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第五节 数列的综合应用预习设计 基础备考知识梳理1．等差、等比交汇，考查数列的综合问题2．以递推关系为背景，考查数列的通项与前n 项和3．数列与函数、不等式交汇，考查数列的综合应用4．以实际问题为背景，考查数列的应用(1)解答数列应用题的步骤：①审题——仔细阅读材料，认真理解题意．②建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．③求解——求出该问题的数学解，④还原——将所求结果还原到原实际问题中．(2)数列应用题常见模型：①等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差．②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列，这个固定的数就是公比．(3)与银行利率相关的几类模型：①银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和=y ，属于等差模型，②银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和=y ，属于等比模型．③产值模型：原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，对于时间x 的总产值=y(4)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，是随项的变化而变化时，应考虑是 n a 与1+πa 的递推关系，还是前n 项和n s 与1+n s 之间的递推关系．(5)分期付款模型；设贷款总额为a ，年利率为r ，等额还款数为b ，分n 期还完，则=b典题热身1．已知等差数列}{n a 的公差,0=/d 它的第1，第5，第17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是( )4.A 3.B 2.c 21.D 答案：B2．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线322+-=x x y 的顶点是(b ，c)，则ad 等于( ) 3.A 2.B 1.c 2.-D答案：B3．数列}{n a 的通项公式是关于x 的不等式)(2⋅∈<-N n nx x x 的解集中的整数个数，则数列}{,l a 的前n 项和=n s ( )2.n A )1(.+n n B 2)1(.+n n c )2)(1.(++n n D 答案：C4．某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率为 答案：25%5．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的71是较少的两份之和，最小的一份的量为 答案：35课堂设计 方法备考题型一 等差、等比数列的综合应用【例1】已知各项均为正数的数列}{n a 前n 项和为,n s 首项为,1a 且n n S a ,,2成等差数列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若,,log 2nn n n n a bc a b ==求数列}{n c 的前n 项和⋅n T 题型二 数列与函数的综合应用【例2】已知,0(log )(>=a x x f u 且),1=/a 设),(),(21a f a f ))((,*∈⋅⋅N n a f n 是首项为4，公差为2的等差数列．(1)若a 为常数，求证：}{n a 是等比数列；(2)若}{),(n n n n b a f a b =的前n 项和是,n s 当2=a 时，求⋅n s题型三 数列在实际问题中的应用【例3】某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交量的?31)48.0~3lg ,30.0~2lg ,82.2~657(lg 题型四 数列与函数、不等式的综合问题【例4】已知点)31,1(是函数)1,0()(=/>=a a a x f x 且的图像上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为 ,)(c n f -数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n s 满足+=--n n n s s s 1).2(|1≥-n s n(1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；(2)若数列}1{1+n n b b 的前n 项和为,n T 问：满足20091000>n T 的最小正整数n 是多少？ 技法巧点(1)深刻理解等差（比）数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键，两类数列性质既有相似之处，又有区别，要在应用中加强记忆，同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错．(2)在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程（组）求解．在解方程（组）时，仔细体会两种情形中解方程（组）的方法的不同之处．(3)数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角函数、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度，解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解 题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等．(4)在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题．失误防范1．等比数列的前n 项和公式要分两种情况：公比等于1和公比不等于1．最容易忽视公比等于1的情况，要注意这方面的练习，2．解决数列的应用问题必须准确计算项数，例如与“年数”有关的问题，必须确定起算的年份，而且应准确定义n a 是表示“第n 年”还是“n 年后”，随堂反馈1．