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高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）高一数学质量调研试题 2013.11本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．测试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页. 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号．不能答在试题卷上．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上． 1.已知集合{}{}2|lg(4),|1,A x y x B y y ==-=>则A B =A ．{|21}x x -≤≤B ．{|12}x x <<C ．{|2}x x >D ．{|212}x x x -<<>或 2. 下列函数中,是偶函数又在区间(0,)+∞上递增的函数为 A ．3y x =B ．2log y x =C ．||y x =D ．2y x =-3．函数x x y 26ln +-=的零点一定位于的区间是 A ．（2，3）B ．（3，4）C ．（1，2）D ．（0，1）4. 已知12log 5=a ，2log 3=b ，1c =，0.53-=d ，那么 A.<<<d a c b B.d c a b <<< C.a b c d <<< D.a d c b <<<5.已知函数()f x 的定义域为(32,1)a a -+，且(1)f x +为偶函数，则实数a 的值可以是 A.23B.2C.4D.6 6. 如果幂函数222)33(--⋅+-=m m x m m y 的图象不过原点，则m 的取值范围是A ．21≤≤-m B.1=m 或2=m C.1-=m 或2=m D.1=m7. 函数()412x xf x +=的图象A ．关于原点对称B ．关于直线y x =对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称8.已知函数31()()log 2x f x x =-，若实数0x 是方程0()0f x =的解，且100x x <<，则1()f x 的值A.等于0B.恒为负值C.恒为正值D.不能确定 9.函数2()2xf x x =-的图象为10．设()f x 是R 上的偶函数, 且在[0+)∞，上递增, 若1()02f =，14(log )0f x <那么x 的取值范围是A ．122x << B ．2x > C ．112x << D ．1212x x ><<或 11.已知函数(31)4,(1)()log ,(1)aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩满足:对任意实数21,x x ,当12x x <时,总有12()()0f x f x ->,那么实数a 的取值范围是A.[11,)73B.1(0,)3C.11(,)73D.[1,1)712.定义域与值域相同的奇函数称为“八卦函数”，下列函数中是“八卦函数”的是A ．201320132x x y -+=B ．2014ln 2014xy x-=+ C ．13y x -= D ．y x =第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上，直接答在试题卷上无效． 2．答题前将答题纸密封线内的项目填写清楚．二、填空题：（本大题共4个小题.每小题4分；共16分．）13．设,R a b ∈，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则 =-a b ________． 14. 已知3()25f x x x =--，(2.5)0f >，用 “二分法”求方程0523=--x x 在区间(2,3)内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是 .15.已知01a a >≠且，函数2)1(log +-=x y a 的图象恒过定点P ， 若P 在幂函数()f x 的图象上，则()8f =_________.16. 若对任意x A ∈,y B ∈, (A .R B ⊆)有唯一确定的(f x ,)y 与之对应,称(f x ,)y 为关于x ,y 的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数(,)f x y 为关于实数x .y 的广义“距离”.(1)非负性:(,)0,f x y x y ≥=当且仅当时取等号； (2)对称性:(,)(,)f x y f y x =；(3)三角形不等式:(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立.今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于x .y 的广义“距离”的序号:①(,)||f x y x y =-； ②2(,)()f x y x y =-； ③(,).f x y x y =-能够成为关于的x .y 的广义“距离”的函数的序号是___________.三、解答题：本大题共6个小题. 共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分） 已知集合}24{<<-=x x A ,{}15>-<=x x x B 或，}11{+<<-=m x m x C .（1）求B A ,R ()AB ð；（2）若∅=C B ，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）(1) 计算：421033)21(25.0)21()4(--⨯+--；(2) 解关于x 的方程：1)3(log )1(log 515=--+x x .19.（本小题满分12分）已知函数)(log )(3b ax x f +=的图象经过点A (2，1)、 B （5，2）. （1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）求31(14)()2f f +÷的值． 20.（本小题满分12分）已知函数229(0)8()log (1)mx x m f x x m x m ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩满足2()1f m =- （1）求常数m 的值；（2）解关于x 的方程()20f x m +=，并写出x 的解集. 21.（本小题满分13分）为了预防甲型流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为1()16t a y -=（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．22. （本小题满分13分）已知函数2()131x f x =-+. （1）求函数()f x 的定义域并判断函数()f x 的 奇偶性；（2）用单调性定义证明:函数()f x 在其定义域上 都是增函数；（3）解不等式:()2(31)230f m m f m -++-<.高一数学参考答案 2013.11一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．BCADB BDCDA AC 二、填空题：本大题共4个小题.每小题4分；共16分． 13. 2 14. (2,2.5) 15. 22 16.① 三、解答题：本大题共6个小题. 共74分．17.解：（1）}24{<<-=x x A ,{}15>-<=x x x B 或， ∴{|5A B x x =<-或}4->x ，又R {51}B x x =-≤≤ð，……………………4分 ∴(){41}U AB x x =-<≤ð；………………………6分（2）若BC =∅，则需 ⎩⎨⎧≤+-≥-1151m m ，解得⎩⎨⎧≤-≥04m m ， …………………10分 故实数m 的取值范围为]0,4[-.…………………………………………………12分 18. 解：(1)原式=4141(2)2--+⨯=－3；………………………………………6分 （2）原方程化为 5log )3(log )1(log 555=-++x x ，从而5)3)(1(=-+x x ,解得2-=x 或4=x ，经检验，2-=x 不合题意， 故方程的解为4=x .………………………………………………………………12分 19. 解：∵函数)(log )(3b ax x f +=的图象经过点A (2，1)、 B （5，2），∴ (2)1(5)2f f =⎧⎨=⎩，……………2分即 33log (2)1log (5)2a b a b +=⎧⎨+=⎩，∴2359a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得21a b =⎧⎨=-⎩，……………6分 ∴ 3()log (21)f x x =-，定义域为1(,)2+∞.……………………………………8分 （2）31(14)2f f ⎛⎫+÷=⎪⎪⎝⎭33log 27log 3÷=1362÷=.……………………12分20．解：（1）∵01m <<，∴20m m <<，即2()1f m = 得 2918m m ⋅-=- ∴12m =. ………………４分 （2）由（1）22191(0)282()1log (2)(1)2x x f x x x ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，方程()20f x m +=就是()10f x +=，即10,2191028x x ⎧<<⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩或22112log (2)10,x x ⎧≤<⎪⎨⎪+=⎩解得1142x x ==或，…………11分 ∴方程()20f x m +=的解集是1142⎧⎫⎨⎬⎩⎭，. ……………12分 21．解：（1）依题意：当[0,0.1]t ∈时，设(y kt k =为常数），由图可知，图象过点（0.1, 1），∴1=0.1k ，∴10k =， ∴10y t = []0,0.1t ∈ ……3分当()0.1,t ∈+∞时，1()16t ay -=（a 为常数）.由图可知，图象过点（0.1,1），∴0.111=16a-（）， ∴0.1a =，综上：0.110[0,0.1]1()(0.1,)16t t t y t -∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩ ………………8分（2）依题意),1.0[+∞∈t ∴10.1211()0.25()1616t -<=∵1()16xy =在R 上是减函数，∴0.10.5 t ->，即0.6t >∴至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室. …………13分22.