高考数学大二轮总复习与增分策略配套配套文档 专题七 概率与统计第3讲

第1讲概率1．（2015·课标全国Ⅰ）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数，从1，2,3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（)A。

错误!B。

错误! C.错误! D.错误!2．（2014·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A。

错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!3．（2015·重庆)在区间［0，5］上随机地选择一个数p,则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．4．(2014·福建）如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．1。

以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.2.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力.热点一古典概型1．古典概型的概率：P（A）＝错误!＝错误!.2．古典概型的两个特点:所有可能出现的基本事件只有有限个;每个基本事件出现的可能性相等．例1 （2014·天津)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X,Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．思维升华求古典概型概率的步骤:（1）反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意;（2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件；（3）利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m；(4）计算事件A的概率P（A）＝错误!.跟踪演练1 （1）（2015·广州二模）有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3,将两张卡片排在一起组成一个两位数,则所组成的两位数为奇数的概率是（）A.错误!B.错误!C。

7.概率与统计1．随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．[问题1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________． 答案 24解析 由抽样比例可知6x ＝480－200－160480，则x ＝24.2．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了． [问题2] (2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________． 答案 4解析 由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间[139,151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．3．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高矩形的中点的横坐标．[问题3] 某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了40个用户，根据用户满意度的评分制成频率分布直方图(如下)，则该地区满意度评分的平均值为________．答案 77.5解析 由直方图估计评分的平均值为55×0.05＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.25＋95×0.15＝77.5. 4．变量间的相关关系假设我们有如下一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1nx i－x y i－y ∑i ＝1nx i－x2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x .[问题4] 回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必经过点________． 答案 (x ，y )5．互斥事件的概率公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) (1)公式适合范围：事件A 与B 互斥． (2)P (A )＝1－P (A )．[问题5] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________．答案 236．古典概型P (A )＝mn(其中，n 为一次试验中可能出现的结果总数，m 为事件A 在试验中包含的基本事件个数)．[问题6] (2015·广东)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( ) A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8 D ．1 答案 B解析 5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，结果有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )共10种．恰有一件次品的结果有6种，则其概率为p ＝610＝0.6.7．几何概型一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P (A )＝d 的度量D 的度量.此处D 的度量不为0，其中“度量”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等． 即P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.[问题7] 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6 D ．1－π6答案 B解析 记“点P 到点O 的距离大于1”为A ， P (A )＝23－12×43π×1323＝1－π12.易错点1 抽样方法理解不准例1 一个总体中100个个体的编号为0,1,2,3，…，99，并依次按其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果第0组(号码0～9)随机抽取的号码为l ，那么依次错位地抽取后面各组的号码，即第k 组中抽取的号码的个位数为l ＋k 或l ＋k －10(如果l ＋k ≥10)．若l ＝6，则所抽取的第5组的号码是________．易错分析本题易错点有两个：一是忽视题中对组号的描述，误以为第一个号码6为第一组的号码导致错误；二是忽视系统抽样号码抽样法则的制定，误以为组距为10，所以每组抽取号码的个位数都为6.所以解决此类问题，一定要根据题中的条件准确进行编号与抽样．答案51解析由题意，第0组抽取的号码为6，则第一组抽取的号码的个位数为6＋1＝7，所以选17.因为7＋1＝8，第二组抽取号码的个位数为8，故选28.因为8＋1＝9，第三组抽取号码的个位数为9，故选39.因为9＋1＝10≥10,9＋1－10＝0，第四组抽取号码的个位数为0，故选40.因为0＋1＝1，第五组抽取号码的个位数为1，故选51.易错点2 统计图表识图不清例2 如图所示是某公司(共有员工300人)2016年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有______人．易错分析解本题容易出现的错误是审题不细，对所给图形观察不细心，认为员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.10)×2＝0.60，从而得到员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×[1－(0.02＋0.08＋0.10)×2]＝180(人)的错误答案．解析由所给图形，可知员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.08＋0.10＋0.10)×2＝0.24，所以员工中年薪在 1.4万元～1.6万元之间的共有300×0.24＝72(人)答案72易错点3 误解基本事件的等可能性例3 若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________．