初三试讲 二次函数

二次函数知识点归纳：1、二次函数的定义一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．2、二次函数的自变量的取值范围（1）一般情况下，二次函数的自变量的取值范围是全体实数．如二次函数y＝2x2－x＋1，y=－x2＋2，它们的自变量x的取值范围为全体实数．（2）实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．如圆的面积S与圆的半径r的关系式S＝πr2是一个二次函数，自变量r的取值范围是r>0，这里r不能小于或等于0．3、回顾学过的函数一次函数y＝kx＋b(k≠0)，其中包括正比例函数y＝kx(k≠0).反比例函数(k≠0)，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，这些函数的名称都反映了函数解析式与自变量的关系．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质知识归纳:1、用配方法可把y=ax2＋bx＋c(a≠0)化成y=a(x－h)2＋k的形式，因此y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，形状与y=ax2的形状相同，只是位置不同．2、y=ax2＋bx＋c配方为，故抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为，对称轴为直线．3、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质如下：①当a>0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向上，时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最小值，则抛物线的顶点是其最低点．②当a<0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向下，时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最大值，则抛物线的顶点是其最高点．二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质知识归纳:1、二次函数y=a(x－h)2＋k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的形状与y=ax2(a≠0)的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k的顶点是(h，k)，对称轴是直线x=h．2、二次函数y=a(x －h)2＋k(a ≠0)的性质如下：当a>0时，若x<h ，则y 随x 的增大而减小；若x>h ，则y 随x 的增大而增大；当x=h 时，y 有最小值k ；当a<0时，若x<h ，则y 随x 的增大而增大；若x>h ，则y 随x 的增大而减小；当x=h 时，y 有最大值k ．3、抛物线y=a(x －h)2＋k(a ≠0)与y=ax 2(a ≠0)的关系．抛物线y=ax 2向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位，得抛物线y=a(x －h)2，再把抛物线y=a(x －h)2向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得抛物线y=a(x －h)2＋k ．（二）、知识要点1.二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0）②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。

③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。

2.二次函数的图象①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。

②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。

然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。

a ＞0a ＜0a ＞0a ＜0y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()24.求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；若a ＜0，y有最大值，当x ＝h 时，。

②公式法：直接利用顶点坐标公式（），求其顶点；对称轴是直线，若若，y 有最大值，当5.抛物线与x 轴交点情况：对于抛物线①当时，抛物线与x 轴有两个交点，反之也成立。

②当时，抛物线与x 轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。

③当时，抛物线与x 轴无交点，反之也成立。

经典例题：二次函数图像与系数的关系 1．（2013•昭通）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ． a ＞0B ． 3是方程ax 2+bx+c=0的一个根C ． a+b+c=0D ． 当x ＜1时，y 随x 的增大而减小 2．（2013•义乌市）如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标为（1，n ），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论： ①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＞0；③﹣1≤a ≤﹣；④3≤n ≤4中， 正确的是（ ）y ax bx c =++2y a x h k =-+()2x h =y k最小值=y k最大值=--b aac b a 2442，x ba =-2a y x b a y ac b a >=-=-02442，有最小值，当时，；最小值a <0x b a y ac b a =-=-2442时，最大值y ax bx c a =++20()≠∆=->b ac 240∆=-=b ac 240∆=-<b ac 240A．①②B．③④C．①④D．①③3．（2013•烟台）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y 1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④4．（2013•济宁）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大5．（2013•济南）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论正确的是（）A．a＜0 B．a﹣b+c＜0 C．﹣D．4ac﹣b2＜﹣8a6．（2013•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：①abc＞O，②2a+b=O，③b2﹣4ac＜O，④4a+2b+c＞O其中正确的是（）A．①③B．只有②C．②④D．③④7．（2013•鄂州）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③ a﹣2b+4c＞0；④．你认为其中正确信息的个数有（）A．2个B．3个C．1个D．4个8．（2013•滨州）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a﹣2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．49．（2013•包头）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②4a+2b+c＜0；③a﹣b+c＞0；④（a+c）2＜b2．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．①③④D．①②③④）10.在图中，函数y=－ax2与y=ax+b的图象可能是( )11.求三角形面积的最值问题已知二次函数cbxaxy2++=过点A(-1,0) B(3,0) C(0,3)⑴求函数解析式⑵在第一象限的抛物线上是否存在一点N，使得CNB∆的面积最大，若存在，求出点N的坐标，若不存在请说明理。

12.已知如图，抛物线）（0acax2-axy2≠+=与y轴交于点C（0,3），与x轴交于A,B两点，点A的坐标为（-1,0）.⑴求抛物线的解析式及顶点坐标；⑵设点P是在第一象限内抛物线上的一个动点，求使与四边形ABDC面积相等的四边形ACPB 的点P的坐标；⑶在⑵的条件下，求APD∆的面积。

二次函数与三角形形似问题12．如图9，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，= 2，（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结，求的大小；（3）如果点在轴上，且△与△相似， 求点的坐标．.xoy M 2(0y ax bx a =+>）A x B AO OB =120AOB ∠=OM AOM ∠C x ABC AOM C 图9。