十字相乘法完整版

(完整版)初中生物十字相乘法因式分解初中生物十字相乘法因式分解
引言
十字相乘法是初中生物学中一种常用的因式分解方法，用于分
解多项式式子。

本文将介绍该方法的具体步骤和应用。

步骤
1. 首先，我们需要确定多项式的因式之间是否存在公因式。

如
果存在公因式，我们先将公因式提取出来。

2. 接下来，我们需要确定多项式的因式之间是否存在二元关系。

如果存在二元关系，我们可以使用十字相乘法进行因式分解。

3. 根据两个因式之间的关系，我们可以将多项式分解为两个部分，每个部分包含一个因式。

4. 对于每个部分，我们可以使用十字相乘法，将其进一步分解
成更简单的形式。

应用
十字相乘法因式分解在初中生物学中具有广泛的应用。

它可以帮助我们简化复杂的多项式式子，并更好地理解和分析生物学中的关系和过程。

通过掌握十字相乘法因式分解的方法和应用，我们可以更加深入地研究和掌握初中生物学的知识。

结论
初中生物十字相乘法因式分解是一种常用的因式分解方法，可以帮助我们简化复杂的多项式式子。

通过掌握这种方法，我们可以更加深入地研究和理解初中生物学的知识。

高中十字相乘法
十字相乘法是因式分解中12种方法之一，另外十一种分别都是：1分组分解法，2.拆添项法，3.配方法，4.因式定理（公式法），5.换元法，6.主元法，7.特殊值法，8.待定系数法，9.双十字相乘法，10.二次多项式，11.提公因式法。

十字相乘法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是在整数范围内）。

对于像ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a₁,a₂的积，把常数项c分解成两个因数c₁,c₂的积，并使a₁c₂+a₂c₁正好等于一次项的系数b。

那么可以直接写成结
果:ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。

在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。

数学十字相乘法公式数学十字相乘法公式引言数学中的十字相乘法公式是一种用来求两个多位数相乘的方法，它能简化复杂的乘法运算，提高计算的效率。

在本文中，我将为您介绍十字相乘法公式，并给出相关的公式和解释说明。

什么是十字相乘法公式十字相乘法公式是一种通过交叉相乘和进位相加的方法来计算两个多位数的乘法。

通过将两个多位数的各位数进行相互的乘法运算，并将结果按照一定规则的排列，最后相加得到最终结果。

十字相乘法公式的公式和解释1.公式：AB×CD=(A×C)×100+(A×D)×10+(B×C)×10+(B×D)解释：将两个多位数AB和CD的每个位上的数进行相互的乘法运算，并按照一定顺序排列结果。

举例：求解23乘以48的结果。

[十字相乘法步骤](–首先，将AB和CD的个位数23和48进行乘法运算得到4和24。

–其次，将AB和CD的十位数2和4进行乘法运算得到8和96。

–最后，按照公式的顺序将结果相加，即4×100+8×10+ 24×10+8=1104。

2.公式：AB×CD=(A×C)×102+(A×D)×101+(B×C)×101+(B×D)×100解释：将两个多位数AB和CD的每个位上的数进行相互的乘法运算，并按照一定顺序排列结果，并通过乘以10n的方式得到最终结果。

举例：求解36乘以25的结果。

–首先，将AB和CD的个位数6和5进行乘法运算得到30。

–其次，将AB和CD的十位数3和2进行乘法运算得到6和60。

–最后，按照公式的顺序将结果相加，并通过乘以10n的方式得到最终结果，即6×102+60×101+6×101+30×100=900+600+60+30=1590。

3.公式：AB×CD=(A×100+B)×(C×100+D)=A×C×10000+(A×D+B×C)×100+B×D解释：将两个多位数AB和CD先进行分解，然后进行乘法运算，最后将结果相加得到最终结果。

别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3
=7
╳
2 6
1X6+2X1=8 8>7不成立继续试
第二次
1 2
╳
2 3
1X3+2X2=7所以分解后为:(x+2)(2x+3)
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
a^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.
上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以
上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4)
又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3).