解：（1）30x >，310x +≠，∴函数()f x 的定义域为R ，…………2分()f x 的定义域为R ，又231231()1313131x x xx x f x +--=-==+++ 1331133()()1331133xx x x x x x xf x f x -----∴-====-+++，∴()f x 是定义在R 上的奇函数.…4分 （2）证明：任取12,x x R ∈，且12x x <，则()12()f x f x -=12131x --+22(1)31x -+ =2231x -+1231x +()()()()12122312313131x x x x +-+=++()()()12122333131x x x x -=++，…………………6分 12x x < ，∴1233x x <,∴12330x x -<,又12310,310x x +>+>,∴()12()0f x f x -<,即()12()f x f x <∴函数()f x 在其定义域上是增函数. ………………8分（3）由()2(31)230f m m f m -++-<,得()2(31)23f m m f m -+<--,………………………………………………………9分 函数()f x 为奇函数，∴()()2332f m f m --=-，()()23132f m m f m -+<- 由（2）已证得函数()f x 在Ｒ上是增函数， ∴()()23132f m m f m -+<-23132m m m ⇔-+<-. ………………………………………………………12分即2320m m +-<，(32)(1)0m m -+<，∴21.3m -<<不等式()2(31)230f m m f m -++-<的解集为21.3m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭………………13分。
2023-2024学年广东省茂名市高一上册期末联考数学试题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1ln ,,12x M xy x N y y x ⎧⎫====>⎨⎬⎩⎭∣∣，则M N ⋂=（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()0,1 C.1,12⎛⎫⎪⎝⎭D.∅2.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（）A.sin2y x = B.sin y x =C.cos y x= D.tan y x=3.已知:30,p k q -<<：不等式23208kx kx +-<的解集为R ，则p 是q 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知3sin ,0,252ππαα⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()sin πα+等于（）A.35B.35-C.45D.45-5.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()(I t t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531et K I t --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()*0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为（）()ln193≈A.60B.63C.66D.696.已知实数a 满足1211log 1,1,133aa a ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是（）A.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D.()0,17.设13358log 2,log 3,27a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.a c b <<C.b c a<< D.c a b<<8.已知函数()232,02ln ,0x x x f x x x ⎧++=⎨-+>⎩，若关于x 的方程()()2[]10f x kf x -+=有6个不同的实数根，则k 的取值范围是（）A.15,22⎛⎤- ⎥⎝⎦B.175,42⎛⎤-⎥⎝⎦ C.52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列判断正确的是（）A.,0x x x∀∈+R B.命题“2,0x x ∀∈>Z ”的否定是“200,0x x ∃∈<Z ”C.若0c a b >>>，则a a cb b c+>+D.“sin tan 0θθ⋅>”是“θ是第一象限角”的充要条件10.已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法错误的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线2x π=对称C.函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象关于原点中心对称D.()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增11.已知0,0a b >>，且2a b +=，则（）A.222a b + B.224a b +C.22log log 0a b +212.对于函数()4f x x x=+，则下列判断正确的是（）A.()f x 在定义域内是奇函数B.()1212,0,2,x x x x ∀∈≠，有()()1212f x f x x x -<-C.函数()f x 的值域为[)4,∞+D.对任意()12,0,x x ∞∈+且12x x ≠，有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫⎡⎤<+⎪⎣⎦⎝⎭三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.16题第一空2分，第二空3分.13.已知集合{}{}21,3,,1,2A aB a ==+，若B A ⊆，则a 的值为__________.14.已知角θ的终边过点()1,2P --，则sin cos sin cos θθθθ+-的值为__________.15.《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”.若一小城，如下图长方形所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树（注：1里300=步），则该小城的周长的最小为__________里.16.我们知道，函数()y f x =的图象关于y 轴成轴对称图形的充要条件是函数()y f x =为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于x a =成轴对称图形的充要条件是函数()y f x a =+为偶函数.已知函数()()2112e e x x g x x x a --+=-++，则该函数图象的对称轴为x =__________；若该函数有唯一的零点，则a =__________.（第一个空2分，第二个空3分）四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）（1）求值：12133227649125--⎛⎫++ ⎪⎝⎭；（2）若3log 21x =，求22x x -+的值；（3）已知lg2,lg3a b ==，用,a b 表示5log 18.18.（本小题满分12分）已知函数()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求34f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的单调增区间；（3）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.19.（本小题满分12分）已知函数()()2e 1xf x a a =-∈+R .（1）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数；（2）探索函数()f x 的单调性；范围.（3）在（1）的前提下，若对x ∀∈R ，不等式()()()30f f x f m +->恒成立，求m 的取值20.（本小题满分12分）设函数()f x 是定义域为R 的偶函数，()g x 是定义域为R 的奇函数，且()()f x g x +12x +=.（1）求()f x 与()g x 的解析式；（2）若()()()22h x f x mg x =-在[)1,∞+上的最小值为2-，求m 的值.21.（本小题满分12分）已知函数()()2ln e1xf x x =+-.（1）当0x 时，函数()()g x f x x a =--存在零点，求实数a 的取值范围；（2）设函数()()ln e 2xh x m m =⋅-，若函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，求m 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数()f x 满足如下条件：①对任意()0,0x f x >>；②()11f =；③对任意0,0x y >>，总有()()()f x f y f x y ++；（1）证明：满足题干条件的函数()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）（i ）证明：对任意的()()20,2n n f s s f s ⋅>，其中*n ∈N ；（ii ）证明：对任意的()()1*2,2n nx n -∈∈N ，都有()122x f x f x x⎛⎫->- ⎪⎝⎭.数学答案一､选择题1.【考点】集合的运算，函数的定义域和值域（取材于课本，容易题）A 由题得()110,,0,,0,22M N M N ∞⎛⎫⎛⎫=+=∴⋂= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.2.【考点】三角函数的图象与性质（取材于课本，容易题）Bsin2y x =的最小正周期为π，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，sin y x =的最小正周期为π，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，cos y x =的最小正周期为2π，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，tan y x =的最小正周期为π，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.