江苏省盱眙县都梁中学数学苏教版必修二同步课堂精练：1.1.3 中心投影和平行投影

古之立大事者，不唯有超世之材，亦必有坚毅不拨之志。

1．1．3中心投影和平行投影【课时目标】 1．认识中心投影和平行投影． 2．能画出简单空间图形 ( 柱、锥、台、球及其组合体 ) 的三视图． 3．能辨别三视图所表示的立体模型．1．平行投影与中心投影的不一样之处在于：平行投影的投影线是________，而中心投影的投影线 ________．2．三视图包含__________ 、__________ 和 __________ ，此中几何体的____________ 和__________高度同样， __________与 ____________ 长度同样， __________ 与__________宽度同样．一、选择题1．人在灯光下走动，当人渐渐远离灯光时，其影子的长度将________．2．两条订交直线的平行投影是________．3 ．如下图，以下几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图同样的是( 填序号)________ ．4．一个长方体去掉一角的直观图如下图，对于它的三视图，以下画法正确的选项是________( 填序号 ) ．5．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是________________________________ ．6．若一个三棱柱的三视图如下图，则这个三棱柱的高( 两底面之间的距离) 和底面边长分别是 ________和________．7．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为 ________个．8．依据如下图俯视图，找出对应的物体．(1) 对应 ________； (2) 对应 ________；(3)对应 ________； (4) 对应 ________；(5)对应 ________．9．如图 1 所示， E， F 分别为正方体的面 1 1 1AD， BC 的中心，则四边形BFDE 在该正方体的面上的正投影可能是图 2 中的 ________． ( 填上可能的序号 )二、解答题10．在下边图形中，图 ( b) 是图 ( a) 中实物画出的主视图和俯视图，你以为正确吗？假如不正确，请找犯错误并更正，而后画出左视图( 尺寸不作严格要求) ．11．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．能力提高12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．13．用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？在绘制三视图时，要注意以下三点：1．若两相邻物体的表面订交，表面的交线是它们的原分界限，在三视图中，分界限和可见轮廓都用实线画出，不行见轮廓用虚线画出．2．一个物体的三视图的摆列规则是：俯视图放在主视图的下边，长度和主视图同样．左视图放在主视图的右边，高度和主视图同样，宽度和俯视图同样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”．3．在画物体的三视图时应注意察看角度，角度不一样，常常画出的三视图不一样．1．中心投影和平行投影答案知识梳理1．平行的交于一点2．主视图左视图俯视图左视图主视图俯视图主视图左视图俯视图作业设计1．变长分析中心投影的性质．2．两条订交直线或一条直线3．②④分析在各自的三视图中①正方体的三个视图都同样；②圆锥有两个视图同样；③三棱台的三个视图都不一样；④正四棱锥有两个视图同样．4．① 5. 四棱锥6．2 4分析三棱柱的高同左视图的高，左视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4.7． 78． (1)D (2)A (3)E(4)C(5)B9．②③分析图②为四边形BFD1E 在正方体前后及上下边上的正投影，③为其在左右边面上的正投影．10．解图(a)是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯视图应当画出不行见轮廓线 ( 用虚线表示 ) ，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线 ( 用实线表示 ) ，正确画法如下图．11．解该图形的三视图如下图．12．解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反应正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反应正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反应当物体投影后是一个正六边形和一个圆 ( 中心重合 ) ．它的三视图如下图．13．解因为主视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，所以，用的立方块数最多的状况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种状况共用小立方块17 块．而搭建这样的几何体用方块数最少的状况是每列只需有一个最大的数字，其余方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11 块．别想一下造出海洋，一定先由小河川开始。

苏教版中心投影和平行投影学习目标：1.了解投影、中心投影、平行投影的概念2.掌握物体的三视图的画法3.能画出简单几何体的三视图学习过程：活动一（目标：理解投影、中心投影、平行投影的概念）问题一：投影，中心投影，平行投影的概念是什么？思考1：用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影？思考2：用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体,在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同？思考3:用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗？思考4:在平行投影中，投影线正对着投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影一个与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？思考5:一个与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？总结：活动二（目标：理解视图及三视图的概念）①视图：_________________________________________________________________②正视图：_________________________________________________________________③俯视图：_________________________________________________________________④左视图：_________________________________________________________________⑤三视图：_________________________________________________________________例1：画出下列长方体的正视图、侧视图和俯视图的长度、宽度和高度有什么关系？问题：三视图的画法的注意点是什么？例2如图是一个倒置的四棱柱的两种摆放，试分别画出其三视图，并比较它们的异同小结：例3：根据下面的三视图说出立体图形的名称活动三（课堂检测）1．若一个几何体的三视图都是三角形，则这个几何体可能是（）A．圆锥B．四棱锥C．三棱锥D．三棱台2．一个多边形沿不平行于多边形所在平面的方向平移一段距离可以形成（）A．棱锥B．棱柱C．平面D．长方体3说出下列三视图依次为主视图、左视图、俯视图表示的几何体是（）A．六棱柱B．六棱锥C．六棱台D．六边形4．画出下列三视图所表示的几何体：1主视图左视图俯视图2主视图左视图俯视图。

