下载文档原格式
第17讲 应用题综合一兴趣篇1.一个骗子到商店买了5元的东西，他付给店员50元钱，然后店员把剩下的钱找给了他；这时他又说自己有零钱，于是给店员5元的零钱，并且要回了开始给出的50元．请问：这个骗子一共骗了多少钱？答案：45元解析：骗子一共出了50+5元，得到了相当于5+50+ 45元，所以骗子骗了45元．2．某国家的社会风气不大好，有一家商店的物品被偷窃了41，被员工偷回家了51，剩下的物品全部被售出，结果这家商店竟然还获利10%.请问这家商店的物品是以进货价的几倍售出的？答案：2倍解析：设物品总量为1份，是以进货价的x 倍售出的．被偷窃了41，被员工偷回家了51，还剩下1-41-51=2011.依题意得20x =1×(1+10%)，解得x=2，所以这家商店的物品是以进货价的2倍售出的．3．如图17 -1，用同样大小的正方形瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线铺黑色的，其他地方铺白色的．如果铺满这块地面共用了81块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？答案：1600块解析：设小正方形的边长为1，正方形地面的边长为n ，则黑色瓷砖用了2n 块（n 为偶数的情况）或者2n -1块（行为奇数的情况）．铺地面用了81块黑色瓷砖，只能是2n-1=81，即n=41，所以白色瓷砖用了412-81=1600块.4．在水平地面上匀速行驶的拖拉机速度是每秒5米，已知拖拉机前轮直径0.8米，后轮直径1. 25米．设某一时刻两轮上与地面的接触点为A 和B ，那么经过多少秒后，A 和B 再次同时与地面接触？（圆周率取近似值3）答案：12秒解析：前轮与后轮的周长比是0.8：1.25=16：25，因此走同样的路程，前轮与后轮转的圈数比是25：16；从此时到A 和B 再次同时与地面接触，两轮都转了整数圈，所以A 轮转了25圈，B 轮转了16圈，走的路程是0.8×3×25=60米，需要的时间是60÷5=12秒．5．一个容器装了43的水，现有大、中、小三种小球．第一次把1个中球沉入水中；第二次将中球取出，再把3个小球沉入水中；第三次取出所有的小球，再把1个大球沉入水中，最后将大球从水中取出，此时容器内剩下的水是最开始的92，已知每次从容器中溢出的水量情况是：第一次是第三次的一半；第三次是第二次的一半．求大、中、小三球的体积比 答案：大：中：小=15：6：4 解析：解法一：共溢出43×（1-92）=127的水，大球的体积是41+×43（1-92）=65．因为三次溢出的水量比是1:4:2．所以第一次溢出127×71=121，第二次溢出127×74=31，笫三次溢出127×72=61．中球的体积是41+121=31，小球的体积是31×（31+31）=92，所以大、中、小三球的体积比为65：31：92=15:6:4． 解法二：假设溢出水量分别为x 、y 、z ，则有x ：y :z =1:4:2，中球体积为x +41，3个小球体积为x +41+y ，大球体积为x +41+y +z =1-43×92=65，即x +41+4x +2x =65，解得x =121，得到大、中、小三球的体积比为65：（121+41）：31×（121+41+121×4）=15:6:4．6．星期天早晨，墨莫发现闹钟因电池能量耗尽停了．他换上新电池，估计了一下时间，把闹钟的时间调到8：00.然后墨莫离家前往天文馆．他到达天文馆时，看到天文馆的标准时钟显示的时间是9：15. 一个半小时后，墨莫从天文馆出发以同样的速度回家，到家时看到闹钟显示的时间是11：20，这时墨莫应该把闹钟调到几点几分时间才是准确的？ 答案：11点40分解析：墨莫来回一共花了3小时20分-1小时50分=1小时30分，所以墨莫从家到天文馆只需要55分钟，他到天文馆时间是8:55，实际是9：15快了20分钟，所以家里闹钟11：20时，准确时间应该是11: 40.7．某种商品由于实行进口限制，在买卖时会征收高达40%的税，比如甲以100元的价格卖出该商品，在收到买方100元货款之后，需要付给国家40元的税；乙以100无的价格买入该商品时，则在付给卖方100元货款后，还需要再付给国家40元的税，现在甲以45万元的总价买入一批该商品，然后再转手卖给乙，在整个买卖交易过程中，甲还自己出钱支付了30 000元的运费（该费用不征税）．为了让这笔买卖不亏本，甲至少应以多少万元的价格卖给乙？如果以此价格成交，那么从头到尾国家从甲、乙身上收取了多少万元的税？答案：甲至少应以110万元的价格卖给乙，从头到尾国家从甲、乙身上收取了106万元的税解析：设甲卖给乙的价格为a元的时候不亏本，则有a=45×40%+3+a×40%+45，解得a=110，总税款为45×40%+a×40%×2=106万元．8．有一只小蚂蚁在一根弹性充分好的橡皮筋上的A点，以每秒1厘米的速度向前爬行．从小蚂蚁开始爬行的时候算起，橡皮筋在2秒后、4秒后、6秒后、8秒后、10秒后……都均匀地伸长为原来的2倍，那么在开始爬行9秒后，这只小蚂蚁离A点多少厘米？答案：61厘米解析：由于题目给的数字不大，所以可以分步计算：(1)2秒后蚂蚁距离A地2×2=4厘米；(2)4秒后蚂蚁距离A地2×(4+2)=12厘米；(3)6秒后妈蚁距离A地2×(12+2)=28厘米；(4)8秒后蚂蚁距离A地2×(28+2)=60厘米；(5)9秒后蚂蚁距离A点60+1=61厘米.9．有一座塔，从地面到塔顶要通过塔内部的螺旋形通道上去，如图17 -2，通道的长度是420米，共转了三圈半，小明从P点以每分钟60米的速度下塔，小亮从Q 点以每分钟40米的速度上塔，如果两人同时出发，那么刚好形成正上方与正下方的关系共有多少次？分别是出发之后几分钟？（两人相遇不算）答案：5次；0.6分钟、1.8分钟、3分钟、5.4分钟、6.6分钟解析：小明和小亮的速度比是3:2，小明走到终点时走了321圈，此时小亮走了321×32=231圈，两人共走了321+231=565圈． 刚开始时两人的距离是321，当两人的距离是整数圈时刚好形成正上方与正下方的关系（距离为0时刚好相遇，这次不算），分别在两人共走了21圈、121圈、221圈、421圈、521圈之后，共5次． 第一次成正上方与正下方的关系的时间是420÷321×21÷(60+40)=0.6分钟． 然后按比例可算出以后4次分别在出发后的1.8分钟、3分钟、5.4分钟、6.6分钟.10．小高读一本故事书，如果他第一天读25页，以后每天都比前一天多读5页，那么到最后一天时，还剩下47页；如果他第一天读40页，以后每天都比前一天多读5页，那么到最后一天时，还剩下37页．请问：这本故事书最少共有多少页？答案：947页解析：第一种情况每天读的页数：25、30、35、40、45、50、...、47; 第二种情况每天读的页数：40、45、50、 (37)如果将第一种情况前三天读的页数放到最后才读，则两种情况下前面几天读的是完全一样的，第一种情况每天读的页数：40、45、50、…、47、25、30、35；第二种情况每天读的页数：40、45、50、 (37)对比可知，第二种情况在最后一天之前有连续几天（也可能是连续1天）读的总页数是47+25+30+35-37=100页；由于每天至少读40页，因此读这100页不能用3天；而用2天也找不到符合题意的解，因此只能是用1天读了100页，所以这本书共有40+45+50+…+100+37=947页。
