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中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析双等腰直角三角形问题前解法分析一个等腰直角三角形绕另一等腰直角三角形旋转，形成以双等腰直角三角形为背景的数学问题，在近年各地中考试卷中大量出现.本文拟通过对不同类型的双等腰直角三角形问题的剖析，找到某些共性，以达到帮助大家提高解题题能力的目的.一、共直角顶点的两个等腰直角三角形例1.如图1,已知ACB ?和ECD ?都是等腰直角三角形，90,ACB ECD D ∠=∠=°为AB 边上一点.(1)求证: ACE BCD ;(2)求证: 2222CD AD DB =+.分析当两等腰直角三角形绕着公共的直角顶点进行旋转时，必会出现全等三角形，此题第(1)问运用“通性”直接证明全等.第(2)问借助第(1)问的结论，利用等腰直角三角形两锐角互余，以及勾股定理，证明等式成立.注意到等腰三角形中的两腰相等，则旋转使两腰重合往往是解题中常用的途径之一.例2.如图2，在四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AB CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连结,,,AG BG CG DG ，且AGD BGC ∠=∠.(1)求证: AD BC =;(2)求证: AGD EGF ??:;(3)如图3，若,AD BC 所在直线互相垂直，求AD EF的值.分析初看此题是一组对边相等的四边形问题，可仔细分析条件可以发现，DGC ?和AGB ?均为等腰三角形，当四边形ABCD 中AD BC ⊥时，两等腰三角形即变为等腰直角三角形，题中三个问题层次分明，逐级递进.第(1)问利用垂直平分线性质直接证全等;第(2)问利用顶用相等的两等腰三角形相似得到对应边成比例，再借用夹角相等证相似;第(3)问通过对四边形中相等的一组对边特殊化，形成两等腰直角三角形，把两条线段的比转化为等腰直角三角形中斜边与直角边的比.虽然通过中点，转化的方法较多(相似、中位线、中位倍长构全等)，但本质上均需要构造等腰直角三角形.二、共底角顶点的两个等腰直角三角形例3.如图4, ,A B 分别在射线,OM ON 上，且MON ∠为钝角，现以线段,OA OB 为斜边向MON ∠外侧作等腰直角三角形，分别是,OAP OBQ ??，点,,C D E 分别是,,OA OB AB 的中点.(1)求证: PCE EDQ ;(2)延长,PC QD 交于点R .①如图5，若150MON ∠=°，求证:ABR ?为等边三角形;②如图6，若ARB PEQ ??:，求MON ∠的大小和AB PQ的值.分析本题中两等腰直角三角形OAP ?与OBQ ?中的一底角顶点O 重合，通过OAP ?绕点O 旋转来设计相关问题.第(1)问利用三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线结合平行四边形性质证明全等(边角边).第(2)①问从对称的角度，通过添加辅助线(连结OC )过度，利用线段中垂线证线段相等;第(2)②问，需要对(2)①问逆向思考，通过证PE EQ ⊥这一中间环节，得出PEQ ?与ARB ?为等腰直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质与等腰直角三角形三边关系求出两线段的比值.值得注意的是，此题与例2图形相近，解法相近，考查的核心知识点相近.例4.已知两个共顶点的等腰三角形Rt ABC ?和Rt CEF ?,90ABC CEF ∠=∠=°，连结,AF M 是AF 的中点，连结,MB ME .(1)如图7，当CB 与CE 在同一直线上时，求证: //MB CF ;(2)如图7，若,2CB a CE a ==，求BM ,ME 的长;(3)如图8，当45BCE ∠=°时，求证: BM ME =.分析两个共底角顶点的双等腰直角三角形中，当两腰在一条直线上时，另两腰必平行.第(1)问利用这个性质结合M 点为中点直接证全等;(2)问在(1)问的基础上，证明BEM ?为等腰直角三角形;第(3)问研究在CEF ?绕点C 旋转45°时，BME ?的形状问题.图形形状发生了改变，但结论不变，方法不变，仍可借助中点构造等腰直角三角形，利用中位线性质进行转化证明.三、一直角顶点和一底角顶点重合的两个等腰直角三角形例5.如图9，在Rt ABC ?中，90,BAC AB AD ∠=°=，点D 是AC 的中点，将一块等腰直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与,A D 重合，连结,BE EC .试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想.分析等腰直角ADE ?的底角顶点A 与等腰直角ABD ?的直角顶点A 重合，借助BAE EDC 证明BEC ?为等腰直角三角形.相当于共直角顶点等腰三角形ADE ?与BEC ?旋转问题的逆问题.例6 如图10 , ABC ?和ACD ?是两个等腰直角三角形，90ACB ADC ∠=∠=°，延长DA 至点E ，使AE AD =，连结,,EB EC BD .(1)求证: BDA BEA ;(2)若BC =BE 的长.分析本题中一等腰直角三角形的直角边与另一等腰直角三角形的斜边重合，此种情况下一等腰直角三角形的斜边必与另一等腰直角三角形一直角边垂直.第(1)问即在此基础上通过“三线合一”构造等腰三角形;第(2)问是根据等腰直角三角形的边角特征，借助勾股定理求线段长.四、一直角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例7如图11，在等腰直角ABC ?中，90,ACB CO AB ∠=°⊥于点O ，点,D E 分别在边,AC BC 上，且AD CE =,连结DE 交CO 于点P ，给出以上结论:①DOE ?是等腰直角三角形;②CDE COE ∠=∠;③1AC =，则四边形CEOD 的面积为14; ④22222AD BE OP DP PE +?=?. 其中所有正确结论正确的序号是 .分析本题表面上看，是一个等腰直角三角形通过作出斜边上的高探究相关结论的问题，实质上是等腰直角DOE ?的直角顶点O 在等腰直角ABC ?斜边中点O 处的结论探究问题.对于选项④利用“四点共圆”，并借助“共角共边的母子”相似三角形，能起到事半攻倍的效果，五、一底角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例8 如图12，等腰直角三角形ABC ?和ODE ?，点O 为BC 中点，90,BAC ODE OD ∠=∠=°交BA 于,M OE 交AC 于N ，试求,,BM NM NA 的关系，并说明理由.分析 DOE ?绕等腰直角ABC ?的底边中点O 旋转，在图12~图14三种情况中，对应的线段和差关系分别是,BM MN NA MN BM NA =+=+.此时DOE ?为等腰直角三角形并不是必备条件，本质上45MON ∠=°才是这一模型的必备条件，其基本的解题途径是，构造共直角顶点的两个等腰直角三角形，通过截长补短解决线段的和差问题.等腰直角三角形底边中点具有独特的性质，以双等腰直角三角形为背景的几何图形，常常具有中点(隐含中点)这一条件，并且图形中常常包含全等三角形，发现其中的全等三角形往往是解题的突破口，而基本的辅助线便是借助中点构造新的等腰直角三角形.。
等腰三角形【知识精读】:（一）等腰三角形的性质:1. 有关定理及其推论：定理：等腰三角形有两边(即两腰)相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
