数学新学案同步 必修2 人教B版(鲁京辽):第二章 平面解析几何初步 2.2.2 第1课时
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2.2 圆的一般方程学习目标 1.正确理解圆的方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径.2.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程.3.初步体会圆的方程的实际应用.知识点 圆的一般方程思考1 方程x 2+y 2-2x +4y +1=0,x 2+y 2-2x +4y +6=0分别表示什么图形?答案 对方程x 2+y 2-2x +4y +1=0配方,得(x -1)2+(y +2)2=4,表示以(1,-2)为圆心,2为半径的圆;对方程x 2+y 2-2x +4y +6=0配方,得(x -1)2+(y +2)2=-1,不表示任何图形. 思考2 方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0是否表示圆?答案 对方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0配方并移项,得⎝⎛⎭⎫x +D 22+⎝⎛⎭⎫y +E 22=D 2+E 2-4F 4. ①当D 2+E 2-4F >0时,方程表示的是以⎝⎛⎭⎫-D 2,-E 2为圆心,12D 2+E 2-4F 为半径的圆; ②当D 2+E 2-4F =0时,方程只有一个实数解x =-D 2,y =-E2,它表示一个点⎝⎛⎭⎫-D 2,-E 2; ③当D 2+E 2-4F <0时,方程无实数解,它不表示任何图形.1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( √ )2.二元二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0一定是某个圆的方程.( × ) 3.若方程x 2+y 2-2x +Ey +1=0表示圆,则E ≠0.( √ )类型一 圆的一般方程的理解例1 若方程x 2+y 2+2mx -2y +m 2+5m =0表示圆,求实数m 的取值范围,并写出圆心坐标和半径.考点 圆的一般方程题点 二元二次方程表示圆的条件 解 由表示圆的条件,得(2m )2+(-2)2-4(m 2+5m )>0,解得m <15,即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫-∞,15. 圆心坐标为(-m ,1),半径为1-5m .反思与感悟 形如x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义,若D 2+E 2-4F >0成立,则表示圆,否则不表示圆. (2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x 2+y 2+Dx +Ey +F =0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解.跟踪训练1 (1)已知a ∈R ,方程a 2x 2+(a +2)y 2+4x +8y +5a =0表示圆,则圆心坐标为________,半径为________.(2)点M ,N 在圆x 2+y 2+kx +2y -4=0上,且点M ,N 关于直线x -y +1=0对称,则该圆的面积为________. 考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用 答案 (1)(-2,-4) 5 (2)9π解析 (1)由圆的一般方程的形式知,a +2=a 2,得a =2或-1. 当a =2时,该方程可化为x 2+y 2+x +2y +52=0,∵D 2+E 2-4F =12+22-4×52<0,∴a =2不符合题意.当a =-1时,方程可化为x 2+y 2+4x +8y -5=0, 即(x +2)2+(y +4)2=25,∴圆心坐标为(-2,-4),半径为5.(2)圆x 2+y 2+kx +2y -4=0的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫-k2,-1, 由圆的性质知,直线x -y +1=0经过圆心, ∴-k2+1+1=0,得k =4,∴圆x 2+y 2+4x +2y -4=0的半径为1242+22+16=3,∴该圆的面积为9π. 类型二 求圆的一般方程例2 已知A (2,2),B (5,3),C (3,-1). (1)求△ABC 的外接圆的方程;(2)若点M (a ,2)在△ABC 的外接圆上,求a 的值. 考点 待定系数法求圆的方程 题点 求多边形的外接圆方程解 (1)设△ABC 外接圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧22+22+2D +2E +F =0,52+32+5D +3E +F =0,32+(-1)2+3D -E +F =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧D =-8,E =-2,F =12.即△ABC 的外接圆的方程为x 2+y 2-8x -2y +12=0.(2)由(1)知,△ABC 的外接圆的方程为x 2+y 2-8x -2y +12=0, ∵点M (a ,2)在△ABC 的外接圆上, ∴a 2+22-8a -2×2+12=0, 即a 2-8a +12=0,解得a =2或6. 引申探究若本例中将“点C (3,-1)”改为“圆C 过A ,B 两点且圆C 关于直线y =-x 对称”,其他条件不变,如何求圆C 的方程? 解 ∵k AB =3-25-2=13,AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫72,52, ∴AB 的垂直平分线方程为y -52=-3⎝⎛⎭⎫x -72.联立⎩⎪⎨⎪⎧y =-x ,y -52=-3⎝⎛⎭⎫x -72,得⎩⎨⎧x =132,y =-132,即圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫132,-132, r =⎝⎛⎭⎫132-22+⎝⎛⎭⎫-132-22= 3702,∴圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x -1322+⎝⎛⎭⎫y +1322=1852. 反思与感悟 应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a ,b ,r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D ,E ,F .跟踪训练2 已知一圆过P (4,-2),Q (-1,3)两点,且在y 轴上截得的线段长为43,求圆的方程.考点 待定系数法求圆的方程 题点 限定圆心在某直线上求圆的方程 解 方法一 (待定系数法)设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0, 将P ,Q 的坐标分别代入上式,得⎩⎪⎨⎪⎧4D -2E +F +20=0, ①D -3E -F -10=0. ②令x =0,得y 2+Ey +F =0, ③ 由已知得|y 1-y 2|=43,其中y 1,y 2是方程③的根, ∴|y 1-y 2|2=(y 1-y 2)2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2 =E 2-4F =48.④联立①②④解得⎩⎪⎨⎪⎧D =-2,E =0,F =-12或⎩⎪⎨⎪⎧D =-10,E =-8,F =4.故圆的方程为x 2+y 2-2x -12=0或x 2+y 2-10x -8y +4=0. 方法二 (几何法)由题意得线段PQ 的垂直平分线方程为x -y -1=0, ∴所求圆的圆心C 在直线x -y -1=0上, 设其坐标为(a ,a -1). 又圆C 的半径长 r =|CP |=(a -4)2+(a +1)2. (*)由已知得圆C 截y 轴所得的线段长为43,而圆心C 到y 轴的距离为|a |, ∴r 2=a 2+⎝⎛⎭⎫4322,代入(*)式整理得a 2-6a +5=0, 解得a 1=1,a 2=5, ∴r 1=13,r 2=37.故圆的方程为(x -1)2+y 2=13或(x -5)2+(y -4)2=37. 类型三 圆的方程的实际应用例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB =20 m ,拱高OP =4 m ,建造时每间隔4 m 需要用一根支柱支撑,求支柱A 2P 2的高度.(精确到0.01 m)考点题点解 建立如图所示的平面直角坐标系,使圆心在y 轴上.设圆心的坐标是(0,b ),圆的半径是r ,那么圆的方程是x 2+(y -b )2=r 2.因为P ,B 都在圆上,所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程x 2+(y -b )2=r 2.于是,得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧02+(4-b )2=r 2,102+(0-b )2=r 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧b =-10.5,r 2=14.52.所以圆的方程是x 2+(y +10.5)2=14.52. 把点P 2的横坐标x =-2代入圆的方程, 得(-2)2+(y +10.5)2=14.52, 即y +10.5=14.52-(-2)2(P 2的纵坐标y >0,平方根取正值).所以y =14.52-(-2)2-10.5≈14.36-10.5=3.86(m). 故支柱A 2P 2的高度约为3.86 m.反思与感悟 在解决圆在实际生活中的应用问题时,借助坐标系,利用方程求解可取得简便、精确的效果.应用解析法的关键是建系,合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助. 跟踪训练3 如图所示,一座圆拱桥,当水面在图示位置时,拱顶离水面2 m ,水面宽12 m ,当水面下降1 m 后,水面宽为多少?考点 题点解 以圆拱桥顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y 轴,建立平面直角坐标系,设圆心为C ,水面所在弦的端点为A ,B ,则由已知得A (6,-2),B (-6,-2),设圆拱所在的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0, 因为原点在圆上,所以F =0. 