易错分析解本题时易出现的错误在于对等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，错误地认为基本事件总数为11(点数和等于2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)，或者将点数和为4的事件错误地计算为(1,3)(2,2)两种，从而导致出错．解析 将先后掷2次出现向上的点数记作点坐标(x ，y )，则共可得点坐标的个数为6×6＝36，而向上点数之和为4的点坐标有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个，故先后掷2次，出现向上的点数之和为4的概率P ＝336＝112.故填112.答案112易错点4 几何概型中“测度”确定不准例4 在等腰直角三角形ABC 中，直角顶点为C . (1)在斜边AB 上任取一点M ，求AM ＜AC 的概率；(2)在∠ACB 的内部，以C 为端点任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM ＜AC 的概率． 易错分析 本题易出现的问题是混淆几何概型中对事件的度量方式，不注意题中两问中点M 生成方式的差异，误以为该题两问中的几何概型都是用线段的长度来度量造成错解． 解 (1)如图所示，AB ＝2AC .由于点M 是在斜边AB 上任取的，所以点M 等可能分布在线段AB 上，因此基本事件的区域应是线段AB . 所以P (AM ＜AC )＝AC 2AC ＝22. (2)由于在∠ABC 内作射线CM ，等可能分布的是CM 在∠ACB 内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB ，所以P (AM ＜AC )＝∠ACC ′∠ACB ＝π－π42π2＝34.易错点5 互斥事件概念不清例5 对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一次击中飞机}，D ＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互为互斥事件的是________；互为对立事件的是________．易错分析 对事件互斥意义不明确，对事件的互斥与对立之间的关系不清楚，就会出现错误的判断．对立事件和互斥事件都不可能同时发生，但对立事件必有一个要发生，而互斥事件可能都不发生．所以两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两事件是互斥事件，但未必是对立事件．解析 因为A ∩B ＝∅，A ∩C ＝∅，B ∩C ＝∅，B ∩D ＝∅，故A 与B ，A 与C ，B 与C ，B 与D 为彼此互斥事件，而B ∩D ＝∅，B ∪D ＝Ω，故B 与D 互为对立事件． 答案 A 与B ，A 与C ，B 与C ，B 与D B 与D1．某学校利用系统抽样的方法，从学校高三年级全体1 000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号，共分50组．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应取的号码是( ) A ．177 B ．157 C ．417 D ．367答案 B解析 根据系统抽样法的特点，可知抽取出的编号成首项为17，公差为20的等差数列，所以第8组的编号是17＋(8－1)×20＝157.2．如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )A ．85,84B ．84,85C ．86,84D ．84,86答案 A解析 由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,84,86,87. ∴平均数为84＋84＋84＋86＋875＝85，众数为84.3．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.15解析 如图所示，从正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A 、B ，A 、C ，A 、D ，A 、E ，A 、F ，B 、C ，B 、D ，B 、E ，B 、F ，C 、D ，C 、E ，C 、F ，D 、E ，D 、F ，E 、F ，共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A 、D ，B 、E ，C 、F ，共3种，故其概率为315＝15.4．(2015·福建)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12 答案 B解析 由图形知C (1,2)，D (－2,2)，∴S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32.∴P ＝326＝14.5．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1 000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中车速不小于90 km/h 的约有________辆．(注：分析时车速均取整数)解析 由图可知，车速大于等于90 km/h 的车辆未标出频率，而小于90 km/h 的都标出了，故考虑对立事件．由题图知车速小于90 km/h 的汽车总数的频率之和为(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，所以车速不小于90 km/h 的汽车总数的频率之和为1－0.7＝0.3.因此在这一时段内通过该站的车速不小于90 km/h 的汽车有1 000×0.3＝300(辆)．6．春节期间，某销售公司每天销售某种取暖产品的销售额y (单位：万元)与当天的平均气温x (单位：℃)有关．现收集了春节期间这个销售公司4天的x 与y 的数据列于下表：平均气温(℃) －2 －3 －5 －6 销售额(万元)20232730根据以上数据，用线性回归的方法，求得y 与x 之间的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的系数b ^＝－125，则a ^＝________. 答案775解析 由表中数据可得x ＝－4，y ＝25，所以线性回归方程y ^＝－125x ＋a ^过点(－4,25)，代入方程得25＝－125×(－4)＋a ^，解得a ^＝775.7．如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ，y 的值分别为________，________.答案 6 4解析 x 甲＝75＋82＋84＋80＋x ＋90＋936＝85，解得x ＝6，由题图可知y ＝4.8．从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率为______． 答案 25解析 设2名男生为A ，B,3名女生为a ，b ，c ，则从5名同学中任取2名的方法有(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，…，(b ，c )，共10种，而这2名同学刚好是一男一女的有(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，共6种，故所求概率为1－610＝25.9．已知直线l 的方程为ax ＋2y －3＝0，且a ∈[－5,4]，则直线l 的斜率不小于1的概率为________． 答案 13解析 直线l 的斜率k ＝－a 2，由－a2≥1，可得a ≤－2.因为a ∈[－5,4]，所以a ∈[－5，－2]． 由几何概型的概率计算公式可得所求概率为P ＝－2－－54－－5＝39＝13.10．甲、乙两名骑手骑术相当，他们各自挑选3匹马备用，甲挑选的三匹马分别记为A ，B ，C ，乙挑选的三匹马分别记为A ′，B ′，C ′.已知6匹马按奔跑速度从快到慢的排列顺序依次为：A ，A ′，B ，B ′，C ′，C .比赛前甲、乙均不知道这个顺序．规定：每人只能骑自己挑选的马进行比赛，且率先到达终点者获胜． (1)若甲、乙二人进行一次比赛，求乙获胜的概率；(2)若甲、乙二人进行三次比赛，且不能重复使用马匹，求乙获胜次数多于甲的概率． 解 (1)甲、乙二人选取的马匹共有9种搭配方式，胜负情况如下表所示：胜负情况 甲A 甲B 甲C 乙A ′ 甲胜 乙胜 乙胜 乙B ′ 甲胜 甲胜 乙胜 乙C ′甲胜甲胜乙胜所以乙获胜的概率P ＝49.(2)根据题意乙分别骑A ′，B ′，C ′时，甲骑手的马共有6种排列情况与之对应，如下表所示：①②③甲A B C 甲 A C B 甲 B A C以上6种情况，只有③④两种情况乙获胜次数多于甲． 故乙获胜次数多于甲的概率P ＝26＝13.。

清河中学2023届高三数学第二轮复习策略与计划（一）夯重基础，加深理解与应用基础永远是高考的重点。

对基础的复习，不是对课本内容的简单重复，而是对知识点的解析梳理，对概念、公式等的准确理解、牢固掌握，是学生理解能力的升华。

加强对常考知识点、重难点的融会、贯通，把握每个知识点背后的潜在的出题规律，要通过对基础题的系统训练和规范讲解，从不同的角度把握每一个知识点的内涵与外延以及与其它知识点的联系。