等差数列}{n a 的前n 项和为,52,18,139-=-=s s s n 等比数列}{n b 中，,,7755a b a b ==则15b 的值为( )64.A 64.-B 128.c 128.-D2．某工厂总产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为( )P A . P B 12. 12)1.(P c + 1)1.(12-+P D答案：D3．（2011．兰州模拟）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量n s （万件）近似地满足关系式),12,,2,1)(5ln 2(902 =--=n n n s n 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 ( )A ．5、6月B ．6、7月C ．7、8月D ．8、9月、答案：C4．（2011．济南模拟）已知数列}{n a 是首项为41=a 的等比数列，且3512,,4a a a -成等差数列，则其公比q 等于( )1.A 1.-B 11.-或C2.D答案：C5．设x ，y 为正数，且y a a x ,,,21成等差数列，y b b x ,,,21成等比数列，则21221)(b b a a +的最小值是 答案：4高效作业 技能备考一、选择题1．各项都是正数的等比数列}{n a 中，132,21,a a a 成等差数列，则4354a a a a ++的值为( ) 215.-A 215.+B 251.-c 215215.+-或D 答案：B2．（2011．黄冈模拟）据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是 ( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟答案：C3．数列}{,l a 中，*),.(73N n n a n ∈-=数列}{n b 满足,311=b ,2271≥=-n b b n n （且*),N n ∈若n k n b a log +为常数，则满足条件的k 值( )A ．唯一存在，且为31 B ．唯一存在，且为3 C ．存在，且不唯一 D ．不一定存在 答案：B4．（2011．抚顺模拟）已知数列}{n a 满足.11=+-+n n a a ,.2≥n 点0是平面上不在L 上的任意一点，L 上有不重合的三点A 、B 、C ，又知,20092a a =+则=2010s （ ) 1004.A 2010.B 2009.c 1005.D答案：D5．抛物线1)12()(22++-+=x n x n n y 与x 轴交点分别为*),(,N n B A n n ∈以||n n B A 表示该两点的距离，则+||11B A ||||2010201022B A B A ++ 的值是( ) 20102009.A 20112010.B 20122011.c 20132012.D 答案：B6．(2011．舟山一模)已知数列}{},{n n b a 满足,11=a 且1,+n n a a 是函数n n x b x x f 2)(2+-=的两个零点，则10b 等于 ( )24.A 32.B 48.c 64.D答案：D二、填空题7．已知等比数列}{n a 中，,132=>a a 则使不等式+-)1(11a a +-)1(22a a +-)1(33a a 0)1(≥-+nn a a 成立的最大自然数n 是 答案：58．已知函数,tan sin )(x x x f +=项数为27的等差数列}{n a 满足),2,2(ππ-∈n a 且公差,0=/d 若 +++...)()(21a f a f ,0)(27=a f 则当=k 时，.0)(=k a f答案：149．(2011．银川模拟)在各项均为正数的数列}{n a 中，n s 为前n 项和，1221)1(++++=n n n n a a a n na 且,3π=a 则=4tan S 答案：3三、解答题10.（2011．湖南高考）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75℅(1)求第n 年初M 的价值n 。
数列求和的七种基本方法甘志国部分内容(已发表于数理天地(高中)，2014(11) : 14-15)数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法.1运用公式法很多数列的前n项和S n的求法，就是套等差、等比数列S n的公式，因此以下常用公式应当熟记:L 1123n n(n21) 135L(2n1) n2 1222L2n1 2n1111L 11122232n2还要记住一些正整数的幕和公式：2 2 2 2 11 2 3 n n(n 1)( 2n 1)6小3 小3 3 1 2 “八21 2 3 n n (n 1)4例1已知数列｛a n｝的前n项和S n32n n2，求数列｛a n｝的前n项和T n.(1) 所以2由S n 32n n ,可得a n16 时,T n=S n17时，T nT n求S n 133 2n, a n 0 16，所以:32na1(a1S]62S162n32n2na2a2(S nS n32nn232n2 (n 1)a na®S6)5125123 (n 2)(ai7 a18 a n)(n(n1,2,L17,且n N ),16)k(n 1 k) k(n 1) k2，本题即求数列｛a/的前n项和.解设a kS n (12 3 n)(n 1) (1222 32 n 2)11n(n 1) (n 1) n(n 1)(2n 1) 2 6 1：n(n 1)(n 2) 6答案：S n n 2.答案：S n n 3n .(1)求 a n ； ⑵设b h log 3a n ，求数列｛bj 的前n 项和S n .答案：（1）2n 1n na n 3； (2) S n2. 咼考题4 （2014年高考重庆卷文科第 16题）已知a n 是首项为1,公差为2的等差数列，S n 表示a n 的前n 项和.(1)求 a n 及 S n ；2（2）设b n 是首项为2的等比数列，公比 q 满足q @4 1）q S 4 0，求b n 的通 项公式及其前n 项和T n .答案：（1） a n 2n 1,S n n 2； （2） b n 22n1,T n 2（4n 1）.32倒序相加法事实上，等差数列的前 n 项和S n 的公式推导方法就是倒序相加法•例3 求正整数 m 与n （m n ）之间的分母为3的所有既约分数的和 S . 