1.1 空间几何体1.1.3 中心投影和平行投影1.1.4 直观图画法（苏教版必修2）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共50分）1．如图（1）所示的几何体（下底面是正六边形），其左视图是图（2）中的.2.如图（1）所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图（2）中的. 3．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中的△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为.4．如图（1）所示，点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F 为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是图（2）中的.5.给出的下列命题：①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体正方体；②如果一个几何体的主视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④如果一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台.其中正确的命题是.6.利用斜二测画法得到的：①三角形仍然是三角形；②四边形还是四边形；③梯形还是梯形；④长方形还是长方形，以上结论正确的是.7. 如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 .8.已知正三角形ABC的边长为a，那么三角形ABC的平面直观图的面积为 .9. 水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3,B′C′=2,则AB边上的中线的实际长度为.10.如图（1）是一个物体的三视图，则此物体的直观图是图（2）中的.二、解答题（共50分）11.(16分)已知正三棱锥V-ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA=4，AC=2 √3，求该三棱锥的一个侧面的面积.12．（16分）如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，该梯形绕边AD所在直线EF旋转一周得一几何体，画出该几何体的直观图.第12题图13．（18分）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，求该三角形的斜边长．1.1 空间几何体1.1.3 中心投影和平行投影1.1.4 直观图画法（苏教版必修2）答题纸得分：一、填空题1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. .二、解答题11.12.13.1.1 空间几何体1.1.3 中心投影和平行投影 1.1.4 直观图画法（苏教版 必修2）参考答案一、填空题1.① 解析：由于几何体的下部为正六棱柱，故左视图内只有一条棱.2.③ 解析：按斜二测画法的规则：平行于x 轴或x 轴上的线段的长度在新坐标系中不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段的长度在新坐标系中变为原来的12 ，并注意到∠xOy =90°，∠x ′O ′y ′=45°，将图形还原成原图形可知选③.3. 32 解析：由三视图知该几何体为正六棱锥，底面边长为1，高为√3.左视图为等腰三角形，底边长为√3，高为√3，所以左视图的面积为 12× √3 ×√3 = 32.4.①②③ 解析：空间四边形D ′OEF 在正方体的面DCC ′D ′及其对面ABB ′A ′上的正投影是①；在面 BCC ′B ′及其对面ADD ′A ′上的正投影是②；在面ABCD 及其对面A ′B ′C ′D ′上的正投影是③.5.③ 解析：命题①错误，如球的三视图也是完全相同的.对于命题②，我们不难举出反例.例如，一个横放着的圆柱的主视图和俯视图都是矩形，但它不是长方体.对于命题④，如果一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形，那么这个几何体确实可能是圆台，但也可能是棱台.只有命题③正确.6.①②③ 解析：此题主要考查斜二测画法中原图与直观图的变化，原图中的直角在直观图中应画成45°或135°，平行于y 轴的线段长度变为原来的一半，故长方形的直观图应是平行四边形. 7.2＋2 解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21(1＋2＋1)×2＝2＋2． 8.√616a 2 解析：由于该正三角形的面积为S =√34a 2,所以由公式S ′=√24S 可得其平面直观图的面积S ′=√34a 2∙√24=√616a 2.9.2.5 解析：由于直观图中∠A ′C ′B ′=45°,则在原图形中∠ACB =90°,AC =3,BC =4,斜边AB =5,所以斜边上的中线长为2.5.10.④ 解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，故为④.二、解答题11.解：由题意知，正三棱锥的侧棱长为4，底面边长为23，∴该三棱锥的一个侧面面积为12×2√3×√42−( √3)2=√39 .12.解：该几何体是由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的简单组合体，其直观图如图所示.13．解：如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为正三角形，边长为2，△DEF为等腰直角三角形，DF为斜边，设DF长为x，则DE＝EF＝22x，作DG⊥BB1，HG⊥CC1，EI⊥CC1，则EG＝√DE2−DG2＝√x22−4，FI＝√EF2−EI2＝√x22−4，FH＝FI＋HI＝FI＋EG＝2√x22−4.在Rt△DHF中，DF2＝DH2＋FH2，即x2＝4＋(2√x22−4)2，解得x＝2 3.即该三角形的斜边长为2 3.。

