湖北省黄冈中学2007年秋季高二数学期中考试

湖北省黄冈中学2007年秋季高二数学期中考试试题（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 直线1y x =+的倾斜角为（ ）A ．45°B ．60°C ．135°D ．135°2． 抛物线y x =2的准线方程是（ ）A ．014=+xB ．014=+yC ．012=+xD ．012=+y 3． 双曲线2241x y -=的离心率为（ ）A ．2BC ．D ．124． 如果双曲线22142x y -=右支上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到右准线的距离是（ ）A B C ． D5． 过圆x 2＋y 2－4x =0上一点P (1的切线方程为（ ）A ．20x -=B ．40x +-=C ．40x +=D ．20x -+=6． 在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2=1与ax ＋by 2=0(a >b >0)的曲线大致是（ ）7． 圆心在直线230x y --=上，且过点(5，2)和点(3，-2)的圆的方程为（ ）A ．22(1)(2)10x y -+-=B ．22(2)(1)10x y -+-=C ．22(2)(1)100x y -+-=D ．22(1)(2)100x y -+-=8． 若,k ∈R 则“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的（ ） A ．充分但不必要条件B 必要但不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件9． 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）A ．B ．6C ．D ．1210．下列方程的曲线关于y 轴对称的是（ ）A.x 2－x ＋y 2＝1B.x 2y ＋xy 2＝1C. x 2－y 2＝1D. x －y =1二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）11．双曲线221416x y -= 的渐近线的方程为_________. 12．椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆焦点到相应的准线距离是_______13．点P （x ，y ）在椭圆1163622=+y x 上，F 是椭圆的右焦点，则|FP |max = ___________ ； |FP |m i n = ___________ .14． P 是曲线1cos sin x y αα=-+⎧⎨=⎩上任意一点，则点P 到点A （2，-4）的最远距离为_________. 15．已知圆C 1：22(3)1x y ++=和圆C 2：22(3)9x y -+=，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为_____________.班级：__________ 姓名：____________ 座号：_________ 成绩：___________答 题 卡三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）已知直线l 的方程为20x +-=，圆C 的方程为 (x －1)2＋y 2=1，l 与圆C 的两个交点分别为A 、B ，求线段AB 的长.17．（本小题满分12分）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程.18．（本小题满分12分）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．19．（本小题满分12分）设F 1、F 2分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值．x20．（本小题满分13分）已知双曲线的方程为2213y x -=，设F 1、F 2分别是其左、右焦点． (1)若斜率为1且过F 1 的直线l 交双曲线于A 、B 两点，求线段AB 的长 (2)若P 是该双曲线左支上的一点，且1260F PF ∠=，求12F PF ∆的面积S21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，经过点(0且斜率为k的直线l与椭圆2212xy+=有两个不同的交点P和Q．(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A B，，是否存在常数k，使得向量OP OQ+与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．湖北省黄冈中学2007年秋季高二数学期中考试参考答案1．A 2．B 3．A 4．A 5．D 6．D 7．B 8．A 9．C 10．C11．2y x=±1213．6+-14．615．221(1)8yx x-=-≤16．解：(1,0),1C r=，. 取AB中点D，则CD⊥AB12 CD==2AB AD∴====17．解：1C的焦点坐标为(0,27e=由1273ee=得13e=设双曲线的方程为22221(,0)y xa ba b-=>则2222213139a ba ba⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得229,4a b==双曲线的方程为22194y x-=18．解：设点00(,),(,)M x y P x y，则622xxyy+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴0262x xy y=-⎧⎨=⎩．代入2008y x=得：2412y x=-．此即为点P的轨迹方程．19．解：易知2,1,a b c===12(0),0).F F设P（x, y），则22222 121(,),)313(38).44xPF PF x y x y x y x x ⋅=-⋅-=+-=+--=-因为[2,2]x∈-，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，21PF PF⋅有最小值-2.当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值1.20．解：（1）AB ：2y x =+，代入2213y x -=并整理得22470x x --= 设1122()()A x y B x y ，，， 则121272,2x x x x +==-6AB ∴===（2）设21,PF m PF n ==，则m n -=2在12F PF ∆中，由余弦定理有222162cos602m n mn m n mn mn =+-=-+- 12mn ∴=11sin 601222S mn ∴==⨯=21．解：（1）由已知条件，直线l 的方程为y kx =代入椭圆方程得22(12x kx ++=．整理得221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=-> ⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为2⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞． （2）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12212x x k+=-+． ② 又1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A B AB =，，．所以OP OQ +与AB 共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得2k =．由（1）知k <k >，故没有符合题意的常数k ．湖北省黄冈中学2007年秋季高二数学期中考试试题（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）A ．（1，0）B ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭2．如果双曲线22142x y -=右支上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到右准线的距离是（ ）ABC． D3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1、C 1D 1的中点，则异面直线AB 1与EF 所成的角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．45°D ．30° 4．下列说法正确的是（ ）A ．平面α和平面β只有一个公共点B ．两两相交的三条直线共面C ．不共面的四点中，任何三点不共线D ．有三个公共点的两平面必重合5．过双曲线22143x y -=左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M 、N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．166．P 是曲线1cos sin x y αα=-+⎧⎨=⎩上任意一点，则点P 到点A （2，-4）的最远距离是（ ） A ．6 BCD ．57．抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过Fx 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则AKF ∆的面积是（ ）11 BA ．4B ．C ．D ．88．圆22210x y x +--=关于直线230x y -+=对称的圆的方程是（ ） A ．221(3)(2)2x y ++-=B ．221(3)(2)2x y -++=C ．22(3)(2)2x y ++-=D ．22(3)(2)2x y -++=9．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为O 、F 、A 、H ，则||||FA OH 的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．不能确定10．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12e =，右焦点为F （c, 0），方程20ax bx c +-=的两个实根分别为x 1和x 2，则点P （x 1, x 2）（ ） A ．必在圆222x y +=内B ．必在圆222x y +=上C ．必在圆222x y +=外D ．以上三种情形都有可能二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）11．双曲线221x y m-=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =_____________.12．从圆222210x x y y -+-+=外一点P （3，2）向这个圆作一条切线PA ，A 为切点，则PA =_______________.13．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_________. 14．已知圆C 1：22(3)1x y ++=和圆C 2：22(3)9x y -+=，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为_____________.15．设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则||||||FA FB FC ++=____________.班级：__________ 姓名：____________ 座号：_________ 成绩：___________答 题 卡三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）以抛物线28y x 上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．17．（本小题满分12分）已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 1是上底面对角线A 1C 1、B 1D 1的交点，体对角线A 1C 交截面AB 1D 1于点P ，求证：O 1、P 、A 三点在同一条直线上.x18．（本小题满分12分）设P 是双曲线221416x y -=右支上任一点，过点P 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E 、F ，求||||PE PF ⋅的值.19．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点1(0,F -，对应的准线方程为y =（1）求椭圆的方程； （2）直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被点13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭平分，求直线l 的方程.20．（本小题满分13分）设F 1、F 2分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点.（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值；（2）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.21．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0，p ）作直线与抛物线22(0)x py p =>相交于A 、B 两点.（1）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB ∆面积的最小值；（2）是否存在垂直y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.湖北省黄冈中学2007年秋季高二数学期中考试参考答案1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6． A7．C 8．C 9．C 10．A 11．412．213114．221(1)8y x x -=-≤15．616．解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．17．证明：如答图所示，∵11111,AC B D O = ∴111111,.O AC O B D ∈∈又∵111111111111,,,.AC AC B D AB D O AC O AB D ⊂⊂∴∈∈平面平面平面平面又∵1111111,,..AC AB D P P AC P AB D P AC =∴∈∈∴∈平面平面平面 又∵111,,A AC A AB D ∈∈平面平面∴O 1、P 、A 三点都是平面AB 1D 1与平面A 1C 的公共点. ∴O 1、P 、A 三点在同一条直线上.18．解：渐近线方程为20x y ±=，设P （x 0, y 0），则222200001416416x y x y -=⇒-=由点到直线的距离公式有||||PE PF =,∴2200|4|16||||.55x y PE PF -⋅==19．解：（1）由2222.c ac a b c ⎧-=-⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩3,1a b ==即椭圆的方程为221.9y x +=（2）易知直线l 的斜率一定存在，设l ：313,.2222k y k x y kx ⎛⎫-=+=++ ⎪⎝⎭即设M （x 1, y 1），N （x 2, y 2），由223,221.9k y kx y x ⎧=++⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得2222327(9)(3)0.424k k x k k x k +++++-= ∵x 1、x 2为上述方程的两根，则2222327(3)4(9)0424k k k k k ⎛⎫∆=+-+⋅+-> ⎪⎝⎭①∴21223.9k k x x k ++=-+∵MN 的中点为13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴1212 1.2x x ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭ ∴223 1.9k k k +-=-+ ∴2239k k k +=+，解得k =3.代入①中，229927184(99)180424⎛⎫∆=-+⋅+-=> ⎪⎝⎭∴直线l ：y =3x +3符合要求.20．解：（1）易知2,1,a b c ===12(0),0).F F设P （x, y ），则22222121(,),)313(38).44x PF PF x y x y x y x x ⋅=-⋅-=+-=+--=-因为[2,2]x ∈-，故当x =0，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值-2. 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值1.（2）显然直线x =0不满足题设条件，可设直线l ：11222,(,),(,).y kx A x y B x y =+ 联立222,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得221430.4k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ∴12122243,.1144k x x x x k k +=-=++ 由2221(4)43430,4k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得k k >< ①又0900.AOB OA OB <∠<⇔⋅> ∴12120.OA OB x x y y ⋅=+>又222212121212222381(2)(2)2()44.111444k k k y y kx kx k x x k x x k k k --+=++=+++=++=+++∴222310.1144k k k -++>++即k 2<4. ∴-2<k <2. ②故由①②得2 2.k k -<<<< 21．解法一：（1）依题意，点N 的坐标为N （0，-p ），可设A （x 1, y 1），B （x 2, y 2），直线AB的方程为y kx p =+，与x 2=2py 联立得22,.x py y kx p ⎧=⎨=+⎩ 消去y 得22220.x pkx p --= 由韦达定理得212122,2.x x pk x x p +==-于是121212||||2ABN BCN ACN S S S p x x p x x ∆∆∆=+=⨯-=-=2p =∴当k =0时，2min ().ABN S ∆=（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a , AC 的中点为O '，l 与以AC 为直径的圆相交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则,O H PQ O ''⊥∵1||||2O P AC '=== 111|||2|,22y p O H a a y p +'=-=--∴22222211111||||||())(2)442p PH O P O H y p a y p a y ⎛⎫''=-=+---=- ⎪⎝⎭∴221||(2||)4().2p PQ PH a y a p a ⎡⎤⎛⎫==-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 令02p a -=，得2p a =，此时|PQ |=p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =，即抛物线的通径所在的直线. 解法二：（1）前同解法一，再由弦长公式得12|||2AB x x =-又由点到直线的距离公式得d =11||2222ABN S d AB p ∆=⋅⋅=⋅=（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y --+--=，将直线方程y=a 代入得211()()0,x x x a p a y -+--=则21114()()4().2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫∆=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P （x 3, y 3），Q （x 4, y 4），则有34||||PQ x x =-=令0,22p p a a -==得，此时|PQ |=p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =，即抛物线的通径所在的直线.。