注意必须是在同一个三角形中。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（简称“三线合一”）。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用：等腰三角形的性质定理揭示了三角形中的边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定： 1. 有关的定理及其推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用：等腰三角形的判定定理揭示了三角形中的角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
【分类解析】例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。
第十五讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴。
3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证讨论角时应保证底角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到的距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线：1、性质：角平分线上的点到得距离相等2、判定：到角两边距离相等的【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的集合。
2、用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线及其常见辅助线的画法。
】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法：⑴有一个角是 的三角形是直角三角形⑵有两个角 的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的 这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质应用广泛，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：等腰三角形性质的运用例1 （2016•贵州）如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4…，若∠A=70°，则∠A n 的度数为（ ）A ．702n B ．+1702n C ．-1702n D ．+2702n【考点】等腰三角形的性质．【专题】规律型．【分析】根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B 1A 2A 1，∠B 2A 3A 2及∠B 3A 4A 3的度数，找出规律即可得出∠A n ﹣1A n B n ﹣1的度数．【解答】解：∵在△ABA 1中，∠A=70°，AB=A 1B ，∴∠BA 1A=70°， ∵A 1A 2=A 1B 1，∠BA 1A 是△A 1A 2B 1的外角，∴∠B 1A 2A 1=1ΒΑA 2Ð =35°； 同理可得， ∠B 2A 3A 2=17.5°，∠B 3A 4A 3=12×17.5°=354°，∴∠A n ﹣1A n B n ﹣1=1702n °-． 故选：C ．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠B 1C 2A 1，∠B 2A 3A 2及∠B 3A 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．对应训练A ．45°B ．75°C ．45°或75°D ．60°2.（2016•贺州）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．16或203. （2016•泰安）如图，在△PAB 中，PA=PB ，M ，N ，K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM=BK ，BN=AK ，若∠MKN=44°，则∠P 的度数为（ ）A ．44°B ．66°C ．88°D ．92°4.（2016•邵阳）如图所示，点D 是△ABC 的边AC 上一点（不含端点），AD=BD ，则下列结论正确的是（ ）A ．AC ＞BCB ．AC=BC C ．∠A ＞∠ABCD ．∠A=∠ABC例2 （2016•宜昌）任意一条线段EF ，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH 、HF 、FG ，GE ，则下列结论中，不一定正确的是（ ）A ．△EGH 为等腰三角形B ．△EGF 为等边三角形C ．四边形EGFH 为菱形D ．△EHF 为等腰三角形【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．【分析】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可．【解答】解：A 、正确．∵EG=EH ，∴△EGH 是等边三角形． B 、错误．∵EG=GF ，∴△EFG 是等腰三角形，若△EFG 是等边三角形，则EF=EG ，显然不可能．C 、正确．∵EG=EH=HF=FG ，∴四边形EHFG 是菱形．D 、正确．∵EH=FH ，∴△EFH 是等边三角形．故选B ．【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质、作图﹣基本作图、等腰三角形的定义等知识，解题的关键是灵活一一这些知识解决问题，属于中考常考题型．对应训练5．（2016•威海）如图，在△ABC 中，∠B =∠C =36°，AB 的垂直平分线交BC于点D ，交AB 于点H ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，交AC 于点G ，连接AD ，AE ，则下列结论错误的是（ ）A ．BD BC = B ．AD ，AE 将∠BAC 三等分C ．△ABE ≌△ACD D ．S △ADH =S △CEG6.如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连结BF 交AC 于点M ，连结DE 、BO ．若∠COB =60°，FO =FC ，则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②△EOB ≌△CMB ；③DE =EF ；④S △AOE ：S △BCM =2：3．其中正确结论的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个7.（2016•泰安）如图，矩形ABCD 中，已知AB=6，BC=8，BD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BC 于点F ，则△BOF 的面积为 ．考点三：角平分线的性质例3 （2016•淮安）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于21MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD=4，AB=15，则△ABD 的面积是（ ）A ．15B ．30C ．45D ．60【考点】角平分线的性质．