高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数学案 文

版高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用25指数与指数函数模2022版高考数学一轮总复习第2章函数、导数及其应用2.5指数与指数函数模拟演练文[A级基础达标](时间：40分钟)1．[2022·长沙模拟]下列函数中值域为正实数的是()A．y＝－5某11－某B．y＝3C．y＝1某－12某D．y＝1－2答案B1某解析∵1－某∈R，y＝的值域是正实数，311－某∴y＝的值域是正实数．3答案D解析12某－7，某＜0，3．设函数f(某)＝某，某≥0，A．(－∞，－3)C．(－3,1)答案C若f(a)＜1，则实数a的取值范围是()B．(1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)1a1a1a1－3解析当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为－7＜1，即＜8，即＜，因为22220＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为a＜1，所以0≤a2＜1.故a的取值范围是(－3,1)，故选C.1某2＋2某－14．函数y＝的值域为()2A．(－∞，4]C．(0,4]答案C解析设t＝某＋2某－1＝(某＋1)－2，则t≥－2.22B．(0，＋∞)D．[4，＋∞)1t1－2因为y＝是关于t的减函数，所以y≤＝4.又y>0，所以0221某5．[2022·西安模拟]函数y＝a－(a>0，a≠1)的图象可能是() a答案D11解析当a>1时函数单调递增，且函数图象过点0，1－，因为0<1－<1，故A，B均aa11不正确；当0aa1某2－2某＋26．函数y＝的递增区间是________．2答案(－∞，1]1u22解析令u＝某－2某＋2，∵y＝是减函数，而u＝某－2某＋2的递减区间为(－∞，1]．所21某2－2某＋2的递增区间是(－∞，1]．以y＝27．[2022·山东高考]已知函数f(某)＝a＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.3答案－2解析①当0ff某－＝0，＝－1，2a＋b＝0，即0a＋b＝－1，－11a＝，解得2b＝－2，3此时a＋b＝－.2－＝－1，＝0，f②当a>1时，函数f(某)在[－1,0]上单调递增，由题意可得fa＋b＝－1，a＋b＝0，－1即3显然无解．所以a＋b＝－.2答案113解析∴某＋2＋某＝9，∴某＋某＝7，∴(某＋某)＝49，∴某＋某＝47，－122－2－1－1某＋某－1－47－41∴2＝＝.某＋某－2－847－8139．[2022·厦门质检]已知指数函数f(某)＝a(a>0，且a≠1)过点(－2,9)．(1)求函数f(某)的解析式；(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．11某某－2解(1)将点(－2,9)代入到f(某)＝a中得a＝9，解得a＝，∴f(某)＝. 33某12m－11m＋3(2)由f(2m－1)331某∵f(某)＝在R上为减函数，3∴2m－1>m＋3，解得m>4，∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．1某10．[2022·青岛模拟]已知定义在R上的函数f(某)＝2－|某|.23(1)若f(某)＝，求某的值；2(2)若2f(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．解(1)当某＜0时，f(某)＝0，无解；1某当某≥0时，f(某)＝2－某，213某2某某由2－某＝，得2·2－3·2－2＝0，22t3看成关于2的一元二次方程，1某某某解得2＝2或2＝－，∵2＞0，∴某＝1.21t1t2t(2)当t∈[1,2]时，22－2t＋m2－t≥0，22即m(2－1)≥－(2－1)，∵2－1＞0，∴m≥－(2＋1)．∵t∈[1,2]，∴－(2＋1)∈[－17，－5]，故m的取值范围是[－5，＋∞)．[B级知能提升](时间：20分钟)11．[2022·长春模拟]若存在正数某使2(某－a)<1成立，则a的取值范围是()A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)答案D某2t2t2t4t2t某1某某解析不等式2(某－a)<1可变形为某－a2有－a<1，所以a>－1.某y－y－某12．已知某，y∈R，且2＋3>2＋3，则下列各式中正确的是()A．某－y>0B．某＋y<0C．某－y<0D．某＋y>0答案D1某y－y－某某－某－yy某－某某解析因为2＋3>2＋3，所以2－3>2－3.f(某)＝2－3＝2－某为单调递增函3数，f(某)>f(－y)，所以某>－y，即某＋y>0.13．[2022·南昌模拟]已知函数y＝9＋m·3－3在区间[－2,2]上单调递减，则m的取值范围为________．答案m≤－18某某1某2解析设t＝3，则y＝t＋mt－3，因为某∈[－2,2]，所以t∈，9. 9又因为y＝9＋m·3－3在[－2,2]上递减，某某4。