湖北省黄冈中学2010年秋季高二数学期中考试（文）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在试验中随机事件A 的频率An p n=满足（ ） A ． 01p <≤ B ．01p ≤< C ．01p << D ． 01p ≤≤2．右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则在这几场比赛得分中甲的中位数与乙的众数之和是 （ ）A ．50B ．41C ．51D ．61.5 3．将直线1133y x =-绕其与x 轴的交点顺时针旋转090，所得到的直线的方程为（ ）A ．33y x =-+B ．33y x =--C ．31y x =--D ．33y x =-4． 已知含5个数的组数1,2,3,4,a 的平均数是3，则该数组的方差是（ ）A ． 1B ．10C ． 4D ．25．若直线l 过点(0,),A a 斜率为1，圆224x y +=上恰有1个点到l 的距离为1，则a 的值为（ ）Ａ．Ｂ．± Ｃ．2± Ｄ．6．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2, ……,270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2, ……,270，并将整个编号依次分为10段 如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，37，65，92，119，148，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ） A ②、③都不能为系统抽样 B ②、④都不能为分层抽样 C ①、④都可能为系统抽样 D ①、③都可能为分层抽样7．已知下面两个程序：甲： i=1 乙：i=1000 S=0 S=0 WHILE i<=1000 DOS=S+i S=S+i图1乙甲75187362479543685343213 4i=i+l i=i －1WEND LOOP UNTIL i<1 PRINT S PRINT SEND END对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是 （ ） A ．程序不同，结果不同 B ．程序不同，结果相同 C ．程序相同，结果不同 D ．程序相同，结果相同 8．用秦九韶算法计算多项式356()1235953f x x x x x =++++在当1x =-时的值，有如下的说法：①要用到6次乘法和6次加法；②要用到6次加法和15次乘法；③023v =-； ④311v =，其中正确的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②④D ．①③④9．已知x 、y 满足22(1)1x y -+=，则S =）AB ．2C 1D ．6-10．从圆222210x x y y -+-+=外一点(1,1)P -向这个圆作两条切线，则该圆夹在两切线间的劣弧的长为（ ） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11．若六进制数()6105m （m 为正整数）化为十进数为293，则m =________． 12．用辗转相除法或更相减损术求得1855与1120的最大公约数为 ．13从散点图分析，y 与x 线性相关，且ˆ0.95yx a =+，则a = ． 14．已知两点(3,4)A -，(3,2)B ，过点(2,1)P -的直线l 与线段AB 没有公共点．．．．．， 则直线l 的斜率k 的取值范围为 ．15．已知方程222220x y mx my ++--=表示的曲线恒过第三象限的一个定点A ，若点A 又在直线:l 10mx ny ++=上，则当正数m 、n 的乘积取得最大值时直线l 的方程是_________．16.（本小题满分12分）已知两直线1l ：80mx y n ++=和2l ：210x my +-=， （I ）若1l 与2l 交于点(,1)P m -，求,m n 的值； （Ⅱ）若12//l l ，试确定,m n 需要满足的条件。