【分析】判断出AP 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：由题意得AP 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB 于E ，又∵∠C=90°，∴DE=CD ，∴△ABD 的面积=21AB•DE=21×15×4=30．故选B ． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．8.（2016•枣庄）如图，△ABC 的面积为6，AC=3，现将△ABC 沿AB 所在直线翻折，使点C 落在直线AD 上的C′处，P 为直线AD 上的一点，则线段BP 的长不可能是（ ）A ．3B ．4C ．5.5D ．10考点四：等边三角形的判定与性质例4 （2016•贵阳）小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm 的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）A ．B ．C ．D ．cm【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质.【分析】作等边三角形任意两条边上的高，交点即为圆心，将等边三角形的边长用含半径的代数式表示出来，列出方程进行即可解决问题．【解答】解：过点A 作BC 边上的垂线交BC 于点D ，过点B 作AC 边上的垂线交AD 于点O ，则O 为圆心．设⊙O 的半径为R ，由等边三角形的性质知：∠OBC=30°，OB=R ．∴BD=cos ∠OBC×R ，．∵BC=12，∴= B 【点评】此题主要考查等边三角形外接圆半径的求法、锐角三角函数，垂径定理等知识，解题的关键是作等边三角形任意两条边上的高，交点即为圆心，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．对应训练9.（2016•百色）如图，正△ABC 的边长为2，过点B 的直线l ⊥AB ，且△ABC 与△A′BC′关于直线l 对称，D 为线段BC′上一动点，则AD+CD 的最小值是（ ）A ．4B ．23C ．32D ．32+10.（2016•无锡）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC 绕点C 顺时针旋转得△A 1B 1C ，当A 1落在AB 边上时，连接B 1B ，取BB 1的中点D ，连接11.（2016•内江）已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）A ．23B ．233C ．23D ．不能确定 12．（2012•湘潭）如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，将△ABC 沿直线BC 向右平移，使B 点与C 点重合，得到△DCE ，连接BD ，交AC 于F ．（1）猜想AC 与BD 的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD 的长．例5 （2016•广州）如图，已知△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD=（ ）A ．3B ．4C ．4.8D ．5【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理．【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，进而得出线段DE 是△ABC 的中位线，再利用勾股定理得出AD ，再利用线段垂直平分线的性质得出DC 的长．【解答】解：∵AB=10，AC=8，BC=6，∴BC 2+AC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AE=EC=4，DE ∥BC ，且线段DE 是△ABC 的中位线，∴DE=3，∴5AD DC ===故选：D ．【点评】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理和三角形中位线的性质，正确得出AD 的长是解题关键．例6（2016•南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（ ）A ．3，4，4B ．3，4，5C ．3，4，6D ．3，4，7【考点】勾股定理的逆定理．【分析】在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可．【解答】解：A 、因为32+42＞42，所以三条线段能组成锐角三角形，不符合题意；B 、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意；C 、因为3+4＞6，且32+42＜62，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意；D 、因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意．故选：C ．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握组成钝角三角形的条件是解题的关键．对应训练13．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）A ．2B ．552C ．55 D ．2114.（2016•毕节市）如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ：EC=2：1，则线段CH 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．615.（2016•株洲）如图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S 1+S 2=S 3图形个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．41. (2016赤峰)等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是()A. 30°，60°B. 45°，45°C. 45°，90°D. 20°，70°2. (2015陕西)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个第2题图第3题图第4题图第5题图3. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 104. (2016河南)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10.DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为()A. 6B. 5C. 4D. 35. 如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE 的度数为()A. 50°B. 51°C. 51.5°D. 52.5°6. (2016杭州)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m<n)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则()A. m2＋2mn＋n2＝0B. m2－2mn＋n2＝0C. m2＋2mn－n2＝0D. m2－2mn－n2＝07. (2016漳州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数．．．