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十字相乘法完整版
目录
01
添加目录标题
02
十字相乘法的基本原理
03
十字相乘法的应用
04十字相乘法ຫໍສະໝຸດ 注意事项05十字相乘法的扩展应用
01
添加章节标题
02
十字相乘法的基本原理
定义与公式
定义：十字相乘法是一种解一元二次方程的方法，通过将方程的系数分解为两个因数的乘积，从而找到方程的解。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有括号时。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有分数时。
分解因式时要注意完全平方数的问题
分解因式时要注意完全平方数的问题，避免出现错误的结果。
分解因式时要注意符号问题，确保结果的正确性。
分解因式时要注意因式的分解是否彻底，避免出现不必要的错误。
应用场景：求解一元二次不等式时，当不等式的系数较大或较为复杂时，使用十字相乘法可以简化计算过程
注意事项：在使用十字相乘法时，需要确保分解后的两个一次项的乘积为正，否则会导致不等号方向错误
举例说明：通过具体的一元二次不等式实例，展示十字相乘法的应用和求解过程
求解一元二次函数极值
定义：一元二次函数极值是指函数在某点的导数为零，且该点两侧的函数值异号
代数方程：十字相乘法可用于解二次方程和一元高次方程
矩阵运算：十字相乘法在矩阵的乘法中也有应用
分式化简：十字相乘法可以用于化简分式，简化计算过程
在物理和工程领域的应用
线性代数方程组的求解
工程中的结构分析、流体动力学等领域
物理中的动力学方程求解
矩阵运算中的分块矩阵相乘

当常数项为负数时,拆分成的两个有理数异 号，绝对值大的数与一次项系数同号
练一练：将下列各式分解因式
x2 +7x 10 x2 -2x 8 y2 7 y 12 x2 7x 18
例2 分解因式： x2 6x 16
解： x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出 负号再因式分解 。
因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。
通过十字相乘法得到 (2x–3y)(x+3y)
设原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)
通过比较两式同类项的系数可得：3aa23bb
14 3
解得：ab
4 5
，∴原式
=
(2x–3y+4)(x+3y+5)
= (a + d) (b – c)
配方法
配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配 成完全平方式，再用平方差公式进行分解。
因式分解 a2–b2+4a+2b+3
解：原式 = (a2+4a+4) – (b2–2b+1)
= (a+2)2 – (b–1)2
= (a+b+1)(a–b+3)
拆项添项法
回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。
(6)（x+y）2 + 4(x+y) - 5 (7) 2（a+b）2 + 3(a+b) – 2 (8) 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5
分组分解法

原式常数项的和=结果中一次项的系数
规律：原式常数项的积=结果中的常数项
原式常数项的和=结果中一次项的系数
( x 1)(x 5) x 4 x 5 x 2 20x 96 ( x 8)(x 12)
2
( x a)(x b) x 2 px q
x (px x 5) ( x 5x)(x 5b) x 2 4 x 5 q x2 a x x 1)(
( x +1)(x 2) x 2 3x 2 1 +2 +3 +2
-10 8 ( x 10)(x +8 ) x 2 2 x - 80 - 2 80 -1 - 5 ( x 1)(x 5 ) x 2 6 x 5 +5 规律：原式常数项的积=结果中的常数项
x 2 8x 12 ( x 2)(x 6)
x 3x 2 ( x 1)(x 2)
2
1. 解题时从哪里入手，凑p还 是分解q? 2. 观察前四题，其中的q的符 1．当q〉0时，a、b同号，它们的符号 号有什么共同的特征？
与p相同。
x 7 x 6 ( x 1)(x 6)
2
2
( x 1)( x 2) ( x 1)( x 6) ( x 5)( x 3) ( x 5)( x 4)
x 21x 72
x 2 px q ( x a)(x b)
x 2 7 x 12 ( x 3)(x 4)
1>．当q〉0时，a、b同号，它们的符号与p相同。
2>．当q〈0时，a、b异号，其中绝对值较大的数的符号与p相同。

十字相乘法公式
公式：x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数
具体步骤：
十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数
扩展资料：
原理：
运用了乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

十字相乘法能把二次三项式分解因式(不一定在整数范围内)。

对于形如ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)的整式计算步骤：
⑴把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2
⑵把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2
⑶使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b
⑷结果:ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)
实质：二项式乘法的逆过程。