故选B.3.【考点】充分､必要条件与一元二次不等式恒成立问题（取材于课本，容易题）A :30p k -<< ，不等式2328kx kx +-<0的解集为R ，则30,k p q -<∴⊂.故选A.4.【考点】诱导公式与同角三角函数公式（容易题）D ()3344sin ,cos ,0,,sin ,sin sin 255255ππααααπαα⎛⎫⎛⎫+=∴=∈∴=∴+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选D.5.【考点】指数､对数互化与运算（中档题）C由()0.23530.951e t K K --=+得()()()0.23530.235310011e ,e ,0.23539519t t t ----+==--=1lnln19319=-≈-，解得66t ≈.故选C.6.【考点】解对数､指数不等式（取材于课本，中档题）A 由113a⎛⎫< ⎪⎝⎭得0a >；由121a <得0a 1<；故1log 13a<得103a <<.故选A .7.【考点】比较大小（中档题）B1333822log 3log log 22733⎛⎫===> ⎪⎝⎭，故12335582,log 5log log 3273c a ⎛⎫>===< ⎪⎝⎭，故,c b a c b <∴<<.故选B.8.【考点】复合型函数的零点问题（较难题）C方程()()2[]10f x kf x -+=有6个不同的实数根，令()t f x =，则结合()f x 的图象可知⇔关于t 的方程210t kt -+=在1,24t ⎛⎤∈-⎥⎝⎦上有两个不同的实数根，即222Δ4012421110442210k k k k ⎧=->⎪⎪-<⎪⎨⎛⎫⎪-++> ⎪⎪⎝⎭⎪-+⎩，解得522k <.故选C.9.【考点】全称量词命题真假判断､存在量词命题的否定､不等式的基本性质､三角函数在各象限的符号（取材于课本，容易题）AC对于B ：命题“2,0x x ∀∈>Z ”的否定是“200,0x x ∃∈Z ，故B 错误；对于D ：“()h x f∴=()()()()222222222x xx x x mg x m ---=---+”是“22x x t -=-是第一象限角”的必要不充分条件.故选AC .10.【考点】三角函数的图象与性质（容易题）BC对于A ：22T ππ==，故()f x 的最小正周期为π，故A 正确；对于B ，由262x k πππ+=+得对称轴方程为,62k x k ππ=+∈Z ，（或检验法），故B 错误；对于C,2sin 2666f x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 22cos22x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，不关于原点中心对称，故C 错误；对于D ：当,,2,66662x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈-+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时()f x 单调递增，故D 正确.故选BC .11.【考点】基本不等式的应用（取材于课本，中档题）ABD 0,0,2a b a b >>+= ，对于222()A :22a b a b++=，故A 正确；对于B：224a b +==，故B 正确；对于C ：22222log log log log 02a b a b ab +⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故C错误；对于D 241a b ⇔++⇔，故D 正确.故选AB D.12.【考点】对勾函数的图象与性质（取材于课本，中档题）ABD对于()()A :f x f x -=-，故()f x 为奇函数，故A 正确；对于()4B:f x x x=+在()0,2单调递减，故B 正确；对于C ：()f x 的值域为(∞-，][22,)∞-⋃+，故C 错误；对于D ：1222x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭()()121212121164,x x f x f x x x x x x +++=++++()()1212212416,22x x f f x f x x x x +⎛⎫⎡⎤∴-+=- ⎪⎣⎦+⎝⎭1244x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而()121221212164144x x x x x x x x +=<++，故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，故D 正确.故选ABD.二､填空题13.【考点】集合间的基本关系与元素的特性（取材于课本，容易题）223B A a ⊆∴+= 或22a a =+，解得a 2=或1a =（不合题意，舍去），故2a =.故答案为2.14.【考点】三角函数的定义与同角三角函数公式（容易题）3由条件知tan 2,θ=∴原式tan 1tan 1θθ+==-故答案为3.15.【考点】基本不等式的应用（中档题）设GF x =步，EF y =步，由BEF FGA 得BE EF GF GA =，即1200,750yy x =∴=900000x，故小城周长为()222C x y =+=9000004x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭步=当900000x x=，即x =时取等号.故答案为.16.【考点】函数的基本性质与函数的零点（取材于课本，中档题）1，12由题意，()()11f x f x +=- ，()f x ∴的图象关于1x =轴对称，()f x 有唯一的零点，()1120f a ∴=-+=，故12a =.故答案为11,2.三､解答题17.【考点】指数､对数的运算（基础题）解：（1）原式()()132133232343165--⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭151833++=（2）2log 332log 21,log 3,222xxx x -=∴=∴+=+2log 31102333-=+=（3）5lg18lg2,lg3,log 18lg5a b ==∴== lg2lg9lg22lg32lg10lg21lg21a ba+++==---18.【考点】三角函数的图象与性质（取材于课本，容易题）解：（1）31311sin cos 4223234f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由222,232k x k k πππππ-+-+∈Z 得，5,1212k x k k ππππ-++∈Z ，()f x ∴的单调增区间为5,,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .（注：5,,1212k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 也给满分）（3）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，111sin 2,2324x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦19.【考点】函数的基本性质：奇偶性､单调性､值域；恒成立问题（取材于课本，中档题）解：（1）假设存在实数a 使函数()f x 为奇函数，此时()()220e 1e 1x xf x f x a a --+=-+-=++，解得1a =，故存在实数1a =，使函数()f x 为奇函数.（2）函数()f x 的定义域为R .12,x x ∀∈R ，且()()()()()12121212122e e 22,e 1e 1e 1e 1x x x x x x x x f x f x a a -⎛⎫<-=---= ⎪++++⎝⎭，()()()()121212e e 0,e 1e 10,x x x x f x f x -++>∴<< ，即函数()f x 在R 上单调递增.（注：不用定义法证明而直接递推说明给2分）（3）当1a =时，()21e 1x f x =-+，()f x 是奇函数，()()()()()()303f f x f m f f x f m ∴+->⇔>--()()()3f f x f m ⇔>-，又()f x 在R 上单调递增，()3f x m ∴>-，()234e 1xm f x ∴<+=-+，对x ∀∈R 恒成立，22e 0,e 11,02,2442e 1e 1x x x x m >∴+>∴<<∴<-<∴++ .20.【考点】指数型函数，函数的奇偶性，函数的最值（含参数的二次函数最值）（中档偏难题）解：（1）()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=，又()g x 为奇函数，()()g x g x ∴-=-，()()12,x f x g x ++= ①()()12x f x g x -+∴-+-=，即()()12x f x g x -+-=，②由①+②得.()()22,22xxxxf xg x --=+=-（2）()()222222222x x x xf x --=+=-+ ，()()()()()222222222x xx x h x f x mg x m --∴=-=---+，令22x x t -=-，显然22x x t -=-在[)1,∞+上单调递增，则1322222xxt -=--=，()2322,,2h t t mt t ∞⎡⎫∴=-+∈+⎪⎢⎣⎭，对称轴t m =，①当32m时，()22min ()222h t h m m m ==-+=-，解得：2m =或2,(2--舍去）；②当32m <时，()h t 在3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上单调递增，min 317()3224h t h m ⎛⎫∴==-=- ⎪⎝⎭，解得：253122m =>，不符合题意.综上.2m =21.【考点】对数型函数，函数的零点､一元二次方程根的分布（较难题）解：（1）()()2ln e1xf x x =+- ，当0x 时，函数()()g x f x x a =--存在零点，即()2ln e12xa x =+-在[)0,x ∞∈+时有解，设()()()2ln e 120xx x x ϕ=+-，即()2211ln 1,0,112e e x x x x ϕ⎛⎫=+<+⎪⎝⎭，()(]0,ln2x ϕ∴∈即实数a 的取值范围为(]0,ln2.