绘制信源熵函数曲线

连续信源高斯分布微分熵连续信源高斯分布微分熵在信息论中，熵是一个非常重要的概念，它用来度量一个随机变量的不确定性。

对于离散信源，我们可以通过计算每个符号出现的概率来计算熵。

但是对于连续信源，情况就变得复杂了。

在本文中，我们将讨论连续信源高斯分布微分熵的计算方法。

首先，我们需要了解高斯分布的概念。

高斯分布又称为正态分布，是一种连续概率分布。

它的概率密度函数可以表示为：$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$其中，$\mu$是均值，$\sigma$是标准差。

高斯分布的图像呈钟形，均值处为最高点。

接下来，我们需要计算高斯分布的微分熵。

微分熵是指在连续信源中，每个微小的时间段内，信源输出的信息量。

对于高斯分布，微分熵的计算公式为：$$H=-\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\ln f(x)dx$$将高斯分布的概率密度函数代入上式，得到：$$H=\frac{1}{2}\ln(2\pi e\sigma^2)$$这个公式告诉我们，高斯分布的微分熵只与标准差有关，与均值无关。

标准差越大，微分熵越大，表示信源输出的信息量越大。

微分熵的计算对于信源编码和信道编码都有重要的意义。

在信源编码中，我们需要将信源输出的符号进行编码，使得编码后的信息量最小。

微分熵可以帮助我们评估不同编码方案的效果。

在信道编码中，我们需要将信源输出的符号通过信道传输到接收端，由于信道的噪声等原因，传输过程中会出现误码。

微分熵可以帮助我们评估信道的容量，即信道可以传输的最大信息量。

总之，连续信源高斯分布微分熵是一个重要的概念，它可以帮助我们评估信源编码和信道编码的效果，同时也可以帮助我们评估信道的容量。

在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的编码方案和信道方案，以达到最优的传输效果。

MATLAB信源熵计算概述在信息论中，信源熵是一种度量信源中平均信息量的指标。

在MATLAB中，我们可以使用一些函数和算法来计算信源熵。

本文档将介绍如何使用MATLAB计算信源熵的方法，以及相关的概念和原理。

信源熵的定义在信息论中，信源熵表示信源输出的信息的平均量。

假设有一个离散信源，其输出符号的概率分布为P(x1), P(x2), …,P(xn)，并且满足∑P(xi) = 1。

则该信源的熵可以通过以下公式计算：H(X) = -∑P(xi)log2(P(xi))其中，H(X)表示信源X的熵。

MATLAB中计算信源熵的方法MATLAB提供了一些函数和算法来计算信源熵。

1. 基于概率分布的计算方法我们可以通过给出信源的概率分布来计算信源熵。

在MATLAB中，可以使用以下代码来计算：prob = [0.2, 0.3, 0.1, 0.4]; % 信源输出概率分布entropy = -sum(prob .* log2(prob)); % 计算信源熵这里的prob是一个包含信源输出概率分布的向量，根据具体情况进行调整即可。

entropy变量将保存计算得到的信源熵。

2. 基于数据样本的计算方法如果我们有信源的数据样本，而不是概率分布，我们也可以通过计算样本的统计信息来估计信源熵。

在MATLAB中，可以使用tabulate函数来统计数据样本的频次，并计算信源熵。

data = [1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 3, 4, 2]; % 数据样本counts = tabulate(data); % 统计样本频次prob = counts(:, 3) / 100; % 计算信源输出概率entropy = -sum(prob .* log2(prob)); % 计算信源熵这里的data是一个包含数据样本的向量，根据具体情况进行调整即可。

entropy变量将保存计算得到的信源熵。

3. 使用Entropy函数MATLAB还提供了一个名为entropy的函数来计算信源熵。

2.2 熵函数的性质熵函数•H(P)是概率矢量P 的函数，称为熵函数。

•表示方法：–用H(x)表示随机变量x 的熵；–用H(P)或H(p 1, p 2 , …, p q )表示概率矢量为P = (p 1, p 2, …, p q )的q 个符号信源的熵。

