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湖北省武汉市三维设计2013年高考数学二轮复习专题训练：立体几何本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知平面α外的直线b 垂直于α内的二条直线，有以下结论：○1b 一定不垂直于α；○2b 可能垂直于平面α；○3b 一定不平行于平面α，其中正确的结论有( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B2．△ABC 的BC 边上的高线为AD ，BD=a ，CD=b ，将△ABC 沿AD 折成大小为θ的二面角B-AD-C ，若ba=θcos ，则三棱锥A-BCD 的侧面三角形ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．形状与a 、b 的值有关的三角形【答案】C3．正方体的棱长为4，在正方体内放八个半径为1的球，再在这八个球中间放一个小球，则小球的半径为( )A ．1B ．2C ．12D ．1【答案】A4．已知一几何体的三视图如图，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何形体可能是( )①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体．A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②【答案】A5．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )A．4 B．8 C．16 D．20 【答案】A6．圆锥的侧面展形图是( )A．三角形B．长方形C．圆D．扇形【答案】D7．若＝(2x，1，3)，＝(1, -2y，9)，如果与为共线向量，则( )A． x＝1，y＝1 B． x＝12，y＝-12C． x＝16，y＝－32D． x＝－16，y＝32【答案】C8．给出下列命题：①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等；②棱台的各侧棱不一定相交于一点；③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连结它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台；④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线.其中正确的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C9．下图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体的个数是( )个A．8个B．7个C．6个D．5个【答案】D10．已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则−→−AB+1()2BD BC+等于( )A．−→−AG B．−→−CG C．−→−BC D．21−→−BC【答案】A11．已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,下面三个命题( )①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m⇒α⊥β. 则真命题的个数为A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3【答案】C12．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．下面是关于四棱柱的四个命题（ ）①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱是直四棱柱②若四个过相对侧棱的截面则该四棱柱是直四棱柱都垂直于底面， ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱是直四棱柱④若四棱柱的两条对角线两两相等，则该四棱柱是直四棱柱 其中，真命题的编号为 【答案】②④ 14．给出下列命题： ①已知函数f (x)=21()sin 21xx x a ⋅-+-(a 为常数)，且f (lglog 81000)=3，则f (lglg2)=-3； ②若函数f (x)=lg(x 2+ax-a)的值域是R ，则a ∈(-4, 0)；③关于x 的方程1()lg 2xa =有非负实数根，则实数a 的取值范围是(1, 10)；④如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是AB ，AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成几何体AEF —AB 1C 1和B 1C 1—EFCB 两部分，其体积分别为V 1，V 2，则V 1:V 2=7:5。
《三角恒等变换与解三角形》专题复习题含答案一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sin α＝( ) A ．15 B ．55 C ．33 D ．2552．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－3，则sin2α－cos 2α＝( ) A ．35 B ．－25 C ．－1 D ．33．已知3sin x ＋cos x ＝22，则cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( ) A ．12 B ．24 C ．23 D ．34答案 B4．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2cos B ＝ac ，则该三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log 5⎝⎛⎭⎫tan αtan β2等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )A ．518B ．34C ．32D ．787．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B ＝( ) A ．32 B ．233 C ．33D ． 3 8．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(0．4)B ．(2．23)C ．(22，23)D ．(22，4) 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝4，则B ＝( )A ．B ＝30°或B ＝150° B ．B ＝150°C ．B ＝30°D ．B ＝60°或B ＝150°10．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ab sin C ＝20sin B ，a 2＋c 2＝41，且8cos B ＝1，则b ＝( )A ．6B ．4 2C ．3 5D ．711．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，已知C ＝45°，c ＝2，a ＝x ，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围是( )A ．2<x <1B ．2<x <2C ．1<x <2D ．1<x < 2 12．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A ．7π4 B ．9π4 C ．5π4或7π4 D ．5π4或9π4二、填空题13．已知sin10°＋m cos10°＝－2cos40°，则m ＝________.14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin18°.若m 2＋n ＝4，则m ＋nsin63°＝________.15．已知点(3，a )和(2a ．4)分别在角β和角β－45°的终边上，则实数a 的值是________． 16．在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b ，c 成等比数列，a ＋c ＝3，cos B ＝34，则AB →·BC →＝________. 三、解答题17．已知△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝35，AC ＝8.(1)求△ABC 的面积；(2)求AB 边上的中线CD 的长．18．在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝3，AD 为△ABC 的内角平分线，AD ＝2.(1)求BDDC的值；(2)求角A 的大小．19．在△ABC 中，3sin A ＝2sin B ，tan C ＝2 2.(1)证明：△ABC 为等腰三角形；(2)若△ABC 的面积为22，D 为AC 边上一点，且BD ＝3CD ，求线段CD 的长．20．如图所示，锐角△ABC 中，AC ＝52，点D 在线段BC 上，且CD ＝32，△ACD 的面积为66，延长BA 至E ，使得EC ⊥BC .(1)求AD 的值；(2)若sin ∠BEC ＝23，求AE 的值．三角恒等变换与解三角形专题复习题含答案参考答案： 一、选择题 1、答案 B解析 由2sin2α＝cos2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α.又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴tan α＝12，∴sin α＝55.故选B. 2、答案 A解析 因为tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－3⇒tan α＋tanπ41－tan α·tanπ4＝－3⇒tan α＝2，所以sin2α－cos 2α＝sin2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－11＋tan 2α＝35，故选A.3、答案 B解析 由3sin x ＋cos x ＝22，得2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝22，所以cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝24，故选B. 4、答案 A解析 由2cos B ＝ac 得2×a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，即c 2＝b 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，故选A.5、答案 C解析 因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝5，所以log5⎝⎛⎭⎫tan αtan β2＝log552＝4.