，则点D的个数共有()A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个第7题图第9题图第11题图8. (2016安顺)已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对9. (沪科八上P138练习T3改编)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，CD⊥AB 于D，则AD的长为()A. 2 3B. 3C. 3 3D. 310. (2016武汉)平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)，若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是()A. 5B. 6C. 7D. 811. (2016黔东南州)如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于()A. 2B. 3C. 2D. 6△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上第12题图 第13题图 第14题图13. (2016黔南州)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB 边的垂直平分线ED 交AB 于点E ，交BC 于点D ，若CD ＝3，则BD 的长为________．14. (2016资阳)如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，CO ⊥AB 于点O ，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且AD ＝CE ，连接DE 交CO 于点P .给出以下结论：①△DOE 是等腰直角三角形；②∠CDE＝∠COE ；③若AC ＝1，则四边形CEOD 的面积为14； ④AD 2＋BE 2－2OP 2＝2DP ·PE . 其中所有正确结论的序号是________．15. (10分)(2016福州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝5－12，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD .(1)通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系；(2)求∠ABD 的度数．16. (12分)(2016北京)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝AD, M 、N 分别为AC 、CD的中点，连接BM 、MN 、BN .(1)求证：BM ＝MN;(2)若∠BAD ＝60°，AC 平分∠BAD ，AC ＝2，求BN 的长．8. (12分)(2016雅安)已知Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝20，AB ＝10，P 是边AC 上一点(不包括端点A 、C )，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，过点E 作EF ∥AC ，交AB 于点F ，设PC ＝x ，PE ＝y .(1)求y 与x 的函数关系；(2)是否存在点P 使△PEF 是直角三角形，若存在，求此时的x 的值，若不存在，请说明理由．的长是（ ）A 、8B 、7C 、4D 、3 2．（3 分） （2010•江西）如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点，∠BEG=60°．现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片上的点H 处，连接AH ，则与∠BEG 相等的角的个数为（ ） A 、5 B 、3 C 、2 D 、13．（3 分） （2011•江西）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB=30°．有以下四个结论：①AF 丄BC ；②△ADG ≌△ACF ；③O 为BC 的中点；④AG ：DE= ：4，其中正确结论的序号是 ．（错填得0分，少填酌情给分）．4．（3 分） （2012•江西）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（ ）A ． 20°B ． 50°C ． 60°D ． 80°5．（3 分） （2013•江西）如图，正六边形ABCDEF 中，AB=2，点P 是ED 的中点，． ．若∠1=155°，则∠B 的度数为 ．7．（3 分） （2013•江西）平面内有四个点A 、O 、B 、C ，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC 长度为整数的值可以是 ．8．（3 分） 如图，在△ABC 中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将三角形ABC 沿着射线BC 的方向平移2个单位后，得到三角形△A ′B′C ′，连接A ′C ，则△A ′B ′C 的周长为______。
直角三角形----知识讲解（提高）【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL ）及其应用.【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-. （4）勾股数：满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……② 如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.③22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长；④2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点五、互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.要点六、直角三角形全等的判定（HL ）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 称“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.【典型例题】类型一、勾股定理1、已知直角三角形斜边长为2，周长为2+【思路点拨】欲求直角三角形的面积，只需求两直角边之积，而由已知得两直角边之和为4，于是可转化为用方程求解．【答案与解析】解：设这个直角三角形的两直角边长分别为a b 、，则222222a b a b ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩即224a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②将①两边平方，得2226a ab b ++= ③ ③－②，得22ab =，所以1122ab = 因此这个直角三角形的面积为12． 【总结升华】此题通过设间接未知数a b 、，通过变形直接得出12ab 的值，而不需要分别求出a b 、 的值．本题运用了方程思想解决问题．2、（2015春•黔南州期末）长方形纸片ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求DE 的长．