另外点A ,点B 在圆上,所以⎩⎪⎨⎪⎧40+6D -2E =0,40-6D -2E =0.所以D =0,E =20,所以圆的方程为x 2+y 2+20y =0.当水面下降1 m 后,可设点A ′的坐标(x 0,-3)(x 0>0),如图所示,将A ′的坐标(x 0,-3)代入圆的方程, 求得x 0=51,所以,水面下降1 m 后,水面宽为2x 0=251(m).1.圆x 2+y 2-2x +6y +8=0的面积为( ) A .8π B .4π C .2πD .π考点 圆的一般方程题点 由圆的一般方程求圆心和半径 答案 C解析 原方程可化为(x -1)2+(y +3)2=2, ∴半径r =2,∴圆的面积为S =πr 2=2π.2.若点M (3,0)是圆x 2+y 2-8x -4y +10=0内一点,则过点M (3,0)的最长的弦所在的直线方程是( ) A .x +y -3=0 B .x -y -3=0 C .2x -y -6=0 D .2x +y -6=0 考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用答案 C解析 圆x 2+y 2-8x -4y +10=0的圆心坐标为(4,2),则过点M (3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.由k =2-04-3=2,可知C 正确.3.若方程x 2+y 2-x +y +m =0表示一个圆,则m 的取值范围是( ) A .m ≤2 B .m <12C .m <2D .m ≤12考点 圆的一般方程题点 二元二次方程表示圆的条件 答案 B解析 由D 2+E 2-4F >0,得(-1)2+12-4m >0, 即m <12.4.方程x 2+y 2+2ax -by +c =0表示圆心为C (2,2),半径为2的圆,则a ,b ,c 的值依次为( )A .-2,4,4B .-2,-4,4C .2,-4,4D .2,-4,-4 考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用 答案 A解析 由方程得圆心坐标为⎝⎛⎭⎫-a ,b2,半径为r = 4a 2+b 2-4c 2.由已知,得-a =2,b2=2,4a 2+b 2-4c2=2,解得a =-2,b =4,c =4.5.已知圆心为C 的圆经过点A (1,0),B (2,1),且圆心C 在y 轴上,求此圆的一般方程. 考点 题点解 方法一 设圆心C 的坐标为(0,b ), 由|CA |=|CB |,得1+b 2=22+(b -1)2,解得b =2.∴C 点坐标为(0,2).∴圆C 的半径r =|CA |= 5. ∴圆C 的方程为x 2+(y -2)2=5, 即x 2+y 2-4y -1=0. 方法二 AB 的中点为⎝⎛⎭⎫32,12. 中垂线的斜率k =-1,∴AB 的中垂线的方程为y -12=-⎝⎛⎭⎫x -32, 令x =0,得y =2,即圆心为(0,2). ∴圆C 的半径r =|CA |=5,∴圆的方程为x 2+(y -2)2=5,即x 2+y 2-4y -1=0.1.判断二元二次方程表示圆要“两看”:一看方程是否具备圆的一般方程的特征;二看它能否表示圆.此时判断D 2+E 2-4F 是否大于0或直接配方变形,判断等号右边是否为大于零的常数. 2.待定系数法求圆的方程如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法分别求出常数D ,E , F .一、选择题1.方程x 2+y 2+2ax +2by +a 2+b 2=0表示的图形为( ) A .以(a ,b )为圆心的圆 B .以(-a ,-b )为圆心的圆 C .点(a ,b ) D .点(-a ,-b ) 考点 题点 答案 D解析 原方程可化为(x +a )2+(y +b )2=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧ x +a =0,y +b =0,即⎩⎪⎨⎪⎧x =-a ,y =-b .∴方程表示点(-a ,-b ).2.当a 为任意实数时,直线(a -1)x -y +a +1=0恒过定点C ,则以C 为圆心,5为半径的圆的方程为( ) A .x 2+y 2-2x +4y =0 B .x 2+y 2+2x +4y =0 C .x 2+y 2+2x -4y =0 D .x 2+y 2-2x -4y =0 考点 待定系数法求圆的方程 题点 限定圆心在某直线上求圆的方程 答案 C解析 直线(a -1)x -y +a +1=0可化为(-x -y +1)+a (1+x )=0,由⎩⎪⎨⎪⎧-x -y +1=0,x +1=0,得C (-1,2).∴圆的方程为(x +1)2+(y -2)2=5,即x 2+y 2+2x -4y =0.3.方程x 2+y 2+ax -2ay +2a 2+3a =0表示的图形是半径为r (r >0)的圆,则该圆的圆心在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用 答案 D解析 因为方程x 2+y 2+ax -2ay +2a 2+3a =0表示的图形是圆,又方程可化为⎝⎛⎭⎫x +a22+(y -a )2=-34a 2-3a ,故圆心坐标为⎝⎛⎭⎫-a 2,a ,r 2=-34a 2-3a . 由r 2>0,即-34a 2-3a >0,解得-4<a <0,故该圆的圆心在第四象限.4.若点(1,-1)在圆x 2+y 2-x +y +m =0外,则m 的取值范围是( ) A .m >0B .m <12C .0<m <12D .0≤m ≤12考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用答案 C 解析 x 2+y 2-x +y +m =0可化为⎝⎛⎭⎫x -122+⎝⎛⎭⎫y +122=12-m ,则12-m >0,解得m <12.因为点(1,-1)在圆外,所以1+1-1-1+m >0,即m >0,所以0<m <12.故选C. 5.设A ,B 是直线3x +4y +2=0与圆x 2+y 2+4y =0的两个交点,则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A .4x -3y -2=0B .4x -3y -6=0C .3x +4y +6=0D .3x +4y +8=0考点题点答案 B解析 此题实际上是求过圆心(0,-2)且与直线3x +4y +2=0垂直的直线方程,即y +2=43x ,整理得4x -3y -6=0.6.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线3x +4y +4=0与圆C 相切,则圆C 的方程为( )A .x 2+y 2-2x -3=0B .x 2+y 2+4x =0C .x 2+y 2+2x -3=0D .x 2+y 2-4x =0考点 待定系数法求圆的方程题点 限定圆心在某直线上求圆的方程答案 D解析 设圆心C 的坐标为(a ,0),a >0,又直线3x +4y +4=0与圆C 相切,∴d =|3a +4|5=2, ∴a =2或-143(舍),∴圆C 的方程为(x -2)2+y 2=4,即x 2+y 2-4x =0.7.已知实数x ,y 满足x 2+y 2+4x -2y -4=0,则x 2+y 2的最大值为( ) A. 5B .3+ 5C .14+6 5D .14-6 5考点 圆的方程的综合应用题点 与圆有关的最值问题答案 C解析 由题意知点(x ,y )在圆x 2+y 2+4x -2y -4=0,即(x +2)2+(y -1)2=9上,又圆心(-2,1)到原点的距离为22+12=5, 故x 2+y 2的最大值为(5+3)2=14+6 5.二、填空题8.已知圆C :x 2+y 2+2x +ay -3=0(a 为实数)上任意一点关于直线l :x -y +2=0的对称点都在圆C 上,则a =________.考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用答案 -2解析 由题意知,直线l :x -y +2=0过圆心⎝⎛⎭⎫-1,-a 2, 则-1+a 2+2=0,得a =-2. 9.如果圆的方程为x 2+y 2+kx +2y +k 2=0,那么当圆的面积最大时,圆心坐标为________. 考点 圆的一般方程题点 由圆的一般方程求圆心和半径答案 (0,-1)解析 因为r =12k 2+4-4k 2=124-3k 2,所以当k =0时,r 最大,此时圆的面积最大,圆的方程可化为x 2+y 2+2y =0,即x 2+(y +1)2=1,圆心坐标为(0,-1).10.已知点A (1,-2),B (4,0),P (a ,1),N (a +1,1),当四边形P ABN 的周长最小时,过A ,P ,N 三点的圆的圆心坐标为________________.考点 圆的方程的综合应用题点 与圆有关的最值问题答案 ⎝⎛⎭⎫3,-98 解析 因为AB ,PN 的长为定值,所以只需求|P A |+|BN |的最小值.因为|P A |+|BN |=(a -1)2+[1-(-2)]2+(a -3)2+(1-0)2,其几何意义为动点(a ,0)到两定点(1,3)和(3,-1)的距离之和,所以当这三点共线,即a =52时,其和取得最小值.此时,线段PN 的中垂线x =3与线段P A 的中垂线y +12=-12⎝⎛⎭⎫x -74的交点为⎝⎛⎭⎫3,-98,即所求圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫3,-98. 11.已知圆x 2+y 2+2x -4y +a =0关于直线y =2x +b 成轴对称图形,则a -b 的取值范围是________.考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用答案 (-∞,1)解析 由题意知,直线y =2x +b 过圆心,而圆心坐标为(-1,2),代入直线方程,得b =4. 又圆的方程化为标准方程为(x +1)2+(y -2)2=5-a ,所以a <5,由此得a -b <1.三、解答题12.已知圆C :x 2+y 2+Dx +Ey +3=0,圆心在直线x +y -1=0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程.考点 待定系数法求圆的方程题点 限定圆心在某直线上求圆的方程解 由已知得圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫-D 2,-E 2, 因为圆心在直线x +y -1=0上,所以-D 2-E 2-1=0,即D +E =-2. ① 又r =D 2+E 2-122=2,所以D 2+E 2=20. ②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D =2,E =-4或⎩⎪⎨⎪⎧D =-4,E =2.