湖北省黄冈中学2007年秋季高二数学期中考试试题（理科）命题：熊斌校对：罗欢一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ） A ．（1，0）B ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭2．如果双曲线22142x y -=右支上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到右准线的距离是（ ）ABC． D3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1、C 1D 1的中点，则异面直线AB 1与EF 所成的角的大小为（ ） A ．60° B ．90°C ．45°D ．30°4．下列说法正确的是（ ）A ．平面α和平面β只有一个公共点B ．两两相交的三条直线共面C ．不共面的四点中，任何三点不共线D ．有三个公共点的两平面必重合5．过双曲线22143x y -=左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M 、N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |的值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．166．P 是曲线1cos sin x y αα=-+⎧⎨=⎩上任意一点，则点P 到点A （2，-4）的最远距离是（ ）A ．6BCD ．57．抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过Fx 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则AKF ∆的面积是（ ） A ．4B．C．D ．88．圆22210x y x +--=关于直线230x y -+=对称的圆的方程是（ ） A ．221(3)(2)2x y ++-=B ．221(3)(2)2x y -++=C ．22(3)(2)2x y ++-=D ．22(3)(2)2x y -++=9．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为O 、F 、A 、H ，则||||FA OH 的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．不能确定10．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12e =，右焦点为F （c, 0），方程20ax bx c +-=的两个实根分别为x 1和x 2，则点P（x 1, x 2）（ ）11BA ．必在圆222x y +=内B ．必在圆222x y +=上C ．必在圆222x y +=外D ．以上三种情形都有可能二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）11．双曲线221x y m-=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =_____________.12．从圆222210x x y y -+-+=外一点P （3，2）向这个圆作一条切线PA ，A 为切点，则PA =_______________. 13．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_________.14．已知圆C 1：22(3)1x y ++=和圆C 2：22(3)9x y -+=，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为_____________.15．设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++= ，则||||||FA FB FC ++=____________.班级：__________ 姓名：____________ 座号：_________ 成绩：___________答 题 卡三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）以抛物线28y x 上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．17．（本小题满分12分）已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 1是上底面对角线A 1C 1、B 1D 1的交点，体对角线A 1C 交截面AB 1D 1于点P ，求证：O 1、P 、A 三点在同一条直线上.x18．（本小题满分12分）设P 是双曲线221416x y -=右支上任一点，过点P 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E 、F ，求||||P E P F ⋅的值.19．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的一个焦点1(0,F -，对应的准线方程为y =.（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被点13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭平分，求直线l 的方程.20．（本小题满分13分）设F 1、F 2分别是椭圆2214xy +=的左、右焦点. （1）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值；（2）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.21．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0，p ）作直线与抛物线22(0)x py p =>相交于A 、B 两点.（1）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB ∆面积的最小值；（2）是否存在垂直y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.湖北省黄冈中学2007年秋季高二数学期中考试参考答案1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6． A7．C 8．C 9．C 10．A 11．412．213114．221(1)8y x x -=-≤15．616．解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．17．证明：如答图所示，∵11111,AC B D O = ∴111111,.O AC O B D ∈∈ 又∵111111111111,,,.AC AC B D AB D O AC O AB D ⊂⊂∴∈∈平面平面平面平面又∵1111111,,..AC AB D P P AC P AB D P AC =∴∈∈∴∈ 平面平面平面 又∵111,,A AC A AB D ∈∈平面平面∴O 1、P 、A 三点都是平面AB 1D 1与平面A 1C 的公共点. ∴O 1、P 、A 三点在同一条直线上.18．解：渐近线方程为20x y ±=，设P （x 0, y 0），则222200001416416x y x y -=⇒-=由点到直线的距离公式有||||PE PF =,∴2200|4|16||||.55x y PE PF -⋅==19．解：（1）由2222.c ac a b c ⎧-=-⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩3,1a b ==即椭圆的方程为221.9y x +=（2）易知直线l 的斜率一定存在，设l ：313,.2222k y k x y kx ⎛⎫-=+=++ ⎪⎝⎭即设M （x 1, y 1），N （x 2, y 2），由223,221.9k y kx y x ⎧=++⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2222327(9)(3)0.424k k x k k x k +++++-= ∵x 1、x 2为上述方程的两根，则2222327(3)4(9)0424k k k k k ⎛⎫∆=+-+⋅+-> ⎪⎝⎭①∴21223.9k k x x k ++=-+∵MN 的中点为13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴1212 1.2x x ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭ ∴223 1.9k k k +-=-+∴2239k k k +=+，解得k =3.代入①中，229927184(99)180424⎛⎫∆=-+⋅+-=> ⎪⎝⎭∴直线l ：y =3x +3符合要求.20．解：（1）易知2,1,a b c ===12(0),0).F F设P （x, y ），则22222121(,),)313(38).44x PF PF x y x y x y x x ⋅=-⋅-=+-=+--=-因为[2,2]x ∈-，故当x =0，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值-2. 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值1.（2）显然直线x =0不满足题设条件，可设直线l ：11222,(,),(,).y kx A x y B x y =+ 联立222,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得221430.4k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ∴12122243,.1144k x x x x k k +=-=++ 由2221(4)43430,4k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得k k <① 又0900.AOB OA OB <∠<⇔⋅> ∴12120.OA OB x x y y ⋅=+>又222212121212222381(2)(2)2()44.111444k k k y y kx kx k x x k x x k k k --+=++=+++=++=+++∴222310.1144k k k -++>++即k 2<4. ∴-2<k <2. ②故由①②得2 2.k k -<<<< 21．解法一：（1）依题意，点N 的坐标为N （0，-p ），可设A （x 1, y 1），B （x 2, y 2），直线AB 的方程为y kx p =+，与x 2=2py 联立得22,.x py y kx p ⎧=⎨=+⎩ 消去y 得22220.x pkx p --= 由韦达定理得212122,2.x x pk x x p +==-于是121212||||2ABN BCN ACN S S S p x x p x x ∆∆∆=+=⨯-=-=2p =∴当k =0时，2min ().ABN S ∆=（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a , AC 的中点为O '，l 与以AC 为直径的圆相交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则,O H PQ O ''⊥点的坐标为11,.22x y p +⎛⎫⎪⎝⎭∵1||||2O P AC '=111|||2|,22y p O H a a y p +'=-=-- ∴22222211111||||||())(2)442p PH O P O H y p a y p a y ⎛⎫''=-=+---=- ⎪⎝⎭∴221||(2||)4().2p PQ PH a y a p a ⎡⎤⎛⎫==-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 令02p a -=，得2p a =，此时|PQ |=p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =，即抛物线的通径所在的直线. 解法二：（1）前同解法一，再由弦长公式得12|||2AB x x =-又由点到直线的距离公式得d =11||2222ABN S d AB p ∆=⋅⋅=⋅= （2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y --+--=，将直线方程y=a 代入得211()()0,x x x a p a y -+--= 则21114()()4().2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫∆=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P （x 3, y 3），Q （x 4, y 4），则有34||||PQ x x =-=令0,22p p a a -==得，此时|PQ |=p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =，即抛物线的通径所在的直线.。

