2010考研数学二真题(有答案解析)

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 函数()f x =( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.(2) 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解,若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解,12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解,则( ) (A) 11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-. (C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==. (3) 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,则a = ( )(A) 4e. (B) 3e. (C) 2e. (D) e.(4) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B) 仅与n 的取值有关.(C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关.(5)设函数(,)z z x y =,由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z z x y x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(6) ()()2211lim n nn i j n n i n j →∞===++∑∑ ( ) (A) ()()1200111x dx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C) ()()1100111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()11200111dx dy x y ++⎰⎰. (7) 设向量组12I :,,,r ααα可由向量组12II :,,,s βββ线性表示,下列命题正确的是( )(A) 若向量组I 线性无关,则r s ≤. (B) 若向量组I 线性相关,则r s >.(C) 若向量组II 线性无关,则r s ≤. (D) 若向量组II 线性相关,则r s >.(8) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( ) (A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解为y = .(10) 曲线3221x y x =+的渐近线方程为 . (11) 函数()ln 120y x x =-=在处的n 阶导数()()0n y = . (12) 当0θπ≤≤时,对数螺线r e θ=的弧长为 .(13) 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加,宽w 以3cm/s 的速率增加.则当cm 12l = ,cm 5w =时,它的对角线增加的速率为 .(14)设,A B 为3阶矩阵,且132,2A B A B -==+=，,则1A B -+= .三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分11分)求函数2221()()x t f x x t e d -=-⎰的单调区间与极值.(16)(本题满分10分) ( I ) 比较()10ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln n t t dt ⎰()1,2,n =的大小,说明理由；( II ) 记()10ln ln 1n n u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n =,求极限lim n n u →∞. (17)(本题满分10分)设函数()y f x =由参数方程22,(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有2阶导数,且5(1)(1) 6.2ψψ'==，已知223,4(1)d y dx t =+求函数()t ψ. (18)(本题满分10分)一个高为l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a ,短轴为2b 的椭圆.现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为32b 时(如图),计算油的质量.(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg/m 3) (19) (本题满分11分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式2222241250u u u x x y y∂∂∂++=∂∂∂∂,确定a ,b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20u ξη∂=∂∂. (20)(本题满分10分)计算二重积分2 sin D I r θ=⎰⎰,其中(),|0sec ,04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. (21) (本题满分10分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,在开区间()0,1内可导,且(0)0f =,1(1)3f =,证明：存在1(0,)2ξ∈,1(,1)2η∈,使得22()()=.f f ξηξη''++(22)(本题满分11分) 设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解．( I ) 求λ,a ;( II ) 求方程组Ax b =的通解.(23)(本题满分11 分)设0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,正交矩阵Q 使得T Q AQ 为对角矩阵,若Q 的第1列为2,1)T ,求,a Q .。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (B).【解析】因为()f x =0,1x =±,又因为0lim ()lim x x x f x →→→==其中00lim 1,lim 1x x +-→→===-,所以0x =为跳跃间断点.显然1lim ()x f x →==所以1x =为连续点.而1lim ()limx x f x →-→-==∞,所以1x =-为无穷间断点,故答案选择B.(2)【答案】 (A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦,而由已知 ()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以()()0q x λμ-=, ① 又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=． 由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,整理得 ()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦,即 ()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=, ② 由①②求解得12λμ==,故应选(A)． (3)【答案】 (C).【解析】因为曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以2ax x=,即(0)x x =>.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在2y x =上,当x =时2ay =；在ln y a x =上,x =, lnln 22a ay a ==. 所以ln 222a a a= .从而解得2a e =.故答案选择(C). (4)【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成dx =+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛. 故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).(5) 【答案】 (B).【解析】122212122221x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅,112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (6) 【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n j n y n →∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j →∞==+∑1(lim )nn i nn i→∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (7) 【答案】 (A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤L L若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα=L ,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤L L ,即r s ≤,选(A). (8) 【答案】 (D).【解析】：设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ:, ()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭:. 二、填空题(9)【答案】2123cos sin x y C e C x C x =++.【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 32220λλλ-+-=,因式分解得()()()()2222210λλλλλ-+-=-+=,解得特征根为2,i λλ==±,所以通解为 2123cos sin x y C e C x C x =++. (10) 【答案】2y x =.【解析】因为3221lim 2x x x x→∞+=,所以函数存在斜渐近线,又因为 333222222lim 2lim 011x x x x x xx x x →∞→∞---==++,所以斜渐近线方程为2y x =. (11)【答案】()21!n n -⋅-.【解析】由高阶导数公式可知()ln (1)n x +1(1)!(1)(1)n nn x --=-+,所以 ()()()1(1)!(1)!ln 12(1)22(12)(12)n n n n n n n n x x x ----=-⋅-=---, 即()(1)!(0)22(1)!(120)n nn nn y n -=-=---⋅. (12))1e π-.【解析】因为 0θπ≤≤,所以对数螺线r e θ=的极坐标弧长公式为πθ⎰=0e d πθθ⎰)1e π-.(13)【答案】3cm/s .【解析】设(),()l x t w y t ==,由题意知,在0t t =时刻00()12,()5x t y t ==,且0()2,x t '= 0()3y t '=,设该对角线长为()S t ,则 ()S t =,所以()S t '=所以0()3S t '===.(14)【答案】3.【解析】由于1111()()A A B B E AB B B A ----+=+=+,所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =,所以1112B B--==,因此 11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=. 三、解答题(15)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt ----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-U ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞U .(16) 【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nn t t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则 []11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n =L .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(17)【解析】根据题意得(),22dy t dy dt dxdx t dtψ'==+()()()()()()222222222232241t d t t t t t d y dt dx dxt t dtψψψ'⎛⎫ ⎪'''+-+⎝⎭+===++ 即()()()()222261t t t t ψψ'''+-=+,整理有()()()()2131t t t t ψψ'''+-=+,解()()()()()31151,162t t t t ψψψψ'⎧''-=+⎪⎪+⎨⎪'==⎪⎩,令()y t ψ'=,即()1311y y t t '-=++. 所以()()()11113113dt dt t ty e t e dt C t t C -++⎛⎫⎰⎰=++=++ ⎪⎝⎭⎰,1t >-.因为()()116y ψ'==,所以0C =,故()31y t t =+,即()()31t t t ψ'=+,故()()2313312t t t dt t t C ψ=+=++⎰．又由()512ψ=,所以10C =,故()233,(1)2t t t t ψ=+>-.(18)【解析】油罐放平,截面如图建立坐标系之后,边界椭圆的方程为：22221x y a b+= 阴影部分的面积222222bbbba S xdyb y dy b --==-⎰⎰ 令sin ,y b t y b ==-时;22b t y π=-=时6t π=.2662211232cos 2(cos 2)()223S ab tdt ab t dt ab πππππ--==+=+⎰⎰所以油的质量23()3m abl πρ=+.(19)【解析】由复合函数链式法则得u u u u u x x y x ξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂, u u u u u a b y y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂, 22222222u u u u u u u x x x x x xξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 222222,u u uξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 2222222u u u u u u u x y y y y y yξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222(),u u ua b a b ξηξη∂∂∂=+++∂∂∂∂ 22222222()()u u u u u u ua b a a b b a a y y ξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222222,u u u a b ab ξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 故222224125u u ux x y y∂∂∂++∂∂∂∂ []2222222(5124)(5124)12()1080,u u u a a b b a b ab ξηξη∂∂∂=+++++++++=∂∂∂∂所以 22512405124012()1080a a b b a b ab ⎧++=⎪++=⎨⎪+++≠ ⎩,则25a =-或2-,25b =-或2-.又因为当(,)a b 为22(2,2),(,)55----时方程(3)不满足,所以当(,)a b 为2(,2)5-- ,2(2,)5--满足题意.(20)【解析】22sin 1cos 2DI r r drd θθθ=-⎰⎰()222sin 1cos sin Dr r rdrd θθθθ=--⋅⎰⎰D=⎰⎰10xdx =⎰⎰()312201113x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ ()311220011133dx x dx =--⎰⎰20113cos 43316d πθθπ=-=-⎰.(21)【解析】令()()313F x f x x =-,对于()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在10,,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11022F F F ξ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭．对于()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在1,1,2η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11122F F F η⎛⎫'-= ⎪⎝⎭,两式相加得 ()()22f f ξηξη''+=+.所以存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使()()22f f ξηξη''+=+.(22) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-. ( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(23)【解析】由于0141340A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,存在正交矩阵Q ,使得T Q AQ 为对角阵,且Q的第一列为2,1)T ,故A 对应于1λ的特征向量为12,1)T ξ=.根据特征值和特征向量的定义,有1A λ=,即 10141113224011a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2a λ=-=.故014131410A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭. 由14131(4)(2)(5)041E A λλλλλλλ--=-=+--=-,可得A 的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A x λ-=,即1234141710414x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)T ξ=-.由3()0E A x λ-=,即1235141210415x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)T ξ=-.由于A 为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：3121231232,1),1,0,1),1,1)T T T ξξξηηηξξξ====-==-, 取()123,,0Q ηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭,则245T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭.。

2010年考研数学二真题及答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) ．曲线33cos sin x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩上对应于点6t π=点处的法线方程是＿＿＿＿＿＿. (2) ．设1tan1sinxy ex=⋅,则y '=＿＿＿＿＿＿.(3) ．1=⎰＿＿＿＿＿＿.(4) ．下列两个积分的大小关系是：312x e dx ---⎰＿＿＿＿＿＿ 312x e dx --⎰.(5) ．设函数1, ||1()0, ||1x f x x ≤⎧=⎨>⎩,则函数[()]f f x =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) ．已知2lim 01x x ax b x →∞⎛⎫--= ⎪+⎝⎭,其中,a b是常数,则( )(A) ．1,1a b == (B) ．1,1a b =-= (C) ．1,1a b ==- (D) ．1,1a b =-=- (2) ．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,则()d f x dx ⎡⎤⎣⎦⎰等于( )(A) ．()f x (B) ．()f x dx (C) ．()f x C + (D) ．()f x dx '(3) ．已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()]f x f x '=,则当n 为大于2的正整数时,()f x的n 阶导数()()n f x 是 ( ) (A) ．1![()]n n f x + (B) ．1[()]n n f x + (C) ．2[()]n f x (D) ．2![()]n n f x (4) ．设()f x 是连续函数,且()()xe xF x f t dt -=⎰,则()F x '等于( )(A) ．()()x x e f e f x ---- (B) ．()()x x e f e f x ---+ (C) ．()()x x e f e f x --- (D) ．()()x x e f e f x --+(5) ．设(), 0()(0), 0f x x F x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,其中()f x 在0x =处可导,(0)0,(0)0f f '≠=,则0x =是()F x 的 ( ) (A) ．连续点 (B) ．第一类间断点(C) ．第二类间断点 (D) ．连续点或间断点不能由此确定三、(每小题5分,满分25分.) (1) ．已知lim()9xx x a x a→∞+=-,求常数a . (2) ．求由方程2()ln()y x x y x y -=--所确定的函数()y y x =的微分dy . (3) ．求曲线21(0)1y x x =>+的拐点. (4) ．计算2ln (1)xdx x -⎰.(5) ．求微分方程ln (ln )0x xdy y x dx +-=满足条件1x e y ==的特解. 四、(本题满分9分)在椭圆22221x y a b+=的第一象限部分上求一点P ,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小(其中0,0a b >>).五、(本题满分9分)证明：当0x >,有不等式1arctan 2x x π+>. 六、(本题满分9分)设1ln ()1xt f x dt t =+⎰,其中0x >,求1()()f x f x+.七、(本题满分9分)过点(1,0)P 作抛物线y =,该切线与上述抛物线及x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕x 轴旋转一周所围成旋转体的体积.八、(本题满分9分)求微分方程44ax y y y e '''++=之通解,其中a 为实数.答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】：18y x -= (2)【答案】：11tan tan 22211111secsin cos x x e e x x x x x ⎛⎫--⎛⎫⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (3)【答案】：415(4)【答案】：> (5)【答案】：1二、选择题(每小题3分,满分15分.) (1)【答案】：C (2)【答案】：B (3)【答案】：A (4)【答案】：A (5)【答案】：B三、(每小题5分,满分25分.)(1)此题考查重要极限：1lim(1).xx e x→∞+=(1)lim()lim (1)xx x x x ax a x a x a x →∞→∞++=--()(1)lim (1)xa a x x a aa x a x⋅→∞⋅--+=-29a a a e e e -===, 得2ln 9a =ln 3a ⇒=. 