当首项系数不是1时，需注意各项系数的符号。

基本式子：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。

十字相乘法顺口溜
1. 十字相乘法呀，真神奇，算起来那叫一个快！就像孙悟空的七十二变，看我给你变一变，比如分解x²+5x+6，一下子就能变成(x+2)(x+3)啦！
2. 嘿，十字相乘法顺口溜，那可是解题的好帮手！好比一把钥匙开一把锁，遇到x²+3x-4，咱就能轻松搞定，变成(x-1)(x+4)呀！
3. 哇塞，十字相乘法顺口溜太好用啦！就像有了魔法棒一样，看分解x²-2x-3，轻松变成(x-3)(x+1)，厉害吧！
4. 十字相乘法顺口溜，这可不得了！如同给你装上了翅膀，比如算x²+6x+8，马上得出(x+2)(x+4)，是不是很牛！
5. 哎呀呀，十字相乘法顺口溜，简直妙不可言！就像找到了宝藏的地图，碰到x²-5x+6，一下子就知道是(x-2)(x-3)啦！
6. 嘿嘿，十字相乘法顺口溜，可太有意思啦！好像给你指引方向的明灯，算x²-3x+2，马上变成(x-1)(x-2)咯！
7. 哇哦，十字相乘法顺口溜，这也太好用了吧！就像拥有了超能力，看分解x²+4x-5，轻松变成(x-1)(x+5)，牛不牛！
8. 十字相乘法顺口溜，那真是绝了！如同给你开了外挂，比如算x²-4x-12，迅速得出(x-6)(x+2)，厉害吧！
9. 哟呵，十字相乘法顺口溜，真的超厉害！就像有了秘密武器，分解
x²+7x+10，一下子就是(x+2)(x+5)啦！
10. 哈哈，十字相乘法顺口溜，简直太棒啦！好像是解题的神器，算x²-7x+12，轻松得出(x-3)(x-4)呀！
我的观点结论：十字相乘法顺口溜真的是非常实用的工具，能让我们在数学计算中事半功倍，大家一定要好好掌握呀！。

十字相乘法的解法步骤
1.将要相乘的两个数（被乘数和乘数）分别写在竖式的上方和下方。

2.从乘数的个位数开始，分别乘以被乘数的各位数，并将乘积写在相应的位置上。

3.如果乘数有多位数，依次将每一位数与被乘数相乘，并将乘积叠加在相应的位置上，与之前的结果相加。

4.计算完毕后，将所有列的积相加，得出最终结果。

以下是一个具体的例子来说明十字相乘法的解法步骤：
12
*34
48(2乘以4得到8)
+24(2乘以3得到6，再乘以10得到60)
+36(1乘以4得到4，再乘以10得到40)
+12(1乘以3得到3，再乘以100得到300)
+408(最终结果为408)
因此，12乘以34的乘积为408。

例1：因式分解 ab–ac+bd–cd
解：原式 = (ab – ac) + (bd – cd)
还有别的 解法吗？
= a (b – c) + d (b – c) = (a + d) (b – c)
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10
分组分解法
要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、 去括号等一些变换达到因式分解的目的。
完全平方公式
平方差公式
= (x2+2x+2)(x2–2x+2)
拆项添项法随堂练习：
1）x4–23x2y2+y4
2）(m2–1)(n2–1)+4mn
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15
双十字相乘法
双十字相乘法适用于二次六项式的因式 分解，而待定系数法则没有这个限制。
因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20
2 x2 + 3 xy – 9 y2 + 14 x – 3 y + 20
( 4 ) 2x2+5xy - 12y2
( 5 ) 6x2 - 7xy – 5y2
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8
(6)（x+y）2 + 4(x+y) - 5 (7) 2（a+b）2 + 3(a+b) – 2 (8) 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5
精选ppt
9
分组分解法
要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、 去括号等一些变换达到因式分解的目的。
2 4 –3 15 3 1206–+–1435==13–43
∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)

因式分解——十字相乘法
1、十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。

2、十字分解法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是整数范围内）。

对于像ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数
a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并使
a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。

那么可以直接写成结
果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。

在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。

当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

基本式子：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。

3、示例：
（1)例1因式分解：x2-x-56；
分析：因为7x+(-8x)=-x；
解：原式=(x+7)(x-8)。

（2）例2因式分解：x2-10x+16；
分析：因为-2x+(-8x)=-10x；
解：原式=(x-2)(x-8)。

十字相乘法万能公式一、十字相乘法原理。

1. 对于二次三项式ax^2+bx + c（a≠0）- 若能将a分解成a = m× n，c分解成c=p× q，且满足m× q + n× p=b。

- 那么ax^2+bx + c=(mx + p)(nx+q)。

2. 举例说明。

- 例如对于二次三项式x^2+5x + 6。

- 这里a = 1（可分解为1×1），c = 6（可分解为2×3）。

- 并且1×3+1×2 = 5（满足m× q + n× p=b）。

- 所以x^2+5x + 6=(x + 2)(x+3)。

二、十字相乘法的步骤。

1. 分解二次项系数a- 先将二次项系数a分解成两个因数m和n的乘积。

2. 分解常数项c- 再将常数项c分解成两个因数p和q的乘积。

3. 尝试组合。

- 按照十字相乘的形式排列，即begin{array}{ccc}mp nqend{array}，计算m× q + n× p，看是否等于一次项系数b。

- 如果不等于，就重新调整p和q的分解组合，直到满足m× q + n× p=b为止。

三、特殊情况及注意事项。

1. 当a = 1时。

- 对于二次三项式x^2+bx + c，只需要将c分解成两个数p和q，使得p + q=b 即可。

- 例如x^2-3x - 4，c=-4，可分解为-4 = 1×(-4)或者-4=(-1)×4，经过尝试1+(-4)= - 3，所以x^2-3x - 4=(x + 1)(x - 4)。