解显然，这些既约分数为：1 24 4 2 1 m ,m ,m , ,n ,n ,n 33 3 3 33高考题1 （2014年高考浙江卷文科第19题（部分））求数列2n 1的前n 项和S n .高考题2 （2014年高考四川卷理科第19题（部分））求数列2n 4的前n 项和S n .咼考题3（2014年咼考福建卷文科第 17题）在等比数列｛a n ｝中，a 2 3,a 5 81.3裂项相消法a 1 10， a 2为整数，且5 S 4. (1)求｛a n ｝的通项公式；有12442S (m 3)(m 3)(m3 (n3)(n(n也有S (n2(n才4(n3)4(m 3)(m 1) (m所以2S (mn) 2(n m) 2(n 2 2m ),S 2nm2例4设f (x)4x 4x，求和2120022 f3 L f 20012002 2002 2002解可先证得f (x)f(1 x) 1，由此结论用倒序相加法可求得答案为2001 2 例5若｛a n ｝是各项均不为0的等差数列,1 11n求证：a 〔a 2 a ?a 3a n a n 1a 1a n 1证明 设等差数列 ｛a n ｝的公差为d :1 1和―a 〔 a ? a ? a 3a n a n 11 1 1 1 1 1 1— (- ) (- ) ( d a 1 a 2 a 2 a 3 a n a n1 1 11 ndnd a 1a n 1da 1 a n 1a 1 a n 11 T T 12 12L1—2(nN 且n 2)1 23n证明1121-2n1 (n 1) n高考题5(2014年高考全国大纲卷理科第18题)等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知要证结论显然成立; 0,得若 d1 11证明-)1 a na n 1a n a n 122 2⑵设b n ，求数列｛b n ｝的前n 项和T n . a n a n 1答案：⑴a n 13 3n ；⑵S n10(10 3n)高考题6 (2014年高考广东卷文科第 19题)设各项均为正数的数列 a n 的前n 项和为S n ，且 S n 满足 S ；n 2 n 3 6 3n 2 0,n N • (1)求a i 的值; ⑵求数列a n 的通项公式; (3)证明：对一切正整数 n ,有 答案： (1) a 1 2；ag 1) a2@ 1) 1a n (a n 1) ⑵a n 2n ； (3)当 n 1时， 可得欲证成立.当n 2时， 1 a n (a n 1)1 2n (2 n 1) (2n 1)(2 n 1) 2n 1 2n 1 1 1 ，再用裂项相消法可得欲高考题 7 (2014年高考山东卷理科第 19题)已知等差数列｛a n ｝的公差为2，前n 项和 为& ,且S 1，S 2，S 4成等比数列.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式; ⑵令b n =( 1)n1^J,求数列｛b n ｝的前n 项和人. a n an 1 答案：(1) a n2n ，T n 2n 22n 1 2n2n 1 n 为奇数n 为偶数 4分组求和法 例9求S n解设a n，得 a n所以本题即求数列2 丄 的前n 项和:2的前n 项和T n .a 12解在S na n 1中，令n 1可求得a 11 .2还可得4S n2(a n 1),4S n 1(a n 11)2相减，得4a n 12 2a n 1a n2a n 12a n(a n 1a n )(a n 1 an2) 0a n 1 a na n 2n 1当n 为奇数时，T n T n1 b n 虫」『(用以上结论) 2 2总之，T n ( 1广P 卫. 2(1) 求数列a n 和b n 的通项公式;⑵求数列b n 的前n 项和.S n 2 n 1 - - L2 42n a n2n 22n例10设数列｛a n ｝的前n 项和S n 满足S na n，又b n(1)n S n ，求数列｛b n ｝所以｛a n ｝是首项为 1公差为2的等差数列，得所以S na n 122n 2,b n(1)n当n 为偶数时，T n ( 1222) ( 32 42)[(n 1)2 n 2] 3 7 11(2n 1)n(n 1)2高考题8(2014年高考北京卷文科第15题)已知a n 是等差数列，满足 a 1 3，a 4 12，数列b n 满足bi 4，b 4 20，且b n a n 是等比数列3答案：⑴a n=3n,d=3n 2n 1；(2) n(n 1) 2n 1.2高考题9 (2014年高考山东卷文科第19题)在等差数列｛a n｝中，已知公差d 2 , a2是a1与a4的等比中项•(1) 求数列｛a n｝的通项公式；⑵设b n an(n 1)，记T n2bi b2 b3b4 …(1)n b n ,求Tn . (n 1)2n为奇数答案：⑴a n 2n , T n2n(n 1)2n为偶数咼考题10(2014年高考浙江卷理科第19题(部分))求数列2n-1-的前n项n(n 1)和S n.答案：2n1—2.n 15错位相减法高考题11 (2014年高考江西卷理科第17题)已知首项都是1的两个数列a n , b n (b n 0, n M)满足a n b n 1 a n 1b n 2b n 1b n 0.a“(1)令C n —，求数列C n的通项公式；b n(2)若b n3n 1，求数列a n的前n项和S n.解(1) c n2n 1.⑵得a n b n C n (2n1)3n1.先写出S n的勺表达式:S n 11331 5 32733(2n1) 3n1①把此式两边都乘以公比3, 得3S n1 31332 5 33(2n3)3n1(2n1)3n②①-②，得2S n 1231 2 32 2 3323n 1(2n1)3n③2S n(2 302312 32 23323n 1)(2n1)3n 1④由等比数列的前n项和公式，得2S n3n 1 (2n 1) 3n 12S n3n 1 (2n 1) 3n 1 (2n 2) 3n 2 ⑤S n (n 1) 3n1因为此解答确实步骤多，且有三步容易出错：（1）等式③右边前n项的符号都是“ +”，但最后一项是“一”；（2）当等式③右边的前n项不组成等比数列时，须把第一项作微调，变成等比数列（即等式④），这增加了难度；（3）等式⑤中最后一步的变形（即合并）有难度•但这种方法（即错位相减法）又是基本方法且程序法，所以备受命题专家的青睐，在高考试卷中频频出现就不足为怪了•考生在复习备考中，应彻底弄清、完全掌握，争取拿到满分这里笔者再给出一个小技巧一一检验：算得了S n的表达式后，一定要抽出万忙的时间检验一下确，一般来说就可以确定算对了，否则就算错了，需要检查或重算•1S 1 1 1,S2 S1 3 3 10，所以求出的答案正确2a2,a4是方程x 5x 6 0的根.