或由 2222lim()lim 1x a xa a x ax a x x x a a e x a x a -⋅⋅-→∞→∞+⎛⎫=+= ⎪--⎝⎭,同理可得ln 3a =. (2)方程两边求微分,得2dy dx -ln()()()ln()x y d x y x y d x y =-⋅-+-⋅-()ln()()dx dydx dy x y x y x y-=--+--, 整理得 2ln()3ln()x y dy dx x y +-=+-.(3)对分式求导数,有公式2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以2222322(31),(1)(1)x x y y x x --'''==++, 令0y ''=得x =,y ''在此变号,即是x <时,0;y ''<x >时,0;y ''>故拐点为3)4. 本题利用第一个判别定理就足够判定所求点是否是拐点了. (4)由22(1)1(1)(1)(1)dx d x d x x x --==---有 2ln 1ln ()(1)1x dx xd x x=--⎰⎰ln 11()11x dx x x x -+--⎰分部法ln ln |1|1x xx C x=+-+-, C 为任意常数. 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验. (5)所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为11ln y y x x x'+=. 由于 ln |ln |dxx xe x ⎰=,两边乘以ln x 得ln (ln )x y x x'=. 积分得 ln ln xy x dx C x =+⎰, 通解为 ln 2ln x Cy x=+. 代入初始条件1x e y ==可得12C =,所求特解为ln 122ln x y x =+.四、(本题满分9分)对椭圆方程进行微分,有220xdx ydy a b +=22dy b xdx a y⇒=-.过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,当0()y x '存在时,0()k y x '=.所以点(,)x y 处的切线方程为22()b xY y X x a y-=--,化简得到221xX yY a b +=.分别令0X =与0Y =,得切线在,x y 上的截距分别为22,a b x y；又由椭圆的面积计算公式ab π,其中,a b 为半长轴和半短轴,故所求面积为2211,(0,)24a b S ab x a x y π=⋅-∈.,a b 为常数,欲使得S 的最小,则应使得xy 最大；从而问题化为求u xy =(y 由椭圆方程所确定)当(0,)x a ∈时的最大值点.令,0u xy u xy y ''==+=,得y y x '=,再对22221x y a b+=两边求导得220x y y a b '+=,联合可得x =(唯一驻点),即在此点u xy =取得最大,S 取得最小值. 由于0lim ()lim ()x a x S x S x +→-→==+∞,所以()S x 在(0,)a 上存在最小值,x =必为最小点,所求P点为.五、(本题满分9分)证明不等式的一般方法是将表达式移到不等号的一边,令其为()f x ,另一边剩下0,再在给定区间内讨论()f x 的单调性即可证明原不等式.令1()arctan 2f x x x π=+-,则2211()0 (0)1f x x x x'=-<>+.因此,()f x 在 (0,)+∞上单调减；又有lim arctan 2x x π→+∞=,所以11lim ()lim ()lim 022x x x f x x x ππ→+∞→+∞→+∞=+-==, 故0x <<+∞时,()lim ()0x f x f x →+∞>=,所以原不等式得证.六、(本题满分9分)方法1：111ln ()1xtf dt xt =+⎰,由换元积分1t u =,21dt du u -=,1:1t x →⇒:1u x →； 所以 11111ln ln ()1(1)t uxx t uf dt du xtu u ===++⎰⎰.由区间相同的积分式的可加性,有1()()f x f x+=2111ln ln ln 1ln 1(1)2xx x t t t dt dt dt x t t t t +==++⎰⎰⎰.方法2：令1()()()F x f x f x=+,则21lnln 1ln ().111x xx F x x x x x-'=+⋅=++由牛顿-莱布尼兹公式,有1ln ()(1)xx F x F dx x -=⎰21ln 2x =, 而11ln (1)0x F dx x ==⎰,故211()()()ln 2F x f x f x x =+=. 七、(本题满分9分)先求得切线方程：对抛物线方程求导数,得y '=,过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,当0'()y x 存在时,0'()k y x =所以点0(x 处的切线方程为0)y x x =-,此切线过点(1,0)P ,所以把点(1,0)P 代入切线方程得03x =,再03x =代入抛物线方程得01y =,1(3).2y '==由此,与抛物线相切于(3,1)斜率为12的切线方程为21x y -=.旋转体是由曲线(),y f x =直线21x y -=与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的,求旋转体体积V ：方法1：曲线表成y 是x 的函数,V 是两个旋转体的体积之差,套用已有公式得3322121(1)4V x dx dx ππ=--⎰⎰333212111(1)(2)4326x x x πππ=⋅---=.方法2：曲线表成x 是y 的函数,并作水平分割,相应于[],y y dy +小横条的体积微元,如上图所示,22(2)(21),dV y y y dy π⎡⎤=+-+⎣⎦于是,旋转体体积 1322(2)V y y y dy π=-+⎰432112120432y y y π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭6π=.八、(本题满分9分)所给方程为常系数二阶线性非齐次方程,特征方程2440r r ++=的根为122r r ==-,原方程右端axx ee α=中的a α=.当2a α=≠-时,可设非齐次方程的特解axY Ae =,代入方程可得21(2)A a =+, 当2a α==-时,可设非齐次方程的特解2axY x Ae =,代入方程可得12A =, 所以通解为 2122() (2)(2)axxe y c c x ea a -=++≠-+, 22212() (2)2x xx e y c c x ea --=++=-.。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案答案速查： 一、选择题三、解答题（15）()f x 的单调递减区间为(,1)[0,1)-∞-U ；()f x 的单调递增区间为[1,0)[1,)-+∞U .()f x 的极小值为0；极大值为11(1)2e --.（16）（I ）略；（II ）0 （17）()233(1)2t t t t ψ=+>- （18）23abl πρ⎛⎝⎭（19）(,)a b 为22(,2),(2,)55---- （20）13316π- （21）略（22）（I ） 1λ=-，2a =-； （II ） 32110210x k ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，k 为任意常数（23）1a =-；0Q ⎫⎪⎪=⎪⎪⎭一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1） 函数()f x = （ ）（A ） 0. （B ）1. （C ） 2. （D ）3.【答案】 B【考点】无穷间断点 【难易度】★★ 【详解】解析：()f x = 0,1x =±0lim ()lim x x x f x →→→==，0lim 1,lim 1x x +-→→===-所以0x =为第一类间断点.1lim ()2x f x →==，但函数()f x 在1x =处没有定义，所以1x =可去间断点.1lim ()limx x f x →-→-==∞，所以1x =-为无穷间断点.所以选择B.（2） 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解，则 （ ） （A ）11,22λμ==. （B ） 11,22λμ=-=-.（C ） 21,33λμ==. （D ） 22,33λμ==.【答案】A【考点】线性微分方程解的性质 【难易度】★★ 【详解】解析：因12y y λμ-是()0y p x y '+=的解；故()()()12120y y p x y y λμλμ'-+-= 所以()()()()11220y p x y y p x y λμ''+-+= 而由已知()()1122(),()y p x y q x y p x y q x ''+=+= 所以()()0q x λμ-=又12y y λμ+是非齐次()()y p x y q x '+=的解； 故()()()()1212y y p x y y q x λμλμ'+++= 所以()()()q x q x λμ+=所以01λμλμ-=⎧⇒⎨+=⎩12λμ==.（3） 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则a = （ ） （A ）4e. （B ）3e. （C ）2e. （D ）e.【答案】C【考点】导数的几何意义 【难易度】★★ 【详解】解析：因2y x =与ln (0)y a x a =≠相切，故2()(ln )x a x ''=⇒12x a x x =⋅⇒= 在2y x =上，x =2a y = 在ln (0)y a x a =≠上，x =1ln 22ay a a == ln ln 1222222a a a a ae a e ⇒=⋅ ⇒= ⇒= ⇒= 所以选择C（4） 设,m n 是正整数，则反常积分⎰的收敛性 （ ）（A ） 仅与m 的取值有关. （B ） 仅与n 的取值有关. （C ） 与,m n 的取值都有关. （D ） 与,m n 的取值都无关. 【答案】D【考点】反常（广义）积分 【难易度】★★★ 【详解】解析：=+⎰，对于，瑕点为0x =设1n > ，1121[ln (1)]1lim 0,01mnx nx x nx+→-⋅=<<故收敛. 设120[ln (1)]1,1,2,lim mx x n m x +→-==存在，不是反常积分. 设12210[ln (1)]1,2,lim mm x x n m x x +-→-=>⋅存在，2011m <-<，故收敛. 对于dx ，瑕点为1x =.当m 为正整数时，1211[ln (1)]lim (1)0mx nx x xδ-→-⋅-=，其中01δ<<，故收敛. 故选D.（5） 设函数(,)z z x y =,由方程(,)0y z F x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy x y∂∂+=∂∂ （ ） （A ） x . （B ） z . （C ） x -. （D ） z -. 【答案】B【考点】多元隐函数的求导法 【难易度】★★ 【详解】解析：122212221x z y z y zF F F F F z x x x x x F F F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'∂⎝⎭⎝⎭=-=-=∂'''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''.故选B. （6） ()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑ （ ）（A ）()()12111xdx dy x y ++⎰⎰. （B ） ()()1111xdx dy x y ++⎰⎰.（C ）()()1100111dx dy x y ++⎰⎰. （D ）()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. 【答案】D【考点】定积分的概念 【难易度】★★★ 【详解】解析：()()222211111n nnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑ 因为10111111lim lim 11nn n n i i dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰， 12220211111lim lim 11()nn n n j j n dx j n jn x n→∞→∞====+++∑∑⎰. 