1．1.3中心投影和平行投影诗云：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。

不识庐山真面目，只缘身在此山中。

”这首诗告诉我们，要注意从不同角度观察事物，下面的三个图形是从不同方向观察某一物体的形象，你能分析出它代表什么吗？分析的依据是什么？1．由于光的照射，在不透明的物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影，其中光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面．2．投影线交于一点的投影称为中心投影，或看作由点光源照射形成的投影；投影线相互平行的投影称为平行投影，或看作由平行光照射形成的投影．两种投影的区别在于：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线交于一点；②同一个几何体在平行投影与中心投影下有不同的图形结构，中心投影形成的直观图能非常逼真地反映原来的物体，平行投影形成的直观图则能比较精确地反映原来物体的形状和特征．3．平行投影按投射方向是否正对着投影面，可分为斜投影和正投影两种．4．平行投影的主要性质有：①直线或线段的平行投影是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重叠的直线；③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一条直线或平行直线上的两条线段的投影平行且投影比等于这两条线段之比．5．视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形．光线自物体由前向后投射所得投影称为主视图或正视图．光线自物体由上向下投射所得投影称为俯视图；光线自物体由左向右投射所得投影称为左视图．几何体的正视图、左视图、俯视图统称为几何体的三视图．6．长方体的三视图都是矩形，正方体的三视图都是正方形(有一面正对观察者)；直立圆锥的主视图与左视图都是等腰三角形，俯视图是圆；直立圆柱的主视图与左视图都是矩形，俯视图是圆；圆台的主视图与左视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆；球的三视图都是圆．7．三视图的画法规则：一个几何体的主视图和左视图的高度一样，俯视图和主视图的长度一样，左视图与俯视图的宽度一样．画三视图时，看见的线画成实线，被遮住看不见的线要画成虚线．,一、投影的分类与区别投影分为中心投影和平行投影两种．两种投影的区别在于：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线交于一点．②同一个几何体在平行投影与中心投影下有不同的图形结构，中心投影形成的直观图能非常逼真地反映原来的物体，平行投影形成的直观图则能比较精确地反映原来物体的形状和特征．二、平行投影的性质①直线或线段的平行投影是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重叠的直线；③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行线上的两条线段的投影平行且投影比等于这两条线段之比．三、三视图①几何体的主视图、左视图、俯视图统称为几何体的三视图；②三视图画法规则是：高平齐(即主视图与左视图的高要保持平齐)、长对正(即主视图与俯视图的长应对正)、宽相等(即俯视图与左视图的宽度应相等)；③看得见的棱或轮廓线要用实线表示，看不见的棱或轮廓线要用虚线表示．基础巩固知识点一中心投影与平行投影1．有下列说法：①从投影的角度看，三视图和斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的命题有________(填序号)．解析：由投影的相关知识知，四个命题均正确．答案：①②③④2．两条相交直线的平行投影是____________________________．解析：当两条相交直线所在平面与投影线不平行时，平行投影是两条相交直线；当平行时，其投影是一条直线．答案：两条相交直线或一条直线3．中心投影的投影线________；平行投影的投影线是________的，平行投影有________与________．答案：相交于一点平行正投影斜投影知识点二空间几何体的三视图4．三视图是相同图形的几何体是________．解析：球的三视图都是圆．答案：球5．如右图，画出圆锥的左视图．解析：从正左方向向右投影得到左视图．如下图．6．画出下列几何体的三视图：解析：(1)三棱锥的三视图：(2)四棱台的三视图：知识点三由三视图判断空间几何体7．下图为两个几何体的三视图，根据三视图可以判断这两个几何体分别为________、________．解析：根据三视图的形状联想几何体的结构．答案：圆台四棱锥]8．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(A)A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱解析：根据正视图的形状推测几何体的形状．由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.能力升级综合点一几何体的投影与三视图的综合理解9．下列实例中，不是中心投影的是________(填序号)．①工程图纸；②小孔成像；③相片；④人的视觉．解析：由中心投影和平行投影的定义知，小孔成像，相片，人的视觉为中心投影，工程图纸为平行投影．答案：①10．画简单组合体的三视图时，下列说法错误的是________(填序号)．①主视图与俯视图长相同；②主视图与左视图高平齐；③俯视图与左视图宽相等；④俯视图画在左视图的正向．解析：由画图时遵循“长对正、高平齐、宽相等”，易知①②③正确．答案：④综合点二空间几何体三视图的综合判断11．(2014·江西卷)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(B)解析：根据三视图的概念，直接观察求解即可．该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，故选B.综合点三几何体三视图中的有关计算12．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为________、________．解析：从左视图中得到高为2，正三棱柱的底面正三角形的高为23，可得边长为4.答案：2 4综合点四利用三视图探究几何体的形状13．用小立方体组成一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置各层小立方体的个数．(1)你能确定哪些字母表示的数？(2)几何体可能有多少种不同的形状？解析：(1)面对数个立方体组成的几何体，通过对主视图与俯视图的观察，我们可得出下列结论：①a＝3，b＝1，c＝1.②d、e、f中的最大值为2、最小值为1或2，且至少有一个是2.所以上述字母中我们可以确定的是a＝3，b＝1，c＝1.(2)当d、e、f中有一个是2时，有3种不同的形状；当d、e、f中有两个是2时，有3种不同的形状；当d、e、f中都是2时，有1种形状，所以几何体有7种不同的形状．。

高中数学中心投影、平行投影和直观图画法（答题时间： 40 分钟）*1. 以下说法：① 从投影角度看，三视图是在平行投影下画出的；②平行投影的投射线相互平行，中心投影的投射线交于一点；③空间图形经过投影后，直线变为直线，但平行线有可能变为订交线了；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不一样的表现形式。

此中正确的说法有。

（填序号）**2.（梅州检测）以下图，一个水平搁置的正方形ABCD ，它在直角坐标系xOy 中，点 B 的坐标为（ 2， 2），则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，极点B′到x′轴的距离为 ________。

*3.以下图，在正方体ABCD A'B'C 'D ' 中， E 、 F 分别是 A'A 、 C 'C 的中点，则以下判断正确的选项是。

（填序号）①四边形 BFD ' E 在底面ABCD内的投影是正方形；②四边形 BFD ' E 在面 A ' D ' DA 内的投影是菱形；③四边形 BFD 'E 在面 A' D ' DA 内的投影与在面 ABB ' A ' 内的投影是全等的平行四边形。