湖北省黄冈中学秋季高二数学期中考试试题（文科）立体几何、算法初步、概率统计、直线与圆的方程、数列、不等式命题：徐永杰 审题：蔡盛 校对：周永林（考试时间120分钟 满分150分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( ) A ．7 B ．15 C ．25 D ．352.下列各数中最小的数为( )A ．(4)33B ．(2)1110C ． (3)122D ．(5)213．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )A ．3πB ．2πC ．πD ．4π4．下列说法中正确的是（ ）A ．频率是概率的近似值，随着试验次数增加，频率会越来越接近概率.B ．要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，这样对被剔除者不公平.C ．根据样本估计总体，其误差与所选取的样本容量无关.D ．数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半.5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49263954根据表可得回归方程ˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63．6万元 B ．65．5万元C ．67．7万元D ．72．0万元6．设,m n 是不同的直线，α,β是不同的平面，下列四个命题其中真命题的序号是( )①若m ⊥α，n ⊥α，则//m n ；②若⊥αβ，//m α，则m ⊥β； ③若m ⊥α，m n ⊥，则//n α； ④若n ⊥α，n ⊥β，则//βα． A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( ) A ．至少有一个红球与都是红球 B ．至少有一个红球与都是白球 C ．至少有一个红球与至少有一个白球D ．恰有一个红球与恰有二个红球8．如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断 框①处应填入的条件是( ) A ．2?n > B ．3?n >C ．4?n >D ．5?n >9．动点P 到点(8,0)A 的距离是到点(2,0)B 的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( ) A ．2232x y +=B ．2216x y += C ．22(1)16x y -+=D ．22(1)16x y +-=10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（ ）A ．12B ．14C ．32D ．34二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11．空间直角坐标系中与点(2,3,5)P 关于yoz 平面对称的点的坐标为 ．12．已知一组数据1，2，m ，4的平均数是3，则这组数据的方差为 ．13．根据右图算法语句，当输出y 的值为31时，输入的x 值为 ．14．若曲线222410x y x y ++-+=上的任意一点关于直线220(,)ax by a b R +-+=∈的对称点仍在该曲线上，则11a b+最小值是______ ．15．正方体1111ABCD A B C D -中,E 是棱1CC 的中点,F 是侧面11BCC B 内的动点,且1//A F 平面1D AE ,若正方体1111ABCD A B C D -的棱长是2,则F 的轨迹被正方形11BCC B 截得的线段长是________.三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）如图所示:下列程序框图的输出结果构成了数列{}n a 的前10项．（1）求数列的第3项3a 、第4项4a 以及数列的递推公式； （2）证明：数列1n a {+}为等比数列；并求数列{}n a 的通项公式．17．（本小题满分12分）高二某班50名学生在一次百米测试中， 成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式 分成五组，第一组[13,14)，第二组[14,15),…，第五组[17,18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （1）若成绩在区间[14,16)内规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数； （2）请根据频率分布直方图估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．18.（本小题满分12分）三棱柱111ABC A B C -，侧棱与底面垂直， 90ABC ∠=，12AB BC BB ===，,M N 分别是AB ，1A C 的中点．（1）求证：MN ∥平面11BCC B ；INPUT xIF x <=50 THEN y=0.5 * x ELSEy=25+0.6*(x -50) END IF PRINT y END13题图 侧视图正视图16俯视图0.38 0.340.1813 14 15 16 17 18 秒频率 / 组距 否结束i>10? 输出AA=0,i=1A=2A+1开始i=i+1是（2）求证：MN ⊥平面11A B C ； （3）求三棱锥M -11A B C 的体积．19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，2C A =，3cos 4A =．（1）求cos ,cos C B 的值； （2）若1574ABC S ∆=AC 的长．20．（本小题满分13分）如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点．（1）求证：平面BDE ⊥平面ACE ；（2）已知1CE =，点M 为线段BD 上的一个动点，直线EM 与平面ABCD 所成角的最大值为4π． ①求正方形ABCD 的边长；②在线段EO 上是否存在一点G ，使得CG ⊥平面BDE ？若存在，求出EGEO的值；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分14分）已知圆220x y x +-=与直线10x y +-=交于,P Q 两点，动圆C 过,P Q 两点．（1）若圆C 的圆心落在直线12y x =上，求圆C 的方程； （2）求动圆C 的面积的最小值；（3）若圆C 与x 轴相交于两点,M N （点N 横坐标大于1）．若过点M 任作一条直线与圆O ：422=+y x 交于,A B 两点，都有BNM ANM ∠=∠，求圆C 的方程．考试试卷答案 1.【答案】B【解析】由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15． 2.【答案】D【解析】(4)(2)(3)(5)3315,111014,12217,2111==== 3.【答案】A【解析】原几何体为一个半球，表面积为23πππ+=． 4.【答案】A【解析】B 选项是错的，系统抽样对每个学生而言被抽到概率相等． C 选项是错的，样本容量越大，误差越小．D 选项是错的，数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的14． 5.【答案】B【解析】样本中心点是(3.5,42)， ˆˆy bxa -=＝42－9.4×3.5＝9.1，以回归方程是ˆ9.49.1y x =+，把x ＝6代入得ˆy ＝65.5．6.【答案】B【解析】与同一个平面垂直的两条直线互相平行，故①为真命题；当⊥αβ，//m α，时，可能有m ⊥β，也可能有m β⊂，故②为假命题；当m ⊥α，m n ⊥，则//n α，也可能有n α⊂故③为假命题；与同一条直线垂直的两个平面互相平行，故④为真命题．故选B.7.【答案】D【解析】对于A 中的两个事件不互斥，对于B 中两个事件互斥且对立，对于C 中两个事件不互斥，对于D 中的两个互斥而不对立．16A DBCA 18.【答案】B【解析】第一次循环12s ,n ==；第二次循环3263s ,n =⨯==；第三次循环(63)3274s ,n =+⨯==.此时满足条件跳出循环，输出27s =.因此判断框①处应填3n >.故选B. 9.【答案】B【解析】设(,)P x y ，则由题意可得=化简整理得2216x y +=. 10.【答案】A【解析】由三视图，还原几何体为三棱锥A BCD -， 且三条侧棱两两垂直，如图所示，设,AD x AB y ==,则体积111326V xy xy =⋅=，在Rt ABD ∆中，226x y +=，故62xy ≥，则3xy ≤，所以12V ≤． 11.【答案】(2,3,5)-． 12.【答案】25.．【解析】已知一组数据1，2，m ，4的平均数是3124354m m +++∴=∴=，则这组数据的方差为22221[(13)(23)(53)(43)] 2.54-+-+-+-=． 13.【答案】60．【解析】0.5(50)250.6(50)(50)xx y x x ≤⎧=⎨+->⎩，当y 的值为31时，x 的值为60.14.【答案】4【解析】因为曲线222410x y x y ++-+=上的任意一点关于直线220(,)ax by a b R +-+=∈的对称点仍在该曲线上,11112220124a ba b ,ab ,()(a b )a b a b b a∴--+=∴+=∴+=++=++≥． 15.【解析】取111,BB B C 的中点P ，Q . 易证，面1A PQ面1AD E ，所以点F 的轨迹即为线段PQ ，所以点F 的轨迹的长度为：112PQ BC == 16.解：（1）123411371521n n a ,a ,a ,a ,a a +=====+． （2）证明：112112(1)n n n n a a ,a a ++=+∴+=+，所以数列为等比1n a {+}比数列， 111(1)2221n n nn n a a ,a -+=+=∴=- ．17.解：（1）根据直方图可知成绩在[)16,14内的人数：2838.05018.050=⨯+⨯人 ．（2）由图可知众数落在第三组[)16,15是5.1521615=+． 因为数据落在第一、二组的频率5.022.008.0104.01<=⨯+⨯= 数据落在第一、二、三组的频率5.06.038.0108.0104.01>=⨯+⨯+⨯=所以中位数一定落在第三组[)16,15中.假设中位数是x ，所以()5.038.01522.0=⨯-+x ,解得中位数74.157368.1519299≈≈=x ． 18.解：（1）连结1BC ，1AC ，∵,M N 是AB ，1A C 的中点∴MN ∥1BC ．又∵MN ⊄平面11BCC B ，∴MN ∥平面11BCC B ． （2）∵三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直， ∴四边形11BCC B 是正方形．∴11BC B C ⊥．∴1MN B C ⊥．连结1,A M CM ，1AMA AMC ∆≅∆． ∴1A M CM =，又N 中1A C 的中点，∴1MN AC ⊥． ∵1B C 与1AC 相交于点C ，∴MN ⊥平面11A B C ．（3）由（2）知MN 是三棱锥M -11A B C 的高．在直角MNC ∆中，1MC A C ==∴MN =．又11A B CS=11111433M A B C A B CV MN S-=⋅=． 19.解：（1）23122148C A,cos A ,cos C cos A ,sinC A ===-=∴==916cos B cos(A C )sin AsinC cos Acos A ∴=-+=-=． （2）127sin ,2422ABC S ac B ac ∆=∴=∴=,又由正弦定理a c sin A sinC =，得32c a =. 解得46a ,c ==,2222255b a c ac cos B ,b ∴=+-=∴=． 20.解：（1）证明：底面ABCD 是正方形,BD AC ∴⊥，EC ⊥底面ABCD ,∴BD EC ⊥.BD ACE ∴⊥平面，∴平面BDE ⊥平面ACE ．（2）①点M 为线段BD 上的一个动点，EC ⊥底面ABCD ,∴直线EM 与平面ABCD 所成角为EMC ∠，ECtan EMC CM∠=．当CM 最小时，直线EM 与平面ABCD 所成角的最大，当BD CM ⊥时，即M 为O 点时，直线EM 与平面ABCD 所成角的最大． 此时1CO =，正方形ABCD． ②存在，当G 为EO 中点，即12EG EO =时，CG ⊥平面BDE ． BD ACE,BD CG ∴⊥∴⊥平面，又ECO ∆为等腰三角形,CG EO ∴⊥，CG ∴⊥平面BDE ．解： （1）设圆C 方程为2210x y x x y λ+=+-+-()， 122C ,,λλ-⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ 111222,λλλ-∴-=⋅∴=-∴圆C 方程为22102x y x y -+-=+． （2）圆220x y x +-=与直线10x y +-=交于,P Q 两点，联立方程求得两个交点坐标为11(10),Q()22P ,,,以线段PQ 为直径的圆面积最小，148min ,S π=∴=． （3）设圆C 方程为2210x y x x y λ+=+-+-()， 令20(1)0(1)()11M N y ,x x -,x x+=0,x ,x ,λλλλλ=+-=∴-==-->.设直线AB 的方程为)1(-=x k y ，代入422=+y x ，得042)1(2222=-+-+k x k x k ，设),,(),,(2211y x B y x A 从而2221222114,12kk x x k k x x +-=+=+. 因为BNM ANM ∠=∠，所以12120y y x x λλ+=++， 即1212211212[(1)()(1)()]0()(y y k x x x x x x x x )λλλλλλ-++-++==++++. 即12211221(1)()(1)()2(1)()20x x x x x x x x λλλλ-++-+=+-+-=∴2222422(1)211k k k kλλ-+--++22801a k -==+，得4λ=-． 当直线AB 与x 轴垂直时，也成立． ∴圆C 的方程为225440x x y y -+-+=．。