故()()11112222000011111lim 11(1)(1)n nn i j n dx dx dx dy x x x y n i n j →∞====++++++∑∑⎰⎰⎰⎰ 故选D.（7） 设向量组12:,,r I αααL 可由向量组12:,,s II βββL 线性表示，下列命题正确的（ ） （A ） 若向量组I 线性无关，则r s ≤. （B ） 若向量组I 线性相关，则r s >. （C ） 若向量组II 线性无关，则r s ≤. （D ） 若向量组II 线性相关，则r s >. 【答案】A【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★ 【详解】解析：由于向量组I 能由向量组II 线性表示，所以()()r I r II ≤，即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤L L若向量组I 线性无关，则1(,,)r r r αα=L ，所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤L L ，即r s ≤，选A.（8） 设A 为4阶实对称矩阵，且2A A O +=，若A 的秩为3，则A 相似于 （ ）（A ） 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ） 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ （C ） 1110⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（D ） 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭【答案】D【考点】实对称矩阵的特征值，实对称矩阵的特性 【难易度】★★★ 【详解】解析：设λ为A 的特征值，由于20A A +=，所以20λλ+=，即(1)0λλ+=，这样A 的特征值为-1或0.由于A 为实对称矩阵，故A 可相似对角化，即A Λ:，()()3r A r =Λ=，因此，1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭，即1110A -⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭:. 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9） 3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解为y = . 【答案】2123cos sin xy C eC x C x =++，其中123,,C C C 为任意常数【考点】高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程【难易度】★★ 【详解】解析：原方程的特征方程为 32220λλλ-+-=，即()()2210λλ-+=.于是得特征根12λ=，2i λ=，3i λ=-(i =因此，通解为2123cos sin xy C eC x C x =++，其中123,,C C C 为任意常数.（10） 曲线3221x y x =+的渐近线方程为 .【答案】2y x =【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★解析：当x →∞时，y →∞，故曲线无水平渐近线.由于函数在(,)-∞+∞内无间断点可知，曲线无垂直渐近线.故而只需要求斜渐近线.3221lim lim 2x x x y x a x x→∞→∞+===，333222222lim(2)lim 2lim 011x x x x x x x b y x x x x →∞→∞→∞--=-=-==++，所以，曲线的斜渐近线方程为2y x =.（11） 函数()ln 120y x x =-=在处的n 阶导数()()0n y = .【答案】()21!nn -⋅-【考点】高阶导数 【难易度】★★ 【详解】解析：用归纳法.122(12)12y x x--'==---，222(2)(1)(2)(12)2(12)y x x --''=----=--， 23332(2)(2)(12)22(12)y x x --''=----=-⋅-，(4)44232(12)y x -=-⋅⋅-，L ∴()2(1)!(12)n n n n yx -=--⇒()(0)2(1)!n n y n =--. （12） 当0θπ≤≤时，对数螺线r e θ=的弧长为 .)1e π-【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长【难易度】★★ 【详解】解析：0x π≤≤，r e θ=.s ππθθ==⎰⎰=0e d πθθ⋅⎰)1e π-（13） 已知一个长方形的长l 以2/cm s 的速率增加，宽w 以3/cm s 的速率增加.则当12l cm =，5w cm =时，它的对角线增加速率为 .【答案】3/cm s【考点】导数的几何意义 【难易度】★★解析：设(),()l x t w y t ==，由题意知，在0t t =时刻0()12x t =（cm ），0()5y t =（cm ），且0()2x t '=（cm/s ），0()3y t '=（cm/s ），对角线长记为S，()S t ，所以()S t '=所以0()3S t '===（cm/s ）.（14） 设,A B 为3阶矩阵，且132,2A B A B -==+=，,则1A B -+= . 【答案】3【考点】行列式的计算 【难易度】★★ 【详解】解析：由于1111()()A A B BE AB B B A ----+=+=+，所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =，所以1112BB--==，因此 11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分10分） 求函数2221()(-)x t f x x t e dt -=⎰的单调区间与极值.【考点】函数单调性的判别、判断极值的第一充分条件、积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★ 【详解】 解析：22222222111()()x x x t t t f x x t e dt x e dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰所以2224423311()2222x x t x x t f x xe dt x ex ex e dt ----'=+-=⎰⎰令()0f x '=，则驻点为0,1x x ==±； 因为当1x ≥时，()0f x '>，01x ≤<时，()0f x '<，10x -≤<时，()0f x '>，1x <-时，()0f x '<；所以()f x 的单调递减区间为(,1)[0,1)-∞-U ；()f x 的单调递增区间为[1,0)[1,)-+∞U所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.(1)0f ±=为极小值.（16） （本题满分10分） （I ） 比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n =L 的大小，说明理由；（II ） 记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n =L ，求极限lim n n u →∞. 【考点】夹逼准则、定积分的基本性质【难易度】★★★ 【详解】解析：当0t →时，[]ln ln(1)0,ln 0nnt t t t +→→，所以()1ln ln 1nt t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与1ln n t t dt ⎰均为定积分，故（I ）当01t <<时0ln(1)t t <+<，故[]ln(1)nnt t +<，所以[]ln ln(1)ln nnt t t t +<[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt ∴+<⎰⎰()1,2,n =L（II ）()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+ 故由()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰，根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+故lim 0n n u →∞=.（17）（本题满分11分）设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+ >-⎨=⎩所确定，其中()t ψ具有二阶导数，且5(1)2ψ=，(1)6ψ'=，已知2234(1)d y dx t =+，求函数()t ψ.【考点】由参数方程所确定的函数的导数、自由项为多项式的二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】★★★ 【详解】解析：根据题意得(),22dyt dy dt dx dx t dtψ'==+ ()()()()()()222222222232241t d t t t t t d y dt dx dx t t dtψψψ'⎛⎫ ⎪'''+-+⎝⎭+===++即()()()()222261t t t t ψψ'''+-=+整理有()()()()2131t t t t ψψ'''+-=+解()()()()()31151,162t t t t ψψψψ'⎧''-=+⎪⎪+⎨⎪'==⎪⎩ 令()y t ψ'=即()1311y y t t'-=++ ()()()11113113dt dt t ty e t edt C t t C -++⎛⎫⎰⎰∴=++=++ ⎪⎝⎭⎰ ()()1160y C ψ'==∴=Q ()31y t t ∴=+即()()31t t t ψ'=+ 故()()2313312t t t dt t t C ψ=+=++⎰ 又由()15102C ψ=∴=()233(1).2t t t t ψ∴=+>-（18） （本题满分10分）一个高为l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a ，短轴为2b 的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为32b 时（如图），计算油的质量. （长度单位为m ，质量单位为kg ，油的密度为常数3/kg m ρ） 【考点】定积分的物理应用 【难易度】★★★★ 【详解】解析：油的质量M V ρ=，其中油的体积V S h l S =⋅=⋅底底高 又112S S S S ab dxdy π=-=-⎰⎰Q 底椭圆2231022x b a a bab dx dy π-=-⋅⎰3220212a x b ab b dx a π⎛⎫=-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎰32203212a x ab b dx b a a π=--+⋅⎰32203212a x xab ab ab d a aπ=+-⋅-322031112arcsin 122a x ab ab ab x x a a π⎛⎫=+-+⋅- ⎪⎝⎭3323263ab ab ab ab ab πππ⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭故233M S h abl ρπρ⎛⎫=⋅⋅=+ ⎪⎪⎝⎭（19） （本题满分11分）设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式2222241250u u ux x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂，确定,a b 的值，使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20uξη∂=∂∂. 