（2）若函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，则关于x 的方程()()2ln e 2ln e 1xxm m x⋅-=+-只有一解，e 2e e x x x m m -∴⋅-=+只有一解，令e (0)xt t =>，得关于t 的方程()21210m t mt ---=有一正数解，①当1m =时，方程的解为12t =-，不合题意；②当1m >时，1210,1t t m ⋅=-<∴- 此方程有一正一负根，负根舍去，满足题意；③当1m <时，只需()()()2441102021m m m m ⎧--⨯-=⎪⎨>⎪-⎩，解得152m -=；综上：实数m的取值范围为12mm ⎧-⎪=⎨⎪⎩∣或}1m >.22.【考点】以抽象函数的形式探究函数的单调性以及应用（难题）证明：（1）任取120x x >>，()()()()121222f x f x f x x x f x -=-+-（120x x -> ）()()()1222f x x f x f x -+-()120f x x =->即()()12f x f x >，故()f x 在()0,∞+上单调递增.（2）（i ）由题意知，对任意()0,0s f s >>，由()()()f x f y f x y ++，令x y s ==，得()2f s ()2f s ，即()()22f s f s ，故对任意正整数n 与正数s ，都有()()122n n f sf s -•()()()()122222n n n f s f s f s f s --⋅ ，∴对任意()()20,2n n f ss f s >.（ii ）由（i ）知：对任意正整数n 与正数s ，都有()22()n n f s f s ⋅，故对任意正整数n 与正数s ，都有()1122n n f s --⋅()f s ，令12n s -=，则()()1112212n n n f f ---=，对任意()()1*2,2n n x n -∈∈N ，可得(12n x -∈，)12n -，又()11,f =∴ 由（2）中已证的单调性得：()()()11122122n n n x f x f f --->=>，()111222n n x f f x --⎛⎫<< ⎪⎝⎭，()122x f x f x x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭.。
人教版高一数学必修第一册期末复习模拟测试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合5{1,3,5,7},02x A B xx -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭∣，则A B ⋂=（ ）A .{1，3}B .{3，5}C .{5，7}D .{1，7} 2.函数41()(1)2f x x x =-++的定义域为（ ） A .(1.)∞+ B .(2,)∞-+ C .( 2.1)(1.)∞-⋃+ D .R3.已知集合22,42ak k k πππαπ⎭++⎨⎬∈⎧⎫⎩Z ∣，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（ ）A .B .C .D .4.下列函数中，最小值是22 ） A .2sin sin y x x =+B .y x x =C .3224y x x =++D .331y x x=+5.已知0.90.810.8,ln, 1.22a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A .a b c >> B .c a b >> C .a c b >> D .c b a >>6.设f （x ）为偶函数，且在区间(0,)∞+上单调递减，f （－2）＝0，则xf （x ）＜0的解集为（ ）A .（－1，1）B .(,2)(0,2)∞--⋃C .( 2.0)(2,)∞-⋃+D .（2，4）7.已知某扇形的面积为94π，圆心角为2π，则该扇形的半径为（ ） A .3 B .3πC .9D .34π8.已知函数()2212||f x x x +=-+，则下列选项中正确的是（ ）A .函数f （x ）是单调增函数B .函数f （x ）的值域为[0，2]C .函数f （x ）为偶函数D .函数f （x ）的定义域为[1，3]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列函数既是偶函数，又在(0,)∞+上单调递增的是（ ） A .||x y e = B .tan y x = C .cos y x = D .222x y +=10.下列存在量词命题中，是真命题的是（ ）A .210x x ∃∈⋅+=Z B .至少有一个x ∈Z ，使x 能同时被2和3整除C .,||0x x ∃∈<RD .有些自然数是偶数 11.已知函数()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ） A .f （x ）的最小正周期为2π B .f （x ）的图象关于直线6x π=对称 C .f （x ）在区间,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D .f （x ）的图象关于点,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 12.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为”无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足,M N Q M N ⋃=⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称（M 、N ）为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割（M ，N ），下列选项可能成立的是（ ）A .M 没有最大元素，N 有一个最小元素B .M 没有最大元素，N 也没有最小元素C .M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D .M 有一个最大元素，N 没有最小元素三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.命题“,210x x ∀∈+R ”的否定是 ．14.已知角θ的终边过点（1，－2），则cos()πθ+= ．15.已知幂函数f （x ）是奇函数且在(0,)∞+上是减函数，请写出f （x ）的一个表达式 ．16.函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，f （x －1）是奇函数，且当01x <时，20201()log f x x=，则1(2021)2020f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知集合{}{}222320,210A xx x B x x mx m =-+=-+-∣∣． （1）当m ＝0时，求A B ⋃R；（2）若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求实数m 的取值范围．18.（本小题满分12分） 已知02πα<<，且()222cos sin 3sin cos αααα-=．（1）求tan α的值；（2）求cos()sin()cos sin 22παπαππαα---⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．19.（本小题满分12分） 已知函数()2cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求当f （x ）取得最大值时，x 的取值集合；（2）完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数f （x ）在[0,]π上的图象．x512π 23ππ26x π+6π 2π π32π 2π136πy2- 0320.（木小题满分12分）已知函数4()()2x xbf x b +=∈R 的图象关于原点对称． （1）求实数b 的值；（2）若对任意的[0.1]x ∈，有()220f x kx k -->恒成立，求实数k 的取值范围．21.（本小题满分12分）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f （t ）表示学生注意力随时间t （分钟）的变化规律（f （t ）越大，表明学生注意力越集中）经过实验分析得知：224100,(010)()240,(1020)7380,(2040)t t t f t t t t ⎧-++<⎪=<⎨⎪-+<⎩．（1）讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ （2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（3）一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？22.（本小题满分12分） 已知2()log (1)().f x ax a =+∈R（1）若函数f （x ）的图象过点（1，1），求不等式f （x ）＜1的解集； （2）若函数2()()log g x f x x=+只有一个零点，求实数a 的取值范围。