黄冈中学2001年秋高二年级期中考试数 学 试 题一、选择题：（本大题共60分，每小题5分） 1．下列说法中正确的是（ ）A ．k xx yy =--11表示过点P （x 1,y 1）且斜率为k 的直线方程 B ．直线y =kx +b 与y 轴交点到原点的距离为b C ．在x 轴和y 轴上截距分别为a 、b 的直线方程是1=+by a x D ．方程（x 2－x 1）(y －y 1)=(y 2－y 1)(x －x 1)表示过两点P 1（x 1,y 2）,P 2(x 2,y 2)的直线方程 2．若a ﹤b ﹤0，则下列不等式关系中不能成立的是（ ） A ．a 1﹥b 1 B ．b a -1﹥a1 C ．|a |﹥|b | D ．a 2﹥b2 3．已知A （4，1），B （－2，4）两点，则直线AB 与x 轴的交点P 分有向线段AB 所成的比为（ ） A ．－4 B ．4 C ．－41D ．－31 4．函数y =1222+++x x x (x ﹥－1)的图象的最低点的坐标是（ ）A ．（1，2）B ．（1，－2）C ．（0，2）D ．不存在 5．直线l 经过A （2，1），B （1，m 2）两点（m ∈R ），那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[)π,0 B ．),2(]4,0[πππ⋃ C ．]4,0[π D ．),2[]4,0[πππ⋃6．如果x 、y 为正实数，且x +y ≤4，那么（ ） A ．y x +1≤41B ．xy ≥2C ．y x 11+≥1D ．xy1≥1 7．如图，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3,则（ ） A ．k 1﹤k 2﹤k 3 B ．k 3﹤k 1﹤k 2 C ．k 3﹤k 2﹤k 1 D ．k 1﹤k 3﹤k 28．集合M ={x |24x ﹤8x },N =}0)1(log |{31φ-x x ,则N M ⋂=（ ）A ．（0，23） B ．（23，2） C ．（1，23） D ．φ 9．在直线l :x +y =1上求一点P ，使它到点A （4，1）和B （0，4）的距离之和最小，那么P 点的坐标是（ ） A ．（2，25） B ．（0，1） C ．（94，95） D ．（－31，34） 10．对数方程|lg(2x －3)|+|lg(4－x 2)|=|lg(2x －3)+lg(4－x 2)|的解是（ ） A ．23﹤x ﹤2 B ．23﹤x ﹤3 C ．－2﹤x ﹤2 D ．3≤x ﹤2 11．已知直线C 1：y =mx －1,C 2：y =1,|x |≤1,要使C 1与C 2总有公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[－1，1]B ．（－∞，1）C ．[)+∞,1D ．(][)+∞⋃-∞-,22, 12．设a 、b ∈R +，且2a +b =1，则S =2ab －4a 2－b 2的最大值是（ ） A ．2－1 B ．212- C ．2＋1 D ．212+ 二、填空题：（每小题4分，共16分） 13．设不等式6522---x x m x ﹤0的解为x ﹤－1或2m ﹤x ﹤6，则实数m 的取值范围是 . 14．对任意实数m ，直线（m +3)x +(2m －1)y +7=0恒过定点 .15．过点（－1，1）的所有直线中，与点（2，－1）距离最远的直线方程为 . 16．已知三个不等式①ab ﹥0;②－a c ﹤－bd;③bc ﹥ad 以其中两个做条件，余下一个做结论，则可以组成 个正确命题.三、解答题17．解下列不等式（1）)12(2log -x （3x 2+2x －1）﹤1（2）15++x x ﹤1 18．（10分）设不等式5－x ﹥7|x +1|与ax 2+bx +2﹥0同解，求a 、b 的值 . 19．（12分）光线由点P （1，2）射到直线x +y +1=0上，反射后经过点Q （1，－1），求入射光线及反射光线所在的直线方程.20．（12分）已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：2（2b a +－ab ）≤3（3c b a ++－3abc ） 21．（14分）已知函数y =log a (a 2x )2log a (ax )(a ﹥0且a ≠1)的最小值是－81，最大值是0，其定义域恰是不等式4x －1－5·2x ＋16≤0的解，求a 的值.22．（14分）已知在直角坐标系中，线段AB 与y 轴垂直，且不在x 轴上，其长度为2，AB 的中点C 在直线x ＋2y －4=0上，求∠AOB 的最大值.。