【考点】多元复合函数二阶偏导数的求法 【难易度】★★★ 【详解】解析：由复合函数链式法则得u u u u u x x y x ξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂ u u u u u a b y y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂ 22222222u u u x x u u u u x x x xξηξηηηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222u u u ξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 222222222222()u u u x y y u u u u y y y y u u u a b a b ξηξηηηξξηηξηξηξη⎛⎫∂∂∂∂=+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 22u u u a b y y ξη⎛⎫∂∂∂∂=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭222222()()u u u u a a b b a a ξξηηξη∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂ 22222222u u u a b ab ξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 故222224125u u ux x y y∂∂∂++∂∂∂∂ 2222222(5124)(5124)(12()108)0u u u a a b b a b ab ξηξη∂∂∂=+++++++++=∂∂∂∂当225124051240(2)12()1080(3)a a b b a b ab ⎧++= (1)⎪++= ⎨⎪+++≠ ⎩时满足等式， 则25a =-或2-，25b =-或2-又因为当(,)a b 为22(2,2),(,)55----时方程（3）不满足，所以当(,)a b 为22(,2),(2,)55-- --满足题意.（20） （本题满分10分）计算二重积分22 sin 1cos DI rr drd θθθ=-⎰⎰，其中(),|0sec ,04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. 【考点】交换累次积分的次序与坐标系的转换，利用 直角坐标计算二重积分 【难易度】★★★ 【详解】解析：极坐标转化为直角坐标形式：cos x r θ=，sin y r θ=∴22sin 1cos 2DI r r drd θθθ=-⎰⎰()222sin 1cos sin Dr r rdrd θθθθ=--⋅⎰⎰221Dy x y dxdy =-+⎰⎰()11222222011112x xdx y x y dy dx x y d x y =-+=-+-+⎰⎰⎰⎰()312201113x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰()3112200113dx x dx =--⎰⎰20113cos 43316d πθθπ=-=-⎰ （21） （本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，在开区间()0,1内可导，且f f 1(0)=0,(1)=3. 证明：存在110122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，使得22()()=.f f ξηξη''++【考点】拉格朗日中值定理【难易度】★★★ 【详解】证明：令()()313F x f x x =-对于()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理，得()()1110,,0222F F F ξξ⎛⎫⎛⎫'∃∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①对于()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理，得()()111,1,1222F F F ηη⎛⎫⎛⎫'∃∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ②两式相加得()()22f f ξηξη''+=+ （22） （本题满分11分）设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解（I ） 求λ,a ;（II ） 求方程组Ax b =的通解.【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件，非齐次线性方程组的通解 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法一：（I ）已知Ax b =有2个不同的解()(,)3r A r A b ∴=<，对增广矩阵进行初等行变换，得2211111(,)010101111111111111010101010110011a A b a a a λλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时，11111111(,)000100010000000A b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时，()1(,)2r A r A b =≠=，Ax b =无解，所以1λ≠.当1λ=-，1111(,)02010002A b a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭由于()(,)3r A r A b =<，所以2a =-.因此，1λ=-，2a =-. 方法二：（I ）已知Ax b =有2个不同的解()(,)3r A r A b ∴=<∴0A =，即21110(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=，知1λ=或-1. 当1λ=时，()1(,)2r A r A b =≠=，此时，Ax b =无解，1λ∴=-.代入由()(,)r A r A b ∴=得2a =-.（II ）310111112111111(,)020101001022000000000000A b ⎛⎫- ⎪-⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即132333212x x x x x ⎧=+⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∴=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.Ax b ∴=的通解为31(1,0,1)(,,0)22T T x k =+- ，k 为任意常数.（23） （本题满分11 分）设0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，正交矩阵Q 使得TQ AQ 为对角矩阵，若Q 的第1列为2,1)T ，求,a Q 【考点】实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵 【难易度】★★★ 【详解】解析：由于0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，存在正交矩阵Q ，使得TQ AQ 为对角阵，且Q 的第一列为2,1)T，故A对应于1λ的特征向量为12,1)Tξ=，故1Aλ=，即10141113224011aaλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由此可得11,2aλ=-=.故014131410A-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭，由14131041E Aλλλλ--=-=-，可得14144141311312314140400441(4)(4)(2)(5)023λλλλλλλλλλλλλλλλ-----=-=----++-=+=+--=-故A的特征值为1232,4,5λλλ==-=，且对应于12λ=的特征向量为12,1)Tξ=.由2()0E A xλ-=，即1234141710414xxx--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭4141711011710270010414000000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-→-→⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得对应于24λ=-的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.由3()0E A xλ-=，即1235141210415xxx-⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭514121121101121099011011415099000000--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)Tξ=-.由于A 为实对称矩阵，123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量，所以123,,ξξξ相互正交，只需单位化：3121231232,1),1,0,1),1,1)T T T ξξξηηηξξξ====-==-， 取()123,,0Q ηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭，则245T Q AQ ⎛⎫⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭.。

考研数学二真题（2010年）一填空题(8×4=32分)2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

（1）函数3()sin x x f x nx-=与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）无穷多个（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（） （A ）11,6a b ==-（B ）11,6a b == （C ）11,6a b =-=-（D ）11,6a b =-= （3）设函数(,)z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点（0，0）（） （A ）不是(,)f x y 的连续点 （B ）不是(,)f x y 的极值点 （C ）是(,)f x y 的极大值点（D ）是(,)f x y 的极小值点（4）设函数(,)f x y 连续，则222411(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰=（）（A ）2411(,)ydx f x y dy -⎰⎰（B ）241(,)xxdx f x y dy -⎰⎰（C ）2411(,)ydx f x y dx -⎰⎰（D ）221(,)ydx f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点（1，1）的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间（1，2）内（） （A ）有极值点，无零点 （B ）无极值点，有零点（C ）有极值点，有零点（D ）无极值点，无零点（6）设函数()y f x =在区间[-1,3]上的图形为则函数0()()xF x f t dt =⎰为（）（7）设Ａ、B 均为2阶矩阵，,A B **分别为A 、B 的伴随矩阵。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案答案速查： 一、选择题三、解答题（15）()f x 的单调递减区间为(,1)[0,1)-∞-U ；()f x 的单调递增区间为[1,0)[1,)-+∞U .()f x 的极小值为0；极大值为11(1)2e --.（16）(I)略；(II)0 （17）()233(1)2t t t t ψ=+>- （18）23ablπρ⎛⎝⎭（19）(,)a b 为22(,2),(2,)55---- （20）13316π- （21）略（22）(I) 1λ=-，2a =-； (II) 32110210x k ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，k 为任意常数（23）1a =-；0Q ⎫⎪⎪=⎪⎪⎭一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1) 函数()f x = ( ) (A) 0. (B)1. (C) 2. (D)3.【答案 B【考点】函数间断点的类型 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：函数的间断点分为第一类间断点和第二类间断点。