又圆心在第二象限,所以-D 2<0,-E 2>0, 即D >0,E <0,所以⎩⎪⎨⎪⎧D =2,E =-4,所以圆的一般方程为x 2+y 2+2x -4y +3=0.13.已知圆经过点(4,2)和(-2,-6),该圆与两坐标轴的四个截距之和为-2,求圆的标准方程.考点题点解 设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.∵圆经过点(4,2)和(-2,-6), ∴⎩⎪⎨⎪⎧4D +2E +F +20=0, ①2D +6E -F -40=0. ② 设圆在x 轴上的截距为x 1,x 2,则它们是方程x 2+Dx +F =0的两个根,∴x 1+x 2=-D .设圆在y 轴上的截距为y 1,y 2,则它们是方程y 2+Ey +F =0的两个根,∴y 1+y 2=-E .由已知得-D +(-E )=-2,即D +E -2=0.③ 由①②③解得D =-2,E =4,F =-20,∴所求圆的方程为x 2+y 2-2x +4y -20=0,化为标准方程得(x -1)2+(y +2)2=25.四、探究与拓展14.已知三点A (1,0),B (0,3),C (2,3),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.43考点 待定系数法求圆的方程题点 求多边形的外接圆方程答案 B解析 设△ABC 外接圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1+D +F =0,3+3E +F =0,4+3+2D +3E +F =0,解得D =-2,E =-433,F =1. 即△ABC 外接圆的方程为x 2+y 2-2x -433y +1=0. ∴圆心坐标为⎝⎛⎭⎫1,233, ∴圆心到原点的距离为 12+⎝⎛⎭⎫2332=213. 15.已知方程x 2+y 2-2(t +3)x +2(1-4t 2)y +16t 4+9=0(t ∈R )表示的图形是圆.(1)求t 的取值范围;(2)求其中面积最大的圆的方程;(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内,求t 的取值范围.考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用解 (1)已知方程可化为(x -t -3)2+(y +1-4t 2)2=(t +3)2+(1-4t 2)2-16t 4-9,∴r 2=-7t 2+6t +1>0,由二次函数的图像,解得-17<t <1. ∴t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫-17,1. (2)由(1)知r =-7t 2+6t +1= -7⎝⎛⎭⎫t -372+167,∴当t =37∈⎝⎛⎭⎫-17,1时,r max =477,此时圆的面积最大, 所对应的圆的方程是⎝⎛⎭⎫x -2472+⎝⎛⎭⎫y +13492=167. (3)当且仅当32+(4t 2)2-2(t +3)×3+2(1-4t 2)×4t 2+16t 4+9<0时,点P 恒在圆内,∴8t 2-6t <0,∴0<t <34,满足圆的定义. ∴t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0,34.。
第二章平面解析几何初步知识建构综合应用专题一位置关系问题两条直线的位置关系有相交、平行、重合几种,两直线垂直是相交的一种特殊情况,高考中对平行与垂直的考查是重点,多以选择及填空为主,属于容易题.而直线与圆的位置关系几乎是每年必考内容,有时结合向量,考查形式可以是选择题、填空题,也可以是解答题,属于中低档类题目.圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含等5种,在高考中单独考查的情况不多.应用1已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,若l1∥l2,则m的值为( ).A.-1或3 B.-1C.3 D.0提示:利用两直线平行的条件求解.应用2(2011·福建泉州模拟)若直线3x+y+2n=0与圆x2+y2=n2相切,其中n∈N n的值等于( ).+,则A.1 B.2 C.4 D.1或2提示:利用圆心距等于半径列方程求解.应用3已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0.试讨论两圆的位置关系.提示:随着m取值的不同,也会影响两圆的位置关系,所以需要根据两圆的不同位置关系求出m的不同取值范围.专题二对称问题对称问题是高考中常见的一种题型,解析几何中有关对称问题,可分为点关于点对称;直线关于点对称;曲线关于点对称;点关于直线对称;直线关于直线对称;曲线关于直线对称.但总的来说,就是关于点对称和关于直线对称这两类问题.应用1(2010·湖南高考)若不同两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线l的斜率为__________;圆(x-2)2+(y-3)2=1关于直线l对称的圆的方程为__________.提示:(1)l1⊥l2⇔k1k2=-1;(2)求出圆心(2,3)关于l的对称点即可.应用2(2011·安徽安庆模拟)从点(2,3)射出的光线沿与直线x -2y =0平行的直线射到y 轴上,则经y 轴反射的光线所在的直线方程为__________.提示:画出示意图,注意反射光线与入射光线的斜率互为相反数,且反射光线经过点(-2,3).专题三 用图示法解题 用图示法解题,实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,即把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法.数形结合一般包括两个方面,即以“形”助“数”,以“数”解“形”;本章中有关斜率、距离、截距、直线与圆的位置关系等很易转化为形来说明,借助于形分析和求解,往往事半功倍.应用1讨论直线y =x +b 与曲线y =4-x 2的交点的个数.提示:画出y =4-x 2的图象,注意等价变形.应用2设点P (x ,y )在圆x 2+(y -1)2=1上.(1)求x -2+y 2的最小值;(2)求y +2x +1的最小值. 提示:(1)x -2+y 2理解为动点(x ,y )到定点(2,0)的距离即可; (2)y +2x +1理解为动点(x ,y )与定点(-1,-2)连线的斜率即可.应用3若实数x ,y 满足x 2+y 2+8x -6y +16=0,求x +y 的最小值. 提示:令x +y =b ,则y =-x +b ,问题即转化为求截距b 的最小值问题. 专题四 轨迹问题轨迹是满足某些特殊几何条件的点所形成的图形,在平面直角坐标系中,求动点的轨迹就是求动点的横坐标、纵坐标满足的等量关系.我们可以借助圆这个几何性质较多的图形,研究一些与之相关的轨迹方程.应用1已知圆C :x 2+y 2-4x +2y -4=0,求长为2的弦中点的轨迹方程.提示:利用定义法,即动点的运动轨迹满足圆的定义,只需确定圆心和半径,直接写出圆的方程.应用2已知动圆P 与定圆C :x 2+(y +2)2=1相外切,又与定直线l :y =1相切,求动圆圆心P 的轨迹方程.提示:利用直接法,即若动点的运动规律满足一些简单的几何等量关系,可以直接将这个等量关系用动点的坐标表示出来,写出轨迹方程.应用3已知圆C 的方程为(x -2)2+y 2=1,过点P (1,0)作圆C 的任意弦,交圆C 于另一点Q ,求线段PQ 的中点M 的轨迹方程.提示:点M 的运动受到点Q 运动的牵制,而点Q 在圆C 上,故用“相关动点法”. 真题放送1.(2011·四川高考)圆x 2+y 2-4x +6y =0的圆心坐标是( ). A .(2,3) B .(-2,3) C .(-2,-3) D .(2,-3)2.(2011·安徽高考)若直线3x +y +a =0过圆x 2+y 2+2x -4y =0的圆心,则a 的值为( ).A .-1B .1C .3D .-33.(2011·重庆高考)在圆x 2+y 2-2x -6y =0内,过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为( ).A .5 2B .10 2C .15 2D .20 24.(2011·大纲全国高考)设两圆C 1,C 2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C 1C 2|=( ).A .4B .4 2C .8D .8 25.(2011·江西高考)若曲线C 1:x 2+y 2-2x =0与曲线C 2:y (y -mx -m )=0有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是( ).A .⎝ ⎛⎭⎪⎫-33,33 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫-33,0∪⎝⎛⎭⎪⎫0,33 C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤-33,33D .⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-33∪⎝⎛⎭⎪⎫33,+∞ 6.(2011·浙江高考)若直线x -2y +5=0与直线2x +my -6=0互相垂直,则实数m =________.7.(2011·重庆高考)过原点的直线与圆x 2+y 2-2x -4y +4=0相交所得弦的长为2,则该直线的方程为__________.8.(2011·湖北高考)过点(-1,-2)的直线l 被圆x 2+y 2-2x -2y +1=0截得的弦长为2,则直线l 的斜率为______.答案: 综合应用 专题一应用1:B ∵l 1∥l 2,∴1×3-m (m -2)=0. ∴m =-1或3,经检验m =-1适合.应用2:D 圆心(0,0)到直线的距离为d =2n32+1=2n -1.由n =2n -1,结合选项,得n =1或2.应用3:解:圆C 1:x 2+y 2-2mx +4y +m 2-5=0可化为(x -m )2+(y +2)2=32,圆心为C 1(m ,-2),半径为r 1=3;圆C 2:x 2+y 2+2x -2my +m 2-3=0可化为(x +1)2+(y -m )2=22,圆心为C 2(-1,m ),半径为r 2=2,圆心距为d =m +2+-2-m2=2m 2+6m +5,所以①当d =r 1+r 2=5时,此时m =2或m =-5,两圆外切; ②当d =r 1-r 2=1时,此时m =-1或m =-2,两圆内切; ③由②可知,当-2<m <-1时,两圆内含; ④由①可知,当m <-5或m >2时,两圆外离; ⑤当-5<m <-2或-1<m <2时,两圆相交. 