2. 5指数与指数函数E 课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1.给出下列结论:3 .2①当白〈0时，（/） =/；② 勺了=|引（刀>1,刀GN*,刀为偶数）；丄③ 函数=2） 2 -（3^-7）°的定义域是｛』妙2且心弓；④若 5 =0. 3, 0. 7A =0. 8,则 ab>0.其屮正确的是（）A.①②B.②③C.③④D.②④答案B32解析（旳 >0, /0,故①错误. ・.・玄0,方>0,/• ④错误•故选B.A. (0, 1) C. (2, 3)答案B2.设函数"与 尸（护 的图象的交点为（血旳），则Ab 所在的区间是（B. (1,2) D. (3,4)解析如图所示，设f\x) =x ,f(O)<g(O), f(l)〈g(l), f(2)>g(2), f(3)>g(3), ・・・.(1,2).故选B.3.(2017 •北京模拟)已知函数f(x)=a,其屮$>0且臼H1,如果以卩5,心)),0(疋,HQ)为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x)・HQ等于( )A. 1B. aC. 2D. a答案A解析T以P(x\,<?(x2,代对)为端点的线段的屮点在y轴上，・・・xi + x2=0.X V/(^r) = a,・• f\x^=a \ • 3\=3^\=3=\,故选A.4. (2018 -沈阳模拟)若关于x 的方程9'+ (4+a)・3r +4=0有解,则实数&的取值范围 为() A. ( — 8, —8) U [0, +°°) C. [—8, —4]答案D斗彳解析 V a+4=— 令 3x =f(f>0),则一'~^=-3力+4 一 丁W — 4,・••自+4W —4,所以自的范围为(―°°, —8].故选D.5. (2018 •南昌质检)定义在R 上的偶函数,当x> — 2时，/'(%) =e l4'1 —2(e 为 自然对数的底数)，若存在k 凯 使方程f3= 0的实数根那丘(&一1, &),则&的取值集合 是()A. {0} ] C. {-4,0}I 答案D解析・・•偶函数厂匕一2)的图象关于y 轴对称， 函数y=f\x)的图象关于x=_2对称. ・・•当 x>-2 时,/U)=e x+*-2,・・・f3=e+ — 2 在(一2, +8)上单调递增,且 /(-1)<0, f(0)=e —2>0.由零点存在定理可知，函数f\x) =eE —2在(一1, 0)上存在零点. 由函数图象的对称性可知，当*—2时，存在唯一零点%e(-4, -3).由题意，方程A%) = 0的实数根尬£伙一1,力，则斤一1 = 一4或斤一1 = 一1, k=_3 或k=0.故选D.6. 函数f^=x~bx+c 满足Al+x)=Al-x)且f(0)=3,则f (方、)和現刃的大小关 系是() A. fUlC B. C.B. 大小关系随x 的不同而不同答案A解析 ・・・f(l + x)=f(l —方，・"3图象的对称轴为直线X=l,由此得b=2. 又 f(0) =3, c=3.f(x)在(一g, 1)上递减，在(1, +s)上递增.若心0,则332—1,・•・ f(3“)2f(2”).B. (-8, -4) D. (-co, -8]t+~因为所以 B. {-3} D. {-3,0}若水0,则3X2X1,・•・ f(3j>f(2j.・・・f(3jNf(2》故选A.7. (2018 •长春模拟)若存在正数才使2”匕一&)〈1成立，则白的取值范围是() A. ( — 8, +oo) B. (—2, +°°) C. (0, +oo)D. (-1, +oo)答案D一日与的图象.由题意，在（0，+8）上，直线有一部分在曲线的下方.观察可知, 有一臼<1,所以a> —1.故选D.8. （2017 •江西南吕二模）已知函数y=f\x ）是周期为2的周期函数，且当^[一1, 1] 时，/U ）=2W -1,则函数F （0=f （0 —|lg 才|的零点个数是（）B. 10C. 11D. 18答案B解析 依题意，在坐标平面内画出函数y=fU 与y=|lg”的大致图象（如图），由图象 可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F （0=f （0 —|lg”的零点个数是10,故选B.99. （2018 •宜宾模拟）己知惭数f\x ） 4+-j-pY ，（0, 4）,当x=a 时，取得最 小值b,则函数=产的图象为（）解析不等式2\x~a ） <1可变形为X — 6?< 平面直角坐标系内作出直线尸才A. 9 （分•在同答案A解析 (0,4)，・・・无+1>1当且仅当x=2时取等号，此时函数有最小值1. • •日=2 9 /?= 1 9十打 x^-1.象及选项可知A 正确.故选A.1 + f X10・（2018 •蒙城模拟）设"，/R,函数曲满足宀匸厂厂，若心）+心）=1, 则f\xi + x2)最小值是(4 B. 2 C -5答案 x —r/口 z 、 e'— 12‘可得/W=7+T=1_F H ,即为 e X i +X 2=exl + e 7+3, 由 e \ + e ^2^V^, 即有e 首2^2萨兀+3, 解得書兀23,即e V X2^9,当且仅当加=私取得等号,9 ."3=L 4+币 =^+1+卄19-5心0,此函数可以看成函数尸 < 卩）的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图A. 4 解析由心）+心）=1,可得击+比詁，r+卄 1 -5=1,*—1,此时皿）=2网=22 4则心+ Q=1—p 石Ml —审冷4 即有最小值为石故选C. 5二、填空题召111. （2018 •浦东检测）关于x 的方程 "=匕只有正实数解，则日的取值范围是只有正实数解,解得1〈日〈2.・・・臼的取值范围为（*，2）12. （2018・东湖调研）已知函数f （x ）=（分，且a>b>c>0,则上 大小关系为 .答案f x解析由题意一^可以转化为心上的点与原点连线的斜率,根据函数代力=£),设 JU, f(a)), B(b, W C(c, f(c)), 观察图象知• f日 / b f c • • \ • N •a b c13. (2018 •深圳一模)下列四个函数中：®y= ②y= 1 og 2(x+1):③尸一匚士;解析 ，7_|_ 1玄一1>0,整理得2a-12-a>0. f b答案④尸在(0, +®)上为减函数的是 ___________________ ・(填上所有正确选项的序号)答案①④解析当XW (0, +8)口寸：①x增大时，心增大,一心减小，即y减小，・•・函数y=—心在(0, +8)上为减函数；②/增大时，/+1增大，log2(x+1)增大，即y增大，・：函数y=log2(x+1)在(0, +°°)上为增函数；③/增大时，卄1增大，占减小，—占增大，即y增大，・°・函数y=—计了在(0, +8)上为增函数；④/增大时，/一1增大，减小，即y减小，・・・函数尸(少7在(0, +8)上为减函数.・••在(0, + 8)上为减函数的是①④.14.(2018 •济南模拟)己知呂(方=站+1, f(力=2"—1, 0WxW2,'。

