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《平方差公式》整式的乘法与因式分解PPT设计

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湘教版数学七年级下册3.3《利用平方差公式进行因式分解》课件 (共17张PPT)

湘教版数学七年级下册3.3《利用平方差公式进行因式分解》课件 (共17张PPT)
第3章 因式分解
3.3 公式法
第1课时 利用平方差公式进行因式分解
学习目标
1.能说出平方差公式的结构特征．（重点） 2.能较熟练地应用平方差公式分解因式．（难点）
导入新课
回顾与思考
1.平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 从左边到右边的这个过程叫__整__式__乘__法___. 2.反过来，a2-b2=_(_a_+_b_)_(a_-_b_)_. 从左边到右边的这个过程叫___分__解__因__式__. 因此，a2-b2= (a+b)(a-b)是因式分解中的一个公式.
3.把下列各式因式分解:
(1)-9x2 +y2
(y3x)(y-3x)
（3）9x4-36y2
9(x2+2y)(x2-2y) （5）25x4y2-x2
x2(5xy+1)(5xy-1)
( 2)4a2c4 - 1 b2
(2ac291b)(2ac2-1b)
3
3
（4）a3-ab2
a(a+b)(a-b)
（6）2a(x2+1)2-2ax2 2a(x2+x+1)(x2-x+1)
能力提升：n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？ 解:原式＝（2n+1+5）(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4) =2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2). 所以， （2n+1)2-25能被4整除.
课堂小结
多项式具有如下特征时，可以运用平方差公式因式分解：
1.多项式是二项式或可以成二项式； 2.两项符号相反； 3.每项都可以写成某数或某式的平方形式.

《平方差公式说》课件

《平方差公式说》课件
围。
二次项系数不为1的平方差公式推广
当二次项系数不为1时，平方差 公式仍然成立，但形式会有所不
同。
推广后的公式可以适用于更广泛 的情况，包括二次项系数不为1
的等式和恒等式。
通过推广平方差公式，我们可以 更好地理解和应用数学中的一些
基本概念和原理。
平方差公式的其他形式和推广
除了标准的平方差公式外，还有许多 其他形式和推广的平方差公式。
03
CATALOGUE
平方差公式的证明
利用数学归纳法证明
总结词
数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，通过归纳递推 的方式，证明命题对所有自然数都成立。
详细描述
首先证明基础步骤，即n=1时命题成立；然后假设n=k时命 题成立，推导出n=k+1时命题也成立；最后由归纳递推得出 ，命题对所有自然数n都成立。
利用多项式乘法法则推导
总结词
通过多项式乘法法则，将平方差公式进行拆解和重组，推导出其公式形式。
详细描述
首先将平方差公式中的每一项视为一个多项式，然后利用多项式乘法法则，将 每一项与另一项相乘，得到的结果再合并同类项，最终推导出平方差公式。
利用因式分解法推导
总结词
通过对平方差公式进行因式分解，将其拆解为更简单的形式，从而推导出其公式 形式。
通过学习和掌握这些公式，我们可以 更好地理解和应用数学中的一些基本 概念和原理，从而更好地解决实际问 题。
这些公式可以用来解决一些特定的问 题，例如求解某些数学问题和证明某 些等式。
THANKS
感谢观看
平方差公式的应用范围
01
02
03
04
在代数中，平方差公式常用于 因式分解和多项式简化。
在几何中，它可以用于计算某 些图形的面积和周长。