湖北省黄冈中学2007年秋季高一数学期中考试试题命题：霍祝华 审校：王宪生一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 设P ={x |x 2－5x ＋6=0}，S ={x |x 2－x －2=0}，则card(P ∪S )=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42． 下列式子的运算结果不是负数的是（ ）A ．23log 5B ．135log 4C ．123--D ．2(2)--3． 若函数f (x )=a x ＋b 的图象过点(1，7)，且f －1(4)=0，则f (x )的表达式是（ ）A ．f (x )=3x ＋4B ．f (x )=4x ＋3C ．f (x )=2x ＋5D ．f (x )=5x ＋24． 设函数812(,2]()log (2,)xx f x xx -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩ 则满足1()4f x =的x 值为（ ） A ．2 B ．3C ．2或3D ．－25． 函数2x xe e y --=的反函数是（ ）A ．奇函数，在(0，＋∞)上是减函数B ．偶函数，在(0，＋∞)上是减函数C ．奇函数，在(0，＋∞)上是增函数D ．偶函数，在(0，＋∞)上是增函数6． 设A ={x |0≤x ≤2}，B ={y |1≤y ≤2}，在下列各图中，能表示从集合A 到集合B 的映射的是（ ）7．为了得到函数13()3x y =⨯的图象，可以把函数1()3x y =的图象（ ）A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度8．0.4－2.5，0.21()2，85(2)-的大小关系为（ ）A ．80.22.551()(2)0.42-<-<B ．8 2.50.251(2)0.4()2--<<C ．82.50.2510.4()(2)2-<<-D ．80.2 2.551()0.4(2)2-<<-9．在f (m ，n )中，m 、n 、f (m ，n )∈N *，且对任何m ，n 都有：(i)f (1，1)=1；(ii)f (m ，n ＋1)=f (m ，n )＋2；(iii)f (m ＋1，1)=2f (m ，1).给出以下三个结论：(1)f (1，5)=9；(2)f (5，1)=16；(3)f (5，6)=26，其中正确的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个10．给出结论：①命题“(x －1)(y －2)=0，则(x －1)2＋(y －3)2=0”的逆命题为真；②命题“若x >0，y >0，则xy >0”的否命题为假；③命题“若a <0，则x 2－2x ＋a =0有实根”的逆否命题为真；④“3x -=x =3或x =2”的充分不必要条件. 其中结论正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上. 11．函数113x y +=的值域为_____________.12．已知全集为实数集R ，不等式|x －1|－|2x ＋1|<－3的解集为P ，则R P ð=_________. 13．已知f (x )是R 上不恒为零的函数，且对任意的a ，b ∈R ，都满足f (ab )=af (b )＋bf (a )，则f (－1)的值是___________.14．已知12()log 3f x x =+的反函数为f －1(x )，则使f －1(x )<x －2成立的x 的取值范围是_________.15．已知函数f (x )在定义域内是递减函数，且f (x )<0恒成立，给出下列函数：①y =－5＋f (x )；②y =；③15()y f x =-；④y =[f (x )]2；其中在其定义域内单调递增的函数的序号是______________.班级_____________ 姓名_____________ 座号_____________答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案题号 11 12 13 14 15 答案三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明或演算步骤. 16．(本小题满分12分)(1)计算2lg51++- (2)已知11223a a -+=，求33222223a a a a --++++的值.17．(本小题满分12分)已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M . (1)若a =4时，求集合M .(2)若3∈M 且5∉M ，求实数a 的取值范围.18．(本小题满分12分)某城市2006年底人口总数为100万人，如果人口年自然增长率为1%，试解答下面的问题：(1)写出x年后该城市人口数y(万人)与x的函数关系式；(2)计算2008年底该城市人口总数.19．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R上的增函数，设F(x)=f(x)－f(a－x)，用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数.20．(本小题满分13分)已知函数2()log f x x ，g (x )=x ，q (x )=2x .(1)设m (x )=q (x )－g (x )，n (x )=g (x )－f (x )，当x >1时，试比较m (x )与n (x )的大小(只需要写出结果，不必证明)；(2)设P 是函数g (x )图象在第一象限上的一个动点，过点P 分别作平行于x 轴、y 轴的直线与函数q (x )和f (x )的图象分别交于A 点、B 点，求证：|P A |=|PB |； (3)设函数F (x )=f (|x －1|)＋f (|x ＋2|)，求函数F (x )在区间[－1，0]上的最大值和最小值.21．(本小题满分14分)设函数f(x)=a x＋3a(a>0，且a≠1)的反函数为y=f－1(x)，函数y=g(x)的图象与函数y=f－1(x)的图象关于点(a，0)对称.(1)求函数y=g(x)的解析式；(2)是否存在实数a，使得当x∈[a＋2，a＋3]时，不等式|f－1(x)－g(－x)|≤1恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.湖北省黄冈中学2007年秋季高一数学期中考试试题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 CDBCCDDAAA题号 1112131415答案(0，1)∪(1，＋∞)[－5，1](3，＋∞)②④1．C 解析：P ={2，3}，S ={－1，2}，∴P ∪S ={－1，2，3}，card(P ∪S )=32．D 解析：223log log 105<=，11335log log 104<= 1230--< 2(2)40-=>，故选D3．B解析：f (x )=a x ＋b 过点（1，7），∴a 1＋b =7 ① 又f －1(4)=0，∴f (0)=4，∴a 0＋b =4② 由①②得：a =4，b =3，故选B.4．C 解析：x =2时，f (x )=2－2=14 x =3时，811()log 34f x ==，故选C. 5．C解析：分析知1()2x x y e e -=-在R 内为奇函数，且在(0，＋∞)上↑，故其反函数为奇函数，在(0，＋∞)上↑6．D 解析：由定义知：A 中的每一个元素在B 中都可找到唯一的象与之对应，故选D.7．D 解析：∵(1)13()33x x y --=⨯= 1()33xx y -==8．A 解析：∵80.251()1(2)2<<- 81.62.55(2)22.5-=< ∴80.2 2.551()(2)0.42-<-<9．A解析：f (1，5)=f (1，4＋1)=f (1，4)＋2=……=f (1，1)＋2×4=9. ∴(1)对， f (5，1)=f (4＋1，1)=2f (4，1)=24·f (1，1)=16，(2)对.f (5，6)=f (5，5＋1)=f (5，5)＋2=f (5，1)＋10=16＋10=26 (3)对，故选A.10．A11．(0，1)∪(1，＋∞) 解析：∵101x ≠+ ∴y >0且y ≠1.12．[－5，1] 解析：|x －1|－|2x ＋1|<－3 当12x <-时1－x ＋2x ＋1<－3⇒x <－5 ∴x <－5112x -当≤≤时 1－x －(2x ＋1)<－3⇒x >1 无解当x >1时 x －1－(2x ＋1)<－3⇒x >1 ∴x >1综上x <－5或x >1∴[5,1]R P =-ð13．0 解析：当a =b =1时f (1)=2f (1)⇒f (1)=0当a =b =－1时f (1)=－2f (－1)⇒f (－1)=0∴f (－1)=02-14．(3，＋∞) 解析：12()log 3f x x =+的反函数为131()()2x f x --= (x ∈R )∴31()22x x -<-解方程31()22x x -=-由图象可知x =3 ∴x ∈(3，＋∞)15．②④ 解析：①↓ ②中∵f (x )↓ ∴－f (x )↑ 故y =↑③f (x )↓1()f x ⇒↑1()f x -↓ ∴15()y f x =-↓ ④看成复合函数 y =t 2和t =f (x ) 在t ∈(－∞，0)上y =t 2↓ t =f (x )↓ ∴y =[f (x )]2 ↑ 故填②④16．解：(1)原式=2lg51++-l (l g 2l g 5)l l g 1l g 21=++-+=(2)由11223a a-+=，知111222()27a a a a --+=+-= 221()247a a a a --+=+-=故33111222222222()(1)23(71)22334735a a a a a a a a a a -----++++-+⨯-+===+++++ 17．解：(1)当a =4时，原不等式等价于24504x x -<-，解得x <－2或524x <<，即集合M ={x |x <－2，或524x <<}.(2)由3∈M ，得3509a a -<-，解得a >9或53a <. 由5∉M ，得55025a a--≥或25－a =0，解得1≤a ≤25. 综上所述，所求a 的取值范围为513a <≤或9<a ≤25. 18．(1)x 年后该城市人口总数为：y =100×(1＋1%)x .(2)2008年底该城市人口总数为：y =100×(1＋1%)2=100×1.012=102.01(万人)19．解：任取x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，则F (x 1)－F (x 2)=[f (x 1)－f (a －x 1)]－[f (x 2)－f (a －x 2)]=[f (x 1)－f (x 2)]＋[f (a －x 2)－f (a －x 1)]. 由x 1<x 2，得a －x 2<a －x 1. 由f (x )是R 上的增函数，得f (x 1)<f (x 2)，f (a －x 2)<f (a －x 1). ∴F (x 1)－F (x 2)<0，即F (x 1)<F (x 2). 故F (x )是R 上的增函数. 20．解：(1)大小关系：m (x )>n (x ).(2)设P (x ，y )，其中x >0. 由P 在直线g (x )=x 上，∴设P (t ，t )，由t =2x，得2log x t =， ∴A (log 2t ，t ). 由log 2t =y ，得B (t ，log 2t ). ∵|P A |=|t －log 2t |，|PB |=|t －log 2t |，∴|P A |=|PB |.(3)F (x )=f (|x －1|)＋f (|x ＋2|)=log 2|x －1|＋log 2|x ＋2|=2219log |()|24x +-，其中x ≠1，且x ≠－2. ∴当12x =-时，max 2()2log 32f x =-，当x =－1或0时，∴f (x )min =1.21．解：(1)由f (x )=a x ＋3a ，得1()log (3)a f x x a -=-，x >3a . 又函数y =g (x )的图象与y =f －1(x )的图象关于点(a ，0)对称，设P (x ，y )为y =g (x )图象上任一点，则点P 关于点(a ，0)的对称点(2a －x ，－y )在y =f －1(x )的图象上，∴－y =log a (2a －x －3a ) 则有：g (x )=－f －1(2a－x )=－log a (－x －a )，x <－a .(2)假设存在实数a ，使得当x ∈[a ＋2，a ＋3]时，不等式|f －1(x )－g (－x )|≤1恒成立，则有|log a (x －3a )＋log a (x －a )|≤1，x >3a ，即－1≤log a (x 2－4ax ＋3a 2)≤1. 由3a <a ＋2及a >0， 得0<a <1. ∴a ≤x 2－4ax ＋3a 2≤1a ，即22224301430x ax a a x ax a a ⎧-+-⎪⎨-+-⎪⎩≥≤解不等式①，得2x a ≤2x a +≥由题设知[a ＋2，a ＋3]⊆2(,2[2]a a a -∞-++∞，∴32a a +≤22a a +≥ 结合0<a <1，解得40.5a <≤对于不等式②，令h (x )=x 2－4ax ＋3a 2－1a，则[a ＋2，a ＋3]是不等式h (x )≤0的解集的子集的充要条件是221(2)(21)01(3)(691)0h a a ah a a a a ⎧+=--⎪⎪⎨⎪+=--+⎪⎩≤≤ 结合0<a <1，解得0a <综上所述，存在0a <，使得当x ∈[a ＋2，a ＋3]时，不等式1|()()|1f x g x ---≤恒成立.① ②。