故选C.6、答案 D解析 根据题意可设此三角形的三边长分别为2t ．2t ，t ，由余弦定理得它的顶角的余弦值为222(2)(2)(2)(2)t t t t t t+-⨯⨯＝78. 7、答案 B解析 由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc2bc＝12，故A ＝π3，对于b 2＝ac ， sin 2B ＝sin A sin C ＝32·sin C ，c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 32sin C ＝233. 8、答案 C解析 ∵a ＝2，B ＝2A ，∴0<2A <π2，A ＋B ＝3A ，∴π2<3A <π，∴π6<A <π3，又0<A <π4，∴22<cos A <32，由正弦定理得b a ＝12b ＝2cos A ，即b ＝4cos A ，∴22<4cos A <23，则b 的取值范围为(22，23)，故选C. 9、答案 C解析 ∵A ＝60°，a ＝43，b ＝4，∴sin B ＝b sin A a ＝4×sin60°43＝12，∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝30°，故选C. 10、答案 A解析 因为ab sin C ＝20sin B ，所以由正弦定理得abc ＝20b ，所以ac ＝20，又因为a 2＋c 2＝41，cos B ＝18，所以由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝41－2×20×18＝36，所以b ＝6. 11、答案 B解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即x sin A ＝2sin45°，可得sin A ＝12x ，由题意得当A ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，满足条件的△ABC 有两个，所以22<12x <1，解得2<x <2，则a 的取值范围是(2，2)，故选B. 12、答案 A解析 因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，又sin2α＝55，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2， 所以cos2α＝－255.又β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010， 所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22，又α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4，选A. 二、填空题 13、答案 － 3解析 由sin10°＋m cos10°＝－2cos40°得sin10°＋m cos10°＝－2cos(10°＋30°)＝－2⎣⎡⎦⎤32cos10°－12sin10°，所以m ＝－ 3.14、答案 2 2解析 因为m ＝2sin18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，所以m ＋n sin63°＝2sin18°＋2cos18°sin63°＝sin(1845)sin 63+＝2 2.15、答案 6解析 由题得tan β＝a 3，tan(β－45°)＝tan β－11＋tan β＝a3－11＋a 3＝42a ，所以a 2－5a －6＝0，解得a ＝6或－1，当a ＝－1时，两个点分别在第四象限和第二象限，不符合题意，舍去，所以a ＝6. 16、答案 －32解析 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .又因为a ＋c ＝3，cos B ＝34.根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，所以ac ＝32－2ac －32ac ，解得ac ＝2，所以AB →·BC →＝c ·a cos(π－B )＝－ac cos B ＝－2×34＝－32.三、解答题17、解 (1)∵cos B ＝35，且B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45，∴sin C ＝sin(π－A －B )＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×35＋22×45＝7210，在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B ＝AB sin C ，即845＝AB7210，解得AB ＝7 2.∴△ABC 的面积为S ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×72×8×22＝28.(2)解法一：在△ACD 中，AD ＝722，∴由余弦定理得CD 2＝82＋⎝⎛⎭⎫7222－2×8×722×22＝652，∴CD ＝1302.解法二：∵cos B ＝35<22，∴B >π4，∵A ＝π4，∴C 为锐角，故cos C ＝1－sin 2C ＝210∵CA →＋CB →＝2CD →，∴4|CD →|2＝(CA →＋CB →)2＝|CA →|2＋2CA →·CB →＋|CB →|2＝64＋2×8×52×210＋50＝130，∴CD ＝1302. 18、解 (1)在△ABD 中，由正弦定理，得BD sin A 2＝ABsin ∠ADB ，在△ACD 中，由正弦定理，得CD sin A 2＝ACsin ∠ADC ，∵sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ，AC ＝3，AB ＝23，∴BD DC ＝ABAC＝2. (2)在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A 2＝16－83×cos A2，在△ACD 中，由余弦定理，得CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos A 2＝7－43cos A2，所以16－83cosA27－43cosA2＝4，解得cos A 2＝32，又A 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A 2＝π6，即A ＝π3. 19、解 (1)证明：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b ，∵tan C ＝22，∴cos C ＝13，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－2a ×3a2cos C ＝b 2，即b ＝c ，则△ABC 为等腰三角形．(2)∵tan C ＝22，∴sin C ＝223，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×32a 2×223＝22，解得a ＝2.设CD ＝x ，则BD ＝3x ，由余弦定理可得(3x )2＝x 2＋22－4x ×13，解得x ＝－1＋7312(负根舍去)，从而线段CD 的长为－1＋7312.20、解 (1)在△ACD 中，S △ACD ＝12AC ·CD sin ∠ACD ＝12×52×32×sin ∠ACD ＝66，所以sin ∠ACD ＝265，因为0°<∠ACD <90°，所以cos ∠ACD ＝1－⎝⎛⎭⎫2652＝15. 由余弦定理得，AD 2＝CD 2＋CA 2－2·CD ·CA ·cos ∠ACD ＝56，得AD ＝214. (2)因为EC ⊥BC ，所以sin ∠ACE ＝sin(90°－∠ACD )＝cos ∠ACD ＝15.在△AEC 中，由正弦定理得，AE sin ∠ACE ＝AC sin ∠AEC，即AE 15＝5223，所以AE ＝322。
专题三 三角函数及解三角形第2讲 三角恒等变换及解三角形真题试做1．(2012·某某高考，理5)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．32．(2012·某某高考，理7)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )． A ．35 B ．45 C ．74 D ．343．(2012·某某高考，理6)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )．A ．725B ．－725C ．±725D ．24254．(2012·某某高考，理11)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.5．(2012·课标全国高考，理17)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c . 考向分析本部分主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变形及解三角形等基本知识．近几年高考题目中每年有1～2道小题，一道大题，解答题以中低档题为主，很多情况下与平面向量综合考查，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，而三角函数与解三角形相结合，更是考向的主要趋势．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的X 围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来命题将是今后高考的一个关注点，不可小视．热点例析热点一 三角恒等变换及求值【例１】(2012·某某某某一模，17)已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． 规律方法 明确“待求和已知三角函数间的差异”是解决三角函数化简、求值、证明问题的关键．