“一体四层四翼”是高考的评价体系，从国家层面设计上回答了“为什么考”“考什么”“怎么考”等关键性问题。

一体：高考评价体系，通过确立“立德树人，服务选拔，导向教学”这一核心立场，回答了“为什么考”的问题。

四层：通过明确“必考知识、关键能力、学科素养、核心价值”四层考查目标，回答了“考什么”的问题。

四翼：通过明确“基础性、综合性、应用性、创新性”四个考查要求，回答了“怎么考”的问题。

复习策略上以基础、中档题为主，抓住问题的本质，知识间的相互联系，总结出通性通法，注意最优（技巧性）解法的优越性。

（二）注重数学思想方法，培养数学核心素养高考数学试题十分重视对数学思想的考查，着重考查如下七种数学思想：函数与方程思想，数形结合思想，转化与化归思想，分类与整合思想，特殊与一般思想，有限与无限思想，或然与必然思想，数学思想蕴含在数学基础知识之中，是架设在数学知识与能力之间的一座桥梁。

数学的思想与方法，是宏观与微观的关系，在数学思想的指导下，灵活运用数学方法解决具体问题，没有思想的方法是肤浅的，没有方法的思想是空洞的，只有二者完美的结合才是数学教学的最高境界。

高中数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。

对学生核心素养的培养，对于发展学生的理性思维、培养学生的学科能力，具有决定性的作用。

（三）重视数学文化传承，注重创新意识发展中科院院士、王梓坤教授曾指出：“数学文化具有比数学知识体系更为丰富和深邃的文化内涵，数学文化是对数学知识、技能、能力和素质等概念的高度概括.”，武汉大学齐民友教授站在影响人类文化的兴衰、民族生存发展的高度，在《数学与文化》一书中写到：“一种没有相当发达的数学文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的.” 阐明了数学文化的价值.由于数学文化是对数学知识、技能、能力和素质等概念的高度概括，其价值对于人类文明乃至民族的存亡有着重大的意义.近年来，每年都对中华优秀传统文化知识进行考查，对传统文化知识的考查是对高层次数学思维的考查；每年的数学试题中总有4～5道新颖题型，体现创新意识，以便选拔优秀的学生.每年创新题型肯定会出现，这样的题型包括新定义型、归纳猜想型、类比推理型、探索发现型、研究设计型、开放发散型问题等，但整体试卷难度不会大起大落，以平稳为主。

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第３讲统计与统计案例１。

以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等．2．在概率与统计的交汇处命题,以解答题中档难度出现．热点一抽样方法1.简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围:总体中的个体数较少.2．系统抽样特点是将总体均分成几部分,按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．3．分层抽样特点是将总体分成几层,分层进行抽取.适用范围：总体由差异明显的几部分组成．例1 (1）（２01７届日照三模)从编号为０,1,2,…,７9的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为５的一个样本,若编号为4２的产品在样本中,则该样本中产品的最小编号为____＿＿＿＿．答案 10解析样本间隔为８0÷5＝1６,∵４２＝1６×2+10，∴该样本中产品的最小编号为10．(2）某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,７0０,700,为了解不同年级学生的眼睛近视情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为1０0的样本,则高三年级应抽取的学生人数为__＿＿____．答案35解析由题意结合抽样比可得,高三年级应抽取的学生人数为100×＼f(７00,600+70０+７00）＝３５.思维升华（１）随机抽样的各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的．(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同．(3)分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．跟踪演练1 (１)（２０1７·葫芦岛协作体模拟)福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01，02,03,…,32，33这３3个二位号码中选取,小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行、第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字,则第四个被选中的红色球号码为( )A．１2 ﻩＢ.３3C.06 Ｄ.16答案 C解析被选中的红色球号码依次为17，1２,３３,06，所以第四个被选中的红色球号码为06，故选Ｃ。