2. 系数有正负情况。

- 在分解因数时要注意正负号的搭配。

例如对于2x^2-5x - 3。

- a = 2，可分解为2×1；c=-3，可分解为-3 = 1×(-3)。

- 按照十字相乘begin{array}{ccc}21 1-3end{array}，计算2×(-3)+1×1=-5，所以2x^2-5x - 3=(2x + 1)(x - 3)。

当q>0时，q分解的因数a、b( 当q<0时， q分解的因数a、b(
) 同号 ) 异号
观察：p与a、b符号关
系
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结： 当q>0时，q分解的因数a、b(
) 同号
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5) x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b(
) 异号
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填 、 符号
__ __ x2 4x 3 =（x + 3）（x + 1）
_-_ __ x2 2x 3 =（x
3）（x + 1）
_-_ _-_ y2 9y 20 =（y
4）（y 5）
_-_ __ t2 10t 56 =（t
4）（t +14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为 -1 时 ， 先提出负号再因式分解 。
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。

1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

十字相乘法进行因式分解
对于一个关于某个字母的二次项系 数是1的二次三项式x2+px+q，它的 常数项可看做两个数a与b的积，而 一次项系数恰好是a与b的和，它就 可以分解成(x+a)(x+b)，也就是令 p=a+b,q=ab时，x2+px+q =x2+(a+b)x+ab
= (x+a)(x+b)
十字相乘法关键看常数项和一次项系数。 先看常数项，再看一次项系数。 如果常数项是正数，一次项系数也是正 数，那么常数项分解成两个正数之积； (1)x2-6x-7 如果常数项是正数，一次项系数是负数， 那么常数项分解成两个负数之积； (2)x2-8x+7
如果常数项是负数，一次项系数是 正数，那么常数项分解成异号两数 之积，并且正数的绝对值要大于负 数的绝对值； (3)x2+6x-7 如果常数项是负数，一次项系数是 负数，那么常数项分解成异号两数 之积，并且负数的绝对值要大于正 数的绝对值。 (4)x2-6x-7
(1)x2-5x+6
(2)x2-5x#43;5x+6 (5)x3-x2-20x
(6)ax2-7ax+6a (7)x2+9x+20

朝代歌：夏商与西周，东周分两段。

春秋和战国，一统秦两汉。

三分魏蜀吴，两晋前后沿。

南北朝并立，隋唐五代传。

宋元明清后，王朝至此完。

夏约前22世纪末—约前16世纪初安邑山西夏县阳翟河南禹县商①约前16世纪—约前11世纪亳河南商丘殷河南安阳周西周约前11世纪—前771②镐京陕西西安东周前770—前256 洛邑河南洛阳秦前221—前206 咸阳陕西咸阳汉西汉③前206—公元25 长安陕西西安东汉 25—220 洛阳河南洛阳三国魏 220-265 洛阳河南洛阳蜀 221-263 成都四川成都吴 222-280 建业江苏南京西晋 265-317 洛阳河南洛阳东晋十六国东晋 317-420 建康江苏南京十六国④ 304-439 ——南朝宋 420-479 建康江苏南京齐 479-502 建康江苏南京梁 502-557 建康江苏南京陈 557-589 建康江苏南京北朝北魏 386-534 平城山西大同洛阳河南洛阳东魏 534-550 邺河北临漳北齐 550-577 邺河北临漳西魏 535-557 长安陕西西安北周 557-581 长安陕西西安隋 581-618 大兴陕西西安唐 618-907 长安陕西西安五代十国后梁 907-923 汴河南开封后唐 923-936 洛阳河南洛阳后晋 936-946 汴河南开封后汉 947-950 汴河南开封后周 951-960 汴河南开封十国⑤ 902-979 ——宋北宋 960-1127 开封河南开封南宋 1127-1279 临安浙江杭州辽 907-1125 皇都 (上京) 辽宁巴林右旗西夏 1038-1227 兴庆府宁夏银川金 1115-1234 会宁阿城(黑龙江) 中都北京开封河南开封元 1206-1368 大都北京明 1368-1644 北京北京清 1616-1911 北京北京中华民国 1912-1949 南京江苏南京中华人民共和国1949年10月1日成立，首都北京李白：1、长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。