（1）求a n的通项公式;⑵求数列色的前n项和•2n1答案：(1) a n— n 1.2a1 1, na n 1(n1)a n n(n 1),n N*.（1）证明：数列O n.是等差数列；n⑵设b n3n \ a n，求数列｛b n｝的前n项和S n答案：⑴略•S, 5是否正确，若它们均正（重点是检查容易出错的三点对于本题，已经算出了S n (n 1) 3n1，所以S1 1,S2 10.而由通项公式可知高考题12 （2014年高考课标全国卷I文科第17题）已知a n是递增的等差数列,（2）用错位相减法可求得答案为2n1高考题13(2014 年高考安徽卷文科第18题）数列｛a n｝满足62，点@8,4^)在函数f (x)的图象上，求数列｛a n｝的前n项和S n ；1，函数f (x)的图象在点(a2，d)处的切线在x轴上的截距为2 1，求数In 2an的前n项和T n.b n⑵由(1)可求得a n n2，所以b n 3n n，再用错位相减法可求得高考题14 (2014年高考四川卷文科第19题)设等差数列｛a n｝的公差为d，点(a n , b n )在函数f(x) 2x的图象上(n N*).(1) 证明：数列｛b n｝为等比数列;⑵若印1，函数f (x)的图象在点(a2,d)处的切线在x轴上的截距为2—，求数ln 2列何嶄｝的前n项和S n.答案：(1)略.⑵可求得a n n,b n 2n，所以a n b；n 4n，再用错位相减法可求得n 1& (3n 1) 4 4高考题15 (2014年高考四川卷理科第19题)设等差数列｛a n｝的公差为d，点(a n,b n)在函数f (x)x2的图象上(n N*).答案：(1) Sn= n23n.T n⑵可求得a na nn,bn2n，所以b n歹，再用错位相减法可求得答案为n 22〒待定系数法例11数列｛(2n 1)3n｝的前n项和S n解设等差数列｛a m｝的公差为d，等比数列｛b m｝的公比为q(q 1)，得6七、求导法、积分法 例13（1）求证:m 1a mb m [a 1 (m 1)d] bq (m 1,2,L ,n)S n佝 d)q （印 2d)q 2 L［印(n1)d]q n qS n bi{ag⑻ d)q 2 L [a 1 (n 2)d]q'(1 q)S n bg dq dq 2 1 L dq n 1[a 1 (n 1)d]q n }d{(d dqdq 2 L dq n 1) ［印(n 1)d]q n= b db1.dq n [a 1 (n 1)d ]q n a 1 d1 qq1 cdn a ddna 1 d1 1qbq等比数列（其公比q1），且a i ,d 均是与n 无关的常数,则数列｛a m b m ｝的前n 项和S n （an b ）q nb ，其中 a,b 是与n 无关的常数•由此结论就可以用待定系数法快速求解本题: 可设S n(an b) 3n b (其中a,b 是常数).可得S 3,S 23 27 30，所以3(a b) 9(2a b)b 3，解得b 30a 3，所以b 3S n (n 1)3n 13.例12求和 S nnn 1n2+2 2+3 22+L +(n 1) 22 + n 2.+211 1 丄+3丄22+ L +n用待定系数法可求出该等式的右边为 1 ,所以S n2n 2 2n4.1)；⑵求证：1 2x3x 2nnx[(x⑶求数列（2n 1) 3n的前n 项和 S n （此即例6）.先用错位相减法求数列｛a m b m ｝的前n 项和S n :na i d} 所以有下面的结论成立: 若｛a m ｝,｛b m ｝分别是等差数列、d q 11} 1n[a 1 (n 1)d]q }解(1)当x 0时，显然成立•当x 0时，由等比数列的前 n 项和公式知，欲证结论也成立.(2) 视(1)的结论为两个函数相等，两边求导后即得欲证成立 (3) (2n 1) 3n =6(n 3n 1) 3n .3n 1的前n 项和为(2n°3一1 ;又数列3n(2)对于整数n 3，求证:n1 n k 2n1 1Cnk 01 k n 1答案：(1)在已知等式两边对⑵(i) 在结论(1)中令xx 求导后移项可得欲证.1可证.n即 (1)k (k 2 k)Cn 0，再由结论(i)得结论(ii)成立.k 1(iii) 在已知等式两边在［0,1］上对x 积分后可得欲证(ii) 由已知等式两边对 x 求导后再求导，又令 x 1，得k(k 1)c k ( 1)k2由⑵的结论中令x 3，得数列前n 项和为33.所以数列(2n21) 3n的前n 项和为高考题16 的两边对(sin 2x) 2 S n 6 3宁(n 1) 23n 1 3(2008年高考江苏卷第23题)请先阅读：在等式 导，得(cos2x) (2cos x1) 4cosx (sinx)，化简后得等式sin2x (1)利用上题的想法 (或其他方法 )，试由等式(1 x)n整数n 2)证明：n ［(1x)n11]nk k 1 kC nx2cos2x 2cos x 1(x .由求导法则，2sin xcosx .C0 C ；x C 2x 2C ：x n (xR,(i)n(1)k kC ：k 1(ii)n(1)k k 2Cnk 1(iii)。
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2014年广东，文1，5分】已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,5N =，则M N =（ ）（A ）{}0,2 （B ）{}2,3 （C ）{}3,4 （D ）{}3,5 【答案】B 【解析】{}2,3MN =，故选B ．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． （2）【2014年广东，文2，5分】已知复数z 满足(34i)25z -=，则z =（ ）（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + 【答案】D【解析】2525(34i)25(34i)=34i 34i (34i)(34i)25z ++===+--+，故选D ．