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。

第二类间断点为无穷间断点。

在本题中，()f x = 0,1x =±0lim ()lim x x x f x →→→==，0lim 1,lim 1x x +-→→===- 所以0x =为第一类间断点1lim ()2x f x →==，但函数()f x 在1x =处没有定义，所以1x =可去间断点。

1lim ()limx x f x →-→-==∞，所以1x =-为无穷间断点.所以选择B.(2) 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解，则 ( ) (A)11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-.(C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==.【答案】A【考点】线性微分方程解的性质及结构 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：线性微分方程的解的性质即叠加原理，线性微分方程通解的结构为齐次方程的通解加上特解。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (B).【解析】因为()f x =0,1x =±,又因为0lim ()lim x x x f x →→→==其中00lim 1,lim 1x x +-→→==-,所以0x =为跳跃间断点.显然1lim ()2x f x →==,所以1x =为连续点.而1lim ()limx x f x →-→-==∞,所以1x =-为无穷间断点,故答案选择B.(2)【答案】 (A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦,而由已知 ()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以()()0q x λμ-=, ① 又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=． 由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,整理得 ()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦,即 ()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=, ② 由①②求解得12λμ==,故应选(A)． (3)【答案】 (C).【解析】因为曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以2ax x =,即(0)x x =>.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在2y x =上,当x =时2ay =；在ln y a x =上,x =, ln 22a a y a ==. 所以ln 222a a a= .从而解得2a e =.故答案选择(C). (4)【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成dx =+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛. 故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).(5) 【答案】 (B).【解析】122212122221x z y z y z F F F F F yF zF z x x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (6) 【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (7) 【答案】 (A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤ 若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα=,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤,即r s ≤,选(A).(8) 【答案】 (D).【解析】：设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即AΛ, ()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9)【答案】2123cos sin x y C e C x C x =++.【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 32220λλλ-+-=,因式分解得()()()()2222210λλλλλ-+-=-+=,解得特征根为2,i λλ==±,所以通解为 2123cos sin x y C e C x C x =++. (10) 【答案】2y x =.【解析】因为3221lim 2x x x x→∞+=,所以函数存在斜渐近线,又因为 333222222lim 2lim 011x x x x x xx x x →∞→∞---==++,所以斜渐近线方程为2y x =. (11)【答案】()21!n n -⋅-.【解析】由高阶导数公式可知()ln (1)n x +1(1)!(1)(1)n nn x --=-+, 所以 ()()()1(1)!(1)!ln 12(1)22(12)(12)n n n n n nn n x x x ----=-⋅-=---, 即()(1)!(0)22(1)!(120)n nn nn y n -=-=---⋅. (12))1e π-.【解析】因为 0θπ≤≤,所以对数螺线r e θ=的极坐标弧长公式为πθ⎰=0e d πθθ⋅⎰)1e π-.(13)【答案】3cm/s .【解析】设(),()l x t w y t ==,由题意知,在0t t =时刻00()12,()5x t y t ==,且0()2,x t '= 0()3y t '=,设该对角线长为()S t ,则()S t =所以()S t '=所以0()3S t '''==.(14)【答案】3.【解析】由于1111()()A A B B E AB B B A ----+=+=+,所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =,所以1112B B--==,因此 11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=. 三、解答题(15)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt ----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e--''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,-∞-,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,-+∞.(16) 【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nn t t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则 []11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n =.(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(17)【解析】根据题意得(),22dy t dy dt dxdx t dtψ'==+()()()()()()222222222232241t d t t t t t d y dt dx dx t t dtψψψ'⎛⎫ ⎪'''+-+⎝⎭+===++ 即()()()()222261t t t t ψψ'''+-=+,整理有()()()()2131t t t t ψψ'''+-=+,解()()()()()31151,162t t t t ψψψψ'⎧''-=+⎪⎪+⎨⎪'==⎪⎩,令()y t ψ'=,即()1311y y t t '-=++. 所以()()()11113113dt dt t t y e t e dt C t t C -++⎛⎫⎰⎰=++=++ ⎪⎝⎭⎰,1t >-.因为()()116y ψ'==,所以0C =,故()31y t t =+,即()()31t t t ψ'=+,故()()2313312t t t dt t t C ψ=+=++⎰．又由()512ψ=,所以10C =,故()233,(1)2t t t t ψ=+>-.(18)【解析】油罐放平,截面如图建立坐标系之后,边界椭圆的方程为：22221x y a b+= 阴影部分的面积2222bb ba S xdy b--==⎰⎰ 令sin ,y b t y b ==-时;22b t y π=-=时6t π=.266221122cos 2(cos 2)(2234S ab tdt ab t dt ab πππππ--==+=+⎰⎰所以油的质量2(3m abl πρ=.(19)【解析】由复合函数链式法则得u u u u ux x y x ξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂, u u u u ua b y y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂, 22222222u u u u u u u x x x x x xξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 222222,u u uξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 2222222u u u u u u u x y y y y y yξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222(),u u ua b a b ξηξη∂∂∂=+++∂∂∂∂22222222()()u u u u u u ua b a a b b a a y y ξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222222,u u u a b ab ξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 故222224125u u ux x y y∂∂∂++∂∂∂∂[]2222222(5124)(5124)12()1080,u u u a a b b a b ab ξηξη∂∂∂=+++++++++=∂∂∂∂所以 22512405124012()1080a a b b a b ab ⎧++= ⎪++=⎨⎪+++≠ ⎩,则25a =-或2-,25b =-或2-.又因为当(,)a b 为22(2,2),(,)55----时方程(3)不满足,所以当(,)a b 为2(,2)5-- ,2(2,)5--满足题意.(20)【解析】2sin DI r θ=⎰⎰sin Dr rdrd θ=⎰⎰D=⎰⎰100xdx =⎰⎰()312201113x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ ()311220011133dx x dx =--⎰⎰20113cos 43316d πθθπ=-=-⎰.(21)【解析】令()()313F x f x x =-,对于()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在10,,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11022F F F ξ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭．对于()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在1,1,2η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11122F F F η⎛⎫'-= ⎪⎝⎭,两式相加得 ()()22f f ξηξη''+=+.所以存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使()()22f f ξηξη''+=+.(22) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭ 当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-. ( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(23)【解析】由于0141340A aa-⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭,存在正交矩阵Q,使得TQ AQ为对角阵,且Q的第一列为2,1)T,故A对应于1λ的特征向量为12,1)Tξ=.根据特征值和特征向量的定义,有1Aλ=,即10141113224011aaλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2aλ=-=.故014131410A-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭.由14131(4)(2)(5)041E Aλλλλλλλ--=-=+--=-,可得A的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A xλ-=,即1234141710414xxx--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.由3()0E A xλ-=,即1235141210415xxx-⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)Tξ=-.由于A为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：312123123,1,0,1),1,1)T T Tξξξηηηξξξ====-==-,乐考无忧，为您的考研之路保驾护航！ ;免费考研辅导视频取()123,,0Q ηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭,则245T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭.。

2010年全国硕士研究生入学考试数学二试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 函数()f x =( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (2) 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解,若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解,12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解,则( )(A) 11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-. (C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==.(3) 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,则a = ( )(A) 4e. (B) 3e. (C) 2e. (D) e. (4) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B) 仅与n 的取值有关.(C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关. (5)设函数(,)z z x y =,由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(6) ()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A)()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C)()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. (7) 设向量组12I :,,,r ααα可由向量组12II :,,,s βββ线性表示,下列命题正确的是( )(A) 若向量组I 线性无关,则r s ≤. (B) 若向量组I 线性相关,则r s >.(C) 若向量组II 线性无关,则r s ≤. (D) 若向量组II 线性相关,则r s >. (8) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解为y = .(10) 曲线3221x y x =+的渐近线方程为 .(11) 函数()ln 120y x x =-=在处的n 阶导数()()0n y= .(12) 当0θπ≤≤时,对数螺线r e θ=的弧长为 .(13) 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加,宽w 以3cm/s 的速率增加.则当cm 12l = ,cm 5w =时,它的对角线增加的速率为 .(14)设,A B 为3阶矩阵,且132,2A B A B -==+=，,则1A B -+= . 三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分11分)求函数2221()()x t f x x t e d -=-⎰的单调区间与极值.(16)(本题满分10分)( I ) 比较()1ln ln 1nt t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n =的大小,说明理由；( II ) 记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n =,求极限lim n n u →∞. (17)(本题满分10分)设函数()y f x =由参数方程22,(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有2阶导数,且5(1)(1) 6.2ψψ'==，已知223,4(1)d y dx t =+求函数()t ψ. (18)(本题满分10分)一个高为l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a ,短轴为2b 的椭圆.现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为32b 时(如图),计算油的质量.(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg/m 3)(19) (本题满分11分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式2222241250u u ux x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂,确定a ,b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20uξη∂=∂∂. (20)(本题满分10分) 计算二重积分2 sin DI r θ=⎰⎰,其中(),|0s e c ,04D rr πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. (21) (本题满分10分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,在开区间()0,1内可导,且(0)0f =,1(1)3f =,证明：存在1(0,)2ξ∈,1(,1)2η∈,使得22()()=.f f ξηξη''++ (22)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解．( I ) 求λ,a ;( II ) 求方程组Ax b =的通解. (23)(本题满分11 分)设0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,正交矩阵Q 使得TQ A Q 为对角矩阵,若Q 的第1列为2,1)T ,求,a Q .2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (B).【解析】因为()f x =0,1x =±,又因为0lim ()lim x x x f x →→→=,其中00lim 1,lim 1x x +-→→===-,所以0x =为跳跃间断点.显然1lim ()2x f x →==,所以1x =为连续点.而1lim ()limx x f x →-→-==∞,所以1x =-为无穷间断点,故答案选择B.(2)【答案】 (A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦,而由已知 ()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以()()0q x λμ-=, ① 又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=．由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,整理得 ()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦,即 ()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=, ②由①②求解得12λμ==,故应选(A)． (3)【答案】 (C).【解析】因为曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以2ax x=,即(0)x x =>.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在2y x =上,当x =2ay =；在ln y a x =上,x =, lnln 22a ay a ==. 所以ln 222a a a= .从而解得2a e =.故答案选择(C). (4)【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成=+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛.故不论,m n 是什么正整数,dx 总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以dx 收敛,故选(D).(5) 【答案】 (B).【解析】122212122221x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (6) 【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnn ni j i j n nn i n jn i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j →∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (7) 【答案】 (A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα=,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤,即r s ≤,选(A).(8) 【答案】 (D).【解析】：设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即AΛ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题 (9)【答案】2123cos sin xy C eC x C x =++.