人教A版高一数学必修第一册全册复习检测题卷（共30题）一、选择题（共10题）1.cos2π3=( )A．−12B．12C．√32D．−√322.函数f(x)=3x−3−xx4的大致图象为( )A．B．C．D．3.函数y=√3−xlnx的定义域为( )A．(0,3)B．(0,1)∪(1,3]C．(0,3]D．(0,1)∪(1,3)4.设函数f(x)=2xx+1+lnx满足f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c)，若f(x)存在零点x0，则下列选项中一定错误的是( )A．x0∈(a,c)B．x0∈(a,b)C．x0∈(b,c)D．x0∈(c,+∞)5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)={x−x2,0≤x<22−xe x,x≥2．若函数x2−7ab+b2−4a k+kab−1有6个零点，则实数m的取值范围是( )A．(−1e3,14)B．(−1e3,0)∪(0,14)C．(−1e3,0]D．(−1e3,0)6.如图所示的是某池塘中浮萍蔓延的面积(m2)与时间t（月）的关系：y=a t，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到16m2需要经过2个月；④浮萍每个月增加的面积都相等．其中正确的是( )A ．①②③B ．①②③④C ．②③④D ．①②7. 已知定义域为 (0,+∞) 的函数 f (x ) 满足：（ⅰ）对任意 x ∈(0,+∞)，恒有 f (2x )=2f (x ) 成立； （ⅰ）当 x ∈[1,2) 时，f (x )=2−x ．给出下列结论：①当 x ∈[2,4) 时，f (x )=4−x ；②对任意 m ∈N ，f (2m )=2m ；③函数 f (x ) 的值域为 (0,+∞)，则其中所有正确的结论有 ( ) A ． 0 个 B ． 1 个 C ． 2 个 D ． 3 个8. 若不等式 ax 2−x +a >0 对一切实数 x 都成立，则实数 a 的取值范围为 ( ) A ． a <−12 或 a >12 B ． a >12 或 a <0 C ． a >12D ． −12<a <129. 函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，且满足 f (x +2)=f (x ) ,当 x ∈[0,1] , f (x )=2x ，若在区间 [−2,3] 上方程 ax +2a −f (x )=0 恰有四个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 A ．(0,25)B ．(25,23)C ．[25,23]D ．(23,1)10. 设 x,y ∈R ，则“a ≥2 且 b ≥2”是“a 2+b 2≥4”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题（共10题）11. 某商场对顾客实行优惠活动，规定一次购物付款总额：① 200 元以内（包括 200 元）不予优惠；②超过 200 元不超过 500 元，按标价 9 折优惠；③超过 500 元其中 500 元按②优惠，超过部分按 7 折优惠，某人两次购物分别付款 168 元和 423 元，若他一次购物，应付款 元．12. tan36∘+tan24∘+√3tan36∘tan24∘= ．13. 已知函数 f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0,∣φ∣<π2) 的图象过点 B(0,−√3)，且在 (π18,π3) 上单调，同时 f (x ) 的图象向左平移 π 个单位长度后与原来的图象重合，当 x 1,x 2∈(−4π3,−2π3)，且x 1≠x 2 时，f (x 1)=f (x 2)，则 f (x 1+x 2)= ．14. lg8+3lg5 的值为 ．15. 已知函数 f (x )=lnx −m 的零点位于区间 (1,e ) 内，则实数 m 的取值范围是 ．16. 计算：log 43×log 932= ．17. 设函数 f (x )=e x +ae −x （a 为常数）．若 f (x ) 为奇函数，则 a = ；若 f (x ) 是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是 ．18. 求值：tan22∘+tan38∘+√3tan22∘⋅tan38∘= ．19. 已知 a >b >1．若 log a b +log b a =52，a b =b a ，则 a = ，b = ．20. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x +2)=f (x )−2，当 x ∈(0,2] 时，f (x )={x 2−x −6,x ∈(0,1]−2x−1−5,x ∈(1,2]，若 x ∈(−6,−4] 时，关于 x 的方程 af (x )−a 2+2=0(a >0) 有解，则实数 a 的取值范围是 ．三、解答题（共10题）21. 对于区间，若函数 y =f (x ) 同时满足：① f (x ) 在 [a,b ] 上是单调函数；②函数 y =f (x )，x ∈[a,b ] 的值域是 [a,b ]，则称区间 [a,b ] 为函数 f (x ) 的“保值”区间． (1) 求函数 y =x 2 的所有“保值”区间．(2) 函数 y =x 2+m (m ≠0) 是否存在“保值区间”？若存在，求出 m 的取值范围，若不存在，说明理由．22. 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为 48 m 2，房屋正面每平方米的造价为 1200 元，房屋侧面每平方米的造价为 800 元，屋顶的造价为 5800 元，如果墙高为 3 m ，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？23. 定义在 R 上的函数 f (x ) 既是偶函数又是周期函数，若 f (x ) 的最小正周期是 π，且当 x ∈[0,π2]时，f(x)=sinx，求f(5π3)的值．24.求函数y=√4−x2x+∣x∣的定义域．25.著名的数学家歌拉在数学的许多领域中都取得了很大的成就，以他名字命的有欧拉定理、欧拉公式、欧拉线等，当然也有许多美丽的传说，“欧拉机智改羊圈”就是讲述欧拉小时候的故事．欧拉放学后负责帮爸爸放羊，爸爸的羊慢慢增多了，原来的羊圈就显得有些小了，爸爸打算再修建一个新的羊圈．他有100只羊，每只羊需要占地面积6平方米，所以他计划建一个长40米，宽15米的羊面．可是，一切工作准备就绪的时候，他发现围篱笆所用材料根本就不够用，只能够围100米的篱笆．如果仍把羊圈围成长40米，宽15米，就要缺少10米长的材料：要是缩小面积，每头羊的平均居住面积就会减少，父亲感到左右为难．小欧拉对父亲说，不用增加材料，也不用担心每头羊的占用的面积会变小，他有办法解决这个问题．父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，长100米的篱笆，不多不少，正好用完，面积也足够了，而且比预想的要稍微大一些．【注：欧拉和爸爸设计的羊圈均为矩形ABDC，如图1，本题所有篱笆所占面积忽略不计】(1) 请你用学过的知识解释欧拉是怎样帮助父亲解决问题的．(2) 如果欧拉爸爸又想把羊圈一分为二，需要在中间增加一道篱笆，即还是用100米的材料目成如图所示的“日”字形羊圈，请问当宽的长度是多少时，“日”字形羊圈面积最大．(3) 请推广你的结论，把矩形长进行等分，若用100米的材料围成的羊图面积最大，求宽AB的长．【第ⅰ问只写出结论即可】．26.已知函数f(x)=lg(x+ax−2)，其中x>0，a>0．(1) 求函数f(x)的定义域；(2) 若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．27.下列每组对象能否构成一个集合？（1）我们班的所有高个子同学；（2）不超过20的非负数；（3）直角坐标平面内第一象限的一些点；（4）√3的近似值的全体．28.解答题．]的定义域为R，求实数k的取值范围；(1) 已知函数y=lg[(k+2)x2+(k+2)x+54]的值域为R，求实数k的取值范围．(2) 已知函数y=lg[(k+2)x2+(k+2)x+5429.在平面直角坐标系中，两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)的“曼哈顿距离”定义为∣x1−x2∣+∣y1−y2∣，记为∣∣PQ∣∣．如，点P(−1,−2)，Q(2,4)的“曼哈顿距离”为9，记为∣∣PQ∣∣=9．(1) 点P(−1,−2)，Γ是满足∣∣PQ∣∣≤1的动点Q的集合，求点集Γ所占区域的面积；(2) 动点P在直线y=2x−2上，动点Q在函数y=x2图象上，求∣∣PQ∣∣的最小值；(3) 动点Q在函数y=x2(x∈[−3,3])的图象上，点P(a,b)，∣∣PQ∣∣的最大值记为M(a,b)，请选择下列二问中的一问，做出解答．①求证：不存在实数a，b，使M(a,b)=5．②求M(a,b)的最小值．30.已知角α与β终边相同．求角α．(1) −360∘<α≤0∘，β=15∘；(2) 360∘≤α<720∘，β=−120∘；(3) −720∘≤α<−360∘，β=180∘；(4) 0∘≤α<360∘，β=400∘．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】A【知识点】任意角的三角函数定义2. 【答案】B【解析】易知定义域为 (−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称 f (−x )=3−x −3x (−x )4=−3x −3−xx 4=−f (x )，则 f (x ) 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ，f (1)=3−13=83>0，排除D ，当 x →+∞ 时，3x →+∞，则 f (x )→+∞，排除C ，选项B 符合． 【知识点】函数的奇偶性、函数图象3. 【答案】B【解析】由 {3−x ≥0,x >0,x ≠1 得 0<x ≤3，且 x ≠1．所以函数 y =√3−xlnx的定义域为 (0,1)∪(1,3]．【知识点】函数的定义域的概念与求法4. 【答案】C【解析】函数 f (x )=2xx+1+lnx =2+lnx −2x+1 的定义域为 {x∣ x >0}，函数是增函数，满足 f (a )f (b )f (c )<0(a <b <c )，说明 f (a )，f (b )，f (c )，有 1 个是负数一定是 f (a ) 两个正数或 3 个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在 (a,c )，在 (a,b )，在 (c,+∞)，不可能在 (b,c )． 故选：C ．【知识点】零点的存在性定理5. 【答案】D【解析】函数 f (x ) 是定义在 R 上偶函数，函数 F (x )=f (x )−m 有六个零点， 则当 x >0 时，函数 F (x )=f (x )−m 有三个零点， 令 F (x )=f (x )−m =0，即 m =f (x )．①当 0<x <2 时，f (x )=x −x 2=−(x −12)2+14， 当 x =12 时有最大值，即为 f (12)=14，且 f (x )>f (2)=2−4=−2，故 f (x ) 在 [0,2) 上的值域为 (−2,14]；②当 x ≥2 时，f (x )=2−x e x<0，且当 x →+∞，f (x )→0，因为 fʹ(x )=x−3e x，令 fʹ(x )=x−3e x=0，解得 x =3，当 2≤x <3 时，fʹ(x )<0，f (x ) 单调递减； 当 x ≥3 时，fʹ(x )≥0，f (x ) 单调递增，所以 f (x )min =f (3)=−1e 3，故f (x ) 在 [2,+∞) 上的值域为 [−1e 3,0)．因为 −1e 3>−2， 所以当 −1e 3<m <0 时，当 x >0 时，函数 F (x )=f (x )−m 有三个零点，故当 −1e 3<m <0 时，函数 F (x )=f (x )−m 有六个零点，当 x =0 时，函数有 5 个零点． 