腹式和格构式压杆的截面选择
Ø 对单肢长细比的要求：不是和杆件长细相等，而是更严格。
原因：杆件的初弯曲使凹侧肢的压应力大于杆件的平均值。


式(4-25b)的 2 3 相当于式(4-20)的 1 0 。因此， 1 3 2 相当于无量纲化的综合初曲挠度。它包含了几何缺陷和残余应力两种因 素的效应，并且用于计算极限荷载而不是边缘屈服荷载。 系数 1 , 2 , 3 对a，b，c，d 四类截面各不相同。详见GB50017规范。 稳定系数 由正则化 来表达，计算公式可以通用于各种强度等级的
(2) 失稳是构件的整体行为。
由第一点，可以认为失稳是Pδ效应(即荷载位移效应)累积的结果。 由第二点，可以领会杆件失稳和截面强度破环的差别。
4.1 稳定问题的一般特点
Ø 杆件稳定的极限承载力
欧拉临界力不能直接用于钢结构设计。
原因：现实构件都存在缺陷： 几何缺陷——几何非线性
力学缺陷(残余应力)——材料非线性
当于兼承P和αP的理想直杆。4.1.1节的计算都适用。