专题三概率与统计建知识网络明内在联系[高考点拨] 本专题涉及面广，往往以生活中热点问题为依托，在高考中考察方式十分灵活，考察内容强化“用数据说话，用事实说话〞，背景容易创新．基于上述分析，本专题按照“用样本估计总体〞“古典概型与几何概型〞“随机变量及其分布列〞“独立性检验与回归分析〞四个方面分类进展引导，强化突破．突破点6 古典概型与几何概型(对应学生用书第167页)(1)直接列举：涉及一些常见古典概型问题时，往往把事件发生所有结果逐一列举出来，然后进展求解．(2)画树状图：涉及一些特殊古典概型问题时，直接列举容易出错，通过画树状图，列举过程更具有直观性、条理性，使列举结果不重、不漏．(3)逆向思维：对于较复杂古典概型问题，假设直接求解比拟困难，可利用逆向思维，先求其对立事件概率，进而可得所求事件概率．(4)活用对称：对于一些具有一定对称性古典概型问题，通过列举根本领件个数结合古典概型概率公式来处理反而比拟复杂，利用对称思维，可以快速解决.准确确定度量方式与度量公式是求解几何概型关键，量涉及测度主要包括长度、面积、体积、角度等.(1)将所求事件转化成几个彼此互斥事件与事件，利用概率加法公式求解概率．(2)假设一个较复杂事件对立面分类较少，可考虑利用对立事件概率公式，即“正难那么反〞．它常用来求“至少〞或“至多〞型事件概率．回访1 古典概型1．(2021·全国乙卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色花中任选2种花种在一个花坛中，余下2种花种在另一个花坛中，那么红色与紫色花不在同一花坛概率是( )A.13B.12C.23D.56C [从4种颜色花中任选2种颜色花种在一个花坛中，余下2种颜色花种在另一个花坛种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色与紫色花不在同一花坛种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P ＝46＝23，应选C.]2．(2021·全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，那么周六、周日都有同学参加公益活动概率为( )A.18B.38C.58D.78D [4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝78.] 3．(2021·全国卷Ⅱ)从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同数，假设取出两数之与等于5概率为114，那么n ＝________. 8 [由题意知n ＞4，取出两数之与等于5有两种情况：1,4与2,3，所以P ＝2C 2n ＝114，即n 2－n －56＝0，解得n ＝－7(舍去)或n ＝8.]4．(2021·全国卷Ⅰ)将2本不同数学书与1本语文书在书架上随机排成一行，那么2本数学书相邻概率为________．23[两本不同数学书用a 1，a 2表示，语文书用b 表示，那么Ω＝{(a 1，a 2，b )，(a 1，b ，a 2)，(a 2，a 1，b )，(a 2，b ，a 1)，(b ，a 1，a 2)，(b ，a 2，a 1)}．于是两本数学书相邻情况有4种，故所求概率为46＝23.]回访2 几何概型5．(2021·全国乙卷)某公司班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站时刻是随机，那么他等车时间不超过10分钟概率是( )A.13B.12C.23D.34B [如图，7：50至8：30之间时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下时间长度之与为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.应选B.] 6．(2021·全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数平方与小于1数对共有m 个，那么用随机模拟方法得到圆周率π近似值为( )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m nC [因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如下图．假设两数平方与小于1，那么对应数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上点所对应数对)，故在扇形OAC 内数对有m 个．用随机模拟方法可得S 扇形S 正方形＝m n ，即π4＝m n，所以π＝4m n.] 7．(2021·山东高考)在[－1,1]上随机地取一个数k ，那么事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交〞发生概率为________． 34 [由直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交，得|5k |k 2＋1<3， 即16k 2<9，解得－34<k <34. 由几何概型概率计算公式可知P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－342＝34.] (对应学生用书第167页)热点题型1 古典概型题型分析：古典概型是高考考察概率核心，问题背景大多是取球、选人、组数等，求解关键是准确列举根本领件，难度较小.(1)一个袋子中有5个大小一样球，其中3个白球与2个黑球，先从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后从袋中任意取出一个球，那么第一次为白球、第二次为黑球概率为( )A.35B.310C.12D.625(2)M ＝{1,2,3,4}，假设a ∈M ，b ∈M ，那么函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋x －3在R 上为增函数概率是( )【导学号：67722027】A.916B.716C.416D.316(1)B (2)A [(1)设3个白球分别为a 1，a 2，a 3,2个黑球分别为b 1，b 2，那么先后从中取出2个球所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310.应选B.(2)记事件A 为“函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋x －3在R 上为增函数〞． 因为f (x )＝ax 3＋bx 2＋x －3，所以f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋1. 因为函数f (x )在R 上为增函数，所以f ′(x )≥0在R 上恒成立． 又a >0，所以Δ＝(2b )2－4×3a ＝4b 2－12a ≤0在R 上恒成立，即a ≥b 23. 所以当b ＝1时，有a ≥13，故a 可取1,2,3,4，共4个数；当b ＝2时，有a ≥43，故a 可取2,3,4，共3个数； 当b ＝3时，有a ≥3，故a 可取3,4，共2个数；当b ＝4时，有a ≥163，故a 无可取值． 综上，事件A 包含根本领件有4＋3＋2＝9(种)．又a ，b ∈{1,2,3,4}，所以(a ，b )共有4×4＝16(种)．故所求事件A 概率为P (A )＝916.应选A.] 利用古典概型求事件概率关键及注意点1．关键：正确列举出根本领件总数与待求事件包括根本领件数．2．注意点：(1)对于较复杂题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏．(2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件概率．[变式训练1] (2021·广州二模)从数字1,2,3,4,5中任取2个，组成一个没有重复数字两位数，那么这个两位数大于30概率是( )A.15B.25C.35D.45C [从数字1,2,3,4,5中任取2个，组成一个没有重复数字两位数，共有20种不同结果．其中这个两位数大于30共有12种不同结果，故所求事件概率P ＝1220＝35.]热点题型2 几何概型题型分析：高考试题中几何概型主要考察线段型与面积型.求解几何概型关键是计算线段长度、平面图形面积等，难度较小.(1)(2021·东营模拟)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，那么事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12≤1”发生概率为( ) A.34B.23C.13D.14(2)某校早上8：00开场上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段任何时刻到校是等可能，那么小张比小王至少早5分钟到校概率为__________．(用数字作答)(1)A (2)932 [(1)由－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，所以事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12≤1”发生概率为322＝34，应选A.(2)设小张与小王到校时间分别为x 与y ，那么⎩⎪⎨⎪⎧30≤x ≤50，30≤y ≤50，y －x ≥5，那么满足条件区域如图中阴影局部所示．