–若当q =2 时，因为p 1+p 2 = 1, 所以将两个符号的熵函数写成H(p 1)或H(p 2)。

•熵函数H(P)是一种特殊函数，具有以下性质。

2、确定性：H(1,0)=H(1,0,0)=H(1,0,0…,0)=0•性质说明：这个信源是一个确知信源，其熵等于零。

3、非负性：H(P) ≥0•说明：–这种非负性合适于离散信源的熵，对连续信源来说这一性质并不存在。

以后可看到在相对熵的概念下，可能出现负值。

非负性体现信息是非负的。

4、扩展性•性质说明：信源的取值数增多时，若这些取值对应的概率很小(接近于零)，则信源的熵不变。

),...,,(),,...,,(lim 212110q q q q p p p H p p p H =−+→εεε),,,(log 211q q qi i i p p p H p p ⋅⋅⋅=−=∑=}log )log()(log {lim 110εεεεε∑−=→−−−−−=q i q q i i p p p p 所以，上式成立),,,,(lim 2110εεε−⋅⋅⋅+→q q p p p H 因为5、可加性()()(/)()()(/)(|)(|)(/)H X Y H X H Y X H X Y H Y H X Y H X Y Z H X Z H Y X Z =+=+=+统计独立信源X 和Y 的联合信源的熵等于信源X 和Y 各自的熵之和。

H(XY) = H(X)+ H(Y)可加性是熵函数的一个重要特性，正因具有可加性，才使熵函数的形式是唯一的。

222()log ()()log (/)log ()()(/)()(/):()()(/)(/)1i j i i j j i ijiji i j i j yp x y q x p x y p y x q x p x y H Y X H X H Y X p xy q x p y x p y x =−−⎡⎤=−+⎢⎥⎣⎦=+==∑∑∑∑∑∑∑利用可加性证明22()()log ()()log [()(/)]i j i j iji j i j i ijH XY p x y p x y p x y q x p y x =−=−∑∑∑∑同理=+H XY Z H X Z H Y XZ(|)(|)(/)复习链式法则()()()|H X Y HX HYX=+()()()()()()121213*********...//.../.../...n n n ni i i H X X X H X H X X H X X X H X X X X H X X X X −−==++++=∑复习熵函数的性质H(p 1,p 2,…, p n )对称性非负性极值性连续性扩展性可加性()()()()()()()()()1222122211111211122112221,,...,,...,,...,,,.,,...,,,..,,,...,||n nn n n n n n m nn i i x m i im i Xm q H q p q p q p H q q q q H p p p H XY H X H Y X p q q q p q p H X q x H q x p Y q p =∈=+=+=+∑∑定理：1. H(X/Y ) ≤H (X )2. H (XY ) ≤H (X )+H (Y )证明：222(/)((/)()log (/)()/)(/)()log ()log ()i j i j ijj ji j i j i j i j j i i p x y p x y p H X Y p x y p x y p y p y H p x X x y =−⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦⎡⎤≤−⎢⎥⎣⎦=∑∑∑∑∑∑()()/j H X y H X 与大小比较?\1211/81/825/81/8x y ()()/j H X y H X 与大小比较?定义概率矢量满足仅K-1个分量独立。

实验一绘制二元熵函数曲线实验报告一、实验目的1.熟悉MATLAB工作环境及工具箱2.理解熵函数表达式及其性质二、实验内容用MATLAB软件编程绘制二元熵函数曲线三、实验过程1.复习二元熵函数，理解二元信源的熵H(w)=-wlogw-(1-w)log(1-w)表达式。

2.熟悉MATLAB软件。

1)MATLAB的操作界面MATLAB操作界面主要分为：任务栏、命令窗、命令历史窗、当前目录浏览器、工作空间浏览器及一个“启动按钮”。

任务栏：位于软件的正上方。

各个菜单分别为：文件、编辑、视窗、调试、桌面、窗体、帮助这几个窗口，点击每个窗口可以选择需要的操作。

命令窗(Command Window)：位于软件操作界面的右侧。

在此窗口里，可以输入各种指令、函数、变量表达式并进行各种操作。

该窗口用于输入命令并显示除图形以外的所有执行结果。

窗口中的“>>”为命令提示符，直接在其后面输入命令并按下回车键后，会出现计算结果在命令后面。

命令历史窗(Command History)：位于软件操作界面的左下方。

这个窗口记录了命令窗口已经运行过的所有命令（指令、函数等），允许用户对这些命令进行选择、复制。

2)MATLAB的函数绘制二维图形最常用的就是plot函数，调用plot函数的三种形式：plot(x)、plot(x,y)、plot(x,y,’r:x’)。

还有就是如何添加横坐标和纵坐标标题的命令语句。

3.实验程序。

w=0.000001:0.0001:0.999999999 %定义w的取值范围y=-w.*log2(w)-(1-w).*log2(1-w) %定义二元熵函数的表达式plot(w,y,'r') %画出二元熵函数的曲线图xlabel('w') %x轴的名称ylabel('H(w)') %y轴的名称grid on %给图形加上网格title('二元熵函数H(w)') %函数曲线的名称运行结果如下：四、实验结果分析从图中可以看出熵函数的一些性质，如果二元信源的输出概率是1或0（即二元信源的输出是确定的），则该信源不提供任何信息。