三角恒等变换的常用策略有：(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等． (2)项的分拆与角的配凑：①二倍角只是个相对概念，如α3是α6的二倍角，α＋β是α＋β2的二倍角等；②α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β，α＝(α－β)＋β等； ③熟悉公式的特点，正用或逆用都要灵活．特别对以下几种变形更要牢记并会灵活运用：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；cos α＝sin 2α2sin α等．(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．(4)角的合成及三角函数名的统一：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a.变式训练1 (2012·某某某某模拟，17)已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为6π.(1)求3π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，f ⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝－1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 热点二 三角函数、三角形与向量等知识的交汇【例２】(2012·某某某某适用性测试一，理17)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B 的值域．规律方法 以解三角形为命题形式考查三角函数是“众望所归”：正余弦定理的应用，难度适中，运算量适度，方向明确(化角或化边)．(1)利用正弦定理将角化为边时，实际上是把角的正弦替换为所对边与外接圆直径的比值．(2)求角的大小一定要有两个条件：①是角的X 围；②是角的某一三角函数值．用三角函数值判断角的大小时，一定要注意角的X 围及三角函数的单调性的应用．(3)三角形的内角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性．在三角形中，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值均为正值⇔任意两角的和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方．变式训练2 (2012·某某某某4月调研，18)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，cos(B ＋C )＝－1114.(1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积．热点三 正弦定理、余弦定理的实际应用【例３】某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB .现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段．现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A ，B 分别设在公路上离市中心O 多远处才能使A ，B 之间的距离最短？并求最短距离．(不要求作近似计算)规律方法 (1)三角形应用题主要是解决三类问题：测高度、测距离和测角度．(2)在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时，不可将正弦定理与余弦定理割裂开来，有时需综合运用．(3)在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决．要明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法．在演算过程中，要算法简练、算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求．(4)在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角，以防出错．(5)有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等． 变式训练3 如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β，已知该岛周围n kmX 围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．思想渗透化归转化思想——解答三角恒等变换问题求解恒等变换的思路：一角二名三结构，即用化归转化的思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)变角：首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心；(2)变名：其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”，诱导公式的运用； (3)结构：再次观察代数式的结构特点，降幂与升幂，巧用“1”的代换等．【典型例题】(2012·某某高考，文20)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解法一：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos(60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.1．已知3cos x －sin x ＝－65，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝( )．A ．35B ．－35C ．65D ．－652．△ABC 中，如果0＜tan A tan B ＜1，那么△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定3．(2012·某某某某适用性测试一，5)已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行，则tan 2α的值为( )．A ．45B ．43C ．34D ．23 4．(2012·某某某某二模，5)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的值是( )．A ．－233B ．±233C ．－1D ．±15．(2012·某某某某一模，10)在△ABC 中，已知b cos C ＋c cos B ＝3a cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，则cos B 的值为( )．A ．13B ．－13C ．223D ．－2236．(原创题)已知sin x ＝5－12，则sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝______.7．(2012·某某某某模拟，18)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋23sin x cos x ＋5cos 2x .(1)若f (α)＝5，求tan α的值；(2)设△ABC 三内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且cos B cos C ＝b2a －c，求f (x )在(0，B ]上的值域．8．(2012·某某某某二模，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A ＞0，ω＞0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－2.(1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，求f (α)的值．参考答案命题调研·明晰考向 真题试做1．A 2．D 3．A 4．2π35．解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理，得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.精要例析·聚焦热点 热点例析【例1】解：(1)∵f (x )＝1＋cos x －3sin x＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴函数f (x )的周期为2π.又∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1，故函数f (x )的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13， ∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.∵cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)2cos α(cos α－sin α)＝cos α＋sin α2cos α，又∵α为第二象限角，且cos α＝－13，∴sin α＝223.∴原式＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.【变式训练1】解：(1)f (x )＝3sin ωx －cos ωx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6. ∵函数f (x )的最小正周期为6π，∴T ＝2πω＝6π，即ω＝13.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13×32π－π6＝2sin π3＝ 3.(2)f ⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2－π6 ＝2sin α＝－1013，∴sin α＝－513.f (3β＋2π)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13(3β＋2π)－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β＝65， ∴cos β＝35.∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝1213，sin β＝－1－cos 2β＝－45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.【例2】解：(1)由m ∥n ，得(2b －c )cos A －a cos C ＝0， ∴(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， 2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ， 在锐角三角形ABC 中，sin B ＞0，∴cos A ＝12，故A ＝π3.(2)在锐角三角形ABC 中，A ＝π3，故π6＜B ＜π2. ∴y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B＝1＋32sin 2B －12cos 2B ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6. ∵π6＜B ＜π2，∴π6＜2B －π6＜5π6. ∴12＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6≤1，32＜y ≤2. ∴函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B 的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2.【变式训练2】解：(1)在△ABC 中，由cos(B ＋C )＝－1114，得sin(B ＋C )＝1－cos 2(B ＋C )＝5314，则cos C ＝cos [(B ＋C )－B ]＝cos(B ＋C )cos B ＋sin(B ＋C )sin B＝－1114×12＋5314×32＝17.(2)由(1)，得sin C ＝1－cos 2C ＝437，sin A ＝sin(B ＋C )＝5314.在△ABC 中，由正弦定理asin A ＝csin C，得55314＝c437，则c ＝8.故△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×5×8×32＝10 3.【例3】解：在△AOB 中，设OA ＝a ，OB ＝b . 因为OA 为正西方向，OB 为东北方向， 所以∠AOB ＝135°.又O 到AB 的距离为10，所以S △ABO ＝12ab sin 135°＝12|AB |·10，得|AB |＝220ab .设∠OAB ＝α，则∠OBA ＝45°－α.因为a ＝10sin α，b ＝10sin(45°－α)，所以ab ＝10sin α·10sin(45°－α)＝100sin α·sin (45°－α)＝100sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos α－22sin α＝10024sin 2α－24(1－cos 2α)＝4002sin(2α＋45°)－2≥4002－2. 当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立．所以|AB |≥220×4002－2＝20(2＋1)．当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立．所以，当a ＝b ＝10sin 22°30′＝102(2＋2)时，A ，B 之间的距离最短，且最短距离为20(2＋1)km.即当A ，B 分别在OA ，OB 上离市中心O 102(2＋2)km 处时，能使A ，B 之间的距离最短，最短距离为20(2＋1)km.【变式训练3】m cos αcos β＞n sin(α－β) 创新模拟·预测演练1．B 2．C 3．B 4．C 5．A 6．2－ 57．解：(1)由f (α)＝5，得3sin 2α＋23sin αcos α＋5cos 2α＝5，∴3×1－cos 2α2＋3sin 2α＋5×1＋cos 2α2＝5.∴3sin 2α＋cos 2α＝1，即3sin 2α＝1－cos 2α⇒23sin αcos α＝2sin 2α，sin α＝0或tan α＝ 3.∴tan α＝0或tan α＝ 3.(2)由cos B cos C ＝b 2a －c ，得cos B cos C ＝sin B 2sin A －sin C ，则cos B ＝12，即B ＝π3，又f (x )＝3sin 2x ＋23sin x cos x ＋5cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋4，因为0＜x ≤π3，所以12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， 故5≤f (x )≤6，即值域是[5,6]．8．解：(1)∵函数f (x )的图象的最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，∴A ＝2.依题意，得函数f (x )的周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，∴cos α＝1－sin 2α＝35.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝1－2sin 2α＝－725.∴f (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2αcos π3－cos 2αsin π3 ＝24＋7325.。
专题限时集训(六)B[第6讲 三角恒等变换与三角函数](时间：45分钟)1．已知sin α＝35，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝1，则tan β的值为( )A ．－7B ．7C ．－34 D.342．若函数y ＝sin x ＋f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上单调递增，则函数f (x )可以是( )A ．1B ．cos xC ．sin xD ．－cos x3．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个长度单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π44．函数y ＝1－2sin 2x －π4是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为π2的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数5．已知sin θ＝45，且sin θ－cos θ>1，则sin2θ＝( )A ．－2425B ．－1225C ．－45 D.24256．设函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π67．已知f (x )＝sin x ，x ∈R ，g (x )的图象与f (x )的图象关于点π4，0对称，则在区间[0，2π]上满足f (x )≤g (x )的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，7π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，3π2 8．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在0，π2上单调递减B ．f (x )在π4，3π4上单调递减C ．f (x )在0，π2上单调递增D ．f (x )在π4，3π4上单调递增9．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图6－3所示，则当t ＝150时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安10．已知θ是第三象限角，若cos θ＝－35，则cos θsin θ－1的值为________．11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin α＋cos α＝________．12．如图6－4，某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P 自最低点A 开始，经过t min 后，点P 的高度h ＝40 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50(单位：m)，则在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续________ min.13．已知函数f (x )＝m sin x ＋n cos x (其中m ，n 为常数，且mn ≠0)，且f π4是它的最大值，给出下列命题：①fx ＋π4为偶函数；②函数f (x )的图象关于点7π4，0对称；③f －3π4是函数f (x )的最小值；④函数f (x )的图象在y 轴右侧与直线y ＝m2的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，P 4，…，则|P 2P 4|＝π；⑤m n＝1.其中真命题是____________．(写出所有真命题的序号)14．设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，求f (θ)的值；(2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．15．设函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋2cos 2ωx (ω>0)的图象上两个相邻的最低点之间的距离为2π3.(1)求函数f (x )的最大值，并求出此时的x 值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再沿y 轴对称后得到的，求y ＝g (x )的单调减区间．16．已知函数f (x )＝2cos x ＋π3sin x ＋π3－3cos x ＋π3.(1)求f (x )的值域和最小正周期；(2)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，m []f （x ）＋3＋2＝0恒成立，求实数m 的取值范围．专题限时集训(六)B【基础演练】1．