湖北省黄冈中学2007年春季高二数学期末考试试题（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，满分50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．()0'0f x =是可导函数)(x f 在点0x x =处取极值的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2． 一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试2次，那么其中恰有1次获得通过的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．343．若函数322,1()15,131x x a x f x ax x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪+⎩在点x=1处连续，则实数a 等于 （ ）A .4B .14- C. 144--或 D. 144-或4．下列命题中不正确的是（其中,l m 表示直线，,,αβγ表示平面）( )A. ,,l m l m αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥B. ,,l m l m αβαβ⊥⊂⊂⇒⊥C. ,//αγβγαβ⊥⇒⊥D. //,,l m l m αβαβ⊥⊂⇒⊥5．某文艺团体下基层进行宣传演出，原准备的节目表中有6个节目，如果保持这些节目的 相对顺序不变，在它们之间再插入2个小品节目，并且这2个小品节目在节目表中既不排头，也不排尾，则不同的插入方法有 ( ) A.20种B.30种C.42种D.56种6．已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(，121509n a a a n -+++=- 则n 的值 （ ）A.7B.8C.9D.107．已知32()26([2,2]f x x x m m =-+-为常数）在上有最大值3，那么此函数在[2,2]-上的最小值为（）A. 37-B. 29-C. 5-D. 11-8．已知随机变量8ξη+=，若()~10,0.6B ξ，则,E D ηη分别是（ ）A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.69．已知222lim 2x x cx a x →++=-，且函数ln b y a x c x=++在(1,)e 上具有单调性，则b 的取值范围是（ ）A.(,1][,)e -∞+∞B.(,0][,)e -∞+∞C.(,]e -∞D.[1,]e10．若函数f (x )=32ax bx cx d +++A . a <0 b >0 c >0 d <0B .a <0 b <0 c >0 d <0C .a <0 b >0 c <0 d <0D .a <0 b <0 c <0 d <0第Ⅱ卷（非选择题，满分100二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，请你根据以上信息补全表格中的数据. 12．曲线326310x x y ---=在点(1,2)-处的切线方程为________________。