15-2-1平方差公式课件ppt说课稿(

15-2-1平方差公式课件ppt说课稿(

问解题:是(1应) 1注02意×什9么8 ？学生交流分析后达到巩固和深化
的目的=（。100＋2）(100－2)
设的计运意用图，==：可110例以00001是2巩-–学2固24生新将知平，方例差2公（式1）的是知平识方迁差移公到式新在的数问的题乘情法境
中，既巩=固99新9知6 ，又培养学生分析和解决问题的能力；例2（2）
2、几何验证：求一块长为（a+b)米,宽为（a-b) 米 的长方形纸板的面积。
师生活动：学生观察并独立思考，尝试进行用文字概括，回答问题相互补充。 设计意图：（1）让学生经历具体到抽象的过程，即经历观察每个具体算式 及结果的特点、比较算式的异同、抽象不同算式及其结果的共同特征、概括 可能具有的规律，从中体会研究数学问题的基本方法——“具体到抽象”。 （2）再通过探究让学生认识平方差公式的几何意义，体会数形结合思想。
• （1）、(a+b)(m+n) • （2）、（x ＋ 3)( x＋５）
(a+b)(m+n) =am+an +bm+bn
（x ＋ 3)( x＋５） =x2＋5x ＋3X ＋15 =x2 ＋8x ＋15
2、 灰太狼开了租地公司,一天他把一边 长为a米的正方形土地租给村长种植.有 一年他对村长说:“我把这块地的一边 增加5米,另一边减少5米,再继续租给你, 你也没吃亏,你看如何?”村长一听觉得 没有吃亏,就答应了.回到羊村,就把这件 事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说 道:“村长，您吃亏了!” 村长很吃惊… 同学们,你能告诉村长这是为什么吗?
师生（活(1动）2：教)(学师12生引回x导答、问小y题组)，讨(相12论互：x补学充生，y深总)入结分经析验平。方差公式的
结构特征，明确a、b的意义，在运用平方差公式之前一定要

人教版八年级上册数学《公式法》整式的乘法与因式分解PPT课件(第2课时)

人教版八年级上册数学《公式法》整式的乘法与因式分解PPT课件(第2课时)

因此x=-5是原分式方程的解.
随堂练习
1.下列方程是分式方程的是（ B ）
A.
一元一次方程
B.
C. x2-1=0
D. 2x+1=3x 一元二次方程
一元一次方程
2.（2020·海南中考）分式方程 的解是（
A. x=-1
B. x=1 C. x=5
x-2=3
D. x=2
x=5
） C
解分式方程时，不要忘记检验哦.
用平方差公式分解因式 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整 式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位 置，就得到了 a2-b2=(a+b)(a-b)
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这 两个数的差的积.
用完全平方公式分解因式 把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置，就可以得到 a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2. 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数 的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
分析：将b2看成一个整体a，则原式变形为(b2)2-b2-12，
可以看作a2-b-12.
1 -4
b4-b2-12 =(b2-4)(b2+3) =(b+2)(b-2)(b2+3).
13 1×3+1×(-4)=-1
2.（2020·乐山）已知y≠0，且x2-3xy-4y2=0，则 的值是
__4_或__-_1__.
分析：因为x2-3xy-4y2=0， 即(x-4y)(x+y)=0， 可得x=4y或x=-y， 所以 =4或 =−1.

人教版八年级上册数学《平方差公式》整式的乘法与因式分解研讨复习说课教学课件

人教版八年级上册数学《平方差公式》整式的乘法与因式分解研讨复习说课教学课件

总结
这节课我们学到了什么？
1．平方差公式： (a+b)(a-b)=
2．平方差公式的结构特点：
结构
两数之和 两数之差 两数的平方差
（a+b）（a-b）= -
细节
相同项
相反项
平方差公式
什么是平方差公式？ 平方差公式的结构有什么特点？ 证明利用平方差公式计算？
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
（2）(m+2)(m-2)=_______________；
（3）(2x+1)(2x-1)=_______________.
上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？ 都是两项之和乘以两项之差
探究
计算下列多项式的积： （1）(x+1)(x-1)=_______________；
（2）(m+2)(m-2)=_______________；
（2）102×98 = （100＋2）(100－2) = 1002-22 = 10 000 – 4 =9996.
新课讲解
不符合平方差公 式运算条件的 乘法，按乘法 法则进行运算.
通过合理变形， 利用平方差公式， 可以简化运算.
新课讲解
【练习】计算：
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) . 解： (1) 原式=（50＋1）(50－1)
在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简， 然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
随堂即练
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)

乘法公式ppt课件

乘法公式ppt课件

感悟新知
(2)几何图形证明法(数形结合思想)
知2－讲
图14.2－2 ①：大正方形的面积为(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab；
图14.2－2 ②：左下角正方形的面积为(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
感悟新知
知2－讲
3. 完全平方公式的几种常见变形
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
原式＝x2－4xy＋4y2；
(4)(－2xy－1)2.
原式＝4x2y2＋4xy＋1.
感悟新知
知2－练


2
例 4 计算：(1)999 ；(2) .
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再
利用完全平方公式展开计算即可.
感悟新知
(1)9992；
知2－练
解：9992＝(1 000－1)2＝1 0002－2×1 000×1＋12
(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
(3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；
(5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
感悟新知
知2－讲