2.5 指数与指数函数考纲要求1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象．4．体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式(1)根式的概念(2)两个重要公式①na n ＝⎩⎨⎧n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧，a ≥0， ，a <0n 为偶数；②(na )n＝______(n ＞1且n ∈N *)(注意a 必须使na 有意义)．2．实数指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂的意义是m na ＝______(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．②正数的负分数指数幂的意义是m na-＝______＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．③0的正分数指数幂是____，0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质 ①a r a s＝____(a ＞0，r ，s ∈Q )；②(a r )s＝____(a ＞0，r ，s ∈Q )；③(ab )r＝____(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． (3)无理指数幂一般地，无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个____的实数，有理指数幂的运算法则__________________于无理指数幂．3．指数函数的图象和性质函数 y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)图象0＜a ＜1 a ＞1图象特征在x 轴______，过定点________当x 逐渐增大时，图象逐渐下降 当x 逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域 __________ 值域 __________单调性 在R 上__________ 在R 上__________函数值变化规律当x ＝0时，__________当x ＜0时，__________； 当x ＞0时，__________ 当x ＜0时，__________； 当x ＞0时，__________1．化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)得( )．A ．2x 2yB ．2xyC ．4x 2yD ．－2x 2y2．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则有( )． A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ＞0且a ≠13．把函数y ＝f (x )的图象向左、向下分别平移2个单位长度得到函数y ＝2x的图象，则( )．A ．f (x )＝2x ＋2＋2B ．f (x )＝2x ＋2－2C ．f (x )＝2x －2＋2D ．f (x )＝2x －2－24．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)图象的大致形状是( )．5．函数f (x )＝323x x a+-＋m (a ＞1)恒过点(1,10)，则m ＝__________.一、指数式与根式的计算【例1】 计算下列各式的值．(1)23278-⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12(0.002)-－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)15＋2－(3－1)0－9－45；(3)3322111143342()a b ab a b a b-(a ＞0，b ＞0)．方法提炼指数幂的化简与求值(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．请做演练巩固提升4二、指数函数的图象与性质的应用【例2－1】在同一坐标系中，函数y ＝2x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象之间的关系是( )．A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称【例2－2】已知函数f (x )＝24313ax x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．【例2－3】 k 为何值时，方程|3x－1|＝k 无解？有一解？有两解？ 方法提炼1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系及规律如下：图中直线x ＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1＞d 1＞1＞a 1＞b 1，∴c ＞d ＞1＞a ＞b ，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤： (1)求复合函数的定义域；(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性；(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．4．函数y ＝a f (x )的值域的求解，先确定f (x )的值域，再根据指数函数的单调性确定y ＝a f (x )的值域．请做演练巩固提升2三、指数函数的综合应用 【例3】已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a ＞0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． 方法提炼1．利用指数函数的性质解决相关的综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．2．解决恒成立问题，一般需通过分离变量，通过转化为求函数的最值来实现． 请做演练巩固提升5忽略0＜a ＜1或弄错x 的范围而致误【典例】(12分)已知函数y ＝b ＋22x xa+(a ，b 是常数且a ＞0，a ≠1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0上有y max ＝3，y min ＝52，试求a ，b 的值．分析：先确定t ＝x 2＋2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0上的值域，再分a ＞1，0＜a ＜1两种情况讨论，构建关于a ，b 的方程组求解．规范解答：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0， ∴t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，值域为[－1,0]，即t ∈[－1,0]．(2分)(1)若a ＞1，函数y ＝a t在[－1,0]上为增函数，∴a t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1，则b ＋22x x a +∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋1a，b ＋1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(7分)(2)若0＜a ＜1，函数y ＝a t在[－1,0]上为减函数，∴a t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a ，则b ＋22x xa +∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋1，b ＋1a ，(9分)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝32.综上，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.(12分)答题指导：1．在解答本题时，有两大误区：(1)误将x 的范围当成x 2＋2x 的范围，从而造成失误．(2)误认为a ＞1，只按第(1)种情况求解，而忽略了0＜a ＜1的情况，从而造成失误． 2．利用指数函数的图象、性质解决有关问题时，还有以下几个误区，在备考中要高度关注：(1)忽视函数的定义域而失误；(2)未能将讨论的结果进行整合而失误； (3)利用幂的运算性质化简指数式时失误； (4)在用换元法时忽视中间元的范围而失误．1．(2012天津高考)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a2．在同一个坐标系中画出函数y ＝a x，y ＝sin ax 的部分图象，其中a ＞0且a ≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )．3．类比“两角和与差的正、余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S (x )＝a x －a －x2，C (x )＝a x ＋a －x2，其中a ＞0且a ≠1，下面正确的运算公式是( )． ①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )； ②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )； ③C (x －y )＝C (x )C (y )－S (x )S (y )； ④C (x ＋y )＝C (x )C (y )＋S (x )S (y )．A ．①③B ．②④C ．①④D ．①②③④4．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷12100-＝__________.5．若函数y ＝a ·2x －1－a2x－1为奇函数．(1)求a 的值；(2)求函数的定义域； (3)讨论函数的单调性．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)x n＝a 正数 负数 两个 相反数 (2)①a a －a ②a2．(1)①na m②1m na③0 (2)①ar ＋s②a rs③a r b r(3)确定 同样适用 3．上方 (0,1) R (0，＋∞) 递减递增 y ＝1 y ＞1 0＜y ＜1 0＜y ＜1 y ＞1 基础自测1．D 解析：416x 8y 4＝(16x 8y 4)14＝[24·(－x )8·(－y )4]14＝1442⨯·184()x ⨯-·144()y ⨯-＝2(－x )2(－y )＝－2x 2y .2．C 解析：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a >0且a ≠1.∴a ＝2.3．C 解析：因为将函数y ＝2x 的图象向上平移2个单位长度得到函数y ＝2x＋2的图象，再向右平移2个单位长度得到函数y ＝2x －2＋2的图象，所以，函数f (x )的解析式为f (x )＝2x －2＋2.4．D 解析：当x ＞0时，y ＝a x ；当x ＜0时，y ＝－a x.故选D. 5．9 解析：f (x )＝223x x a +-＋m 在x 2＋2x －3＝0时过定点(1,1＋m )或(－3,1＋m )，∴1＋m ＝10，解得m ＝9. 考点探究突破【例1】 解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝5－2－1－（5－2）2＝(5－2)－1－(5－2)＝－1. (3)原式＝12323311233()a b a b ab a b-＝3111111226333ab +-++--＝ab －1.【例2－1】A 解析：∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2－x，∴它与函数y ＝2x的图象关于y 轴对称．【例2－2】解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝24313x x --+⎛⎫ ⎪⎝⎭，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )在R 上单调递减．所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )． 由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.【例2－3】解：函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＜0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0＜k ＜1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解． 【例3】解：(1)函数定义域为R ，关于原点对称．又∵f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x)＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(2)当a ＞1时，a 2－1＞0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x为增函数， ∴f (x )为增函数．当0＜a ＜1时，a 2－1＜0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x为减函数，∴f (x )为增函数．故当a ＞0且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， ∴f (x )在区间[－1,1]上为增函数． ∴f (－1)≤f (x )≤f (1)．∴f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a －1－a ) ＝aa 2－1·1－a2a＝－1. ∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1]． 演练巩固提升1．A 解析：a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8，∵21.2＞20.8＞1，∴a ＞b ＞1，c ＝2log 52＝log 54＜1.∴c ＜b ＜a .2．D 解析：若a ＞1，则y ＝ax 是增函数，且y ＝sin ax 的周期T ＝2πa＜2π；若0＜a ＜1，则y ＝ax 是减函数，且y ＝sin ax 的周期T ＝2πa＞2π.3．A 解析：∵S (x ＋y )＝a x ＋y －a －(x ＋y )2，S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝a x －a －x 2·a y ＋a －y2＋a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＝a x ＋y ＋a x －y －a y －x －a －(x ＋y )4＋a x ＋y －a x －y ＋a y －x －a －(x ＋y )4＝2a x ＋y －2a －(x ＋y )4＝a x ＋y －a －(x ＋y )2＝S (x ＋y )，故①正确；同理可知③也正确．故选A. 4．－20 解析：(lg 14－lg 25)÷12100-＝lg(14×125)÷121100＝lg 1100÷1100＝lg 10－2×100＝－2×10＝－20.5．解：∵函数y ＝a ·2x －1－a2x－1， ∴y ＝a －12x －1.(1)由奇函数的定义， 可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12－x －1＋a －12x －1＝0，∴2a ＋1－2x1－2x ＝0，∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x－1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则y 1－y 2＝2121x -－1121x - ＝122122(21)(21)x x x x ---. ∵0＜x 1＜x 2， ∴1＜12x＜22x.∴12x－22x＜0,12x－1＞0,22x－1＞0.∴y 1－y 2＜0，因此y ＝－12－12x －1在(0，＋∞)上单调递增．同样可以得出y ＝－12－12x －1在(－∞，0)上单调递增．。