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题． （3）【2014年广东，文3，5分】已知向量(1,2)a =，(3,1)b =，则b a -=（ ）（A ）(2,1)- （B ）(2,1)- （C ）(2,0) （D ）(4,3) 【答案】B【解析】()2,1b a -=-，故选B ．【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．（4）【2014年广东，文4，5分】若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于（ ）（A ）7 （B ）8 （C ）10 （D ）11 【答案】C 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由2z x y =+，得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+， 由图象可知当直线2y x z =-+经过点()4,2B 时，直线2y x z =-+的截距最大，此时z 最大，此时24210z ==⨯+=，故选C ． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． （5）【2014年广东，文5，5分】下列函数为奇函数的是（ ）（A ）122x x - （B ）3sin x x （C ）2cos 1x + （D ）22x x +【答案】A【解析】对于函数()122x x f x =-，()()112222x x x x f x f x ---=-=-=-，故此函数为奇函数；对于函数()3sin f x x x =，()()()()33sin sin f x x x x x f x -=--==，故此函数为偶函数；对于函数()2cos 1f x x =+，()()()2cos 12cos 1f x x x f x -=-+=+=，故此函数为偶函数；对于函数()22x f x x =+，()()()2222x x f x x x f x ---=-+=+≠-，同时()()f x f x -=≠故此函数为非奇非偶函数，故选A ．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．（6）【2014年广东，文6，5分】为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）（A ）50 （B ）40 （C ）25 （D ）20 【答案】C【解析】∵从1000名学生中抽取40个样本，∴样本数据间隔为1000÷40=25，故选C ． 【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础． （7）【2014年广东，文7，5分】在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，则“a b ≤”是“sin sin A B ≤”的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件 【答案】A【解析】由正弦定理可知sin sin a bA B=，∵ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，∴a ，b ，sin A ，sin B 都是正数，sin sin a b A B ≤⇔≤．∴“a b ≤”是“sin sin A B ≤”的充分必要条件，故选A ．【点评】本题考查三角形中，角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用，基本知识的考查．（8）【2014年广东，文8，5分】若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k-=-与曲线221165x y k -=-的（ ） （A ）实半轴长相等 （B ）虚半轴长相等 （C ）离心率相等 （D ）焦距相等 【答案】D【解析】当05k <<，则055k <-<，111616k <-<，即曲线221165x y k-=-表示焦点在x 轴上的双曲线，其中216a =，25b k =-，221c k =-，曲线221165x y k -=-表示焦点在x 轴上的双曲线，其中216a k =-，25b =，221c k =-，即两个双曲线的焦距相等，故选D ．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a ，b ，c 是解决本题的关键． （9）【2014年广东，文9，5分】若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,//,l l l l l l ⊥⊥，则下列结论一定正确的是（ ）（A ）14l l ⊥ （B ）14//l l （C ）1l 与4l 既不垂直也不平行 （D ）1l 与4l 的位置关系不确定 【答案】D【解析】在正方体中，若AB 所在的直线为2l ，CD 所在的直线为3l ，AE 所在的直线为1l ， 若GD 所在的直线为4l ，此时14//l l ，若BD 所在的直线为4l ，此时14l l ⊥，故1l 与4l 的位 置关系不确定，故选D ．【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断，比较基础．（10）【2014年广东，文10，5分】对任意复数12,ωω，定义1212*ωωωω=，其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z ，有如下四个命题： ①1231323()()()z z z z z z z +=**+*②1231213()()()z z z z z z z +=**+*； ③123123()()z z z z z z *=***④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B【解析】①12312313231323()()()()()()z z z z z z z z z z z z z z +++*===*+*，正确；②12312312312131213()()()()()()()z z z z z z z z z z z z z z z z z +=+=+=+=**+*，正确；③123123123123123(),()()(),z z z z z z z z z z z z z z z ===≠左边=*=右边*左边右边，等式不成立，故错误；④12122121,,z z z z z z z z ==≠左边=*右边=*左边右边，等式不成立，故错误； 综上所述，真命题的个数是2个，故选B ．