2
2
2
(6)ab＝ ［(a＋b) －(a ＋b )］＝


［(a＋b)2－(a－b)2］；
(7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
公式进行计算.
感悟新知
知2－练
(1)(x＋7y)2；
解：(x＋7y)2＝x2＋2·x·(7y)＋(7y)2
括号不能漏掉.
＝x2＋14xy＋49y2；
(2)(－4a＋5b)2；
(－4a＋5b)2 ＝(5b－4a)2

《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)


B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考


（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4

的值为


解析：由 +
得
+






= − − ，
− + + = ，


即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解

《平方差公式》教学课件

14.2 乘法公式
（第1课时）
• 内容分析： 本课是在学生学习了多项式乘法与合并同类项知识 的基础上，对特殊形式的乘法运算概括出了乘法公 式——平方差公式，平方差公式也是因式分解中公 式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用．
• 学习目标： 1．理解平方差公式，能运用公式进行计算． 2．在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象 地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中， 感知数形结合思想． • 学习重点： 平方差公式．
【思路点拨】 先观察式子，是否符合平方差的结构特征．
探究三：平方差公式的应用
活动2 针对练习 (b+2a)(2a－b) 【解题过程】 解：（b+2a）（2a-b）=（2a）²-b²=4a²-b² 【思路点拨】
先观察式子，是否符合平方差的结构特征，需要用加法
交换律对式子进行变形，然后运用平方差公式计算．
2 2
2
2
总结经验 从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？ （1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式 的结构特征； （2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个 数或式相当于公式中的b； （3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同， “第二个数”b 的符号相反；
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 平方差．
理解平方差公式
你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
Ａ
a
Ｆ Ｇ
a- b
a M B D C bb
E H
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
（ 1） ； （3 x+ 2） （3 x- 2）
（ 2） ． （-x+ 2 y） （-x- 2 y）
变形，巩固平方差公式的运用.

《平方差公式》课件精品 (公开课)2022年数学PPT


针对训练 利用平方差公式计算： (1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)． 解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25；
(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
例2 计算: (1) 102×98;
解：李大妈吃亏了．
理由：原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16， ∵a2＞a2－16，
∴李大妈吃亏了．
方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出 算式，然后根据公式化简算式，解决问题．
当堂练习
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( C ) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
思考：数轴上到原点的距离相等的点所表示的数有什
么特点？借助数轴填一填：
1.数轴上与原点距离是2的点有_两___个，这些点表示的
数是_2_和__-_2___； 2.与原点的距离是5的点有_两___个，这些点表示的数是
__5_和__-_5__.
-5
-2 0 2
5
要点归纳
1.互为相反数的两个数分别位于原点的两侧（0除外）； 2.互为相反数的两个数到原点的距离相等.
填一填： (a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
ab
1
x
-3
a
a1
0.3x 1
a2-b2 12-x2 (-3)2-a2 a2-12 ( 0.3x)2-12

因式分解ppt(共22张PPT)