**4.以下图，在四边形OABC 中， OA＝ BC＝ 1 cm，AB＝OC＝ 3 cm，OB⊥ BC， OB⊥ OA，那么，用斜二测画法画出的直观图是______（填四边形的种类），其周长为 ______cm。

*5.一个几何体由几个同样的小正方体组合而成，它的主视图、左视图、俯视图以下图，则这个组合体包括的小正方体的个数是________。

**6.如图为水平搁置的△ABO 的直观图△ A′ B′O′，由图判断在△ABO 中 AB、 BO、BD 、 OD 的大小关系是 ________。

**7. 用斜二测画法画出长、宽、高分别是 3 cm、3 cm、2 cm 的长方体 ABCD －A B C D的直观图。

江苏省盱眙县都梁中学高中数学第1章立体几何初步 1.2.2 空间两条直线的位置关系课堂精练苏教版必修2 1．已知a，b，c为三条直线，则下列结论：①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a与c异面，b与c异面，则a与b异面；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a与c相交，b与c相交，则a与b相交．其中正确的有__________个．2．空间有三条直线a，b，c，如果b⊥a， c⊥a，那么直线b，c的位置关系是__________．3．两个相等的角有一组对边平行，那么另一组对边①也一定平行；②可以不平行；③可以相交；④可以异面．以上四种情况正确的有__________种．4．(1)正方体ABCD­A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为__________．(2)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点的个数是__________．5．下列结论不正确的是________．(填序号)①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行③两条异面直线所成的角为锐角或直角④直线a与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面6.过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作的条数是__________．7．如图，在一个长方体木块的A1C1面上有一点P，过P点画一直线和棱CD平行，应怎样画？若要求过P点画一条直线和BD平行，又该怎样画？8．(1)如下图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，求异面直线EF与GH所成的角．(2)正方形ABCD的两对角线AC与BD相交于O，沿对角线AC折起，使∠BOD＝90°，求此时AB与CD所成的角．参考答案1．1 只有①正确．2．相交、平行或异面如图，在正方体中，设AA1＝a，AB＝b，则当c＝AD时，b与c相交；当c＝A 1B1时，b c；当c＝A1D1时，b与c异面．3．3 两个相等的角有一组对应边平行时，另一组对应边可以旋转，从而另一组对边三种位置关系都可能，②③④均成立．4．(1)4 (2)无穷多个(1)如图，正方体棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点为点D，B1，线段BC的中点E，线段A1D1中点F，总共4个．(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1与CC1是两条互相垂直的异面直线，则易知B1D 上的任意一点到A1D1与CC1的距离都相等．5．①②④结论①中的两条直线可以相交，也可以异面，还可以平行．结论②是结论①的一般情形，特殊情形不成立，一般情形也不成立．对于结论④，异面直线的性质不具有传递性．6．4 如图所示．AC 1，AC 2，AC 3，AC 4即为所求．7．解：过P 画EFC 1D 1即可，因为CD C 1D 1，则EF CD .连结B 1D 1，再过P 画GH B 1D 1即可，因为BD B 1D 1，则GH BD .8．解：(1)由题意，连结A 1B ，BC 1，A 1C 1，则EFA 1B ，HG BC 1，∴异面直线EF 与GH 所成的角即为A 1B 与BC 1所成的角．∵△A 1BC 1是以面对角线为边长的正三角形，∴∠A 1BC 1为60°，即EF 与GH 所成的角等于60°.(2)如图，设正方形的边长为2.取BC 的中点M ，BD 的中点N ，连结OM ，MN ，ON ， 由条件得OM AB ，MN CD ，且OM ＝12AB ＝1，MN ＝12CD ＝1.∴OM 与MN 所成的角是AB 与CD 所成的角或其补角．又∵OB ＝OD BOD ＝90°， ∴BD ＝2，ON ＝12BD ＝1.∴△OMN 是正三角形． ∴∠OMN ＝60°，那么AB 与CD 所成的角为60°.。