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了复数的运算性质，细心运算即可，属于基础题． 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11~13） （11）【2014年广东，文11，5分】曲线53x y e =-+在点()0,2-处的切线方程为 ． 【答案】520x y ++= 【解析】'5x y e =-，'5x y =∴=-，因此所求的切线方程为：25y x +=-，即520x y ++=．【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程，属于基础题． （12）【2014年广东，文12，5分】从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为 ．【答案】25【解析】142542105C P C ===．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．（13）【2014年广东，文13，5分】等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =， 则2122232425log log log log log a a a a a ++++= ． 【答案】5【解析】设2122232425log log log log log S a a a a a =++++，则2524232221log log log log log S a a a a a =++++，215225log ()5log 410S a a ∴===，5S ∴=．【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易． （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） （14）【2014年广东，文14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos =1ρθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】(1,2)【解析】由22cos sin ρθθ=得22cos =sin ρθρθ（），故1C 的直角坐标系方程为：22y x =，2C 的直角坐标系方程为：1x =，12,C C ∴交点的直角坐标为(1,2)．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题． （15）【2014年广东，文15，5分】（几何证明选讲选做题）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上，且2EB AE =，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆=∆的周长的周长． 【答案】3【解析】由于CDF AEF ∆∆∽，3CDF CD EB AEAEF AE AE∆+∴===∆的周长的周长．【点评】本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）【2014年广东，文16，12分】已知函数()sin ,3f x A x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且512f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）求A 的值；（2）若()()0,2f f πθθθ⎛⎫--=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．解：（1）553()sin()sin 121234f A A ππππ=+==3A ∴．（2）由（1）得：()3sin()3f x x π=+，()()3sin()3sin()33f f ππθθθθ∴--=+--+3(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )6sin cos 3sin 3333πππππθθθθθθ=+--+-===sin 0,2πθθ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，cos θ∴==()3sin()3sin()3cos 36632f ππππθθθθ∴-=-+=-==【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查． （17）【2014年广东，文17，12分】某车间20名工人年龄数据如下表：（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3）求这20名工人年龄的方差． 解：（1）这这20名工人年龄的众数为30，极差为40﹣19=21．（2）茎叶图如下： （3）年龄的平均数为：(1928329330531432340)3020+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=，这20名工人年龄的方差为：2222222111(11)3(2)3(1)50413210(121123412100)25212.6202020⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+=+++++=⨯=⎣⎦【点评】本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题． （18）【2014年广东，文18，14分】如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ABCD ⊥平面，1,2AB BC PC ===，做如图2折叠：折痕//EF DC ，其中点,E F 分别在线段,PD PC 上，沿EF 折叠后，点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF CF ⊥． （1）证明：CF MDF ⊥平面； （2）求三棱锥M CDE -的体积． 