湖北省黄冈中学2007年春季高二数学期末考试试题（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，满分50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数的单调减区间为（ ）A.（1，2）B.（－1，1）C.（，－1）D.2．A 一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试2次，那么其中恰有1次获得通过的概率是 （ ）A ．12B ．13C ．14D ．343．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ）A ．300种B ．240种C ．144种D ．96种 4. “p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的 （ ）A 充分不必要条件；B 必要不充分条件；C 充要条件；D 既不充分又不必要条件5．下列命题中不正确的是（其中,l m 表示直线，,,αβγ表示平面）( )Ａ.,,l m l m αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥ Ｂ.,,l m l m αβαβ⊥⊂⊂⇒⊥ Ｃ.,//αγβγαβ⊥⇒⊥ Ｄ. //,,l m l m αβαβ⊥⊂⇒⊥6．已知(p x x -22)6的展开式中，不含x 的项是2720,那么正数p 的值是 （ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．47．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下： 9.4, 8.4, 9.4, 9.9, 9.6, 9.4, 9.7,去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ） Ａ.9.5, 0.04 Ｂ.9.5, 0.016 Ｃ.9.4, 0. 484Ｄ.9.4, 0.0168．已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(，121509n a a a n -+++=-，则n 的值 （ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 9． 一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率都是1,2且是互相独立的，则灯亮的概率是 .( ）A ．164B ．5564C ．18D ．11610．若函数f (x )=32ax bx cx d +++的图象如图所示，则一定有（ ）A.a <0 b >0 c >0 d <0 B .a <0 b <0 c >0 d <0 C .a <0 b >0 c <0 d <0 D .a <0 b <0 c <0 d <0第Ⅱ卷（非选择题，满分100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A 、C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员只记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，请你根据以上信息补全表格中的数据. 12．曲线326310x x y ---=在点(1,2)-处的切线方程为________。

高二（下）期中考试数学试题（文科）（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、抛物线28y x =的准线方程是（ ）A.2x =-B.4x =-C.2y =-D.4y =-2、曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A.19 B.29 C.13 D.233、函数46y x x =-+-的最小值为（ ）A ．2B ．4 D ．64、若点A 的坐标是(3,2)，F 是抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上移动，为使得PA PF +取得最小值，则P 点的坐标是（ ）A. (1,2)B. (2,1)C. (2,2)D. (0,1)5、一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ）A ．6mB ． mC ．4.5mD ．9m6、函数32)(ax x x f +-=，若1)2(='f ，则=a （ ） A.4 B.41 C.-4 D.41-7、()y f x =在定义域(3,6)-内可导,其图象如图,其导函数为()y f x '=,则不等()0f x '≤ 的解集是（ ）A.(][]3,12,4-B.[][)2,13,5--C.[][)1,24,6-D.(][][)3,21,35,6--8、若,x y R ∈且满足32x y +=，则3271x y++的最小值是（ ）A ．．1+．6 D ．79、已知三角形的三边长分别为,,a b c ，设,,1111a b c a b M N Q a b c a b+=+==+++++，则 ,M N 与Q 的大小关系是（ ）A.M N Q <<B.M Q N <<C.Q N M <<D.N Q M <<10、已知函数223y x x =--+在区间] ,[2a 上的最大值为433, 则a 等于( ) A. －23 B. 21 C. －21 D. －21或－23二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上）11、抛物线的焦点为椭圆14922=+y x 的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ．12．已知x ＞2，则21-+x x 的最小值是________.13、若不等式12x x +--≤a 对于任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是________.14、设F 为抛物线214y x =-的焦点，与抛物线相切于点(4,4)P --的直线l 与x 轴的交点为Q ，则PQF ∠=_________.15、已知c b a ,,为正数，且3=++c b a ，则ac c b b a 222++的最小值是__________．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16、解不等式：（１）236x x -<+； （2）1312>+-x x ．17、已知直线1l 为曲线12+=x y 的切线,且与直线2:l 23y x =-+ 垂直．（1）求直线1l 的方程；（2）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积．18、已知抛物线px y C 2:2=，点(1,0)P -是其准线与x 轴的焦点，过P 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点．当线段AB 的中点在直线7=x 上时，求直线l的方程，并求出此时FAB ∆的面积．19、某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区．已知AB ⊥BC ，OA ∥BC ，且4AB BC km ==，2AO km =,曲线 段OC 是以点O 为顶点且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落 在AB ，BC 上，且一个顶点落在曲线段OC 上．问：应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到20.1km ）．20、(1)已知,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+，指出等号 成立的条件；(2)利用（1）的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值，并指出取最小值时x 的值.21、设函数2)2(12)(223=->-+---=x m m x m mx x x f 的图象在其中处的切线与直线125+-=x y 平行． （1）求m 的值；（2）求函数)(x f 在区间[0，1]的最小值； （3）若1,0,0,0=++≥≥≥c b a c b a 且，根据上述（I ）、（II ）的结论，证明：.109111222≤+++++cc b b a a。

社区营造助推老旧社区“微改造”作者：黄旭欣李嘉梵林丰煌来源：《社会与公益》2020年第02期摘要：随着我国人口结构的变化，老旧社区增设电梯问题已成为社会关注的民生热点话题。

在2019年政府工作报告中，去年“鼓励有条件的加装电梯”转变成今年的“支持加装电梯”。

随着城市化不断深化发展，城市社区“陌邻化”问题日益突出，增梯第一步却被“协商难”问题阻拦了。

如何助推老楼增梯，既是实践的难题，也是理论的难题。

本文基于社区营造理论助推老旧社区“微改造”，以集体行动来处理共同面对的社区生活问题，解决问题的同时创造共同的生活福祉，逐渐在居民彼此之间以及居民和社区环境之间建立起紧密的社会联系，打破“陌邻化”以实现老旧社区再生。

关键词：增设电梯;协商;社区营造;老旧社区;微改造一、研究背景及问题提出（一）人口老龄化的现实紧迫性按照老龄化率划分标准，人口老龄化率的占比超过20%就代表这个地方进入中度老龄。

根据广州市民政局1018年8月份发布的数据，广州市已经有3个区进人中度老龄化，分别是越秀区、海珠区、荔湾区（见表1）。

随着社会的发展，子女们的居住观念发生转变，导致空巢老人居家养老问题突出，目前推崇的居家养老方式使得老人在日常生活中需要更多的独立自主性，老人出行成为首要考虑的问题，老旧社区增设电梯诉求就显得尤为迫切。

（二）陌邻化问题日益突出随着我国城市化进程加快，社会结构加速转型、城镇化进程深化推进，人口流动性加剧，还有单位社会的终结，过去基于血缘、地缘关系的社区、单位制社区形成的“熟人社区”已去“熟悉化”，加重了城市社区的“陌邻感”。

社区结构从“熟人社区”向“陌邻社区”转型，由于成员具有高流动性、空间结构的开放性、权利关系扁平化以及公共服务的社会化，社区居民归属感不强、参与的积极性不高，导致社区关系纽带的弱化和社群自主治理能力的缺失，社区实务实际上成了政府的“独角戏”，很难得到居民的有效配合，这在无形中给老旧社区增设电梯设置了“拦路石”。