【知识点】函数的零点分布6. 【答案】A【解析】由图知：函数图象过点 (1,2) 代入 y =a t 得 2=aʹ，得 a =2，①正确． 当 a =2，t =5 时，25=32>30，则②正确．当 t =2 时，2t =4；t =4 时，2t =16，则从 4 m 2 到 16 m 2 需要经过两个月，③正确． 由图知：从 t =1 到 t =2，增加量为 4−2=2 m 2，从 t =2 到 t =3，增加量为 8−4=4 m 2，增加的面积不同，④不正确． 综上①②③正确．【知识点】函数模型的综合应用7. 【答案】D【解析】对于①，当 x ∈[2,4) 时，x2∈[1,2)，则 f (x2)=2−x2， 所以 f (x )=2(x2)=4−x ，故①正确；对于②，f (2m )=f (2⋅2m−1)=2f (2m−1)=⋯=2m−1f (2)=2m ，故②正确； 对于③由题意，当 x ∈[1,2) 时，f (x )=2−x >0， 当 x ∈[2,4) 时，12x ∈[1,2)，f (x )=2f (x2)=4−x >0，当 x ∈[4,8) 时，12x ∈[2,4)，f (x )=2f (x2)=8−x >0， ⋯一般地，当x∈[2m,2m+1)，则x2m∈[1,2)，f(x)=2m+1−x>0，从而f(x)∈(0,+∞)，故③正确．综上所述，其中所有正确的结论有3个．故选D．【知识点】函数的值域的概念与求法、指数函数及其性质8. 【答案】C【知识点】恒成立问题、二次不等式的解法9. 【答案】B【解析】在区间[−2,3]上方程ax+2a−f(x)=0恰有四个不相等的实数根，等价于在区间[−2,3]上，函数f(x)与y=a(x+2)的图象有四个不同的交点，由f(x+2)=f(x)可得函数的周期为2，且为偶函数，函数y=a(x+2)的图象过定点(−2,0)，且斜率为a的直线，其图象为：由图可知，当直线介于CB和CA之间时符合题意，而由斜率公式可得k CB=2−01−(−2)=23，k CA=2−03−(−2)=25，故实数a的取值范围为(25,23 )．【知识点】函数的奇偶性、函数的零点分布、函数的周期性10. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件二、填空题（共10题）11. 【答案】513.7【知识点】函数模型的综合应用12. 【答案】√3【知识点】两角和与差的正切【解析】函数 f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0,∣φ∣<π2) 的图象，过点 B(0,−√3)，则 2sinφ=−√3，解得：sinφ=−√32， 由于：∣φ∣<π2，所以 φ=−π3，则 f (x )=2sin (ωx −π3)，同时 f (x ) 的图象向左平移 π 个单位之后与原来的图象重合， 所以 g (x )=2sin [ω(x +π)−π3]=2sin (ωx −π3)，则 ωπ=2kπ，函数在 x ∈(π18,π3) 上单调，则 π3−π18≤T2=πω，解得 0<ω≤185，所以 ω=2，则 f (x )=2sin (2x −π3)，函数的对称轴方程为：2x −π3=kπ+π2(k ∈Z )，x =512π+kπ2∈(−43π,−23π)，则当 k =−3 时，x =−1312π，由于 x =x 1+x 22，则 f (x 1+x 2)=f (−136π)=2sin (−143π)=−√3．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换14. 【答案】 3【解析】 lg8+3lg5=lg8+lg53=lg1000=3． 【知识点】对数的概念与运算15. 【答案】 (0,1)【解析】由题意，函数 f (x )=lnx −m 在定义域上单调递增， 又因为函数零点位于区间 (1,e ) 内，所以 f (1)=−m <0，f (e )=1−m >0，解得 0<m <1， 故 m ∈(0,1)．【知识点】零点的存在性定理16. 【答案】 54【知识点】对数的概念与运算17. 【答案】 −1 ； (−∞,0]【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性【知识点】两角和与差的正切19. 【答案】 4 ； 2【解析】令 log a b =t ，因为 a >b >1，所以 0<t <1， 由 log a b +log b a =52 得 t +1t =52，解得 t =12 或 t =2（舍去），即 log a b =12，所以 b =√a ， 又因为 a b=b a，所以a √a=(√a)a，即a √a=a a2，即 √a =a2，解得 a =4，所以 b =2． 【知识点】对数的概念与运算20. 【答案】 1≤a ≤√2【解析】因为函数 f (x ) 满足 f (x +2)=f (x )−2，所以若 x ∈(−6,−4] 时，则 x +2∈(−4,−2]，x +4∈(−2,0]，若 x +6∈(0,2]，即若 x ∈(−6,−5] 时， 则 x +2∈(−4,−3]，x +4∈(−2,−1]， 若 x +6∈(0,1]，则f (x )=2+f (x +2)=4+f (x +4)=6+f (x +6)=6+(x +6)2−(x +6)−6=x 2+11x +30,若 x ∈(−5,−4] 时，则 x +2∈(−3,−2]，x +4∈(−1,0]， 若 x +6∈(1,2]，则 f (x )=2+f (x +2)=4+f (x +4)=6+f (x +6)=6−2x+6−1−5=1−2x+5,由 af (x )−a 2+2=0(a >0) 得 af (x )=a 2−2(a >0)， 即 f (x )=a −2a (a >0)．作出函数 f (x ) 在 x ∈(−6,−4] 的图象如图． 在函数的值域为 −1≤f (x )≤0， 由 −1≤a −2a ≤0，得 {a −2a ≥−1,a −2a ≤0, 即 {a 2+a −2≥0,a 2−2≤0, 即 {a ≥1 或 a ≤−2,−√2≤a ≤√2,因为 a >0，所以 1≤a ≤√2．【知识点】函数的零点分布三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 因为 y =x 2 的值域为 [0,+∞)，且在 [a,b ] 上值域为 [a,b ]，所以 a ≥0，从而 y =x 2 在 [a,b ] 上单调递增，则 {a 2=a,b 2=b,得 {a =0,b =0 或 {a =1,b =1, 又 a <b ，所以 {a =0,b =1,即 y =x 2 的保值区间为 [0,1]．(2) 若 y =x 2+m (m ≠0) 存在保值区间，则有：①若 a <b ≤0，此时 y =x 2+m 在 [a,b ] 上单调递减．则 {a 2+m =b,b 2+m =a,消去 m ，得 a 2−b 2=b −a ，即 (a −b )(a +b +1)=0，因为 a <b ，所以 a −b ≠0，a +b +1=0，即 a =−b −1，又 {b ≤0,−b −1<b,所以 −12<b ≤0， 因为 m =−b 2+a =−b 2−b −1=−(b +12)2−14，当 −12<b ≤0 时，−1≤m <−34，符合条件；②若 b >a ≥0 时，此时 y =x 2+m 在 [a,b ] 上为增函数，则 {b 2+m =b,a 2+m =a,消去 m 得 a 2−b 2=a −b ， 整理得 (a −b )(a +b −1)=0，因为 a <b ，所以 a −b ≠0，a +b −1=0，即 b =1−a ，又 {a ≥0,a <1−a,所以 0≤a <12， m =−a 2+a =−(a −12)2+14，当0≤a<12时，0≤m<14，又m≠0，所以0<m<14．综上，m∈[−1,−34)∪(0,14)．【知识点】函数的单调性22. 【答案】设房屋地面相邻两边边长分别为x m，y m，总造价为z元．因为xy=48，所以z=3600y+4800x+5800=48×3600x+4800x+5800≥2×4800√36x⋅x+5800=63400,当x=6时，上式取等号．所以当房屋地面相邻两边边长分别建成6m和8m时，造价最低，最低总造价为63400元．【知识点】均值不等式的实际应用问题23. 【答案】因为f(x)的最小正周期是π，所以f(5π3)=f(5π3−2π)=f(−π3)，因为f(x)是R上的偶函数，所以f(−π3)=f(π3)=sinπ3=√32．所以f(5π3)=√32．【知识点】正弦函数的性质24. 【答案】(0,2]【知识点】函数的定义域的概念与求法25. 【答案】(1) 设羊圈长为x米，则宽为(50−x)米，面积为y．则y=x⋅(50−x)=−x2+50x，所以当x=25时，y取最大值625．所以羊圈长宽约为25米时面积最大．(2) 设AB长为x，面积为y，y=x⋅(50−32x)=−32x2+50x，所以当 x =503 时，y 最大． (3) x =50m+1．【解析】 (3) 设 AB 长为 x ，面积为 y ，y =x ⋅100−(m+1)x 2=−m+12x 2+50x.所以当 x =50m+1时，面积最大． 【知识点】函数模型的综合应用26. 【答案】(1) 由 x +a x −2>0，得 x 2−2x+a x >0．因为 x >0，所以 x 2−2x +a >0．当 a >1 时，定义域为 (0,+∞)；当 a =1 时，定义域为 (0,1)∪(1,+∞)；当 0<a <1 时，定义域为 (0,1−√1−a)∪(1+√1−a,+∞)．(2) 对任意 x ∈[2,+∞) 恒有 f (x )>0，即 x +a x −2>1 对 x ∈[2,+∞) 恒成立， 即 a >−x 2+3x 对 x ∈[2,+∞) 恒成立，记 ℎ(x )=−x 2+3x ，x ∈[2,+∞)，则只需 a >ℎ(x )max ，而 ℎ(x )=−x 2+3x =−(x −32)2+94 在 [2,+∞) 上是减函数，所以 ℎ(x )max =ℎ(2)=2，故 a >2．【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性、函数的定义域的概念与求法、函数的最大（小）值27. 【答案】（1）“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合；（2）任给一个实数 x ，可以明确地判断是不是“不超过 20 的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x >20 或 x <0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过 20 的非负数”能构成集合；（3）“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；（4）“√3 的近似值”不明确精确到什么程度，因此无法判断一个数（如“2”）是不是它的近似值，所以（4）不能构成集合．