B [解析] 因为sin α＝35，α是第二象限的角，所以tan α＝－34.又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，所以－34＋tan β1＋34tan β＝1，求得tan β＝7.故选B.2．D [解析] 因为y ＝sin x －cos x ＝2sin x －π4，令－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，满足题意，所以f (x )可以是－cos x .3．A [解析] 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π3个长度单位，那么所得函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝－cos2x ，结合各选项可知其对称轴方程为x ＝－π2.故选A. 4．B [解析] 由已知得y ＝cos2x －π4＝cos π2－2x ＝sin2x ，因此函数y ＝1－2sin 2x －π4是最小正周期为π的奇函数．故选B.【提升训练】5．A [解析] 依题意得cos θ＝±35.又因为sin θ－cos θ>1，所以cos θ＝－35，于是sin2θ＝2sin θcos θ＝2×45×－35＝－2425.6．D [解析] 本题考查三角函数的对称性．由题意，有2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π－π6()k ∈Z .又φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.故选D. 7．B [解析] 设(x ，y )为g (x )的图象上任意一点，则其关于点π4，0对称的点为π2－x ，－y ，由题意知该点必在f (x )的图象上，所以－y ＝sin π2－x ，即g (x )＝－sin π2－x ＝－cos x .依题意得sin x ≤－cos x ，即sin x ＋cos x ＝2sin x ＋π4≤0.又x ∈[0，2π]，解得3π4≤x ≤7π4.故选B.8．A [解析] 依题意，得f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ωx ＋φ＋π4，由T ＝2πω＝π(ω>0)，得ω＝2.又f (－x )＝f (x )，所以φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝kπ＋π4(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以φ＝π4.于是f (x )＝2cos2x ，它在0，π2上单调递减．9．B [解析] 由图可知，A ＝10，函数I ＝A sin(ωt ＋φ)的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫4300－1300＝150，所以2πω＝150，解得ω＝100π.又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10，代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又0<φ<π2，所以φ＝π6.故函数I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6.所以当t ＝150时，电流强度I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×150＋π6＝5. 10.13 [解析] 因为cos θ＝－35，且θ是第三象限角，所以sin θ＝－45.于是cos θsin θ－1＝－35－45－1＝13.故填13. 11.36565 [解析] 由已知sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，所以sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)·sin(α－β)＝－35×1213＋－45×513＝－5665.则(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝1－5665＝965，当π2<α<3π4时，sin α＋cos α>0，即sin α＋cos α＝36565.12．4 [解析] 由h ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50知其最小正周期为T ＝2ππ6＝12，即摩天轮转动一周的时间为12 min.由h ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50>70(0≤t ≤12)，解得4<t <8.所以持续时间为4 min.13．①②③⑤ [解析] 由题意得f (x )＝m 2＋n 2sin(x ＋φ)其中tan φ＝n m .因为f π4是它的最大值，所以π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π4(k ∈Z )．所以f (x )＝m 2＋n 2sin x ＋2k π＋π4＝m 2＋n 2sin x ＋π4，且tan φ＝n m ＝tan2k π＋π4＝1，即n m＝1，故f (x )＝2|m |sin x＋π4. ①fx ＋π4＝2|m |sin x ＋π4＋π4＝2|m |cos x 为偶函数，所以①正确；②当x ＝7π4时，f 7π4＝2|m |sin 7π4＋π4＝2|m |sin2π＝0，所以函数f (x )的图象关于点7π4，0对称，②正确； ③f －3π4＝2|m |sin π4－3π4＝－2|m |sin π2＝－2|m |，f (x )取得最小值，所以③正确；④根据f (x )＝2|m |sin x ＋π4可得其最小正周期为2π，由题意可得P 2与P 4相差一个周期2π，即|P 2P 4|＝2π，所以④错误；⑤由n m ＝1知，m n＝1成立，所以⑤正确． 故填①②③⑤.14．解：(1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2. (2)作出平面区域Ω(即三角形ABC 区域)如图所示， 其中A (1，0)，B (1，1)，C (0，1)．于是0≤θ≤π2.又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，且π6≤θ＋π6≤2π3， 故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.15．解：(1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋2cos 2ωx＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π2＋1＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2，∵函数f (x )的图象上两个相邻的最低点之间的距离为2π3，∴f (x )的最小正周期为2π3，∴2π2ω＝2π3(ω>0)，∴ω的值为32， ∴函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＋2，∴函数f (x )的最大值为2＋2，此时3x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝2k π3＋π12(k ∈Z )．(2)y ＝f (x )的图象向右平移π8个单位长度得h (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π8＋2，再沿y 轴对称后得到g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x －π8＋2＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π8＋2，函数g (x )的单调减区间，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π8单调递增区间．由2k π－π2≤3x ＋π8≤2k π＋π2，解得23k π－5π24≤x ≤23k π＋π8(k ∈Z )．故y ＝g (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23k π＋5π24，23k π＋π8(k ∈Z )．16．解：(1)f (x )＝2sin x ＋π3cos x ＋π3－23cos 2x ＋π3＝sin2x ＋2π3－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos2x ＋2π3＋1 ＝sin2x ＋2π3－3cos2x ＋2π3－ 3＝2sin2x ＋π3－ 3.∵－1≤sin2x ＋π3≤1，∴－2－3≤2sin2x ＋π3－3≤2－3，又T ＝2π2＝π，即f (x )的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，23π，∴sin2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1，此时f (x )＋3＝2sin2x ＋π3∈[3，2]．由m [f (x )＋3]＋2＝0知，m ≠0，且f (x )＋3＝－2m，∴3≤－2m ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3≤0，2m ＋2≥0，解得－233≤m ≤－1.即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，－1.。