专题二应用1:-1 x 2+(y -1)2=1 k PQ =b --aa --b=1, ∴k l =-1.P ,Q 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32,32,∴l 的方程为y -32=-⎝ ⎛⎭⎪⎫x -32, 即x +y -3=0.点(2,3)关于x +y -3=0的对称点为(0,1),∴圆(x -2)2+(y -3)2=1关于直线l 对称的圆的方程为x 2+(y -1)2=1. 应用2:x +2y -4=0 由题意得,射出光线方程为y -3=12(x -2),即x -2y +4=0,与y 轴交点为(0,2), 又(2,3)关于y 轴的对称点为(-2,3),∴反射光线所在的直线方程为y -3=-12(x +2),即x +2y -4=0. 专题三应用1:解:如图所示,在坐标系内作出曲线y =4-x 2的图象(半圆弧).直线l 1:y =x -2,直线l 2:y =x +2 2.当直线l :y =x +b 夹在l 1与l 2之间(包括l 1,l 2)时,l 与曲线y =4-x 2有公共点;进一步观察交点的个数可有如下结论:(1)当b <-2或b >22时,直线y =x +b 与曲线y =4-x 2无公共点;(2)当-2≤b <2或b =22时,直线y =x +b 与曲线y =4-x 2仅有一个公共点;(3)当2≤b <22时,直线y =x +b 与曲线y =4-x 2有两个公共点. 应用2:解:(1)式子x -2+y 2的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的距离.因为圆心(0,1)与定点(2,0)的距离是22+12=5,圆的半径是1,所以x -2+y 2的最小值是5-1.(2)解法一:令y +2x +1=t ,则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y +2=t x +x 2+y -2=1一定有解.消去y ,整理得(1+t 2)x 2+2(t 2-3t )x +(t 2-6t +8)=0有解.所以Δ=4(t 2-3t )2-4(1+t 2)(t 2-6t +8)≥0, 即6t -8≥0,解得t ≥43.故y +2x +1的最小值是43.解法二:式子y +2x +1的几何意义是点P (x ,y )与定点(-1,-2)连线的斜率.如图,当为切线l 1时,斜率最小.设y +2x +1=k ,即kx -y +k -2=0,由直线与圆相切,得|-1+k -2|k 2+1=1,解得k =43.故y +2x +1的最小值是43.应用3:解:原方程化为(x +4)2+(y -3)2=9,设x +y =b ,则y =-x +b ,可见x +y 的最小值就是过圆(x +4)2+(y -3)2=9上的点作斜率为-1的平行线中,纵截距b 的最小值,此时,直线与圆相切.由点到直线的距离公式得|4-3+b |2=3.解得b =32-1或b =-32-1. 所以x +y 的最小值为-32-1.专题四应用1:解:由条件知,圆心坐标为C (2,-1),半径r =3. 设所求弦中点为P (x ,y ),则|PC |2=r 2-12=8,|PC |=2 2.∴P 点在以C 为圆心,半径为22的圆上.故所求轨迹方程为(x -2)2+(y +1)2=8.应用2:解:设点P (x ,y ),如图,故动点P 在直线y =1的下侧,∵圆P 与直线y =1相切, ∴圆P 的半径等于1-y . 又圆C 与圆P 相外切,∴|PC |=1-y +1,即x 2+y +2=2-y .两边平方,整理得y =-18x 2.应用3:解法一:设点M 的坐标为(x ,y ),点Q 的坐标为(x 0,y 0),∵M 是线段PQ 的中点,∴x =x 0+12,y =y 0+02.∴x 0=2x -1,y 0=2y .①∵点Q 在圆C :(x -2)2+y 2=1上运动,∴点Q 的坐标满足方程(x -2)2+y 2=1,即(x 0-2)2+y 20=1.②把①代入②得(2x -1-2)2+(2y )2=1,整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322+y 2=14.但P 是圆C 上一点,且P ,Q 不重合,∴x 0≠1,从而x ≠1+12,即x ≠1.∴点M 的轨迹方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322+y 2=14(x ≠1),即点M 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0为圆心,12为半径的圆,不包括点(1,0). 解法二:∵点M 是弦PQ 的中点,∴CM ⊥PM .设点M 的坐标为(x ,y ),点Q 的坐标为(x 0,y 0), 则k CM =y x -2,k PM =yx -1. 由k CM k PM =-1,得y x -2·yx -1=-1.整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322+y 2=14.但P 是圆C 上一点,且P ,Q 不重合, ∴x 0≠1,从而x ≠1+12,即x ≠1.故点M 的轨迹方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322+y 2=14(x ≠1).真题放送1.D 将圆化为标准方程为(x -2)2+(y +3)2=13,故其圆心坐标为(2,-3).2.B 圆x 2+y 2+2x -4y =0化为标准方程:(x +1)2+(y -2)2=5,可得圆心(-1,2).∵直线过圆心,∴将(-1,2)代入直线3x +y +a =0,可得a =1.3.B 由(x -1)2+(y -3)2=10,可知圆心为M (1,3),半径为10,过E (0,1)的最长弦为圆的直径210,最短弦为以E 为中点的弦,其长为210-ME 2=2 5.因两条弦互相垂直,故四边形ABCD 的面积为12×210×25=10 2.4.C 由题意可设两圆的方程均为(x -r )2+(y -r )2=r 2.将(4,1)代入,可得(4-r )2+(1-r )2=r 2, ∴r 2-10r +17=0.∴此方程两根分别为两圆半径, ∴两圆心的距离|C 1C 2|=r 1-r 22+r 1-r 22=2×r 1+r 22-4r 1r 2=2×100-4×17=2×42=8.5.B ∵y (y -mx -m )=0,∴y =0,或y -mx -m =0.当y =0时,显然与圆x 2+y 2-2x =0有两个不同的交点,要使两曲线有四个不同的交点,只需y -mx -m =0与圆x 2+y 2-2x =0有两个不同的交点,且m ≠0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y -mx -m =0,x 2+y 2-2x =0消去y ,得关于x 的一元二次方程,再令Δ>0,解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-33,0∪⎝⎛⎭⎪⎫0,33.6.1 ∵直线x -2y +5=0与直线2x +my -6=0互相垂直, ∴1×2+(-2)·m =0,即m =1.7.2x -y =0 圆的方程可化为(x -1)2+(y -2)2=1,可知圆心为(1,2),半径为1.设直线方程为y =kx ,则圆心到直线的距离为d =|k -2|1+k 2,故有|k -2|1+k 2=0,解得k =2. 故直线方程为y =2x ,即2x -y =0.8.1或177 当直线l 的斜率不存在时,显然不符合题意.设直线的斜率为k ,则可得直线方程为y -kx +2-k =0,圆心到直线距离d =|3-2k |k 2+1,又圆心到直线的垂线段,圆的半径,弦的一半构成直角三角形,所以d 2+⎝⎛⎭⎪⎫222=1,可求得k =1或k =177.。
滚动训练四(2.3.1~2.3.4)一、选择题1.若圆(x -3)2+(y +5)2=r 2上的点到直线4x -3y -2=0的最近距离为1,则半径r 的值为( )A .4B .5C .6D .9考点 与圆有关的最值问题题点 与圆的几何性质有关的最值答案 A解析 由题意可得,圆心(3,-5)到直线的距离等于r +1, 即|12+15-2|16+9=r +1, 求得r =4.故选A.2.若方程x 2+y 2+kx +2y +k 2=0所表示的圆取得最大面积,则直线y =(k -1)x +2的倾斜角α等于( )A .45°B .135°C .60°D .120°考点 与圆有关的最值问题题点 与面积有关的最值答案 B解析 将圆x 2+y 2+kx +2y +k 2=0化成标准方程,得⎝⎛⎭⎫x +k 22+(y +1)2=1-3k 24, ∴r 2=1-3k 24, 当圆取得最大面积时,k =0,半径r =1,因此直线y =(k -1)x +2,即y =-x +2.得直线的倾斜角α满足tan α=-1,∴α=135°.3.若直线l :y =kx +1(k <0)与圆C :x 2+4x +y 2-2y +3=0相切,则直线l 与圆D :(x -2)2+y 2=3的位置关系是( )A .相交B .相切C .相离D .不确定考点 直线与圆的位置关系题点 判断直线与圆的位置关系答案 A解析 因为圆C 的标准方程为(x +2)2+(y -1)2=2,所以其圆心坐标为(-2,1),半径为 2.因为直线l 与圆C 相切,所以|-2k -1+1|k 2+1=2,解得k =±1,因为k <0,所以k =-1,所以直线l 的方程为x +y -1=0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d =|2+0-1|2=22<3,所以直线l 与圆D 相交.4.若3a 2+3b 2-4c 2=0,则直线ax +by +c =0被圆x 2+y 2=1所截得的弦长为( ) A.23B .1C.12D.34考点 圆的弦长问题题点 求圆的弦长答案 B解析 ∵3a 2+3b 2-4c 2=0,∴a 2+b 2=43c 2, 则圆x 2+y 2=1的圆心到直线ax +by +c =0的距离d =|c |a 2+b 2=32; 则直线ax +by +c =0被圆x 2+y 2=1所截得的弦长l =2r 2-d 2=1.故选B.5.过圆x 2+y 2-4x =0外一点(m ,n )作圆的两条切线,当这两条切线相互垂直时,m ,n 满足的关系式是( )A .(m -2)2+n 2=4B .(m +2)2+n 2=4C .(m -2)2+n 2=8D .(m +2)2+n 2=8 考点 与圆有关的轨迹问题题点 有关点的轨迹的其他问题答案 C解析 圆x 2+y 2-4x =0的圆心坐标为(2,0),半径r =2.由题意知,(m -2)2+n 2=8.6.