故所求概率P ＝12×15×1520×20＝932.] 判断几何概型中几何度量形式方法1．当题干预及两个变量问题时，一般与面积有关． 2．当题干预及一个变量问题时，要看变量可以等可能到达区域：假设变量在线段上移动，那么几何度量是长度；假设变量在平面区域(空间区域)内移动，那么几何度量是面积(体积)．提醒：数形结合是解决几何概型问题常用方法，求解时，画图务必准确、直观．[变式训练2] (1)(2021·全国甲卷)某路口人行横道信号灯为红灯与绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．假设一名行人来到该路口遇到红灯，那么至少需要等待15秒才出现绿灯概率为( )A.710B.58C.38D.310(2)如图6­1，圆C 内切于扇形AOB ，∠AOB ＝π3，假设向扇形AOB 内随机投掷600个点，那么落入圆内点个数估计值为( )图6­1A ．100B ．200C ．400D ．450(1)B (2)C [(1)如图，假设该行人在时间段AB 某一时刻来到该路口，那么该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何概型概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯概率为40－1540＝58，应选B. (2)如图，设OA 与圆C 相切于点D ，连接OC ，CD ，∠AOB ＝π3，那么∠COD ＝π6， 设圆C 半径为1，可得OC ＝2，所以扇形半径为3，由几何概型可得点在圆C 内概率为P ＝S 圆C S 扇形AOB ＝π×1216×π×32＝23，故向扇形AOB 内随机投掷600个点，那么落入圆内点个数估计为23×600＝400(个)．]热点题型3 互斥事件与对立事件概率题型分析：互斥事件与对立事件概率常与古典概型等交汇命题，主要考察学生分析转化能力，难度中等.(2021·南昌一模)现有甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社活动，每人参加且只能参加一个社团活动，且参加每个社团是等可能．(1)求文学社与街舞社都至少有1人参加概率；(2)求甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团概率．[解]甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社情况如下：(1)故所求概率为1416＝78.9分(2)甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团根本领件有4个，故所求概率为416＝14.12分1．直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件与，运用互斥事件概率加法公式计算．2．间接求法：先求此事件对立事件，再用公式P (A )＝1－P (A )求解，即运用逆向思维(正难那么反)，特别是“至多〞“至少〞型题目，用间接求法会较简便．提醒：应用互斥事件概率加法公式前提是确定各个事件是否彼此互斥．[变式训练3] (名师押题)根据以往统计资料，某地车主购置甲种保险概率为0.5，购置乙种保险但不购置甲种保险概率为0.3.(1)求该地1位车主至少购置甲、乙两种保险中1种概率； (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购置概率．[解] 记事件A 为“该车主购置甲种保险〞，事件B 为“该车主购置乙种保险但不购置甲种保险〞，事件C 为“该车主至少购置甲、乙两种保险中1种〞，事件D 为“该车主甲、乙两种保险都不购置〞.4分(1)由题意得P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，6分 又C ＝A ∪B ，所以P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ＝分(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝分专题限时集训(六) 古典概型与几何概型[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考达标]一、选择题1．(2021·全国丙卷)小敏翻开计算机时，忘记了开机密码前两位，只记得第一位是M，I，N中一个字母，第二位是1,2,3,4,5中一个数字，那么小敏输入一次密码能够成功开机概率是( )A.815B. 1 8C.115D.1 30C [∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确开机密码只有1种，∴P＝115.]2．(2021·福州模拟)在某次全国青运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,55名火炬手．假设从中任选2人，那么选出火炬手编号相连概率为( )A.310B. 5 8C.710D. 2 5D [由题意得从5人中选出2人，有10种不同选法，其中满足2人编号相连有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种不同选法，所以所求概率为410＝25，应选D.]3．(2021·临沂模拟)在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π2上随机取一个数x ，那么sin x ＋cos x ∈[1，2]概率为( )A.12 B.13 C.23D.34D [sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4，由1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4≤2，得22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4≤1，结合x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π2得0≤x ≤π2，所以所求概率为π2π2＋π6＝34.]4．现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同社区参加公益活动．假设每个社区至少分一名义工，那么甲、乙两人被分到不同社区概率为( )A.16B.56C.1027D.1727B [依题意得，甲、乙、丙、丁到三个不同社区参加公益活动，每个社区至少分一名义工方法数是C 24·A 33，其中甲、乙两人被分到同一社区方法数是C 22·A 33，因此甲、乙两人被分到不同社区概率等于1－C 22·A 33C 24·A 33＝56.]5．节日前夕，小李在家门前树上挂了两串彩灯．这两串彩灯第一次闪亮相互独立，且都在通电后4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮时刻相差不超过2秒概率是( )A.14 B.12 C.34D.78C [如下图，设在通电后4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮时刻为x ，y ，x ，y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，|x －y |≤2，所以两串彩灯第一次亮时间相差不超过2秒概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.]二、填空题6．抛掷一枚均匀正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A 表示“朝上一面数是奇数〞，事件B 表示“朝上一面数不超过2”，那么P (A ＋B )＝__________.23[将事件A ＋B 分为：事件C “朝上一面数为1,2”与事件D “朝上一面数为3,5”，那么C ，D 互斥，且P (C )＝13，P (D )＝13，∴P (A ＋B )＝P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝23.]7．(2021·河南市联考)函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2，假设a ∈{}4，6，8，b ∈{3,5,7}，那么该函数有两个零点概率为__________.【导学号：67722028】23[要使函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2有两个零点，即方程x 2－2ax ＋b 2＝0要有两个实根，那么Δ＝4a 2－4b 2a ∈{4,6,8}，b ∈{3,5,7}，即a >b ，而a ，b 取法共有3×3＝9种，其中满足a >b 取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求概率为69＝23.]8．如图6­2，向边长为2正方形中随机投入一粒黄豆，假设圆C 方程为(x －2)2＋(y －2)2＝94，那么黄豆落入阴影局部概率为________．图6­21－9π64 [由题意可知黄豆落入阴影局部概率为22－14π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32222＝1－9π64.] 三、解答题9.甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购置该商品顾客两家商场奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图6­3所示圆盘，当指针指向阴影局部(图中四个阴影局部均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．图6­3乙商场：从装有3个白球，3个红球盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外，不加区分)，如果摸到是2个红球，即为中奖．问：购置该商品顾客在哪家商场中奖可能性大？[解] 如果顾客去甲商场，试验全部结果构成区域为圆盘，面积为πR 2(R 为圆盘半径)，阴影区域面积为4×15πR 2360＝πR26.所以，在甲商场中奖概率为 P 1＝πR 26πR 2＝16.4分如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a 1，a 2，a 3,3个红球为b 1，b 2，b 3，记(x ，y )为一次摸球结果，那么一切可能结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共15种，8分摸到2个球都是红球有(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共3个，所以在乙商场中奖概率为P 2＝315＝15.10分由于P 1<P 210．向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，y )．(1)假设x ，y ∈R ，且1≤x ≤6,1≤y ≤6，求满足a·b >0概率； (2)假设x ，y 分别表示将一枚质地均匀正方体骰子(六个面点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现点数，求满足a·b ＝－1概率．[解] (1)用B 表示事件“a·b >0”，即x －2y试验全部结果所构成区域为{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}，2分 构成事件B 区域为{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，x －2y >0}，3分 如下图．所以所求概率为P (B )＝12×4×25×5＝425.6分(2)设(x ，y用A 表示事件“a·b ＝－1〞，即x －2y ＝－1. 那么A∴P (A )＝336＝112.12分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．从1,2,3,4,5中任取3个不同数，那么取出3个数可作为三角形三边边长概率是( )A.310B.15C.12D.35A [根本领件总数为10，其中能构成三角形三边长数组为(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故其概率为310.]2．P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，那么黄豆落在△PBC 内概率是( ) 【导学号：67722029】A.14B.13C.12D.23C [如下图，取边BC 上中点D ，由PB →＋PC →＋2PA →＝0，得PB →＋PC →＝2AP →.又PB →＋PC →＝2PD →，故AP →＝PD →，即P 为AD 中点，那么S △ABC ＝2S △PBC ，根据几何概率概率公式知，所求概率P ＝S △PBCS △ABC＝12，应选C.]3．(2021·济南模拟)函数f (x )＝13ax 3－12bx 2＋x ，连续抛掷两颗骰子得到点数分别是a ，b ，那么函数f ′(x )在x ＝1处取得最值概率是( )A.136 B.118 C.112D.16C [由题意得f ′(x )＝ax 2－bx ＋1，因为f ′(x )在x ＝1处取得最值，所以b2a＝1，符合点数(a ，b )有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种情况．又因为抛掷两颗骰子得到点数(a ，b )共有36种情况，所以所求概率为336＝112，应选C.]4．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12〞概率，p 2为事件“|x －y |≤12〞概率，p 3为事件“xy ≤12〞概率，那么( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1B [满足条件x ，y 构成点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上．事件“x ＋y ≥12〞对应图形为图①所示阴影局部；事件“|x －y |≤12〞对应图形为图②所示阴影局部；事件“xy ≤12〞对应图形为图③所示阴影局部．对三者面积进展比拟，可得p 2<p 3<p 1.]二、填空题5．曲线C 方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A 为“方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上椭圆〞，那么P (A )＝__________.512x 轴上椭圆，那么m >n ，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P (A )＝1536＝512.] 6．如图6­4，在边长为e(e 为自然对数底数)正方形中随机撒一粒黄豆，那么它落到阴影局部概率为__________．图6­42e 2 [∵y ＝e x 与y ＝ln x 互为反函数，故直线y ＝x 两侧阴影局部面积相等，只需计算其中一局部即可．如图，S 1＝∫10e x d x ＝e x | 10＝e 1－e 0＝e －1.∴S 总阴影＝2S 阴影＝2(e×1－S 1)＝2[e －(e －1)]＝2，故所求概率为P ＝2e 2.]三、解答题7．现有8名数理化成绩优秀者，其中A 1，A 2，A 3数学成绩优秀，B 1，B 2，B 3物理成绩优秀，C 1，C 2化学成绩优秀，从中选出数学、物量、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C 1被选中概率；(2)求A 1与B 1不全被选中概率．[解] (1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能结果组成根本领件空间为Ω＝{(A 1，B 1，C 1}，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2由于每一个根本领件被抽取时机均等．因此这些根本领件发生是等可能．用M 表示“C 1恰被选中〞这一事件，那么M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 3，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 3，C 1)}.6分事件M 由9个根本领件组成，因而P (M )＝918＝12.8分 (2)用N 表示“A 1，B 1不全被选中〞这一事件，那么其对立事件N 表示“A 1，B 1全被选中〞这一事件．由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，事件N 由2个根本领件组成，所以P (N )＝218＝19.11分 由对立事件概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－19＝89.12分 8．一个均匀正四面体四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下数字分别为b ，c .(1)假设直线l ：x ＋y －5＝0，求点P (b ，c )恰好在直线l 上概率；(2)假设方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程〞，求方程为“漂亮方程〞概率．[解] (1)因为是投掷两次，因此根本领件(b ，c )为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，4分当b ＋c ＝5时，(b ，c )所有取值为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，5分所以所求概率为P 1＝416＝14.6分 (2)①假设方程一根为x ＝1，那么1－b －c ＝0，即b ＋c②假设方程一根为x ＝2，那么4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2.8分 ③假设方程一根为x ＝3，那么9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.9分 ④假设方程一根为x ＝4，那么16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，c ＝4.10分由①②③④知，(b ，c )所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，11分所以方程为“漂亮方程〞概率为P 2＝316.12分。