函数模型的应用实例【学习目标】1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用.3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识.【要点梳理】【高清课堂：函数模型的应用实例392115 知识要点】要点一、解答应用问题的基本思想和步骤1.解应用题的基本思想2.解答函数应用题的基本步骤求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.上述四步可概括为以下流程：实际问题(文字语言)⇒数学问题(数量关系与函数模型)⇒建模(数学语言)⇒求模(求解数学问题)⇒反馈(还原成实际问题的解答).要点二、解答函数应用题应注意的问题首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.【典型例题】类型一、已建立函数模型的应用题例1. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：21400, (0400)()280000, (400)x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，其中x 是仪器的月产量。
第17讲函数的认识1、在一个变化过程中，数值保持不变的量叫常量，数值发生改变的量叫变量。
2、实际上，常量就是具体的数，变量就是表示数的字母。
（注意“π”是常量）函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
1、例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。
2、对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是11、当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有唯一确定值与之相对应，我们称这种关系为确定性的函数关系。
2、两个变量x，y,用一个等式表示出来，如果x取一个值，y都有唯一的值和他对应。
就是y与x的函数关系式。
1、自变量与函数在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果x每取一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫自变量，y叫x的函数。
2、函数值如果x=a时，y=b，那么把“y=b叫做x=a时的函数值”。
3、自变量取值范围的确定方法（1）、自变量的取值范围必须使解析式有意义。
当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式为分数形式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数；当解析式中含有二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于等于0的所有实数。
（2）、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。
4、确定函数取值范围的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义考点1、常量与变量例1、一个长方形的面积是10cm2，其长是acm，宽是bcm，下列判断错误的是（）A、10是常量B、10是变量C、b是变量D、a是变量例2、假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是（）①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量．A、1个B、2个C、3个D、4个例3、“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，______随______变化而变化，其中自变量是______，因变量是______．例4、在公式s=v0t+2t2（v0为已知数）中，常量是，变量是．例5、下列是某报纸公布的世界人口数据情况：（1）表中分别有几个变量？（2）你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？（3）如果用x表示时间，y表示世界人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？（4）世界人口每增加10亿，所需的时间是怎样变化的？例6、在烧开水时，水温达到l00℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：（1）上表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？（3）时间推移2分钟，水的温度如何变化？（4）时间为8分钟，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？（5）根据表格，你认为时间为16分钟和18分钟时水的温度分别为多少？（6）为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？1、在圆周长计算公式C=2πr中，对半径不同的圆，变量有（）A、C，rB、C，π，rC、C，πD、C，2π，r2、以固定的速度v0（米/秒）向上抛一个小球，小球的高度h（米）与小球的运动的时间t（秒）之间的关系式是h=v0t－4.9t2，在这个关系式中，常量、变量分别为（）A、4.9是常量，t、h是变量B、v0是常量，t、h是变量C、v0、－4.9是常量，t、h是变量D、4.9是常量，v0、t、h是变量3、如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S （m2），周长为p（m），一边长为a（m），那么S，p，a中是变量的是（）A、S和pB、S和aC、p和aD、S，p，a4、某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中是自变量，是因变量。