第五节 指数与指数函数[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式的性质 (1)(na )n＝a .(2)当n 为奇数时，n a n＝a . (3)当n 为偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a，－a a＜(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂①正分数指数幂：a mna ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；②负分数指数幂：a－m n＝1am n ＝1(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r·a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q)；②(a r )s＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q)； ③(ab )r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q)．3．指数函数的图象与性质[1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大． 3．指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a ＞1与0＜a ＜1来研究．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)na n＝(na )n＝a .( ) (2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)．( )(4)若a m＜a n (a ＞0且a ≠1)，则m ＜n .( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．函数y ＝a x －1＋2(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点的坐标为( )A ．(2,2)B ．(2,4)C ．(1,2)D ．(1,3)D [令x －1＝0得x ＝1，此时y＝1＋2＝3，故选D.]3．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜aC [y ＝0.6x在R 上是减函数，又0.6＜1.5， ∴0.60.6＞0.61.5，又y ＝x 0.6为R 上的增函数， ∴1.50.6＞0.60.6， ∴1.50.6＞0.60.6＞0.61.5. 即c ＞a ＞b .]4．(教材改编)函数f (x )＝21－x的大致图象为()A [f (x )＝21－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，又f (0)＝2，f (1)＝1，故排除B ，C ，D ，故选A.]5．(教材改编)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a 23b 12⎝ ⎛⎭⎪⎫－6a 12b 13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 16b 56＝________. 4a [原式＝－－3×a 23＋12－16b 12＋13－56＝4a 1b 0＝4a.]指数幂的运算1．化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)的正确结果是( ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2yD ．－2x 2yD [∵x ＜0，y ＜0，∴416x 8y 4＝－2x 2y ，选D.]2．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)12＝________.1615 [原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫322×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫11001213 ＝1＋14×23－110＝1615.] 3.56a 13b －2(－3a －12b －1)÷(4a 23b －3)12·ab ＝________. －54b[原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52a －16b －3÷2a 13b －32·a 12b 12＝－54a －12b －32·a 12b 12＝－54b .]有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数若是根式，指数函数的图象及应用【例1】 (1)函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0(2)若曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围为________． (1)D (2)(0,1) [由f (x )＝a x －b的图象可以观察出，函数f (x )＝ax －b在定义域上单调递减，所以0＜a ＜1，函数f (x )＝ax －b的图象是在y ＝a x的基础上向左平移得到的，所以b ＜0.](2)曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 有两个公共点， 则b 的取值范围是(0,1)．与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解 (1)A B C D(2)已知实数a ，b 满足等式2 018a＝2 019b，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(1)A (2)B [(1)易知f (x )是偶函数，且f (0)＝0，从而排除选项B ，C ，D ，故选A. (2)作出y ＝2 018x及y ＝2 019x的图象如图所示，由图可知a ＞b ＞0，a ＝b ＝0或a ＜b ＜0时，有2 018a ＝2 019b，故③④不可能成立，故选B.]指数函数的性质及应用【例2】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5＞1.73B ．0.6－1＞0.62C ．0.8－0.1＞1.250.2D ．1.70.3＜0.93.1(2)(2019·承德模拟)若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋2x ＋3的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19，则f (x )的单调递增区间是________． (3)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫12x －1＋12x ，若f (a )＝2，则f (－a )＝________.(1)B (2)(－∞，－1] (3)2 [(1)A 中，因为函数y ＝1.7x在R 上是增函数，2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.B 中，因为y ＝0.6x在R 上是减函数，－1＜2， 所以0.6－1＞0.62. C 中，因为0.8－1＝1.25，所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． 因为y ＝1.25x在R 上是增函数，0.1＜0.2， 所以1.250.1＜1.250.2，即0.8－0.1＜1.250.2.D 中，因为1.70.3＞1,0＜0.93.1＜1，所以1.70.3＞0.93.1.(2)令g (x )＝ax 2＋2x ＋3，由于f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19，所以g (x )的值域为[2，＋∞)．因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＞012a －44a＝2，解得a ＝1.∴g (x )＝x 2＋2x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋2x ＋3，由于g (x )在(－∞，－1]上是减函数，故f (x )的单调递增区间为(－∞，－1]． (3)令g (x )＝12＋12x －1，则g (－x )＝12＋12－x －1＝12＋2x1－2x ＝12＋2x－1＋11－2x ＝12－1＋11－2x ＝－12＋11－2x ＝－g (x )，即g (x )为奇函数，∴f(x)＝xg(x)为偶函数，又f(a)＝2，∴f(－a)＝f(a)＝2.]比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数(1)么a的值为( )A.13B．1C．3 D.13或3(2)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是________．(1)D (2)(－1,2)[(1)令a x＝t，则y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a＞1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a，又函数y＝(t＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a上单调递增，所以y max＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3.当0＜a＜1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a，1a，又函数y＝(t＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a，1a上单调递增，则y max＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋12－2＝14，解得a＝13.综上知a＝3或a＝13.(2)∵(m2－m)4x－2x＜0在(－∞，－1]上恒成立，∴m2－m＜⎝⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上恒成立．由于f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，且f(x)min＝⎝⎛⎭⎪⎫12－1＝2.故由m2－m＜2得－1＜m＜2.]。