实验一绘制二元熵函数曲线实验报告一、实验目的1.熟悉MATLAB工作环境及工具箱2.理解熵函数表达式及其性质二、实验内容用MATLAB软件编程绘制二元熵函数曲线三、实验过程1.复习二元熵函数，理解二元信源的熵H(w)=-wlogw-(1-w)log(1-w)表达式。

2.熟悉MATLAB软件。

1)MATLAB的操作界面MATLAB操作界面主要分为：任务栏、命令窗、命令历史窗、当前目录浏览器、工作空间浏览器及一个“启动按钮”。

任务栏：位于软件的正上方。

各个菜单分别为：文件、编辑、视窗、调试、桌面、窗体、帮助这几个窗口，点击每个窗口可以选择需要的操作。

命令窗(Command Window)：位于软件操作界面的右侧。

在此窗口里，可以输入各种指令、函数、变量表达式并进行各种操作。

该窗口用于输入命令并显示除图形以外的所有执行结果。

窗口中的“>>”为命令提示符，直接在其后面输入命令并按下回车键后，会出现计算结果在命令后面。

命令历史窗(Command History)：位于软件操作界面的左下方。

这个窗口记录了命令窗口已经运行过的所有命令（指令、函数等），允许用户对这些命令进行选择、复制。

2)MATLAB的函数绘制二维图形最常用的就是plot函数，调用plot函数的三种形式：plot(x)、plot(x,y)、plot(x,y,’r:x’)。

还有就是如何添加横坐标和纵坐标标题的命令语句。

3.实验程序。

w=0.000001:0.0001:0.999999999 %定义w的取值范围y=-w.*log2(w)-(1-w).*log2(1-w) %定义二元熵函数的表达式plot(w,y,'r') %画出二元熵函数的曲线图xlabel('w') %x轴的名称ylabel('H(w)') %y轴的名称grid on %给图形加上网格title('二元熵函数H(w)') %函数曲线的名称运行结果如下：四、实验结果分析从图中可以看出熵函数的一些性质，如果二元信源的输出概率是1或0（即二元信源的输出是确定的），则该信源不提供任何信息。

⽤matlab绘制信源熵函数曲线,信息理论编码之实验⼀绘制⼆进制熵函数曲线.ppt...信息理论编码之实验⼀ 绘制⼆进制熵函数曲线⼀、实验⽬的 熟悉⼯作环境及⼯具箱 掌握绘图函数的运⽤ 理解熵函数表达式及其性质 ⼆、实验原理 熵 ⾃信息量是针对信源的单个符号⽽⾔的，⽽符号是随机发⽣的，因此单个符号的不确定性不⾜于代表信源的不确定性性质，为此，可对所有符号的⾃信息量进⾏统计平均，从⽽得到平均不确定性。

熵的表⽰ 注意的问题 熵是⾃信息量的统计平均，因此单位与⾃信息量的单位相同，与熵公式中所⽤对数的底有关：bit/符号、nat/符号、dit/符号、r进制单位/符号。

特殊公式 某个pk=0时，0log0=0 ( ) 在熵的定义中忽略零概率事件。

离散熵的性质 对称性 可扩展性 ⾮负性 强可加性 可加性 渐化性 凸状性 H(p1,p2,…,pk)是上凸函数。

极值性 三、实验内容 ⽤ Matlab 软件绘制⼆进熵函数曲线。

⼆元信源 ⼆元信源的熵为 Matlab程序 p=0.00001:0.001:1; h=-p.*log2(p)-(1-p).*log2(1-p); plot(p,h); title('⼆进熵函数曲线'); ylabel('H(p,1-p)') 绘制三元信源的熵 三元信源 三元信源的熵为 Matlab程序 p=linspace(eps,1-eps,100); q=linspace(eps,1-eps,100); [P,Q]=meshgrid(p,q); P_Q=P+Q; for n=1:100 for m=1:100 if P_Q(n,m)>=1 Q(n,m)=nan; end end end H=-P.*log2(P)-Q.*log2(Q)-(1-P-Q).*log2(1-P-Q); mesh(P,Q,H) title('三维熵函数的图形') 熵函数是⾮负函数、上凸函数，并且等概率时达到最⼤值。

《信息论与编码》实验1 离散信源熵实验一、实验目的熟悉工作环境及Matlab 软件 掌握绘图函数的运用 理解熵函数表达式及其性质 二、实验原理信息熵自信息量是针对信源的单个符号而言的，而符号是随机发生的，因此单个符号的不确定性不足于代表信源的不确定性性质，为此，可对所有符号的自信息量进行统计平均，从而得到平均不确定性。