【知识点】集合的概念28. 【答案】(1) k ∈[−2,3)．(2) k ≥3．【知识点】对数函数及其性质29. 【答案】(1) 设 Q (x,y )，∣∣PQ ∣∣=∣−1−x ∣+∣−2−y ∣≤1．点集 Γ 是以 P (−1,−2) 为中心，对角线长为 2 的正方形．其面积为 2．(2) 设 P (x 1,2x 1−2)，Q (x 2,x 22)，∣∣PQ ∣∣=∣x 1−x 2∣+∣2x 1−2−x 22∣．将 ∣∣PQ ∣∣ 看成关于 x 1 的函数，则 ∣∣PQ ∣∣ 在 x 1=x 2 或 x 1=x 22+22 时取到最小值，即 ∣∣PQ ∣∣≥min {∣x 22−2x 2+2∣,∣∣∣x 22+22−x 2∣∣∣}． 又 x 22−2x 2+2≥1， x 22+22−x 2≥12， 故当 x 1=32，x 2=1 时，∣∣PQ ∣∣ 的最小值为 12．(3) ①若存在实数 a ，b ，使 M (a,b )=5，则 ∣∣PQ ∣∣=∣a −x ∣+∣b −x 2∣≤5 对任意的 x ∈[−3,3] 成立．取 x =3，得 ∣a −3∣+∣b −9∣≤m ．取 x =0，得 ∣a −0∣+∣b −0∣≤m ．故 12≤∣a −0∣+∣b −0∣+∣a −3∣+∣b −9∣≤10 成立，这与 12>10 矛盾． ②若存在实数 a ，b ，使 M (a,b )=m ，则 ∣∣PQ ∣∣=∣a −x ∣+∣b −x 2∣≤m 对任意的 x ∈[−3,3]成立．取 x =−12 与 x =3，得 ∣∣a +12∣∣+∣∣b −14∣∣≤m ，∣a −3∣+∣b −9∣≤m ． 故 494≤∣∣a +12∣∣+∣∣b −14∣∣+∣a −3∣+∣b −9∣≤2m ，于是 m ≥498．当 a =0，b =478 时，M (a,b )=498． 故 M (a,b ) 的最小值是 498．【知识点】绝对值不等式的性质、函数的最大（小）值30. 【答案】(1) −345∘．(2) 600∘．(3) −540∘．(4) 40∘．【知识点】任意角的概念。
广东省茂名市高一上学期期末数学试卷（A卷）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合，，，则=（）A .B .C .D .2. （2分） (2015高一下·正定开学考) 若f（x+1）的定义域为[0，1]，则函数f（2x﹣2）的定义域为（）A . [log23，2]B . [0，1]C .D . [0，2]3. （2分） (2018高二下·临泽期末) 设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）三个数的大小关系为（）A .B .C .D .5. （2分）设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）函数y=a﹣x和函数y=loga（﹣x）（a＞0，且a≠0）的图象画在同一个坐标系中，得到的图象只可能是下面四个图象中的（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·广西模拟) 已知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α，则l垂直于α内的所有直线，②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线③若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β④若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则m∥l其中正确的命题的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 18. （2分） (2018高一上·大港期中) 已知函数，，则的零点所在的区间是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·潍坊期中) 如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，己知棱长为a，M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A . ﹣B .C . ﹣D .10. （2分）若0＜x＜y＜1，则下列各式中正确的是（）A . 2y＜2xB . logx4＜logy4C . log3x＜log3yD .11. （2分）已知函数f(x+1）是偶函数，当时，函数f(x)单调递减，设，则a，b，c的大小关系为（）A . c<a<bB . a<b<cC . a<c<bD . c<b<a12. （2分）直线y=m（m＞0）与y=|logax|（a＞0且a≠1）的图象交于A，B两点．分别过点A，B作垂直于x轴的直线交y= （k＞0）的图象于C，D两点，则直线CD的斜率（）A . 与m有关B . 与a有关C . 与k有关D . 等于﹣1二、填空题 (共8题；共10分)13. （1分） (2020高二上·厦门月考) 已知动点满足，为坐标原点，则的最大值为________.14. （2分） (2015高二上·余杭期末) 如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的表面积是________ cm2 ，体积为________ cm3 ．15. （1分） (2016高二上·平罗期中) 圆x2+y2﹣4x=0关于直线y=x对称的圆的方程为________．16. （2分） (2019高一上·丰台期中) 幂函数的图象经过点，则函数的解析式为________，的值为________．17. （1分）已知高与底面直径之比为的圆柱内接于球，且圆柱的体积为，则球的体积为________.18. （1分） (2017高一下·红桥期末) 设f（x）= ，则不等式f（x）＞2的解集为________．19. （1分） (2017高一上·丰台期末) 已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x ，则f（﹣1）=________．20. （1分） (2019高三上·广州月考) 己知直线l与正方体的所有面所成的角都相等，且平面，则与平面所成角的正切值是________.三、解答题 (共5题；共50分)21. （10分） (2019高三上·上海月考) 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝）由公式 ( 为非零常数)给出，其中为声音能量.（1）当声音强度满足时，求对应的声音能量满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.22. （10分） (2019高二下·中山期末) 已知圆，椭圆的短半轴长等于圆的半径，且过右焦点的直线与圆相切于点．（1）求椭圆的方程；（2）若动直线与圆相切，且与相交于两点，求点到弦的垂直平分线距离的最大值．23. （10分） (2018高一上·大港期中) 已知函数（a＞0且a≠1）．（1）若，求函数的零点；（2）若在上的最大值与最小值互为相反数，求a的值．24. （10分） (2017高三上·蓟县期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，AD= BC=2，E在BC上，且BE= AB=1，侧棱PA⊥平面ABCD．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（2）若△PAB为等腰直角三角形．（i）求直线PE与平面PAC所成角的正弦值；（ii）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．25. （10分） (2018高二下·河南月考) 已知函数.（1）求的单调区间和值域；（2）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共8题；共10分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共50分)答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、考点：解析：答案：25-1、答案：25-2、考点：解析：。
广东省茂名市2014～2015学年度高一数学第一学期期末质量检测模拟训练一、 选择题（每小题5分，共50分）1．下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）A ．xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21B.2y x =-C.y =－x 3D.)(log 3x y -=2．若角α的终边在直线x y 2=上，则αsin 等于（ ） A ．51±B ．55± C ．552±D ．21± 3．已知全集U =R ,集合{|1}A x x =>，集合{|340}B x x =-≤， 满足如图所示的阴影部分的集合是（ ）A. {|1}x x >B. 4{|1}3x x <≤C. {|1}x x ≤D. 4{|}3x x >4．右图是函数x a x f =)(、b x x g =)(、xx h c log )(=（a 、c 都是不等于1的正实数），则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a>b>c B ．c>a>b C ．b>a>c D ．c>b>a5．设0.31231log 2,log 3,()2a b c ===，则（ ）A. a<b<cB. a<c<bC. b<c<a D . b<a<c6．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于 （ ）A.23B.13C ．－13D ．－237．为了得到函数R x x y ∈+=),32cos(π的图象，只需把函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向左平行移动6π个单位长度 B ． 向左平行移动3π个单位长度 C ．向右平行移动3π个单位长度D ．向右平行移动6π个单位长度8．函数()lg f x x x =+的零点所在的区间为（ ）A. 1(0,)10 B. 1(,1)10C. (1,10)D. (10,)+∞ 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝6，则a 的值等于（ ）A ． 1B ．－1C ．2D ．410．已知函数))(2(log )(1*+∈+=N n n n f n ，定义使)()2()1(k f f f ⋅⋅⋅⋅为整数的数)(*∈N k k 叫做企盼数，则在区间[1，50]内这样的企盼数共有（ ）个.A ． 