江苏省盱眙县都梁中学高中数学第1章立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质课堂精练苏教版必修21．图中表示两个相交平面，其中画法不正确的是__________．(填序号)2．给出下列命题：(1)如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点；(2)两个平面的交线可能是一条线段；(3)两两平行的三条直线确定三个平面；(4)如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个面就重合为一个面．其中正确的命题的序号为__________．3．已知点A，直线a，平面α.①A∈a，a⊄α⇒A⊄α；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③A⊄a，a⊂α⇒A⊄α；④A∈a，a ⊂α⇒A⊂α.以上命题表达正确的个数为__________．4．以下命题正确的是__________．(填序号)①三点确定一个平面②线段AB在平面α内，但直线AB不在平面α内③三条直线两两相交时不一定共面④两个平面可以有两条公共直线5．(1)(2011江苏南通模拟，5)平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为______．(六个面都是平行四边形的四棱柱为平行六面体)(2)三角形、四边形、圆中一定是平面图形的个数是________．(3)三条直线两两相交，可以确定平面的个数是________，两两平行的四条直线，最多可确定的平面个数是________．6．有下面几个命题：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任何一条直线都不共面．其中正确命题的序号是__________．(把你认为正确的序号都填上)7．如图，有一课本ABCD的一个角A在桌面上，并且课本立于课桌上，问课本所在的平面α与课桌所在的平面β是只有这一个公共点A吗？要不是，如何作出平面α与平面β的交线？8．定线段AB所在直线AB与定平面α相交，P⊄AB且P⊄α，若直线AP，BP与α交于点A1，B1，请问：如果P点任意移动，直线A1B1是否总过一定点？请说明理由．如图，已知空间不共面的三条线段AA1，BB1，CC1，两两平行且互不相等．求证：AB与A1B1，BC与B1C1，AC与A1C1分别相交，且三个交点共线．参考答案千里之行1．①②③对于①，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实、虚线也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同样的道理，也可知②③图形的画法不正确．④的图形画法正确．2．(4) 由公理2知(1)(2)不正确；两两平行的三直线也可能确定一个平面，(3)不正确．3．0 ①中若a与α相交，且交点为A，则不正确；②中“a∈α”符号不正确；③中A 可在α内，也可在α外；④符号“A⊂α”不正确．4．③①中缺少“不共线”，∴①错误；线段AB⊂α，∴A∈α，B∈α.∴直线AB⊂α.∴②也错误；三条直线两两相交时可能共点，不一定共面，∴③正确；④明显错误．(不符合公理2)5．(1)5 (2)2 (3)1或3 6(1)如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1，与AB，CC1都共面的棱为BC，D1C1，DC，AA1，BB1，共5条．(2)三角形三个顶点不共线能确定一平面．圆中任三点不共线，可确定一平面，但四边形可能四个顶点不共面，不能确定平面．故三角形与圆一定是平面图形．(3)当三直线两两相交但不共点时，确定一个平面；当三线共点，如三棱锥的三条侧棱可确定三个平面；四棱柱的四条侧棱，确定四个侧面，相对的两条棱组成两个对角面，共六个面．∴两两平行的四条直线最多可确定6个平面．6．③④①错，因为当一条线段的中点在平面内时，两个端点不一定在平面内，此时线段可与平面相交；②错，如空间四边形的两组对边分别相等，但不在同一平面内，因而不是平行四边形；⑤错，点A和平面内的任一条直线可共面．7．解：不止一个公共点，除点A外还有公共点．延长线段CD交平面β于点P，作直线PA，即是平面α与平面β的交线，∵P∈CD，CD ⊂α，∴P∈α.又∵P∈β，∴P是平面α和平面β的公共点．∵A∈β且A∈α，∴直线PA是平面α与平面β的交线．8．解：∵P 直线AB，∴由点P与直线AB确定惟一平面ABP.如图，由AP∩α＝A1及BP∩α＝B1，知：平面ABP ∩α＝A1B1，设直线AB∩α＝O，∴O∈α，O∈直线AB.∴O∈平面ABP.∴O在平面ABP与平面α的交线上．∴O∈直线A1B1，即当P点任意移动时，直线A1B1总是过定点O.百尺竿头证明：∵CC 1BB1且CC1≠BB1，∴C1B1BC为梯形，且BC，C1B1为两条腰．∴BC，B1C1相交，并设交点为点E.同理AC，A1C1相交，AB与A1B1相交，分别设交点为F，G.∵面AA1F∩面GEB＝AF，面AA1F∩面B1EG＝A1F，∴F∈面BGE，且F∈面B1EG.又∵面B1EG∩面BGE＝GE，∴F∈GE，即F，G，E三点共线．。