【优化探究】2013届高三数学二轮复习 专题演练1-3-2第二讲三角变换与解三角形一、选择题1．(2012年高考辽宁卷)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1解析：∵sin α－cos α＝2，∴1－2sin αcos α＝2， 即sin 2α＝－1. 答案：A2．(2012年高考广东卷)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32解析：利用正弦定理解三角形． 在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A ，∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.答案：B3．(2012年重庆模拟)若β＝α＋30°，则sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β＝( ) A.14 B.34 C ．cos 2βD ．sin 2α解析：将β＝α＋30°代入sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β， 整理得sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos (α＋30°) ＝sin 2α＋(cos αcos 30°－sin αsin 30°)2＋ sin α(cos αcos 30°－sin αsin 30°) ＝sin 2α＋(32cos α－12sin α)(32cos α－12sin α＋sin α)＝sin 2α＋(32cos α－12sin α)(32cos α＋12sin α) ＝sin 2α＋(32cos α)2－(12sin α)2＝sin 2 α＋34cos 2α－14sin 2α＝34(sin 2α＋cos 2α) ＝34. 答案：B4．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝( )A.π4B.π6C.2π3D.π12解析：因为S △ABC ＝12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，所以sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，故A ＝π4.答案：A5．(2012年高考湖南卷)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32B.332 C.3＋62D.3＋ 394解析：利用余弦定理及三角形面积公式求解． 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知 7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)． ∴S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×2×32＝332.∴BC 边上的高为2S △ABC BC ＝332.答案：B 二、填空题6．已知α、β均为锐角，且cos (α＋β)＝sin (α－β)，则α＝________. 解析：依题意有cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cosα(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵α、β均为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α， ∴α＝π4.答案：π47．(2012年高考陕西卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________.解析：利用余弦定理求解． ∵a ＝2，B ＝π6，c ＝23，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝2. 答案：28．如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从A 点出发沿正北方向行进x m 到达B 处发现生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 到达C 处发现另一生命迹象，这时它向右转135°回到出发点，那么x ＝________.解析：由题图知，AB ＝x ，∠ABC ＝180°－105°＝75°，∠BCA ＝180°－135°＝45°. ∵BC ＝10，∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°， ∴xsin 45°＝10sin 60°，∴x ＝10sin 45°sin 60°＝1063.答案：1063三、解答题9．如图，为了计算江岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两个测量点，现测得AD ⊥CD ，AD ＝10 km ，AB ＝14 km ，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求两景点B 与C 之间的距离．(假设A ，B ，C ，D 在同一平面内，测量结果保留整数，参考数据：2≈1.414)解析：在△ABD 中，设BD ＝x ，根据余弦定理得，BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ，即142＝x 2＋102－2×10x ×cos 60°， 整理得x 2－10x －96＝0， 解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)， 在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，故BC ＝16sin 135°·sin 30°＝82≈11.即两景点B 与C 之间的距离约为11 km.10．(2012年高考湖北卷)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )的值域．解析：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin (2ωx －π6)＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得 sin (2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z)，即ω＝k 2＋13(k ∈Z)．又ω∈(12，1)，k ∈Z，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0， 即λ＝－2sin (56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin (53x －π6)－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－2]．11．(2012年高考安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinB cos A ＝sin A cosC ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长． 解析：(1)解法一 由题设知， 2sin B cos A ＝sin (A ＋C )＝sin B . 因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.解法二 由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3.(2)解法一 因为AD →2＝(AB →＋AC →2)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →) ＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74， 所以|AD →|＝72.从而AD ＝72.解法二 因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.3 2，AB＝1，所以AD＝1＋34＝72.因为BD＝。
专题检测〔十二〕 三角恒等变换与解三角形〔高考题型全能练〕一、选择题1．(2021·武昌区调研)cos(π－α)＝45，且α为第三象限角，那么tan 2α值等于( )A.34 B ．－34 C.247 D ．－2472．(2021·全国甲卷)假设cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝35，那么sin 2α＝( ) A.725 B.15 C ．－15 D ．－7253．(2021·河北模拟)θ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，那么2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋θ等于( )A.23B.43C.34D.324．(2021·重庆模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，那么△ABC 面积为( )A.34B.34C.32D.325．(2021·山西太原模拟)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，假设sin A ＝223，a ＝2，S △ABC ＝2，那么b 值为( )A. 3B.322C ．2 2D ．236．(2021·海口调研)如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．假设DE ＝22，那么cos A 等于( )A.223B.24C.64D.63二、填空题7．(2021·北京高考)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，那么b c ＝________．8．(2021·石家庄模拟)△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC＝60°，AD ⊥BC 于D ，那么BDCD值为________．9．(2021·郑州模拟)△ABC 三个内角为A ，B ，C ，假设3cos A ＋sin A3sin A －cos A ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－7π12，那么tan A ＝________.三、解答题10．(2021·合肥质检)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，函数f (x )＝sin(2x ＋B )＋3cos(2x ＋B )为偶函数，b＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12.(1)求b ；(2)假设a ＝3，求△ABC 面积S .11．(2021·山西四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，且cos A ＝13.(1)求cos2B ＋C2＋cos 2A 值；(2)假设a ＝3，求△ABC 面积最大值．