【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 32220λλλ-+-=,因式分解得()()()()2222210λλλλλ-+-=-+=,解得特征根为2,i λλ==±,所以通解为 2123cos sin xy C e C x C x =++.(10) 【答案】2y x =.【解析】因为3221lim 2x x x x→∞+=,所以函数存在斜渐近线,又因为 333222222lim 2lim 011x x x x x xx x x →∞→∞---==++,所以斜渐近线方程为2y x =. (11)【答案】()21!nn -⋅-.【解析】由高阶导数公式可知()ln(1)n x +1(1)!(1)(1)n nn x --=-+, 所以 ()()()1(1)!(1)!ln12(1)22(12)(12)n n n n n nn n x x x ----=-⋅-=---, 即()(1)!(0)22(1)!(120)n nn nn yn -=-=---⋅. (12))1e π-.【解析】因为 0θπ≤≤,所以对数螺线r e θ=的极坐标弧长公式为πθ⎰=0e d πθθ⎰)1e π-.(13)【答案】3cm/s .【解析】设(),()l x t w y t ==,由题意知,在0t t =时刻00()12,()5x t y t ==,且0()2,x t '=0()3y t '=,设该对角线长为()S t ,则 ()S t =,所以()S t '''=所以0()3S t '===.(14)【答案】3.【解析】由于1111()()A A B BE AB B B A ----+=+=+,所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =,所以1112BB--==,因此 11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=.三、解答题(15)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e--''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞.(16) 【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n =.(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(17)【解析】根据题意得(),22dy t dy dt dxdx t dtψ'==+()()()()()()222222222232241t d t t t t t d y dt dx dx t t dtψψψ'⎛⎫ ⎪'''+-+⎝⎭+===++ 即()()()()222261t t t t ψψ'''+-=+,整理有()()()()2131t t t t ψψ'''+-=+,解()()()()()31151,162t t t t ψψψψ'⎧''-=+⎪⎪+⎨⎪'==⎪⎩,令()y t ψ'=,即()1311y y t t '-=++. 所以()()()11113113dt dt t t y e t e dt C t t C -++⎛⎫⎰⎰=++=++ ⎪⎝⎭⎰,1t >-.因为()()116y ψ'==,所以0C =,故()31y t t =+,即()()31t t t ψ'=+,故()()2313312t t t dt t t C ψ=+=++⎰． 又由()512ψ=,所以10C =,故()233,(1)2t t t t ψ=+>-.(18)【解析】油罐放平,截面如图建立坐标系之后,边界椭圆的方程为：22221x y a b+= 阴影部分的面积2222bbba S xdyb --==⎰⎰ 令sin ,y b t y b ==-时;22b t y π=-=时6t π=. 266221122cos 2(cos 2)(223S ab tdt ab t dt ab πππππ--==+=+⎰⎰所以油的质量2(3m abl πρ=+.(19)【解析】由复合函数链式法则得u u u u u x x y x ξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂, u u u u u a b y y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂, 22222222u u u u u u u x x x x x xξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 222222,u u uξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 2222222u u u u u u u x y y y y y yξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222(),u u ua b a b ξηξη∂∂∂=+++∂∂∂∂ 22222222()()u u u u u u ua b a a b b a a y y ξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222222,u u u a b ab ξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 故222224125u u ux x y y∂∂∂++∂∂∂∂ []2222222(5124)(5124)12()1080,u u u a a b b a b ab ξηξη∂∂∂=+++++++++=∂∂∂∂所以 22512405124012()1080a a b b a b ab ⎧++=⎪++=⎨⎪+++≠ ⎩,则25a =-或2-,25b =-或2-.又因为当(,)a b 为22(2,2),(,)55----时方程(3)不满足,所以当(,)a b 为2(,2)5-- ,2(2,)5--满足题意.(20)【解析】2sin DI rθ=⎰⎰sin Dr rdrdθ=⎰⎰D=⎰⎰10xdx =⎰⎰()312201113x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ ()311220011133dx x dx =--⎰⎰20113cos 43316d πθθπ=-=-⎰.(21)【解析】令()()313F x f x x =-,对于()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在10,,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11022F F F ξ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭．对于()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在1,1,2η⎛⎫∈⎪⎝⎭使得 ()()11122F F F η⎛⎫'-= ⎪⎝⎭,两式相加得 ()()22f f ξηξη''+=+.所以存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,使()()22f f ξηξη''+=+. (22) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-.方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(23)【解析】由于0141340A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,存在正交矩阵Q ,使得TQ AQ 为对角阵,且Q 的第一2,1)T,故A对应于1λ的特征向量为12,1)Tξ=.根据特征值和特征向量的定义,有1Aλ=,即10141113224011aaλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2aλ=-=.故014131410A-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭.由14131(4)(2)(5)041E Aλλλλλλλ--=-=+--=-,可得A的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A xλ-=,即1234141710414xxx--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.由3()0E A xλ-=,即1235141210415xxx-⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)Tξ=-.由于A为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：3121231232,1),1,0,1),1,1)T T Tξξξηηηξξξ====-==-,取()123,,0Qηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭,则245TQ AQ⎛⎫⎪=Λ=-⎪⎪⎝⎭.。

2010考研数学二真题及答案一选择题1.的无穷间断点的个数为函数222111)(xx x x x f +--= A0 B1 C2 D32.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则A 21,21==μλB 21,21-=-=μλC 31,32==μλD 32,32==μλ3.=≠==a a x a y x y 相切，则与曲线曲线)0(ln 2 A4e B3e C2e De4.设,m n 为正整数,则反常积分210ln (1)mnx dx x-⎰的收敛性A 仅与m 取值有关B 仅与n 取值有关C 与,m n 取值都有关D 与,m n 取值都无关5.设函数(,)z z x y =由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20,F '≠则z z xy x y∂∂+∂∂= A xB zC x -D z -6.(4)2211lim ()()nnx i j nn i n j →∞==++∑∑= A1201(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰B 1001(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰ C1101(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰D112001(1)(1)dx dyx y ++⎰⎰7.设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是：A 若向量组I 线性无关，则s r ≤B 若向量组I 线性相关，则r>sC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s 8.设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于A 1110⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭C 1110⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ D 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 二填空题9.3阶常系数线性齐次微分方程022=-'+''-'''y y y y 的通解y=__________10.曲线1223+=x x y 的渐近线方程为_______________11.函数__________)0(0)21ln()(==-=n y n x x y 阶导数处的在 12.___________0的弧长为时，对数螺线当θπθe r =≤≤13.已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当l=12cm,w=5cm 时，它的对角线增加的速率为___________ 14.设A ，B 为3阶矩阵，且__________,2,2,311=+=+==--B A B A B A 则 三解答题15.的单调区间与极值。