解：（1）PD ⊥平面ABCD ，PD PCD ⊂，∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，MD ⊂平面ABCD ，MD CD ⊥，MD ∴⊥平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，CF MD ∴⊥，又 CF MF ⊥，MD ，MF ⊂平面MDF ，MD MF M =，CF ∴⊥平面MDF ．（2）CF ⊥平面MDF ，CF DF ∴⊥，又易知060PCD ∠=，030CDF ∴∠=，从而11==22CF CD ，EF DC ∥，DE CFDP CP ∴=122，DE ∴=，PE ∴=12CDE S CD DE ∆=⋅=，2MD ===，1133M CDE CDE V S MD -∆∴=⋅== 【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题．（19）【2014年广东，文19，14分】设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足222(3)3()0,n n S n n S n n n N *-+--+=∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有()()()112211111113n n a a a a a a +++<+++．解：（1）令1n =得：211(1)320S S ---⨯=，即21160S S +-=，11(3)(2)0S S ∴+-=，10S >，12S ∴=，即12a =．（2）由222(3)3()0nn S n n S n n -+--+=，得：2(3)()0n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，0()n a n N *>∈，0n S ∴>，从而30n S +>，2n S n n ∴=+，∴当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦，又1221a ==⨯，2()n a n n N *∴=∈． （3）当k N *∈时，22313()()221644k k k k k k +>+-=-+， 111111111111131111(1)2(21)4444()()()(1)()(1)2444444k k a a k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥∴==⋅<⋅=⋅=⋅-⎢⎥++⎡⎤⎢⎥+-+-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦11221111111111()()111111(1)(1)(1)41223(1)444444n n a a a a a a n n ⎡⎤⎢⎥∴+++<-+-++-⎢⎥+++⎢⎥-----+-⎣⎦1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0111111()11434331(1)44n n =-=-<+-+-． 【点评】本题考查了数列的通项与前n 项和的关系、裂项求和法，还用到了放缩法，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．（20）【2014年广东，文20，14分】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：（1）cc e a ===3a ∴=，222954b a c =-=-=，∴椭圆C 的标准方程为：22194x y +=． （2）若一切线垂直x 轴，则另一切线垂直于y 轴，则这样的点P 共4个，它们坐标分别为(3,2)-±，(3,2)±．若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为00()y y k x x -=-，即00()y k x x y =-+，将之代入椭圆方程22194x y +=中并整理得：2220000(94)18()9()40k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦，依题意，0∆=， 即22220000(18)()36()4(94)0k y kx y kx k ⎡⎤----+=⎣⎦，即22004()4(94)0y kx k --+=， 2220000(9)240x k x y k y ∴--+-=，两切线相互垂直，121k k ∴=-，即2020419y x -=--，220013x y ∴+=， 显然(3,2)-±，(3,2)±这四点也满足以上方程，∴点P 的轨迹方程为2213x y +=．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y 关系．（21）【2014年广东，文21，14分】已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()=()2f x f ．解：（1）'2()2f x x x a =++，方程220x x a ++=的判别式：44a ∆=-，∴当1a ≥时，0∆≤，'()0f x ∴≥，此时()f x 在(,)-∞+∞上为增函数．当1a <时，方程220x xa ++=的两根为1-(,1x ∈-∞-时，'()0f x >，∴此时()f x为增函数，当(11x ∈--，'()0f x <，此时()f x 为减函数，当(1)x ∈-+∞时，'()0f x >，此时()f x 为增函数，综上，1a ≥时，()f x 在(,)-∞+∞上为增函数，当1a <时，()f x 的单调增函数区间为(,1-∞-，(1)-++∞，()f x的单调递减区间为(11---．（2）3232332200000001111111111()()1()()()1()()()2332223222f x f x x ax a x x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=+++-+++=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦200011()(414712)122x x x a =-+++∴若存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()()2f x f =， 必须2004147120x x a +++=在11(0,)(,1)2上有解．