【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE ．从而设BE 即可表示AE ．在直角三角形ADE 中，根据勾股定理列方程即可求解．【答案与解析】解：设DE=xcm ，则BE=DE=x ，AE=AB ﹣BE=10﹣x ，△ADE 中，DE 2=AE 2+AD 2，即x 2=（10﹣x ）2+16． ∴x=（cm ）．答：DE 的长为cm.【总结升华】注意此类题中，要能够发现折叠的对应线段相等．类型二、勾股定理的逆定理3、如图所示，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝2，AD ＝CD ＝3，BC ＝5，求∠ADC 的度数．【答案与解析】解：∵ AB ⊥AD ，∴ ∠A ＝90°，在Rt △ABD 中，22222216BD AB AD =+=+=．∴ BD ＝4，∴ 12AB BD =，可知∠ADB ＝30°， 在△BDC 中，22216325BD CD +=+=，22525BC ==，∴ 222BD CD BC +=，∴ ∠BDC ＝90°，∴ ∠ADC ＝∠ADB+∠BDC ＝30°+90°＝120°．【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理． 举一反三：【高清课堂 勾股定理逆定理 例4】【变式1】△ABC 三边a b c ，，满足222338102426a b c a b c +++=++，则△ABC 是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【答案】D ；提示：由题意()()()222512130a b c -+-+-=，51213a b c ===，，，因为222a b c +=，所以△ABC 为直角三角形.【变式2】（2015春•厦门校级期末）在四边形ABCD 中，AB=AD=2，∠A=60°，BC=2，CD=4．求∠ADC 的度数．【答案】解：连接BD ，∵AB=AD=2，∠A=60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD=2，∠ADB=60°， ∵BC=2，CD=4，则BD 2+CD 2=22+42=20，BC 2=（2）2=20， ∴BD 2+CD 2=BC 2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=150°．类型三、勾股定理、逆定理的实际应用4、如图所示，在一棵树的10m 高的B 处有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处，另外一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？【思路点拨】其中一只猴子从B →C →A 共走了(10+20)=30m ，另一只猴子从B →D →A 也共走了30m ，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决．【答案与解析】解：设树高CD 为x ，则BD ＝x －10，AD ＝30－(x －10)＝40－x ，在Rt △ACD 中，22220(40)x x +=-，解得：x ＝15．答：这棵树高15m ．【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC 和DA ，然后利用勾股定理作等量关系列方程求解．举一反三：【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如图②所示，由题意可得：12AA '=，12392A B π'=⨯⨯= 在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理得： 22222129225AB AA A B ''=+=+=则AB ＝15．所以需要爬行的最短路程是15cm ．5、（2015春•武昌区期中）某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1小时后相距20海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案与解析】解：1小时“远航”号的航行距离：OB=16×1=16海里；1小时“海天”号的航行距离：OA=12×1=12海里，因为AB=20海里，所以AB 2=OB 2+OA 2，即202=162+122，所以△OAB 是直角三角形，又因为∠1=45°，所以∠2=45°，故“海天”号沿西北方向航行或东南方向航行．【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．类型四、原命题与逆命题6、下列命题中，逆命题错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．有两对邻角互补的四边形是平行四边形C．平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形【答案】C；【解析】解：A的逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．由平行四边形的判定可知这是真命题；B的逆命题是：平行四边形的两对邻角互补，由平行四边形的性质可知这是真命题；C的逆命题是：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，故是错误的；D的逆命题是：平行四边形的两组对边分别相等地，由平行四边形的性质可知这是真命题；故选C．【总结升华】分别写出每个命题的逆命题，再判断其真假即可．此题主要考查学生对逆命题的定义的理解，要求学生对基础知识牢固掌握．举一反三：【变式】下列命题中，逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．如果两个实数相等，那么它们的平方数相等C．等腰三角形两底角相等D．两个全等三角形的对应角相等【答案】C；解：A的逆命题是：相等的角是对顶角是假命题，故本选项错误，B的逆命题是：如果两实数的平方相等，那么两实数相等是假命题，故本选项错误，C的逆命题是：两底角相等的三角形是等腰三角形是真命题，故本选项正确，D的逆命题是：对角线相等的两个三角形是全都三角形是假命题，故本选项错误，故选C．类型五、直角三角形全等的判定——“HL”7、已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．求证：AD=AE．【思路点拨】证明线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△ADB≌△AEB即可．【答案与解析】 证明：∵AB=AC ，点D 是BC 的中点，∴∠ADB=90°，∵AE ⊥EB ，∴∠E=∠ADB=90°，∵AB 平分∠DAE ，∴∠EAB=∠DAB ；在△ADB 与△AEB 中，90EAB DAB E ADB ABAB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△AEB （AAS ），∴AD=AE ．【总结升华】此题考查线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．8、如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，分别过B 、C 向过A 的直线作垂线，垂足分别为E 、F ．（1）如图①过A 的直线与斜边BC 不相交时，求证：EF=BE+CF ；（2）如图②过A 的直线与斜边BC 相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE 长．