第五节 指数与指数函数[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式(1)分数指数幂①正分数指数幂：a mn a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；②负分数指数幂：a -mn＝1a m n＝1(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r·a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质指数函数的图象与底数大小的关系如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)4－4＝－4. ( )(2)(－1)24＝(－1)12＝－1. ( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(4)若a m＜a n (a ＞0且a ≠1)，则m ＜n . ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．化简[(－2)6] 12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9B [原式＝(26) 12－1＝8－1＝7.]3．(教材改编)若函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)等于( )A.22 B. 2 C.14D ．4 B [由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22-1＝ 2.] 4．函数y ＝a x－a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )A B C DC [令y ＝a x－a ＝0，得x ＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.] 5．指数函数y ＝(2－a )x在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________． (1,2) [由题意知0＜2－a ＜1， 解得1＜a ＜2.]1A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17B.12－4＝3－3C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34D.39＝33D [39＝(913)12＝916＝313＝33，故选D.]2．若a ＞0，b ＞0，则化简＝________.ab －1＝ab －1.]3．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫－278-23＋0.002-12－10(5－2)－1＋3π0＋59＝________.－16 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫82723＋50012－105－2＋3＋59＝49＋105－10(5＋2)＋3＋59 ＝－16.]4．若x 12＋x-12＝3，则＝________.25[由x 12＋x -12＝3得x ＋x －1＋2＝9. 所以x ＋x －1＝7.同理由x ＋x －1＝7可得x 2＋x －2＝47.x 32＋x -32＝(x 12＋x -12)(x ＋x －1－1)＝3×6＝18. 所以]有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假.若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来.易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，【例1】(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)已知函数f(x)＝3＋a2x－4的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．(3)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝k只有一个公共点，则实数k的取值范围为________．(1)D(2)(2,4) (3){0}∪[1，＋∞)[(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0.(2)令2x－4＝0得x＝2，且f(2)＝4，则点P的坐标为(2,4)．(3)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点．]画指数函数x a＞的图象，应抓住三个关键点：，，，，.已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，满足则排除.对于有关指数型函数的图象问题，移、伸缩、对称变换而得到有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求(1)函数y ＝|x|(a ＞1)的图象大致是( )A B C D(2)函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )A B C D(3)已知a ＞0，且a ≠1，若函数y ＝|a x－2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．(1)B (2)B (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 [(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞0，－a x，x ＜0，又a ＞1，故选B.(2)函数f (x )＝2|x －1|的图象可由y ＝2|x |的图象向右平移1个单位得到，故选B.(3)①当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜3a ＜2，即0＜a ＜23；②当a ＞1时，如图②，而y ＝3a ＞1不符合要求．图① 图②所以0＜a ＜23.]►考法1 【例2】 已知a ＝343，b ＝925，c ＝12113，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜bA [因为a ＝343＝923＞925＝b ，c ＝12113＝1123＞923＝a ，所以c ＞a ＞b .故选A.]►考法2 解简单的指数方程或不等式【例3】 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≥0，2a －x，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．(1)C (2)12 [(1)当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12-3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a＜1，所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．故选C.(2)当a ＜1时，41－a＝21，解得a ＝12；当a ＞1时，代入不成立．故a 的值为12.]►考法3 与指数函数有关的函数的值域或最值问题【例4】 (1)已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.(2)已知0≤x ≤2，则－3·2x＋5的最大值为________．(1)－32 (2)52[(1)当a ＞1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.(2)y ＝12(2x )2－3·2x ＋5.令t ＝2x，由0≤x ≤2得1≤t ≤4，又y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∴当t ＝1时，y 有最大值，最大值为52.]►考法4 复合函数的单调性、值域或最值【例5】 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间是________，值域是________．(－∞，1] ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ [令u ＝－x 2＋2x ＋1，则u ＝－(x －1)2＋2.又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上是减函数，则函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．由此函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1]．因为u ≤2，则f (x )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.][规律方法] 指数函数性质应用的常考题型及求解策略论．(1)(2019·信阳模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-13，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＜a ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a(2)(2019·长春模拟)函数y ＝4x＋2x ＋1＋1的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)(3)已知函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)上单调递增，则a 的取值范围为________．(4)函数y ＝2－x 2＋2x 的值域为________．(1)D (2)B (3)[6，＋∞) (4)(0,2] [(1)c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14，则 ⎝ ⎛⎭⎪⎫35-13＞⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14＞⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14，即a ＞b ＞c ，故选D. (2)y ＝4x＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x＋1，令t ＝2x ，则t ＞0，∴y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1，故选B.(3)由题意知，函数u ＝－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)上单调递增，则a2≥3，即a ≥6.(4)－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，则0＜y ≤2.即函数y ＝2－x 2＋2x的值域为(0,2]．]。

第五节指数与指数函数2019考纲考题考情1．根式(1)根式的概念①na n＝⎩⎨⎧a(n为奇数)，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a＜0)(n为偶数)。

②(na)n＝a(注意a必须使na有意义)。

2．有理数的指数幂(1)幂的有关概念③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义，0的零次幂无意义。

(2)有理数指数幂的运算性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)。

②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)。

③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)。

3．指数函数的图象与性质1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a 。

2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b >0。

由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大。

3．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a >1与0<a <1来研究。

一、走进教材1．(必修1P 59A 组T 4改编)化简416x 8y 4(x <0，y <0)＝________。

解析 因为x <0，y <0，所以416x 8y 4＝|2x 2y |＝－2x 2y 。

答案 －2x 2y2．(必修1P 56例6改编)若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)＝________。

解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1＝2。

2019年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2.5 指数与指数函数课时跟踪检测理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2.5 指数与指数函数课时跟踪检测理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2。

5 指数与指数函数[课时跟踪检测］［基础达标］1。

(2017年北京卷）已知函数f（x）＝3x－错误!x，则f（x)( ）A.是奇函数，且在R上是增函数B。

是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数D。

是偶函数，且在R上是减函数解析：∵f（－x)＝3－x－错误!－x＝错误!x－3x＝－错误!＝－f(x），∴f（x)为奇函数．又函数y1＝3x在R上为增函数,y2＝错误!x在R上为减函数,∴y＝3x －错误!x在R上为增函数．故选A。

答案:A2.设a＝22.5,b＝2。

50，c＝错误!2。

5，则a，b，c的大小关系是（）A.a＞c＞b B．c＞a＞bC。

b＞a＞c D．a＞b＞c解析:a＞1,b＝1，0＜c＜1，所以a＞b＞c。

答案:D3。

已知f(x）＝3x－b(2≤x≤4,b为常数）的图象经过点（2,1），则f(x)的值域为（)A.[9，81］B．[3，9]C.［1，9] D．［1，＋∞）解析：由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因为f（x）＝3x－2在［2,4]上是增函数，所以f(x）min＝f(2）＝1，f（x)max＝f（4）＝9。

故f(x）的值域为[1,9]．答案：C4.（2018届贵州适应性考试)函数y＝a x＋2－1(a＞0且a≠1)的图象恒过的点是（)A.（0，0）B．(0，－1)C.（－2,0) D．（－2，－1)解析：解法一：因为函数y＝a x（a＞0，a≠1)的图象恒过点(0,1)，将该图象向左平移2个单位,再向下平移1个单位得到y＝a x＋2－1（a＞0，a≠1）的图象，所以y＝a x＋2－1（a＞0，a≠1）的图象恒过点（－2,0)，选项C正确．解法二：令x＋2＝0，x＝－2,得f（－2）＝a0－1＝0,所以y＝a x＋2－1（a ＞0，a≠1)的图象恒过点（－2，0）,选项C正确．答案：C5.已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝a x＋k的图象可能是（）解析：由函数y＝kx＋a的图象可得k＜0,0＜a＜1，故y＝a x＋k在R上单调递减，排除A、C，又当x＝0时y＝a k〉1，故选B.答案：B6.若函数f(x）＝错误!是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )A.错误!B．错误!C。