苏教版高中数学必修2 全册同步练习及检测第1章立体几何§1.1空间几何体1.1.1 棱柱、棱锥和棱台1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球【课时目标】认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．1．一般地，由一个________________沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的________，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的________，两侧面的公共边叫________．2．当棱柱的一个底面__________________时，得到的几何体叫做棱锥(如图所示)．3．棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，______和________之间的部分．4．将________、________________、______________分别绕着它的________、______________、____________________所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做______，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做________，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做________，无论旋转到什么位置，这条边都叫做________．5．________绕着它的______所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做______，简称______．一、填空题1．将梯形沿某一方向平移形成的几何体是________．2．有下列命题：①棱柱的底面一定是多边形；②棱台的底面一定是梯形；③棱柱被平面截成的两部分可以都是棱柱；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确命题的序号是________．3．棱台具备的性质是________(填序号)．①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点．4．下列命题中正确的是________(填序号)．①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；④用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台．5．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．6．右图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的________(填序号)．7．下列叙述中错误的是________．(填序号)①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．8．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是______(填序号)．9．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是______．二、解答题10．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．11．如图所示，已知△ABC，以AB为轴，将△ABC旋转360°．试指出这个旋转体是由怎样的简单几何体构成的？画出这个旋转体的直观图．能力提升12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列______图形．(填序号)13．如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A 点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？1．学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系．2．在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键．3．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连结两点的线段长求解．第1章立体几何初步§1.1空间几何体1．1.1棱柱、棱锥和棱台1．1.2圆柱、圆锥、圆台和球答案知识梳理1．平面多边形底面侧面侧棱2．收缩为一个点3．截面底面4．矩形直角三角形直角梯形一边一直角边垂直于底边的腰轴底面侧面母线5．半圆直径球体球作业设计1．四棱柱 2.①③3．①②④解析用棱台的定义去判断．4．③解析①、②的反例图形如图所示，④显然不正确．5．球体 6.①7.①②③④8．(1)(5)解析一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．9．①②10．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．11．解这个旋转体可由一个大圆锥挖去一个同底面的小圆锥而得到，直观图如图所示．12．②13．解把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连结AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.1．1．3中心投影和平行投影【课时目标】1．了解中心投影和平行投影．2．能画出简单空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图．3．能识别三视图所表示的立体模型．1．平行投影与中心投影的不同之处在于：平行投影的投影线是________，而中心投影的投影线________．2．三视图包括__________、__________和__________，其中几何体的____________和__________高度一样，__________与____________长度一样，__________与__________宽度一样．一、选择题1．人在灯光下走动，当人逐渐远离灯光时，其影子的长度将________．2．两条相交直线的平行投影是________．3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(填序号)________．4．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是________(填序号)．5．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是________________________________．6．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．7．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．8．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．9．如图1所示，E，F分别为正方体的面AD1，BC1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图2中的________．(填上可能的序号)二、解答题10．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图(尺寸不作严格要求)．11．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．能力提升12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．13．用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？在绘制三视图时，要注意以下三点：1．若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．2．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样．左视图放在主视图的右面，高度和主视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”．3．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．1．1.3中心投影和平行投影答案知识梳理1．平行的交于一点2．主视图左视图俯视图左视图主视图俯视图主视图左视图俯视图作业设计1．变长解析中心投影的性质．2．两条相交直线或一条直线3．②④解析在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．4．① 5.四棱锥6．2 4解析三棱柱的高同左视图的高，左视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4.7．78．(1)D(2)A(3)E(4)C(5)B9．②③解析图②为四边形BFD1E在正方体前后及上下面上的正投影，③为其在左右侧面上的正投影．10．解图(a)是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．11．解该图形的三视图如图所示．12．解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．13．解由于主视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．1.1.4直观图画法【课时目标】1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：(1)在空间图形中取互相________的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz ＝________，且∠yOz＝________．(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝______(或______)，∠x′O′z′＝________，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度________；平行于y 轴的线段，长度为原来的________．一、填空题1．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有__________(填序号)．2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD的形状是____________．3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是________ cm．4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是______(填序号)．5．△ABC面积为10，以它的一边为x轴画出直观图，其直观图的面积为________．6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于__________．7．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是______________．8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．9．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______．二、解答题10．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．11．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD ＝3 cm，试画出它的直观图．能力提升12．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为________．13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．直观图与原图形的关系1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等；而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍．2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．1．1．4直观图画法答案知识梳理 (1)垂直 90° 90° (2)45° 135° 90° (4)不变 一半 作业设计 1．①②⑤解析 由斜二测画法的规则判断． 2．直角梯形 3．8 解析根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC 为平行四边形，OB ＝22，OA ＝1，AB ＝3，从而原图周长为8 cm ．4．③ 5．522 解析 设△ABC 面积为S ，则直观图面积S ′＝24S ＝522．6．2＋ 2解析 如图1所示，等腰梯形A ′B ′C ′D ′为水平放置的原平面图形的直观图，作D ′E ′∥A ′B ′交B ′C ′于E ′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A ′B ′C ′D ′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD ，且AB ＝2，BC ＝1＋2，AD ＝1，所以S ABCD ＝2＋2．图1图27．①②解析斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．8．2．5解析由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2．5．9．2 2解析画出直观图，则B ′到x ′轴的距离为22·12OA ＝24OA ＝22． 10．解 (1)作出长方体的直观图ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图a 所示；(2)再以上底面A 1B 1C 1D 1的对角线交点为原点建立x ′，y ′，z ′轴，如图b 所示，在z ′上取点V ′，使得V ′O ′的长度为棱锥的高，连结V ′A 1，V ′B 1，V ′C 1，V ′D 1，得到四棱锥的直观图，如图b ；(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c ．11．解 (1)如图a 所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy ．如图b 所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°．(2)在图a 中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E ．在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2．598 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm ．(3)连结A ′D ′、B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．12．6 2a2解析画△ABC直观图如图(1)所示：则A′D′＝32a，又∠x′O′y′＝45°，∴A′O′＝62a．画△ABC的实际图形，如图(2)所示，AO＝2A′O′＝6a，BC＝B′C′＝a，∴S△ABC＝12BC·AO＝62a2．13．解四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝22．§1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质【课时目标】 1．了解平面的概念及表示法．2．了解公理1、2、3及推论1、2、3，并能用文字语言、图形语言和符号语言分别表述．1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：________________．2．公理2：如果________________________________，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的______________．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l ． 3．公理3：经过不在同一条直线上的三点，________________________．公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．(1)推论1 经过________________________________________，有且只有一个平面． (2)推论2 经过____________，有且只有一个平面． (3)推论3 经过____________，有且只有一个平面．一、填空题1．下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为________．2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系用符号可记作____________．3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是__________(填序号)．①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A；④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合．5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号)①两条直线；②一点和一直线；③一个三角形；④三个点．6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个．7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)AD/∈α，a⊂α________．(2)α∩β＝a，PD/∈α且PD/∈β________．(3)a⊄α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．二、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面；(3)CE、D1F、DA三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点，或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．§1．2 点、线、面之间的位置关系1．2．1 平面的基本性质答案知识梳理1．两点⎭⎪⎬⎪⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α 2．两个平面有一个公共点 一条直线 3．有且只有一个平面 (1)一条直线和这条直线外的一点 (2)两条相交直线 (3)两条平行直线作业设计 1．1解析 由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．2．M ∈b ⊂β 3．1,2或3 4．③解析 ∵A ∈α，A ∈β，∴A ∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A 的一条直线而不是A ． 故α∩β＝A 的写法错误．5．③6．1或4解析四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连结SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1P l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝12A1B．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F⊂平面ADD1A1，P∈CE⊂平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．1.2.2空间两条直线的位置关系【课时目标】1．会判断空间两直线的位置关系．2．理解两异面直线的定义及判定定理，会求两异面直线所成的角．3．能用公理4及等角定理解决一些简单的相关证明．1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：________、____________、____________．2．公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．3．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．4．异面直线(1)定义：________________________的两条直线叫做异面直线．(2)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是______________．5．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使__________，__________，我们把a′与b′所成的________________叫做异面直线a与b所成的角．如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角α的取值范围是____________．一、填空题1．若空间两条直线a，b没有公共点，则其位置关系是____________．2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是______________．3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱共有________条．4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是________．5．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是________．6．有下列命题：①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；③经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直；④若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，则OB∥O1B1．其中正确命题的序号为________．7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．8．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．二、解答题10．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1．11．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F 分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．能力提升12．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．13．如图所示，在正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF 和CD所成的角是______．1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角α的范围为0°<α≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．1．2．2空间两条直线的位置关系答案知识梳理1．相交直线平行直线异面直线2．互相平行3．相等4．(1)不同在任何一个平面内(2)异面直线5．a′∥a b′∥b锐角(或直角)直角0°<α≤90°作业设计1．平行或异面2．相交、平行或异面解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．3．64．矩形解析易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．5．2解析①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．6．③7．60°或120°8．(1)60°(2)45°解析连结BA′，则BA′∥CD′，连结A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．9．①③解析。