2B ．3C ．4D ．5二、 填空题（每小题5分，共20分）11．函数()y f x =是xy a =的反函数，而且()f x 的图象过点（4,2），则a =____________.12．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.13．已知tan α＝－512，且α为第二象限角，则cos α的值等于____________.14．已知函数y ＝a log （2－ax ）（a>0, a ≠1）在［0，1］上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．三、 解答题（共80分，请写出必要的解题步骤和证明过程）15.（本小题满分12分）已知向量a ＝(1,2)，b＝(2，－2)．x(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )·a ； (2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值； (3)求向量a 在b方向上的投影．16.（本小题满分12分） (1)已知14log 2a =，用a表示7. (2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值．17. （本小题满分14分）已知函数()22x x f x -=+, (1)判断函数的奇偶性;(2)用函数单调性定义证明: ()f x 在()0,+∞上为单调增函数； (3)若325)(+⋅=-x x f ,求x 的值.18.（本小题满分14分）若函数()sin()(0,0)6f x A x b A πωω=-+>>的最大值为3，最小值为－1, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π. (1)求函数()f x 的解析式； (2)求函数()f x 的单调减区间； (3)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值.19.(本小题满分14分) 芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q (单位：元/10 kg)与上市时间t (单位：天)的数据情况如下表：(1)Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a log b t ，并说明理由；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．20.（本小题满分14分）已知二次函数2()f x ax bx c =++. (1)若(1)0,(0)0f f -==，求出函数)(x f 的零点；(2)若)(x f 同时满足下列条件：①当1x =-时，函数)(x f 有最小值0，②(1)1f = 求函数)(x f 的解析式；(3)若(1)(3)f f ≠，证明方程)]3()1([21)(f f x f +=必有一个实数根属于区间（1,3）2013～2014学年度第一学期期末质量检测模拟训练广东省茂名市2014～2015学年度高一数学第一学期期末质量检测模拟训练一、选择题：二、填空题：11.2a = 12．λ＝2 13．cos α=－121314．（1，2） 三、解答题：15.解析：(1)∵a ＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c ＝4a ＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．………………………………2分 ∴b ·c ＝2×6－2×6＝0，∴(b ·c ) ·a ＝0·a ＝0. ………………………………4分 (2) a ＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，………………………………5分由于a ＋λb 与a 垂直，(a ＋λb )·a =0………………………………6分即2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52.………………………………8分(3)设向量a 与b的夹角为θ，向量a 在b方向上的投影为|a |cos θ. ………………………………9分∴|a |cos θ＝||a b b ⋅＝－222＝－22.………………………………12分16.说明：本小题满分12分，毎小问6分.（1）由对数换底公式得：2222log 72(log 14log 2)===- =2（11a -）=2(1)a a-.…………………………6分 （2）∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α， ∴－sin α＝－2cos α. …………………………2分 ∴sin α＝2cos α，即tan α＝2. …………………………3分方法一 (直接代入法)：原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.…………………………6分方法二 (同除转化法)：原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－16.…………………………6分17. (本小题满分12分）(1)()22x x f x -=+的定义域为R,关于原点对称…………………………1分()22(),x x f x f x --=+=又…………………………2分()f x ∴为偶函数 …………………………………3分 (2)证明:设12,x x 是()0,+∞ 任意的两个数且12x x <, ……………………4分则112212()()2222xx x x f x f x ---=+--211212222222x x x x x x -=-+⋅()1212122122x x x x ⎛⎫=-- ⎪⋅⎝⎭……………………………6分 21120,2221x x x x x y <<=∴>> 是增函数,…………7分12121220,1022x x x x ∴-<->⋅ ……………………………………8分1212()()0,()()f x f x f x f x ∴-<<即 ………………9分()()0,f x ∴+∞在上是单调增函数 ………………………………10分(3)解:由题意可知,32522+⋅=+--x x x令2,(0)xt t =>,则153t t t+=+ ……………………………………12分 解得1()4t t =-=舍去或者 ………………………………………13分即24x= 2x ∴= …………………………………………………14分18.解析:(1)∵函数()f x 的最大值为3，最小值为－1,∴3(1)3(1)2,122A b --+-==== ……………………………2分 ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π,∴最小正周期为T π=，∴2ω=,……………………………4分故函数()f x 的解析式为sin(2)16y x π=-+ ……………………………5分(2) 由3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈……………………………7分 得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈……………………………9分函数()f x 的单调减区间为5[,],36k k k Z ππππ++∈……………………………10分 (3)∵()2sin()1226f απα=-+=即1sin()62πα-= ……………………………………11分∵02πα<<,∴663πππα-<-<……………………………12分∴66ππα-=,故3πα=……………………………14分19. 解：(1)由数据可知，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常值函数， 若用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a log b t 中的任意一个来反映时都应有a ≠0， 且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，…………………2分 所以应选用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．…………………3分 将表格所提供的三组数据分别代入函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，可得：⎩⎪⎨⎪⎧150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c ，…………………6分解得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.…………………9分 所以，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋4252.……………10分(2)当t ＝－－322×1200＝150(天)时，…………………12分芦荟种植成本最低为Q ＝1200×1502－32×150＋4252＝100(元/10 kg)．…………………14分 20.解：（1）0)0(,0)1(==-f f b a =∴……………………… 1分)1()(+=∴x ax x f ………………………………… 2分所以：函数)(x f 的零点是0和-1. ………………………………… 3分(2)由条件①得：241,024b ac b a a--=-=,0>a ………………………………… 5分 ⇒ 222,444b a b ac a ac a c ==⇒=⇒=………………………………… 6分 由条件②知：1=++c b a ……………… 7分由12a b c b a a c++=⎧⎪=⎨⎪=⎩得11,42a c b === ………………………………… 9分所以：221111()(1)4244f x x x x =++=+ …………………………………10分 （3）令)]3()1([21)()(f f x f x g +-=，则)]3()1([21)]3()1([21)1()1(f f f f f g -=+-=)]1()3([21)]3()1([21)3()3(f f f f f g -=+-=，……………………………… 11分0)]3()1([41)3()1(2<--=⋅∴f f g g ………………………………… 13分()0g x ∴=在(1,3)内必有一个实根即方程)]3()1([21)(f f x f +=必有一个实数根属于(1,3) …………………………14分。