【答案与解析】（1）证明：∵BE ⊥EA ，CF ⊥AF ，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠EBA ，在△ABE 和△CAF 中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF ，AB=AC ，∴△ABE ≌△CAF ．∴EA=FC ，BE=AF ．∴EF=EA+AF ．（2）解：∵BE ⊥EA ，CF ⊥AF ，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△CAF中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△ABE≌△CAF．∴EA=FC=3，BE=AF=10．∴EF=AF-CF=10-3=7．【总结升华】此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF 了．此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．。
第三节等腰三角形与直角三角形,河北8年中考命题规律)年份题号考查点考查内容分值总分201616 等边三角形判定已知特殊角平分线上一定点，在角两边或符合条件的总度数与定点构成等边三角形2 2201520 等腰三角形性质以等腰三角形为背景，求角度3 3201313 等边三角形的性质以两个等边三角形与正方形结合为背景，考查平行线性质及三角形内角和性质求两角度之和3 3201214 直角三角形的性质以直角三角形为背景，结合余角的性质求角度3 320119 直角三角形的性质以直角三角形为背景，将三角形折叠，求折痕长3 3200917 等边三角形的性质以等边三角形为背景，将三角形折叠，求阴影部分图形的周长3 32014、2010年未考查命题规律对于本课时内容中考中一般设置1道题，分值为3分，题型为选择、填空题．分析近8年河北中考试题可以看出，本课时的常考类型有：(1)等边三角形的相关计算(在选择题中考查1次，在填空题中考查1次)；(2)直角三角形的相关计算(在填空题中考查3次)；(3)找符合条件的等边三角形(考查1次)．命题预测 纵观河北8年中考，2017年本节重点考查内容为直角三角形的相关计算，题型以填空题为主.,河北8年中考真题及模拟)等边三角形判定和的相关计算1．(2016河北16题2分)如图，∠AOB ＝120°，OP 平分∠AOB ，且OP ＝2.若点M ，N 分别在OA ，OB 上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有( D )A ．1个 B ．2个C ．3个D ．3个以上2．(2013河北13题3分)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2＝( B )A ．90°B ．100°C ．130°D ．180°(第2题图)(第3题图)3．(2009河北17题3分)如图，等边△ABC 的边长为1 cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，将△ABC 沿直线DE 折叠，点A 落在点A′处，且点A′在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为__3__cm .4．(2015河北20题3分)如图，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1，按下列要求画图： 以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1；再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2； 再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3； ……这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n ＝__9__．直角三角形的相关计算5．(2011河北9题3分)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为( B )A .12B ．2C ．3D ．4(第5题图)(第6题图)6．(2016邢台金华中学一模)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为点E ，DE ＝1，则BC 的长是( C )A . 3B ．2C ．3D .3＋27．(2016廊坊二模)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( B ) A ．4，5，6 B ．1.5，2，2.5 C ．2，3，4 D ．1，2，38．(2016秦皇岛二模)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，BC ＝6 cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为( C )A ．4 cmB ．3 cmC ．2 cmD ．1 cm(第8题图)(第12题图)9．(2016河北唐山五十四中一模)若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为( B ) A ．80° B ．50° C ．40° D ．20°10．(2016河北唐山友谊中学一模)已知等腰三角形ABC 的两边长分别为2和3，则等腰三角形ABC 的周长为( D )A ．7B ．8C ．6或8D ．7或811．(2016保定育德中学二模)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( D ) A ．5 B .7C . 5D ．5或712．(2012河北14题3分)如图，AB ，CD 相交于点O ，AC ⊥CD 于点C ，若∠BOD ＝38°，∠A 等于__52°__．13．(2016唐山路北区二模)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°－∠EDC＝30°；(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.,中考考点清单)等腰三角形的性质与判定1．等腰三角形定义 有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底性质(1)等腰三角形两腰相等(即AB ＝AC)；(2)等腰三角形的两底角__相等__(即∠B ＝__∠C__)；(3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；(4)等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合；(5)面积： S △ABC ＝12BC ·AD判定如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，其中，两个相等的角所对的边相等(简称“__等角对等边__”)2.等边三角形定义 三边相等的三角形是等边三角形性质(1)等边三角形三边相等(即AB ＝BC ＝AC)；(2)等边三角形三角相等，且每一个角都等于__60°__(即∠A ＝∠B ＝∠C ＝__60°__)；(3)等边三角形内、外心重合；(4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；(5)面积：S △ABC ＝12BC ·AD判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形； (2)三个角相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形的性质与判定(高频考点)直角三角形的性质与判定近8年考查3次，题型均为填空题，设问方式为：1.