已知直线l :3x +4y +m =0(m >0)被圆C :x 2+y 2+2x -2y -6=0截得的弦长是圆心C 到直线l 的距离的2倍,则m 等于( )A .6B .8C .11D .9考点 圆的弦长问题题点 直线和圆位置关系的综合问题答案 D解析 圆C :x 2+y 2+2x -2y -6=0可化为(x +1)2+(y -1)2=8,圆心坐标为(-1,1),半径为22,由题意可知,圆心到直线的距离d =|1+m |5=2. ∵m >0,∴m =9.7.过点P (-2,4)作圆C :(x -2)2+(y -1)2=25的切线l ,直线m :ax -3y =0与切线l 平行,则切线l 与直线m 间的距离为( )A.35B .2C .4D.125考点 圆的切线问题题点 求圆的切线方程答案 C解析 根据题意知,点P 在圆C 上,∴切线l 的斜率k =-1k CP =-11-42+2=43, ∴切线l 的方程为y -4=43(x +2),即4x -3y +20=0.又直线m 与切线l 平行,∴直线m 的方程为4x -3y =0.故切线l 与直线m 间的距离d =|0-20|42+(-3)2=4.8.如图,定圆半径为a ,圆心为(b ,c ),则直线ax +by +c =0与直线x -y +1=0的交点在()A .第四象限B .第三象限C .第二象限D .第一象限考点 数形结合思想的应用题点 数形结合思想的应用答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ ax +by +c =0,x -y +1=0,解得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-b +ca +b ,a -ca +b .由图可知,-b >a >c >0,∴-b +c a +b <0,a -c a +b<0, ∴交点在第三象限,故选B.二、填空题9.若直线l :ax +by =1与圆C :x 2+y 2=1有两个不同的交点,则点P (a ,b )与圆C 的位置关系是________.考点 圆的弦长问题题点 直线和圆位置关系的综合问题答案 点P 在圆外解析 ∵直线l :ax +by =1与圆C :x 2+y 2=1有两个不同的交点, ∴1a 2+b2<1,即a 2+b 2>1, ∴点P (a ,b )在圆外.10.已知圆x 2+y 2-2x +4y -20=0上一点P (a ,b ),则a 2+b 2的最小值是________. 考点 与圆有关的最值问题题点 与距离或距离的平方有关的最值答案 30-10 5解析 圆的标准方程为(x -1)2+(y +2)2=25,∴圆心坐标为(1,-2),半径r =5,∴原点到圆心的距离为5,则a 2+b 2的最小值为(5-5)2=30-10 5.11.已知直线l :y =33x +23与圆x 2+y 2=12交于A ,B 两点,过A ,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ,D 两点,则|CD |=________.考点 圆的弦长问题题点 直线和圆位置关系的综合问题答案 4解析 由题意,得圆心到直线的距离d =231+13=3,∴|AB |=212-9=2 3.又易知直线l 的倾斜角为30°,∴|CD |=|AB |cos30°=2332=4.三、解答题12.如图,已知点A (2,3),B (4,1),△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形,点C 在直线l :x -2y +2=0上.(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程;(2)求△ABC 的面积.考点 直线的一般式方程与直线的平行、垂直关系题点 平行和垂直的综合问题解 (1)由题意可知,E 为AB 的中点,∴E (3,2),且k CE =-1k AB=1, ∴CE 所在直线方程为y -2=x -3,即x -y -1=0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x -2y +2=0,x -y -1=0,得C (4,3), ∴|AC |=|BC |=2,AC ⊥BC ,∴S △ABC =12|AC |·|BC |=2. 13.已知从圆外一点P (4,6)作圆O :x 2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B .(1)求以OP 为直径的圆的方程;(2)求直线AB 的方程.考点 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点 两圆公共弦所在直线的方程解 (1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3).半径为12|OP |=12(4-0)2+(6-0)2=13, ∴以OP 为直径的圆的方程为(x -2)2+(y -3)2=13.(2)∵P A ,PB 是圆O :x 2+y 2=1的两条切线,∴OA ⊥P A ,OB ⊥PB ,∴A ,B 两点都在以OP 为直径的圆上.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=1,(x -2)2+(y -3)2=13, 得直线AB 的方程为4x +6y -1=0.。
2.1.2直线的方程第1课时点斜式学习目标1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.知识点一 直线的点斜式方程思考1 如图,直线l 经过点P 0(x 0,y 0),且斜率为k ,设点P (x ,y )是直线l 上不同于点P 0的任意一点,那么x ,y 应满足什么关系?★★答案★★ 由斜率公式得k =y -y 0x -x 0,则x ,y 应满足y -y 0=k (x -x 0).思考2 经过点P 0(x 0,y 0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示?★★答案★★ 斜率不存在的直线不能用点斜式表示,过点P 0斜率不存在的直线为x =x 0. 梳理知识点二直线的斜截式方程思考1已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),直线l的方程是什么?★★答案★★将k及点(0,b)代入直线方程的点斜式得y=kx+b.思考2方程y=kx+b,表示的直线在y轴上的截距b是距离吗?b可不可以为负数和零?★★答案★★y轴上的截距b不是距离,可以是负数和零.梳理1.对直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)也可写成k=y-y0x-x0.(×)2.直线y-3=k(x+1)恒过定点(-1,3).(√)3.直线y=kx-b在y轴上的截距为b.(×)类型一直线的点斜式方程例1写出下列直线的点斜式方程.(1)经过点A(2,5),且其倾斜角与直线y=2x+7相等;(2)经过点C(-1,-1),且与x轴平行;(3)经过点D(1,2),且与x轴垂直.解(1)由题意知,直线的斜率为2,所以其点斜式方程为y-5=2(x-2).(2)由题意知,直线的斜率k=tan 0°=0,所以直线的点斜式方程为y-(-1)=0.(3)由题意可知直线的斜率不存在,所以直线的方程为x=1,该直线没有点斜式方程.反思与感悟(1)求直线的点斜式方程已知定点P(x0,y0),若经过点P的直线斜率存在且为k,则其方程为y-y0=k(x-x0);若斜率k为0,则其方程为y-y0=0;若斜率不存在,则其方程为x=x0.(2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0,y0)的所有直线,但直线x=x0除外.跟踪训练1(1)经过点(-3,1)且平行于y轴的直线方程是________.(2)一直线l1过点A(-1,-2),其倾斜角等于直线l2:y=33x的倾斜角的2倍,则l1的点斜式方程为________.★★答案★★(1)x=-3(2)y+2=3(x+1)解析(1)∵直线与y轴平行,∴该直线斜率不存在,∴直线方程为x=-3.(2)∵直线l2的方程为y=33x,设其倾斜角为α,则tan α=33,∴α=30°,那么直线l1的倾斜角为2×30°=60°,则l1的点斜式方程为y+2=tan 60°(x+1),即y+2=3(x+1).类型二直线的斜截式方程例2(1)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是________________________________________________________________________.(2)直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1的倾斜角相等且与l2在y 轴上的截距相等,则l的斜截式方程为______________.★★答案★★(1)y=3x+3或y=3x-3(2)y=-2x-2解析(1)∵直线的倾斜角是60°,∴其斜率k=tan 60°=3,∵直线与y轴的交点到原点的距离是3,∴直线在y轴上的截距是3或-3,∴所求直线方程是y=3x+3或y=3x-3.(2)由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又直线l与l1的倾斜角相等,∴k l=-2,由题意知l2在y轴上的截距为-2,∴直线l在y轴上的截距b=-2,由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.反思与感悟 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b =0时,y =kx 表示过原点的直线;当k =0时,y =b 表示与x 轴平行(或重合)的直线.(2)截距不同于日常生活中的距离,截距是一个点的横(纵)坐标,是一个实数,可以是正数,也可以是负数和零,而距离是一个非负数.跟踪训练2 已知直线l 在y 轴上的截距为-2,根据条件,分别写出直线l 的斜截式方程. (1)直线l 经过点M (m ,n ),N (n ,m )(m ≠n ); (2)直线l 与坐标轴围成等腰三角形.解 (1)由题意得直线l 的斜率为k =m -nn -m =-1,所以直线l 的斜截式方程为y =-x -2. (2)因为直线l 在y 轴上的截距为-2, 所以l 与y 轴的交点为P (0,-2), 而直线l 与坐标轴围成等腰三角形, 又是直角三角形,所以l 与x 轴的交点为Q (-2,0)或(2,0). 由过两点的斜率公式得k =-1或1,所以直线l 的斜截式方程为y =-x -2或y =x -2. 类型三 直线方程的简单应用例3 求经过点A (-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程. 解 方法一 (点斜式)设直线方程为y -4=k (x +3)(k ≠0). 