3．（随堂练习p3１、２）
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
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，小正方形的边长是b
图一中绿色部分的面积可以表示为：
图三中绿色部分的面积可以表示为： (a+b)(a-b)=
思考 你觉得老王吃亏了吗？
变化前是
变化后是
所以老王吃亏了
平方差公式的特征
结构
两数之和 两数之差 两数的平方差
（a+b）（a-b）= -
细节
相同项
相反项
运用公式的技巧 先确定相同项和相反项
练习——判断是否用公式
下列各式是否具有(a+b)(a-b)的结构特征？如果具备写成 (a+b)(a-b)的形式．
(1)(5m+1)(5m+1)
不具备
(2)(2-3x)(3x+2)
具备 (2-3x)(2+3x)
具备
(4)(-3-5b)(-3-5b)
不具备
练习——判断是否用公式 下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够，怎样计算?
思考 你们知道这个学生是如何计算的吗？
练习
运用平方差公式计算： （1）51×49
答案：（1）2499；（2）1．
练习 运用平方差公式计算：10.2×9.8 答案：99.96．
练习 运用平方差公式计算： 答案：1．
练习 1．下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎么改正？
练习
2．运用平方差公式计算：
（3）51×49
平方差公式的雪球效应
平方差公式的雪球效应
平方差公式的雪球效应
平方差公式的雪球效应
A.1
B.3
C.7
D.9
平方差公式的雪球效应
什么是平方差公式的雪球效应？ 有什么解题技巧？
整体思想 (m+n+2)(m+n-2)能用平方差公式运算吗? 提示：把m+n看做一个整体
整体思想 化简：(a+b+c)(a+b-c) 提示：把a+b看做一个整体
平方差公式
知识回顾
多项式乘多项式的法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个 多项式的每一项，再把所得的积相加.
老王在某开发商处预定了一套边长为x米的正方形户型，到了交房的日子，开发 商对老王说：“ 你定的那套房子结构不好，我给你换一个长方形的户型，比原 来的一边增加5米，另一边减少5米，这样好看多了，房子总价还一样，你也没 有吃亏，你看如何？”老王一听觉得没有吃亏，就答应了.
总结：关键是先确定相同项“a”和相反项“b”
易错点 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
这不符合平方差公式
易错点 指出下列计算中的错误：
归纳总结 运用平方差公式应该注意什么？ 1．一定要看算式是否具备平方差公式的结构．
2．利用公式计算之前，先确定相同项“a”和相反项“b”．
3．最后结果一定是相同项“a”的平方减相反项“b”的平方 ，不要写反，不要漏写平方． 4．如果“a”，“b”不是单个的数字和字母，写平方时一定 要记得添括号．
练习——计算
运用平方差公式计算：
练习
运用平方差公式计算： (1) (3x＋2)(3x-2)
练习
运用平方差公式计算：
(1) (-m+n)(-m-n)
(2) (-2x-5y)(5y-2x)
练习
使等式两边满足平方差公式： 1. (1＋x)( 1-x)＝1- _____
练习
口答下列问题： (1)(-a+b)(a+b)= _______ (2)(a-b)(b+a)= _________ (3)(-a-b)(-a+b)= _______ (4)(a-b)(-a-b)= _________
（2）(m+2)(m-2)=_______________；
（3）(2x+1)(2x-1)=_______________.
上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？ 都是两项之和乘以两项之差
探究
计算下列多项式的积： （1）(x+1)(x-1)=_______________；
（2）(m+2)(m-2)=_______________；
你能证明这个关系吗？
代数法证明
(a+b)(a-b)= 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，这 个公式叫做平方差公式.
几何法证明
图一
图二
图三
如图，大正方边长是a，小正方形的边长是b
图一中绿色部分的面积可以表示为：
图三中绿色部分的面积可以表示为： (a+b)(a-b)=
几何法证明
图一
（3）(2x+1)(2x-1)=_______________. 化简后的结果与化简前括号内的项有什么关系？
都是括号内的两项的平方的差
探究
计算下列多项式的积：
（1）(x+1)(x-1)=_______________；
（2）(m+2)(m-2)=_______________；
（3）(2x+1)(2x-1)=_______________. 你能将你发现的规律用式子表示出来吗？
(1) (a+b)(-a-b) ； (2) (a-b)(b-a) ; (3) (a+2b)(2b+a); (4) -(a-b)(a+b) ; (5) (-2x+y)(y-2x).
(不能) (第一个数不完全一样 ) (不能) (不能) (能) (不能)
练习——判断是否用公式 能用平方差公式计算的是((2)(5)(6) )
思考 你觉得老王吃亏了吗？
在一次智力抢答游戏中，主持人提问了两道计算题21×19=？ 和103×97=？主持人话音刚落，就立刻有一名学生刷地站起来 抢答“ 第一题等于399，第二道题等于9991”， 其答题之快， 简直就是脱口而出.
思考 你们知道这个学生是如何计算的吗？
探究
计算下列多项式的积： （1）(x+1)(x-1)=_______________；
总结
这节课我们学到了什么？
1．平方差公式： (a+b)(a-b)=
2．平方差公式的结构特点：
结构
两数之和 两数之差 两数的平方差
（a+b）（a-b）= -
细节
相同项
相反项
平方差公式
什么是平方差公式？ 平方差公式的结构有什么特点？ 证明利用平方差公式计算？
练习
运用平方差公式计算：
点睛：只有符合公式条件的乘法才能运用公式简化运算，其余 的运算仍按乘法法则进行．
巧用平方差公式 如何巧用平方差公式计算两个相近数的乘积？
在一次智力抢答游戏中，主持人提问了两道计算题21×19=？和 103×97=？主持人话音刚落，就立刻有一名学生刷地站起来抢 答“ 第一题等于399，第二道题等于9991”， 其答题之快，简 直就是脱口而出 .