12．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，2a cosB ＝2c －b .(1)假设cos(A ＋C )＝－5314，求cos C 值；(2)假设b ＝5，＝－5，求△ABC 面积；(3)假设O 是△ABC 外接圆圆心，且cos B sin C ·＋cos Csin B ·＝m，求m 值．答 案1. 解析：选C 因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－35，tan α＝34，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝321－916＝247，应选C. 2. 解析：选D 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝35， 所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.3. 解析：选D 由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θ＝74，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θ＝34，∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θ＝32. 4. 解析：选B 依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ＝60°，因此△ABC 面积等于12ab sin C ＝12×3×32＝34，选B.5. 解析：选A 在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·223＝2，∴bc ＝3，①由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴(b ＋c )2＝a2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋13＝12， ∴b ＋c ＝23.②由①②得b ＝c ＝3，应选A.6. 解析：选C 依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A ，由此解得cos A ＝64，选C.7. 解析：在△ABC 中，∠A ＝2π3，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .∵a ＝3c ，∴3c 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴b 2＋bc －2c 2＝0，∴(b ＋2c )(b －c )＝0，∴b －c ＝0，∴b ＝c ，∴bc＝1.答案：18. 解析：在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos ∠BAC ，即28＝16＋AB 2－4AB ，解得AB ＝6，那么cos ∠ABC ＝28＋36－162×27×6＝27，BD ＝AB ·cos ∠ABC ＝6×27＝127，CD ＝BC －BD ＝27－127＝27，所以BDCD ＝6.答案：69. 解析：3cos A ＋sin A 3sin A －cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A －π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－A －π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－7π12，所以－A －π3＝－7π12，所以A＝7π12－π3＝3π12＝π4，所以tan A ＝tan π4＝1. 答案：110. 解：(1)f (x )＝sin(2x ＋B )＋3cos(2x ＋B )＝2sin ，由f (x )为偶函数可知B ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，所以B ＝π6＋k π，k ∈Z .又0<B <π，故B ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12＝ 3.(2)因为B ＝π6，b ＝3，a ＝3，由正弦定理可知sin A ＝a sin B b ＝32，所以A ＝π3或2π3.当A ＝π3时，C ＝π2，△ABC 面积S ＝332；当A ＝2π3时，C ＝π6，△ABC 面积S ＝334.11. 解：(1)cos2B ＋C2＋cos 2A ＝1＋cos 〔B ＋C 〕2＋2cos 2A －1＝12－cos A 2＋2cos 2A －1＝12－12×13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132－1＝－49. (2)由余弦定理可得，(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ，∴bc ≤94，当且仅当b ＝c ＝32时，bc 有最大值94，又cos A ＝13，A ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＝223，∴(S △ABC )max ＝12bc sin A ＝12×94×223＝324.12. 解：(1)由2a cos B ＝2c －b ，得2sin A cos B ＝2sin C －sin B ，化简得cos A ＝12，那么A ＝60°.由cos(A ＋C )＝－cos B ＝－5314，知cos B ＝5314，所以sin B ＝1114.所以cos C ＝cos(120°－B )＝－12cos B ＋32sin B ＝3314.＝12bc －b 2＝－5，又b ＝5，解得c ＝8，所以△ABC 面积为12bc sin A ＝10 3.(3)由cos B sin C ·＋cos C sin B ·＝m， 可得cos B sin C··＋cos C sin B··＝m2，(*)因为O 是△ABC 外接圆圆心， 又||＝a2sin A，所以(*)可化为cos B sin C ·c 2＋cos C sin B ·b 2＝12m ·a2sin 2A，所以m ＝2(cos B sin C ＋sin B cos C )＝2sin(B ＋C )＝2sin A ＝3.。
专题限时集训(六)B[第6讲 三角恒等变换与三角函数](时间：45分钟)1．已知sin α＝35，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝1，则tan β的值为( )A ．－7B ．7C ．－34 D.342．若函数y ＝sin x ＋f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上单调递增，则函数f (x )可以是( )A ．1B ．cos xC ．sin xD ．－cos x3．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个长度单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π44．函数y ＝1－2sin 2x －π4是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为π2的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数5．已知sin θ＝45，且sin θ－cos θ>1，则sin2θ＝( )A ．－2425B ．－1225C ．－45 D.24256．设函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π67．已知f (x )＝sin x ，x ∈R ，g (x )的图象与f (x )的图象关于点π4，0对称，则在区间[0，2π]上满足f (x )≤g (x )的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，7π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，3π2 8．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在0，π2上单调递减B ．f (x )在π4，3π4上单调递减C ．f (x )在0，π2上单调递增D ．f (x )在π4，3π4上单调递增图6－39．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图6－3所示，则当t ＝150时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安10．已知θ是第三象限角，若cos θ＝－35，则cos θsin θ－1的值为________．11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin α＋cos α＝________．图6－412．如图6－4，某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P 自最低点A 开始，经过t min 后，点P 的高度h ＝40 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50(单位：m)，则在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续________ min.13．已知函数f (x )＝m sin x ＋n cos x (其中m ，n 为常数，且mn ≠0)，且f π4是它的最大值，给出下列命题：①fx ＋π4为偶函数；②函数f (x )的图象关于点7π4，0对称；③f －3π4是函数f (x )的最小值；④函数f (x )的图象在y 轴右侧与直线y ＝m2的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，P 4，…，则|P 2P 4|＝π；⑤m n＝1.其中真命题是____________．(写出所有真命题的序号)14．设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，求f (θ)的值；(2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．15．