第五节指数与指数函数课标要求考情分析1.了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型.1.直接考查指数函数的图象及其性质或以指数与指数函数为知识载体，考查指数幂的运算和函数图象的应用或以指数函数为载体与函数方程、不等式等内容交汇命题．2．题型主要是选择题、填空题，难度中等.知识点一有理数指数幂1．幂的有关概念(1)正分数指数幂：amn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(2)负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．2．有理数指数幂的性质(1)a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．知识点二指数函数的图象与性质(1)指数函数的图象与底数大小的比较在第一象限内，指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．(2)指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)n a n 与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( × ) (2)2a ·2b ＝2ab .( × ) (3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( √ )(4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × ) 解析：(1)na n＝⎩⎪⎨⎪⎧|a |，n 为偶数，a ，n 为奇数，(n a )n＝a .(2)2a ·2b ＝2a ＋b .(3)由指数函数的形式定义知应满足的条件：①系数为1，②指数为x ，③底数a >0且a ≠1. (4)当a >1时，由a m <a n ，得m <n ， 当0<a <1时，由a m <a n ，得m >n . 2．小题热身(1)化简416x 8y 4(x <0，y <0)得( D ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2yD ．－2x 2y(2)已知a ＝⎝⎛⎭⎫35－ 13 ，b ＝⎝⎛⎭⎫35－ 14 ，c ＝⎝⎛⎭⎫32－ 34 ，则a ，b ，c 的大小关系是( D ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <cD ．c <b <a(3)若x ＋x －1＝3，则x 2－x －2＝±3 5.(4)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫2，13，则f (－1)＝ 3. (5)函数的定义域是(0，＋∞)．解析：(1)因为x <0，y <0，所以416x 8y 4＝(16x 8·y 4) 14 ＝(16) 14 ·(x 8) 14 ·(y 4) 14 ＝2x 2|y |＝－2x 2y .(2)因为y ＝⎝⎛⎭⎫35x是减函数，所以⎝⎛⎭⎫35－ 13 >⎝⎛⎭⎫35－ 14 >⎝⎛⎭⎫350，即a >b >1，又c ＝⎝⎛⎭⎫32－34 <⎝⎛⎭⎫320＝1，所以c <b <a .(3)由(x ＋x －1)2＝x 2＋x －2＋2＝9，得x 2＋x －2＝7.又(x －x －1)2＝x 2－2＋x －2＝5，所以x －x －1＝±5，所以x 2－x －2＝(x ＋x －1)(x －x －1)＝±3 5.(4)依题意可知a 2＝13，解得a ＝33，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫33x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫33－1＝ 3. (5)要使该函数有意义，则解得x >0，所以定义域为(0，＋∞)．考点一 指数幂的运算【例1】 (1)计算：8 23 －⎝⎛⎭⎫－780＋4(3－π)4＋[(－2)6] 12 ＝______. (2)已知x 12 ＋x － 12 ＝5，则x 2＋x －2－6x ＋x －1－5的值为_______________． 【解析】 (1)823 －⎝⎛⎭⎫－780＋4(3－π)4＋[(－2)6] 12 ＝23×23 －1＋(π－3)＋26×12 ＝22－1＋π－3＋23＝4＋π－4＋8＝π＋8.(2)由已知可得x ＋x －1＝(x 12 ＋x － 12 )2－2＝3， 则x 2＋x －2＝(x ＋x －1)2－2＝7，故原式＝7－63－5＝－12.【答案】 (1)π＋8 (2)－12方法技巧指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.1．计算：2x － 13 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 13＋x 34 ＝( D ) A ．3 B ．2 C ．2＋xD ．1＋2x解析：原式＝2x － 13 ·12x 13 ＋2x － 13 ·x 43＝1＋2x .2．已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，则a －b a ＋b ＝55. 解析：由已知得，a ＋b ＝6，ab ＝4， 所以⎝⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝15. 因为a >b >0，所以a >b ，所以a －b a ＋b ＝55. 考点二 指数函数的图象及应用命题方向1 图象的识别【例2】 (2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a (x ＋12)(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )【解析】 解法1：若0<a <1，则函数y ＝1a x 是增函数，y ＝log a (x ＋12)是减函数且其图象过点(12，0)，结合选项可知，选项D 可能成立；若a >1，则y ＝1a x 是减函数，而y ＝log a (x ＋12)是增函数且其图象过点(12，0)，结合选项可知，没有符合的图象．故选D.解法2：分别取a ＝12和a ＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.【答案】 D命题方向2 图象的应用【例3】 函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．【解析】 f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，等价于⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|2x －2|，y ＝b 有两个交点(如图)，可知0<b <2.【答案】 (0,2) 方法技巧指数函数图象的画法(判断)及应用方法,(1)画(判断)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a .(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数数形结合求解.1．(方向1)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( D )解析：当a >1时函数单调递增，且函数图象过点⎝⎛⎭⎫0，1－1a ，因为0<1－1a <1，故A ，B 均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数恒过点⎝⎛⎭⎫0，1－1a ，因为1－1a <0，所以知D 项正确．2．(方向2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是[－1,1]．解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]．3．(方向2)函数f (x )＝|a x ＋b |(a >0，且a ≠1，b ∈R )的图象如图所示，则a ＋b 的取值范围是(0，＋∞)．解析：根据图象得a >1，f ⎝⎛⎭⎫12＝0，b <0，所以a ＋b ＝0，所以a ＋b ＝a －a >1－1＝0.考点三 指数函数的性质及应用命题方向1 比较大小与解不等式【例4】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62 C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确；C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；D 中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，错误． (2)当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫12a－7<1， 则2－a <8，解之得a >－3，所以－3<a <0. 当a ≥0时，则a <1,0≤a <1.综上知，实数a 的取值范围是(－3,1)． 【答案】 (1)B (2)(－3,1)命题方向2 复合函数的单调性【例5】 (1)已知函数f (x )＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是递增的，则m的取值范围是________．(2)若函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2＋2x ＋3 的值域是⎝⎛⎦⎤0，19，则f (x )的单调递增区间是________． 【解析】 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上是递增的，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m 2上是递减的．而y ＝2t 在R 上是增加的，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上是递增的，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]． (2)令g (x )＝ax 2＋2x ＋3，由于f (x )的值域是⎝⎛⎦⎤0，19，所以g (x )的值域是[2，＋∞)． 因此有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －44a ＝2，解得a ＝1，这时g (x )＝x 2＋2x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2＋2x ＋3. 由于g (x )的单调递减区间是(－∞，－1]， 所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]． 【答案】 (1)(－∞，4] (2)(－∞，－1] 命题方向3 最值问题【例6】 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________．【解析】 令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)．当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上单调递增，则y max ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)．综上，a ＝3或a ＝13. 【答案】 3或13方法技巧(1)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.1．(方向1)设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1，且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1的大小关系是( D )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M <ND ．M >N解析：因为f (x )＝x 2－a与g (x )＝a x (a >1，且a ≠2)在(0，＋∞)上具有不同的单调性．所以a >2.因此M ＝(a －1)0.2>1，M ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1<1.故M >N .2．(方向2)函数f (x )＝3x 2－5x ＋4的单调递增区间为[4，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]．解析：依题意知x 2－5x ＋4≥0，解得x ≥4或x ≤1，令u ＝x 2－5x ＋4＝⎝⎛⎭⎫x －522－94，x ∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，所以当x ∈(－∞，1]时，u 是减函数，当x ∈[4，＋∞)时，u 是增函数．而3>1，所以由复合函数的单调性可知，f (x )＝3x 2－5x ＋4在区间(－∞，1]上是减函数，在区间[4，＋∞)上是增函数．3．(方向3)已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，则实数m 的最大值为56. 解析：把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3，结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以f (x )＝3·2x .要使⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x≥m 在区间(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x在区间(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x在区间(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56.所以只需m ≤56即可．所以m 的最大值为56.。