江苏省盱眙县都梁中学高中数学第1章立体几何初步 1.2.3 直线与平面的位置关系课堂精练苏教版必修2 1．对于不重合的两直线m，n和平面α，下面命题中的真命题是__________． (填序号)①如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥α②如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥n③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交④如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A， E，C的平面的位置关系是__________．3．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是________．(填序号)①过P只能作一条直线与平面α相交②过P可作无数条直线与平面α垂直③过P 只能作一条直线与平面α平行④过P可作无数条直线与平面α平行4．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的个数是__________．①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α②若l⊥α，l∥m，则m⊥α③若l∥α，m⊂α，则l∥m④若l∥α，m∥α，则l∥m5．(1)已知正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的正投影为底面中心)的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于________．(2)已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于________．(正三棱柱是底面为正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱) 6．下列命题中，正确的个数是__________．①直线a∥平面α，则a平行于α内任何一条直线②直线a与平面α相交，则a不平行于α内的任何一条直线③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线④直线a不垂直于平面α内的某一条直线，则a不垂直于α内任何一条直线7．如图，已知PA垂直⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于E.求证：AE⊥平面PBC.8．如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB .(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．9.如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明AA1⊥BD；(2)证明CC1∥平面A1BD.参考答案1．② ①中n 与α可以相交；③中n 与α可能平行；④中m 与n 可能相交；由线面平行的性质知，②正确．2．BD 1∥平面AEC 连结AC ，BD 相交于一点O ，连结OE ，AE ，EC ，∵四边形ABCD 为正方形，∴DO ＝BO .而DE ＝D 1E ， ∴EO 为△DD 1B 的中位线． ∴EO P D 1B .∴BD 1P 平面AEC .3．④ 过P 可作无数条直线与平面α相交，①错；过P 只能作一条直线与平面α垂直，②错；过P 可作无数条直线与平面α平行，所以④正确；③错．4．1 对于①，若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊂α可能成立，l ⊥α不一定成立，∴①不正确；对于②，若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α，正确．对于③，l 与m 可能异面，不一定平行，故③不正确；对于④，l 与m 可能相交，也可能异面，故④不正确．5．(1)6(2)4(1)如图，设正三棱锥VABC 的顶点V 在底面的正投影为O ，底面边长为a ，则侧棱VA ＝2a .连结AO 并延长交BC 于点D .AO 为AV 在底面上的射影，∴∠VAO 即为侧棱VA 与底面ABC 所成的角．∵23AO ==， ∴在Rt △VOA中，3cos 2aAO VAO VA a ∠===(2)如图，取A 1C 1中点D ，连结B 1D ，则B 1D ⊥平面AA 1C 1C ，∴∠B 1AD 就是所求的线面角．设A 1B 1＝1，则12B D =1AB =， ∴在Rt △ADB 1中，111sin B D B AD AB ∠===6．1 对于①，若a ∥α，则a 与α内的直线或平行或异面， ∴①不正确；②中，若a 平行于α内的一条直线a ′，∴a ∥α或a ⊂α，与直线a 与平面α相交矛盾，∴②正确；对于③中，直线a 不平行于平面α，a 可以在α内，此时，a 可以平行于α内的直线，∴③不正确；对于④，直线a 不垂直于平面α，但可以垂直于α内的某些直线．7．证明：∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC ⊥AC . 而PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC . ∵AE ⊂平面PAC ，∴BC ⊥AE . 又∵PC ⊥AE 且PC ∩BC ＝C ， ∴AE ⊥平面PBC .8.(1)证明：设AC ∩BD ＝H ，连结EH .在△ADC 中，因为AD ＝CD ，且DB 平分∠ADC ，所以H 为AC 的中点．又由题设，E 为PC 的中点，故EH ∥PA .又EH ⊂平面BDE ，且PA ⊄平面BDE ，所以PA ∥平面BDE .(2)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC .由(1)可得，DB ⊥AC .又PD ∩DB ＝D ，故AC ⊥平面PBD .(3)解：由AC ⊥平面PBD 可知，BH 为BC 在平面PBD 内的射影，所以∠CBH 为直线BC 与平面PBD 所成的角．由AD ⊥CD ，AD ＝CD ＝1，DB =，可得DH CH ==，BH =.在Rt △BHC中，1 tan3CHCBHBH∠==所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为13.9.证明：(1)因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD. 所以BD⊥D1D.取AB的中点G，连结DG，在△ABD中，由AB＝2AD得AG＝AD.又∠BAD＝60°，所以△ADG为等边三角形，因此GD＝GB.故∠DBG＝∠GDB，又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°.故∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°.所以BD⊥AD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.又AA1⊂平面ADD1A1，故AA1⊥BD.(2)连结AC，A1C1.设AC∩BD＝E，连结EA1.因为四边形ABCD为平行四边形，所以1.2EC AC=由棱台定义及AB＝2AD＝2A1B1知A1C1∥EC且A1C1＝EC.所以四边形A1ECC1为平行四边形．因此CC1∥EA1.又因为EA1⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD.所以CC1∥平面A1BD.。