当x =0时,y =4+3k , 当y =0时,x =-4k-3,∴3k +4-4k -3=12,即3k 2-11k -4=0,∴k =4或k =-13.故直线方程为y -4=4(x +3)或y -4=-13(x +3),即4x -y +16=0或x +3y -9=0. 方法二 (斜截式) 设直线方程为y =kx +b , ∵直线经过点A (-3,4), ∴3k -b +4=0.①∵直线在两坐标轴上的截距和为12, ∴b +⎝⎛⎭⎫-bk =12.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧k =4,b =16或⎩⎪⎨⎪⎧k =-13,b =3.故直线方程为y =4x +16或y =-13x +3,即4x -y +16=0或x +3y -9=0. 反思与感悟 利用待定系数法求直线方程(1)已知一点,可选用点斜式,再由其他条件确定斜率. (2)已知斜率,可选用斜截式,再由其他条件确定y 轴上的截距.跟踪训练3 已知直线l 的斜率为16,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,求l 的直线方程.解 设直线方程为y =16x +b ,则当x =0时,y =b ;当y =0时,x =-6b .由已知可得12·|b |·|-6b |=3,即6|b |2=6,∴b =±1.故所求直线方程为y =16x +1或y =16x -1.1.直线3x -y +m =0的倾斜角为________. ★★答案★★ 60°2.已知直线l 的方程为2x -5y +10=0,且在x 轴上的截距为a ,在y 轴上的截距为b ,则|a +b |=________. ★★答案★★ 3解析 直线l 的方程为2x -5y +10=0,令y =0,得a =-5,令x =0,得b =2,所以|a +b |=|-5+2|=3.3.过点(1,0)且在y 轴上的截距为-12的直线方程是______________.★★答案★★ x -2y -1=04.已知直线l 过点P (2,1),且直线l 的斜率为直线x -4y +3=0的斜率的2倍,则直线l 的方程为________. ★★答案★★ x -2y =0解析 由x -4y +3=0,得y =14x +34,其斜率为14,故所求直线l 的斜率为12,又直线l 过点P (2,1),所以直线l 的方程为y -1=12(x -2),即x -2y =0.5.已知直线l 的倾斜角是直线y =x +1的倾斜角的2倍,且过定点P (3,3),求直线l 的方程. 解 直线y =x +1的斜率为1,所以倾斜角为45°,又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍,所以所求直线的倾斜角为90°,其斜率不存在.又直线过定点P (3,3),所以直线l 的方程为x =3.1.建立点斜式方程的依据是:直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同,故有y -y 1x -x 1=k ,此式是不含点P 1(x 1,y 1)的两条反向射线的方程,必须化为y -y 1=k (x -x 1)才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为x =x 1.2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况,表示过(0,b )点、斜率为k 的直线y -b =k (x -0),即y =kx +b ,其特征是方程等号的一端只是一个y ,其系数是1;等号的另一端是x 的一次式,而不一定是x的一次函数.如y=c是直线的斜截式方程,而2y=3x+4不是直线的斜截式方程.一、填空题1.若直线y=1的倾斜角为α,则α=________.★★答案★★0°2.若直线y=ax-1的倾斜角是30°,则a=________.★★答案★★3 33.经过点(-1,1),斜率是直线y=22x-2的斜率的2倍的直线的点斜式方程是_______.★★答案★★y-1=2(x+1)解析由题意知,直线的斜率为2,过点(-1,1),故直线方程为y-1=2(x+1).4.直线y=k(x-2)+3必过定点,该定点坐标为________.考点题点★★答案★★(2,3)解析直线方程改写为y-3=k(x-2),则过定点(2,3).5.已知直线l经过点(-2,2)且与直线y=x+6在y轴上有相同的截距,则直线l的方程为____________.★★答案★★2x-y+6=0解析由题意设直线l的方程为y=kx+6,将(-2,2)代入y=kx+6,得k=2.所以直线l的方程为2x-y+6=0.6.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是________.★★答案★★ -2或1 解析 由题意可知a ≠0. 当x =0时,y =a +2. 当y =0时,x =a +2a .∴a +2a=a +2,解得a =-2或a =1. 7.直线y =ax 与y =x +a 的图象可能是________.(填序号)★★答案★★ ③8.已知直线y =(3-2k )x -6不经过第一象限,则k 的取值范围为________. ★★答案★★ ⎣⎡⎭⎫32,+∞解析 由题意知,需满足它在y 轴上的截距不大于零,且斜率不大于零,则⎩⎪⎨⎪⎧-6≤0,3-2k ≤0,得k ≥32. 9.已知直线l 过点P (2,-3),且与过点M (-1,2),N (5,2)的直线垂直,则直线l 的方程为____________.★★答案★★ x =2解析 因为直线MN 的斜率k =2-25-(-1)=0, 所以该直线平行于x 轴.又直线l 垂直于直线MN ,因此直线l 的倾斜角为90°,又直线l 过点P (2,-3),所以直线l 的方程为x -2=0,即x =2.10.直线y =bx -1a的图象如图所示,则a +b =________.★★答案★★ 2解析 由图象知,直线斜率为-1,在y 轴上截距为1,故a =b =-1,a +b =-2.11.已知直线y =12x +k 与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1,则实数k 的取值范围是________.★★答案★★ (-∞,-1]∪[1,+∞)解析 令y =0,则x =-2k .令x =0,则y =k ,则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S =12|k |·|-2k |=k 2.由题意知,三角形的面积不小于1,可得k 2≥1,所以k 的取值范围是k ≥1或k ≤-1.12.已知直线l 的斜率与直线3x -2y =6的斜率相等,且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1,则直线l 的斜截式方程为________________.★★答案★★ y =32x -35解析 由题意知,直线l 的斜率为32, 故设直线l 的方程为y =32x +b , l 在x 轴上的截距为-23b ,在y 轴上的截距为b , 所以-23b -b =1,b =-35, 所以直线l 的方程为y =32x -35. 二、解答题13.已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A (-5,0),B (3,-3),C (0,2),求BC 边上的高所在的直线方程.解 设BC 边上的高为AD ,则BC ⊥AD ,∴k AD ·k BC =-1,即2+30-3·k AD =-1,解得k AD =35. ∴BC 边上的高所在的直线方程为y -0=35(x +5), 即y =35x +3. 三、探究与拓展14.设点A (-1,0),B (1,0),若直线2x +y -b =0与线段AB 相交,则b 的取值范围是________. ★★答案★★ [-2,2]解析 b 为直线y =-2x +b 在y 轴上的截距,如图,当直线y =-2x +b 过点A (-1,0)和点B (1,0)时b 分别取得最小值和最大值. ∴b 的取值范围是[-2,2].15.已知直线l 的方程为3x +4y -12=0,求l ′的方程,使得:(1)l ′与l 平行,且过点(-1,3);(2)l ′与l 垂直,且l ′与两坐标轴围成的三角形面积为4.解 (1)∵直线l 的方程为3x +4y -12=0,∴直线l 的斜率为-34. ∵l ′与l 平行,∴直线l ′的斜率为-34. ∴直线l ′的方程为y -3=-34(x +1), 即3x +4y -9=0.(2)∵l ′⊥l ,∴k l ′=43. 设l ′的方程为y =43x +b . 则l ′在y 轴上的截距为b ,l ′在x 轴上的截距为-34b , 由题意可知,S =12|b |·|-34b |=4,∴b =±463, ∴直线l ′的方程为y =43x +463或y =43x -463.。
滚动训练三(2.2.1~2.2.4)一、选择题1.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)可能是() A.(1,-3) B.(3,-1)C.(-3,1) D.(-1,3)考点两条直线的交点题点求两条直线的交点坐标答案 A解析由已知可得直线y=2x,x+y=3的交点为(1,2),此点也在直线mx+ny+5=0上,∴m+2n+5=0,再将四个选项代入,只有A满足此式.2.与直线l:x-y+1=0关于y轴对称的直线的方程为()A.x+y-1=0 B.x-y+1=0C.x+y+1=0 D.x-y-1=0考点对称问题的求法题点直线关于直线的对称问题答案 A解析直线l:x-y+1=0与两坐标轴的交点分别为(-1,0)和(0,1),因为这两点关于y轴的对称点分别为(1,0)和(0,1),所以直线l:x-y+1=0关于y轴对称的直线方程为x+y-1=0.3.已知等边△ABC的两个顶点A(0,0),B(4,0),且第三个顶点在第四象限,则BC边所在的直线方程是()A.y=-3x B.y=-3(x-4)C.y=3(x-4) D.y=3(x+4)考点直线的点斜式方程题点求直线的点斜式方程答案 C解析由题意知∠A=∠B=60°,故直线BC的倾斜角为60°,∴k BC=tan 60°=3,则BC边所在的直线方程为y=3(x-4).4.已知直线l 1:y =-m 4x +12与直线l 2:y =25x +n5垂直,垂足为H (1,p ),则过点H 且斜率为m +pm +n的直线方程为( ) A .y =-2x +2 B .y =4x -2 C .y =-4x +2 D .y =-2x -2考点 直线的斜截式方程 题点 写出直线的斜截式方程 答案 C解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧-m 4×25=-1,-m 4×1+12=p ,25×1+n 5=p ,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =10,p =-2,n =-12.