第五节 指数与指数函数[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式n 次方根概念 如果x n＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，n ∈N *表示当n 是奇数时，a 的n 次方根x ＝na当n 是偶数时，正数的n 次方根x ＝±na ；负数没有偶次方根 0的任何次方根都是0，记作n0＝0根式概念式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数 性质 (na )n＝a当n 为奇数时，n a n ＝a当n 为偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0－a ，a ＜0(1)分数指数幂①正分数指数幂：a mn na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；②负分数指数幂：a -mn＝1a m n＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r·a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )；②(a r )s＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0,1)当x ＞0时，y ＞1；x ＜0时，0＜y ＜1 当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数[常用结论]指数函数的图象与底数大小的关系如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)4－44＝－4. ( )(2)(－1)24＝(－1)12＝－1. ( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(4)若a m＜a n (a ＞0且a ≠1)，则m ＜n . ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．化简[(－2)6] 12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9B [原式＝(26)12－1＝8－1＝7.]3．(教材改编)若函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)等于( )A.22 B. 2 C.14D ．4 B [由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22-1＝ 2.] 4．函数y ＝a x－a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )A B C DC [令y ＝a x－a ＝0，得x ＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.] 5．指数函数y ＝(2－a )x在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________． (1,2) [由题意知0＜2－a ＜1， 解得1＜a ＜2.]指数幂的化简与求值1A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17B.12－34＝3－3C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34D.39＝33D [39＝(913)12＝916＝313＝33，故选D.]2．若a ＞0，b ＞0，则化简＝________.ab －1＝ab －1.]3．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫－278-23＋0.002-12－10(5－2)－1＋3π0＋59＝________.－16 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫82723＋50012－105－2＋3＋59＝49＋105－10(5＋2)＋3＋59 ＝－16.]4．若x 12＋x-12＝3，则＝________.25[由x 12＋x -12＝3得x ＋x －1＋2＝9. 所以x ＋x －1＝7.同理由x ＋x －1＝7可得x 2＋x －2＝47.x 32＋x -32＝(x 12＋x -12)(x ＋x －1－1)＝3×6＝18. 所以][规律方法] 指数幂运算的一般原则1有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. 2先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.3底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.4若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解题.易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.指数函数的图象及应用【例1】(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)已知函数f(x)＝3＋a2x－4的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．(3)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝k只有一个公共点，则实数k的取值范围为________．(1)D(2)(2,4) (3){0}∪[1，＋∞)[(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0.(2)令2x－4＝0得x＝2，且f(2)＝4，则点P的坐标为(2,4)．(3)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点．][规律方法]指数函数图象应用的4个技巧1画指数函数y＝a x a＞0，且a≠1的图象，应抓住三个关键点：1，a，0，1，.2已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.3对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.4有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.(1)函数y＝xa x|x|(a＞1)的图象大致是( )A B C D(2)函数f(x)＝2|x－1|的图象是( )A B C D(3)已知a＞0，且a≠1，若函数y＝|a x－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．(1)B(2)B(3)⎝⎛⎭⎪⎫0，23[(1)y＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x＞0，－a x，x＜0，又a＞1，故选B.(2)函数f(x)＝2|x－1|的图象可由y＝2|x|的图象向右平移1个单位得到，故选B.(3)①当0＜a＜1时，如图①，所以0＜3a＜2，即0＜a＜23；②当a＞1时，如图②，而y＝3a＞1不符合要求．图①图②所以0＜a＜23.]指数函数的性质及应用►考法1【例2】已知a＝343，b＝925，c＝12113，则( )A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜bA[因为a＝343＝923＞925＝b，c＝12113＝1123＞923＝a，所以c＞a＞b.故选A.]►考法2 解简单的指数方程或不等式【例3】 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≥0，2a －x，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．(1)C (2)12 [(1)当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12-3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a＜1，所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．故选C.(2)当a ＜1时，41－a＝21，解得a ＝12；当a ＞1时，代入不成立．故a 的值为12.]►考法3 与指数函数有关的函数的值域或最值问题【例4】 (1)已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.(2)已知0≤x ≤2，则－3·2x ＋5的最大值为________．(1)－32 (2)52[(1)当a ＞1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.(2)y ＝12(2x )2－3·2x ＋5.令t ＝2x，由0≤x ≤2得1≤t ≤4，又y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∴当t ＝1时，y 有最大值，最大值为52.]►考法4 复合函数的单调性、值域或最值【例5】 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间是________，值域是________．(－∞，1] ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ [令u ＝－x 2＋2x ＋1，则u ＝－(x －1)2＋2.又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上是减函数，则函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．由此函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1]．因为u ≤2，则f (x )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.][规律方法] 指数函数性质应用的常考题型及求解策略 常考题型 求解策略比较幂值的大小 (1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小．(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式 先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致论．(1)(2019·信阳模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-13，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＜a ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a(2)(2019·长春模拟)函数y ＝4x＋2x ＋1＋1的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)(3)已知函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)上单调递增，则a 的取值范围为________．(4)函数y ＝2－x 2＋2x 的值域为________．(1)D (2)B (3)[6，＋∞) (4)(0,2] [(1)c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14，则 ⎝ ⎛⎭⎪⎫35-13＞⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14＞⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14，即a ＞b ＞c ，故选D. (2)y ＝4x＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x＋1，令t ＝2x ，则t ＞0，∴y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1，故选B.(3)由题意知，函数u ＝－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)上单调递增，则a2≥3，即a ≥6.(4)－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，则0＜y ≤2.即函数y ＝2－x 2＋2x的值域为(0,2]．]。