年高中数学 1.1-1.1.3 中心投影和平行投影同步检测试题苏教版必修2基础巩固知识点一中心投影与平行投影1．有下列说法：①从投影的角度看，三视图和斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的命题有________(填序号)．解析：由投影的相关知识知，四个命题均正确．答案：①②③④2．两条相交直线的平行投影是________________________________________________________________________．解析：当两条相交直线所在平面与投影线不平行时，平行投影是两条相交直线；当平行时，其投影是一条直线．答案：两条相交直线或一条直线3．中心投影的投影线__________；平行投影的投影线是______的，平行投影有__________与__________．答案：相交于一点平行正投影斜投影知识点二空间几何体的三视图4．三视图是相同图形的几何体是__________．解析：球的三视图都是圆．答案：球5．如右图，画出圆锥的左视图．解析：从正左方向向右投影得到左视图．如下图．6．画出下列几何体的三视图：解析：(1)三棱锥的三视图：(2)四棱台的三视图：知识点三由三视图判断空间几何体7．下图为两个几何体的三视图，根据三视图可以判断这两个几何体分别为________、________.解析：根据三视图的形状联想几何体的结构．答案：圆台四棱锥8．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的__________________(填入所有可能的几何体的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．解析：三棱锥、四棱锥、圆锥的正视图为三角形比较明显，而三棱柱横着放时其主视图可为三角形．答案：①②③⑤能力升级综合点一几何体的投影与三视图的综合理解9．下列实例中，不是中心投影的是________(填序号)．①工程图纸②小孔成像③相片④人的视觉．解析：由中心投影和平行投影的定义知，小孔成像，相片，人的视觉为中心投影，工程图纸为平行投影．答案：①10．画简单组合体的三视图时，下列说法错误的是________(填序号)．①主视图与俯视图长相同；②主视图与左视图高平齐；③俯视图与左视图宽相等；④俯视图画在左视图的正向．解析：由画图时遵循“长对正、高平齐、宽相等”，易知①②③正确．综合点二空间几何体三视图的综合判断11．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与左视图如右图所示，则该几何体的俯视图是( )解析：由正视图和左视图想象上去掉的小长方体位于左上角．答案：C综合点三几何体三视图中的有关计算12．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为________、________.解析：从左视图中得到高为2，正三棱柱的底面正三角形的高为23，可得边长为4.综合点四利用三视图探究几何体的形状13．用小立方体组成一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置各层小立方体的个数．(1)你能确定哪些字母表示的数？解析：(1)面对数个立方体组成的几何体，通过对主视图与俯视图的观察，我们可得出下列结论：①a＝3，b＝1，c＝1.②d、e、f中的最大值为2、最小值为1或2，且至少有一个是2.所以上述字母中我们可以确定的是a＝3，b＝1，c＝1.(2)几何体可能有多少种不同的形状？(2)当d、e、f中有一个是2时，有3种不同的形状；当d、e、f中有两个是2时，有3种不同的形状；当d、e、f中都是2时，有1种形状，所以几何体有7种不同的形状．。