熵的表示[]()()()()()log ()i i i i iiH X E I X p x I x p x p x ===-∑∑注意的问题熵是自信息量的统计平均，因此单位与自信息量的单位相同，与熵公式中所用对数的底有关：bit/符号、nat/符号、dit/符号、r 进制单位/符号。

特殊公式：某个pk=0时，0log0=0 (0lim log 0→=x x x )在熵的定义中忽略零概率事件。

平均互信息平均互信息量(I(X;Y))是统计平均意义下的先验不确定性与后验不确定性之 差，是互信息量的统计平均:()()()()()();/;/=-=-I X Y H X H X Y I Y X H Y H Y X三、实验内容1.用 Matlab 软件绘制二进熵函数曲线。

二元信源1011⎛⎫⎛⎫=≤≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭X p P p p二元信源的熵为(,1)log (1)log(1)-=----H p p p p p p绘制当p 从0到1之间变化时的二元信源的信息熵曲线.Matlab 程序： p=0.00001:0.001:1;h=-p.*log2(p)-(1-p).*log2(1-p); plot(p,h);title('二进熵函数曲线'); ylabel('H(p,1-p)') 2．绘制三元信源的熵三元信源1231212120,11()⎛⎫⎛⎫=≤≤ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭x x x X p p p p p p P x三元信源的熵为111111221212(,,1)log log (1)log(1)--=-------H p p p p p p p p p p p p 绘制当12,p p 从0到1之间变化时的三元信源的信息熵曲线.3．绘制平均互信息量图形对于二元对称信道的输入概率空间为0,1(),1ωωω⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥=-⎣⎦⎣⎦X P x平均互信息：根据：1()()(|)1===∑rj i j i i P b P a P b a所以：21(0)()(0|)(0)(0|0)(1)(0|1)ωω====+=+∑i i i P y P a P a P P P P p p21(1)()(0|)(0)(1|0)(1)(1|1)ωω====+=+∑i i i P y P a P a P P P P p p1111(;)()()()log ()log [log log ]()()()ωωωωωωωωωω=-=+++-+++=+-I X Y H Y H p p p p p p p p p p p p pH p p H p 绘制当,ωp 从0到1之间变化时的平均互信息熵曲线.(;)()(/)=-I X Y H Y H Y X 1()()(/)log(/)=-∑∑XYH Y P x P y x P y x 11()()[loglog ]=-+∑XH Y P x p p p p11()[loglog ]()()=-+=-H Y p p H Y H p p p四、实验报告要求简述实验目的；简述实验原理；分别绘制二元信源和三元信源的熵及平均互信息量图形。

没实验一 绘制二进熵函数曲线（2个学时）一、实验目的：1. 掌握Excel 的数据填充、公式运算和图表制作2. 掌握Matlab 绘图函数3. 掌握、理解熵函数表达式及其性质 二、实验要求：1. 提前预习实验，认真阅读实验原理以及相应的参考书。

2. 在实验报告中给出二进制熵函数曲线图 三、实验原理：1. Excel 的图表功能2. 信源熵的概念及性质()()[]()[]())(1)(1 .log )( .)( 1log 1log )(log )()(10 , 110)(21Q H P H Q P H b nX H a p H p p p p x p x p X H p p p x x X P X ii i λλλλ-+≥-+≤=--+-=-=≤≤⎩⎨⎧⎭⎬⎫-===⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑四、实验内容：用Excel 或Matlab 软件制作二进熵函数曲线。

具体步骤如下：1、启动Excel 应用程序。

2、准备一组数据p 。

在Excel 的一个工作表的A 列（或其它列）输入一组p ，取步长为0.01，从0至100产生101个p （利用Excel 填充功能）。

3、取定对数底c ，在B 列计算H(x) ,注意对p=0与p=1两处，在B 列对应位置直接输入0。

Excel 中提供了三种对数函数LN(x),LOG10(x)和LOG(x,c)，其中LN(x)是求自然对数，LOG10(x)是求以10为底的对数，LOG(x,c)表示求对数。

选用c=2,则应用函数LOG(x,2)。

在单元格B2中输入公式：=-A2*LOG(A2,2)-(1-A2)*LOG(1-A2,2) 双击B2的填充柄，即可完成H(p)的计算。

4、使用Excel 的图表向导，图表类型选“XY 散点图”，子图表类型选“无数据点平滑散点图”，数据区域用计算出的H(p)数据所在列范围，即$B$1:$B$101。

在“系列”中输入X值(即p值)范围，即$A$1:$A$101。