0a <，21416(712)4(2148)0a a ∴∆=-+=->，00x >，0x ∴ 01<，即711<，492148121a ∴<-<，即2571212a -<<-，12，得54a =-，故欲使满足题意的0x 存在，则54a ≠-，∴当25557(,)(,)124412a ∈----时，存在唯一的011(0,)(,1)22x ∈满足01()()2f x f =．当2575(,][,0)12124a ⎧⎫∈-∞---⎨⎬⎩⎭时，不存在011(0,)(,1)22x ∈使01()()2f x f =．【点评】（1）求含参数的函数的单调区间时，导函数的符号往往难以确定，如果受到参数的影响，应对参数进行讨论，讨论的标准要根据导函数解析式的特征而定．如本题中导函数为一元二次函数，就有必要考虑对应方程中的判别式△．（2）对于存在性问题，一般先假设所判断的问题成立，再由假设去推导，若求得符合题意的结果，则存在；若得出矛盾，则不存在．。
2014年三校生高考数学试题出题方向解析一、2014年考纲解读通过对比，我们发现2014年考纲要求与2013年和2012年考纲要求没有重大的变化。
考试注重考查基础知识、基本技能和思维能力、运算能力、空间想象能力以及分析问题和解根据此能力考查要求将2013年考题做了下归类，发现各个能力考查的占比如上表最后一列所示。
因有些考查思维能力运算能力空间想象能力的题目中蕴含了基础知识基本技能的考查，其考查基础知识、基本技能和思维能力、运算能力、空间想象能力的界限无法明确，不能界定各部分确切的分值，统计时均按思维能力、运算能力、空间想象能力计分，故产生基础知识和基本技能考查较思维能力、运算能力、空间想象能力分值少，试题较考纲难度大的假象。
今年的考纲占比亦是如此，故推测今年的各部分考查试题对应的占比分布与2013年试题对应分值分布相似。
因考试试卷按由易到难的顺序出题，故基础知识、基本技能大多对应简单题，故主要分布在填空题第1-5题，选择题第1-2题，计算题第1-2题，综合性计算题（计算题最后两题）的第一小问等位置中。
思维能力、运算能力、空间想象能力大多对应中等题，故主要分布在填空题第6-10题，选择题第3题，计算题第3-4题，综合性计算题第二小问等位置中。
分析问题和解决问题的能力大多对应较难题，故主要分布在填空题第11-12题，选择题第4题，综合性计算题第三问等位置中。
二、2013年考题解析如下表所示：上表讲2013年三校生高考数学考题进行了分类。
大题与考纲要求吻合，考纲中重点提到了立体几何占10%2013年考试进行分析，可以看出出题内容与考纲一致，估计今年的考查分值比例亦是如此。
汇总统计出难易题目如下：从上表可知，今年考题的难易程度亦如考纲要求。
三、高考出题重点章节解析以上重要性是根据分值而定，分值1-5分为较重要，分值10分以上表示非常重要，从上表中可推测今年的考试非常重要的考点为3.函数；5三角函数、加法定理和解三角形；6立体几何；7平面解析几何；10数列这5大章内容。
2014年高考试题及答案2014年高考是中国教育史上一个重要的年份，也是每一位参加高考的考生和家长们关注的焦点。
本文将为您提供2014年高考试题及答案，以便了解当年高考的难度和趋势。
一、语文试题及答案1. 阅读理解题目：阅读下面的文字，完成后面的要求。
某校的培训中心开设了英语口语课，课程由外籍教师教授。
请你根据下列要点，给外籍教师Mr. Smith写一封信。
1）表达对英语口语课程的兴趣；2）介绍自己；3）询问课程的时间、地点等具体信息；4）期望获得积极的回复。
请按要求完成信件。
解答例：Dear Mr. Smith,I am writing to express my great interest in participating in the English oral class held in your training center. I believe that by attending this course, I will greatly improve my spoken English.Allow me to introduce myself. My name is Li Hua, a 17-year-old high school student from Beijing. I have been studying English for over eight years and have always struggled with my speaking skills. I have heard about your excellent reputation as an English teacher and your ability to make language learning fun and effective, which is why I am hoping to join your class.Could you please provide some specific information about the course? I am curious to know the exact dates and times of the classes, as well as the location of the training center. Additionally, it would be helpful if you could let me know the duration of each class and any materials or textbooks required.I sincerely hope that you can respond to my request and provide me with the information I need. Thank you very much for your attention, and I look forward to hearing from you soon.Yours sincerely,Li Hua2. 改错题题目：下面句子中有五个单词划有横线，请找出并改正错误。