第1讲排列、组合、二项式定理1．(2015·四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个2．(2015·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20C．30 D．603．(2014·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．4．(2014·课标全国Ⅱ)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查；2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.热点一两个计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()A．72种B．48种C．24种D．12种(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为()A．240 B．204C．729 D．920思维升华(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．跟踪演练1(1)(2014·大纲全国)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A．60种B．70种C．75种D．150种(2)已知函数f(x)＝ln(x2＋1)的值域为{0,1,2}，则满足这样条件的函数的个数为()A．8 B．9 C．26 D．27热点二排列与组合例2(1)(2014·重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120C．144 D．168(2)数列{a n}共有12项，其中a1＝0，a5＝2，a12＝5，且|a k＋1－a k|＝1，k＝1,2,3，…，11，则满足这种条件的不同数列的个数为()A．84 B．168C．76 D．152思维升华解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．跟踪演练2(1)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A．36种B．42种C．48种D．54种(2)要从3名骨科和5名内科医生中选派3人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．热点三二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n，其中各项的系数就是组合数C r n(r＝0,1，…，n)叫做二项式系数；展开式中共有n＋1项，其中第r＋1项T r＋1＝C r n a n－r b r(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N*)称为二项展开式的通项公式．例3(1)(2015·陕西)二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n等于()A．4 B．5C．6 D．7(2)(2－x)8的展开式中，不含x4的项的系数的和为()A．－1 B．0C．1 D．2思维升华(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定；②T r ＋1是展开式中的第r ＋1项，而不是第r 项；③公式中，a ，b 的指数和为n ，且a ，b 不能随便颠倒位置；④对二项式(a －b )n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．跟踪演练3 (1)(2014·湖北)若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a 等于( ) A ．2 B.54 C ．1 D.24(2)(2014·浙江)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)等于( )A ．45B ．60C ．120D ．2101．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A ．8种B ．16种C ．18种D ．24种2．为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为( )A ．60B ．120C ．240D ．3603．若(3x －1x)n 展开式中各项系数之和为16，则该展开式中含x 2项的系数为( ) A ．102 B ．－102 C ．98 D ．－1084．若(x 2＋1)(x －2)11＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 13(x －1)13，则a 1＋a 2＋…＋a 13＝________.提醒：完成作业专题七第1讲二轮专题强化练专题七第1讲排列、组合、二项式定理A组专题通关1．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A．224 B．112C．56 D．282．(2015·枣庄第八中学月考)将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为()A．18 B．24C．30 D．363．一个三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位凹数有()A．72个B．120个C．240个D．360个4．(2015·湖北)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．29B．210C．211D．2125．在二项式(x＋3x)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为()A．6 B．9 C．12 D．186．在二项式(x ＋1412x )n 的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为( )A ．5B ．4C ．3D ．27．给一个正方体的六个面涂上4种不同的颜色(红、黄、绿、蓝)，要求相邻2个面涂不同的颜色，则所有涂色方法的种数为________．8．(2015·重庆)⎝⎛⎭⎫x 3＋12x 5的展开式中x 8的系数是________(用数字作答)． 9．已知(1＋2x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝_______(用数字作答)．10．(2015·广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字做答)．B 组 能力提高11．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有( )A ．1 260种B ．2 025种C ．2 520种D ．5 040种12．在二项式(x 2－1x)n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为( )A ．32B ．－32C ．0D ．113．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有( )A ．A 44A 55B ．A 33A 44A 35C ．C 13A 44A 55D ．A 22A 44A 5514．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为___________．15．(2015·课标全国Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________________________________________________________________________.16．若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x 2 016，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为________．学生用书答案精析专题七 概率与统计第1讲 排列、组合、二项式定理高考真题体验1．B [由题意，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A 34＝72个；若万位是4，则有2×A 34个＝48个，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120个．选B.]2．C [方法一 利用二项展开式的通项公式求解．(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5.所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.方法二 利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.]3．60解析 把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C 23种分法，再分给4人有A 24种分法，所以不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60.4.12解析 设通项为T r ＋1＝C r 10x10－r a r ，令10－r ＝7， ∴r ＝3，∴x 7的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12.热点分类突破例1(1)A(2)A解析(1)按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类．一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，故不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．(2)分8类，当中间数为2时，有1×2＝2个；当中间数为3时，有2×3＝6个；当中间数为4时，有3×4＝12个；当中间数为5时，有4×5＝20个；当中间数为6时，有5×6＝30个；当中间数为7时，有6×7＝42个；当中间数为8时，有7×8＝56个；当中间数为9时，有8×9＝72个．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个．