∴m +p m +n =10-210-12=-4, 则所求直线方程为y +2=-4(x -1), 即y =-4x +2.5.如果AB >0,BC >0,则直线Ax -By -C =0不经过的象限是( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限考点 直线的一般式方程 题点 直线的一般式方程的概念 答案 B解析 直线Ax -By -C =0化成斜截式方程y =A B x -CB ,∵AB >0,BC >0,∴斜率大于0,纵截距小于0, ∴直线不经过第二象限.6.已知点P (2,-3),Q (3,2),直线ax -y +2=0与线段PQ 相交,则a 的取值范围是( ) A .a ≥43B .a ≤-43C .-52≤a ≤0D .a ≤-43或a ≥12考点 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 题点 倾斜角、斜率的变化趋势及其应用 答案 C解析 直线ax -y +2=0可化为y =ax +2,斜率k =a ,恒过定点A (0,2),如图,直线与线段PQ 相交,则0≥k ≥k AP ,即-52≤a ≤0,故选C.7.已知平面上一点M (5,0),若直线上存在点P 使|PM |=4,则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的是( ) ①y =x +1;②y =2;③y =43x ;④y =2x +1.A .①③B .①④C .②③D .③④考点 点到直线的距离题点 与点到直线的距离有关的最值问题 答案 C解析 对于①,d 1=|5-0+1|2=32>4;对于②,d 2=2<4;对于③,d 3=|5×4-3×0|5=4;对于④,d 4=|5×2-0+1|5=115>4,所以符合条件的有②③.8.若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离分别为1和2,则这样的直线l 共有( ) A .3条 B .2条 C .1条D .4条 考点 两条平行直线间的距离公式及应用 题点 利用两条平行直线间的距离求直线方程 答案 A解析 ①若直线l 的斜率不存在,取直线l :x =2,满足条件. ②若直线l 的斜率存在,当A ,B 两点在直线l 的两侧时,易知直线l 不存在.当A ,B 两点在直线l 的同侧时,设直线l 的方程为y =kx +b , 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|k +b |k 2+1=1,|4k +b |k 2+1=2,解得⎩⎨⎧k =24,b =22或⎩⎨⎧k =-24,b =-22.可得直线l :y =24x +22或y =-24x -22. 综上,满足条件的直线l 共有3条.故选A. 二、填空题9.已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m +1)x +y -2=0和4m 2x +(m +1)y -4=0,则实数m 的值为________.考点 直线的一般式方程与直线的平行、垂直关系 题点 平行和垂直的综合问题 答案 -13或-1解析 由题意可知,两直线平行或垂直,则(m +1)(m +1)-4m 2=0,m +14m 2≠-2-4或(m +1)·4m 2+1·(m +1)=0,解得m =-13或-1或1(舍去).10.在直线方程y =kx +b 中,当x ∈[-3,4]时,恰好y ∈[-8,13],则此直线方程为________________________. 考点 直线的斜截式方程 题点 写出直线的斜截式方程 答案 y =3x +1或y =-3x +4解析 当k >0时,⎩⎪⎨⎪⎧ -8=-3k +b ,13=4k +b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =3,b =1,∴y =3x +1;当k <0时,⎩⎪⎨⎪⎧ 13=-3k +b ,-8=4k +b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-3,b =4.∴y =-3x +4.此方程为y =3x +1或y =-3x +4.11.设m ∈R ,过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线mx -y -m +3=0交于点P ,若AB 的中点为C ,则|PC |=________. 考点 恒过定点的直线 题点 恒过定点的直线的应用 答案102解析 由题意x +my =0过定点A (0,0), 动直线mx -y -m +3=0,即m (x -1)-y +3=0过定点B (1,3).又直线x +my =0与mx -y -m +3=0始终垂直, 又P 为其交点,则P A ⊥PB ,∴|P A |2+|PB |2=|AB |2=10. ∴|PC |=102. 12.若直线l 被直线l 1:x -y +1=0与l 2:x -y +3=0截得的线段长为22,则直线l 的倾斜角θ(0°<θ<90°)的值为________. 考点 两条平行直线间的距离公式及应用 题点 利用两条平行直线间的距离求参数的值 答案 15°或75°解析 易求得平行线l 1,l 2之间的距离为|1-3|2= 2.画示意图(图略)可知,要使直线l 被l 1,l 2截得的线段长为22,必须使直线l 与直线l 1,l 2成30°的夹角.∵直线l 1,l 2的倾斜角为45°,∴直线l 的倾斜角为45°-30°=15°或45°+30°=75°. 三、解答题13.在平面直角坐标系中,已知A (-1,2),B (2,1),C (1,0). (1)判定△ABC 的形状;(2)求过点A 且在x 轴和y 轴上的截距互为倒数的直线方程;(3)已知l 是过点A 的直线,点C 到直线l 的距离为2,求直线l 的方程.题点 分类讨论思想的应用 解 (1)k AC =-1,k BC =1, k AC ·k BC =-1,∴△ABC 为直角三角形.(2)设所求直线方程为xa +ay =1(a ≠0),则-1a +2a =1,即a =-12或a =1,∴-2x -12y =1或x +y =1,∴所求直线方程为-2x -12y =1或x +y =1,即4x +y +2=0或x +y -1=0.(3)①当直线l 的斜率不存在时,l 的方程为x =-1, 此时点C 到直线l 的距离为2,符合题意;②当直线l 的斜率存在时,设斜率为k ,则直线l 的方程为y -2=k (x +1),即kx -y +k +2=0,则点C 到直线l 的距离d =|2k +2|k 2+1=2,解得k =0,∴直线l 的方程为y -2=0.综上可知,直线l 的方程为x +1=0或y -2=0. 四、探究与拓展14.如图,直线l 过点P (0,1),且分别与直线l 1:2x +y -8=0和l 2:x -3y +10=0交于B ,A 两点,线段AB 恰被点P 平分.(1)求直线l 的方程;(2)设点D (0,m ),且AD ∥l 1,求△ABD 的面积.题点 待定系数法求直线方程 解 (1)∵点B 在直线l 1上, ∴可设B (a,8-2a ). 又P (0,1)是AB 的中点, ∴A (-a,2a -6). ∵点A 在直线l 2上, ∴-a -3(2a -6)+10=0, 解得a =4,即B (4,0), 故直线l 的方程为x +4y -4=0. (2)由(1)知A (-4,2),又AD ∥l 1,则k AD =2-m-4-0=-2,∴m =-6,则D (0,-6),∴点A 到直线l 1的距离为d =|-4×2+2×1-8|22+12=1455,|AD |=(-4-0)2+(2+6)2=45,∴S △ABD =12|AD |·d =12×45×1455=28.15.已知一束光线经过直线l 1:3x -y +7=0和l 2:2x +y +3=0的交点M ,且射到x 轴上一点N (1,0)后被x 轴反射.(1)求点M 关于x 轴的对称点P 的坐标; (2)求反射光线所在的直线l 3的方程; (3)求与直线l 3的距离为10的直线方程. 考点 对称问题的求法 题点 关于对称的综合应用解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x -y +7=0,2x +y +3=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =1,∴M (-2,1).∴点M 关于x 轴的对称点P 的坐标为(-2,-1).(2)易知l 3经过点P 与点N , ∴l 3的方程为y -0-1-0=x -1-2-1,即x -3y -1=0.(3)设与l 3平行的直线为y =13x +b .根据两平行线之间的距离公式,得⎪⎪⎪⎪b +131+19=10, 解得b =3或b =-113,∴与直线l 3的距离为10的直线方程为y =13x -113或y =13x +3,即x -3y -11=0或x -3y +9=0.。
2.2.2 直线方程的几种形式 第1课时 直线的点斜式方程学习目标 1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y 轴上的截距的含义.知识点一 直线的点斜式方程思考1 如图,直线l 经过点P 0(x 0,y 0),且斜率为k ,设点P (x ,y )是直线l 上不同于点P 0的任意一点,那么x ,y 应满足什么关系?答案 由斜率公式得k =y -y 0x -x 0,则x ,y 应满足y -y 0=k (x -x 0).思考2 经过点P 0(x 0,y 0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示?答案 斜率不存在的直线不能用点斜式表示,过点P 0且斜率不存在的直线为x =x 0. 梳理知识点二 直线的斜截式方程思考1 已知直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为(0,b ),直线l 的方程是什么? 答案 将k 及点(0,b )代入直线方程的点斜式,得y =kx +b .思考2方程y=kx+b表示的直线在y轴上的截距b是距离吗?b可不可以为负数或零?答案y轴上的截距b不是距离,是直线与y轴交点的纵坐标,可以是负数或零.梳理(1)直线的斜截式方程(2)直线的截距如果一条直线通过点(0,b),且斜率为k,则直线的点斜式方程为y-b=k(x-0).整理,得y =kx+b,则b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距,简称为直线的截距.1.对直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)也可写成k=y-y0x-x0.(×)2.直线y-3=k(x+1)恒过定点(-1,3).(√)3.