求角度；2.求线段长度；3.求周长．结合的背景有：1.与三角形折叠结合；2.以赵爽弦图为背景；3.利用三角形余角的性质求角度．3．直角三角形定义 有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角之和等于__90°__；(2)直角三角形斜边上的__中线__等于斜边的一半(即BD ＝12AC)；(3)直角三角形中__30°__角所对应的直角边等于斜边的一半(即AB ＝12AC)；(4)勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2； (5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°判定(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；(2)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；(3)有两个角互余的三角形是直角三角形4.等腰直角三角形定义顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形性质 等腰直角三角形的顶角是直角，两底角为45° 判定(1)用定义判定；(2)有两个角为45°的三角形,中考重难点突破)等腰三角形的相关计算【例1】在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B ＝________.【学生解答】70°或20°【点拨】在等腰三角形中，只要知道其中一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，必须分成两种情况来讨论．此题的两种情况如图所示：1．(2016湘西中考)一个等腰三角形一边长为4 cm ，另一边长为5 cm ，那么这个等腰三角形的周长是( C )A ．13 cmB ．14 cmC ．13 cm 或14 cmD ．以上都不对2．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，且∠DBC ＝15°，则∠A ＝__50°__．等腰三角形、等边三角形的判定与性质【例2】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 是△ABC 内的两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC ＝∠E ＝60°，若BE ＝6 cm ，DE ＝2 cm ，则BC ＝________cm .【解析】如图，延长AD 交BC 于点M ，由AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线可得AM ⊥BC ，BM ＝MC ＝12BC ，延长ED 交BC 于点N ，则△BEN 是等边三角形，从而求出DN 的长，利用在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出MN 的长，进而求BM ，BC 的值．【学生解答】83．(2016沧州八中二模)如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是△ABC 的角平分线，若在边AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，则图中等腰三角形共有( D )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个(第3题图)(第4题图)4．(2016漳州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，D 是线段BC 上的动点(不含端点B ，C)，若线段AD 长为正整数，则点D 的个数共有( C )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个直角三角形的性质判定和勾股定理【例3】如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，D 为BC 上任意一点，DF ⊥AB 于点F ，DE ⊥AC 于点E ，M 为BC 的中点，连接EM ，FM ，给出以下五个结论：①AF ＝CE ；②AE ＝BF ；③△EFM 是等腰直角三角形；④S 四边形AEMF ＝12S △ABC ；⑤EF ＝BM ＝MC.当点D 在BC 上运动时(点D 不与B ，C 重合)，上述结论中始终正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】连接AM ，易证AE ＝DF ＝BF ，AF ＝DE ＝CE ，△AME ≌△BMF ，∴ME ＝MF ，∠AME ＝∠BMF ，∴△EMF 是等腰直角三角形．S 四边形A EMF ＝S △A FM ＋S △AEM ＝S △AFM ＋S △BFM ＝S △ABM ＝12S △ABC ，但是EF 与BM 不一定相等，只有四边形AFME 为矩形时，EF ＝BM.【学生解答】C5．(2016株洲中考)如图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四各情况的面积关系满足S 1＋S 2＝S 3图形个数有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．(2016苏州中考)如图，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( B )A ．2 3 mB ．2 6 mC ．(23－2)mD ．(26－2)m7．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝5，BC ＝12，AD ＝9，CD ＝510，求四边形ABCD 的面积． 解：连接AC ，∵AB ⊥BC ，∴∠B ＝90°，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝52＋122＝13， ∵在△ACD 中，AC 2＋AD 2＝132＋92＝169＋81＝250，CD 2＝(510)2＝250， ∴AC 2＋AD 2＝CD 2，∴∠DAC ＝90°， ∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12BC ·AB ＋12AD ·AC ＝12×12×5＋12×9×13 ＝1772.中考备考方略)1．(2016秦皇岛二模)若实数x ，y 满足|x －4|＋y －8＝0，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是( D )A ．12B ．16C ．16或20D ．202．(2016益阳中考)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等．小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C ＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1 m ，则旗杆PA 的高度为( A )A .11－sin α mB .11＋sin αm C .11－cos α m D .11＋cos αm 3．