跟踪演练1(1)C(2)B解析(1)由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C26C15＝75(种)．(2)因为值域为{0,1,2}，即ln(x2＋1)＝0⇒x＝0，ln(x2＋1)＝1⇒x＝±e－1，ln(x2＋1)＝2⇒x＝±e2－1，所以定义域取值即在这5个元素中选取，①当定义域中有3个元素时，C11C12C12＝4，②当定义域中有4个元素时，C11C34＝4，③当定义域中有5个元素时，有一种情况．所以共有4＋4＋1＝9(个)这样的函数．例2(1)B(2)A解析(1)先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．(2)∵|a k＋1－a k|＝1，k＝1,2,3， (11)∴前一项总比后一项大1或小1，a1到a5中4个变化必然有3升1减，a5到a12中必然有5升2减，是组合的问题，∴C14×C27＝84.跟踪演练2(1)B(2)45解析(1)分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A44种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C13种排法，其他3个节目有A33种排法，故有C13A33种排法．依分类加法计数原理，知共有A44＋C13A33＝42(种)编排方案．(2)共8名医生，2个科类，要求每个科类至少1名医生，“骨科和内科医生都至少有1人”的对立事件是“全是骨科或全是内科医生”．若从这8名医生中任选3名，不同的选法有C38种；其中全为骨科医生的选法只有1种，全为内科医生的选法有C35种．所以所求选派方法有C38－1－C35＝56－1－10＝45(种)．例3(1)C(2)B解析(1)由题意易得：C n－2n ＝15，C n－2n＝C2n＝15，即n(n－1)2＝15，解得n＝6.(2)由通项公式，可得展开式中含x4的项为T8＋1＝C8828－8(－1)8x4＝x4，故含x4的项的系数为1.令x ＝1，得展开式的系数的和S ＝1，故展开式中不含x 4的项的系数的和为1－1＝0. 跟踪演练3 (1)C (2)C解析 (1)二项式(2x ＋a x)7的展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r 7(2x )7－r ·(a x)r ＝C r 727－r a r x 7－2r ， 令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x 3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. (2)因为f (m ，n )＝C m 6C n 4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.高考押题精练1．A [可分三步：第一步，最后一个排商业广告有A 12种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有A 12种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有A 22种．根据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有A 12A 12A 22＝8(种)．故选A.]2．D [6名相关专业技术人员到三所足校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4,1,1；3,2,1；2,2,2.(1)对于第一种情况，由于王教练不去甲校，王教练自己去一个学校有C 12种，其余5名分成一人组和四人组有C 45A 22(种)，共C 45A 22C 12＝20(种)；王教练分配到四人组且该组不去甲校有C 35C 12A 22＝40(种)，则第一种情况共有20＋40＝60(种)．(2)对于第二种情况，王教练分配到一人组有C 35C 22A 22C 12＝40(种)，王教练分配到三人组有C 25C 23C 12A 22＝120(种)，王教练分配到两人组有C 15C 12C 34A 22＝80(种)，所以第二种情况共有40＋80＋120＝240(种)．(3)对于第三种情况，共有C 15C 12C 24C 22＝60(种)．综上所述，共有60＋240＋60＝360(种)分配方案．]3．D [根据已知，令x ＝1得2n ＝16，即n ＝4.二项展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 4(3x )4－r (－1x)r ＝(－1)r 34－r ·C r 4x4－2r ，当4－2r ＝2时，即r ＝1，此时可得含x 2项的系数为－33×4＝－108.]4．2解析记f(x)＝(x2＋1)(x－2)11＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a13(x－1)13，则f(1)＝a0＝(12＋1)(1－2)11＝－2.而f(2)＝(22＋1)(2－2)11＝a0＋a1＋a2＋…＋a13，即a0＋a1＋a2＋…＋a13＝0.所以a1＋a2＋…＋a13＝2.二轮专题强化练答案精析专题七 概率与统计第1讲 排列、组合、二项式定理1．B [根据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法：C 28C 14＝112.]2．C [将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其他2个小球对应3个盒子，共有C 24A 33＝36种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有A 33＝6种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6＝30种，故选C.]3．C [从0～9这10个数字中任选3个，有C 310种，这三个数字组成的凹数有A 22个，故共有C 310A 22＝240(个)．]4．A [由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A.]5．B [令x ＝1，得各项系数的和为4n ，各项的二项式系数的和等于2n ，根据已知，得方程4n ＋2n ＝72，解得n ＝3.所以二项式的通项T r ＋1＝C r 3(x )3－r (3x)r ＝3r C r 3x ，显然当r ＝1时是常数项，这个常数是9.]6．C [二项展开式的前三项的系数分别为1，C 1n ·12，C 2n ·(12)2，由其成等差数列，可得2C 1n ·12＝1＋C 2n ·(12)2⇒n ＝1＋n (n －1)8，所以n ＝8.所以展开式的通项T r ＋1＝C r 8(12)r x .若为有理项，则有4－3r 4∈Z ，所以r 可取0,4,8，所以展开式中有理项的项数为3.] 7．6解析 由于涂色过程中，要使用4种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的3组对面来说，必然有2组对面同色，1组对面不同色，而且3组对面具有“地位对等性”，因此，只需从4种颜色中选择2种涂在其中2组对面上，剩下的2种颜色分别涂在另外2个面上即可．因此共有C 24＝6(种)不同的涂法．8.52解析 二项展开式通项为T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k ⎝⎛⎭⎫12x k ＝⎝⎛⎭⎫12k C k 5x ，令15－7k 2＝8，解得k ＝2，因此x 8的系数为⎝⎛⎭⎫122C 25＝52.9．729解析 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|相当于(1＋2x )6的展开式中各项系数绝对值的和，令x ＝1，得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝36＝729.10．1 560解析 依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A 240＝40×39＝1 560条毕业留言．11．C [第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有C 210种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有C 18种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有C 17种选派方法．根据分步乘法计数原理易得选派方法种数为C 210·C 18·C 17＝2 520.]12．C [依题意得所有二项式系数的和为2n ＝32，解得n ＝5.因此，令x ＝1，则该二项展开式中的各项系数的和等于(12－11)5＝0，故选C.] 13．D [先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有A 22种放法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法有A 22A 44A 55种．]14．260解析 如图所示，将4个小方 格依次编号为1,2,3,4.如果使用2种颜色，则只能是第1,4个小方格涂一种，第2,3个小方格涂一种，方法种数是C 25A 22＝20；如果使用3种颜色，若第1,2,3个小方格不同色，第4个小方格只能和第1个小方格相同，方法种数是C 35A 33＝60，若第1,2,3个小方格只用2种颜色，则第4个方格只能用第3种颜色，方法种数是C 35×3×2＝60；如果使用4种颜色，方法种数是C 45A 44＝120.根据分类加法计数原理，知总的涂法种数是20＋60＋60＋120＝260.15．3解析 设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，①令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.16．－1解析 因为(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x 2 016，令x ＝12，则(1－2×12)2 016＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝0. 令x ＝0，可得a 0＝1.所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.。