直线y=kx-b在y轴上的截距为b.(×)类型一直线的点斜式方程例1若直线l满足下列条件,求其直线方程.(1)过点(-1,2)且斜率为3;(2)过点(-1,2)且与x轴平行;(3)过点(-1,2)且与x轴垂直;(4)已知点A(3,3),B(-1,5),过线段AB的中点且倾斜角为60°.解(1)y-2=3(x+1)即3x-y+5=0.(2)y=2.(3)x=-1.(4)斜率k=tan 60°=3,AB的中点为(1,4),则该直线的点斜式方程为y-4=3(x-1),即3x-y-3+4=0.反思与感悟(1)只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程.(2)当倾斜角为0°,即k=0时,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是y-y0=0.(3)当倾斜角为90°时,直线无斜率,这时直线l与y轴平行或重合,直线l的方程是x-x0=0.跟踪训练1直线l1过点A(-1,-2),其倾斜角等于直线l2:y=33x的倾斜角的2倍,则l1的点斜式方程为________.答案y+2=3(x+1)解析∵直线l2的方程为y=33x,设其倾斜角为α,∴tan α=33,解得α=30°,那么直线l1的倾斜角为2×30°=60°,∴l1的点斜式方程为y+2=tan 60°(x+1),即y+2=3(x+1).类型二直线的斜截式方程例2根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2,在y轴上的截距是5;(2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2;(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解(1)由直线方程的斜截式可知,所求直线方程为y=2x+5.(2)∵倾斜角α=150°,∴斜率k=tan 150°=-3 3.由斜截式可得直线方程为y=-33x-2.(3)∵直线的倾斜角为60°,∴斜率k=tan 60°= 3.∵直线与y轴的交点到原点的距离为3,∴直线在y轴上的截距b=3或b=-3.∴所求直线方程为y=3x+3或y=3x-3.反思与感悟(1)在求解过程中,常因混淆截距与距离的概念,而漏掉解.(2)截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标,它是个数值,可正、可负、可为零.跟踪训练2写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率是3,在y轴上的截距是-3;(2)倾斜角是60°,在y轴上的截距是5;(3)倾斜角是30°,在y轴上的截距是0.解(1)由直线方程的斜截式,可得直线方程为y=3x-3.(2)由题意可知,所求直线的斜率k=tan 60°=3,直线方程为y=3x+5.(3)由题意可知,所求直线的斜率k=tan 30°=3 3,由直线方程的斜截式可知,直线方程为y=3 3x.1.方程y=k(x-2)表示()A.通过点(-2,0)的所有直线B.通过点(2,0)的所有直线C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线答案 C解析易验证直线通过点(2,0),又直线斜率存在,故直线不垂直于x轴.2.已知直线的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-2,则此直线方程为() A.y=3x+2 B.y=-3x+2C.y=-3x-2 D.y=3x-2答案 D解析直线的倾斜角为60°,则其斜率为3,利用斜截式直接写方程.3.直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有()A.k>0,b>0 B.k>0,b<0C.k<0,b>0 D.k<0,b<0答案 B解析∵直线经过第一、三、四象限,∴k>0,b<0.4.直线y=-2x-7在y轴上的截距为b,则b=________.答案-75.已知直线l的方程为y-m=(m-1)(x+1),若l在y轴上的截距为7,则m=________. 答案 4解析直线l的方程可化为y=(m-1)x+2m-1,∴2m-1=7,解得m=4.1.求直线的点斜式方程的方法步骤2.直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程,只要确定直线的斜率和截距即可,同时要特别注意截距和距离的区别.(2)直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单,而且特点明显,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,只要确定了k和b的值,直线的图象就一目了然.因此,在解决直线的图象问题时,常通过把直线方程化为斜截式方程,利用k,b的几何意义进行判断.一、选择题1.若过原点的直线l的斜率为-3,则直线l的方程是()A.x-3y=0 B.x+3y=0C.3x+y=0D.3x-y=0答案 C2.如果直线3x +2y =6的斜率为k ,在y 轴上的截距为b ,那么有( ) A .k =-32,b =3B .k =-23,b =3C .k =-32,b =-3D .k =-23,b =-3答案 A解析 直线方程为3x +2y =6,可化为y =-32x +3.故k =-32,b =3.3.与直线3x -2y =0的斜率相等,且过点(-4,3)的直线方程为( ) A .y -3=32(x +4)B .y +3=32(x -4)C .y -3=-32(x +4)D .y +3=-32(x -4)答案 A4.直线y =k (x -2)+3必过定点,该定点为( ) A .(3,1) B .(2,3) C .(2,-3) D .(-2,3) 答案 B解析 直线方程为y =k (x -2)+3, 可化为y -3=k (x -2), 所以过定点(2,3).5.经过点(-1,1),斜率是直线y =22x -2斜率的2倍的直线方程是( ) A .y =-1 B .y =1C .y -1=2(x +1)D .y -1=22(x +1) 答案 C解析 由方程知已知直线的斜率为22, ∴所求直线的斜率是2,由直线方程的点斜式,可得直线方程为y -1=2(x +1). 6.直线y =ax -1a的图象可能是( )解析根据斜截式方程知,斜率与直线在y轴上的截距正负相反.7.直线l 1:y =k 1x +b 1与l 2:y =k 2x +b 2的位置关系如图所示,则有( )A .k 1<k 2且b 1<b 2B .k 1<k 2且b 1>b 2C .k 1>k 2且b 1>b 2D .k 1>k 2且b 1<b 2答案 A解析 设直线l 1,l 2的倾斜角分别为α1,α2,由题图可知,90°<α1<α2<180°,所以k 1<k 2.又b 1<0,b 2>0,所以b 1<b 2,故选A. 二、填空题8.已知过点A (-2,m +1)和点B (m,3)的直线与直线y =-2x +1的斜率相等,则m 的值为________. 答案 -6解析 由-2=m +1-3-2-m,得m =-6.9.设直线l 的倾斜角是直线y =3x +1的倾斜角的12,且与y 轴的交点到x 轴的距离是3,则直线l 的方程是____________________. 答案 y =33x ±3 解析 y =3x +1的倾斜角为60°,则l 的倾斜角为30°,故斜率为tan 30°=33. 由题意知,l 在y 轴上的截距为±3, ∴直线l 的方程为y =33x ±3. 10.直线l 的方程为y -a =(a -1)(x +2),若此直线在y 轴上的截距为10,则a =________. 答案 4解析 当x =0时,y =3a -2.令3a -2=10,解得a =4.11.已知直线y =12x +k 与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1,则实数k 的取值范围是________.答案 (-∞,-1]∪[1,+∞)解析 令y =0,则x =-2k .令x =0,则y =k ,则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S =12|k |·|-2k |=k 2. 由题意知,三角形的面积不小于1,可得k 2≥1,所以k 的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞). 三、解答题12.已知直线l 1的方程为y =-2x +3,l 2的方程为y =4x -2,直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同,求直线l 的方程.解 由斜截式方程知,直线l 1的斜率k 1=-2, ∴l 的斜率k =k 1=-2.由题意知,l 2在y 轴上的截距为-2, ∴l 在y 轴上的截距b =-2.由斜截式可得直线l 的方程为y =-2x -2.13.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y (元)与行李重量x (千克)的关系用直线AB 的方程表示(如图所示).试求:(1)直线AB 的方程;(2)旅客最多可免费携带多少行李? 解 (1)由题图知,A (60,6),B (80,10), 设直线AB 的方程为y =kx +b ,将A ,B 两点代入,得⎩⎪⎨⎪⎧60k +b =6,80k +b =10,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =15,b =-6.所以y =15x -6.(2)依题意,令y =0,得x =30. 即旅客最多可免费带30千克的行李. 四、探究与拓展14.下列选项中,在同一直角坐标系中,表示直线y =ax 与y =x +a 正确的是( )答案 C解析①当a>0时,直线y=ax的倾斜角为锐角,直线y=x+a在y轴上的截距为a>0,A,B,C,D都不成立;②当a=0时,直线y=ax的倾斜角为0°,所以A,B,C,D都不成立;③当a<0时,直线y=ax的倾斜角为钝角,直线y=x+a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0,只有C成立.15.已知等腰△ABC的顶点A(-1,2),AC的斜率为3,点B(-3,2),求直线AC,BC及∠A 的平分线所在的直线方程.解直线AC的方程为y=3x+2+ 3.∵AB∥x轴,AC的倾斜角为60°,∴BC的倾斜角α为30°或120°.当α=30°时,直线BC方程为y=33x+2+3,∠A的平分线所在直线的倾斜角为120°,∴所在直线方程为y=-3x+2- 3.当α=120°时,直线BC的方程为y=-3x+2-3 3. ∠A的平分线所在直线的倾斜角为30°,∴所在直线方程为y=33x+2+33.。