设函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋2cos 2ωx (ω>0)的图象上两个相邻的最低点之间的距离为2π3.(1)求函数f (x )的最大值，并求出此时的x 值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再沿y 轴对称后得到的，求y ＝g (x )的单调减区间．16．已知函数f (x )＝2cos x ＋π3sin x ＋π3－3cos x ＋π3.(1)求f (x )的值域和最小正周期；(2)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，m []f （x ）＋3＋2＝0恒成立，求实数m 的取值范围．专题限时集训(六)B【基础演练】1．B [解析] 因为sin α＝35，α是第二象限的角，所以tan α＝－34.又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，所以－34＋tan β1＋34tan β＝1，求得tan β＝7.故选B.2．D [解析] 因为y ＝sin x －cos x ＝2sin x －π4，令－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，满足题意，所以f (x )可以是－cos x .3．A [解析] 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π3个长度单位，那么所得函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝－cos2x ，结合各选项可知其对称轴方程为x ＝－π2.故选A. 4．B [解析] 由已知得y ＝cos2x －π4＝cos π2－2x ＝sin2x ，因此函数y ＝1－2sin 2x －π4是最小正周期为π的奇函数．故选B.【提升训练】5．A [解析] 依题意得cos θ＝±35.又因为sin θ－cos θ>1，所以cos θ＝－35，于是sin2θ＝2sin θcos θ＝2×45×－35＝－2425.6．D [解析] 本题考查三角函数的对称性．由题意，有2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π－π6()k ∈Z .又φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.故选D.7．B [解析] 设(x ，y )为g (x )的图象上任意一点，则其关于点π4，0对称的点为π2－x ，－y ，由题意知该点必在f (x )的图象上，所以－y ＝sin π2－x ，即g (x )＝－sin π2－x ＝－cos x .依题意得sin x ≤－cos x ，即sin x ＋cos x ＝2sin x ＋π4≤0.又x ∈[0，2π]，解得3π4≤x ≤7π4.故选B.8．A [解析] 依题意，得f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ωx ＋φ＋π4，由T ＝2πω＝π(ω>0)，得ω＝2.又f (－x )＝f (x )，所以φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝kπ＋π4(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以φ＝π4.于是f (x )＝2cos2x ，它在0，π2上单调递减．9．B [解析] 由图可知，A ＝10，函数I ＝A sin(ωt ＋φ)的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫4300－1300＝150，所以2πω＝150，解得ω＝100π.又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10，代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又0<φ<π2，所以φ＝π6.故函数I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6.所以当t ＝150时，电流强度I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×150＋π6＝5. 10.13 [解析] 因为cos θ＝－35，且θ是第三象限角，所以sin θ＝－45.于是cos θsin θ－1＝－35－45－1＝13.故填13. 11.36565 [解析] 由已知sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，所以sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)·sin(α－β)＝－35×1213＋－45×513＝－5665.则(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝1－5665＝965，当π2<α<3π4时，sin α＋cos α>0，即sin α＋cos α＝36565.12．4 [解析] 由h ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50知其最小正周期为T ＝2ππ6＝12，即摩天轮转动一周的时间为12 min.由h ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50>70(0≤t ≤12)，解得4<t <8.所以持续时间为4 min.13．①②③⑤ [解析] 由题意得f (x )＝m 2＋n 2sin(x ＋φ)其中tan φ＝n m .因为f π4是它的最大值，所以π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π4(k ∈Z )．所以f (x )＝m 2＋n 2sin x ＋2k π＋π4＝m 2＋n 2sin x ＋π4，且tan φ＝n m ＝tan2k π＋π4＝1，即n m＝1，故f (x )＝2|m |sin x＋π4. ①fx ＋π4＝2|m |sin x ＋π4＋π4＝2|m |cos x 为偶函数，所以①正确；②当x ＝7π4时，f 7π4＝2|m |sin 7π4＋π4＝2|m |sin2π＝0，所以函数f (x )的图象关于点7π4，0对称，②正确； ③f －3π4＝2|m |sin π4－3π4＝－2|m |sin π2＝－2|m |，f (x )取得最小值，所以③正确；④根据f (x )＝2|m |sin x ＋π4可得其最小正周期为2π，由题意可得P 2与P 4相差一个周期2π，即|P 2P 4|＝2π，所以④错误；⑤由n m ＝1知，m n＝1成立，所以⑤正确． 故填①②③⑤.14．解：(1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2. (2)作出平面区域Ω(即三角形ABC 区域)如图所示， 其中A (1，0)，B (1，1)，C (0，1)．于是0≤θ≤π2.又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，且π6≤θ＋π6≤2π3， 故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.15．解：(1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋2cos 2ωx＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π2＋1＋cos2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2，∵函数f (x )的图象上两个相邻的最低点之间的距离为2π3，∴f (x )的最小正周期为2π3，∴2π2ω＝2π3(ω>0)，∴ω的值为32， ∴函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＋2，∴函数f (x )的最大值为2＋2，此时3x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝2k π3＋π12(k ∈Z )．(2)y ＝f (x )的图象向右平移π8个单位长度得h (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π8＋2，再沿y 轴对称后得到g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x －π8＋2＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π8＋2，函数g (x )的单调减区间，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π8单调递增区间．由2k π－π2≤3x ＋π8≤2k π＋π2，解得23k π－5π24≤x ≤23k π＋π8(k ∈Z )．故y ＝g (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23k π＋5π24，23k π＋π8(k ∈Z )．16．解：(1)f (x )＝2sin x ＋π3cos x ＋π3－23cos 2x ＋π3＝sin2x ＋2π3－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos2x ＋2π3＋1 ＝sin2x ＋2π3－3cos2x ＋2π3－ 3＝2sin2x ＋π3－ 3.∵－1≤sin2x ＋π3≤1，∴－2－3≤2sin2x ＋π3－3≤2－3，又T ＝2π2＝π，即f (x )的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，23π，∴sin2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1，此时f (x )＋3＝2sin2x ＋π3∈[3，2]．由m [f (x )＋3]＋2＝0知，m ≠0，且f (x )＋3＝－2m，∴3≤－2m ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3≤0，2m ＋2≥0，解得－233≤m ≤－1.即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，－1.。