(2016泰安中考)如图，在△PAB 中，PA ＝PB ，M ，N ，K 分别是边PA ，PB ，AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝AK ，若∠MKN ＝44°，则∠P 的度数为( D )A ．44°B ．66°C ．88°D ．92°(第3题图)(第4题图)4．(2016沧州八中模拟)如图，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别是边BC，AB上的高，垂足分别是D，E，AD，CE相交于点O，若∠B＝60°，则∠AOE的度数是(A)A．60°B．50°C．70°D．80°5．(2016保定十七中模拟)在△ABC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，则△ABC的周长为(D)A．32 B．42C．40或42 D．32或426．(2016宜昌中考)任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示，若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是(B)A．△EGH为等腰三角形B．△EGF为等边三角形C．四边形EGFH为菱形D．△EHF为等腰三角形7．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(D)A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A－∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝∠B＝3∠C8．(2016深圳中考)如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝60°，则下列结论错误的是(D)A．∠2＝60°B．∠3＝60°C．∠4＝120°D．∠5＝40°9．(2016杭州中考)已知直角三角形纸片的两条直角边分别为m和n(m<n)，过锐角三角形顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则(C)A．m2＋2mn＋n2＝0 B．m2－2mn＋n2＝0C．m2＋2mn－n2＝0 D．m2－2mn－n2＝010．(2016东营中考)在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(C) A．10 B．8 C．6或10 D．8或1011．(2016齐齐哈尔中考)有一面积为53的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为__203或20__．12．在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A，B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED.(1)当BE＝AE时，求证：BD＝AE；(2)当BE≠AE时，“BD＝AE”还成立吗？若你认为不成立，请直接写出BD与AE数量关系式，若你认为成立，请给予证明．证明：(1)如图(1)，在等边△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°.∵BE ＝AE ，∴∠ACE ＝∠ECB ＝30°. 又∵CE ＝DE ，∴∠D ＝∠ECD ＝30°.∴∠DEB ＝30°，∴BE ＝BD ，∴BD ＝AE ； (2)BD ＝AE 还成立．理由如下：如图(2)，过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F.易证△EFB 为等边三角形． ∴EF ＝FB ＝BE.∴∠EFB ＝∠EBF. ∴∠CFE ＝∠EBD.∵CE ＝DE ，∴∠ECD ＝∠D.∴△EBD ≌△EFC(AAS )，∴CF ＝BD.∵AB ＝BC ，∴AB －BE ＝BF －CF ，即AE ＝CF ，∴BD ＝AE.13．(2016威海中考)如图，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为( B )A ．68°B ．88°C ．90°D ．112°,(第13题图)) ,(第15题图))14．(2016内江中考)已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( B )A .32B .332C .32D ．不能确定 15．(2016连云港中考)如图①，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S 1、S 2、S 3；如图②，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S 4、S 5、S 6.其中S 1＝16，S 2＝45，S 5＝11，S 6＝14，则S 3＋S 4＝( C )A ．86B ．64C ．54D ．4816．(2016随州中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，延长BC 至点D ，使CD ＝13BD ，连接DM ，DN ，MN.若AB ＝6，则DN ＝__3__．(第16题图)(第18题图)17．(2016潍坊中考)已知∠AOB ＝60°，点P 是∠AOB 的平分线OC 上的动点，点M 在边OA 上，且OM ＝4，则点P 到点M 与到边OA 的距离之和的最小值是__23__．18．(2016武汉中考)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝10，DA ＝55，则BD 的长为__241__．19．(2016邯郸十一中一模)如图，∠ABC ＝90°，D ，E 分别在BC ，AC 上，AD ⊥DE ，且AD ＝DE ，点F是AE 的中点，FD 与AB 相交于点M.(1)求证：∠FMC ＝∠FCM ；(2)AD 与MC 垂直吗？并说明理由．证明：(1)∵△ADE 是等腰直角三角形，F 是AE 中点，∴DF ⊥AE ，DF ＝AF ＝EF.又∵∠ABC ＝90°，∴∠DCF ，∠AMF 都与∠MAC 互余，∴∠DCF ＝∠AMF ，又∵∠DFC ＝∠AFM ＝90°，∴△DFC ≌△AFM ，∴CF ＝MF.∴∠FMC ＝∠FCM ；(2)AD ⊥MC.理由：由(1)知∠MFC ＝90°，FD ＝FE ，FM ＝FC.∴∠FDE ＝∠FMC ＝45°.∴DE ∥CM ，由题意得AD ⊥DE ，∴AD ⊥MC.20．(2016北京中考)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN.(1)求证：BM ＝MN ；(2)若∠BAD ＝60°，AC 平分∠BAD ，AC ＝2，求BN 的长．解：(1)在△ACD 中，∵M ，N 分别是AC ，CD 的中点，∴MN ∥AD 且MN ＝12AD. 在Rt △ABC 中，∵M 是AC 的中点．∴BM ＝12AC.又∵AC ＝AD ，∴MN ＝BM ； (2)∵∠BAD ＝60°且AC 平分∠BAD.∴∠BAC ＝∠DAC ＝30°.由(1)知，BM ＝12AC ＝AM ＝MC. ∴∠BMC ＝∠BAM ＋∠ABM ＝2∠BAM ＝60°.∵MN ∥AD ，∴∠NMC ＝∠DAC ＝30°.∴∠BMN ＝∠BMC ＋∠NMC ＝90°.∴BN 2＝BM 2＋M N 2.而由(1)知，MN ＝BM ＝12AC ＝12×2＝1，BN ＝ 2.。