第五节指数与指数函数1.了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型．知识点一指数与指数幂的运算1．根式(1)根式的概念：①(na)n＝____(n>1，且n∈N＋)．②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧n为奇数，|a| n为偶数.2．有理指数幂(1)分数指数幂的含义：①正分数指数幂⎩⎪⎨⎪⎧a1n ＝ a ，a mn ＝ ＝a >0，m ，n ∈N ＋，且mn为既约分数②负分数指数幂 a－m n＝____(a >0，m ，n ∈N ＋，且m n为既约分数)．③0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂_____________． (2)有理指数幂的运算法则：设a >0，b >0，对任意有理数α，β，有以下运算法则a αa β＝________，(a α)β＝________，(ab )α＝________.上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂也适用．答案1．(1)x n＝a 正 负 零 两 相反数 负数 (2)①a ②a 2．(1)①n a (na )mna m ②1a m n③0 没有意义(2)aα＋βaαβa αb α1．判断正误(1)(4－2)4＝－2.( ) (2)na n＝a .( ) 答案：(1)× (2)×2．化简[(－2)6] 12 －(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10D ．9解析：[(－2)6] 12 －(－1)0＝(26) 12 －1＝8－1＝7. 答案：B3．若x ＋x －1＝3，则x 2－x －2＝________.解析：由(x ＋x －1)2＝x 2＋x －2＋2＝9，得x 2＋x －2＝7.又(x －x －1)2＝x 2－2＋x －2＝5，所以x －x －1＝±5，所以x 2－x －2＝(x ＋x －1)(x －x －1)＝±3 5.答案：±3 5知识点二 指数函数的图象与性质R (0，＋∞) (0,1) y >1 0<y <1 0<y <1 y >1 增函数 减函数4．函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为________． 解析：要使函数有意义，需1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1，∴x ≥0，即定义域为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 5．函数y ＝ax ＋2 012＋2 011(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________．解析：∵y ＝a x(a >0且a ≠1)恒过定点(0,1)，∴y ＝ax ＋2 012＋2 011恒过定点(－2 012，2 012)．答案：(－2 012,2 012)6．(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知a ＝2 43 ，b ＝4 25 ，c ＝25 13，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析：因为a ＝2 43 ＝16 13 ，b ＝4 25 ＝16 15 ，c ＝25 13 ，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，所以b <a <c .选A.答案：A热点一 指数幂的运算【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－ 14 ＋8 23 ＋－2；(2)若x 12 ＋x －12 ＝3，求x 32 ＋x －32 ＋2x 2＋x －2＋3的值． 【解】 (1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－ 14 ＋(23)23 ＋|－2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1＋22＋2＝32＋4＋2＝152.(2)由x 12 ＋x － 12 ＝3，得x ＋x －1＋2＝9， ∴x ＋x －1＝7，∴x 2＋x －2＋2＝49，∴x 2＋x －2＝47.∵x 32 ＋x － 32 ＝(x 12 ＋x －12)3－3(x 12 ＋x － 12 )＝27－9＝18，∴原式＝18＋247＋3＝25.(1)化简a35b 2·35b 34a 3.(2)已知m 12 ＋m －12 ＝4，求m 32 －m －32m 12 －m － 12.解：(1)a35b 2·35b 34a 3＝a 32－312 ·b 315－210 ＝a 54 ＝a 4a .(2)因为m 12 ＋m －12 ＝4，所以m ＋m －1＋2＝16，所以m ＋m －1＝14，所以m 32 －m －32 m 12 －m － 12 ＝m12 －m － 12 m ＋m －1＋m 12 －m － 12 ＝m ＋m －1＋1＝14＋1＝15.热点二 指数函数的图象及应用 【例2】 (1)函数f (x )＝a x －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0(2)若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．【解析】(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0，故选D.(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y ＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．【答案】(1)D (2)[－1,1]1．若将本例(2)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．解：曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)．2．若将本例(2)改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是什么？解：因为函数y ＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k ≤0，即k 的取值范围为(－∞，0]．(1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是()(2)已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a<2cD ．2a ＋2c<2解析：(1)将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．(2)作出函数f (x )＝|2x－1|的图象，如图，∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知0<f (a )<1，a <0，c >0，∴0<2a<1.∴f (a )＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f (c )<1，∴0<c <1.∴1<2c<2，∴f (c )＝|2c－1|＝2c－1，又∵f (a )>f (c )，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.答案：(1)A (2)D热点三 指数函数的性质及应用 考向1 比较大小【例3】 已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－ 13 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－ 14 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－ 34 ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <b <a【解析】 因为－13<－14<0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫35－ 13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫35－ 14 >⎝ ⎛⎭⎪⎫350＝1，即a >b >1，且⎝ ⎛⎭⎪⎫32－ 34 <⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1，所以c <1，综上，c <b <a .【答案】 D考向2 指数函数的单调性【例4】 已知函数f (x )＝(13)ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．【解】 (1)当a ＝－1时，f (x )＝(13)－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝(13)t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝(13)h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >012a －164a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.考向3 指数函数的综合应用【例5】 (2017·石家庄模拟)已知函数f (x )＝a x －1a x ＋1(a >0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域和值域． (2)讨论f (x )的奇偶性． (3)讨论f (x )的单调性． 【解】 (1)f (x )的定义域是R ，令y ＝a x －1a x ＋1，得a x＝－y ＋1y －1.因为a x>0，所以－y ＋1y －1>0，解得－1<y <1，所以f (x )的值域为{y |－1<y <1}． (2)因为f (－x )＝a －x －1a －x ＋1＝1－a x1＋a x ＝－f (x )，且定义域关于原点对称，所以f (x )是奇函数．(3)f (x )＝a x ＋－2a x＋1＝1－2a x ＋1.设x 1，x 2是R 上任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2a x 2＋1－2a x 1＋1＝a x 1－a x 2a x 1＋a x 2＋. 因为x 1<x 2，所以当a >1时，a x 2>a x 1>0，从而a x 1＋1>0，a x 2＋1>0，a x 1－a x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，f (x )为R 上的增函数，当0<a <1时，ax 1>a x 2>0，从而a x 1＋1>0，a x 2＋1>0，a x 1－a x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，f (x )为R 上的减函数．综上，当a >1时，f (x )为R 上的增函数；当0<a <1时，f (x )为R 上的减函数.(1)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <cD ．b <c <a(2)(2017·广东珠海一模)若x log 52≥－1，则函数y ＝4x－2x ＋1－3的最小值为( )A ．－4B ．－3C ．－1D ．0解析：(1)函数y ＝0.6x单调递减，所以b ＝0.61.5<a ＝0.60.6<1；又c ＝1.50.6>1，所以b <a <c . (2)x log 52≥－1⇒log 52x ≥log 515⇒2x ≥15，令t ＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥15，则有y ＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，当t ＝1，即x ＝0时，取得最小值－4.故选A.答案：(1)C (2)A1．在进行指数运算时要遵守运算法则，防止“跟着感觉走”．2．合理运用图象解决单调、方程、不等式问题．3．对f(x)＝a x的单调性要注意a>1和0<a<1两种情况．。